Marko Razpet iz katere je cos(ϕ/3) = 2p−rcosϕ 3r = 2p−x 3r . (33) Pri tem jex =rcosϕ abscisa toˇ ckeT. Oˇ citno lahko konstruiramo kotϕ/3 s pomoˇ cjo pravokotnegatrikotnika, ki ima hipotenuzo3r in eno kateto 2p−x. Tschirnhausova kubika je le ena od trisektris. Precej znana je tudi Macla- urinova trisektrisa, ki ima v polarnih koordinatah enaˇ cbo r =a/cos(ϕ/3), kjer je a pozitivna konstanta. ˇ Se nekaj pa jih najdemo na primer v [1, 2]. NekateriimenujejoTschirnhausovokubikotudiL’Hˆ opitalovakubika,ker sejeznjoukvarjaltudimatematikmarkizG.F.A.deL’Hˆ opital(1661–1704) in rezultate objavil leta 1696, kasneje kot Tschirnhaus. Zato je popolnoma umestno, da so krivuljo, malo pozno sicer, poimenovali po slednjem. LITERATURA [1] E. H. Lockwood, A book of curves, Cambridge University Press, 1963. [2] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, ˇ Skolska knjiga, Zagreb 1979. [3] D. J. Struik, Kratka zgodovina matematike, Knjiˇ znica Sigma 27, DMFA, Ljubljana 1986. [4] I. Vidav, Viˇ sja matematika I, DMFA–zaloˇ zniˇ stvo, Ljubljana 2008. NOVEKNJIGE JernejKozak: NUMERI ˇ CNAANALIZA,Matematika– fizika44, DMFA–zaloˇ zniˇ stvo, Ljubljana 2008, 420 strani. Slovenska matematiˇ cna literatura je bogatejˇ sa za novo delo z zgornjim naslovom. Knjiga je izˇ sla v zbirki Matematika – fizika, ki je zbirka uni- verzitetnih uˇ cbenikov in monografij. Delo spada v to zbirko, ker je prav to: univerzitetni uˇ cbenik in monografija. Izdajatelja sta Fakulteta za ma- tematiko in fiziko Univerze v Ljubljani in Druˇ stvo matematikov, fizikov in astronomov – zaloˇ zniˇ stvo. Slovensko numeriˇ cno literaturo je to delo do- polnilo na podroˇ cju numeriˇ cne analize, ki v oˇ zjem smislu vsebuje poglavja: interpolacijo, aproksimacijo, numeriˇ cno odvajanje in integriranje ter nume- riˇ cno reˇ sevanje navadnih in parcialnih diferencialnih enaˇ cb. Ta poglavja so bila sicer ˇ ze na kratko obravnavana v prvem slovenskem uˇ cbeniku iz nume- 92 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Numeriˇ cna analiza riˇ cnematematike(Z. Bohte, Numeriˇ cne me- tode, DZS, Ljubljana 1978), vendar na zelo elementarnem nivoju. Pozneje so izˇ sli v slo- venskemjezikuˇ setrijepopolnejˇ siuˇ cbenikiiz numeriˇ cne matematike, ki pokrivajo nume- riˇ cno linearno algebro in nelinearne enaˇ cbe: Z. Bohte, Numeriˇ cno reˇ sevanje nelinearnih enaˇ cb (DMFA Slovenije, Ljubljana 1993), Z. Bohte, Numeriˇ cno reˇ sevanje sistemov li- nearnih enaˇ cb (DMFA Slovenije, Ljubljana 1994) in J. W. Demmel, Applied numerical linear algebra (SIAM, Philadelphia 1997) v slovenskem prevodu E. Zakrajˇ ska, Uporabna numeriˇ cna linearna algebra, DMFA Slove- nije, Ljubljana 2000). O razvoju numeriˇ cne matematike na Oddelku za matematiko FMF je bilo v Obzorniku ˇ ze poroˇ cano (OMF 54 (2007) 2, str. 57–62). Najprej na kratko predstavimo avtorja nove knjige. Jernej Kozak se je rodil v Ljubljani leta 1946. Matematiko je ˇ studiral v Ljubljani, kjer je diplomiral in leta 1978 tudi doktoriral. Potem se je izpopolnjeval v ZDA pri znamenitem matematiku Carlu de Booru. Zdaj je redni profesor na Oddelku za matematiko Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Lju- bljani. Predava razne numeriˇ cne in raˇ cunalniˇ ske predmete, znanstveno pa se ukvarja predvsem z interpolacijo in aproksimacijo funkcij, z zlepki v eni in veˇ c dimenzijah, z geometrijsko interpolacijo krivulj in ploskev s polinomi in zlepki. Poudarek pri zadnjih raziskavah je predvsem na teˇ zkih problemih v veˇ c dimenzijah. Kozak je napisal ˇ ze tri uˇ cbenike s podroˇ cja raˇ cunalniˇ stva in je avtor ali soavtor petdesetih znanstvenih in strokovnih ˇ clankov, ki so pogosto citirani v mednarodnih revijah. Avtor je zelo uspeˇ sen mentor mla- dim. Pri njem je diplomiralo 105 uporabnih matematikov, magistriralo 8 mladih raziskovalcev in trije soˇ ze doktorirali. Njegova raziskovalna skupina ˇ steje 5 ˇ clanov. Pohvalijo se lahko s ˇ stevilnimi znanstvenimi ˇ clanki v zelo uglednih mednarodnih revijah. Trije doktorandi so si ˇ ze pridobili uˇ citeljski naziv. Nova knjiga Numeriˇ cna analiza je primeren uˇ cbenik za predmete, ki jih avtor predava na drugi in tretji stopnjiˇ studija uporabne matematike na Fakultetiza matematiko in fiziko Univerzev Ljubljani. Ker pa po vsebini in Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 93 Nove knjige zahtevnosti moˇ cno prekaˇ sa programe teh predmetov, je knjiga monografija z edinstvenim pristopom do problemov numeriˇ cne analize in z vso potrebno matematiˇ cno strogostjo. Ne nazadnje je monografija lep primer, kako se v matematiki prepletajo in dopolnjujejo posamezna podroˇ cja, kako npr. poznavanje funkcionalne analize s pridom uporabimo v numeriˇ cni analizi in kako pomembne so metode numeriˇ cne linearne algebre v drugih poglavjih numeriˇ cne analize. Knjiga Numeriˇ cna analiza obsega skupaj s kazalom, predgovorom, li- teraturo in stvarnim kazalom ˇ stiri dele z osmimi poglavji na 420 straneh. Tekst ilustrirajo ˇ stevilni primeri, 87 slik in 43 tabel. Pri vseh poglavjih so dodane naloge, ki preteˇ zno dopolnjujejo obravnavano snov in so praviloma zelo zahtevne. Razlagi posameznih numeriˇ cnih primerov so dodani veˇ c- barvni diagrami, ki zelo olajˇ sajo razumevanje snovi. Posebnost tega dela je avtorjevo staliˇ sˇ ce, da je osnova numeriˇ cne analize abstraktna aproksi- macija, zato najprej pripravi potrebno teorijo, ki jo v naslednjih poglavjih dosledno uporablja. Zaradi tega se je treba pri razumevanju novih spoznanj pogosto sklicevati na pripravljeno osnovo. Nekatere izpeljave so dolge in zahtevne, kar zahteva od bralca aktivno sodelovanje. Podrobna razlaga po- sameznih korakov pa bi seveda zelo poveˇ cala obseg ˇ ze tako obseˇ znega dela. Zelo pohvalno je Kozakovo dosledno obravnavanje napak, ki so neogibne pri numeriˇ cnem reˇ sevanju problemov. Dodajmo ˇ se, da je delo napisano v lepem, a tudi izvirnem jeziku. Kot se priˇ cakuje od matematiˇ cnega teksta, je delo napisano zelo skrbno, brez nepotrebnih spodrsljajev. Zdaj pa na kratko opiˇ simo vsebino dela. V prvem delu Aproksima- cija in interpolacija postavi avtor najprej temelje abstraktne aproksimacije, tj. aproksimacije elementa abstraktnega linearnega prostora z elementi iz- branega podprostora. Pri tem je zelo pomembna izbira baze v prostoru, zato avtor navede nekaj baz, ki jih pogosto uporabljamo, in analizira nji- hove lastnosti. Podrobno obdela osnovni problem eksistence in enoliˇ cnosti elementa najboljˇ se aproksimacije. Posebej obravnava enakomerno aproksi- macijo in aproksimacijo po metodi najmanjˇ sih kvadratov. Tudi v poglavju o interpolaciji avtor najprej formulira problem abstraktno, nato pa obdela konkretne primere. Tako obravnava polinomsko interpolacijo, iterativno in- terpolacijo in interpolacijo z raznimi tipi zlepkov: z odsekoma linearnimi zlepki, kubiˇ cnimi zlepki in B-zlepki. Drugi del knjige je posveˇ cen numeriˇ cnemu odvajanju in integriranju. Najprej je na kratko omenjeno raˇ cunanje odvodov funkcije, ki je podana z 94 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Numeriˇ cna analiza vrednostmi v posameznih toˇ ckah. Tu avtor s pridom uporablja interpola- cijo z zlepki, ki jo je pripravil v prvem delu. Nato pa izpelje vrsto formul za numeriˇ cno odvajanje v zakljuˇ ceni obliki, ki se uporabljajo pri numeriˇ c- nemreˇ sevanjudiferencialnihenaˇ cb. Pripoglavjuonumeriˇ cnemintegriranju avtor obravnava konvergenco sploˇ snih integracijskih pravil. Obˇ sirno obdela osnovnainsestavljenaNewton-Cotesovaintegracijskapravilasstrogoobrav- navo napak. Posebej obravnava tudi zelo uˇ cinkovito Rombergovo metodo. Pomemben poudarek daje avtor integracijskim pravilom Gaussovega tipa in raˇ cunanju singularnih integralov ter integralov na neomejenem intervalu. Raˇ cunanju veˇ ckratnih integralov pa se je avtor odpovedal zaradi ˇ ze tako poveˇ canega obsega dela. Tretji del knjige obravnava numeriˇ cno reˇ sevanje navadnih diferencialnih enaˇ cb. Avtor se najprej loti reˇ sevanja sistemov enaˇ cb prvega reda. Pri tem dosledno uporablja vektorsko obliko zapisa enaˇ cb in metod. Za raz- lago potrebne teorije uporabi nekaj preprostih metod, ki so zasnovane na formulah prejˇ snjega poglavja. Definira lokalno in globalno napako in strogo obravnava konvergenco metode. Podrobneje obdela enoˇ clenske metode tipa Runge-Kutta in linearne veˇ cˇ clenske metode. Pri zadnjih se loti povezave pojmov stabilnosti, konsistence in konvergence. Dodatno se dotakne zaˇ ce- tnihproblemovprienaˇ cbahviˇ sjihredov. Velikopozornostje Kozakposvetil robnim problemom pri navadnih diferencialnih enaˇ cbah. Obravnava pre- vedbo robnih problemov na zaˇ cetne in reˇ sevanje z diferenˇ cno metodo. Tudi kolokacije se beˇ zno dotakne, prav tako variacijskega problema in problema lastnih vrednosti diferencialnega operatorja. Zadnje poglavje je posveˇ ceno numeriˇ cnemu reˇ sevanju parcialnih diferen- cialnih enaˇ cb. Po obvezni klasifikaciji teh enaˇ cb se predvsem posveti reˇ se- vanju z metodo konˇ cnih diferenc. Pri reˇ sevanju enaˇ cb eliptiˇ cnega tipa si za razlago metod izbere Poissonovo enaˇ cbo. Podrobno obravnava iteracijske metode reˇ sevanja sistema linearnih enaˇ cb, ki ga dobimo pri diskretizaciji Laplaceovega operatorja. Pomemben dodatek v tem poglavju je razlaga novejˇ sih veˇ cmreˇ znih metod. Avtor omenja ˇ se nekaj drugih znanih metod. Pri enaˇ cbah paraboliˇ cnega tipa je pomembno loˇ citi eksplicitne in implicitne metode zaradi stabilnosti. Tudi tu Kozak poveˇ ze pojme stabilnosti, kon- sistence in konvergence. Pri enaˇ cbah hiperboliˇ cnega tipa pa avtor najprej obravnava advekcijske in druge enaˇ cbe prvega reda, nato pa razloˇ zi dife- renˇ cno metodo in metodo karakteristik za reˇ sevanje valovne enaˇ cbe. Zaradi omejenega obsega se avtor odpove metodam konˇ cnih elementov, ki so za- Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 95 Nove knjige snovane na variacijski formulaciji. Te bi namreˇ c zahtevale poseben uˇ cbenik. Ob koncu lahko ˇ se enkrat pohvalimo avtorjev izbor snovi, zelo skrbno in dosledno strogo obravnavanje zahtevne teorije in dragocene napotke za dejansko reˇ sevanje zajetih problemov, saj je dodanih nekaj pomembnejˇ sih uporabnihalgoritmov. Delobodospridomuporabljalisluˇ sateljinumeriˇ cnih predmetov in uporabniki, ki pri svojem delu naletijo na katerega izmed obravnavanih problemov. Knjigo lahko naroˇ cite pri DMFA–zaloˇ zniˇ stvo poˇ clanski ceni 30,39 EUR. Zvonimir Bohte Peter ˇ Semrl: OSNOVE VI ˇ SJE MATEMATIKE I, Izbrana po- glavjaizmatematikeinraˇ cunalniˇ stva45, DMFA–zaloˇ zniˇ stvo, Lju- bljana 2009, 280 strani. Pri pisanju uˇ cbenikov in drugih tekstov smo matematiki zavezani matematiˇ cni ko- rektnosti. Zapisanibesedinajsenebimoglo oˇ citati dvoumnosti ali celo nepravilnosti. Ta razumljiva zahteva je lahko tudi ovira. Ka- dar ˇ zelimo pojasniti intuitivno ozadje kon- ceptov, vˇ casih tvegamo krˇ sitev standardov matematiˇ cne strogosti. Ali lahko uˇ cbenik napiˇ semo matematiˇ cno korektno, hkrati pa dostopno razmeroma ˇ siroki populaciji in v neformalnemslogu? Pravgotovotonilahko. Knjiga Petra ˇ Semrla pa dokazuje, da je iz- vedljivo. Uˇ cbenikjevprvivrstinamenjenˇ studen- tomnaravoslovjaintehnikeobnjihovemprvemsreˇ canjuzviˇ sjomatematiko. Razdeljen je na pet poglavij: 1. ˇ Stevilske mnoˇ zice, 2. Vektorji, 3. Sistemi linearnih enaˇ cb, 4. O funkcijah, 5. Pregled elementarnih funkcij. Vsako poglavje se konˇ ca s podpoglavjema ” Povzetek“ in ” Zahtevnejˇ se branje“ (le tretjepoglavjejebrezslednjega). Vprvemjepodanazgoˇ sˇ cenaobnovaposa- meznega poglavja, drugo pa je pisano za bralce z nekaj veˇ c matematiˇ cnega posluha. Besediloseberekotzgodba. Sproˇ sˇ cenointekoˇ ce. ˇ Zivahenstilpopestrijo ˇ seˇ stevilne slike. Ni stroge delitve na definicije, izreke in dokaze. Novi pojmi 96 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3