i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
SREDINE SREDIN
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 26D15
Obravnavamo relacije med nekaterimi sredinami vrstic in stolpcev matrik s pozitiv-
nimi realnimi elementi. Uporabimo dobro znano neenakost med aritmetično in geome-
trično sredino pozitivnih realnih števil.
THE MEANS OF MEANS
We discuss relations between some means related to rows and columns of matrices
with positive real entries. We use the well-known inequality between arithmetic and
geometric mean of positive real numbers.
Uvod
Neenakosti so v matematiki vsekakor zelo pomembne. Z njimi si pomagamo
na primer v analizi, geometriji, aritmetiki, verjetnostnem računu, teoriji
števil in v numerični ter računalnǐski matematiki. Nekatere neenakosti so že
dolgo znane, še vedno pa odkrivajo nove. Med najbolj znanimi je trikotnǐska
neenakost, ki jo spoznamo najprej pri realnih, nato pri kompleksnih številih
in pri običajnih vektorjih, kasneje pa v metričnih, normiranih in drugih
prostorih. Dokazovanje neenakosti poteka različno: včasih z metodo popolne
indukcije, včasih direktno z uporabo aksiomatike realnih števil, tu pa tam si
pomagamo z že dokazanimi neenakostmi, pogosto pa uporabljamo prijeme
z različnih matematičnih področij.
Zelo znana je tudi neenakost med geometrično in aritmetično sredino
dveh pozitivnih realnih števil. Aritmetična sredina pozitivnih realnih števil
a in b je po definiciji število A(a, b) = (a + b)/2, geometrična pa G(a, b) =√
ab. Brez težav dokažemo, da je vedno G(a, b) ≤ A(a, b), enačaj v tej rela-
ciji pa velja samo tedaj, ko je a = b. Definiciji obeh sredin lahko posplošimo
na poljubno, toda končno mnogo pozitivnih realnih števil.
Definicija 1. Aritmetična in geometrična sredina pozitivnih realnih števil
u1, u2, . . . , ur sta števili
A(u1, u2, . . . , ur) =
u1 + u2 + . . .+ ur
r
, (1)
G(u1, u2, . . . , ur) = r
√
u1u2 · · ·ur. (2)
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 41
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Ni pa nič kaj lahko dokazati, da velja znana relacija
G(u1, u2, . . . , ur) ≤ A(u1, u2, . . . , ur) (3)
pri poljubnih pozitivnih realnih številih u1, u2, . . . , ur. Obstaja več načinov,
kako dokazati (3), noben od njih pa ni posebno preprost. Pogosto najdemo
dokaz v zbirki nalog, na primer v [2], seveda pa tudi v specializiranih knji-
gah, na primer v [1, 3]. Avtor dela [3] je zbral prek 20 različnih dokazov
o njeni veljavnosti. V prispevku ji bomo posvetili malo več pozornosti, ker
glavni rezultat navsezadnje sloni ravno na njej. Morda je za šolsko rabo še
najpreprosteǰsi tisti dokaz, ki je posledica naslednje leme:
Lema 1. Če so x1, x2, . . . , xn poljubna pozitivna realna števila, katerih pro-
dukt je enak 1, potem je njihova vsota večja ali enaka n:
x1x2 · · ·xn = 1 =⇒ x1 + x2 + . . .+ xn ≥ n.
Enačaj v tej relaciji pa nastopi natanko tedaj, ko je x1 = x2 = . . . = xn = 1.
Dokaz. Lemo dokažemo z metodo popolne indukcije glede na naravno število
n. Za n = 1 je trditev očitna. Predpostavimo, da trditvi v lemi držita
za n (n > 1) kakršnihkoli pozitivnih realnih števil, katerih produkt je 1.
Vzemimo poljubna pozitivna števila y1, y2, . . . , yn, yn+1, za katera je tudi
y1y2 . . . ynyn+1 = 1. Pri tem ne morejo biti hkrati vsi faktorji večji od 1, pa
tudi ne vsi hkrati manǰsi od 1, kajti v prvem primeru bi bil produkt večji
od 1, v drugem pa manǰsi od 1. Torej obstaja vsaj en faktor v produktu, ki
ne presega 1, in vsaj en faktor, ki je velik vsaj 1. Brez škode za splošnost
lahko vzamemo, da je 0 < yn ≤ 1 in yn+1 ≥ 1.
Potem lahko zapǐsemo y1y2 · · · ynyn+1 kot produkt y1y2 · · · yn−1(ynyn+1)
= 1, v katerem je n faktorjev. Po indukcijski predpostavki je zato y1 + y2 +
. . .+yn−1+ynyn+1 ≥ n, iz česar sledi najprej y1+y2+. . .+yn−1 ≥ n−ynyn+1
in nato y1+y2+. . .+yn−1+yn+yn+1 ≥ n−ynyn+1+yn+yn+1. Po preureditvi
izraza na desni strani neenačaja dobimo:
y1 + y2 + . . .+ yn−1 + yn + yn+1 ≥ (n+ 1) + (1− yn)(yn+1 − 1) ≥ n+ 1.
S tem nam je uspelo narediti indukcijski korak. Neenakost v lemi velja za
vsak naraven n.
Da pa bo v preǰsnji relaciji obveljala enakost y1 + y2 + . . .+ yn + yn+1 =
n+1, mora biti yn = 1 ali yn+1 = 1. Ne da bi kaj izgubili na splošnosti, lahko
vzamemo yn+1 = 1. Potem je y1 + y2 + . . .+ yn = n in y1y2 . . . yn−1yn = 1.
Iz indukcijske predpostavke takoj sledi y1 = y2 = . . . = yn = 1. S tem
imamo nazadnje y1 = y2 = . . . = yn = yn+1 = 1.
42 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
Sredine sredin
Sedaj z lahkoto dokažemo neenakost (3), povemo pa tudi lahko, natanko
kdaj v njej velja enačaj.
Izrek 2. Za poljubna pozitivna realna števila u1, u2, . . . , ur velja relacija
u1 + u2 + . . .+ ur ≥ r r
√
u1u2 · · ·ur, (4)
v kateri velja enačaj natanko tedaj, ko je u1 = u2 = . . . = ur.
Dokaz. Izrek dokažemo z uporabo leme 1, če vpeljemo:
x1 =
u1
r
√
u1u2 · · ·ur
, x2 =
u2
r
√
u1u2 · · ·ur
, . . . , xr =
ur
r
√
u1u2 · · ·ur
.
Očitno je x1x2 . . . xr = 1, iz česar sklepamo:
x1 + x2 + . . .+ xr =
u1 + u2 + . . .+ ur
r
√
u1u2 · · ·ur
≥ r.
Iz dobljene relacije pa takoj sledi
u1 + u2 + . . .+ ur ≥ r r
√
u1u2 · · ·ur.
Enačaj v (4) velja natanko tedaj, ko je x1 = x2 = . . . = xr, to se pravi, ko
je u1 = u2 = . . . = ur.
Definicija 2. Harmonična sredina pozitivnih realnih števil u1, u2, . . . , ur je
število
H(u1, u2, . . . , ur) = (A(u
−1
1 , u
−1
2 , . . . , u
−1
r ))
−1. (5)
Vse tri sredine imajo lastnost homogenosti glede na pozitivne faktorje
λ:
A(λu1, λu2, . . . , λur) = λA(u1, u2, . . . , ur), (6)
G(λu1, λu2, . . . , λur) = λG(u1, u2, . . . , ur), (7)
H(λu1, λu2, . . . , λur) = λH(u1, u2, . . . , ur).
Ne glede na število enk v oklepaju je seveda G(1, 1, . . . , 1) = 1. Geome-
trična sredina ima tudi lastnost multiplikativnosti. Če so namreč števila
u1, u2, . . . , ur in v1, v2, . . . , vr pozitivna, ni težko dokazati, da veljajo enako-
sti:
G(u1v1, u2v2, . . . , urvr) = G(u1, u2, . . . , ur)G(v1, v2, . . . , vr), (8)
G(u1/v1, u2/v2, . . . , ur/vr) = G(u1, u2, . . . , ur)/G(v1, v2, . . . , vr), (9)
G(u−11 , u
−1
2 , . . . , u
−1
r ) = (G(u1, u2, . . . , ur))
−1. (10)
41–49 43
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Tako kot lahko primerjamo med seboj aritmetično in geometrično sre-
dino istih števil, lahko primerjamo tudi harmonično in geometrično sredino.
Vse tri sredine so v relaciji, o kateri govori naslednji izrek:
Izrek 3. Za poljubna pozitivna realna števila u1, u2, . . . , ur velja relacija
H(u1, u2, . . . , ur) ≤ G(u1, u2, . . . , ur) ≤ A(u1, u2, . . . , ur) (11)
in v njej prevladata enačaja natanko takrat, ko je u1 = u2 = . . . = ur.
Dokaz. Po definiciji harmonične sredine in po (3) je
H(u1, u2, . . . , ur) = (A(u
−1
1 , u
−1
2 , . . . , u
−1
r ))
−1 ≤ (G(u−11 , u
−1
2 , . . . , u
−1
r ))
−1.
Naprej pa je seveda po (10)
(G(u−11 , u
−1
2 , . . . , u
−1
r ))
−1 = G(u1, u2, . . . , ur) ≤ A(u1, u2, . . . , ur).
S tem je relacija (11) dokazana. Da pa v njej prevladata enačaja natanko
takrat, ko je u1 = u2 = . . . = ur, pa tudi takoj vidimo.
V nadaljevanju bomo pokazali, kako lahko obravnavane sredine in nji-
hove lastnosti s pridom uporabimo pri matrikah. Izkazalo se bo, da osrednji
izrek, izrek 4, da nekatere zanimive posledice.
Aritmetična, geometrična in harmonična sredina pri matrikah
Matrika, ki ima same pozitivne realne elemente, postane zanimiva, ker lahko
zanjo primerjamo sredine po vrsticah in stolpcih ter sredine teh sredin. Da
bosta beseda in dokaz laže tekla, je koristno vpeljati za matriko
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 , (12)
ki ima same pozitivne realne elemente, aritmetične sredine vrstic
Ai = A(ai1, ai2, . . . , ain) (i = 1, 2, . . . ,m),
geometrične sredine stolpcev
Gj = G(a1j , a2j , . . . , amj) (j = 1, 2, . . . , n)
44 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
Sredine sredin
ter harmonične sredine vrstic
Hi = G(ai1, ai2, . . . , ain) (i = 1, 2, . . . ,m).
Sedaj lahko zapǐsemo glavni izrek v tem prispevku.
Izrek 4. V poljubni matriki s pozitivnimi realnimi elementi je geometrična
sredina aritmetičnih sredin vrstic večja ali enaka aritmetični sredini geomet-
ričnih sredin stolpcev:
G(A1, A2, . . . , Am) ≥ A(G1, G2, . . . , Gn). (13)
V poljubni matriki s pozitivnimi realnimi elementi je harmonična sredina
geometričnih sredin stolpcev večja ali enaka geometrični sredini harmoničnih
sredin vrstic:
H(G1, G2, . . . , Gn) ≥ G(H1, H2, . . . ,Hm). (14)
Enakost nastopa v (13) in (14) samo tedaj, kadar so si vse vrstice matrike
proporcionalne.
Zgornji trditvi ostaneta veljavni, če v njih povsod med seboj zamenjamo
besedi vrstica in stolpec.
Dokaz. Najprej zapǐsimo:
1 =
nAi
nAi
=
1
nAi
n∑
j=1
aij =
1
n
n∑
j=1
aij
Ai
(i = 1, 2, . . . ,m).
Nato seštejmo, zamenjajmo vrstni red vsot in upoštevajmo (4):
m =
1
n
m∑
i=1
n∑
j=1
aij
Ai
=
1
n
n∑
j=1
m∑
i=1
aij
Ai
=
1
n
n∑
j=1
mA(a1j/A1, a2j/A2, . . . , amj/Am)
≥ m
n
n∑
j=1
G(a1j/A1, a2j/A2, . . . , amj/Am).
Po kraǰsanju z m in po lastnosti (9) imamo:
1 ≥ 1
n
n∑
j=1
G(a1j , a2j , . . . , amj)
G(A1, A2, . . . , Am)
=
1
G(A1, A2, . . . , Am)
· 1
n
n∑
j=1
Gj .
41–49 45
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Iz zgornje relacije pa že lahko razberemo:
G(A1, A2, . . . , Am) ≥ A(G1, G2, . . . , Gn).
Kdaj v pravkar dokazani relaciji velja enačaj? Iz izpeljave vidimo, da
natanko tedaj, ko je
a1j
A1
=
a2j
A2
= . . . =
amj
Am
= λj (j = 1, 2, . . . , n).
Pri tem so λ1, λ2, . . . , λn pozitivna realna števila. Za poljubna indeksa i, k =
1, 2, . . . ,m je
aij
akj
=
Aiλj
Akλj
=
Ai
Ak
(j = 1, 2, . . . , n),
kar pomeni, da sta si i-ta in k-ta vrstica matrike A proporcionalni. Vsaka
vrstica je torej proporcionalna vsaki drugi.
Ni težko dokazati, da velja tudi obratno, v relaciji velja enačaj, če so si
vrstice matrike A proporcionalne. Vzemimo, brez škode za splošnost, da so
proporcionalne kar prvi vrstici:
(ai1, ai2, . . . , ain) = (µia11, µia12, . . . , µia1n) (i = 1, 2, . . . ,m).
Pri tem so µ1, µ2, . . . , µm pozitivna realna števila in µ1 = 1. Tedaj imamo
Ai = µiA1 (i = 1, 2, . . . ,m)
in zato za vse indekse i in j velja:
aij
Ai
=
µia1j
µiA1
=
a1j
A1
= λj .
Vsi kvocienti aij/Ai so torej neodvisni od i. Že prej pa smo zapisali, da je
to tudi zadosten pogoj za to, da velja enakost
A(G1, G2, . . . , Gn) = G(A1, A2, . . . , Am).
Relacija (13) je s tem dokazana.
Če ima matrika A same pozitivne realne elemente, ima tudi matrika
A′ =

a−111 a
−1
12 . . . a
−1
1n
a−121 a
−1
22 . . . a
−1
2n
...
...
. . .
...
a−1m1 a
−1
m2 . . . a
−1
mn
 (15)
46 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
Sredine sredin
same pozitivne realne elemente.
Za matriko A′ vpeljimo aritmetične sredine vrstic
A′i = A(a
−1
i1 , a
−1
i2 , . . . , a
−1
in ) (i = 1, 2, . . . ,m)
in geometrične sredine stolpcev
G′j = G(a
−1
1j , a
−1
2j , . . . , a
−1
mj) (j = 1, 2, . . . , n).
Iz relacij
G(A′1, A
′
2, . . . , A
′
m) ≥ A(G′1, G′2, . . . , G′n), A′i = H−1i , G
′
j = G
−1
j
dokažemo z uporabo lastnosti (10) in definicij:
(G(H1, H2, . . . ,Hm))
−1 = G(H−11 , H
−1
2 , . . . ,H
−1
m ) = G(A
′
1, A
′
2, . . . , A
′
m)
≥ A(G′1, G′2, . . . , G′n) = A(G−11 , G
−1
2 , . . . , G
−1
n ) = (H(G1, G2, . . . , Gn))
−1.
Nazadnje je pred nami relacija
G(H1, H2, . . . ,Hm) ≤ H(G1, G2, . . . , Gn),
ki smo jo želeli dokazati.
Vemo že, da velja
G(A′1, A
′
2, . . . , A
′
m) = A(G
′
1, G
′
2, . . . , G
′
n)
natanko tedaj, ko so si vse vrstice matrike A′ proporcionalne. To pa je
natanko tedaj, ko so si vse vrstice matrike A proporcionalne. Torej tudi v
relaciji (14) velja enačaj natanko tedaj, ko so si vrstice matrike A propor-
cionalne.
Primeri
1. Naj bo
A =
[
a21 a
2
2 . . . a
2
n
b21 b
2
2 . . . b
2
n
]
, (16)
pri čemer so a1, a2, . . . , an in b1, b2, . . . , bn pozitivna realna števila. Ge-
ometrične sredine stolpcev so a1b1, a2b2, . . . , anbn, aritmetični sredini
vrstic pa (a21 + a
2
2 + . . .+ a
2
n)/n in (b
2
1 + b
2
2 + . . .+ b
2
n)/n. Zato velja po
(13) neenakost
a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn
n
≤
√
a21 + a
2
2 + . . .+ a
2
n
n
· b
2
1 + b
2
2 + . . .+ b
2
n
n
,
41–49 47
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
iz česar sledi Cauchy-Schwarzeva neenakost:
a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn ≤
√
a21 + a
2
2 + . . .+ a
2
n
√
b21 + b
2
2 + . . .+ b
2
n.
V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a1/b1 = a2/b2 = . . . = an/bn.
Če vzamemo b1 = b2 = . . . = bn = 1, dobimo po preureditvi neenakost
a1 + a2 + . . .+ an
n
≤
√
a21 + a
2
2 + . . .+ a
2
n
n
,
kar je znana relacija med aritmetično in kvadratno sredino. V njej velja
enačaj natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an.
2. Oglejmo si še
A =

a1 a2 . . . an
a2 a3 . . . a1
...
...
. . .
...
an a1 . . . an−1
 , (17)
pri čemer so a1, a2, . . . , an pozitivna realna števila. V matriki od vrstice
do vrstice elemente ciklično zamaknemo.
Geometrične sredine vseh stolpcev so n
√
a1a2 · · · an, aritmetične sredine
vseh vrstic pa (a1 + a2 + . . . + an)/n. Zato velja zaradi (13) znana
relacija
n
√
a1a2 · · · an ≤
a1 + a2 + . . .+ an
n
.
V njej velja enačaj natanko tedaj, ko obstaja tako pozitivno realno
število λ, za katero je
a2 = λa1, a3 = λa2, . . . , an = λan−1, a1 = λan.
Ko zmnožimo leve in desne strani vseh zgornjih enakosti, dobimo naj-
prej a1a2 . . . an = λ
na1a2 . . . an, po kraǰsanju pa λ
n = 1 in s tem λ = 1.
Zato je nazadnje res tisto, kar smo pričakovali: a1 = a2 = . . . = an. S
tem smo po ovinku v celoti še enkrat dokazali neenakost (3).
3. Naj bo
A =
[
1 1 . . . 1
a1 a2 . . . an
]
, (18)
48 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
Sredine sredin
pri čemer so a1, a2, . . . , an pozitivna realna števila. Aritmetične sredine
stolpcev so (1 + a1)/2, (1 + a2)/2, . . . , (1 + an)/2, geometrični sredini
vrstic pa 1 in n
√
a1a2 · · · an. Zato velja znana neenakost
1 + n
√
a1a2 · · · an ≤ n
√
(1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an).
V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. Podobna
naloga je podana in rešena v [2].
4. Naj bo sedaj n naravno število in
A =
[
an 1 . . . 1
bn 1 . . . 1
]
, (19)
pri čemer sta a in b pozitivni realni števili. V stolpcih od vključno
drugega do n-tega so same enke. Aritmetične sredine stolpcev so (an +
bn)/2 in n− 1 enk, geometrični sredini vrstic pa a in b. Zato velja
a+ b
2
≤ n
√
an + bn
2
,
iz česar sledi znana neenakost
(A(a, b))n ≤ A(an, bn).
V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a = b. Dobljena neenakost
izraža, če drugega ne, konveksnost funkcije x 7→ xn na pozitivnem pol-
traku realne osi za naravne eksponente n.
5. Če sta m in n naravni števili ter a1, a2, . . . , am pozitivna realna števila,
lahko podobno kot v preǰsnjem primeru najdemo neenakost
(A(a1, a2, . . . , am))
n ≤ A(an1 , an2 , . . . , anm).
Enačaj velja le, če je a1 = a2 = . . . = am.
Zahvala
Zahvaljujem se prof. dr. Tomažu Pisanskemu, ki mi je dal idejo za neenakost
s harmoničnimi sredinami in za prevedbo neenakosti (13) in (14) v matrični
jezik.
LITERATURA
[1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood in G. Pólya, Inequalities, Academic Press, Cambridge,
1952.
[2] V. A. Krečmar, Zadačnik po algebre, Fizmatgiz, Moskva, 1961.
[3] D. S. Mitrinović, Elementary inequalities, P. Noordhoff, Groningen, 1964.
41–49 49