IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 2013 Letnik 60 3 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 60 • ŠT. 3 • STR. 81-120 • MAJ 2013 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAJ 2013, letnik 60, številka 3, strani 81-120 Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov. Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. (g 2013 DMFA Slovenije - 1906 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne clanke iz matematike, fizike in astronomije, vcasih tudi kak prevod. Poleg clankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilcene, morajo imeti dovolj izcrpen opis, da jih lahko vecinoma razumemo tudi loceno od besedila. Avtorji clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v racunalni-ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natancno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematicnih clankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne racunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razlicic urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek. KONFIGURACIJSKI PROSTORI IN TOPOLOSKA KOMPLEKSNOST ALEKSANDRA FRANC Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 55M30, 55R80 Na nekaj primerih pogledamo, kako določimo konfiguracijski prostor robotskega sistema. Spoznamo se pojem topoloske kompleksnosti in s pomočjo znanega Brouwerjevega rezultata o vektorskih poljih na sferah poisčemo eksplicitna pravila gibanja ter določimo topolosko kompleksnost sfer. CONFIGURATION SPACES AND TOPOLOGICAL COMPLEXITY We look at a few examples of configuration spaces and introduce the notion of topological complexity. Finally, we use the famous Hairy Ball Theorem of Brouwer to construct explicit motion planning rules and determine the topological complexity of spheres. Konfiguracijski prostori Poiskati želimo matematične modele, ki dobro opisujejo mehanske, robotske ali fizikalne sisteme. Tak sistem je lahko na primer robotska roka v tovarni avtomobilov, robotski sesalnik, ki se vozi po nasi dnevni sobi, vozički, s katerimi po tirih na tovarniskih tleh prevažamo komponente iz enega dela tovarne v drugega, molekula plina, ki potuje po prostoru, ali pa recimo vrtavka. Pri vsakem takem sistemu opazujemo konfiguracijski prostor, tj. prostor vseh moznih polozajev oziroma stanj sistema. Ce zelimo sistem premakniti iz enega stanja v drugo, potem moramo samo poiskati neko pot v konfiguracijskem prostoru, ki ti stanji povezuje, in ta pot, če obstaja, nam bo povedala, prek katerih stanj moramo izvesti premik. Z vprasanjem obstoja in zveznih izbir takih poti se bomo ukvarjali v razdelku o topoloski kompleksnosti, tukaj pa si na nekaj primerih oglejmo, kako lahko določimo konfiguracijski prostor danega sistema. Spodnji primeri so večinoma povzeti po [1, §3.5]. Primer 1. Denimo, da je nas sistem sestavljen iz ene same robotske roke, ki je vpeta v enem krajisču in se lahko prosto vrti v ravnini, kot nakazuje slika 1(a). Polozaj roke je natančno določen s kotom p, ki ga roka oklepa z vodoravničo. Kot p je lahko poljubno stevilo z intervala [0,2n], pri čemer krajisči 0 in 2n določata isti polozaj. Konfiguračijski prostor tega sistema je torej krozniča S1. (a) (6) Slika 1. Enostavna (a) in sestavljena (b) robotska roka. Položaj sistema je natančno določen ž označenimi koti

j, i = 1,..., n, konfiguracijski prostor pa je krožnica S1 oziroma produkt S1 x ... x S1 n kopij krožnice, kjer je n stevilo ročič. Primer 2. Posplositev prejšnjega primera je robotska roka, sestavljena iž več žaporedno vežanih ročic, ki so vse prosto vrtljive v isti ravnini. Primer takega sistema je prikažan na sliki 1(b). Tokrat je stanje sistema povsem določeno, če požnamo se kote, ki jih vsaka naslednja ročiča oklepa s tisto pred njo. Vsak od kotov je spet neko stevilo ž intervala [0, 2n], pri čemer krajisči 0 in 2n določata isti položaj, poleg tega pa lahko kote ižberemo poljubno. Možni položaji sistema torej ustrežajo urejenim n-tericam ) in konfiguracijski prostor je produkt n kopij krožnice, S1 x ... x S1. Konfiguracijski prostor ža primer n = 2 je prikažan na sliki 4(b). Primer 3. Na sliki 2(c) je shema molekule ogljikovega monoksida, ki jo sestavljata atom ogljika (večji, temnejsi) in atom kisika (manjsi, svetlejsi). Zanimajo nas vsi možni položaji te molekule v R3. Njen položaj je natanko določen, če požnamo krajevni vektor težisča rT € R3 in vektor v, ki določa smer od težisča do sredisča ogljikovega atoma. Slednji določa neko smer v R3, njegova velikost pa je vedno enaka, žato leži na neki sferi S2 C R3. Konfiguracijski prostor tega sistema je torej R3 x S2. Primer 4. Konfiguracijski prostor molekule vode v ravnini je R2 x S1, saj je njen položaj natančno določen s krajevnim vektorjem sredisča atoma kisika rT € R2 in s kotom ^ € S1, ki ga ta vektor oklepa ž enim od obeh vodikovih atomov. Seveda moramo vnaprej določiti, katerega od obeh vodikovih atomov smo ižbrali. Na sliki 2(d) smo ga ižbrali tako, da drugi vodikov atom oklepa kot ^ + 104,45° ž vektorjem rT, merjeno od rT v smeri, ki je (c) (d) Slika 2. Molekuli ogljikovega monoksida (c) in vode (d) v prostoru R3 in v ravnini nasprotna vrtenju urinih kazalcev. Ta konfiguracijski prostor si lažje predstavljamo, ce upoštevamo, da je ravnina R2 homeomorfna odprtemu disku B2, in tako dobimo odprt torus B2 x S1, kot vidimo na sliki 4(d). Pa recimo, daje molekula vode v R3. Položaj kisikovega atoma določimo s krajevnim vektorjem rT € R3. Položaj prvega vodikovega atoma je potem dolocen z nekim vektorjem smeri v € S2. Drugi vodikov atom je lahko kjerkoli na krožnici, ki jo opise, ko molekulo zavrtimo okrog osi, ki poteka cez sredisci preostalih dveh atomov. Zato za dolocitev položaja molekule potrebujemo se drugi vektor smeri u € S1. Konfiguracijski prostor je torej R3 x S2 x S1. A B (f) Slika 3. Enostavna robotska roka s premikajocim se vrtiscem (e) in sistem dveh robotov na neskoncnem tiru (f ). Primer 5. Denimo, da vrtisce robotske roke iz primera 1 ni fiksno, ampak se lahko premika vzdolž neke daljice, tirnice dolžine d > 0. Shema sistema je na sliki 3(e). Položaj sistema je določen z razdaljo x € [0, d] od levega pritrdisca tirnice do vrtiSča ter s kotom ip € S1, ki ga ročica oklepa s tirnico. Konfiguracijski prostor je torej kolobar [0,d] x S1, produkt intervala in krožnice s slike 4(e). Primer 6. Nazadnje si oglejmo se primer dveh robotov, oznacimo ju z A in B, ki se premikata po neskoncni tirnici, kot vidimo na sliki 3(f). Robota lahko predstavimo s tockama na realni osi. Njuna polozaja sta torej dolocena s parom realnih stevil (xa, xb). Seveda robota ne smeta biti istocasno v isti tocki, zato je konfiguracijski prostor mnozica {(xa,xb) € R x R | XA = XB}, tj. ravnina brez simetrale y = x. Opazimo, da je v tem primeru konfiguracijski prostor sestavljen iz dveh kosov. V vseh drugih primerih so bili konfiguracijski prostori povezani s potmi in smo lahko iz poljubnega stanja sistema presli v poljubno drugo stanje. V tem primeru pa ocitno ne moremo robotov samo s premikanjem po premici pripeljati iz stanja, ko se robot A nahaja levo od robota B, do stanja, ko je robot B levo od robota A. Konfiguracijski prostor smo narisali na sliki 4(f). Posplositev tega primera je konfiguracijski prostor n razlicnih tock v m-razseznem evklidskem prostoru, F(Rm, n) = {(xi,..., x„) € (Rm)n | xi = x3 za i = j}. Pred nekaj leti sta Farber in Grant [7] dokoncno izracunala topolosko kompleksnost F(Rm,n). To invarianto bomo spoznali v naslednjem razdelku. Topoloska kompleksnost Topoloska kompleksnost, ki jo je vpeljal Farber [3] leta 2001, meri, kako zapleteno je gibanje po konfiguracijskem prostoru nekega robotskega sistema. Tukaj bomo podali nekaj osnovnih dejstev, podrobnosti pa lahko bralec najde v Farberjevih clankih [3], [4], [6] ali pa v cetrtem poglavju knjige [5]. Ceprav vse trditve veljajo tudi v vecji splosnosti (na primer za CW komplekse), bomo tukaj predpostavili, da je konfiguracijski prostor mnogoterost, tj. prostor, v katerem ima vsaka tocka okolico, homeomorfno evklidskemu prostoru Rk ali pa polprostoru R+ za neki fiksen k € N. Naj bo topoloski prostor X konfiguracijski prostor nekega robotskega sistema. Gibanje robota lahko predstavimo s potjo med dvema tockama (zacetnim in koncnim polozajem robota). Predpostavimo, daje X povezan s potmi, tako daje res mogoce priti iz vsake tocke do vsake druge, in oznacimo z X1 prostor vseh poti v X. Naj bo n preslikava n: X1 ^ X x X, n(a) = (a(0), a(1)), (d) (f) Slika 4. Konfiguracijski prostori: (b) torus S1 x S1 za robotsko roko z dvema ročicama, (d) polni torus brez robnega torusa B2 x S1 za molekulo vode v R2, (e) kolobar I x S1 za ročico na premičnem pritrdisču in (f) ravnina brez simetrale lihih kvadrantov za dva robota na premici. ki vsaki poti a: I ^ X priredi njeno zacetno in koncno tocko. Iscemo algoritem s: X x X ^ X1, ki bi za poljuben par tock (x, y) € X x X vrnil neko pot s(x, y): I ^ X, poleg tega pa želimo, da bi bile te poti zvezno odvisne od x in y. Seveda bo veljalo tudi n o s = idXxX. Preslikavi s s takimi lastnostmi pravimo prerez. Hitro se lahko prepricamo, da prerez, ki je zvezen na vsem X x X, obstaja le tedaj, ko je prostor X kontraktibilen (tj. lahko ga skrcimo v tocko Xo € X z zvezno preslikavo H: X x I ^ X, za katero je H(x, 0) = x in H(x, 1) = x0 za vse x € X) [3, izrek 1]. Namesto globalnega si torej raje oglejmo lokalne zvezne prereze. Vprasajmo se, najmanj koliko lokalnih prerezov potrebujemo, da lahko za poljuben par tock dobimo pot med njima. Tako naravno pridemo do naslednje definicije [3, definicija 2]: Definicija 1. Topološka kompleksnost TC(X) prostora X je najmanjse naravno stevilo n, za katero obstajajo pokritje (Ui, ..., Un} produkta X x X z odprtimi mnozicami in preslikave Si: U ^ X1, za katere je n o Si = id^, i = 1,..., n. Ce tak n ne obstaja, pravimo, da je TC(X) = to. Formulacija je zelo podobna definiciji Lusternik-Schnirelmannove kategorije [2, definicija 1.1]: Definicija 2. Lusternik-Schnirelmannova (LS) kategorija cat(X) prostora X je najmanjse naravno stevilo n, za katero obstaja pokritje (U1,..., Un} prostora X z odprtimi množicami, ki jih lahko znotraj X skrčimo v tocko. Ce tak n ne obstaja, pravimo, da je cat(X) = to. Takoj opazimo, da je topoloSko kompleksnost in LS kategorijo v splo-Snem težko določiti neposredno po definiciji. Poiskati moramo namreč pokritje z najmanjsim možnim stevilom množic z Zelenimi lastnostmi, potem pa moramo se dokazati, da je res optimalno. Pri tem so nam v pomoc ste-vilne zgornje in spodnje meje. Tukaj bomo nasteli nekaj najpreprostejsih. LS kategorija je omejena z dimenzijo [9, trditev 2.1]. Analogna dimenzijska neenakost velja tudi za topolosko kompleksnost, hkrati pa lahko to-polosko kompleksnost omejimo z LS kategorijo navzgor in navzdol [3, izrek 4] in [3, izrek 5]: Trditev 1. Naj bo X s potmi povezana mnogoterost. Tedaj je: (a) cat(X) < dim(X) + 1, (b) TC(X) < 2 ■ dim(X) + 1 in (c) cat(X) < TC(X) < cat(X x X) < 2 ■ cat(X) - 1. Dimenzijski oceni za LS kategorijo in topolosko kompleksnost lahko se izboljsamo, ce je prostor X visoko povezan (pri n > 1 pravimo, daje prostor X n-povezan, ce je za vse i < n vsaka preslikava S1 ^ X homotopna kaki konstantni preslikavi, tj. ce lahko slike poljubnih sfer dimenzij n ali manj znotraj prostora X skrcimo v tocko). Rezultat za LS kategorijo je izpeljal James [9, trditev 5.1], za topolosko kompleksnost pa Farber [4, izrek 5.2]. Izrek 2. Naj bo X (p — 1)-povezana mnogoterost. Potem je (a) cat(X) < dimx) + 1 in (b) TC(X) < 2-dimpx)+1 + 1. Primer 7. Poglejmo, kaj nam te zgornje meje povedo o sferah. Sfera Sn je n-dimenzionalen in (n — 1)-povezan prostor (Sm ne moremo homotopsko netrivialno preslikati v Sn pri m < n — 1, npr. kroznico na sferi lahko vedno skrcimo v tocko). Iz ocene 1(a) dobimo slabo zgornjo mejo cat(Sn) < n +1, iz ocene 2(a) pa boljso n cat(Sn) < - + 1 = 2. n Izkaze se, da je cat(Sn) = 2. Po definiciji je namrec LS kategorija prostora enaka 1 natanko tedaj, ko je prostor kontraktibilen, sfere pa to niso (to lahko dokazemo s pomocjo Brouwerjevega izreka o fiksnih tockah preslikav na diskih). Kategoricna spodnja meja 1(c) nam pove, da je 2 < TC(Sn). Dimenzijska ocena za topolosko kompleksnost 1(b) pravi, da je TC(Sn) < 2n + 1, medtem ko dobimo s pomočjo LS kategorije boljso oceno 1(c): TC(Sn) < 2 ■ 2 — 1 = 3. Ce upostevamo se povezanost, dobimo 2n + 1 1 1 TC(Sn) < + 1 = 2 + 1 + ^ = 3 +1. n n n Ker je TC(Sn) naravno stevilo, lahko spet sklepamo le, da je TC(Sn) < 3. IzkaZe pa se, da je ta meja ostra samo za sode n, medtem ko pri lihih n velja TC(Sn) = 2. To bomo pokazali v naslednjem razdelku. Sfere V tem razdelku bomo določili topolosko kompleksnost sfer Sn. Pomagali si bomo z znanim Brouwerjevim rezultatom o (ne)počesanih sferah: Izrek 3. Na Sn obstaja povsod neničelno gladko tangentno vektorsko polje natanko tedaj, ko je n lih. Najprej razlozimo, od kod izreku ime. Sfero Sn predstavimo kot pod-mnozico tock {(xi,...,xn+1) € Rn+1 | X? + ... + ^ = 1} v Rn+1. Vektorsko polje na Sn je preslikava v: Sn ^ Rn+1, ki vsaki točki sfere priredi neki vektor iz Rn+1. Lahko si torej predstavljamo, da iz vsake točke na sferi Sn raste las, ki kaze v neko smer v Rn+1. Sfero zelimo počesati, tj. radi bi dosegli, da je v vsaki točki pripadajoči vektor tangenten na sfero (pravokoten na polmer). Zgornji izrek nam pove, da pri lihih n to vedno lahko storimo, pri sodih n pa nikoli. O prvem se lahko hitro prepričamo, saj ni tezko videti, da za sfero S2n-1 = {(X1,X2,...,X2n-1,X2n) € R2n | x1 + ... + X?n = 1} predpis (X1,X2, . . . ,X2n-1,X2n) ^ (-X2,X1, . . . , —X2n,X2n-1) krajevnemu vektorju vsake točke sfere priredi neki vektor, ki je nanj pravokoten (njun skalarni produkt je enak 0). Tezje je dokazati, da za sfere sodih dimenzij takega predpisa ni. Krozničo S1 torej lahko počesemo, medtem ko bomo na zogi S2 vedno dobili kak vrtineč, singularno točko, v kateri bo polje enako nič. Dva primera okoliče singularne točke sta prikazana na sliki 5. Vrnimo se k topoloski kompleksnosti. V primeru 7 smo ugotovili, da je 2 < TC(Sn) < 3. Za lihe n je TC(Sn) = 2, kar dokazemo tako, da v v v V ^ * * ♦ 4 * + / ' " W ' > A > > > V M t V > V v V * k * 4 i< 1» y < < < * i * f A > > V v * 1 f > > V v v V k i 4 4 4 4 4 4 * T r A A ^ V V k A ^ << > v v v v V k i 4 4 4 4 < A 1 T r A > > v k 4 4 4 > > v V i 4 4 4 4 * ^ jr A A A 1 T > > v k 4 V 4 4 > > v V A 4 4 4 ■r v ^ -r- v -V ■V ■V T A V k 4 4 4 4 4 > \ k 4 •w w r -r v v •V A T k 4 4 Y -r' r- w > A T -V v A. k- h- k. r r- ■K f 4 4 i T \ •V < v > > A A T A •V V 4 4 4 4 4 k V A T A \ -V < < Ji Jc > A A f T 1 A A. A. X 4 4 4 4 k V > > t T 1 A •V A, > > > A A f r T 1 A A A A X v 4 4 4 k k V > > A K T 1 1 ^ > > A A A ^ r T 1 \ A A X < A f t k i V V >■ A A r T i \ > A A > > i t t * \ H A A A x t t * W V > > A * i ^ A A A > * i t i * \ >t ^ \ A A t * v v > > A * ^ 1 Slika 5. Dva primera obnašanja vektorskega polja v okolici singularne tocke. konstruiramo pokritje Sn x Sn z dvema množicama, nad katerima obstajata zvezna prereza. Naj bo Ui = {(x,y) e Sn x Sn | x = —y}, U2 = {(x,y) e Sn x Sn | x = y}. Iz prve mnozice smo torej izvzeli pare antipodnih tock, iz druge pa tiste pare, kjer sta obe koordinati enaki. Prerez s1: U1 ^ (Sn)7 naj vsakemu paru tock (x,y) e U1 priredi pot s1(x,y), ki tece od x do y po krajsem loku vzdolz glavne kroznice, določene z x in y. Ker tocki x in y nista antipodni, je prerez s1 dobro definiran in poljubnemu paru tock (x,y) e U1 priredi najkrajso mozno pot po sferi od x do y. Zdaj pa uporabimo dejstvo, da imamo pri lihih n na Sn neko povsod ne-nicelno tangentno vektorsko polje v. To polje v vsaki tocki sfere Sn natanko doloca neko glavno kroznico in se neko odlikovano smer na tej kroznici. Prerez s2: U2 ^ (Sn)7 naj vsakemu paru tock (x,y) e U2 priredi pot s2(x,y), ki gre najprej od x do antipodne tocke -x vzdolz glavne kroznice v smeri, doloceni z v(x), nato pa tece od —x do y po najkrajsi mozni poti. Tudi prerez s2 je dobro definiran, ker polje v ni nikjer enako nic in ker tocki —x in y nista antipodni. Na sliki 6 sta za primer n = 1 prikazana po dva primera za vsak prerez. Na sferah sodih dimenzij pa ne obstajajo povsod nenicelna tangentna vektorska polja, zato zgornja ideja odpove. Z nekaj iznajdljivosti lahko najdemo pokritje s tremi mnozicami. Za sode n obstaja na Sn tangentno vektorsko polje, ki je nenicelno povsod razen v eni tocki xo e Sn. Mnozico U1 in prerez s1 definiramo enako kot pri lihih n. Mnozico U2 nekoliko rp rp rp rp JU JU JU JU Slika 6. Na sliki (a) sta prikazani poti si(x, y) za dve različni (generični) izbiri x in y. Na sliki (b) sta prikazani poti s2 (x, y) pri istih dveh izbirah za x in y. Ce je x = y, je si(x, x) = cx konstantna pot, s2(x,x) pa ni definirana. Ce je y = —x, opise s2(x, —x) lok med x in —x v pozitivni smeri (določeni z vektorskim poljem v), si(x, —x) pa ni definirana. popravimo: U2 = {(x, y) € Sn x Sn | x = y, x = xo}. Na tem U2 lahko definiramo s2 kot zgoraj, saj je v(x) za x € U2 neničelno. Skupaj množici U in U2 pokrijeta ves Sn x Sn razen točke (x0, —x0). Izberimo poljubno kontraktibilno okoličo U3 točke (x0, —x0). Nad U3 tedaj obstaja zvezen prerez s3. S konstrukčijo pokritja smo torej dobili se eno potrditev, daje TC(Sn) < 3. Potrebujemo se spodnjo mejo, ki bi pokazala, da za sode n velja TC(Sn) > 2. Dobimo jo iz kohomoloske očene. Farber [3, izrek 7] je pokazal naslednji izrek: Izrek 4. Naj bo k obseg. Tedaj je TC(X) > zčlfc(X) + 1. Tukaj je zčlk(X) dolzina najdaljsega netrivialnega produkta določenih kohomoloskih razredov. V primeru sodih sfer S2k lahko najdemo kohomoloske razrede ak, za katere je a| = 0, od koder potem sklepamo, da je zčlQ(S2k) > 2 in zato TC(S2k) > 3. Za lihe sfere taki razredi ne obstajajo. Dokazali smo: Izrek 5. Za n-dimenzionalno sfero Sn velja: TC(on) _ I 2; n lih, ( ) \ 3; nsod. Kaj pa topoloske kompleksnosti konfiguračijskih prostorov iz prvega razdelka? Pomagali si bomo z dejstvom, da je topoloska kompleksnost homo-topska invarianta. To pomeni, da se ne spremeni, če prostor zamenjamo s kaksnim drugim homotopsko ekvivalentnim prostorom. Tako bi lahko na primer skrcili v tocko poljuben kontraktibilen podprostor, pa to ne bi vplivalo na topolosko kompleksnost. Lahko bi tudi na prostor v poljubni tocki vzdolz enega od krajisc prilepili interval (recemo, da smo dodali brk), ali pa celo skrcili cel kontraktibilen faktor v produktu prostorov v tocko. To so zgolj najpreprostejsi in geometricno nazorni primeri konstrukcij, ki ne spremenijo homotopskega tipa prostora, a za nase potrebe bodo zadoscali. Nekaj primerov je ilustriranih na sliki 7. Slika 7. V kvadratu I x I stisnemo v tocko daljico {2} x I, sferi S2 dodamo dva brka, v kolobarju S1 x I skrcimo kontraktibilni faktor I v tocko. V vseh treh primerih tako dobimo prostor, ki je homotopsko ekvivalenten prvotnemu. (a) Enostavna robotska roka: Konfiguracijski prostor je kroznica in vemo, da je TC(S1) = 2. (b) Sestavljena robotska roka: Topolosko kompleksnost produkta n kro-znic je izpeljal Farber [3, izrek 12]: TC(S1 x ... x S1) = n + 1. (c) Molekula CO v prostoru: Prostor R3 x S2 je homotopsko ekvivalenten sferi S2 (faktor R3 je kontraktibilen in ga lahko skrcimo v tocko), zato je TC(R3 x S2) = TC(S2) = 3. (d) Molekula H2O v ravnini: Prostor R2 xS1 je homotopsko ekvivalenten kroznici S1, zato je TC(R2 x S1) = TC(S1) = 2. (e) Enostavna robotska roka s premikajočim se vrtiscem: Prostor I x S1 je prav tako homotopsko ekvivalenten krožnici S1, zato je TC(I x S1) = TC(S1) = 2. (f) Roboti v evklidskem prostoru: Pri konfiguracijskih prostorih n robotov v Rm so zanimivi le primeri, ko je n > 2 in m > 2. Pri n = 1 je namrec F (Rm, 1) = Rm in TC(F(Rm, 1)) = 1, pri m = 1 pa dobimo prostore F (R, n) = {(xi, ...,xn) e Rn | xi = Xj za i = j}, ki niso povezani s potmi. Hiperravnine xi = Xj jih namrec razdelijo na n! kontraktibilnih kosov, vsak ustreza nekemu vrstnemu redu n tock na premici, tj. neki permutaciji n elementov. Pri m, n > 2 velja TC(F(Rm,n))^2n - 1 m lih' [ 2n — 2; m sod. LITERATURA [1] C. Adams in R. Franzosa, Introduction to Topology: Pure and Applied,, Pearson, 2008. [2] O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea in D. Tanre, Lusternik-Schnirelmann Category, Mathematical Surveys and Monographs 103, AMS, 2003. [3] M. Farber, Topological Complexity of Motion Planning, Discrete Comput. Geom. 29 (2003), 211-221. [4] M. Farber, Instabilities of Robot Motion, Topology and its Applications 140 (2004), 245-266. [5] M. Farber, Invitation to Topological Robotics, EMS Publishing House, Zurich, 2008. [6] M. Farber, Topology of robot motion planning, Morse Theoretic Methods in Nonlinear Analysis and in Symplectic Topology, Paul Biran, Octav Cornea, Francois Lalonde editors, Springer, 2006, 185-230. [7] M. Farber in M. Grant Topological complexity of configuration spaces, Proceedings of the AMS 137 (2009), 1841-1847. [8] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, dostopno na http://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATpage.html [9] I. M. James, On category in the sense of Lusternik-Schnirelmann, Topology 17 (1978), 331-348. STEREOSNEMANJE: PRINCIPI DVOUSESNE ZAZNAVE ZVOKA DANIEL SVENSEK Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 43.66.Pn, 43.20.+g, 43.38.Md Spregovorili bomo o izzivih, s katerimi se soočamo pri snemanju akustičnih scen s stereomikrofonskim parom. Poslusalčevo akustično izkusnjo Želimo čim verneje zajeti in jo nato reprodučirati z namenom, da bi v njem ponovno vzbudila občutke zive izvedbe. Omnidirekčionalni mikrofoni prekasajo direkčionalne, razmaknjene postavitve so ustreznejse od koinčidenčnih. Z akustično oviro med razmaknjenima mikrofonoma lahko izboljsamo intenzitetno separačijo kanalov. V najbolj naravnem primeru je ovira lahko umetna (čelo človekova) glava. Vpliv glave bomo kvalitativno pojasnili in vpeljali njena impulzni odziv (HRIR) in prenosno funkčijo (HRTF). Z vpadom zvočnega valovanja na visokoimpedančno mejno povrsino bomo kvalitativno razlozili vpliv glave na nizke in visoke frekvenče. Predstavili bomo eksaktno resitev sipanja ravnega vala na togi krogli in iz nje izlusčili prenosno funkčijo, ki rabi kot model prenosne funkčije človeske glave. Na primeru tega modela si bomo ogledali, kako kvalitativne lastnosti prenosne funkčije glave interpretiramo v luči temeljnih fizikalnih načel. STEREO RECORDING: PRINCIPLES OF BINAURAL PERCEPTION OF SOUND Challenges of stereo pair miking of acoustic venues are reviewed. The goal is to capture the listener's live acoustic experience as veristic as possible and then reproduce it as to arouse in him the feelings he had during the live performance. Coincident setups are disfavoured and omnidirectional spaced pair techniques are preferred to directional ones. These can be baffled to improve the intensity separation of the two channels. A natural extrapolation of the baffling is the use of a dummy (or even human) head - the binaural recording technique. The effect of the head is qualitatively discussed, the head-related impulse response (HRIR) and transfer function (HRTF) are introduced. The effect of the incidence on a high impedance boundary is discussed and related to the influence of the dummy head surface on low and high frequencies. The exact solution of the scattering of a plane wave on a hard sphere is presented and from it the hard sphere transfer function is extracted, which serves as a model for the HRTF of human head. With the help of this model, qualitative features of the HRTF are brought in connection with underlying physical principles. Uvod Snemanje glasbe, ki se izvaja in doživlja v akustičnem ambientu, se bistveno razlikuje od studijskega snemanja. Pri slednjem iluzijo akustičnega prostora sestavimo umetno, ob tem pa, odvisno od zvrsti glasbe, uporabljamo stevilne efekte, s katerimi lahko posnetek obenem naredimo polnejši, mogočnejši, intenzivnejši, jasnej ši, mehkej ši ... Nasprotno pa pri snemanju v akustičnem prostoru izhajamo iz minimalističnega načela, da je najlepša zvočna slika naravna, natanko tista, ki jo v tem ambientu dozivlja poslušaleč. Z akustičnim posnetkom zelimo poslušalčevo izkušnjo čim verneje zajeti in jo potem tudi kar najbolje reprodučirati, da bi v njem ob ponovnem poslušanju, tokrat posnetka, vzbudila enake občutke. Predpogoj za dober posnetek te vrste je akustično lep ambient in posnetku podrejena postavitev izvajalčev. Ker sta to v praksi zelo selektivni zahtevi, se dandanes tudi v akustičnih ambientih praviloma uporabljajo snemalne tehnike, ki so blizje studijskim. Kljub postopnemu uveljavljanju tehnik prostorskega zvoka („surround"), ki lepo zajamejo in reprodučirajo ambient, kar bogati poslu š alčevo izkušnjo, se bomo tukaj omejili na stereotehniko, ki je daleč najbolj raz š irjena. Praviloma gre za dva krajevno ločena uparjena mikrofona za levi in desni kanal, redkeje tri (npr. „Dečča Tree" z dodatnim sredinskim mikrofonom). Upar-jenost mikrofonskega para pomeni, da se (kompleksni!) prenosni funkčiji mikrofonov, ki ga sestavljata, karseda malo razlikujeta. Pri tem je tole-ranča izredno majhna, tako da se uparjenih mikrofonov ne da načrtno izdelati, ampak se iz proizvodne serije z naključno posejanimi odstopanji izbere tiste, ki se najbolj ujemajo. V akustičnem ambientu koinčidenčne tehnike (pri teh se membrani dveh usmerjenih mikrofonov nahajata praktično v isti točki) niso zazelene, saj ambienta ne zaznajo realno. V nasprotju z direktnim zvokom z značilno močno korelačijo med kanaloma je za prostorski zvok, kot ga zaznavamo z razmaknjenima u š esoma, značilna nekoreliranost, in ravno ta daje občutek prostornosti. Ker pa koinčidenčni stereopar informačijo za levi in desni kanal zajema v isti točki, sta signala po definičiji fazno povsem korelirana, neglede na to, ali gre za direktni ali prostorski zvok. Dokončno se omejimo se na omnidirekčionalne mikrofone, tj. mikrofone s krogelnosimetrično smerno karakteristiko, ki se jim morajo za vrhunski posnetek usmerjeni mikrofoni vsekakor umakniti, seveda pa so najbolj selektivni, kar se primernosti prostora tiče. Razmaknjen par omnidirekčionalnih mikrofonov je torej osnova, ki daje najnaravnej ši rezultat. V primerjavi z zaznavo z ušesi sta kanala šibkeje intenzitetno ločena, podobnejsa, zaradi česar je tudi monokompatibilnost (kvaliteta monosignala, ki ga dobimo s seštevanjem signalov obeh kanalov), kolikor je ta danes sploh se pomembna, slaba. Zato se med mikrofona včasih nameščajo absorptivne ovire (npr. sfera, disk - t. i. Ječklin disk), ki desnemu mikrofonu delno zastirajo akustični pogled na levo in obratno. S tem ohranimo prednosti omnidirekčionalnih mikrofonov in hkrati močneje intenzitetno ločimo kanala. Tako razmisljanje nas vodi do sklepa, da je najbolj realna ovira kar člove ška glava. Snemalna tehnika, pri kateri omni-direkčionalna mikrofona namestimo v ušesni školjki umetne (ali tudi zive) glave, se imenuje dvoušesna (v nadaljevanju „binauralna") tehnika. Tovrstne posnetke reprodučiramo s slu šalkami, pri čemer jim po realnosti in zaznavi prostora ni para. Pri snemanju so odločilne prav vse podrobnosti, od poloZaja mikrofonov (na milimeter natančno), oblike in velikosti uhljev, do snovi, iz katere je narejena snemalna glava. Zaradi odboja, absorpcije, uklona in resonanc v „votlinah" u sesne skoljke glava tlačno polje ob membranah mikrofonov močno spremeni, pri določenih frekvencah se glasnost poveča za več kot 10 dB. Vemo tudi, da je vi sjefrekvenčni del zvoka, ki prihaja z leve, ob desnem u sesu oslabljen, saj je uklona okrog glave pri manj sih valovnih dolzinah vse manj. Zavedati se moramo, da je enako kot amplituda pomembna tudi faza valovanja, saj v dani točki ob glavi prihaja do interfe-renče uklonjenega valovanja, kar daje zaznanemu zvoku značilen spektralni pečat, odvisen od smeri vpadlega valovanja glede na smer glave. Celoten vpliv glave na tlak v u sesnih školjkah opi šemo z impulznim odzivom glave (HRIR, head-related impulse response) za levo in desno uho, hL(t, r) in h#(t, r), oziroma njegovo kompleksno Fourierovo transformiranko, prenosno funkcijo glave (HRTF, head-related transfer function), HL(w, r) in HR(w, r), kjer r podaja lego zvočnega izvira glede na glavo (slika 1). Naj bo x(t, r) tlacni signal izvira pri r. Tlačna signala v levem in desnem u sesu, x^(t) in Prenosna funkcija glave *lC x(t) Slika 1. Impulzni odziv na lokaliziran izvir na mestih obeh uSes. £ft(i), dobimo s konvolucijo z impulznim odzivom, XL,R(t) = hL,n(t, r) * x(t, r) = (1) drhL,R(t — t, r) x(t), (2) - 0 pomeni, da zvok prihaja z leve. V načelu je tlak v usesih s HRIR ali HRTF torej popolnoma določen. V praksi seveda nastopijo problemi: nezadostno stevilo izmerjenih smeri, raznolikost usesnih skoljk, odvisnost prenosne funkčije od točnega polozaja v usesu, vpliv bliznjega polja pri velikih valovnih dolzinah ... Ce zelimo v prenosni funkčiji glave videti kaj več kot nabor kompleksnih podatkov v odvisnosti od kotov $ in ReSitev za akustično polje, ki je podana z enačbo (9) in koeficienti (12), je vsota (interferenca) vpadajočega ravnega vala in odbitih krogelnih valov. SeStevati moramo do dovolj velikega l, da je prispevek členov z viSjimi l zanemarljiv. Slika 3 (zgoraj) prikazuje amplitudo tlaka okrog krogle (absolutna vrednost kompleksnega tlaka po enačbi (9)) za kR = 5. Lepo je viden porast tlaka pred kroglo in uklonski minimumi za njo, kakor tudi interfe-renča vpadajočega ravnega vala z odbitimi krogelnimi valovi, ki z razdaljo od krogle postopno pojema (daleč stran ostane samo ravni val, tj. konstantna amplituda). Na sliki 3 (spodaj) pa je primer trenutnega tlačnega polja. Zanimiva je zakasnitev valovanj a za kroglo. ■5 -2 5 0 2 5 5 -15 -10 -5 0 5 10 15 Slika 3. Sipanje ravnega vala na togi krogli, ravni val s kR = 5 vpada z leve; (zgoraj); amplituda tlaka po enačbi (9) in trenutna slika tlačnega polja (spodaj). Desni sliki prikazujeta razmere dlje od krogle. HRTF v modelu toge krogle Za binauralni zajem zvoka je seveda pomemben tlak ob povrsini krogle, kamor namestimo mikrofona. Najprej si na sliki 4 oglejmo, kako je am-plituda tlaka na površini pri d = n (vpadna stran) odvisna od k, torej od frekvenče v = kc/2n, oziroma valovne dolzine A = 2n/k. Vidimo, da je pri nizkih frekvenčah tlačna amplituda zares enaka amplitudi vpadajočega vala, pri visokih frekvenčah pa postane skladno z napovedjo dvakrat večja. Prehod se zgodi okrog kR & 2 oziroma A & nR. Na vpadni strani je torej visokofrekvenčni del spektra dvignjen za 6dB. 2 1.75 Ipl 1.5 1.25 10 2 4 6 8 10 kR Slika 4. Amplituda tlaka na površini krogle pri 0 = n v odvisnosti od brezdimenzijske velikosti valovnega vektorja kR. Slika 5 prikazuje polarne diagrame amplitude tlaka na površ ini krogle za nara sčajoče frekvenče. Ravni val vpada z leve. Na tej strani je tlak pri vi šjih frekvenčah torej povečan do faktorja 2. Na senčni strani, kjer so vi šje frekvenče oslabljene, prihaja do izrazitih interferenčnih efektov, pri čemer se polozaj ojačitvenih izrastkov z valovno dolzino zivahno spreminja. V dani smeri so zato nekatere frekvenče močno oslabljene - za senčno stran je torej značilna izrazita koloračija zvoka. Zanimiv je uklonski preostanek pri d = 0, ki z naraščajočo frekvenčo ne pojema, ampak se le tanjša. Tak čentralni uklonski maksimum srečamo tudi pri uklonu svetlobe na okrogli plo š čiči. Slika 6 zdruzeno prikazuje odvisnost amplitude tlaka na povrsini krogle od kota d in od frekvenče v enotah kR (kR = 2nvR/c), ki je na grafih predstavljena z razdaljo od izhodisča. Nizkofrekvenčni del spektra se nahaja na sedlastem območju v okoliči izhodisča. Ker je kompleksna amplituda vpa-dajočega vala kar 1, je kompleksni tlak p(R,d) iz enačbe (9) pravzaprav ze iskana kompleksna prenosna funkčija toge krogle (na grafih 4-6 smo prikazovali le amplitudo, torej absolutno vrednost kompleksnega tlaka). Paziti je treba le še pri kotni odvisnosti, saj je prenosna funkčija funkčija smeri, iz katere prihaja valovanje, in ne smeri točke na krogli, v kateri merimo tlak. Kompleksni prenosni funkčiji toge krogle za levo in desno uho, torej HRTF v priblizku toge kroglaste glave, za zvočilo v ekvatorialni ravnini ($ = n/2) kR = 0.1, v w 54 Hz kR = 1, v w 540 Hz kR = 2, v w 1080 Hz kR = 5, v w 2700 Hz kR = 10, v « 5400 Hz kR = 15, v « 8100 Hz Slika 5. Amplituda tlaka na površini krogle v odvisnost od kota 0 za naraščajoče vrednosti kR. Pripisana je orientacijska vrednost frekvence za primer R = 10 cm. Vpadna stran je na levi, senčna (0 = 0) pa na desni. 2 2 2 2 -2 1-1 2 2 -2 2 2 2 1 -1 2- 2 sta tako 7T 7T Hl($ = 2= p(R, 2 + p), (13) Hd(V = 2= p(R, 2 - p), (14) kjer p(R, 0) podaja enačba (9). Za zvočilo v sploSni smeri ($, upoštevamo osno simetrijo, izračunamo kot 0 glede na os od desnega ušesa proti levemu, 10 10 -10 -5 0 10 Slika 6. Odvisnost amplitude tlaka na površini krogle od frekvence v enotah kR (predstavlja jo oddaljenost od izhodišča) in kota d (kaže ga polarni kot). Ravni val vpada z leve. Oba grafa prikazujeta isto funkcijo. Pozor: to je dvodimenzionalna predstavitev tlaka na povrsini krogle, ne tlačno polje okrog krogle kot na sliki 3. cos O = sin $ sin in zapišemo prenosni funkciji v splošnem: Zvok, zajet s snemalno glavo, je moduliran in prek odziva snemalne glave (HRIR ali HRTF) nosi „prstni odtis" glave, ki je bila uporabljena. Bina-uralni posnetek se poslusa s slusalkami, praviloma odprtimi, ker najmanj spremenijo prenosno funkcijo obusesnega območja. Seveda se ne moremo izogniti bioloskim raznolikostim. Morda le tako, da mikrofona namestimo kar v svoji usesi - vendar se pri tem takoj pojavi problem točne pozicije in ponovljivosti namescanja. Binauralni posnetek, predvajan prek stereo zvocnikov, je ob poslusanju ze drugic konvolviran z odzivom glave in poleg nekoliko oddaljene zvocne perspektive deluje presvetlo, zato ga je treba vsaj ekvilizirati. Vecji problem je mesanje kanalov, saj zvok levega zvocnika dospe tudi v desno uho in obratno. Z dekonvolucijo je ta t. i. „cross-talk" mozno v principu odstraniti, a le za tocno dolocen polozaj poslusalceve glave glede na geometrijo zvocnikov, individualno prilagojeno HRTF, gluho po-slusalnico ... Prav tako so problematicne nizke frekvence, ki jih obicajno zaznavamo ze v bliznjem polju. Ker je dekonvolucija inverzni problem, so vse neidealnosti toliko bolj kriticne. [1] I. Kuscer in A. Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, DMFA Slovenije, Ljubljana, [2] I. Ogura et al., v Ultrasound in Medicine, Vol. 4, urednika D. White in E. A. Lyons, 535-543, Plenum Press, New York, 1978. Hl= p(R,n - 8), Hd(tf,<¿>) = p(R, 8). (15) (16) Sklep LITERATURA 1994. ŠOLA O METU KROGLE IN METU KLADIVA JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 01.80+b Gibanje izstrelka je priljubljen zgled v učbenikih fizike. Pogosto se z njim ukvarjajo fizikalne poučevalske revije. (Članek opiSe račune pri metu krogle in metu kladiva. Slednji je zanimiv zaradi uspeha Primoza Kozmusa. Izračuna delo zračnega upora in oceni zmanjsanje dometa zaradi njega. Nazadnje sledi poskusom, da bi pospesevalni del meta povezali s prostim delom in naredi nekaj očen. ON SHOT PUT AND HAMMER THROW Proječtile motion is a popular example in physičs textbooks. It is often disčussed in physičal edučational journals. In the artičle some čalčulations are presented for shot put and hammer throw, the latter being partičularly interesting due to the suččess of Primoz Kozmus. The work of the air drag is čalčulated and its influenče on the range is estimated. Finally, the trials are followed to čonnečt the aččeleration phase with the free motion phase giving some estimates. Ze v starih casih so tekmovali v metanju težkih predmetov. Iliada omenja, da so oblegovalci Troje tekmovali v metanju skale. Vojaki so v casu, ko so bili topovski izstrelki kamnite krogle, metali topovske krogle. Iz tega se je postopno razvil met krogle (anglesko shot put, suvanje izstrelka - topovske krogle). Za moske je bil met krogle olimpijska disciplina od prve olimpiade leta 1896. Za zenske je postal olimpijska disciplina leta 1948. Skoti, ki jim je angleski kralj med boji za osamosvojitev na koncu 13. stoletja prepovedal uporabo orozja, so si pomagali s kroglo na drogu. Tako orodje so uporabljali tudi na tekmovanjih na Škotskem visavju. Iz tega se je postopno razvil met kladiva. Prvič so ga za moske vključili na drugo olimpiado leta 1900. Za zenske so ga uvedli na olimpiadi leta 2000. Pri obeh metih moski uporabljajo kroglo z maso 7,26 kg iz zeleza ali medenine s premerom od 11 do 13 cm, zenske pa kroglo z maso 4 kg s premerom od 9,5 do 11 cm. Pri kladivu je na kroglo pritrjena za moske do 1,215 m in za zenske do 1,195 m dolga jeklena zica. Na drugem krajiscu zice je rocaj. Kladivo metalec mece z dvema rokama in lahko uporablja rokavice. Pri metu krogle mora uporabiti eno roko. Pri obeh metih metalec mece iz kroga s premerom 2,135 m, ki ga obdaja 10 cm visok lesen obroc. Metalec se ga lahko dotakne na notranji strani, ne sme se ga dotakniti na zgornji strani ali ga prestopiti, preden krogla pade na tla. Let krogle pri metu kladiva je mogoče primerjati z letom krogle pri metu krogle. Pri drugih dveh metih v lahki atletiki, metu diska in metu kopja, sta orodji precej drugačni. Drugače od metalca krogle, ki uporablja le roko, metalec kladiva uporabi obe roki in Žico kot nekakSno napravo za dodatno pospeSitev krogle. Najprej sta obe disciplini veljali za preizkus moci, potem so razvili nacine, ki vkljucujejo hitrost in spretnost ter zahtevajo dobro casovno usklajenost. Svetovni rekordi krogla moski Randy Barnes (ZDA) 23,12 m 1990 ženske Natalija Lisovskaja (Rusija) 22,63 m 1987 kladivo moSki Jurij Sedih (Rusija) 86,74 m 1986 ženske Betty Heidler (Nemčija) 79,42 m 2011 Primoz Kozmus je na olimpiadi v Pekingu leta 2008 z metom 82,05 m dosegel zlato kolajno. Zanimivo je obdelati mehanicne osnove metov [7, 9]. Opazujmo gibanje krogle, ko jo metalec spusti. Tedaj ima krogla začetno hitrost V pod začetnim kotom P proti vodoravnici in začetno višino y0 nad tlemi. Krogla nato pada s pospeskom prostega padanja g navpicno navzdol. Najprej ne upostevamo zracnega upora. Vodoravna komponenta hitrosti se ne spreminja vx = V cos P, navpicna pa se zmanjsuje vy = V sin P — gt, ce cas t zacnemo meriti v trenutku, ko krogla zapusti metalcevo roko. Tirnico krogle dobimo, ko iz enacbe x = Vt cos P izracunamo cas in ga vstavimo v enacbo y = yo + Vt sin P — 1 gt2: y = y0 + x tan P — gx2/(2V2 cos2 P). (1) V enacbo je pripravno vpeljati brezenotski koordinati £ = gx/V2 in n = gy/V2 ter no = gyo/V2: n = n0 + £ tan P — 1 £2/ cos2 P. Z enacbo izracunamo metno razdaljo, to je razdaljo x0 = V2£0/g, v kateri krogla zadene tla pri y = n = 0: C02 — £0 sin2P — 2n0 cos2 P = 0. (2) Metna razdalja: £0 = 1 sin 2P + 4 sin2 2P + 2% cos2 P (3) je odvisna od začetnega kota fi. V splošnem krogla doseže tla po dveh tirnicah pri večjem in manjšem kotu fi. Le pri dometu x0m, ki mu ustreza Com, to je največji metni razdalji, je kot en sam: fio. Nadomestimo 1/cos2 fi z 1 + tan2 fi in v (1) prepoznamo kvadratno enačbo za tan fi0 [2, 5]: tan2 fio - 2 tan fio/Šo — 2no/Šo + 1 = 0. Pri dometu je diskriminanta enaka nič: (2/{om)2 = 4 ■ 1 ■ (1 — 2rqo/£'^m), tako da je: tan fio = 1/£om, tan2 fio = 1/(1 + 2no), Šom = 1 + 2%. (4) Enak izid bi dobili, če bi izračunali odvod dŠ/dfi, ga izenačili z 0 in resili enačbo. Po enačbah (4) se zaradi začetne visine no domet poveča. T | 1 | | i i 1 i. -i 4 j 4— - i........ 1 t t "J -p „4.1 s t -j— r ! j j 1 .......... -j, H...... "T __ ...4-i _ It n -44 -j------:........- —- r r:..... 4- i— i t. 1 *v| i | i - i ! ! h- 4 ; Ep i h- -4 j -t ...... J—1 j......- ij.. i.... - 4 ! ]_ u- j—j— -i 4— - FFt.....~~ 't ''' ' '[ 'j'' • '^f rr rp t ; 1 6 10° 4 6 s 2 4 68 101 102 4 6 8 2 4 68 103 104 6 105 4 68 1 Slika 1. Odvisnost koeficienta upora za gladko kroglo od Reynoldsovega števila [11]. Merili na obeh oseh sta logaritemski. Začetni premi del cu = 24/Re ustreza linearnemu zakonu upora. Domet pa se zmanjsa zaradi zračnega upora. Upor izračunamo s kvadratnim zakonom Fu = 1 cupSv2. Pri tem je cu koeficient upora, p gostota zraka, S čelni presek telesa in v2 kvadrat velikosti hitrosti. Upor je odvisen od oblike telesa [10]. Za kroglo s polmerom r meri čelni presek S = nr2. Delo zračnega upora med letom je Au = f Fu ■ ds = — J Fuds. Pri tem je ds = vdt kratek odsek tirniče in ima upor nasprotno smer hitrosti. Kvadrat velikosti hitrosti se med metom le malo spremeni. Zanj vstavimo v2 = v^+vy2 in za odsek tirniče ds = ^v2 + v2dt. Dobljena izraza sestavimo v: Au = — J Fu ds = 2 CupS J (vX + vy2)^v2 + v^dt = 2 cupS J (v^ + v^)3/2 dt. 104 Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 3 Izračunamo kvadrat velikosti hitrosti: + = (V čos P)2 + (V sin P - gt)2 = V2 - 2Vgt sin P + g2t2 = V2(1 - 2£ tan P + i2/ cos2 P). Nazadnje smo t nadomestili z x in tega s £. To naredimo tudi z dt = dx/(V cos P) = (V/g)d(/ cos P in dobimo: Au = -f ^(1 - 2i tan P + i2/cos2 P)3/2d( = -Ifo>). 2g cos P Jo 2g cos P (5) Koeficient pred integralom in z njim absolutna vrednost dela zracnega upora izrazito narascata z zacetno hitrostjo. Integral I (no) in odvod dl/dn0 iz-racunamo s programskim paketom za simbolicno racunanje Mathematico numericno, ne da bi uporabili kak priblizek. Pri zacetni visini 0 dobimo I (no = 0) = 0, 5544 in (dl/dn0)Vo=0 = 0, 3859. Z integralom si pomagamo, ko racunamo delo zracnega upora pri zacetni visini 0, odvod pa pove, kako se to delo spreminja z zacetno visino. Najprej si ustvarimo pregled v prvem priblizku, v katerem ne uposte-vamo zacetne visine krogle n» = 0 in zracnega upora in je (0m = 1 in Po = 45°. V tem priblizku je zacetna hitrost = yjgx0. Za navedene svetovne rekorde dobimo z g = 9, 81 m/s2 za V(1) pri moskih za kroglo 15,06 m/s in za kladivo 29,17 m/s ter pri zenskah za kroglo 14,90 m/s in za kladivo 27,91 m/s. Rekordi so imenitni in jih pogosto navajajo, vendar so nastali v izjemno ugodnih okoliscinah. Veckrat je bolje uporabiti podatke, ki so jih dala podrobna merjenja, ali povprecja. Že na prvi pogled vidimo, koliko je pospesitev pri metu kladiva uspesnejsa kot pri metu krogle. Razmerje zacetnih kineticnih energij, to je kvadratov zacetnih hitrosti, pri metu kladiva in metu krogle pri moskih doseze 3,75 in pri zenskah 3,51. Po tem in po rekordih tudi uvidimo, da so razmerje med masama krogel za moŽske in zenske izbrali premisljeno. Zacetna visina metno razdaljo poveca in metni kot zmanjsa, priblizno: i0m = \/1 + 2n0 ~ 1 + n0 in tan P0 = 1/\J 1 + 2n0 ~ 1 - n0 in P0 ^ 4n - 2n0. (6) Prvo zvezo za (0m preprosto pojasnimo. V prvem priblizku krogla zapusti metalcevo roko pod kotom 4n in pod priblizno tem kotom pade na tla. Tako si na mestu padca krogle lahko zamislimo pravokotni trikotnik, katerega navpicna kateta y0 je enaka vodoravni kateti, za katero se podaljsa metna razdalja x0. Pomnozimo enacbo x0 = V2/g + y0 z mg. Zveza: mgx0 = mV2 + mgy0 = 2Wk + Wp (7) kaže, daje v prvem približku v tem pogledu za metalca dvakrat ugodneje, da delo vloži v kinetično energijo kot v potencialno. Pogosto za y0 upoštevajo podatek 2,15 m. Začetni kot se zaradi tega zmanj ša pri moških pri metu krogle za 2,7° in metu kladiva za 0,71° ter pri zenskah pri metu krogle za 3,1° in pri metu kladiva za 0,78°. Pri uporu smo integral I (no) izračunali, ne da bi se zatekli k priblizku. Pojavijo pa se druge negotovosti. Navadno vzamemo, da je koeficient upora konstanten in za kroglo meri nekaj več kot 0,4 [10]. Odvisnost koeficienta upora od Reynoldsovega stevila Re = 2rpv/^ z viskoznostjo zraka ^ pokaze, da je tako pri Reynoldsovih stevilih med 2 ■ 103 in 2 ■ 105 [3]. Pri nekoliko večjem Reynoldsovem stevilu kot 2,3 ■ 105 pa koeficient precej strmo pade na 0,1 (slika 1). Koeficient upora je odvisen se od hrapavosti, a pri metih lahko vzamemo kroglo za gladko. Reynoldsovo stevilo je pri rekordih za moske pri metu krogle 1, 20 ■ 105 in pri metu kladiva 2, 33 ■ 105, pri zenskah pri metu krogle 1, 20 ■ 105 in pri metu kladiva 2, 23 ■ 105. Računali smo za temperaturo 20 °C z viskoznostjo zraka 1, 802 ■ 10-5 kg/(ms) in gostoto 1,205 kg/m3 - najdemo tudi druge podatke - s premerom krogle 12 cm in s hitrostjo V(1). Predpisi dopusčajo premer krogle od 11 cm do 13 cm, zaradi česar je premer negotov na 18 % in presek na skoraj 40 %. Razmerje med absolutno vrednostjo dela upora in začetno kinetično energijo |Au|/Wk meri za moske pri metu krogle 0,0136 in pri metu kladiva 0,0511 ter za zenske pri metu krogle 0,0244 in metu kladiva 0,0848. Zaradi izrazite odvisnosti upora od hitrosti sta prispevka upora pri metu kladiva precej večja kot pri metu krogle. V prvem priblizku je domet sorazmeren s kinetično energijo: 1 mV(1) = 1 mgx0. Po tej zvezi se zaradi zračnega upora domet zmanjsa za mos ke pri metu krogle za 0,31 m in pri metu kladiva za 4,48 m ter za zenske pri metu krogle za 0,55 m in pri metu kladiva za 7,15 m. Medtem ko se zaradi začetne vi sine domet poveča, se zaradi zračnega upora zmanjsa. Pri metu krogle ucinek zacetne vi sine prevlada nad ucinkom zracnega upora, pri metu kladiva pa učinek zračnega upora nad učinkom začetne visine. Prvi priblizek za odvisnost metne razdalje od začetne vis ine in zračnega upora bi lahko izboljsali z iteracijo. (Bolje je govoriti o metni razdalji kot o dometu, saj ni gotovo, da je pri dani velikosti začetne hitrosti izbrani začetni kot najugodnej si). Začetno hitrost bi pri metu krogle za malenkost zmanjsali in pri metu kladiva zvečali in ponovili račun ter se s ponavljanjem računa posku sali priblizati dosezenim metnim razdaljam. Toda podatki, ki so jih dobili s podrobnejsim merjenjem na nekaterih pomembnih tekmovanjih, namigujejo, da bi pri metu krogle imelo tako računanje malo smisla. Za začetni kot pri metu krogle so dobili v povprečju 33,5° z velikim odstopanjem na obe strani [11]. Toliksnega zmanjsanja začetnega kota na opisani način ne bi mogli pojasniti. Pri metu kladiva so za povprečni začetni kot dobili 41,5° in je odstopanje manj s e. Doslej smo obravnavali prosti del meta, ko se je krogla gibala le pod 5 10 15 20 Slika 2. Tirnice po enačbi (1) z /3o = 4n, x0 = 21,1 m in V = 13, 7 m/s (1), po (10a) z @0 = 38, 8°, x0 = 19, 7 m in V = 13, 2 m/s (a) ter po (10b) pri 00 = 37, 5°, x0 = 18, 7 m in V = 12, 9 m/s (b). vplivom teže in zračnega upora. Nismo se ozirali na pospeševalni del meta, v katerem je na kroglo deloval Se metalec. Pri tem smo privzeli, da so začetna hitrost, začetni kot in začetna visina neodvisni. To velja za prosti del meta, ne pa za pospesevalnega. V pospesevalnem delu je začetna visina povezana z začetnim kotom [6]: yo = yr + b sin p, (8) če je yr visina metalčevih ramen in b dolzina roke. Izkusnje pri dviganju utezi v lezečem polozaju (anglesko: benčh pressing) so pokazale, da je zaradi zgradbe človeskega telesa sila roke odvisna od kota proti osi telesa. Največja je, ko roka deluje pravokotno na os telesa. To upostevamo pri metu krogle in privzamemo, da roka kroglo pospesuje z večjo silo v vodoravni smeri in z manj so v navpični smeri. V pomanjkanju bolj sih podatkov si pomagamo s priročnim zasilnim modelom: F = Fof (P) s f (J3 ) = 3 (2 + čos p). (9) F0 bi bila sila v vodoravni smeri. Najprej privzamemo, da je kinetična energija, ki jo krogla pridobi na račun dela te sile, sorazmerna s silo, in nadomestimo: V2 ^ V2f(P). (10a) Ali je morda bolje upostevati, da se na račun dela roke poveča potenčialna energija krogle in se za pospe sevanje porabi manj dela, ter nadomestiti: V2 ^ V2f (p) - 2gb sin p? (10b) Pospeševalni del meta se nadaljuje v prostem delu in določa začetno hitrost V in začetni kot fi. Pospe sevalni del se pri metu kladiva močno razlikuje od pospe sevalnega dela pri metu krogle. Najprej obravnavamo le met krogle. Pri njem v enačbi za metno razdaljo (3) upo s tevamo za y0 (8) ter V2 nadomestimo z (10a) ali z (10b). Nova enačba za metno razdaljo je dokaj zapletena: xo = (V2/g)[(čos fi + 2)/3 - 5 ■ 2(gb/V2) sin fi] ■ 1 /1 o 2 ^ + ^ sin 2 sin 2fi + W 4 sin2 2fi + 1 w ^ + V2 sin p) cos2 p 2+c3os ^ -5SMr sin p (11) Za primer (10a) vstavimo 5 = 0, za primer (10b) pa 5 = 1. Enačbe se lotimo z Mathematico s podatki V = 13, 7 m/s, yr = 1,66 m in b = 0, 8 m [6]. Izračunamo odvod (11) po začetnem kotu fi in grafično (z risanjem krivulje na vse ozjih intervalih okoli ničle) poisčemo kot fi0, pri katerem je odvod enak 0. Za primer (10a) dobimo fi0 = 0, 6779 = 38, 8°, x0 = 19, 7 m in V(2) = 13, 2 m/s ter za primer (10b) fi0 = 0, 6543 = 37, 49°, x0 = 18, 7 m in V (2) = 12, 9 m/s (slika 2). Za večjo metno razdaljo mora pri tem načinu metanja metaleč doseči večjo začetno hitrost. Izida kazeta v pravo smer in se dobro ujemata z izidi iz [6]. Vendar nastavkoma (10) ne kaze preveč zaupati. Boljse rezultate si je mogoče obetati po podrobnejsih merjenjih. Na drugi strani veliki odmiki od povprečij pričajo, da vsak metaleč meče po svoje in se tudi pri istem metalču pojavijo razlike od meta do meta. Zazeleno bi bilo, da bi z računi podrobneje opisali posamične mete in metalču pomagali, da izbolj sa svoj met. Pospe sevalni del pri metu kladiva bi zahteval posebno obravnavo. Me-taleč kroglo pospesuje s kroznim gibanjem. Primerjava z delovanjem pospe s evalnika pa se ne zdi posrečena [1]. Pri enakomernem krozenju deluje na telo čentripetalna sila proti sredi sču krozniče. Metaleč pospe si kroglo s tangentno komponento sile. Najprej metaleč kladivo zaniha in s tem da krogli majhno hitrost. Potem jo zavihti najprej v vodoravni ravnini in med tremi do stirimi vrtljaji poveča nagib ravnine proti vodoravniči. Krogla odleti, ko metaleč spusti drzaj, v smeri tangente v navpični ravnini. Pri začetnem kotu fi 41,5° je v tistem trenutku toliksen tudi kot med zičo in navpičničo. To pomeni, da je začetna vi sina y0 pri metu kladiva manj sa kot pri metu krogle. Tik preden metaleč orodje spusti, deluje na kroglo z radialno komponento sile, ki jo očenimo z mV2/R. Pri tem je R skupna dolzina roke in ziče, ki jo očenimo na 2 m. Radialna komponenta doseze skoraj 3000 N, kar priblizno ustreza tezi 300 kg. Po mnenju nekaterih ta sila omejuje hitrost in z njo metno razdaljo. Del začetne kinetične energije krogle, ki je odvisna od začetne hitrosti, se porabi za delo proti zračnemu uporu. Preden bi se zdelo smiselno podrobneje računati, pa bi kazalo razčistiti negotovost o koeficientu upora. Lahko, da v idealnih razmerah metalci kladiva dosezejo toliksno začetno hitrost, da se koeficient upora zmanjsa od 0,4 na 0,1 (slika 1). V tem primeru je upor stirikrat manjsi in ga skoraj ni treba upostevati. Omenimo, da poznamo v sportih se drugačno metanje, „preko podlakti", na primer pri baseballu, ko je hitrost priblizno pravokotna na podlaket [4]. Kroglo mečejo z iztegnjeno roko, suvajo. „Met" krogle smo uporabljali namesto „suvanja" krogle zaradi podobnosti z „metom" kladiva. Raziskali so tudi nekatere druge podrobnosti, na primer to, kako na metno razdaljo vpliva vrtenje Zemlje [8]. Kot zanimivost navedimo se IgNobelovo nagrado za fiziko za leto 2011. Od leta 1991 podeljujejo na univerzi Harvard IgNobelovo nagrado za deset najbolj nesmiselnih raziskovanj. Besedna igra kaze, da gre za salo na račun Nobelove nagrade. Leta 2011 so IgNobelovo nagrado za fiziko dobili Nizo-zemči Philippe Perrin in sodelavči za članek Vrtoglavost pri metalcih diska zaradi vrtenja je povezana z morsko boleznijo [12]. V njem so opisali, zakaj metalči diska ob metu pogosto postanejo vrtoglavi, metalči kladiva pa ne. Metalči kladiva z nogami ostanejo na tleh, metalči diska pa poskočijo. Vrtenje lahko povzroči izgubo orientačije v prostoru in vrtoglavost, če zgubimo stik s tlemi. LITERATURA [1] R. Allain, How the hammer throw is like a particle accelerator, www.wired.com/playbook/2012/08/olympics-physics-hammer-throw/. [2] S. K. Bose, Maximizing the range of the shot put without calculus, Am. J. Phys. 51 (1983) 458-459; J. S. Thomsen, Maxima and minima without calculus, Am. J. Phys. 52 (1984) 881-883; M. Bace, S. Ilijic, Z. Narancic, Maximizing the range of a projectile, Eur. J. Phys. 23 (2002) 409-411. [3] J. M. Cimbala, Drag on spheres, www.mne.psu.edu/cimbala. [4] R. Cross, Physics of overarm throwing, Am. J. Phys. 72 (2004) 305-312. [5] R. De Luca, Shot-put kinematics, Eur. J. Phys. 26 (2005) 1031-1036. [6] A. Lenz in F. Rappl, The optimum angle of release in shot put, http://arxiv.org/ pdf/1007.3689.pdf. [7] D. L. Lichtenberg in J. G. Wills, Maximizing the range of the shot put, Am. J. Phys. 46 (1978) 546-549; C. S. Inouye, E. W. T. Chong, Maximum range of a projectile, Phys. Teach. 30 (1992) 168-169; R. A. Brown, Maximizing the range of a projectile, Phys. Teach. 30 (1992) 344-347. [8] F. Mizera in G. Horvath, Influence of environmerntal factors on shot put and hammer throw range, J. Biomechanics 35 (2002) 785-796. [9] J. Strnad, Meti, Presek 13 (1985/86) 86-91. [10] Drag coefficient, http://en.wikipedia.org/wiki/DragX_coefficient. [11] Shot Putt, www.brianmac.co.uk/shot/; Hammer Throw. Techniques and Training, brianmac.co.uk/hammer/. [12] www. improbable, com/2011/09/29/ anouncing_the_2011_ig_nobeLprize_winners/. NOVE KNJIGE Timothy Gowers, Matematika, Zelo kratek uvod, prevedel Jure Vogrinc, Založba Krtina, Ljubljana 2011, 156 strani. Odločitev, da v okviru zbirke knjižic kratkih predstavitev najrazličnejših (znanstvenih, umetnostnih, socioloških in drugih) področij, to nalogo za področje matematike zaupajo Fieldsovemu nagrajencu in profesorju matematike na univerzi v Cambridgeu, je bila zadetek v polno. Avtor Timothy Gowers je pronicljivo zaznal in premagal dve poglavitni oviri za mate-maticno sporazumevanje: 1) da bi sploh lahko razumeli temeljne koncepte moderne matematike (npr. Hilbertov prostor), ki omogocajo obravnavo razlicnih problematik v okviru iste teorije, moramo prej preuciti celotno hierarhijo manj zahtevnih pojmov; 2) z nekaterimi matema-ticnimi pojmi (kot so neskoncnost, kvadratni koren iz minus ena, sestindvajseta dimenzija in ukrivljeni prostor), imajo nekateri ljudje težave (bolj filozofske kot tehnicne narave), saj se jim ti pojmi zdijo motece paradoksalni. Sporocilo knjige je, da nam tudi taksne matematicne ideje lahko postanejo domace, ne da bi se potopili v strokovno izrazoslovje, preprosto tako, da se naucimo razmisljati abstraktno, s tem pa marsikatera filozofska tezava izgine. Prva tri poglavja (Modeli, Stevila in abstrakcija, Dokazi) obravnavajo nekatere splosne „metamatematicne" teme, nadaljnja stiri (Limite in neskoncnost, Dimenzija, Geometrija, Ocene in priblizki) bolj specificne matematicne teme, zadnje (Nekatera pogosta vprasanja) pa se posveca bolj matematikom kot matematiki. V drugem poglavju avtor natancno razlozi, kaj razume pod pojmom „abstraktna metoda". V prvem poglavju se posveca prevajanju problemov iz resnicnega sveta v matematicne probleme, v tretjem razlozi, kaj pomeni strog dokaz. Branje bolj kot predhodno znanje, ki lahko ne presega maturitetnega, od bralca zahteva nekaj zanimanja, ki ga avtor zavestno noce pricarati sam ne s slogovnimi in oblikovnimi sredstvi (npr. s saljivimi zgodbicami ali slikami Mandelbrotove mnozice) ne z raznimi popularnimi temami (npr. teorija kaosa), ki po njegovem mnenju bolj burijo ljudsko domisljijo kot pa vplivajo na trenutne matematicne raziskave. Kot pojasni v uvodu, raje izbira bolj vsakdanje teme in z njihovo podrobnejšo obravnavo pokaže, kako jih lahko kompleksneje razumemo. Stremi torej bolj h globini kot k širini, zainteresiranim bralcem pa želi približati privlačnost glavnega toka matematike tako, da mu dovoli govoriti samemu zase. Razlago ključnega koncepta knjige, abstraktne metode, avtor najprej nazorno predstavi na primeru s ahovskih figur: tako kot npr. črni kralj ni lesena figura (ki je zgolj njegov simbol na materialni ravni), ampak „eksistira" le na ravni idej (v okviru s ahovske igre, ki poteka po določenih pravilih), tako tudi o „eksistenci" matematičnih pojmov (kot so npr. premice, stevila, itd.) nima smisla razmisljati drugače kot v okviru matematične teorije (ali matematičnega modela), katere aksiomi (oziroma predpostavke) in definicije opi sejo te objekte posredno: ne prek njihove identitete (kaj so), ampak prek njihove funkcije (kaj se da z njimi početi oziroma kako delujejo). Sah (ali katerokoli podobno igro) je mogoče opisati celo brez figur in s ahovnice in jo modelirati z grafom vseh moznih pozicij v igri! Abstraktna metoda, pravi avtor, je uporabna tudi pri obravnavi in razumevanju stevil. Koncept naravnega stevila je tesno povezan s konceptoma sestevanja in mnozenja (to zlahka razumemo, če se spomnimo npr. na rimske stevilke - nekaj jim manjka, ker z njimi ne moremo udobno računati -prav to pa je tisto, kar prvenstveno počnemo s stevili!). Bolj se moramo torej osredotociti na racunska pravila kot na stevila sama. Stevila so samo simboli (ali zetoni) v nekaksni igri. Podobno tudi o drugih matematičnih pojmih ne bi smeli razmi sljati kot o izoliranih objektih, ampak bi jih morali začeti razumevati prek njihovih lastnosti in odnosov do drugih objektov istega sistema. Tretji primer uporabe abstraktne metode je razresitev filozofske tezave s stevilom nič: „Kako lahko nekaj obstaja in je hkrati nič?" To vprasanje je najbolje obiti in se zadovoljiti s pravilom 0 + a = a, ki pove vse, kar nam je treba vedeti o stevilu nič (to, da je enota za operacijo se stevanja). Na podoben način zlahka vpeljemo negativna stevila in ulomke. C e si pri opisu \/2 se lahko do neke mere pomagamo s konceptom neskončnega decimalnega ulomka, pa lahko imaginarno enoto i definiramo le kot res itev (v realnem neres ljive) enačbe x2 = -1, in ker je tudi (-i)2 = -1, lahko razumemo, da i ne obstaja kot samostojno obstoječ platonski objekt. Podobno privlačno avtor pojasni osnove matematičnega modeliranja, pri katerem gre v bistvu za to, da iz realne situacije odmislimo nebistvene dejavnike, da dobimo računsko dovolj preprost model, ki nam se omogoča toliko natančen opis situacije, kot ga potrebujemo. Isto situacijo (npr. posevni met, met kocke, obnasanje plinov) lahko opisemo z različnimi modeli. V poglavju o dokazih srečamo znani dokaz iracionalnosti V2 s protislovjem, metodo matematične indukcije, obravnavana pa so tudi vprasanja lepote, očitnosti in prepričljivosti dokaza (najboljsi je tak, ki nazorno poja- sni tudi, zakaj je nekaj res). Za očitnost izjave je naveden uporaben kriterij: „Izjava je očitna, če nam njen dokaz pride takoj na misel." Tudi poglavja o bolj specifičnih temah (npr. hiperbolična geometrija, prastevilski izrek, urejevalni algoritmi) so tako zaradi same izbire snovi kot tudi zaradi načina podajanja, ki gre brez utrudljivega dlakočepljenja takoj v samo bistvo stvari, zelo zanimiva tako za nepoznavalča kot za matematika. Knjigo lepo zaokrozi nekaj vprasanj o matematiki in matematikih (npr. ali kdaj kaksen znan matematični problem resi amater). Kar se tiče samega prevoda, ki je na splosno korekten, moti zlasti uporaba malih začetnič pri pojmih, kot so npr. Caučhyjevo zaporedje, Rieman-nova hipoteza, Hilbertov prostor. Nekaj je tudi očitnih jezikovnih nerodnosti, kot so npr. „stevila na negativne in račionalne potenče" (kam so izginili eksponenti?). In namesto o „robovih" grafa bi bilo primerneje, v skladu z danasnjo rabo, govoriti o povezavah grafa. Knjiga je za matematika prijetno in lahko branje, za nepoznavalča pa ne pretezak uvod, ki s svojim prijaznim, pogovornim pristopom razblini vsaj nekaj nepotrebnega strahu pred matematiko kot nečim suhoparnim in nematematiku povsem nedosegljivim. Jurij Kovic Ulf Leonhardt, Thomas Philbin, Geometry and Light — The Science of Invisibility, Green Edition, Dover Publications, Mineola, New York, 2010, 286 strani. Knjiga obravnava geometrijsko in valovno optiko v jeziku geometrijskih transformačij prostora. Avtorja v njej obravnavata tudi tako imenovane nevidne naprave, zasnovane na modernih metamaterialih, teoretične osnove pa so jima Fermatov prinčip v optiki, nekatere podobnosti med mehaniko in optiko ter geometrija ukrivljenega prostora. Knjiga je razdeljena na pet poglavij. Od teh vsa razen prvega vsebujejo tudi naloge za samostojno resevanje. V prvem poglavju, prologu, avtorja poudarita pomembnost loma sve tlobe v optiki. Na kratko predstavita glavne raziskovalče na področju op- tike in elektromagnetnih valov, pojasnita glavne ideje in usmerita bralca, tako kot v preostalih poglavjih, v nadaljnje branje. Drugo poglavje se začenja s Fermatom in njegovim principom v optiki. Kmalu spoznamo, da so pomembna optična sredstva, v katerih se lomni količnik v prostoru spreminja, navadno zvezno. Fermatov princip nas hitro preusmeri v variacijski račun v optiki. Nato najdemo lepe analogije z zakoni gibanja tockastega telesa okoli privlacnega centra. Lepa zgleda za to sta Luneburgova leca, ki snop vzporednih svetlobnih zarkov zbira v tocki in je povezana s Hookovim zakonom, ter Eatonova leca, ki snop vzporednih zarkov obrne za 180° in je v povezavi z Newtonovim gravitacijskim zakonom oziroma s Keplerjevimi zakoni. Nadalje so obravnavani Hamiltonov kanonski sistem diferencialnih enacb v optiki, konformne preslikave, transmutacije kot transformacije potencialov, sferna simetrija in tomografija. Poglavje se konca z nevidnimi sferami in popolnimi lecami. Tretje poglavje je precej obsirno in je posveceno diferencialni geometriji. Tu se srecamo s transformacijami koordinat, metriko, vektorji, tenzorji, ko-variantnim odvodom, divergenco in rotorjem vektorskega polja, Laplace-ovim operatorjem, ukrivljenostjo, geodetkami, Riemannovim tenzorjem in svetom Minkowskega. Cetrto poglavje se ukvarja z Maxwellovimi enacbami, se posebej v snovi. Avtorja razlozita odboj in lom elektromagnetnega valovanja na njihovi osnovi in pojasnita temelje geometrijske optike, na koncu poglavja pa smo spet v svetu Minkowskega. V zadnjem poglavju tece v matematicnem jeziku beseda v glavnem o popolnoma nevidnih napravah, prikrivanju, negativnem odboju in popolnih lecah ter optiki v gibajoci se snovi. Poglavje se konca z Aharonov-Bohmovim efektom ter analogijo s crnimi luknjami in njihovimi horizonti. V dodatku knjige avtorja obravnavata tenzor elektromagnetnega polja, sledita pa se obsiren seznam literature in indeksno kazalo. Knjiga je opremljena s stevilnimi slikami in nekaj fotografijami. Delo je primerno tako za studente tehniskih ved, fizike in matematike kakor tudi za raziskovalce. Za boljse razumevanje je, kljub temu da avtorja sama pojasnjujeta najnujnejse matematicne in fizikalne koncepte, dobro poznati osnove analiticne geometrije, analize, algebre, diferencialne geometrije, konformnih preslikav, variacijskega racuna, vektorske in tenzorske analize, mehanike, splosne teorije relativnosti, optike in Maxwellove teorije elektro-magnetizma. Knjiga je lep primer prepletanja fizikalnih in matematicnih vsebin. Marko Razpet VESTI BISTROUMI 2013 - SREČANJE NAJUSPEŠNEJŠIH MLADIH MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV V letošnjem letu se je tekmovanj iz matematike, fizike, astronomije, razvedrilne matematike in poslovne matematike za različne stopnje OS in SS v organizaciji DMFA Slovenije udelezilo 121.359 učencev in dijakov, podeljenih pa je bilo skupaj 799 zlatih priznanj (http://www.dmfa.si/Aktualno/ Statistika.html). Med prejemniki zlatih priznanj je bilo 154 nagrajencev skupaj z druzinskimi člani, mentorji in predstavniki sol povabljenih na tradicionalno podelitev nagrad, ki je pod naslovom Bistroumi 2013 potekala v nedeljo, 26. maja, v Linhartovi dvorani Cankarjevega doma v Ljubljani. Državno tekmovanje iz matematike za Vegova priznanja je največje in najbolj znano tekmovanje v organizaciji DMFA, ki na šolski stopnji ze nekaj let poteka kot del tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru. Foto: Vojko Opaškar Prireditev je potekala v znamenju mednarodne pobude Matematika planeta Zemlja 2013. V pestrem programu so tekmovalce nagovorili tudi predstavniki slovenskih univerz in bivsi olimpijec astrofizik dr. Anze Slosar, ki ga je revija Popular science leta 2012 uvrstila med deset „najbriljantnejsih" umov na svetu. Nagrade najboljsim so podelili predstavniki tekmovalnih komisij, upravnega odbora DMFA in castni clani DMFA, v programu prire- ditve, ki sva jo pripravila dr. Boštjan Kuzman in dr. Matjaž Zeljko, pa so sodelovali še matematik in stand-up komik dr. Uroš Kuzman, ustanova Hiša eksperimentov s fizikalnimi poskusi v živo, tolkalist Jože Bogolin, voditelj Matic Jerman ter hostese iz Študentske sekcije DMFA. Udeleženec fizikalne olimpijade iz leta 1996, zdaj svetovno znani astrofizik dr. Anze Slosar, ki ga je revija Popular Science leta 2012 uvrstila med 10 najbriljantnejSih mladih umov na svetu, je v nagovoru nagrajencem dejal, da so največje face tisti znanstveniki, ki svoje najboljse ideje delijo z drugimi, in da je iskanje pravih vprasanj pomembnejse od ucenja ze znanih odgovorov. Foto: Vojko Opaskar Na odru so bila tako podeljena stevilna priznanja, med njimi tudi znamenita Vegova priznanja najboljsim mladim matematikom ter nagrada diamantni kenguru trem devetosolcem, ki so v devetih letih osnovnega solanja osvojili skupaj najvec tock na tekmovanju Kenguru. Vrhunec prireditve je bila predstavitev petnajsterice dijakov, izbranih za udelezbo na letosnjih mednarodnih olimpijadah iz znanja, ki sta jih na odru sprejela predsednik RS Borut Pahor in predsednik DMFA Slovenije prof. dr. Andrej Likar, letosnje olimpijske majice so jim predali nosilci medalj s preteklih olimpi-jad Vesna Irsic, Matej Aleksandrov in Veno Mramor. Ob koncu solskega leta smo vsem tekmovalcem zazeleli prijetne pocitnice, olimpijcem pa obilo uspeha in lepih dozivetij na mednarodnih tekmovanjih. Za zlitje matematike in glasbe je poskrbel odlični tolkalist Jože Bogolin s skladbo skladatelja Xenakisa v ritmih zlatega reza ob umetniski animaciji LPDJLQH D VHFUHW, ki so jo navdihnile eliptične krivulje. Foto: Vojko Opaskar Slovenski dijaki na mednarodnih tekmovanjih v letu 2013 2. evropska dekliška matematična olimpijada je potekala od 8. do 14. aprila v Luksemburgu. V slovenski ekipi so sodelovale Maruša Pecovnik (I. gimnazija v Celju), ki je prejela bronasto medaljo, Lara Jerman (Gimnazija in SS Rudolfa Maistra Kamnik) in Mihaela Pusnik (I. gimnazija v Celju), ki sta prejeli pohvali, in Klara Nosan (I. gimnazija v Celju). Tekmovalke sta spremljala Matej Aleksandrov in Vesna Irsic. 44. mednarodna fizikalna olimpijada je potekala od 7. do 15. julija v Kobenhavnu na Danskem. Petčlansko slovensko ekipo so sestavljali Michel Adamic (Gimnazija Bezigrad) in Žiga Krajnik (Gimnazija Skofja Loka), ki sta osvojila bronasti medalji, Bine Brank (Gimnazija Bezigrad), ki je osvojil pohvalo, ter Zan Kokalj (II. gimnazija Maribor) in Ziga Nosan (Gimnazija Ledina, Ljubljana). Tekmovalce sta spremljala dr. Jure Bajc in dr. Barbara Rovsek. 54. mednarodna matematična olimpijada je potekala od 18. do 28. julija v mestu Santa Marta v Kolumbiji. Žestclansko slovensko ekipo so sestavljali Juan Gabriel Kostelec (Gimnazija Bezigrad), Žiga Krajnik (Gimnazija Žkofja Loka), Amadej Kristjan Kocbek (II. gimnazija Maribor) in Katera žival lahko zleze pod vrvjo, ki jo napnemo po Ekvatorju, podaljšamo za 1 m in enakomerno odmaknemo od tal - mravlja, golob ali žirafa? Občinstvo še je od srca nasmejalo ob duhoviti točki matematika dr. Uroša Kuzmana in voditelja Matica Jermana. Foto: Vojko Opaškar Klara Nosan (I. gimnazija v Celju), ki so vsi osvojili pohvale, ter Rok Havlas (II. gimnazija Maribor) in Mihaela Pusnik (I. gimnazija v Celju). Tekmovalce so spremljali dr. Gregor Dolinar, vodja ekipe in tajnik Svetovalnega telesa pri MMO, pomočnik vodje Matej Aleksandrov in dr. MatjaZ Željko, vodja informacijske podpore za MMO. 7. mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike je potekala od 27. julija do 5. avgusta v mestu Volos v Grčiji. Slovenski tekmovalci so se tekmovanja tokrat udelezili prvič in se odlično odrezali. Žan Kokalj (II. gimnazija Maribor) in Kristof Skok (I. gimnazija v Celju) sta osvojila srebrni medalji, Michel Adamič (Gimnazija Bezigrad) in Jernej Cernigoj (Sr. sola Veno Pilon Ajdovsčina) pa pohvali. Tekmovalce je spremljal Andrej Gustin. 7. srednjeevropska matematična olimpijada je potekala avgusta v mestu Veszprem na Madzarskem. Amadej Kristjan Kocbek (II. gimnazija Maribor) je osvojil srebrno medaljo, Klara Nosan (I. gimnazija v Celju) in Juan Gabriel Kostelec (Gimnazija Bezigrad) bronasti medalji, Jus Kosmač (Gimnazija Jesenice), Ziga Krajnik (Gimnazija Žkofja Loka) in Lara Jerman (Gimnazija in SŽ Rudolfa Maistra Kamnik) pa pohvale. Tekmovalce je spremljal Veno Mramor. Boštjan Kuzman SKUPNA MEDNARODNA KONFERENCA MATEMATIČNIH DRUŠTEV KATALONIJE, SLOVAŠKE, AVSTRIJE, ČESIKE IN SLOVENIJE CSASC 2013 Univerza na Primorskem je v Kopru od 9. do 13. junija na mednarodni konferenci CSASC 2013 gostila 150 matematikov iz 21 drŽav. Konferenco, ki vsaki dve leti poteka v drugi drŽavi, so v zglednem sodelovanju organizirali DMFA Slovenije, UP FAMNIT, UP IAM, UL FMF in IMFM. Znanstveni del konference je potekal v minisimpozijih Diferencialna geometrija in matematična fizika, Teorija grafov, Kombinatorika, Funkcije kompleksnih spremenljivk, Simetrije grafov, zemljevidov in drugih diskretnih struktur, Algebra, Diskretna in racunska geometrija, Matematicne metode v obdelavi slik, Numericne metode za parcialne diferencialne enacbe, Dokazovanje v matematicnem izobrazevanju, znanstveni program pa sta obogatila tudi sestanek projektne skupine EuroGiga in razstava plakatov. Pod pokroviteljstvom Evropskega matematičnega društva (EMS) je John Erik Fornaess v Kopru predaval o konveksnosti v kompleksni analizi (foto B. Kuzman). Osnovna ideja konference je bila povezovanje matematikov iz razlicnih drzav in razlicnih podrocij. V 10-clanskem znanstvenem odboru sta tako sodelovala po dva predstavnika iz vsakega drustva. Raznovrstna plenarna predavanja je pripravilo sedem mednarodno uveljavljenih matematikov, med njimi tudi prof. dr. John Erik Fornaess (NTNU Trondheim, Norveska), ki je na konferenci predaval na povabilo akad. prof. dr. Franca Forstnerica pod pokroviteljstvom Evropskega matematicnega drustva. Drugi plenarni predavatelji so bili Primož Moravec (Univerza v Ljubljani), Ivan Mizera (University of Alberta, Kanada), Marc Noy (Universitat Politecnica de Catalunya, Spanija), Gerald Teschl (University of Vienna, Avstrija), Xavier Tolsa (Universitat Autonoma de Barcelona, spanija), Günter Rote (Freie Universität Berlin, Nemčija). Eden od glavnih pobudnikov srečanja prof. dr. Tomaz Pisanski je ob koncu srecanja menil, da je bila konferenca odlicna promocija slovenske matematike in spodbuda mladim slovenskim raziskovalcem, zahvalil pa se je tudi dr. Klavdiji Kutnar in dr. Jasni Prezelj, ki sta odlicno opravili levji delez organizatorskega dela, in rektorju Univerze na Primorskem prof. dr. Draganu Marusicu za gostoljubje. Boštjan Kuzman V SPOMIN IN POKLON MARIJI MUNDA (1932-2012) V februarju minulega leta je v starosti SC let koncala svojo uspesno zivljenj-sko pot Marija Munda, dolgoletna profesorica na II. gimnaziji v Mariboru. Tezko je z nekaj stavki opisati njeno neizmerno predanost poucevanju matematike. Prav to ji je prineslo sloves profesorice, ki je znala snov sijajno posredovati svojim ucencem. Sama je dejala, da dijake uci, da bi: matematiko znali „tako za silo", da bi jo znali dobro ali pa da bi jo obvladali odlicno. Njenega veselja in povezanosti z matematiko se zelo dobro spominjamo vsi njeni kolegi, se zlasti pa mnozica ucencev, ki so se uspesno uveljavili na razlicnih podrocjih znanosti - doma in v tujini. Nekoc je rekla: „Bilo je veliko dogodkov, veselih in zalostnih. Najlepsi pa so zame bili uspehi mojih dijakov na matematicnih tekmovanjih. Takrat sem bila v zraku od srece." Ne nazadnje je bilo dragoceno tudi njeno delovanje v DMFA, se zlasti v mariborski podruznici. Organizirala je republisko tekmovanje iz matematike in fizike, stevilna predavanja za ucence in ucitelje ter prijetna srecanja clanov mariborske podruznice na obcnih zborih drustva. Za njen veliki prispevek k popularizaciji matematike je bila imenovana za castno clanico DMFA Slovenije. Na to je bila se posebej ponosna. Vsi kolegi smo obcudovali njeno neizmerno voljo v casu, ko se je ze spopadala s hudo boleznijo, zaradi katere je morala opustiti poucevanje. Velik je bil njen prispevek k popularizaciji matematike v Sloveniji in prav zato ostaja v neizbrisnem spominu bivsim sodelavcem, kolegom matematikom in seveda mnozici njenih ucencev. Majda Saus PISMA BRALCEV KOLIKO JE ENKRAT MANJ KOT 100? Matematiki, predvsem učitelji matematike, smo odgovorni tudi za matematično pravilno uporabo Števil in računanje z njimi v vsakdanjem, nestrokovnem okolju, saj vse mlade tega učimo dvanajst let (13?), od prvega razreda do mature. Prve informacije o stevilih dobijo otroci od starsev in učiteljic razrednega pouka - toda tudi te smo naučili računati mi, matematiki. To besedilo pi sem zato, ker se v javnosti, ne le v pogovorih, temveč tudi v tisku, pri javnem nastopanju in na TV pogosto sli sijo čudne stevilčne primerjave, pa do sedaj se ni bilo strokovnega odmeva na to. Kako daleč smo ze padli zaradi svoje neskrbnosti pa se najbolj vidi v učbenikih, saj se napake pojavljajo tudi tam. Učbenike pisejo - učitelji! Vsak dan uporabljamo stevila pri stetju, pri primerjavah merskih stevil in pri osnovnih računskih operačijah. Npr.: • Janez je visok 170 čm, Tone je (ZA) 5 čm vi sji: 170 + 5 = 175, • Franč pa (ZA) 2 čm nizji: 170 - 2 = 168. Razlike, ki jih dobimo pri sestevanju in odstevanju visin, označimo z besedami, npr. visji, nizji, in uporabimo besediče ZA, SE ZA, ... itd. Pri večjih razlikah uporabimo večkratnike, npr.: • Janez ima 100€, Tone ima DVAKRAT TOLIKO (dvakrat več): 2 x 100€ = 200€, • Franč ima DESETKRAT TOLIKO (desetkrat več): 10 x 100€ = 1000€. Smiselno je uporabljati „...krat več", saj lahko podobno uporabimo tudi ,,... krat manj": • Janez ima 100€, Tinka ima DVAKRAT MANJ: 100€ : 2 = 50€ • Tonka ima DESETKRAT MANJ: 100€ : 10 = 10€ Tokrat smo mnozili in delili. Trendi javnega spakovanja, ki so vplivnejsi od vsakega učitelja, pa terjajo hkrati uporabo obeh načinov: pristevanje večkratnika k začetni vrednosti. Zato govorimo in pisemo: • Janez ima 100€, Tone ima SE ZA ENKRAT TOLIKO (100€ + 1 x 100€ = 200€); ali pa • Janez ima 100€, Tone ima S E ENKRAT TOLIKO (200€); ali • Janez ima 100€, Tone ima ZA ENKRAT VEC (200€); ali kar • Janez ima 100€, Tone ima ENKRAT VEC (200€). Pri tej zadnji, zaradi kratkosti najbolj priljubljeni obliki izraZanja bi pa Ze morali biti zaskrbljeni, saj tako obstajata dve protislovni izjavi: • 200 je enkrat(?) vec od 100 • 200 je dvakrat(?) vec od 100. In ce ima Tone 300€, ali je to potem dvakrat ali trikrat vec od 100€? Izjave z matematično vsebino vendar ne bi smele biti dvoumne ali celo protislovne! Morda se vam zdijo taka premisljevanja malenkostna in nepotrebna, toda predstavljajte si izjavo predsednika vlade, da bo drugo leto nas dolg ze dvakrat vecji! Ce smo letos dolzni 10 milijard €, koliko bo to drugo leto: 30 milijard € ali „samo" 20 milijard €? To pa ni vec malenkost, politik bi lahko celo izkoriscal jezikovno nejasnost za zavajanje javnosti! Ali pa razlaga Štefanovega zakona v ucbeniku naravoslovja(!!): ce se temperatura poveca ZA dvakrat, se energija poveca ZA sestnajstkrat - torej (1 + 2)4 = 1 + 16? „Pravilo" o pristevanju k zacetni vrednosti pa ni univerzalno in najvec-krat obstane pri „enkratniku"; nisem se bral ali slisal, da ima npr. Franc (1000) devetkrat vec kot Janez (100). Faktor veckratnosti je najveckrat (pa ne vedno!) samo 1 in nima naslednika, zato bi morda problem lahko resili ze z opozorilom, da pogovorni ENKRAT VEC pomeni isto kot DVAKRAT VEC, ceprav se to slisi nekoliko neumno. Zal pa se enkratovanje uspesno uporablja tudi pri manjsanju: Tinka (50) ima pogovorno „ENKRAT MANJ" kot Janez (50 = 100 — 1 x 50). Enak nacin razmisljanja se cuti tudi pri presenetljivi izjavi, da so letos neki prihodki (40) bili manjsi (od lanskih 100) za 150 % (40 = 100 — 40 x 1,5) - toda racunanje z odstotki itak spada ze skoraj v visjo matematiko! Vprasanje clanom DMFA: ali se ne bi mogli matematiki skupaj s slavisti dogovoriti in poskrbeti za nedvoumno govorico osnovnih matematicnih informacij, ki bi jo potem poskusali sistematicno prenesti na solarje in s tem tudi na kasnejse odrasle Šlovence? Ševeda najprej na ucitelje (tudi pisce ucbenikov) in na studente - bodoce ucitelje! To pa bi terjalo predvsem sodelovanje fakultetnih uciteljev, brez njih ni upanja na uspeh! Peter Prelog VESTI STROKOVNA EKSKURZIJA V GRADEC/GRAZ DMFA ter Društvo univerzitetnih profesorjev organizirata v soboto, 19. oktobra 2013 strokovno ekskurzijo v GRADEC/GRAZ. PROGRAM: Ogled muzejske zbirke eksperimentov, ki jih je pripravil Ludwig Boltzmann. Srečanje z nekaterimi graskimi fiziki. Muzeji v gradu Eggenberg. Ce se zanimate, pisite na naslov Mitja.Rosina@ijs.si. OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, MAJ 2013 Letnik 60, številka 3 ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 „ VSEBINA Članki Strani Konfiguracijskiprostori in topološka kompleksnost (Aleksandra Franc) ............................................... 81-91 Stereosnemanje: principidvoušesne zaznave zvoka (Daniel Svenšek) ................................................. 92-101 Šola O metu krogle in metu kladiva (Janez Strnad) ................................................102-109 Nove knjige Timothy Gowers, Matematika, Zelo kratek uvod (Jurij Kovic) ....................110-112 Ulf Leonhardt, Thomas Philbin, Geometry and light - The Science of Invisibility (Marko Razpet) ..................................................112-113 Vesti Bistroumi2013 - srečanje najuspešnejših mladih matematikov, fizikov in astronomov (Boštjan Kuzman) .......................... 114-117 Skupna mednarodna konferenca matematicnih društev Katalonije, Slovaške, Avstrije, Češke in Slovenije CSASC 2013 (Boštjan Kuzman) ................................................ 118-119 V spomin in poklon MarijiMunda (1932-2012) (Majda Šaus) ......... 119 Strokovna ekskurzija v Gradec/Graz....................................................................XI Pisma bralcev Koliko je enkrat manj kot 100? (Peter Prelog) ......................... 120-XI CONTENTS Articles Pages Configuration spaces and topological complexity (Aleksandra Franc) .. 81-91 Stereo Recording: Principles of Binaural Perception of Sound (Daniel Svenšek) ..................................................................................................92-101 School ............................................................................................................................102-109 New books ....................................................................................................................110-113 News ................................................................................................................................114-118 Letters ............................................................................................................................120-XI Na naslovnici: Letošnje olimpijce sta na odru sprejela predsednik države Borut Pahor in predsednik DMFA Slovenije dr. Andrej Likar, olimpijske majice pa so jim predali trije nosilcimedalj s preteklih olimpijad Vesna IršiC, Matej Aleksandrov in Veno Mramor.