Franc Babšek, dipl. inž. Raziskovalni oddelek Železarne Jesenice DK : 621.785.1 : 621.783.233.2 ASM/SLA : F 21b; F 23; 6-66 W20h Simulacija ogrevanja slabov v potisnih pečeh Vsi pojavi pri ogrevanju jekla v valjarniških potisnih pečeh, kakor tudi v drugih agregatih so prehodni pojavi. Teoretsko se približati rešitvi teh problemov, je preveč komplicirano za vsakdanjo prakso. Grafične metode so mnogo hitrejše, vendar tudi zamudne in toge. V modernem času so tudi probleme te vrste programirali na elektronski računalnik in dobili še bolje rešitve. To je smotrno posebno takrat, kadar je treba dobiti točno rešitev v kratkem času ali pa odgovore zelo pogosto. UVOD Kljub temu, da je ogrevanje jekla za valjanje že star proces, se vedno znova pojavlja zahteva po boljšem spoznavanju in analizi tega procesa. Želja in nujnost, da bi čim natančneje ugotovili temperaturno razdelitev v ogretem jeklu, glede na najrazličnejše pogoje ogrevanja v industriji, je privedla mnoge ljudi, da so teoretično in praktično iskali čim bolj splošno rešitev. Diferencialna enačba, ki opisuje prehodne pojave ogrevanja, je znana že iz začetka 19. stoletja. Številni matematiki so našli že mnogo rešitev, ki pa so uporabne samo za posebne primere. Znanje matematike, s katerim razpolaga povprečni inženir, je premajhno, da bi lahko reševal problem ogrevanja po tej poti. Analiza procesa ogrevanja slabov v potisni peči, kot posebni primer uporabe omenjene enačbe, postavlja velike zahteve tako pred konstrukterja kot uporabnika peči. Poleg drugega hočemo, da nam peč da kar največ »pravilno ogretega« materiala v enoti časa. Temperatura v peči je omejena z življenjsko dobo obzidave, temperaturo nataljeva-nja slabov in termičnimi napetostmi v materialu. Poleg tega je material pravilno ogret samo takrat, kadar ima površina predpisano temperaturo in je temperaturni gradient pod neko določeno mejo. Z drugimi besedami, razlika med najvišjo in najnižjo temperaturo v jeklu na koncu ogrevanja ne sme biti prevelika. Iz opisanega sledi, da nas pri ogrevanju slabov zanima mnogo več kot samo temperatura površine. Hočemo opazovati tudi kako se spreminjajo temperature v notranjosti materiala. Da to ugotovimo, lahko postavimo na različne točke v slab merilnike temperature in jih zapisujemo ob določenem času. (RATE OF HEAT ABSORPTION OF STEEL, BY FRED S. BLOOM — ASSOCIATION IRON and STEEL ENGINEERS — SEPTEMBER 1954). Druga možnost je, da najdemo način in to izračunamo. V naslednjih odstavkih bom na kratko opisal teoretično rešitev diferencialne enačbe, samo tako daleč, kolikor jo daje vsak učbenik visokošolske matematike. Opisal bom znano Schmidtovo grafično metodo, ker je še danes aktualna, kadar moramo napraviti dobro izračunano oceno in metodo izračuna, ki sloni na končnih diferencah in je potem nadaljevanje Schmidtove metode. Metoda končnih diferenc je dobila poseben pomen zaradi svoje elastičnosti pri uporabi elektronskih računalnikov. Nemogoče je podati kakršnekoli detajle o programih, ki so bili napisani za digetalni elektronski računalnik niti v podrobnosti interpretirati dobljene rezultate. Poskušal bom pokazati razliko med eksplicitno in implicitno metodo končnih diferenc in vsaj z nekaj primeri grafično ilustrirati rezultate simuliranja potisne peči z elektronskim računalnikom. TEORETIČNA REŠITEV ZA SLAB NESKONČNE DEBELINE OGREVAN Z ENE STRANI Slab neskončne debeline, ki ima prvotno enakomerno temperaturo po vsem prerezu, potisnemo v medij s konstantno temperaturo Ta. Predpostavljamo, da na kontaktu med slabom in okolico ni nobenega toplotnega upora in temperatura površine slaba v trenutku naraste na vrednost Ta. Fou-rierjeva diferencialna enačba za prevajanje toplote v eni smeri se reducira na dT d2T Fourier je pokazal, da je rešitev te enačbe za telo, ki ima enakomerno temperaturo in doživi nenadno temperaturno spremembo na površini, predstavljena z eksponencialno funkcijo e—p1 eqx V tem izrazu sta p in q konstanti, t je čas, x pa razdalja od površine. Ce je to izhodišče, lahko postavimo vrsto enačb, ki opisujejo spremembo temperature s časom in razdaljo. Mora pa enačba vsebovati eksponencialni člen in zadostiti vsem robnim pogojem. Splošna enačba tega tipa je T = C, + C2x + Cje-p^ (2) Kjer so Ci, C2 in C3 konstante. Schack daje za opisane robne pogoje modificirano enačbo Enačbo (5) lahko napišemo tudi v drugi obliki T = Ci + C2x + C3 2 pz = x/2Vat V« e—22 dz (3) z = o LC* e-z Jt 1 «- o Slika 1 Robni pogoji pa so za x > o t = o T = T0 za x = o t = o T = Ta za x = o t $ o T = Ta = Ci Ta je temperatura površine slaba takoj nato, ko je slab prišel v stik z okolico. Za x > o in t = o ima slab svojo prvotno temperaturo T0. Tt = o — Ci + C2x + C3 = T0 (4) To pa je res samo takrat, kadar je C2 = o, kjer bi se morala sicer temperatura To spreminjati z x, predpostavili pa smo, da je enakomerna. Tako dobimo: T„ = Ci + C3 ali C3 = T0 —Ta Če ta izraz postavimo v enačbo (3) dobimo T = Ta+ (T0 — Ta) . —p= ali v krajši obliki T = Ta+ (T0 — Ta) - f, 2 px/2Vat 2 Vat e-z2 dz (5) kjer je fj (x/2Vat) oznaka za vrednost Gaussovega integrala napake v odvisnosti od brezdimenzijske skupine x/2VaF (glej sliko 1). Ta—T Ta-T„ = f, , — ( 2Vat (6) kjer spoznamo izraz e-z2 dz kot verjetnosti integral ali Gaussov integral napake, ki ima vrednosti med 0 in 1 (glej sliko 1). S pomočjo enačbe (6) lahko izračunamo temperaturo T v vsaki razdalji x in ob vsakem času t. Na kratko sem podal eno možnih rešitev diferencialne enačbe (1). Za drugačne robne pogoje so rešitve bolj komplicirane, v določenih primerih pa analitične rešitve sploh ni mogoče najti. Zato v novejšem času uporabljamo numerione metode in elektronske digetalne računalnike. GRAFIČNO DOLOČANJE ČASOVNE RAZDELITVE TEMPERATURE Za mnoge praktične primere je v literaturi težko najti rešitve za časovno razdelitev temperature, ker je izračun predolg ali pa matematično preveč zahteven. Že leta 1924 je E. Schmidt v delu »Foppls Festschrift« razvil za take primere grafično metodo. Vzemimo slab, ki je neskončno širok in ima končno debelino. Splošno so odnosi med temperaturo in časom določeni z diferencialno enačbo (1). Temperatura v katerikoli točki v slabu je funkcija časa in oddaljenosti. Slab razdelimo na več enakih plasti debeline Ax in jih opazujemo v enakih časovnih intervalih z)t. Pri konstantni razdalji točke od ene površine slaba, ki naj znaša x, označim z /|Tt narastek temperature v časovnem intervalu /It. Pri konstantni vrednosti za t pa označimo spremembo temperature z globino x kot zlTx. Enačbo (1) lahko napišemo takole: AT, A2TX _ - - - « — (7 LIt Ax2 A t ali ATt = a —-- • J2TX (8) Jx2 Na sliki 2 je slab razdeljen na posamezne plasti v debelini Ax. Naj T n. mOznacuje temperaturo v n-ti plasti od površine in po m časovnih intervalih, torej po času m ■ At. če vzamemo x konstanten, je izražena sprememba temperature v odvisnosti od časa v plasti, ki je oddaljena m • Ax od površine z izrazom: A Tt = T„,, — T (9) Če pa vzamemo t konstanten je izražena sprememba temperature z razdaljo: ATX = Tn + , m — Tn m (10) in za izraz razlike dveh razlik dobimo: A2TX = A (dTx) = (T m 4- 1, m — T ) — 1 n, m / (Tn, n — 1, m ) (11) Ce pa te izraze vstavimo v enačbo (8) dobimo: Tn, m + 1 ^n, m = a • —r"r[ C^n + 1, m Tn> m ) A* 1 -(T„,m-Tn_,,m )] (12) Vedno je mogoče izbrati debelino plasti in časovni interval tako, da je At 1 d.-= — (13) (za konstantne fizikalne lastno- A*2 2 sti) in tako reduciramo enačbo (12) v izraz 1 m + 1 = 2 + m _ m ) (14) Enačba (14) je osnova grafične metode in kaže, da je temperatura katerekoli točke ob kateremkoli času aritmetična sredina dveh temperatur pri + in —Ax v predhodnem časovnem intervalu. Premica, ki je potegnjena skozi vrednosti za temperaturo pri (n — 1) Ax in (n + 1) z)x preseka vertikalno črto za oznako plasti v točki, ki je aritmetična sredina prejšnjih temperatur; pri (n — 1) Ax in (n + 1) A*- Celotno metodo je mogoče zasledovati na sliki 2, kjer je prikazan vsak časovni interval posebej. Slika 2 Vzemimo simetričen slab, ki ima začetno temperaturo T0 in nenadoma obe površini ohladimo na temperaturo Ta. Pojavi se toplotni tok v smeri x. Ker je material homogen, je razdelitev temperatur okrog srednice simetrična in lahko opazujemo samo eno polovico slaba. Polovica slaba, ki jo opazujemo, je razdeljena na enakomerne plasti x. Zax = o t = o T = Ta x>o t = o T = T0 Po preteku časa t je temperatura v ploskvi B — B' aritmetična sredina med T0 in Ta, to je Bi. Temperatura v ravninah C, D in E pa ostane v tem časovnem intervalu nespremenjena. V drugem časovnem intervalu pade temperatura pri C v ploskvi C — C' na vrednost C2, temperatura v točkah D in E pa ostane nespremenjena. V tretjem časovnem intervalu pade temperatura v ploskvi B — B' od Bi na B3 in temperatura v točki D na vrednost D3. V tem intervalu ostane temperatura v središčni ploskvi nespremenjena, ker je aritmetična sredina vrednosti pri ± Ax od središčne ploskve, ki pa sta obe pri T0. V četrtem intervalu pade temperatura v ploskvi C — C' od vrednosti C2 na C4, temperatura v središču E4 pa je srednja vrednost dveh identičnih vrednosti D3 pri ± Ax od središčne ploskve in leži zato na vodoravni črti. Ta proces lahko nadaljujemo v neskončnost, pri tem pa vsaka vodoravna črta čez središčnico predstavlja dva časovna intervala. ČASOVNA RAZDELITEV TEMPERATURE PRI DOLOČENI POVRŠINSKI TOPLOTNI UPORNOSTI Primeri, pri katerih bi površina slaba v trenutku sledila spremembam temperature okolice, so mogoči le teoretično. S podobno grafično metodo je mogoče najti rešitev tudi takrat, kadar obstaja določen toplotni prehodni koeficient, ki povzroča temperaturni padec med okolico s temperaturo Ta in površino s temperaturo Tf. Ce napravimo toplotno bilanco na površini materiala dobimo: k dT dx / x = „ = h (Ta —Tf) (15) k — toplotna prevodnost h — toplotno prehodni koeficient Temperaturni gradient na površini je tako podan z izrazom dT \ Ta — Tf dx / x = o k/h (16) Vsaka črta, ki v koordinatnem sistemu T — x preseka površino mora imeti naklon (Ta—Tf) / (k/h). SatDUJA PLOHI* 0' i' 6' C' V Slika 3 Na sliki 3 je slab razdeljen na plasti debeline Ax, vendar pa so razporejene tako, da je površina na polovični razdalji plasti. Vzrok za to bo razviden iz konstrukcije. Izhodišče o pa je postavljeno v razdalji k/h od površine, na temperaturi Ta. Črta iz izhodišča o skozi površino ima naklon (Ta-Tf) / (k/h). Ce na levo od površine narišemo črto v razdalji Ax/2 lahko uporabimo Schmidtovo metodo in vsak drugi časovni interval predstavimo s črto, ki seka površino s pravilnim naklonom. Tako je površina mesto vseh Tf. Konstrukcijo nadaljujemo dokler ne presekamo srednjo ploskev s črto, ki je narisana k črti za zfx/2 na desno od sredine. Ker so plasti premaknjene Ax/2 na desno, je črta, ki leži za /}x/2 na desno od srednice zrcalna slika ploskve, ki leži Ax/2 na levo od sredine. S to približno metodo lahko proučujemo tudi primere, ko toplotni tok ni simetričen in bi nas matematična obdelava privedla do kompliciranih izrazov. Do tega pride takrat, kadar sta površini na različnih temperaturah, ali pa če temperature doživljajo ciklične spremembe. Prav tako je Schmidt obdelal nekaj kompleksnih problemov, npr.: toplotni tok s sestavljeno steno iz različnih materialov. SIMULIRANJE POTISNE PECI Z ELEKTRONSKIM RAČUNALNIKOM Eksplicitna metoda V naslednjem se bomo omejili na enodimenzionalno analizo ogrevanja slabov, z uporabo eksplicitne metode končnih diferenc. Na sliki 4 smatramo po dogovoru, da so v točkah od 1 do m (nodah) koncentrirane vse fizikalne lastnosti pripadajočih plasti. i 2N, Mi Mi —2N, —2 Mi 2 M, dobimo enačbo: F.,i -T. + Fi,! -TI + F2i1 • T2 = T'i (29) Pri tem pa mora biti izpolnjen pogoj: a, 1 F,,i + F2I1 = 1 M, F,.i >o - 2Ni — 2 > o ali Jt < M, > 2Ni + 2 Ax2 ai-2(Ni+ 1) (30) Enačba 30 daje prvi pogoj za določitev časovnega intervala. Toplotno bilanco napravimo na vseh plasteh in pišemo splošno: ke A . Ax . Ce • P (T'e — Te) = — . A (T, _ Te) At — Ax ke . A. (Te-Te + 1) (31) Jx sledi: Te _, - 2Te + Te + , = Me (T'e — Te) (32) postavimo faktorje: Fe-1, I Fc,e = Me —2 Fe M.' Me Me - 1, c + Fe,e e + 1 pogoj za stabilnost je: k e, e Me > 2 Iz izvajanja za prvo plast smo dobili pogoj za stabilnost: Mi > 2Ni + 2 Torej bomo izbrali večjega od obeh. Ker Ni ne more biti negativen, (pri ogrevanju je h pozitiven) je vedno Mi > Me in lahko ohranimo prvotne pogoje za stabilnost metode. At < Ax2 ai ■ 2 (N, + 1) Pogoj za stabilnost metode je, da nobeden od koeficientov ni enak o. Ker F2j in F , ne moreta biti nič je torej pogoj: Metoda pa bo tem točnejša čim krajši časovni interval bomo izbrali. S krajšim intervalom pa se povečuje število ponovitev za določen čas ogrevanja t in s tem tudi strojni čas na elektronskem računalniku. Opisana eksplicitna metoda končnih diferenc je zelo primerna, če je na razpolago digitalni elektronski računalnik. Ker po tej metodi rabimo za izračun temperature T'm ob času t + + At, temperature Tm _ ,, Tm Tm + , ob času t, predpostavili pa smo, da na spodnji površini nimamo toplotne izmenjave, zadostimo temu pogoju, da je Tm + 1 = Tm Metoda nam omogoča, da upoštevamo toplotno prevodnost in specifično toploto kot funkcijo temperature, saj moramo za vsak časovni interval ponoviti izračun za vsako plast. Metoda je splošna, ker izračune lahko opravimo za vse materiale, za katere poznamo fizikalne lastnosti in njihovo odvisnost od temperature. Za popolno simulacijo pa moramo poznati tudi matematični model, po katerem lahko določamo toplotno prehodna števila. Po eksplicitni metodi smo napravili nekaj kratkih programov, zelo izpopolnjen program, ki se je uporabljal predvsem pri konstituiranju potisnih peči pa smo napisali na osnovi implicitne metode končnih diferenc. Implicitna metoda končnih diferenc Slika 5 Če pogledamo sliko 5 in enačbo (21) ter izvajanja omejim ona enoto površine, namesto d, . p pa vstavimo vrednost cv s (volumska specifična toplota) dobimo: Qa,s = ~ -cViS • (T's-Ts) (33) in postavimo toplotno kapaciteto: (34) r Ax = ~Y ■ cv Na isti način lahko napišemo izraz za toplotno kapaciteto za drugo mejno plast: Cm=— -cvm (35) Iz slike 5 vidimo, da je 1 1 ce = -y • cv, e • Ax + — ■ cv> e + j . Ax (36) označimo z Ue = Ax in napravimo toplotno bilanco za prvo plast Cs. AT\ A t = Ui (T*s — T*i) + 0*s (37) je oznaka za časovno povprečje (glej kasneje) za e — to plast Ca- AT\ At = —Ue + 1 (T*e —T*e + 1) — -Ue(T*e — T*e_,) in zadnjo plast AT*n Cm • At (38) -Um (T*m — T*m _ , ) + 0* (39) Iz enačbe (38) dobimo, (T*e — T V) Ce - = -Ue + 1(Te*-T*e + 1) A t Ue (T*e T*e _ j) + T*eUe + 1 T* Ue = TV • At r.l-£ + u.tl+u.-)-Tv+ Ce At Ue + , + Ue > O Za vsako točko izračunamo Ce At < Ue + , + Ue in vzamemo najmanjši izračunani A t, kar v matematični obliki pišemo takole Ce At < t — min------ (Ue + , + Ue) e — o,m + 1 Pri tem pa vzamemo U„ in Um + , = o vzamemo, da je n + n +1 in označimo s T^ pa temperaturo v točki e po preteku časa x 2 Atn n—1 z Te + 1 temperaturo v točki e po preteku časa x + i S Atn n=l Enačbe (37, 38 in 39) lahko razvijemo naprej Cs • "V5, = - U, (Ts* - Tj) + Os* AT * Atx + i ATs ATS* - 1 Atx + i Tx + i + r U, Cs • Ts Tsx + 1 + Tsx 2 + 1 + +1 At x + i At x + i jX - U, + U, Tx + i -=-Ui 2 2 2 ( Cs + l Atx + 1 1 o u, ,Tx + i _ -/ C* 1 • U, ) • T>- + l Atx + i ~ 2 + 2 + { Vit (40) AtA T 1 2 rx + i Ue Te — 1 --Ue + 1 T X + 1 6 + 1 TeX + 1" Ce At x + i 1 (Ue+ Ue+l) Te + + 2Ue+lTt+1 (41) ' L^jr-1 ' Lm T^±i At7-4"1 2 / 2 1 i+i t c 7 0m '- ■X + 1 Uj Tm + _ t) - i284 *C ? ri-(!60'C T5-(207'C Na enak način dobimo iz enačb 38 in 39 izraza: j(Ue+Ue+1) Slika 6 Hirsosr ooeZVAPM 679 lid/H2r) nce 25 I. («67 f. BABStH IH S-JB >«_0 UOtfE At + 2 Um Tm - I + — 0m (42) Enačbe dobljene na ta način tvorijo sistem nehomogenih linearnih enačb, ki ga rešujemo s pomočjo matric. Matrico, ki jo dobimo iz tega sistema enačb, imenujemo tridiagonalno matrico. Reševanje sistema in matric ne bom obravnaval. Razlike med eksplicitno in implicitno metodo končnih diferenc Pri eksplicitni metodi smo dobili odvisnost temperature Tex + 1 od Te, T^ in Tx_, in smo lahko iskano temperaturo direktno izračunali. Pri implicitni metodi pa nastopa temperatura Te" + 1 na levi strani enačbe, skupaj z T^ / in £ / in moramo zato reševati sistem nehomogenih linearnih enačb. Prednosti implicitne metode (I. T. Anderson, J. M. Botjee and W. K. Koffel: »Com-parison of thelmplicit and Explicit Methods for Finite Difference in Heat — Transfer Calculations« Transations of ASME, November 1961 str. 561) so naslednje: Stabilnost metode ni odvisna od dolžine časovnega intervala, zato lahko občutno zmanjšamo strojni čas na elektronskem računalniku. V pogledu točnosti rezultatov pa sta metodi enakovredni. tM/M I 3.0 UgE jpe£De«/tjf couilAlii laaitvuicoui i-an aevUvAtu. (cfiLOUM DOLŽIUA 3i 5 n) Slika 7 Zaključek Slika 6 in 7 prikazujeta končno interpretacijo simuliranja potisne petconske peči za ogrevanje slabov. Ogrevanje je simetrično v predgrevnih in ogrevnih conah. Zgornja krivulja predstavlja predpostavljen potek temperature v peči, v diagram pa so vrisane temperature zgornje in spodnje povr- Slika 8 šine. Zanimivo je, da v izenačevalni coni, kjer imamo enostransko ogrevanje, pade temperatura spodnje površine pod temperaturo sredine. Na sliki 8 sta prikazani dve krivulji, ki predstavljata kapaciteto neke peči na osnovi boljšega ali slabšega izenačevanja temperature slaba. Za tako zvezo je bilo izdelanih mnogo temperaturnih profilov. Na ta način lahko brez peči zasledujemo ogrevanje raznih jekel pri različnih pogojih v pečeh. Konstruktor lahko določa dolžino peči in posa- meznih con ter pri tem zagotovi dobro pregret material, ki je tudi pravilno temperaturno izenačen. Uporabnik peči lahko ugotovi možne kapacitete za jekla različnih kvalitet in dimenzij ter eksperimentira s pečjo, ki jo je nadomestil matematični model. Zanimivo je, da se na modelu pokažejo težave za ogrevanje materiala povsod tam, kjer so nanje naleteli tudi v praksi. Z novimi metodami se odpirajo velike možnosti za boljše konstrukcije, boljše izkoriščanje kapacitet in bolj ekonomično obratovanje. ZUSAMMENFASSUNG Alle Erscheinungen bei der Envarmung von Stahl in Walzwerks-Stossofen, so wie auch an anderen Aggregaten sind voriibergehende Erscheinungen. Damit wir uns theo-retisch der Losung dieser Probleme nahern iviirden, war zu kompliziert fiir die alltagliche Praxis. Die graphischen Methoden sind viel schneller, jedoch aber auch langvvierig und starr. In der modemen Zeit wurden auch Probleme dieser Art auf dem Elektronenrechner programmiert und man erhielt noch bessere Losungen. Das ist zweckmassig besonders dann, wenn man die genaue Losung in kurzer Zeit finden muss oder es notwendig ist, die Antvvorten sehr oft zu bekommen. SUMMARY Heating of slabs in slab furnace or in any other heating facility is transient phenomenon. For day to day practice it is too complicated to find theoretical solution of such problems. Graphical methods are faster but also too tedious and rigid. Nowadays the problems of this kind are programmed on computer and better results are obtained. It makes sense particularly when exact ansvver is needed very fast or very often.