

I PRESEK
200-205
210-213
216-222
206-207
208-209
NA OVITKU
TEKMOVANJA
ZANIMIVOSTI,
RAZVEDRILO
REŠITVE NALOG
NOVE KNJIGE
NALOGE
ASTRONOMIJA
RAČUNALNIŠTVO
NOVICE
MATEMATIKA
F IZIK A
list za mlade matematike , fizike , astronome in računalnikarje
27. letnik, leto 1999/2000, štev ilka 4, strani 193-256
VSEBINA
O številih, ki j ih lahko zapišemo s samimi ena kimi
števkam i (Ivan Vidav ) .
Mer jenj e gostote z ur o (And rej Likar) .
Leonardo da Vinci in fizika (Janez Strnad) .
Osmica (Marij an Prosen ) .
Prvo tekmovanje iz Unixa (Primož Peterli n , Aleš Košir) .
Leo nardo da Vinci, znanstvenik , izumit elj , umetnik
(Janez St rn ad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196-198
Drugo sredozemsko matematično te kmova nje (Darjo Felda ) 213-214
Marijan in Stana Prosen : Prvi po gled (Darja Delač Felda) 215
Piransko so nce (A ndrej Likar) 194
Krožni diagram (Martin Juvan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Številska kri žanka (U rška Demšar) 195
Višine t rikotnika (Marija Ven celj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Največje praštevilo (M arija Ven celj) 195
Tr ikotnika (D ragoljub M . Miloš evi č) 222
Sa t ovje (Mart in Juvan ) 223
Številsk i uganki (M arija Vencelj) 226
Kr ižanka o velikem znanst veniku, izumitelju in umet n iku
(Marko Bokalič) 224-225
Britje - s str. 130 (Mat jaž Ven celj) 198-199
Enakostranična trikotnika - s str. 131 (Marij a Vencelj ) . . . . . . . . 205
Izlušč i in dokaži prav ilo - s str. 145 (Marija Vencelj) 226-227
Dopolni račun - s st r. 131 (M arija Venc elj) 227
Naloge o elipsah iz japons kih t em pljev - s str. 146
(Karmela Milutinovič) 228-23 1
Dva fakt orja brez niče l - s str. 159 (Marij a Vencelj) . . . . . . . 231-232
Poravnani kazalci - s st r. 131 (Mart in Juvan) 232-2 34
Kr ižanka "Odkr itj a tisočletj a" - s st r . 160 (Marko Bokalič) . . . . 234
35 . državn o tekmovanje za Zlat o Vegovo pr iznanje
(Aleksande r Potočnik) 235-236
19. d ržavno te kmova nje iz fizike za os novn ošolce
(Mojca Čepič) 237-243
43. matematično tekmovanje sr ed nješolcev Slovenije
(Matj až Željko) 244-246
Naloge z državnega fizikalnega tek movanj a sred nješolcev
Slovenije v šolskem letu 1998/ 99 (C iril Dominko) 246-254
40 . mednarodna matematična olimpiada - Rešitve
izbranih nalog s str. 158 (Matj až Željko) 254-256
Tartinijev trg v P iranu (foto Andrej Lika r). Glej t ud i na logo
na str. 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Slike k čl anku na str. 210 II, I II
Lju bljana gosti razst avo o Leonard u da Vinciju. Glej t ud i članek na
str. 214 IV
Za vsakogar nekaj I
PIRANSKO SONCE
Pirančaniso ponosni na slavnega rojaka , violinista in skladatelja Giuseppa
Tartinij a. Na tamkajšnjem osr ednjem trgu že od nekdaj st oji spomenik
z njegovim kipom. Ko so t rg prenovili , so osr ednjo ploščad uredili v
ob liki elipse, v nj eno notranjost pa so postavili spomenik (glej sliko na
naslovnici) . Ali je točka , kamor so postavili središče spomenika, žarišče
elipse? Morda bi bralci na podlagi slike znali odgovoriti na to vprašanje?
Izm er ili smo, da je razmerje med veliko in malo polosjo elipse 5:3.
Andrej Likar
KRO ŽNI DIAGRAM
Računalnike pogosto uporabljamo za slikovno predstavitev podatkov. Ta-
ko programi za izdelavo predst avitev in delo s preglednicami vsebujejo
kopico že pripravlj enih ob lik diagramov. Ena od osnovnih ob lik je kro žni
diagram (angl. pie chart) . Na krožnem diagramu z velikostjo kro žnega
izseka ponazorimo, kolikšen del celote predstavlja posamezni del. Različne
oblike krožnih diagramov pogosto vidimo tudi v časopisih in revijah ,
kjer z njimi predstavljajo rezultate volitev , strukturo prebivalstva, de leže
podjetij na trgu itd.
Vabim vas , da v programskem jeziku logo poskusite napisati ukaz
krozni , ki bo narisal preprost krožni diagram. Ukaz naj ima dva para-
metra: seznam vrednosti, ki jih bomo predstavili z diagramom, in polmer
krožnega diagrama.
Klic dia gram [7 5 14 2 8] 15 0 naj npr. nariše diagram z zgornje
slike. Višina in širina slike je 300 enot. Ker je vsota eleme ntov seznama
enaka 36, prvemu izseku pripada 376 polnega kroga (notranji kot izseka
. 70°) d 5 t t ' 14 v t t 2 dni 8 lJe , rugemu 36 ' re Jemu 36' ce r emu 36 ' za njemu pa 36 po nega
kroga . Izseki si sledijo v smeri urnega kazalca, z začetkom "ob dvanajstih" .
Martin Juvan
1 2 3 4
5 6
7 8
9 10
I Za vsakogar nekaj
ŠTEVILSKA KRIŽANKA
Številske kri žanke rešujemo podobno kot besedne. Ed ina ra zlika je, da v
vodoravne in navpične vrstice vpis ujemo števila namest o besed. Odeb e-
ljene črte (names to črnih kvadratkov) nakazujejo presledek med dvema
številoma.
Vodoravno:
1. Devet a pot enca nekega nar avnega šte -
vila.
5. Na jmanjše dvomestno nar avno število.
6. P raštevilo.
7. Koren števila 9 vodoravno.
8. Večkratnik števila 7 vodoravno.
9. Zrcalno število (število, ki se naprej in
na zaj enako 'be re').
Navpično:
2. Potenca šte vila 4.
3. Naraščajoče zaporedne sode števke.
4. Prva števka je produkt drugih dveh.
5. Delitelj števila 9 vodo ravno.
10. Kvadrat celega števila .
Urška Demšar
VIŠINE TRIKOTNIKA
1. Konstruiraj t rikot nik, katerega višine merij o 4, 7 in 10 enot. Koliko
neskladnih reš itev ima naloga?
2. Enaka nal oga za trikotnik , katerega višine merij o 3, 4 in 5 enot .
Marija Vencelj
NAJVEČJE PRAŠTEVILO
Poišči največje pr aštevilo z lastnostjo , da po opustitvi poljubnega števila
števk vedno dobimo praštevilo.
Marija Vencelj
Novice I
LEONARDO DA VINCI, ZNANSTVENIK,
IZUMITELJ, UMETNIK
.}
,.j
/
',J'
Delo Leon arda da Vi ncija, ki bi ga danes
poveza li s fiziko , je opisa no v po sebnem
prispevku na st ra ni 216 .
V Narodnem muzeju v Ljubljani seje
ustavila razstava o Leonardu da Vin-
ciju , ki je obš la že vrsto mest . Od prli
so jo 3. novembra 1999, ogledate pa si
jo lahko do 5. marca 2000. Razstavi
kaže posveti ti vso pozornost , bralc em
Preseka pa naj jo približamo z nekaj
"slikami z razstave" .
P red vst opom v hodnik preb e-
remo na zidu osnovn e pod at ke o da
Vincijevem življenj u in delu te r o
tedanjih dogodkih po svetu in pr i
nas. Na hodniku so na ogled um e-
tniške risbe pokr ajin , št udije konj ,
ljudi in detajlov te r dva kip ca . To
obiskovalcu pom aga, da se laže pr e-
stavi v dru g čas. V veliki dvor ani
naredijo najmočnejš i vti s modeli, ki
so jih zad nje čase izdelali po da
Vincijevih načrt ih . Z zanimanjem si
ogledamo letalski stroj , ki spo minja
na dan ašnjega let alskega zmaja, "he-
likop ter" , pad ali , hidravlični vijak,
naprave za merj enj e raz dalj , kro-
glični ležaj , stroj za kovanje denarja,
st roj za natezni poskus z žico , ti skars ko stiskalnico , stroj za rezanje na-
voj ev , most čez Zlati rog , premični most , preseka ladijskega t rupa in
dvojnega ladijskega t rupa, dvonadstropni most , čoln na pedala , pontonski
most . Risb e na steni kažejo načrte za raznovrstne stavbe, mostove in
kanale, ut rdb e in t rdnjave, za bager , dvigalo in vrtlj ivi žerjav, pred ilni in
hidravlični st roj.
V n adstrop ju, n a p o ti v prvo dvo r a n o , opazirno n a s ten a h številne
anatomske št udije človeškega t elesa in njegovih organ ov. Sledijo geome-
trijske risbe, med nji mi risbe večkotnikov , včrtanih krogu , in Hipokr atovih
lunic. Pozornost zopet pritegnejo mo de li: t ehtnica z vato na eni posodici
za merjenje vlažnost i zraka , merilnik nagi ba ladje, merilnik hit rosti vet ra.
V naslednji dvor an i, kam or nas pospremijo risbe optičnih naprav, np r.
nap rave za brušenj e leč in svetilke z od bo jnim zrcalom , so mo deli "av-
tomobila" , prest av z zobat imi kolesi, "t anka", parn ega topa , oblegovalne
I Novice
lestve in "st ro jnice" . Na stenah visijo risbe lokov, katapultov, bo jnih
strojev in oblegovalnih naprav. Nas lednja dvorana je posvečena merjenju
časa. Risbe podrobno kažejo urne mehani zme, razstavljenih pa je tudi
nekaj modelov. Potem pridemo do oljnih slik in kopij , ki so jih naslikali
da Vin cijevi posnemovalci. Pot vodi skozi dvorano, v kateri so poleg
da Vincijeve risbe "helikopterja" razst avljeni model airbusa in sodobna
let alska turbina, poleg modela "avtomobila" model Benzovega avtomobila
iz let a 1886 ter poleg risb mehanizmov za merjenje časa modeli sodobn ih
ur. Pridemo do razstavljenih starih knji g in faksimil ov da Vincijevih
zvezkov z risbami. Na stenah so risbe cvetic in druge risbe, povezane z
opazovanjem narave, ki preidejo v risbe skalnih skladov , vod nih tokov in
slapov, vrtincev in vet rov , neviht , vih arjev , povodnji in podobnih nesreč .
Zun aj si obiskovalec razstave oddah ne in zbe re misli. Najprej raz-
mišlja o možu , ki je zmogel vse to in še veliko dru gega. Leonard o da
Vinci je bil ro jen leta 1452 v tos kanski vasici Vin ci kot nezakonski sin
not arj a in km eti ce. Živel je pri očetu in se z njim okoli let a 1460 preselil
v bližnje Firence. Leta 1466 je postal vaj enec v delavnici vodilnega
firenskega slikarja in kip arj a . Let a 1472 so da Vincija sprejeli v slikarski
ceh v Firencah in let a 1478 se je osam osvojil. Narisa l je prvo veliko
sliko Poklon svetih t reh kraljev. Leta 1482 se je potegoval za službo
pri milanskem vojvodi Ludovicu Sforzi in postal glavni inžen ir za vojaške
zadeve te r ar hitekt. Leta 1482 je za sodelavce v Milanu Leonardo ust anovil
akademijo in naslednjega leta narisal dve inačici Device Marije v skalni
votl ini, 1490 Razmerja človeškega te lesa ter med 1495 in 1497 Zadnjo
večerjo. Leta 1500 je obiskal Rim, se vrni l v Firence in 1502 sprejel
službo pri Cesaru Borgii. V leto 1503 segajo osnut ki Mone Lize. Leta
1506 je Leonarda da Vin cija francoski guverne r povabil v Milano, kjer
je naslednjega leta postal slikar na t amkajšnj em dvoru. Od leta 1514
je živel v Rimu po d okrilj em papeža in 1516 stopil v službo francoskega
kr alj a. Leonardo da Vin ci je umrl leta 1519 na gra du Cloux blizu Amb oisa .
Ob njegovem rojstvu je bila natisnj ena ena od Gute nbergov ih biblij , ob
njegovi štirideset let nici pa je Kolumb odkril Ameriko.
Misli preskočij o na razstavo. Pripravljena je premišljeno te r te meljito
in je prij etna za ogled . Z dvestopetdesetimi razstavljenimi predmeti terja
kar precej pozorn osti in časa. Kaže, da so sestavljalci razstave sodili, da
Leonarda da Vincija kot umetnika dovolj dob ro poznamo, saj so njegove
slavne slike omenjene samo v življenjepisu. Močno je poudarj ena tehniška
st ran da Vin cijevega dela. Pozornost pritegnejo predvsem modeli.
Da Vin ci pa se je ukvarj al tudi z matematiko. Razmišljal je o kva-
dr aturi kroga in jo rešil nekoliko po svoj e. Zakot alil je krog, izmeril obseg
in izračunal ploščino t rikot nika, ki ima obseg za osnovnico in polmer za
Novice - Rešitve nalog I
visino. Tuj mu ni bil niti pojem infinit ezim alnega . Z njim si je pomagal, ko
je določil težišče p olkroga in piramide. Matematiko je zelo cen il. Menil je
namreč , da nob en ega človeškega raziskovanj a ne mo remo imen ovati prava
znanost , če ga ne morem o podpreti matematično.
Da Vincijevi prisp evki k zame t kom naravoslovja so na razst avi le
nakazani. Čeprav te daj naravoslovja in fizike v današnj em pomenu še ni
bilo , je umetnik zastopal sveže poglede.
Nazadnje se misli vrnejo k te hniškim risbam in načrtom , po katerih
so izdelal i mo de le. Sodobni graditelj i modelov so v nekaterih primerih v
risbah vide li več kot sam da Vinci. Tega modelom na razstavi sicer ni
mogoče očitati , razen t rem pretirananim povezavam s sodobnim let alom ,
avtomobilom in uro. Osnutki načrtov "helikopt erj a" , padala, "strojnice" ,
"tanka" in podobnih naprav pa so v res nici z današnjimi napravami le v
zelo daljnj em sorodstvu . "St rojnica" je npr. sku pina več cevi, "avt omobil"
naj bi poganjal urni me hanizem, ki bi ga bilo treba prej navit i. Morda bi
obiskovalca razst ave kazalo na to poseb ej opozori ti.
V današnjem času specializacij zb uja občudovanje izjemno vsestran-
ski posamez nik, ki mu je usp elo seči na številna področj a človeškega
delovanja. Leonardo da Vinc i kot "ustvarjalec v vseh vejah umetnost i,
odkritelj v večini vej naravoslovja in izu mit elj v vseh vejah tehnike" morda
bo lj kot kdor koli drug zas luži naslov 'univerzalni človek' . Ne samo to .
V Leonardu je mogoče videti enega od mož, ki so pripravili prehod od
antičnega pogleda na naravo do Galilejeve fizike.
Janez St rnad
BRITJE - Rešitev s str. 130
Po odgovor o energijski zahtevnosti britja smo se odpravili k staremu
znancu brivcu Barberosu . Gospod Barberos je zvest bralec Preseka in
vedno pri volji za dob ro brivsko debato. Kot ponavadi nas je pričakal
pred vrati s širokim nasmehom in z brit vijo v rokah. Takoj je bil za to,
da skupaj premis limo reš itev zast avljene naloge .
Moč nj egovega električnega brivnika je dobrih pet vatov, torej porabi
pri petminutnem britju okrog 300 s . 5 W = 1,5 kJ električne energije .
Kaj pa ročno britje? Mehanska moč, ki je potrebna, da voda pod
pritiskom teče iz pipe, je enaka produkt u prostorninskega pretoka vode in
nadt laka v vodovodnem sistemu, torej P = cPv b.p. Kadar je pipa odprta
to liko , da bi se v minuti nateklo lit er vode, potiska nadtlak 3 barov v
vodovodni napeljavi vodo z močjo
10-3 m3 / 60 s . 300 kPa = 5 W .
R ešitve nalog
S prij ateljem Barberosom si delimo začudenje : Z zmernim curkom
vod e iz pip e zapravljamo toliko moči , kot je rabi električni brivnik! Torej
tudi s klasičnim britjem v petih minut ah porabimo približno kilojoule in
pol energije .
"Koliko pa je pravzaprav 1500 joulov energije?" je zanimalo gospoda
Barberosa. Spomnili smo ga, kaj so ga učili njega dni na brivski akademij i.
Če dvignemo breme z maso m za višino h v smeri nasproti težnemu
posp ešku g, opravimo delo A = mgh. Brivec t akoj najde malce neverjetno
primerj avo: "To je torej toliko, kot če bi nesel petindvajsetkilogramsko
plinsko jeklenko šest metrov visoko, recimo dve nadstropji po stopnicah!"
Kdo bi si mislil! Kar malce zadihani postanemo ob tej oceni.
"Zanimivo," modruje Barberos dalj e. "Mokro britje traj a ponavadi
celo nekaj dlje kot s strojčkom , recimo deset minut , kar pomeni t ri ki-
lojoule energije. Uf, kot bi plin sko jeklenko nesel v četrto nadstrop je!
Najbrž bi kazalo med britjem kar pridno zapirati vodo . Sicer porabimo
več energije, kot bi je porabil električni brivnik."
Preden odidemo, nam gospo d Barb eros postreže sskodelico čaja. A
žilica mu še ne da miru: "Bi lahko s tremi kilojouli energije skuh ali tale
čaj? Kako je s t em?"
Skupaj premišljujemo: "Pol litra čaja smo segreli približno od sobne
temperature do vrelišča. Specifična top lota vod e je 4200 Jj kg K, zato je
šlo za kuho
m c6.T = 0,5 kg . 4200 Jj kg K . 80 K ,
kar je okoli 170 kilojo ulov energije ."
No, to je pa skoraj šestdese tkrat več energije, kot je porabimo pri
br itju . Gospod Barb eros se smeji: "Tale čaj me je pa drago stal! Kar dva
meseca bri tja za enega gospoda!"
Pos lovili smo se in mu obljubili en izvod Preseka, ko bo članek izšel.
Zanimivo, koliko energije zapravimo vsak dan. Že samo s toploto, ki
uid e pr i kuhi mimo lonc a, bi lahko prenašali težke kovčke med nadstropji
v hiši. In kako razkošno bi se lahko brili! P ri britju očitno ni treba skrbeti
za izgubljeno energijo. Pač pa po nemarnem iztočimo kar prec ej pitne
vod e, če pip e ne zapiramo sproti .
Matja ž Vencelj
Mat ematika I
o ŠTEVILIH, KI JIH LAHKO ZAPIŠEMO
S SAMIMI ENAKIMI ŠTEVKAMI
Če bi nalet eli na enakost
552 = 4444, (1)
bi bil a prva misel ta, da ni pravilna, ker je leva stran kvadrat lihega števila
55 , se pravi liho število, desna stran pa je sodo število. Kaj pa, če števila
niso za pisana v običaj nem deset iškem številskem sestavu in se nam zdi
račun zato napačen? Vsak bralec bo zlahka odkri l, da enakost (1) velja v
sestavu z osnovo 7. V t em sestavu pomeni 55 število 5 · 7 + 5 = 40, desna
st ran 4444 pa število
4 . 73 + 4 . 72 + 4 · 7 + 4 = 1600 .
Res je 402 = 1600 .
Št evilo 40 im a , za pisano v sest avu z osnovo 7, enaki št evki. Njegov
kvadrat 1600 pa se v istem sestavu spe t izraža s samimi enakimi števkami,
in sicer št irimi. Ali obsta ja morda še kak šn o drugo naravno število, ki
se da v primerno izbranem sestavu zapisati z dvem a enakima števkama,
njegov kvadrat pa s štirimi enakimi števkami? Odgovor na to vprašanje
daj ejo rešitve enačbe
(2)
Indeks (r) pove, da velja t a račun v številskem sestavu z osnovo r . Iskano
število smo za pisali v t em sestavu z enakima števkama a, njegov kvadrat
pa s št irimi enakimi števkami b. Na koliko načinov lahko izberemo osnovo
r t er števki a in b, da velja enačba (2)? Ugotovili bomo, da je rešit ev
nešt et o, t oda v nekem smislu je rešit ev ena sama , namreč ti sta , pod ana z
enakostjo (1).
Osnova številskega sestava je lahko katerokoli naravn o število r > 1,
števke pa so znaki za števila od Odo r - 1. V enačbi (2) ne sme biti a = O,
saj aa pri a = O ni dvomestno število ( temveč = O). Prav tako ni b = O.
Zat o veljajo ocene
r > 1 , 1 :::; a :::; r - 1 in 1 :::; b :::; r - 1 . (3)
Ker pomeni aa v sestavu z osnovo r število ar + a = a( r + 1), bbbb
pa število
br 3 + br 2 + br + b = b(r 3 + r 2 + r + 1) = b(r + 1)(r 2 + 1) ,
I Matem atika
lahko zapišemo enačbo (2) v ob liki
(4)
(4*)
Iščemo tiste rešitve te enačbe v naravnih številih a, b,r , ki zadoščajo
pogojem (3).
Pripomba. V enačbi (2) pomenita a in b števki, v (4) pa pripadajoči
naravni števili.
Iz (4) izračunamo
b = a
2
(r + 1) .
r 2 + 1
Ker je b naravno število, mora biti produkt a2(r + 1) v števcu ulomka na
desni delj iv zimenovalcem r 2 + 1. Enakost
r 2 + 1 = (r + 1)2 - 2r
pove, da imata r + 1 in r 2 + 1 kvečjemu skupni faktor 2 (števili r in r + 1
sta si namreč tuj i). Zato sta samo dve možnost i:
a) Največji skupni delitelj števil r + 1 in r 2 + 1 je 1. Iz enačbe (4*)
izhaja, da je v tem primeru a2 de ljiv z r 2 + 1, tor ej a2 = k(r2 + 1), kjer
je k celo število. Potem je b = k(r + 1) in velja, ker je k ~ 1, ocena
b ~ r + 1 > r, tako da tretji pogoj (3) ni izpolnjen . Reš itve potemtakem
ni .
b) r + 1 in r 2 + 1 imata največji skupni delitelj 2 (to je očitno tedaj ,
kadar je r lih). Ker je zdaj faktor r + 1 v števcu na desni st rani enačbe
(4*) deljiv z 2, toda z nobenim drugim faktorjem imenovalca r 2 + 1, mora
biti faktor a2 deljiv z (r2 + 1)/2, tako da je kvocient med a2 in (r2 + 1)/2
(le-ta je enak ulomku 2a2/(r2 + 1)) celo število , ki ga zaznamujmo s h .
Zdaj dobimo b = h T!l . Če bi bil h ~ 2, bi veljala ocena b ~ r + 1 > r, ki
je v nasprotju s tretjim pogojem (3). Zato mora bit i h = 1, se pravi
Ker je h = 1, im amo enakost 2a2 /(r 2 + 1) = 1, ki jo zapišimo v obliki
(5)
Zanimajo nas rešitve te enačbe v naravnih številih a in r. Najpreprostejša
a = 1, r = 1 ne pride v poštev, ker ni izpolnjen pogoj r > 1. Če pa je a, r
Matematika I
taka rešitev v naravnih št evilih , pr i katerih je r > 1, i zračunamo iz (5) ,
da je v tem pr imeru
a= Jr2 : 1 < r.
Torej so vsi pogoji (3) izpolnjeni . Tako smo ugotovili:
En akos t (2) velja natanko tedaj , kadar sta naravn i šte vi1i a in r > 1
rešitvi enačbe (5) . Pripadajoči b pa j e enak (r + 1)/ 2.
Koliko rešit ev ima enačba (5) v naravnih šte vilih a in r? Če ust rezata
a in r t ej enačbi, velja isto za šte vili
a' = 3a + 2r in r' = 4a + 3r .
S prep rostim računom namreč ugotovimo, da je
(6)
Očitno sta a' in r' naravni št evili, če sta taki a in r . Veljata tud i oceni
a' > a in r' > r . Rešitev a = 1, r = 1 nam da a' = 5, r' = 7 in b' = 4. Če
zdaj vstavimo a = 5 in r = 7 v (6) , izračunamo a' = 29, r' = 41 in b' =
= 21. Tako lah ko nad aljujemo. Dobimo neskončno naraščajoče zaporedje
rešitev enačbe (5) . Brez dokaza povejmo, da so v t em zaporedju zajete
prav vse njene rešit ve v naravnih številih a in r .
Torej obstaja neskončno naravnih števil, ki j ih lahko zapišemo v
pr imerno izbrani osnovi z dvem a enakima šte vkama, njihov kvadrat pa
s št irimi enakimi šte vkami. Rešitvi a = 5, r = 7, b = 4 pripad a najmanjše
tako število, namreč ar + a = 5 . 7 + 5 = 40, ki nam da enakost (1).
Nas lednja rešit ev a = 29, r = 41, b = 21 določa šte vilo ar + a = 29 . 41 +
+29 = 1218. V sest avu z osnovo r = 41 potrebuj emo 41 znakov (št evk) za
označitev števil od Odo 40. Za prvih deset naravnih števil lah ko obdržimo
običaj ne števke O, 1, .. . , 9, za nad aljnj a , med njimi za a = 29 in b = 21,
p a potrebujemo n ove zn ake . Izber im a npr. znak 6, za 29 in znak D za
21. Št evilo 1218 zapišemo potem v sestavu z osnovo r = 41 v obliki 66.
En akost (2) , ki pripad a dru gi rešit vi enačbe (5), pa se glasi
Te enakost i pa seveda ne bi mogli zamenjat i za račun v deseti škem sestavu.
Pri nad aljnj ih rešitvah je a > 29 in b > 21, tako da vselej pot rebuj emo
I Matematika
novi števki za a in b. Zato je enakost (1) ed ina rešit ev enačbe (2) , ki jo
lahko zapišemo samo s števkami desetiškega sestava.
Enačba (2) je poseben primer splošnejše enačbe
~(T) =~(T)' (7)
n m
ki naj velja v sestavu z osnovo (r) . Število, ki ga kvadriramo, se v njem
zapiše z n enakimi št evkami a, njegov kvadrat pa z m enakimi števkami b.
Primer n = 1 ni zanimiv, reš itev je tedaj nešteto in j ih zlahka
najdemo: Za a vzamemo polj ubno naravno število , postavimo b = a2 ,
za osnovo r pa izberemo katerokoli naravno število , ki je večje od b. Zato
bomo odslej privzeli , da je n > lo
Ker je
n- l+ n-2 +aa . . . aCT) = ar ar . . . a
'-v--"'
n m
lahko zapišemo enačbo (7) v ob liki
a2(rn~1 + rn- 2 . . . + 1)2 = b(r m - 1 + r m - 2 . .. + 1) . (8)
Naravna števila a, bin r morajo ustrezati tej enačbi, hkrati pa tudi pogo-
jem (3).
Iz ocen 1 :::; a in b :::; r - 1 izpeljemo najprej tole zaporedje neenačb
r2n- 2 < (rn-1 + rn- 2 + . . . + 1)2 :::; a2(r n- 1 + rn- 2 + . .. + 1)2 =
= b(rm - 1+rm - 2+ . . .+ 1) :::; (r _1)(rm - 1+rm - 2+ .. .+1) = rm -1 < r'":
Tu smo upošt eval i enačbo (8) in identiteto
(r - 1)(rm- 1+ rm - 2 + . . . + 1) = rm - 1 .
Ker je osnova r > 1, vidimo, da mora biti eksponent 2n - 2 pri potenci
števila r na začetku teh neenačb manjši od eksponenta m pri r na kon cu ,
se pravi 2n - 2 < m.
Podobno nam dasta pogoja r - 1 ~ a in b ~ 1 zaporedje neenačb
r2n > (r" _ 1)2 = (r _ 1)2(r n- 1 + r n- 2 + . . . + 1)2 ~
~ a2(r n- 1 + rn-2 + . . . + 1)2 = b(r m - 1 + rm - 2 + . . . + 1) ~
~ r m- 1+ r m - 2 + . . . + 1 > r m- 1.
(8*)
Matematika I
Od tod do bimo, da je 2n > m - 1. Potemtakem leži m v te hle mejah
2n - 2 < m < 2n + 1 .
Ker st a m in n narav ni št evili, imamo samo dve možnosti : ali je m = 2n - 1
ali pa m = 2n . Oglejmo si ob e po vrsti.
a) Če je m = 2n - 1, dob imo iz enačbe (8)
a2(rn - 1 + rn - 2 + ...+ 1)2
b = ~:;--~-----;o------;::---'-­
r2n - 2 + r2n - 3 + ...+ 1
Ker je b celo število, je št evec v ulomku na desni delj iv z ime novalcem.
Id enti t et a
r 2n - 2 + r 2n - 3 + ...+ 1 = (rn - 1 + 1)(rn - 1 + rn - 2 + ...+ 1) _ rn - 1
pove, da šte vili rn - 1 + rn - 2 + ...+ 1 in r2n - 2 + r2n - 3 + ... + 1 nimata od
1 različnega skupnega delitelja (s skup nim deliteljem bi moral bit i deljiv
t udi r n - 1 , to da štev ili rn - 1 in r n - 1 + r n - 2 +...+ 1 sta si očitno t uj i). Od
to d skl epamo, da je a2 deljiv z ime novalcem r 2n - 2 + r 2n - 3 + ...+ 1, torej
kvo cient a2 j (r2n - 2 + r 2n - 3 + ... + 1) je neko celo število k 2 1. P otem je
b = k(rn - 1 + r n - 2 + ...+ 1)2 > r 2n - 2 .
Ker je n > 1, sledi od tod, da je b > r . Potemtakem tretji pogoj (3) ni
izpolnjen in za to ne mo re biti m enak 2n - 1.
b) Naj bo zdaj m = 2n . Ker je
r2n - 1 + r2n - 2 + ... + 1 = (r n + 1)(r n - 1 + rn - 2 + ... + 1) ,
dobimo iz (8)
a2 (rn - 1 + r n - 2 + ...+ 1)
b = . (8**)
r n + 1
Ker smo primer, ko je n = 2 in m = 2n = 4, obravnavali že na začetku ,
naj bo ods lej n > 2. Iz ident itet e
r" + 1 = r" - 1 + 2 = (r - 1)(r n - 1 + rn - 2 + ... + 1) + 2
razberemo , da im at a šte vili rn +1 in rn - 1 +rn - 2 +...+1 kvečjemu skupni
delit elj 2. Če je največji skup ni delit elj 1, sta si t uj i in je za to kvocient
a2n-:+ 1) neko celo število k. Če pa je največji skupni delit elj enak 2,
IMat ematika - Rešitve nalog
je kvocient 2a2 j(r n + 1) celo število, ki ga imenujmo h. V pr vem primeru
dobimo iz (8**)
b = k(rn - 1 + r n - 2 + .. .+ 1) ~ r n - 1 + r n - 2 + ... + 1 > r ,
v drugem pa
r n - 1 + r n - 2 + ...+ 1 r n - 1 + r n - 2 + .. .+ 1 r n - 1
b = h 2 > 2 > -2- ~ r .
(Upošt evali smo , da je k ~ 1, h ~ 1, n > 2 in r ~ 2.) Spet ni izpolnjen
tretji pogoj (3), t ako da enačba (7) tudi pri m = 2n nima nobene rešitve
v naravnih številih, če je n > 2.
Pov zemimo, kar smo dognali:
Enačba (7) je rešljiva z naravnimi števili a, b in r pri n > 1 le
tedaj , kadar je n = 2 in m = 4. V tem primeru preide v enačbo (2), ki
premore, kakor smo vid eli , nešteto rešitev.
Še tole naj omenimo: Enačba (5) nima rešit ve v celih št evilih , pri
kateri bi bil r = 10 (r je vselej lih) . Zato v desetiškem sestavu nikoli ne
velja enakost oblike (7), če je n ~ 2. Pri n = 1 pa so t ele rešit ve: 12 = 1,
22 = 4 in 32 = 9.
I van Vidav
ENAKOSTRANIČNATRIKOTNIKA -
Rešitev s str. 131
Naloga je bila namenjena najmlaj-
šim bralcem . Po t do rešitve je
razvidna z desne slike, kjer smo z
a označili stranico večjega enako-
straničnega trikotnika . Obarvani
pr avoko tni t rikotniki so med se-
bo j skladni in so polovice ena ko-
straničnih t rikotnikov. Preprost
račun pokaže, da je ploščina manj-
šega enakostraničnega t rikot nika
(neobarvani del) enaka tretjini
ploščine večjega trikotnika.
a
"3 Ma rij a Ven celj
A stronomija I
OSMICA
Zad ajmo si nalogo, da vsakega jasn ega dne opazuje mo opoldansko senco,
ki jo na vodoravn a t la meče ravna , od Sonca osvetlje na navpična palica .
Recim o, da nas zanima, ali opoldanska senca vedno kaže natančno proti
severu in , če ne , ali konec te sen ce, katere dolžina se spreminja, mo rda med
letom na vodoravn i rav nini popi še kakšno kri vu ljo. Naloga je zanimiva .
Oglejmo si jo nekoliko pobliže.
Vzemi mo , da bi vsak dan fotogr afirali lege Sonca na nebu natančno ob
določenem času , npr . opoldne . Če bi povezali vse lege, bi dobili kr ivuljo ,
ki im a obliko zelo ozke osmice z raz lično velikima ovaloma . Krivulj a ima
ime analema. Rekl i bi ji lahko let na osmica .
Navpična razpotegnjenost analeme nas t an e zaradi nagnj en osti Ze-
mljine vrtilne osi proti rav nini Zem eljinega gibanja okrog Son ca , vodo-
ravna razpo tegnjenost pa zaradi gibanja Zem lje okrog Sonca po elipsi, za-
radi česar pride do razlike med trajan jem pravega in srednjega Sončevega
dne oziro ma časa (slika 1).
Če analemo na nebu pr eslikamo preko vr ha O navpične pali ce na
vodo rav no ravnino, dobimo vodoravno analemo. Takšno analem o lahko
z opazova njem sence palice ugotovimo sami. Vsak jasen dan opoldne
po krajevnem (pasovnem ), za nas srednjeevropskem času , senca navpične
palice v sp lošnem ne pade natančno pro t i severu, ampak nekoliko vst ran .
Na vodoravnih tl eh označimo konec opo ldanske sence palice (zabi-
jem o kol i ček) , ki je ves čas na ist em mestu. Tega seveda ne delamo vsak
dan, ampak približno vsak deseti dan (okoli Sončevih obratov , 21. 6. in
21. 12., pogosteje) , od visno t ud i od lepega vreme na. Po letu dni opazovanj
vse točke konc ev op oldanske senc e (količke ) povežemo in pred nami na t leh
"leži" vodo ravna analema.
Slika 1. A na lem a je kr ivulja, k i
se izpiše kot osmica na nebu gl ed e
na točko Q (presečišče nebesnega
p oldne vn ika in nebes neg a e kvat o rj a) .
Točka Q leži natančno nad j ugom,
njen viš inski kot je (90 0 - ep ), če je ep
zem ljepisna šir ina kraj a . S pre s likavo
preko vrha O navpične palice d ob im o
n a vo doravni h t le h vodoravno ana-
lem o, k i jo lahko ra ziskujemo - pre-
p ro sto opa zujemo opold a nsko dolžino
senc e na vodoravn ih t leh ; a - v išina
stožc a oziroma pali ce .
Astronomija
Opazovanja sence so pr eprosta, vendar dol gotrajna in včasih kar
nekoliko nadležna, ker človeka pri silijo , da mora biti v sončnih dneh dom a.
Tod a treb a je vzt rajat i, najmanj eno let o. Le tako pridemo do uspeh a.
Sam sem opazoval od sredine januarja 1998 do začetka februarj a 1999.
Št evilo koli čkov pove, koliko lepih dni sem najmanj žrtvoval za analemo.
Občutek , ko vidiš, da je opazovanje uspelo, pa je enkraten. Rezultat
opazovanj prikazujeta sliki na II. strani ovit ka. Na levi sliki vidimo del
vodo ravne analeme, dobljene iz opazovanja opo ldanske sence navpičnega
kola na domačem dvorišču (slikan o oktobra 1998) . Na desni sliki pa je
cela vodorav na analema (slikano februarj a 1999 ob koncu opazovanja) .
Iz oblike vodoravne analeme hitro ugotovimo, da :
- opo ldanska senca navpične palice ne pade vedno natančno pr oti se-
veru , ampak le ob določenih datumih,
pri ori entaciji po op old an ski senci lahko v določitvi natančne smeri
pr oti severu naredimo nap ako t udi do ±5°,
se dolžin a opo ldanske sence najmanj spreminja ob Sončevih obratih
(zato je treba okoli t eh datumov pogosteje in natančnej e opazovati
opoldan sko senco - da bi dobili čim lepše zaokrožen oval).
Analem a je različna v različnih krajih. Za določen kraj jo lahko
najdemo t udi v kakem računalniškem programu o ast ronomiji (slika 2) .
Slika 2. Analem a za naše kraje (zgo-
raj) in analema za kr aj e na ekvatorj u
(spodaj) - računalniški izpi s (pro-
gram ASTRO). Št ev ilke označuj ejo
začetke mesecev. V drugih kra-
jih ima analem a nekoliko drugačna
ova la, za kr aj e preko ± 60° zemlje-
p isne širine pa nima več pomena .
Poskus ite razm islit i, zaka j .
I?T '~ ·~I11 12
I~I
Na pod ob en način lahko ugotovit e t udi vašo analemo . Ni t reba
opazovati ravno opoldne in na vodoravnih tleh . Vendar , če že boste
opazovali senco ob 10. uri, jo morate op azovati vedno ob 10. uri. T la so
lahko poševna in razgiban a , npr. pobočje hriba (slika na III. strani ovitka).
Names to palice lahko uporabi te električni drog, lahko pa t udi pokončen
stožec na polici okna, ki je obrn jeno pr oti ju gu (glej članek Sen comer,
P resek 25 (1997/98), 16). Skr atka, znajdite se. Bodite potrpežljivi in
vzt ra jni. Če pa boste ugot ovili, da pri dolgotrajnih opazovanjih sence
trpite , se an alemi takoj odpovejte.
Marijan Prosen
Računalništvo I
PRVO TEKMOVANJE IZ UNIXA
V okviru 23. tekmovanja srednješolcev iz računaln ištva in 5. festi vala
računalništva je bilo 24. aprila 1999 na Faku lt eti za računalništvo in
informatiko t udi prvo tekmovanje v kategoriji Unix, ki ga je organiziralo
Slovensko društ vo up orab nikov Linuxa . Glede na dolgo in uveljavljeno
tradicijo računalniških tekmovanj za srednješolce, na katerih je velika teža
dana problemom, ki so enostavno rešljivi s postopkovnimi programskimi
jez iki, skuša to te kmovanje dati večj i pomen rešit vam z alte rnativnimi
oro dji, znanimi iz program skega okolja sistemov Unix.
Pri prip ravi nalog za tekmovanje smo se člani organizac ijs kega odbora
ozirali naokoli v up anju , da bo mo našli kakšen zgled pod obnih te kmovanj
po svetu . Našli nism o nič . Zato bi želeli vsaj svoj e izkušnj e posredovati
d rugim v upanju, da spodbudimo sode lovanje na te m področj u . Tako
zdaj predstavljamo naloge, zastavljene na lan skem tekm ovanju . Njihove
rešitve in komentarji bodo objavljeni v naslednji številki Preseka.
1. n aloga : Frekvenčna a naliza b esedila Naredi preprosto frekvenčno
analizo besedila . P reberi datot eko in na st andardni izho d izpiši seznam
vseh besed v datoteki in njihovih frekvenc . Seznam naj bo ur ejen po
vrsti od najmanj frekvent nih besed do najbolj frekvent nih . Frekvenc a je
število, ki pove, kolikokrat se beseda po javi v datotek i. V datoteki ni
drugih zna kov razen presledkov in črk.
2. naloga : Vi Na sistemu z veliko up orabniki se želiš izogni t i te mu,
da bi isto datoteko z urejevalnikom vi odprl več kot en uporabnik hkrati .
P redlagaj rešit ev! Rešitev zapiši kot skript. Komenti raj , kaj so po t voje m
mnenju prednost i in slabosti tvojega pred loga. P redpost avit i smeš , da vsi
uporabniki kličejo ur ejevalnik tako: vi datoteka. Urejevalnik vi sam po
sebi ne opo zori, ali je neko datoteko že odprl kdo drug.
3. naloga: Premešaj V neki datoteki so vrst ice urejene po določenem
kr it eriju. Ta ur ejenost te moti , zato želiš vrstice psevdonaključno preme-
šati . Na piši kodo, ki bo to storila . Bod i po zoren na učinkovitost svojega
predloga. "Psevdonaklj učno" pomeni , da smeš uporabit i generator na-
ključnih števil, ki t i je v t voje m orodju na voljo.
4 . naloga: Številke IP V te kstovni datoteki so na več mestih zapisani
številski naslovi IP , ki jih želiš spremenit i v po lnovr edno ime računalnika
(FQDN, angl. fully qualified dom ain nam e).
V bazi /etc/hosts so po vrs t ica h naveden i št evilski naslov in njegovo
polnovr edno ime:
193.2.1.72 nanos.arnes .si
V datot eki razen taki h zapisov ni nič drugega .
Računalništvo
Številski naslov rp je lahko obl ike: O. O. 0 .0-255 .255.255 .255. Brez
škode za splošnost lahko predpostaviš, da v tv oji datoteki vsak zapis oblike
O. O. 0 .0-999 .999.999 .999 pr edst avlja šte vilski naslov IP in da imajo vsi
v datoteki zapisani številski naslovi pripadajoča polnovredna imena v bazi.
Upošte vaj še, da se naslovi IP razen s pr esledki ne st ikajo z drugimi znaki.
P ri vseh nalogah je bila dovoljena uporab a ukazov ukaznih lupin (csh ,
sh , bash , ksh, ... ) , skriptnih jezikov (Sed , Awk , Perl , .. .) in običajnih
progr amov, ki sest avljajo sistem UNIX skladno s priporočilom POSIX.1.
Višjih programskih jezikov (C , pascal , for tran, ...) ni bilo dovoljeno
up orabiti . Če so bili t ekmovalci v dvomu , ali so up orab ljena sredstva
dovoljena, so lahko kad arkoli za nasvet povprašali nadzorno komisijo.
Odločitev nadzorne komi sije je bila dokončna.
Tekmovanja se je udeležilo 13 tekmovalcev . Za reševanje nalog so
imeli 90 minut časa, smeli so uporab ljati lit erat uro, niso pa imeli dostopa
do računalnika , kjer bi lahko svoj e ideje preveri li . Komisij a je zato navzlic
morebi tnim napakam v skladnji ugodno obravnavala t udi rešitve, ki so
vsebovale praviln e zamisli, te r po pr egledu oddanih nalog sklenila pod eliti
t ri nagrade:
1. Andraž Tari , ZRI Ljubljana, 3. letnik
2. Mitja Bezget, SERŠ Maribor, 2. let nik
3. Gašpe r Fele-Žorž, Gimnazija Kranj , 4. let nik
Vsi tekmovalci, ne le nagrajenci, so pr ejeli tudi praktične nagr ad e, ki
so jih prispevali spo nzorji. .
Or ganizatorji menimo, da je bila prvo let o nekoliko slabša ud eležba
pr edvsem zaradi pomanjklj ive obveščenosti. To nameravamo letos , ko
bo v okviru 6. fest ivala računalništva v začetku aprila dr ugo tovrstno
te kmovanje, popraviti .
Za konec še kr atek komentar o imenu samega tekmovan ja. Uni x (ali
Linux) v ožjem pomenu bes ede pomeni le jedro op eracijskega sistema .
Naloge na ravni jedra niso bile del tekmovanja in - glede na omejen čas in
sreds tva tekmovalcev - ta hip niti ne bi bile smiselne . Po šteno pa se nam
zdi pri znati , da smo se v iskanju komprom isa med kratkimi in privlačnimi
imeni ter natančnimi in dolgimi odločili nekoliko v prid prvih . Kaj se ve
- morda pa nam nekaj ohlapnejša definicija morda kdaj še pr av pride?
Primož Peterlin in Aleš J{ošir
Fizika I
MERJENJE GOSTOTE Z URO
Na urn iku za naslednji dan, ki ga je dobi l Miš, so bile sp et eksp erimentalne
vaj e iz fizike . F iziko je ime l rad , bila je ed ini predmet, kjer so občasno
odšli iz šole v naravo in tam opazovali vse mogoče po jave, brez motečega
zraka, trenja, teže in kar je še takih stvari, ki so nekdaj gren ile življenje
srednješolc em pri fiziki. Vremenska nap oved je bila ugod na : sončna
aktivnost bo na minimurnu, ni se bilo bati zahrbt nega sevanja, ki je
včasih prekinilo vaj e na prostem in primoralo nji hovega profesorja, da
je godrnjaje ukazal povratek v šolo .
To po t je vaj a imela pr eprost naslov: Merj enj e gost ote. Nenavadno
je bilo , da so za to vajo šli v naravo, saj so gos toto br ez te žav že meri li v
laboratoriju v šoli. Dobili so kocko iz neznane snovi t er ji najprej natančno
izm eri li stranico a in nato izračunali njeno prostorni no V = a3 . Potem so
kocko še st eht ali, da so določil i njeno maso in izračunali gostoto po enačbi
(! = V. Kar se da pr eprosta vaj a , nekoliko si moral bit i pazljiv , da si dobil
rezultat, ki je smel biti le za tisočinko različen od pravega.
Preden so se odpravi li v naravo, so vedno natančno pregledali seznam
naprav, s katerimi bodo de la li poskuse. Ni se bilo prijetno vračati, saj je
pot kljub hit rim raketnim čolnom včasih trajala več ur. Anikakršnih
naprav ni bi lo v seznamu. "Saj imate ure na roki ?" je vprašal profesor
začudene dijake. "No, potem imate vse, kar potrebujet e," je dejal profe-
sor. "Komur je potekla naročnina na VSEVED, naj vzame s sabo še kak
predpotopni kalkuIator." VSEVED je bi la d ru žba , ki je skrbela za pove-
zavo z globalno zakladnico podatkov GL ODAT in globalnim računskim
vozlom GLORAČ , ki je skr be l za računanje . Dijaki navadno niso plačevali
naročnine , saj so računali dom a ali v šoli, v naravi pa so le mer ili in zb irali
pod at ke.
Mišev raket ni čoln je bil zadnje čudo t ehnike, dobil ga je za ro jstni
dan. Iz baze na Zemlji je dosegel geostacionarno orbito v pičle po l ur e,
od t u pa je lahko dos egel kat erikoli planet Osončja prej kot venem
mesecu . Koordinat e mesta, kjer naj bi se zbrali nas lednji dan , je profesor
že vpisal v Vsevedov sist em. Miš je zvedel, da je to blizu planetoida,
krogle s po lmerom kakega kilom etra , drugih pod atkov pa iz Vseveda
ni mogel izbrskat i. Očitno je profesor podrobne podatke o planetoidu
dijakom zastrl. Od hod Miševega čolna je bil predviden pozno popoldne,
v petnajsturnem po letu je Miš obvezno moral devet ur preživet i v povsem
zatemnjeni not ranj ost i, da se je do cilja povsem spočil. P reostali čas je
prebi l v veso lju in se poganjal z raketnikom od čolna in nazaj . Leb denje
v t ej veliki prazni ni ga je ved no navduševalo , nekatere njegove sošolce
pa je navdajalo z nepopisno grozo. Ti so potovali v veliki ladj i, ki jo je
I Fizika
profesor najel za dijake brez lastnih raketnih čolnov. Na prvi pogled zelo
tvegano dejanje je bilo v resnici povsem varno, saj je čoln s svojo pametjo
in biosenzorj em vedno vedel, kje je Miš in bi ga šel iskat , [;e bi razdalja
med njima postala prevelika. O vsem pa je bil seznanjen tudi Vseved, ki
je v skrajni sili posredoval s svojo reševalno ekipo.
Na površini planet oid a so se ob dogovorj enem času zbrali dijaki in
se s pr ofesorjem pogovarj ali o nalogi , kako izmeriti gostoto tega telesa .
Nekdo je pred lagal, da bi kos s površine odnesli na Zemljo in tam izmeri li
gostoto po že znani metodi. To bi se skladalo s pičlo opremo, ki so jo dij ak i
prinesli s seb oj. Seveda to ni bila rešit ev naloge, saj so morali izmerit i
povprečno gostoto planetoid a , ki je zno traj lahko povsem drugačen kot
na površini . Merj enj e teže kake znane uteži tudi ni prišlo v poštev, saj
niso imeli vzmetnih te htnic, še posebno pa ne kake zelo občutlj ive. Dij aki
so vide li, da je te žni pospešek zelo majhen , "saj so vseskozi uporabljali
raketnike , da so se obdržali na površini . Vsak še t ako rah el poskok je
zadoščal , da so se odlepili od tal in se začeli dviga ti v vesolje. Pospešek bi
lahko izmerili z merjenjem časa, ki ga porabi kamen, da pade na t la, ali
še bolje, z merjenjem časa, ki ga porab i kamen , ki ga vr žemo s površine
navzgor , da pad e nazaj na t la . Hitro pa so ugot ovili, da , tudi če bi po znali
pospešek prostega pada na plan etoidu, vod i pot do poznavanja gostote še
pr eko meritve njegovega po lmera, za to pa niso imeli nikakršne oprem e.
Velja namreč , da je teža uteži z maso m enaka gravitacijski sili
mM
mg= fi,-2- '
r
torej imamo za gostoto
M 3M 3g
t2 = 11 = 41lT3 = 47rfi,r .
Janez je razmišljal takole: če izmerim višino h, do katere pride kamen ,
s koraki in izmerim obseg planetoida s prav tako do lgimi koraki , mi nj ihove
dolžine ni potrebno poznati , saj velja
gt 2
-= h
2
in zato
6h
(J = 47rfi,rt2 '
kjer je t polovični čas, ki ga potrebuje kamen , da se dvi gne s t al lil
sp et pade nan je. Poznati moramo torej le razmerje ~ ' pr i t em pa se
Fizika I
dolžina korakov pokrajša . Profesor je pohvalil J aneza , a meri t ev višine s
korakanjem ni bila kar tako izved lji va. Poskušali so vse mogoče , poskušali
so celo postavit i živo piramido z izdat no pomočjo raketnikov, a meri t ev
se nikakor ni posrečila .
Nak, samo z ur o pa že ne bo šlo, so sklenili dij aki . Miš se je začel
zabavati s skokom v daljino. Vsak skok je bil zelo dolg, kljub komaj
zaznavne mu odrivu od tal. Nen ad om a se je domi slil rešitve naloge. Kaj
pa , če bi se kot satelit vt iril v orbito , ki je tik nad površino plan etoid a? Na
krožeče te lo mora delovati centripetaIna sila mw2r , njeno vlogo prevzame
gravitacijs ka sila K n~~I , torej velja
2 mM mg47fr3
mw T = K -- = K ---==------::-
r 2 3r 2
Iz tega pa takoj sledi
2 47f
W = -Kg3 .
P oznati moramo le w = ~: ' to pa gre le z meri t vijo časa ob ho da takega
satelita to, kar se da opraviti le z ur o. Profesor je prikimal , Petru pa
nekaj ni bilo všeč . "To pomeni " , je ugovarj al , "da je obhod na doba takih
satelitov neodvisna od polm era telesa . Tudi če bi ime li frn ukulo, bi jo
droben prašek obkrožil v enakem času kot to veliko kro glo. To je pa
čudno !" P rofesor je še do dal: "Morda se sliši nenavadno, a je le res.
Krogli morata seveda imeti enaki gostot i."
P ripravili so tekm ovanj e. Vsak do naj bi se pazljivo od rinil od st ar t ne
črte in zaplaval okro g planetoida . Zmagovalec bo t ist i, ki bo pri šel prvi
okrog plan etoida . Vsem je bilo jasn o, da bo zmagal ti sti, ki se bo ravno
pr av od rinil in to t ako , da bo plaval ves čas tik nad povr šino. Prehit re bo
preveč odneslo od planeto ida, prepočasni pa se bod o morali dot aknili t al
in se od njih rahlo odrinit i, kar podalj ša čas obho da. Uporaba raketnika
je bila med di rko seveda prep ovedana . Dij aki so začeli mrzlično oce njevati
primern o hi trost . Go stote niso poznali , prav t ako ne polm er a planetoid a.
Miš je privzel za gostoto Q = 3000 kg/m3 in za polmer T = 1 km te r
izračunal čas to = 6900 s. Nato je i zračunal začetno hit rost iz enačbe
27fT
v= - -o
to
Za hi trost v je dobil oce no 1 mi s, kar je hitrost sprehajalca na Zem lji .
Startali so z vzp etinice vsi hkrati . Miševa ocen a krožiIne hitrosti je bi la
preni zka , saj se je km alu moral dotakniti tal. Zmagal je Lovr o , ki je pri sp el
IFizika - Novice
na cilj po 4335 sekundah, to je nekaj manj kot po eni uri in četrt . Nekaj
dij akov se je toliko oddalj ilo od tal, da so za povr atek morali up orabi ti
raketnik. Iz Lovr ovega časa so izračunali gostoto plan etoid a iz enačbe
3n
Q = -
n;t6
in dobili rezul tat Q = 7515 kg/m3 . Ker se t udi Lovro pri obkro žanju
nekoliko oddaljil od površine, je bil njegov sicer zmagovit i čas dalj ši od
časa to. Izračunana gostota je bila tako nekoliko manj ša od pr ave. Dijaki
so sklepali, da je plan etoid zgrajen pr etežno iz železa.
An drej Likar
DRUGO SREDOZEMSKO MATEMATIČNO
TEKMOVANJE
Prof. Francisco Bellot Rosado iz Španije, eden od dveh pr edstavni kov
za Evropo v Svetovni zvezi nacionalnih matematičnih tekm ovanj , je na
mednarodni matematični olimpiadi v Mar del Pl ati v Argent ini julija 1997
dal po budo za uvedbo matematičnega tekmovanja sredozemskih držav.
Predst avnikom sredozem skih dr žav je predstavil tudi predlog pravil, po-
doben pr avilom tekmovanja, v katerem sodeluj ejo Španija, Po rtugalska
in dr žave Lat inske Amerike. Po prejetih pri pombah in usklaj evan jih je
bilo vse pripravljeno za pr eskusno te kmovanje v aprilu let a 1998. Tedaj
so od naših tekmovalcev prejeli bronasto odličje Matij a Mazi z Gimnazije
Bežigrad, Tomaž Kosem in Jure Kališnik s ŠC Celje - Splošna in strokovna
gimnazija Lava ter Martin Milanič z Gimnazije Koper , pohvalo pa Matjaž
Titan z Gimnazije Murska Sobota in Du šan J an z Gimnazije Tolmin.
Od let a 1999 dalje lahko na tekmovanju po leg sredozemskih držav
sod elujejo t udi sredozems kim sosednje dr žave. V ekipi posamezne dr žave
sme ur adno sodelovat i največ 10 tekmovalcev, drugi rešuj ejo naloge izven
konkurence. Poročilo o tekmovanju se skupaj z rezultati ter izdelki in pr e-
vodi prvo , t retje in sedmouvrščenega t ekmovalca pošlje posebni skupini, ki
jo t renutno vodi prof. Bellot. Ta nato predlaga seznam tekmovalcev , ki naj
bi pr ejeli pri znanj a , pr edlog pa je sprejet, če se z njim st rinja večina članov
komisije, v kateri je po en predst avnik vsake sodelujoče dr žave. Po dob en
postop ek je pri izboru nalog: vsaka dr žava lahko pošlje om enjeni skupini
pr edloge tekmovalnih nalog, ta jih pr egleda in izbere ter pošlje članom
komisije v potrditev. Zanimivo je, da so lahko izbrane tri ali št iri naloge,
čas reševanja pa je predpisan (4 ur e in pol ).
214 No vice I
Kriteriji za pod eljevanj e priznanj so precej natančno izdelani . Ne-
koliko preseneča določilo , da ni delitve mest . Ko sestavlja poročilo o
t ekmovanju v svoj i državi , se mora član komisije s pomočjo svojih sod e-
lavcev pri mor ebitni delitvi mest odločiti o dosežen em mestu tekmovalca
glede na elegantnos t, izvi rnost , jasnost ali" čednost" posamezne rešitve
oziro ma izdelka . Zlato odličje lahko prejme kvečjemu en dij ak p osamezne
države, srebrno največ dva in bronasto največ šti rje. Tekmovalec , ki ni
prejel odličja, je pa vsaj eno od nalog pravilno rešil, prejme po hvalo.
Ker so naloge re lat ivno težke, včasih kar "olimpijs kega t ipa", po-
vabimo na to tekmovanje le dijake, ki so v postopku izb ora olimpijske
ekipe na prvih desetih do petnaj stih mestih. Na drugem sredozems kem
te kmovanj u, ki je bilo aprila 1999, so dij aki reševali naslednje naloge:
1. Ali obstaja krožnica in neskončna množica točk na njej t ako, da je
razdalj a med poljubnima dvem a točkama množice racionalna?
2. Na ravnini, na kateri je narisan običajni pravokotni koordinatni sis-
t em , leži lik s ploščino A. Dokaži: če je A > ti (kjer je nnar avno
šte vilo), lahko lik pos t avimo na ravnino tako, da pokrije vsaj n + 1
točk s celoštevilskima koordinatama .
3. Naj b odo a, b in c neničelna realna št evila, x, y in z pa poziti vn a
realna števila, za katera velja x + y + z = 3. Dokaži, da velja
3)1 l I x y z- - +-+- >--+--+--
2 a2 b2 c2 - 1 + a2 1 + b2 1 + c2
4. Označimo stranice t rikot nika A BC, v katerem je notranji kot pri B
štirikrat večj i od notranj ega kot a pri A, na običajni način : B C = a,
C A = b in AB = c. Dokaži, da velja
Na drugem sredozems kem matematičnem t ekmovanju je od naših di-
jakov odličje sicer prejel le Jure Kališnik s ŠC Celje - Spl ošn a in st rokovna
gimnazija Lava , im a pa zlat sijaj . Pohvalo je prejela Irena Maj cen z
Gimnazije Bežigrad.
Darjo Felda
INo ve knjige
Marijan in Stana Prosen: P RVI P OGLED
CA.!
OGLEDPRVI
V zbirki Govorica neba, ki naj bi
na zanimiv in prij eten, a kolikor
se da enostaven in nevsiljiv način
posredovala znanje astronomij e v
vseh razredih bodoče devetletke, je
izpod peresa avtorjev Marijan a in
Stane Prosen nast ala pr va knjižica
Prvi pogled. Vsebuje snov, ki je
pr edvidena za prvo triletj e bodoče
osnovne šole. Avtorja, ki sta se
že večkrat izkazala z velikim poslu-
hom , kako astronomske vsebine pri-
bližati najmlaj šim, sta se zavedala
starost i bralcev oziroma bolje opa-
zovalcev, zato sta si učbenik zami-
slila kot pobarvanko in hkrati tudi
kot priročnik za učitelj e in starše.
Kot učbenik je knj ižica dobro
zas novana. Snov je razdeljena na
posamezna poglavj a , vsako obsega
dve strani in je zaklj učena celota.
Predstavljena je s pri srčnimi ilustracijami Eda Podreke, v kater ih nasto-
paj o deček , deklica , bik in ptič . Kadar nastopaj o skupaj , ot roka izvaj ata
vse vaj e pr avilno, bik pa vedno narobe. Ptič igra vlogo opaz ovalca, pa
tudi ocenj evalca dejavnosti obe h otrok in bika. Ilustracije, ki so sa mo
delno pobarvan e, igrajo dvojno vlogo . Preprosto in nazorno nam pri-
bližajo astronomske vsebine, s svojo hudomušnostjo pa pritegnejo otroke
k opaz ovanju, bar vanju in aktivnemu sodelovanju . Posebnost učbenika je
tudi v tem , da želi otroke vzp odbuditi in pritegniti k op azovanju narave.
Otroci naj ne bi bili le poslušalci v razredu, temveč naj bi si določene
poj ave ogledali na prost em in ob tem t udi pridno telovadili.
Kot priročnik za učitelj e in st ar še pa učbenik prin aša metodične
napotke. Prikaže nam cilje in namene določenega poglavj a in nam ponudi
nasvet e, kako posamezne dejavnosti izp eljati bodisi v razredu bodisi na
prostem.
Ob koncu nam učbenik ponudi t udi t ri pr eskuse znanj a na treh težav-
nostnih stopnjah . Razveselili se jih bodo t ako učitelji kot starši, najver-
jetneje pa tudi ot ro ci, saj zelo radi preverij o, koliko so se naučili .
Darja Delač Felda
Fizika I
LEONARDO DA VINCI IN FIZIKA
Leonardo da Vinci ni bil fizik , če up oštevamo, da se je fizika v današnjem
pomenu besed e začela s 17. stoletjem . Bil pa je med t ist imi zas luž nimi
možmi , ki so fiziki utrli pot.
Gibanje za oživitev antičnih misli - humanizem in renesansa - se je
začelo v 14. stoletju v It aliji in je v poltretj em stoletju Ev ropi prineslo
velike spremembe. Razvilo se je meščanstvo , razras la obrt , odkrili so
nove dežele in izumili t isk. Pogled na naravo pa se ni spreme nil t ako
silovito. Še je prevladovala Ari stot elova slika iz četrtega stoletja pred
našim štetje m. V njej je bil svet ločen na nesprem en ljivi del za Luno
te r na spremenlj ivi del pod njo. Središče vesolja je bilo središče okrogle
Zeml je, okoli katerega so bili razvrščeni elementi zemlja, voda, zrak in
ogenj . V svet u pod Luno je obstajalo po leg gibanja živih bi tij nar avno in
prisilno gibanje. Pri naravnem gibanju so se t elesa sama od seb e vračala
v nar avni red elementov. Za vzdrževanje prisilnega gibanja pa je bi lo
potrebno nenehno delovan je "sile" .
Velike težave so imeli s prisilnim gibanjem puščic in drugih izst relkov.
Za vzdrževanje t akega gibanja naj bi bilo potrebno nen ehno delovanje
"sile". To naj bi povzročal zrak, ki ga je v gibanj e najprej spravila puščica.
Potem je puščico v gibanje spravljal zrak, ko je vdrl v prost or , ki ga je
puščica pravkar zapustila. Vendar je pojasnilo nasprotovalo izku šnj am pri
metu kopja in pri potovanju , ko je zrak deloval v nasprotni sme ri gibanja.
V 6. stoletju so za radi tega uvedli dodatno "gibalno silo" , ki jo te t iva da
puščici in ki jo ta potem počasi izgublja. Tako se je razvi l pojem impetu sa,
ki je bil z današnj ega gledišča precej meglen . Vseeno v nje m lahko vidimo
zas novo po znejše gibalne količine , pr odukta mase in hi trosti te lesa.
Dod atek impetusa je Aristotelovi sliki pomagal iz op isane težave,
toda v 14. stoletju so se začele kazati druge pomanjklj ivost i. Ted aj so
začeli delati prve posku se in so si pri zadevali njihove izide za jeti s števili.
V 15. stoletju so počasi uvaj ali merj enj e. Precej zas lug za to je imel Nikolai
Cusanus ali Nikolai Krebs (1401 do 1461 ) iz Kii sa , poznejši bri žinski škof in
kard inal. Trdil je, da se snov veso ljskih t eles ne razlikuje od snov i Zemlje.
Zem lja se giblje in v vesolju nima posebnega po loža ja. Zvezde so oddaljena
sonca in vesolje nima meje. St avil je na im petus. Zagot av ljal je, da mora
raziskovanje temeljiti na merj enj u . Merjenje ali mera - mensura - je po
njegovem mnenju izhaj ala iz besede mens (razum, mišljenj e) . P osebno
pomembno se je Cusanusu zdelo merjenje teže in t ehtnica mu je bi la vzor
za meri lno napravo. St ehtal je zrak, s t ehtanjem platna določil vlažnost
zraka in s t ehtanjem vod e, ki je izt ekla iz posodice, meri l čas gibanja .
Fizika
Da Vinci se je naslonil na Cusanusa. Tudi on je zagovarjal enot nost
snovneg a svet a in mislil, da so na Lun i morja in kopno te r da so t am
razvrščeni elementi tako kot na Zemlj i. Vedel je, da Luna odbija sončno
svetlobo in je med prvimi t rdil, da ob prvem in zadnjem kr ajcu del Lune
v senci osvetljuje sončna svetloba, ki se odb ije na Zemlji. Leon ard o je
ugotovil , da se pri mirujočih te lesih vpli v t eže na krajišču vzvod a zmanj ša ,
ko vzvod nagnemo proti pravokotnici. Pri te ht nici z ukrivlj enim vzvodom
zato ni pomembna dolžina vzvod ov, am pak potencialna dolžin a. Zanimal
se je za klanec. Telesi je poveza l z vrvjo in ju postavil na nasprotna
klanca. Ugotovil je, da st a v ravnovesju , če st a teži obratno sorazmern i
s "poševnost ma" , ki pa ju ni pod robno opredelil. Pri t em je spoznal
paralelogram sil. Delovanje škripcev, vzvodov in te htnic je Leonardo
po jasnil z izrekom o vzvodu. Podobno kot Cusanus je imel vzvod in
te ht nico za zgled vseh mehaničnih naprav.
Raziskovanj e gibanja teles je bilo tedaj še v povoj ih . Da Vinci je
pr ispeval več t eht nih misli , ki so pr ekašale misli njegovih sodo bnikov, ne
da bi nar edil odločilen korak. Sprejel je Cusanusov nauk o impetusu .
Čeprav impetus lahko nastane na različne načine , vedno sila povzroči na
gibajočem se te lesu dru go silo, po dobno seb i. Po tedanji navadi je da Vinci
razpr avljal o vlogi impetusa in tež e pri metu navpično navzgor. Telo naj
bi se gibalo navzgor , ko impetus pr eseže te žo, s hit rostjo , sorazmern o z
razliko impetusa in teže . Dviganj e naj bi postajalo vse počasnejše zaradi
zmanjšanja impetusa. P ridruž il se je mnenju , da je pri poševnem met u
t reba ločiti t ri dele. V prvem je gibanje pr isilno in se izstrelek giblje po
ravni črt i . V drugem delu je gibanje sestavljeno , delno pri silno in delno
naravno, in se telo giblje po loku. V tretjem delu je gibanje naravno in
izstrelek pada navpično navzdol.
Kot sodobniki tudi da Vinci ni bil dosleden. Dopustil je čisto ukri-
vljeno gibanje vodnih curkov, a se v nekem drugem pr ime ru ni držal
osnovne zamis li, da je vsiljeno gibanje vedno premo. Mislil je, da se t elo
giblje po krogu , ko ga sp ustite, če ste ga prej pr isilili v gibanje po krogu.
Vendar se je približal misli , da je vsa pot izst relka ukrivlj ena in je gibanje
na vsej poti sestavljeno iz "prisilnega" in "naravnega" .
Nekatere da Vincijeve trditve se danes zdijo dokaj nen avadne. Zraku
je pri pad anju kamna pri pisal dvojno vlogo. V njem naj bi pr ed padajočim
kamnom in za njim nastal val. P rvi val naj bi gibanje kamna zavi ral, dru gi
pa spodbujal. Poleg teg a naj bi se zrak upiral gibanj u kamna, a upor naj
bi za ra di obe h valov ne bil enakomeren . Zato je misl il, da se pr i padanju
po zraku telo ne giblje ne enakomerno pospešeno ne enakomerno. Čeprav
so tedaj že ločili hitrost in pospešek, ni nihče posk usil padanja povezati s
pospešenim gibanjem.
218 Fizika I
Uje t v st are predstave, je Leonardo da Vinci imel nekaj posrečenih
zamisli. Raz iskal je trk, ki mu je bil zgled za prisilno gibanje . Trdil je,
da se telo na vodoravni ravnini odbije z enako silo in z enakim kotom.
Gibanje t elesa pred odbojem naj bi povzročal impet us , gibanje po odboj u
pa "sila" t rka. Za t em je mogoče zaslutiti misel o ohranitvi impetusa .
Da Vinci je trdil, da se impet us pri t rku ne izgubi, a je privzel, da je
sestavljeno gibanje omejeno samo na majhno razdaljo po trku. Trk naj
ne bi pripeljal samo do enake nasprotne "sile" , ampak do polnega ali
delnega prenosa "sile" od telesa na t elo. V naslednj ih sto let ih ni nihče
prekosil t ega razmi šljanj a , v kat erem se skriva daljnja slut nja po znejšega
zakona o vzaj emnem u č inku,
Da Vinci se je zanimal za gib anje po zraku, še poseb ej za let. Narisal
je , kako pada kocka, ki se prevrača , in dostavil, da težišče ostane na
navpični premi ci. Trdil je, da je let stabilen , če je težišče pred pri-
jemališčem upor a . Kot kaže, je prvi uporabil težišče pri obravnavanju
gibanja.
Leonardo da Vinci je raziskoval lok in samostre l t er gibanje puščice .
Trdil je, da bi puščica dos egla veliko hitrost , če bi jo izstrelili z dirj ajočega
konj a in bi v ti st em t renut ku še vr gli lok naprej. Razmišljal je o sešte vanju
hitrosti in o t em , ali obstaja pri tem kaka zgorn ja meja. Zamis lil si je
velikanski lok , ki bi ga napeli z vitlom, in uvidel, da se zaradi povečanja
pojav ijo t ežave. Na vodoravno tetivo je ob ešal uteži in ugotovil , da se
pritrdišče ni znižalo sorazme rno s povečanjem t eže. Opazil je, da se pri
napenjanju loka del ogrodja nategne , drugi del stisne in da je med delom a
plast, ki ni ne napeta ne stisnjena .
Da bi razumel delovanje strojev, je da Vinci raziskal trenj e. Pri t em
je up or abil silom er , kakršnega so uvedli šele v 18. stoletju. Narisal je
podobno mizo , kot jo je za raziskovanje t renja v 18. stoletju uporabil
Charles de Coulomb. Raziskal je t renj e pri drsenju in pri kotaljenju t er
pr i slednjem opazoval odvisnost od polmera . Ugotovil je, da je t renje
pri drsenju odvisno od obdelave ploskev in sorazmerno z brem en om , a
neodvisno od površine do tikalne ploskve. Lenoardo je vp eljal koeficien t
trenja kot razmerje med silo, ki je potrebna za premikanj e po vodoravni
podlag i, in bremenom. Pri zglajenih površinah je dobil zanj ~ , kar je
dober približek pri t renj u trdega lesa po trdem lesu , brona po jeklu in
nekaterih drugih snoveh, s kat erimi je delal poskuse.
Pozneje je Leonardo da Vinci raziskal t renje v st roj ih , ki je bi lo ted aj
zelo nadležno , ker so se zaradi njega vrteči se deli hitro obrabili. Ugotovil
je , da se kovina okoli vodoravne osi ni vedno najbolj obrabila v navpični
sme ri, ampak je bi la sme r obrabe odvisna od sme ri brem en a. Ker se je
obrabila t udi os , je postaj ala odprt ina vse večja. Poskusil je os mazati
I Fizika
~=-.~~
~l
~
.C?
Slika 2. Na prave , s kater imi je da Vinci raziska l trenj e .
Slika 1. Kroglični leža j z vencem na da Vincijevi risbi.
z oljem , ki je izt ekalo iz posodice, a ugot ovil, da nastali drobci kovine
zamašijo dovod olja. Iskal je možnosti za zmanjšanje obrabe. Tako je
opisa l ležaj s "kovino za zrcala iz treh delov bakra in sedem delov kosit ra" .
Pri tem je bilo mogoče s čelj ustmi zmanjšati odprtino, ko se je os obrabila.
Take ležaj e z mehko ležajno kovino so predlagali skoraj dvesto let pozneje.
Leonardo je pr išel tudi na miselokrogličnih in valjčnih ležajih . Krogle
in valje so že prej uporab ljali za zmanjšanje trenja, a v stroje so ležaje
uvedli šele okoli leta 1900. Z valj čnimi ležaji je da Vinci izbo ljšal delovanje
Fizika I
vitlov. Trdil je, da se kr ogle ali valji v
ležaju ne smejo dotikat i med sebo j, in
je na risbi kroglični ležaj opremi l z ven-
cem . Posebno posrečen je bil pr edl og za
navpično os s stožčastim kraj iščem in s
tremi kroglicami ali sto žci. Pred osem-
desetimi leti so podoben ležaj uporabili
v vrtavk i.
Leonardo da Vinci je razm išljal o
zobe h zobat ih koles in ugotovi l, da so
glede t renja najboljši cikloidni zobje ,
kar so ponovno odkrili dvesto let po-
zneje. Narisal je več naprav z Arhi-
medovim "neskončnim vijakom" , ome-
nil njegove prednosti pri gradnj i ur in
predlagal novo vr st o zob, kakršn e so
vp elj ali v 18. stoletju. Izumil je tračno
zavoro, s katero je povečal t renje. Raz-
iskoval je pogon z vrvmi in ugotovil, da Slika 3. Naj boljš a oblika zob zobat ih
je mnogo manj hru pen kot gibanje koles koles .
in vre te n. Na nekaterih risbah je vrvi
zame njal z jermeni in nakazal možnost za nekaj novih naprav. Med
njimi je bil t udi blažilec sunkov, ki naj bi zav rl človeka pr i padcu z
višine. Prepleteni klini naj bi s t renjem zm anj šali hitrost , na dnu pa
naj bi bala volne dokončno ublažila padec. Raziskovanje t renja je da
Vin cija prepričalo , da ni mogoč perpetuum mobile in vzkliknil : "O, t isti ,
ki razmi šljate o večnem gibanju, koliko utvar ste zaman ustvarili v tem
prizadevanj u? "
V optiki je da Vinci ome nil steklo, s kat erim je opazoval povečano
Luno. Zap isa l je , da je potrebno za opazovanje narave planetov odpreti
streho in spelja t i sliko planeta na konkavno zrcalo. Slika planet a , ki se
odbije na zrcalu , pokaže zelo povečano površje planeta. Upoštevajte,
da je prvi nebo opazoval z daljnogledom Gali leo Galilei let a 1609 , prvi
daljn ogled z uk rivljenim zrcalom pa je okoli leta 1671 izdelal Isaac Newton.
Da Vinci je t ud i pojasnil nastanek slike v camer i obscuri in je raziskoval
delovanje človeškega očesa .
Da Vincija je za nimala tudi hidravlika , izumil je merilnik višin e gla-
dine in narisal številne načrte za kanale. Razmišljal je o vplivu Lune na
plimo. Mis lil je, da so pojavi kot zvok, svetloba, toplota, magneti zem , vonj
osnovani na "nihajočem gibanju" . Dotaknil se je do lgotrajnih sprememb
na površju Zemlj e, npr . nastanka kontinentov. Domneva l je, da okamenele
školjke daleč od morj a pričajo o premikanju zeme ljs kih sk ladov.
Fizika
Leonardo da Vinci je nastopal proti praz noverju in se zavzemal za
poskuse : "Posk us je bil učitelj t ist ih, ki so dobro pisali , v vsakem pr imeru
je moj učitelj . " Poskusu je nam enil t emeljno vlogo , saj je imel mod rost
za hči poskusa. Razmišljal je o poti od poskusa do znanstvene posplošit ve
in se zavedal možnosti , da nas čuti lahko pr evar aj o. Zato je t reba poskus
ponovi ti v spremenjenih okoliščinah: "Preden izp elješ iz posameznega
primera sp lošni zakon , ponovi poskus dvakrat ali t r ikrat , [da ugotoviš], ali
povzročijo eni in ist i poskusi ene in iste učinke." Zagotovil je, da je poskus
veliko bolj ši kot razmišljanj e in učenj e iz knjig, a hkrat i op ozoril : "To
imenujemo pr aksa, to da up oštevaj , da naj bo pred tem te orija." Vseeno
v Leonardovi zapuščini ni naj ti teorij .
Omenit i moramo še druge da Vincijevih dejavnosti. Imel je zelo
natančno oko in osupljive risarske spretnosti . Boljše slike valov na vodni
gladini in zračnih mehurčkov v vodi, kot jih je narisal , so dobili šele s
hit rimi filmskimi kamerami. Na vprašanja, ki si j ih je post avil, je pogosto
odgovarjal z risbami. P ri tem so ga pri tegnila nova vprašanj a , na katera
je nalet el. Posvetil se jim je, pr eden je pr ejšnj a do kr aj a rešil. Na eni
strani je tako širil krog zanimanja, a mu je na drugi zmanjkovalo časa.
Slika 4. P renos s po!žem.
222 Fizika - N aloge I
Za današnje po jme je bil Leonardo da Vinci presentlj ivo vsestranski.
Ukvarjal se je t ud i z umetnostj o in te hniko , ki ji gre v njegovem delu
pomembno mesto. Zanimalo ga je delovanj e stro jev. Med prvi mi, če
ne prvi, je spoznal, da st ro je sestavljajo preprost i deli. Narisal je veliko
naprav in st ro jev, povezanih z nar avoslovnimi spoz nanji. Njegovi načrti
pa so bili dokaj od maknjeni od te danjega zanimanja in možnosti. Po leg
t ega je načrte skrival. Bil je levičar in je pisal v zrcalni pisav i, ki jo je t ežko
brati . Danes poznamo več tisoč Leonardovih tehnišk ih in naravoslovnih
risb, le nekaj desetin umetniških slik in nekaj sto umetniških risb .
V da Vincijevem času med matem atiko , naravoslovjem, tehn iko in
umet nostj o še ni bilo t ako izraziti h meja kot danes. Vendar se je ločevanj e
že začelo in ni j ih bilo veliko, ki bi obv ladali več dejavn osti hkrati . Da
Vinc i je bil gotovo ede n slednj ih .
Pom en a bežnih ali nejasnih pred logov ni lah ko oce nit i. Zato se sodbe
o pom enu da Vincijevih te hniški h risb pr ecej razlikuj ejo. Eni zagotavljajo,
da njegovi naravoslovni rokopisi niso bili znani do konca 18. stoletj a . Vrhu
tega naj bi bi li načrti v njih zgolj sad dom išljij e. Drugi za trjujejo, da je
odkril skoraj vse sodobne naprave od oklepnega vozila do strojnice , od le-
tala do helikop terj a , od vodne t urbine do parnega st ro ja in od daljnogleda
do računalnika. Najbrž je pravi odgovor med ob ema skrajnostma.
Večina današnj ih naravoslovcev in precej tehnikov sprejema stališča,
da gre pret ežni del zas luge t istemu , ki zamisel izpelje ali nalogo dokončno
reši , in le manj ši del t istemu, ki rešit ev nakaže. .Da Vincijeva risba, ki
je na glas u kot zas nova helikopterj a , se od pravega helikopterj a bistveno
razlikuj e, in to velja t udi za večino drugih risb . Kljub t akim pomislekom
pa izstopa da Vincijeva vsest ranskost in zbujata občudovanj e število in
raznovrstnost njegovih predlogov. Posebno imenit na je ugotovit ev "to so
nar ed ili stolet je ali dve pozneje", ki smo jo t udi mi velikokrat ponovili.
Zar ad i vsega t ega Leon arda da Vincija upravičeno štejemo za enega od
ljudi, ki so odločilno soo blikova li iztekajoče se tisočletje .
Janez Strnad
TRIKOTNIKA
Dana sta dva t rikot nika . St ranice prvega merij o 10, 13 in 13 enot , st ranice
drugega pa 24, 13 in 13 enot .
Premi sli , kateri od t rikot nikov im a večj o ploščino , ne da bi ploščini
t udi i zračunal.
Dragoljub M . Milo šeui č
I Naloge
SATOVJE
Če se sprehajamo po (neskončni) kvadratni mreži v ravnini , ni težko
ugotoviti, kdaj nas dva sprehoda pripeljet a do ist ega polja mreže. Če
z S (sever) označimo premik navzgor, z J (jug) premik navzdol, z V
(vzhod) premik v desno in z Z (zahod) premik v levo , lahko vsak sprehod
predstavimo kot zaporedje črk S, J , V in Z. Sprehoda s skupnim začetkom
nas pripeljeta do ist ega polja mreže natanko tedaj, ko je razlika med
št evi lom S-ov in J-jev v prvem zaporedju enaka tej razliki v drugem
zaporedju (enak premik v navpični smeri) , hkrati pa je tudi razlika med
številom V-jev in Z-jev v obeh zaporedj ih enaka (enak premik v vodoravni
smeri).
s
S~V
J~JV
J
Še zanimivejši so sprehodi po šestkotni ravninski mreži (glej sliko) .
Z vsakega polja take mreže gremo lahko v šest smeri: S (seve r) , J (jug) ,
SV (severovzhod), SZ (seve rozahod), JV (jugovzhod) in JZ (jugozahod).
Sprehod lahko zopet op išemo z zaporedjem črk S, J , V in Z (pri čemer
mora pred vsakim V-jem in Z-jem stati črka S ali J) .
Vaša naloga je, da venem od priljubljenih programskih jezikov na-
pišete funkcijo, ki bo ugotovila, ali nas dva sprehoda po šestkotni mreži,
ki se začneta na ist em polju mreže, podana pa sta z zaporedjem črk S, J ,
V in Z, pripeljeta na isto polje mreže. Sprehoda SVSVSZJZ in S nas npr.
pripeljeta do ist ega polja, sprehoda SVJVS in SSV pa ne (glej sliko) .
Martin Juvan
Zanimivosti - Razvedrilo I
KRIŽANKA O V ELIKEM ZNAN STVENIKU, IZUMITEI
t j 'J~ i ,~ ~?r
~. "
• MESTO, KJER JE ZIVEL
STROČ,
FLAVTISTKA VELIKA
REZISER
SL.FIZIK
. ,(~~}..:t" " GRAFE, FRANC, IN IZUMITELJ CIRI
l ji ' ? NICA NAUER REKA KUSTURICA (JULIJ) ŠKERl'7 -;;"~.:- ,. ~ :., ~' r~" ' .' ~..ati .... · - " ', '':r. -:;;,'" ,, :. X'
·.1r~ 1
"'-' 1-
POZREŠNICA
,,"'1 t:: BEDA,, " ~
\. ~. REVŠČiNA.'f .......... ' ,. . -
"1'"" ~I:~';Z:~' ' TRDA. ZBITAPRST
" '( "~
~~.~~~~ VElI ~< r:-,"
~
USTNI, f---< ," RIMS
'i
ro:
"
HA[
" » \ '
.ij~ ,"
~ t ,
~.' ,/';.: '~ri/.. /:/
DE$čICA ZA .... .... SULTANOV
POKRIVANJE STREH RAZGlAS
TORINO -
HITER AMER. PLES (ORIG,)
BIL JE
TUDI.., ,
KOŠČiČAST STRIC PO
IZQELAL JE
NACRT ZA....
SADEZ, MATERINI -
ČEŠPLJA STRANI 24 UR
FANT, KI NE USAD SL PISAIZRAEL. (VITAlPRIZNAVA f------ PISATELJ
~DRUlB ENIH ESKIMSKO (AMOS)NORM BIVAliŠČE JUNA
DREVO SLOV,
Z BELIMI BIOLOGIN
CVETOVI, POTAPljAČ
ROBINljA (ARNE)
DROGA PlASTNICE
ZOPER f------
KAšElj, PREDNJI
IRSKI MAH DEL TRUPA
LEONARD PLATINA SOCIOLOGI,
PISATELJ COHEN -
~ERBU ZOLA SL. REilSER TAlNA
(MILE) OBLOGA JAŠEK
DENAR NAJVEčJ I
AVTOR
PENEČE
V EU SL PESNIK
MARKO
~
f---
BOKALiČ SE VINO OJDIPOVO
SILA MESTO
JAPONSKA NJEGOVA
OBLIKA RODNA
ROKOBQRBE POKRA/INA
PEVKA TRESAV
POKRAJINA PIAF f-----V ZAHODNI f------
GRČiJI MIRAN LATINS
JARC VEZNI
NJEGOV D C
~
SOOOBNIK,
.~
ODKRITELJ -Ti : .> : r
AMERIKE _o:: --o T ': _
, I ~ # ~
PROPADLAOBRAV,
~ ,~ ~- -- - - - :'T2' " '' ''''''NAVAL MARI,
JE TIJOI.... BORSKA
.-\ B TOVARNA
I Zanimivosti - Razvedril o
JJU IN UMETNIKU
I_~OZNAL JE NJEGOVO DELOVANJE_
VEČj i 1- '
NJEGOV IZUM
L : IZAHTEVNA
č2~~~
POGLED, STVAR,
NEC SKLADBA ČRN GLEDISCE
KI JE NE OPIS .s:- .:...,..1.
ZAVAJO
~
PTiČ IMENUJEMO It l1'C' ~'I ~ , -,7"1 ~~STROJIlNA OIVJA 1 ~ •JAMA RACA ~~, ~ ,.
~
RUSEV1NE ~~~
. ~
-
NIKELJ
....,..,.~
ZNIžANI E
:Jo KRAJOB T T
CA SOČi- -
<1 TELKA
KOVlNA (Zn)
, ,, ,
VELIK,
PRAZN iČN I, ,, , OGENJ,
IVANKUSČER DOLINANA
KOROSKEM
DROBEN ZAJEDALEC,
f------ NATRIJ
IT. PISEC
KI ŽiVIV DLAKAH COLLODI
ROM
NEKDANJI DEKLICA IZ PLEMENITA UNITED f------INDIJSKI ČUDElNE SlADKO- NEKD. SOVJ.
VlADAR DEtELE VODNA RIBA NATIONS PREMIER
(NIKOLAJ)
!'ELJ ŽlEBiČ V
' ) ~-
EV SUMNIK
K IN SiČN IK
STOISKI
PREBIVALCI TURSKO
ANGL.E.SKA
U~~:E
LJUDSTVO VFILOZOF IZ SREDNJI PLOSCINHIERAPQlISA DRžAVE AZIJI MERA
MAJHNA
ŽllCA
PRJTOK
VOLGE
ŽESKORAJ
500LET
JE....
BALETNIK MESTOV
OTRIN SEV. FRANC.
- I POZNAL
URIN JE TUDI.....
-
MESTO, KJER
TABORNIK NAMSJI GRCIJA
JE ŽJVELV f------ VRH -
STAROSTI š~~
RLIPINOV HLAČNI
(VULKAN) PRISITEK
ICA NERESNICE
- 2.OSEBA - VRHUNSKI
KI EDNINE RAJKO SPORTNIK
< PIRNAT
,,,,,
~
KONEC NASTROJ
ŠAHOVSKE NAPISANO
PARnJE BESEDILO
Naloge - Rešitve nalog I
ŠTEVILSKI UGANKI
V prazna okenca posamezne sh em e vpiši po eno desetiško števko tako, da
bo za nastala števila veljalo:
1. Nobeno večmestno število se ne začenja s števko O.
2. Pravilni morajo biti vsi računi, nakazani v vodoravnih vrsticah; ope-
racije izvajamo vedno od leve proti desni.
3. Števila pod vodoravno črto so vsote števil v stolpcu nad njimi.
..
a)
CD + [IT] + CD
b)
CD+CD+CD [IT]
Marija Vencelj
IZLUŠČI IN DOKAŽI PRAVILO - Rešitev s str. 145
Če izračunamo vrednosti izrazov v posameznih vrsticah, dobimo zapored
vsote 1, 2, 3 in 4.
Rezultati porode domnevo, da splošneje velja
2n-l
L (-1)k+lk(2n - k) = n .
k=l
Trditev je pravilna, kar potrdimo s popolno indukcijo:
1. Za nekaj začetnih vrednosti n smo pravilnost trditve uvideli ob po-
stavljanju domneve.
I Rešitve nalog
2. Na j t rd itev velja za naravno število n . Ob tej predpostavki i zraču­
naj mo vrednost leve st rani zgornje enačbe , kjer nam esto n vstavimo
n+ l:
2n + l
I: (- 1)k+l k( 2n + 2 - k ) =
k=l
2n - l 2n+ l
I: (- 1)k+1k(2n + 2 - k) + I: (- 1)k+lk(2n + 2 - k) =
k = l k = 2n
2n- l 2n - l
= I: (- 1)k+lk( 2n - k ) + 2 I: (_ l)k+l k+
k = l k=l
2n +l
+ I: (- 1)k+1k (2n + 2 - k ) = A + B + C .
k =2n
Z A , B , C smo za po red označili posamezne delne vsot e med zadnjim a
enačajema.
Po indukcijski predpostavki je A = n . Nadalje je B = 2(1 - 2 + 3 -
- 4 + . . . ± (2n - 1)) = 2(1 + (n - 1)) = 2n in C = - 2n (2n + 2 -
- 2n) + (2n + 1)(2n + 2 - 2n - 1) = - 2n + lo
Zato je A + B + C = n + 1, kar potrj uje praviln ost naše domneve.
Marija Vencelj
DOPOLNI RAČUN - R eši t ev s str. 131
Srednj i od deln ih produktov se končuje z 12, zato je zadnja števka prvega
fak torja enaka 6 in dru ga O ali 5. Ker je druga šte vka prvega delnega
produkta enaka 3, sled i, da je prva št evka drugega fak torja enaka 3 in
dru ga števka prvega faktorja 5. Na daljevanje je preprosto in rešitev ena
sama:
4 5
1 3
1 4
6 x 3 2 8
6 8
9 1 2
3 6 4 8
9 5 6 8
Marija Vencelj
Rešitve nalog I
N ALOGE O ELIPSAH IZ JAPONSKIH
TEMPLJEV - Rešitve s str. 146
1. Z afino tran sformacijo s koe-
ficientom alb in nosiIko velike
po losi elipse kot pr emico ne-
gibnih točk, prevedemo podani
problem na problem o rombu,
o črtanem kro žnic i. Njegove di-
menzije so označene na sliki na
desni.
Če dvakratno ploščino naj-
večjega narisanega pr avokotne-
ga trikotnika izrazimo na dva
načina , dobimo
Od tod sledi nas lednja zveza med a, b in t :
Naloga zahteva iskanje celošt evilskih rešitev te enačbe. Enačbo torej
obravnavamo kot diofantska enačbo. Posredno so torej sangaku problemi
povezani tudi z drugimi področji matematike, v tem pr imeru s teorijo
števil.
Zgornjo diofantska enačbo rešimo takole: opazimo , da mora biti t
sodo število , in ga lahko izrazimo kot t = 2w, kjer je w celo število.
Dobimo enačbo a2 + b2 = 2w 2 , ki jo prevedemo z zamenjavo a = u - v ,
b = u + v v enačbo u2 + v2 = w2 . Števila u , v , w torej sestavljajo pitago-
rejsko trojico.
Zgornjo zamenjavo smemo uporabit i, saj je ekv ivalentna trditvi, da
sta u = atb, v = b;a celi števili, če sta a, b celoštevilčni rešitvi enačbe
a2 + b2 = 2w 2 . To pa je res, saj sta v tem primeru obe števili a, b bodisi
sodi bodisi lihi.
I Rešitve nalog
2 . Sprva kaže, da je ta naloga zah-
tevnejša, in da je ne bo moč rešiti
na že omenjeni način , sa j z afino
trans formacijo ne moremo ob eh
elips hkrati pr etvori ti v krožnici
- ko ena postane krožnica , druga
postane še bolj ekscentrična elipsa.
Vendar vtis vara. Za rešit ev naloge
sploh ne po trebujemo obeh elips.
To spoz namo takoj , ko narišemo
diagon alo kvad rata , ki poteka med
elipsama (in se obeh dotika):
C
-o'
Očitno zadošča, če t ra nsformira mo samo zgornjo polovico kvadrata .
Spodnjo dobimo z zrcaljenjem glede na diagonalo. Uporabimo transfor-
macijo s koeficientom alb in nosilko velike po losi zgornje elipse kot pr emico
negibnih točk.
B'
C'
v
T
A'
Na sliki smo dod ali trikotnik RWT , saj bo zelo kor ist en.
Vp elj imo oznaki RS = x , ST = y . Velja TV = a + y = 1, P R =
= a + x = %rn, torej je x = %rn - a, y = 1 - a. Sedaj lahko trikot niku
RTl1T i zračunamo stra nice: RW = a - x = 2a- %m, liVT = a - y = 2a -l ,
Rešitve nalog I
RT = x + y = %m + l - 2a. Pitagorov izrek nam da
Ko ta izraz ur edimo, dobimo ab = ~ml , in od tod
1
abt: = 2 7rml .
To dokazuje začetno trdit ev, saj je abi: ploščina elipse.
3. Tokrat smo dani pravokotnik in elipso te r romb in krožnico, ki ju
dobimo iz njiju z afino pr eslikavo s koeficientom alb , ki ohranja veliko
polos elipse, narisali na isto sliko.
D'
Če zapišemo AF · E D FD · CE v obliki AF: F D = CE: E D ,
vidimo, da zadošča dokazati vzporednost premic AC in EF. Ker trans-
formacija, ki smo jo up orab ili, ohranja incident nost in vzp orednost , je
zadosti dokazati , da je A'C' vzporedno E' F'. Ta t rditev pa očitno drži,
saj velja A' F' = C' E' in F' D' = E' D':
Rešitve nalog
D'
Karmela Miluiinom č
DVA FAKTORJA BREZ NIČEL - Rešitev s str. 159
Pot do rešitve je pr esenetljivo preprost a . Iz praštevilskega razcepa danega
števila
1000000000 = 109 = 29 . 59
sled i, da je po ljubni delitelj t ega števila ob like 2i 5] , kjer st a i in j bodisi
O bodisi naravni šte vili od 1 do 9. Kakor hit ro je i i= O in j i= O, je delitelj
deljiv z 10 in ima v svojem desetiškem zapisu vsaj eno ničlo . Edina
možnost za iskani razcep je torej 109 = a . b, kjer je a = 29 in b = 59. Ker
nobeno od števil 29 = 512 in 59 = 1 953 125 v svojem deset iškem zapisu
nima ničle , ta razcep t udi reši našo nalogo:
1 000 000 000 = 512 . 1 953 125 .
Rešitve nalog I
Opomba. Poseb ej zanimiva je splošnej ša naloga: Kat er e potence števila
10 lahko zapišemo kot pro dukt dv eh t akih naravnih števil, ki se po de-
setiško zapišet a brez ničel?
P ot do odgovora lahko ub eremo takole: Naj prej poiščemo t ake ekspo-
nent e n , da po t en ce 2" v desetiškem zapisu nimajo št evke O, nat o pa med
pripadajočimi potencami 5" poiščemo t iste, ki se tud i za pišejo brez ničel.
Med eksponent i, manjšimi od 100, ust rezajo pogoj em naloge le nekat eri ,
lil sicer:
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, s, 18 in 33.
Po podatkih , ki so mi bili pri pisanju t egale sestavka na voljo , do slej še
niso našli t akega ekspo ne nta n > 86, da bi bil deset išk i zapis potence 2"
brez števke O. Če im a kdo od bralcev ( računalnikarj i ! ) bo lj svež pod at ek
z drugačnim rezul t atom , prosimo, da nam ga posreduje. Seveda pa je
ver jetnost , da bi t udi pripadajoča pot en ca števila 5 ne imela ničle v za pisu,
izred no majhna .
Marij a Vencelj
PORAVNANI KAZALCI - Rešitev s str. 131
P oložaj kazalc a na uri je določen s kotom (recimo, da ga merimo v radia-
nih , čeprav to pri nadaljnjih računih ne bo bistveno) , ki ga kazalec oklepa
z navpi čnim polt rakom iz središča ur e: ob enih je ta kot ~ , ob dveh ~ it n .
Izračunajmo , pri kat erih kotih se urni in mi nu tni kazalec ujamet a .
Upošt evat i moramo, da se minutni kazalec pr emika dvanaj stkrat hitreje
od urnega: urni se premakne za kot ~ , minu t ni pa med tem naredi po lni
krog, to rej se zasuče za kot 27f . Naj bo k število polnih kr ogov , ki jih
pred poravnanjem naredi minutni kazalec, in r.p E [0, 27f) kot , ob kat er em
se kazalca ujamet a . Potem je
12r.p = k . 27f + r.p .
Torej
k
r.p = _ . 27f .
11
Različne kote dobimo za vrednost i k = 0,1 , . . . , 10. P ri k = 11 imamo
ip = 27f , torej urni kazalec naredi cel krog, minutni pa enajs t krogov in
še enega , t ako da sta oba kazalca ponovno poravnan a v navpični legi (kot
prik= O) .
e= O, 1, . . . ,58 .
Rešitve nalog
Ker je sekundni kazalec šestdesetkrat hitrejši od minu tn ega , na enak
način izračunamo , da sta sekundni in minutni kazalec poravnan a za kot e
e
-·211"
59 '
Sedaj lahko hi t ro odgovorimo na vprašanje (a). Ker sta št evili 11 in
59 tuji, so vsi trije kazalci poravn ani le za k = e= O, to rej le ob polnoči
(in še op oldne).
Od govor na vprašanje (b) zahteva nekaj računanj a. Za kote 2~r,
k = 0,1 , . .. , 10, moram o i zračunati , katere čase pr edstavljaj o. Najprej
kot pr et vorimo v sekunde . Polovici dn eva ustreza kot 211" , hkrati pa ima
to obdobje 12 . 60 . 60 = 43200 sekund . Izraženi v sekundah nas to rej
zanimajo časi 43i~Ok . Pretv ori ti jih moramo v ur e, minute in sekunde,
ostanek pa zaokrožiti na najbližjo stot inko. Tule je pr ogram v C-ju, ki
opravi opisane izračune :
#include <st dio.h>
#inc l ude <math. h>
int main(vo id)
{
double cas;
int ur e , minut e ;
double sekunde ;
int k;
/ * ce lotni čas v sekundah */
/* ur e in mi nute */
/ * sekunde s stot i nkami */
/* čas, ki pripada kotu 2k pi/ll */
/* pri prir e j anj u odrežemo decimalke */
/* celotni čas z odštet imi urami */
for (k = O; k < 11 ; k++) {
cas 43200 .0 * k / 11 ;
ur e = cas / 3600.0;
cas = fmod(cas, 3600 .0) ;
minute = cas / 60.0;
sekunde = fmod(cas, 60.0);
pr i ntf (
"%2d . uj eman j e: %2d :%02d:%05.2f \n",
k + 1, ure , minute, sekunde
) ;
}
return O;
}
Pri računanju smo si pomagali s funkcijo f mod iz knji žnice math . h. Funk-
cija vzame dve realni šte vili in vrne ostanek pr i deljenju prvega števila z
drugim (kvoc ient izračuna v celih števil, in sicer tako, da ima ostanek enak
pr edznak kot prvo število ) . Program naredi nas lednji izpis, ki pr edstavlja
od govor na vprašanje (b):
1. ujemanje:
2. ujemanje :
3 . ujemanje:
4. ujemanje :
5 . ujemanje:
6 . u jemanje:
7 . ujemanje :
8. ujemanje :
9 . ujemanje :
10 . ujemanje:
11 . ujemanje:
0 :00 :00 .00
1:05:27.27
2:10 :54.55
3: 16 :21.82
4:21 :49 .09
5:27:16.36
6:32 :43 .64
7:38 :10 .91
8:43:38 .1 8
9 :49:05 . 45
10 :54:32 .73
Rešitve nalog I
Up am, da ste opazili, da sem se PrI Izpisu časov malce potrudil.
Če im a čas manj kot deset minut , st a za izpis minut vseeno por ab lje ni
dve mest i, pri čemer na prvem mestu ni izpisan presledek , pač pa ničla .
Torej 1: 05 : 27.27 in ne 1: 5: 27 . 27 ali 1: 5: 27 . 27. Podobno je pri izpisu
sekund .
Martin Juvan
KRIŽANKA "ODKRITJA TISOČLETJA"
Rešitev s str. 160
~
- ~ -~ ~ - ";'::::' - ~ r.- ,- :::::o - $-o~~ ..::. o:::::l a:n - 1; -
~
~ .T E R M o M E T E R sr: P A R N I : 5 T R o JO::J
F -ii o T o G R A F I J A ~ E L E K T R o N K A
'5' I M A M~ E G E R --';;E;-- D I N A M o .l:lI. Ž Č ~ I L o:~ ol:: ~
= - ;; Ž E ~ 5L A N ~ T A N K I R I - I M K o N U
,:, M Ž ~ K A D E T 7.:' T o 5 C ~ o L Š E V A
,-
~ :1lI: ~
~ ::~ B o R A T .:J:. - =: as K I N G - A T ~ o v~=
'2 I M o L A ": I Ž o P ~ A L A H ~~ A L .:! A Z ~
=N I K o -~ Z A N o 5 ~- I p r-;g- P o J A . ~ E T.o'- D K ~ P o N E V~ o T -~. N A D E V E K ~ A L E
i' u R A ~ Č E M B A L o ~ ~ L I T E RW B R E L
~~ K o D E K 5 ~ I G ~ P o D M o R N I C A ~ Z E=M~ ..... Č E ~ ~ Š G.- C 5 o K o R _. 0:::::,'~ I L D o~ I L I N
:2;'. I K R A ":i~ E T A L o N ~ N R A V I ~ P o L I R~
~~ J o N h~ U Č I T E L J I C A .~~ ~Ž A R N I C A
1-"
,~ A P 0 '= K A T o D N AC E V - F o ~~ R A F
I Tekmovanja
35. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO
VEGOVO PRIZNANJE
V soboto, 15. m aj a 1999, se je 207 sedmošolc ev in 330 osmoš olcev, ki so se
na področnem t ekmovanju najbolje odrezali, zbralo v Ljublj ani , Mariboru,
Celju, Kopru, Novi Gorici in Novem mestu na državnem te kmovanju
slovenskih osnovnošolcev v znanju matem atike.
Zlat o Vegovo priznanj e je osvoj ilo 69 sedmošolcev in 111 osmošolcev,
prej eli pa so ga sedmošolci, ki so osvoj ili vsaj 16 od 25 možnih točk , in
osmošolci, ki so osvojili najmanj 19 od 25 mo žnih točk.
Državna te kmovalna komi sija, ki jo je vodila prof. Terezija Uran, je
pripravila naloge, pregled ala rešitve in določila kriterij za pod elitev zlatih
Vegovih priznanj. Tekmovalci so reševali naslednje naloge:
7. razred
l . Vrednost izraza
(
(- 0, 4)3 (- 0,8)3 ) (3 ) ( 4) 2 ( 4 )2 2
(- 0,8)3- (- 0, 4)3: 4 - 3 - - 5 : -10 +(-3)
je 12, 5 % nekega števila . Katerega?
2. Moj ca je nakupovala v štirih različnih t rgovinah . V vsaki t rgovini
je zapravila 1000 tolarjev več kot polovico znes ka, ki ga je imela pri
sebi, ko je vstopila vanjo .
Koliko den arj a je imela na začetku , če je za nakupe porabila ves
den ar ?
3. Ulomek ~~6 zapiši kot vsoto dveh ulomkov, kat erih imen ovalca bost a
5 in 22, števca pa naravni števili.
4. Na sliki je prikazan cest ni ovinek.
Koliko kvadratn ih metrov asfalt -
ne prevleke je na ovinku, če je
cesta široka 10 m (AC = ED =
= 55 m )?
5. Enakokrakemu t rapezu s ploščino 12 cm 2 včrtamo krog s prem erom
3 cm.
Izračunaj obseg te ga t rapeza.
Tekmovanja I
8 . r a zred
1. Graf linearne fun kcije y = 1x - 4 seka abscisno os v točki NI, graf
funkcije y = - kx+ 6 pa ordinatno os v točki N . Grafa se sekata v
točki P .
a) Nar iši grafa funkcij in določi koordinate točk M , N in P .
b) Izračunaj ploščino št irikot nika OMP N (O je koordina tno IZ-
hodišče) .
c) Izračunaj dolžino daljice M P .
2. Kolikšn a je vsota vseh lihih števi l med 56 in 364?
3. Miha je sode loval na matematičnem t ekmovanju. Rešit i je moral 20
nalog, ki so bile razdeljene v dve skupini. V prvi skupini je bilo
10 nalog, za vsak pr avilni od govor je dobil 4 točke, za nep ravilnega
je izgubil 2 točki. V drugi skupi ni je vsak pravilni odgovor prinesel
6 točk, za neprav ilnega pa je izgubil 3 točke . Miha je reš eval vseh
20 nalog. Iz prve skupine je pravilno rešil dvakrat to liko nalog kot iz
d ru ge in skupaj dosegel 34 točk .
Koliko nalog je Miha pravilno rešil?
4. Skica prikazuj e vhod v predor. V pred oru
je 128,52 miligr amov žveplovega dioksida ,
v vsakem kubičnem me t ru zraka ga je
0,04 miligrama.
Izračunaj dolžino predo ra .
6m
5. Ploš čino in obseg osen čenega lika i" 'Y7~a. Dobl jen a Izraza poenostavi. il. tJ...
2 2
a
Aleksander Potočnik
I Tekmovanja
19 . DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA
OSNOVNOŠOLCEl
Teoretične naloge za 7 . razred
1. Supertanke r z imenom Globtic London tehta 220 tisoč to n , kadar je
prazen , in lahko prepe lje 440 tisoč t on naft e, kadar je poln . Pred-
postavi, da je njegova oblika kvad er z dolžino 380 m, širino 60 m in
višino 40 m (slika 1).
a) Kako globo ko pod morsko gladino
je dno t ankerja (gostota morske
vod e je 1,02 kg/dm3 ) , kadar je tan-
ker prazen ?
b) Kako globoko pod morsko gladino
je dno tankerja, kad ar je le-t a po ln?
c) Za koliko se spust i ali dvigne dno
po lnega tankerj a , ko le-t a zapluje v
reko?
tanker
40 m
nafta
morje :
60 ITI
Slika 1. She mats ka slika tan-
kerj a Globtie Lo ndon .
2. V toplotno izolirano posodo, v kateri se nahaja mešani ca ledu in vod e,
potopimo grelec z močjo 1000 W . Gr elec vključimo ob času t = O(glej
diagram). Vodo v posodi ves čas počasi mešamo, da je te mperat ur a
povsod enaka . Vsako minuto odčitamo t emperaturo v posodi in jo
vn esemo v diagram.
a) Koliko je bilo v posodi ledu , preden sm o vklopili gre lec?
b) Izračunaj maso vode v posodi ob koncu opazovanja?
T[UC]
lO
O +-----..,,-~
+ - - ---,-- - - I--- - -r-- - ---r-- - --.... t[min]
2 3 4 5
Slika 2. Od visnost te mpe rat ur e vode v posod i od časa .
1 Naloge in rešitve lah ko najdete tudi na intern etu
http ://pef .pef . un i - lj.si/bo jang/
I 238 Tekmovanja I
3. Gladko kroglo postavimo v vogal, kot kaže slika. P ravo kotno na njeno
površino pri ti snemo s silo F , ki oklepa z vodoravnico kot 45o •
a) Sila , s katero pri ti snemo kro glo,
je enako velika kot teža krog le.
Kolikšno je razmerj e med silo na
st eno in silo na tl a?
b) Kolikšno je to razmerje, če je sila
na ste no enaka teži kro gle?
K adar j e površina gladka, so sile, ki se
pojavljajo ob stikih z drugimi ravnim i
površinami , vedn o pravoko tn e nanje.
Nalogo lahko rešiš z načrtovanjem. Če
raje računaš, si lahko pom agaš z zve- Slika 3. Na kroglo v vogalu pri-
zam i, ki veljajo v k vadratu. t iska s ila F .
Eksperimentalni nalogi
4. Eksp erimentalno ugotovi in grafično predstavi , kako na gibanj e ploče­
vinke v kar tonasti dolini vpliva količina riža v pločevinki . Odvisnost
razloži z energijskim zakonom.
Potrebščine: kar tonast a dolina z merilom , pločevinka z zamaškom,
posoda z rižem , pap irnati lijak , plastična žlica .
Na vodilo
Na mizi je karton , ki je na obeh krajiščih podložen z lesenima kladama
tako, da nastane kartonasta dolina . Na kartonski t ra k je pril epljeno
mer ilo. Pločevinko položi na pobočje doline na začetek meril a in jo
izpusti. Kotali se iz enega na drugo pobočje , dokler se ne ustavi na
dnu doline.
Vsuj v pločevinko merico riža in poskus ponovi. Poskus poteka
drugače kot s pr azno pločevinko .
a) Na riši graf: na abscisno os nanašaj količino riza , merjeno v
žlicah; na ordinatno os nan ašaj oddalje nost od sredine doline,
na kateri se pločevinka po prvem spustu ustavi (preden se začne
vračati v dolino) . Začni s prazno pločevinko . Vpločevinko
dodaj vsakič po dve žlici riža in si pri t em pomagaj s papirnatim
lijakom . Zadnjo meritev izvedi s polno pločevinko.
Tekmovanja
b) Ugotovi, pri kolikšni količini riža (merje no v žlicah) se pločevinka
kotali naj bolje in pri kolikšni najs la bše.
c) Razloži energijs ke sp remembe od t renutka , ko spustimo pločevin­
ko z rižem iz najvišje lege, do t renutka , ko se po pr vem spustu
ust avi (preden se začne vračati v do lino) . Razloži izmerjeno
odvisnost .
5. Umeri tekočinski termometer. Ugotovi, kolik šno temperaturo pred-
stavlja rdeča oznaka na cev ki.
Potrebščine: gre lna plošča, erle nmajerica s cevko, štoparica, alkoholn i
flomast er , merilo .
Navodilo
Najprej na list , ki ga boš oddal, vpiši ozn ako te rmometra ( črke A- K).
Ko se tekočina segr eva , se razpenja. Povečanj e prostornine lahko
izkoristimo za merjenj e te mperature. Erlenmajerico, z vstavljeno
stekleno cev ko in napolnj eno s tekočino , up orabimo kot tekočinski
t ermome ter.
Tekočinski t ermometer post avi na seg reto ploščo greln ika in sprem ljaj
dvigovanje višine gladine 10 minut. Termometer dobi od grelnika
vsako sekundo 100 J to plote . Izgube so že up ošt evane. Specifična
toplot a t ermometra je 3500 Jj kgK, njegova masa pa je izpisana na
te rmo met ru. Termom et ra ne od piraj ! Delaj pazlj ivo, da se ne opečeš
ali poparišl
a) Nariši graf, kako se s časom spreminja višina gladine v cevki.
b) Nariši gr af, kako se s časom spreminja temperatura tekočine v
erlenmajerici, če je bila na začetku te mperat ura tekočine enaka
22°C .
c) Ugotovi, kolik šno temperaturo predstavlja rdeča oznaka na skali
termo metra.
Teoretične naloge za 8. razred
1. Na zas lon pos vet imo z rdečim in rumen im reflek torjem. Na zas lonu
vidimo sliko l a . Nato post avimo pred reflektorj a neprozorno kroglo.
Če je pri žgan samo rdeči reflek tor , vidimo na zas lonu sliko l b . Če je
prižgan samo rumeni reflektor , vid imo na zas lonu sliko I c.
Tekmovanja I
Na sliko Id na priloženem listu s priložen imi barvicami ( rdečo , ru-
meno, oranžno in črno) nariši, kakšen je videti zas lon, če sta prižgan a
oba reflektorja. List oddaj skupaj z ost alimi nalogami.
a) b)
c) d)
Slika 1. Zaslon , na katerega svet it a a ) rumen i in rdeči reflektor , b) sveti sa mo za-
senčen rdeči , c) svet i samo zasenčen rumen i in d ) svetit a oba zasenčena reflektorja
z označenim i pol ji .
,J..l ,
2 1 V21 V
2. Vezje, ki je sestavljeno iz t reh enakih upornikov po 100 n in enega
upornika za 200 n, priklj učimo na baterijo za 21 V (slika 2a ). Upori
žic so za nemarlj ivi, prav tako not ranj i up or baterij e.
4
a) b)
Slika 2. Vezj i št ir ih up orni kov in bat erije .
Tekmovanja
a) Kolikšn a je nap eto st med točkama 1 in 2 oziroma 1 in 3?
b) Kolikšen je tok h ?
Nato vezje neko liko spremenimo (slika 2b).
c) Kolikšna je nap etost med točkama 1 in 4 oziroma 1 in 5?
d) Kolikšen je to k 12 ?
3. Avto, ki tehta 1000 kg, pelje po gorski cest i. Na prvem diagramu
je prikazana hitrost avtomobila, v odvisnosti od časa. Na dr ugem
diagramu je prikazana nadmorska višina avtomobila, v odvisnosti od
časa.
a) Izračunaj , kolikšno delo bi moral opraviti motor tega avtomobila
vsako minuto, če ne bi bilo drugih izgub. Izpolni spodnjo tabelo.
b) Koliko bencina bi na tej poti porabil motor, če za opravljeno
delo 1 MJ, porabi pr ibližno 0,5 l be ncina?
v[km /h]
I~---:"--~-~---I-_ t[min]
a)
h[m]
1900
1850
1800 ...._.J.~--:~-~-.....;... t[min]
b)
Slika 3. a) Odvisnost h it rost i avtomobila od časa . b) Odvisnost nadmorske višine
avtomobila od časa.
ob dobje delo delo [kJ ]
vI. minuti Al
v 2. minuti A2
v 3. minu t i A3
v 4. minuti A4
Eksperimentalni nalogi
4. Na papirnem traku, ki ga je voziček vlekel skozi
brnač pri gibanju po klan cu navzdol, so odtisi
ob začetku gibanja vozička in nato vsakih 0,1
sekunde taki, da so pike v časovnih pr esledkih po
0,1 sekunde. Rezul t ate ugotovitev vnesi v t ab elo.
a) Na t raku (v okviru ) najprej označi položaj
vozička v času t I = 0,5 s in v času t2 = 0,7 s.
Okrog izbranih časov časih tI in t 2 označi dva
časovna pr esledka 6.tI = 6.t2 = 0,2 S (6. t I
traja od 0,4 s do 0,6 s in 6.t2 pa od 0,6 s do
0,8 s).
b) Izmeri časovnima pr esledkoma ustrezna inter-
vala poti 6.s1 in 6.s2 in ju vpi ši v trak. Iz
t ako dobljenih pod atkov izračunaj povprečni
hitrosti VI in V2 v obeh časovnih presledkih .
c) Vn esi izračunani hitrosti v graf, s čimer
prikažeš odvisnost hit rosti vozička od časa.
Kaj dobljeni graf pove?
d) Izračunaj pospešek gibajočega vozička v t re-
nutku t = 0,6 s (označi t a t renute k na traku)
na dva načina, iz znane spreme mbe hitrosti
in iz izmerjene opravljene poti v času 0,6 s.
Vpiši po trebne podatke za izračun posp eška.
e) Izračunaj hit rost vozička v t renutku , ko se je
ta zaletel v oviro in obstal, brnač pa se je
hkrati izključil. Vpiši potrebne podatke za
izračun te hi t rosti .
ti = ~tl = ~S I =
t 2 = ~t2 = ~S2 =
VI = V2 =
~t = ~V= a =
t = s = a =
V =
Graf pove :
Tekmovanja I
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I Tekmovanja
5. Na bakrovo (+) in aluminijevo (-) elektrodo, ki sta potopljeni v mo-
dri ga lici, priključi enosmerno napetost tako, da je bakrova elektroda
na pozitivnem, aluminijeva elektroda pa na negativnem priključku
ist osmernega napetostnega vira. Tok v električnem krogu meri z
ampermetrom, napetost med elektrodama pa z voltmetrom. Obseg
voltmetra je 3 V, obseg ampermetra pa 600 mA in ju med meritvijo
ne spreminjaj.
a) Najprej nariši celotno električno shemo, po kateri boš sestavil
vezje . Če uni č i š varovalko ampermetra zaradi napačne vezave,
naloge ne moreš nadaljevati. Elektrodi potisni kar se da glo-
boko v elektrolit , vijak na vertika lnem stojalu ustrezno pritrdi.
Elektrod ne snemaj s stojal!
b) Spreminjaj napetost po 0,5 V od 0,5 V do 3 V in odčitavaj
tok. Meritve vnesi v tabelo in izračunaj up or za vse navedene
vr ednosti napetosti . Napravi graf odvisnosti toka od napet osti.
Kaj lah ko ugotoviš na podlagi dobljenega grafa in izračunanih
vrednosti up ora elektrolita? Kako se upor elektrolita sp rem inja
z napetostjo? Odgovor zapiši .
c) Obe elekt rodi dvigni t ako, da sta v elektrolit potopljeni le do
polovice. Z meritvijo ugot ovi, kako se je pri tem spremenil upor
elektrolita? Ugotovi torej, kako je upor elektrolita odvisen od
velikosti v elektrolit potopljenih elektrod. Odgovor zapiši.
u
V
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1
A
R
Mojca Čepič
Tekmovanja I
43. MATEMATIČNOTEKMOVANJE
SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE
Poročilo s tekmovanja smo objavili v prvi letošnji številki Preseka , sedaj
ob javlj amo še naloge:
Prvi letnik
1. Dani sta trimestni števili. Stot ice prvega so enake enicam drugega ,
stot ice drugega pa enicam prvega . Razlika teh dveh šte vil je 297,
vsota šte vk manj šega števila pa 23. Kateri števili sta to ?
2. Poišči vsa cela šte vila x in y , za katera je 2x+ 3y = 185 in x y > x + y .
3. Pravokotnemu t rikotniku ABC včrtana krožnica se dotika hip otenuze
AB v točki D . Pokaži, da je ploščina pr avokotnika s strani cama dolžin
lAD I in IDBI enaka ploščini t rikot nika ABC .
4. Trij e pastirji na planini izmenoma strižejo isto čredo ovc, in sicer pr vi
dan striže čredo prvi pastir, drugi dan drugi pastir , t ret ji dan tret ji
pastir, četrt i dan zopet prvi pastir in tako ciklično dalje. Pastirji so
se dogovori li, da bodo st rigli ovce na naslednji način:
a) Vsako ovco lahko v enem dnevu ostrižejo samo po eni strani.
b) Vsak dan je treba striči vsaj eno ovco.
c) Nobena dva dneva ne smejo striči iste skupine ovc.
Tisti pastir, ki bo prvi pr ekrši l dogovor , bo moral jeseni gnati čredo
v dolino. Ali lahko kateri od pastirjev striže ovce tako, da mu v
nobenem pr imeru ne bo t reba gnati ovc v dolino ?
Drugi letnik
1. Dokaži, da produkt nob enih t reh zaporednih naravn ih števil ni po-
polni kvadrat.
2. V ravnini ležijo vektorji ii, bin cz dolžino 1. Dokaži, da lahko v vsoti
x = ±a±b±c
izberemo predznake tako , da bo dolžina vektorja x največ ,;2.
3. Dana je polkrožnica s pr emerom AB. Krožnici Ki in K 2 , različnih
polrn erov, ki se od znot raj dotikat a po lkrožnice zaporedoma v točkah
C in D , se dotikata tudi pr emera AB in se medseb ojno ne sekata.
Naj bo t skupna tangenta na obe kro žnici, ki ne gre skozi A in
B, in razdeli ravnino na polravnini tako, da ležit a kro žnici na isti
po lravnini . Premi ca t naj se dotika krožnic Ki in K2 zaporedoma
v točkah E in F . Dokaži, da se premici CE in DF sekata na
polkrožnici.
------------- ---
I Tekmovanja
4. Na tabli so zapisana tri cela št evila. Na vsakem kor aku zbrišemo
eno izmed njih in na njegovo mesto zapišemo za 1 zmanjšano vsoto
drugih dveh števil. Po nekaj korakih so na tabli zapisana števila 17,
75 in 91. Ali so lahko bile na začetku na t abli napi san e
a) tri dvojke,
b) tri trojke?
'fretji letnik
1. Kolikšna je najmanj ša vrednost , ki jo lahko doseže izraz
kjer st a tri in nnar avni šte vili? Od govor ut em elji .
2. Dan je polinom
p(x ) = x l 999 + 2 x l 998 + 3 x l 997 + ...+ 2000 .
Po išči katerega od neničelnih polinom ov, katerega ničle so enake obra-
tnim vrednostim ničel polinoma p .
3. Naj bo O središče trikot niku ABG očrtane krožnice. Označimo raz-
polovišči daljic AO in B G zapo redoma s P in Q. Izračunaj kot
<r.OP Q, če veš, da je <r.GBA = 4<r.OP Q in <r.A GB = 6<r. OPQ .
4. Naj bo ti > 1 nar avn o šte vilo. Na tabelo velikosti ti x ti položimo na
poljubnih 2n polj po en žeton . Dokaži, da lahko izberemo št iri izmed
zasede nih polj t ako, da njihova središča tvorijo oglišča paralelograma .
Četrti letnik
1. Naj bo m naravno šte vilo, T I , T2 , .. . , T m pa taka poz it ivna racionalna
števila, da je TI + T2 + . . .+ T m = 1. Definirajmo funkcijo f: IN ---+ ~
s predpisom
f (n ) = n - [TInJ- h nJ- ... - [Tm nJ .
Določi minimum in maksimum funkcije f.
(Z [xJ označimo največj e celo šte vilo, ki ne presega danega realnega
števila x , npr. [3.7J = 3 in [- 3.7J = - 4.)
I 246 Tekmovanja I
2. Na tabli imamo na začetku zapisana šte vila
1 1 1 1 1, "2 ' :3 ' . .. , 1998 ' 1999 '
Na vsakem koraku izberemo poljubni dve izmed nj ih (označimo ju z
a in b) in namesto njiju na tablo zapišemo šte vilo a+ b+ab. Postopek
ponavljamo, dokler nam na tabli ne ostane le še eno število. Ali je
lahko to število 20007 Odgovor utemelji.
3. Dan je tak kvad er , katerega pr esek z neko
ravn ino je pr avilni šestkot nik. Dokaži, da je
ta kvader kocka.
(Ravnina lahko seka kvad er na več različnih
načinov , vendar so vsi podobni t iste mu, ki
ga prikazuj e slika na desni . Tega ni treba
dokazovati. )
4. Mn ožica X ima šest elementov. Naj bo do A l , A2 , . . . , A6 njene pod-
množice s po t remi eleme nt i. Dokaži, da lahko pobarvamo elemente
množice X z dvem a barvama tako, da nobena od podmnožic A l , A 2 ,
. . . , A6 ne bo imela vseh elementov enake barve.
Matjaž Že ljko
NALOGE Z DRŽAVNEGA FIZIKALNEGA
TEKMOVANJA SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE
V ŠOLSKEM LETU 1998/99
Naloge je 8. maj a 1999 v Tehniškem šolskem centru Nova Gorica reševalo
125 te kmovalcev, ki so se na tekm ovanje uvrstili z regijskih pr edtekmovanj .
Ek sp erimentalno nalogo so reševali t ekmovalci v skupini D.
Opozorilo: Zapis ano št evilo m est pri podatkih ne določa natančnosti
rezu ltata. Sm iselno št evilo m est, s katerim boš zapisal(a) rezu ltat , ocen i
po lastnem preudarku.
I Tekmovanja
Skupina A
1. V pr azno steklenico s težo 5 N, debelino sten 8 mm
in zunanjim polmerom 4,8 cm nalij emo 1 l mešani ce
etanola, s specifično težo 7,9 kN/m3 , in vode, s
specifično t ežo 10 kN / m3 (glej sliko). Etanola
je 60 volumskih odstotkov. Steklenico postavimo
navpično v bazen z vodo. Koliko cm" mešani ce
moramo odlit i, da bo gladina mešani ce v steklenici
na enaki višini kot gladina vode v bazenu? 11
2. Koeficient lepenja ki med dvem a lesenima površjema je od visen od
pravokotne komponente sile, s katero deluj e eno površje na drugo.
Od visnost podamo z enačbo ki = ko - kF, kjer sta ko = 0,70 in k
znani kons tanti t er F pravokotna kompo nent a sile. (Zveza ne velja
pri velikih silah, ko bi bil koeficient negati ven .)
Na klan ec z leseno podl ago in nakl onskim kotom 30° položimo le-
seno klado s težo 54 N in dimenzijami 30 cm x 30 cm x 8,6 cm,
tako da se površj a klanca dotika največja ploskev klad e. Na klado
polo žimo enako klad o tako, da se spodnja ploskev te klade, ki je
hkrati njena največja ploskev, popoln om a pr ekrij e z vrhnjo ploskvijo
spodnje klad e. Postop ek nad aljujemo z novimi klad ami. Koli kšno je
največj e število klad , ki jih lahko na opi sani način zložimo drugo vrh
druge, če je
i) k = 1,0.10-3 N- 1 ,
ii) k = 3,0 .10- 4 N- 1?
3. Avdi o kaseta je narejena iz dveh
kolutov. Tr ak se odv ija s pr-
vega koluta in navij a na dru-
gega . Prazna koluta imata pol-
m er 1 cm . V n ekem trenutku
je polmer prvega koluta 20 mm,
drugega pa 25 mm. Izračunaj
debelino traku, če je kaseta na
eni st rani "dolga" 45 min in
je hitrost traku pri predvajanju
4,75 cm/s. Pri izračunu zane-
mari del traku , ki ni na kolu tih .
I 248 Tekmovanja I
4.a) Šest zidakov s težo po 20 N~
zložimo, kot kaže slika . Stranske
plosk ve se pri t em ravn o še ne
dotikajo. S kolikšno silo pri ti ska
na tl a sre dnji zidak in s kolik šno - --
strans ka zidaka v spodnji vrs t i?
b) Eskimi postavljajo zid iz led enih zid akov z VI Smo 5 cm , ploščino
osnovne ploskve 200 cm2 in s t ežo 9,0 N. Zidake post avljajo drugega
pol eg drugega v vodoravne vrs te . V vsaki naslednji vrst i je en zidak
manj kot v spodnji vr sti in središče vsake naslednje vrste je natančno
nad središčem spodnje vr st e, tako kot pri vprašanju a). Zid zaklj učijo
z enim zidakom na vrhu. Ali je zid lahko višji od Keopsove piramide
v E giptu, ki je visoka 150 m? Odgovor utemelji z računom!
Največji tlak, ki ga pren ese led, predno se zdrobi , je pri t emperaturah
m alo pod ooe enak 1,0 .106 N/m2 .
'"/ I \/ 1\
/ 30"1 30° \
/~\
/ 1 \ r,
1
1
I
Vodoravni žleb s polkrožnim profi-
lom z notranjim polmerom 50 cm
je obrnjen tako, da je odprt i del
zgoraj . Drobna kroglica se zapo-
redoma prožno odbija od točk TI
in T2 na notranjem obo du žleba ,
Točki st a pod kotom 30° pro ti
navpičnici , ki gre skozi os žleba
(glej sliko) . Koliko časa mine med zapore dnima odbojema kro glice?
(g = 9,8 m/s2 )
Skupina B
1.
2. Na vodoravno leden o površino postavimo ravno vrsto enakih igralnih
kock za igro Človek, ne jezi se . Ko cke postavimo v vrs to tako, kot
prikazuj e tloris na sliki. Razdalja med središči sosednj ih kock je
10 cm. Prvo kocko v vr sti frcnemo z začetno hitrostj o 1,5 mis v
smeri proti drugi kocki. Kocki prožno trčita in druga kocka se giblje
naprej proti tretji itd.
8+·-·-·0·_·_·_·_·-0-·_·_·_·-0'-'-'-·_·0·_·_·_·_·
Tekmovanja
a) Na jprej razmisli , kako se gibljeta kocki, če kocka s hitrostjo v
prožno trči v mirujočo kocko enake mase. Orientaciji kock sta
taki kot pri opisani post avit vi.
b) Koliko kock se premakne v zgornjem poskusu?
St ranica igralne kocke meri 1,5 cm , koeficient t renja med kocko in
ledom je 0,050, 9 = 9,8 m/s2 .
3. J ekleno krog lico z maso 1 g spustimo z višine 10 cm, da odskakuj e s
pov ršja piezoelektričnega mikrofona. Zabeležimo 0,2 ms dolg signal,
ki ust reza prvemu odboju, in po 0,21 s še drugega . Oceni povprečno
silo, s katero kroglica deluje na podlago med prvim odskokom.
4. Ko eficient trenja ni povsem neodvisen od hitrosti . Za dr senj e ne-
kega te lesa po klan cu velja odvisnost, ki je grafično pod ana na sliki .
Naklon klanca je 5,0°, 9 = 9,8 m/s2 .
0.18
0.16
0.14
0.12
k t r 0.10
0.08
0.06
0 .04
0.02
--------- <,r. -.
~ -.
1'---.
<,-- -
O 2 4
v [mi s]
6 8 10
Tekmovanja I
a) S kolikšno hit rostj o mor amo pognati te lo navz dol po klancu, da
se bo gibalo enakomerno?
b) Takšno gibanje ni stabilno, saj že majhna sprememba hit rost i
povzroči , da začne hitrost bo disi naraščati bo disi po jemati. V
kolikšnem času se hitrost spremeni za 10 odstotkov, če je bila na
začetku za pr av toliko odstotkov večja od ravnovesne hit rosti,
iz računane pri a)?
c) V kolikšnern času pa se hit rost spremeni za 1 promil (tisočinko) ,
če je bila na začetku le za 1 promil večja od ravnovesne?
Skupina C
1. Zap rta posoda, v obliki vodoravno ležečega valja , je predeljena na
ena ka dela z lahkim izolatorskim batom, ki se lahko prost o premika
vzdolž posode. V vsakem delu posode je na začetku po 1 kg zraka pri
temperaturi 290 K. Plašč posode je toplotno izoliran , desna osnovna
ploskev pa je v st iku s toplotnim rezervoarj em s tem peraturo 290 K,
ki poskrbi , da je tem perat ura zraka v desnem delu posode ves čas
konstantna. Zrak v levem delu poso de segreva mo, tako da se bat zelo
počasi pomika prot i desni. Toploto neham o dova jati, ko bat doseže
takšno lego, da je prostornina levega dela posode t rikrat večja od
prostornine desnega dela. Kolikšni sta spremembi notranj e energije
zra ka v obeh delih posode pri opisani spremembi?
Kilomolska masa zraka je 29 kg, razmerj e specifi čnih toplo t 1,4, sploš-
na plinska konst anta znaša 8300 J / kmoIK , specifična toplota plina pri
konst antnem volumnu je Cv = M(~- l ) .
2. Izračunaj moč , ki se t roš i na
žarn ici z up orom 100 D. Vsi
uporniki v vezju so enaki in
imajo upor R = 100 D, gal-
vanski člen z gonilno napeto-
st jo 10 V pa ima not ranji up or
12,5 D.
I Tekmovanja
3. Na dnu steklene posode s kvadratnim presekom 400 cm 2 je kovinska
plošča zdebelino 2 mm, maso 296 g in enako ploščino , kot je presek
posode. V posodo nalijemo 1,60 litra destilirane vode. Drugo ploščo,
ki je enaka prvi, obesimo na vzmet s konstanto 95 N/m tako, da
se ravno dotika vodnega površja. Ploščina druge plošče je praktično
en aka preseku posode, vendar je med robom plošče in steno dovo lj
velika re ža, da se skoznjo lahko pretaka voda . Med plošči za kratek
čas priključimo napetost , tako da se na ploščah nabereta naboja po
11 /LAs. Zgornja plošča se pri t em potopi v vodo. Ravnovesna
razdalja med ploščama je 2,6 cm . (Gostota vode je 1000 kg /rn",
co = 8,86 .10- 12 As /Vm, g = 9,8 m /s2 . )
a) Izračunaj električno silo med ploščama v ravnovesju.
b) Izračunaj dielektričnost vode.
Pri nalogi predpostavimo, da destilirana voda ne prevaja električnega
toka.
4. Izraz za magnetno po lje tuljave B = /LaNI / 1 dovolj dobro velja le
za točko v središču tuljave; ko gremo proti krajišču pa po lje pada in
v središču osnovne ploskve pade na (praktično) polovico vrednosti v
središču .
V osi znotraj manjše tuljave želimo ustvariti magnetno polj e, ki bi se
z razdaljo čim manj spreminjalo. Zato postavimo manjšo t uljavo na
sredo med dve večji t uljavi, tako da imajo tuljave skupno os . Bližnji
krajišči večjih tuljav sta razmaknjeni za 60 cm . Manjša tuljava je
dolga 10 cm in ima 1000vojev, večji imat a po 2000 ovojev in premer
6 cm .
Zunaj tuljave na večj i oddaljenosti od njenega krajišča pojema polje
na osi kot B(z) = /LoNIR2/2z3 . Pri tem je R po lmer tuljave in z
razdalja od krajišča, /Lo = 47r .10- 7 Vs/Am.
Kolikšni tokovi mo rajo teči po tuljavah, da bo v osi manjše tuljave
polje 0,1 mT? Ker pogoja ne mo remo izpolnit i za vsako točko na
osi, zahtevamo le, da je polje enako predpisani vrednosti v središču
tuljave in na obeh krajiščih.
Skupina D
1. Na segreto ploščo električnegaštedilnika kanemo kap ljico vode z maso
30 mg . Na st iku kapljice in plošče se takoj ustvari tanka enakomerna
plast vodne pare, ki de luje kot izolator in upočasni nadaljnje izpare-
vanje vode iz kapljice. Oceni
a) debelino plasti vodne pare in
b) čas, v katerem izpari celotna kapljica.
252 Tekmovanja I
Ker gre za oceno, lahko predpost aviš čimbolj enostavno obliko ka-
plj ice, npr. obliko diska z višino enako polmeru .
Plošča šte dilnika. ima obliko kroga s polmerom 5,0 cm in je enako-
merno segret a na te mperaturo 250°C, tako da oddaja to plotni tok
5,0 kW, ki je enakome rno ra zporejen po površini plošče . Gostota
vode je 1000 kg/rn", specifična izpari lna toplota vode 2,26 MJ/ kg,
toplotna prevodnost vodne pare pa 2,0 . 10- 2 W / mK.
2. Svet ilnost točkastega svet ila merim o s primerjalnim foto met rom na
mastno liso. Na optični klop i ima mo v medsebojni razdalji 1 m
dve točkasti svetili: svet ilo 1 z znano svetilnostjo h in svet ilo 2 z
neznano svetilnostjo h . Med njima se nahaj a list belega papirja, ki
je pr avokot en na zveznico med svetiloma. P api r ima na sredini (skozi
katero poteka zveznica) majhno mastno liso. Mas tna lisa prepušča
več svetlobnega toka kot nemasten del papirja in odbija manj kot
nemast en del papirja .
Pri meritvi opazujemo list papirja s strani svet ila 1. Ko premikamo
list po optični klopi , opazimo, da pri razdalji 30 cm od svet ila 1 ne
vidimo več mastne lise. Ko na podoben način gledamo list papirja s
st ra ni svetila 2, ugotovimo , da v tem primeru ne vidimo več lise pri
razdalji papirja 45 cm od svet ila 2. Kolikšen je 12 , če vemo, da je
h = 20 cd?
Osvetlj enost je soraz mern a s svetilnostjo svetila in poj ema s kvad ra-
tom razdalj e od svet ila.
3. Vesoljska postaj a ima obliko votlega valja, z not ranjim radijem 300 m,
in se nahaja v vesolju, daleč proč od drugih nebesnih tel es. Postaja
se vrt i okoli geometrijske osi s stalno kotno hitrostj o.
a) Kolikšna naj bo ta kotna hitrost , da bo težni pospešek na "tle h",
to je na notranji strani plašča valja, enak zemeljskemu tež nemu
pos pešku 9,8 m/ s2?
b) Telo spustimo z lO m visokega navpičnega stolpa, ki je pri trjen
na tla postaj e. Kako opiše gibanje telesa opazovalec, ki se vrt i
skupaj s postajo, in kako mirujoči opazovalec?
c) Določi čas pad anj a telesa pri b) in lego točke, kjer se dotakne
t al.
d) V kateri smeri in s kolikšno hitrostjo moram o zalučati te lo s t al ,
da se po 2,5 s znova vrne v začetno točko?
I Tekmovanja
Eksperimentalna naloga
Če dva kosa grafita stiskamo, opazimo , da se električni upor spo ja zmanj-
šuje z naraščajočo silo. Na tej idej i je zasnovano t ipalo sile, ki je pr ed
teboj . V sendviču med dvema pobakr enima ploščicama sta dva para ,
med seboj pravokot nih grafit nih min. Na spod nj i pobakren i plošči je
pri sp ajkan še up ornik (470 rl ) , ki zagotavlja konst ant en to k skozi t ipalo.
T ipalo in up ornik sta vezana zaporedno. Priklj uči ju na izvir konstantne
enos merne napetost i 12 V z žicami ist e barve (izvir naj bo pri t em iz-
klj učen) . Preost ali dve žici st a prisp ajkani na t ipalo in služ ita za merj enj e
padca nap etosti na tipalu. Padec napetosti je velikostnega red a nekaj
mV. Mer i ga s priloženi m volt metrom .
Naloga
1. P rivzemimo, da je up or obreme njenega tipala povezan s silo z zvezo
R = AFP,
kjer je R upor tipal a, F sila na tipalo t er A in p konst anti. Silo
spreminjaš tak o, da po lagaš na tipalo priložene umerj ene ut eži. Iz
meri tev določi neznano potenco p in oceni napako.
2. Določi še prožnost ni koeficient vzmeti v pri ložen em kemičnem svinč-
niku. Pri te m si pom agaj s t ipalom . Oceni tudi napako.
Opozorilo!
Preden vključiš izvir napetosti , položi na tipalo en o utež. Ta
utež naj bo vselej na tipalu - ne poskušaj izmeriti odziva pri
n eobremenjenem tipalu (lahko uniči š voltmeter).
• T ipalo je občutljivo na udar ce (grafit ne mine so krhke). Kot boš
.opazil, je t ipalo t ud i ma lce muhasto. Uteži polagaj na t ipalo t ako,
da je obrem eni t ev dotikališč med grafit nimi minami čim bolj enako-
merna . Vsakič , ko spreme niš obreme nitev , počakaj nekaj časa, da se
vrednost na voltmetru ust ali. Poskrbi, da se med meri tvijo zgornja
plošča, n a ka t ero p ola g a š u t e ži , n e premika . M e ri o d z iv tipala pri
obremenjevanju in pri razbr em enj evanju.
• Ko določaš koeficient vzm eti , pr emisli, kako up orabiti tipalo , da bo
odčitek najbolj natančen . (Nasvet : najprej razst avi kemični svinčnik
in si oglej, kako je vzmet vložena.)
• Natančno opiši potek meritev . Pojasni, kako si določi l napako rezul-
t ata. Opiši , kako si izločil morebitne moteče vp live pri meritvi.
Tekmovanja I
Potrebščine
• tipalo s št irimi priključnimi žicami
• devet um erjenih uteži (mase so pod an e v gra mih)
• kemični svinčnik z vzmetnim pr ožilom
• uni verzalni merilnik
• izvir enosmerne napet osti
• ravnilo z milimet rskim merilom
• milimetrski papir
Na razpolago imaš samo en o eksperimentalno napravo, zato
ravnaj z njo premišljeno in pazljivo!
Ciril Dominko
40. MEDNARODNA MATEMATIČNA
OLIMPIADA - Rešitve izbranih nalog s str. 158
1. naloga. Očitno je lahko množ ica S množica oglišč poljubnega pravil-
nega večkotnika. Dokazati je torej pot rebno, da ni drugih možnosti .
1. način. Za poljubni točki A , B E S označimo z (JAB zrcaljenje čez
simet ra lo dalji ce A B . Naj bo T težišče množice S. Potem je (JAB(5 ) = S
za vsaki dve točki A , BES in zato (JAB(T ) = T . Vse točke množice S so
tako enako oddaljene od T . Če bi ne bile, bi simetrala dalj ice med dvema,
od točke T različno oddalje nima točkama ne vsebovala točke T .
Označimo s K t isto krožnico s središčem v T , ki vsebuje vse točke
mn ožice S = {51 , 5 2, .. . , 5n}. (Točke mn ožice S smo zapi sali v krožnem
vrstnem redu. ) Premi ca 5 15 3 ra zdeli ravnino na dve po lravnini. Na
eni izmed njiju leži točka 52 in je edina izmed točk mn ožice S , ki leži
na tej polravnini. Torej je (JS,S3(52) = 5 2· Ker je (JS,S3(St} = 53 in
(Js,s3(53 ) = 5 1, od to d sledi 15 15 21 = 152531. Podobno sklepamo še za
ostale točke množice S. Točke množice S so to rej res ogli š ča pravilnega
mnogokot nika.
2. način [Irena Majcen]. Opazujmo množico S vseh simetral dalji c,
katerih oglišči ležit a v S . Očitno je množica S simetrična na vsako
simet ralo (J E S. Nobeni dve simetrali iz S si nista vzp oredni , sa j bi
v vsaki mn ožici paroma vzporednih sim etral najbolj zunanja med njimi
ne bila več os simetrije mn ožice S .
Tekmovanja
Dokažimo, da se vse simetra le sekajo v eni točki. Če bi temu ne bilo
tako, bi obstajale tri sime trale (npr. 0"1 , 0"2 in 0"3 ) , katerih presečišča bi bila
oglišča nekega t rikot nika. Na ravnino lahko postavimo tak koordinatni
sist em , katerega obscisn a os ni vzporedna nobeni simet rali iz S. Simetra le
0"1 , 0"2 in 0"3 naj bod o izbran e tako, da ima točka 0"1 n 0"2 najmanj šo
ordinato med vsemi točkami , ki so presečišča dveh simetral iz S. Ker je
0"1 ( 0"3 ) , 0"2 ( 0"3 ) E S, ima vsaj eno izmed presečišč 0"1(0"3)n 0"2 in 0"2 (0"3 ) nO" l
manj šo ordinato. Slednje pa ni možno . Tor ej se vse simetrale sekajo v
eni točki , ki jo označimo z O. Vse točke množice S tako ležijo na nekaj
koncentričnih krožnicah s središčem v O . Krožnica je t u pravzaprav ena
sa ma, saj simet rala dalji ce, katere kraj išči sta različno oddalje ni od točke
O, ne vsebuje točke O. Dokaz lahko sedaj sklenemo pod obno kot pri
pr vem načinu.
2. naloga. Pri n = 1 ustreza pogojem vsako pr aštevilo p. Če je p = 2, je
edina rešitev n = 2. Tor ej smemo v nadaljevanju privzeti, da je p :::: 3 in
n:::: 2.
Ker je število (p - l )" + 1 liho , mora biti tudi število n liho . To
pomeni , da je n < 2p . Označimo s q najmanj ši pr aštevilski de litelj št evila
n . Števili n in q - 1 sta si tako t uji ( če q ni najmanj ši pr ašt evilski delit elj
šte vila n , si števili n in q - 1 nista nujno t uji, np r. n = 6, q = 3) in zato
obstajata t aki (celi) števili a in b, daje an+ b(q- 1) = 1. (Število a mora
bit i liho, eno izmed števil a ali b pa je negativno.) Ker q I (p - L)? + 1,
je (p - l )" == -1 (mod q) in od to d (q, p - 1) = 1. Po Eulerj evem izreku
je tako (p - 1)q-1 == 1 (mo d q). Če je a < O, je b(q - 1) = 1 - an in
lahko zapišemo (p _ 1)b(q- 1) = (p - 1) · (p _ 1) -an, od kod er sledi 1 == (p -
- 1) (_l )- a (mo d q) oz. p - 1 == -1 (mo d q). Če pa je b < O, zapišemo
an = 1 - b(q - 1) in pod obno kot zgoraj sklepamo p - 1 == -1 (mod q).
(Zaradi an + b(q - 1) = 1 bi lahko enostavno zapisali
P -1 = (p _ l)an . (p _1 )b(q- 1) == (_ 1)a ·lb == - 1 (mod q) ,
kar pa ni pr avilno, saj je eden izmed eksponentov negati ven .) Iz p - 1 ==
== - 1 (mod q) sledi q I p oz . q = p , saj je p praštevilo. Zar adi ocene
n < 2p je tako n = p.
V nadaljevanju moramo torej analizirati le še pr imer , ko je št evilo
(p - l )" + 1 deljivo s št evilom pp-1 . Po binomski formuli je
Tekmovanja I
Izraz v oklepaju ni deljiv s p, zato je število (p - l)P+ 1 deljivo s p2 in ni
deljivo s p3. Torej je p - 1 :::; 2 oz. p :::; 3 in ima enačba še rešit ev p = 3,
n = 3.
Naloga o logot ip u . Potegnimo
vzporednico dalj ici A0 3 skozi točko
B in vzporednico dalji ci B03 skozi
točko A. Presečišče teh dveh pr emic
označimo z O. Po konstrukcij i je
A03BO par alelogram, velja pa tud i
IA03 1 = IB03 1. Torej je A03BO K2romb in za to IAOI = IBOI . Vzpo-
rednica dalj ici A02 skozi C naj seka
premico AO v točki O' in po dobno
kot zgoraj sklepamo, da je AO'C02
romb . Sledi IAO' I IA02 1 K 3
= IA0 3 1 = IAOI, zato točki O in O'
sovpadata. Točka O je t orej res središče trikotniku ABC očrtane krožnice.
Opomba. S podobnim razmislekom lahko dokažemo, da je točka T
pravzaprav višinska točka trikotnika A BC.
Matjaž Željko
PRESEK
list za mlade matematike , fizike , astroname in računalnikarje
27. letnik, šolsko leto 1999/2000, številka 4 , strani 193 - 256
UREDNIŠKI ODBOR: Vladim ir Batagelj , Tanj a Bečan (jezikovni pr eg led ), Vilko
Domajnko, Roman Drn ovšek (novice), Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Go lli,
Marjan Hribar , Boštjan J akl ič ( tehnični urednik) , Martin Juvan (računalništvo),
Sandi Klavžar, Bor is Lavrič , Andr ej Likar (fizika) , Matija Lokar , Franci Obla k,
Peter Pet ek, Marijan P rosen (astronomija) , Marija Vencelj (matema tika, odgovorna
ur ednica) .
Dopis i in naročnine : DMFA - za ložništvo, Presek , J adranska c. 19, 1001 Ljublja-
na , p. p . 2964, tel. (061) 1232-460 , št. ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šo lsko
leto 1999/2000 je za posamezne naročnike 2 .000 SIT, za skupinska naročila šol
1.650 SIT, posamezna številka 400 SIT, za t uj ino 25 EU R, devizna nakazila SKB
banka d .d . Ljubljana , va l-27621-4296 1/9 , Ajdovščina 4, Ljubljana .
List sofinanc irata MZ T in MŠŠ
Založ ilo DMFA - založništ vo
Ofset ti sk DELO - Tiskarna, Ljubljana
© 2000 Društvo matem atikov , fizikov in astronomov Slovenije - 1406
Po štnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana

" :!.--~ ...
~~ :. -.