Vsakodnevno pridobivanje toplogrednih plinov na Celovški cesti v Ljub ljani . Svoj delež toplogrednih plinov prispeva v ozračje tudi živinoreja. IPRESEK list za mlade matematike , fiz ike , astroname in računalnikarje 28. le tnik, leto 2000/2001 , št evilka 6 , str a n i 321-384 VSEBINA 369-3 72 372-3 74 374-3 79 38 0-384 M ATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE NOVE K NJIGE NALOGE REŠITVE NALOG ZANIMIVOSTI, RAZVEDRILO TEKMOVANJA LETNO KAZALO NA OVITKU Preprosta razmišljanja o četrt i dimenziji (M arija Ven celj ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 326 -33 1 Učinek t op le grede in vroče poletje (Tomaž Vrhovec) 332-34 0 P t ice na da ljn ovo d u (Janez Strnad) 360-362 Krater Vega (Marij an P rosen ) 344 -347 P red logi za raziskova nje v zvez i s kraterj em Vega (Marija n Prosen) 348 200 1 ... kot potenca števila 2 - reš . str. 36 7 (Martin Juvan) 342 Zm agovalec dobi (skoraj) vse (Tim Vidmar , Andrej Likar) . . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. .. . . 354-358 2001 zenicami - rešit ev s str. 263 (M artin Juvan) 365-369 Največja znana prašt ev ila .: nekoč in d an es . (Prim ož Potočnik) 349-35 1 Mult imedijska razstava o J uriju Veg i (Peter Leg iša ) 363 -3 64 Zgo dovina m atematike - zgo d be o problem ih - 2. de l (P etar Paveš ič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 343 Dve nagrad ni nalogi (Peter Petek) 322 -32 4 Dva skrita računa za m la jše - reš . st r. 366 (D ušan Murovec) . 324 Deseti ška (Marko R azpet ) 324 Labiri nti na poliedrih , 3 . de l - reš . str. 364 (Izi dor Hafner ) 325 La hka aritmetična kr ižanka - reš . st r. 366 (Karmen Puconj a ) 342 Labirin ti na poliedrih, 2. del - s st r. 259 (Iz idor Hafner ) 35 1 Razm erj a dolžin v pravokotnem t rikotn iku - s st r. 263 (D ragolj ub M . Milo š evi č , prev . Marija Vencelj ) 35 9 Križanka "Tycho Brahe - 400 let od smrti" - s st r. 288 (Marko Bokal ič ) 362 So dobni ras tlinj ak v Vok lem pri Kranju (M a rij a Ven celj ) 341 Križa nka "Za čisto okolje" - reš . st r . 368 (Marko Bokalič) 352-353 Izb irn a test a za Me d narodno matematično olim piado - reši t ve na log s str. 319 (Matjaž Željko) . 22. mednaro d no matematično tekmovanje mest - naloge (Gregor Cigler) . 22. mednarodno matematično t ekmova nje mest - rešit ve na log s str. 372 (Gregor C igler) . P tice rade poseda jo na žicah (fotografija P et er Legiša ). Kak o je z njihovim p oseda njem na dalj novod ih, preberit e v č lanku na str. 360 I Slike k članku na str. 332 in pr ispevku na str. 341 (vs e fotogr afije Matjaž Ven celj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II , III , IV 324 Za usakoqar nekaj I Progo omejuj eta nekoncentrični krožnici s polmerama t ri in sedem enot, start in cilj sta na najožjem delu kolobarj a . Poskusite pr iti s čim manjšim šte vilom potez od starta pr eko ciljne črte . Startna položaja sta dva , A in ' B. Poljubno lah ko izberet e enega. Prerišite sliko s šest ilom na karirasti papir in nam poš ljit e rešitev z vr isano potjo ter zap isanim številom potez. Ob javili bomo rez ult ate dirke, med zmagovalci bomo izžrebali dva in jima poslali knjižno nagrado. Rešitve obeh nagradnih nalog pošljite do 20. junija 2001 na naš nas lov: Presek, J adranska 19, 1000 Ljubljana. Peter Petek DVA SKRITA RAČUNA ZA MLAJŠE Odkrijte naslednj a skrita računa. V posameznem računu pomenijo enake črke enake števke in različne črke različne števke. 1. račun AAA - B B + C = 984 2. račun x X X X - yyy + Z Z - W = 7233 Dušan Murovec DESETIŠKA Dokaži, da je naravno število x = 3999 .. . 964 000 . . . 0 81 , '-v-" '-v-" n n zapisano v deseti škem številskem sestavu, popolni kvadrat in izračunaj ,;:r. Marko Razpet I Za vsakogar nekaj LABIRINTI NA POLIEDRIH, 3. del Povežite črno in sivo točko na površju po lied ra, katerega mreža je po- dana in katerega mejne ploskve so še dodatno razdeljene na manj še dele. Gibamo se lahko le po površju telesa , ne da bi prekoračili deb elo črto . • Izidor Hafner Matematika I PREPROSTA RAZMIŠLJANJA O ČETRTI DIMENZIJI Pred let i smo v članku Tridime nzio nalne t ežave gospoda Ploščaka (P re- sek , 23. letnik, št. 5, st r. 257-263) že premišlj ali o mentalni sliki št iridi- men zionalnega prost or a , v katerega je vgrajen naš t r idimenzionalni svet . P om agali smo si s pr eds tavo o naporih, ki bi jih imela dvodimen zionalna bitja , živeča v dvodimen zion alni deželi , katerih gibanje in opazovanje je omej eno samo na ravn ino, če bi si hotela predst avlj ati t r idimenzionalne predmete. Idejo smo povzeli po knjigi F latland Edwina A. Abbota , ki je izšla v viktorijanski An gliji let a 1884. Seveda so matemati ki t edaj že poznali poj em poljubne dimen zije prostor a . Toda to je bil poj em abstraktne te or ije vektorskih prostorov, ni pa bilo preproste poljudne razlage zanj. J anu arj a let a 1909 je neim en ovani darovalec po ložil pri za ložbi Sci- entific American 500 dolarjev (kar je bil za ti st e čase lep den ar) , ki jih je namenil kot nagrad o najboljšemu eseju, ki bi na poljuden način približal laičnemu br alcu poj em četrte dimen zije. Mišljen a je bila seveda četrta dimen zija takega prostor a , kat erega del je naš t rid imenz ionalni prostor. Dolžin a eseja je bila omejena na 2500 besed. Na razpis je p od psevdonimi pr isp elo kar 245 esejev. Poslali so j ih iz Zdru ženih držav Amer ike, Turčij e , Avst rije , Holandije, Indije, Avstralije, Francije in Nemčij e . Očitno je šlo za privlačno t emo, o kater i so avtorj i premišljeva li že t udi prej. Ese je sta ocenil a prof. Manning z Brown Univers ity in prof. Mitc hel s Columbia University. Julij a 1909 so v Scien tific American objavili zmagovit i esej in tri , ki so prejeli častno nagr ad o. Med preost alimi jih je Henry P. Manning izbral še nekaj , ki so p o njegovem zas lužili, da se oh ranijo, in ki problem opisujejo s čimbolj različnih vidikov. Skupaj z nagraj enimi št irimi j ih je izdal v knjižici The Fourth Dimension Simply Exp lained , ki jo je op remil t udi z nekaj deset strani dolgim uvodom. Nagrado 500 do larjev je prejel po dpolkovn ik inže nirskih enot ZDA Graham Denby F it ch za esej Evklidizacija četrte dimenzije. Ogled ali si bom o in do datno kom entirali nekaj njegovih idej . Lahko si preberete še Manningovo knjižico , katere izvod hrani t ud i Matematična knji žnic a Fakult ete za matem atiko in fiziko v Ljubljani . F it ch začenja svojo razpravo z ugotovitvijo, da mentalna slika četrte dimenzije ni možna . Iz nad alj evanja je jasno , da mu matematični pojem dimen zije prost or a ni bil tuj. Za osvo jitev intuitivne deln e predstave o četrti dimen ziji namreč predl aga analogijo , s katero na poljuden način I Matematika s četverkami realnih števil pr avzaprav uvede poj em 4-elem entne baze. Štiridimenzion alni prostor tudi opremi z 'evklidsko' geometrijo, v kateri je npr. analogon 5. aksiomu evklidske ravnine naslednje zaporedje lastnosti: • V ravnini poteka skozi dano točko dane pr emice ena sama pravoko- tnica na to premico. • V 3-dimenzionalnem prostoru poteka skozi dano točko dane pr emi ce neskončno mnogo pravokotnic na to premico. Te prem ice tvorijo ravnino (to je 2-dimenzionalni prostor) , ki je pravokotna na dano premico. • V 4-dimenzionalnem prostoru poteka skozi dano točko dane pr emi ce neskončno mnogo ravnin , ki so pr avokotne na dano premico. Te ravnine tvor ijo 3-dimenzionalni prostor, pravokoten na dano pr emico. • 3-dimenzionalni prostor je lahko tudi pravokoten na ravnino ali na dr ug 3-dimenzionalni pr ostor. • Dve ravnini sta lahko medsebojno pravokotni na dva različna načina. Če ležita v istem 3-dimenzionalnem prostoru in sta v njem pravokotni v običajnem smislu , gre za nepopolno pravokotnost. Ravnini pa sta popolnoma pr avokotni , če je vsaka pr emi ca ene ravnine pravokotna na vsako pr emico druge ravnine. Lega posamezne točke je v ravnini določena (površno povedano) z razdaljama od dveh pravokotno se sekajočih premic in v našem tridimen- zionalnem prostoru z razdaljami od treh paroma pravokotnih ravnin . Po Fitc hu je zato analogno lega točke v 4-dimenz ionalnem prostoru določena z njenimi razdalj ami od štirih paroma pravokotnih 3-dimenzionalnih pro- storov. Te razdalje merimo vzdolž štirih paroma pravokotnih premic , ki, po dve in dve, določajo 6 paroma pravokotnih ravnin , po tri in tri pa 4 paroma pravokotne 3-dimenzionalne prostore. Fitch uvede tudi pojem geomet rijskega telesa v 4-dimenzionalnem pr ostoru. Telesa v našem t ridimenzionalnem prostoru so omejena z rav- nimi ali krivimi ploskvami, telesa v 4-dimenzionalnem prostoru pa so deli tega prostora, omejeni 3-dimenzionalnimi ravnimi ali ukrivljenimi hiperploskvami. Hiper6bla je množica vseh točk, ki so v 4-dimenzionalnem prostoru enako oddaljene od dane točke, središča hiperoble. Njeni pr eseki z ravninami so krogi, preseki s 3-dimenzionalnimi prostori pa naše obl e. Če bi hipersfera s polmerom r potovala skozi naš prostor, bi jo doj eli kot ob lo, katere po lmer bi najprej postopoma naraščal od O do r in nato postopoma pad al od r do O. 328 Matematika I Medtem ko je v našem prostoru vsega 5 pravilnih po liedrov (t etrae- der, kocka, oktaed er, do dekaed er in ikozaeder), lah ko po analogiji dobimo v 4-d imenzionalnem prostoru 6 pravilnih hiperpoliedrov, ki jih omejujejo pravilni poliedri . To so G5 (om ejen s 5 tetraedri) , Gs (omejen z 8 kockami) , G16 (omejuje ga 16 tetraedrov) , G24 (om ejen s 24 oktaed ri), G120 (om ejuj e ga 120 dodekaedrov) in G600 (površje sestavlja 600 tetraedrov) . Najpreprostejši med njimi je Gs, imenovan t udi hiperkocka , čeprav ga omejuje več teles kot G5 . Ima 16 vogalov , 32 robov , 24 lic (kvadratov, ki so stranske ploskve mejnih kock) in 8 mejnih kock. V vsakem njegovem vogalu se st ikajo 4 paroma pravokotni robovi, 6 kvadratov in 4 kocke. Vs ak rob je skupen 3 kvadratom in 3 kockam, vsak kvadrat je stranska ploskev dveh kock. Vsaka mejna kocka ima torej po en skupni kvadrat s šest imi kockami od preostalih sedem. Tudi do generacije hiperkocke lahko pridemo z analogijo . Če dalji co premaknemo za eno njeno do lžino (enoto) v smeri , pr avokotni na daljico, dobimo kvadrat . Ko tega prem aknemo za enoto v sme ri, pravokotni na njegovo ravnino, opiše kocko (slika 1) . Hiperkocko gen eriramo tako, da 3-dimenzionalno kocko vodimo za dolžino ene nj ene stranice v smeri , pravokotni na naš prostor. Vendar že 3-dimenzionalne kocke na 2-dimenzionalne m list u papirj a ne moremo zares predstaviti . Tr etjo smer - pravokotnico na prvi dve - nadomest i na sliki smer, ki poteka poševno na prvi dve smer i. Slika 1. Slika 2. Mat ematika Pri sliki hiperko cke lahko četrto smer, ki je pr avokotna na vsakega od treh medsebojno pr avokotnih robov kocke, narišemo pr avokotno na naš o t retj o, poševno smer. Sliko 2 smo povzeli po ar hitekt u Claudu Bragdonu, ki jo je leta 1913 objavil v učbeniku Osnove višjega prostora. Fi t chev esej govori t udi O te m , daje svoboda gibanja v 4-dime nzional- nem pr ostoru večja kot v našem pr ostoru. P roblem a se spet loti z ana lo- gijo. Medtem ko je v ravnini edini ti p rotacije zas uk okrog točke , imamo v 3-dime nzionalnem prostoru rot acijo okrog pr emi ce in v 4-dimenzionalnem prostoru rotacijo okrog ravnine. Dveh simetričnih ravninskih likov, kakr- šna sta t rikot nika na sliki 3, ne moremo prevesti drugega v drugega z gibanjem zgolj v njuni ravnini. Če pa enega od nj iju zavrt imo za 180 0 skozi 3-dimenzionalni prostor okrog črtkane osi, se pokrijet a. Podobno velja za dve simetrični t elesi (slika 4) . Z nobenim pr emikanj em po našem prostoru ne moremo doseči , da bi sovpadli. Z rotacijo enega od njiju za 180 0 okrog ravnine v 4-dimenzion aln em prostoru pa to lahko dosežemo. Med rotacijo telo izgin e iz našega prostora ( če se telesi sekata , ostaja v našem prostoru le njuna presečna ploskev) . Slika 3. A B B' Slika 4. Dober mod el, kako naj bi izgledala ro tacija 3-dime nzionalnega objek- ta skozi 4-dimenzionalni pr ostor , najdemo v knji žici Geometry, Relativity and the Fourth Dimension, avt orja Rudyja Ruckerja (Dover Publications, 1977) . Oglejmo si sliko kocke, ki nas gleda izza tega list a papirja (slika 5a) . Njeno desno oko je t rikot no , levo okrog lo. ~a ) - - - / / / / / / / / - - - / I I '<: »: I I Mat ema tika I Slika 5a. Slika 5b . Slika 5c. Pa predpost avimo, da bi bil t a list pap irja ogledalo. V te m primeru bi bila zrc alna slika kocke na naši strani list a , obrnjena z zadnjo stranjo proti nam (slika 5b). Očitno ni mogoče obrniti kocke v 3-dimenzionalnem prostoru t ako, da bi prešla v svojo zrcalna sliko. Njeno desno oko bi ostalo t rikotno, medt em ko je desno oko zrcalne kocke okroglo. Če pa pogledamo sliko 5c, je videti, kot da prehaja med sliko kocke in njeno zrcalna sliko. To figura , nari sana brez oči (slika 6), po znamo pod imenom Neckerjeva kocka . Če nekaj časa strmo gledate vanjo, spontano preide v svojo zrcalna sliko in nazaj (prever ite!) . Če poskrbimo , da se slika večkrat za menja , se nam hipn a menjava položajev zaz di kot zvezno gibanje. Toda to je lah ko zvezno gibanje le, če gre za rotacija v 4-dimenzionalnem prostoru. Morda smo s te m v resn ici sprožili 4-dimenziona lni pojav v svoji zavest i. Slika 6. Mat ematika Fitch v svojem eseju še pove, da ima v 3-dimenzionalnem prostoru gibanje 6 prostostnih stopenj , namreč 3 translacije vzdolž treh premic in 3 rotacije okrog njih , v št iridimenziona lnem pa kar 10, in sicer 4 translacije vzdolž štirih premic in 6 rot acij okrog šestih ravnin. Na koncu se Fi tch dotakne se t udi topoloških problemov. Če bi bila obla up ogljiva (gibka), bi lahko v 4-dimenzionalnem prost oru , br ez razte- zanj a ali ra ztganin , obrn ili njeno notranj ost nav zven , kot npr. obrnemo rokav pri obleki. Dva člena verige bi lahko ločili brez lomljenja. Naš i vozli so v 4-dimenzionalnem svetu neuporabni. Tako bi lahko vozel s slike 7 razvozljali , ne da bi premaknili pri trj ena konca. Slika 7. Mi pa zaključimo razmišlj anje o četrti dimenziji še z eno pr edstavo, ki vodi do hudomušnega zaklj učka, na katerega sem naletela v knjižici Rudyja Ruckerja. • Točka deli pr emico na dva ločena dela. • P remica deli ravnino na dva ločena dela . • Ravnina deli 3-d imenziona lni prostor na dva ločena dela. • 3-dimenzionalni prostor deli 4-dimenziona lni prostor na dva ločena dela . Torej tudi naš prost or deli 4-dimenzionalni prostor , katerega del je, na dva ločena dela. Da bi prešli iz enega v drugi del , moramo nujno skozi naš tridimenzionalni prost or. St are religiozne slike prikazujejo Zemljo kot neskončno ravnino, ki deli 3-dimenzionalno vesolje na dva dela: zgorn jo ali nebeško polovico in spo dnjo polovico, pekel. Boljša je predst ava , da je naš 3-d imenziona lni svet , ki ga zasedamo, pr av t ist i 3-dimenziona lni prostor, ki ločuj e nebesa in pekel, sestavna dela 4-dimenzionalnega hiperprostora. Vsak padli angel, vržen iz nebes , je moral skozi naš svet na svoji pot i v pekel. Marija Ven celj Fizika I UČINEK TOPLE GRE DE IN VROČE POLETJE Vroči dnevi poletj a 19981 so bili pogosto vzrok za razmišljanje o t em , zakaj je bilo te daj tako vroče . Modno je bilo trdit i, da je poletj e vroče zar adi t .i. učinka t opl e grede . P oleti 1998 je bi lo v Ljub ljan i namerjeno rekordno veliko št evilo vročih dni. Kar 33 dni (en dan več kot v, do ted aj , rekor dne m letu 1994) se je najvišja dnevn a temperatura dvi gn ila nad 30 stopinj Celzija . Kako pride do učinka tople grede in kakšne so njegove posledice? Ra- st linjaki in tople grede so namenj eni goje nju vr tnin in rož, ki so občutlj ive na mraz. Zakaj je v to plih gred ah to pleje kot na po lju? Pod nevi se zrak pr i t leh segr eva zaradi sončnega sevanja. Sončni žarki prodrejo skozi atmosfero in seg rejejo t la , od t al se segreje t ud i zrak pri t leh. Če nad po ljem zapiha veter , odnese top li zrak st ran od tal in temperatura spet pade. Kako pa je v topli gredi? Sončno seva nje prodre tudi v rast linjak in v njem segreje t la t er zrak nad njimi. Ker topli zrak ne mo re iz rastlinjaka , je t emper atura zraka v njem višja kot nad odprt im poljem. (P odobno močno se segreje t udi zrak v avt omo bilu, ki st oj i na soncu .) Top le grede in ras tl inj ake vr tnarji najpogost eje upor abljajo spomladi in jeseni . Tedaj so noči lahko hladne in na polju bi rastl ine pozeble. Poleti t opl e grede zračijo , da se rastline ne pregrejejo in ne ovenejo. Ponoči se t la ohlajajo zarad i infrardečega seva nja, ob hladnih t leh se ohlaja t ud i zrak. V rastlinjak u ponoči seva steklena st reha, na nj eni spodnji st rani se ohlaj a t udi v ras tli njaku zaprt i zrak (steklena st reha se t ed aj pogosto oro si). Če je rastl inj ak nar ejen iz stekla , pot em pride do izraza t udi zmanjšanje energijskih izgub zaradi sevanja. St eklo namreč slabo prepušča infrardeče sevanje, samo pa seva , vendar pri nižji t empe- raturi kot t la . Hlad ni zrak se v ras t linjaku spušča in po lag om a se ohladi ves zrak v njem . Tem peratura zraka v rastl injaku pa ponoči ne pade tako nizko kot nad poljem , saj je izhodiščna večerna tempe rat ura v ras t linjaku višja , v njem ne piha veter , pa t udi ohla janje zaradi sevanja skozi streho je manj učinkovito kot ohlajanje polja v jasni noči . V toplih gredah , ki so pokrite s po lietil en sk imi folijami, je to pleje le zarad i zad rže vanja to plega zraka, sa j te folije prepuščajo infrardeče sevanje. Kakšen pa je učinek to ple grede v ozračju? Ker imajo tl a , ozračj e in ob laki tempe raturo blizu ledišča , oddajajo po P lanekovem zakonu toploto pret ežno kot infrardečo svetlob o. Obenem so površje t rdne Zemlje, vodne površin e, zasnežene in ledene površine v 1 P risp evek smo od avtorj a pr ejeli p red dvem a letoma . I Fizika infrardečem delu sp ektra skoraj povs em črna t elesa (t o pomeni , da skoraj vso vpadlo infrardečo svet lobo absorbirajo). Za de le ozračja so last nost i, ki vp livajo na prenos energije z infrardečim sevanjem , bistveno odvisne od konce ntracije vode (H20), ozona (03 ) in oglj ikovega dioksida (C02 ) . Količina triatomnega plina CO2 je v ozračju precej stalna in ta plin je v zraku dobro pomešan z dvoatomnima kisikom in dušikom , ki prepuščata infrardeče sevanj e. Bistveno bolj sp remenljiva je količina vodne par e: zelo vlažni de li ozračja , še pos eb ej ob laki, v kateri h je vodna para nasičena, so v infrardečem delu spektra skoraj črni, jasno in suho ozračje pa del infrardečega sevanja prepušča . Vodna para je v infrardečem delu sp ektra najpomebnejši sevalec, sa j pri sp eva kar 70% vsega infrardečega sevanj a , ki pr ide iz ozračja . Poleg vodne pare je pomemben sevalec vinfrardečem delu spektra tudi CO2 . Poglejmo si vp liv sevanja vodne pare in ogljikovega dioksida najprej v jasni noči s suhim zrakom. T la tedaj sevajo v infrardečem delu spektra in sevanje potuje skozi atmosfero . Del tega sevanja se absorbira v CO2 , hkrati pa t udi CO2 sam infrardeče seva. Po lovica tega sevanja gre naprej v vesolje, po lovica se ga vrne nazaj proti t lem . T la infrardeče sevanje CO2 prestrežejo in se zaradi tega dotoka energi je manj ohl aj ajo , kot bi se v primeru , če v atmosferi ne bi bilo sevajočega CO2 . Kako je v oblačnih nočeh? Če je v atmosferi t udi vodna para (in te je v oblakih obilo, oblak i pa so sestavljeni iz drobnih kapljic) , potem sevaj o v atmosferi ogljikov dioksid , vod na para in oblačne kapljice . Količina sevanja, ki jo izseva atmosfera in katere del pr ejmejo t la , je zato bistveno večja kot v jasni noči, saj smo povedali, da vodna para prispeva kar dvakrat več infrardečega sevanja kot CO2 . V oblačni noči se zato zrak pr i tleh dosti manj ohlad i. Sevanje triatomnih plinov iz atmosfere pa . seveda t la prejemajo t udi podnevi, le da je tedaj sončno sevanje daleč najmočnejše . Podnevi skozi atmosfero prodira tudi sončno sevanje. Triatomni plini ne vp livajo na prehod vidnega dela tega sevanja, pač pa absorbirajo dele infrardečega sončnega sevanja. Ta absorpcija je razlog za direkt no segrevanje posamezni h plasti ozračja. Po leg ogljikovega dioksida in vod e so v ozračju občasno v različnih koncentracijah prisotni t udi drugi tri- in večatomni plini , npr. 0 3 , CH4 , N02 , NH3 , ki večinoma nastajajo zarad i človekove dej avnosti. Tudi t i plini pr isp evajo k sevalni bilanci . Sevanje oblakov, vodne pare, ogljikovega dioksida in drugih triato- mnih plinov v atmosferi zmanjšuje ohla janje površja tal. Zar adi tega je atmosfera pr i t leh toplejša, kot bi bila , če t eh plinov ne bi bilo. Vidna svet loba pr ide do tal in tla podnevi segreva , infrardeče sevanje tal pa se absorbira in emit ira v atmosferi. Infrardeče sevanje se vrne iz atmosfere Fizika I k tlom in tako je ohlajanje tal nekoliko manj izrazito . Količina po novno izsevane infrardečesvet lobe je odvisna od koncentracije t riatomnih plinov. Večje so kon centracije , manjše je oh lajanje, t emperatura t al in atmosfere se zato dvi gne . Učinku triatomnih plinov na ravnovesje tokov infrardečega sevanja popularno rečemo "učinek tople grede" , plinom, ki povzročajo ta učinek, pa "plini tople grede" . Vidimo, da je razlog za segrevanje zraka v rastlinjaku različen od ra- zloga za zm anjševanje ohlajanja Zemlje zaradi sevanja triatomnih plinov. Izraz "učinek tople grede" pa se je v vsakodnevnem pisanju kar dobro prijel in nesmiselno bi ga bilo odprav ljati. Zaradi človeških aktivnosti se konc entracije CO 2 , NH 3 , CH 4 in še nekaterih drugih plinov v Zeml jini atmosferi povečujejo . Od predindustrij- skega časa do kon ca 20. stoletja se je povprečna koncentracija CO 2 v vsej Zem ljini atmosferi povečala z 280 ppm na 360 ppm (za 28%) . (1 ppm je en masni de l primesi , npr. CO 2 , na mili jon masnih delov zraka.) Večj a kon- centracija CO 2 vp liva na emisivnost atmosfere in tako na gostoto energij- skega toka v atmosferi izsevanega infrardečega sevanja. Ob povečanju kon- centracije ogljikovega dioksida prejmejo tla več atmosferskega infrardečega sevanja. Z modelskimi izračuni so ugotovili, da bi se pri podvojitvi konc entra- cije CO 2 s 300 ppm na 600 ppm morala povprečna t emperatura na Zem lji dvigniti za 2 do 4 K. Ti izračuni so seveda precej nenatančni, saj na energijsko bilanco Zem lje ne vplivajo samo sevalne razmere. Povejmo še, da so se v klimatski zgodovini Zemlje koncentracije plinov tople gr ede precej spreminjale, spreminjala se je t ud i njena povprečna temperatura. 345 340 335 I: 0- o- 330 ru o u 325 na [ , d~A, 315 vVv VVV 3 10 "'5''''5CC,';:-;,."',cc,';:-;62"',""3"',,;-'-;,:-;-,';:-;66""-::"",,,"',"","'"',."',:7,"'"'''''''-::'3"',."::,-::', "'"',,"::,"',0::,,"::,"',,0::."=,-:-',,o::,"=,,,,,,,.,J, LETO Slika 1. Koncentracij e C 0 2 v ozračj u v za d nj ih desetl et j ih , kot so jih namerili v observatoriju na Mauna loa (Havaji) (Bullet in WMO) . Fizika Povprečno t emperaturo Zemlje lahko pr eprosto izračunamo. Ener- gijsko bilanco Zemlje kot planeta najprej zapišemo tako, da vzamemo trdno zemljo, oceane in atmosfero kot eno samo telo . V tem primeru sta pomembna pr edvsem dva energijska tokova: • Sončevo obsevanje jo (Sonce obs eva pol ovico zemeljske ob le, pri čemer je razporedi tev absorbirane moči po površini osvetljene pol ovice od - visna od albeda/ a in od kota med normalo na pov ršj e in smerjo sončnih žarkov.) • Sevanje Zemlj e, ki izhaja iz vse zemeljske površine. (Zemlja seva skoraj kot črno te lo, v infrardečem delu spektra je emisivnost ' c ~ 1.) Iz Zemljine notranjosti sicer teče proti površini nekaj toplotnega toka, ker je notranjost Zem lje vroča , vendar je t a toplotni tok mnogo manjši od sevalnih tokov, tako da ga lahko zanem arimo. T la in morja tudi shranjujejo in oddajajo toploto v dn evnem in letnem ciklu . Če vzamemo dovolj dolg časovni interval, lahko stanje obravnavamo kot stacionarno, da torej za Zem ljo kot celoto velja, da se energija sevanja, ki jo prejme Zemlja od Sonca, izenači z energijo, ki jo Zemlja izseva v vesolje: (R je po lmer Zemlje.) Od to d izračunamo povprečno temperaturo Zemlje T = ((1 ~:)jo ) 1/ 4 . Če vzamemo, da je povprečni albedo Zemlje a = 0.35 in jo = = 1367W1m2 , dobimo za povprečno t emperaturo Zemlje 250 K (-23°C) , kar ust reza temperaturi v zgornji tretjini troposfere . Dejanska tempera- tura površja Zemlje je višja zaradi učinkov plinov tople gred e. Takšno temperaturo , kot smo jo izračunali zgoraj , bi imela Zem lja v primeru, če ne bi imela sevajočega ozračj a. Da bi ilustrirali učinek atmosferske tople grede na temperaturo na Zemlji , naredimo še drugo, manj poenostavljeno oceno. Dobimo jo , če 2 Alb edo (odbojnost) je last nost površin e telesa, ki nam pove, kolikšen del svetlob- nega toka se na površini odbije . 3 Tudi emisivnost je las t nost površine telesa in nam pove, kolikšno je pri po samezni va lovni dolžin i razm erj e med sevanjem sivega in črnega telesa enakih površin. Večina t eles je sivih, kar pomeni, da telo del sevanja odbije . Fizika I j oz r ajo VESOLJE poleg trdne Zemlje in veso lja up ošt evamo še ozračj e. V pribli žku predpo- stavimo, da ozračje povsem prepušča sončno sevanje, tako da se sončno sevanje absorbira le na t leh. Atmosfera pa naj deln o abso rb ira in emit ira dolgovalovn o infrardeče sevanje, ki izhaj a iz tal. SOlce. 1 (1 - c:) j tal Jo T LA OZRAČJE__j'-----_~='"'--jtal _j 1(1 - a i i « j oz r Slika 2. Tr iplastni mod e!: vesolje , ozračje, tl a . Prikazani so sevaln i tokovi , absorpt iv- nosti in emisivnost i. Če označimo sevanje at mos fere z jozr in sevanje t al z j t a! , op išemo ravnotežje gostot ene rgijskih tokov na meji med ozračjem in vesoljem (slika 2) z enačbo jo(1 - a) = 4 ( (1 - c )jozr + j t a l) . Fak tor 4 na desni strani enačbe dobimo, ker Zemljo obseva Sonce le po eni strani, sama pa seva z vse površine. V vesolje seva ozračje, deloma pa pr ide v vesolje t ud i sevanje s tal. Ozračj e sp rejme del dolgovalovn ega sevanj a t al in ga v enakih delih izseva navzgor in navzdol: cjta! = 2jozr , na meji med ozračjem in t lemi pa velja energijsko ravnotežje ( 1 - a)jo + 4jozr = 4jtal . T la absorbirajo del sončnega sevanja, prejmejo po l sevanja atmos fere in sama seva jo. Z upošt evanjem St efanovega zakona za sivo telo (ozračj e) dobimo iz prve zveze oz. T t al ~ 1.19 Tozr . Fizika Iz energijs ke bilance ozračja dobimo, spe t z upoštevanjem Ste fano- vega zakona , še eno zvezo med Ttal in Tozr , od koder lah ko določimo obe temperaturi. P ri albedu a = 0.35 in emisivnosti E = 0.7 dob imo za te mperaturo ozračja 234 K in za temperaturo tal 279 K, kar veliko bolj ustreza dejanskim razmeram na Zemlji pri tleh kot rezultat pr ejšnjega izračuna . Infrardeče sevanje iz atmosfere je to rej razlog, da je povprečna tem- peratur a Zemlje nad lediščem in da je zato na Zemlji možno življenje v sedanji obliki. Kljub približnosti je mogoče na osnovi gornjih enačb ocen it i, kaj bi se zgodilo s temperaturo tal in atmosfere ob spremembi koncentracije CO2 . Zar adi te spremembe se spremeni emisivnost E. Če pri te m ostane albedo nespremenjen, se temperatur i tal in zraka spremenit a, kot kaže tabe la 1. emisivnost 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 1.0 T ozračja 230 232 234 236 239 250 T tal 273 276 279 281 284 297 Tabe la 1. Spreme mbe t emperat ur e zraka in tal (v K ) ob spremembah emisivnosti ozračja pri a lbe d u 0.35 . Zadnji sto lpec tabele 1 je nam enjen le ilustraciji t ega, kaj bi se zgodilo s temperaturo na Zemlji, če bi ozračje absorbiralo vse infrardeče sevanje. V tem pr imeru bi bila povprečna tem peratura t al kar 297 K (24°C) v pr imerjavi s sedanjimi 279 K (6°C). Takšne sevaIne razmere vlad aj o na Veneri, le da je tam gostota vpadlega energijskega to ka dost i večja kot na Zemlji in je te mu pr imerno višja t udi temperatura v "Venerini topli gredi". Poleg direktnega vp liva povečanega infrardečega sevanja na te mpe- raturo zraka in tal, vpl ivajo na energijsko bilanco še drugi učinki. Naj navedemo le nekatere: 1. Zaradi povečane t emperature se poveča izhlap evanje, zaradi večje količine vlage pride do večje oblačnost i in zato do povečanja albeda Zemlj e. Albedo močno vpliva (glej zgornje enačbe) na temperaturo ozračja in Zemlje , saj je od albeda odvisna energija sončnega sevanja, ki sploh pride v ozračj e . Zar adi povečanega albeda se te mperatur i znižata (tabela 2). albedo 0.25 0.30 0. 35 0.40 0.45 0.5 T ozračja 243 238 234 230 225 219 T t al 289 283 279 273 267 261 Tabela 2. Spremembe te mperature zraka in tal (v K) ob spremembah albe da, pr i em isiv nos t i 0.7. De belo je zapisano sedanje st anje. 338 Fizika I Na alb edo Zemlj e ne vplivajo le oblaki, pač pa tudi aerosol (droben lebdeč prah) , ki v ozračj e prihaj a iz nar avnih virov (vulkani, puščave , morj a , vegetacija) in ant ropogenih virov (indust r ija, kmetij stvo, pro- met). Povečanje konc entracij e aerosola povečuj e alb edo Zemlj e. 2. Zemlj a se na spreme mbe v ene rgijski bilanci, np r. za radi poveča­ nja infrardečega sevanja at mosfere , ne od ziva takoj, pač pa s pre- cejšnj im časovnim zaost ankom, saj je toplot na kapaciteta trdne Ze- mlje in oceanov velika . Če privzamemo, da je toplotna kapacitet a ozračja 1 enota (vse ozračje nad enim kvadratnim metrom zeme ljske . površine tehta 10000 kg , specifična toplotna kapaciteta zraka je okoli 1000 J kg- 1K- 1) , je toplotna kapacit eta prvih 10 (globinskih) metrov trdnih t al okoli 2.4 enote (gostota tal je okoli 4000 kg /m3 , specifična toplotna kapaciteta pa okoli 2000 Jkg- 1 K - 1 , trdna t la pokrivajo 30% Zemlj e) in toplotna kapacit et e prvih 50 (globinskih) metrov oceana približno 15 enot (voda se lahko meša in za t o se segr evaj o in ohla jajo deb ele plasti; gostota je 1000 kg/m3 , specifična to plot na kapacit et a 4200 Jkg- 1K - l, ocean pokriva 70% Zemlj e) . Za segr evanj e tal in oceana je torej potrebno dosti več toplote kot za segrevanje vsega ozračj a . Opomba . P ri izračunu razmerj a toplot nih kap acit et za celot no Zemljo ozračje : t rdna t la : ocean = 1 : 2.4 : 15 smo upoštevali, da se segre va al j ohlaja le zgornja plast morske vode, v resnici pa se v nekaj stoletnem časovnem intervalu postop om a segreva t udi globoka oceanska voda. 3. Po površju Zemlje je količina vp adlega sončnega sevanja neen ako- merno razporejena zar adi razlik v zenit nem kotu Son ca med ekvat o- ria lnimi in p olarnimi kraji in zaradi nagnjenosti zemeljske osi (letni časi ). Zar adi razlik v segrevanju prihaja do razlik v zračnem priti sku po Zemlji in zaradi t ega do vetrov in vr emenskih sprememb. Vetrovi pren ašaj o toploto iz toplejših tropskih kraj ev proti hladnejšim polar- nim. Podobno velja za morske tokove , ki jih delno poganjajo vetrovi , delno pa razlike v temperaturi in slanosti morske vode. Zaradi t eh transportov so spreme mbe temperature ozračja , nastale zaradi učinka tople grede , za brisane. Zaradi povišane te mperat ure in povečane vlažnosti prihaj a do pogo- stejšega razvoja konvektivnih obl akov in do nast anka slojast ih obl a- kov ter s t em do mehanskega transporta toplega zraka v višj e plasti ozračja, s čimer se poveča tudi infrardeče sevanje v vesolj e. I Fizika 4. Spr emembe koncentracije CO2 in sprem embe temperature bistven o vpli vaj o na ras t line na kopnem in v morju. Rastline večinoma pri fo- tosintezi porabljajo CO 2 za izdelavo sladkorje v; pri te m se sprošča ki- sik. Povečana te mpe ratura praviloma ugodno vpliva na učinkovitost fotosinteze ras tlin, s te m se poveča absorpc ija CO2 iz ozračj a. S kr i- vulje na sliki 1, ki kaže sprememb e CO2 na Zemlji , lahko razločno raz - beremo letni hod koncentracij CO2 . Minimum koncentracije ustreza pomladi na severn i polobli , sa j tedaj tam rastline najbolj bo hotno rastejo in se zat o koncentracija CO2 zmanjša . Po drugi st ra ni pa rastline pri višj ih t emperaturah t udi močneje dihajo in zato oddajajo več CO 2 . 5. Daleč najpomembnejši sevalec v infrardečem delu sp ektra in zato naj - pomembnejši plin topl e grede je vodna para ; k infrardečemu sevanju pri sp eva t udi sevanje oblakov v ozračju . Skupaj prispeva voda kar 70% vsega učinka tople gre de . Zar adi povečane količine vlage v zraku , ki je posl edica povečanega izhl ap evanja zaradi višje te mpe ratur e, bi se moralo povečati t udi sevanje vodne par e. Vendar je količina vlage v zraku zelo spremenljiva (včasih je jasno, drugič pa oblačno , pri vodi ves čas prihaj a t udi do vtekočinjanja in izhlape vanja, do sub limacije in dep ozicije), tako da je, globalno gledano, vpliv vodne pare na učinek tople grede ves čas približno enak. Pri dose danjem razmišljanju smo se omejili na vodno par o in na ogljikov dioksid v ozračju . Količina CO2 , ki v naravnem ravnote žju kroži med ozračjem , tlemi, oceani in rastlinstvom , je zelo velika , človeška akt ivnost (predvsem sežiganje pr emoga , nafte in plina) pa k te mu pri sp eva le majhen , a pomemben neuravnoteženi del. Pod obno kot CO2 vpl ivajo na spremembe infrardečega sevanja tudi metan (sprošča se iz močvirij, riževih polj in iz gnoja) , amonijak (iz umetnih in naravnih gnojil) in ozon (nastaj a kot posledica onesnaž evanja z dušikovimi oksidi iz izpušnih plinov). Kot smo že omenili, se je koncentracija oglj ikovega dioksid a , pa t udi drugih plinov to ple grede v zadnjih desetletjih dvigala. Iz primerjave med sliko 3 in sliko 1 pa lahko vidimo , da se je povprečna t emperatura ozračja dvigala in padala kljub stalnem naraščanju koncentracije toplogrednih plinov. S slike 3 tudi lahko razberemo, da se je povprečna t emperatura na Zemlji v zadnjih 100 letih dvignila za okoli 0.8 K. Spremenljivost in kaotičnost dogaj anja v ozračju je namreč tako velika , da je odraz povečane koncentracije toplogrednih plinov zaenkrat še slabo določljiv. 1940 1960 1980 1 1 ' I I I I ' 1 I I 1 Fizika I1340 'c 1880 1900 1920 0 .8 I i ~ 0 ~1 oo J ..j - D 8 J , I ' 0 .8 0 .4 0.0 - 0. 4 -0 . 8 I I I I I lij ! '! I I l ' 1 I 0. 8 0. 4 -0 .8 ,-r--l--~~+~~+~,-L 1880 1900 1920 1940 1960 1980 LETO Slika 3. Potek te mperatur e zraka na Zemlj i v nekaj zadnj ih desetl etjih. Črtkana črta pred stavlja odstopanje letne povprečne tem perature na Zemlj i od povprečja za ob do bje 1961-1990 , deb ela črta pa drseče petl etno povprečj e (povzeto po Bulletin W MO ). Odgovo r na uvodno vprašanje, ali je bilo poletj e 1998 v Slovenij i vroče za radi učinka tople grede, je torej takle: DA , VENDAR NE ZARADI POVEČEVANJA KO NCENTRACIJE P LINOV TOP LE GREDE. Od let a 1997 do let a 1998 se je koncentracija CO2 povečala le malenkostno, povprečna t emperatura ozračj a pa kar precej . Nihanja v povprečni let ni t emperat ur i ozračj a na Zemlji so, kot vidimo s slike 3, kar po gosta . Tomaž Vrhove c I Zanimivosti - Razvedrilo SODOBNI RASTLINJAK V VOKLEM PRI KRANJU P ri iskanju zun anj e opreme za to številko P reseka smo obiskali t udi dru- žinsko vr tnar stvo Kozjek v Voklem pri Kranju, ki se ukvarj a z gojenje m okrasnih rastli n. Karavanke in Kamniške Alpe v neposredni bližini je tedaj še pokri vala nekaj metrska snežna odeja, v njihovem rastlinjaku pa smo nalet eli na eno sa mo cvetočo pokrajino z lastno pozno pomladansko klim o v malem (sliki na strani III in spodnja slika na strani IV). Ljubeznivi last niki so nam dovolili fotografiranje in t udi razložili delovanj e naprav v rast linj aku. Stene in streha rast linjaka so iz dvojn ega st ekla , dele strehe je moč odpirati in zapir ati podobno kot pri običajnih toplih gre dah. Im a pa rastlinjak t udi lastno malo vremensko postajo , katere de l vidimo nad dost avnim avtom na sliki na stra ni III . Post aj a je povezana z računalnikom, ki , glede na po trebe vzgaj an e kul ture, poskrbi za rastlinam najugodnejšo klim o v rastlinj aku . Glede na trenutne in predvidene po- trebe krmili računalnik ogrevanje rastlinjaka (peči so v kletnih prostorih rastlinjaka , dimnika pa sta vidna t udi na sliki) , zračenje (avtomatsko odpiranje strehe in delovanje ventilatorjev) in še kaj . Najzanimivejše se nam je zde lo, kako je poskrbljeno za ravno pravo osvetl jenost gojenih rastlin . Na spo dnj i sliki na strani III vidimo v vsej širini ras tlinjaka nad rastlinami vodoravne zavese iz nekakšne po lprosojne, delno aluminijaste t kanine. Zapiranj e in odp iranje zaves ur eja računalnik , v katerega so vnešeni pod atki o potrebni osvetljenosti goj enih rast lin in ki dobi va podatke o t ren utni osvet ljenosti iz merilnih naprav. V času našega obiska je bilo vreme zelo spremenljivo in doživeli smo, da so se v nekaj minutah zavese kar dvakr at zaprle in odprle. Poskrbljeno je t udi za dodatno osvet ljevanje, kad ar je potrebno . V zimskih mesecih npr . dodatno osvetljujejo sadike pelargonij, ki v času rasti potrebujejo več svetlobe, kot je pr i nas te daj daje narava. Seveda imajo sodobnemu rast linjaku primerno ur ejeno t udi vlaženje zraka in zalivanje rastlin. Na sliki notranjosti rastlinjaka vidimo ob desni st rani prehoda črne šobe zalivalne linij e, pr it rjene na premičnih kovinskih gred ah z rožami. Da je v rastli njaku za ras tl ine primerno poskrbljeno, kaže njihova kakovost . Lep je pog led na nepreg ledno množico cvetočih zdravih in čvrstih rast lin. Prijazni vtis dopolnjuje še izjemna urejenost znotraj in zunaj rastlinjaka. Marija Vencelj Računalništvo - Naloge I 2001. . . KOT POTENCA ŠTEVILA 2 P red časom sem nalet el na nalogo, v kat eri je avtor mimogrede navrgel, da za vsako naravno št evilo N obst aj a t ako naravno število n , da je začetek (desetiškega) zapisa šte vila 2n ravno N . Pri N = 1 lahko npr . vzamemo n = 4, saj je 24 = 16, pri N = 5 ustreza ti = 9 (29 = 512) , pri N = 9 pa n = 53 (25 3 = 900719925474099 2). Sp rva trditvi nisem povsem verjel , kmalu pa sem se prepričal , da v celoti drži. Dokaz sploh ni t ežak , sloni pa na dejst vu , da je desetiški logarit em števila 2 iracionalno število. Pravzaprav velja celo neko liko močnej ša trdit ev, in sicer , da za vsako naravn o šte vilo N obstaja ne- skončno nar avni h šte vil ti z opisano lastnostjo . Vabim vas, da poskus ite poiskati najmanjše nar avn o število n , za katero se bo deset iški zapis števila 2n začel ravno s št evilom N = 2001. Br ez računalnika naloge skoraj gotovo ne bo st e usp eli rešit i, pa tudi z računalnikom verjetno ne bo šlo povsem gladko. Mart in Juvan LAHKA ARITMETIČNAKRIŽANKA V tabelno kri žanko vstavi v prazna okenca ustrezne računske operacije (+, - , x ), enakost (=) in manjkajoča št evila tako , da bo do računi veljavni v desno smer in navzdol. 5 1 5 1 O 5 = 125 I O 25 4 = 100 = I 1 50 2 5 -- 15 O 5 5 20 O 8 10 5 10 20 O O 5 25 I K armen Puconja I Nove knjige ZGODOVINA MATEMATIKE ZGODBE O PROBLEMIH - 2. del Pred natanko enim letom smo v Preseku predstavili pr evod prvega dela knjige Zgodovina matematike - zgo dbe o problemih. Tokrat bo mo govor ili o prevodu drugega dela , ki je pred kratkim izšel v knjižnici Sigm a. Tud i to knjigo sestavlja vrsta daljših člankov , katerih avtorji so raz iskovalci v francoskih inšti t utih ~a raz iskave v matematičnem izobr aževanju (IREM) . Drugi del ima devet poglavij. Vsako je posvečeno ene mu mate- matičnemu problemu, katerega reševanje je sprožilo nastan ek in ra zvoj kakega pomembnega dela sodobne matematike. Prvo poglavje se začne pri štet ju , vendar nas že po nekaj st raneh popelje na pot do teorij e množic. Dru go pog lavje zastavlja subtilno vprašanje , zakaj za računanje ne zadoščajo ulomki. V tret jem pog lavj u spoznamo presenet ljivo dejst vo, da (za razliko od ploščin likov) prostorn ine danega tel esa ne moremo vedno določiti t ako, da bi ga razdelili na manjša pravilna te lesa . Za reš itev iz zadrege smo prisiljeni poseči celo po integralskem računu . V četrtem poglavju se poskušamo vživeti v način razmišljanja starog rških matematikov in dojeti , zakaj so menili, da le uporaba ravnila in šestila zagotavlja čistost geometrijskih konstrukcij. V petem pog lavju najdemo nadvse zabavno poročilo o dveh rahlo okajeni h pr ijateljih , ki se opotekata po cesti in se izmenično obtožuj eta , da drugi ne hodi naravnost. Naslednj i dan začneta razpravo, kaj je ravno in kaj ukrivljeno ter kako pojma ločimo . Čeprav dandanes geomet rijo pogosto obravnavamo zelo statično , kot sklop osnovni h po jmov in trditev, v šestem poglavju spoznamo, da je geometrija tesno pove zana z gibanje m in da nam kinematični pogled omogoča njeno bo ljše razumevanje. Ljubitelji odvetniških nadaljevank bodo prišli na svoje v sedmem poglavju , ki se ukvarj a z matematično­ pravnim zapletom, ali je dopustno pripisati nekaterim dolžinam negativni pr edz na k. Tožilec in obramba se izmenj ujeta v ra zpravi, tudi prič ne manjka. Razsodbo in obrazložit ev najdete na koncu poglavja. Osmo poglavj e je posvečeno enemu najznamenit ejših matematičnih problemov vseh časov: utemeljevanju nav idez očitnega dejstva, da skozi vsako točko poteka nat anko ena vzporednica k dani pr em ici. Zadnje poglavje bo spreobrn ilo tiste, ki so jim kompleksna števila skrivnostni nebodigatreba. Govori namreč o imaginarnih številih in nj ihov i ' resničnost i' . Povejmo še, da je knjiga, čeprav obravnava pomembna in globoka vprašanja, zanimivo in ne pr ehudo zahtevno branje. Zato jo toplo pr i- poročam vsem, ki radi pokukaj o v zgodovino in v ozadje matematičnih problemov ter metod, ki jih srečaj o v šoli. Petar Paoe ši č Astronomija I KRATER VEGA Že s prostim očesom razločimo na Luni svet le pr ede le ~ "celine" , ki zavze- majo večj i del Luninega diska (okoli 60%) , in temna področja - "morja" (ki zavzemajo okoli 40% Luninega diska) . Naj značilnej š i za Lunino po- vršje pa so krat erji , bolj ali manj okrogle, vulkanskim žre lom podobne tvorbe (čaše) , ki so jih odkrili tudi na planetih in drugih lunah našega osončja. Kraterje na Luni lahko opazujemo že z daljnogledom 3 do 5-kratne povečave in lovski daljnogled je za to prav primeren. Na z Zemlje vidni strani (polovici) Lune bi lahko našteli okoli 300000 kraterjev s premerom od enega do st o kilometrov, le dvanajst kraterjev pa ima prem er večj i od 200 km (upoštevana je tudi nam nevidna Lunina stran, kjer so pri obkroženju Lune kraterje fotografirale sonde) . KRATERJI PO PREMERU nad 500 401 do 500 301 do 400 201 do 300 PREMER (v km) 100 ~~ r ~ :~ \- ~ 50 ~ ~~ 1 ~: 20 - 10 l 0 ,1 --""- - 2 do 100 Slika 1. Odvisnost števi la Luninih kr aterj ev od nj ihovega pr emera . Graf je narejen na podlagi podatkov za 137 kraterjev iz Naut ica l Almanac 2001. V obrisih svetlih in temnih predelov na Luninem disku (polna luna), vidnih s prostim očesom , so ljudje že zdavnaj videli različne st vari (žensko, junaka, konjenika , živali - npr. zm aja, zaj ca , celo človeški obraz) . Re- snično sliko Luninega površja pa je človek sp oznal šele po odkritju dalj- nogl eda v začetku 17. stoletja. Prvi je z daljnogledom pogled al Luno veliki it alijanski fizik in astro- nom Galileo Galilei (1564 do 1642). Na Luni je vid el gore in doline . I Tako je prvi ugotovil (1610), da so v vesolju Zemlji po reliefu podobna te lesa. P isal je : "Kot se površje naše zeme ljske kr ogle v glavne m deli na IAstronomija dva dela - celinsko in vodno - tako t udi na Luninem disku vidimo veliko razliko: eni deli so bolj sveteči, drugi manj. " S tem je že izrekel domnevo , da so lahko kakor na Zemlji tudi na Luni mor ja in oceani. Slika 2. S kr aterji in go rami posejan del Luninega površj a - za ho d na st ran Morja deževij (Mare Imbrium). Sever je zgo raj, vzhod levo . Z Lu nine kart e sa m i ugotov it e imen a večjih krater jev . R azsežn ost i d vanajs t ih največjih Luninih kr aterjev . Im e kr aterj a Apollo Korolev Grimaldi P lanck Mendeleev Poi ncare Bailly Van de Graaff Schickard Clav ius D 'Alemb er t Humboldt P rem er 500 km 450 km 410 km 340 km 330 km 320 km 300 km 235 km 225 km 225 km 225 km 205 km A stronomija I Slika 3. P redel Lun inega površj a , kjer leži krater Vega . P rva poimenovanj a podrobnosti na Luni so bila dana v prvi polovici 17. stoletja, ko so s t eleskopi začeli živahno proučevati površje našega sa- t elita . Belgijec M . F . van Langren je na svoj i Karti L une (1628) označil okoli 270 podrobnosti in mn oge od njih imenoval z imeni biblijskih oseb , svet nikov in znanih ljudi svojega časa. Teh imen danes ne up orablj amo. Astronomija Današnje imenovanj e tvorb na Luni ima pr avzaprav začetek v delih Polj aka J. H evelija (Selenograflja, 1647) te r It alij anov G. B. Ricciolija in F. M . Grimaldija (Novi A lmagest, 1651). Hevelij je uvedel v sele- nografij o (lunepis) izraze morje (mare) , jezero (lac us), močvirje (palus), zaliv (sinus) za označevanje t emnih lis različnih od tenkov in velikosti . Nekaterim gorskim predelom na Luni je dal imena zemeljskih gorskih sistemov (np r. Alp e, Ap enini ). Riccioli in Gr imaldi sta t udi poimenovala številne Lunine tvorbe . Za imena kraterjev sta uporabila imena mitoloških oseb (At las , Herkul, Merk ur , Kefej , En dimion) , svetnikov (Dionizij, Katarina) , teologov (Ciril, Clavij, Teofil), pesnikov in učenj akov st ar e Grčije in Rima (Arat, Arhimed , Hero dot, P linij, Taci d), učenjakov srednj ega veka (Ab enetra, Abul'feda) in svojih sodobnikov (Cavalierri, Kircher , Landsberg, Longomontan, Ste- vin, Schickard) . Z vse bolj zmog ljivimi te leskopi so opazovalci odkrivali na Luninem pov ršju vedno več novih kraterj ev in jim daj ali imena . Posebno veliko imen se je po javilo na kar tah Lune, ki so jih priskrbeli J. Schroeter (1791), J. Maedler in W . Beer (1837) , J. Schmidt (1878) in J. N. Krieger (1898). Leta 1935 so po priporočilu Mednarodne astronomske zveze (lAU) sestavili katalog koordinat nekaj t isoč Luninih kraterjev in drugih po- dro bn osti Luninega reliefa . Let a 1959 je sovjets ka avtomatična postaj a Luna-3 prvič fot ografi- rala z Zemlj e nevidno stran Lune in sovjetski zna nstveniki so dali imena prvim tvorbam, ki so bile vidne na posnetkih. Let a 1965 je sovjetska post aj a Zond-3 fotografirala še večje število tvorb na nevidni stani Lune, nakar so vse površje Lune natančno raziskali ameriški in sovjetski um etni Lunini sate lit i. Let a 1970 je lAU za imena kr aterjev privzela št evilna imena astronomov , astronavtov (raketna tehnika) , fizikov, optikov, geofi- zikov, kemikov, biologov, celo še živih ljudi , npr. ameriških in sovjetskih astronavtov (Anders, Bormann, Lovell, Armstrong, Collins, Aldrin , Leo- nov, Tereškova). Med vsemi pa je krater Vega edini, ki je posvečen kakemu Slovencu. To je veliko pr iznanj e našemu matematiku Juriju Vegi (1754 do 1802), ki se je ukvarj al t ud i z astronomijo in fiziko. V 18. stolet ju je veljal za enega naj bolj pri znanih znanstvenikov tedanje Avstrije . Kr ater Vega sta prvič vrisala v svojo Lunino kar to Maedler in Beer let a 1837. Leži na z Zemlje vidni strani precej daleč na južni st ra ni Luninega diska ob J užnem morju (Mare Aust ra le) . Vzemite v roke kakšno dob ro Lunino karto in ga posku site sami najti . Marijan Prosen Astronomija I PREDLOGI ZA RAZISKOVANJE V ZVEZI S KRATERJEM VEGA Velike počitnice so pred vrati . Šolskih skrbi bo km alu konec. P redl agam, da v po letnih mesecih nekaj časa (dni) namen it e astro nomij i. P rij avit e se na astronomski tabo r in poskušaj te tam po leg ostalih akt ivnos t i razi- skovat i t udi krater Vega. Danes imajo astronoms ka društva po Slovenij i že zelo zmoglj ive t eleskop e, tako da to ne bo preveč težko. Vendar pa opozarjam , da s te leskopo m opazovat i in povrhu še fotografira ti kr ater Vega ni mačji kašelj . Na to se morate zelo dobro pripraviti (v kakšni meni je te daj Luna , kd aj , s čim in kako opazovat i, da bo potekalo vse v redu in prav). Sicer pa mislim , da bi krat er Vega lahko raziskovali na različne načine : lit erarno (pišemo domišljij ski spis, esej, zgodbo ), zgodov insko ( iščemo zanimivost i iz časa Vegovega življenja , s pomočjo enciklop ed ij spoz navamo ljudi, ki imajo na Luni svoje kraterj e) , naravoslovn o (opazujemo z dalj- nogledom - ugotavlj amo razne fizikalne količine, merimo kot , v kat erem je krater viden, računamo nj egov premer , sence na Luni ). Ker je Presek revija , ki spodbuja astronomske dejavnosti , sam pa sem t udi iz te st roke, vam predlagam, da poskušat e ugotoviti po datke o kraterju Vega , predl agane v naslednji tabe li: Poskusimo poiskati naslednje podatke o kraterju Vega selenografska do lžina: . selenografska širi na : . op azovanje: dne čas . teleskop: vrs ta ločljivost povečava . op is opazovanja: . fotogr afir anj e: t eleskop povečava čas osvetlitve . opis opazovalnih razme r: . izmerj eni zorni kot: kotnih minut i zračunani prem er : . . . . . . . . . . . . km višina obrobnega hribovja: . druge značilnost i v okolici kraterja: . br skajte po knigah in si še sami si kaj izmislite: . Marijan Prosen INovice NAJVEČJA ZNANA PRAŠTEVILA NEKOČ IN DANES Čeprav je defin icija praš t evila enost avna in vsakomur razumljiva, je pre- sen etlj ivo veliko vprašanj v zvezi z njimi še vedno odprt ih . Celo tako preprosta naloga, kot je ugotoviti , a li je dano naravno št evilo praštevilo , je lahko zelo trd oreh. Preprost in dobro znan postopek , Eratoste novo rešeto1 , p ostane pri ugot avlj anju praštevilskosti velikih števil (z denimo nekaj tisoč števkami) zelo zamude n in praktično neuporaben. Prav na dejst vu , da je za velika števila težko preveriti, a li so praštevila ali ne, sloni ena najrazširjenejših met od šifriranja sporočil (glej članek: M. Ven celj , Šifriranje z javnim ključem, Presek , letnik 22, št . 6 (1994-1995), stran 354- 357). Že antični Grki so vedeli, da je praš t evil neskončno mnogo. Kljub temu pa prav velikih praš t evi l niso poznali . Prvo praštevilo om embe vredne velikosti lahko zasledimo pri it alijanskem matematiku Pietru Ca- t ald iju" , ki je leta 1588 pr avilno pr everil , da st a št evili 217 - 1 = 131071 in 219 - 1 = 524287 praštevili . Ti dve šte vili sta zarad i svoje majh- nosti ravno še primerni za up orabo Eratoste novega rešeta. Če želimo namreč preveri ti , da je dano število n pr aš t evi lo, je dovolj preveriti , da n ni deljivo z nobenim pr aštevilom, ki je manjše ali enako kvadratnemu korenu iz šte vila n . Cataldiju pa so bi la vsa prašt evi la med 2 in kor enom zgornj ih dveh št evil že znana. Opogumljen s svoj im rezultatom je Catald i domneval , da so t ud i števila 2" - 1 za n = 23,2 9,31 in 37 prašt evila . Da je bil a njegova do mneva napačna pri n = 23 in n = 37, je dobrih 50 let kasneje dokazal zname nit i matematik Fermat. Podobno se je go dilo Cataldijevi domnevi pri n = 29. Pač pa je imel več sreče pri šte vilu 231 - 1 = 2147483647. Leta 1772 (torej še dobrih sto let za Fermatom ) je Euler namreč s pr ecej spretnosti dokazal , da je to število res pr ašt evilo . Prvo veliko prašt evilo, ki ni ob like 2" - 1 (praštevilom oblike 2" - 1 pravimo danes Mersennova pr ašt evi la - o njih bo govora v eni nas le- dnjih št evilk Preseka), je leta 1867 našel Landry. Njegovo praštevilo je v resni ci praštevil ski deli t elj št evi la 259 - 1 in znaša (259 - 1)/ 179951 = = 3203431780337. Do prave revolu cije pri iskanju velikih prašt evi lje prišlo 1 E ratos ten (276- 194 pr. n . št .) . Roj en je bil v današnji Libiji , nekaj časa je deloval v Ate nah , kas neje pa se je preselil v Aleksandrijo v Eg ipt u , kjer je bil med d ru gim imenovan za vodjo znamenite a leksand rij ske knjižnjice . Tam je t ud i umrl. 2 Pi etro Catald i (1548- 1626) . Roj en je bi l v Bologni. Od 17. leta da lje je poučeval matem atiko v različnih kr ajih It al ije, med drugim t udi na univerzi v Perugi. Leta 1584 se je vrnil v Bo logno, kje r je poučeval mate m at iko in astronomijo vse do svoje smrti. Novice I let a 1876 , ko je francoski matematik Eduard Lucas' odkril domiseln in prep rost kr iterij , ki preverj anj e, katero šte vilo oblike 2" - 1 je praštevilo, močno olaj ša . S svojo metod o je dokazal , da je 39-m estno število 2127 - 1 pr ašt evilo. Lucasov rezult at že predstavlja uvod v računalniško dobo iskanj a velikih praš t evil. Danes si iskanja velikih prašt evil brez pomoči računalnika ne moremo zamislit i. Po zaslugi Lucasovega testa so računalniki posebej uspešn i pri iskanju velikih Mersennovih praštevil. Tako je med desetimi največjimi, do sedaj znanimi praštevili, kar sedem Merse nnovih. Največja št ir i so bila odkrita s pomočjo velikega int ernetskega iskanj a Mersennovih praštevil (GIMP S - Great Internet l'vIers en ne Prime Search) , v katerega se lahko vključi vsakdo, ki ima dostop do interneta. O projektu GIMPS lahko br alc i Preseka več izvejo na intern etskem naslovu www . mersenne. org, kaj več o njem pa bo mo nap isali t ud i v P reseku , brž ko bomo v ur edništvu zbrali nekaj vti sov sodelujočih. Po leg iskanja veliki h praštevil je zelo zanimivo in te žko iskanj e t.i. prašt evilskih dvojčkov . Pravimo , da prašt evili p in q tvorita praštevilski dvoj ček , če se po absolutni vrednosti raz likuje ta za natanko 2. Tako so praštevilski dvoj č ki: (3,5), (5, 7) , (11, 13) , (17, 19) , it d. Tako kot za Mersennova praštevila t ud i za praštevilske dvoj čke še vedno ni znano, ali j ih je neskončno mnogo ali ne. To vprašanje sodi med najznamenitejše in najst arejše odprte probleme s področj a t eorije števil. Za konec si oglej mo še tabeli šestih največjih , do sed aj znanih, pra- šte vil in praštevilskih dvojčkov . prašt evilo št. mest od kr it elji letnica odkritja 26972593 - 1 2098960 GIMPS 1999 23021377 - 1 909526 GIM PS 1998 22976221 - 1 895932 GIM PS 1997 21398269 - 1 420921 GIMPS 1996 21257787 - 1 378632 Slowinski , Gage 1996 4859465536 + 1 307140 Scott, Gallot 2000 Tabela šes t ih največjih praštev il 3 Ed uard Lucas (1842- 189 1) . Rojen je b il v Amien su v Fr anciji . M ed francosko- p ru sko vo jno (1870-1871) je slu žil v fra ncoski vojski ko t t opniški častnik. Po francoskem porazu se je za p os lil kot profesor m a temat ike na ene m od p ariških licej ev . R a ziskovalno je deloval pred vsem n a področj u t eorije števil. Njemu pripisujemo odkritje formule ..;5Fn = (( 1 + ..;5 )/2) n - (( 1 - ..;5 )/2 )n za n-ti člen F ibonaccijev ega zaporedja Fn. I Novice - Rešitve nalog praštevili št . odkritelji let n icamest odkr it ja 1807318575 . 298305 ± 1 29603 Underbakke, Carmody, Gallot 2001 665551035 . 280025 ± 1 24099 Unde rbakke, Carmody, Gallot 2000 1693965 . 266443 ± 1 20008 La Barbera, Jobling, Gallot 2000 83475759.264955 ± 1 19562 Underbakke, J obli ng , Gallot 2000 4648619711505. 260000 ± 1 18075 In diekofer, Jarai, Wassing 2000 2409110779845 . 260000 ± 1 18075 Indiekofer, Jarai , Wassing 2000 2230907354445 . 248000 ± 1 14462 Indlekofe r , Jarai, Wassing 1999 Tabela šestih največj ih praštevilskih dvojčkov Primož Potočnik LABIRIN TI N A POLIEDRIH, 2. del - Rešitev s str. 259 33 32 63 62 34 35 36 61 41 37 60 40 39 38 59 50 51 58 74 75 76 64 31 44 43 42 49 52 53 54 57 73 82 77 65 30 29 45 46 47 48 5 4 1 55 56 72 81 78 66 28 24 23 15 16 71 80 79 67 27 25 22 7 26 21 9 8 20 10 11 68 19 18 12 69 70 17 13 Izi dor Hafner Zan imivosti - Razvedrilo I KRIŽAN KA "ZA ČISTO OKOLJE" STRUPENO POKOJNI EGIPT. NARI\VNA IME VISOKAVZHODNI DEL SREDSTVO AMER JANEZ AVSTRAL. KRALJICA, ONOSTRAN· TEKOCIN" NEKDANJE PLANOTA OlHABSBURŠKE PLAVALEC KI JEVSE ROMUNSKE MONARHIJE PROTI RE2ISER BROJAN THORPE CEZARJEVA STVO BOLJ ONE· TEKAČ iCE JZ OD REZMRZOVANJU (JOSHUA) LJUBICA SNA2ENA MELINTE SARAJEVA PLIN, K! I PfNlFOCA I UCINEK I TOPLE I GREDE I ZViŠEVANJE I TEMPE· I :~~A I I REDKA OSLOV TE2KA VOZ GLAS KOVINA LEl (Nd) NEKDANJI NEKDANJI SL RADIO- MEGLASBENI TEHNIK SLOG, ANGLE$KI (MARIJ) VOf IZVIRAJOČ TEKAC ~ TOVI IZ JAMAJKE (SEBASTIAN) NASICILIJI GOO[ IZOBČENJE OSNpvNI ~NACRT. SL. PSIHO· ZASNOVA LOGINJA (MIRJANA) LUKANA NEKDANJI OBRAMBNI I HOKAIDU MINISTER (JELKO) AlUMINIJ KEMiČNO PRALNO LANI UMRLI SLOVENSKI SREDSTVO TVNOVINAR (MILE) ZOBNIGLAS . V1;ČJANAPRAVA lA - PROJICIRANJE KEMiČN I r~JcjNEPROZORNIH SLIK KMETUSKI STRUP PIVO NIZOZ. ~ :iS ~ 10cl. 'N Ql Qi o 5 O O 20 40 60 80 100 Letni dohodek [1000$] Slika 1. Hist ogr am s podatki o let nem do ho dku na prebivalc a za preb ivalstvo ZDA (v t isoč i h do lar jev) . Povzeto po učbeniku ekonomije Samue lsona in Nordhausa. Računalništvo Tak histogram lahko pr etvorimo t udi v krivuljo, ki jo ekonomisti imenujejo Lorenzova in pr i kateri nan ašamo na absciso kumulati vni delež prebivalstva, na ordinato pa ust rezni kumulati vni delež premoženja ali dohodka (oboje v odstotkih). P rimer takih krivu lj vidimo na sliki 2. Na absc isni osi Loren zove krivul je je pr ebivalst vo razporejeno, od t istih z najnižjimi prot i t istim z višj imi dohodki. Če v dru žbi vlada pop olna enakost, je Loren zova krivulja premica (pikčasta kr ivulja na sliki 2), sicer pa se usloči navzdol , saj ima majhen del pr ebivalst va v lasti velik del bogastva. Bolj ko je kr ivulj a usločena, bo lj razsloj ena je družba. Tako nekoliko zlomljena črtkana krivu lja na sliki 2 ustreza pod at kom o davčnih zavezancih za Slovenijo za leto 1999, kot nam jih je posredovala Davčna upr ava Republike Slovenije . Pod atki so nekoliko skopi (le šest davčnih razredov) in verje t no ne ustrezajo povsem dejanskim prem oženj skim raz- meram v družbi , saj je daleč največ zavezance v prist alo v najnižjem davčnem razredu . 100 80 ~ 3500o ~ .o Ql 3000(lJ o .2 2500 's 2 2000 >(f) 1500 1000 500 O O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Premoženje Slika 3. Porazdelitev po premoženju med osebki, ki nas top ajo v simulac iji , po sto mil ijonih, dvesto milij onih, t risto milij onih itd . poskusov prilaščanja premoženja med osebki. Vsak osebek je v začetku razpolagal s 100 enotami premo ženj a . I Računalništvo Da je porazdelit ev v povprečju res stacionarna, vidimo, če si ogledamo odv isnost največjega premoženj a v populaciji od naraščaj očega šte vila int erakcij med osebki (slika 4). Ta se sprva hi tro povzpne na vrednost pribli žno 370-t ih enot in nato opleta okoli te srednje vre dnosti . Še en "dokaz" stabilnost i sist ema in postopka dob imo, če v začetku postav imo premoženja vseh osebkov razen enega na nič , izbrani srečnež pa poseduje milijon enot . Dobljene porazdelitve premo ženj a, Lore nzove krivulje in povprečni potek največje vred nosti premož enj a se ne razlikujejo od t ist ih , ki jih da enakomerna začetna porazdelit ev bogastva. 500 ..-----r----r-----r---~--___, 450 400 Q) .~ 350 'N ~ 300 ol ci. 250 Q);g- 200 > '(ij" 150 z 100 50 O O 2e+08 4e+08 6e+08 Število interakcij 8e+08 1e+09 Slika 4 . Od visnost največj ega pre možen ja v populaciji od naraščajočega števila int e- rakcij med ose bki, Vsak ose be k je v začetku razpolagal s 100 eno t am i pr emoženj a , Loren zove krivulje so manj usločene za družbe z uveljavljenimi ko- rekcijskimi socialnimi mehanizmi , kot so na primer skandinavske države. Zanimivo je, da s spreminjanjem največjega de leža premoženja, ki ga lahko sposobnejš i odvzame šib kej šem u pri posamezni interakcij i, zares dobimo različno nesimetrične porazdelitve bogastva in ust rezno različno usločene Lor enzove kr ivulje te r seveda raz lične povprečne in največj e vrednosti pr emoženja. Če sedaj odpravimo omejitev , da je vsota premoženja v ekonomiji konst antna, se sicer spremenijo največj e , najmanjše in povprečne vred no- st i premoženja, to da stopnja neenakosti v družb i ostane enaka. Tako lahko Računalništvo I ob vsakem posku su odvzema premože nja med dvema osebkoma enega od njiju ali pa nekoga tret jega nagradimo s povečanjem pre može nja za določen odstotek. Ekonomija kot celota ras te, to da razmerja med osebki se ne porušijo in Lorenzove krivulje ohranijo obliko. Simul acija , ki smo jo predstavili , je preprost primer pr istopa k reševa- nju problemov iz realnega svet a, ki mu pr avimo matematično modeliranj e. V fiziki je še posebej priljubljena njegova podzvrst , pr i kateri zgradimo model iz "prvih prin cipov " ~ osnovnih zakonitosti , ki veljajo za sestavne dele st ru kt ure, ki jo opaz ujemo , in ne za st rukturo kot celoto. Zakoni tost i slednje nato dobimo kot rezultat interakcij med njenimi sestavnimi deli. Te zakonitost i so lahko močno drugačne , ali celo v nasprotju s pravili, ki veljaj o za grad nike. Klasičen pr imer takega pri stopa v fiziki je kinetična t eorija plinov, pri kateri med drugim izpeljemo enačbo idealn ega plina iz Newtonovih zakonov gibanja. V resni ci porazdelitev osebkov po prihodku na sliki 3 spominja na Maxwellovo porazd elitev molekul plina po hitrosti. Lahko si predsta- vljamo, da t rku dveh molekul in prerazporeditvi njunih gibalnih količin ustreza slučajni mehanizem prilaščanja premoženj a med dvema osebkoma. Ta ko pot rebuj emo za osnovni model neenakosti premoženja v dru žbi le sod elovanje med osebki in naključnost izidov njihovih srečanj. Tako kot ena izmed molekul plina nujno pristane v repu Maxwellove porazde litve, eden izmed osebkov našega modela pač obogati. Ali kot je dejal junak dela "Good as Gold", znanega pisatelja J osepha Hellerj a , avtorja uspešnice "Kave lj 22", ko je raz miš ljal o tem, kdo v deželi pogumnih , ki je dom mogočnih , uspe: "All it t akes is du mb luck." 1 V zadnjem času je način razvoj a modelov, kakršn ega smo opisali, vse bolj pril jubljen t udi pri raziskovanju kompleksnih sist emov v družboslov- nih zna nost ih , kjer ga imajo nekateri sploh za edino pravo pot. Zgradili so že zahtevne simulacijske sist eme , s katerimi proučuj ejo različne vidike socialnega in ekonomskega vedenja, pa t udi bioloških zdru žb , npr. mra- velj . Več o tem lahko br alec najde v zanimivih poljudnih delih "Turt les, termites, and t ra ffic jams : explorat ions in massively parallel microwords" avtorja Mitchela Resni eka te r "Growing artificial societies: social science from the bottom up" avtorjev Joshue Epst eina in Robert a Axtella . Tim Vidmar, Andrej Likar 1 Šteje sa mo go la sreča. I Rešit ve nalog RAZMERJA DOLŽIN V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU - Rešitev s str. 263 V pravokotnem t rikotniku ABe velja oce na c :::: 2v , pri čemer velja enačaj le v primeru, če je trikotnik tudi enakokrak (slika) . . G" A Če na obe h straneh straneh t e oce ne prišt ejemo v, do bimo c+v :::: 3v in od tod po kvadriranj u (ker je c + v > O in v > O) Ke r je c2 = a2+ b2 in 2p = cv = ab, sled i c2 + 2cv = (a + b)2. Zato je (a + b)2 :::: 8v2 oz . Obema stranema te neenačbe prištejemo (a + b)2, upošt evamo, da je (a + b)2 = c2 + 2cv , in dobimo 3Ker je a + b > O in c + v > O, sled i po kor enj enju 2y'2 (a + b) :::: c + v oz. iskana ocena c+ v 3V2- - <--a+ b - 4 . Enačaj velja le za enakokrake t r ikotnike. Dragoljub M. Milo ševi č, prev. Marija Vencelj Fizika I PTICE NA DALJNOVODU Na eni od spletnih strani s pogost imi vprašanj i iz fizike nalet imo t ud i na vprašanje: "Kako lahko sed ijo pt ice na daljnovodu, ne da bi jih elekt r ika poškodovala?" Odgo vor se konča t akole: "Če se ptica used e na daljnovod , četudi na vod nik pod napetostjo , se to k ne more sk leniti [do drugega vodnika]. Zato ptice visoka napetost ne moti ." P odob no zagotavlja jo nekateri učbeniki fizike v poglavju o električnem toku, da bi se učenci zavedali , kako je za to k potreb en sklen jen električni krog, ne samo goni lna napetost. Za ptico daljnovod ne pomeni resnične nevarnosti , če se ne zalet i vanj ali če ni tako velika , da bi se hkr ati dotaknila dveh vodnikov . Vprašanje pa je, ali ptice rad e sedajo na žice daljnovodov. Opazovanj a tis t ih, ki raziskujej o navad e pt ic, so kljub razširje nemu drugačnernu mnenju pokazala , da pt ice ne sedajo na fazne vodnike daljno- voda. Usest i se ut egnejo le na ničelni vodnik . Do po java pride zaradi tega, ker je na daljnovod priklj učena izmenična napetost s frekvenco 50 S-l (v Severni Ame riki je frekvenca 60 S- l ). Pri enosrnerni nap etost i prejšnj i t rdi tvi ne bi bilo kaj do dati. Spomnimo se pos kusov , pr i kat erih človeka izolirajo in ga povežejo z enim od obeh priključkov visokonapetostnega generatorja. Las je se p ost avij o pokoncu , ko začne delovati generator. Lasje se namreč usmerij o po električnih silnica h , ki približno radialno izhajajo iz glave ali se radialno vanjo stekajo . Pri daljnovo du napetost vodnika proti drugim vodnikom ali zelo oddaljenim te lesom stokrat na sekundo postane enaka nič in spreme ni znak. Lasje se stokrat v sekundi posku sijo post aviti pokoncu in vrn it i v začetno lego . Vendar t ako hitremu nihanju ne mo rejo sled iti, ampak se samo neznatno tresejo , zaradi česar nastane nep rij eten občutek ščemenja v koreninah las ali kocin. S ptičj im peresom so nekdaj , ko še ni bilo elektroskopov in merilnikov napetosti , ugot avljali napetost in naboj. P eresa na pticah se poskušajo odzvati na spremembe električne napetosti pod obno kot lasje, tako da imaj o t udi p t ice na faznem vodniku daljnovod a verj etno po dobno neprijet en občutek . Zaradi toka po vodniku daljnovoda nas tane v nj egovi okolici ma- gnetno po lje . Krožne magne t ne silnice nenehno spreminjajo svojo smer in za to se inducira električna napetost . Ustrezne električ ne silnice so sklejene v ravninah, ki vseb ujejo os vodnika . Toda v magnetnem po lju, ki doseže na površju vodnika največj o efektivno vrednost nekaj tisočin t esla , je inducirana električna napetost pr emajhna, da bi de lovala na živali . Radialno električno po lje zaradi visoke nap etosti na vodniku pa do- seže na površju vodnika jakost okoli deset kilovoltov na centimeter. To je do kaj veliko , saj pri 30 kV j cm nas tane v zraku prebo j v ob liki iskre, I Fizika Električna napeto st med glavo in nogami ptice požene tok, ki je odvisen od velikosti ptice in doseže efekt ivno vrednost nekaj deset tisočin ampe ra. Ta tok je v glavnem po sledi ca te ga , da si lahko mislimo ptico kot kon- den zator z majhno kapacit et o . V ptičjih nožicah doseže gostota t oka več desettisočin ampera na kvadratni centimeter. Znano je, da t ok z gost oto desettisočine ampera na kvadratni centimeter izzove draženje čutnic v koži. Tako obstaj ata vs aj dva razloga , da se ptice na faznih vodnikih daljnovod a ne počutijo dobro, če je napetost dovolj visoka. Opazovanja na daljovodih so pokazal a , da ptice ne sed ajo na fazne vodnike, če efekt ivna napetost preseže 60 kV . P oskusi z ujetimi pt icami v laboratoriju so dali nekoliko višj e mejne napetosti , in sicer 60 kV za vrane, 75 kV za škorce in 190 kV za golobe pismonoše. To ne velj a za ničelni vodnik , ki ga sp oznamo po m anj šem premeru in po t em, da je sp eljan po vrhovih daljnovodnih ste brov. To ne pomeni, da okoli ničelnega vodnika ni električnega polja. Zar adi t ega , ker je ničelni vodnik ozemljen in nameščen na vrhu, pa je to polje, posebno v sme ri navzgor , precej šibkejše kot oko li faznih vodnikov. V zadnjem času veliko razpravlj ajo o morebitnih škodljivih učinkih električnega in magnetnega polj a z zelo nizko frekvenco na živa bitj a. Tukaj smo nalet eli na primer, v katerem polj e - v ne posr edni bli žini vodnikov daljnovoda razm erom a nežno - vpliva na ptice. V večj i razdalji od vodnikov ali pr i nižji nap eto sti za zdaj t akega učinka ni bilo mogoče nedvoumno ugotoviti . Ob koncu nar edimo še nekaj računov in ocen . P ri daljnovodih navedemo efekt ivno napetost , ki je kot kvadratni koren iz povprečnega kvadrata napetosti enaka s korenom iz 2 deljeni amplit udi (največji napetosti). Tako je na primer med faznim vodniko m in ničelnim vodni- kom ali zemljo pogosto izmenična napetost z efekt ivno vr ednostjo 220 kilovolt ov in amplit udo )2·220 kV = 310 kV . Med dvem a od t reh faznih vodnikov pa je izmenična napet ost z efektivno vr ednostjo J3.220 kV = = 380 kV in amplitudo V6·220 kV = 540 kV. Daljnovod Šoštanj-Podlog pri napetosti 220 kV pren aša povprečno električno moč nekaj manj kot 1000 MW, koliko r zmore . (Nekateri drugi naši daljnovodi so nar ejeni za napetost 400 kV .) Na fazni vodnik odpad e trejina te ga, to je od 100 do 200 MW, odvisno od obreme nit ve . Upošt evajmo manj ši podatek. Efekt ivni tok dobimo, ko povprečno moč delimo z efekt ivno napetostjo: 100 MW/ 220 kV = 455 A . Fizika - Rešitve nalog I Fazni vodnik omenjenega daljnovod a ima jekleno žilo s pr esekom 60 mm2 in aluminijast plašč s pr esekom 360 mm'' . J eklo nosi vodnik, aluminij z manjšim specifičnim uporom pa poskrbi za majhen up or. Zunanji pr emer vodnika meri 2,66 cm , tako da lahko računamo z radi- jem r = 1,3 cm. Na površju vodnika je efekt ivna gost ot a magnetnega polja B = flO! = 0,015 T . 2 71"7' Efekt ivno jakost električnega polja na površju vodnika ocenimo z U E = r ln (R/r) = 2500 kVIm= 25 kVIcm. Pri te m smo vzeli za razdaljo do zemlje, proti kateri merimo napetost , R = 10 m. Oba podatka sta blizu ocen 0,008 T in 15 kVl cm , ki ju najdemo v biološki lit er aturi . Jan ez St rn ad KRIŽANKA "TY CHO BRAHE - 400 LET OD SMRTI" - Rešitev s str. 288 ~ .: .:.0.'""'.... 3 - ~, ~ ~ "~ ~,': ~ 1: - _. - K L E P N I K D A N S K A~ o U L o U S E ":.::' o S T E o M R I K S - o B A L E ._. G N -~ ~~ =~ P A Z o V A L E C P R A G A- E B A WfJ: E L A lI:::' E P S I L o N ~ - -= ! T I .- S T E A K .,- K~ --- ž ~ ~ "='N J A ,;;:. I T ~ I G '* P A R F U M"iri T T A R L A P ~. L A K M S ~ M E R A- = ~.- - T I R A N.- R .- N I C o L A S :;: Z o o ~~ -~ - Š K U A N T~ I S A J E ~~ I G L U ~ P L- ~ s o A - I A- o R A L B A ~, D I A L ~' ~ L Č T N o E S T A R R R A B~.. -RN' rr..s>to:< A I E F R I D E R I K -., N N o R ~&-:--'!- K S T A N T = R E N A N A T R A =: E K A N T A ~ C A R ~ A ~ E G K I No vice 363 MULTIMEDIJSKA RAZSTAVA O JURIJU VEGI Dvaindvaj set ega avg usta let a 1800 je .Jurij Vega dobil dedni bar onski naslov. V spo min na t a dogod ek je bila lansko poletj e - natanko dvesto let po podelitvi naslova - na Ve- govi domačiji v Zagorici odprta stalna mul timedijska razstava, ki govori pred vsem o življenju in delu .Jurija Vege. Post avi- tev razst ave je omogočilo Mini- strstvo za obrambo Republike Slovenij e. Razst avo so odprli: m ag. Jože .Jurša z ministrstva za obrambo, ki je govoril o po - menu .Jurija Vege za slovensko vojs ko; prof. dr. Tomaž Pi- sanski s pri spevkom Baron Ju- rij Vega, slovenski matemat ik, in Damj an Popovič , akademski slikar ki nas je kot oblikova- lec razst ave popeljal po njej . Novice - Rešitve nalog I Razstava je narejena na infomatu podjetja Login a in ima nekaj posrečenih likovn ih rešitev , saj so simboli za "napre j" in "naz aj" vzet i s področja, na katerem je deloval Jurij Vega. Tudi vsebina je primerno obsežna in zanimiva. Razstavo smo si lahko ogled ali v začetku februarj a tudi v okviru turističnega sejma v Ljublj ani . Razstava je le eden od razlogov , zakaj vas vabim na obisk Zagori ce. V zadnjem času so okolico Vegove domačij e zelo olepšali ; pred njo je nast al pr avi majhen park. Pobočj a okrog Zagorice so posebno spomladi pr ava paša za oči . Tudi v poletni vročini je - kot smo se prepričali na otvor itvi - tu bistveno prijetneje kot v kot lini pod njo. Zagorica je izhodišče za lepe izlet e na bližnj e vrh ove ali sprehode po malo prometnih poteh. Peter Legiša LABIRINTI NA POLIEDRIH, 3. del- Rešitev s str. 325 39 38 56 37 36 51 35 34 56 10 11 5 6 9 12 28 37 29 34 35 36 4 7 8 13 30 33 44 3 16 15 14 31 32 45 48 47 46 43 42 41 38 27 49 9 10 11 12 40 39 26 50 8 2 1 13 21 22 25 52 51 7 3 4 14 20 23 24 53 54 19 55 18 17 6 16 15 5 Izidor Hafner I Računalništvo - Rešitve nalog 2001 ZENICAMI - Rešitev s str. 263 Naloga sprašuj e po najmanjšem številu enic , s katerimi lahko ob pomoči seštevanja in množenja zapišemo število 2001. Premislim o, kako poteka sestavljanje števil iz enic. Recimo, da želimo zapisat i število n > 1. Zapisi so dve h vrst. Število n je lahko vsota dve h manjših št evi l, npr. n = i + (n - i) . Seveda oba sumanda zapišemo z najmanjš im možnim številom enic. Število upor abljenih enic je pri takem zapisu t ako enako f(i) + f (n - i), smiselne izbire za i pa so od 1 do l~J. Druga možnost je, da št evilo n zapišemo kot produkt dveh manjših števil, npr . n = i -T. Pri t em uporabimo f (i) +.f(T ) enic , v poštev pa pridejo tisti i-ji , ki de lijo n in niso večj i od Vii . Tako smo priš li do naslednj e formule, ki nam pove , kako ob znanih vrednostih f(l), f(2) , . . . , f(n - 1) najdemo naslednjo vrednost .f(n ): vzeti moramo manjšo med vrednostrna min {J(i) + f (n - i ) Il ::; i ::; n/2} in min {J (i ) + f (n / i ) l i deli n in 1 < i ::; Vii }. Naloga sprašuje po vrednosti f(2 001). Njen izračun p o zgornj i formuli zapišimo kot program v jeziku pascal: program Zapis_z_enicami ; const meja = 2001; var f: array [1 .. meja] of i nt eger ; n, i: integer ; begin f[i] := 1 ; for n : = 2 to meja do begin fen] : = n ; { n eni cje zgornjamej a zaj(n )} for i : = 1 to n div 2 do if f[i] + f[n - .i.] < f {n] then f[n] : = f[i ] + f ]ri - i ]; for i : = 2 to trunc(sqrt(n) ) do if (n mod i = O) and (f [ i ] + f en div i ] < f en]) then fen] : = fei] + f en div iJ; end; writeln('f[ ', meja , ' ] =', f [meja]) ; end. Računalništvo - Rešitve nalog I Program izpiše vre dnost f(2 001) = 23. Natančnejši preg led izračunanih vrednosti funkcije f t udi pove, da je najkraj ši zapis števila 2001 v bistvu en sam, in sicer 667 " 2001 = 3 · (1 + 2· 3 · 3 ·(1 + 4.3 . 3)') . '----v--"' '-v-" 18 37 Zapi se z enicami dobimo tako, da v gornji enakosti št ir ico zapišemo kot vsoto ali kot produkt dveh dvojk, dvojke in t rojke pa zamenjamo z vsoto dveh oz. t reh enic. Seveda lahko zaradi komut at ivnosti seštevanja in množenj a spreminjamo t udi vrstni red sumandovoz. faktorj ev . Martin Juvan LAHKA ARITMETIČNAKRIŽANKA - . Rešitev s str. 342 1 1 o 5 x 5 x 5 125 O + 25 x 4 100 100 O + 80 + 20 2 x 5 50 x 2 10 O 42 5 5 + 5 50 + 12 5 20 x 15 + 20 10 25 O 8 O DVA SKRITA RAČUNA ZA MLAJŠE- Rešitev s str. 324 1. račun 999 - 22 + 7 = 984 2. račun 7777 - 555 + 11 - O= 7233 Karmen Puconja Dušan Murovec I Računalništvo - R ešit ve nalog 2001. . . KOT POTENCA ŠTEVILA 2 Rešitev s str . 342 Naj bo deseti ški zapis števila 2n oblike 2001 . . . Če se v pikah skriva k :2: O števk, potem velja 2001 . lOk :::; 2n < 2002 · lOk . Pri gornji neen akost i lahko up orabimo dvojiški logari tem in dob imo ena- kovr edno neenakost k . log2 10 + log2 2001 :::; n < k . log2 10 + log2 2002 . Iščemo najmanjše šte vilo k, za katero bo interval , ki ga določata prvi in zadnj i izraz v gornj i neen akost i, vseboval naravno št evilo (to šte vilo bo iskani n) . Za boljši občutek povejmo, da je log2 10 ~ 3.32193, log2 2001 ~ ~ 10.96651 in log2 2002 ~ 10.96723. Širina intervala je torej dobrih 7 deset.tiso č in . Iskanj a se lotimo z gro bo silo. Začnemo pri k = O in k povečujemo toliko časa, dokler pripadajoči interval ne vseb uje nar avnega šte vila (na- čeloma se seveda lahko zgodi, da program računa in računa , rešitve pa ne najde, saj je iskani k lahko zelo velik). Tule je pr ogr am v jeziku C, ki izvede opisano iskanje: #include #include i nt ma i n(voi d) { cons t double 19 10 = 1 .0 / log10 (2 ); cons t double 192001 l og10 (2001) /log1 0 (2) ; const double 192002 = l og10 (2002) / l og10 (2) ; int k = O; double K; do { K = k * 1910 ; if (f loor(K + 192001) ! = fl oor (K + 192002) ) break ; k ++; } while ( 1); printf("2 -%g 200 1 ... \ n " , fl oor (K + 192002) ) ; r eturn O; } Računalništvo - Rešitve nalog I Števili K + 192001 in K + 192002 sta spodnja oz. zgornja meja intervala. Ker meji intervala niko li nist a celi št evili , lahko preverimo, ali interval vsebuje naravno število tako, da primerjamo celi del spodnje in celi del zgornje meje (dobimo ju s funkcijo flo or iz mat h . h) . Če sta cela dela različna, po tem je na intervalu naravno število. P rogram zelo hitro najde rešitev 28545 = 2001 . . . (to št evilo ima 2573 desetiških števk, torej k = 2569) . Če program nekoliko spremenimo, lahko z njim poiščemo še nadaljnje potence št evila 2, kat erih desetiški zapis ima obliko 2001 .. . Neka j naslednjih je 210681, 212817, 221846, 22:,982 in 226118. Kadar z računalnikom računamo z realnimi števili , moramo biti pa- zljivi, saj so t a števila v računalniku predstavljena le z omejeno na- tančnostj o , zato pri posameznih operacijah prihaja do majhnih zao kro - žitvenih napak. Pri obsežnih računih se te napake lahko zelo povečajo in povsem pokvarijo končni rezultat . No, v gornjem programu do rešit ve računamo le z zmern o velikimi števili, nad njimi pa izvedemo malo račun­ skih operacij, tako da prave nevarnosti ni . Dodatno sem še preveril, da se za k od Odo 2569 nobena od mej intervalov ne približa naravnemu števila za manj kot 10- 5 , tako da je najdena rešit ev gotovo pravilna. Martin Juvan KRIŽANKA "ZA ČISTO OKOLJE" Rešitev s str . 352 >«9"",>$! ~I,~ - ;;;'I! I~I~~.I~: .. 1"",, I.:J:;:, h~.il' 1- ~ I!iiJll ~= 1= ; ~ " .~~ I'I (n - l)n n a i - , kot je bilo potrebno dokaz ati . 11/3. Izb erimo poljubno modro tetivo t in označimo nj eni kr aj išči z A in B. K~e 4n točk izm enoma pobarvano z modro ali rdečo barvo , je na loku AB vsaj ena rdeča točka, št evilo modrih točk na tem~u pa je za 1 manjše od šte vila rdečih točk. Podobno je t udi na loku BA vsaj ena točka rdeča , št evilo modrih točk pa je za 1 manjše od št evila rdečih točk . Tetiva t razdeli kr og na dva dela in po gornjem razmisleku sta šte vili modrih in rdečih točk na vs akem delu različnih parnosti. Torej obstaja vsaj ena t etiva , ki seka tetivo t. Če se nobeni dve modri tetivi ne sekat a , bo po gornjem razmisl eku vsako izmed n modrih te t iv sekala vsaj ena rdeča t etiva. Te tetive so različne , ker se nobene tri ne sekajo v eni točki. Naloga je v tem primeru rešen a . Vzemimo sedaj poljubni dve sekaj oči se modri t etivi: tI = AB in t2 = C D . Če ti dve t etivi nadomestimo s tetivama t~ = A C in t~ = = BD, odpade eno presečišče dveh modrih tetiv. Oglejmo si, kaj se zgodi z ostalimi presečišči. Zar adi sime t rije zadošča analizirati le tetive S I, S 2 in 3 3 . Št evilo presečišč s t etivama 3 2 in 3 3 se ohranja , število presečišč s t etivo 81 pa se zmanjša za 2. Ope- racija "prevezovanja" modrih t eti v nam torej zmanjša št evilo presečišč po dveh modrih tetiv za vsaj eno, število presečišč po ene modre in ene rdeče tetive pa se ne poveča. Po končno mnogo korakih tako pridemo do p oložaja , ko se nobeni dve modri tetivi ne sekata. Ker je t edaj število presečišč po ene modre in ene rdeče t etive vsaj n, je bilo to število tako tudi na začetku. D Tekmovanja I c Ma tja ž Željko 22 . MEDNARODNO MATEMATIČNO TEKMOVA NJE MEST V jesenskem krogu letošnjega 22. matematičnega tekmovanja mest so tekmovalci reševali naloge v dveh de lih , lažje naloge v prvem delu in težje naloge v drugem de lu . Prva skupina (prvi del) 1. V polja 4 x 4 t abele je vpisano 16 števil, tako da je za vsako polje vsota števil v vseh sosednjih po ljih enaka 1. (Polji sta sosednji, če imata skupno st ranico. ) Določi vsoto vseh števil v tabeli. (3 točke) 2. Dan je paralelogram ABCD. Naj bo Mrazpolovišče stranice CD in H pravokotna projekcija oglišča B na premi co AM. Dokaži, da je t rikotnik BCH enakokrak. (3 točke ) 3. (a) Na tabli je napisanih sto različnih realn ih števil. Dokaži , da lahko med njimi izbereš t ak ih osem števil, da njihova aritmetična sredina ni enaka aritmetični sredin i nobenih 9 števil na tabli. (2 točki) (b) Na tabli je napisanih sto celih števil, tako da je aritmetična sredina po ljubnih osem števil s table enaka aritmetični sredini devetih št evil s table. Dokaži, da so vsa št evila na tabli enaka. (2 točki) 4. Med 32 navidezno enakimi kovanci sta dva ponarejena kovanca, ki se od pravih kovancev razlikuj et a po te ži. Vs i pravi kovanci imajo enako težo. Tudi teži ponarejenih kovancev sta medsebojno enaki. Kako lahko z največ št irim i tehtanj i na prime rjalni tehtnici, ki pokaže le, katera izmed tež v posodica h je večja, kovance razdelimo na dva en ako težka kupa? (5 točk) I Tekmo vanja Druga skupina (prv i de l) 1. Trikotniku ABC je očrtana krožnica . Iz oglišča A potegnemo dva po lt raka , ki sekata st ranico B C v točkah I< in L t er krožni lok med točkama B in C v točkah M ter N . Dokaži: Če je I 1. Dokaži , da vsaj eno izmed št evil a , b, e, d ni deljivo s številom ad - be. (3 točke) 3. Dana sta pet strana (lahko poševna) prizma in kot Q . V vsaki stranski ploskvi je vsaj ede n izmed štir ih kotov enak Q . Določi vse možne vrednost i kota Q . (4 točke) 4. Med n navidezno enakimi kovanci st a dva pon ar ejena kovanca , ki se od pr avih kovancev razlikujet a po teži. Vsi pr avi kovanci imaj o enako težo. Tudi t eži ponar ejenih kovan cev sta medseb ojno enaki. Kako lahko z največ št ir imi tehtanji na primerj alni t ehtnici, ki pokaže le, katera izmed te ž v posodi cah je večja, kovance raz delimo na dva enako težka kupa? Nalogo reši za (a) ti = 32 in (3 točke) (b) n = 22. (2 točki) Oglejmo si še nekaj zanimivejš ih nalog iz drugega dela. Prva skupina 1. V desni posodi primerjalne tehtnice je utež s t ežo 11111 g. V posodi te ht nice začnemo zapored po lagati ut eži. Prva utež ima te žo 1 g, vsaka naslednja pa dvakrat to likšno t ežo kot pr ejšn ja. Po nekaj po novitvah se pojavi ravnovesje. Na kateri st rani t ehtnice je t edaj 16 g utež? (6 točk) 2. V spo mladanskem krogu so ud eleženci t ekm ovanja mest neke države reševali šest nalog. Vsako izmed nalog je rešilo nat anko 1000 te k- movalcev , vendar nob ena dva tekmovalca (vzeta skupaj ) nist a rešila vseh šest ih nalog. Kolikšn o je najmanjše možno šte vilo ud eležencev tekmovanja v tej državi? Določi t o število in dokaži, da je res naj- manj še. (7 točk) 3. Tom až ima na razpolago 100 kart, na katerih so zapisana naravna št evila od 1 do 100, kart e označene s '+' in kar t e označene z '=' . Največ koliko veljavnih enakost i lahko sestavi z danimi kartami, če lahko vsako kar to z zapisanim šte vilom uporabi le enkrat in ima dovolj kar t z oznakama '+' oziroma '= ' ? (8 točk) Tekmovanja I Druga skupina 1. Naj bod o al, a2, . .. , an neničelna cela št evila , ki ustrezaj o enačbi 1 al + - - - --,------- = x , a2 +----"- -- 1 an- l + a +.1 n x za vse rea lne vr ed nosti x, pri katerih je leva stran enačbe defin irana . (a) Dokaži, da je n sodo št evilo. (3 točke) (b) Določi najmanj še t ako št evilo n , za katerega obstajajo št evila a l , a2, . . . , an z opi sano las t nostjo. (4 točke) 2. P olja m x n t abele so pob ar vana z dvema barvama. Če p ostavimo trdnjavo na katerokoli polje, ugotovimo, da napada manj polj , ki so pobarvana enako kot polje, na kat erem t rdnjava stoji, kot polj druge barve. Dokaži, daje v vsaki vrstici (oz . stolpcu) št evilo po lj en e barve enako št evilu polj druge barve . Opomba : Trdnjava napad a vsa polj a vrstice (oz. stolp ca ), v kater i (kate rem) se nahaja , vklj učno s poljem , na katerem stoj i. (6 točk) Gregor Cigler 22. MEDNARODNO MATEMATIČNO TEKMOVANJE MEST - Rešitve nalog s str. 372 R ešitve nalog prvega dela P rva skupina 1. V levem diagramu s slike vsako belo polje meji na nat anko eno izmed t reh črn ih polj , iz katerih kažejo puščice . Od tod sled i, da je vsota šte vil v belih kvadratkih enaka 3. Iz simet rije sledi, da je tudi vsota št evil v črnih kvad ratkih enaka 3, kar pomeni , da je vsota vseh št evil v tabeli enaka 6. Desn a t abela s slike kaže, kako lahko tako razpored it ev šte vil res dosežemo, če za števila w,Y, x in z velja w + y = x + z = 1. <4c - - + I '1 • I • "'1- II '1 -~ lV Z !I .1: ;1' O O tu lj O O z z tu .r. .Il I Tekmovanja 2. Označimo presečišče nosi lk da- D ljic AM in BC z N . Ker sta daljici AD in C N vzpo- redni, je