On a certain class of 1-thin distance-regular graphs - MacLean, Mark (Ars mathematica contemporanea, 2020)
Naj bo ?$Γ$? ne-dvodelen razdaljno-regularen graf z množico vozlišč ?$X$?, premerom ?$D \ge 3$?, ter stopnjo ?$k \ge 3$?. Izberimo si vozlišče ?$x \in X$? in naj bo ?$T=T(x)$? Terwilligerjeva algebra grafa ?$Γ$? glede na ?$x$?. Za vsako vozlišče ?$z \in X$? in za ?$0 \le i \le D$? naj bo ?$Γ_i(z)=\{w \in X : \partial(z, w) = i\}$? označimo ?$D_j^i = D_j^i(x, y) = Γ_i(x) \cap Γ_j(y)$? in za dano vozlišče ?$y$? definirajmo preslikavi ?$H_i \colon D_i^i → \mathbb{Z}$? in ?$V_i \colon D_{i-1}^i → \mathbb{Z}$? takole: ?$$H_i(z) = |Γ_1(z) \cap D_{i-1}^{i-1}|, \quad V_i(z) = |Γ_1(z) \cap D_{i-1}^{i-1}|.$$? Privzemimo, da sta za vsako vozlišče ?$y \in Γ_1(x)$? in za vsak ?$2 \le i \le D$? pripadajoči preslikavi ?$H_i$? in ?$V_i$? konstantni, ter da te konstante niso odvisne od izbire vozlišča ?$y$?. Dalje tudi privzemimo, da so konstantne vrednosti preslikav ?$H_i$? neničelne za ?$2 \le i \le D$?. Pokažemo, da je vsak nerazcepen ?$T$?-modul s krajiščem 1 tanek. Nadalje tudi pokažemo, da ima ?$Γ$? do izomorfizma natančno natanko tri nerazcepne ?$T$?-module s krajiščem 1 natanko takrat, ko veljajo trije kombinatorični pogoji (ki jih definiramo kasneje). Kot primer pokažemo, da ti trije kombinatorični pogoji veljajo za Johnsonove grafe ?$J(n, m)$?, kjer je ?$n \ge 7$?, ?$3 \le m < n/2$?.
Keywords: teorija grafov; Terwilligerjeva algebra