     
P 49 (2021/2022) 3 5
Ali se po vsem tem še kdo čudi, da sem pri Preseku
še vedno urednik za fiziko? Morda bo tako še nekaj
časa, saj se morajo mladi posvečati raziskovanju, ki
prav zaradi razvoja računalnikov in zapletene labo-
ratorijske opreme postaja vse bolj zahtevno, tako po
miselnih naporih kot tudi časovno. Tudi profesor-
jem na srednjih šolah in učiteljem na devetletkah ne
ostane kaj dosti prostega časa in volje, da bi še ure-
dnikovali in pisali za Presek. A mladih raziskovalcev
in pedagogov ni tako malo in upam, da bo kmalu kdo
od njih prevzel uredništvo. Sam pa bom vedno ostal
zvest spremljevalec Preseka, edinstvenega lista za
mlade ljubitelje matematike, fizike, računalništva in
astronomije, saj je njemu podobnih tudi pri številč-
nejših narodih bore malo. Navdušuje pa me tudi tra-
dicija, saj bo Presek kmalu praznoval že častitljivo
petdesetletnico izhajanja.
SLIKA 1.
Z zvočnikom vzvalovana vodna gladina. Pri večjih amplitudah
vzbujanja se na gladini tvorijo kapljice.
×××
Dioklova cisoida
in podvojitev,
potrojitev,
... kocke
M R
Kako z neoznačenim ravnilom in šestilom dolo-
čiti rob kocke, da bo njena prostornina dvakratnik
prostornine dane kocke? To je znani antični pro-
blem podvojitve kocke. Če ima dana kocka rob a,
iščemo tako kocko z robom b, da bo b3 = 2a3. To
pomeni, da mora biti b = a 3
√
2. Problem podvoji-
tve kocke z neoznačenim ravnilom in šestilom ni
rešljiv, kar so matematiki pravilno dokazali šele v
19. stoletju. Razlog je v tem, da števila
3
√
2 ni mo-
goče izraziti s končnim številom osnovnih štirih
aritmetičnih operacij in kvadratnih korenov nad
racionalnimi števili.
Že od antičnih časov pa so znani uspehi matema-
tikov, ki so našli rešitev problema z drugačnimi po-
magali, pogosto s posebnimi krivuljami, ne samo s
premicami in krožnicami, ki jih rišemo z ravnilom in
šestilom. Oglejmo si krivuljo, ki ji pravimo Dioklova
cisoida in ki nam pomaga pri podvojitvi kocke. Pa ne
le to, kocko lahko na podoben način tudi potrojimo,
početverimo itd. Diokles (240–180 pr. n. št.) je bil
starogrški matematik, ime krivulje pa izhaja iz grške
besede kissós, kar pomeni bršljan. Kaj ima pri tem
bršljan, bomo spoznali na koncu prispevka.
Do Dioklove cisoide bomo prišli z metodami ana-
litične geometrije v ravnini, v katero vpeljemo pra-
vokotni kartezični koordinatni sistem Oxy . V njem
načrtamo najprej premico x = 1, ki preseka os x
v točki A(1,0). Na tej premici izberemo poljubno
     
P 49 (2021/2022) 36
SLIKA 1.
Geometrijska konstrukcija točk Dioklove cisoide
točko B(1, t), kjer je t od 0 različno realno število.
Na sliki 1 je t > 0. Točko B pravokotno projiciramo
na os y , kjer dobimo točko C(0, t). Nato C pravo-
kotno projiciramo na premico skozi O in B, kjer do-
bimo točko T(x,y).
Premica skozi O in B ima enačbo y = tx, pravoko-
tnica skozi C nanjo pa smerni koeficient −1/t, zato
enačbo x +yt = t2. Rešitev sistema enačb
y = tx, x +yt = t2 (1)
sta koordinati točke T :
x = t
2
1+ t2 , y =
t3
1+ t2 . (2)
Za t = 0 dobimo točko O(0,0), za t = 1 pa
D(1/2,1/2). Ko točka B preteče premico x = 1, spre-
menljivka t (pravimo ji tudi parameter) preteče vsa
realna števila, točka T pa opiše krivuljo, ki ji pravimo
Dioklova cisoida. Enačbi (2) imenujemo parametrični
enačbi cisoide.
Če si mislimo, da je parameter t čas, enačbi pred-
stavljata sestavljeno gibanje točkaste mase v dveh
med seboj pravokotnih smereh v koordinatni rav-
nini: v smeri osi x po pravilu prve enačbe, v smeri
osi y pa po pravilu druge enačbe. Tirnica takega gi-
banja je cisoida. Podobno opišemo npr. tudi gibanje
točkaste mase pri poševnem metu.
Iz prve enačbe v (2) razberemo, da za vsak t velja
relacija 0 ≤ x < 1. Zato je pravokotna projekcija ci-
soide na os x interval [0,1). Ko zamenjamo t z −t,
se x ne spremeni, y pa spremeni predznak. To po-
meni, da je cisoida simetrična glede na os x. Hitro
spoznamo tudi, da x → 1 in |y| → ∞, ko |t| → ∞, kar
pomeni, da je premica x = 1 njena navpična asimp-
tota. Cisoida poteka skozi točke O(0,0), D(1/2,1/2)
in D′(1/2,−1/2).
Če izrazimo t iz prve enačbe sistema (1) in vsta-
vimo v drugo, dobimo po poenostavitvi enakovredni
implicitni enačbi cisoide
x(x2 +y2) = y2, (1− x)y2 = x3. (3)
Če v prvo vstavimo x = r cosϕ in y = r sinϕ, vi-
dimo, da v polarnih koordinatah velja zveza
r = sin
2ϕ
cosϕ
. (4)
Pri tem polarni kot ϕ teče po intervalu (−π/2, π/2),
polarni radij r = |OT | pa zavzame vse nenegativne
vrednosti. Zveza (4) je enačba cisoide v polarni obli-
ki.
Kako sedaj uporabimo Dioklovo cisoido za pod-
vojitev, potrojitev, početverjenje, . . . kocke? Poma-
gamo si s premico skozi točki A in C . Njena enačba
je y = t(1−x). Poiščimo njeno presečišče E(xE , yE)
s cisoido. Če upoštevajmo zadnjo enačbo v (3) de-
sno, dobimo
(1− x)3t2 = x3.
Obe strani korenimo in imamo preprosto enačbo za
x:
(1− x) 3
√
t2 = x.
Iz te takoj sledi
xE =
3
√
t2
1+ 3
√
t2
, yE = t(1− xE) =
t
1+ 3
√
t2
.
Ker je smerni koeficient premice skozi O in E enak
yE/xE = 3
√
t, je njena enačba y = x 3
√
t. Ta premica
pa preseka premico x = 1 v točki F(1, 3
√
t) (slika 2).
     
P 49 (2021/2022) 3 7
SLIKA 2.
Geometrijska konstrukcija tretjih korenov
S tem smo našli preslikavo
C(0, t) 7→ F(1, 3
√
t),
ki nam da tretje korene. S podobnostno transfor-
macijo lahko za vsak rob a dane kocke najdemo rob
b = a 3√n kocke, ki ima za prostornino n-kratnik pro-
stornine dane kocke: b3 = na3, če vzamemo za n
naravna števila 2,3,4, . . . (slika 3). Za n = 2 imamo
klasično podvojitev kocke, za n = 3 potrojitev, za
n = 4 početverjenje itd.
Dioklovo cisoido lahko konstruiramo po točkah še
na druge načine. Eden od teh je s pomočjo krožnice
x2 +y2 = x, ki ima središče v točki S(1/2,0) in pol-
mer 1/2 (slika 4).
Iz koordinatnega izhodišča O načrtamo poltrak,
ki preseka krožnico x2 + y2 = x v točki P , ciso-
ido v točki T , njeno asimptoto pa v točki Q. Do-
kažemo lahko, da velja enakost |OT | = |PQ| za vsak
Q na premici x = 1. To lahko elegantno naredimo
v polarnih koordinatah. Pokažemo, da je na sliki 4
|OP | = cosϕ in |OQ| = 1/ cosϕ. Od tod izraču-
namo |PQ| = |OQ| − |OP |. Rezultat primerjamo z
že izračunano vrednostjo za |OT | (enačba (4)). Torej
SLIKA 3.
Geometrijska konstrukcija robov b = a 3
√
t
SLIKA 4.
Določilna lastnost cisoide: |OT | = |PQ|
res velja enakost |OT | = |PQ|. To lastnost, ki je za
cisoido določilna, lahko izkoristimo za njeno risanje
po točkah.
Del cisoide, ki je znotraj krožnice x2 + y2 = x,
omejuje z njo lik, ki spominja na list vrste bršljana.
Od tod izhaja ime krivulje.
×××