46 Posebna relativnost je prav gotovo poglavje pouka fizi- ke, ki ga – ob krčenju učne snovi zaradi časovne stiske – nikakor ne smemo izpustiti, saj je to prvo razširjanje klasične fizike v nove matematične okvire. Poleg težav v splošno izobraževalni šoli zaradi zahtevne matematike so pa tudi težave z razumevanjem nekaterih navidezno protislovnih trditev: npr. kako lahko kaže Vladkina ura manj od Perove ure in hkrati (!) več od nje? T udi moj meter je lahko večji od sosedovega in hkrati (!) manjši od njega!? V tem besedilu skušam najti srednji šoli primerno razla- go posebne relativnosti. Pri tem ponujam nov (star?) način poučevanja: »števil- kanje«, ki naj bi olajšal razumevanje sicer matematično obdelane učne snovi tistim dijakom, ki za matematiko morda niso preveč navdušeni. Pa še pri tem bomo upora- bili samo nekaj številk: 0, 1, 50, 100, 200 … in graf (t, x). Namesto zahtevnejših matematičnih transformacij ko- ordinat med dvema inercialnima sistemoma ponujam za fizikalno manj vnete dijake pogled iz enega vlaka na drugega, vzporedno vozečega, kar – na lažji način – omogoča razumevanje teh povezav. Naslednje besedilo in slike se lahko pri pouku uporabijo samostojno ali pa kot ilustracije k drugim razlagam, ni- kar pa ne uporabljajte vsega tega besedila v razredu, saj je namenjeno učiteljem, ne dijakom! Za njih ga razred- čite, prilagodite! Ob prvi razlagi posebne relativnosti v srednji šoli največ- krat uporabimo razlago s hitro se premikajočo »svetlobno uro« B, ki se premika v smeri koordinatne osi x sistema A z veliko hitrostjo v; v njej pa svetlobni žarek šviga gor in dol v smeri osi y s hitrostjo c (glej [*0]). V edno me je motila ta nedoslednost: najprej vse poenostavimo z raz- lago v eni prostorski dimenziji x, potem pa brez potrebe dodamo še drugo prostorsko dimenzijo y! T o pa je odveč, če razlagamo drugače! Razlage v dveh ali več prostorskih dimenzijah prepustimo fakultetam! Zato predlagam drugačno pot razlage. Seveda samo »pot«; za način razlage v razredu, za obseg snovi v razla- gi, sredstva razlage – risbo, letvico, računalniško sliko … se pa odloči razlagalec, učitelj, ko upošteva sposobnosti svojih dijakov, okoliščine in čas, ki mu je na razpolago za razlago. Prikažimo relativno gibanje dveh enodimenzionalnih inercialnih sistemov A in B na vzporednih oseh x A in x B ! Predstavimo ga s postavitvijo dveh domišljijskih (nepo- spešenih) vlakov A in B z enakimi vagoni A in enakimi vagoni B , ki se premikata v nasprotnih smereh s konstan- tno relativno hitrostjo v. Na začetku vsakega vagona je ura (t A ali t B ) in oznaka vagona (x A ali x B ) tako, da ju lahko »preberemo« tudi iz sosednjega sistema – vlaka. Ure na vlaku A so sinhronizirane med seboj, enako ure na vlaku B (klasično kažejo vse enako)! (glej [*0]) Na- mesto na sliki ali na zaslonu prikažemo lahko vlaka tudi z dvema letvicama: na oznaki V sedi Vladka v koordi- natnem izhodišču zgornjega sistema B, Na oznaki P je Pero spodaj v izhodišču A (1. slika). Seveda pa v vesolju ne moremo opazovati nobenih ne- skončno dolgih vlakov, to je samo izmišljeni pripomoček za lažje razmišljanje, ki pa vseeno zadošča za smiselne zaključke. Njvihovo relativno gibanje in spreminjanje časov na njihovih urah lahko prikažemo tudi z računal- niškim programom »vlaki« (kot na 4. sliki, [*0]). Sicer pa lahko vsako vesoljsko plovilo obravnavamo enako kot »del vlaka« na naših slikah! Predlog drugačnega načina razlage posebne relativnosti v srednji šoli Peter Prelog upokojeni učitelj fizike Fizika v šoli 47 Učiteljev pogled T aka slika dogodkov je koristna zaradi lažjega razume- vanja meritev; dejansko naj bi bili ti »vlaki« svetlobno hi- tri in seveda ne bi bilo mogoče, da bi človek gledal na uro na sosednjem vlaku! Zmogle bi pa to elektronske napra- ve pa tudi naknadna izmenjava informacij med opazo- valci A in B! In tolažba za fizike: to besedilo ni fizikalna znanost, to je le učiteljsko prizadevanje za razumljivo razlago v srednji šoli, z vsemi »neznanstvenimi« približ- ki in poenostavitvami. Zapišimo predpostavki naše nove teorije (seveda zopet poenostavljeni za uporabo v šoli – glej pripombo [*1]), postulata nove fizikalne teorije, najprej starejšo predpo- stavko: (I): V obeh inercialnih sistemih veljajo enaki fizikalni zakoni. In še »novejšo«: (II): Svetlobni hitrosti c A in c B sta enaki za poljubnega opazovalca (Maxwell). Ker je ta enakost hitrosti (merjena iz istega opazovališča v A ali B) skregana s klasičnim načinom računanja hi- trosti (c A = v + c B > c B – [*2]), lahko domnevamo, da tudi časi na urah A in B ne bodo tekli klasično, t A = t B : najenostavnejša nova povezava med časoma istega do- godka (npr. v izhodišču x = 0 [*3]) bi bila linearna: t A = γ ∙ t B , (γ = konst), v tem je zajeta tudi klasična povezava pri γ = 1, (korespondenca). Razmišljajmo o posledicah! 1. posledica: hitrost razmikanja izhodišč v, (I postulat): |v A | = |v B | = v [*4] in c > v (sicer svetlobni signal c iz enega izhodišča ne bi mogel ujeti odmikajočega se (v) drugega izhodišča!) 2. posledica: Ko sta si izhodišči P in V (1. slika) (ob v = konst.) »nasproti« (v isti točki, 2. slika levo in desno zgoraj), naj bo to dogodek D 1 v skupnem koord. izhodišču x = 0, uri A in B tam naj kažeta 0: D 1 (t A ,x A ) = D 1 (0, 0) in D 1 (t B , x B ) = D 1 (0, 0). Ko izhodišči nista več skupaj (2. slika spodaj), naj kaže ob γ = 2 SOSEDOVA URA B OB IZHODIŠČU A: tB = t A0 ∙ γ (2. sl. sp. desno), SOSEDOVA URA A OB IZHODIŠČU B: t A = t B0 ∙ γ (2. sl. sp. levo) – nova povezava! [*3] (Dogajanje na 2. sliki lahko lepše prikažemo z rač. pro- gramom »vlaki«, γ = 2 ali na letvicah: čase dogodkov obešamo izpisane na kartončkih na žebljičke ob koncih »vagonov«, 1. slika). Premaknimo Vladko v izhodišču B iz skupnega izho- dišča D 1 za dva vagona A na desno, x A = 2, D 2 (200, 2)! (2. slika levo sp.) ali pa Pera v izhodišču A za en va- gon B na levo x B = –1, D 3 (100, –1) (2. sl. desno sp.). Desna 2. slika bi lahko imela enake številke kot leva (200 – 200, 100, 2 vagona B ), vendar narišemo krajšo sliko (100 – 100, 50, 1 vagon B ) zato, da bi imeli, zaradi primerjave,na desni spet isti D 2 100//200 kot na levi 2. sliki (in s tem – ob istem dogodku D 2 kot na levi, imeli med Vladko in Perom – tudi na desni 2 vagona A !). Med t A in t B naj bo torej v izhodiščih (ob v = konst.!) linearna zveza. Ker pa je hitrost v konstantna, je x A = v ∙ t A premica odmikanja Vladke od Pera v gra- fu (ct A , x A ) bolj strma kot simetrala x A = c ∙ t A , saj je v < c (3a. slika, [5*]): (ct A ob ordinatni osi zaradi enake- ga merila na obeh oseh). 3. posledica: OB IZHODIŠČU SOSEDOVA URA NE MORE KAZATI MANJ (γ > 1!) Ko se Vladka odmakne od Pera (t ≠ 0, D 2 ) mu pošlje svetlobni signal. Napišimo enačbi za gibanje svetlobe od starta V do cilja P posebej za sistema A in B in iz obeh izpeljimo γ 2 = 1/(1 – v 2 /c 2 ) > 1 Odtod npr. γ = 2 → v = 0,87c. Korespondenca v → 0, γ → 1! (*6). Ob vsakem dogodku D »vidita« opazovalca (na mestu dogodka D) na vlaku A in na vlaku B oba ista para koor- dinat: D(t A , x A ) in D(t B , x B ), DOGODEK D JE V DVEH SISTEMIH DOLOČEN S ŠTIRIMI KOORDINATA- MI! [*7] Pri tem je nasploh t A ≠ t B , (klasično t A = t B , tam gibanje ne vpliva na čas), v = konst. – za vse vagone obeh 48 vlakov. Merske enote: 1(s?), »korak« premika na slikah: npr. (2. slika) v časovnem presledku Δt = 100 (s?) je premik za en vagon (1. vagon = t ∙ v =100v, npr. v = 1m/s, 1. vagon = 100 m). Na 2. sliki (γ = 2) so konci vagonov označeni samo s črtico in s časom dogodka na tem mestu, levo dve zaporedni A istočasni sliki (zgoraj 0 – 0 in potem spodaj 200 – 200, desno zaporedno po dva B istočasna dogodka zgoraj 0 – 0, spodaj 100 – 100). ENOT NE PIŠEMO, v obeh sistemih so iste; npr. meter, vagon, sekunda …! Na levi sliki spodaj se premakne iz- hodišče B z Vladko za »2 koraka«, 2 vagona A = 2 ∙ 100v na desno (D 2 ), na desni sliki spodaj izhodišče A s Perom za en »korak«, 1 vagon B =100v na levo (D 3 ). V A so ure Asinhronizirane (0–0, 200–200), v B Bsinhronizirane (0–0, 100–100)! 4. posledica: upoštevam 2. posledico in na 2. sliko do- dam levo D 4 (400), desno je D 2 (200). A ISTOČASNI DOGODKI NISO B ISTOČASNI! D 4 , D 2 B ISTOČASNI DOGODKI NISO A ISTOČASNI! D 3 , D 2 Leva 2. slika, 4. slika: vsi dog. so A istočasni (0–0, 200–200) – ne pa B istočasni! Desna 2. slika: vsi dog. so B istočasni (0–0, 100–100) – ne pa A istočasni! Ob sinhr. 100 – 100 – ... na B – je na A med izhodi- ščem A in koncem drugega vagona A časovna razlika: … 50 – 200 – … (desna 2. slika spodaj) Δt A = 150 = 100 ∙ γ – 100/γ = Δt B ∙ (γ – 1/γ), če je Δt B = 100 »korak« gi- banja izhodišča A med izhodiščem B in koncem prvega vagonaB in v B časovna razlika med D 1 in D 3 . Ob t A = 0 in A istočasnosti dogodkov pa je 4. slika (kaj kažejo ure na obeh vlakih ob D 1 , prim. 2. levo sliko zg.) takšna: Δt B = 150 (podobno za t B = 0, B) 5. posledica: URE DVEH SISTEMOV SE HKRATI PREHITEVAJO IN ZAOSTAJAJO! (2, 3b slika). Pri- mer: Vladko v izhodišču B ob dogodku D 2 (t 2 = 100) vprašamo, koliko (hkrati, istočasno) kaže Perova ura t A v (od nje oddaljenem!) izhodišču A (P)! Možna sta dva odgovora: A istočasno 200 (= 100 ∙ γ) (2. slika levo, A prehiteva!) in B istočasno 50 (=100/γ, B prehiteva!) (2.slika desno). Če Vladko takrat vprašam za sosedno (neoddaljeno!) A-uro (pomočnika P1, 3b slika) je odgo- vor samo eden: 200. T orej: Vladkina ura prehiteva Bistočasno (100–100) Pe- rovo uro (50), ki zaostaja – hkrati (ob dogodku D 2 ! ) pa Perova ura prehiteva Aistočasno (200–200) Vladkino uro (100), ki zaostaja. Pri tem EN dogodek na Vladkini uri (100, D 2 ) povezujemo z DVEMA zaporednima do- godkoma (50, 200, D 3 , D 4 ) na Perovi uri. Prvi, D 3 je B istočasen z D 2 , drugi, D 4 , A istočasen z D 2 . T orej izraz HKRATI se sklicuje na EN DOGODEK, istočasnost A ali B pa vedno povezuje dva dogodka! Dve istočasnosti, A in B, ki se nikoli ne prekrivata (4.posledi- ca) pa povzročata navidezno časovno protislovje! Na ta način, kot na 3b.sliki, lahko odgovorimo na vpra- šanje o času na poljubni sosedni uri tudi, če je postavlje- no poljubnemu opazovalcu v sistemu. Pri tem so (ob do- ločenem γ) vse možne (rdeče npr. 200–200) A istočasnice seveda vzporedne, enako tudi (zelene npr. 100-100) B istočasnice. Kaj bi odgovoril Pero, če bi ga ob D 3 vpraša- li, koliko kaže istočasno Vladkina ura? In koliko vidi na sosednji uri V1 Vladkine pomočnice? Fizika v šoli 49 Učiteljev pogled Na 2.sliki levo vidimo, da je Vladka izmerila časov- ni presledek Δt B = 100 med dvema dogodkoma D 1 in D 2 NA ISTEM MESTU v izhodišču B. Imenuje- mo ga LASTNI časovni presledek. Pero je pa izmeril za ista dogodka KOORDINATNI časovni presledek Δt A = 200 = γ ∙ Δt B gibanja Vladke med istima dogodko- ma, a med različnima koordinatama izhodišča A in po- močnika P 1 . na koncu drugega vagona A . (Na sliki desno je pa med D 1 in D 3 lastni Perov presledek 50, koordinatni Vladkin pa 100). Lastni presledek (npr. 100) med dogodkoma je (zaradi 2. posledice) vedno manjši od koordinatnega (200) med istima dogodkoma. Na 3b. sliki so lastni časi (0, 50, 100, …) dogodkov, ki se dogajajo pri Peru, na navpičnici ct A skozi izhodišče in lastni časi (0, 50, 100, …) pomočnika P1 na navpičnici skozi P1. Lastni časi Vladke (0, 100, …) pa so na pošev- nici iz izhodišča skozi D 2 … (Obratno bi bilo na grafu (ct B , x B )). Če se po koordinatnem sistemu A premika namesto Vladke hitri delec B, bomo LASTNO časovno dogajanje na njem lahko spremljali z merjenjem večjih (dilatacija) KOORDINATNIH časovnih presledkov med različni- mi mesti delca v našem sistemu A. (Kot pri smučarskih tekmah: sodniki merijo koordinatne presledke med star- tom in ciljem, lahko bi pa to merili kar s stoparico v smu- čarjevem žepu – saj pri teh hitrostih ni razlike!). T ako vidimo, da je izjava v 5. posledici o medsebojnem hkratnem prehitevanju ur samo navidez protislovna, saj je mogoča zaradi dveh načinov primerjanja časov (A ali B istočasno) med urama A in B, ki sta razmaknjeni. Če pa sta ti uri na istem mestu je možen samo eden rezul- tat! T udi če dvojček odpotuje v vesolje, bosta ob vrnitvi, na urah, z bratom dvojčkom videla isto: t A in t B . Katera številka bo večja, kateri dvojček bo pomlajen, je pa odvi- sno od načina gibanja vesoljca (ki pa gotovo ni bilo samo enakomerno oddaljevanje, ki ga mi »obvladamo«, saj se tako vesoljec ne bi mogel vrniti)! In res – pri meritvi z urami na letalu in na tleh, pri poletu okoli zemlje, so dobili pri eni smeri poleta prehitevanje letalskih ur, pri nasprotni smeri potovanja okoli zemlje pa prehitevanje zemeljskih! (T o bi bil lahko odgovor na včasih slavni »paradoks dvojčkov«!). Naša poenostavljena izpeljava (2. slika!) velja le za do- godka v obeh izhodiščih. Enaka »nova« pravila pa do- bimo za poljubno izbiro sedežev za Pera in Vladko, pri tem lahko koordinate preračunavamo »po kmečko«, tako kot na levi in desni 2. sliki, ali pa s posebnimi (Loren- tzovimi) transformacijskimi enačbami. Pero lahko trdi, da gibajoča se Vladkina ura zaostaja – pa je to res samo, če Vladka čas izmeri npr. med dogodkoma D 1 in D 2 na istem mestu v B (lastni čas, leva 2. slika), če bi Pero meril lastni čas med dogodkoma D 1 in D 3 na istem mestu v iz- hodišču A (desna slika) bi Vladkina ura B prehitevala, pri ostalih izbirah dogodkov pa je možno eno ali drugo. Pero bi ob D 3 t A = 50 videl na sosednjem vagonu B t B = 100, ker pa ve, da so ure B sinhronizirane, je to (ob D 3 ) tudi Vladkin čas D 2 ! Isto t B = 100, vidi pri Vladki tudi Perov pomočnik P1 – toda šele ob D 2 in t A = 200, ko se mimo pripelje Vladka, torej je takrat A istočasno tudi pri Peru ura 200!. Med dvema dogodkoma merimo (npr. med D 1 in D 2 ) časovni presledek t 2 – t 1 =Δt. Nasploh v poenostavljenih razlagah primerjamo največkrat samo koordinate poseb- nih parov dogodkov: istočasnih dogodkov (Δt = 0), do- godkov na istem mestu (Δx = 0)., razmaknjene dogodke (Δx ≠ 0), dogodke v izhodiščih (x = 0), …. dogodke v enakih časovnih presledkih, enakih krajevnih presledkih itd. 6. posledica: Odkrili bi tudi (v naši okolici A so vse ure A sinhronizirane!) da med dvema A istočasnima dogodko- ma v sosednem sistemu B vedno »vidimo« skrčene va- gone B (kontrakcija) – (kar je zopet »protislovno«: če jaz vidim pri sosedu skrčen vagon, kako potem more hkrati (!) tudi sosed videti (zaradi 1. postulata) skrčenega pri meni – in daljšega pri sebi?). Podobno enostavno pra- vilo Δx A = γ ∙ Δx B (in obratno γΔx A = Δx B , [*8] ) kot za čas pa velja le, če te dolžine merimo med istočasnimi dogodki – npr. med konci vagonov. Za to sta pa zopet dve možnosti: A istočasno ali B istočasno! Premik Pera v levo s skupnega izhodišča z Vladko ob D 1 v času t B = 100 za en vagon B = 1 ∙ 100v (2. slika desno) da B istočasna dogodka D 2 in D 3 . T oda ob istem dogodku D 2 sta med Vladko in Perom 2. vagona A (2. slika levo), 2 > 1! Na tej sliki se vidi tudi, da so nasproti 2. vagonov A = 4. va- goni B , 2 < 4, dogodka D 2 in D 4 pa sta A istočasna. (Pri 5. posledici: Vladka ob določenem dogodku (D 2 , hkrati, SEDAJ ob t B = 100 ) »vidi« pri Peru dva dogodka: D 4 (A istočasno, 200) in D 3 (B istočasno, 50), D 4 je štirikrat ka- 50 sneje kot D 3 , zato so takrat vmes štirje vagoni B namesto enega – kot pri D 3 ). Ponavadi beremo, da hitre mimovozeče ure zaostajajo, metri ob njih se pa skrajšajo. T oda zaradi enakovredno- sti sistemov A in B (postulat I) mimovozeče ure hkrati tudi prehitevajo in meter ob njih je daljši – pa čeprav se (klasično!) to zdi še kako protislovno! Sicer pa podoben vsakdanji primer »protislovja« lahko tudi pokažemo: dve enako dolgi letvici – če sta vzporedni, vidim bolj oddalje- no sosedovo letvico krajšo, sosed pa v istem trenutku (ker meri drugače!) vidi krajšo letvico pri meni (in sta – ob ta- kem primerjanju – obe letvici HKRATI daljši in krajši!). Ob prvem načinu merjenja dobimo prvi del »resnice«, ob drugem drugi del, ob tretjem morda še kaj več …! Zato moramo biti pri razlagi pazljivi in ne npr. združe- vati protislovnih delnih »resnic«: npr. sosedove ure, ki zaostajajo (njihove sekunde so daljše!) in HKRATI so- sedove metre, ki so skrajšani – to dvoje je v protislovju z drugim postulatom!! (c A = c B → m A /s A = m B /s B ). V 3. posledici je zapisano, da oba opazovalca A in B »vidita« ob vsakem dogodku poleg svojih tudi sosedove koordi- nate dogodka in to jima omogoča pravilno izbiro dogod- kov in način meritve, ki vodijo k neprotislovnim sklepom (gl. dodatek!). Pri primerjanju m A /s A = m B /s B , namesto podaljšane sekunde v B med – v A – razmaknjenima do- godkoma D 1 in D 2 – moramo med dvema dogodkoma na istem mestu, npr. v izhodišču A, ugotavljati v B skraj- šano sekundo med D 1 in D 3 (in v B meriti koordinatni časovni presledek, saj vendar ne moremo hitrosti c meriti med dogodkoma na istem mestu!)! (Še to: časovni presledek med istima dogodkoma je daljši → če je uporabljena sekunda krajša in obratno! Podobno velja za razdalje in meter!) V tem je miselna novost in težava nove teorije: če do- kažemo, da ure B prehitevajo, velja to vedno, pa če to merimo ali ne, hkrati tudi vedno zaostajajo, predmeti v B pa so hkrati vedno daljši in krajši kot v A! T a – v kla- sični fiziki – napačna, nelogična trditev je v relativnosti pravilna in logična. V tem je pa glavna vrednost govorje- nja o relativnosti v srednji šoli, to je nekaj, kar bi bodoči izobraženec moral vedeti!! 7. posledica: Pa še ena posebnost: če na 2. sliki levo pre- maknem Vladko še za dva vagonaA desno, bo tam do- godek D 5 (200//400). V primerjavi s D 4 (400//200) imata dogodka nasprotni časovni usmeritvi – za A-jevca je naj- prej D 4 (200) in potem D 5 (400), za B-jevca nasprotno: prej je D 5 (200) in potem D 4 (400). Pa tudi to »proti- slovje« je mogoče pojasniti – če upoštevamo koordinati x dogodkov in razdaljo med dogodkoma D5 in D4 vidimo, da je večja od razdalje c ∙ Δt, ki bi jo predmet opazovanja lahko preletel v tem času Δt = 200 ali Δt = 200 – torej se taka dogodka ne moreta zgoditi ob istem predmetu (in posledica nekega dejanja na predmetu ne more biti pred vzrokom tega dejanja, v 7. posledici ni logičnega protislovja)! Ob številkah 2. slike je pa mogoče odgovoriti tudi na ostala »protislovna« vprašanja relativnostne teorije. Da pa članek ne bo predolg, lahko to dodatno besedilo dobi- te po emajlu, če to želite, mi sporočite. peter.prelog@siol.net Pripombe in dodatek k temu članku sta dosegljiva na spletni strani: www.zrss.si/strokovne-revije/fizika-v-soli/fizika-v-soli-video-vsebine/