LES wood 52 (2000) 4 Raziskave in razvoj 103 UDK: 658.51 Pregledni znanstveni ~lanek (Preview Scientific Paper) Na~rtovanje fleksibilnih proizvodnih sistemov s teorijo ~akalnih vrst Planning of flexible manufacturing system with queueing theory Mirko TRATNIK* Izvle~ek Abstract V prispevku je prikazan na~in preu~evanja proizvodnih In the article the method of investigating of flexible manufacturing sistemov s teorijo ~akalnih vrst za proizvodna sistema z system with queueing theory for the manufacturing systems with one enim in ve~ stre`niki, z neskon~no veliko populacijo strank and many servers, with infinite customer population and example of in primer enostavnega fleksibilnega proizvodnega sistema simple flexible manufacturing system with one server and finite cus-z enim stre`nikom in kon~no veliko populacijo strank. tomer population is presented. Klju~ne besede: teorija ~akalnih vrst, populacija strank, Keywords: queueing theory, calling population, server, service stre`nik, sistem stre`be, fleksibilni proizvodni sistem mechanism, flexible manufacturing system l.UVOD s paleto z vpetim obdelovancem za teorije čakalnih vrst.. Pri tem so palete strežbo obdelovalnih strojev. Z FP- z vpetimi obdelovana “stranke” siste- Fleksibilni proizvodni sistem, FP-sistem sistemom lahko obdelujemo obdelo- ma, ki “čakajo, da bodo prišle na (an. Flexible Manufacturing System, vance, ki zahtevajo raznovrstne delo- vrsto za obdelavo”, CNC stroji in FMS) tvori določeno število numerično vne operacije v poljubnem zaporedju, transportne naprave za vlaganje ob- krmiljenih strojev, ki so medsebojno pripravljalno zaključni časi pa so za- delovancev, ki jih obdelujemo na povezani z avtomatiziranim transport- nemarljivo kratki. CNC strojih, in naprave za odlaganje nim sistemom, vse komponente siste- gotovih obdelovancev - izdelkov, pa ma pa so računalniško krmiljene. Ko se odločamo za investiranje, tj. so “strežniki” sistema. Orodje, ki ga potrebujejo posamezni vlaganje sredstev v FP-sistem, je te- stroji za opravljanje delovnih, kontrol- meljno merilo sprejemanja odločitve 2. TEORIJA ČAKALNIH VRST nih in montažnih operacij, pa je obi- ocena razmerja med prihodnjim do- čajno locirano v neposredni bližini nosom (dobičkom, pozitivnim denar- Problem čakanja, da pridemo na vrsto strojev (takšno skladišče orodja lahko nim tokom) in sedanjim vložkom sred- pred bančnim okencem, da opravimo vsebuje od 10 do 200 raznovrstnih štev v izbrani FP-sistem po načelu bančno storitev (plačamo račune), ko orodij). Avtomatizirana menjava orod- neto sedanje vrednosti prihodnjih do- naročamo obrok v restavraciji, da ja omogoča, da lahko delovne opera- nosov. Predhodno moramo oceniti, smo postreženi s hrano in pijačo, da cije, ki jih opravljamo na posameznih katere vrste izdelkov in v kakšnih koli- pri zobozdravniku pridemo na vrsto za strojih, zelo hitro spreminjamo. Zame- činah nameravamo izdelovati na FP- zobozdravstveno storitev, ali ko obde- njava običajno traja samo nekaj se- sistemu, iz delovne dokumentacije pa lovanec čaka pred obdelovalnim stro- kund in čas zamenjave ponavadi ni povzeti potrebno število, vrsto in jem zaradi opravljanja delovne opera- daljši od časa, ki je potreben, da na- zahtevano zaporedje operacij, ki jih cije, so primeri, ki jih lahko preučuje- ložimo nov računalniški program za mora posamezni obdelovanec preiti mo z uporabo teorije čakalnih vrst krmiljenje stroja za naslednjo delovno od stroja do stroja (lahko se tudi več- (an. queueing theory). Čakalne vrste operacijo. Na sliki 1 je skica FP-sis- krat vrača na isti stroj). Na temelju teh se tvorijo običajno takrat, kadar tema, ki ga sestavljajo trije CNC ob- podatkov skušamo določiti število po- “stranke” vstopajo v sistem, kjer pote- delovalni stroji in transportna naprava trebnih CNC strojev, število vpenjalnih ka “strežba” po nekem določenem naprav, določiti potrebna vmesna vrstnem redu. Pri obravnavi proizvod- * Bith"c tv R`n skladišča (tudi njihovo velikost), zmog- nih in podjetniških primerov stranke dolina r. C VIII/34 {k 1000 Lju etaMana Sbi^ "' "* Ijivost transportnih naprav itd. FP- niso ljudje, lahko so naročila kupcev, E-mail: mirko tratnik® uni-lj.si , sisteme lahko analiziramo z uporabo ki morajo biti izpolnjena, lahko so LES wood 52 (2000) 4 Raziskave in razvoj 104 Slika 1. Shematski prikaz FP-sistema (prirejeno po Neumann, 1996) kamioni, ki ~akajo, da bodo nanje nalo`ili tovor, lahko je strojna oprema v okvari, ki ~aka na popravilo itd. Zna~ilnost sistema ~akalnih vrst je v tem, da stranke vstopajo v sistem na-klju~no, torej v naklju~nih ~asovnih intervalih (~asovnih razmikih) in da je ~as stre`be strank praviloma zelo variabilen, kar pomeni, da stre`ba strank traja razli~no dolgo (npr. nekateri pacienti pri zobozdravniku potrebujejo samo kratek poseg, kakršen je ruvanje zoba, ki traja samo minuto, pri drugem pacientu pa lahko traja zobozdravstveni poseg celo uro). Proti pri-~akovanjem imamo pri oblikovanju ~akalnih vrst opravka s sistemom, ki te`i k nezasedenosti. Vzemimo npr. samopostre`no restavracijo, ki lahko na uro postre`e 250 gostov (strank), iz izkustva pa vemo, da znaša npr. pov-pre~no število naro~il le 180 na uro; poudarek je v tem primeru na pov-pre~ju, sistem pa je lahko kratkoro~-no preobremenjen ali pa tudi nezaseden. V primeru, da ~asi prihodov strank v sistem niso naklju~ni (so npr. lahko planirani), ali pa ~e so ~asi stre`be konstantni, so analiti~ni prijemi druga~ni. Cilj analize ~akalnih vrst je v bistvu iskanje najni`jih skupnih stroškov sistema. Gre za dve temeljni kategoriji stroškov. Prva kategorija so stroški, ki jih imajo stranke zaradi ~akanja, da pridejo na vrsto, kot so npr. stroški poslovnih izgub (ker bi lahko stranke namesto, da ~akajo na vrsto oz. v vrsti, po~ele kaj koristnega), stroški npr. porabljenega goriva letal za ~as, ko kro`ijo nad letališ~em in ~akajo na dovoljenje za pristanek, ipd. Druga stroškovna kategorija pa zajema stroš- ke opreme za stre`bo strank (stre`na oprema, stre`niki), kot so npr. ban~na okenca, specializirani vzdr`evalci strojne opreme, obdelovalni stroji v proizvodnem sistemu ipd. Sistem skušamo zasnovati tako, da bodo skupni stroški, tj. stroški, ki jih imajo stranke zaradi ~akanja, da pridejo na vrsto, in stroški stre`ne opreme najni`ji. Najpomembnejše zna~ilnosti sistema ~akal-nih vrst so: vhodni vir strank, ki vstopajo v sistem, sistem stre`be (število stre`nikov, stre`nih mest, stre`nih naprav) in disciplina ~akanja, da stranka pride na vrsto za stre`bo. Stroškovne optimizacije sistema ~akalnih vrst v tem prispevku ne bomo obravnavali. Vhodni vir strank Velikost populacije strank je skupno število strank, ki prihajajo, vstopajo v sistem in morajo biti “postre`ene” (pacienti zdravljeni, stroji servisirani, obdelovanci obdelani itd.). Velikost populacije strank je lahko neskon~na ali pa kon~na. Kadar je število strank, ki vstopajo v sistem ~akalne vrste v ~asovnem razmiku majhno v primerjavi s celotno populacijo, pravimo, da je populacija neskon~no velika (npr. na skladiš~u hlodovine je lahko na zalogi ve~ tiso~ hlodov, od teh pa jih v proces raz`agovanja na tra~nem `a-galnem stroju npr. vstopa samo devet na uro, je populacija hlodov v tem primeru prakti~no “neskon~no velika”, saj potencialno število hlodov, strank mo~no prekaša zmogljivost sistema stre`be). V primeru pa, da je število potencialnih strank omejeno (limitirano), govorimo o kon~no veliki populaciji strank. S takim primerom imamo npr. opravka, kadar je vzdr`evalec strojne opreme zavezan za vzdr`eva-nje natan~no dolo~enega števila strojev, vodja izmene za vodenje dolo-~enega števila delavcev ipd. Pri analizi ~akalnih vrst praviloma domnevamo, da je vhodna populacija strank ne-skon~no velika, ker je reševanje problemov ob tej domnevi enostavnejše kot v primeru kon~nega števila populacije strank. Naslednja obi~ajna domneva pri obravnavi sistema ~akal-ne vrste je, da je vstopanje strank v sistem naklju~no, kar pomeni, da so vstopi (prihodi) strank med seboj neodvisni in jih ni mogo~e z gotovostjo LES wood 52 (2000) 4 Raziskave in razvoj 105 napovedati, fiksno povpre~je števila prihodov strank v ~asovni enoti torej ne zavisi od trenutnega števila strank v ~akalni vrsti. Domnevamo, da lahko prihode strank v sistem ~akalne vrste v enoti ~asa opišemo s Poissonovo verjetnostno porazdelitvijo. Za verjetnostno porazdelitev vmesnih ~asov (vmesni ~as, an. interarrival time), t. j. ~asov med zaporednimi prihodi strank v sistem, pa domnevamo, da je padajo~a eksponentna. ^e je v binomskem poskusu število neodvisnih poskusov “n” zelo veliko, verjetnost “p”, da se pri posameznem poskusu zgodi dogodek, pa majhna, imamo opravka s Poisso-novo verjetnostno porazdelitvijo. Verjetnost za število prihodov strank v enoti ~asa v sistem ~akalne vrste je dana z naslednjo ena~bo Poissonove verjetnostne porazdelitve: Pri tem je n pri~akovano število prihodov strank v enoti ~asa, l srednja vrednost števila prihodov strank v enoti ~asa, e (2,71828...) pa je osnova naravnega logaritma. Pri teoriji ~akal-nih vrst domnevamo, da lahko verjetnostni porazdelitvi vmesnih ~asov prihodov strank v sistem in ~asov stre`be opišemo z eksponentno verjetnostno porazdelitvijo. Ena~ba funkcije P = e-lt opisuje strogo padajo~o funkcijo. Sistem stre`be Zmogljivost sistema ~akalnih vrst je odvisna od števila stre`nih naprav in od njihove zmogljivosti. Pojma stre`nik (an. server) in stre`ni kanal (an. channel) sta sinonima, z enim stre`nim kanalom stre`emo (servisiramo) v do-lo~enem ~asu eno stranko v sistemu. ^as stre`be (an. service time) je ~as, ki je potreben, da je stranka v sistemu “postre`ena” (da je npr. stroj servisiran, da je opravljena ban~na storitev pri ban~nem okencu, da je obdelova-nec obdelan na stroju itd.). Poznamo enokanalne (an. single channel) in ve~kanalne (an. multiple channel) sisteme stre`be. Enokanalni stre`ni sistem je npr. ban~no okence, pred katerim ~akajo komitenti, da opravijo ban~no storitev, ali pa tra~ni `agalni stroj, na katerem raz`agujemo hlode v f Populacija strank /- r Sistem • • • Čakalna vrsta ■> • Strežni! Slika 2. Enokanalni sistem Enokanalni, ^ q enofazni sistem Enokanalni * * večfazni sistem Večkanalni enofazni • • • sistem Večkanalni, večfazni • • • sistem • —► -> • —► -* • • • —► -► ,X -•> <-'---------► -► V4 -•> ,* x ,x -► \ 4-—► * / ' N* v N4 Slika 3. Štiri najbolj pogoste razli~ice ~akalnih sistemov `agarske sortimente. Ve~kanalni sistemi stre`be pa imajo ve~ stre`nikov, ki delajo, tj. stre`ejo vzporedno, hkrati. Primer ve~kanalnega sistema je lahko sistem velike trgovine z ve~ blagajnami. Sistemi stre`be pa se razlikujejo tudi po številu zaporednih korakov oz. faz stre`be. Poznamo enofazne in ve~-fazne sisteme stre`be. Pri enofaznem sistemu stre`be stranka, ko je postre-`ena, zapusti sistem, pri ve~faznem sistemu stre`be pa se stranka, ko je postre`ena na prvem stre`niku, ponovno postavi v vrsto za stre`bo na naslednjem stre`niku itd. Na slikah 2 in 3 so predstavljene sheme nekaterih osnovnih sistemov ~akalnih vrst. V modelu ~akalne vrste predpostavljamo dolo~eno vrsto verjetnostne poraz- delitve ~asov stre`be, za vsak stre`nik posebej, ~eprav praviloma domnevamo, da so verjetnostne porazdelitve ~asov stre`be za vse stre`nike v sistemu istovrstne. Naklju~ne ~ase stre`be obi~ajno opišemo s padajo~o eksponentno porazdelitvijo. V drugih primerih pa tudi s ti. “degenerirano porazdelitvijo”, kjer so ~asi stre`be konstantni (npr. konstantni ~asi obdelave istovrstnih obdelovancev na obdelovalnem stroju) in s ti. Erlang (gama) porazdelitvijo. Disciplina v sistemu ~akanja v vrsti Disciplina v sistemu ~akalne vrste je pravilo stre`be. Obi~ajno pravilo stre`be je: Kdor prvi pride, bo tudi LES wood 52 (2000) 4 prvi postre`en (an. First - Come - First - Served). Veljajo pa lahko tudi druga pravila, kot npr.: Kdor pride zadnji, bo prvi na vrsti. (npr. obdelo-vanec, ki smo ga odlo`ili na vrh palete, bo prvi na vrsti za obdelavo, tj. za stre`bo), lahko pa velja tudi kak druga~en prednostni vrstni red, tj. disciplina sistema (npr. pri okvarah strojne opreme lahko vrstni red popravil upošteva prioriteto odprave okvare najprej pri klju~nih napravah, tam, kjer bi bila lahko povzro~ena škoda najve~ja). ^akanje in oblikovanje ~akalne vrste Teorija ~akalnih vrst obravnava raz-li~ne ~akalne vrste. ^akalna vrsta pred enim ali ve~ stre`niki se oblikuje zaradi tega, ker stranke ~akajo, da bodo postre`ene. Ob~asno je lahko ~akalna vrsta tudi prazna (v tem primeru stre`nik ~aka na stranko). Teorija ~akalnih vrst ne dolo~a oblike vhodne vrste, ki je lahko v resnici vrsta (kakršna se npr. oblikuje pri ~akanju pred ban~nim okencem), ali pa stranke ne ~akajo v vrsti, lahko ~akajo v skupini, da pridejo na vrsto za stre`bo (npr. obdelovanci ~akajo zlo`eni na paleti, da pridejo na vrsto za obdelavo na stroju/stre`niku, ali pa pacienti ~akajo v ~akalnici, da pridejo na vrsto pri zdravniku). Bistvena zahteva je, da za ~akajo~e stranke veljajo pravila discipline stre`be. Teorija ~akalnih vrst operira le s povpre~nim številom ~aka-jo~ih v vrsti in s povpre~nimi ~asi stre`-be strank. Posamezne modele ~akalnih vrst prikazujemo obi~ajno v skrajšani obliki z naslednjim zapisom: oblika porazdelitve vmesnih ~asov prihodov strank v sistem/oblika porazdelitve ~-asov stre`be/število stre`nikov. Zapis ~akalne vrste: M/M/m pomeni, da se vmesni ~asi prihodov strank in ~asi njihove stre`be porazdeljujejo po eksponentni porazdelitvi, kar je ozna~eno s simbolom M, m pa pomeni število stre`nikov v sistemu. Posamezne porazdelitve so ozna~ene z naslednjimi simboli: M = eksponentna (Markovska) porazdelitev, D = degenerirana porazdelitev(kon-stantni ~asi), Raziskave in razvoj E = Erlang porazdelitev (parameter k oblike = k), G = splošna (generalna) porazdelitev, ki je lahko katerakoli poljubno izbrana porazdelitev. Standardna terminologija in simboli, ki jih uporabljamo pri analizi ~akalnih vrst se pri posameznih avtorjih delno razlikuje. Preglednica 1. Terminologija in simboli, uporabljeni pri analizi ~akalnih vrst (Stevenson, 1993) Simbol Pomeni l povpre~no število prihodov strank v ~asovni enoti, m povpre~no število postre`enih strank v ~asovni enoti, L q povpre~no število strank v ~akalni vrsti, ki ~akajo na stre`bo, L s povpre~no število strank v sistemu (~akajo~ih in tistih, ki so v stre`bi), r izkoriš~enost sistema, W q povpre~ni ~as, ki ga stranka porabi za ~akanje v ~akalni vrsti, W s povpre~ni ~as, ki ga stranka porabi v sistemu (~as ~akanja v ~akalni vrsti in ~as stre`be), Vm čas strežbe, P 0 verjetnost, da ni nobene stranke v sistemu, P n verjetnost, da je nstrank v sistemu, M število stre`nikov (stre`nih kanalov), L max najve~je pri~akovano število strank v sistemu. Za neskon~no veliko vhodno populacijo strank v sistemu ~akalnih vrst veljajo naslednje ena~be (formule): Povpre~no število strank, ki bodo po-stre`ene, je razmerje med povpre~nim številom prihodov strank v ~asovni enoti in povpre~nim številom v ~asov-ni enoti postre`enih strank: Opomba: l in m morata biti merjena z enakim merilom (npr. strank na uro, strank na minuto). Povpre~no število strank v sistemu je seštevek povpre~nega števila v vrsti 106 ~akajo~ih strank in tistih, ki so v stre`bi: Ls = Lq + r . [2] Povpre~ni ~as, ki ga stranka porabi za ~akanje v ~akalni vrsti, dobimo, ~e povpre~no število strank v ~akalni vrsti, ki ~akajo na stre`bo, delimo s povpre~nim številom prihodov strank v ~asovni enoti: Povpre~ni ~as, ki ga stranka porabi v sistemu (~as ~akanja v ~akalni vrsti in ~as stre`be): Izkoriš~enost sistema izra~unamo tako, da povpre~no število prihodov strank v ~asovni enoti delimo z zmogljivostjo stre`be: Vsi modeli ~akalnih vrst, ki temeljijo na neskon~no velikem viru vhodne populacije strank predpostavljajo, da je izkoriš~enost sistema manjša od 1,0. Povpre~no število strank v ~akalni vrsti, ki ~akajo na stre`bo, Lq, je klju~-ni parameter sistema ~akalne vrste, ker od njega zavisi u~inkovitost sistema, ki je dolo~ena s povpre~nim številom strank v ~akalni vrsti, povpre~-nim ~asom, ki ga stranka porabi, ko mora ~akati, da pride na vrsto, in povpre~nim ~asom, ki ga stranka porabi v sistemu. V preglednici 2 so predstavljene temeljne ena~be (formule) za izra~una-vanje parametrov sistema ~akalne vrste z enim stre`nikom (M/M/1), osnova analize je zapletena matema-ti~na teorija ~akalnih vrst, v kateri prihod nove stranke v sistem obravnavamo kot “rojstvo”, odhod postre`ene stranke iz sistema pa kot njeno “smrt”. Ta proces rojstvo-smrt (an. birth-and-death process) opisuje verjetnostno spreminjanje stanja sistema ~akalne vrste. LES wood 52 (2000) 4 Raziskave in razvoj 107 Preglednica 2. Ena~be za izra~un parametrov za sistem M/M/1 1993) Parameter Formula Povpre~no število strank v ~akalni vrsti Verjetnost, da ni nobene stranke v sistemu Verjetnost, da je v sistemu n strank ^0 A1 -K *) [6] [7] [8] 3. PRIMERI UPORABE ANALIZE ^AKALNIH VRST 3.1. Model 1: Enokanalni sistem, eksponentna porazdelitev ~asov stre`be Enostavni model ~akalne vrste je eno-kanalni, enofazni sistem z enim stre`-nikom, v katerem velja disciplina “kdor prvi pride, je prvi postre`en”. Naklju~ne prihode strank v sistem lahko opišemo s Poissonovo verjetnostno porazdelitvijo, ~ase stre`be pa z eksponentno porazdelitvijo, vhodna populacija strank je neskon~no velika in dol`ina ~akalne vrste ni omejena. Za reševanje tovrstnih problemov bomo uporabljali simbole in obrazce iz prejšnjih preglednic. Primer 1. Na tra~nem `agalnem stroju raz`aguje-mo hlodovino iglavcev v `agarske sortimente dolo~enih dimenzij. Zaradi zelo variabilnih srednjih premerov, dol`in in kakovosti hlodov se ~asi raz`agovanja hlodov tj. “~asi stre`be” razporejajo po padajo~i eksponentni porazdelitvi, za raz`agovanje enega hloda potrebujemo povpre~no štiri minute (srednja vrednost eksponentne porazdelitve je 4,0 min). Vili~ar dova`a hlodovino na transporter pred tra~ni `agalni stroj v neenakomernih ~asovnih razmikih tako, da domnevamo, da dotok hlodovine do `agalnega stroja lahko dovolj dobro opišemo s Poissonovo verjetnostno porazdelitvijo. ^e vili~ar pripelje na transporter povpre~no devet hlodov na uro, znaša srednja vrednost Poisso-nove porazdelitve 9. Dolo~iti, izra~unati je potrebno: [Stevenson, Q. izkoriščenost, zasedenost sistema; b. odstotek časa, ko tračni žagalni stroj ne dela; c. pričakovano število hlodov, ki čakajo v vrsti pred tračnim žagalnim strojem; d. povprečni čas čakanja hloda pred tračnim žagalnim strojem; e. verjetnost, da ni nobenega hloda v sistemu, in verjetnost, da je v sistemu osem hlodov. Rešitev: p = 9 hlodov na uro (povprečno število prihodov “strank” v časovni enoti) p = l/čas strežbe = l/čas razžago-vanja = hlod/4 min * 60 min / uro = 15 hlodov / uro a.p = A/ mJu= 9 / 1.15 = 0,60 b. Delež časa, ko tračni žagalni stroj ne dela = 1 - p = 1 - 0,60 = 0,40 A2 92 c. Z = —t-------r =—t--------r = 0,9hloda e. Pr f. P, A d. W =^- + -=°'9 • 1 + — = 0,167 ure 3.2. Model 2: Ve~kanalni sistem, eksponentna porazdelitev ~asov stre`be O ve~kanalnem sistemu vrste M/M/m govorimo, kadar sta v sistem vklju~e-na najmanj dva ali ve~ stre`nikov, ki neodvisno drug od drugega stre`ejo ~akajo~im strankam, ko pridejo na vrsto za stre`bo. V modelu predpostavljamo: 1. Poissonovo verjetnostno porazdelitev prihodov strank v sistem, 2. da vsi stre`niki delujejo z enakim povpre~nim ~asom stre`be oziroma z enakim povpre~nim številom po-stre`enih strank v ~asovni enoti, 3. da stranke tvorijo ~akalno vrsto (~a-kajo, da pridejo na vrsto) po sistemu “kdor prvi pride, je prvi na vrsti”, 4. da je vhodna populacija strank ne-skon~no velika. Ena~be za izra~unavanje parametrov ve~kanalnega sistema so bolj zapletene od ena~b za reševanje problemov ~a-kalnih vrst pri enokanalnem sistemu, predvsem ena~bi za izra~unavanje vrednosti Lq in P0 (glej preglednico 3). Preglednica 3. Ena~be za izra~un parametrov za sistem M/M/m (Stevenson, 1993) LES wood 52 (2000) 4 Raziskave in razvoj 108 Primer 2. ^e v proizvodni sistem raz`agovanja hlodov na tra~nem `agalnem stroju iz primera 1 vklju~imo še dodatni tra~ni `agalni stroj, imamo opravka z dvoka-nalnim sistemom stre`be vrste M/M/2. Za l = 9, m= 15 in m = 2 lahko s formulami 9, 10, 11 in 12 izra~una-mo najprej P0, verjetnost, da ni nobene stranke v sistemu nato Lq, povpre~no število strank v ~akalni vrsti Povpre~ni ~as, ki ga stranka porabi za ~akanje v ~akalni vrsti Wq znaša verjetnost, da bo stranka morala ~a-kati na stre`bo PW pa Zamudno izra~unavanje si lahko olajšamo z uporabo tablic. Izsek iz tablic za izra~unavanje vrednosti Lq in P0 pri dani vrednosti kvocienta l/mi n za dano število stre`nikov m (od 1 do 3), za neskon~no veliko populacijo strank je prikazan v preglednici 4. Za naš konkretni primer znaša kvoci-ent l/m = 9/15 = 0,60 in m = 2. Od~itana vrednosti za L = 0,059 in q za P0 = 0,538. 3.3. Model 3: Ve~kanalni sistem s kon~no veliko vhodno populacijo strank Ta model ~akalne vrste uporabljamo v primerih, ko imamo opravka z relativno majhnim številom potencialnih strank, ki jim moramo zagotoviti stre`bo. Na primer, kadar en delavec stre`e trem strojem (število strank, strojev je 3), ali kadar je en vzdr`eva-lec zavezan za vzdr`evanje 20 strojnih naprav (število strank, strojnih naprav je 20). V sistem je lahko vklju~enih tudi ve~ stre`nikov. Tako kot pri modelih, ki predpostavljajo neskon~no veliko vhodno populacijo strank, tudi pri modelu s kon~no veliko populacijo strank predpostavljamo, da lahko prihode strank v sistem opišemo s Poissonovo verjetnostno porazdelitvijo, ~ase stre`be pa z eks- ponentno porazdelitvijo. Bistvena razlika med modeloma je, da je pri modelu, ki upošteva kon~no veliko vhodno populacijo strank število prihodov strank v sistem odvisno od dol`ine ~akalne vrste, tj. od števila ~akajo~ih strank, da pridejo na vrsto za stre`bo: število prihodov strank se zni`uje, ~e se daljša ~akalna vrsta. Mejni primer nastopi takrat, kadar so vse stranke v ~akalni vrsti in nobena ne more vstopiti v sistem. Ker je ma-temati~na teorija reševanja problemov ~akalnih vrst s kon~no vhodno populacijo strank zapletena, lahko analiziramo tovrstne probleme z ena~bami in tablicami (preglednici 5 in 6). Postopek uporabe tablic je naslednji: 1. izpišemo vrednosti za: N, velikost populacije strank, m, število stre`nih kanalov, stre`-nikov, T, povpre~ni ~as stre`be, U, povpre~ni ~as med dvema zahtevama za stre`bo. izra~unamo faktor stre`be X = T/ (T + U); 2. v tablicah izberemo obmo~je za kon~no veliko vhodno populacijo strank, N; 3. pri vhodni vrednosti za izra~unani X in za izbrano vrednost m od~itamo vrednosti za D in F; Preglednica 5. Ena~be za izra~un parametrov ve~kanalnega sistema s kon~no veliko vhodno populacijo strank (Stevenson, 1993) Preglednica 4. Vrednosti za Lq in P0 za dano razmerje l/min m, izsek iz tablic (Stevenson, 1993) l/m m Lq P0 l/m m Lq P 0 0,15 1 0,026 0,850 0,45 1 0,368 0,550 2 0,001 0,860 2 0,024 0,633 0,20 1 0,050 0,800 3 0,002 0,637 2 0,002 0,818 0,50 1 0,500 0,500 0,25 1 0,083 0,750 2 0,033 0,600 2 0,004 0,778 3 O,003 0,606 0,30 1 0,129 0,700 0,55 1 0,672 0,450 2 0,007 0,739 2 0,045 0,569 0,35 1 0,188 0,650 3 0,004 0,576 2 0,011 0,702 0,60 1 0,900 0,400 0,40 1 0,267 0,600 2 0,059 0,538 2 0,017 0,667 3 0,006 0,548 Parameter Formula Faktor stre`be Povpre~no število ~akajo~ih strank Povpre~ni ~as ~akanja stranke v vrsti (da pride na vrsto) Povpre~no število strank, ki niso v ~akalni vrsti ali v stre`bi Povpre~no število strank v stre`bi Populacija strank [13] [14] [15] [16] [17] [18] Pri tem pomenijo: D = verjetnost, da bo stranka morala ~akati v ~akalni vrsti, F = faktor u~inkovitosti = 1 -odstotek ~akajo~ih v vrsti, H = povpre~no število strank v stre`bi, J = povpre~no število strank, ki niso v ~akal-ni vrsti ali v stre`bi, L = povpre~no število strank, ki ~akajo, da bodo postre`ene, m = število stre`nih kanalov, stre`nikov, N = populacija strank, T = povpre~ni ~as stre`be, U = povpre~ni ~as med dvema zahtevama za stre`bo, W = povpre~ni ~as ~akanja stranke v vrsti (da pride na vrsto), X = faktor stre`be. LES wood 52 (2000) 4 Raziskave in razvoj 109 Preglednica 6. Izra~un parametrov ~akalne vrste za kon~no veliko populacijo strank, za N = 5 strank, izsek iz tablic (Stevenson, 1993) X m D F X m D F X m D F X m D F 0,012 1 0,048 0,999 0,058 2 0,019 0,999 0,080 2 0,035 0,998 0,120 2 0,076 0,995 0,019 1 0,076 0,998 1 0,229 0,984 1 0,313 0,969 1 0,456 0,927 0,025 1 0,100 0,997 0,060 2 0,020 0,999 0,085 2 0,040 0,998 0,125 2 0,082 0,994 0,030 1 0,120 0,996 1 0,237 0,983 1 0,332 0,965 1 0,473 0,920 0,034 1 0,135 0,995 0,062 2 0,022 0,999 0,090 2 0,044 0,998 0,130 2 0,089 0,933 0,036 1 0,143 0,994 1 0,245 0,982 1 0,350 0,960 1 0,489 0,914 0,040 1 0,159 0,993 0,064 2 0,023 0,999 0,095 2 0,049 0,997 0,135 2 0,095 0,933 0,042 1 0,167 0,992 1 0,253 0,981 1 0,368 0,955 1 0,505 0,907 0,044 1 0,175 0,991 0,066 2 0,024 0,999 0,100 2 0,54 0,997 0,140 2 0,102 0,992 0,046 1 0,183 0,990 1 0,260 0,979 1 0,386 0,950 1 0,521 0,900 0,050 1 0,198 0,989 0,068 2 0,026 0,999 0,105 2 0,059 0,997 0,145 3 0,011 0,999 0,052 1 0,206 0,988 1 0,268 0,978 1 0,404 0,945 2 0,109 0,991 0,054 1 0,214 0,987 0,070 2 0,027 0,999 0,110 2 0,065 0,996 1 0,537 0,892 0,056 1 0,018 0,999 1 0,275 0,977 1 0,421 0,939 0,150 3 0,012 0,999 1 0,222 0,985 0,075 2 1 0,031 0,294 0,999 0,973 0,115 2 1 0,017 0,439 0,995 0,933 2 1 0,115 0,553 0,990 0,885 4. nato z vrednostmi N, M, X, D in F izra~unamo druge parametre modela. Pri Z eno avtomatizirano stre`no napravo (stre`nikom) stre`emo petim CNC strojem. Domnevamo, da lahko ~as stre`be opišemo dovolj dobro z eksponentno verjetnostno porazdelitvijo, srednja vrednost ~asa stre`be naj znaša 10 minut, povpre~ni ~as med dvema zahtevama za stre`bo strojev pa je 70 minut. Izra~unaj: a. povpre~no število strojev, ki ~akajo na stre`bo, b. povpre~no število strojev v obratovanju, c. povpre~ni skupni ~as ~akanja in stre`be, d. verjetnost, da strojem ne bo potrebno ~akati na stre`bo. Rešitev: N = 5 CNC strojev m = 1 stre`nik T = 10 min U = 70 min X = T / (T + U) = 10 / (10 + 70) = 0,125 Iz tablice v preglednici 6, za vrednosti N = 5, M = 1 in X = 0,125 od~ita-mo vrednosti za D = 0,473 in F = 0,920 in nato izra~unamo: a. povpre~no število strojev, ki ~akajo na stre`bo, L = N (1 - F) = 5 (1 -0,92) = 0,40 CNC strojev, b. povpre~no število strojev v obratovanju, J = NF(1 - X) = 5 (1 -0,125) = 4,025 CNC strojev, c. povpre~ni ~as ~akanja stroja, da pride na vrsto + povpre~ni ~as stre`be = W + T = (L x (T + U) / (N - L)) + T = (0,40 x (10 + 70) / (5 - 0,40)) + 10 = 6,975 + 10 = 16,975 min d. verjetnost, da strojem ne bo potrebno ~akati na stre`bo = 1 - D = 1 - 0473 = 0,527 Zna~ilnost opisanega FP-sistema je, da obdelovanci po obdelavi na enem izmed petih obdelovalnih strojev zapustijo proizvodni sistem. Zna~ilnost sodobnih FP-sistemov pa je, da se lahko obdelovanci, vpeti na transportni napravi za stre`bo CNC strojev, ponovno in ve~krat, v poljubnem zaporedju vra~ajo na istovrstne stroje, na katerih lahko opravljamo raznovrstne delovne operacije. Analiza tovrstnih sistemov je bolj kompleksna. 4. UPORABLJENI VIRI 1. Stevenson, J. W. 1993. Produkti-on/Operations Management. 4th ed. Homewood, Boston. IRWIN. 916 s. 2. Günther/Tempelmeier. 1995. H. Produktionsmanagement. Einführung mit Übungsaufgaben. 2. Auflage. Berlin, Heidelberg,..., Tokyo. Springer -Verlag. 447 s. 3. Neumann, K. 1996. Produktionsund Operations- Management. Berlin, Heidelberg,..., Tokyo. Springer- Verlag. 368 s.