PRESEK - list za mlade matematike, fizike, astroname in računalnikarje 22 . letnik, leto 1994/95, številka 3, strani 129 - 192 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNiŠTVO TEKMOVANJA NOVICE NALOGE RAZVEDRILO REŠiTVE NALOG NA OVITKU Pascal, Fibonacci in bož ično drevce (G regor Pavl i č ) 129-132 Žejna račka (Ja nez Strnad) 146-1 52 Kosci ( Marija n P rose n) -. 162-165 Vrst e vzpo red nih računaln i kov in računaln ik CM-5 (Sand i Klavža r) 166-172 29 . občinsko te kmo vanje za srebrno Veg ovo prizna nje (Aleksa nder Potočnik ) 133-1 35 Naloge za ogreva nje - reši tve s str . 83 (Aleksa nder Potočni k) 139-141 14 . področno t ek movan je iz fizike za os novnošolce - rešitve s str. 74 (Zl atko Bradač , Mirko Cvahte ) 14 2-144 Nekaj nal og z računa l n iškega tekm ovanja za srednješolce v letu 1994 ( Marko Grobelnik) 144 -145 Rešitve nalog s pred te kmo va nja iz srednješolske fizike - s st r . 111 (Ciril Domi nko, Jure Bajc ) 15 3-157 Rešitv e nalog z izbirn ega tekmovanja iz mat em at ike za sre dnješo lce - s str . 102 (Matjaž Željko} 174 -178 Nalog e z državn ega tekm ovanja iz srednj ešolske fizike (Jure Bajc , Ciril Dominko , Bojan Golli) 180-184 14 . dr žavno tekm ovanje iz fizike za osno vnošo lce (Z latko Bradač , Mirko Cvahte) 188-190 25. mednarodna fizikaina olimp iada (Ciril Dom inko) 136-1 37 25 . medn aro dna fizikaina olimpiada v Pekingu na Kita js kem - neformaln o (M etka Demšar) 137-1 39 Poročilo s 35 . medna rodne matemat i čne olimp iad e ( Ma tja ž Željko} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158-159 Še o letalskem poku (Janez St rnad) 184 1. kon gres mat em atik ov, fizikov in as t rono mov Slovenije ( Marija Vencelj) 191-192 Fizika v Pr eseku (Ja nez St rnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Vsi nizi ( Mar tin Juvan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Šte vilska uganka za jubilej ( Marija Ven celj) . . . . . . . . . . . . . . . 133 Novoletna ( Marija Ven celj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Sede m žebljev ( Duša n Repovš) 159 Križanka Ob ju bileju slovenskega matematika ( Marko Bokalič) 160-161 Premešča nje števk - s st r. 125 (D .M.Miloševi':, prev . B. Japelj) 152 Križanka Ob 1. kongresu matematikov, fizikov in astronomo v Sloven ije - s st r. 96 (M arko Bokal ič) . . . . .. 17 2 Aritmet ična števila - s st r. 77 (Mar t in Juvan) . . . . . . . . . . . . . 173 T rgi in u lice - s s tr. 111 (D . M . M iloševi':, pre v . B . J apel j ) ... 17 8 Daljn osežne posled ice preproste enačbe - s str. 76 (Jurij Kovi č) 179 Tr isekcija - s st r. 89 ( Mart in Juvan ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Kak o hitr o izteče voda ? - iz P-XXI/5, str. 257 (Mart in Klanj šek) 186-187 Kon strukcijska naloga - s str. 126 (Marija Ven celj) . . . . . . . . . 187 Račun z znaki - s str. 65 (Martin Juvan) , . , 190-191 Presek vošči vesele praznike ; oglejte si tud i č l a nek na strani 129 " . Slovenski olimpijs ki ekipi na 35. matemat ičn i in 25 . fizika lni mednarod ni olim piad i. Glej tudi prisp evke na straneh 136, 137 in 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . IV /i)" -'-/i)'-'-"/ "n ICI" 1"", PASCAL, FIBONACCI IN BOŽiČNO DREVCE V trikotnik razporejen ih števil , ki j ih poznamo pod imenom Pascalov t rikot- nik, ni odkril slavni filozof in matematik Blaise Pascal (16 23 - 1662) , ampak so jih poznali kitajs ki matematiki že 350 let pred njim. Vprašanje pa j e, ali so se zaveda li, kaj vse se v trikot niku skriva (slika 1) . Slika 1 . (A) Najprej na hitro ponovimo: Na robu Pascalovega trikotnika so same enice, število, ki ni na robu , pa je vsota svojega levega in desnega soseda v vrstici pred njim (slika 2). Vemo še , da posa- mezno število lahko tudi izraču­ namo iz njegovega položaja v tri- kotniku . V k-ti vrsti je na i-tem mestu število (~) ; i = 0,1, ... , k. Oglejmo si še nekaj zanimivih lastnosti Pasca lovega trikotnika . Vsota vseh števil v k-ti vrsti Pas- calovega trikotnika je število vseh podmnožic končne množice z močjo k oziroma moč njene po- tenčne množice: Slika 2 . 130 te pa seštejemo števila iz Pascalovega trikotnika po poševnih vrstah od vrha navzdol , kot kaže slika 2, ostanemo brez besed : Saj to je vendar Fibonaccijevo zaporedje! Za dokaz tega osupljivega odkri tja uporab imo rekurzivno definicijo Fibonacci- jevega zaporedja F(n), n =0, 1, .. .: F(O) =F(l) = 1, F(n) =F(n - 1)+ F(n - 2); n=2 ,3 ,4 , .. . in eno od lastnosti binomskih simbolov (aditivnost) : Z S(n); n = 0,1 ,2, .. . označimo vsoto števil v n-ti poševni vrsti . Res je 5(0) = 5(1) = 1. Dokažirno še rekurzivno formulo . Za sode n gre takole: e~- l) zamenjamo ze:), uporabi mo aditivnost binoms kih simbolov in dobimo Za lihe n ni dokaz n i č težji. Vsote S(n) tor ej res tvorijo Fibonaccijevo zaporedje. (B) V anglosaških deželah otroci Božičku ne nastavljajo peharjev ampak ve- like pisane nogavice . Take "nogavice" najdemo tudi na Pascalovem tr ikotniku (s lika 3) . Nogavica je lahko dolga , kolikor hočemo , le njen zgornji del se mora za čet i na robu trikotnika in stopalo mora biti dolgo dve števili , s peto vred . Potem je vsota števil v nogavi ci enaka štev ilu v prstih stopala . 131 1+ 3+ 6+ 10 + 15 + 21 = 56 1+1+1+1+1=5 1+ 4+ 10 + 20 + 35 = 70 Slika 3. Za dokaz trditve spet potrebujemo le lastnosti binomskih simbolov. Oglejmo si primer nogavice, ki teče od zgoraj navzdol od leve proti desni . Za drugi primer lahko napravite dokaz sami. (n) (n + 1) (n + 2) . . . (n + k- 1) (n + k) =O + 1 + 2 + + k-1 + k = [ (n ~ 1) + C: 1)] + + (n: k) = = [ (n : 2) + (n; 2) ] + + (n: k) = =(n;3)+"'+C:k)= =(n+ k) r: k) = (n+ k + 1) k-1 + k ' 132 (c) Za ko nec o krasimo bož i čno drev ce še z Davidovimi zvezdami . Zv ezd a m ora obkrožiti eno od št evil Pa sca lovega trikot nika , kot ka že s lika 4 ; potem je produkt števil v krakih Davidove zvezde popolni kvadra t . 1 . 1 . 1 . 3 . 3 . 1 = 32 , 3 . 1 . 1 · 5 . 10 . 6 = 302 , 1 . 4 . 10 . 15 . 6 . 1 = 602 . Tokrat bomo pri dokazova nj u uporab ili znano formulo za izr a- ču n vred nosti binomskega simbo- la : (n) n!k - k! (n - k)! C) .( n ) . (" + 1) . C+ 1) . C+ 2) . (n + 2) = k k+1 k k+ 2 k+ 1 k +2 n ! n! (n+ 1)! (n+1 )! k!(n -k)! ' ( k + 1)!( n - k - 1)! ' k! (n + 1 - k) l' ( k +2) !( n + 1 -k -2)! (n+2) ! (n+ 2)! ( k + 1) !( n + 2 - k - 1)! ' ( k +2) !( n +2-k -2 )! [ n!(n+1)!(n+2) ! ]2 - k!(k+1)!(k+2)! (n-k-1) !(n- k)! (n-k+1 )! Dokazano! Gregor Pa vlič VSI NIZI Sprogramiraj podprogram , ki kot parameter dobi naravn o število n in izp iše vse nize dolžine n, ki so sestavljeni le iz z na kov ain b , vsakega natanko enkrat . Kako pa bi rešil nalogo , če bi moral izpisati le tiste nize , ki ne vsebujejo strnjenega podniza abb? Martin Ju van 1\10 1L-l":cII lL_ '-'L STEVILSKA UGANKA ZA JUBILEJ V novem bru je praznoval okrogli j ubilej s prašt evilsko prvo števko prof. dr. Jože Grasselli , zvest pisec v našo revijo. Presekovci mu iskreno voš č i rn o za praznik , vam pa zasta vljamo naslednjo št evilsko uganko. V besedi GRASSELLI, priimku našega jubilanta, nadomestite raz lične črke z različni mi deset iškimi števkami (in enake z enakimi) , Gi: O, li: O, tak o da bo dobljeno devetmest no štev ilo, potem ko bomo nanj uporabili spodaj navedeno navodilo, dalo rezultat 10999 89000 . Navodilo : a) Zapiši število . b) Prezrcali št evke števila glede na sredino zapisa . c) Manjše od števil iz a) in b) odštej od večj e ga . č) V razliki iz c) prezrcali števke glede na sredino zapisa . d) Seštej števili iz c) in č ) . To je rezultat . Marija Vencelj 29. OBČINSKO TEKMOVANJE ZA SREBRNO VEGOVO PRIZNANJE 20. aprila 1994 se je 1706 šestošolcev, 1683 sedmošolcev in 1678 osmošolcev na občinskem tekmovanju potegovalo za srebrno Vegovo prizna nje. Osvojilo ga je 579 u čencev 6. razreda , 547 učencev 7. razreda in 563 učencev 8. razreda . Naloge, ki j ih je izbrala državna tekmovaln a komisija , so bile: 6. razred 1. Izra čunaj vrednost izraza : 1759 + (1, 75 + (6j - t · 20) · 2 , 8) · 20 = 2. Na matematičnem tekmovanju tretjina učencev ni pravilno rešila ene naloge , četrtina dveh , šestina treh , osmina učencev pa je vse štiri naloge napačno rešila. a) Koliko učencev je bilo na tekmovanju , če jih ni tekmovalo več kot 30? b) Koliko učencev je pravilno rešilo vse nalog e? B c d q .... c A p 3 . Na neki osnovni šoli je 93 šestošolcev . Na vprašanj e , koliko je vseh učencev, je ravnatelj takole odgovoril: ,,5 t evilo šestošolcev predstavlja tri petine od četrtine vseh učencev na naši šol i." a) Koliko učencev obiskuje to osnovno šolo? b) Koliko o dstot kov vs eh učencev predst avlj aj o šestošoIci? 4. Krogu , ki ima 2,5 cm dolg pol- mer, očrta] kvadrat tako , da bodo stra nice kva drata vz pore- dne s premicama p in q (p 1.- q). O piši postopek n a č r­ tova nja . (Sliko preriši , upošte- vaj podatke.) 5. V šti rikotniku ABCD merita kota a = -r:. B A D = 56°20' in {3 = -r:.ABC = 47°53'. Trikot- nik 6AC D je enakok rak (AD DC), diagonala e = AC je simetrala notranje- ga kota a . I z raču n aj kota '"Y = = -r:.BCD in 6 = -r:.CDA. 7. razred P 'v v ' v · 10x 5 5.10 8 1. OISCI X, ce Je = 0,5 .103'+t .(-10)4 ' 2 . Iz računaj vrednost iz raza f, - -!x +jf;, če je a največje celo negativno dvomest- no število, b pa najmanjše celo število me d -30,3 in -40,4. 3 . Dani so vektorj i ii, b, s. d. Nar iši vektor x, tako da velja (a+ b) + x = c+ či . (Sliko pre riši primerno p ov eča n o ! ) 4 . Stranice trikotnika 6A BC merijo : AB =15 cm , BC =18 cm, AC =21 cm . Daljica CD j e višina na stranico AB, točka M pa središče stranice AC. Koli- ka je dolžina daljice D M7 5. Izračunaj obseg in ploš čino osen- čenega lika, ki ga vidiš na sliki. Dolžina stranice CD je 8 cm , točka H je središče stranice CD . 8. razred o A H c B F 135 1. Dano štirimestno število ima na mestu enic števko 8. Le enice odvzameš in jih pripišeš številu spredaj, dobiš število , ki je za 61 večje od dvakrat- nika danega štirimestnega števila . Po išči dano štirimestno število . 2. Oče in mati sta skupaj stara 82 let , njuni otroci pa 16, 14 in 9 let. Lez koliko let bo starost vseh treh otrok skupaj 66 % vsote očetovih in materinih let? Koliko bosta oče in mati takrat stara , če je oče 4 leta starejši od matere? 3. Izračunaj ploš čino trikotnika, ki ga oklepata grafa premic y = -3x + 6 in y = -~x + 1 ter ordinatna os. 4. V pravokotnem trikotniku višina na hi- potenuzo razdeli pravi kot v razmerju 1 : 2, hipotenuzo pa na dva dela. Krajši del je dolg 3 cm. lzra čunaj obseg tega pravokotnega trikotnika. 5. Mrežo kvadra smo izdelali iz kvadrata s ploš čino 144 cm2 , tako da smo odrezali dva kvadrata s stranico 2 cm in dva pra- vokotnika , vsakega s ploš čino 12 cm2. Izračunaj prostornino kvad ra. Aleksander Potočnik NOVOLETNA Koliko je bilo doslej v našem štetju letnic, ki so tuje z letnico prihodnjega leta, to je številom 1995? Marija Vencelj . . . -. NO/i/CE . . . 25. MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA Letošnja j ubilejna Medna rod na fizikaina olimp iada IPhO (International Phy- sics Olympiad) je bila od 11. do 19. ju lija v Pekingu , v Ljudski republiki Kitajski . Tekmovanja se je ude ležilo 229 tek movalcev iz 47 držav . Ta ko kot narekujejo pravila te kmovanja , je slove nsko ekipo sest avljalo pet tekmoval cev in dva sprem ljevalca . Za Slovenijo so tek movali: Arpad Biirrnen (Gimnazi- ja Murska Sob ot a), Matja ž Vencelj in J ure Vrhovnik (Gimnazija Bežigrad , Ljubljana) , Pr imož Kušar (Srednješolski center Ptuj) in Metka Demšar (Gim- naz ija Šentvid , Ljubljana) . Spremljevalca in hkrati č l a n a med narod ne komisi- je sva bila Jure Bajc (FN T , Oddele k za fiziko) in Ciril Dom inko ( Društvo ma tematikov, fizikov in astronomov Slovenije). Slovens ki ekipi sta udeležbo finan čno omogočili Ministrstvo za šolstvo in šport in Ministrstvo za zna nost in tehnologijo . Tekmov anje na fizikalni olimpiadi je sest avljeno iz dveh delov: teo- retič n ega , kjer j e mo žno doseči največ 30 točk , in eksperimentaln ega, kjer je mož no d oseč i 20 točk. V teoreti čnem delu rešujej o te kmovalci tri t eo- ret i č n e naloge , za kar imajo pet ur časa . V eksperime nt alnem delu izvedejo dva eksperimenta in za vsakega napi šejo poroči lo, ki se potem ocenjuje . Za vsak eksperiment imajo na razpolago dve uri in pol. Organizatorj i letošnje olimpi ade so se o d l o čili , da bodo poleg uradnih nag rad , za katere šteje skupn i rezultat, podelili tudi neuradne, in sicer posebej za teoretični del te kmovanja in posebej za ekspe rimentaln i del. Tako je v naši ekipi dob il bronasto medaljo za teoret i čn i del Arpad Biirrnen. ki j e v tem delu dosegel 17 ,1 točke . Bil je tudi eden izmed šesti h t ekmovalcev, ki so dobili maksimalno št evilo točk pri prvi teoret i čni nalogi .! Največ točk je v te m delu dosegel kit ajski te kmova lec Liang Yang (2 9, 1 točke ). Prav tako je bronasto medaljo dob il Matjaž Vencelj v eksperimentalnem delu tekmovanja . Dosegel je 11 točk . Največ točk je t udi v tem delu tekmovanja dosegel domačin Jingxiang Rao (16,9) . Pohvalo za skupni rezult at je dobil Arpad Biirrnen , ki je dosegel 57 % točk od povpre čja treh najbo ljših tekmovalcev. Ta pohvala nas kot ekipo na neuradni razvrstitv i držav udeleženk u v ršča na 23. mesto med 47 ekipa mi. Veliko ekip torej ni dobilo nobe nega urad nega priznanja . 137 Naslednja , XXVI. mednarodna fizikaina olimpiada, bo od 5.-12 . julija 1995 v glavnem mestu Avstralije Canberri . To bo prva olimpiada na južni polobli . Ciril Dominko 1 Nalog e z olimpiade bodo objavljene veni od naslednjih številk Preseka. 25. MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA V PEKINGU NA KITAJSKEM - neformalno Vse se je začelo nekega lepega jutra v juliju, ko smo privlekli svoje težke 'kufre ' na brniško letališče , se še zadnjič vrgli staršem v objem in nazadnje zasedli svoje sedeže v letalu proti Frankfurtu. Po tem, ko so naši želodci nekako preživeli premetavanje ob pristanku letala, smo pet ur presedeli na letališču v Frankfurtu . Naslednjih deset ur pa smo se brez uspeha trudili, da bi zaspali na Lufthansinem letalu (spremljal nas je namreč polarni dan) . Nismo se še dobro poznali, še manj pa smo se zavedali, da gremo na Kitajsko " . Takoj, ko smo v Pekingu stopili iz letala , nam je za dobrodošlico v obraze puhnil vroč zrak, prenasičen z vodno paro . Kmalu nam je bilo jasno, da bomo nadaljnih 14 dni vsaj iz dveh razlogov bolj mokri kot suhi . Že takoj na letališču smo namreč padli tudi v gosto množico; znašli smo se sredi neznanih ljudi, drugačnih od nas in drugačnega jezika , ki jih je bilo toliko - kot Kitajcev . K sreči nam je eden izmed njih pomahal z oznako IPhO in nas popeljal skozi VIP izhod. Tam so nas že čakali avtobusi, sicer že bolj v razpadlem stanju, vendar najboljši daleč naokol i. Odpeljali so nas v predmestje Pekinga do našega hotela (katerega pritličje so še gradili!). Ni minilo dolgo in že smo dobili svoje sobi ce, takoj zatem pa še kitajsko vodičko, našo drago Dragano , študentko srbščine. Tako smo se na Kitajskem s Kitajko Wu Xu Xin - Dragano sporazumevali v polomljeni srbščini! Pa smo se kljub temu dobro razumeli! Doživeli smo tudi svoje prvo kitajsko kosilo in že takoj na začetku smo prisegli na palčke, Najprej smo sicer z muko pripravili vsak košček hrane posebej, da je prepotoval pot od krožnika do ust , ne da bi se nekajkrat zaporedoma vrnil nazaj na krožnik . Po nekaj dneh pa smo bili že pravi mojstri za uporabljanje palčk. Pa tudi to nam ni pomagalo, da ne bi ostajali kdaj pa kdaj bolj lačni kot siti. Sicer je res, da smo za zajtrk, kosilo in večerjo lahko izbiral i med najrazličnejšimi jedmi iz mesa ali zelenjave. Vendar, ko poskusiš cmok, nadevan s posladkano zelenjavo, ali pa poduhaš že na pogled sumljivo črno juho, se tvoj evropejski želodček odloči , da bo raje ost al prazen . 138 Včasih smo zato segli le po porciji riža in kozarčku keikoukeile (coca-cola po kitajsko). Naslednjega dne se je olimpiada z ot vorit vijo na Pekinški univerzi uradn o za čela . Tistega dne smo navezali prve stike s tekmovalci iz drugih dežel sveta . Najprej smo spoznali Argentince , ki so bili vedno tako veseli , da jih sploh nisi mogel zgrešiti . Z njimi smo igrali ' t ruco' (igra s kartami , katere pravil si tud i po dveh urah nismo mogl i zapomniti) , s Sved i smo prepeval i pesmi ce, s Taiwanci smo zamenjava li kovance , Američan i so nas snemali s kamero , najbolj pa smo se 'št ekali' s Surinamci , ki so pravtako prišli iz zelo majhne državice , le da iz Južne Amer ike. Vse pa nas je naslednjega dne čakal teoretičn i del tekmovanja . Pet ur smo imeli na razpolago , da smo reševali naloge, pili vodo in jed li Maria piškote. Pa to še ni bilo vse . Lez dva dni smo zopet napeli možgane, zbrali vse fizikalne formule in ideje ter ugotavljali, kaj je v ' č rn i škat li' in kaj vse zmorejo laserji . Ko je bilo konec obeh delov tekmovanja in ko se ni dalo nič več popraviti ali spremeniti , je nap etost popustila . Sele te daj smo za čeli doživlj ati Kitajsko . Sprehajali smo se po veličastnem Prepovedanem mestu, kjer so nekoč prebivali le cesarji . Hladili smo se v senci spomenika na sredi trga Tianan Men . Z ladjico smo pluli po prost ranem jezeru Po letne palače. Vozili smo se v razpadajočih rum enih taksijih in se s težavo prebijali skozi invaz ijo koles na kolesarskih stezah (oziroma že skoraj cestah) . Pozirali smo pred kitajskimi fotoaparati . Trudili smo se brati kitajske napise, pa nam ni preve č uspevalo . Počez smo prehodili Kitajski zid . Kupili smo si kitajske klobuke , zvončklja li s kitajskimi kroglicami in se pahljali s kitajskimi pahlja čami . Tudi govorili smo že skoraj po kitaj sko! Preveč hitro je prišel čas zaključne prireditve. Podeljene so bile nagra de in pohvale (ki so prinesle veselje tudi v našo ekipo) , odzvenel i so svečani govori, olim piada se je končala . Niso pa se končala nova prijateljstva. Se dolgo v n oč smo skupaj bedeli mi , ki smo bili le en teden skupaj , ki sm o si bili zelo ra zl ič ni in vendarle podobni in ki smo odhajali nazaj domov , na različne konce sveta . Na s rečo pa smo nekateri še en teden osta li sku paj na potovanju po Kitajski . Iz Pekinga smo z leta lom odfrčal i proti osrednjem u delu Kitajske v mesto Xian . Povzpeli smo se na mogočno mest no obzidj e in tu di na vrh bud isti čne pagode . Zašli smo tudi v najbolj revne predele mesta, kjer so ljudj e živeli v lesenih lopah , po lnih polom ljenih vrat , stolov , nikjer pa ni manj kal televizor. Le do cesarske grobn ice nismo mogli , ker nam je pot 139 zastavila vojska ogromnih glinenih vojščakov. Iz Xiana nas j e tupoljev ponesel proti jugu Kitajske v Guilin. Z ladjo smo se peljali po Li jiang reki, ki teče po pravljični pokrajini med hribi najrazličnejših oblik. Skrivnostne meglice so se dvigale nad riževimi polji in bambusom, ki j e poraščal bregove reke. Nazadnje smo se ustav ili še v precej bolj modernem Guangzhou, kjer ni manjkalo visokih stolpnic , nočnih lokalov in dobrih slaščic. Z vlakom smo se pripeljali do Hongkonga . Imeli pa smo le toliko časa , da smo s terase na letališču opazovali z lučkami razsvetljeno mesto in letala, ki so pristajala na ozki pisti med stolpnicami tik pred našimi nosovi. Kmalu je tudi naše letalo zletelo nad oblake ... Domov smo se vrnili polni vtisov in odkritih skrivnosti iz tistega tako drugačnega sveta , daleč nekje za obzorjem ... Metka Demšar Zahvaljujemo se naslednjim ustanovam in podjetjem, ki so nam priskočili na pomoč, da smo se lahko udeležili potovanja po Kitajski po z aključku olimpiade: Inštitut Jožef Stefan , Petrol , Energoplan, Fakult eta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo - PTI , Podjetje za urej anje hudournikov, Best d.d., Lekarna Kamnik , Talum Kidričevo in Občina Pt uj. Zahvaljujemo se tudi Uradu za informiranje RS, ki je prispeval s i mpatična darila za izmenjavo z drugimi udeleženci olimpiade. NALOGE ZA OGREVANJE - Rešitve s str. 83 5. razred 1. Rešitev je veliko, ena od njih pa je: 2. RAZRED IME LA NA ZAČ. PRODALA OSTALO l. 50 24 26 2. 26 12 14 3 . 14 5 8 4. 8 3 5 Na začetku je imela 50 vstopn ic . 3. Vrednost izraza je 524. 4. Nar išemo krožnico s središčem v točki V in polmerom 3 cm . Presečišča krožnice s premicama določajo množico rešitev R = {TI, T2, T3, T4}. 5. Enačba (288 : 6) - x = 5 . 6 + 28 : 2 ima rešitev x = 4 . 6. razred 1. a)x = 7 b) x = 12 2. N a črtamo kot 6 = 1200 in nato O~ -Q'::---.__ sim et ralo kota 6. Na simetral i od merimo diagonalo f=8 cm in dobim o ogl išči B in D . Kjer- koli na diagonali f načrtamo pravo kotn ico in odmerimo 2,5 cm (polovico diagon ale e ) na vsaki strani presečišča . Sko- zi točki, ki smo ju tako določili na pravokotnici, načrtamo vz- porednici diagonali f. V prese- čišč i h vzporednic in krakov ko- ta 6 dobimo še oglišči A in C. 3 . v(4, 8 ,10) = 40. Čez 39 dni (40. dan) , to bo 16 . maja. 4 . Zaradi 62,5% < ~ < 0,8 dobimo enačbo 120 . x = 36, ki im a reš itev x = 180. Cesta je dolga 180 km . 5. Enaeba 9 . 1 + 90 . 2 + x . 3 = 582 ima rešitev x = 131, zato je 131 + 90 + 9 = 230 . Knjiga ima 230 strani. 7. razred 1. a) Vr ednost izraza je 516, b) Vrednost izraza je 12"' 2 . ((1 00 0 : 100)·8 ·68) : 4 = 1360. Stroški potovanja na osebo so 1360 SIT. 141 3. 14 kač poje v 14 minu tah 56 podgan . 4 . a) 1= !27ra = 7r == 3, 14 b) p = a2 - ! 7ra2 = 4 -7r == 0 ,86 c) a,r = 21, 5% 8. razred 1. 2. 3. a) Zaradi nI = n2, je - at5 = 2 in a= -11. b) Veljati mora k I = k2 in nI = n 2, za to 2 = i - 3, od tod pa dobimo še b = ~ . a(a+l) _ a2 -2a+ l + 2a 2 -12a+1 8 _ _ a_ _ a- l + 2(a - 3r_a- a+l + a2+2a+ l a2- 1 a2-6a+9 - a+l a+ l (a -3 ) - a+l + 2 '- _ 1_ + 2- 2a +3- a+l - a+l Iz besed ila naloge dob imo ena čbo x . 8 + (13 00 - x ) · 5 = 8900 , ki ima rešit ev x = 800. Prodali so 800 dra žjih vstopnic. Zaradi p = ( a+ 2 c )v dob imo v - ~ - a+c d = 2); =4 Slediv3 . S cm C 4. A \ \ \ \ V \ \ \ \ \ 7cm B 2J3. Ker je v 5!.:il J' e2 ' 0 = a + v + e + d = 7 + 2V3 + 5 + 4 = 2(8 + V3) . 5. P = 2(ab + ae + be , zato je 384 = 2(12t2 + 36t2 + 48t2 ) = 192t2 , od tod pa t = m= V2. Robovi so tedaj a = 3V2, b = 4V2 in e = 12V2. 0= Ja2 + b2 + e2 = J 338 = 13 V2 . A leksander Potočnik 142 14. PODROČNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE - Rešitve s str. 74 7. razred 1. S čr ni lom ene bombice la hko po t egnemo črto z dolži no c = VI ab = 0,95 cm 3 10 ,04 cm ·0, 003 cm = 7900 cm . S t rikotnikom izm erimo dol žino črt v napisu FIZIKA: x = 65 mm . 5 t evilo na pisov j e to rej N = 7900 cm/ 6,5 cm =1200 . Za radi nenatančnosti pri merjenj u napisa so možna od stopanja ± 200 napisov . 2 . Vozel nad večjo utežjo m iruje . To rej j e vsota sil vseh t reh vrvic enaka nič . Sila v vrvici a je enaka teži desne uteži, torej Fa = 30 N, kar na rišemo npr . s 30 mm dolgo pušči co . Vsota sil Fb in Fa j e nasprot no enaka sili Fe in ima navpi č no smer . Ko n a črtamo trikotni k (na sli ki č rtka n o), la hko izmerimo dolžino navpične pušči ce d = 105 mm . Sila Fe je torej 105 N, masa leve uteži pa 10,5 kg . 3. a) Ko se bat premakne , je tlak, ki ga povzroča vodni stolpec v ožji posod i, enak tlaku za radi teže ba- ta mgl51 = !::lgh2 , od koder sl edi h2 = ml !::l51 = = 40 cm . Skupna višina vode v ožji po sodi je za radi začetne viš ine bata š e za 2 cm večja ho = 42 cm in prostornina vode je 42 cm . 2,5 cm2 = 105 cm3 . V širši posodi je prostornina vode 2 cm . 10 cm2 = 20 cm 3 . V obe posodi je skupaj nateklo 125 cm 3 vode . S sklepnim računom i z r a ču n amo čas t = 100 s . b) Iz širše posode začne iztekati voda, ko je bat na vrhu , prt cem er s e je gladina vode v obeh posodah dvign ila za 10 cm. Največja viš ina vode v ožji posod i je torej 52 cm . 4 . Višina kapljevin v obeh menzu rah je enaka h = VIS m = 16 cm. Pri plavanju izpodrine slamica s skupno maso 8,0 g 8,0 cm 3 vode oz iroma 10,0 cm 3 olja . V prvem primeru je dolžina potopljenega dela 8,0 cm 3 10 ,5 cm 2 = = 16 cm . Ker je ce lotna dolžina 22 cm, j e dolžina nepotop ljenega dela 6 ,0 cm . V menzuri z oljem bi bila dolžina potopljenega dela 10,0 cm 310, 5 cm2 = = 20, O cm , ker pa je začetna višina olja le 16 cm , slamica nasede na dno . Gla dina o lja se za ra di potopljenega dela slamice 16 cm ·0,5 cm2 = 8 , O cm 3 dvigne za 8,0 cm 3 1(3, O cm 2 - 0,5 cm 2 ) = 3,2 cm . Dolžina potopljenega dela je torej 16 cm + 3 ,2 cm , iz olja pa gleda 2,8 cm slamice . 143 5. V u č b e n i ku preberemo , da se jeklena palica pri t emperat urni razliki 1 K raztegne za 0,012 mm , aluminijast a pa 0,023 mm . Pri temperaturni razliki 100 K sta razt ezka 1,2 mm in 2,3 mm. Nova prostorn ina je torej V2 = = 1, 00232 m2 . 1,001 2 m = 1,0058 m3 . Ker je bila za četna prostornina VI =1, 000 m3 , j e sprememba prostornine ..6. V =5, 8 dm3 . 8. razred 1. Kroglica kroži s hitro stjo v = 27rr I to = 2 · 3, 14· O, 2m/3 s = 0,42 mis. a) Ko je kroglica v legi A. pot uje senca z enako hit rostjo kot kroglica , torej je hit rost 0,42 mis. b) Ko je kroglica v legi B , se giblje ravno pravokot no na zas lon in hitrost sence na zaslonu je enaka nico 2. a) V diagr am u v = v( t) j e opravljena pot enaka ploščini pod č rto , ki kaže, kako se hit rost spremi nja s č a som , Razlika poti dveh t eles za isti ča sov ni interval je enaka ploščini lika, ki ga doloea ta zgornja in spodnja č rt a , V mislih razdelimo lik na dva enaka t rikot nika. Pot , ki ustreza ploš čini zgornjega, je 51 = 12 s ·(7 mis - 4 m/s) /2 = 18 m. Na koncu je razdalja med telesoma 36 m. Nalogo lahko rešimo tudi ta ko, da iz povpre cnih hitosti na posameznih ča sovn i h intervalih r a č u namo posamezne poti . b) Voznik v avtomobilu B izmeri relat ivno hitrost v = VA - va. Iz diagrama ob dan ih casih odčitarno : VI = 4 mis -4m/s = O, v2 = 7 mis -1 mis = 6 mis in v3 = 4 mis -4 mis = O. 3 . a) Na zaeetku deluje ta na vozi č ek vlečna sila vrvice, ki je enaka teži uteži Fv = 0, 3 N, in sila t renja , ki je enaka 0,02 · 10 N = 0,2 N. Pospešek je al = (O , 3N -0 ,2 N)/1 kg = 0,1 m/s2 . b) Ko je vozi ček samo še 10 cm od škripca , je utež že nasedla na tla in edina sila je sila t renja. Pospešek je enak a 2 = Ft r Im = -0,2 NI 1 kg = = - O, 2 m/s2 . c) Prvih 70 cm je gibanje vozieka enakomerno pospešeno in za to pot potre- buje vozič ek cas t = V2sl/ al = 3, 7 S. Po 70 cm gibanja ima vozi ček hitrost vi = al . tI = 0,1 m/s2·3 , 7 s =0,37 mis. Nato se giblje pojemaino 4,4 s - 3,7 s = 0,7 s. V 0,7 s se mu hitrost zmanjša za ..6.v = a2' tz = 0,2 m/s2 . O, 7 s = 0,14 mis, to rej se zaleti v škripec s hitrostjo 0,37 mis - 0,14 mis = = 0,23 mis. 4. Smučarka ima v toeki Ahitrost 100 kmlh =27,8 mis, po 0,50 s pa se ji hitrost poveea na 105 km Ih = 29,2 mis. a) ..6.Wk = m vi 12 - mv? 12 = 2800 J. največja dol žine besede } { be seda } 144 b) Pot enci alna energ ija se je smučarki zmanjša la za Fg . h = 700 N ·6 m = 4200 J. 28 00 J se j e por ab ilo za p oveča nj e kineti čne en ergije , t orej j e 14 00 J oddala kot delo pri pre m agova nju sile upor a zr a ka . Si la upora j e Fu = AI5 = = 1400 J/15 m ~ 90 N. 5. a ) Ampermeter A2 bi vez al i npr . za pored no k upornik u Rl (lahko t udi k uporn iku R2) . b) A l bi nam kaza l tok 16, amper m et er A2 pa tok Il . Ost a le tokove bi i z ra ču nali : 12 = 16 - Il , 13 = 14 = 15 = 16/3. Z latko Bradač, Mirko Cvahte NEKAJ NALOG Z RAČUNALNiŠKEGA TEKMOVANJA ZA SREDNJEŠOLCE V LETU 1994 Predstavi li bomo nekaj nalog z letošnj ega račun alniškega tek movan ja za s red- nješolce, ki je potekalo v maju na Fakul tet i za ele kt rote hni ko in r ač u n a l n i štvo . Shema tekmovanja je bila podobna kot vsa zad nja leta : t ekm oval ci so razd el- jeni v tri težavnostne skupine , prva je naj la žj a in tretja najtežja . V vsa ki sk upi- ni je potrebno rešit i 4 naloge, ki so ra zd eljene prib ližno na naslednj e š ti ri t ipe na log : "Razloži, kak o de luje!" , "Na piši (pod)program !" , "O piši po stopek!" in "Reš i prob lem ob upošteva nju rea lnega ča sa l" . Tokrat bo mo iz vsa ke skup ine predstavili po eno nalogo. Skupina 1; naloga 4. Sestavi fu nkcijski pod program PodNiz (t , s), ki vr ne vrednost resn ično (true) natan ko t akra t , ko la hko dobimo besedo t iz besede s t ako , da v besedi s prečrtamo nekaj zna kov. Predpostaviš lah ko , da se beseda v t a bel i konča s presledkom. Primera : klic PodN iz ( 'banana '. "Lj ubl j anč a nka ') vrne vredn ost true , klic PodNiz ( 'pero ' . ' koper') pa vrn e vrednost false . Pri reševanju up o rab ljaj na sled nji deklarac iji: const MaksDNiza= .. .; type NizT=a rray[ l.. MaksDNi za] of char; Skupina 2; naloga 4 . Nap iši program al i natančno opi ši algorit em, ki pobarva grafičn i zaslon s črnimi pikami v nak lju čnem vrstnem red u. Na voljo imaš nasl ednje parametre in pomožne pod programe: 145 Velikost zaslona je XMAX x YMAX pik, prt čem er ima leva zgornja točka koordinati (O, O). - Podp rogram Pobarvaj ( x , y ) poba rva toč ko s koordinatama (x ,y) s črn o barvo. - Logi čn a funkc ija Pobarvana(x , y ) vrne vrednost true, če je točka (x, y) že pobarvana s čr n o barvo, sicer pa vrne vrednost false. - Funkcija Random(n) vrne naključno celo število med O in n - 1. Program mora vsako točko pobarvati natanko enkrat . Pr ivzeti smeš, da na z a četku na zaslonu ni črn ih točk . Točke mora barvati enakomerno in naključno . Program naj bo hiter in naj ne porabi veliko dodatnega pomniln ika. Upoštevaj , da je tipi čna velikost zaslona 1280 x 1024 . Skupina 3; naloga 4. Sestavi podprogram, ki nariše drevo danega oklepajnega izraza tako , kot je prikazano v primerih. Oklepajni izraz je zapisan v globalni spremenijivki Izraz , ki je tipa NizT = array[1..MaksDN iza) of char; pri čemer je MaksDNiza primerna konstanta. Pred postaviš lahko, da so vhodni podatki pravilni in da se že nahajaš v grafičnem načinu. Za risanje imaš na vo- ljo podprogram Crta(xi ,yi, x2 , y2: real), ki nariše črto od točke (x1, y l ) do točke (x2 , y2) . Primeri: [[... ).[.[[.. ).)[.. ))) [[ •••J.[.[[•• ).))) [[[[.U) [U[.).)) Marko Grobelnik '-,-/'/"r L"" ŽEJNA RAČKA P rispevki iz toplote so na sp loš no zahtevnej ši ko t pr ispevk i iz m ehanike . V m ehani ki lah ko pogost o ne po sredn o op azujemo gibaj oče se t elo in g iban je majhnega tel esa o pišemo t a ko , da po vemo, ka ko se s časom sp rem inj aj o nj egove koord inate . V t oploti so ra zm er e bolj nep reg ledne in jih pogos to ne more mo t ako neposredno opazova t i. Poleg tega so v nj ej količine odvis ne od več spremenljivk. Ta ko je na pr imer tla k v posod i s plino m odvisen od prostornine in od tempera tu re . Na drugi stra ni je toplota a li termo- dinamika zelo sploš na vej a fizi ke . Al be rt Einst ein j e v Avtobiografskem o njej zapisal : "Te o rij a nared i t em močn ej š i vtis , či m prep ros t ej š e so nj ene osnovn e trd itve , či m bolj raz no vrstne st vari po vezu j e in čim širše je o bmočj e njene uporabe . Od tod gl obok vtis , ki ga je nam e na redila termo dinami ka. To je edi na fizikaina teorija s splošno vsebino, o kateri sem p repri čan , da je v okvir u , v katerem lahko upo rab imo njene osnovne pojme, nik o li ne bodo ovrg li." V ča s u zadreg z energijo je posebno pomembn o pogl avj e o t o plotnih st rojih . P resek je pred časom v nani zan ki opi sal nekatere velike to plo t ne st ro- je, na pr imer parno turbino . Zdaj pa se bo loti l m nogo m a njšega t op lotnega stroja , ž ej ne ra čke. Te i gračke ne moremo izko ris t it i za pri dob iva nje moči , la hko pa jo izkori stimo za raz mišlj anj e o to plotni h s t roj ih . Bralci Preseka jo prav go tovo poznajo , saj jo o menja učbeni k fiz ike za sed mi razred . Drobn i napravi v obl iki pti ča porno čirno prvič kljun v vo do , nato pa sama se bi prepu ščena ponavlja to gibanje . Ka že , da si j e račko prvi za mislil M .V .Su llivan , ki jo je v ZDA patentira l leta 1946 (s lika 1) . Ra čka ne m ore bit i perpetuum mobile, saj vemo, da ideje takega stroja ni mogoče u resn i č i t i . Ni mogoč ne perp etuum mobile prve vrste, ki bi od da j a l delo , pa mu ne bi do vajali ne t o plo t e ne dela , ne pe rp etuum mobile druge vrste, ki bi m u do vaja li sa m o toploto in bi oddaja l samo delo pr i vseskozi ena ki t em per a t uri . Mogoče pa je zgradit i t o plo t ni stroj , ki m u dov aj amo top loto pri višj i tempera t u ri in od njega odvajamo d elo in top lo t o pr i nižj i temp eraturi . P reden poskusimo pojasnit i de lovanje ra čke , si ogl ejmo, kako je sestavljena . Ra čko sest av ljata dve posod ici : tru p in g lava . Povez uj e j u cev , ki se g a skoraj do dn a trup a . V trupu j e oba rvana kapljevina , ki im a pri navad ne m tla ku vrel išče pri so bni tempe ratu ri oziro m a ne znatno više . Vre lišč e je odvisno od tlaka ; čim večji je tlak , tem višje je vrelišče . T rditev la hko o brn emo : iz pa rilni tlak j e odvisen od temp erat ure; čim večji j e izparilni tlak, te m višj a j e a) b) c) IZ 147 Slika 1. Risba žejne ra čke na patentni prijav i M.V.Sullivana iz leta 1946 (a), risba iz knjige J .Ferbar, F.Pl evnik , Fizika za sedmi razr ed , DZS, Ljubljana 1974, str .10 6 (b) in fotografija iz članka R.Mentzer, The drinking bird - the littIe heat engine that could, The Physics Teacher 31 (19 93) 126 (c) . Nekaj pod atkov je mogoče dobiti tu di v č l a n k u L.M.Ng, Y.S .Ng, The thermodynamics of the drinking bird toy, Physics Education 2B (1993) 320. 148 temperatura . Ugodno je , če se izparilni tlak izrazito spreminja s temperaturo (slika 2) . O bema zahtevama najbolje ustreza klorofluroogljikovodik freon 11 (CCI3F) z v r e l i š č em pri 23 ,8°(. Je brez vonja in okusa in je zelo obstojen . Na veliko so ga uporabljali v hladilnikih , vendar so uporabo op ustili . Ko uide v oz račje , na mreč v visokih plasteh uničuje plast ozona, ki nas šči ti pred ultrovijo lič no svetlobo s Sonca. Nadomestila ga bo najbrž spojina CF3CHCI2 z vrel iščem pri 28°(. (Nekdaj so v ta namen uporabijeli eter z vreli ščem pri 34 ,6°(.) Slika 2. Izparilni tlak freona in e t ra v odvisnosti od temperature oko li sobne temperature. Na vod oravno os je nanesena tem pera tura T v kelvin ih in na navpično os izpari lni tlak PS v bar ih. "Izpariini tlak pri vrel i šču je enak 1 ba r. Nag ib krivulj v v re l i šču izračunamo s C1aus ius- Clape yro novo enačbo 6. ps/6.T = (Mq;j R)Ps/T . Mq ; je kilomolska izpa rilna t op lota in R splošna plinska konstant a. Razliki te mperatur 3 K ustreza pri freonu razli ka izparilnih t lakov 120 milibara in pri et ru razl ika 100 milibara . Obratni diagram bi pokazal odvisnost vrelišča od tla ka. Preden napolnimo račko s kapljevino , iz nje izses amo zrak. Blizu sredine cevi j e nameščena vodoravna os . Težišče rač ke je pod osjo , ko j e kapljevi na v trupu . Račka je v stabilni ravnovesni legi , nagnjena nekol iko naprej . Ko se dviga kapljevina v c evi, se dviga tež i šče in se naposled dvigne nad os . Lega pos tane labiina in ra čka se sk loni naprej. " Ob tem ka pljevina izprazn i cev in se skoz i njo prelije nazaj v trup. Račka se vzravna in ig ra se ponovi . 149 Kljun, ki ga r a č ka pomoči v vodo, je izdelan iz luknjičave snovi ln v njem se nabere nekaj vode . Voda iz kljuna izhlapeva in jemlje iz okolice izpar ilno toploto . Zato ima glava ra čke malo nižjo temperaturo kot trup, ki ima temperaturo okolice. Razlika temperatur je odvisna od tega, kako vlažen je zrak ob glavi račke . (Poznamo napravo, ki ji pravimo psihrometer in ki sta jo svoj čas obravnavala tako znana fizika kot James Clerk Maxwell in Jožef Stefan . Nap rava sestoji iz dveh termometrov; eden je suh, drugi, katerega posodi co ovija mokra krpica , pa moker. Mokri termometer zaradi izhlapevanja vode kaže manj kot suhi. Na terrnornetra pihamo zrak s pihalom, ki ne spremeni njegove temperature; Temperaturna razlika je največja pri relativni vlažnosti O in j e enaka ni č pri relat ivni vlažnosti 100 %, ko je zrak nasičeno vlažen in ne more sprejeti nič več vode. Po izmerjeni razliki temperatur iz psihrometrične pregledn ice določimo relat ivno vlažnost.) Pri žejn i rački navadno ne uporabimo pihala , zatoje temperaturna razlika malo manjša, kakor jo preberemo pri dani temperaturi zraka iz psihrometrične preg lednice . P ri temperatu ri zraka 21°C doseže kljun račke okoli 18°C. Temperatura v glavi račke je sicer nekoliko višja kot v kljunu , a vseeno za stopinjo ali dve nižja kot temperatura v trupu . Zato je izparilni tlak v trupu višji kot v glavi . V trupu kapljevina izpareva, medtem ko se v glavi para utekočinja . Nad gladino kapljev ine se v t rupu pri višjem izparilnem tlaku veča masa pare in izpodriva kapljevino v cev . V glavi se pri nižjem izparilnem tlaku para utekočinja in polzi navzdol v cev . Gladina kapljevine v cevi se dviga, z njo tudi težišče in naposled se račka nagne naprej . Kapljevina se vrne v trup . Medtem kljun znova zajame malo vode in igra se ponovi in se ponavlja, dokler račka ne porabi vode v kozarcu . Z žejno račko je mogoče narediti zanimive poskuse. Le pihamo nanjo zrak s pihalom, ki zraku ne spremeni temperature, postane časovni razmik med dvema priklonoma račke krajši. Kot smo omenili, se zaradi zračnega toka zniža temperatura mokrega termometra, torej kljuna račke. Zaradi večje temperaturne razlike se poveča razlika izpa rilnih tlakov in se kapljevinski stolpec v cevi dviga hitreje . Navadno račka dela, če glavo preko kljuna hladimo z izhlapevanjem vode. Enak učinek dosežemo tako , da trup seg revamo. Pobarvamo ga črno, postavimo račko na sonce in ji glavo pokrijemo z belim klobukom . Priklona račke si sledita v še krajšem časovnem razmiku . Trup se zaradi absorbirane sončne svetlobe segreje za nekaj stopinj nad tempera- turo okolice, medtem ko ima glava domala temperaturo okolice. Poskusi z različnimi račkami ne dajo povsem enakih rezultatov . 150 Opisani poskus z račko , ki deluje, čeprav ne pije - torej ni "žejna" , je posebno poučen, ker pokaže, da je za toplotni stroj pomembna temperaturna razlika . Račka deluje kot toplotni stroj , če ima trup temperaturo okolice in glava , zaradi hlajenja z izhlapevanjem vode , nižjo temperaturo . Deluje pa tudi , če ima glava temperaturo okolice in trup , zaradi segrevanja s sončno svetlobo, višjo temperaturo . Robert Pohi , za katerega je mogoče reči , da je prvi gradil predavanje iz uvodnega tečaja fizike izrazito na demonstracijskih poskusih , je v svojem učbeniku opisal še bolj poučen poskus. Stroj ček na vroči zrak (v Preseku je opisal stroje na vroči zrak R. Jerman v 1. številki 4. letnika) je deloval kot toplotni stroj , če je bil njegov spodnji del v vrelem glicerinu pri temperaturi 220 0 e in njegov zgornji del v vodi s temperaturo 20°C. Deloval pa je tudi, če je bil njegov spodnji del potopljen v tekoči zrak pri temperaturi -1800e in njegov zgornji del pri temperaturi 20°C. Strojček se je v drugem primeru vrtel približno enako hitro kot v prvem . Izkoristek je namreč približno sorazmeren z razliko temperatur, ki je bila v obeh primerih enaka : (220 - 20)Oe = 2000e in [20 - (-180we = 200°C. Tak poskus s strojčkorn na segreti zrak sem pokazal pred leti pri pre- davanju iz fizike v prvem letn iku . Strojček je deloval, če je spodnj i del lizal plamen ali če je bil spodnji del potopljen v tekoči zrak. Toda po poskusu strojček ni več deloval. Kot kaže , so bila tesnila slaba in so se pri tempe- raturi tekočega zraka pokvarila . Strojček so popravili , vendar ga odtlej ne poskušamo več potopiti v tekoči zrak, da se ne bi zopet pokvaril. Poskuse je mogoče spremljati z ra čuni. Le se zadovoljimo z ocenami , lahko zajamemo vse ra čke . Običajna ra čka pije vsako minuto enkrat ali dvakrat. To pomeni , da traja en mah okoli pol minute do minute . Med tem se dvigne v cevi s presekom 1 cm 2 gladina za nekaj centimet rov . Račka ne odda koristnega dela , opravi pa delo proti trenju in uporu . Oddano delo ob enem mahu lahko ocenimo s tem , da pomnožimo težo kapljevinskega stolpca s potjo težišča . Težo dobimo tako , da maso pomnožimo s težnim pospeškom , maso tako, da gostoto kapljevine ( 1,47.103 kgjm3 ) pomnožimo s prostornino (presek okoli 1 cm2 krat višina stolpca okoli 2 cm) . To pomnožimo s potjo težišča 1 cm in dobimo nekaj desettisočin joula na en mah . Kako učinkovita je račka kot toplotni stroj, ugotovimo z dovedeno toplo- to . Te ne poznamo , pač pa lahko ocenimo odvedeno toploto preko mase vode , ki izhlapi v kljunu, to je z maso vode , ki jo "spije" ra čka iz kozarca . Pri več sto mahih spije en do dva kubična centimetra vode , to je en do dva gra- ma . Izparilna toplota vode meri 2,6 milijonov joulov za kilogram . Za gram porabimo tisočkrat manj in za en mah še nekaj stokrat manj , torej vsega 151 nekaj joulov. Delo A , ki ga stroj odda , dobimo kot razliko dovedene Qdov in odvedene toplote Qo d v - A = Qd ov - Qo d v - V našem primeru je delo tako majhno, da lahko dovedeno toploto približno izenačimo z odved eno. Po tem ocen imo izkorist ek račke z A TJ = -Q ~ 10-4 dov Na drugi strani izračunamo izkoristek idealnega top lotnega stroja z ena čbo : b..T 2 TJid = - ~ lO- T Pri tem je T vlsJa t emperatu ra v top lotnem stroju in b.. Trazlika visje in nižje temperatu re. Temperaturo moramo meriti v absolutni lest vici, to je od absolutne ničle - 273°( v kelvinih. Razliko temperatu r smo oce nili s 3 K in za sobno temperaturo postavili 300 K. Ocenjeni izkoristek ra čke je še kakih stok rat slabš i od izkoristka idealnega toplotnega stroja, ki bi delal med isti ma temperaturama . Stroj dela period ičn o, pravimo , da ponavlja krožno spremembo, ki jo lahko ponazorimo v diagramu pV . Pri tem zasledujemo v stroju izbrano maso delovne snovi . Oglejmo si diagram za parni stroj , ki ga imenujejo po 5kotu Macquornu Rankineu . Voda v parnem kotlu izpareva pri visoki temperaturi in konstantnem večjem tlaku . Nastala para ima večjo prostornino (12) . Para se v valju razpne, ko odriva bat , ne da bi oddala ali prejela to ploto (23) in se ohladi . Para se pri nižji temperaturi v kondenzatorju pri konstantnem nižjem tlaku utekočini . Nasta la voda ima manjšo prostornino (34) . Nazadnje črpalka stisne vodo v kotel (41) in krožna sprememba se lahko ponovi (slika 3) . Slika 3 . Diagram pV za pa rni stroj - Rank ineova kro žna sprememba. Za- sledujemo d olo čeno maso vode na po t i skozi parni stroj . Na podobe n na č i n poskušamo zasledovati del kap ljevin e v žejni rački : ma sa tega dela in tempe- ra t urna razlika ter z njo poveza na ra- zlika izparilnih tlak ov so veliko manjši kot pri pa rne m st roju . Poleg tega do- bimo tako krožno spremembo ob iz- datni idealizaciji . Vec:' podatkov najde bralec v prispevku P.E.Richmond , The thermodynamics of a "drinking" duck v Ent ropy in the School 1 (ur . G.Marx) , Roland Eotv os Physical Society, Bu- dapest 1983, str. 215. p 4 3' 3 v 152 V žej ni rački so razmere mnogo manj pregledne . Dogodki niso časovno tako do bro ločeni in del i delovne snovi se mešajo drug z drugim . Vseeno poskusimo krožno spremembo do skrajnosti idealizirati , da bi jo primerjali s krožno spremembo pri parnem stroju . Kapljevina v trupu pri višji temperaturi in večjem tlaku sprejema toploto iz okolice in izpareva pri konstantnem tlaku , potem ko se je račka zravnala. Nastala para ima večjo prostornino (12) . Ob tem potiska para preostalo kapljevino v cev, dokler se račka ne prevesi . Tedaj se nastala para kot topel mehur dvigne v glavo , kjer je temperatura nižja in je manjši tlak . Pri tem ne moremo reči, da para ni sprejela nič toplote , in se prostornina le malo spremeni (23'). (Ustrezna črta je bolj strma kot pri parnem stroju , slika 3 .) V glavi pri konstantnem nižjem tla ku se para utekočinja in oddaja izparilno toploto preko glave . Del te toplote se porabi za izhlapevanje vode v kljunu . Nasta la kapljevina ima manjšo prostornino (3'4). Ko se račka prevesi, stisne teža kap ljevino v trup k višji temperaturi in večjemu tlaku (41) . Kotel pa rneg a stroja ustreza trupu račke in kondenzor glavi. De lovna snov je majhen del kapljevine, ki izpari in se utekočin i (pri tem ni treba , da bi se utekočinil isti del) . Del kapljevine, ki ne izpari, in del pare, ki se ne utekočini, ne sodelujeta pri krožni spremembi . Batu v valju parnega stroja ustreza kapljevinski stolpec v cevi , vlogo črpalke pa opravi teža . Upoštevati velja , da je temp eratura v notranjosti račkine glave nekaj višja od temperature vlažnega kljuna in temperatura trupa malo nižja od temperature okolice . Od vseh ugotovitev , do katerih nam je pripomogla žejna račka , je naj- pomembnejša t a , da ne obstaja toplotni stroj , ki ne bi oddajal toplote pri nižji temperaturi . Za t o stroj odda kot delo samo razliko med toploto, ko mu jo dovedemo pri višji temperaturi , in toploto , ki jo odvedemo od njega pri nižji temperaturi . Iz koris t ek t opl otnih strojev je veliko manjši kot 1, medtem ko se izkoristek mehaničnih strojev , na primer vo dn e turb in e, približa 1. S te m je povezanih nekaj bridkih resnic . Kot delo lahko v t o plot nih strojih izkoris- timo samo majhen del toplote , ki jo dobimo s sežigom goriv , redko kaj več kot dobro t retj ino . Poleg tega s to ploto , ki jo m oramo pri nižji te m pera turi odvajati . okolico toplotno onesnažujemo . Ja nez S trn ad PREMEŠČANJE ŠTEVK - Rešitev s str. 125 10001 - 1002 = 1 Dragoljub M. Milo ševič. - prev. Jn prtr. Barbara Japelj REŠiTVE NALOG S PREDTEKMOVANJA IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE - s strani 111 Skupina A 1. Najprej zračunamo razdaljo SI od op azovalca: SI = Co ts = Cz tz , tI sI = 1 1 = 1520 m . Cz Co Potem zračunamo razda ljo S2 od st a dio na : S2 So SI ( so SI)t2 = - + - - - ===> s2 = t2 - - + - Cz = 1030 m . Cz Co Co Co Co S posku šanjern ugotovimo, da za zahod velja sI = s6 + s? , in je torej zahod iskana stran neb a . Relativna napa ka je za razda lj o 51 enaka 1, 1 .10- 6 , za razdaljo 52 pa 4,4 . 10 - 7 . 2. Rezultanta sil na avto in rez u lt an t a sil na klado je enaka ni č . Postavimo x os koordinatnega sistema vzpore d no z nakl onsko ploskvijo klanca in y os pravokotno na na klonsko ploskev . Potem la hko zap išemo za komponente sil , ki delujejo na avto x : Ft 1 + F sinf3 = F9 1 sin a. y : FPi + F cos f3 = F91 cos o in za komponente s il, ki delujejo na klado x : Ft2 = F9 2 sin a. + F sinf3 y : FP2 = F9 2 cos a. + F cosf3 . V zgornjih enačbah je F si la , s katero kolo deluje na klado oziroma klada na kolo , Ft = Fpk t , a. = 30° , f3 = 45 ° . Iz enačb za avto izračunamo neznano silo F: F - F sin a. - k t 1 cos a. - O N- 91 - 95 sinf3 - k t 1 cosf3 in potem iz ena čb za klado isk a ni koeficient trenja F9 2 sin a. + F s in f3k t2 = = 0,9.F9 2 cos o + F cos f3 154 3. Vsaka navprcna vrv nosi četrtin o t eže. Za poše vno vrv velja F2 sin a = = Fg/4 => F2 = 500 0 N, za vodoravno pa FI = F2 cosa = 4300 N. Ker je F2 > FI, sledi, da mora jeklenica zdržati silo 5000 N. Navor M = = rF2 cos a = 8600 Nm . 4. Iz podatkov za potopljena dela palic izračunamo gostoti in masi borove in mahagonijeve palice, iz podanih dime nzij pa volumen posamezne palice ee = 500 kg/m3 , me = 0, 3 kg in eM = 670 kg/m3 , mM = 0,4 kg, V = 600 cm3 . Od dveh kombinacij sestavljanja palic (100 cm X 4 cm X X 3 cm, 100 cm X 2 cm X 6 cm) je primerna le prva , ker drugega sestava ne moremo vtakniti v cev zunanjega premera 2r2 = 6 cm. Po Pitagorovem izreku izračunamo notranji premer cevi in dobimo rezultat 2rI = 5 cm . Izračunamo volumen železnega dela cevi Vo = 7r(r:} - rnl = 43 cm3 (1 = 5 cm) in maso cevi mFe = 0,34 kg. Za krajišče , ki moli iz vode , na koncu dobimo : Skupina B 1. Potem, ko Tarzan v najnižji točk i svoje poti ujame Čito, imata hitrost v, ki jo izra čunamo iz izreka o ohran itvi gibalne količine : MVI - m v; = (M + m)v , kjer je VI hitrost Tarzana v najnižji točki njegove poti ln Vx vodoravna komponenta hitrosti Čite v tej točki. Hitrost VI = J29F7 ' kjer je h = 5 m, izračunamo iz izreka o ohranitvi energije . Hitrost Vx izračunamo iz V x = x / t , kjer je t = J2hI/ 9 in hI = 2 m višina od najnižje točke do ciljne veje, x pa je najmanjša razdalja med liano, ko je Tarzan v najnižji točki in cil'no točko . To razdaljo izračunamo po Pitagorovem izreku x = 12 - (1- hI )2 Tako dobi mo hitrost Vx = Jg(l- hI/2) in ko n čno višino H = ~ v2 / g = 2 m, ki j o dosežeta skupaj. Tarzan in L it a torej dosežeta vejo . 2. Da pride v orbito , mora biti po Newtonovem zakonu za kroženje teža enaka cent ripet aini sili: ~V-;--r- = 5,2 mis. Zemljan lahko s tekom pride v asteroidovo orbito. 155 3. II. Newtonov zakon zapišemo posebej za rudarja in posebej za dvig alo : Ma =Fg M - F - Fv , ma =Fg m + F - Fv , kjer je M masa rudarja , m masa dvigala, F je sila podlage, Fv sila vrvi. Rešitvi sistema enačb sta: 2Fv 2 a = 9 - M = -1,5 mis,m+ Dvigalo se dviga . 4. a) Iz izreka o ohranitvi energije sledi: Wpot = Wpr F = (g - a)(M - m) = 170 N 2 . kh'2 (2h + h')gm = -2-' kjer je h' raztezek vrvi, h = 20 m . Rešimo kvadratno enačbo h ' 2 2h'gm 4hgm ---- - -=0k k . Fizikalno smiselna rešitev je h' = 10 m . b) Največji pojemek je takrat, ko je vrv najbolj napeta . Iz II. New tonovega zakona dobimo F - Fg = ma k h' - mg 2 a = = 90 mis . m c) Vrv mora zdržati s ilo F = kh' = 10 kN . Skupina C 1. Ko diodi ne prevajata , lahko vezje nadomestimo s t remi zaporedno veza- nimi upori P = U2/(3R) = 3 W . Ko diod i prevajata, vezje nadomestimo s tremi vzporedno vezan imi upori P = 3U2 I R = 29 W. Povprečna moč je 16 W. 2. Pri rešitvi problema moramo upoštevati magnetno silo na zgornjo vodo- ravno stranico, težo na zgornjo vo do ravno stranico in na dve st ra nici, vzpored- ni z naklonsko ploskvijo . Dr ug e sile niso pomemb ne pri rešitvi pro blema, če postavimo os za računanje navorov na spodnjo vodorav no stran ico okvirja. Zapišimo enačbo za ravnovesj e navorov v tren utku, ko se zač n e o kvir pre- vračati. Kasneje je navor magnetne sile večji, teže pa manjši . Ra vnov esje 156 na vorov: mam 1 B .2- g - cos ep+ -ga cosep = a a srn o . 424 Iz zgornje en a č b e izračunamo najmanjši t ok , ki m o ra steči po okvirj u: mg 1 = = 1 ,5 A . 2aBtanep 3. a) El ektričn a o d boj na sil a , teža in s ila vrvi ce so v ravnovesju , ko velja : e 2 mgtanep = 2 ' 471".s0 r r - d tanep <:«: če je 1 dožina vrvic , d raz m ik med njima in r razmi k med s rediščema krogel na ko nc u . Od t od do bimo za nab oj na eni krogli e = 1 ,27.10 - 8 As , ki pa je la hko pozi t iven a li negativen . b) Ker je bil na za čet ku nab oj na krog lah r a zl i č no pred z n a č e n , s t a se morali krogli pr i po skusu sta knit i. Za začetn i na boj na d rug i krog li ve lja e2 = 2 e - - e l , torej e2 = - 0 ,26 . 10 - 8 As , če sta končn a naboj a poziti vna , in e2 = - - 5 ,34 .10-8 As , če sta negativ na . Venda r pri v lač n a sila v prvem primer u ne zadošča , da bi se kroglici stakn ili (zgornj i obrazec za r = 2ro = 6 cm) , zato j e prava re šitev druga . 4 . Iz si m etrij e se vid i, da lahko ograjo ob ravn av a m o kot vzp o red no veza ne uporn ike: dv e žici do lžine 1in upora Rl = ( li S = 28 Q ter 10 žic dol žine 1v'2 in upor a R2 = Rl v'2 = 40 Q . Iz ena č b e ~ = ~~ + ~ do bimo vred no st nadomest nega upor a R = 3 ,1 Q in iz O hmovega zako na lok 1 = 1 ,9 A . Skupina O 1. Naprava je konden zator s kapacit et o C = .soSIl . S pre minjanj e na pe tosti je posledica spreminjanja razdalje med ploščama . Velja : k(lo - 1) = pS v 2 , kjer je pS v 2 sila cu rka zraka . Od tod dobimo 1= '0- pSv 2 k . Napetosti izračunamo iz ena čb e U = ele. Za območje hitros ti od v = 1 mis do 10 mis s korakom po 1 mis so vrednosti (v mV) : 223, 219,213,203 , 191 , 176, 159, 13 8, 116 , 90. Napetost pr i hitrosti 10 mis je t o rej 90 mV. 2 . Obstajajo tri meje območij na tleh , ki so različno osvetljena . Meje i z ra ču n a mo iz lomnega zakona in dimenzij valja in sobe. 157 a) Prvo območje - svetlobni snop , ki se lomi na spodnji osnovni ploskvi. Polm er določa žarek, ki zadene spodnjo osnovno ploskev valja na robu . Po raču na nj u dob imo rl = 1,4 h. b) Drugo območje - svetlobni snop , ki se lomi na stranski ploskvi (plašču). Polmer določa žarek, ki vpada na stransko ploskev valja pod mejnim kotom totalnega odboja . Polmer tega območja je enak polmeru valja oziroma r2 = =h/2. c) Tretje območje - svetlobni snop , ki se enkrat totalno odbije na stranski ploskvi in se potem lomi na osnovni ploskvi . Polmer določa žarek , ki se totalno odbije tik nad robom spodnje osnovne ploskve in potem lomi na osnovni ploskvi. Po računanju dobimo r3 = 0,4 h. Preostali svetlobni snop ostane ujet v valju , ker se totalno odbija na stranski in na spodnj i osnovni ploskvi. 3. Ko žaba odskoči oziroma doskoči , je rezultanta zunanjih sil (vzgon) so- razmerna z odmikom deske v vertikalni smeri F = 'Ks, pri čemer je K za obe deski ena k. Frekvenca nihanja je v = ~ (i<. Za prvo desko je m = ml, 27rV~ za drugo desko je m = ml + m 2, kjer je ml masa deske in m2 masa žabe. R ie frekvenc i VI ~2azrnerj Je potem : - = 1 + - = 1,05 . v 2 ml 4. a) I . - Uj _ a26.Bsin ep - A t >: R - R6.t - 147 , R = 4ae =6 8 "10-4 nS ' . b) Sila na zgornjo stranico kaže v navpični smeri proč od klanca, na spodnjo stranico pa v nasprotni smeri. Sili na stranski stranici kažeta iz okvira ven . Sile linearno naraščajo , povprečna sila na zgornjo stranico je Fm = iBmaxalj = = 1,47 N. c) Okvir se prevrne okoli spodnje stranice. Sunek navora , ki deluje na okvir , je f Md t = aFm cos tp 6. t = 0,00127 Nms . Navor teže v času sunka lahko zanemarimo, prav tako inducirano napetost zaradi gibanja prečke in inducirano polje zaradi toka . Okvir se prične vrteti s kotno hitrostjo w = f Mdt/ J = 8,4 s-l , J = (m/4)a2 + 2Hm/4)a2 = = 5ma2/12 = 1,5" 10-4 kgm2, m = 4aSp = 35 ,6 g. Okvir dobi kineti čno energijo iJw2 = 0,0054 J, ki je večja od spremembe potencialne energije, ko se okvir postavi pokonci: mgia(l- costp) = 0,0024 J. Ciril Dominko. Jure Bajc I~Olil[E POROČiLO S 35. MEDNARODNE MATEMATiČNE OLIMPIADE Se zavoj med bloki in prista li bomo na letališču v Hong Kongu. Pogled na higrometer v letal iški stavbi nas prep r i č a , da nas (vsaj zunaj) ne bo zeblo. Skozi tB O se odpravimo novemu p r e b i v a l i š ču naproti . Po nekaj dneh privaja- nja na nove časovno-klimatske razmere se začne zares : predstavnik Slovenije v mednaro dni te kmovalni komisiji Darjo FELDA in opazovalec Marko SLAPAR sodeluj eta pri izboru in pripravi nalog , tekm ovalci Jernej BARBIL, Iztok KAVKLER, Blaž MAVLIL, Primož MORAVEC in Helena ~MIGOC ter vodja ekipe Matjaž ŽELJKO pa se preselimo v poči t n i ško naselje , kjer si v pristnem stiku z naravo ( mravlje. ščurki) krajšamo čas do tekmovanja z različnimi športnimi aktiv nost mi. V dobro oh lajenih prostorih univerze so se Il. in 12. julija tekmovalci og reli ob šestih na logah - po tr i vsak tekm ovalni dan. Za pokušino objavlj amo dve nalogi: 1. Naj bo t rikot nik A B C enakokrak s krakoma AB in AC in naj velja (i) M je središče osnovnice BC, O pa taka točka na premici skozi A in M , da je O B pravokotna na AB; (ii) O je poljubna notranja točka daljice BC; (iii) točka E leži na premici skozi A in B, F pa na premici skozi A in C, tako da so E, O in F med seboj raz lične in kolinearn e. Dokaži, da st a premici skozi O, O in E, F med seboj pravokotni natanko te daj , koje IOEI = IOFI· 2. Določi vse urejene pare (m, n) pozitivnih celih števi l, za katere je izraz n3 + 1 mn - 1 celo število. Dnevi do razglasitve rezultatov so minili hit ro: vsakodnevni ogledi in k u l i na r n i čn e posebnosti lokalne kuhinje so naredili na t ekmovalce nepozab en vtis . V ča s u , ko so si tekmovalci ogledovali planetarij , kjer so lahko videli posnet ek trk a kometa z Jupitrom , j e spremljeva lcem uspel manjši alpinisti čni podvig: v ča su opold anske pripeke smo osvojili najvišj i vrh Macaa - portu- gals ke kolonije , ki bo pri k lj uč ena Kitajski leta 1999 . 159 Na letošnji matematični olimpiadi je bila najuspešnejša ekipa ZDA, ki je osvojila vse možne točke (in seveda šest zlatih odličij ) , slovenska ekipa pa se je vrnila domov s tremi pohvalami . Prejeli so jih : Je rnej BARBIL. Iztok KAVKLER, in Primož MORAVEC. Po razglasitvi rezultatov nas je čakalo še zadnje dejanje 35. MMO: slavnostna večerj a (v kitajskem slogu) , kjer se je v kruti praksi izkazala za resnično naslednja t rditev: Dve tangenti (ber i: palčki) ne določa ta natanko lege krogle (beri: okrogle drevesne gobe) v prostoru. Olimpiada v Hong Kongu je bila za mnoge udeležence enkratno doživetje, še posebej zato, ker bo 1. ju lija 1997 Hong Kong postal posebno administra- tivno območje LR Kitajske. Matja ž Leljko SEDEM ŽEBljEV V septembru 1994 sem obiskal Univerzo v Aucklandu v Novi Zelandiji. (Mi- mogrede: Ali veste, katero evropsko mesto leži na nasprotni strani zeme- ljske oble?) Moj gostitelj, dr. David Gauld, profesor matematike in obenem prorektor za znanstveno-raziskovalno delo, mi je nekega večera za šalo zastavil naslednjo zanim ivo nalogo: Vzemimo sedem enak ih žebljev. Enega zabijmo v trdo podlago, npr. v leseno deščico, tako da stoji pokonci, nato pa na njegovo glavico postavimo preostalih šest žeblje v. Pri tem se nobeden izm ed njih ne sme dotikati podlage: t.j. deščice, v katero smo pritrdili prvi ž ebelj. Postavitev mora biti dokaj stabilna, tako da lahko npr. deščico prenašamo po sobi, ne da bi se postavitev takoj podrla. Seveda ne smemo uporabljati nobenih lepil, vrvic, ipd., pa tudi žebljev samih ni dovoljeno s silo preoblikovati (npr . s krivljenjem, ipd.) . Sliši se neverjetno, kajne? Pa vendar je izvedljivo! V.zemite si nekaj časa za premislek in poskusite! Dušan 8epovš 160 KRIŽANKA OB JUBILEJU SLOVENSKEGA MATEMATIKA TELESN O UDEJS- TVOVANJE IN TEK· MOVANJA KNJIGA DOHOD- KOV FEV· DALCA OD TLACANOV SOTOCNI· CA MISISIPIJA OBlALO- VANJE EGIPCAN. SVETI BIK AVTOR JEZIKOVNA RECICAV IGRALEC IVO SRBSI MARK O POSE- KOCEVJU GOGALA FRANGES MES TO BOKALIC BNOST SAV NAJDALJS, PRIT OK OBA DELO MATEMA- TIKA NA SLIKI TIROlS M REKA IGRALEC N\ATO H ZGODNJI DEL DNEVA JO RDAN- SKA LUKA NOVINAR liTNIK IT. PISATELJ (UMBERTO) STAROEVR LJUDSTVO IVO DANEU lELEZ! MESTO IME DVEH DVORCEV V KORC VER SAJSKEM PARKU SKE~ PROJEK- CIJA OD ZGORAJ RAVNA· TELJSTVO ZGODOVIN. POKRAJINA V SEV. FRAN CIJ I EPIRSKI FR. KNJll. KRALJ (BORIS) BERILIJ POTEZA S PISALOM DELO MATEMA· TIKA NA SLIKI VEZNIK ANG . FILM . RUISER (DAVID) OS . ZAIM EK NEMSKI VELETOK LOJZ E KRAKAR PUSCI KANADSKI PEVEC (PAUL) ENOTA ZA ELEKTR. NAPETOST ZIMSKI SPORTNI REKVIZIT OBCUDo- VANEC MLADIH 1--1---+-----+-------+-----1------4-+---4----+---11 j rt i' 161 VEČJI KRAJ MARKSI$. MANJŠi JUBI- ij1 + x kubiramo in dobimo naslednjo neenakost: x x 2 x3 1 +3· - +3 · - + -> 1 +x3 9 27 . Na obeh straneh odštejemo 1 + x in pomnožimo s 27. Dobimo 9x 2 + x 3 > O oziroma x 2(x + 9) > O. Zadnja neena kost pa je očitno izpolnjena le, če je bod isi -9 < x < O bodis i x > O. 2. Označimo n! = 1 ·2· · · ( n - 1) · n in naj D(a , b) pomen i n ajv ečj i skupn i delitelj števil a in b. Zarad i (n + 1) ! + 1 = (n + l )(n! + 1) - nje D((n + + 1) ! + 1, n! + 1) = D(n! + 1, n), zarad i n! + 1 = (n - 1)! . n + 1 pa je D(n ! + 1, n) = 1. Torej je D((n + 1) ! + 1, n! + 1) = 1 in sta si št evili tuji . 3. Ploščina osenčenega dela s slike v nalogi je enaka razliki ploščin us- treznih polkrogov , zato je vseeno , če manjšo polkrožnico prestavimo tako , da imata obe skupno središče . S slike na desni razberemo, da je iskana p loš čina enaka ~(1I"R2 _u2) = ~1I"(R2 - r2) = ~11" . 122 = 7211". 4. Ker je vsaka vrstica sode dolžine , je za vsak n = 1, .. . , 1992 št evilo domin , ki ležijo v n-ti in (n+1)-vi vrstici, sodo. Torej je pri vsakem prekrivanju število vseh navpično ležeč i h domin sodo . Ker je vseh domin liho mnogo, sledi, da je tud i vodoravno l ež e či h liho mnogo in zato za menjave ni moč narediti . Drugi letnik 1. l.e na obeh straneh enačbe prištejemo 1. lah ko zapiše mo (x + l)(y + + l)(z + 1) = 1001. Ker so x , y in z naravna štev ila, so vsi trije fakt orji na levi večji od 1. Zaradi 1001 = 7 · 11 · 13 je potem ena od možnosti x + 1 = 7, y + 1 = 11 in z+ l = 13, ki da rešitev (6, 10 , 12) . Imamo pa še pet možnosti: (6,12 ,10) , (10 , 6 , 12), (10,12,6) , (12,6 , 10) in (12,10 ,6). I 175 B Q P c xA 2 . Označimo ra zpolovi šči stranic B C in A C z O oziroma E , nož išče višine na A B sP, prese či šče višine na A B in teži ščn ice na BC s Q t er prese či šče daljice O E in višine na A B z R (glej sliko). Dolžino IAP I ozn a čimo z x . Trikot nika A PQ in o RQ st a si po- dobna , ker sta pravo kotna in imata skladna kota pri Q. Sta pa tud i sklad na , saj je st ranica A Q po predpost avki enako dolga kot Qo . Torej je JAPI = lO RI = x . Ker sta t rikotn ika A PC in ERC po dobna in je IAEI = ~ IACI , j e IR EI = ~ I A PI = ~ x . Iz enakosti i = lo EI = loRI + IR E I = ixpotem sledi x = IAPI = 1. Ker je t rikotn ik APC pravokoten in je dolžina katete A P polovica hipotenuze AC, je to polovica en a kostra n ičn ega t rikotni ka . Tor ej j e kot ~ ,je sin(o: + f3) + cos(o: + f3) cos(o: - f3) < sin(o: + f3) < 1 , saj sta kosinusa , ki nastopata v produktu, različnega predznaka (trikotnik namreč ni topokoten) . Za o: + f3 ~ ~ pa imamo 1 = sin(o: + f3) + cos(o: + f3) cos( o: - f3) 2: 2: sin 2 ( o: + f3) + cos(o: + f3) cos(o: - f3) 2: 2: sin 2(0: + f3) + cos 2(0: + f3) = 1. 177 (Upoštevali smo, da za cx + f3 ~ f velja cos(cx - (3) 2: cos(cx + (3 ).) V gornji verigi neenakost i morajo deja nsko veljati enakost i, zato je med drugi m sin2( cx + (3) = sinecx + (3 ). Ker sinecx + (3 ) ne mo re biti O, je sinecx + (3) = 1 in cx + f3 = f = T Četrt i let nik 1. O čitno je x > O, zaradi drugega korena pa še x 2: 1. E načbo preoblikuj e- mo v (x -JI- ~)2 =x- ~ in nada lje Torej x 2 - x + 1 - 2Jx2 - x = O. Zamenjamo y = x2 - x in dobimo ena č bo y - 2JY + 1 = O, ki ima edino rešit ev y = 1. Edina rešitev ena čb e 1 = x 2 - x, ki z a došča pogoju x ::::: 1, pa j e x = ~ (1 + J5). 2. Ker je al lih, nob en čl e n zap oredja ni deljiv z 2. Naj bo p praštevilo, večje od 2. Č e je a n == O (mod p) za nek nE IN, je an+1 == -2 == p-2 (mod p) in an+2 == (p - 2)2 - 2 == p2 - 2p + 2 == 2 (mod p) ter an+3 == 22 - 2 == 2 (m od p), ~ato t udi an+ k == 2 (mod p) za vsak k E IN , k > 1. To pomeni: če p deli a n za nek n E IN , bo vsak a m tuj s p za vsak m > n. Res je kvečj emu en čl e n zaporedja deljiv s p . 3. Za x = y = O dobimo f(O) + f (O) + f (O) = f2 (~l6r(O ) + 1 oziroma f (O ) = 1. Ce vza memo y = O in upoštevamo f(O) = 1, dobimo: f(x) + + f(O) + f (O) = f2 ( ~~~r(O) + 1 in f2(x) + 2f( x) = f 2(x ) + 1 + f( x) ter f( x) = 1. To je edini možen kandidat za f . Preverimo lahko , da je f( x) = 1 res rešit ev. Ločimo Ji o B il 4. Oz na č i mo premico s p , točk i z A in B in simet ralo dalj ice A B z s. št iri primere . Ce daljica A B seka premico p , taka točka ne obstaja . Izberimo po- ljubno točko O na simetral i s . Ce leži O na prem ici p , je d(O , p) = = O < deO , A). Ce pa O ne leži na p, lahko zaradi simetrije pred- postavimo , da daljica OB seka p . Potem pa je deO , p) < deO. B) . 178 N 1" \ ~ B N l' A ' :', -, B I ". ' \ : p :. : ' ,' 'Oj ~ \ 1 \ . "'. : I , "0 "'::'.. / "..:,-. -' :~ / -. Le je daljica AB vzporedna premici p , obst aj a natanko ena rešitev . Naj simetrala s seka p v točk i N . Izberimo poljubno točko O na s (O ~ p) in n a črtajmo krožnico s sre di ščem O in polmerom ION I. Potem pre- mica skozi A in N seka to krožn ico v dveh točka h : N in P. Iskano točko 01 dobimo kot p rese či š če premice skozi A, vzpo redne k PO , s simetr alo s . Pravilnost konstru kcije sledi iz podob nosti l:::,.NOP ~ l:::,.N01A. Le daljica A B ni pravokotna I I in ni vzporedna premic i p , obsta- : jata dve rešitv i. Naj simetra la s I \ seka p v točki N. Izberimo po- " ljubno točko O na s (O ~ p) in " na črtajmo krožnico s središčem 0 , -",""",-'-) -<-,,," '-" '",-".;..' '~~::..-__..:....:..;;...""'----''---'.........;=~ ki se dotika premice p . Potem pre- mica skozi A in N seka to krožn ico v dveh točkah : P in PI. Iskani to čki 0 1 in 0 2 dobimo kot preseč i š či prem ic skozi A, vzporednih k PO in pIO, s simetralo s . Pravilnost konstrukcije sledi iz podobnosti l:::,.NOP ~ l:::,.N01A in l:::,.NOP' ~ l:::,.N02A. // -- ', , --- ' / " / " Tud i v primeru , ko je daljica AB pra- "O " Oj " k . bstai d v· · 2' B I \ J\1 \vo otna na prerruco p , o stajata ve rešitvr . : I Naj bo Mrazpolovišče daljice AB in naj pre- '- s \ I " mica skozi AB seka p v točki N . Iskani točki ' , A/, ', /' 01 in 0 2 dobimo kot preseči šči krožn ice s središčem v A in polmerom IM NI s simetralo l' N s . Pravi lnost konstrukcije sledi iz d(Ol , p) = IMNI = cl(Ol, A). Matja ž teljko TRGI IN ULICE -Rešitev s str. 111 Vsak trg je povezan s štirimi drug imi trgi , kar pomeni, da je trgov najmanj 5. Ker je vsak trg povezan z ostalimi trgi, jih ni več kot 5. Sledi, da ima ožji center mesta 5 trgov, število ulic pa je (5 .4) : 2, to je 10. Dragoljub M. Miloševic - prev . in prir. Barbara Japelj DALJNOSEŽNE POSLEDICE PREPROSTE ENAČBE - Rešitev s str. 76 Seveda štejemo, da ima števi lo obliko a4 + 4b 4 , če v vsoti oba člena res nastopata , to je a i- 0 , bi-O. Očitno se lahko tako v nalogi a) kot v b) omejimo na a, bE IN . a) V enačbo A2 + 8 2 = (A + 8 )2 - 2A8 vstavimo A = a2 , 8 = 2b2 . Dobimo in to je praštevilo le, če je manjši faktor enak 1. Torej od koder sledi edina možnost a = 1, b = 1 in a4 + 4b4 = 5. b) Naj za neko praštevilo p in naravna števila a , b, n; n 2: 2, velja enačba a4 + 4b4 = p" , Kratek premislek izlo či p = 2. Za ostale p lahko predpostavi mo , da ne a ne b nista deljiva s p. Le bi bil s p deljiv eden od njiju, bi bil tudi drugi, kar za n :s 3 ni možno . Za večje n pa bi ena čbo krajšati s p4 in dobili ena čbo istega tipa . S ponavljanjem postopka dobimo a in b, ki sta tuja p. Iz razcepa sledi (če izločimo primer iz točke a), ko je drugi oklepaj enak 1): Le odštejemo drugo enačbo od prve, sledi 4ab = p'" - pn-m , torej je desna stran deljiva s p . Tedaj pa je ali a ali b deljiv s p , saj je p praštevilo, ra zlično od 2. Prišli smo v protislovje z začetno predpostavko , da a in b nista deljiva s p . c) 258 + 1 = 12 + 4 · (214)4 , torej po točki a) ni praštevilo. Velja 258 + 1 = (2 .228 + 2 . 214 + 1)(2 .228 - 2 .214 + 1) . Identiteto 4b4 + 1 = (2b2 + 2b + 1)(2b2 - 2b + 1) je poznal že Euler. Jurij Kovič NALOGE Z DRŽAVNEGA TEKMOVANJA IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE t,o v Skupina A 1. Slika kaž e hitrost v odvisnosti od časa za dve točkasti telesi, ki se pre- mo gibljeta iz istega začetnega po- ložaja . Las tI =5 s , čas t 2=9 s . Ob katerem ča s u eno telo dohiti drugo telo? 2. Raziskovalna podmornica nasede na morskem dnu . Da bi opozori la na svojo nesrečo, posadka izpusti plastično sondo ribje oblike , prevlečeno s kovinsko plastjo . Sonda se že po nekaj metrih poti enakomerno dviga proti glad ini in i z s koči iz morja . Radar obalne straže jo lahko zazna, če se nahaja višje kot 20 m nad morsko gladino. Koliko časa bo signal na radarju? Sonda ima maso 1,0 kg, dolžino 2,0 m, prečni presek 0,2 m2 in prostornino 0,2 m 3 . Koeficient upora za sondo ribje oblike je c = 0,04. Oceni tudi napako zaradi dimenzij sonde! Fizikalni poduk: Silo upora na telo , ki se dovolj hitro giblje skozi tekočino (tako je gibanje sonde), podaja kvadratni zakon upora Fu = ~ ceS v 2 , kjer je c koeficient upora , S prečni presek, e gostota tekočine in v hitrost telesa glede na rnirujočo tekočino . 3 . Preko zaliva je postavljen 100 m dolg viseči most (glej sl iko ) . Nos ilno vrv spletemo iz jeklenic , od katerih vsaka zdrži natezno silo 100 kN . Kol iko ta kih jeklenic je potrebno uporabiti za vsako od obeh glavnih vrvi , če mora most zdržati 10 ton obremenitve na vsak meter dolžine (teža mostu je všteta)? Ka ko visoko na nosilni steber je treba vpeti natezne vrv i, ki so sestavljene iz enakega števila jeklenic kot glavna vrv , da most vzdrži predp isano obre- menitev? Glavni vrvi sta vpeti na nosilni steber na višini 60 m . (Na sliki je vidna le ena glavna vrv , druga je skrita za njo .) S. 30 natezna YI'! -::': E 55 181 4. Potapljač bi rad naredil globinomer. Na voljo ima tanko prozorno plastično cevko s konstantnim presekom in dolžino 30 cm. Na eni strani cevko zapre, na drugi strani pa je odp rta . Ker je cevka dovolj tanka, zrak iz nje ne more uiti, tako da je masa zraka v cevki ves čas enaka . lzračunaj, kako se dolžina zračnega stolpca spreminja z globino! Kje na cevki si mora potapljač označiti globine 10 m, 20 m, 30 rn? Temperatura morja je na vseh omenjenih globinah enaka, gostota vode je 1,0 gjcm3 . Skupina B 1. Košček ledu drsi brez trenja po vodoravni podlagi s hit rostjo 0,5 mjs pod vpadnim kotom o: = 40° glede na mejo, kjer se podlaga zvezno prevesi v 10 cm niže leže če vodoravno ravnino (glej sliko) . Za kolikšen kot se telo po prehodu odkloni od prvotne smeri? Tloris ~}~_<:.n:__j.\.-.;...i _ Naris 2. Vesoljska postaja Slovenija na začetku lebdi nad Jupitrovim satelitom Evropo z maso 1025 kg in začne nato prosto padati v njenem gravitacijskem polju. Opazovalec na krovu nima stika z zunanjim svetom. Meri lahko le razdaljo med dvema prosto gibljivima kilogramskima kroglama. Ta se po desetih minutah od pričetka padanja zmanjša z enega metra na 0,99 metra. Določi začetno razdaljo Slovenije od središča Evrope . V kakšno lego postavi opazovalec krogli? Gravitacijska konstanta je enaka 6,67·10- l1 Nm2 jkg2 . 3. Kolo krožne žage ima maso 10 kg ter polmer 50 cm in je vpeto tako, da se brez trenja premika v navpični smeri. Kolikokrat se mora kolo zavrteti , da postrga 20 cm deb elo plast lesa , če je za postrganje 1 mm debele plasti potreb- no lesu dovesti delo 40 J? Za koliko se pri tem kolo segreje? Koeficient trenja med lesom in rezilom žage je 0,83. Kolo se pri enem obratu segreje za 0,03 K. Specifična toplota kolesa je 800 JjkgK, narejeno pa je tako, da se obdelovane- ga materiala vedno dotika le v rezaini površini . Težni pospešek je 10 mjs2 . Največ za koliko bi se lahko kolo žage segrel o pri enem obratu ? =~ ~::::::::=::-,==_11 - 182 4. Dve enaki posodi sta povezani s tanko cevko zanemarljive prostornine. V posodah je idealni plin s temperaturo -23°C. Za koliko % se spremeni tlak v posodah, če eno posodo segrejemo do temperature 27 °C, v drugi pa ves čas vzdržujemo prejšnjo temperaturo? Skupina C 1. V katodni cevi, ki je priklju čena na pospeševalno napetost 1500 V, odklanjamo elektrone z dvema enakima med seboj pravokotno postavljeni- ma kondenzatorjema . Vsak kondenzator sestavljata dve kvadratni plošči s stranico 6,0 cm v razmiku 5,0 mm . Kondenzatorja sta postavljena drug za drugim, tako da je središče prvega 33 cm, drugega pa 27 cm od zaslona. Kakšno časovno spremenljivo napetost moramo priključiti na prvi kondenza- tor in kakšno na drugega , da bo elektronski curek opisoval na zaslonu elipso s polosema 1,0 cm in 2,0 cm? 2. Vodoravna kovinska plošča s po- vršino 100,0 cm2 in maso 100,0 g je pritrjena na podlago . Druga , po- vsem enaka vodoravna plošča, tvori s prvo kondenzator in je z vrvico z dolžino 240,0 c\TI povezana s plov- cem, ki plava v vodi. Vrvica je nape- ljana preko dveh škripcev zanemar- ljivih razsežnosti v medsebojni raz- dalji 50,0 cm. Plovec ima obliko va- lja višine 20,0 cm , polmera 5,0 cm in gostoto 600,0 kg/m3 . Na obeh ploščah je stalen naboj po 1, O. 10- 13 As z nasprotnim predznakom . Gladina vode je 1,00 m pod škripcema, spodnja plošča je v isti višini kot gladina vode . Izračunaj , kolikšno je najmanjše odstopanje vodne gladine navzgor in navzdol, ki ga še lahko izmerimo z voltmetrom , natančnim na 1 mV! Kolikšna je napetost med ploščama, ko se gladina vode dvigne za 0,5 cm? (eo = 8,9.10-12 As/Vm, 9 = 10 m/s2.) 3. Darko ima žico v obliki prisekanega stožca s polmeroma osnovnih ploskev '0 =1 ,0 mm in '1 =3 ,0 mm ter višino 10 =8 ,0 cm. V priročniku prebere, da je upornost takega telesa R = 1I"~~orl ' kjer je ( = 1O- 6 n m specifični upor snovi. Pomisli, da bi do tega rezultata lahko prišel tudi sam, tako da bi telo v mislih razrezal na manjše kose. Te bi nato aproksimiral s preprostejšimi telesi, za katere zna izračunati upor. Poskusi tudi ti na podoben način oceniti upor takega telesa! 183 4. Na klancu z naklonskim kotom 30 0 sta z začetkom ob vznožju klanca pritr- jeni dve dolgi vzporedni bakreni žici (tračnici) v medsebojni razdalji 10 cm. 100 cm od vznožja klanca položimo 10 cm dolgo bakreno ž ič ko na tračnici tako, da se dot ika obeh tračnic. Masa ž ič ke je 0,1 g , koeficient lepenja med tračnicama in ž i č ko je 0,6, prečni presek ž i č k e je enak preseku tračnice . Vse skupaj se nahaja v homogenem magnetnem polju z gostoto 0,01 T , ki kaže navpično navzgor. Najmanj kolikšno napetost moramo priključiti na tračnici ob vznožju klanca , da bo ž i č ka začela drseti navzgor po tračnicah? Kakšna je polariteta priključene napetosti? Na tračnici priključimo 2-krat večjo napetost , kot je potrebna za začetek drsenja . Za koliko se premakne ž i č ka ? Kvalitativno opiši , kaj se dogaja z ž i č ko, če zamenjamo polariteto priključkov? Gostota bakra je 8,9 g/cm3 , specifični upor pa 0,017 Qmm2/m . Skupina O 1. Netopir zazna položaj žuželke tako , da odda kratek pisk ultrazvoka, ki se od žuželke odbije, netopir pa ga sliši z ušesi . Tako lahko dokaj natančno določi , v kateri smeri je žuželka . Oddaljenost žuželke določi iz časa potovanja zvoka . Denimo, da je med netopirjem in žuželke 10 cm debel vodni slap in da je žuželke 20 cm višje od netopirja , v vodoravni smeri pa sta med seboj oddaljena 10 m. Netopir je od najbližje točke na slapu oddaljen 5 m. Izračunaj in nariši , kje se bo netopirju prikazala " zvočna" podoba žuželke! Žuže lko lahko primerjamo z zelo majhno ploskvijo , od katere se zvok odbije v vseh smereh . Gibanje vode v slapu zanemari. Netop ir tudi " ve", kdaj zazna žuželke ali kakšno drugo oviro. Hitrost zvoka v zraku je 340 mis , v vodi pa 1480 mis. Matematičnipoduk: Za majhne kote velja.(v radianih) : sin o: ~ 0: , cos o: ~ 1. 2. Izračunaj izkoristek Stirlingovega toplotnega stroja , ki opravlja naslednjo krožno spremembo: Idealni plin v točki 1 pri temperaturi TI , tlaku PO in prostornini Vo najprej izohorno segrejemo do temperature T2 (točka 2). Od tu ga izoterm no razpnemo do prostornine VI (točka 3) . Nato izohorno ohladimo plin do TI (točka 4) . Nazadnje plin izoterm no stisnemo na prostornino Vo (točka 1). Posebnost Stirlingovega stroja je toplotni izmenjevalec. Ta prestreže vso toploto, ki se sprošča pri izohorni spremembi 3 ---> 4, in jo v celoti dovede plinu med spremembo 1 ---> 2. Izkoristek primerjaj z izkoristkom idealnega toplotnega stroja! Fizikalni poduk: Delo, ki ga pri izotermni spremembi od p, V na p' , V' prejme idealni plin, je enako A = -pV In(V' IV) . 184 3. Na strop je obešen škripec valjaste oblike. V najvišji točki položimo na valj košček ledu , ki na površino rahlo primrzne , tako da je med valjem in ledom koeficient lepenja enak 0,4. Masa valja je dvakrat večja od mase koš čka ledu. Ker je sistem v labiini legi, se začne vrteti . Pri kolikšnem zasuku bo košček ledu zdrs nil po valju? V kateri legi bo košček ledu odletel z valja, če drsi po njem brez t renja? Trenje v osi valja je zanemarljivo. 4. Eksperimentalna naloga . Le t elo ni v toplotnem stiku z okolico, se ohlaja le s sevanjem s površ ine. Stefanov zakon pove, da je moč , ki jo seva enota površine t elesa, sorazmerna s potenco absolu t ne temperature telesa . V nalogi boš izmer il to potenco . Predpostavi, da se segreta volframska nitka v žarn ici hladi le s sevanjem . V ravnovesju je potem dovede na moč enaka izsevani moči P = (J" ST n , kjer sta (J" in n konstanti in S efekt ivna površina nitke. • Temperaturo nitke določ i š s pomočjo tabele (odvisnost specifičnega upo- ra volframa od absolutne temperature ) in podanega upora volframske nitke pri sobni temperat uri. Upor nitke je napisan na nalepki na prik- lju čni žici. Izmerjen je z natan čnostjo 0,005 Q . Upošt eva]. da se presek in dolžina nitke praktično ne spreminjata s temperaturo . • Eksponent n najlaže določiš tako , da zvezo P = (J" ST n logarit miraš in na grafu narišeš odvis nost log P od log T . Ocen i napako meritve . Potrebščine : volframska žarnica (12 V, 45 W) , priklju čne žice, dva univerza lna AV merilnika (digitaln i za tok, analogni za napetost) , napetostni izvir, stojalo s prižemo , milimetrski papir , tabela za specifični upor volframa v odvisnosti od absolutne temperature . Bojan Golli, Jure Bajc , Ciril Dom inko ŠE O LETALSKEM POKU Presek je pred dvema letoma poročal o tem, da so se ob letalskem poku za- tresla tla (20 (1992/93) 30) . Seizmogram je pokazal dva vrhova v časovnem razm iku okoli 1,1 sekunde. Temu ustreza pri gibanju s. hitrostjo okoli 340 mis razdalja okoli 380 m. Prispevek je omenil možnost , da je drug i vrh povz ročil . letalski ali protiletalski izstrelek . Ni bilo nobenega izstrelka , razlaga je pre- prostejša . Očividec je jasno videl, da sta leteli proti Gradu dve letali. Vsako od njiju je povzročilo svoj pok . Iz časovnega razmika obeh pokov je mogoče tudi oceniti, v kolikšni razdalji sta leteli letali drugo za drugim . Janez Strnad .' J. ~ "" ~ ~ , OC':/-' 'C /\101nr: . " .. .'"L_' I'''L'''''- __l . '.:'. . ," ".' ~ .' } ) TRISEKCIJA - Rešitev s str. 89 Razdelitev elementov bomo naredi li venem prehod u vhodne tabele a . Pri tem bo tabela razdeljena na štiri dele, ki jih bomo ločili z indeksi i, j in k. Prvi del bo sestavljen iz elementov a[l]' . . . , a[i-1] , ki bodo med postopkom ves čas strogo manjši od delilnega elementa x. Drugi del a[ i], , au] bodo sestavljali še nepregledan i elementi . V naslednjem delu a[j+1]. ,a[k] bodo elementi enaki x , zadnji del a[k+ 1]. . . . , a[n] pa bo vseboval elemente, ki so strogo večj i od x . Na z a četku bo celot na tab ela nepregledan a. Pregl edovanje bomo konča li , ko se bo nepregl edani del spraz nil, torej ko se bosta indeksa i in j prekrižala . const max N=30; ty pe element = integer; tabela = array [l ..maxN] of ele ment; { Vsi elementi so še nepregledani. } { enak x } { s trogo večji od x } { strogo m enjši od x } procedure Razdeli(var a : tabela; n: int ege r; x: element); { Razdeli vho dno tabe lo a dol žine n na elemente, ki so strogo menj ši, enaki } }{ in strogo večji od de lilnega elementa x. va r i.j ,k: integer; b: element ; begin i:= l; j:=n ; k:=n; wh ile i<=j do if a [il< x t he n i:= i+ 1 els e if a[i)=x then be gi n a[i]:=aUJ ; aUJ:= x; j:=j-1 ; end el se begin b:=a[i]; a[i):=aUJ; a UJ := a [k]; a [k]:=b; j := j-1 ; k:=k- 1; e nd ; end ; { Razdeli} V vsaki ponovitvi zanke while pregleda mo element ali] in ga iz nepre- gledan ega dela prest avimo v enega od ostalih delov ter ust rezno popravimo indekse . Ker je začetna razlika med indeksoma i in jenaka n - 1, pri vsaki ponovitvi pa se bodisi indeks i poveča za 1 bodisi indeks j zmanjša za 1, za nka pa se konča , ko raz lika j - i pos tane negativna , se za nka wh ile ponovi natanko ri-kra t . Martin Juvan 186 KAKO HITRO IZTEČE VODA? - Rešitev nagradne naloge iz P-XXI/5. str. 257 Nalogo smo vam zastavili že spomladi, čakali na odgovore malo dlje, kot smo sprva nameravali, a sta se nam vseeno oglasila le dva reševalca. Pravilna pa je bila samo ena rešitev in sicer nam jo je poslal Martin Klanjšek, dijak bežigrajske gimnazije v Ljubljani. Seveda prejme Martin knjižno nagrado, predstavljamo pa vam tudi njegovo rešitev. Uredništvo V nekem trenutku med izteka njem naj bo gladina vode na višini z nad dnom soda. Količine z indeksom nič naj se nanašajo na gladino vode , ostale pa na del vode v odprtini na dnu soda v tistem trenutku . Za iztekanje lahko tedaj zapišemo enačbi v 2 = v6 + 2gh ln v = vo {::::::::} Sv = Sovo. Enačba na levi je poseben primer Bernoullijeve enačbe , ki velja za laminarni tok (ko ni vrtincev) nestisljive neviskozne tekočine (kar voda v resnici ni). Druga pa pove, da je zaradi majhne stisljivosti prostorninski tok vode na obeh mestih enak , če voda vmes nikjer ne priteka ali odteka . Iz druge ena čbe izrazimo v in ga vstavimo v prvo, da dobimo Vo = 2gz (~r -1 (*) kjer je a = g/((~f -1) negativni pospešek. Iz ena čbe (*) namreč razbe- remo, da je nižanje gladine enakomerno pojernajoče gibanje. Vsa voda i zteče v času, v katerem se gladina zniža do odprtine na dnu soda. Na začetku , pri z = h, je hitrost gladine največja, in sicer Vm a X = ~gh , na koncu je ( s )Ll enaka nič. Iz enačbe Vrnax = at dobimo čas iztekanja Integriranju smo se izognili, potem ko smo v ena čbi (*) prepoznal i enačbo za enakomerno pospešeno gibanje. Le bi to prezrli, bi si morali pomagati z I 187 integr a lo m, ali pa bi iz osnovne enačbe za en akomerno pospešeno gibanje v = at izpeljal i e na čbo v = J2 as , slej ko prej spet z int eg ra lo m . Martin Klanj šek Pripis uredn ištva: Risba , ki smo jo za šalo posta vili ob nalogo. prikazuje posodo. ki ni prizma tična . Zanjo seveda zgornj i račun ne velja. KONSTRUKCIJSKA NALOGA - Rešitev s str. 126 Naj bo dana kateta a in pravokotna projekcija bl katete b na hipotenuzo c . Nalogo bo rešena , če bomo , denimo , s šestilom in ravnilom iz a in bl na risali hipotenuzo c . To napravimo t a ko le: Narišemo krožnico s premerom bl in tangento nanjo. Na tangenti odmerimo od dotikališča razdaljo a . Skozi dobljeno točko P in središče krožnice S narišemo sekanto. Presečišči Q in R sekante s krožnico ustvarjata s točko P dva odseka na sekanti . Daljši je enak hipotenuzi c (glej sliko) . V R U a UV = b, UP = a PR = c P Da je konstrukcija pravilna . nas prepriča kratek račun . Potenca točke P glede na krožnico je po eni strani enaka kvadratu tangente a2 , po drugi pa produktu odsekov na sekanti c( c - bI) . Torej je a2 = c(c - bl) = alc , kar ni nič drugega kot Evklidov izrek za kateto v pravokotnem trikotn iku . Marija Vencelj 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE 7. razred 1. Proti večeru je začelo enakomerno snežiti, tako da je zapadlo veni uri 6 cm snega. Temperatura snega je DoC. Sneg je padal tudi na lužo s ploščino 2,0 m2 in povprečno globino 1,5 cm. Začetna temperatura vode v luži je bila 50C , gostota snega je 200 kg/ m3 . a) Kolikšna je masa vode v luži? b) Koliko toplote je voda oddala med ohlajanjem do DOC? c) Kolikšna masa snega se je pri tem stalila v luži? Taliina toplota snega je enaka talilni toploti ledu, podatek poišči v učbeniku. Prehajanje toplote iz okolice na lužo smeš zanemariti . d) V kolikšnem času po začetku sneženja se je temperatura vode znižala na DOC? FI = ION Dl =O,s~ FI: = ION 2. Voziček z maso 0,5 kg~ I in dva enaka, zanemarljivo lahka , silomera povežemo, kot kaže slika. Ko je podlaga vodoravna, kažeta silomera 10 N. Nato cel sistem zasučerno za 900, da je na koncu podlaga navpična. a) Nariši vse sile na voziček, ko je sistem v navpični legil b) Kolikšni sili kažeta takrat silomera 7 c) Kolikšno maso vozička bi izbral , da bi v navpični legi spodnji silomer kazal O N7 Koliko bi v tem primeru kazal zgornji silomer? Le boš sklepal na pamet, pripiši k rezultatu komentar, da bo razvidno , kako si prišel do rezuItata. 3. Zvečer , ko je bila temperatura zraka 20°C , smo nad gladino jezera obesili steklenico s prostornino 0,5 1, tako kot kaže slika. Ponoči se je gladina vode v vratu stekle- nice dvignila za 10 mm. Presek vratu steklenice je bil 12 cm2 . V priročniku najdemo podatek, da se enemu litru zraka prostornina poveča za 3,4 ml , če ga segrejemo za en kelvin. a) Kolikšna je bila temp eratura zraka ponoči? b) Za koliko se je spremenil tlak v steklenici? Ali se je povečal ali zmanjšal? Zunanji tlak je bil 100 kPa . 189 Eksperimentalni nalogi: 4. Pred seboj imaš elektronsko vezje . S spreminjanjem lege drsnika izbiraš ča s enega nihaja , to je čas od začetka svetenj a prve lu čke do trenutka , ko le-ta znova zasveti . Razišči , kako je nihajn i čas odvisen od lege drsnika . a) Pri različnih legah drsnika izmeri nihajni ča s. Naprav i vsaj 6 meritev . b) Nariši diag ram odvisnosti nihajnega časa od lege drsnikal c) Iz diagrama oceni nihajn i čas , ko je drsnik v legi O in ko lu čki utr ipata prehitro , da bi lahko nihaje šte l. Pribor : elektronsko vezje zdrsnim uporom, stoparica. 5. Približno določi debelin o sten kocke. Vse stene so enako debele . Pokrov kocke je zaie pijen in ga ne smeš odpr eti . P ribor : kocka s kavljem , čaša z vodo, utež, trikotnik z merilom . Masa ut eži je 25 g, prostornina ut eži pa okrog 3 cm3 . Gost ota plastike, iz kate re je kocka, j ~ 1,1 g/cm3 . Sonce ILuna 8. razred 1. Slika je iz u čb e n i ka za 7. razred in prika- zuje Lunin mrk. Raz- dalje niso narisane v pravem merilu. a) I zra čunaj , kako dolga je Zemlj ina senca v vesolju . Pomag aj si s podobnimi t rikot niki. b) Izračunaj , koliko najdlje časa lahko traja popolni Lunin mrk. Po lmer Zemlje je 6400 km, polmer Sonca j e lOg-krat v ečj i od polmera Zemlje, polmer Lune pa je 1750 km. Zemlja je od Sonca odda ljena 150 .000.000 km, Luna pa od Zemlje 380.000 km. Luna napravi en ob hod okrog Zemlje v približno 28 dneh. 2. Dvigalo prevaža potn ike na vrh 100 mvisokega razglednega stolpa. Na za čet k u se hitro st dvigalu v 4 sekundah enakomerno poveča na 6 mis , nato se dviga enakomerno , na vrhu pa se mu hitrost v 4 sekunda h enakomerno zmanjša na ni č . Masa dvigala s potniki je 1000 kg. a) Koliko ča sa t raja vožnja dvigala navzgor ? b) S kolikšno silo je napeta vlečna vrv dviga la, ko je dvigalo na višini 50 m? c) S kolikšno silo je nape ta vlečna vrv dvigala , ko se dvigalo na vrhu usta vlja? Nariši vse sile, ki delujejo na dvigalo med ustavljanjem . 190 3. Vezje je sestavljeno iz pe- t ih enakih upornikov in treh ampermetrov z zanemarlj ivim notranjim uporom , kot kaže slika. Levi ampermeter (Al) kaže tok 1.0 A. Koliko kažeta ampermetra A2 in A3? Eksperimentalni nalogi: 4. Elektromotor je stroj , v kater ega dovajamo e lek t ri čno delo, v zam eno pa opravlja mehansko delo. Pri tvojem eksperimentu bo motor dvigoval utež. Razmerje med mehan skim in elektri čnim delom imenujemo izkoristek elektromotorja . a) Nariši shemo in sestavi e l e ktričn o vezje , da boš lahko meril elektri čno delo. b) Izmeri izkoristek danega elektromotorja . Napravi 5 meritev in i z r ač u n a] povprečno vrednost izkoristka . Pribor : elektromotor, ampermeter , voltmeter , stoparica, meter , ut ež z maso 100 g. 5. Fotoupornik je upornik , kateremu se upor spreminja v odvisnosti od osvetljenos ti . Pri nalogi boš meril, kako se sprem inja upor fotoupornika , če ga odda ljujemo od prižgan e žarnice. Pribo r: Napetostni izvir 6 V, žarnica 6 V, 0,5 A, fotoupornik , amperme- te r, vezne žice. a) Nariši shemo, kako bi vse naštete elemente povezal v vezje , da bi lahko meril, kako se sprem inja upor fotoupornika , ko ga oddaljuj eš od žarnice. Oznaka za fotoupornik je~ b) Sestavi vezje, napravi vsaj pet meritev in nariši graf, ki prikazuje , kako se upor fotoupornika spreminja v odvisnosti od razdalje do prižgane žarnice. Razdalje naj bodo med 10 cm in 50 cm . Mirko Cvahte, Zlatko Bradač RAČU N Z ZNAKI - Rešitev s str. 65 Iz drugega stolpca (a li pa iz druge vrstice) dobimo O = O. Potem nam zadnja vrstica pove, da je • = 5 ali \/ = 5, saj mora biti produkt • . \/ deljiv z 10, nobena od obeh števk pa ni O. te je • = 5, pote m bi morala biti zaradi prvega stolpca tudi ena od števk \J ali <> enaka 5, to pa ni mogoče . 191 Torej je VI = 5. Ker je rezultat v prvem sto lpcu t rimest no število, znak '" pomeni števko 1, 2 ali 3. l.e je'" 2: 2, potem je rezultat prvega stolpca vsaj 450 , rezult at v zadnji vrstici pa vsaj 450 . 25 > 10000 , torej prevelik. Zato mora biti'" = 1. Iz drugega sto lpca pote m dobimo' = 6, iz zadnje vrstice pa Q9 = 4. l. e pogledamo še zadnji sto lpec, dobimo ena čbi 6. + <> = 10 in 1+6. +6 = 14. Imamo tor ej 6. = 7 in <> = 3. Iz prve vrstice izra čunamo še 'v = 2. Ker je vseh šest en a čb izpolnjenih, zaključim o, da je naloga enol i čno rešljiva. Celo več, dol očimo lahko t udi števke, ki so ozn a čene z znakom • . Celotn i rač u n je torej 12 + 1165 = 1177 + 13 + 1150 = 1163 156 · 15 = 2340 Martin Juvan 1. KONGRES MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE Prvi kongres slovenskih matematikov, fizikov in astronomov, s podnaslovom Ob dvestoletn ici velikega logaritmovn ika Jur ija Vege, je potekal od 20. do 22. oktobra v Cankarjevem domu v Ljubljani. Skupno zanimanje udeležencev je na otvoritveno dopoldne velja lo trem plenarnim predavanjem : Aritmetika e l iptčnih krivulj Ivana Vidava , Kaj smo se naučili iz fizike 20. stoletja Bogdana Povha in Pregled zadnjih dogajanj v ast rofiziki Janeza Zorca. Kasneje je kongres deloval po posamezn ih področj ih . Matematičn i del kongresa je imel večje število vabljenih predavanj . Ostali prispevki so bili predstavljeni s 15 minutnimi predava nji ali s posterj i in demonstracijami. Fizikalni del je imel tr ikrat po tri pregledna predavanja s področij os- novnih, aplikat ivnih in pedagoških raziskav. Glavni pouda rek preostalega je bil na posterj ih. Organiziranih je bilo nekaj okroglih miz. Ena je bila namenj ena sodelo- vanju med strokovnja ki iz indust rij e in tistimi z univerz in inštitutov, druga povezavi s slovenskimi matematiki in fiziki v svetu . Okrogli mizi z naslovoma Energet ika in okolje ter Pospeševalniki sta zbud ili veliko zanimanje, prav ta ko okrog la miza o večni tem i pouka na osnovni in srednji šoli. 192 Ob kongresu je bila postavljena izredno lepa razstava ob dvestoletni ci T hesaurusa J urija Vege. Za k lju čil i smo ga s 46. občnim zboro m Društva matematikovfizikov in astronomov Slovenije in proslavo v Zagorici, Vegovem rojstn em kraju. Marija Vencelj FIZIKA V PRESEKU Venaindvajsetih let nikih Preseka je od 141 fizikalnih č l a n kov odp adlo 53 % na mehaniko , 19 % na toploto, 5 % na elektriko , 12 % na optiko in 11 % na atomiko. Pregled ni zelo natan čen , ker segajo posamezni č l a n ki v dve veji fizike, nekaterih pa ni mogoče razvrstiti v nobeno. P resekov okus pa je vseeno zanimiv . Da bo mehanika na prvem mestu , bi napovedal vsakdo. Gibanje teles je pogosto mogoče neposredno opazovati. Vendar presenet i, da sodi vanjo kar polovico vseh č l a n kov. Še bolj nas z ač u d i nenavad no majh en delež elekt rike. Janez Strnad PRESEK list za mlade matematike , fizike, astroname in računalnikarje 22 . letnik, šolsko le t o 1994/95. številka 3. s tr a ni 129-192 UREDNiŠK I ODBOR: Vladimir Batagelj, Tan ja Bečan (jezikovni pregled) , Dušica Boben (oblikovanje teksta) , Mirko Dobov išek (g lavni uredn ik), Vilko Domaj nko, Roman Drnovšek (novice) , Darjo Felda ( te kmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Bošt jan Jakl ič ( te h nični uredn ik), Martin Juvan (računalništvo) , Sandi Klavžar , Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika) , Mat ija Lokar, Franci Oblak , Peter Petek , Marijan Prosen (astronomija ), Marjan Sm erke (svetovalec za fotografijo) , Miha Šta lec, Jana Vrabec (nove knjige) , Marija Vencelj (mate- matika, odgovorna urednica) . Dop isi in naročnine : Društvo matema tikov, fizikov in ast ronomov Slovenije - Podružnica Ljubljana - Komis ija za t isk, Presek , Jadranska c. 19,61111 Ljublja na , p.p. 64, tel. (061) 1232-460, št . LR 50101 -678-47233. Naročnina za šolsko leto 199 4/95 je za posamezne naročnike 1100 SIT, za skupinska naroči la šol 880 SIT, posa mezna številka 220 SIT, za tuj ino 21000 LIT, devizna nakazila SKB banka d.d . Ljubljana, val-27621 -42 961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana . List sofinancirajo MZT, MŠŠ in MK Ofset tisk DELO - Tiskarna, Ljubljana Po mnenju MZT št. 415-52/92 z dne 5.2.1992 šteje revija med proizvode iz 13. točke tarifne št. 3 zakona o prometnem davku, za katere se plačuje 5% davek od prometa proizvodov . © 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1220 I PRVA SLOVENSI j " ec. ~) - Ih "tr " ,ct .,~,' .~ " , - - o' · •. ,..:.. ";;;. ... li t~~ ~r,_ .5-: 1 ~ Slika 2. Matematična olimpijska ekipa z vodi čko ob zaključku 35, MMO v Hong Kongu (foto Matjaž Željko).