YU ISSN 0351-6652 DRUŠTVO MATEMATIKOV. FIZIKOV IN ASTRONOMOV SRS LETNIK17, 1989-90, f~·t~ ~~ ,'~{~ \~)JJ/( (~~~I.l I \' )' , GC ' - '/"<, " W5~' o/ \1 \\ ~o o ""- #;~~\\\ ~ I (! ;:;::~{.E\\~I\ /~~ " i vfJ.~l- \)'0, \V,f"I/:iJ,0J~ ~~V-~~ ~'\'-i:,'1d'f rv~~y W-ir.:\t, ~ ~'!Jr o, II" ,r;~1I - Oo ~ t: O~ \.Jo . -zi r\~ ~'~! Ijl...t"'~J' " O , \ 1\ \ " ~ ' , ~~_.. O I _,~ - ~9' I -o ' :-' : _ I ~ ....... I I _~ I of ~. ~ _IJ \ 0/ - :J ~ " " "~ -cs- r- ~.» )\\ifJJj0\IQ)/ itf!Ub , "" 1!':~~, J ,_Z·=;\~':::'" I / \.~' , 1 \ "l l Y -- ~ ~(';/~'?1;-;~ L4 41 ~' , 1 / ' ig \ ~~~ , @:nJ\\ ~ ' r I - 1 ~'{I( '7 / 1<::("',, \ ~~ ~\~\. ~~~~/\ ~ ~.\_ \\ 1 ~IC1- \:/~ - ·r \\\ o O \' 'L~ '\ '\ 1;' JI UREDNISKI 'ODBOR JE PREGLEDAL GRADIVO ZA PRESEK IN SE MORA bMV LE SE DOMENITI ZA OPREMO NASLOVNE STRANI LETOSNJE DRUGE STEVILKE 65 ANKETA V peti številki lanskega letnika je bila objavljena anketa za bralce-učence in njihove učitelje. Čas je, da vam povemo, kakšni so rezultati . Zvedeti smo hoteli več stvari: * kaj je bralcem najbolj všeč: katero področje v Preseku, katera rubrika, kakšne vrste nalog in tudi konkretno kateri članek ; * kaj bi si bralci želeli prebrati, kaj jih zanima; * kaj bi bilo potrebno narediti, da bi k sodelovanju pri tegnil i tudi učitelje. Čeprav se že dolgo trudimo in vabimo učitelje in profesorje k sodelovanju, nas ti vedno znova preslišijo (no, so tudi izjeme}. In tako se je zgodilo tudi pri anketi . Prosili smo jih, da bi ankete učencev zbrali, izpolnili eno tudi oni in nam jih poslal i. Prejeli smo le 23 izpolnjenih anket. In o njih bo govora tudi v tem prispevku . Tistim , ki so nam anketo vrnili je najbolj pri srcu področje matematike, najraje pa rešujejo naloge s področja logike. Privlačijo jih tudi nagradne naloge, naloge in članki za razvedrilo. V lanskem šolskem letu so jim bili najbolj všeč naslednji članki : Zakaj vremenska napoved včasih ne drži, Supernova, Stari kitajski instrumenti, Šahovski kralj. Arhimedovi zakoni ... Pisali so nam mladi, ki se poleg matematike, fizike, računalništva in astro- nomije ukvarjajo tudi s športom, glasbo in tako bi radi v Preseku prebrali tudi kaj o tem. Mogoče se bodo starejši bralci spomnili, da smo članke s tako vsebi- no že objavljali, npr.: v 2. letniku je J. Strnad pisal o fiziki na smučeh; v 5. letniku je S. Pahor prispeval članek Skok v višino in skok ob palici po fizikalno; v 8. letniku je o odboju žoge pisal A . Likar, o skakalnici v Planici pa A. Vadnal; v lanskem letniku (že 16.) pa ste lahko prebrali članek Glasbena lestvica M. Vencelj. Poleg tega si želijo bralci članek o številu tt , o znamenitih matematikih, o zgodovini matematike, astronomije itd. Tudi o tem je v Preseku že bilo nekaj člankov, kar pa še ne poemni, da ne bi napisali še kakšnega. Med pošto so bila tudi pisma, ki niso bila anonimna. Vanji, Petri in Tini je Presek všeč, seveda pa imajo tudi svoje pripombe. Želijo si več zanimivosti, 66 več č lankov o ra ču na l ni ki h, številskih križank. Eno od bralk zanima, kdo ureja Presek. O tem bo uredniški odbor pr ipravi l daljši zapis veni pr ihodnjih številk. Vas pa vabimo, da nam pišete o tem, kaj počnete v krožkih, o vaših sošolcih , ki tekmujejo za Vegovo in druga pr iznanja , o vaših uč itelji h , o smešnih dogodkih pri pouku matematike, fizike, računalni­ štva ali astronomije '" Lep pozdrav vsem in oglasite se! Dušica Boben OBVESTI LO NAROČNI KOM Naročnike Preseka obveščamo, da se je ob izidu 2. številke Presekaceloletna naročnina povečala za posameznike na 200 .000. -din, za skupnska naročila pa na 160.000.-din . Vse, ki še niso poravnali svoje obveznosti do lista, lepo prosimo, da t o store čimprej in s tem prispavajo svoj delež k rednemu izha- janju l ista za mlade matematike , f izike, astronome in računalnikarje. Ciril Vel kovrh PRESEK - list za mlade matematike, fizike, astroname in računalnikarje 11. letnik, šolsko leto 1989/90, številka 2, strani .65 - 128 UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Dušica Boben (pisma bralcev, stavljenje teksta), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja iz matematike), Bojan Golli (tekmovanja iz fizike)' Marjan Hribar, Sandi Klavžar (računalništvo), Damjan Kobal (razvedrilo), Jože Kotnik, Edvard Kramar (Presekova knjižnica), Peter Križan , Boris Lavrič (matematika, odgovorni urednik), Matija Lokar, Bojan Mohar (glavni urednik), Franci Oblak, Peter Petek, Pavla Razinger (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo) , Miha Štalec (risbe), Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, novice), Marija Vencelj . Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov : Društvo matematikov, fizikov in as- tronomov SRS - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19, 61111 Ljubljana, p.p. 64, tel. (061) 256-061/53 , št. žiro računa 50101-678-47233 . Naročnina za šolsko leto 1989/90 vplačana do 15 .1.1990, je za posamezne naročnike 200.000 .- din, za skupinska naročila šol 160.000.- din, posamezna številka 50.000 .- din (40.000.- din) . List sofinancirata Izobraževalna in Raziskovalna skupnost Slovenije Ofset tisk Časopisno in graficno podjetje DELO, Ljubljana @1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS - 974 ISSN 0351-6652 67 PRE S E. K - list za mlade matematike, fizike, astroname in računalnikarje 17. letnik, šolsko leto 1989/90, številka 2, strani 65 - 128 VSEBINA UVODNIK MATEMATIKA NALOGE FIZIKA RAČUNALNiŠTVO NOVE KNJIGE ASTRONOMIJA TEKMOVANJA NOVICE RAZVEDRILO REŠiTVE NALOG iz P XVII-1 NA OVITKU Anketa (Dušica Boben, ilustrirala Marija Vencelj) Vsote ulomkov s števcem 1 - Rešitev str. 118 (Boris Lavrič) . Nekaj topoloških skrivnosti (Janez Aleš) . Kol iko cifer? (Matija Lokar) . Koliko je kock v Rubikovi koc ki? (Sandi Klavžar) Glej, Mavrica! 2. del, Kje na nebu iskati mavrico (Marija Vencelj) . Mreže teles in logo (Tomaž Pisanski) . Učbeniki in priročniki za osnovno in srednjo šolo S. Becklake, Vesolje - zvezde, planeti in vesoljske ladje (Marijan Prosen) . Odkritje pulzarja v ostanku supernove 1987 A {Andrej Čadež} . 5. šolsko in 15. izbirno tekmovanje srednješolcev iz matematike (Darjo Felda) . Pisma bralcev (Damjan Kobal) . Raziskovalne naloge mladih (Damjan Kobal) Dinarji konvergirajo (Sandi Klavžar) Slikovna križanka (Marko Bokalič) . Mavrična uganka - Rešitev str. 127 (Marija Vencelj) Ploščina trikotnika - Rešitev str. 121 (Dragoljub M. Miloševič, prev. Damjan Kobal) Umetnost v Vesolju. Kaj je to neskončno (1 zbra l Matija Lokar) . Praznični okrasek - Rešitev str . 119 (Marija Vencelj) Tetraederski fraktal (France Dacar) . . . Kvadrat na trikotnike (Vilko Domajnko, ilustriral Sandi Jakončič) . Kaj početi, če dežuje? (Matija Lokar) . . Enakost. Kornet - str . 16 (Boris Lavrič) Zaporedja - str. 51 (Darjo Felda) .... Križan ka "S lovenski matematiki" - str. 56 Slikovna križanka - str. 32 (Marko Bokalič) Najbolj kvadratasto leto - Rešitev iz P XVI-l, str . 16 (Tomaž Pisanski) . Uganke - str . 7 (Vilko Domajnko) Glorija (glej članek na str. 86) ... 111,65 68 72 83 84 86 98 95 109 110 112 122 123 82 96 94 108 111 116 124 125 128 117 117 120 121 127 I li)arcm,,-'1/",,-,1CI ,,-, I"", VSOTE ULOMKOV S STEVCEM 1 Najb rž se je marsikak vesten bralec Preseka že ob naslovu prispevka spomnil članka profesorja Ivana Vidava , ki je bi l objavljen pred trem i let i v našem listu (PXIV /1) . V njem je avtor dokazal, da imajo ulomk i s števcem 1 naslednjo pre- senetljivo in lepo lastnost . IZREK A. Vsako pozitivno racionalno številu se da zapisati kot vsota ulomkov s števcem 1 in med seboj različnimi imenovalci. Še več, za imenovalce smemo zahtevati, da so različni in večj i od naprej danega števila. Prvi del izreka lahko povemo tudi takole: Za vsako racionalno število r >O obstaja tak nE IN, da ima enačba + _L =r an z neznankami al, ..., an vsaj eno rešitev , ki ustreza pogoju P: V tem prispevku nas bodo zanimala predvsem naslednja vprašanja: (A) Ali ima enačba En (r) pri danem racionalnem r > O za vsak naraven n > 1 rešitev, ki ustreza pogoju P? (B) Je vseh takšnih rešitev pr i danih r > O in n > 1 končno mnogo? (C) Kako je število rešitev pri danem r > O odvisno od n? Da ne bomo po nepotrebnem izgubljali besed, zaznamuj mo zRn (r) število vseh rešitev enačbe En (r), ki izpolnjujejo pogoj P. Dogovorimo se še, da bomo rešitvi, ki zadošča pogoju P, rekli dobra rešitev. Pozabavajmo se zdaj z nalogo (A). Vzemimo najprej r = 1. Brž lahko ugotovimo, da je R 2 (1) = O, saj velja ocena _L + --:J_ ~ _1- + _L < 1 a\ a2 2 3 Odgovor na vprašanje (A) je torej že pri r = 1 negativen , naloga pa je tako rešena za r = 1. Vendar bomo ostal i še naprej zvedavi : je morda R 3 (1) > O? Za razve - drilo naj bralec sam poišče vse rešitve enačb E3 (1) in E4 (1), ki zadoščajo pogo- ju P. Najde jih tudi na strani 118. st Prav hitro vidimo, da velja Rn (1) > O celo za vsak n > 2 . Kasneje bomo do- 69 kazali , da je podobno tud i pri ostalih racionalnih števillh -r > O. Pri r < 1 se lahko zgodi, da je že R 2 (r) > O, pri velikem r pa enačba En (r) za naravna šte- vila n <; 2r nima nobene rešitve. Slednje nam potrdi ocena _L + ' OO + _L < _1_ + ... + _L = .IL .,;;; r al an 2 2 2 Izrek A nam zagotavlja , da je Rn (r) > Oza neskončno mnogo naravnih števili n. Pred podrobnejšo obravnavo odvisnosti števi la rešitev Rn (r) od n pa se lotimo še vprašanja (B) . Odgovor nanj je pozitiven. Dokazali bomo, da velja naslednji IZREK B. Naj bo r pozitivno racionalno število in nE IN. Potem ima enačba En (r) ali končno mnogo dobrih rešitev ali pa nobene. Pri dokazu uporabimo matematično indukcijo glede na število neznank v enačbah. Za n = 1 izrek očitno velja pri vsakem r > O, r E Q . Tedaj je namreč RI (r) =OaliR I (r) = 1. Predpostavimo zdaj, da izrek velja za n = k E IN in vsak racionalen r > O. Razrnisi imo o številu rešitev enačbe Ek+ 1 (r), kjer je r > Odano racionalno šte- vilo. Za vsako dobro rešit ev al, a2, ' oo , ak+ 1 enačbe Ek+ 1 (r) velja ocena 1 + oo. + _J_ < _k_"t.l_ a2 ak+1 al Torej je al < (k+l) /r, poleg tega pa števila a2, a3, oo., ak+ 1 rešijo enačbo E k (r - l / a d . PO predpostavki ima ta le končno mnogo dobrih rešitev (ali nobene) , zato je število dobrih rešitev enačbe Ek+ 1 (r) pri izbranem naravnem številu a l > 1 končno. Za al imamo po oceni al < (k+l)/r na voljo le končno mnogo števil , torej je tudi število vseh rešitev enačbe Ek+ 1 (r), ki izpolnjujejo pogoj P, končno. Indukcijski korak smo dokazali , s tem pa potrdili veljavnost izreka. Na vrsti je problem (C). Naj bo r dano pozitivno racionalno število. Splošna formula Rn (r), nE IN, je pretežak zalogaj, zato nas bodo zanimale bolj grobe (a vendar lepe) lastnosti zaporedja RI (r), R 2 (r) , R 3 (r), ... 70 Po izreku A ne morejo biti vsi č len i tega zaporedja enaki nič. Označimo z m najmanjše naravno število , pr i katerem je Rm (r) >O. Tako na primer za r = 1 dobimo m = 3, za r = 5/4 pa m = 4 . Kaj hitro lahko do ženemo, da tudi pri vseh n > m velja ocena R (r) > O. • n Ce je nam reč Rk (r) >O,k > 1, pote m z razdr užit vijo ulomka dobimo in al < ... < ak_ 1 < ak + 1 < ak(ak + 1), torej velja ocena R k + 1(r ) > O. Odtod takoj sledi, da je res Rn (r) > O za vsak n ;;;. m. Videli smo, da ima vsaka enačba En( r) pr i n ;;;. m vsaj eno dobro rešit ev. To ugotovitev pa lahko še precej izbol jšamo . Dokazali bomo, da velja takle IZREK C. Za vsako pozitivno racionalno število r velja Rn+ 1 (r) > Rn (r) za vsak n > m. Dokažimo navedeni izrek . Naj bo O < rE 0, nE IN in Rn (r) > O. Vzem i- mo katerokol i dobro rešitev a l, a2 , ... , an -1 ' an enačbe En (r) in iz nje tvorimo rešitev al ,a2 , ...,an_ 1,an + 1 ,an(an + 1) enačbe E n+ 1 (r). Različnima rešitvama enačbe En(r) smo tako pr iredi li različn i rešitvi enačbe En+ 1 (r) (Preveri l] , torej vedno velja ocena Rn+ 1 (r) ;;;. Rn (r) Vzemimo zdaj poljuben n > m in dokažimo, da tedaj obstaja taka rešitev al , .. . , an enačbe En v). ki ust reza pogoju P in ima za an sodo število . Res, enačba En -1 (r) ima zaradi n - 1 ;;;. m vsaj eno dobro rešitev, iz nje pa na enak način kot prej pr idelamo rešitev enačbe En (r), katere zadnji člen je sodošteviloan_ 1(an _ 1 + 1). Po prejšn jem smemo pri n > m privzeti , da je ven i od rešitev al, .. . , an enačbe En (r) število an = 2p sodo. Očitno velja še p > 1, kar nam zagotavlja, 71 da sta desni strani enakosti _L = _L + 1 2p 3p 6p _L = __-.J__ + 2p 2p + 1 1------- 2p(2p + 1) različni. Torej lahko prej dobljenim Rn (r) rešitvam enačbe En+1 (rl. ki zado- ščajo pogo~u P, pridružimo še rešitev al,a2, ...,an_ 1, 3 p , 6 p ki se očitno razlikuje od vseh ostalih. Potemtakem za n >m res velja Rn+ 1 (r) > Rn (r), prav to pa smo želel idokazati. Izrek C nam da naslednjo oceno za število dobrih rešitev enačbe En (r): Rm+k(r) ~ k zavsakkEIN To oceno se da še izboljšati, a naj kljub temu sklenemo prispevek - seveda z nalogami. 1. Dokaži, da je pri r = 5/6 R 2 (r ) = R 3 (r ) 1 in poišči vsaj deset dobrih rešitev enačbe _!2- x 4 ima enačba _L + 1 x y 1-2k' x < y vsaj štiri dobre rešitve. Katere? 5. Dokaži, da za vsako liho število k > 1 velja R 2 (2/k) > O. Rešitve nalog najdete na strani 118. Boris Lavrič 72 NEKAJ TOPOLOŠKIH SKRIVNOSTI Bralci ste se verjetno že srečali z eno izmed geometrijskih pose bnosti. M obiusovim trakom . S tak imi in podobnimi objekti se ukvarja posebna veja matematike - topologija . Nepoučeni bralec bi si torej utegnil predstavljati . da matematik - topolog večino svojega časa preživi ob lepljenju trakov in drugih topoloških modelov. Toda kratek pregled kake topološke knjige bi ga zagotovo presenetil. Vsaka nova stran bi bila polna simbolov in le tu in tam bi naletel na slikovno prilogo ali diagram. Mogoče je topol og le matematik. ki ne loči med skodelico za kavo in kolačem . Namreč. dva objekta sta si gledano s topološkega stališča ekvivalentna. če lahko z zaporedjem zveznih deformaci j enega spremenimo v drugega . Topologijo lahko torej okarakteriziramo kot študij lastnosti. ki so invariantne za take deformacije . Topologija se je pravzaprav razvila iz proučevanja geometrijskih problemov in posebnosti, kot je naprimer Mobiusov trak . Za tiste bralce. ki ga še ne poznajo, si oglejmo, kaj pravzaprav to je. V ta namen ne bomo potrebovali nobenega matematičnega znanja. le nekaj papirja. škarje. lepilo, nekaj ročne spretnosti in malo potrpljenja . Vzemimo dolg. ozek trak. zvi- Slika 1 jmo ga enkrat za pol obrata in nato konca zlepimo skupaj. Ploskev. ki smo jo sestavili. ima le eno stran. njen rob pa je ena sama sklenjena krivulja; slika (1). Pa poglejmo. če je to res. Denimo. da na sredo traku postavimo muho. ki pri hoji za se- boj pušča sled . Muha. ki hodi po traku . ne da bi zavila čez njegov rob. bo kmalu naletela na svojo sled. Model M~blusovega traku. Začudeni opazovalec bi opazil, da se sled pozna na "obeh" straneh traku. Torej ima naša ploskev le eno stran. Le pa muho postavimo na rob traku in jo pustimo , da bo prehodila cel rob, ugotovimo , da je rob Mobiueoveg« traku ena sama sklenjena krivulja. Oglejmo si sedaj dvojni Mobiusov trak. prikazan na sliki (2). Položimo skupaj dva skladna trakova, ju zvijmo enkrat za pol obrata , kot smo to storili pri enojnem M obiusovem traku. in ju zlepimo skupaj. Za trenutek se nam dozdeva . da smo sestavili dva nepovezana objekta. Toda . oglejmo si našo muho na poti med trakovo ma. Ker muha ne sme prekoračiti robu. bo po enem 73 Slika 2b Slika 2 : Dvojni MobillSOV trak dobimo, če položimo skupaj dva skladna trakova, ju zvijemo za polobrata in zlepirno prosta konca. krogu prišla do svoje sledi. tod a le ta se pojavi na "stropu" . Šele po drugem obhodu bo muha zares prispela na začetek svoje poti. saj se bo oznaka zopet pojavila na tleh. Inteligentna muha bi potrebovala ogromno dornišlije. da bi razumela. da so "tla" in "strop" v bistvu ista stran enega traku. Če trak raz- grnemo. ugotovimo. da je dvojni Mobiusov trak ploskev z dvema stranema. Podobno lahko uvidimo. da je njen rob sestavljen iz dveh sklenjenih krivulj. ki dvakrat obkrožita model. Prijetna naloga vas čaka. če boste hoteli razgrnjen dvojni Mobiusov trak zopet zložiti v prvotno obliko. Dvojni MobillSOV trak je pravzaprav identičen enojnemu traku. pred lepljenjem štirikrat zavitemu za pol obrata . Vzemimo sedaj tri skladne trakove. recimo dva bela in enega rdečega. Iz belih trakov sestavimo dvojni Mobillsovtrak. rdečega pa vstavimo med" dva" bela trakova in ga zlepimo. Na prvi pogled se zdi. da je dvojni Mobiusov trak sestavljen izdveh belih trakov. saj je rdeči med njima po celi dolžini . Toda če model razprerno. ostaneta bel in rdeč trak prepletena. Opazimo. da je rdeči trak kar enojni Mobiusov trak. Predstavljajte si. da paralelna robova dvojnega Mobiusovega traku zle- pimo skupaj. Če napihnemo model. narejen iz tanke gume, dobimo rorus ali svitek. Zlepljena robova tvorita sklenjeno krivuljo. ki se dvakrat ovije okrog torusa , To pomeni. da lahko torus prerežerno vzdolž sklenjene krivulje in dobimo dvojni Mijbiusov trak. Velja celo več; torus lahko razrežerno v trak s poljubnim sodim številom polobratov. toda ne moremo ga razrezati tako. da bi dobili trak z lihim številom polobratov. To je posledica tega. da je torus ploskev z dvema stranema. podobno kot vsi trakovi s sodim številom polobratov. medtem ko imajo trakovi z lihim številom polobratov le eno stran. podobno kot enojni Mobiusov trak . Čeprav lahko dvostranske ploskve sestavimo iz enostranskih. obrat ni možen. Rob enojnega Mobiusoveg« traku je gladka sklenjena krivulja. Toda model lahko preoblikujemo tako. da rob dobi obliko trikotnika. Ta model 74 je odkril Bry ant Tuckerman . Slika (3) prikazuje. kako morate izrezati. zgi- bat i in zlepiti polo papirja, da boste dobili Tu ckerman ov model Mobiusovega tra ku s t rikotnim robom. Podobno lahko skonstrui ramo trak, dvakrat zvit za polobrata , ki ima prepletena trikotn a robova (ploskev 12 s slike (6)) . Plosk ev je narisana na sliki (4). Slika (5a) predstavlja mrežo še ene zanimive ploskve. Sestavite jo in preverite, če je topološko ekvivalentna ploskvi s slike (5b) . Ploskev ne delimo le na enostranske in dvostranske. ločimo jih t udi glede Slika 5b B Slika 3b A B / / / / / / / / / / - o Slika 3 : Mo bi iisov t rak s t rikotnim rob om j e odkril Bryan t Tu ck erm 'O' th en 114213 21322314 ste := st e + c[cif] + cif; write(,D alje (d/n) ') ;readln(odg) un til odg = 'n' end. Opazimo, da se število 21322314 ponavlja sedaj v nedogled. Postopek je torej skonvergiral. Velja to v splošnem? Peš računanje je dolgočasno, zato si pomagajmo s kratkim programom v Pascalu. Dogovoriti se moramo le za predstavitev števil. Ker potrebujemo le posamezne cifre , jih predstavimo kot niz cifer. Za zgornji program zato uporabimo Turbo Pascal, ki ima vgrajen podatkovni tip STRING in zna delati z nizi. 84 No, program pravzaprav ni čisto pravilen, saj ne upošteva, če kakšna cifra nastopa več kot dese tkrat. Prav tako ne štejemo ničel. Program ne bo težko pop raviti, vendar to prepuščam kot izziv vam. Mi si poglejm o, kaj se dogaja , ko vtipkamo nekater a števila. Pa začnimo kar po vrsti: 1, 2, 3, 4. Pri vseh dobimo 21322314. Pri 5 seveda dobimo drugo končno število 3122331415. Tudi pri 5, 6, 7, ..., 25 postope k skonverg ira . Se to zgodi vedno? No, če vtipkamo 1989 opazimo, da se pričneta izme njeva ti šte vili 712213241526171819 in 614213141516271819. Tudi pri 12345 se izme njujeta po dve števili. Poskušamo naprej in glej! Vse kar vtipkamo, konvcrgira bodisi k enemu, bod isi k dvema številoma. Je to vedno res? Ali se mogoče kdaj izmenjujejo tri, štiri števila? Ali se kdaj postopek sploh ne konča? Kaj pa, če namesto desetiškega uporabim o npr. osmiški siste m? V trenutku, ko to pišem , odgovora na večino vprašanj še ne poznam. Pošljite svoje ugotovitve Preseku , veseli jih bomo. Matija Loka r KOLIKO JE KOCK V RUBIKOVI KOCKI? 27? No ja, tudi cela kocka je kocka. Torej 28? Ne, prišteti moramo ~e vse kocke 2 X 2 X 2. Verjamem, da smo z nekaj truda uspeli našteti 36 kock. Je torej naloga ze rešena? Ne, šele začenja se, kajti vprašujem po naslednjem: koliko kock je v kocki 10 x 10 x 10 oz. splošneje, koliko kock je v kocki nxn xn! Lotimo se naloge postopno. Najprej rešimo lažji problem, in ko bomo tega dobro razumeli, ne bo nobena tdava vec rešiti zastavljeno nalogo. Vprašajmo se, koliko kvadratov je v mrdi 10 X 10 . Resni matematiki bi sicer dejali, saj ni nobene prave razlike med problemoma in bi nalogo rešili kar za n-d imenzionalno kocko . Včasih pa je dobro, če si znamo problem lepo predstavljati, zato ostan imo kar pri kvadratni mre ži. Izberimo si poljuben kvadrat mre že, kot je prikazano na sliki la . Kateri podatki ga določajo? Prav gotovo njegova velikost, v našem primeru 4. Seveda so še drugi kvadrati velikosti 4. Toda, to je edini kvadrat te velikosti . ki ima za zgornji levi vogalosenceni kvadrat s slike . Skratka. kvadratov 4 x 4 je toliko, kolikor je kvadratov 1 x l. ki so lahko zgornji vogal kvadrata 4 X 4. Ti kvadrati so označeni na sliki lb. Opazimo, da jih je 72 . Če se vpra šamo ~e po kvadratih ostalih velikosti , je rešitev ze pred nami : 1+22 +32 + ...+92 + 102 51. 1 a SI. 1 b 85 oz. krajše r:l~ 1 j2. Pri tem je z 12 štet največji kvadrat in 102 je število malih kvadratov. Rezultat takoj posplošimo na mrežo n X n: vseh kvadratov . ,n '2' Je Li=l J • Povrnimo se sedaj h kocki n X n X n. Če smo razumeli gornjo izpeljavo, potem gotovo ni noben problem dokazati, da je v kocki natanko r:7=1;3 kock. Naloga je tako rešena. 51 .2 51 .3 Za konec Je dve (stari) nalogi. 1. Koliko trikotnikov je na sliki? 2. Koliko kock je na sliki? Kaj pa. če Presek obrnemo? Sandi Klavžar , '-,-/1/',,-,L "" GLEJ, MAVRICA! 2. del : Kje na nebu iskati mavrico Po uvodnih mislih v prejšnji številki Preseka je pred nami naloga, da razložimo pojav dežne mavrice . Povedali smo že, da so izvor glavne mavrice žsrki tretjega reda. To so žarki, ki se na stenah dežne kapljice dvakrat lomijo in enkrat odbijejo na notranji strani. Stransko mavrico dajejo žarki z dvema lomoma in dvema notranjima odbojema. Imenovali smo jih žerki četrtega reda. Da je mavrica posledica loma in odboja svetlobe, je že v 13. stoletju do- mneval poljski menih Vitello. Vendar je menil, da gre za lom in odboj na obla- ku kot celoti. Pomemben napredek pomeni trditev nemškega meniha Theodo- rica iz Freiburga v začetku 14. stoletja, da nastane mavrica zaradi loma in odboja svetlobe na posameznih vodnih kapljicah. Ker pa v njegovem času lomni zakon še ni bil znan, ni mogel razložiti, zakaj vidimo mavrico vedno pod istim kotom glede na smer sončnih žarkov. To je uspelo šele Descartesu dobra tri stoletja kasneje (slika 1). Descartes je rezultat dobil z risanjem poti sončnih žarkov, ki zadenejo ob kapljico pod različnimi vpadnimi koti. Na sliki 2 je skica žarkov tretjega reda. Žarek, ki pa- de na kapljico pravokotno, gre skozi središče kapljice, se na notranji steni odbije nazaj proti soncu in izhaja kot žarek tretjega reda za 1800 odklonjen od A----4;;:;,~~::t: Slika 1. Descar- tesava razlaga mavrice iz leta 1637 . Glavno mavrico daje žarek ABCDE, stransko žarek FGHIKE. 87 w o z o (J) . , • • •. o ' Slika 2 . Skica poti žarkov tretjega reda. prvotne smeri. Zvečanjem vpadnega kota se odklon žarkov tretjega reda od prvotne smeri manjša do nekega najmanjšega odklona (ta žarek je na risbi na- risan poudarjeno), nato pa spet raste. Črtkano so narisane še navidezne poti žarkov, kot jih dojema naše oko. S slike lahko razberemo marsikaj. Če naj žarek tretjega reda zadene naše oko, se moramo nahajati na isti strani kapljice kot sonce. To pomeni, da moramo biti obrnjeni tako, da imamo sonce za hrbtom. Razen tega mavrice ne bomo našli prav visoko na nebu . Najvišja možna smer je določena s smerjo najmanjšega odklona žarkov tretjega reda od prvotne smeri. Na sliki je ta smer označena s poudarjeno črtkano črto. Če je mavrica vidna, smer lahko izmerimo. Poiskali jo bomo tudi po ma- tematični poti. V obeh primerih se moramo odločiti, od kod bomo merili kot, ki smer določa . Prvi hip se zdi, da bi ga bilo najprimerneje meriti od vodoravne 88 ravnine tal, na katerih stojimo. Vendar bi tedaj nastopile težave, če bi na pri- mer stali na bregu. Zato se raje odločimo za bolj neodvisno osnovno smer. Taka je smer vpadnih sončnih žarkov. Izbira njihove smeri za osnovno ima še dodatno prednost, da sta matematični izračun in tolmačenje rezultata eno- stavnejša. Na sliki 3 je narisana pot enega samega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico . S sp smo označili kot, suplementaren kotu odklona žarka od prvotne poti. Poiščimo odvisnost kota l{J od vpad nega kota a! Kota pri P in R, ki smo ju označili z o, sta enaka, ker sta izmenična. Tri- kotnik ASP ima zunanji kot 4(3 in nepriležna notranja kota a in o, trikotnik RCQ pa zunanji kot o in nepriležna notranja kota l{J in a. To pomeni o= l{J + a = 4(3 - a kar da Po lomnem zakonu je l{J = 413 - 2a 2.!!J",:c.!:.._ ..2_ sin 13 Cl -. (1 ) Slika 3 • • B w • U Z O CI) • cx ·C --- - - - -~~--- - - - - - - -- -- - - .tR I 89 kjer sta c in Cl hitrosti širjenja svetlobe v zraku in v vodi . Če označimo n=S- Cl imamo (3 . (l. )= are Sin fi Sin a kar da skupaj z (1) '{J = 4 arc sin (* sin a) - 2a (2) Vstavimo v (2) vrednost n ;= .;., kar je približna vrednost lomnega količnika za prehod svetlobe iz zraka v vodo. Dobimo: '{J = 4 are sin (~ sin a) - 2a (3) kjer je 0° o( a o( 90° . Funkcija (3) je narisana na sliki 4 . Tudi tisti, ki so vam bili zadnji računi pretežki, lahko z nje razberete, kako se spreminja kot '{J, ko vpad ni kot a na- rašča od 0° do 90° . Vidimo, da zavzame kot '{J vrednosti od 0° do približno 42°. Pri tem ne prezrimo, da je '{J odvisen le od vpa- dnega kota a in nič od premera kro - glice . Torej bo tudi največja možne vrednost kota '{J za vse delne kapljice ista. Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračuna­ mo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na inter- valu [ 0° ,90° ]. Imamo: '{J' = 1.-~"§'Q . - 2 = O J n2 - sin2 a kar da Sin a m ax = j _.1--=-~:" (4) 3 Z 4. an ="3 Je • 2 rs Sin am ax ="3 V i" in '{J = 42,03°max Kaj ta rezultat pomeni? Poglej- mo ponovno sliko 3. Denimo, da narisani žarek zadene naše oko. Po- tem je kot '{J enak kotu z vrhom v našem očesu, enim krakom v smeri sončnih žarkov (stran od sonca) in drugim krakom v smeri kapljice, iz katere žarek izhaja (slika 5). 90 Ta kot lahko zavzame vrednosti od 0° do <{J • Temu pogoju ustreza notra-max njost stolca Z vrhom v našem očesu, osjo v smeri sončnih žerkov in kotom <{J med osjo in tvorilko. Vsaj polovica tega stožca je pod obzorjem. V max zgornjem delu prihajajo do nas žarki tretjega reda, ki jih dojemamo kot kos osvetljene polkrožne plošče v daljavi. Kolikšen je ta kos, je odvisno od višine sonca in tudi od tega, kolikšen del dopustnega prostorskega kota zastira dežna zavesa . 50° 40° .. 30° 20° o Slika 4 Slika 5 --... . --... ""'.._-- \_ \ .=:..::.:.~\: : : .._.j . .-..... . _ .. .... .. r _ . eJ d --. . -... - ._. Poglejmo sedaj. kako je s porazdelitvijo svetlobe na tej plošči. Ker pripada dani kapljici ena sama taka ravnina, v kateri potuje žarek tretjega reda proti opazovalčevemuočesu, je tudi ta problem ravninski. Sončna svetloba je v prostoru enakomerno porazdeljena. Za ravninski pri- mer lahko to lastnost prikažemo s snopom med seboj enakomerno oddaljenih žarkov (slika 6). S slike takoj vidimo, da temu ne ustreza enakomerna pora- zdelitev vpadnih kotov . Pod manjšimi vpadnimi koti zadene kapljico več svetlobe kot pod velikimi. Enako- merna pa je porazdelitev oddaljenosti vpadnih žerkov od središča kapljice. Na sliki 6 je ta razdalja označena z d. Zavzame lahko vrednosti z intervala [ O, r j, kjer je r polmer opazovane _ . kapljice . Enako dolgim intervalom - " . spremenljivke d pripadajo enake koli- _ . .-., . čine vpad le svetlobe. Slika 6 -.,. . 91 Za opis porazdelitve svetlobe na naši navidezni svetli plošči v daljavi je to- rej primerno v funkciji (3) zamenjati spremenljivko a s spremenljivko d. Njuno medsebojno zvezo d =r sina dobimo s slike 6. Opustimo analitičen zapis funkcije 'P(d) r d E [ O,rl, pač pa si oglejmo njen graf na sliki 7 . Na isti sliki je narisan tudi graf ustrezne funkcije za stransko mavrico, o kateri bomo govorili kasneje . Večjo koncentracijo svetlobe lahko pričakujemo v taki smeri 'P , v kateri se združujejo osnovni žarki s širšega območja spremenljivke d. To je področje počasnega spreminjanja funkcije 'P(d). torej okolica maksimuma. S slike 7 razberemo, da za zelo širok interval spremenljivke d izhajajo žarki tretjega reda pod koti med 40° in 42°. Pri manjših kotih 'P je svetlobe manj in je enakomer- neje porazdeljena. Torej lahko sklenemo: navidezna svetlobna plošča ima v bližini 'Pmax' to je ob zunanjem robu, svetel lok, ki bledi postopoma proti notranjosti in ostreje proti temni zunanji strani. Ponovno se je izkazala pomembnost kota 'Pmax ' zato zasluži posebno ime. Rekli mu bomo mavričnikot. Seveda mavrice s tem še nismo povsem razložili. Vsi vemo, da lok ni samo svetel, ampak tudi lepo barvast . dr 'Pmox 'Pmin Aleksandrov temni pas o 140· 120· 100· 80· 60· 4o·F} mr::f ff f : : : :: :: : ·f :: l :=::.::!!žg~, 20· 160· -- - -- - - ------- - - - - - - - - - - - - - - - - Slika 7 92 V prejšnji številki Preseka smo povedali, da se vsaka barvna komponenta svetlobe nekoliko drugače lomi. Tega doslej nismo upoštevali, saj smo funkcijo (3) dobili iz (2) z vstavljanjem n = 4/3, približne vrednost i lomnega količnika za prehod svetlobe iz zraka v vodo . Dejansko pa bi morali vstaviti v (2) za vsako posamezno barvo ustrezno poprečno vrednost za n. Da ne bo preveč podatkov, navedimo le mejni vrednosti: barva rdeča vijolična n "3290 , 3452 "Pm ax 42°39'52" 40°20' O" V zadnjem stolpcu je zapisana tudi velikost ustreznega mavričnega kota. Vid i- mo, da je pri rdeči barvi ta kot za dobri dve stopi nji večji kot pri vijolični. Ko gremo v osnovnem spektru vidne svetlobe od vijolične preko modre , zelene, rumene in oranžne barve do rdeče , lomni količnik n monotono pada. Nadalje sledi iz (4), da je am ax padajo če funkcija spremenljivke n na intervalu [T 3290, ,. 3452); z vstavljanjem am ax v (3) dobimo še, da je "Pm ax padajoče funkcija a . Če vse zdru žirno, sledi, da narašča mavrični kot od 40°20' domax 42° 39'52" glede na barve v istem vrstnem redu, kot si slede v osnovnem spektru vidne svetlobe. Mavrica sestoji torej iz polkrožnih plošč svetlobe različnih barv . Ker imajo plošče skupno središče , se v sredini prekrivajo in dajejo belo ali svetlo sivo notranjost glavnega mavričnega loka. Posamezne barvne plošče so zaradi razl i- čnih mavričnih kotov različno velike . Največja je rdeča , najmanjša vijolična plošča . Tako rdeča plošča na zunanjem robu ni prekrita z drugimi barvami. To pojasnjuje, zakaj je v mavrici prav rdeča barva najčistejša. Ostale barve sebolj ali manj prekrivajo . Ker pa so njihovi intenzivneje obarvani zunanji robov i medsebojno rahlo premaknjeni, prevlada v mešanici na posameznem mestu ustrezna najmočnejša barva. Lepi lok glavne mavrice torej sestavljajo drug ob drugem nanizani barvni loki s skupno navidezno širino nekaj nad dve stopinji. V njem je vijol ična barva najmanj izrazit a, ker je prekrita z vsemi barvami. Včasih celo čisto zbledi. Ostale barve postajajo proti zunanjemu robu izrazi- tejše. Tako smo s sredstvi geometrijske optike uspešno razložili zgradbo in lego glavne mavrice . Poglejmo še enkrat, kje jo ob ugodnih vremenskih razmerah lahko pričakujemo. Obrnjeni s hrbtom proti soncu, odmerimo kot 40° do 42° navzgor od smeri sončnih žerkov. Le na dobljenem mestu se lahko nahaja vrh loka glavne mavrice. Od tod takoj sledi , da glavne mavrice ne moremo videt i , 93 če je sonce previsoko na nebu, natančneje, če je več kot 42° nad obzorjem. Če pa je sonce dovolj nizko, si jo lahko celo sami napravimo. "Dež" v ravno pravi smeri lahko naredimo kar s pomočjo cevi za zalivanje vrta ali pranje avtomobila. _._._-_._._._._._._._._._._._._.- Stranska mavrica je zgrajena podobno kot glavna, kar ugotovimo z analizo žarkov četrtega reda. Odvisnost kota 'fi, ki ga merimo od istega poltraka kot pri žarkih tretjega reda, je prikazana na sliki 7 . Vidimo, da stranska mavrica ne oddaja nič svetlobe v notranjost sto žca, določenega s kotom 'fi . , ki meri približno 50°. To je mavrični kot stranskemm mavrice. Med posameznimi barvami ima najmanjši mavrični kot rdeča kompo- nenta stranske mavrice, največjega vijolična. Torej si barve stranske mavrice slede od znotraj navzven v obratnem vrstnem redu kot pri glavni mavrici. Poleg tega so tu razlike med mavričnimi koti posameznih barv večje . Zato je stranska mavrica širša od glavne, je pa tudi bolj motna oziroma bleda. To lahko razlo- žimo z večjo izgubo svetlobe pri žarkih četrtega reda v primerjavi z žarki tretje- ga reda. Delno pa pojasnjuje medlost tudi manj sploščeno teme zgornje krivulje na sliki 7. Slika 7 pojasnjuje tudi Aleksandrov temni pas, to je temnejše področje med obema mavričnima lokoma. Vidimo, da žarki tretjega in četrtega reda ne prispevajo nič svetlobe v kote med 42° in 50° . Če bi ne bilo drugih žarkov, bi bilo to področje povsem črno . Tako smo z metodo geometrijske optike pojasnili najbolj opazne mavri- čne pojave. Ima pa metoda to pomankljivost , da z njo ni moč razložit i navi- dezno manj pomembnih pojavov. Za njihovo razumevanje je treba upoštevati valovna naravo svetlobe. Tako je moč z interferenco pojasniti pojav dodatnih lokov, ki leže na notranji strani glavne mavrice, kakor tudi to, da so njihove sledi odvisne od velikosti dežnih kapljic . Čim manjše so kapljice, tem redkejši in zato jasneje vidni so dodatni loki. Ko kapljice dežja padajo, se večajo, zato dodatne loke laže opazimo blizu vrha mavrice . Ni pa moč npr. samo z interferenco razložiti rahle osvetljenosti Aleksa- ndrovega temnega pasu, saj tud i ta metoda predvideva popolno temo v tem področju . Zadovoljiv odgovor na to in še na nekatera druga vprašanja daje pravzaprav le popolno upoštevanje dejstva, da je svetloba elektromagnetno valovanje. Za konec omenimo še lep pojav, ki ga z metodami, uporabljenimi v tem članku, ne moremo razložit i. Gre za imen itno predstavo, za katero včasih 94 poskrbe žarki višjih redov . Zaradi majhne intenzivnosti teh žarkov se lahko po- javi le v smeri stran od sonca in pri zelo majhnih kotih \r \\ I .. / \ \ \ I \ \ \/''-'' I \ --, /'\ /'-''-.",.------~ \~~ \t [[J [J [J [J [J [JJ [[J [[J [J [JJJ [[f [J [[J [fJJ / \ ~JY~ - : I \/ ~/ t-. \ / '\/ \ i-----1 \ -" ffJ ffJ [JJ fJJ ~ [[J [[[J [11 [[1 [JJ [[J [JJ [[J [JJ [[J~'[JJ [[J [JJ [[1 [JllJ Slika 2. Ravninske mreže in njihova predstavitev (zapis v računalniku) . Ravninska mreža je splo šnejši pojem od mreže površine telesa. Najprej sem napisal nekaj programov za risanje ravninskih mrež. Bralca, ki ima na razpolago logo .vabim, da programe preizkusi. Programi so napisani za Atarijev logo, ne bo pa jih težko prevesti v drugačne različice loga. 100 TOR:S TO RIS:S TORISO :S TOKOT :N TOS:K TO BESEDI LO :B TORB :S TO OSNOVNICA TO BESEDILO :B P U SETPaS [-300 -150] SETTEXT4 PD TT :B SETTEXTO END ... riše mrežo s predstavitvijo :S ... riše mrežo ... pomožni program za risanje mreže ... kot pri :N-kotniku ... dolžina stranice ... Napiše besedilo:B pod sliko ... Nariše sliko z besedilom vred ... S puščico označi osnovnico TO RISO :S:N RTKOT:N IF EMPTYP :S [ST OP] PU FD :KORAK RT 180 PD RIS FIRST :S RT 180 RISO BF :S :N END TOR :S es HT OSNOVNICA RIS .s END TO RIS :S FD :KORAK IF EMPTYP :S [BK :KORAK S RISO :S 1 +COUNT :S END TO OSNOVNICA FD 10 RT 160 FD 10 BK 10 LT 160 BK 10 END TO KOT :N OP 360 /:N END TOS :K MAKE "KORAK :K END TO RB :S :B R:S BESEDILO :B END Slika 3. Mrežo narišemo s programom RB, ki zbriše zaslon, na riše mrežo in na njej označi osnovnico, pod sliko pa napiše še ustrezno besedilo. Če pa je mreža le del slike, jo lahko na rišemo s programom RIS. Pred tem moramo s programom S določiti dolžino stranice. 101 Ker je "peš" težko konstruirati zamotane mreže, sem izdelal še nekaj osnovnih programov za sestavljanje mrežo Najprej pa točno povejmo, kaj je ravninska mreža. Definiramo jo takole: Ravninsko mrežo lahko dobimo na dva na čina , (1) Lahko je pravilni ll-kotnik. (2) Lahko pa jo dobimo tako, da zlepimo dve stranici na obodu dveh ravninskih mrež. Ravninsko mrežo smo definirali samo s seboj. Taki definiciji pravimo induktivna ali rekurzivna definicija, Stranice na obodu so ravno tiste stranice mreže, ki jih še nismo uporabili pri lepljenju. Zdaj vemo, katere programe za konstrukcijo mrež potrebujemo. Potrebujemo program, ki sestavi mrežo pravilnega mnogokotnika, Potrebujemo pa tudi program, ki lepi dve mreži. To pa še ni vse, Če ne želimo lepiti mrež vzdolž trenutnih osnovnic, potrebujemo še program, ki "premakne" osnovnico, To pomeni, da namesto izbrane osnovnice izbe re sosednjo stranico na obodu mreže. TODG :S:T TOLG:S :T TOD:S TOL:S TON:N oo. zlepi mreži :S :T vzdolž izbrane osnovnice 0 00 zlepi mreži :S :T vzdolž izbrane osnovnice 000 osnovnico mreže :S premakne za eno v desno 0 00 osnovnico mreže :S premakne za eno v levo 0 0 0 sestavi mrežo pravilnega :N-kotnika. T ODG:S :T tr EMPTYP :S [OP :T ] tr EMPTYP :T [OP :S] OP DG FIRST:S LP UT :T BF :S END TOLG :S :T rF EMPTYP :S [OP :T] tr EMPTYP :T [OP :S] OP LG FPUT :S BL :T LAST :T END TOL :S rF EMPTYP :S [OP [lJ OP LG FP UT [] BL :S LAST :S END TON :N IF :N = 1 [OP [lJ OPFPUT []N :N- l END TOD :S IF EMPTYP :S [OP []] OP DG FIRST :S LPUT [] BF :S END Slika 4. Osnovni programi za konstrukcijo ravninskih mrežo 102 Programa DG in LG se ločita le po tem, kako izbereta novo osnovnico na zlepljeni mreži. Kasneje sem uporabljal le program DG . Pazljivi bralec bo opazil, da potrebujemo program LG v programu L. Očitno je, da lahko s programi na sliki 4 sestavimo poljubno ravninsko mrežo, torej tudi vse mreže pravilnih teles. Problem je v bistvu rešen. Za prijetno delo pa kljub temu še marsikaj manjka. To sem opazil , ko sem poskusil konstruirati mrežo tetraedra (glej sliko 5). Mrežo tetraedra sestavljajo štirje trikotniki. Pri drugih zanimivih mrežah pa potrebujemo kvadrate, petkotnike, šestkotnike, osemkotnike. // <. '''''........ <,"<,,'-,,'- '/.."-// // Tetri/eder %od(if !Jlitoeder Slika 5. Mreže pravilnih teles: (a) tetraeder, (b) kocka, (c) oktaeder, (d) dodekaeder, (e) ikozaeder. Zato sem napisal nekaj kratkih programov. Pri risanju mreže tetraedra bi bilo ugodno 'imeti na razpolago program, ki bi na stranice srednjega trikotnika nalepil preostale tri trikotnike. To idejo lahko uporabimo tudi pri risanju mreže dodekaedra. Tam moramo podvojiti mrežo iz petih petkotnikov, ki smo jih nalepili na stranice šestega. Pogosto moramo osnovnico pred lepljenjem prestaviti kar daleč v levo ali desno. Tako so nastali programi s slike 6. 103 Pol!eKiJel!er TOT TOQ TOP TOH TOO TO DEC TOCC :S TOLL:N :S TODD :N :S TOGG :N :K:S TODB:S TO ROZA :8 :T :N TORZ:S :T TOAT :S :T :L IkoriJel!er ... trikotnik .oo kvadrat oo. petkotnik oo' šestkotnik oo.osemktonik oo. desetkotnik oo. obseg ... osnovnico :N krat v levo .oo osnovnico :N krat v desno oo . :N krat nalepi :S nase, pri tem skače po :K ... podvojiS .oo ria :N zaporednih stranic :T nalepi primerek :S .oO na vsako stranico :T nalepi primerek :8 oo. na :S nalepi večkrat :T. Pri tem določa seznam števil :L razrnike in COUNT :L je število primerkov :T, ki jih lepimo. (program se nadaljuje na naslednji strani) 104 TOP OP N 5 END TOH OP N 6 END TOO OP N 8 END TO DD:N :S IF :N =O[OP :S] OP DD :N - 1 D :S END TO LL:N :S IF :N =O[OP :S] OP LL :N - 1 L :S END TOCC :S IF EMPTYP :S [OP 1] OP ( + CC FIRST :S CC BF :S) END TO ROZA :S :T :N IF :N =O[OP :T] MAKE "ROZA ROZA :S :T :N - 1 : OP DG :ROZA :S END TORZ :S :T OP ROZA :S :T CC :T END TODB :S OP DG :S :S END TO AT :S :T :L IF EMPTYP :L [OP :S] MAKE "TEMP DG :T LL FIRST :L :S OP AT :T EMP :T BF :L END T O DEC OP N 10 END TOQ OP N 4 END T O GG: N :K :S IF :N =O [OP []] OP DO :K DG :8 GG :N - 1 :K :8 END TOT OP N 3 END Slika 6. Nekatera lica, ki jih v mrežah pogosto potre bujemo. Pomožni programi za konstrukcijo mrež . Zdaj pa ni bilo več težko sestaviti mrež pravilnih teles. 105 TO TETRAEDER TO KOCKA TOOKTAEDER TO DODEKAEDER TO IKOZAEDER TO KINO oo. program, ki zaporedoma riše mreže teles. TO KOCKA OPDG LLRZQQQ END TOOKTAEDER OPDB DOG O OG TT OG TT END TO DODEKAEDER OPDB DRZPP END TO IKOZAEDER OPDB LLRZDGTDBTT END TO KINO S60 RB TETRAEDER" Tetraeder S50 RB KOCKA" Kocka RB OKTAEDER "Oktaeder S30 RB IKOZAEDER" Ikozaeder RB DODEKAEDER" Dodekaeder END TO TETRAEDER OPRZTT END Slika 7. Programi za konstrukcijo mrež petih pravilnih teles. Z orodjem, ki ga imamo zdaj na razpolago, se lahko lotimo sestavljanja in risanja drugih zanimivih mrež. Pri velikih mrežah je v mojem računalniku včasih zmanjkalo prostora. Včasih sem si pomagal tako, da sem shranil vmesne rezultate, ki so seveda predstavitve mrež. To naredimo tudi takrat, ko nameravamo večkrat risati isto mrežo. Tako postane risanje precej hitrejše. Tako na primer namesto R KOCKA, raje napišemo MAKE "KOCKA KOCKA R:KOCKA Kogar zanima, kako je shranjena mreža kocke v logu, pa lahko doda še ukaz PR : KOCKA. Lahko pa napiše RB : KOCKA: KOCKA. 106 Na sliki 8 so nekateri programi, ki konstruirajo ravninske mreže, na sliki 9 pa so narisane te mreže. TO KUBOKT MAKE "KBK D RZ L DG T QT OP DG D :KBK :KBK END TOOBRTET OP DB D D DB L DG T H END TO OBRKUBOKT Oprl END TOIKOZIDO MAKE "PTTL L DGT D DG TP MAKE "HICO L L RZ :PT T P OP DG :HICO L :HICO END TO OBRKOCKA TO ROMBKUBOKT OP DB L L AT O L AT O T [O 2] [O 2] OP ATT RBCOC C [3 13] END END TOOBROKT OP DB DD 6 DG H LL 3 AT DG H D DG H H Q [1 54] END TO VELIKI MAKE "VV DG Q DD4 DG H DG DEC DD DG QDD 3 DG H Q MAKE "VVV DD 13 AT DEC :VV [22222] OP DG D D :VVV :VVV END TO FILM S 30 RB OBRTET [Obrezani tetraeder] RB KUBOKT [Kuboktaeder] RB OBRKOCKA [Obrezana kocka] RB OBROKT [Obrezani oktaeder] S 20 RB OBRKUBOKT [Obrezani kuboktaeder] RB IKOZIDO [Ikozidodekaeder] SlO RB VELIKI [Obrezani ikozidodekaeder] END Slika 8. Programi za nekatere mreže. 107 Na tem mestu smo dolžni nekaj pojasnil. Pojem" obrezanega" telesa je intuitivno jasen. Pomeni, da izbrano telo popravimo tako, da ga v bližini vsakega oglišča presekamo z ustrezno izbrano ravnino in tako" odrežemo" oglišče. Pri kocki na ta način za vsako oglišče dobimo enakostranični trikotnik. Iz kockinih ploskev pa dobimo pravilne osemkotnike. Seveda si lahko tako obrezovanje zamislimo bolj radikalno, tako da od originalnih robov telesa nič ne ostane. Če takšno radikalno obrezovanje naredimo na kocki, dobimo telo, ki smo ga tu poimenovali kuboktaeder. Običajno pri programiranju za imena programov jemljemo daljše opisne izraze. Mi pa smo s T označili trikotnik, s Q kvadrat, L je premik v levo, D je premik v desno , itd. To je res v nasprotju z omenjenim načelom. Če pa pogledamo, kje in kako te programe uporabljamo (glej na primer program OBRTET na sliki 8), pa vidimo, da smo na ta način pregledno zapisali dokaj zamotane konstrukcije. Navsezadnje pa je končna izbira imena stvar programerjevega okusa. 108 IJDr~Ični iiozft!ot!e/(t!etfer Slika 9. Slike mrež, ki smo jih sestavili s programi na sliki 8. Zadnji med njimi je ravninski vzorec. Na njem so nekatera lica narisana večkrat. Če programe iz slike 8 pokličerno iz programa FILM, lahko pripravimo računalniško predstavo. Če priznam po pravici, do danes še nisem nobene od narisanih mrež zares uporabil za konstrukcijo papirnatega modela. Na mizi imam napol zlepljen majcen dodekaeder. Očitno se je treba konstrukcije pravih papirnatih modelov lotiti na pametnejši način, na primer tako, kot svetujejo v knjigi, ki sem jo omenil na začetku . Zadnje čase me preganja misel, da bi raje z računalnikom narisal njihove Jvorazsežne projekcije. Vendar se bojim, da bom pri tem problemu zaradi lenobe raje segel po papirju. Tomaž Pisanski PlOSCINA TR IKOTNIKA lzračuna] ploščino trikotnika s stranicami: 0, y'13, 06! Dragoljub M. Miloševic 109 Becklake S., VESOLJE - zvezde, planati in vesoljske ladje, Domus in Mll!dinska knjiga, Ljubljana 1989,64 strani, velik format; prevedla Irena Struna Arko. V zbirki priročnikov za otroke Okno v svet založb Domus in Mladinske knjige je v prevo- du Irene St rune-Arko izšla prikupna poljudnoznanstvena knjigaS . Becklake, VESOLJE- zvezde, plsnet! in vesoljske ladje. Knjiga pripoveduje o tem, kaj vse je človek doslej že odkril o vesolju in kako ga raziskuje danes. Opisuje naš planetni sistem, Sonce, Luno, zvezde in galaksije . Zvemo, kakšne naloge opravljajo umetni sateliti in vesoljske ladje in kakšno je življenje astronavta v vesoljskem plovilu. S podatki -o najnovejši tehnologiji in nazornimi ilustracijami nam knjiga preprosto, a na strokoven način približa zanimiva po- dročja astronomije in astronavtike, to je temo, ki je človeka že od nekdaj vznemirjala in burila njegovo domišljijo. Nekaj naslovov posameznih poglavij : Natančnejši pogled na nočno nebo; Kako delujejo umetni sateliti; Planet Zemlja; Astronavtske obleke; Človek na Luni; Preučevanje Sonca; Najbolj vroči planeti; Odkrivanje zunanjih planetov; Življenje in smrt zvezde; Črne luknje; Nevidna astronomija; Začelo se je z velikim pokam; Naša prihodnost v ve- solju; Nebesne karte. . Knj iga je izredno estetsko oblikovana. Pisana je živahno, privlačno, razumljivo, jedrnato . Posebno bogat in dobro prikazan je ilustrativni del. Zaradi teh odlik lahko snov v knjigi razume že učenec nižjih razredov osnovne šole. Knjigo priporočam vsem, ki se zani- majo za astronomija in novejša astronavtska dognanja, posebno matematično fizikalnim krožkom pa tudi šolskim in drugim knjižnicam . Marijan Prosen NAROČILNICA - DOMUS Nepreklicno naročam knjigo VESOLJE - zvezde, planeti in vesoljske ladje po ceni 312 .000 din. Znesek bom poravnal po prejetju računa: a) Posebna ponudba za naročn ika "Preseka": v enkratnem znesku z 20% . popustom - 249 .600 din b) v dveh obrokih po 156.000 din (ustrezno obkroži) Knjigo pošljite na naslov: Ime in priimek Ulica " _. . . . Kraj Reg. št. os. izk. . . Naročilnica zavezuje založbo in kupca. Naročilnico izrežite in pošljite na naslov: DOMUS, Kardeljeva 2/111, 61001 LJUBLJANA Poštna številka izdana v . __ . ODKRITJE PULZARJA V OSTANKU SUPERNOVE 1987 A ( . ) .... " Astronomi, ki so opazovali na štiri metrskem daljnogiedu mednarodnega obser- vatorija pri Cerro Tololu v Čilu, so 18. januarja 1989 odkrili pulzar v ostanku supernove v Magellanovem oblaku. Njeno eksplozijo opazujejo od februarja 1987 (glej Presek letnik 16, št. 1). Iz pr ibl ižno sedmih ur opazovanja so ugoto- vili , da utripa pulzar s frekvenco 1968,629 S-l . Hitrosti , s kat ero se zmanjšuje ta frekvenca, pa še niso izmer ili . Sij pulzarja v vidnem području se je med sedemurnim opazovanjem spreminjal med 18. in 19. magnitudo. Če upošte- vamo razdaljo do pulzarja, to pomeni, da seva v vidnem področju približno stokrat več kot Sonce. Prav verjetno je, da je pri tem pulzarju vidno sevanje le majhen del vse oddane energije za razliko od Sonca, kjer predstavlja vidno sevanje približno 30 odstotkov vse oddane energije. Frekvenca pulzarja je izredno visoka. Zato še vedno preverjajo, če niso morda zamenjal i vmesnega pulza za ponov itev osnovnega. Taka pomota bi pripisala pulzarju dvojno fre - kvenco . Ponoven poskus opazovanja z 2,5 metrskim daljnogledom v Las Campanasu dne 31. januarja 1989 ni uspel. Daljnogled bi mogel zaznati pulzar, če bi imel sij 20 . magnitud , kar pa je 2,5 krat manj od najšibkej šega sija 19m izmerjenega pri Cerro Tololu. Prvo odkritje rojstva pulzarja je za astronome zelo vesel dogodek. Saj so tak pojav že nekaj let napovedovali kot možen, nihče pa ni mogel predvide- vati, da ga bomo opazovali že tako kmalu. Zato si bom kljub skopim podatkom privoščil nekaj komentarjev. Pulzarje poznamo že dobrih dvajset let (odkriti 1967) . Kmalu po odkritju se je uveljavila hipoteza, ~- 10 ,1) da so pulzarji nevtronske zvezde, ~ ki ostanejo po eksplozij i supernove (glej Presek letnik 3, št . 4). Mnogi po- javi so kazali na obstoj močnih ma- gnetnih polj na pulzarjih , zato ni bilo težko pojasniti radijskega utripanja z elektromagnetnim vplivom hitro vrte - čega se magneta na okoino snov. Ma- gnetno zaviranje vrtenja se opazi kot upočasnjevanje pulzarja in ta pojav 10. 18 L-~~~_-L_ _--'-_---'---_-' so pri pulzarjih tudi v resnici opazili. U.Ol 0 . 10 1.0 10 .U Na sliki iz leta 1985 so zbrani re- vrtiIna doba (s) zultati meritev za 256 pulzarjev v diagramu vrtiina doba ( s) - podaljše- ------- ---------- 111 vanje vrtiine dobe v sekundi (S.S-I). Iz tega diagrama je razvidna določena ko- relacija (statistična zveza) med vrtilno dobo pulzarja in hitrostjo podaljševanja te dobe. Pulzarjem, ki se hitro vrtijo, se vrtiina doba v splošnem mnogo hitreje podaljšuje kot počasnejšim pulzarjem. To lahko tudi pričakujemo, če po- mislimo, da raste navor magnetnega zaviranja z visoko potenco hitrosti vrtenja. Vidimo pa tudi, da zveza ni enolična, kar verjetno kaže, da jakost magnetnega polja ni enaka za vse pulzarje. Na žalost, novega pulzarja še ne moremo vrisati v diagram na sliki, ker še niso izmerili daljšanja vrtiine dobe (za to je potreben daljši čas opazovanja) . Vendar nam že sam podatek o njegovi vrtiini dobi (to je l/frekvenca - 500 lIS) namiguje, da ta pulzar precej odstopa od skupine dosedaj znanih. Po hitrosti vrtenja bi ga raje uvrstili v drugo vrsto med tako imenovane milisekundne pulzarje: nekatere njihove predstavnike so odkrili pred približno tremi leti. Vendar pa nastanek najnovejšega pulzarja ni v skladu s predstavami o naravi milisekundnih pulzarjev. Ti naj bi po mnenju astronomov imeli tako velike hitrosti zato, ker so v tesnem paru s še eno zvezdo, ki jim stalno dodaja snov. Tirna vrti Ina količina vpadajoče snovi, ki je velika, naj bi se tako prelivala v vrtilno količino pulzarja. Za tak mehanizem je na novo odkritem pulzarju malo prostora. Zato lahko s precejšnjo gotovostjo pričakujemo, da bo novi pulzar precej spremenil našo sliko o naravi teh nenavadnih zvezd. Andrej Čadež UMETNOST V VESOUU V celotnem vesolju umetnosti ni. Kako to? Enostavno! Vesolje je neskončno veliko. Naloga umetnosti pa je, da drži zrcalo naravi, takega zrcala pa glede na neskončnost vesolja enostavno ni. Torej, ... KAJ JE TO NESKONČNO Neskončno: Večje kot največja stvar vseh časov pa še malo. V resnici še mnogo večje kot to, prav fantastično velikansko, totalno gromozansko, vrste 'uf, to pa je!'. Neskončnost je tako velika, da je v primerjavi z njo velikanskost prav cuckana. Orjaško kral velikansko krat gromozansko, nekaj takega vam skušamo dopovedati. Iz knjige D.Adams, Restavracija ob koncu Vesolja izbral Matija Lokar 5. ŠOLSKO IN 15.IZBIRNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ MATEMATIKE V šolskem letu 1988/1989 smo šolsko tekmovanje srednješolcev iz matematike prestavili na december. Že 16. decembra so se na nenaravoslovnih šolah učenci spoprijeli z naslednjimi nalogami: Prvi letnik 16 N 11 15 12 3. Če v magičnem kvadratu sešte- jemo števila v poljubni vrstici, poljubnem stolpcu ali poljubni diagonali, dobimo enak rezultat. Kolikšno naj bo število N, da bo kvadrat na sliki magičen ? 1. Pokaži, da je razlika četrtih potenc poljubnih dveh zaporednih lihih števil deljiva s 16. 2. Pri kakšnih naravnih številih a in b je (a - l)/(b - 1) za 1 večje oda/b? 4. Dan je pravokotnikA BCD, ki ima straniciAB = 10 cm in BC =8 cm. E naj bo središče stranice AB, F pa poljubna točka na stranici CD. Presečišče daljice AF z zveznico središč stranic BC in AD označimo z G. Kolikšna je ploščina lika, ki ga dobimo, če iz pravokotnika izrežemo trikotnik EBG ? Drugi letnik 1. Pri pouku telesne vzgoje so ugotovili, da je v skupini dvajsetih fantov vsak v povprečju težak 62 kg. Če se fantom pridruži še učitelj , je v večji skupini vsak v povprečju težak 63 kg. Koliko tehta učitelj? 2. V pravokotnem trikotniku ABC razdelimo hipotenuzo AB s štirimi točkami na 5 enakih delov. Naj bo D točka, ki je najbližja A, in E točka, kije najbližja B . Določi število k v izrazu CD 2.+ CE2 = k AB2. 3. Iz oglišča C kocke s spodnjo osnovno ploskvijo ABCD in zgornjo 113 osnovno ploskvijo A 'B'C'D' potegnemo vektor CE do točke E na diagonali A'C' tako, da je CE pravokoten na telesno diagonalo A C'. Kolikšen je kvocient dolžin daljiceA'E in diagonaleA'C' ? 4. Pokaži, da je v tetraedru zveznica te žišč dveh mejnih ploskev vzporedna z enim od robov tetraedra. Tretji letnik 1. V pravokotniku ABCD naj bosta E in F zaporedoma razpolovišči stranic CD in DA, G pa prese čišče daljic AE in CF. Poiš či razmerje ploščin štirikotnika ABCG in trikotnika FCD. 2. Enakokraki pozitivno orientirani trikotnik ABC z osnovnico AB ima oglišča na paraboli y = -x 2/2, eno od oglišč je v njenem temenu. Izračunaj ploščino tega trikotnika, če veš, da ima oglišče Benaki neni čelni koordinati. 3. Reši enačbo log3x3 + log3.[X = 5 + logj,r . 4. Poiš č i vse rešitve enačbe log7(6 +TX) = 1 + x . 5. Predstavniki mest A in B, ki sta med seboj oddaljeni 3 km, so se dogovorili, da bodo zgradili novo šolo, ki jo bo obiskovalo 100 učencev iz mesta A in 50 učencev iz mesta B. Želijo, da bi vsi učenci skupaj prehodili dnevno čim krajšo pot. Koliko naj bo šola oddaljena od kraja A ? (MestiA in Bobravnavaj kot točki.) Opomba: Peta naloga ni bila obvezna. Četrti letnik 1. Graf polinoma p(x) = a x 7 + b x J + cx - 4 gre skozi točko T( -7,3). Utemelji odgovor na vprašanje, ali lahko izračunamop(7) (izračunaj to vrednost, če se da). 2. Kolikšen kot oklepata tangenti, ki ju iz koordinatnega izhodišča postavimo na krožnico x 2 +Y 2 - gy + 12 = O ? 3. Reši enačbo j cos2x + ~ + j sin2x + ~ = 2. 4. Na igrišču je Miha narisal velik koordinatni sistem. Enoto je izbral tako, da je njegov korak meril v dolžino f2 enote. Postavil se je v izhodišče in začel svojo pot takole: napravil je korak do točke (1,1), se prvič ustavil, obrnil za 900 v levo, napravil dva koraka, se drugič ustavil, obrnil spet za 114 900 v levo, napravil tri korake, se tretjič ustavil, obrnil za 900 v levo, ... V kateri točki se je stotič ustavil? Kolikšno pot je do tedaj prehodil ? V soboto, 18. marca 1989 so poskušali vsi, ki so se želeli uvrstiti na republiško tekmovanje, rešiti čimveč izmed naslednjih nalog: Prvi letnik 1. Določi najmanjše naravno število 11 >1, ki je kvadrat, kub in sedma potenca. Koliko mest ima to število? 2. Pokaži, da izraz 11 2 + 311 + 5 ni deljiv s 121 pri nobenem naravnem številu 11. 3. Dana je poljubna petokraka zvezda (na sliki je en primer). Kolikšna je vsota kotov z vrhovi v točkah A,B,C,DinE? 4. Mali matematik Matjažek je s kockicami LEGO sestavljal razne like in telesa. Ko je sestavljal kvadrate, mu je vedno nekaj kockic ostalo ali pa zmanjkalo. Podobno se mu je dogajalo, ko se je poskušal v oblikovanju večjih in manjših kock. Dedku je povedal: 'Če bi mi oče kupil še enkrat toliko kockic, bi lahko ravno sestavil kvadrat, če bi mi pa še mama kupila toliko kockic kot oče, bi jih imel ravno prav za oblikovanje kocke.' Dedek se je nasmehnil in dodal: 'Število kock, s katerimi se igraš, je najmanjše mogoče, da velja, kar si mi povedal.' Koliko kockic je imel Matjažek? Drugiletnik 1. Dani sta različni pozitivni števili a in b. Kaj je več: .s:-..ra ali lb _.J!.- ? lb ..ra 2. V trikotniku ABC naj bosta Bl in Cl nožišči višin na A C oziroma AB ter O središče trikotniku očrtane krožnice. Pokaži, da je zveznica A O pravokotna na B 1Cl . 115 3. Kroga naj se dotikata od zunaj v točki C (tako da je presek njunih notranjosti pr azen). Skupna tangenta naj se dotika prvega kroga v točki A in drugega v točki B (A in B naj bosta različni točki ). Pokaži, da je kotA CB pravi. 4. Košarkarski ekipi iz Osme in Devete dežele sta se doslej pomerili na 11 tekmah , ki jih izmenično organizirajo veni in drugi deželi. Kar pet krat so bili gostje uspešnejši, trenutno pa s 7:4 v zmagah vodi moštvo iz Osme dežele. Kje bo dvanajsta tekma? Tretji letnik 1. Dokaži, da je 1 1 1 11-1 1 2 -1--..-------1 4 + 1 4 1 8 +oo. + 1 2n -11 2n = --(-12)ogx<· og-, ogx ogx ogx ogx Il ogx 2. Pokaži, da v po ljubnem trikotniku velja: ) a + b - c a+b a 2 _1 + _L + _1.. =_li.. 8\ 8\ 82 83 6 velja 8\ « 3, torej 8\ E 2,3. Če je 81 = 2, dob imo _Z- > _1.- + _L = _1.- 82 82 83 3 odkoder sledi 82 E 3, 4, 5 . Od vseh treh možnosti za 82 je v tem primeru dobra le 82 = 4. Če pa je 81 = 3, na podoben način kot prej vidimo, da velja 82 < 4, kar pa za dobro rešitev ni mogoče. Torej je 81 = 2, 82= 4,83 = 12 edina dobra rešitev enačbe E3 (5/6) . Z njeno pomočjo lahko konstruiramo re· šitve enačbe E4 (5/6). Nekaj jih zabeležimo v naslednjo preglednico x y z t x y z x y z t ----------- ----------- ----------- 2 4 13 156 2 4 20 30 2 5 12 20 2 4 14 84 2 4 21 28 2 6 7 42 2 4 15 60 2 5 8 120 2 6 8 24 2 4 16 48 2 5 9 45 2 6 9 18 2 4 18 36 2 5 10 30 2 6 10 15 2. Odgovor: R2(1 /2) = R2(1 /3) = R2(1 /5) = 1..R2(1 /4) = 2, RJ1 /6) =4. 3. Enačbo E2 (1/k), 1 < k E IN, vedno reši par 119 al =k + 1, a2 =k (k + 1I torej je R 2 (1 / kI ~ 1. Če je število k sestavljeno, ga lahko zapišemo v obliki k =pq, kjer je 1 < p E IN in 1 < q E I'J. Enačba E 2 (1 / kI ima tedaj vsaj dve dobri rešitvi al =pq + 1, a2 =pq (pq + 1I al =P ( q + 11. a2 = pq ( q + 1I torej velja R 2 (1/kI = 1 kvečjemu, če je k praštevilo. Naj bo zdaj k praštevilo in naj velja _L + _L = _L; 1