      P 52 (2024/2025) 4 11 Dvojno nihalo po domače A L Dvojno nihalo tvorita dve običajni nihali, pove- zani, kot bi rekli po električno, zaporedno. Na utež, ki je z zelo lahko in togo palico pritrjena na strop, je prav s tako palico pritrjena druga utež, glej sliko 1. Obe palici sta na uteži in strop pritrjeni vrtljivo brez trenja. SLIKA 1. Sestava dvojnega nihala. Takega nihala ni prav preprosto narediti, a za zdaj lahko namesto togih palic uporabimo kar vrvico, ki povezuje obe uteži. Na sliki 2 smo z vrvico povezali dve matici, ki smo ju prej prevrtali, da smo laže pri- trdili nanju vrvico. Pri ne prevelikih odmikih od nav- pične lege, kjer tako nihalo obmiruje, sta vrvici ves čas napeti, razdalji med utežema ter zgornjo utežjo in pritrdiščem sta vseskozi enaka. Pozneje, ko bomo obravnavali nihanje z velikimi odmiki, bomo morali namesto vrvice privzeti togi palici. Slutimo, da bo gibanje nihala pri velikih odmikih zelo zapleteno. Zato se najprej posvetimo nihanju z zelo majhnimi odmiki. Tudi takrat gibanje ni prav nič preprosto in skoraj nimamo upanja, da bi se ga dalo računsko opisati. A ne obupajmo prezgodaj! Poskusimo najti tako nihanje obeh uteži, kot ga opa- zimo pri enojnem, to je običajnem nitnem nihalu. Vemo, da le-to niha harmonično, torej se njegov od- mik od ravnovesja x0 da opisati s sinusno ali kosi- nusno funkcijo časa. Ko izberemo funkcijo kosinus, imamo: xptq “ x0 cosωt . Pri začetnem času t “ 0 je nihalo najbolj izmaknjeno iz ravnovesne lege, ta odmik imenujemo amplituda. Hitrost nihala je tedaj enaka nič. Pogostost nihanja meri krožna frekvenca ω, ki je, kot se še spomnimo iz pouka fizike: ω “ c g l . Odmik v navpični smeri je tako majhen, da ga lahko zanemarimo. Poskusimo najti harmonično nihanje dvojnega ni- hala z majhnimi amplitudami. Vsaka od uteži naj niha harmonično z enako krožno frekvencoω, vsaka s svojo amplitudo, denimo x01 in x02, torej: x1ptq “ x01 cosωt , x2ptq “ x02 cosωt . V ravnovesni legi sta vrvici napeti z različnima si- lama, zgornja s silo F1 “ 2mg, saj mora nositi obe uteži, za kateri bomo privzeli, da imata enako maso, spodnja s silo F2 “ mg, saj nosi le spodnjo utež. Pri majhnih nihanjih bomo privzeli, da sta ti dve sili taki tudi takrat. Ker imamo obe sili v vrvicah, ni težko na- pisati Newtonovega zakona za obe uteži. Na zgornjo utež poleg zgornje vrvice deluje še spodnja. Kompo- nenta sile na zgornjo utež v vodoravni smeri sta: Fx1 “ ´F1 sinϑ1 ` F2 sinϑ2       P 52 (2024/2025) 412 SLIKA 2. Dvojno nihalo. Na prevrtanih maticah sta pritrjeni povezovalni vrvici . in Fx2 “ ´F2 sinϑ2 . Tu sta ϑ1 in ϑ2 kota, ki ju oklepata vrvici z navpič- nico, glej sliko 3. Sinusa kotov lahko izazimo z odmiki obeh nihal: sinϑ1 “ x1 l , sinϑ2 “ x2 ´ x1 l . Newtonov zakon za gibanje uteži zapišemo takole: max1 “ Fx1 “ ´2mg x1 l `mgx2 ´ x1 l , max2 “ Fx2 “ ´mg x2 ´ x1 l . Sedaj poskusimo s harmoničnim nastavkom za od- mika x1 in x2. Pri harmoničnem nihanju je pospešek uteži sorazmeren z odmikom: a “ ´ω2x . SLIKA 3. Spremenljivke dvojnega nihala. Zgornji enačbi sta potem: ´ω2x01 cosωt “ ´2g x01 l cosωt` ` gx02 ´ x01 l cosωt , ´ω2x02 cosωt “ ´g x02 ´ x01 l cosωt . Vidimo, da se cosωt pojavi na obeh straneh enačb, torej je harmonično nihanje dvojnega nihala možno. Za amplitudi obeh uteži dobimo tile enačbi: p´ω2 ` 3g l qx01 “ g l x02 , g l x01 “ p´ω2 ` g l qx02 . Enačbama ni mogoče zadostiti pri poljubeni krožni frekvenci ω, lahko pa pri povsem določeni. Ko iz- razimo razmerji x01x02 iz obeh enačb in ju izenačimo, saj morata biti v obeh enačbah enaki, dobimo tole enačbo za ω2: ω4 ´ 4g l ω2 ` 2g 2 l2 “ 0 . Ta enačba za ω2 ima dve rešitvi: ω2I,II “ g l p2 ˘ ? 2q .       P 52 (2024/2025) 4 13 Le pri teh dveh kotnih frekvencah bosta uteži dvoj- nega nihala nihali harmonično. Imenujemo ju lastni frekvenci. Iz enačb za amplitudi x01 in x02 dobimo njuni razmerji pri teh dveh frekvencah ˆ x01 x02 ˙ I “ ´p ? 2 ` 1q , pri višji frekvenci in ˆ x01 x02 ˙ II “ p ? 2 ´ 1q , pri nižji. Na naslednji sliki (slika 4) sta prikazana oba na- čina harmoničnega nihanja tega nihala. Ko vemo za ti dve nihanji, lahko vsakršno gibanje dvojnega ni- hala z majhnimi amplitudami sestavimo iz njiju. Če je začetna hitrost uteži enaka nič, velja: x1ptq “ x01,I cosωIt ` x01,II cosωIIt , x2ptq “ x02,I cosωIt ` x02,II cosωIIt . SLIKA 4. Hitri (I – levo) in počasni način (II – desno) harmonǐcnega niha- nja dvojnega nihala. Nihalo niha hkrati z obema lastnima frekvencamaωI in ωII . Razmerji med x01,I in x02,I in x01,II ter x02,II morata biti taki, kot smo omenili zgoraj, pri tem pa amplitudi x01,I in x01,II določimo iz začetnih odmi- kov uteži od ravnovesne lege. Do tu se je o dvojnem nihalu dalo kar precej po- vedati matematično. Sedaj pa se ne bomo več omeje- vali na majhna nihanja. Pustili bomo, da sta odmika uteži velika. Vrvici, ki povezujeta uteži in pritrdi- šče, nista več vedno napeti, ju moramo nadomestiti z lahkima in togima palicama. To je lažje reči kot storiti. V nekaterih šolah sicer premorejo tako iz- vedbo dvojnega nihala, vendar ga doma zelo težko sami izdelamo. Ker bomo opazovali gibanje uteži z zelo velikimi odmiki in hitrostmi, moramo nihalo izvesti tako, da se obe uteži lahko vrtita za polna kroga okrog pritrdišč in se pri tem ne ovirata. Zato bomo gibanju uteži sledili z računalnikom. Potrebu- jemo le Newtonov zakon in sile, ki delujejo na uteži. Potem bomo z računalnikom izračunavali hitrosti in legi obeh uteži. Newtonov zakon za gibanje uteži v x smeri smo že zapisali: max1 “ Fx1 “ ´F1 sinϑ1 ` F2 sinϑ2 , max2 “ Fx2 “ ´F2 sinϑ2 . Pri velikih odmikih uteži od ravnovesne lege so sile povezovalnih palic drugačne, kot smo privzeli pri majhnih odmikih, kjer sta to pot F1 in F2 neznani sili, s katerima palici delujeta na uteži. Pri velikih nihanjih ne moremo zanemariti dvigov uteži v nav- pični smeri. S slike 3 pridemo hitro do sil, ki delujejo na uteži v navpični smeri: may1 “ Fy1 “ ´mg ` F1 cosϑ1 ´ F2 cosϑ2 , may2 “ Fy2 “ ´mg ` F2 cosϑ2 . Funkcije kotov ϑ1 in ϑ2, izražene s koordinatami uteži, spet razberemo s slike 6: sinϑ1 “ x1 l , sinϑ2 “ x2 ´ x1 l ,       P 52 (2024/2025) 414 cosϑ1 “ ´ y1 l , cosϑ2 “ ´ y2 ´y1 l . Za računalnik to ne zadošča. Sil F1 in F2 ne po- znamo. Palici sta lahko bodisi stisnjeni bodisi na- peti. A kako naj pridemo do njiju? Vse, kar vemo o teh dveh silah, je to, da sta posledici togih palic, se pravi, da palici ohranjata svojo dolžino. Prav zaradi te zadrege so v preteklosti iznašli zelo zvit način, kako se izogniti neznanima silama palic. Ta način je znan pod imenom Lagrangeev pristop. Ker tega pristopa ne poznamo, se moramo iz težave izviti po svoje. Rekli smo, da sta palici togi, torej imata ves čas enako dolžino ne glede na sili, s katerima sta napeti ali stisnjeni. Takih palic v naravi seveda ni. Palica se pod vplivom sile nekoliko raztegne ali skrči, ne zelo, malo pa. S prostimi očmi morda teh sprememb ne opazimo, saj sile pri našem poskusu niso prav velike, kljub temu jih ne bomo zanemarili. Privzeli bomo torej, da za palici velja dobro znani Hookov zakon: F “ k∆s . Tu je F sila, s katero je napeta ali stisnjena palica, ∆s pa njen rastezek (∆s ą 0) ali skrček (∆s ă 0). S k smo označili koeficient raztezka. Hookov zakon torej določa sili palic na uteži: F1 “ k ˆ l´ b x21 `y21 ˙ , F2 “ k ´ l´ b px2 ´ x1q2 ` py2 ´y1q2 ¯ . Za koeficient k bomo postavili poljubno, a dovolj ve- liko vrednost. Pri povsem togih palicah bi bil ta koe- fecient neskončno velik. Sedaj imamo vse pripravljeno, da gibanje uteži iz- računavamo. Kako? Algoritem je prav preprost. Po- spešek je po definiciji razmerje spremembe hitrosti v danem času ∆t in tem časom, torej: aptq “ vpt `∆tq ´ vptq ∆t . Ker bomo računali spremenljivke nihala korak po koraku, vsak korak bo za ∆t kasneje v času, bomo ustrezno označili tudi spremenljivke, in sicer: aptq Ñ an , vptq Ñ vn , vpt `∆tq Ñ vn`1 . Newtonove zakone za gibanje obeh uteži bomo po- tem napisali takole vx1,n`1 “ vx1,n` ` p´f1,n sinϑ1,n ` f2,n sinϑ2,nq∆t , vy1,n`1 “ vy1,n` ` p´g ´ f1,n cosϑ1,n ´ f2,n cosϑ2,nq∆t , vx2,n`1 “ vx2,n ` p´f1,n sinϑ2,nq∆t , vy2,n`1 “ vy2,n ` p´g ` f2,n cosϑ2,nq∆t . SLIKA 5. Tira uteži pri dvojnem nihalu. Obe uteži sta na začetku za 120o dvignjeni iz mirovne lege. Njuna začetna lega je označena s povezovalnimi palicami.       P 52 (2024/2025) 4 15 SLIKA 6. Dvojno nihalo, postavljeno v navpǐcno lego, torej na glavo - tiri pri razlǐcnih začetnih pogojih SLIKA 7. Dvojno nihalo - tiri pri dveh razlǐcnih, navpǐcno postavljenih nihal pri razlǐcnih začetnih hitrostih zgornje uteži (modro in turkizno) Zgoraj smo namesto za sil F pisali F “ mf , da se v enačbah izognemo pogostim ulomkom Fm . Funk- cije kotov ϑ1,n in ϑ2,n določamo iz enačb že podanih zgoraj, kjer uporabimo koordinate x1,n, y1,n in prav tako x2,n, y2,n. Do koordinat obeh uteži potem pridemo prepro- sto z x1,n`1 “ x1,n ` vx1,n`1∆t in na enak način do preostalih treh koordinat. Mi- mogrede omenimo, da lahko v zgornjem algoritmu brez večjih sprememb obravnavamo tudi dvojna ni- hala s poljubno dolžino med utežema in različnima masama uteži. Na sliki 5 smo prikazali tira obeh uteži pri enem nihaju zgornje uteži. Vidimo, da spodnja utež divje opleta okrog zgornje. V računalniškem programu določimo začetne lege in hitrosti uteži in nadaljujemo korak za korakom do izbranega končnega časa t, oziroma končnega n ` 1. Algoritem je na prvi pogled morda zapleten, a ga je prav lahko programirati. V našem programu smo sproti risali tir obeh uteži, točko za točko. Tir je pri velikih odmikih zelo nepredvidljiv in ga je zabavno gledati. Zgornja utež se sicer zelo omahujoče giblje po krožnici, spodnja pa opleta okrog nje. Oglejmo si nekaj tovrstnih slik. Na zgornjih slikah so tiri narisani z različnimi bar- vami, različnim barvam pripadajo različni začetni pogoji. Na sliki 6 je začetna lega nihala v navpični legi, ki je za 180˝ zasukana mirovna lega, ali kot pra- vimo, nihalo postavimo na glavo in narahlo sunemo zgornjo utež. Začetne hitrosti se od leve proti desni spreminjajo. Pri posameznih slikah se pri tirih, pri- kazanih z modro in turkizno, začetni pogoji le malo razlikujejo. Kljub temu tira kmalu po startu kreneta vsak svojo pot. ˆ ˆ ˆ