~~~I>Ji ~~5~=OO52 1DJ~1LJ~l\fO MIAm~MAr~K 1, po linom z realnimi koeficien t i. Odvod po linoma f (x ) je po linom j' (x ) = n fnxn- 1 + (n - 1)fn_ lXn- 2 + . . . + !I . Geometrijsko pomeni j' (xo) nak lon tangente na graf po linom a f (x ) v točki To(xo, f (xo)). Če ima f (x ) pozitivne koeficient e, ima j' (x ) tudi pozitivne koeficiente. Polinom f (x ) z realnimi koeficien ti naj ima na intervalu (a, b), kjer je O ::::: a < b, nat anko eno ničlo xo. To pomeni , da je f (xo) = O. To ničlo bi radi približno izračunali, ker natančne ne znamo naj t i. Zapišimo f(x) = p(x) - q(x ), kjer im at a po linoma p(x ), q(x) pozit ivne koeficien t e. P otem pri pogoju a < x < b očitno veljata re lac iji p'(a) < p'( x) < p'(b) in q'(a) < q'(x ) < q'(b). Zato velja naintervalu (a,b) relac ija: p' (a) - q'(b) < < j' (x ) < p'(b) - q'(a) . I Mat ematika ,8o A u f(o ) f ((3 ) Op azuj mo graf polinom a f (x ) na intervalu [0,,8], kjer je o < ,8. Kot je znano, je smern i koeficient premi ce skozi točki A(o, f (o )) in B( ,8, f (,8)) enak (1 (,8) - f (o ))/ (,8- o) . Tej pr e- mici je vzporedna vsaj ena tange nt a na graf polinom a f( x) na obravnava- nem intervalu . To pomeni , da vsaj za eno točko ~ med o in ,8 velja: !' (~ ) = (1(,8) - f (o ))/ (,8 - o) oz. f (,8) - f (o ) = !, (~ ) (,8 - o). Uporab imo sedaj t o t rd itev na inter valu [0" x], kjer je o, < x < b. To- rej lahko najdemo med o, in x , tako točko 6 , za katero velja f (x ) - f(a) = = !'(6)(x - 0,) . Prav tako lahko najdemo med x in b tako točko 6 , za katero velja f (b) - f( x ) = !' (6 )(b - x). Iz zadnjih dveh relac ij in iz mej za odvod polinoma .f(x) na intervalu (0" b) dobimo relaciji f (a) + (x - 0,) (p'(a) - q'( b)) < f (x ) < f (a) + (x - 0,) (p'( b) - q' (a)) in f (b) + (x - b)(p' (b) - q'(o,)) < f (x) < .f(b) + (x - b)(p' (0,) - q'(b)) , ki veljata na intervalu [0" bl. Tam torej velja h(x) :::; f (x ) :::; H( x ), kjer sta H (x ) in h(x ) linearna polinoma H (x) = .f(a)+ (x -a)(p'(b)-q' (a)) , h(x ) = .f(b)+ (x-b)(p'(b) -q'(a)). Očitno je H (a) = f (a) in h(b) = f (b). Vzemimo najprej , da je f (o,) < O in f( b) > O. Ničli fun kcij H (x ) in h(x) sta po vrsti .f(a) al = o, - p'(b) _ q'(a) , bl =b - f (b) p'(b) - q'(a) Št evilo o, je spodnji , b pa zgornji začetni približek za ničlo Xo polinom a f (x ), šte vili al in bl pa sta boljša pribli žka za Xo in zato velja: o, < al < < Xo < bl < b. Mat ematika I y y = f (x ) x Ker je O = H (ad > f(al) in O = h(bd < f (bd , lahko opisani račun ponovimo na int ervalu (al, bd , dobimo nov interval (a2' b2) it d . Če po stopek dovo lj dolgo nadalj ujemo, dobimo ničlo polin om a f (x ) t ako natančno , kot želimo. V prime ru f (a) > O, f (b) < O obravnavamo polinom - f( ::c), ki im a ist e ničle kot f (x ), polinoma p(x ) in q(:c) pa za me njata vlogi. Primer: P olinom f(x) = x 4 - 3x3 + 5x 2 - 6x - 1 ima pozit ivno ničlo na intervalu (2 ,3), saj je f(2) < O in f (3) > O. Ker je f (x ) = = (x4 + 5x 2) - (3x 3 + 6x + 1), lahko uporabimo op isani post op ek za p(.T) = x 4 + 5x 2, q(x ) = 3x 3 + 6a: + 1, p'( x ) = 4x3 + lOx , q' (x ) = 9x2 + 6, a = 2, b = 3. P ribli žke an in b., za n 2: 1 v tabeli računamo po formu lah: an+l = an - ' (b ) _ ' ( ) 'P n q an Pri te m vzamem o: ao = 2, bo = 3 . n O 2.000000 3.000000 1 2.010417 2.72 9167 2 2.023925 2.51 2316 3 2.040438 2.342643 4 2.058834 2.2 17320 5 2.076058 2.136587 6 2.087190 2.099 115 7 2.090406 2.090964 8 2.090593 2.090594 9 2.090593 2.090593 IMatematika - Rešitve nalog P oziti vn a ničla po lino ma je torej Xo = 2.090593. Polinom f( x) ima še eno realno ničlo na int ervalu (-1, 0), saj je f (- l ) > O in f (O ) < O. Najprej za me njamo x z - x , tako da iščemo ničlo polinoma f (x) = x4 + 3x3+ 5x2 + + 6x - 1 na int ervalu (0,1) . Ker je f( O) < O in f (l ) > O, lahko ub erern o zgornj i postopek , z drugačnirna po linomomap(x) in q(x) , in dobimo ničlo Xo = 0.146994, ki pa se za predznak razlikuj e od ničle prvotnega polinoma. P rvot ni po linom ima dve realni ničli: X l = - 0.146994 in X2 = 2.090593. M arko R azpet RAZGIBANI NIZI - R ešitev s st r. 22 9 Poiskat i želimo po abecedi 1999. razgibani niz, ki bo sestav ljen le iz znakov A, B in C. Spomnimo se, da je niz znakov razgiban , če ne vsebuje dveh enakih zaporednih st rnjenih podnizav. Prvih pet razgibanih nizov je: A, AB, ABA , ABAC , ABACA. In kako poiščemo naslednj i razgib ani niz? Najprej na kon ec zadnjega niza po skušamo dodati črko A. Če je dobljeni niz razgiban, je to po abeced i naslednji niz . To da niz ABACAA ni razgiban. Zato namesto črke A posku- simo dodati po abeced i naslednjo črko , č rko B. Tokrat dobimo razgibani niz ABACAB . Ko iščemo naslednj i niz, zopet najprej poskusimo s črko A. Dobljeni niz ABACABA je razgiban. Ko pa temu nizu do damo A, B ali C, niko li ne dobimo razgi- banega niza. Razgibanega niza ABACABA se torej ne da podaljšati, treba ga bo sp remeniti. Ker moramo poskušati po abeced i, zadnjo črko iz A sprem enimo v B. Dobljeni niz se konča z dvema B-jema , torej n i razgiban. Nato poskusimo zadnjo črko sp remen it i v C. Tokrat dobimo razgibani niz ABACABC. (Če tudi ta niz ne bi bi l razgibani , bi zadnjo črko odvrgli - na tem mestu smo poskusi li že vse mo žnosti - in poskus ili s "povečano" predzadnja itn. Ker je razgibanih nizov iz črk A, B in C neskončno (že v besedilu naloge smo omenili, da dokaz t ega dejstva ni prav prepro st , mo rd a ga bomo prikazali v eni od prihodnj ih št evilk P reseka) , poskušanje prej ali slej uspe. Če pa bi uporabljali le črki A in B, potem se po šestem nizu zgod i, da odvržemo Rešitv e nalog I vse znake, kar pomeni , da naslednjega razgib anega niza ni .) Na enak način dobimo t ud i deveti in deseti razgib ani niz: ABACABCA in ABACABCAC. Napišimo še program za iskanje razgibanih nizov, ki bo up or ablj al op isani postopek. Zapisal i ga bom o v programskem jeziku C. Nize bo mo gradili v t abeli znakov, imen ovali jo bomo niz. Poglejmo "glavni pro- gram" : 1* I skanj e razgibanih ni zo v po abecedi. *1 #include #define MAX 1999 1* Globalna spremenljivka, ki pove, koliko nizov š e manjka . *1 int stevec; void poisci (char [], int); int lahkoDodam(char [], int, char); int main(void) { char niz [MAX + 1] ; 1* Tabela , v kater i gradimo razgibane nize . *1 int n ; 1* Kat e r i r azgibani niz iščemo? *1 int i; do { printf ( "Kateri razgibani niz naj poi s ce m: "); scanf("'l. d", &n) ; } " hile (n < 1 ti n > MAX); f or ( i ; O; i <; MAX; i++) niz[i] ; ' \ 0' ; st evec ; n ; 1* Toliko razgibanih nizov moramo poiskati . *1 poisci (niz, O) ; 1* Preverimo, ali smo r es na šli n razgibanih nizov. *1 if ( s tevec > O) printf (" Ne obstaj a %d razgibanih nizov .\n" , n j; e l s e 1* Ni z smo na šli . Izpi š emo ga . *1 printf ("Po abecedi %d . razgibani niz je: \n%s\n" , n, niz) ; return O; } V programu najprej v sp remenlj ivko n pr eb eremo, kateri razg ibani niz iščemo (za rešitev naloge vti pkamo 1999) , nato inicializiramo tabelo niz (to je pomembno za radi izpisovanj a razgib an ega niza pri koncu programa) I Rešitve nalog in spremenljivko stevec te r pokličemo funkcijo poisci. Ta opravi glav- nino dela. Pri tem v globalni spremenlj ivki stevec šteje, koliko razgibanih nizov je t reba še po iskat i, da borno prišli do ri-t ega . Če je po klicu funkcije poisci vrednost sp reme nljivke stevec enaka 0, to pom eni , da srno n-ti niz našli. Ta zgrajen čaka v tabeli niz , zato ga lahko izpišemo. Če pa je vr ednost ostala pozitivna , potem niza nismo našli (ker teorij a zagotavlja, da niz obstaja, to po meni , da se je v program prikradl a napaka). Funkcija poisci ima dva parametra: t ab elo znakov niz in celo šte vilo dol. Pred klicem so v t abelo niz na mesta 0, .. . , dol- 1 že vpisani znaki, ki sestavljajo razgibani niz dolžine dol. Na začetku je niz pr azen , zato je pri klicu v glavnem programu drugi param et er enak O. /* Poskusimo podalj šati že zgrajeni niz: niz[O], . . . ,niz[dol /* Funkcij a spreminja globalno spremenljivko števec. voi d poisci(char niz[], int dol) { char znak ; /* Crka, s katero poskušamo podaljšati niz. */ - 1]. */ */ for (znak = 'A'; znak <= ' C' ; znak++) if ( l ah koDodam(n i z , dol, znak» { /* Podaljšamo niz . Tudi ta j e razgibani. */ niz [dol] = znak; if (--s t evec <= O) return ; /* Naš l i smo že dovolj nizov . */ poisci(niz, dol + 1); if (stevec <= O) return; } niz [dol] = '\0' ; /* Počistimo za seboj . */ return ; } Funkcija poisci je napisana rekurzivno. V njej dani niz najprej po- skušamo podalj šati s črko A, na to z B, nazadnje pa še s C. Ali bo po dalj šani niz razgiban , pove ( logična) funk cija lahkoDodam. Če po daljševanje usp e, zmanjšamo stevec in preverimo, ali je bil to zadnji iskani niz (tedaj s kli- cem return skočimo iz funkcije) . Sicer pa z rekurzivnim klicem poiščemo še nad aljnje razgiban e nize. Po klicu ne smemo poz abiti še enkrat pr eve- riti , ali smo že našli vse nize ali ne, saj rekurzivni klic običajno zmanjša vrednost sp remenljivke stevec. Če se zanka for izteče , ne da bi našli iskani razgibani niz, potem "poč istimo" za sebo j in končamo (se vrnemo na prejšnji nivo rekurzije) . Na vsakem nivoju rekurzije velja, da če je vre- dnost spremenlji vke stevec po klicu funkcije poisci pozitivna, potem je vsebina tabele niz pred te m klicem enaka kot po njem , vrednost spre- menljivke stevec pa je zmanjšana za to liko, kolikor je raz gibanih nizov dolžine vsaj dol + 1, katerih pr vih dol znakov je enakih t ist im , zapisanim */ - pod] ; i-- ) razgiban . */ I 266 Rešitve na log - Na loge I v t abeli niz. Vrs ti ci z ret urn skrbita le za št et je najdenih razgibanih nizov in za pravočasen kon ec rekurzije. Zapišimo še funkcijo lahkoDodam: /* Ali l ahko že zgrajeni niz (n i z [O] , . . . ,niz[dol - 1] ) podalj Samo z znakom znak? */ int lahkoDodam(char niz[] , int dol , int char) { int pod; / * dolžina podvojenega podn iza */ int i ; f or (pod = 1 ; pod <= (dol + 1) / 2; pod++) i f (n i z [dol - pod] == znak) { /* kan di dat za podvoj en i podn i z */ / * Od zadaj primerj amo podn i za niz[dol - pod + 1, . . ,dol - 1] in niz[dol - 2 * pod + 1, .. , do l - pod - 1] . fo r ( i = dol - 1 ; i > dol - pod && niz[i] == niz[i if ( i == dol - pod ) return O; / * Podalj Sani niz ni } return 1; /* Podalj Sani niz j e razgiban . */ } S predstavljenim prog ramom zlahka poiscemo 1999 . razgibani niz, sestavljen le iz črk A, B in C. Ta je kar dolg, saj ima 1823 znakov . Ogledate si ga lahko na tretji stran i ovitka . Za vaj o lahko poskusit e program spre me niti t ako, da bo sproti izpiso- val zgrajene nize in da bo znal gradi t i razgibane nize t ud i iz več različnih znakov, ne le iz črk A, B in C. Seved a ne pozabite posk us it i, kakšne nize do bit e, če dovolit e le črki A in B. Martin Juvan PRELAGANJE ŽETONOV Na mizi so t r ije kupi žet onov. P osameznemu kupu lahko v vsa ki potezi dodamo ali od nj ega odvzame mo toliko žetonov, kolikor j ih je na ostalih d veh k upih sku p a j , n p r. (10 , 7 ,3) ---7 (10 , 20 , 3 ) a li (10, 7 , 3) ---7 (0 , 7 , 3 ) . Igro igrata izmenično vsak po eno pot ezo dva igralca. Zmaga t isti, ki prvi doseže, da je en kup prazen. J anez in Miha st a začela igro s ku pi , v kat er ih je bilo 1999, 199 in 19 žet onov . Kdo zm aga , če oba igrat a opt imalno dobro in je J anez prvi na pot ezi? Dragoljub M. Milo ševi č, prir . Marija Ven celj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O E T Č K S B P O A N 1 2 . 34 5 . 6 •7 8 . 910 • 11 12 • 1:314 • 15 • I Zanimivosti - Razvedrilo KRI ŽANKA Z GESLOM Uganko reši v skladu z naslednjimi navodili: 1. Reši številsko kr iža nko . 2. Dobljene števke zamenjaj s črkami , kot je raz vidno iz t abele. 3. Rešit ev uganke dobi š, če dobljeno besedi lo prebereš po vodoravnih vrstah , začenši v zgornjem levem kotu . Vodoravno: 1. .jI96. 3. 52 + 32 + 22 < x < 31 + 33 in x E IN. Kolikšen je x? 5. Tanja je st ara 36 let in je od T ineta st arejša 11 let. Ko se je rodil Tadej, je ime l Tine 17 let . Ko liko let Ima Tadej? 6. Polž preleze v eni uri 360 m m . Ko- liko mm preleze veni sek undi , če leze enakomerno. 7. Mama je kupila 1 kg bonbonov in jih enakome rno razdelila med 5 otrok. Koliko kg bonbonov je dobil vsak? 9. Zapiši štev ilo i - ~ v decimalnem zapisu. 11. Ko likšna je hipotenu za pravokotnega trikotnika s katetama 6 in 8? 13. 6x y + 20y = 222 in y = 3. Poišči x. 14. vx = 6; x =? 15. 100;19 = 9; x =? Navpično: 1. Ko likšn a je vsota not ranjih kotov t rikotnika? 2. Rešit ev enačbe 3x + 5(x + 6) + x = 66 . 3. Kot I~7T v stopinjah. 4. Po velikost i četrto liho število . 6. sin 180° . 8. Volumen kvadra z robovi 12, 6 in 3 enote. 10. Petdeseto sodo število zmanjšano za prvo liho število . 12. cos 90° . 14. Rešit'ev enačbe 25 - x 2 = 42. 15. 32 . Darjan Trapi in Marko Perc, dijaka ŠC Celje, prir. ured. A stronomija I ZODIAK J asnega dne lahko opazuj emo Sonce, kako se navidezno giblje prek neba. Zjutraj vzide na vzhodnem delu ob zorja, dopoldne se dvi ga , opoldne je na j užni strani neb a najviše nad ob zorj em , popold ne se Sonce spušča; na za ho dnem delu ob zorj a pa zvečer zaide . To je navidezna dnevna pot Sonca nad ob zorj em; poteka od vzhoda proti zahodu . V mislih si jo lahko dopolnimo z nočno potjo od zahoda do ponov nega vzho da, ko je Sonce pod ob zorjem in ga ne vidimo. Navidezno rečemo zato, ker gibanje Sonca na nebu ni resnično . Nam se tako le zdi, saj nas topi zaradi vrtenja Zemlje od zaho da pro t i vzhodu. Za razumevanje, kaj je resnično in kaj navidezno, nar edite t ale poskus: Pred seboj iztegnj eno roko premikaj t e t ako, da jo pr oji cirate na nebo, torej vidite na nebu. Roka se gib lje resnično , na nebu glede na kak oblak (značilni pr edmet) pa lahko opazujete nj eno navidezno gibanje . Ptice, letala , oblaki se gibljejo v zraku nad vami , vi pa jih vidit e na nebu. To je njihovo navidezno gibanje. V ist em kraju se vzhaj ali š č e in zahajališče Sonca med let om spre- minjat a in s te m navid ezna dnevn a pot Sonca. Opoldne vsakega dne je Sonce različno visoko. Vse to po me ni, da Sonce spreminja lego glede na zvezde, ki ne spreminjajo medseb ojnih leg na nebu. Večina zvezd vzhaja in zahaja kot Sonce. Določena zvezda pa ima vedno isto vzhajališče in prav tako isto zahajališče . O te m se lahko pre- pričamo , če opazujemo, kje na obzorju vzide in kje za ide kaka svetlejša, dobro znana zvezda. Razen dnevn ega navidezn ega gibanja ima Sonce t udi navidezno letno gibanje . Med letom se prem ika glede na zvezde. To gibanje poteka od zahoda proti vzhodu, to rej v nasprotni sme ri od dnevnega . Sonce naredi en navid ezni obho d (360°) po nebesni krogli v 365 dneh , to je v enem letu , ko Zemlja obkroži Sonce. V enem dnevu se Sonce gled e na zvezde premakne za 360°/ 365, kar je nekaj manj od 1° . Navidez ni letni poti Sonca rečemo ekliptika (slika 1). Navidez na letna pot rečemo zato, ker t a pot Sonca med zvezdami ni resn ična . Ker kr oži Zemlj a okrog Sonca, se nam zdi, da se Sonce premika: To je t ako , kot se nam zdi, da se premikajo sicer mirujoče hiše in dr evesa glede na ozadje, če jih opazujemo iz drvečega vlaka ali avtomobila . Eklip ti ko lahko prikažem o kot krožnico na neb esni kr ogli ali pa kot valovito črto ~ val, sestavljen iz hri ba in dolin e (slika 2) . Ek liptika prečka I Astronomija ·o lO....- JI o ·o-o.., ·(). '"... ·o - ~ '" ·o- CD -e- ·o- "l... . -<;) o ~... I na\'id~zn j pre mik Son ca na nf'bu /_----- - --- -------.-=~~-~-~- S , ~r .:::;~--'" , ~:Y Zemlje ... 1\ Z1 ;i(;-p(ii; --- !.:~~~~:~~~~~ ------.. Slika 2. Eklipt ika , prikazana kot kr ivu- lja . Krožci s piko označuj ejo na krivu- lj i navid ezne lege So nca vsakeg a p rvega v mesecu. Dne 1. 9. je Sonce navidezn o v oz vezdj u Lev b lizu njegove glavne zvezde (a) Regu!. Na kr ivul ji lahko ugotovim o, kje (oz vez dje) in kd a j (d a t u m ) se navi- d ezno giblje Son ce m ed let om ; najdalj ši d an (22. 6.) , "ko je Sonce najvišj e na kri - vulj i" (v ozvezdju Dvojčka oz. zn amenju Rak) , najkraj ši d an (22. 12.) , "ko je So nce na j nižj e na krivulji " (v ozvezdj u Strelec oz. znamenju Ko zorog) . Slika 1. Navide zna let na pot Sonca na nebu (eklipt ika ) - posled ica krožen ja Ze- m lje okrog So nc a . Zl - lega Zem lje v času tl (npr. 15 . 3. ) , Z2 - lega Zemlje v po- znejš em času t2 (n pr. 15.4.) , SI - navid e- zna lega Sonca v času tI , S2 - lega Sonca v ta . Z Zemlje v legi Z I , "vid imo" So nce v sm eri Zl Sl , z Z2 pa v smeri Z2S2 . Pri p remaknitvi Zemlj e iz ZI v Z2 , se Son ce na nebu premakne iz SI v 82. V mesecu d ni se Sonce navidezno premakne iz enega v drugo ozvezdje zod ia ka . Venem let u navidezno prečka vse h 12 ozvezd ij. Tako naredi So nc e ravno en navid ezni obhod preko celot ne ga neba. 1270 Astronomija I Slika 4. P re makn it ev pomladi š č a ; pred približno 2000 let i je pomladišče ležal o v ozvezdj u Ovna, do danes pa se je prema- knilo v ozvezdje Ri bi . Slika 3 . Zod ia k. Kad ar je npr . Son ce na- v ide zno v ozvezdj u Škorpijon , tega oz- vezdj a ne moremo videti , saj je na neb u podnevi , pač pa lahko opazujemo ponoči njemu nasprotna zo d iaška ozvezdja, ki sta v na šem primeru Dvojčka in Bik . določena ozvezdja, kar po meni, da med let om Sonce navidezn o prečka ta ozvezdja. V različnih dneh leta je Son ce nav idez v različnih ozvezdj ih . Ker imajo ta ozvezdja večinoma ime- na po živalih , se pas ozvezdij (±SO) ob eklipt iki imenuje živs lski pas ali zodiak. Pesniško mu rečejo tudi ži- valska cesta (slika 3). Venem letu Sonce nav idez preč­ ka nas lednj ih dvanaj st ozvezdij zod i- aka : Oven , Bik , Dvojčka, R ak, Lev, Devica , Tehtnica , Škorpijo n , Strelec , Kozorog, Vodnar, Ribi . Na eklipt iki leži točka, ki ji re- čemo pomladišče ali točka Gama. Označuj emo jo s simbolom (zn amenjem) ozvezdja Oven - er. Pomladišče je točka, v kat ero pride Sonce pri svojem navidezn em letnem gibanju ob spomladanskem enakonočju (okoli 21. 3.). V vesolju in tako t udi na nebu se vse giblje . Premika se t udi po- mladišče . Zemljo si lahko predst avlj amo kot vr tavko s poševno vrtilno osjo . Zaradi privlačne sile Sonca in Lune Zemljina vrtiIna os op leta - opisuje plašč stožca v prostoru. To ima za posledico, da se pomladišče zelo počasi, vendar vztrajno, navidezno premika po ek1ip tiki od vzhoda proti zahodu. Zaradi t ega se spre minja navidezna podoba zvezdnega neba ali drugače po vedano, spreminjajo se lege zvezd glede na er, ki predstav lja izhodišče koordinatnega sistema na neb u . Pomlad išče naredi en ob hod (360 °) po eklip t iki približno v 26000 le- tih. Venem letu se navidezno premakne za 360° / 26 000 = 360 ·60' / 26 000, kar je približno l ' (ena kotna minuta) . V 2000 letih se pomladišče navidezno pr emakne za 2000' , t o je za 2000 ' / 60, kar je okoli 30° . V 2000 le- t ih torej pomlad i šče navidezno pre- pot uje iz enega v drugo zod iaš ko ozvezdj e. Ob začetku našega štetja , ko so "sest avlj a li" ozvezdja, je bilo pomladišče v ozvezdju Oven. Ta- kr at so pomladišče označi li s simbo- lom 'r t ega ozvezdja. Do dan es se je pomlad i š č e premaknilo v ozvezdje Rib , Ovn ov simbo l (zname nje) pa je ostal. Astronomija Razlikovati mor amo me d zodiaškimi ozvezdji in zodiaškimi oz. nebe- snimi znamenji. Zodi aška znamenja so do bila ime po dvanajs t ih zodiaških ozvezdjih , ki so bila v t eh legah pred 2000 let i. Zodiaška znamenja razde- lijo ekliptiko na 12 povsem enakih delov, zodiaš ka ozvezdja pa ne. Vsako znamenje obsega 360° / 12 = 30° na eklipt iki. Pred 2000 let i so se zodiaška znamenja ujem ala z zodiaškimi ozvez- dji . Zaradi prem aknitve pomladišča za 30° so se z njo prem aknila t udi znamenja st ran od ozvezdij, po katerih so dobil a ime. Sedaj enako imen o- vano znamenje in ozvezdje nimata več ist e lege, ki se šte je prav od izbrane točke na neb u - pomladišča. Zato izjava , da je Sonce danes v določenem ozvezdju , ne pomeni , da je v ist oimenskem znamenju. To kaže naslednj a preglednica: Zodiaško Čas gibanja Sonca Zodiaško Čas gibanja Sonca ozvezdje v ozvezdju znamenje v znamenju Ribi 12.3. - 18.4. Oven 21.3 . - 20.4. Oven 19.4 . - 13.5. Bik 21.4 . - 21.5 . Bik 14.5. - 20.6. Dvoj čka 22.5. - 21.6. Dvojčka 21.6. - 19.7. Rak 22.6. - 22 .7. Rak 20.7. - 9.8. Lev 23.7. - 23.8. Lev 10.8. - 15.9. Devica 24.8 . - 23.9. Devica 16.9. - 30.10. Tehtnica 24.9. - 23 .10. Tehtnica 31.10 . - 22. 11. Škorpijon 24. 10. - 22.11. Škorpijon 23.11. - 29 .11. Strelec 23.11. - 21.12. (Kačenosec) 30.11. - 17.12. Str elec 18. 12. - 18.1. Kozorog 22.12. - 20. 1. Kozorog 19.1. - 15.2. Vodnar 21.1. - 18.2 . Vodnar 16.2. - 11.3. Ribi 19.2. - 20.3. P ove zava med zodia škim ozvezdjem in z namenjem . Zaradi navideznega pre- m ika nja pomladišča se zna m enja premikaj o v sm eri proti zaho d u glede na ist oimen ska ozvezdj a. Če smo bili npr. rojeni v znam enj u Ribi , j e bilo So nce ob naš em rojst vu v ozvezd j u Vodnar. Opomba: Pri svojem nav id eznem letnem gib anj u prečka Son ce m ed ozv ezdjema Škor- p ijon in Strelec tudi del ozvezd ja Kačenosec (Ofij uh) , Tega ozvezdja pa ne m oremo jema t i za zo d iaš keg a, saj se ga velika večina razteguj e zelo daleč od ekliptike . Zodiaškim ozvezdj em včasih rečemo t udi eklip t iška ozvez dja, sa j ležijo neposredno ob ekliptiki . V vsake m od zo d iaških ozvezd ij se Sonce navidezn o zadržuj e neka j časa, od enega tedna do enega meseca, odvisno od t ega, ka ko ra zse žno je ozve zd je . V zod iaške m znamenj u pa se zadržuj e točno en m esec . V d avni ni so ljudj e v id eli zodiak kot velik pas ozve zdi j, ki kro žijo po nebu. Za nji h je b ila t o sve t a pot, po kateri potujejo Sonce, Luna in p la neti . Za mnoge je v preteklih časih pomenil zod ia k veliko nebesno uro . Sonce vz ha ja ved no v enem od omenj enih oz vez d ij , prav tako t udi Luna in planeti . 272 Astronomija - Nove knjige I Daljna pr edhodnica astronomije je bila nekakšna naravn a astrologija, ki je t em eljil a na skrbnem op azovanju neb a in shranjevanju opazovalnih pod atkov. Ukvarjala se je z merj enj em časa v zvezi s koledarjem , določala je letne čase , napovedovala mrke, Lunine mene, vidnost planetov in drugih t eles Osončj a itn. Vzporedno z njo pa se je razvijala še druga vrsta astrologije, ki se še dan es ukvarj a s horoskopi in prerokbami o človeški prihodnosti , predvsem glede počutj a, ljubezensk ih in den arnih zadev , pomem bnih dogodkov itn. Stoletj a in stoletj a so ljudje opazovali nebo in t ud i drug drugega. Skušali so ugotoviti vpliv vesolja na človeka . Ljudi so razvrstili po značaju in splošnih last nost ih v skupine glede na to , v katerem neb esn em znamenju so roj eni . Iz leg zvezd, pla netov in Lun e ob človekovem ro js tvu napovedujejo usod o. Za večino ljudi je to velika zabava in igr a , za nekat ere dolgočasj e in puhlost , nekaj pa jih v to celo verjame. M arijan Pro sen Slika na IV. strani ovitka: Ozvezdja zodiaka na znamkah Včasih nalet imo na znamko, ki prikazuj e kak zanimiv dog odek , nen a- vaden pojav ali zname nito oseb o iz astronomije . Zelo redko najdemo znamko z moti vom ozvezdja. Državica San Marino pa je namenil a kar celo serijo znamk ozvezdj em , in sicer kar vse m dvanajstim ozvezdj em zodiaka . Kot bivšemu fila t elistu so mi jo prinesli domači z izlet a p o Italiji. Serija mi je všeč. Res je lep a, zato jo posredujem v občudovanje tudi vam. TEKMUJMO ZA VEGOVA PRIZNANJA 2 Zbirka rešenih nalog s področnih in državnih tekmovanj od 1992 do 1998 V Presekovi knjižni ci je izšla zbirka rešenih nalo g za Vegova priznanj a , ki zajem a področna in državna tekmovanj a od let a 1992 dalje . Ker sm o tik pr ed novim ciklom tekmovanj , ki postaj a vedno bolj množično , b o knjižica nepogrešljiv priročnik te kmovalcem in njihovim mentorjem ter nasploh učit elj em. V t ej knji žici bom o srečali t udi naloge, kakršnih pr ej nismo poznali . V zadnjih št ir ih letih namreč t ekmovalci na področnih t ekmo- vanj ih poleg standardnih nalog , kjer moraj o podati t udi potek reševanja, rešujejo še sklop nalog, pri katerih izmed ponujenih odgovorov izbiraj o pravega . Sandi Kla vžar I Pisma bralcev GEOMETRIJSKI ASISTENT Dandanes se računalniki vse bolj se uveljavljaj o tudi v izobraževanju . V t a namen nast aj aj o različni programi , ki nam pomagajo pri učenju . Ed en takih programov je tudi Geometrijski asistent. Ko smo pri pouku matematike prešli na geometrijo, sem spoznal pro- grama za risanje geometrijskih konstrukcij Cabri in C.a.r. Na pobudo pro fesorja matemat ike sem se odločil naredi ti program, ki združ uje dob re lastnost i in odp ravlja nekatere pomanjkljivosti t eh dveh programov. Tako je nast al Geomet rijski asistent - program za risanje dinamičnih geome- trijskih konstrukcij. P rogram omogoča, da iz osnovnih konstrukcij (točka, dalj ica, polt rak, premica, krožnica , simetrala daljice in simetrala kot a) zgradimo željeno konst rukcijo. Vse post orimo zgolj z up orabo miške. Glavna prednost programa je, da konstrukcija ni samo stat ična , temveč t udi dinamična. Kadark oli si pri konstrukciji izberemo neko točko , jo lahko premikamo in s tem ustrezno spreminjamo vse povezave z njo. Geometrijski asistent ima preprost up orabniški vm esnik, ki omogoča hitro in enostavno delo, tako da t udi začetniki z njim ne bodo imeli težav. Kljub pr eprostosti pa je Geomet rijski asistent namenjen tudi konstruira- nju zahtevnejših geometrijskih konstrukcij . Vsebuje namreč možnost sle- denja točke. Izbrana točka, vezana na konstrukcijo , more za sa bo puščati sled , kar je posebno uporabno pri obravnavanju ra znih možnost i ali spre- minjanju podatkov, od katerih je konstrukcija odvisna. Pri daljših kon- strukcijah se nam lahko zgodi, da pozabimo potek konstrukcije. Nič hu- dega . Geometrijski asistent je zmože n pokazati celote n potek (zgodovino) konstrukcije, korak za korakom , kakor je nas taj ala. Geometrijski asiste nt je napisan v J avi, mogoče pa ga je izvajati t udi preko Internet a . Če hočete program preskusit i, pokukajte na naslov: http://library.advanced.org/17426/ Mogoče bo na voljo že naslednja verz ija , ki bo omogočala nekatere kon- st rukcije v prost oru1 . Opomba. Geomet rijski asist ent je nastal kot raziskovalna naloga in je na 4. fest ivalu računalništva v skupini Viz ualizacija osvojil prvo mesto. Program sem prij avil t udi na mednarodno tekmovanje v izobraževalnih WWW straneh Think-Quest 98 ter se uvrst il v polfinale. Mat ej Šekoranja, dijak SŠER, Ljubljana 1 Av t or progr ama nam je poslal še prikaz upo rabe progr ama pri za nimivi kon struk- cijski nalogi . Tudi tega si lahko og ledate na zgornjem naslovu na Intern et u (op . ur ed .) . Računalništvo I KOCHOVA SNEŽINKA Zima se je poslovil a in snež inke bod o kmalu le še oddaljeni spomin. Da ne bo prehod v poletno soparo prehiter , si z računalnikom pričarajmo še malo zimskega vzdušja in narišimo snež inko ali dve. Naše snež inke bodo seveda nekoliko matematično obarvane. Za osn o- vo bomo vzeli t.i . Kochovo krivuljo . Ta spada med rekurzivne objekte. Ti nastanejo t ako, da z določenim postopkom preoblikujemo osnovni objekt v več enakih objekto v. Osn ovni objekt je lahko trikotnik, črta, kocka ali kaj drugega. Dobljene objekte z enakim post opkom pr eoblikujemo naprej . Tako poznam o Peanovo krivuljo , zmajnico , Hilbertovo krivuljo , trikotnik Sierpinskega. Več o te h krivulj ah si lahko preb eret e v članku Cirila Pezdirja, Nenavadn e krivulje, Presek 18 (1990 /91) , st r. 56-64. Kochova krivulja Ko chovo krivuljo dobimo t ako, da ravno črto (Ko chovo krivuljo ničtega reda) razdelimo na tretjine. Srednji del izrežemo in ga nadomestimo z dvema črtama, ki bi skupaj z zbrisanim delom tvorili enakostranični t ri- kotnik. Dobimo Ko chovo krivuljo prvega reda. Če postopek ponovimo na vseh št irih dobljenih črtah, nastan e Ko- chova krivulja drugega reda. Od tod do Kochove snežinke ni več daleč. Vzamemo enakostranični trikotnik in mu namesto stranic narišemo Ko- chove krivulje ustrezn ega reda . KO K2 Za ris anj e rekurzivn ih objektov je zelo primeren programski jezik logo. Če ste t ega jezika vsaj malo vešči , bo snežinka kaj hit ro pred vami. Zanimiv članek orisa nju Ko chove snež inke najdet e tudi na Internetu IRačunalništvo na naslovu http ://www . eurologo . org/papers/logomov. html. A v logu smo v Preseku že veliko programirali. Zato si bomo tokrat ogledali, kako bi snežinko narisali s pomočj o programa DERIVE. Ta pr ogram je sicer namenj en predvsem simbolnemu računanj u . Ker pa zna nari sat i točke in v njem lahko definiramo t udi rekur zivne funkcije, bo za našo nalogo povsem primeren . Risanje točk s p r ogramom DERIVE Točko v programu DERIVE pod amo kot par koordinat voglatih oklepajih , pri čemer sta koord inati ločeni z vejico. Tako je koordinatno izhodišče točka [O, OJ , točko s koordinato x = 1 in koordinato y = 2 pa v programu DERIVE preds tavimo kot [1 ,2] . Če t ak izraz (npr. [1 , 2] ) narišemo, dob imo narisano točko (1, 2) . Če želimo nari sati več točk , sestavimo vektor , katerega komponente so spet dvodimenzionalni vekto rj i - torej matriko velikosti n x 2, kjer je n št evilo točk . Kadar imamo več točk , se lahko odločimo , ali bomo pri risan ju točke med sabo poveza li ali ne. Ko smo v oknu za risanje (ukaz Plot) z izbiro Options/State , nastavimo Mode v Connected ali pa v Discrete . PTIONS STATE : Coordinates : (RectangularlPolar Mode : Connected uU1444!!l Size : (Large)Sm a ll Fo llow :(Ves)No Tr ace : VestNo) e lect plot point mode r os s x:l y:l Scale x :2 y :2 De r i ue 2D-p lo Prva nastavitev pomeni, da DERIVE takrat , ko riše več točk , t e med sabo poveže, dru ga nast avitev pa, da črt med zaporednimi točkami ne bo .. . , ,. , ~ u : It . l J -- - - - 11 : Il . ZI - - - - - ,z , Il. Z. 3 .. I Z: II . Z. l . I I I , 13 : I l : COlI'Wl~ : ~ Center tl! le t e ..... p Ilo"" Options I'lot Qw.lt " ''''' !Je SCIIle r .... ns fe r COl'IYlltD :~..~..:~)ete He l , ""we O,ti"ns rlot Quit IloInge Se .. I" TNl nd " r IHnd... ..JilelI zoo. Ente r optian ["teropt i" " eMIn . :1 Y: l Sc.. le . :l \,1:2 Derl "" ZB-plo t C"""$ ,, ' 1 u ' l s.:...h '>t :Z y :Z Deri "'" ZD- ,O< Če narišemo matriko velikosti 2 x 2, dobimo daljico. Začetek daljice določa prva, konec pa druga vrstica matrike. Računalništvo I Kochova krivu lja s programom D E R IV E Izračunajmo t ri nove točke, ki nast a nejo po prvem kor aku . Defini rajmo t ri fun kcije. Te vrnejo točke, ki skupaj s krajišči prvotne črte določajo novo črto . P ar ametra vseh treh funkcij st a začetna in končna točka. Vn esimo z ukazom Author vse t e tri funkcije. Izr azi z lihimi št evilkami so kom entarji , ki jih lahko izp usti mo. ni : "Tocka na t retjini med A in B." b - a 2 : TTCa, bl := a + -------- 3 3 : "Tocka na dueh tretjinah med A in B. " '1: TDTCa, bl := TTCb , al 5 : "locka na osti . II a + b J3 R& : TOC~, bl := -------- + ----- ra - b , b - a ] 2 & L 2 2 1 1 OMMAMD :~ Build Calculus Declar e Expand Factor He lp Jump soLue Manage Options Plot Quit Remo ue Simplify Transfer Unremoue moVe Uindou approX nter option User Free : UJO;.: Ins Der i ue Aluebra Nekaj t ežav imamo lahko pri vnos u indeksov. Če želimo dob it i koor- dinato x prve točke , moramo vzeti prvo komponento iz a . To storimo z a SUB 1. Zadnjo funkcijo torej vnesemo kot TO (a ,b) ; = (a+b)/2 + SQRT(3) /6 [ Ca SUB 2- b SUB 2),(b SUB 1-a SUB 1)J Da bomo vid eli, ali delamo pr av , narišimo t ako doblj eno črto . Naj bo u začetna točka (denimo [-1 ,1]) in v končna točka ([1, 1]). Narisati mo- ramo torej poligonsko črto [u , TT(u , v ) , To (u , v) , TOT(u,v), v]. Žal DERIVE izraza ne zna narisati kar v taki obliki, ampak ga mor amo prej poenost aviti z ukazom Simplify . Ne pozab imo, da moramo pri Opti- ons/State v risalnem oknu nast avit i povezovanje točk. Za računanje točk , ki določajo krivuljo višjega red a , uporabimo rekur- zijo. Če je stopnja kri vulj e enaka O, vrnemo krajišči , drugače pa oglišča po- ligonske črte , ki jo sestavljajo Kochove krivulje, eno nižje st opnje nad od- seki: od u do TT(u , v ) , od TT(u , v ) do TO (u , v ) , od To (u , v ) do TOT( u,v) in od TOT( u, v) do v. Dobimo torej poligonsko črto, sestavlje no iz množice daljic. I Računalništvo 114 : TDT(a , bl := TT(b, a l 3 r - b , bZ Za + b 116 : TO(a , bl := - - - + - --- - 1 Z 115 : "Toeka na ost i . " 117: u .- [- 1 . - l j IIB : u . - [1, 1] 119 : [u, TT(u . ul . TO(u, ul , TDT(u, ul. OMMAHD:~ Center Delete Help Moue Options Plot Quit Range Seale Transfer Uindou aXes Zoom nter option ro ss x :l :1 Seale x :l :1 Deriue ZD- lo Ves naš program za risanje Kochove krivulje je to rej : "Tocka na tretjini med A in B." TT (a ,b) := a + (b - a ) / 3 "Tocka na dveh tretjinah med A in B." TDT (a,b) := TT(b,a) "Tocka na osti." TO (a ,b) := (a+b) / 2 + SQRT (3)/6 [Ca SUB 2-b SUB 2), (b SUB 1-a SUB 1)] "Kochova cr t a ." CRTA (a,b ,n) := IF (n=O ,[a ,b] , [CRTA(a ,TT(a, b), n- 1) , CRTA(TT (a ,b),TO (a ,b) ,n-1), CRTA(TO (a,b) ,TDT (a,b) ,n-1), CRTA(TDT (a ,b),b,n-1)]) Seveda zadnjo funkcijo vp išemo vso v eni vrsti. Sedaj lahko vnesemo izraz CRTA ([-2 ,O] ,[2,0] ,3) in ga poenost avimo s Simplify. Dobimo dolg vektor točk . Če jih nari- šemo (Pl ot / Pl ot), dobimo Kochovo krivuljo t retjega reda med točkama [-2,0] in [2,0]. Računalništvo I Če narišemo sedaj Kochovo črto nad oglišči trikotnika, dobimo sne- žinko. Večjo "nabrazdanost" (stopnjo krivulje) bomo uporabili, lepš a bo. Za bolj zimsko vzdušje pa še nekaj snežink, dobljenih tako, da smo med sabo povezali nekaj Kochovih črt . Matija Lokar INaloge RAČUNALO ZA SEŠTEVANJE V PETIŠKEM SESTAVU Skica prikazuje preprost pripomoček za seštevanje v peti škem številskem sestavu, ki ga lahko sami poljubno podaljšate. -2 -1 o '..2 3 4 10 11 12 13 20 21 I I I -4 -3 -2 -1 O 2 3 O 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 I I I 1 1 1 1 -2 -1 O 2 4 10 11 12 13 14 20 21 I 1 I 1 Sestavljaj o ga tri vzporedn e šte vilske premice; pri te m je srednja premica ena ko oddaljena od zunanjih dveh. Vse tri slike števila O leže na isti pr avokotnici na šte vilske premice. Enoti na zuna njih premicah sta enaki in dvakrat tolikšn i kot enota na srednji premici. Na vseh treh premicah so ozna ke celih števil zapisane v peti škem sestavu. Če bi radi sešteli dve števili, poiščemo na zgornji pr emici sliko enega od seštevancev in na spo dnji pr emici sliko dru gega. Ob doblj eni točki prislonimo ravnilo in ob njem na srednji pr emici preberemo rezult at . Na skici smo ravnilo prikazali s črno premico. P remica A prikazuje račun 2(5) + 3 (5) = 10(5) ' premica B pa Res je 2· 1+ 3 · 1 = 1·5 + 0 · 1 in (1 ·5 + 4 · 1) + (1 . 5 + 2· 1) = 3 ·5 + 1 . l. • Preskusite pravilno delovanj e računala še na nekaj primerih, ki si jih izberi te sami. • Premislite, kako računalo deluj e, in dokažite, da vedno pravilno se- šte va . • Ali lahko računalo up orabimo tudi za odšte vanje? Kako? • Napravite podobna računala za sešt evanj e v drugih številskih sesta- vih. Kaj moramo pri tem spremenit i? Marija Vencelj Fizika I GALILEJEV TERMOMETER Temperatur o mer imo z različnimi te rmo- metri. Na jpogosteje up orabljamo živo- srebrne in alkoholne, pogost i pa so tudi ZRAK kovinski, ki vsebujejo bimetalni t rak. Na tem mestu ne bomo govor ili ne o enih ne o drugih , pač pa o t istem pr vem , ki si ga je leta 1593 omislil Galileo Gali- lei. Njegov te rmometer je za kazanj e spremembe te mpe rature izkoriščal spre- membo volumna zraka med segrevanje m oziroma ohlajanjem . Bil je torej plinski termomet er . Enost avno ga lah ko nare- dimo tudi sami. Termomet ri , ki jih pr o- daj aj o v trgovinah kot Galilejeve termo- met re, se od svojega st arega predhodnika razlikujejo tako po ob liki kot t udi po prin- cipu delovan ja. Na redimo naj prej stari Galilejev te r- mometer . V posodo z obarva no vodo po- stavimo pokonci cevko, ki vodi v dru go posodo , v kateri je zaprt zrak (slika 1). Vse skupaj vpnemo v stojalo. Bučko z zrakom ohladimo . Zraku se Slika 1. Ski ca Gal ilejevega termo- volumen manj ša in obarvana voda se v met ra . cevki dvigne. Ko pa bučko z zrakom se- grejemo, se segreti zrak širi po cevki in izpod riva vodo. Čim višja je to rej gladina vode v cevki, te m nižjo temp e- raturo kaže termomet er. Tak te rmomete r ni kaj prid a natančen. Delovanj e zunanjega zračnega t laka n a obar vano vodo v odprt i posod i p r a v gotovo ni zan emarlj ivo . Termomet ri, ki jih dan es pr od aj ajo kot Galilejeve termometre, so veliko bolj lični (slika 2). Tod a princip njihovega delovanj a je povsem drugačen. V zaprt i posodi je kap ljevina, v njej pa enako velike uteži, ki se med sebo j rahlo raz likujejo po teži. Vse uteži so v celot i potopljene, lažje so na vrhu, t ežje pa sp odaj . P ri izbrani tem peraturi nekatere lebdijo v kapljevini, dru ge pa ležijo na dnu posode. ter". Fizika Za utež, ki lebdi , velja, da je sila vzgo na kapljevine, ki deluj e na- njo , nasprotno enaka nj eni t eži . S segrevanj em kapljevine se njena go- stota zmanjšuje, sila vzgona pos tane manjša od teže uteži in utež začne pa- dat i. Čim višja je te mperatura, t em več uteži je na dnu posode. Z ohlaj a- nj em kap ljevine se njena gostota veča, sila vzgona post ane večj a in pri ne- katerih utežeh preseže njihovo težo, zato se te uteži dvigajo. Spreminjanje te mperature torej povzroča dviganje in padanje uteži. Tudi utežem , ki so iz stekla , na njih pa je ob ešena kovinska ploščica, na kateri je označena temper atura, se s segrevanjem nekoliko spremeni go- stota. Toda sprememba gostote trdne snovi je veliko manj ša kot sprememba gostote kapljevine . P rincip delovanj a termomet ra z utežmi si lahko ogledamo kar v dom a- či kuhinji . V posodo z oh lajeno vod o damo jaj ce. V vodi razt opimo toliko soli, da jaj ce v njej lebdi. Pustimo, da se slana voda segreva , in jaj ce se začne počasi spuščati. Ko pa posodo s slano vodo ponovn o ohladimo , se Slika 2. Današnj i "Ga lilejev termome- jajce spet dvi gne, V posodo pot unkajmo še eno jajce, ki se od prvega , kljub temu, da sta enako veliki, rahlo razlikuje po teži. Tisto jaj ce, ki ima večjo težo, v celoti lebdi v slani vodi, t isto z manj šo pa malo ku ka iz nje. Ko začnemo vodo segrevati, .najprej pade na dno posode t isto z večjo težo , t isto z manjšo pa nekaj kasneje, ko se vod a bolj seg reje. Ko prestavimo posodo z jajcema v hladilnik, je vrstni red dv igovanj a obrn jen . Galilejevi t ermometri , ki jih danes najdemo v t rgovinah, so namenjen i bolj okrasu kot pa merjenju temper ature. Vida Kariž Merhar Astronomija I KAKO SMO SPOZNAVALI PULZARJE Več razlogov mi narekuje, da govorim o pulzarjih . Med najpomembnejše spada dejstvo, da je bila pr edlani Nobelova nagrada za fiziko pravzaprav že tretjič podeljena v zvezi s pulzarji. Torej spadajo t e čudne zvezde go- tovo med najzanimivejša nebesna telesa. Obstaja pa tudi osebni razlog ; dolga let a sem si želel "vide t i" pulzar in ta želja se mi je pred dobrima dvema letoma prvič uresničila. Skupaj z Bojanom Dintinjano in Mirjam Galičič smo na Golovcu v Ljubljani opazovali me žikanje slavnega pulzarja v meglici Rakovici. Predani jeseni in v marcu lani pa sva z Mirj am opa- zovala taisti pulzar v Rakovici z velikim 1.82 metrskim teleskopom in z našim detektorjem v Asiagu v Italiji. (Od takrat , ko je bilo to zapisano, smo opazovali pulzar še večkrat na velikih teleskopih , vendar o tem kdaj drugič.) Če pogledamo v leksikon, se poučimo , da so pulzarji vrteče se nev- tronske zvezd e, ki oddajajo radijske pulze, ko njihova magnetna polja vpli- vajo na okoliške elektrone. Odkrili so jih leta 1967 v skupini prof. Hewisha na univerzi v Cambridgeu v Angliji. Najprej seveda niso vedeli, da gre za nevtronske zvezde. Presenečeni so bili , da so opazili radijske zvezd e, ki iz- redno hitro mežikajo - celo do več desetkrat na sekundo. To je bilo nekaj zelo nenavadnega in povsem nepričakovanega. Kako je mogoče, da telo, kot je zvezda, torej telo, ki ima maso Sonca, oziroma 300000-krat večjo maso od Zemlje, pomežikne nekajkrat v sekundi? Vsakdanja izkušnja nas uči , da se masivni pr edmeti premikajo oz. spreminjajo počasi. Če uda- rimo po majhnem zvončku , visoko zapoje, velik pa globoko zadoni . Za ton zvenenja zvona sta odgovorna nj egova velikost in hitrost , s katero se zvok širi po kovini. Poje s tako frekvenco, da se vrh vala ujame z vrhom, ko potuje z zvokom naokrog po plašču. Rekli boste, da to ne more biti edini vzrok, zakaj naj velik zvonec doni globoko, majhen pa visoko, saj lahko izberemo za velikega snov z veliko hitrostjo zvoka, za majhnega pa tako, v kateri je zvočna hitrost počasna. Tedaj bo majhen zvonček pel globoko, velik pa visoko. Vendar se pokaže, da je hitrost zvoka v različnih snoveh sicer lahko nekoliko različna, vendar kakšnih posebno velikih razlik med različnimi materiali ne poznamo. Zato zelo velik zvonec vedno doni globoko, zelo majhen pa cinglj a visoko. Ta vsakdanja izkušnja nam torej pove tudi to, da se je narava odločila (vsaj na Zemlji) ustvariti snovi, v katerih se zvok širi s hitrostjo nekaj tisoč metrov v sekundi. Lahko je le nekoliko višja ali nekoliko nižja, veliko pa se od te vrednosti ne razlikuje . Tudi zvezde sledijo svoji zakonitosti, ki jo razumemo na podoben način. Njihova snov je v stanju zelo vročega in razmeroma gostega plina, zato se zvok v njih širi s hitrostjo nekaj deset tisoč metrov v sekundi. Tudi zvezde IAstronomija so lahko zvončki , ki zaradi svoj e velikosti donijo zelo, zelo globoko - en- kr at zanihajo kvečjemu v nekaj ur ah , včasih pa t raja en nihaj t ud i po več kot eno let o. Če je amplit uda takih nihanj pri nekaterih zvezdah velika, jih spremlja tudi sprememba sija. Astronomi tovrstna nihanja opazujejo pri nekaterih zvezdah že več kot sto let . Teoretična razlaga opazovan ega poj ava z nihanjem kot pri zvoncu se zelo dobro ujema z opaz ovanji zvezd, imenovanih kefeide. Dan es poznamo na stotine takih zvezd . Pulzarji pa so bili pravi šok - nekaj tako mogočnega, kot je zvezda, utripa ne sa mo desetkrat ali stokra t, ampak do več milijonkrat hitreje od normalne zvezde. Zvezda doni (?) skoraj t ako visoko kot zvon slavne ur e na london- skem parlam entu. Ali res doni? Po dobrem mesecu opazovanj so našli še nekaj nenavadnih lastnosti utripanj a pulzarj ev. Utripanje je nenavadno enakomerno, njegova perioda pa zelo natančno narašča s časom . Vend ar ut rip anj e ni podobno nihanju nih ala , pulzar oddaja v zelo kratkih sun- kih , ki t ra jajo le desetino period e ali pa še manj. Mn ogi pulzarji odd aj o celo dva neenaka pulza v vsaki periodi. Utripanj e kefeid ima drugačne značilnost i: nihanje sija je podobno sinusnemu (kot pri nihanju nihala) in je enakomerno, vendar ne povsem . Ra zlog za to dan es dobro razumemo in je podoben kot pri zvonu: če se te mperatura zvona malo poviša , se ta razt egne in doni za spoznanje niže kot pr ej , in obratno, frekvenca se rahlo poveča, če se zvon ohl adi . V vrhnjih plast eh mnogih kefeid tečejo razni konvektivni tokovi , ki odnašajo energijo z zvezde. Ker so t aki vet rovi slučajni pojavi , od našajo energijo včasih za spoz nanje hitreje, včasih pa za spoznanj e počasneje , zato zvezda nima vedno natanko enakih pogojev in za spoznanje spreminja t on , s katerim doni . Nas prot no pa pulzarji brenčijo pov sem enakomern o, bolj e od najboljših ur , le čedalje bolj (a enakomerno) počasi. Na osnov i teh podatkov so astronomi pri šli do sklepa, da je treba is- kati razlago za utripanj e pulzarj ev drugje. Preprostejšo razlago je ob et ala hipoteza , da so pulzarji vrteče se zvezde, nekakšni vesolj ski svetilniki, ki oddajajo ozek sno p (po navadi radij ske) svetlobe. Tega zaznamo, ko nas . ob vrtenju oplaz i. Obet ali so si, da bo mogoče v okv iru take hipoteze po- jasniti vsaj t ri lastnosti utripanj a , ki jih tako ločijo od kefeid: ut rip anj e v kr atkih pulzih , izredno stabilnos t periode in njeno enakomern o in počasno naraščanj e. Rešiti pa je bilo t reba še pr oblem , zakaj seva zvezda le v eno ali dve smeri kot svetilnik, in pr edvsem , kako je mogoče , da bi se zvezda zavrtela po nekajkrat v sekundi. Probl em zvona se je pr i zadnjem vprašanju pokazal za ključnega . Pokazati se da namreč naslednje: Recimo, da imamo kovinsko vrtavko , ki zacinglja s frekvenco 2500 Hz, če ud arimo po njej . To vrtavko lahko zavrtimo samo do 2 500 obratov v sekundi, pri hit rejšem vrte nju pa bi Astronomija I se zaradi velikega centrifugalnega pospeška razlet ela .1 Če up or abimo t a izrek pri pulzarjih, ugot ovimo, da bi pulzarji , če so res vrteče se zvezde, zadoneli oz . zabrenčali še z višjo frekvenco, kot utripljejo , če bi mogli s kakšnim orjaškim kladivom udarit i po njih . Visoka frekv enca pu lzarj ev nam v skladu s tem izrekom pripoveduje, da mor a val s hitrostjo zvoka prečkati pu lzar v morda nekaj deset milisek undah. Res nenavadno! Če bi bi l pu lzar železen, bi ne smel biti večj i kot kvečjemu nekaj met rov. To pa je seveda prav neumen odgovor , sa j nekajmetrske kro gle ne opazimo niti na razd alji nekaj kilometrov in nikakor ne more sevat i toliko a li skoraj toliko kot manj ša zvezda. Iz zagate se lahko rešimo le, če obstaja snov , v kateri je hi t rost zvoka bist veno, bist veno večja . Na Zemlji take snovi prav gotovo ni. Fizika t rdne snovi nam celo zagotavja, da je ne mo re bit i, ker določa t rdnos t in gostoto snovi predvsem igra med kvantnomeh an skimi odbojnimi silami med elekt ro ni in privlačna električna sila med poziti v- nimi jedri in negativnimi elekt roni. Urejenost ato mav je v različnih snoveh ' različna in to določa raz like v trdnosti , trdoti in gostot i snovi . Vendar so te razlike razmeroma majhne in dopuščajo razlike v hitrosti zvoka morda za fak tor 10, nikakor pa ne milij onskih faktorjev , ki bi j ih potreb ovali. Pulzarj e moramo vsekakor iskat i med zvezdami, ki sa bistveno drugačne od normalnih zvezd , sestavljat i jih mora izjemno eksotična snov . Kakšn a mora biti torej snov, da bo mo lahko raz umel i hit ro utripanj e pulzarj ev. Obrnimo zgoraj navedeni izrek! Pulzar je stabilen , ko se vrti , t orej ohranja zunanje plasti , iz česar sklepamo, da je t udi na površini težni posp ešek večj i od cent rifugalnega pospeška . Če je R po lmer zvezde in NJ masa zvezde, lah ko to zahtevo zapi šem o z neenačbo takole: pri čemer je G (= 6.67 X 10- 11 Nm2 / kg2 ) grav itacijska konstanta , v pa frekvenca pulzarj a . Če gorn jo enačbo delimo z R in se spomnimo, da je ~ R 3 prostornina krogle, 4~3 pa povprečna gostota (p) krogle, v kateri je mas a !loJ , lahko gornje za'pišemo v obliki: 1 Dokaz za nekoliko poenost avljen o vrtavko , sestavljen o iz ideal ne vz met i z dolžino 1, na kon ceh kater e st a ena ki m asi m , je razm eroma pr eprost in si ga bo morda kd o od br a lcev sam poiskal. IAstronomija Če up oštevam o, da so odkrili pu lzarje, kater ih frekvenca je skoraj 500 Hz, lahko izračunamo, da mora bit i njihova gost ot a večj a od 3.5 X 1016 kgjm3 . To je fantast ična gostota, 35 trilijonkrat večja od gostote vode! Ko so v zvezi s pulzarji prvič izračunali to število, so mnogi astronomi meni li, da to ne more biti prava smer za iskanj e od govora. Nekateri, ki so bili v začetku v manjšini, pa so se spomnili belih prit likavk in naj bolj norih sa nj teoretikov v zvezi z njimi. P rvo belo prit likavko je odkril Bessel že pred pr ibližno 150 let i, ko je opazoval najsvet lejšo zvezdo Sirij , da bi izmeril njeno oddaljenost . Z zelo natančnimi merit vami je opazil, da Sirij pr avzaprav vijuga po nebu: Sklepal je, da mora pospešek pri zavijanju pr iskrbet i neka zvezda v bližini Sirija, katere maso je lahko ocenil na pri bližno enako Sončevi . Pri tem pa je čudno, da t udi Sirijeva masa ni kaj dosti večja od mase Sonca , a je Sirij za nas naj svet lejša zvezda, njegove spremljevalke, z le nekoliko manjšo maso , pa kljub vsem naporom ni mogel zaznat i. Torej svet i pr av gotovo kar nekaj tisočkrat manj od Sirija. Šele mnogo let kasneje je ameriški izdelovalec teleskopov Alvin Clark preizkušal t akrat najboljši t eleskop in op azil šibko, šibko spremljevalko Sirija. Ko so astronomi končno uspeli zaznat i njeno barvo, je bilo to pravo presenečenj e . Spr emljevalka je še bolj bela od Sirija sa mega in je zato po tem , kar vemo o sevanju vročih te les (Stefanov, W ienov in P lan ckov zakon), še bolj vroča od Sirija. Po Stefanovem zakonu seva vsak kvadratni meter vročega t elesa (natančen tehnični izraz je črno t elo) moč , ki je sorazmerna samo s četrto potenco temperatur e. Torej mora sevati vsak kvadratni meter spremljevalke Sirija več kot Sirij sam , celot na zvezda pa kljub temu seva več tisočkrat manj od Sirij a . To je mogoče samo , če je površina Sirijeve spremljevalke več kot desett isočkrat manjša od Sirija . Ker je površin a krogle sorazmerna s kvadratom po lmera (P = 4n-R2 ) , sklepamo , da je šibka zvezda st okrat manj ša od Sirija. Naprej : ker je pr ostornina kro gle sorazmerna s t retjo potenco polmer a, je prostornina Sirijeve spremljevalke mil ijonkrat manjša od Sirij eve. Pa vendar imata ob e zvezdi približno enako maso. Torej je Sir ijeva spremljevalka pr ibližno milijonkrat gost ejša od Sirija , katerega povprečna gost ota je nekako to likšna kot povprečna gostota Son ca , to je zelo približno 1 000 kgj m3 . Ko so začeli izdelovat i večje in večj e t eleskope , so lahko še natančnej e pogledali med zvezde in odkrili še veliko belih prit likavk, ki so vse po t rjevale sklepe o razmeroma visoki temperaturi in pr edvsem o njihovi gosto t i, ki je več milijonkrat večj a od gosto te vod e. J asno je, da je snov , ki sestavlje bele pr it likavke ·povsem drugačna kot t ista na Zemlji. Kaj se je zgodilo s snovjo v belih prit likavkah? Prej smo Astronomija I že povedali (brez dokaza) , da je gostota snovi na Zemlji določena z igro med električnimi privlačnimi silami med negat ivn o nabit imi elektroni in poz it ivn imi jedr i t er kvantnomehanskimi odbojnimi silami , predvs em med elekt ro ni. Snov je organiziran a tako, da se večina elekt ronov, ki pripadajo dan emu jedru, porazdeli okrog njega kot nekakšna vatast a kroglica , katere velikost določajo za koni kvan tne mehanike. Le majhen delež preostalih elekt ronov ostane, da z električnimi privlačnimi silami povezuj ejo vataste kroglice med seboj. Velikost "vatast ih kroglic" določa povprečno razdaljo med nj imi in s t em gostoto snovi. Snov je mogoče zgostiti, če "vatast e kroglice" st isnemo. Toda to na Zemlj i ni mogoče , saj lahko st iskamo "vato" ene snovi samo z "vato" druge snovi, ki pa je približno enako mehka ali enako trda. Resn o st iskanje je možno le, če nam pomaga sila, ki je bistveno močnej ša od kvantnom ehanskih odbo jnih sil, ki določajo velikost ato mov na Zem lji . Sila t eže je edina, ki lahko to stori , ker je vedno privlačna. Poglejmo si to trditev nekoliko podrobneje. Vzem imo , da vatast e kroglice z maso fi in s povprečno gostot o Po zlagamo (nekje v vesolju ) na velik kup . Ko vsebuje kup N kroglic, im a maso M = = N fi in prostornino V = M / po. Če je kup kroglast , lahko izračunamo iz prostornine po lmer R = ( 3N fi ) ~ , 47TPO (1) po Newtonovem gravit acijskem zakonu pa še t ežni pospešek na povr šini kupa Pomembno pri gornjem rezult atu je, da težni posp ešek na površini narašča s tret j im korenom iz števila kroglic. Pri dovolj velikem št evilu krog lic postane lahko teža kro glice večja od sile, s katero se vata up ira st iskanju , pa če je vata Še t ako t rda. In prav to se lahko zgodi, če nar edimo t ako velike kupe snovi, kot so zvezde. Dokler je zvezda v not ranjost i še t ako vroča, kot je Sonce, in se še ni preveč skrčila, lahko t lak plina klj ubuje tež i. Ko pa po mnogih letih zvezda s sevanje m izgubi preveč energije, "vatast i atorni" ne morejo nastati in zvezda se sesuje vase tako daleč, da postane pravzaprav en sam at om z zelo t rdo "elektro nsko vato" . Računi pokažejo , da se izmerjena gos to t a belih prit likavk ujema z navedenimi fizikaln imi razlagami . Astronomija ~ Rešitve nalog Kaj pa pulzarji, ki bi morali biti še kakih milij ar dokrat gostejš i od belih prit likavk? Ko so v trideset ih letih tega sto let ja delali t eor ijo be- lih pritlikavk , so pri šli do zanimivih rezultatov. Enačba (1) nas namreč napeljuj e do nenavadnega razmišljanja: z večanjem števila delcev lah ko dos ežemo poljubno veliko t ežo na površini , to rej lah ko dosežemo poljubno velike sile, ki st iskajo "vat o" , v katero se skušajo delci organizirati . Če je "vata" prožna , se mora pod določeno silo vdati, to pa poveča gostot o in s te m težni pospešek, oz. silo med delci. Ali lah ko "vat a" vzd rži poljubno naraščanje t eže? Chandrasekhar je pokazal (za to je dobil Nobe lovo na- grado) , da lahko "vat a" , ki jo sestavljajo elekt roni, vzdrži le, če je na kupu manj snov i kot za 1.44 mase Son ca . Če je je več , pa elektroni ne morejo vzdržat i prit iska teže. Kaj se zgodi potem , sprva ni bilo jasno, vendar je v t em grm u tičal zajec, ki je pokazal pot do razumevanj a pulzarj ev. P ri večj ih pri ti skih teže "elekt ronska vata" ne zdrž i več in elekt rone preprosto pot isne v protone v atomskih jedrih . P ri t em pr otone spremeni v nev- t rone, Pri nekaterih zvezdah se to v resnici zgodi v nekaj t renutkih , ko na koncu svoje življenjske pot i izgubijo vse ost ale možn osti upiranja teži. Od tega t renut ka dalje v zvezdi skora j ni več elekt ronov in nevt roni post a- nejo ti sta "vat a" , ki kup zadrži pr ed nad aljnjim krčenjem . S tem postane zvezda eno samo atomsko jedro. Zato ni čudno, da ima tudi pod obno .gostoto, kot bi jo dobili , če bi delili maso nevtrona z njegovo prostorn ino . Nekateri teoret iki, predvsem Volkoff, Opp enheimer in Sny der , so že v t ri- deset ih letih tega stoletja pokazal i, da je to mogoče. Odkritj e nevt ron skih zvezd in odkr itje ozadja njihovega nast an ka pa je pokazalo, kako daleč lahko seže pogled dobrega teoret ika. Andrej Čadež ŽELITE ZAPOSLITEV PRI MICROSOFTU? Rešitev s str. 212 Službo pr i Microsoftu vam "priskrbi" naslednje zapo redje pr ehodov: • Bono, Edge: 2 minuti , • vrne se Bono : 1 minut a , • Adam, Larry: 10 minut , • vrne se Edge: 2 minuti, • Bono, Edge: 2 minut i. Matija Lokar Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "P LAN ETI NAŠEGA SONCA" REtISER RUSsa~_ __ Luna ------- «:--_ __ ____ Zemlj a O---- --. ~ 3_OSEBA 2ENSKEGA SPOLA NATAŠA OOlENC OREHOVA SREDICA PREVAI AVTOR MARKO BOKAliČ VPISNA PRISTOJ· BINA SORTA JABOLK PERIOD_ NIHANJE ZEMELJSKE OSI ANGLEŠKI KOlID2 9 B IDEN-T1CNOST NAJEMNINAZASTANOVANJE OBLIKA IMENA IGNACIJ SREOISčE PlANETAR- NEGA SISTEMA VERZ ~ ROlA PERUNIKA KOlUT NAVRJICI (IGRAČA) RAZCLE- NJEVAlEC VENERA NA .IUTRANJEM NEBU RADON REtISER TITANIKA (JAMES) - CMOKAC OROBNE KAPLJICE NATRAVI AMERiŠKA ZVEZNA DR2AvA FILOZOF IZSOLE V Juml ITAl iJI IGRAlEC TORN NAZN STARO- ~ GRŠKI EP ' w--~ KITAJSKI SlOJ MAlTE KROMPIR NAZ IDU - HIšNI CUVAJ PTICJI GLAS - REKAV HADU Nltll RIMSKI EDVARD URADN IK ŠLAJMER 1---- TRENUTEK UREJEN SKUPEK ~ OPOZORILO GENOVA KMECKO ORODJE IZTO BOn- KRAl; ROPO' DRJAR osoc KAVLJ f--------- PRET UCITELJ VEROUKA ZMANJ· SANJE JAKOSTI ZVOKA FILMAKIRE KUROSAVE MEDNA- ROONA VOJAŠKA NiZA VENO ~"';7? TAUFER =-t-- - ---t----' OBVESTILOO POSLANEM BLAGU ZNANI FILMSKI SUHI PAR IZ BURKEt BURLESK I Zan imivosti - Razvedrilo KRAK BENZEN UMORJEN JORUBSKO NO~. 21lA TAJSKE Z DVEMA RIMSKI MESTOV JANNE MATEMATIKREKE METILNIMA GOVORNIK NIGERIJI AHONEN (NIELS) Zem lja O - ---.MENAM SKUPINAMA Son ce - - - I - - - --.-- --- -8 -..... DRlAVA ZVISANI MOČAN AVSTRIJ. aSADAMA TON KRATKOOLAK POLITIK HUSEINA G PES MOCK ~ ZBADU IVA PESEM, I PUŠČ iCA GIANNA NANNINI SAM6 SVETNiŠKI 1--- ~ MIlAN KRAJ NA V1DMAR PRIMORSKEM ODRSKA ZAVESA MRLIČ, ~ JADRAN. OTOK 'lN BIKOBOREC,rc Kl ZABODE ~~~g ....BIKA NEPOUDAR, TUJEK POPULAREN NAŠA V JUHI NEPBIJETENi JENZLOG 1---SlOV. PREDP~ SPRJNTERKA ŠPORTNI OBCUTEKTEDNIK STOPICO (JERNEJA) KLUB DAUAVA, V [f, 4, ' ZVEZNAALOJZIJ ~TERI SE DRlAVAVADNAL E KAJ V ZDASLIŠi PAJKOVA SLAMICA IGRAlKA REDGRAVE GL MESTO lA, KOREJE ' lJA I RE,KVIZIT V COLNU - YOUNGSKI ŠVEDSKAIGRA ; S DEENAY (METANJEREKVIZITOVj EM T- HIMALAJSKI 'ČLOVEK"EP STAROGERM. JAPONSKI IVOBAN ČRKA I ~~':ZA MESTECE NARIMSKI JAKOST SAHAliNUCESAR ZVOKA I HUDA JEZA'-----IGRAlKADEREK JEZUSOV ROJSTNI KRAJ DEBELI VELIKAPISANABURKEZ PAPIGA Fizika I HALLOV POJAV v Slika 1. Razpored itev naprav pri Hall ovem pojavu . Baterija z napetostjo Upožene po vezj u to k I , ki v magnetnem polju z gostoto B povzroči v prečni smeri Hallovo napetost UH . Ameriški fizik Ed win Hall je na univ erzi J ohn s Hopkins v Baltimoru pr ed stodvajsetimi leti pripravljal doktorsko delo. Tedaj je bila ame riška fizika še v povo jih in njegov "mentor Henry Rowland je bil sp loh pr vi profesor fizike na tej univerzi. Hall se je namenil raziskati vprašanje, ki je zanimalo že J am esa Clerka Maxwella , očeta t eorij e o električnem in magnetnem polju. Ali pri jemlje sila magnetnega polja v nosilcih nab oj a ali v vodniku? Hall je domneval , da "se po javi nekakšn a mehanična napetost , [. . . ] da elekt rika gre na eno stran, " če deluj e magnetno polje na gibajoče se nosilce nab oja . Let a 1879 je naredil poskus, ki je to domnevo potrdil. Po tankem zlatem traku je v vzdo lžni smeri pognal to k in pr avo- kotno na tlak usmeril magnetno po- lje. S točkama na nasprotnih st ra- neh traku je povezal priključka volt - met ra. Voltmeter je pokazal Hal- lova napetost UH v prečni smeri . Če se elektroni gibljejo v smeri od nas, je bil priključek volt metra na levem robu traku negativen , pri - ključek na desnem robu pa poziti- ven (slika 1). To je Hallov pojav, ki ga štejejo med magnetogalvanske pojave. Negativnim elektronom , ki se gibljejo od nas, ustreza tok pozit iv- nih nosilcev naboja v sme ri proti nam. To je smer toka po dogovoru. Sila magnetnega polja na vodnik je pravo kotna na magnetno polje in na tok. Znan o je, da magnetno polj e v sme ri navzgor na vodnik s tokom v smeri proti nam deluje s silo proti levi (slika 2). To silo izkoriščajo elekt romo torji. Negati vnim elektronom , ki se gibljejo od nas, ustreza to k poziti vnih nosilcev naboja v smeri pr oti nam. To je smer toka po dogovoru. Sila magnetnega polja na vodnik je pravokotna na magnetno polje in na tok . Znan o je, da magnetno polje v smeri navzgor na vodnik s to kom v smeri pr oti nam deluj e s silo pro ti levi (slika 2) . To silo izkoriščajo elekt romo- torji. Izzida Hallovega poskusa ni t ežko pojasni ti . Dogovorjenemu toku proti nam ustreza tok elektronov od nas in magnetno polje jih sili proti smer magnetnega polja Slika 2. Smer magn etne sile določimo z desno ro ko : palec kaže dogovorjeno smer električnega t oka (od poziti vn ega pr i- ključka izvira k negativn emu ), kaza lec smer magn et nega polja in sredi nec smer sile. Pri dogovorje n i smeri toka k nam , ko se nega ti vni elekt roni gib ljejo od nas , de luje na nje magn etno polje proti levi. I Fizika levi. Tam jih zaustavi rob t raku , na njem se kopičij o in tako ta rob po- stane negat iven . Na desnem robu t raku elekt ronov primanjkuje in zato t a rob postane pozit iven . Električno po lje zaradi pres ežka elekt ronov na levem robu in pr iman jk ljaja na de- snem nap osled prepreči nad aljnje ko- pičenj e . Tedaj sila tega električnega polja izravna silo magnetnega polja . Sila električnega po lja na elekt rone je eUH / a, če je e absolut na vrednost nab oj a prevodniških elekt ronov v od- seku kovine in a prečni rob traku. Delo, ki ga opravi sila električnega polja , ko se pr emaknejo elekt roni z enega robu na drugega , Fa , je namreč enako produkt u njihovega nab oj a in napet ost i eUH . Magnetna sila na ele- ktrone v vod niku Il B je sorazmern a s tokom 1, z dolžino odseka vodnika v magnet nem polju l in gostoto magnet nega polja B , če je magnetno polje pr avokotno na vod nik . Sili izenačimo e UH = IlB a in vpeljemo Hallov koeficient Iz prve enačbe izračunamo UH/ 1B = al / e in enačbo pomnožimo z višino t raku b, pa imam o K H = abl]e = V/ e. To je obratna vrednost gostote nosilcev naboja e/ V = eoN/V, če vpeljemo šte vilo nosilcev naboja v odseku vod nika N in naboj enega nosilca e D te r upoštevamo, da je abl = V prostornina odseka vodnika. Izmerjena Hallova nap etost , tok po traku in gost ota magnetnega polja te r višina trak u določajo gostoto nosilcev, ki sodelujejo pr i pr evaj anj u . Ne samo, da lahko pr eko Hallovega pojava določimo gost oto nosilcev nabo ja v vod niku, ki sodelujejo pri pr evaj anju , določimo lahko t ud i znak njihovega naboja. Če je levi rob negativen , pren ašajo naboj negativni nosilci , če je levi rob pozit iven , pa pozitivni. Fizika I Pogosto rečemo, da je Hallov koeficient v prvem primeru negativen, v drugem pa poziti ven . Slika 3. Hallov me ri ln ik gostote magnet nega po lja , ki ga izd elu je Unilab. Ima t ri območja , in sice r od O do 19,99 mT , od O do 199,9 mT in od O do 1999 mT, t o je prib ližno 2 T . S potenciom et ro m je mogoče naravn ati ničlo . Zem eljsko magnetno po lje za jamemo z najobčutlji vejšim območjem. Kovina KH Kovin a KH baker - 0,55 . 10- 10 m3 / As železo 0,25 . 10- 10 m3 / As zlato - 0,72 .10- 10 m3 / As cink 0,33 . 10- 10 m3 / As srebro - 0,84 . 10- 10 m3 / As volfram 1,18 .10- 10 m3 / As kalij - 4,2 . 10-10 m3 / As bizmut 2,44.10- 10 m3 / As Hallov koeficien t za nekatere kovi ne Hallovemu koeficientu z absolutno vrednostjo 10-10 m3 l As ust reza gostota nosilcev naboja N IV = 1/eolKHI = 6,3 . 1028 m - 3 . Izmerj eni Hall ovi koeficienti za najboljše pr evodnike, h katerim štejemo baker, zlato, srebro , so po pričakovanju negativni . Preseneti pa nas , da imajo nekatere kovine, np r. železo, cink, volfram, bizmu t , pozitivni Hallov koeficient. Vse kaže, da pr evaj aj o v drugem pr imeru elekt riko pozit ivni nosilci naboj a! To bo treba posebej poj asniti. Mim ogrede omenimo, da ta čas Hallov pojav zbuja pozornost v zvezi z Nobelovo nagrado za fiziko leta 1998. Pri tem pa gre za poj av v posebnih geometrijskih razmerah v zelo močnem magn etnem polju in pri zelo nizki te mperatur i, ki ga je mogoče opisati samo v kvantni mehaniki . I Fizika - Rešitve nalog Hallov m erilnik. Menda v fiziki trdnin od vseh po skusov najpogosteje merijo Hallovo napetost. Pri tem ne mislijo samo na Hallov poskus, s katerim iz- merimo Hallov koeficient kakega prevodnika. Hallov po jav uporabljajo tudi merilniki gostote magnetnega po lja . Skozi kovinski ali po lprevodniški trak baterija požene tok in z milivoltmetrom prečno na trak izmerijo Hallovo nape- tost. Hallovanapetost je sorazmerna z gostoto magnetnega po lja, v katerem je trak: b a= --. I K H Sorazmernostni koeficient je odvisen od toka, od gosto t e nosilcev naboja v iz- branem pr evodniku in od deb eline traku. Merilnik navadno umerijo v tovarni, tako da milivoltmeter kaže gostoto magnetnega pol ja v te slah, in izdelajo v obl iki sonde , s katero lahko sežemo, na primer, v notranjost tuljave. Sondo obračamo, dokler milivoltmeter ne pokaže največje napetosti. Tedaj je ma- gnetno polje pravokotno na smer toka in na premico, ki jo določata priključka milivoltmetra na trak u. S takšnim Hallovim merilnikom je mogoče otipati zemeljsko magnetno po lje in magnetno po lje tuljav in trajnih magnetov. Janez Strn ad KRIŽANKA "OB 250-LETNICI ROJSTVA" Rešitev s str. 224 ~ =~ ':::il'~ *,- '=l' - m l'.I:. ~ '5 "='~ .=~ ~ :="rl ~ Z - b : G R A N A T - V Š I V -= S V A R U N -- E ~ Š Č_. L I M o N o B V E E V A L E C-, - E ~M A T E M A T I K ~ o S J A C o B I A S T R o N o M .s B R o N S A .-~ V E K l>~ ~ p L I N -iSL~-= S A V A N A ~ L o K ~ M p § S L~- _. - ,P I A N I N o~ S o M A L I J A ~ M A L I N A ~- R E P ~ K E K S =-=- L A K E ~ M A K A D A ~ E ~ L !:I:. ~ T ~~ o R L R A N F ~ A D A ~ N I o R M A ::= B R A T E C =;i- R o Z G A l:' L A G R A N G E ~~0_. K E C A L '::::: A M A N D A "f".::' E P .;::;. ~ M A L H A ~ ..- ~- - -- -- ~ ~o S E N ~= R A N G ..... Č P ~ N O D I E R A Z "? V I =~ P E I R C E~ A P o L O N ~ S A N I ~ I M P O R "(;),'" K I T .~ U R E T E R ~ I T R I JT ;;;,;;;;;; ,.. T, ~ N O R M A N o I J A -= H I T R O S TZ V O K A ~ A N T - H A N Z A ~ ..""' ... o Z R E N ~ S A o N A ClI Matematika I ERDOS-MORDELLOVA NEENAKOST Let a 1996 preminuli P aul Erdos je bil izjemno plodovit matematik, saj je avtor okoli 1500 znanstvenih člankov. Ob njegovi smrti je več mate- matičnih revij pisalo o njem in njegovem delu. V slovenskem jeziku je v Obzorniku za m atematiko in fiziko, letnik 44 (1997), številka 1, izšel kraj ši zapis prof. A. Suhadolca . Bolj pod robno je Erdos predst avljen v glasilu Ameriškega matematičnega društ va Notices oEthe American M athemati- cal So ciety , letnik 45 (1998), številka 1. V tem prisp evku se bomo ukvarjali z neenakostjo v t rikot niku , ki jo je Erdos odkril let a 1932, vendar je ni dokazal. Spozna li bomo tudi nekaj iz nje izpeljanih neenakosti . 1. Naj bo T poljubna točka v t rikotniku ABC ali na njegovem robu. Z x, y in z zaporedoma označimo razdalje te točke do oglišč A, B in C , s p, q in r pa raz dalje do (nosilk) st rani c a = BC, b = CA in c = AB (glej sliko 1). Paul Erdos je domneval, da za te razdalje velja neenakost x + Y + z 2: 2 (p + q + r) . (1) B c c Slika 1. x To domnevo je preskusil na pre- cejšnjem št evilu trikotnikov, ven- dar je ni usp el dokazati . Nadalje je domneval , da v neenakosti ve- lja enačaj le tedaj , ko je točka T središče enakostraničnega trikot- nika ABC. P rvi dokaz neenakost i (1) je let a 1935 našel L. J. Mor- dell, zato se ta neenakost sedaj A imenuj e Erd če-Motdellove. neena- kost. Povzemimo dokaz te neenakosti po članku z naslovom A short prooEoE the Erdos-Mord ell theorem , ki ga je v matematičnem mesečniku A merican M athem atical Monthly 104 (1997), st r . 57-60 , v sp omin na Paula Erdosa napisal V. Komornik. Dokažimo najprej, da velja neenakost bq + cr -:::; ax (2) celo za poljubno točko T , ki leži znotraj kot a O, A od tod sledi veljavnost neenakosti (2) tudi za točko T. Pri dokazu Erdos-Mordellove neenakosti lahko predpostavimo, da je kvečjemu eno od števil p, q in renako O. Če je namreč T eno izmed oglišč trikotnika ABC, denimo T = C, potem veljata neenakosti a ::::: r in b ::::: r . Ker je vsaj ena izmed teh dveh neenakosti stroga, je a + b > 2r, torej v tem primeru velja (1). Vzemimo najprej, da je trikotnik ABC enakostraničen. Tedaj je neenakost (1) enost avna posledica neenakosti (2) . Res, zaradi a = b = e je x ::::: q+r . Analogno veljata še oceni y ::::: r +p in z ::::: p +q, ki ju dobimo s ciklično permutacijo trojic x, y, z in p, q, r . Če te neenakosti seštejemo, dobimo neenakost (1). Prav tako je iz dokaza razvidno, da v neenakosti velj a enačaj natanko tedaj, ko točka' T le ži na vseh višinah trikotnika, torej le tedaj, ko je T središče enakostraničnega trikotnika ABC. Denimo sedaj, da trikotnik ABC ni enakostraničen . Prezrcalimo točko T preko simetrale s'" kota Ovelja neenakost u + Ilu ~ 2, v kateri velja enačaj le pri u = 1. Torej so vsi trij e izrazi v oklepaj ih večj i oziroma kvečjemu enaki 2. Ker po predpost avki t rikot nik ABC ni enakostraničen , sta vsaj dva izraza v oklepajih st rogo večj a od 2. Prav t ako po predp ost avki je kvečjemu eno od šte vil p , q in r enako O. Zato velja st roga neenakost X + y + z > 2p + 2q + 2r . S tem je Erdos-Mordellova neenakos t dokazana. 2. Če neenakost (2) pomnožimo s ~, dobimo neenakost b c px ~ -pq + - rp . a a Analogno veljata neenakosti lil a b r z ~ -rp + - qr . c c IMat ematika Če vse tri neenakosti sešt ejemo, dobimo px + qy + r z ~ (~+ ~) pq + (~ + ~) qr + (~ + ~ ) rp . Ker za po ljubno pozitivno število u (t ako kot prej ) velja neenakos t u + I ju ~ 2, smo dokazali še neenakost px + qy + r z ~ 2(pq + qr + rp ) . (3) Z up orab o neenakosti med aritmetično in geometrijsko sredino dobimo iz (2) tudi oceno ax ~ 2 J (bq)(cr). Podobno veljata neenakosti by ~ 2J(cr) (ap) in cz ~ 2 J (ap) (bq). Po množenju vseh treh neenakosti dobimo x yz ~ 8pqr . (4) 3. Na j bo do Va, Vb in Ve zaporedoma višine na stranice a, b in c. Z R označimo po lmer trikotniku ABe očrtane krožnice , z p pa po lmer včrtane kro žnice. Ker očitno veljajo ocene x + p ~ Va , Y + q ~ Vb in z + r ~ Ve, je x + y + z + p + q + r ~ Va + Vb + Ve . Z up orab o neenakosti (1) od to d dobimo neenakost x + y + Z Va + Vb + Ve 2 ~ 3 . (5) Ocenimo vsoto vseh višin navzdol! Po neenakost i med aritmetično in harmonično sredino je Va + Vb + V e > 3 3 l j v a + l j v b + l j v e . Ker velja 1 Il a b c a+b+ c 1- + - + - = -- + - + - = - - - - va Vb Ve a Va bV b C Ve 2PABe P dobimo t ako neenakost in z uporabo (5) še x + y + z ~ 6p . Matematika I V primeru, ko je točka T središče trikotniku ABC očrtane krožnice, torej velja 9 9p < Va + Vb + Ve :s; 2, R, kjer smo še enkrat uporabili (5). Od tod trivialno sledi znana neenakost R 2': 2p. 4. Predpostavimo, da je T po- c ljubna točka v notranjosti triko- tnika ABC. Preslikajmo poljubno točko S, ki ni enaka T, z inver- zijo glede na krožnico s središčem v točki T in polmerom l . Presli- kana točka S' leži na poltraku, ki ima izhodiščev točki T in gre skozi točko S, za razdaljo do točke T pa velja TS . TS' = 1. Z x', y' in B z' zaporedoma označimo razdalje točke T do oglišč A', B' in C', s s', q' in 1" pa razdalje do stranic Slika 5. B'C' , C'A' in A' B' (glej sliko 5). Po definiciji inverzije je x' 1 x , 1 y =- y in , 1 z = - . z - Ker zaradi xx' = yy' = 1 velja y'/x' = x/y oz . B'T/A'T = AT/BT, sta si trikotnika ABT in B'A'T podobna. Potemtakem velja r f» = r'/y' oz. r = r'xy. Po analogiji torej veljajo enakosti p' = E.- yz q' = .!L in 1" zx r xy To pomeni, da velja naslednja trditev: Če neka neenakost velja za razdalje x, Y, z , p, q in r v po1jubnem trikotniku ABC, potem velja tudi po substituciji ( 1 1 1 p q T) I:(x,y,z;p,q,r)~ - ,-,-;-,-,- x y z yz zx xy I Mat ematika Ko substit ucijo 1 up orabimo na Erdos-Morde llovi neenakosti , dobimo ne- enakost 1 1 1 - + -+ -> 2x Y z - ( P q r)-+ - +- yz zx x y oziroma x y + yz + zx 2 2(px + qy + r z ) . Če združimo neenakosti (3) in (6) , imamo še (6) x y + yz + zx 2 4(pq + qr + rp) . B C C Cl Slika 6. 5. Tudi sedaj vzemimo, da toč­ ka T leži v notranjosti trikotnika ABC. Naj bodo Al , Bl in Cl zapo redoma pravokotne pr ojekcije točke T na stranice a, bin c. Z Xl, YI , zI , PI , qi in rl označimo zapo- vrstjo razdalje točke T do oglišč Al , Bl in Cl ter stranic BlCl , ClA l in A l B I (glej sliko 6) . Po- tem je X l = P, YI = q in zI = r . A Naj bo A 2 pr avokotna proj ekcija točke T na stranico B l Cl . Ker je št irikotnik ACl TBl tetiven , sta kota 2 so 008 zadnje t ri števke števila lQn + 8, zato je to število deljivo tudi z 8. Število IOn + 8 je deljivo z 8 in 9, torej je deljivo tudi z 72. Trikotnik L,.ACD je enakokrak , zato je AD = CD in : .......:-:- :- ;a:: • ::t( • ::. ::- • r:::< 1::::: ::::: ::. ::- • ::. :: 1::::< od to d pa a4 - 4a2b2 - b4 = O. Zato je a2 = (2 ± J5)b2 in iskano razmerje je %= = V2+ J5. 1/4. Odgovor je ne. Pobarvajmo šahov- nico kot običajno z belo in črno . Pri vsaki potezi se barva polja , na katerem stoj i žet on, ohranja. Na začetku ležijo žetoni na natan- ko 5 črnih po ljih, zato željenega položaj a , kjer ležijo žetoni le na št irih črnih po ljih , ne moremo doseči . 11/1. Naj število ti zadošča pogoj em naloge. Z m označimo št evilo števk v n, vsoto šte vk števila n2 pa označimo s S (n 2 ) . Ker ima število n2 kvečjemu 2m šte vk in te ne presegaj o 9, velja S (n2 ) :::; 2m · 9 = 18m. P o drugi strani je n :::: lom - l . Ker za m :::: 3 velja ocena 18m < lQm- l , je t ud i S (n2 ) < n . Torej mora biti tri E {1, 2}. Potem je n = S (n 2 ) :::; 18 · 2 = 36. Og lejmo si še ostanke pri deljenju z 9. Ker je ost anek števila n 2 enak ostanku šte vila S(n2 ) , je ost anek števila n (n - 1) = n2 - n enak ostanku S (n2 ) - n = O. Torej 9 I n(n - 1), od koder sled i, da je ostanek št evila n pri deljenju z 9 enak O ali l. Torej je n E {1, 9,10, 18,19,27,28, 36}. Z nep osred nim računom se prepričamo , da sta edini rešitvi 1 in 9. 11/2. Po Vieto vih formulah velja za kor ena X l in X2 kvadrat ne enačbe x 2 + px + q = O naslednje: - (Xl + X 2 ) + X I X 2 = P + q = 1998. Od tod Tekmovanja I sledi (Xl - 1)(x2- 1) = 1999. Ker je števi lo 1999 praštevilo in sta X l in X2 po pr edpostavki celi št evili , mora biti {XI, X2} E {{2 ,2000} ,{0, - 1998}} . Od tod sledi, daje bodisi p = -2002 in q = 4000 bodisi p = 1998 in q = O. 11/3. Označimo o' = 10. Št evilo n - 1 deli šte vilo 1974. Ker je 1974 = 2 · 3 ·7 · 47, mora bit i n - 1 E {14, 21, 42} oz. n E {15, 22, 43}. Ker je 1998 = 8 . 152 + 13 . 15 + 3 = 4 . 222 + 2 . 22 + 18 = 1 . 432 + 3 . 43 + 20, vidimo, da vse tri možnost i za n res ust rezaj o. IV/ 2 . V funkcijsko enačbo vstavimo 1 - x namesto x in dobimo f (l - x ) + (1 - x ) f (x ) = x 2 - 2x + 2 za vsak x E IR. Ko to enačbo pomnožimo z x in odšt ejemo od dane funkcijske enačbe , dobimo f (x) - x( l -x) f(x) = (x 2 - x + 1)f(x) = - x3+3x2-2x + l za vsak x E IR. Ker je x 2 - x + 1 i=- O za vsak x E IR, lahko izrazimo _x3 + 3x 2 - 2x + 1 f(x ) = za vsak x E IR. x 2 - X + 1 Nazadnje preverimo, da funkcija f res zadošča pogoju naloge. Tekmovanja IV 13. Kro žnica s središčem v A in po lmerom lAD I naj seka ka- t et i trikotnika v točkah E l in FI, premica ElFI pa naj seka simetrali kotov IBMI . Točka lii leži izven dalji ce AB. Premica skozi 111 seka kro žni lok AB v takih točkah C in D, da je ICMI < IDMI. Očrtani kro žn ici trikotnikov ADD in OBC se sekata v točkah O in J(. Dokaži, da se prem ici OJ( in K lvi sekata pravokotno. 3. a) Alenka ima dv e žari in v vsak i od njiju je 6 kroglic, označenih s št evilkami od 1 do 6. Alenka naključno izbere po eno kro glico iz vsake žare. Označimo s Pn verj etnost , da je vsota štev il na izvlečenih kroglicah en aka n. Določi Pn za vsak n E JN. b) Tudi Barbara ima dve žari in v vsaki od njij u je G kroglic, označenih z (nez nanimi) naravnimi št evili. Kroglice veni ža ri so lahko drugače označene kot v drugi. Več kr oglic v isti žari ima lahko enako šte vilko. Če Barbara naključno izbere po eno kroglico iz vsake žare, je ver- jetnost , da je vsota šte vil na izvlečenih kroglicah enaka n , enaka Pn (torej enaka kot pri Alenki). Določi neznane ozn ake kroglic. (Poišči vse rešitve. ) I 320 Drugi izbirni test 1. Poišči vsa nar avna števila x in y , ki zadoščaj o enačbi Tekmovanja I kjer je z največji skupni delitelj št evil x in y. 2. V ravnini ležijo kro žni ca K s središčem O, premica p , ki s krožnico nima skupne točke , in taka točka P na premici p , da je OP .L p . Izberimo poljubno, od P različno točko X na premi ci p . Tangenti na krožni co K iz točke X se krožnice dotikata v točkah A in B . Označimo s C in D pravokotni proj ekciji točke P na premi ci AX in BX. a ) Označimo presečišče premic AB in OP z Y. Dokaži , da je lega točke Y neodvisna od izbire točke X na premi ci p . b) Označimo presečišče premi c CD in OP z Z . Dokaži, da je Z razpolovišče dalji ce PY. 3. Zaporedj e (an) naj bo podano z začetnim členom ao = 1998 in re- a2 kurzivno zvezo an +l = __n_ za vsak n E IN U {O}. Dokaži, da je an + 1 [an] = 1998 - ri za ti E {O, 1, 2, . . . , lOGO} . Opomba. Z [x ] označimo največj e celo število , ki ne pr esega realnega števila x. Matjaž Ž eljko PRESEK li st za mlade matematike, fizike, astronarne in računalnikarje 26. letnik, šolsko leto 1998/99, številka 5, strani 257 - 320 UR E DN IŠK I OD BOR: Vlad im ir Batagelj , Tanja Bečan (jezikovni pregled) , Miran Černe (glavni ur ednik) , Vilko Domajnko , Roman Drnovšek (novice) , Darjo Felda (t ekmovanja) , Bojan Golli , Marjan Hr ibar, Boštjan Jaklič (tehnični urednik), Mar- tin Juvan (računalništvo), Sandi Kl av žar, Bori s Lavrič , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Franc i Oblak, P eter Pe tek, Marijan Prosen (ast ronom ija) , Marija Vencelj (m atem at ika, odg ovorna ur ednica ). Dopi si in naročnine : DMFA - založništvo , Presek , J adranska c. 19, 1001 Ljubljana, p .p. 2964 , t el. (061) 1232-460 , št . ŽR 50106-67 8-47233. Naročnina za šolsko let o 1998/99 je za posamezne naročnike 1.800 SIT, za skupins ka naročila šol 1.500 SIT, pos amezna številka 360 SIT, za tujino 25 E UR, devizna nakazila SKB banka d.d . Ljubljana, val-27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana . List sofinancirata MZT in MŠŠ Založilo DMFA - za ložništvo Ofset ti sk DE LO - Tiskarna, Ljubljana Po mnenju MZT št. 415-52 /92 z dne 5.2.1992 šteje revija med proizvode iz 13. točke t arifne št . 3 zakona o prometnem davku , za kater e se plačuje 5% davek od promet a proizvodov. © 1999 Društvo matem atikov , fizikov in astronomov Slovenij e - 1381 Poštnina plačana pri po šti 1102 Ljublj an a I Rešitve na log RAZGIBA NI NIZI - Nadaljevanje rešitve s str. 263 Po abecedi 1999. razgibani niz, ses tavljen le iz črk A, B in C, je: ABACA BCACB ABCAB ACABC ACBAC ABACB ABCAB ACABC ACBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CABCA CBABC BACAB ACBAB CABAC ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCBA BCABA CBABC ACBAC ABACB ABCAB ACABC ACBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CABCB ABCAB ACBAB CACBA CABAC BABCA BACBC ABCBA BCABA CABCA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CABCA CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCBA BCABA CBABC ACBAC ABACB ABCAB ACBCA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CABCA CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCBA BCABA CBABC ACBAC ABACB ABCAC BCABA CABCA CBABC ABACA BCACB CABAC ABCBA BCABA CABCA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CABCA CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCBA BCABA CBABC ACBAC ABACB ABCAB ACBCA BCBAB CABAC ABCAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCAC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCACB CABAC ABCAC BABCA BACAB CACBC ABACA BCBAB CABAC ABCAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCAC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CBCAB CBABC ABACA BCACB ABCBA CABAC BABCA BACAB CACBA BCABA CBABC ACBAC ABACB ABCAB ACABC ACBAB CABAC BABCB ACABA CBABC ABACA BCACB ABCAB ACBCA BCBAB CABAC ABCAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCAC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CBCAB CBABC ABACA BCACB ABCAB ACABC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCACB ABCAB ACBAB CACBA CABAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BCABA CABCA CBABC ABACA BCACB CABAC ABCBA BCABA CABCA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CABCA CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCBA BCABA CBABC ACBAC ABACB ABCAB ACBCA BCBAB CABAC ABCAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCAC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCACB CABAC ABCAC BABCA BACAB CACBC ABACA BCBAB CABAC ABCAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BACAB ACBAB CABAC ABCAC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BACBA BCABA CBCAB CBABC ABACA BCACB ABCAB ACABC BABCA BACBA BCACB ACABA CBABC ABACA BCACB ABCAB ACBAB CACBA CABAC BABCA BACAB CBABC ABACB ABCAC BCABA CABCA CBABC ABACA BCACB CABAC ABCBA BCABA CABCA CBABC ABACA BCBAB CABAC BABCA CBACA BAC Seved a pa zgornj i niz ni po abeced i 1999 . razgibani niz. Če bi uporablj ali vse črke , potem bi bil 1999. razgibani niz drugačen. Do razlik pride že pr i 8. nizu: če uporabljamo le črke A, B in C, je to ABACABC, če pa dovo limo še črko Č , lahko naredimo t udi niz ABACABAČ . Martin Juvan