1 LETNIK 32 (2004/2005) ŠTEVILKA 5 // VERIŽNI EKSPERIMENT DIGITALNI VIDEO ŠTEVILSKA KRIŽANKA LETO FIZIKE 2005 // Presek 5-revija-9.indd 1 4/11/2005 13:24:17 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 2 Uvodnik Pierre Simon Laplace strani 8 do 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Dragi bralci in bralke, tokratna številka Preseka prinaša dve nadaljevanji člankov iz prejšnje številke. To sta članek o linearnih preslikavah ravnine in nadaljevanje članka o LaTeXu, programu za oblikovanje matematičnih besedil. Pri prvem prispevku vam priporočamo, da ob branju uporabljate tudi papir in svinčnik. Linearne preslikave v ravnini bodo zaživele veliko lepše, če si jih boste sami skicirali na papir. Pri drugem prispevku namesto papirja in svinčnika uporabite računalnik. V obeh prispevkih o LaTeXu je podanih že dovolj podatkov, da lahko poskusite oblikovati svoja prva besedila. Vendar pa bistvenega o LaTeXu, to je oblikovanje matematičnih izrazov, zaenkrat še ne vemo. O tem bo avtor pisal v prihodnji številki. V fizikalnem delu vas vabimo, da si preberete zapisa o prvih dveh členih demo verižnega eksperimenta. Večina med vami sicer še ni voznikov, vseeno pa mislim, da je prispevek o vzporednem parkiranju lahko zelo zanimiv tudi za nevoznike. V razvedrilnem delu Preseka boste tokrat, poleg običajne križanke, našli tudi zanimivo številsko križanko. Prijetno branje in lepo pomlad vam želi Maja Klavžar odgovorna urednica Preseka Presek 5-revija-9.indd 2 4/11/2005 13:24:18 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 3 Kazalo Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in raèunalnikarje letnik 32, šolsko leto 2004/2005, številka 5 Uvodnik Nagovor odgovorne urednice ................................................................................... 1 Matematika Linearne preslikave ravnine in 2×2 matrike (drugi del) ............................................ Pierre Simon Laplace – kemik ................................................................................. Z barvanjem hišk do formul za vsoto potenc ............................................................. Poročila s tekmovanj ............................................................................................... 2 Fizika Vzporedno parkiranje .............................................................................................. Verižni eksperiment ................................................................................................ 3 Računalništvo Mala šola LaTeXa (drugi del) .................................................................................. Digitalni video ........................................................................................................ 4 Astronomija Mlada in stara Luna ............................................................................................... Razvedrilo Mala številska križanka ........................................................................................... Križanka ................................................................................................................. Tekmovanja Tekmovanja ............................................................................................................ KAZALO stran 2 stran 5–8 stran 8–9 stran 10–11 stran 12–13 stran 15–17 stran 21–23 stran 25–27 stran 28–29, 33 stran 31–33 stran 17 stran 18–19 priloga Presek 5-revija-9.indd 3 4/11/2005 13:24:18 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 4 15 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 M A T E MATIKA 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 1 2 1 2– j i 3 2 √ — 3 2 √ — 56 0 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 pascalov trikotnik binomski simbol potence spremenljivke prvi problem barvanja hišk drugi problem barvanja hišk function H(d,j: integer): real; begin if (j>d) then H:=0 else begin if (j=1) or (d=1) then H:=1 else H:=j*(H(d-1,j)+H(d-1,j-1)); end; end; { ∑ A B C D voda ni element merjenje toplote Presek 5-revija-9.indd 4 4/11/2005 13:24:19 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 5 MATEMATIKA Linearne preslikave ravnine in 2 2 matrike (drugi del) \ Linearne preslikave in 2×2 matrike Naj bo A : R R linearna preslikava ravnine. Kot običajno označimo z i in j enotska vektorja na abscisni in ordinatni osi, i = 1 0 in j = 0 1 . Označimo koordinati vektorja Ai z a11 in a21, koor- dinati vektorja A j pa z a12 in a22: A 1 0 = a 11 a 21 in A 0 1 = a 12 a 22 . Sedaj pa bomo pokazali, da je linearna preslika- va A s temi štirimi števili že natančno določena. Res, če poznamo števila a11, a12, a21 in a22, potem zlahka ugotovimo, kam transformacija A presli- ka poljuben vektor xy . Spomnimo se, da je xy = xi +yi . Sedaj pa upoštevajmo, da je A(r +s )= A(r )+A(s ) A x y = A((xi )+(yj ))=A(xi )+(yj ) in nato še A(tr )=t (Ar ) A x y = xAi +yAj =x a 11 a 21 +y a 12 a 22 , pa dobimo A x y = a 11 x+a 12 y a 21 x+a 22 y . Z matričnima stolpcema a 11 a 21 in a 12 a 22 je torej linearna preslikava natančno določena. Zložimo ju v 2×2 matriko: a 11 a 12 a 21 a 22 . Linearni preslikavi A smo priredili 2×2 matriko, in sicer tako, da smo v prvi stolpec postavili koor- dinati vektorja Ai , v drugi stolpec pa koordinati vektorja A j . Izračunajmo matriko, ki pripada rotaciji ravnine okoli izhodišča za kot 30° v pozitivni smeri. Ugo- toviti moramo, kam ta transformacija preslika bazna vektorja i in j . Pomagamo si s sliko: 1. MATIKA ∑ 35 35 35a a 0 1 2 1 2– j i 3 2 √ — 3 2 √ — Presek 5-revija-9.indd 5 4/11/2005 13:24:20 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 6 MATEMATIKA Iz te razberemo, da je R30° 1 0 = √–3 2 1 2 in R30° 0 1 = √–3 2 1 2 . Zato rotaciji ravnine okoli izhodišča za kot 300 v pozitivni smeri pripada matrika √–3 2 1 2 √–3 2 1 2 (1) Pri zasuku ravnine okoli izhodišča za pravi kot v negativni smeri se vektor i preslika v – j , vektor j pa v vektor i . Zato tej linearni transformaciji pri- pada matrika 0 1 –1 0 . (2) Prav tako je očitno, da se pri zrcalje- nju ravnine preko simetrale drugega in četrtega kvadranta vektor i preslika v – j , vektor j pa v – i in zato temu zrca- ljenju pripada matrika 0 –1 –1 0 . (3) In končno izračunajmo še matriko, ki pripada pravokotnemu projiciranju na premico y=2x . Vsaka premica, ki je pravokotna na y=2x , ima enačbo y=– 12 x+n. Iz tega snopa premic izbe- remo tisti dve, ki potekata skozi končni točki vektorjev i in j . To sta y=– 12 x+ 1 2 in y=– 12 x+1. Pri pravokotni projekciji na premico y=2x se vektor i preslika v krajevni vektor presečišča premic y=2x in y=– 12 x+ 1 2 , torej v vektor 2 5 1 5 , vektor j pa v krajevni vektor presečiš- ča premic y=2x in y=– 12 x+1, torej v 4 5 2 5 . Zato tej projekciji pripada matrika 2 5 1 5 4 5 2 5 . (4) Naj bo dana linearna transformacija A : R R. Tako kot zgoraj tej linearni transformaciji priredimo matriko a11 a12 a21 a22 . Potem že vemo, da linearna transfor- macija A preslika vektor xy v vektor a11x+a12y a21x+a22y . Zato bomo definirali produkt 2×2 matrike a11 a12 a21 a22 in 2×1 matrike xy s predpisom a11 a12 a21 a22 x y = a11x+a12y a21x+a22y . (5) Torej je produkt 2×2 matrike z 2×1 matriko matrika velikosti 2×1. Kako si zapomnimo formulo, s katero smo definirali produkt 2×2 matrike in 2×1 matrike? Spomnimo se, kako ska- larno množimo vektorje. Vektorja u v in w z skalarno zmnožimo tako, da najprej zmnožimo njuni prvi koordinati, nato pa zmnožimo še njuni drugi koordinati in dobljena produkta seštejemo: uw+vz. Sedaj opazimo, da v enakosti (5) prvo koordinato produkta a11x+a12y dobimo tako, da prvo vrstico matrike a11 a12 a21 a22 skalarno množimo z xy , drugo koordi- nato produkta pa dobimo s skalarnim množenjem druge vrstice matrike a11 a12 a21 a22 z matričnim stolpcem xy . Če torej linearni transformaciji pri- redimo matriko, potem se točka xy s to linearno transformacijo preslika v točko, katere koordinati dobimo tako, da to matriko pomnožimo z matrič- nim stolpcem xy . Za zgled izračunaj- mo pravokotno projekcijo točke 23 na premico y=2x . Tej projekciji pripada matrika 2 5 1 5 4 5 2 5 in zato se pri tej projekciji točka 23 preslika v 2 5 1 5 4 5 2 5 2 3 = 16 5 8 5 . Če za hip opustimo matrični zapis in se vrnemo k običajnemu zapisu, potem ugotovimo, da je pra- vokotna projekcija točke (2,3) na premico y=2x točka (8/5, 16/5). \ Množenje matrik Sedaj pa podobno, kot smo definirali produkt 2×2 matrike in 2×1 matrike, definiramo produkt dveh 2×2 matrik. Produkt 2×2 matrik M= a11 a12 a21 a22 in N= b11 b12 b21 b22 je 2 × 2 matrika, v kateri je (1,1)-ti člen enak skalarnemu produktu prve vr- stice matrike M s prvim stolpcem matrike N, (1,2)-ti člen enak skalarnemu produktu prve vr- stice matrike M z drugim stolpcem matrike N, (2,1)-ti člen enak skalarnemu produktu druge vrstice matrike M s prvim stolpcem matrike N, (2,2)-ti člen enak skalarnemu produktu druge vrstice matrike M z drugim stolpcem matrike N. Povedano na kratko, (i,j )-ti člen produkta MN je enak skalarnemu produktu i-te vrstice matrike M z j -tim stolpcem matrike N. Zapišimo to še s for- mulo a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 a11b11+a12b21 a21b11+a22b21 = a11b12+a12b22 a21b12+a22b22 . (6) Dodajmo še dva zgleda: 2 3 –1 4 –2 1 5 7 = 2·(–2)+3·5 (–1)·(–2)+4·5 2·1+3·7 (–1)·1+4·7 11 23 22 27 = in 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 1 0 0 . V drugem zgledu zamenjajmo vrstni red faktor- jev, pa dobimo Presek 5-revija-9.indd 6 4/11/2005 13:24:22 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 7 MATEMATIKA 0 1 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0 0 . Ugotovili smo, da obstajata taki matriki S in T, da je ST≠TS. Rečemo, da matrično množenje ni komutativno. Ali ne bi bilo bolj naravno matrike množiti tako, da bi množili istoležne člene? Zakaj smo množe- nje definirali s precej bolj zapleteno formulo (6)? In povrh vsega je to množenje še nekomutativno! Takoj bomo spoznali, da je zgornja izbira formule za produkt 2×2 matrik smiselna in »edina na- ravna«. Spomnimo se, da smo 2×2 matrike pri- redili linearnim transformacijam ravnine. Naj bosta dani dve linearni transformaciji ravnine A,B : R R. Če najprej vsak vektor v ravnini pre- slikamo s transformacijo A, nato pa tako dobljeni vektor transformiramo še z linearno preslikavo B, dobimo novo transformacijo ravnine, ki jo ime- nujemo produkt (kompozitum) transformacij B in A. Transformacija BA torej preslika vsak vektor r !R s predpisom (BA)r =B(Ar ). Hitro se je mogoče prepričati, da je produkt line- arnih transformacij tudi linearna transformacija. V naslednjem koraku bomo pokazali, da če line- arni transformaciji A pripada matrika a 11 a 12 a 21 a 22 , linearni transformaciji B pa matrika b 11 b 12 b 21 b 22 , potem linearni transformaciji BA pripada matrika b 11 a 11 +b 12 a 21 b 21 a 11 +b 22 a 21 b 11 a 12 +b 12 a 22 b 21 a 12 +b 22 a 22 . Torej produktu linearnih transformacij pripada produkt ustreznih matrik. Za dokaz gornje trditve moramo pokazati, da BA slika vektor i v (b11a11+b12a21)i +(b21a11+b22a21)j , vektor j pa v (b11a12+b12a22)i +(b21a12+b22a22)j . Vemo, da je Ai = a 11 a 21 in zato (BA)i =B(Ai )= b11 b12 b21 b22 a11 a21 = b11a11+b12a21 b21a11+b22a22 . Premislimo še, kam BA preslika vek- tor j . Koordinati vektorja Aj najdemo v drugem stolpcu matrike A. Potem pa koordinate vektorja B(Aj ) dobimo tako, da pomnožimo matriko b11 b12 b21 b22 z 2×1 matriko a12 a22 . Torej prvo koordinato vektorja (BA)j dobimo tako, da prvo vrstico matrike, ki pripada linearni preslikavi B, ska- larno pomnožimo z drugim stolpcem matrike, ki pripada linearni preslikavi A, drugo koordinato vektorja (BA)j pa tako, da drugo vrstico matrike, ki pripada linearni preslikavi B, skalarno pomnožimo z drugim stolpcem matri- ke, ki pripada linearni preslikavi A. To pa sta ravno člena v drugem stolpcu produkta matrik, ki pripadata linear- nima transformacijama B in A. \ Rešitev uvodnega problema Spomnimo se začetne naloge. Ravnino najprej zavrtimo okoli izhodišča za kot 30˚ v pozitivni smeri, jo nato pravokot- no projiciramo na premico y=2x , po- tem jo prezrcalimo čez simetralo dru- gega in četrtega kvadranta ter jo na koncu še zasukamo okoli izhodišča za pravi kot v negativni smeri. Kje konča točka (x,y ), ko opravimo vse štiri opi- sane transformacije? Najprej ravnino preslikamo s transfor- macijo, ki ji pripada matrika (1), nato pa s transformacijo, ki ji pripada ma- trika (4). Produktu teh dveh linearnih transformacij torej ustreza produkt matrik 2 5 1 5 4 5 2 5 √ – 3 2 1 2 √ – 3 2 1 2 = √ – 3+2 10 2√ – 3+4 10 2√ – 3–1 10 4√ – 3–2 10 (pri tem smo pazili na vrstni red matrik, saj množenje ni komutativno!). Da bi dobili matriko, ki pripada produktu vseh štirih linearnih transformacij v naši na- logi, moramo zgornjo matriko najprej pomnožiti na levi strani z matriko (3) in potem še z matriko (2). Računajmo: = √ – 3+2 10 2√ – 3+4 10 2√ – 3–1 10 4√ – 3–2 10 0 –1 –1 0 2√ – 3+4 10 √ – 3+2 10 4√ – 3–2 10 2√ – 3–1 10 in še = √ – 3+2 10 2√ – 3+4 10 2√ – 3–1 10 4√ – 3–2 10 0 1 –1 0 2√ – 3+4 10 √ – 3+2 10 4√ – 3–2 10 2√ – 3–1 10 . Točko xy zaporedje naših štirih linear- nih transformacij preslika v √ – 3+2 10 2√ – 3+4 10 2√ – 3–1 10 4√ – 3–2 10 x y = √ – 3+2 10 2√ – 3+4 10 2√ – 3–1 10 4√ – 3–2 10 x – x+ y y . Na koncu sestavka se ponovno vrnimo k običajnemu zapisu koordinat točk v ravnini. Ugotovili smo, da se potem, ko opravimo vse štiri transformacije, opisa- ne v nalogi, točka (x,y) preslika v točko √ – 3+2 10 x –– 2√ – 3–1 10 y,2√ – 3+4 10 x+4√ – 3–2 10 y . \ Kako naprej? Podobno kot ravninske bi lahko ob- ravnavali tudi linearne transformacije trorazsežnega prostora. Ugotovili bi, da so zrcaljenja preko ravnin, ki vsebujejo izhodišče, projekcije na take ravnine, rotacije okoli osi, ki potekajo skozi izho- dišče,... linearne preslikave. Vsaka taka linearna preslikava je natanko določena, ko poznamo slike baznih vektorjev i, j in k . Koordinate slik teh vektorjev po- stavimo v matriko, in sicer v prvi stol- pec koordinate slike vektorja i, v drugi stolpec koordinate slike vektorja j in v tretji stolpec koordinate slike vektorja k . Tako linearni preslikavi priredimo 3×3 matriko. Označimo to matriko z M. Če hočemo izvedeti, kam se pri tej linearni transformaciji preslika točka (x,y,z), potem M pomnožimo z matrič- nim stolpcem x y z . Presek 5-revija-9.indd 7 4/11/2005 13:24:24 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 8 Dobimo 3×1 matriko s koordinatami toč- ke, v katero se preslika točka (x,y,z). Pri tem produkt 3×3 matrike M z matriko x y z definiramo podobno kot v dvodimenzio- nalnem primeru. Rezultat je 3×1 matri- ka, katere prvi člen je skalarni produkt prve vrstice matrike M s stolpcem x y z , drugi člen je skalarni produkt druge vr- stice matrike M s stolpcem x y z , tretji člen pa je skalarni produkt tretje vrstice matrike M s stolpcem x y z . Produktu (kompozitumu) dveh linear- nih transformacij pripada produkt ma- trik. Produkt dveh 3×3 matrik je 3×3 matrika. Njen (i,j )-ti člen dobimo s skalarnim množenjem i-te vrstice prve matrike in j-tega stolpca druge matri- ke. Linearne transformacije lahko tudi seštevamo in množimo z realnimi šte- vili. Te operacije se na naraven način prenesejo na pripadajoče matrike. Seveda pa lahko trorazsežni prostor linearno preslikamo tudi na ravnino. Na primer, prostor lahko pravokotno projiciramo na osnovno ravnino (xy), prostor lahko projiciramo na to ravni- no v smeri kakšnega fiksnega neničel- nega vektorja,... Tudi takim linearnim preslikavam priredimo matrike. Pre- mislimo, kako bi to storili. Linearno preslikavo prostora v ravnino pozna- mo, če poznamo slike vektorjev i, j in k . Tako kot prej koordinate slik teh vektorjev postavimo v matriko, in sicer v prvi stolpec koordinati slike vektorja i, v drugi stolpec koordinati slike vektorja j in v tretji stolpec koordinati slike vek- torja k . Tako linearni preslikavi pri- MATEMATIKA Pierre Simon Laplace – kemik Pierre Simon Laplace je eden največjih francoskih znanstvenikov s konca 18. in začetka 19. stoletja. Rodil se je leta 1749 na severu Francije v vasi Beaumont-en- Auge v Normandiji. Umrl je leta 1827 v Parizu. V katerikoli enciklopediji ali knjigi zgodovine znanosti lahko preberemo, da je bil Laplace astronom, matematik, po- nekod pa piše, da je bil tudi fizik. Seveda je vse to zares bil. Vendar se je Laplace v do- ločenem obdobju svojega življenja ukvarjal tudi s kemijo in o tem govori ta članek. Zavedajoč se svoje velike nadarjenosti je leta 1766 sedemnajstletni Laplace od- šel v Pariz, kjer je ostal do konca svojega življenja. Kmalu se je proslavil s svojimi ra ziskovanji v matematični astronomiji. Eden njegovih prvih pomembnejših re- zultatov je bil dokaz stabilnosti kroženja planetov okrog Sonca glede na majhne pe- riodične vibracije. Že leta 1773 je postal (dopisni) član pariške akademije znanosti, za časa svojega življenja pa je prejel vsa možna priznanja, ki jih je tedaj lahko dobil znanstvenik v Franciji. Njegova glavna dela se nanašajo na astro- nomijo in na verjetnosti račun. Leta 1796 je objavil astronomsko delo Prikaz sistema sveta, v katerem ni niti ene matematične formule, v obdobju med 1798 in 1825 pa v petih delih Nebeška mehanika, ki je vse- bovala vsa astronomska vedenja tistega časa. Postavil je teorijo o nastanku Sonče- vega sistema, za katero danes vemo, da ni redimo matriko s tremi stolpci. Slika vektorja i leži na ravnini in ima zato dve koordinati. Isto velja za sliki vek- torjev j in k . Torej sta v vsakem stolpcu naše matrike dva člena in imamo zato opravka z 2×3 matriko. Podobno linearni transformaciji iz rav- nine v trorazsežni prostor priredimo 3×2 matriko. Točke v ravnini ponavadi identificiramo z urejenimi pari njihovih koordinat. Vsa- kič, kadar zapišemo urejen par realnih števil (x,y), si mislimo, da gre za točko v ravnini in obratno, vsaki točki v mislih takoj priredimo urejen par njenih koor- dinat. Podobno točke v prostoru identi- ficiramo z urejenimi trojicami njihovih koordinat. Sedaj pa lahko definiramo n -razsežen prostor kot množico vseh urejenih n-teric (x1,x2,...,xn). Potem pa je mogoče definirati linearne preslikave iz n -razsežnega prostora v m-razsežen prostor in vsaki taki linearni transfor- maciji prirediti m×n matriko. Če je A linearna preslikava iz n -razsež- nega prostora v m -razsežni prostor, B pa linearna preslikava iz m -razsežnega prostora v q-razsežni prostor, potem je BA linearna preslikava iz n-razsežnega prostora v q-razsežni prostor. Ugane- mo, da bo produktu linearnih preslikav ustrezal produkt ustreznih matrik. To- rej lahko zmnožimo matriko velikosti q×m z matriko velikosti m×n in bo rezultat matrika velikosti q×n. Seveda bo (i,j )-ti člen produkta skalarni pro- dukt i-te vrstice prve matrike in j-tega stolpca druge matrike. S tem pa smo zakoračili že kar globoko v linearno algebro. Nadaljevanje je še bolj zanimivo. Poleg končno razsežnih prostorov so v matematiki in njenih uporabah pomembni tudi neskončno razsežni prostori in linearne preslikave na njih... Peter Šemrl Presek 5-revija-9.indd 8 4/11/2005 13:24:27 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 9 MATEMATIKA Laplace točna. Postavil je temelje teorije verjet-nosti in objavil Analitično teorijo ver- jetnosti (prva izdaja 1812) ter Sploš- no filozofijo teorije verjetnosti (1814). Ena izmed verjetnostnih porazdelitev danes nosi njegovo ime, medtem ko Laplaceov izrek trdi, da v robnem pri- meru binomska porazdelitev prehaja v normalno porazdelitev. V matematiki poznamo še Laplaceovo transforma- cijo, Laplaceovo zaporedje, Laplaceov vektor, Laplaceove integrale: igrata pomembno vlogo v mehaniki in teoretični fiziki. Neka- teri bralci Preseka verjetno poznajo splošno metodo za izračun determinante z razvojem po vrstici ali po stolpcu, na primer a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a22 a23 a32 a33 a11 a21 a23 a31 a33 –a12 a21 a22 a31 a32 +a13 . je preučeval v tej napravi, se je izvajal v žičnati košari nameščeni v posodi z zdrobljenim ledom. Zaradi spro- ščanja toplote se je led topil in pretvarjal v tekočo vodo, ki je tekla iz naprave, tako da so jo lahko stehtali. Na ta način je bila prvič izmerjena količina toplote. Laplace in Lavoisier sta na ta način izmerila toplotne ka- pacitete mnogih spojin (privzemajoč, da je toplotna ka- paciteta vode 1). Merila sta tudi toploto, ki se osvobaja v nekaterih kemijskih reakcijah: gorenje ogljika, žvepla, fosforja, izgorevanje smodnika. Izmerila sta celo toploto, ki jo pri dihanju izpušča morski prašiček. Vse te rezulta- te sta Lavoisier in Laplace leta 1783 sporočila francoski akademiji znanosti in jih leta 1784 tudi objavila. Te raziskave predstavljajo začetek termokemije, in, v določenem smislu, tudi termodinamike. \ Lavoisier-Laplaceov zakon Ko sta Lavoisier in Laplace merila toploto kemijskih re- akcij, sta odkrila za tisti čas revolucionarno zakonitost: Količina toplote, ki je potrebna, da se neka kemijska spojina razstavi na elemente, je enaka količini toplote, ki se sprosti, ko ta spojina nastane iz elementov. To je tako imenovani Lavoisier-Laplaceov zakon. Danes hitro opazimo, da je Lavoisier-Laplaceov zakon poseben pri- mer zakona o ohranitvi energije, ki ga v tistem času seveda še niso poznali. Vsa svoja kemijska raziskovanja je Laplace izvajal sku- paj z Lavoisierjem. To se je dogajalo le nekaj let pred izbruhom francoske revolucije (leta 1789). Ko se je za- čela, so za znanstvenike v Franciji nastopili težki časi. Lavoisier je bil ujet in usmrčen leta 1794. Laplace se je bolje znašel in varno preživel revolucionarni metež. Kasneje je zavzemal visoke družbene položaje, tako v času Napoleona kot tudi v času obnovljenega cesarstva. Še naprej se je intenzivno ukvarjal z različnimi področji znanosti, vendar nikoli več s kemijo. Ivan Gutman, Branislav Popović prevedel Sandi Klavžar Slika 1. Pierre Simon Laplace Slika 2. Kalorimeter z ledom, ki sta ga uporabljala Laplace in Lavoisier +.-/102-3""(9: ()EH-/s( !#"7Y4#x+.-/102-3""(9:5: "C[FA( !"xs+.-/102-3""(9: ‘ *[FA"g !A-0 ±²³ ´ 3"( B8µ‘¶·–¸o¹ ¶ ¸Dº ¶n»½¼m ·¾O¿&ÀÁ  ²³ ´ ¶B# *ˆµ‘¶·–¸o¹ ¶ ¸Tº ¶n»Ã¼ m ¾O¿&ÀÁ  ·‡Ä µ6ÅPÆLÇ')"*1 ')(58-*1 CDu *FA"( !#NFA™<3"*18E" CDjK“iU"CO-OFA"!#w1!A-0 3"u!#"B#"CO-v: "!e› Tudi to metodo je odkril Laplace. \ Voda ni element V drugi polovici 18. stoletja so znan- stveniki menili, da je voda element, to- rej snov, ki je ne moremo razstaviti na enostavnejše sestavine. To razumevanje je izviralo še od časa grškega modreca Talesa (okoli 600 pred našim štetjem). Ko je angleški kemik Cavendish leta 1781 pokazal, da voda nastane s kemij- sko reakcijo med vodikom in kisikom, je to pojasnil tako, da pri tem flogiston1 iz vodika prehaja v kisik. Po Cavendisho- vem mnenju je bila torej voda še vedno element, vodik pa združevanje vode in flogistona. Ko je francoski kemik Lavo- isier2 izvedel za Cavendishove eksperi- mente, jih je v sodelovanju z Laplaceom ponovno izvedel. Eksperiment je bil jav- no izveden 24. julija 1783 v prisotnosti francoskega kralja in mnogih uglednih akademikov. Za razliko od Cavendisha sta Lavoisier in Laplace menila, da voda ni kemijski element, temveč je sestavljen iz vodika in kisika. S tem sta porušila zablodo, ki je v znanosti vladala preko 2000 let, Lavoisier pa je zavrgel tudi tedaj vladajočo flogistonsko teorijo. \ Merjenje toplote Laplace in Lavoisier sta sodelovala tudi pri merjenju toplote. V tistem času so menili, da je toplota eden od elementov, ki pa nima teže. Ime tega elementa je bilo kalorik. Zastavljalo se je vprašanje, kako bi se lahko količina kalorika kvan- titativno merila. (Glede na to, da nima teže, ni bilo moč uporabljati tehtnice.) Rešitev je ponudil Laplace, ki je skon- struiral prvi kalorimeter. Proces, ki se 1 Flogistonska teorija iz 18. stoletja je za- govarjala tezo, da naj bi iz gorečih snovi izhajala snov z negativno težo, imenova- na flogiston (op. prevajalca). 2 Antoine Laurent Lavoisier (1743–1794) je eden največjih kemikov vseh časov, tvorec sodobne kemije. Življenje je izgu- bil v času francoske revolucije. Presek 5-revija-9.indd 9 4/11/2005 13:24:28 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 10 Z barvanjem hišk do formul za vsoto potenc MATEMATIKA V zgodovini matematike so bile formule 1+2+3+···+n = n2 2 + n 2 12+22+32+···+n2 = n3 3 + n2 2 + n 6 13+23+33+···+n3 = n4 4 + n3 2 + n2 4 sprva namenjene izračunu ploščin ter prostornin, kasneje pa so jih uporabljali za razvoj pravil za integracijo polinomov. Dokazovanje formul za vsote oblike 1d+2d+···+ nd, kjer je d naravno število, ponavadi temelji na in- dukciji, vendar si s to metodo ne moramo pomaga- ti pri iskanju pravila, ki ga dejansko potrebujemo. Ena izmed metod za iskanje teh formul izhaja iz Kitajske ter Indije. Poznali so jo že arabski mate- matiki v Bagdadu in Kairu med leti 1200 in 1400. Temeljila je na lastnostih binomskih koeficientov v Pascalovem trikotniku. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Če zapišemo Pascalov trikotnik, opazimo, da ve- lja 1+5+15+35=56. To daje slutiti na d d + d+1 d + d+2 d +·· ·+ n d = n+1 d+1 . (1) Ker binomski simbol nd pomeni tudi število pod- množic z d elementi v množici z n elementi, lahko definiramo nd =0 za d>n. Tako lahko vsoto (1) zapišemo tudi kot ∑ n x=1 x d = n+1 d+1 , (2) kar lahko zlahka dokažemo z indukci- jo po n. Vsak binomski koeficient xd je polinom spremenljivke x stopnje d, re- cimo x 1 =x , x 2 = x(x–1) 2 x2 2= x 2– , x 3 = x(x–1)(x–2) 6 x3 6= x2 2– x 3+ , x 4 = x(x–1)(x–2)(x–3) 24 = x4 24= x3 4– 11x2 24+ x 4– . Izrazimo potence spremenljivke x s po- močjo binomskih koeficientov. Tako je x x2 x3 = x 1 x 2=2 + x 1 x 3=6 + x 1 x 2+6 . Če zgornje enakosti povežemo z (2), dobimo (3) ∑ n x=1 = n+12x ∑ n x=1 x 1 = ∑ n x=1 =x2 ∑ n x=1 x 2 +2 x 1 = ∑ n x=1 x 2 + x 12 ∑ n x=1 = n+132 n+1 2+ ∑ n x=1 =x3 ∑ n x=1 x 3 +6 x 1 x 26 + ∑ n x=1 x 36 ∑ n x=1 x 26+ x 1∑ n x=1 + = n+146 n+1 2+ = n+1 36 + = = Obstoj formule za ∑ n x=1 xd sledi iz dejstva, da so x0 , x 1 ,..., x d po- linomi različne stopnje, zato tvorijo bazo prostora polinomov stopnje ≤d. Kaže, da se splošni rezultat izraža z binomskimi simboli v obliki ∑ n x=1 xd = ad,d n+1 d+1 +ad,d –1 n+1 d +··· ad,1 n+1 2+ . (6) Poskusimo dokazati splošni rezultat. Povezavo med koeficienti ad,j , kjer sta d,j! , poiščimo s pomočjo kombina- toričnega razmisleka v navidez popol- noma drugačnih nalogah. (4) (5) 1 Posamezna hiška se pobarva le z eno barvo 2 Števila H(d,j ) so bolj znana kot števila barvanja hiške, angl. »house-painting numbers« . Presek 5-revija-9.indd 10 4/11/2005 13:24:31 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 11 MATEMATIKA Prvi problem barvanja hišk. Na koliko načinov lahko pobarvamo d hišk z natanko j barvami1 ? Označimo s H(d,j ), kjer sta d in j na- ravni števili, število barvanj d hišk z na- tanko j barvami.2 Očitno je H(d,j )=0, če je j>d. V primeru, da imamo d hišk in eno barvo, pobarvamo vse hiške z enako barvo; torej je H(d,1)=1 za vsak d ! . Če imamo enako število hišk in in barv, gre dejansko za število vseh bijektivnih preslikav med dvema mno- žicama. Vseh bijektivnih preslikav med končnima množicama z močjo d je d!, velja H(d,d )=d!. V splošnem imamo na voljo d hišk. Izberemo eno in jo po- barvamo z eno od j barv. Ostane nam d–1 hišk. Izbrano barvo lahko uporabi- mo naprej ali pa ne, kar lahko zapišemo z rekurzivno zvezo H(d,j)=j(H(d–1,j )+H(d –1,j–1)). Če nekaj vrednosti H(d,j ) zapišemo v tabeli, hitro ugotovimo, da so se že pojavile v razvoju vsote potenc xd za d!{1,2,3,4}. izberemo eno barvo izmed j barv, nakar pobarvamo d hišk z natanko eno barvo. Število načinov je j1 ·H(d,1). Na podoben način ugotovimo število vse možnih barvanj z dvema barvama, ki ju izberemo izmed j barv. Teh je j2 ·H(d,2). Tako pridemo do vseh možnosti, ki jih strnemo v j d H(d,d )+ j d–1 H(d,d–1)+ j 1 H(d,1). Na vsoto (7) pa lahko pogledamo tudi drugače. Označimo množico barv B= {b1,b2,...,bj}. Na koliko načinov lahko iz znakov iz množice B sestavimo niz dolži- ne d, kjer je ponavljanje znakov dovoljeno? Gre za število variacij s ponavljanjem j ele- mentov reda d, vseh je torej jd. Zato je j d H(d,d )+ j d–1 H(d,d–1)+··· j 1 H(d,1). jd= + Ko uporabimo zgornjo enakost za izračun vsote in upoštevamo še (2), dobimo željeno zvezo ∑ x=1 xd ∑ x=1 = H(d,d ) xd ∑ x=1 + H(d,d–1) =H(d,d ) n+1d+1 +H(d,d–1) n+1 d + +∑ n x=1 H(d,1) x 1 +···+H(d,1) n+12 x d–1 +··· n n n \ Naloge 1. Na koliko načinov lahko pobarvamo šest hišk z natanko štirimi barvami? 2. Na koliko načinov lahko pobarvamo šest hišk z največ štirimi barvami? 3. Zapiši formulo za 15+25+···+n 5 s po- močjo binomskih koeficientov. \ Vir 1. Vsak koeficient H(d,j) izračunamo s pomočjo tabele. Če upoštevamo rekurzivno zvezo H(d,j)= j(H(d–1,j)+H(d–1,j–1)), dobimo določeni koefi- cient tako, da izračunamo vsoto koeficienta, ki je v istem stolpcu prejšnje vrstice, ter koeficienta, ki je v prejšnji vrstici levo od njega. Dobljeno vso- to pomnožimo s številko stolpca. Tako je H(6,4)=4(H(5,4)+H(5,3))= 4(150+240)=1560. Opomba. Slabost tega načina je, da moramo do- polniti tabelo do vključno pete vrstice. To pa že kliče po zapisu računalniškega algoritma, ki bi generiral H(d,j). Oglejmo si primer funkcijskega podprograma v pascalu. function H(d,j: integer): real; begin if (j>d) then H:=0 else begin if (j=1) or (d=1) then H:=1 else H:=j*(H(d–1,j)+H(d-1,j-1)); end; end; 2. Rezultat dobimo lahko na dva načina, saj velja 4 6 =4 6H(6,6)+4 5H(6,5)+4 4H(6,4)+··· =0=0 +4 1H(6,1)=4096. 3. S pomočjo končnega rezultata pridemo do zveze ∑ n x=1 x 5 =∑ 5 x=1 H(6,6)x 5+∑ n x=1 H(5,4)x 4+··· +∑ n x=1 H(5,1)x 1 =H(5,5)n+1 6+H(5,4)n+1 5+··· +H(5,1)n+1 2. Če bi zadnjo vrstico poenostavljali še naprej, bi dobili eksplicitno formulo ∑ n x=1 x 5=n 6 6 – 3 2 n 5 + 245 12 n 4 –30n 3 – 241 12 n 2 +32n. Z drugačnim razmislekom pokažimo pomen števil barvanja hišk H(d,j) in veljavnost v (6). Drugi problem barvanja hišk. Na koliko načinov lahko pobarvamo d hišk, če želimo uporabiti največ j barv? Če imamo na voljo več barv, kot je hišk, lahko uporabimo največ d barv. Če po- barvamo d hišk z natanko eno barvo, d \ j 1 2 3 4 5 6 1 1 2 1 2 3 1 6 6 4 1 14 36 24 \ Rešitve http://www.macalester.edu/˜bressoud/ talks/APNC2004/FTC.pdf Prevedel in priredil Matej Mlakar (7) Presek 5-revija-9.indd 11 4/11/2005 13:24:33 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 12 MATEMATIKA 4. tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol v znanju matematike – tekmovanje B V šolskem letu 2003/2004 smo izvedli 4. tekmovanje dijakov ter dijakinj sred- njih tehniških in strokovnih šol v znanju matematike, tekmovanje B. Tekmovanja se lahko udeležijo vsi dijaki in dijakinje štiriletnih programov, ki ne obiskujejo gimnazijskega programa. Opažamo, da to tekmovanje dosega vedno večje za- nimanje, kar je bil tudi cilj; udeležba na tekmovanju je torej dodatna pozitivna – prijetna motivacija za dijake in dijaki- nje srednjih tehniških, strokovnih šol. \ Ravni tekmovanja Tekmovanje poteka na treh ravneh: šolski (Evropski matematični kenguru) regijski (tekmovanje je organizirano v osmih centrih) državni. \ Oblike oziroma vrste nalog Naloge na šolskem tekmovanju so iz- birnega tipa, na regijskem so naloge iz- birnega tipa in kompleksne naloge, na državnem tekmovanju pa je pet kom- pleksnih nalog. Naloge za vse ravni tekmovanja pripravi državna tekmo- valna komisija. \ Izvedba 4. tekmovanja Šolsko tekmovanje Izpeljano je bilo v četrtek 18. marca 2004, udeležilo se ga je 3986 dijakov. Na tem nivoju je bilo podeljenih 1250 bronastih priznanj. Poročila s tekmovanj Regijsko tekmovanje 1133 tekmovalcev je tekmovanje na- daljevalo na regijskem tekmovanju, ki je bilo organizirano 31. marca 2004 v regijskih centrih. Na regijskem tekmovanju je bilo pode- ljenih 389 srebrnih priznanj. Državno tekmovanje 17. aprila 2004 smo izvedli 4. držav- no tekmovanje, ki je bilo na Srednji elektro – računalniški šoli v Mariboru. Državnega tekmovanja se je udeležilo 175 tekmovalcev iz srednjih tehniških in strokovnih šol iz vse Slovenije. Dr- žavna tekmovalna komisija je podelila 65 zlatih priznanj. Najboljšim tekmo- valcem v posamezni tekmovalni kate- goriji smo na svečani podelitvi v Celju 20. maja 2004 podelili nagrade. Podelili smo 20 nagrad. Regija Gostitelj tekmovanja Celjska regija ŠŠ Muta Dolenjska regija ŠC Novo mesto – Pokl. in tehn. elektro šola Gorenjska regija Ekonomska šola Kranj – Strokovna gimnazija Ljubljanska regija 0 SŠ Domžale Ljubljanska regija 1 SŠ za farmacijo, kozmetiko in zdravstvo Ljubljana Mariborska regija Lesarska šola, Maribor Pomurska regija Srednja zdravstvena šola Murska Sobota Primorska regija Srednja gostinska in turistična šola Izola 1. 2. 3. Prvo nagrado so prejeli: 1. letnik Aljoša Bedič, SŠ Jesenice 2. letnik Lucijan Korošec, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška elektro in računalniška šola 3. letnik Jasna Tofant, ŠC Celje – Poklicna in tehniška elektro in kemijska šola 4. letnik Milan Sintič, SŠ Krško; Goran Stojakovič, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška elektro in računalniška šola; Urban Tanjšek, ŠC Celje – Poklicna in tehniška strojna šola; David Zakojnšek, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška elektro in računalniška šola Presek 5-revija-9.indd 12 4/11/2005 13:24:37 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 13 MATEMATIKA Na šolskem tekmovanju je letos tekmovalo 1611 tekmovalcev. Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Srednja elektro- računalniška šola v Mariboru in Zavod RS za šolstvo so bili 17. 4. 2004 organizatorji državnega tekmovanja v znanju matematike za 59 najboljših dijakinj in dijakov srednjih poklicnih šol iz 35-ih slovenskih poklicnih šol. Med njimi je bilo podeljenih devetnajst zlatih priznanj, ki so pristala na šestnajstih različnih šolah. Na svečani podelitvi je organizator prvim trem najbolje uvrščenim iz vsakega letnika podelil priznanja in praktične na- grade. Prejeli so jih: 4. tekmovanje dijakov ter dijakinj srednjih poklicnih šol v znanju matematike Drugo nagrado so prejeli: 1. letnik Diana Lipovčić, Srednja ekonomska šola Celje; Gregor Ožbolt, Gimnazija Kočevje; Borut Srčnik, ŠC Celje – Poklicna in tehniška strojna šola 2. letnik Blaž Tomažič, SŠ za elektrotehniko in računal- ništvo Ljubljana 3. letnik David Kapun, Srednja elektro – računalniška šola, Maribor; Peter Kaučevič, ŠC Ptuj – Poklicna in tehniška elektro šola; Domen Močnik, Ekonomska šola, Novo mesto 4. letnik Mirjana Zver, Ekonomska šola Murska Sobota Tretjo nagrado so prejeli: 2. letnik Tomislav Pajić, SŠ Novo mesto – Srednja zdrav- stvena in kemijska šola; Denis Stražar, ŠC Celje – Poklicna in tehniška elektro in kemijska šola 4. letnik Mateja Novinić, ŠC Velenje – Poklicna in tehni- ška gradbena šola; Bernarda Zorič, Ekonomska šola Novo mesto Manca Košorog, Gimnazija Kočevje Letošnjega tekmovanja se je udeležilo več dijakov kot lanskega. Takega zanimanja smo zelo veseli. K dobri organizaciji in izvedbi tekmovanj pripo- morejo vsi profesorji – mentorji, organizatorji regijskih tekmovanj, državnega tekmovanja ter seveda ravnatelji, ki omogočijo gostiteljstvo. Ob tej priložnosti se vsem, najlepše zahvaljujemo in jih vabimo k nadaljnemu sodelovanju. Prav tako vabimo k sodelovanju nove organizatorje. Poročilo zapisala Darinka Žižek, vodja tekmovanja. 1. 2. 3. Prvo nagrado so prejeli: 1. letnik Leon Ferencek, Srednja gradbena, geodetska in ekonomska šola Ljubljana – Srednja poklicna šola Drugo nagrado so prejeli: 1. letnik Janko Aubreht, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška strojna šola 2. letnik Mitja Gašperlin, Srednja lesarska šola Škofja Loka 3. letnik Jernej Kerec, Lesarska šola Maribor Tretjo nagrado so prejeli: 1. letnik Sonja Pogačič, Srednja trgovska šola Maribor 2. letnik Uroš Pintar, Srednja gozdarska in lesarska šola Postojna 3. letnik Samir Rizvić, SŠ tehniških strok Šiška, Ljubljana Podatke je zbrala Dušanka Vrenčur. 2. letnik Nataša Regent, Srednja frizerska šola Ljubljana 3. letnik Daniel Kaučič, Srednja elektro-računalniška šola Maribor Presek 5-revija-9.indd 13 4/11/2005 13:24:40 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 14 F IZ IK A s/2 a A B C D kot adiabatno. Za takšno spremembo pa velja p0V0 K=p 1 V1 K ali v drugi obliki T0V0 K–1=T 1 V1 K–1. a { a A B C D E Začetek tega eksperimenta je za- četek celotne demo verige. Izbrano količino vode vlijemo v Tantalovo čašo, ki se do določene višine polni, potem pa kar naenkrat vsa voda od- teče iz nje (zakaj se to zgodi, si ob- vezno preberi v nadaljevanju). Voda iz čaše odteka v plastenko A, ki je z vrvico preko škripca povezana s plastenko B, v kateri je približno 0,5 litra vode – sistem Atwoodove- ga padala. Kot zanimivost naj do- dam podatek iz Guinnessove knjige rekordov, da je anglež Russ Swift leta 1999 parkiral minija v parkir- ni prostor, ki je bil le 33 cm daljši od avtomobila. Seveda ni parkiral tako, kot je zgoraj opisano, ampak je pod topim kotom pripeljal proti parkirnemu prostoru in se zavihtel vanj tako, da je ob pravem trenutku zategnil ročno zavoro.Kot zanimi- vost naj dodam podatek iz Guinnes- sove knjige rekordov, da je anglež Russ Swift leta 1999 parkiral mini- ja v parkirni prostor, ki je bil le 33 cm daljši od avtomobila. Seveda ni parkiral tako, kot je zgoraj opisano, ampak je pod topim kotom pripeljal proti parkirnemu prostoru in se za- vihtel vanj tako, da je ob pravem trenutku zategnil ročno zavoro. Nekateri sodobni avtomobili imajo že vgrajen sistem, ki na ta način parkira avto namesto nas. Sistem ni ravno poceni, saj je poleg sen- zorja, ki meri razdalje do ovir vstran od vozila, potreben tudi avtomatski prestavni sistem in sistem prostoročnega krmiljenja vozila. Razdalja AD ustreza polovici želenega premika vstran in tako je AB=R–s /2. Kosinus kota a je podan s kvocientom AB/BC. Ker je BC=R, sledi zgoraj napisani izraz za kot. cos a= 2R–s2R cos a= 2R–s2R Presek 5-revija-9.indd 14 4/11/2005 13:24:41 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 15 Vzporedno parkiranje FIZIKA 2. Kako parkirati med dva avtomobila, med kate- rima je parkirni prostor z dolžino d? V avtošoli učijo vzporedno parkiranje, ki pa je za marsiko- ga težavno. Postopek teče tako, da se z vozilom ustavimo vzporedno s prednjim avtomobilom, di zgoraj napisani izraz za kot. Po dvojeni razdalji AC je potrebno dodati dolžino od zadka avtomobila do zadnje osi b, da dobimo potrebno dolžino parkirnega mesta; dolžina AC pa sledi iz Pita- gorovega izreka za trikotnik ABC: AC2=BC2–AB2. Vidimo, da sta potrebna dol- žina parkirnega prostora in kot, pri katerem obrnemo volan, odvisna od tehničnih lastnosti avtomobila: širine s in polmera R rajdnega kro- ga, ki ga avto lahko naredi. Nekateri sodobni avtomobili imajo že vgrajen sistem, ki na ta način parkira avto name- sto nas. Sistem ni ravno po- ceni, saj je poleg senzorja, ki meri razdalje do ovir vstran od vozila, potreben tudi av- tomatski prestavni sistem in je središče rajdnega kroga, v točki D je vozilo na začetku, v točki C pa volan zavrtimo v levo. Razdalja AD ustreza polovici želenega premika vstran in tako je AB=R–s /2. Kosinus kota a je podan s kvocientom AB/BC. Ker je BC=R, sle- tako da se zadnje kolo po- ravna s koncem prednjega avtomobila. Pri tem smo s od roba ceste. Če parkiramo ob desni rob ceste, zavrtimo volan do konca v desno in se zapeljemo, tako da zadnja kolesa opišejo lok s središč- nim kotom a po krožnici s krivinskim radijem R. Pri tem zadnje kolo prepolovi razdaljo do pločnika. Na tem mestu obrnemo volan do konca v levo in nadalju- jemo vožnjo, dokler nismo vzporedno s pločnikom. Vo- zilo nato še premaknemo naravnost naprej za toliko, kot je potrebno, in avto je parkiran. Vzvratni del poti vozila je prikazan na sliki 1. Da lahko parkiramo na ta način, mora biti prostor med voziloma dolg najmanj d=√–4–R–s–––s–2+b. Kot, pri ka- terem zasukamo volan, pa je podan s cos a= 2R–s2R . Ti zvezi dobimo iz pravo- kotnega trikotnika ABC na sliki 2. Slika prika- zuje krožni izsek za prvi del vzvratne vožnje. B sistem prostoročnega krmiljenja vozila. Postopek avtomatskega parkiranja poteka tako, da se pelje- mo vzporedno s parkiranimi vozili mimo mesta, na katerem želimo parkirati. Pri tem senzor pomeri Slika 1. Slika 2. s d b R R a a s /2 a A B C D b R R Presek 5-revija-9.indd 15 4/11/2005 13:24:42 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 16 FIZIKA globino in dolžino parkirnega mesta. Če je prostor ustrezen, spustimo volan in avtomobil avtomatsko odpelje nazaj ter pravočasno zavrti volan, najprej v desno in nato še v levo. Ko je vozilo par- kirano, se avto ustavi. Za tipičen avtomobil je s okoli 1,8 m, R pa 5 m. S temi podatki sledi, da je potrebno zaviti pri kotu 35°. Parkirni prostor mora biti dolg vsaj 5,7 m. Do- dati je potrebno razdaljo od zadnje osi do zadka vozila. Pri vzporednem parkiranju je potrebno paziti, da, potem ko odvijemo volan v levo, z nosom ne trčimo v prednje vo- zilo. Kolikšna je lahko največja dolžina vozila (pravzaprav razdalja od zadnje osi do prednjega odbijača), da pri vzpo- rednem parkiranju ne trčimo v prednji avto? Parkirno mesto, v katerega lahko parkiramo brez drsenja ali cinca- nja, pa je lahko še malo krajše, če le zapeljemo vanj pod kotom in je dolžina avtomobila od nosu do za- dnje osi (označimo jo z a) dovolj Kot zanimivost naj dodam podatek iz Guinnessove knjige rekordov, da je an- glež Russ Swift leta 1999 parkiral mi- nija v parkirni prostor, ki je bil le 33 cm daljši od avtomobila. Seveda ni parki- ral tako, kot je zgoraj opisano, ampak je pod topim kotom pripeljal proti par- kirnemu prostoru in se zavihtel vanj tako, da je ob pravem trenutku zategnil ročno zavoro. Odgovor. Vprašanje največje dolžine avtomobila je ekvivalentno čisto geo- metrijskemu problemu, predstavljenem na sliki 3: Kolikšna je dolžina tetive, ki povezu- je točki E in D, ki ležita na obodih prislonjenih krogov? Tetiva ima začetek v točki E, v točki D pa je tangenta na nižji krog. Dolžino DE dobi- mo s Pitagorovim izrekom za pravokotni trikot- nik ADE: DE2=AE2–AD2. Dolžina stranice AD je enaka polmeru kroga R, dolžino stranice AE pa dobimo s Pitagorovim izrekom za pravokotni tri- kotnik ABE. Stranica AB je za s krajša od da- ljice AC, ki pa je dolga toliko kot polmer kroga R: AB=R–s. Stranica EB je dvakrat daljša od da- ljice AC na sliki 1: EB2=4sR–s2. Dolžina daljice AE je torej AE= R (R+2s ), dolžina tetive DE pa 2Rs . Iz prejšnjih podatkov sledi, da mora biti avto, od nosu do zadnje osi, krajši od 4,3 m, da lahko z njim parkiramo na opisani način. Dolžino najkrajšega parkirišča dobimo, če raz- mislek obrnemo: že parkiran avto, ki se z zadkom skoraj dotika vozila za njim, odpeljemo s parki- rišča tako, da volan do konca zasukamo v levo in odpeljemo. Pri tem mora desni prednji vogal Slika 3. majhna. Dolžina takega parkirnega mesta je dana z d= a2+2Rs–s2+b. V parkirišče zapeljemo tako, da je v trenutku, ko je zadnje desno kolo našega avtomobila tik ob levem zadnjem vogalu pred nami parkiranega avtomobila, kot med avtomobiloma podan s cos {= R 2+a a2+2Rs–s2–Rs R2+a2 . Seveda tem enač- bam ne smete verjeti, ampak jih izpeljite. Iz enačb sledi logična napoved, da manjši avto lahko parkiramo na manjšem prostoru. a { a A B C D E Presek 5-revija-9.indd 16 4/11/2005 13:24:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 17 ravno še zgrešiti levi zadnji vogal vozila pred nami. Tudi pri tem računu nam kori- sti zgornja skica. Dolžino tetive DE ozna- čimo z a (to ustreza dolžini vozila od nosu do zadnje osi). Dolžina daljice BC je ravno tako predpisana: s. Radi bi izračunali dol- žino daljice BE, ki ustreza dolžini parkir- nega mesta d, skrajšani za dolžino zadka avtomobila b. Iz pravokotnega trikotnika ABE izvedemo: BE2=AE2–AB2. Iz trikot- nika ADE vidimo, da je AE2=R2+a2, AB pa je enak R– s. Od tu sledi rezultat, ki smo ga že zapisali. Kot, za katerega se za- suka naš avto, dobimo iz dveh enačb. Prvo enačbo dobimo tako, da širino s =BC za- pišemo kot vsoto projekcije daljice ED na nosilko daljice BC in od daljice AC odšteto projekcijo daljice AD na nosilko daljice BC: s=a sin{+R (1–cos{). Drugo enačbo do- bimo tako, da dolžino daljice BE zapiše- mo kot vsoto dolžin projekcij daljice AD in daljice DE na navpičnico BE=R sin{ +acos{. Pri tem upoštevamo, da je tudi kot BED={. Iz ene enačbe izrazimo sinus kota, ga vstavimo v drugo enačbo in pre- uredimo, da dobimo zapisani izraz. Če vzporedno parkiramo avto, ki je brez zadka dolg 4 m, bomo potrebovali 18 cm več prostora kot pri parkiranju pod kotom. Računali smo z R = 5 m in s = 1,8 m. Aleš Mohorič \ Vodoravno 1. Najmanjše naravno število, ki ima štiri prave delitelje. 3. Število simetral pravilnega osemkotnika. 4. Praštevilo. 6. Zapis števila 300(6) v desetiškem sistemu. 8. Praštevilo. 9. Trikotniško število. 10. Popolni kvadrat. 11. Najmanjše možno število stranic pravilnega večkotnika, ki ima stranico krajšo od polmera očrtane krožnice. 12. Najmanjše pozitivno sestavljeno število. 13. Število kotnih stopinj zemljepisne širine, ki ustreza enourni časovni razliki. 15. Število elementov množice AkB, če je A = {1,2,3,...,80} in B= {večkratniki števila 6, ki so manjši od 1000}. 17. Notranji kot v pravilnem desetkotniku. 18. Večkratnik števila 11. 20. Število petin v petih enotah. 21. Število pravilnih poliedrov. 22. Praštevilo. Mala številska križanka FIZIKA SE NADALJUJE NA STRANI 21 + RAZVEDILO http://zaloznistvo.dmfa.si/presek/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 \ Navpično 1. Število praštevil med 1 in 35. 2. Sodo število. 3. Kub naravnega števila. 4. Število s samimi enakimi števkami. 5. Praštevilo. 7. Popolni kvadrat. 8. Število, ki je popolni kvadrat in popolni kub. 11. Osnova številskega sistema, v katerem velja 35 – 16 = 16. 12. Število tetraedrovih mejnih ploskev. 13. Število, ki je enako vsoti fakultet svojih števk. 14. Število 64(10), zapisano v številskem sistemu z osnovo 12. 15. Število robov oktaedra. 16. Potenca, katere osnova je število pod 11. vodoravno. 17. Ducat. 19. Kub naravnega števila. 21. Ocena, ki vam pripada, če ste križanko pravilno rešili. Marija Vencelj Presek 5-revija-9.indd 17 4/11/2005 13:24:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 18 RAZVEDRILO Križanka Presek 5-revija-9.indd 18 4/11/2005 13:24:46 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 19 RAZVEDRILO Presek 5-revija-9.indd 19 4/11/2005 13:24:48 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 20 1 2 8 9 7 1 0 8 6 9 1 2 1 4 9 7 4 1 5 1 3 1 4 4 2 4 2 2 5 5 3 7 Rešitev križanke Rešitev male številske križanke RAZVEDRILO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Presek 5-revija-9.indd 20 4/11/2005 13:24:49 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 21 Verižni eksperiment \ EKSPERIMENT št. 1 Z vodo do elektrike Avtor eksperimenta: Matjaž Ivanèiè, Oddelek za fiziko, FMF, Univerza v Ljubljani. Začetek tega eksperimenta je začetek celotne demo verige. Izbrano količino vode vlijemo v Tantalovo čašo, ki se do do- ločene višine polni, potem pa kar naenkrat vsa voda odteče iz nje (zakaj se to zgodi, si obvezno preberi v nadaljevanju). Voda iz čaše odteka v plastenko A, ki je z vrvico preko škrip- Najverjetneje iz te zgodbe izhaja tudi Tantalova čaša: to je posebna čaša, v katero lahko nalivamo kapljevino (ne da bi čaša puščala), dokler le-ta ne doseže izbranega nivoja. Ko pa kapljevina prese- že izbrani nivo, začne »sama od sebe« iztekati iz čaše in vsa izteče. Zagotovo je to pojav, ki takoj pritegne vsakega opazovalca, ne glede na njego- vo fizikalno žilico. Princip delovanja čaše je sila enostaven: deluje namreč na principu NATEGE (uporabljamo ga pri pretakanju vina iz soda v sod, bencina iz posode v rezervoar). Gotovo so že Grki tudi ugotovili, da se največ stva- ri naučimo, če jih poizkusimo sami. Torej, vzameš plastenko, ki ji z olfa nožem odrežeš približno ¼ zgornjega dela. Potrebuješ pa še 30 cm dolgo pro- zorno cevko (notranji premer 4 mm zadošča). Na robu med stransko ploskvijo in dnom izrežeš luk- njico tolikšne velikosti, da lahko en konec prozorne ca povezana s plastenko B, v kateri je približno 0,5 litra vode – sistem Atwoodovega padala. Ko- ličina vode, ki odteče v plastenko A, je malenkost večja kot v plastenki B, tako da se sistem prevesi: plastenka A povleče plastenko B navzgor, sama pa se pri tem spusti na električno stikalo. Stikalo sproži ventilator, ki je usmerjen proti jadrnici na kolesih. Ta se zaradi odrivanja zraka od njenega jadra začne gibati proti koncu proge (proga je na- rejena iz plastičnega podstavka korita za rože), kjer zadene ob drugo stikalo, ki izklopi ventilator in hkrati vklopi električno ključavnico (uporablje- na je ključavnica za centralno zaklepanje avto- mobila). Ključavnica sune kroglico, postavljeno na vrh klanca, da se odkotali po njem in na dnu sproži mehanski časovnik (timer), ki je povezan s svetlečo diodo (LED). Mehanski časovnik je sestavljen iz mehanskega nihala, ki zaniha, ko kroglica trči vanj. Hkrati kroglica s svojo težo sproži stikalo, ki vklopi LED, ko pa se nihajoča palica vrne nazaj v ravnovesno lego, kroglico izbije, s tem sprosti stikalo, ki iz- klopi LED. Tantalova èaša Antični Grki so dejali, da je pri pitju potrebna zmernost in da se čaše ne sme dolivati do roba. FIZIKA Presek 5-revija-9.indd 21 4/11/2005 13:24:52 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 22 cevke potisneš skoznjo. Poskrbi, da cevka dobro tesni. Drugi konec cevke zavij v obliki narobe postavljene FIZIKA \ EKSPERIMENT št. 2 Avtomobilček in balon Avtorji eksperimenta: Jure Drobnak, Mitja Blažinèiè in Peter Blažiè, Oddelek za fiziko, FMF, Univerza v Ljubljani. Končni dogodek prvega eksperimenta – vklopljena svetleča dioda – je začetni dogodek drugega. Svetloba, ki jo oddaja LED, povzroči prevajanje fotodiode. Sklene se tokokrog, ki sprosti kovinsko kroglico, da se začne kotaliti po žlebu in na koncu žleba pade v lijak. Na dnu lijaka kroglica sklene kontakt, ki požene avtomobilček na daljinsko vodenje, da od- dirja po zavitem dirkališču in se na koncu proge zaleti v sti- črke U proti dnu plastenke. Tako je tvoja Tantalova čaša na- rejena in pripravljena za polnjenje. Ko vanjo počasi nalivaš vodo, opazuj, kako se gladina vode v plastenki dviga, hkrati s plastenko pa se polni tudi navzdol obrnjen del prozorne cevke – gladina vode v cevki je v vsakem trenutku enaka gladini vode v plastenki. V trenutku, ko se voda v cevki prelije čez vrh in izrine ves zrak iz cevi, natega »potegne«. Zrak sedaj pri- tiska na gladino vode v plastenki in potiska vodo skozi cevko. Ko v cevko pride zrak, voda preneha iztekati. Še kapljica fizike za pojasnitev delovanja: na spodnji sliki si na vrhu U cevi zamislimo element kapljevine, ki je za h1 nad gladino vode v plastenki in za h2 nad koncem cevi, iz katerega izteka voda. Na ta element deluje, denimo z desne strani tlak pD=p0– tgh1, ki ga potiska v levo. Temu nasprotuje kaplje- vina na levi strani, ki pritiska v desno s tlakom pL=p0– tgh2. kalo. To stikalo odpre električni ventil, ki povezuje plastenko s stisnjenim zrakom in balonček. Preko sproščenega električnega ventila zrak iz plastenke od- teka v balonček in ga napihuje. Ko prostornina balončka dovolj naraste, se balonček dotak- ne navpično postavljene kovinske palčke in jo začne potiskati skozi luknjico, na kateri sedi kroglica. Balonček se napihne do te mere, da kovinska palčka odrine kroglico, ki predstav- lja začetek tretjega eksperimenta, o katerem bomo pisali v naslednji številki Preseka. Napihovanje balonèka Gre za pojav, ki ga vsi srečujemo že od malih nog in na prvi pogled izgleda preprost: napihnjen balon se spusti proti tlom, če smo ga napolnili s plinom, ki je gostejši od okoliške snovi, ali dvigne, če je polnjen s plinom, ki je redkejši od okoliške snovi. Proces napihovanja pa v resnici skriva kar nekaj zanimivih fizikalnih dejstev. Na zelo preprost način lahko pogledamo, kako se spreminja tlak v balončku med napihovanjem. Spod- nja desna slika prikazuje balon, povezan z merilnikom tlaka in cevko, preko katere balon napihujemo in nato praznimo, zgornja pa grafični prikaz meritve tlaka v realnem času (v resnici nas zanima samo potek tlaka; ponavljanje meritev pokaže, da čas napihovanja na grafu ni pomemben, oblika krivulje se ne spreminja). Balon napihujemo z usti preko plastične cevke (vpih za vpi- hom), kar ima za posledico, da je krivulja nazobčana – med dvema vpihoma nekaj zraka uide iz balona. Krivulja na grafu dokazuje že znano: tlak v balončku se ob začetku pihanja zelo poveča, zato se ob napihovanju balo- na najbolj namučimo na začetku (spomnite se, kako težko je napihniti predvsem podolgovate balone). Ob nadaljnjem Razlika tlakov 9p=pD– pL = tg (h2– h1) potiska namiš- ljeni element v levo. Natega ne »potegne« vode, če je vrh U cevke za več kot 10 m nad gladino vode, bi pa »potegnila«, če bi pretakali bencin. Če ne veš zakaj, pov- prašaj najbližjega fizika! Presek 5-revija-9.indd 22 4/11/2005 13:24:53 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 23 enakomernem napihovanju tlak pada, dokler se ne ustali (v našem primeru pri vrednosti okoli 104 kPa ). Kljub temu, da še naprej pihamo v balon in se njegova prostornina povečuje, ostaja tlak v balonu skoraj nespremenjen. Ob času 50 se- kund prenehamo z napihovanjem in balon se prične prazniti: tlak se le malo zmanjšuje, tik preden pa se balon »izprazni«, tlak naraste (špica ob koncu grafa, ki je posledica elastičnih lastnosti in oblike balona), nato pa hitro pade na začetno vrednost. Kaj pa tlak med napihovanjem balona, dokler le-ta ne poči? Prejšnja meritev je pokazala, da se tlak v balonu med napi- hovanjem ne spreminja – prostornina balona se povečuje. Ta meritev pokaže, da se ob še nadaljnjem napihovanju prične tlak v balonu povečevati – material se je začel upirati raz- tegovanju. Balon je skoraj dosegel največjo prostornino in se kljub napihovanju le zelo malo povečuje. Ko tlak (skoraj) doseže največjo vrednost, dosežemo mejo natezne trdnosti materiala, naša meritev se ob močnem poku konča, tlak pa v trenutku pade. Izračunajmo še, kakšne so spremembe prostornine balona pri eksperimentu Avtomobilček in balon. S tlačilko natlačimo zrak v plastenko s prostornino poldruge- ga litra, da je v njej tlak 2,5 bara. Ko stikalo odpre ventil, ta omogoči zraku, da se iz plastenke razširi in napihne balon- ček. Gre za hiter proces, kjer ni časa za izmenjavo toplote; preko ventila se tlak v plastenki in balončku izenači skoraj hipoma, tako da lahko spremembo v balončku obravnavamo kot adiabatno. Za takšno spremembo pa velja p0V0 l=p1V1 l ali v drugi obliki T0V0 l–1=T1V1 l–1. Izračunamo lahko, kolikšno prostornino bo zavzel zrak, ko se bo iz plastenke razširil v balonček. Upoštevamo poda- tke: začetni tlak p0=2,5 bara, začetna prostornina zraka V0 =1,5 l in končni tlak p=1 bar (v resnici je le malo večji od zunanjega zračnega tlaka). l predstavlja razmerje speci- fičnih toplot l= cP cv in če za zrak predpostavimo, da je se- stavljen iz dvoatomnega plina, vzamemo vrednost l=1,4. Končna prostornina zraka V1=2,9 l . Izračunamo lahko tudi na kolikšno temperaturo se pri razpenjanju zrak ohladi, za- četna temperatura T0=298K in za končno temperaturo do- bimo T1=229K. Temu hitremu začetnemu razpenjanju sledi še vzpostavljanje termičnega ravnovesja z okolico, ko se zrak segreva na so- bno temperaturo. To opazimo kot zelo počasno naraščanje prostornine balona, spremembo pa obravnavamo približno kot izobarno V1 T1 V2 T2 = . Ko upoštevamo, da velja T2=T0, dobimo za končno prostornino zraka V2=3,8 l in končno prostornino balona 2,3 l. Če predpostavimo, da je balonček krogla, je njegov premer dobrih 16 cm, kar se izkaže tudi ob verižnem eksperimentu. Damjan Štrus FIZIKA Presek 5-revija-9.indd 23 4/11/2005 13:24:55 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 24 R A È U N A L N IŠ T V O {\tiny ...} drobcena {\scriptsize ...} zelo majhna {\footnotesize ...} dokaj majhna {\small ...} majhna {\normalsize ...} običajna (privzeta) {\large ...} večja {\Large ...} še večja {\LARGE ...} precej velika {\huge ...} zelo velika {\Huge ...} ogromna \documentclass[12pt, a4paper]{article} \usepackage[cp1250]{inputenc} \begin{document} tukaj pišemo vsebino dokumenta (besedilo, tabele, ... \end{document} \textrm }...} besedilo med zavitimi oklepaji je zapisano s pisavo s serifi, \textsf{...} besedilo med oklepaji je zapisano s pisavo brez serifov in \texttt{...} besedilo je zapisano s pisavo pisalnega stroja. Ta stavek uporablja veè različnih pisav, zaradi èesar GA JE težje BRATI. Presek 5-revija-9.indd 24 4/11/2005 13:24:56 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 25 Mala šola LaTeXa (drugi del) RAÈUNALNIŠTVO 3. V prvem delu Male šole LaTeXa (prejšnja številka Preseka) smo si ogledali osnovne elemente vsakega dokumenta, napi- sanega in urejenega s pomočjo LaTeXa. Preden si ogledamo kaj več, pa ponovimo nekaj pomembnih (v prvem delu ome- njenih) pravil, ki jih ne smemo pozabiti: z enim presledkom dosežemo enak učinek kot s poljubnim številom za- porednih presledkov, ena ali več praznih vrstic prične nov odstavek, pri pisanju ukazov je pomembno, ali pišemo male ali velike črke in posebne znake lahko izpišemo le z določenimi ukazi. \ Naj pišem v c ali č? Pisanje šumnikov se nam v slovenskem jeziku zdi nekaj povsem običajnega in na prvi pogled se zdi čudno, da mora- mo v LaTeXu posebej povedati, da je nad črko c potrebno zapisati strešico, da dobimo č. Ne bi bilo veliko lažje na- pisati č kot \v c? Seveda je lažje in tudi izvedljivo, vedeti moramo le, v kateri kodni strani se izpisujejo znaki v našem operacijskem sistemu. Kodna stran je tabela, ki jo operacijski sistem uporab- lja, da ob pritisku tipke na tipkovnici na ekran izpiše ustrezen znak. Kako pripraviti LaTeX do tega, da bi lahko v svojem dokumentu brez skrbi (beri: pisanja ukazov \v ) pisali šumni- ke? Odgovor je v paketu inputenc, ki ga \documentclass[12pt, a4paper]{article} \usepackage[cp1250]{inputenc} \begin{document} tukaj pišemo vsebino dokumenta (besedilo, tabele, ...) \end{document} lahko vključimo v dokument. Paketi v LaTeXu so zbirke novih ukazov in makrojev, ki določajo, kako se naj LaTeXov preva- jalnik obnaša, ko naleti na kakšno posebnost, na katero naj bi bil paket »pozoren«. V tem primeru bo paket pozoren na šumnike, pisane v besedilu, in bo samodejno, kadarkoli bo naletel na zapisan šumnik, recimo črko č, nanjo gledal, ka- kor da bi zapisali \v c. Pakete vključimo v dokument z ukazom \usepackage[...]{...}, ki običajno sledi ukazu \documentclass na začetku dokumen- ta. Več različnih paketov vključimo z zaporednim zapisom teh ukazov. V oglatih oklepajih ukaza \usepackage podamo dodatne nastavitve za posamezne pakete, v zavitih oklepajih pa ime paketa. Paket inputenc mora kot nastavitev prejeti kodno stran, v kateri uporabnik piše besedilo. V operacijskem sistemu Win- dows XP z nastavljeno slovensko tipkovnico je to kodna stran z imenom cp1250, na Linux operacijskem sistemu z nastav- ljeno slovensko tipkovnico pa je to običajno kodna stran z imenom latin2. Torej bo naš dokument za vse nadaljnje primere imel na- slednjo obliko: tabele, ...) Presek 5-revija-9.indd 25 4/11/2005 13:24:57 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 26 RAÈUNALNIŠTVO Pri uporabi tega paketa moramo imeti v mislih, da morajo imeti vsi, ki bodo iz izvornega LaTeXovega dokumenta tvorili ogledljivi dokument, nameščen ta paket. Le-tega lahko izberejo ob namestitvi ali kasneje v programu za spreminjanje namestitve, vključenem v paketu MikTeX, ki smo ga opisali v prejšnji številki Preseka. Druga mož- nost je, da pišemo šumnike, ki jih tik pred prevajanjem poiščemo in zame- njamo z ustreznimi ukazi. Večina ure- jevalnikov besedil (tudi TeXnicCenter) namreč vsebuje možnost iskanja in za- menjave. \ Lastnosti pisav Poglejmo najprej, kako v LaTeXu spre- minjamo vrste in velikosti pisav, s kate- rimi bo v končnem dokumentu zapisa- no naše besedilo. Družine pisav LaTeX loči tri družine pisav, in sicer pi- savo s serifi (angl. Roman-family), pi- savo brez serifov (angl. Sans Serif-fa- mily ) in pisavo pisalnega stroja (angl. Typewriter ). Vsako od omenjenih dru- žin pisav lahko vključimo v dokument z naslednjimi ukazi: \textrm }...} besedilo med zavitimi oklepaji je zapisano s pisavo s serifi, \textsf{...} besedilo med oklepaji je zapisano s pisavo brez serifov \texttt{...} besedilo je zapisano s pisavo pisalnega stroja. V kolikor želimo spremeniti pisavo ce- lotnemu besedilu od ukaza do naslednje spremembe ali do konca dokumenta, lahko uporabimo kar ukaze \rmfamily, \sffamily in \ttfamily. Še enkrat pouda- rimo razliko med obema skupinama ukazov: prva skupina ukazov spremeni pisavo besedila, zapisanega med zavi- timi oklepaji ukaza, druga skupina pa spremeni pisavo celotnemu besedilu, ki sledi, dokler ne ukažemo drugače. Skupne lastnosti vseh družin pisav Prva takih lastnosti je seveda velikost pisave. Privzeto velikost pisave lahko določimo v ukazu \documentclass na začetku dokumenta (glejte prejšnji pri- mer). Velikosti pisav lahko spreminja- mo tudi za posamezne dele besedila, in sicer pozna LaTeX velikosti od drobce- ne do ogromne, ukazi za to pa so: {\tiny ...} drobcena {\scriptsize ...} zelo majhna {\footnotesize ...} dokaj majhna {\small ...} majhna {\normalsize ...} običajna (privzeta) {\large ...} večja {\Large ...} še večja {\LARGE ...} precej velika {\huge ...} zelo velika {\Huge ...} ogromna Naslednja lastnost je stil izpisa pisave. Privzeti stil je običajen, pokončni iz- pis pisave. Vsako izmed predstavljenih družin pisav lahko zapišemo tudi po- ševno, nagnjeno, krepko ali z manjšimi velikimi črkami. Med temi stili izpisa izbiramo z naslednjimi ukazi: \textit{...} poševni izpis pisave, \textsl{...} nagnjen izpis pisave, \textbf{...} krepek izpis pisave in \textsc{...} MALE ÈRKE SO IZPISANE KOT MANJŠE VELIKE ÈRKE Kadar želimo, da neka beseda v bese- dilu izstopa (ne glede na to, v katerem stilu pisave pišemo), lahko uporabimo ukaz \emph{...}. V pokončni pisavi bo beseda znotraj zavitih oklepajev izpi- sana poševno, v poševno izpisani pisavi pa pokončno. Da pa ne bomo pisali samo ukazov, si poglejmo še naslednja dva primera. V prvem primeru znotraj enega stavka večkrat spremenimo pisavo, v drugem primeru pa je prikazana uporaba uka- za \emph{...}. \ Primer V naš dokument med \begin{document} in \end{document} vstavimo naslednje vrstice: Ta \textit{stavek} \texttt{uporablja} \textsl{več} \textsf{različnih} {\Large \textbf{pisav,}} \textit{zaradi} česar \textsc{ga je} \textbf{težje} \textsc{brati}. Rezultat, ki ga dobimo, je videti takole: Ta stavek uporablja veè različnih pisav, zaradi èesar GA JE težje BRATI. Presek 5-revija-9.indd 26 4/11/2005 13:24:59 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 27 RAÈUNALNIŠTVO \ Primer Med \begin{document} in \end{docu- ment} vstavimo naslednje vrstice: Prejšnji primer je spreminjal velikost in \emph{stil} pisave. Rezultat, ki ga dobimo, je videti takole: kjer smo ga zapisali, v končnem doku- mentu izpiše kazalo vsebine. \ Različne vrste naštevanj Pogosto se zgodi, da moramo v svojem besedilu naštevati različne možnosti, ki jih želimo podati s pomočjo alinej. V LaTeXu imamo na voljo tri vrste alinej (seznamov): oštevilčene, označene in alineje z opisom. Alineje lahko v doku- mentu tvorimo s posebnimi okolji. Vsa- ko okolje se prične z ukazom \begin{...} in konča z ukazom \end{...}, pri čemer moramo v zavitih oklepajih podati ime okolja, ki ga želimo uporabiti. Za ošte- vilčene alineje je okolje enumerate, za označene s simbolom okolje itemize in za alineje z lastnim opisom okolje description. Znotraj okolja za alineje moramo vsako alinejo označiti z ukazom \item, ki označuje začetek alineje. Na naslednjem primeru lahko vidimo upora- bo alinej, ki jih lahko tudi gnezdimo (t.j. pišemo eno okolje znotraj drugega). \ Primer Prejšnji primer je spreminjal velikost in stil pisave. \ Poglavja in podobne razdelitve besedila Dele besedila, ki skupaj tvorijo zaklju- čeno celoto, običajno združujemo v po- glavja in podobne razdelke. LaTeX ima za takšna združevanja že definirane ukaze, od katerih pa vseh ne moremo uporabljati v vseh vrstah dokumentov. V vrsti dokumenta z imenom article (članek) lahko za razdeljevanje upora- bimo naslednje ukaze: V LaTeXu obstaja še več vrst različnih okolij, katerih opise in primere uporabe najdete na naslednjih spletnih straneh. http://www.miktex.org – domača stran projekta MikTeX http://www.toolscenter.org – doma- ča stran programa TeXnicCenter http://www.adobe.com – domača stran pregledovalnika PDF datotek http://www.cs.wisc.edu/ ˜ghost – do- mača stran programov za pregledova- nje PS datotek http: /www-lp.fmf.uni-lj.si /pleste- njak/vaje/latex/lshort.ps – slovenski prevod knjige za LaTeX z naslovom Ne najkrajši uvod v LaTeX2e V naslednjem (zadnjem) delu našega sprehoda skozi LaTeX bomo pozornost posvetili vnašanju matematičnih izrazov, formul in še česa. Andrej Taranenko \begin{enumerate} \item Okolje \texttt{enumerate} oštevilči elemente v seznamu. \item Okolje \texttt{itemize} označi vsak element z veliko piko, kot sledi: \begin{itemize} \item To je prvi element v 4 ] H H ]fA8=; Ya[ A!\ vb @B;>PD [ D.] H @B;.w    !                F    ! 5+2#                  ! " $#!% &('   !) *      + ! 5+2#  &-,     # )  .   / '   !)   )0  <# /1  8 !'  12435        F  67289:5        F  \section{...} \subsection{...} \subsubsection{...} Podoben je še ukaz \chapter{...}, ki je na voljo v vrsti do- kumentov report in book. Vsi od našte- tih ukazov v zavi- tih oklepajih prejmejo ime razdelka. La- TeX samodejno ustvari številčenje raz- delkov, izbere tudi privzeto pisavo za naslove in razmake med razdelki. V primeru, da ne želimo oštevilčevanja razdelkov, lahko poleg imena ukaza za- pišemo znak * (tako neoštevilčen pod - razdelek začnemo z ukazom \subsecti- on*{...}). Velika prednost razdeljevanja bese- dila z omenjenimi ukazi je, da lahko LaTeX na ta način samodejno tvori kazalo vsebine glede na imena razdel- kov, kot smo jih podali z ukazi. Ukaz \tableofcontents, ki ga uporabimo zno- traj besedila dokumenta, na mesto, okolju \texttt{itemize}. \item In to je drugi. \end{itemize} \item To je primer okolja \texttt{description}. \begin{description} \item[Prvi] element v seznamu. \item[Drugi] element v seznamu. \end{description} \end{enumerate} V končnem do- kumentu izgleda takole: Presek 5-revija-9.indd 27 4/11/2005 13:25:01 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 28 Digitalni video RAÈUNALNIŠTVO V Moorovem zakonu je zapisano, da se vsakih 18 mesecev podvoji računska moč računalnikov, ki jih uporabljamo. Temu primerno se obnaša tudi pro- gramska oprema. Ena najbolj proce- sorsko »požrešnih« skupin programov pa so programi za obdelavo video po- snetkov. Za kodiranje video posnetkov potrebujemo veliko več procesorskega časa kot za dekodiranje. Res pa je tudi, da se večina uporabnikov sreča z na- rejenimi video posnetki in jih le pred- vaja (ogleduje na svojih računalnikih). Krajši video posnetki, ki krožijo po elektronski pošti, pa prinašajo tudi ve- liko zmedo v obliki vprašanj: »Zakaj ne morem videti tega posnetka?« Skriv- nost se skriva v različnih standardih kodiranja video posnetkov. Ker je teh standardov zelo veliko, se upravičeno že poraja vprašanje, ali standardi sploh obstajajo. V prispevku bomo skušali pojasniti, kaj se skriva v ozadju datotek z video posnetki. \ Video posnetki Človek spoznava svet s pomočjo čutil. Računalniki današnjega dne lahko do- bro prenašajo podatke do človeka le s pomočjo dveh informacijskih tokov: pri- kazujejo slike (vzburjajo oko) in pred- vajajo glasbo (vzburjajo uho). Človeško oko je senzor, ki sprejema več informa- cij, kot jih predaja možganom, zato je mogoče človeški vid prevariti. To iz- koriščajo številni umetniki – iluzionisti (čarovniki) in nam prikazujejo stvari, za katere mislimo, da so nemogoče. Če člo- vekovemu očesu zelo hitro menjujemo slike, ki se malo razlikujejo med seboj, se pri neki hitrosti več ne zavedamo, da pravzaprav gledamo slike, ampak mis- limo, da vidimo zvezno gibanje. Tako je nastal film. Katera je tista hitrost, pri kateri ne vidimo več vsake posamezne slike, je odvisna od vsakega posamezni- ka. Ugotovljeno pa je, da nad hitrostjo 15 slik v sekundi nismo sposobni več zaznati posameznih slik in pričnemo vi- deti zvezno gibanje. Ustvarjalci risanih filmov so to izkoristili in prvi animira- ni risani filmi so posneti s hitrostjo 16 slik na sekundo (angl. FPS = frame per second ). Filmi, ki jih gledamo v kinu, so posneti s hitrostjo 24 slik v sekundi. Televizijski signali, kot nosilci slike, pa se v različnih državah razlikujejo in so v glavnem v dveh glavnih skupinah stan- dardov. V Evropi je v veljavi standard PAL (in njegove izvedenke) ter 25 slik v sekundi, v Ameriki, na Japonskem in še kje pa je v veljavi standard NTSC (in njegove izvedenke) ter 30 slik v sekun- di. V Sloveniji uporabljamo televizijski standard enak kot v Nemčiji in Avstriji, PAL-B. Vsa ta zmešnjava na področju standardov pa nam preprečuje, da bi si lahko na vsaki opremi ogledali vse video kasete iz poljubnega dela sveta. Danes, ko se video kasete kot pomnilni medij za hranjenje video posnetkov počasi po- slavljajo, pa je mogoče kupiti videore- korderje, na katerih je napisano »NTSC playback on PAL«, ki znajo predvajati na naših televizijskih sprejemnikih ve- čino videokaset. Kot že rečeno, pa se danes vedno bolj uveljavljajo digitalni zapisi video posnetkov, ki bodo rešili opisano zmedo predvajanja različnih standardnih zapisov videa. V času starih mlinčkov z Intelovimi procesorji 80486 smo dobili prve video posnetke, ki smo si jih lahko ogledali na računalniških zaslonih. Velikost sli- ke je bila primerljiva z velikostjo poštne znamke, o kakovosti takratne slike pa sploh ne bi govorili. Procesorji tistega časa niso bili sposobni predvajati niti mp3 datotek. S pojavom hitrejših pro- cesorjev (Pentium) pa smo spoznali, da je mogoče glasbo skrčiti na desetino velikosti nekompresirane oblike. Mogo- če je bilo gledati tudi video posnetke. V tistem času so se pojavili tudi prvi stan- dardi za zapis digitalnega videa. Video CD je produkt tistega časa. Velikost slike Video CD standarda je četrtina velikosti televizijskega ekrana. Ločlji- vost (angl. resolution ) (352x288 točk za Evropo – PAL sistem ali 320x240 točk za Ameriko – NTSC sistem) je bila primerljiva z ločljivostjo analog- nega zapisa na VHS video rekorderju. Kodiranje videa v tem zapisu pa je bilo takrat še zmeraj mogoče le v posebnih laboratorijih, kjer so imeli takšno ra- čunalniško opremo, o kateri navadni smrtniki nismo mogli razmišljati. Za Video CD-je so razvili standard MPEG (Motion Picture Experts Group), ki so ga kasneje preimenovali v MPEG 1. Pentium procesorjem so sledili Penti- um 2 procesorji. Ti procesorji so bili sposobni predvajati takrat nov zapis video signala – DVD zapis. DVD (Digi- tal Video Disk – spremenjeno v Digital Versatile Disk ) zapis video posnetkov je temeljil na novem standardnem zapi- su videa MPEG 2. Glasbeni del MPEG 2 standarda danes poznamo pod ime- nom MP3, je v resnici MPEG 2 Layer 3 namenjen za kompresijo zvoka v DVD video signalu. Sledili so procesorji Pen- Presek 5-revija-9.indd 28 4/11/2005 13:25:03 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 29 RAÈUNALNIŠTVO SE NADALJUJE NA STRANI 33 tium 3 in 4, kjer pa je mogoče pred- vajati vse vrste znanih video zapisov. Razvoj je šel celo tako daleč, da so naredili posebne komponente, ki po- leg DVD zapisov znajo predvajati tudi večino ostalih zapisov video posnetkov (divx playerji ). DVD je še zmeraj standard za visoko kakovost video posnetkov. Filmska in- dustrija ga je sprejela z obema roka- ma, ker je zaradi svoje tehnološke za- pletenosti predstavljal idealni medij za razširjanje filmov, ki jih je bilo mogoče regijsko zaščititi in preprečiti presne- mavanje. Kot zanimivost naj omenimo, da je regijska zaščita in razdelitev sve- ta tako razjezila Kitajce, da so si izmis- lili svoj standard – Super Video CD. Prenos nekaj gigabytov podatkov je še danes, ko imamo tudi doma možnost priklučitve na hitre internente poveza- ve, nekaj, čemur se izogibamo. Hitre internetne povezave pa so nam prinesle novo vrsto možnosti za razširjanje vi- deo posnetkov – pretočni video (angl. video streaming ). Za pretočni video imamo danes tri glavne standarde: Quick Time, podpira ga podjetje Ap- ple, Real video in audio ter Windows media video in audio, ki ga podpira podjetje Microsoft. Pred pojavom pretočnega videa smo morali najprej prenesti celotni video posnetek na svoj računalnik in ga šele potem predvajati. S pretočnim videom pa se prenese le majhen del videa, ko- likor ga je potrebno za prikaz nekaj se- kund posnetka, ostalo pa se prenaša po potrebi, približno tako, kot da bi gleda- li televizijo, le časovni zamik je malo daljši. Pri televiziji je časovni zamik se- kundo ali dve, pri pretočnem video pa lahko doseže celo več kot 20 sekund. Danes pretočni video uporablja Tele- vizija Slovenija za svoj prvi televizijski program (v formatu Real video), TV Pika (v formatu Windows media video ) in Siol TV, ki pa ne uporablja prej na- vedenih formatov zapisa videa, ampak preprosto pošilja vse programe digital- no, tako kot jih sprejme iz satelita. \ Kodiranje Nekaj osnov o videu smo do sedaj že spoznali in napočil je čas, da se pod- učimo o tem, kaj moramo vedeti, če želimo narediti svoj video. Za večino ljudi je dovolj že, če lahko nekaj TV od- daj posnamejo digitalno, da jih potem predvajajo s pomočjo računalnika. To je mogoče s sodobnim računalnikom in TV tuner kartico, ki omogoča ogled TV programov in snemanje le-teh. Cena takšnih razširitvenih računalniških kartic je danes že smešno nizka. Kak- šen pa je zapis tako posnetega videa? V vsakem primeru je zmanjšan. Če ho- čemo razložiti, zakaj je zmanjšan, pa moramo uporabiti malo matematike. Brez zmanjševanja oz. kompresije po- trebujemo za video 25 slik na sekundo, izberemo si velikost slike takšno, kot jo ima naša priljubljena TV postaja (704x576), in vse barve, ki jih loči oko (24 bitov=8 bitov za rdečo, 8 bitov za modro in 8 bitov za zeleno barvo ). Iz- račun pove naslednje: 25x704x576x24 =243302400 bitov na sekundo. Ko to preračunamo, dobimo malo več kot 29 megabytov/sekundo. Še dobro, da so sodobni diski sposobni prenašati takšno količino podatkov v eni sekundi; če tega ne bi bili, bi izgubili nekaj slik v sekundi in bi v samem videu zapisu zaznali kak- šen nenadni preskok. Tak zapis se ime- nuje »surov« (angl. raw ), nezmanjšan oz. nekompresiran zapis in je za končni video neuporaben. Večina računalnikov ni sposobna takšnega videa predvajati zaradi same količine podatkov, ki jih je potrebno prenesti preko vodila na gra- fično kartico. Če pa poznamo dejstvo, da je slika, ki jo dobimo prek TV signa- la, polna šumov in nepravilnosti v sliki, potem tudi ni smiselno posneti analog- nega TV signala v najboljši kakovosti. Veliko bolj smiselno je, da malo obre- menimo procesor, da stisne oz. kompre- sira video na neko smiselno velikost. Današnje TV kartice omogočajo sne- manje video posnetkov v različnih za- pisih. Najbolj popularni so MPEG 1, MPEG 2 in nekompresiran AVI (Audio Video Interleaved ). Za skrčevanje vi- dea in zvoka v računalniku skrbijo po- sebni programi kodeki (angl. CODEC = COder – DECoder, kodirnik – dekodir- nik ), ki jih je potrebno namestiti. Datoteke, ki vsebujejo video posnetke, imajo različne končnice (mpg, mov, avi, wmv, asf ). Pri končnici AVI ni vse tako jasno, kot se zdi pri drugih končnicah. V teh datotekah se lahko skrivajo skoraj vsi novi kodeki. Novi kodeki (divx, xvid ) izkoriščajo prazni- no standarda MPEG 4. Čeprav MPEG 4 ISO standard že obstaja, lahko na medmrežju najdemo veliko video po- snetkov, ki uporabljajo prej omenjene kodeke. DIVX je MPEG 4 codec, ki so ga avtorji DIVX-a izmaknili Mic- rosoftu. Microsoft je za svoje potrebe razvijal svoj kodek in ga ni zaščitil z avtorskimi pravicami. Avtorji DIVX-a so tako spremenili tisti del, ki kodira zvok, in nastal je DIVX. DIVX kodek pa ni zastonj. Če hoče kdo izdelovati video posnetke v DIVX formatu, mora le-tega plačati ali pa na začetku video posnetka gledati reklamo za DIVX. Odgovor na ta zaščiten kodek je ko- dek XVID, ki je povsem prostokodna rešitev. XVID kodek je s svojo zadnjo nadgradnjo povzročil na tržišču kar nekaj težav. Zaradi boljše kompresije podatkov in posledično manjše dolžine datotek ga lahko srečamo v zelo veliki Nadaljevanje na strani 33. 33 Presek 5-revija-9.indd 29 4/11/2005 13:25:04 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 30 ASTRONOMIJA Mlada luna pomeni čas med mlajem in ščipom, ko se Luna navidezno debe- li (»rastoča luna«). Traja približno 14 dni. V tem času je Luna vidna popoldne in zvečer. Prvi krajec je npr. približno na polovici mlade lune. Stara luna pa je čas med ščipom in mlajem, ko se Luna navidezno krči ali, kot tudi rečemo, »crkuje« (»pojemajo- ča luna«). Traja tudi okoli dva tedna. V tem času je Luna vidna zjutraj ali do- poldne. Zadnji krajec npr. nastopi pri- bližno na polovici stare lune. Medtem ko je Lunina mena trenutni pojav oz. dogodek, za mlado in staro luno to ne velja, pač pa velja, da sta to časovna presledka (intervala). Zato torej mlaja ne smemo enačiti z mlado luno, lahko pa rečemo, da je mlaj zače- tek mlade lune. Presek 5-revija-9.indd 30 4/11/2005 13:25:05 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 31 Mlada in stara luna ASTRONOMIJA 4. Pred leti sem se upokojil. Zdaj živim na deželi. Z naravo sem bolj povezan kot takrat, ko sem še pouèeval. Sonce, Luna in zvezde se mi zdijo lepše kot prej. Naše sosede Silve pa to prav niè ne za- nima. Njo zanima samo vrt in – Luna, natanèneje Lunine mene. Gospa Silva se pri vrtnarjenju namreè trdno »drži« Lune. Vrtna- ri tako, da upošteva Lunine mene. Na nebo nikdar ne pogleda. Sploh ne vem, èe je kdaj obèudovala polno luno in videla prvi in zadnji krajec na nebu in èe ju razlikuje. In vendar me je opomni- la na nekaj pomembnega v zvezi z Luno. kov, dnevov verskih in državnih praznikov poda- ni večinoma brez napak, pa so z Luno oz. natan- čneje, s prikazi Luninih men (faz) precejšnje teža- ve. V koledarjih so npr. prikazani za isto Lunino meno različni (tudi napačni) simboli. V enem ko- ledarju so celo astronomski znak Sonca označi- li za simbol mlaja ali prazne lune, kar je povsem nesprejemljivo, da ne rečem hujše besede. Zapa- zil sem tudi, da nekateri koledarji enačijo mlaj in mlado luno. To je zelo velika napaka, kar bom po- jasnil ob koncu sestavka. Torej, največje hibe imajo koledarji s prikazi sim- bolov Luninih men. Datum in čas nastopa men sicer napovedo še pravilno (to se pač prepiše), ustrezni simbol zanje pa narišejo večkrat narobe. Zato bom tu pojasnil bistvo Luninih men, predsta- vil pravilne simbole zanje, nekaj pa še povedal o mladi in stari luni. \ Začnimo z Luninimi menami Luna je edina Zemljina naravna spremljevalka. Giblje se okrog Zemlje, ki kroži okrog Sonca. Luna je temno vesoljsko telo. Vidimo jo zato, ker jo osvetljuje Sonce. Sonce stalno osvetljuje polo- vico Lune. To osvetljeno polovico Lune pa z Zem- Oni dan mi reče: »V mojem koledarju je nekaj narobe. Nič več ne razumem prikaza Luninih men. Pogledala sem še v tri druge koledarje, pa je v vseh treh drugače prikazana ista Lunina mena. Na kateri koledar se naj zanesem?« Pregledam prvi koledar in potem še ostale tri. Prav je imela. Tako sem se odločil, da še sam pregle- dam nekaj slovenskih koledarjev, ki sem jih dobil v dar ob novem letu 2005. Ni kaj reči. Eni so prav čedni, zelo lepi. Tu mislim predvsem na zunanji izgled, pašo za oči, vsebina pa je lahko včasih sumljiva. Naj takoj povem, da sem pri koledarjih našel kup napak. Od osmih pregledanih je bil samo eden neopore- čen, zanesljiv, torej v redu. V nekaterih koledarjih pa Luninih men sploh ni. Se- stavljalci teh koledarjev so se prepro sto izognili težavam. Drugače povedano: zaradi lenobe so naredili slab koledar. Medtem ko so prikazi poteka dni, ted- nov in mesecev ter napovedi začetka letnih časov, Sončevih in Luninih mr- ASTRONOMIJA Presek 5-revija-9.indd 31 4/11/2005 13:25:06 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 32 ASTRONOMIJA lje različno vidimo, vsak trenutek dru- gačno. To je bistvo Luninih men, t.j. na- videznih Luninih sprememb. Ko z Zemlje vidimo vso osvetljeno po- lovico Lune, se ta mena imenuje polna luna ali ščip (beseda spominja na ščit). Takrat je Zemlja med Soncem in Luno. Ko pa je Luna med Zemljo in Soncem, je k Zemlji obrnjena neosvetljena po- lovica Lune. Zato Lune ne vidimo, če- prav je na nebu. Ta mena se imenuje mlaj ali prazna (včasih rečemo tudi črna) luna. Mlaj in ščip sta časovno razmaknjena za okoli 14 dni (dva tedna). Približno na polovici med mlajem in ščipom na- stopi prvi krajec, ko je Luna vidna v ob- liki svetlega polkroga, podobnega črki D (Luna se navidezno debeli). Približno na polovici med ščipom in mla- jem nastopi zadnji krajec, ko je Luna vidna v obliki svetlega polkroga, podo- bnega črki C (Luna navidezno crkuje). Opisali smo samo štiri glavne Lunine mene, čeprav jih je seveda več, vse pa se zvrstijo približno v času 29,5 dne- va. Ta čas imenujemo sinodski mesec ali lunacija in ga moramo razlikovati od zvezdnega meseca 27,3 dneva, v ka- terem Luna obkroži Zemljo. Slika 1. Simbol za ščip ali polno luno; Luna je vidna kot svetla okrogla ploskvica in vzhaja okoli 18. ure in zaha- ja okoli 6. ure. Slika 2. Simbol za mlaj ali prazno luno; Luna ni vidna, saj vzhaja in zahaja skupaj s Son- cem. Slika 3. Simbol za prvi kra- jec; Luna vzhaja okoli poldne, je na jugu okoli 18. ure in zaha- ja okoli polnoči. Slika 4. Simbol za zadnji kra- jec; Luna vzhaja okoli polnoči in zahaja okoli poldne. Slika 5. Razlaga Luninih men. Zaradi različne lege Lune glede na Zemljo (okrog kate- re kroži) in Sonce (ki jo osvetljuje) z Zemlje vidimo Luno različno osvetljeno – njen videz se spreminja oz. menjava. Luna se giblje tako, da si zaporedoma sledijo mlaj, prvi krajec, ščip, zadnji krajec, mlaj itn. Zgoraj je prikazan heliocentrični pogled na potek Luninih men Slika 6. Primer koledarja (januar 2005), ki pravilno prikazuje Lunine mene. Pomanjklji- vost: ni označen čas nastopa men. \ Zdaj pa še nekaj o mladi in stari luni Mlada luna pomeni čas med mlajem in ščipom, ko se Luna navidezno debe- li (»rastoča luna«). Traja približno 14 dni. V tem času je Luna vidna popoldne in zvečer. Prvi krajec je npr. približno na polovici mlade lune. Stara luna pa je čas med ščipom in mlajem, ko se Luna navidezno krči ali, kot tudi rečemo, »crkuje« (»pojemajo- ča luna«). Traja tudi okoli dva tedna. V tem času je Luna vidna zjutraj ali do- poldne. Zadnji krajec npr. nastopi pri- bližno na polovici stare lune. Medtem ko je Lunina mena trenutni pojav oz. dogodek, za mlado in staro luno to ne velja, pač pa velja, da sta to časovna presledka (intervala). Zato torej mlaja ne smemo enačiti z mlado luno, lahko pa rečemo, da je mlaj zače- tek mlade lune. Marijan Prosen in ob njem geocentrični; spodaj (v okvirčku) pa sta hkrati prikazana geocentrični pogled na Lunine mene in razlaga stare in mlade lune. Presek 5-revija-9.indd 32 4/11/2005 13:25:07 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 33 ASTRONOMIJA + RAÈUNALNIŠTVO količini novih video posnetkov, ki se menjujejo na medmrežju. Na- prave, ki jih lahko kupimo v trgo- vinah za priklop direktno na tele- vizijo (t.j. video komponente, do- Slika 7. Primer koledarja (marec 2005), ki nepravilno prikazuje Luni- ne mene. To je koledar z najmanj dvema velikima napakama. Pomanj- kljivost: ni označen čas nastopa men. mače rečeno DVD ali DIVX playerji ), znajo predvajati skoraj vse video posnetke, vključno z DIVX in XVID video posnetki, omenjenih novih datotek pa ne več. Tako je te datoteke mož- no gledati le na računalnikih. \ Zaključek Digitalni video vztrajno izrinja analognega. Videorekorderji z magnetnimi trakovi se bodo počasi umikali video zapisom, ki bodo shranjeni na digitalnih nosilcih informacij. Količina video posnetkov, ki nam bodo na voljo, se bo hitro povečeva- la, ker sodobni računalniki omogočajo, da vsak posameznik posname svoj video in ga obdela. Pa bomo znali še čez leta predvajati vse te digitalne posnetke? To vprašanje muči ljudi, ki jim je mar za to, da se posneta zgodovina današnjega časa ne izgubi. Glede na trenutno stanje na področju različnih video kodekov predvidevamo, da bomo nekaj posnetkov za- nesljivo izgubili. Prav tako pa lahko predvidevamo, da bodo posnetki, ki bodo v standardnih formatih, še dolgo uporabni takšni, kot so. Nekoč pa jih bo potrebno prekodirati v nek novejši digitalni zapis. \ Kje iskati dodatne informacije? http://www.webopedia.com/TERM/M/ Moores_Law.html http://www.divx.com/ http://www.mpeg.org/ http://www.xvid.org/ http://www2.arnes.si/ sspmgiac/mirk2001/clanki/ 6_drugo/debevc.pdf http://www.microsoft.com/windows/windowsmedia/ format/codecdownload.aspx http://www.videohelp.com/ http://www.videohelp.com/svcd Marjan Krašna Nadaljevanje s strani 29. Presek 5-revija-9.indd 33 4/11/2005 13:25:09 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 34 KOLOFON Presek objavlja poljudne in strokovne član- ke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmo- vanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vr- sticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovorni urednici na naslov uredništva DMFA–založništvo, Uredništvo revije PRESEK, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj ene- mu anonimnemu recenzentu, ki oceni pri- mernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem urednica prosi av- torja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 32 šolsko leto 2004/2005 številka 5 Uredniški odbor Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar (odgovorna urednica), Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Primož Potočnik (novice), Ma- rijan Prosen (astronomija), Marko Razpet, Andrej Taranenko (raču- nalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naroènine DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 2517 281. Naročnina za šolsko leto 2004/2005 je za posamezne naročnike 4.000 SIT (posamezno naročilo velja do preklica), za skupinska na- ročila učencev šol 3.500 SIT, posamezna številka 900 SIT, dvojna številka 1.650 SIT, stara številka 650 SIT, letna naročnina za tujino pa znaša 25 EUR. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, SWIFT (BIC): SKBASI2X, IBAN: SI56 0310 0100 0018 787. Sponzor List sofinancirata Agencija za raziskovalno dejavnost ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Polona Šterk in Matjaž Čuk Ilustracija Polona Šterk, Matjaž Čuk, Nina Rupel Tehnièno urejanje Matjaž Čuk Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana © 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1601 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja izdajatelja ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana \ Navodila sodelavcem Preseka za oddajo prispevkov \ Kolofon .tex Presek 5-revija-9.indd 34 4/11/2005 13:25:10 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 35 Presek 5-revija-9.indd 35 4/11/2005 13:25:11 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC 36 Presek 5-revija-9.indd 36 4/11/2005 13:25:11 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 130 CVC PANTONE 312 CVC