ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 1 Stran 7
Nada Razpet:
DROBNA O ZLATEM REZU
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, geometrija, zlati rez, trikotnik.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1538-Razpet-rez.pdf
© 2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Astronomija
DROBNA O ZLATEM REZU
O zlatem rezu je bilo v Preseku objavljenih že nekaj člankov. Tokrat si oglejmo le kratko nalogo, katere rešitev je povezana z zlatim rezom.
Imejmo pravokotni trikotnik, katerega, stranice so trije zaporedni členi aritmetičnega zaporedja. Stranice trikotnika lahko zapišemo kot b — b, a = b — d, c = b + (i, pri čemer je d razlika aritmetičnega zaporedja. Iz Pitagorovega izreka sledi
(b-d)2 + b2 = (b + d)2
a — 3d, b — Ad c=5d.
Rešitev je torej klasični egipčanski pravokotni trikotnik, ki ima stranice v razmerju 3:4:5. Brez škode lahko izberemo d = 1. Narišimo simetralo kola, ki leži nasproti daljše katete. To je v našem primeru kot 0. Simetrala odreže na kateti b odseka \CT\ = x in \TA\ ~b~x. Podaljšajmo daljico BT za da dobimo točko E. Izračunajmo razmerje daljic ¡/?JF| : |BC\.
Simetrala kota /3 deli kateto b v razmerju priležnih stranic kota £). To pomeni, da je
x : (6 — :r) = a : c in x =
ab _ 3 c + a ~ 2
Velja

Iskano razmerje je
\BE\ _ v/5 + 1
\BC\ 2 '
to pa je ravno razmerje zlatega reza.
Za konec si narišimo še zlati pravokotnik BFGE, ki ima stranici |BE[ in |BF| = \BC\ v razmerju zlatega reza.
B\