        P 52 (2024/2025) 5 23 Kozmološki učinki na razdaljo V K̌̌ Zaradi širjenja vesolja se razdalja med zelo od- daljenimi nebesnimi telesi s časom povečuje. Pri merjenju razdalj na velikih skalah moramo torej pazljivo upoštevati kozmološke učinke na razda- ljo. V članku se bomo seznanili z različnimi koz- mološkimi definicijami razdalj in izpeljali poveza- ve med njimi. Uvod v kozmologijo Danes vemo, da je vesolje na največjih razsežnostih homogeno in izotropno, kar povzema tako imeno- vano kozmološko načelo. To pomeni, da je na ta- kšnih skalah vesolje povsod enako, poleg tega pa je tudi videti enako v vseh smereh. Posledica tega načela je, da v vesolju na razdaljah, večjih od okoli 100 Mpc, ni odlikovanega položaja ali odlikovane smeri. Vesolje se širi, kar pomeni, da se razdalje med telesi na kozmoloških skalah povečujejo. To pomeni, da raztezanje vesolja vpliva na razdaljo, ki jo s tako ali drugačno metodo izmerijo astronomi. Prvi pomemben eksperimentalni dokaz, da se ve- solje res širi, je Hubble-Lemaîtrejev zakon. Hubble in Lemaître, ki sta do ugotovitve neodvisno prišla v letih 1927–1929, sta opazila, da so spektralne črte oddaljenih galaksij opazno zamaknjene. Ugotovila sta, da je izmerjeni rdeči premik z sorazmeren z od- daljenostjo d nebesnega telesa. Premik spektralnih črt sta pripisala temu, da se galaksije dejansko od nas oddaljujejo s hitrostjo v “ zc. Zapisala sta torej sorazmerje med navidezno hitrostjo v oddaljevanja in oddaljenostjo d galaksije: v “ H0d, (1) kjer je H0 « 70 pkm{sq{Mpc Hubblova konstanta. Odkritje ima zelo velik pomen: če se galaksije med- sebojno oddaljujejo, to pomeni, da se vesolje širi in da so bile v preteklosti bližje skupaj. S tem potrjuje, da je imelo vesolje svoj začetek, ki mu pravimo ve- liki pok oziroma prapok. Kozmološki rdeči premik Hubble je predpostavil, da je premik spektralnih črt oddaljenih galaksij posledica Dopplerjevega pojava. Vendar je pri tem prostor in čas obravnaval klasično. V resnici je treba vesolje obravnavati v sklopu Einste- inove splošne teorije relativnosti, ki poenoti prostor in čas ter opiše vesolje kot gibko tkanino prostor- časa, ki se lahko razteguje ali krči. Izmerjeni rdeči premik tako ni posledica Doppler- jevega premika, kot je domneval Hubble, temveč je posledica raztezanja vesolja. V času, ko svetloba potuje od zelo oddaljene galaksije do nas, se lahko vesolje opazno razširi. Valovna dolžina svetlobe se zato medtem podaljša, kar opazimo kot rdeči pre- mik. Kozmološki rdeči premik definiramo kot relativ- no spremembo valovne dolžine neke opazovane spektralne črte, ki ni posledica gibanja galaksije v prostoru, pač pa širjenja vesolja: z “ ∆λ λodd “ λpr ´ λodd λodd , (2) kjer je λodd valovna dolžina svetlobe, ki je bila od- dana, in λpr valovna dolžina te svetlobe, kot jo iz- merimo. Hubble-Lemaîtrejev zakon pravilneje zapi- šemo kot sorazmernost med rdečim premikom z in         P 52 (2024/2025) 524 SLIKA 1. Mreža sogibajočih koordinat r ob času t, ko je prava razdalja med galaksijama enaka dptq, skalirni faktor pa aptq. Ob kasnejšem času t1 se sogibajoča razdalja med galaksijama A in B (število kvadratkov) ni spremenila, kljub temu pa se je prava razdalja povečala na dpt1q, ker se je vesolje razširilo. Skalirni faktor se je povečal na apt1q. oddaljenostjo d: z “ H0 c d. (3) Hubble-Lemaîtrejev zakon velja le za bližnja telesa. Pri večjih oddaljenostih galaksij, ko je z ą 0,2, je zveza med z in d bolj zapletena in moramo poznati sestavo vesolja. V preteklosti ali v prihodnosti je so- razmernostni koeficient drugačen in ga imenujemo Hubblov parameter Hptq. Hubblova konstanta je tako le vrednost Hubblovega parametra danes, kar označimo kot H0 “ Hpt0q. Skalirni faktor, prava razdalja in sogibajoča raz- dalja Širjenje vesolja opišemo s skalirnim faktorjem aptq. Razdaljo med dvema telesoma ob nekem času t za- pišemo kot dptq “ aptq r . (4) Razdalji d pravimo prava razdalja, razdalji r pa sogibajoča razdalja. Sogibajoča razdalja je v seda- njem času t0 enaka pravi razdalji. Grafično ponazo- ritev skalirnega faktorja prikazuje slika 1. Hubblov parameter lahko po zgornji definiciji iz- razimo kot Hptq “ 9aptq aptq , (5) kjer je 9a časovni odvod skalirnega faktorja, to je hi- trost spreminjanja skalirnega faktorja s časom. Pokažemo lahko, da za kozmološki rdeči premik na splošno velja zveza aptprq aptoddq “ λpr λodd “ 1 ` z, (6) kjer sta aptoddq in aptprq skalirna faktorja ob časih todd oziroma tpr, ko je bila svetloba oddana oziroma prejeta, ter λodd in λpr valovni dolžini svetlobe, ko je bila oddana oziroma prejeta. Za vrednost skalirnega faktorja danes navadno vzamemo apt0q “ 1, zato ve- lja a “ 1 1 ` z . (7) Zdaj, ko smo se seznanili z osnovami kozmologije in spoznali dve definiciji razdalje – pravo razdaljo in sogibajočo razdaljo, si oglejmo še dve drugi defini- ciji razdalje, ki izhajata iz dveh elementarnih metod merjenja razdalj v astronomiji. Razdalja kotne velikosti Zamislimo si nebesno telo s fiksno velikostjo D, na primer galaksijo. Takoj na začetku naj posebej po- udarimo, da se vrednost D s časom zaradi razteza- nja vesolja ne spreminja. Denimo, da izmerimo, da je kotna velikost galaksije na našem nebu enaka θ.         P 52 (2024/2025) 5 25 SLIKA 2. Poenostavljena slika medsebojne lege opazovalke in galaksije ob času t “ t1 in ob času t “ t0. Čeprav nam kopernikansko načelo pravi, da položaj Zemlje v vesolju ni nikakor odlikovan, je zavoljo preglednosti na skici položaj opazovalke v obeh primerih na istem mestu. Spremenjena je le lega galaksije. Z drugimi besedami, skica prikazuje spremembo relativnega položaja galaksije glede na opazovalko. Razdaljo kotne velikosti (angl. angular diameter di- stance) s tem v zvezi definiramo kot dA “ D θ . (8) Denimo, da se galaksija z velikostjo D nahaja na sogibajoči razdalji r in da je svetlobo, ki jo opazu- jemo danes, oddala ob času t “ t1. To svetlobo nato opazovalka zazna ob času t “ t0 na razdalji r “ 0. Poenostavljen oris pojava prikazuje slika 2. Če želimo izraziti velikost D galaksije z izmerjeno kotno velikostjo θ, moramo v izračunu torej upošte- vati oddaljenost galaksije, ko je galaksija svetlobo, ki jo opazujemo danes, oddala. Če predpostavimo, da je vesolje ravno, lahko veli- kost D nebesnega telesa zapišemo kot D “ θ ¨ apt1qr , kjer smo z apt1q označili skalirni faktor ob času t1. Če upoštevamo, da je apt0q{apt1q “ 1`z in apt0q “ 1, lahko razdaljo kotne velikosti izrazimo kot dA “ D θ “ apt1qr “ r 1 ` z . Povzamemo, da za med razdaljo kotne velikosti in sogibajočo razdaljo r , ki je v ravnem vesolju po definiciji enaka današnji vrednostni prave razdalje dpt0q, velja povezava dA “ r 1 ` z . (9) Ker je z ą 0, to pomeni, da je današnja vrednost prave razdalje dpt0q “ r do galaksije v resnici za faktor p1 ` zq večja od razdalje dA, ki jo določimo iz meritve kotne velikosti galaksije. Z drugimi be- sedami, zaradi kozmoloških učinkov so galaksije vi- deti večje, kot bi bile, če se vesolje ne bi raztezalo. Če opazujemo dve galaksiji, ki imata enako fizično velikost, bo na našem nebu večja videti galaksija, ki leži na višjem rdečem premiku.         P 52 (2024/2025) 526 Razdalja izseva Oddaljenost dL nebesnega telesa lahko preprosto iz- računamo, če poznamo njegov izsev L in izmerimo gostoto svetlobnega toka j. Velja j “ L 4πd2L . Razdaljo, ki jo dobimo iz izseva in izmerjene gostote svetlobnega toka, imenujemo razdaljo izseva (angl. luminosity distance) in jo označimo z dL. Neposre- dno jo torej definiramo kot dL “ d L 4πj . Svetloba s tega nebesnega telesa je prepotovala razdaljo r in se porazdelila po sferi s površino 4πr 2. Če želimo podobno kot prej izpeljati povezavo s so- gibajočo razdaljo, moramo upoštevati še dva pomembna učinka. Zaradi rdečega premika se energija fotona zmanj- ša. Označimo energijo fotona oddane svetlobe z Eγ,odd “ hνodd “ hc λodd , energijo fotona svetlobe, ki jo opazujemo na Zemlji, pa z Eγ,pr “ hνpr “ hc λpr . Če upoštevamo definicijo kozmološkega rdečega premika z “ λodd ´ λpr λodd , lahko energijo fotona prejete svetlobe v zvezi z ener- gijo fotona oddane svetlobe izrazimo kot Eγ,pr “ Eγ,odd 1 ` z . Vidimo, da je energija prejetega fotona za faktor 1 ` z manjša od energija oddanega fotona. Drugi učinek pa je povezan s številom fotonov, ki jih v danem časovnem intervalu zaznamo. Denimo, da galaksija v časovnem intervalu ∆todd odda N fo- tonov in da na Zemlji teh N fotonov zaznamo v ča- sovnem intervalu ∆tpr. Potem velja ∆tpr ∆todd “ aptprq aptoddq “ 1 ` z. Z drugimi besedami, število prejetih fotonov v da- nem (fiksnem) časovnem intervalu se zmanjša za faktor 1 ` z, zato ponovno sklenemo, da se gostota svetlobnega toka zaradi tega učinka zmanjša za fak- tor 1 ` z. Če upoštevamo oba učinka, lahko izmerjeno go- stoto svetlobnega toka j v zvezi z izsevom L izra- zimo kot j “ L 4πr 2p1 ` zq2 . Iz enačbe izluščimo izraz za razdaljo izseva dL “ r p1 ` zq. S tem lahko zvezo med različnimi definicijami raz- dalj povzamemo z eno samo enačbo kot dL “ p1 ` zqr “ p1 ` zq2dA. Pri majhnih rdečih premikih (z ! 1) pričakovano velja dL « r « dA. Na tem mestu je treba znova poudariti, da je sogibajoča razdalja enaka današnji vrednosti prave razdalje, r “ dpt0q. Modul razdalje Navidezni sij m in absolutni sij M nebesnega telesa, ki se nahaja na razdalji d, povezuje standardna zveza m´M “ 5 log ˆ d 10 pc ˙ . Količino µ “ m ´ M pogosto imenujemo modul razdalje (angl. distance modulus). Na kozmoloških skalah se pojavi vprašanje, katero od zgoraj defini- ranih razdalj moramo upoštevati v enačbi, če želimo na primer izračunati absolutni sij telesa, ki mu iz- merimo navidezni sij m. Ker je sij v zvezi z gostoto svetlobnega toka, je naravna in edina smiselna izbira razdalja izseva dL. Enačbo za modul razdalje v tem primeru prepišemo v         P 52 (2024/2025) 5 27 m´M “ 5 log ˆ dL 10 pc ˙ . Poudarimo naj, da zveza velja le za bolometrični sij. Zveza za sij pri določeni valovni dolžini (spek- tralni sij) ali na posebnem intervalu valovnih dolžin je na splošno bolj zapletena in vsebuje še dodatne popravke. Zgled Oglejmo si računski zgled, v katerem bomo ilustrirali izračun navideznega sija supernove tipa Ia in pri tem upoštevali kozmološki popravek k razdalji. Naloga. V spiralni galaksiji, ki jo opazujemo s strani, opazimo izbruh supernove tipa Ia. Opazu- jemo središče galaksije. V spektru opazimo spek- tralno črto Hα, ki ima v laboratoriju valovno dolžino λ0 “ 656,3 nm. Izmerimo, da se črta nahaja pri va- lovni dolžini λ “ 721,9 nm. Izračunaj navidezni sij m supernove ob največji svetlosti za opazovalko na Zemlji. Upoštevaj, da je rdeči premik posledica iz- ključno kozmoloških učinkov. Znano je, da je ab- solutni sij teh supernov ob največji svetlosti enak M “ ´19,5. Rešitev. Najprej določimo rdeči premik z galaksije. Velja z “ λ´ λ0 λ “ 0,10. Rdeči premik bo dovolj velik, da bo opazno vplival na popravek k razdalji, in hkrati dovolj majhen, da pravo razdaljo d galaksije določimo s Hubble-Lemaî- trejevim zakonom: d “ zc H0 “ 428 Mpc. Ker nas zanima navidezni sijm galaksije, moramo najprej izračunati razdaljo izseva dL: dL “ p1 ` zqd “ 471 Mpc. S tem za navidezni sij galaksije sledi m “ M ` 5 log ˆ dL 10 pc ˙ “ 18,9. Zaključek V članku smo izpeljali povezavo med sogibajočo raz- daljo, razdaljo kotne velikosti in razdaljo izseva. Ve- likega pomena je poudariti, da izpeljane zveze teme- ljijo na ključni predpostavki, da je vesolje ravno, kar nam je račune izjemno poenostavilo. Za vesolje, ki ni ravno, sta zvezi za razdalji dA in dL veliko bolj zapleteni ter odvisni od kozmološkega modela. Na splošno razdalja kotne velikosti in razdalja iz- seva nista odvisni le od kozmološkega rdečega pre- mika z, pač pa tudi od vrednosti ostalih kozmoloških parametrov, ki opisujejo sestavo vesolja. Mednje so- dijo današnja vrednost Hubblovega parametra (H0), parameter gostote snovi (Ωm), parameter gostote se- vanja (Ωr), parameter ukrivljenosti (Ωk) in parameter gostote temne energije (ΩΛ). Literatura [1] Guštin, A., Fabjan, D., Kavčič, V. in Bukovšek, S. (2024). Zbirka nalog z astronomskih tekmo- vanj 2009–2024: teorija in rešene naloge za srednje šole (Let. 98, str. 363). Fakulteta za ma- tematiko in fiziko. [2] Weinberg, S. (2008). Cosmology. OUP Oxford. [3] Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmo- logy: Principles and Applications of the Ge- neral Theory of Relativity. John Wiley & Sons. [4] Karttunen, H., Kröger, P., Oja, H., Poutanen, M., & Donner, K. J. (2007). Fundamental Astro- nomy (5th ed.). Springer. ˆ ˆ ˆ www.presek.si www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/