didakta maj 2014 23 Med teorijo in prakso učinkoVite MentAlne strAteGije zA Priklic teMeljnih dejsteV odŠteVAnjA / dr. Alenka Lipovec / Dušanka Škamlec / Darja Antolin / Pedagoška fakulteta Maribor, Univerza v Mariboru Strategije mentalnega računanja so pomembne za razvoj učinkovitih računskih spretnosti. V članku so opisane strategije za odštevanje, ki učencem pomagajo pri odštevanju s prehodom v obsegu do 20 in temeljijo na strate- gijah, ki so jih učenci že razvili pri seštevanju s prehodom. Slovenski učenci se običajno srečajo le z eno strategijo, t.j. strategijo Odvzemi skozi 10, ki temelji na dejavnosti odvzemanja. Uporabna je tudi strategija Dodaj skozi 10, kjer gre za odštevanje z dopolnjevanjem in temelji na dejavnosti dodajanja. Predstavljamo tudi primere dejavnosti in metodični postopek, s katerimi te strategije razvijamo. Ključne besede: strategije, odštevanje, odštevanje z dopolnjevanjem, 10-okvir UVoD V slovenskem šolskem prostoru se od učencev pri pouku matematike pričakuje, da računanje v obsegu do 20 obvladajo na nivoju avtomatiziranega priklica, tj. na nivoju dejstva. Učenec neko stvar obvlada na nivoju avtomatizma, ko je zmožen po- dati odgovor, oziroma se odzove v pribli- žno 3 sekundah. Seštevanje in odštevanje v obsegu do 20 naj bi otroci avtomatizirali v drugem razredu, množenje in deljenje v okviru poštevanke pa v tretjem (Učni načrt 2011). Veliko učiteljev opaža, da učenci kljub temu tudi v višjih razredih še vedno štejejo na prste, si delajo oznake ali podajajo napačne rezultate. Ti učenci morda niso razvili ustreznih strategij, ki bi jim bile v pomoč. Za učitelja je izziv, da v okviru njegovega pouka vsi učenci razvijejo uporabne stra- tegije. Da bi učencem lahko pomagali strategije razvijati, pa jih moramo naj- prej sami usvojiti. Poiskati in ozavestiti moramo čim več dobrih strategij, pa četudi jih sami ne uporabljamo. terMinoloGijA V nadaljevanju bomo namesto izraza »ra- čun« uporabljali termin, ki je v slovenski literaturi že uveljavljen (Kmetič, Šavora, Frobischer, Kokol-Voljč 2001). V zgodnjem obdobju želimo od učencev, da poved v materinem jeziku, kot je npr. ‘trije sivi medvedki in še dva rjava medvedka je skupaj enako kot pet medvedkov’, zapi- šejo z matematičnimi simboli na nasle- dnji način: 3 + 2 = 5. Ker je v zgodnjem obdobju ta zapis vedno povezan s kon- kretno ponazoritvijo (ali prsti na rokah) in besednim opisom te situacije, imenu- jemo »račun« 3 + 2 = 5 številska poved seštevanja v matematičnem simboličnem jeziku (Kmetič 1999). Izogibanje besedi »račun« utemeljimo z dvema razlogoma. Prvi razlog je povezan s tem, da je v mate - matični literaturi (matematičnih člankih, srednješolskih učbenikih ,…) v navadi, da se zapisi oblikujejo v obliki povedi, četudi vsebujejo simbolne zapise enakosti. Ob koncu enačb, formul, izrazov, … so torej vedno zapisane pike. Drugi razlog je povezan s tem, da ima izraz račun v didaktični literaturi vsaj dvojen pomen: včasih pomeni številski izraz (npr. 34 - 9), včasih pa številsko enakost (34 - 9 = 25). V izogib nejasnostim bomo uporabljali za »ne izračunan« račun, kot je npr. 67 + 9, termin izraz, za »izračunan račun«, kot je npr. 67 + 9 = 76, pa številska poved. Z izrazom temeljna dejstva bomo ozna- čevali tiste številske povedi, ki jih učni načrt pričakuje na nivoju avtomatizacije oz. priklica. Izraz »aritmetična dejstva« se v slovenski literaturi že uporablja (npr. Kavkler 2007). Označuje tiste številske povedi, ki jih oseba obvlada na nivoju priklica. Pri odrasli osebi je npr. to po- ved 75 + 25 = 100. Temeljna dejstva so torej po Učnem načrtu (2012) v primeru seštevanja in množenja številske povedi, kjer nastopata seštevanca ali faktorja manjša od 10, kot je npr. 6 + 7 = 13 in 3 × 5 = 15. Kot temeljno dejstvo odštevanja obravnavamo torej 15 – 8 = 7, ker sta v pripadajočem dejstvu seštevanja oba seštevanca manjša od 10. Analogno je temeljno dejstvo deljenja, npr. 27 : 3 = 9. strAteGije PridobiVAnjA rezultAtA O različnih strategijah pridobivanja rezultata, pripadajočega temeljnim dejstvom, je bilo že mnogo zapisane- ga, vendar pozornost ni bila namenjena izključno mentalnim strategijam, ampak je bil fokus na pripadajočih konkretnih, slikovnih ali verbalnih oporah. Ko go- vorimo o priklicu, učenec običajno ne more posegati po drugih (konkretnih, verbalnih, …) strategijah, kajti v tem primeru priklic ni učinkovit. Včasih rečemo, da je potrebno dejstva znati »na pamet«. Raziskave (npr. Thevenot, Fangel, Fayot 2007) kažejo, da celo od- rasli pri temeljnih dejstvih uporabljajo različno učinkovite (mentalne) strategije; v primerih seštevanja v obsegu do 10 npr. 83 % odraslih dejstvo prikliče, če pa gre za seštevanje s prehodom prikliče dejstvo le še 46 %, ostali se zatečejo k raz- ličnim dekompozicijskim (mentalnim) strategijam (npr. razdruževanje enega izmed seštevancev). Raziskovalci se zato strinjajo, da je di- rektno poučevanje strategij pomemb- no (npr. Fuson, 1984; Beishuizen, 1993). Vsi otroci so zmožni usvojiti temeljna dejstva, tudi tisti z učnimi težavami, vendar morajo oblikovati učinkovita miselna orodja, ki jim bodo pri tem v pomoč (Kroesbergen in Van Luit, 2003). Prvošolcem so pri ugotavljanju temelj- nih dejstev v obsegu do 10 večkrat v pomoč verbalne strategije, ki temeljijo na štetju (Carpenter, Hiebert in Moser, 1981), vendar se štetje v obsegu do 20 ne izkaže več za učinkovito strategijo (Baroody, Ginsburg in Waxman, 1983), predvidoma zato, ker gre za verbalno in ne mentalno strategijo. Uporaba kon- kretnih materialov, kamor prištevamo tudi prstke, ali verbalnih opor (štetje) je nujno potrebna v fazi konceptualnega 24 didakta maj 2014 Med teorijo in prakso razvijanja pojma operacij, v procedural- nem delu pa je pričakovano, da učenec uporablja mentalne strategije brez opor, ki jih je predvidoma že ponotranjil. Po pregledu literature ugotavljamo, da v Sloveniji učence tradicionalno sezna- njamo z eno samo mentalno strategijo pri odštevanju, to je odštevanje do dese- tice. Vrednost izraza 13 - 9 izračunamo npr. tako, da najprej odštejemo tri in nato še šest, kar ponazarja zaporedno odvzemanje, pri čemer najprej odvza- memo toliko, da dobimo prvi delni re- zultat deset. V tem trenutku so učenci običajno že seznanjeni s povezavo med seštevanjem in odštevanjem, ki bi lah- ko predstavljala podlago za drug način pridobivanja vrednosti izraza 13 - 9. Po- vezavo med seštevanjem in odštevanjem so učenci že uporabljali v primerih, kjer vsote ne presegajo 10. Razliko 9 - 5 so torej že računali tako, da so ugotavljali »pet in koliko je devet«. Kljub temu pri odštevanju s prehodom v šoli zelo red- ko eksplicitno uporabimo odštevanje z dopolnjevanjem, kjer bi vrednost izraz 13 - 9 izračunali tako, da bi se vprašali »9 in koliko je 13« in nadaljevali z za- porednim dodajanjem od 9 do 13 ob upoštevanju mejnika deset tj. najprej bi dodali ena nato pa še tri ter ugotovili, da smo skupaj dodali štiri. V duhu individualizacije pouka in na učence osredotočenega pouka bi naj uči- telj učencem ponujal ponujal in predsta- vljal različne mentalne strategije, kar bi učencem omogočilo, da kasneje izbirajo tiste, ki se jim za računske situacije zdijo najprimernejše. V prispevku bomo zato najprej predstavili strategije, ki učencem pomagajo pri obvladovanju temeljnih dejstev odštevanja in nato še dejavno- sti, s katerimi te strategije utrdimo. V nadaljevanju bomo opisali metodični postopek, ki mu učitelj lahko sledi pri usvajanju in izbiranju strategij za primer odštevanja s prehodom v obsegu do 20. strAteGije zA Priklic teMeljnih dejsteV odŠteVAnjA Izkaže se, da so temeljna dejstva odšteva- nja težja kot temeljna dejstva seštevanja (Van de Walle 2004). To je še posebej res, če je edina strategija, ki jo otroci uporabljajo pri odštevanju, štetje oz. pristop, kar v primeru 13 - 5 pomeni: naštej 13; odštej 5; preštej, kar je ostalo. Ljudje uporabljamo različne strategije za priklic temeljnih dejstev odštevanja, a se jih običajno sploh ne zavedamo (me- nimo, da odgovor preprosto poznamo), npr. a) V mislih 15 - 6 izračunamo tako, da najprej odštejemo 5, kar nas pripelje do 10, nato odštejemo še 1. Dejav- nost na kateri strategija temelji je odvzemanje. To strategijo bomo zato imenovali Odvzemi skozi 10. b) Razliko 14 - 8 lahko izračunamo tako, da začnemo pri 8 in nato dopolnju- jemo do in preko 10. Dejavnost, na kateri strategija temelji, je torej do- dajanje. Razmišljamo nekako takole: osem in dve je deset ter še štiri zraven (do 14). To strategijo imenujemo Do- daj skozi 10. c) Če je odštevanec polovica zmanjše- vanca, se včasih zatečemo k strategiji imenovani Dvojčki. Npr. Pri 14 - 7 v mislih prikličemo dva krat po sedem (npr. 14 dni je dva tedna s po sedmi- mi dnevi), kar nam pove, da je v takih primerih razlika enaka odštevancu (Van de Walle 2004). Slika 1 prikazuje učinkovitost strategij za temeljna dejstva odštevanja. Vse strategije niso primerne za vsa dejstva. Za nekatera dejstva je bolj primerna le ena strategija, npr. za 12 - 3 učinkovito uporabimo strategijo Odvzemi skozi 10, ki je edina strategija, ki jo v naših šolah poučujemo. Za nekatera dejstva pa lahko izbiramo med več strategijami. Npr. za 16 - 8 lahko izberemo katero koli izmed prej navedenih strategij. Empirično je bilo ugotovljeno, da je stra- tegija Odvzemi skozi 10 posebej učinko- vita takrat, ko je razlika med enicami zmanjševanca in odštevancem majhna (npr. 15 - 6), strategija Dodaj skozi 10 pa, ko je odštevanec 8 ali 9. (Rathmell, Leutzinger Gabriele 2000). Dejstva, kjer je uporaba strategije Od- vzemi skozi 10, učinkovita, so na sliki 3 odebeljena. Dejstva, ki jih rešujemo s strategijo Dodaj skozi 10, so podčrtana, primeri Dvojčki pa so pisani ležeče. Za nekatera dejstva je težko določiti, katera strategija bi bila najustreznejša. Primer takega dejstva je 13 - 6. Prejšnji seznam strategij seveda ni po- poln, navedimo vsaj še dve strategiji. Razliko 14 – 9 (in vse podobne, kjer je odštevanec devet) lahko izračunamo s t.i. kompenzacijsko strategijo, kjer najprej odštejemo deset in nato prištejemo ena. Strategiji Dvojčki je zelo podobna stra- tegija Skoraj dvojčki s pomočjo katere lahko npr. izračunamo 13 - 6 s priklicem dejstva, da je »13 enako dvakrat šest in še ena«. Nekateri odrasli po drugi strani zaznavajo odštevanja z razliko pet kot izrazito lažja. Izraz 12 – 7 je npr. zanje »lažji« kot 13 – 7, kar razlagajo s tem, da je »sedem enako pet in dve prej kot pa štiri in tri«. Pri odnosih med števili je torej izrazito izpostavljen kot pomemb- nejši odnos obravnavanega števila do števila 5, kar je ena izmed pomembnih relacij med števili do 10 (Kaplan 2012). Prej opisano strategijo bi torej lahko poimenovali Sidranje števila 5. Priklic dejstev bi bil učinkovitejši, če bi nam pouk matematike pomagal pri tem, da bi se uporabljenih strategij zavedli, kajti v tem primeru bi lahko med njimi dejansko lahko tudi izbirali. dejAVnosti zA rAzVoj strAteGij Pripomoček. Pri razvoju števil v obsegu do 10 je upo- raben pripomoček škatla za jajca, ali v nekoliko shematizirani obliki polje 2 x 5, ki ga bomo imenovali 10-okvir (ang. 10-frame). Gre za tabelo z dvema Slika 1: Odvzemi skozi 10 didakta maj 2014 25 Med teorijo in prakso vrsticama in petimi stolpci ali obratno (podobno škatli za jajca), v katero po- lagamo ali rišemo objekte. Izbira tega pripomočka je utemeljena z empirično podkrepljeno ugotovitvijo, da je število 5 sidro oz. mejnik, ki pomaga pri kon- ceptualnem razvoju števil do 10 (Chao, Stigler, Woodward 2000). Število 5 je namreč verjetno zaradi dejstva, da ima- mo 5 prstov na vsaki roki, »pomembnej- še« od ostalih enomestnih števil. Prvi je pripomoček uporabil Robert Wirtz leta 1974, od takrat se je njegova uporaba močno razširila (Cobb idr. 1984). Število 7 seveda lahko prikažemo tudi v polju 1x10, vendar s tem ne podpiramo raz- družitve števila 7 na 5 in 2., zagotovo pa prikaz na več načinov pripomore k bogatenju nabora reprezentacij, ki jih učenec pozna. Odvzemi. Pri tej dejavnosti potrebujemo dva 10-okvirja. Prvi okvir, ki prikazuje zmanj- ševanec, je s pikami povsem zapolnjen, drugi pa delno. Predstavili bomo dejav- nost za primer 16 - 7, primerna pa je za razvoj strategije Odvzemi skozi 10 (t.j. ko je odštevanec približno enako velik kot so enice zmanjševanca). Okvirja pred- stavljata število 16. Otrok želi izračunati koliko je 16 - 7. Najprej bo odvzel 6 (tako bo prišel do 10) in nato še 1 ter prišel do rezultata. To strategijo v naših šolah poučujemo kot naravno nadaljevanje strategije dopolnjevanja do desetice, ki jo vpeljemo pri računanju s prehodom. Odštevanec torej razdružimo tako, da dosežemo delno razliko 10. Strategija za primere, kjer je odšteva- nec velik (npr. 9) ni najbolj učinkovita. Dejstvo 16 - 9 bi mnogo učinkoviteje priklicali s pomočjo strategij Dodaj skozi 10, ki temelji na odštevanju z dopolnje- vanjem. Ta strategija našim učencem žal običajno ni niti predstavljena. Dodaj. Dejavnost je primerna, ko je zmanjševa- nec velik, npr. 8 ali 9. Prikazali bomo primer 14 - 8. Uporabimo 10-okvir in vanj vrišemo 8 pik. Z učenci razpravljamo, kako bi prikazali število 14. Poudarimo idejo »za dve več«, da najprej pridemo do 10 in nato nadaljujemo do 14. Učenci k okvirju prikazanemu na sliki 2 nariše- jo 6 pik in sicer najprej dopolnijo prvi 10-okvir, nato pričnejo polniti nov okvir, ki ga učitelj doda. Ko je zmanjševanec 9, poudarjamo idejo »za ena več«. Pozorni smo na to, da učen- ci vedno najprej dopolnijo prvi okvir. Aktivnost lahko nadgradimo z uporabo prilagojene kocke. Na ploskve igralne kocke zapišemo števila med 11 in 17. Uporabimo 10-okvir, v katerega vrišemo 8 ali 9 pik. Otrok vrže kocko in od števi- la, ki ga pokaže kocka, odšteje 8 ali 9. Fotografija na sliki 2 prikazuje primer 15 - 8. Otrok bo pred sabo imel okvir z 8 pikami. Vrgel bo kocko in padlo bo število 15. Zanimalo ga bo, koliko je 15 - 8. Pogledal bo pike in videl, da manjkata 2 do 10 in še 5 do 15. Na takšen način bo ugotovil, da je razlika 7. Metodični PostoPek Učencem lahko pomagamo pri razvoju temeljnih računskih dejstev v štirih ko- rakih (Van de Walle 2004): 1. razvijanje odnosov med števili in koncepta računskih operacij Odnosi med števili igrajo pomembno vlogo pri obvladovanju temeljnih ra- čunskih dejstev. Pri iskanju vsote 8 + 6 nam lahko pomagajo naslednji odnosi med števili: osem je za dve oddaljeno od deset, dve in štiri je enako šest, deset in štiri enako 14. Operaciji seštevanja in odštevanja sta med seboj povezani. Zato učenci, ki pre- poznajo odštevanje v različnih situaci- jah, lažje izberejo učinkovito strategijo. Učenec, ki se zaveda, da lahko 13 - 9 poveže z vprašanjem »9 in koliko je 13«, ima za to na voljo vsaj dve strategiji. Obvladovanje prvega koraka je potreben pogoj za drugi korak, kajti učenci, ki nimajo razvitih odnosov med števili in ne razumejo odštevanja, se bodo v na- daljevanju predstavljenih strategij učili na pamet, česar si ne želimo. Slika 2: Dodaj skozi 10 Slika 3: Temeljna dejstva odštevanja s prehodom 11 - 2 11 - 3 11 - 4 11 - 5 11 - 6 11 - 7 11 - 8 11 - 9 12 - 3 12 - 4 12 - 5 12 - 6 12 - 7 12 - 8 12 - 9 13 - 4 13 - 5 13 - 6 13 - 7 13 - 8 13 - 9 14 - 5 14 - 6 14 - 7 14 - 8 14 - 9 15 - 6 15 - 7 15 - 8 15 - 9 16 - 7 16 - 8 16 - 9 17 - 8 18 - 9 17 - 9 26 didakta maj 2014 Med teorijo in prakso 2. razvoj učinkovitih strategij priklica dejstev skozi vajo Strategija je učinkovita, kadar jo lahko izvedemo mentalno in hitro. Štetje v višjih razredih razredne stopnje pri te- meljnih dejstvih ni več učinkovita stra- tegija. Dokler je štetje edina strategija, ki jo učenci poznajo, ne smemo pričeti s tretjim korakom. Učinkovite strategije skozi vajo razvi- jamo preko dejavnosti, ki so opisane v prejšnjem razdelku. Strategiji Odvzemi skozi 10 in Dodaj skozi 10 razvijamo skozi problemsko naravnane naloge, ki vklju- čujejo pripomočke, v katerih je desetica poudarjena, npr. škatle za jajca, snopiči s po desetimi paličicami, Dienesove kocke ali 10-okvir. Strategije razvijamo zaporedoma (po eno strategijo naenkrat). Učence je smiselno vključiti v aktivnosti drila ene strategi- je preden pričnejo razvijati (skozi pro- blemsko naravnane aktivnosti) drugo strategijo. Strategije lahko po metodi asociativnega učenja poimenujemo na učencem privlačen način, ki pa naj ima vsaj del vsebinske komponente (npr. Vza- mem za Odvzemi skozi 10 in Dodam za Dodaj skozi 10). 3. dril učinkovitih metod Pojasnimo najprej, kako razumemo razliko med vajo in drilom. Dril so po- navljajoče, ne-problemsko zastavljene aktivnosti, ki razvijajo izključno procedu- ralna znanja; medtem ko vaja s problem- sko zastavljeno aktivnostjo pripomore k razvoju pojma. Dril je primeren šele takrat, ko učenci strategijo razumejo in jo znajo uporabljati. S pomočjo drila bodo na koncu strategijo uporabljali av- tomatizirano. Dril igra pomembno vlogo pri obvladovanju priklica temeljnih ra- čunskih dejstev. Metode, kot so kartice ali dril igre, so ob modri uporabi lahko zelo učinkovite. 4. izbiranje učinkovite strategije Ta korak je verjetno najpomembnejši. Izbor strategije oziroma priklic strategije je proces, v katerem se učenec odloči, katera strategija je primerna za dano dejstvo. Mnogi učitelji, ki so poskušali poučevati strategije za priklic dejstev poročajo, da se zdi, da učenci učinkovito računajo, dokler so fokusirani na eno strategijo tj. v koraku 2 in 3 ni priča- kovati večjih težav. Takrat učitelj izbira le tista temeljna dejstva, za katera je ta strategija primerna. Če npr. razvija strategijo Dodaj skozi 10, izbira le izraze, v katerih je odštevanec 8 ali 9. Do težav pride v koraku 4, ko so izrazi pomešani in mora učenec samostojno izbirati med različnimi strategijami. V taki situaciji se mnogi učenci vrnejo nazaj k štetju. Temu se izognemo tako, da od učencev zahte- vamo, da nam povedo, katero strategijo bi uporabili. S tem učenčevo pozornost preusmerimo od iskanja rezultata k izbiranju strategije. Izvedba koraka 4, kjer so naloge zastavljene tako, da je možno izbirati med več strategijami je torej bistvenega pomena. Med učenci se bo verjetno razvila diskusija, kajti enak izraz bodo računali na različne načine. Skozi razpravo bodo razčistili svoje ideje in poglobili znanje in izražanje. zAključek Pri uvajanju sodobnih metod v pouk matematike včasih nekoliko pozabimo na pomembnost temeljnih računskih spretnosti. Avtomatizacijo računanja lažje dosežemo s poučevanjem različ- nih strategij kot pa z nesistematičnim drilom. Od učencev se konec 2. razreda pričakuje obvladovanje 72 temeljnih dej- stev seštevanja in odštevanja. Tolikšno količino nepovezanih podatkov si je tež- ko zapomniti brez uporabe mentalnih strategij. Bralcu se morda nekatere izmed stra- tegij sploh ne zdijo učinkovite. Vendar je treba poudariti, da bo večkratna za- poredna uporaba strategije, ki je popol- noma mentalna, priklic dejstva zagoto- vo avtomatizirala. Strategija omogoči miselno pot od vprašanja do rezultata. Izraz (npr. 13 - 7) in njegova vrednost (6) postaneta povezana in strategija po- stane skorajda nezavedna (mislimo, da odgovor »vemo«). Pomembno je, da se zavedamo, da učen- ci ne bodo zlahka usvojili strategij. Po- trebnih bo več zaporednih dni za eno samo strategijo, kajti učenci potrebujejo mnogo priložnosti, preden strategijo uvrstijo med sebi lastne. Nove strategi- je lahko napišemo na tablo, morda pa lahko učenci izdelajo plakat, ki naj bo razstavljen na vidnem mestu v učilnici. V nadaljevanju lahko učitelj uporabi različne igre s prilagojeno kocko ali vrtavko. Uporabi lahko tudi kartice, ki imajo na eno strani napisan izraz, na drugi strani pa njegovo vrednost. Učenci bodo še posebej radi izdelali kartice, ki bodo prikazovale temeljna dejstva, za katera so sami odkrili strategijo. Dril lahko do neke mere individualiziramo tako, da učencem omogočimo uporabo strategij, ki jih imajo rajši. Pomembno je, da učence opazujemo, poslušamo ter si zapisujemo, katere strategije upora- bljajo. Ta podatek nam bo v pomoč pri oblikovanju skupin. Prav tako pa bomo izvedeli, katere učinkovite strategije so učenci že razvili. Ljudje se učimo na različne načine, vsi pa imamo skupen končen cilj in sicer da bi se naučili ter znali. Pri tem si po- magamo z raznimi strategijami, ki nam učenje olajšajo. Vsak izmed nas si izbere svojo pot do rešitve, do cilja. Upamo, da boste s predlaganimi aktivnostmi in strategijami učencem delo olajšali in jim pokazali, da je poti do rešitve več, ter da je ta pot pomembna. Mnogi s(m)o se temeljnih računskih dej- stev naučili brez da bi bili seznanjeni s strategijami. Nekateri učenci strategije razvijejo sami, brez da bi jim jih učitelj eksplicitno povedal. Mnogo učencev pa strategij brez poučevanja nikoli ne razvije in lahko se zgodi, da imajo še v drugem triletju težave pri priklicu dej- stev kot je npr. 15 - 8. literatura Baroody, A. J., Ginsburg, H. P., Waxman, B. (1983). Children's Use of Mathema- tical Structure. Journal for Research in Mathematics Education, letn. 14, št. 3.156–168. Beishuizen, M. (1993). Mental Strategies and Materials or Models for Addition and Subtraction up to 100 in Dutch Second Grades. Journal for Research in Mathematics Education, letn. 24, št. 4. 294–323. Carpenter, T. P., Hiebert, J., Moser, J. M. (1981). Problems Structure and First-Grade Children's Initial Solution Processes for Simple Addition and Calvin IN HobBes PRIHAJA NOVA KNJIGA NAJZABAVNEJŠEGA STRIPA NA SVETU  04 5320 200  www.didakta.si  zalozba@didakta.si didakta maj 2014 27 Med teorijo in prakso Subtraction Problems. Journal for Research in Mathematics Education, letn. 12, št. 1. 27–39. Chao, S. J., Stigler, J. W., Woodward, J. A. (2000). The effects of physical materials on kindergartners’ lear- ning of number concepts. Cogniti- on and Instruction, št. 18. 285–316. Cobb, P., Wood, T., Yackel, E., Nicholls, J., Wheatley, G., Trigatti, B. & Per- lwitz, M. (1984). Assessment of a Problem-Centered Second-Grade Mathematics Project. Journal for Research in Mathematics Education, št. 22. 3–29. Fuson, K. C. (1984). More complexities in subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, št. 15. 214–225. Isaacs, A. C., Carroll, W. M. (1999). Stra- tegies for basic-facts instruction. Teaching Children Mathematics, št. 5. 508–515. Kaplan, H. A. (2012). Prospective pre- school teachers' ideas for develo- ping the number sense of children, Procedia – Social and Behavioral Sciences, št. 46. 3870–3874. Kavkler, M. (2007). Specifične učne težave pri matematiki. V: Kavkler, M., Košak Babuder, M (ur.) Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji – skriti zakladi. Ljublja- na: Društvo Bravo. 77–112. Kmetič, S., Šavora, S., Frobischer, L., Ko- kol-Voljč, V. (2001). Presečišče 1: vodnik po Presečišču 1. Ljubljana: DZS. Kmetič, S. (1999). Številske povedi in pri- prava na številsko poved seštevanja. Sodobna pedagogika, letn. 50, št. 5. 94–106. Kroesbergen, E. H., Van Luit, E. H. (2003). Mathematics Interventions for Chil- dren with Special Education Needs: A Meta-analysis. Remedial and Special Education, št.24. 97–114. Rathmell, E. C., Leutzinger, L. P., Gabrie- le, A. (2000). Thinking with numbers. Cedar Falls, IA: Thinking with Num- bers, Inc. Učni načrt za matematiko. (2011). Lju- bljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Van de Walle, J. A. (2004). Elementary and Middle School Mathematics. Bo- ston: Pearson. Thevenot, C., Fanget, M., Fayol, M. (2007). Retrieval or nonretrieval strategies in mental arithmetic? An operand recognition paradigm. Memory and Cognition, 35. 1344–1352. Kultura Prvih 5 knjig je že na knjižnih policah V okviru festivala Fabula 2011 je že na policah pet novih knjig, strokovni komisiji pa sta izmed prispelih vlog na javni razpis izbrali še deset knjig, ki bodo izšle do konca leta 2011 in so ali bodo letos naprodaj po še vedno zelo dostopni ceni 5 evrov. Na podlagi lanskih izkušenj so bili kriteriji za izbor knjig za vsakogar nekoliko spremenjeni Konceptualna zamisel je še vedno enaka: Tudi nove knjige za vsakogar bodo deležne posebne promocije, ohranjena pa bo tudi uspešna prodajna mreža v knjigarnah, knjižnicah in kulturnih ustanovah. Tokratni razpis je posebno pozornost posvetil izvirnim slikanicam in izvirni mladinski literaturi, ob tem pa še naprej tudi sodobnim proznim delom, pesniškim zbirkam, esejem in humanistiki. Obenem pa je bil razpis tudi prožnejši glede naklade posameznih knjig. Založniki so zato tokrat lahko ob kandidaturi izbirali med tremi kategorijami naklad: 5.000, 8.000 in 12.000 izvodov, pri čemer so cilji razpisa z višino subvencije precej odločno privilegirali višje naklade. Višina subvencije na naslov, ki bo natisnjen v nakladi 5.000 izvodov, znaša največ 6.000 evrov, za naklado 8.000 do 10.000 evrov, za naklado 12.000 pa do 15.000 evrov. Dosedanja prodaja knjig za vsakogar V obdobju od 23. aprila 2010 do 23. aprila 2011 je bilo skupaj prodanih 80.814 knjig, od tega v knjigarnah 51.522, v knjižnicah 24.119, v muzejih in galerijah 3.461 ter v drugih kulturnih ustanovah 1.712 knjig. Doslej je bilo skupaj prodanih 95.000 knjig, ta podatek vključuje tudi 5 knjig, ki so v okviru festivala Fabula 2011 izšle 4. aprila 2011. Izmed izdanih 21 knjig je bilo razprodanih 5 knjig: Čitanke Borisa Pahorja, Svetlane Makarovič in Slavoja Žižka (Cankarjeva založba), Tone Pavček: Čas duše, čas telesa (Slovenska matica) in pesniška zbirka Vsaka ljubezen je pesem (Društvo slovenskih pisateljev). Knjige letos stanejo 5 evrov, založniki pa so zavezani naklado po potrebi ponatisniti Edina izjema je knjiga Stephana Hessla Dvignite se!, ki bo naprodaj po 2,99 evra. Glede na povprečno ceno knjige je cena 5 evrov še vedno zelo ugodna, založnikom in prodajalcem pa olajšuje finančno konstrukcijo. Očitno se je tudi zato povečalo zanimanje založnikov za sodelovanje pri projektu, saj je na razpis prispelo 40 vlog za različne kategorije knjig; za bralce to z vsebinskega vidika pomeni še boljšo ponudbo. Izjava založnika, s katero se založnik v skladu z razpisnimi pogoji zavezuje, da je v primeru razprodane knjige pripravljen knjigo v dogovoru z Mestno občino Ljubljana in Javno agencijo za knjigo RS ponatisnit ali donatisniti, pa bo omogočila, da bodo izbrane knjige dostopne vsem, ki se jih bodo odločili kupiti. Izdajo knjig za vsakogar sofinancirata Mestna občina Ljubljana in Javna agencija za knjigo, in sicer v skupini višini 139.000,00 evrov, od tega občina 49.500,00 evrov, agencija pa 89.500,00 evrov. Mestna občina v celoti financira slikanico Bober Bor, Javna agencija za knjigo pa je v celoti sofinancirala knjige, ki so izšle v okviru festivala Fabula 2011. Tako kot pri prejšnjem razpisu bo strokovna skupina rezultate novega javnega razpisa redno spremljala. Po uspešnem lanskem letu pa je očitno, da si bralci takšnih projektov želijo. Knjige se predstavijo Študentska založba César Aira: Epizoda v življenju popotnega slikarja Protagonist Epizode v življenju popotnega slikarja je Johann Moritz Rugendas, zgodovinska osebnost, pokrajinski slikar nemškega rodu, ki je v prvi polovici 19. stoletja prepotoval dežele Latinske Amerike, da bi dokumentiral pokrajine Evropi domala neznanega sveta. Strast do raziskovanja se v izbrušenem slogu in dramatičnem stopnjevanju pripovedi prepleta s težnjo po ustvarjanju novega, po upodobitvi gibanja pokrajine skozi še neodkrit likovni izraz. Na poti iz Čila v Argentino se popotnik onesreči - skozi blodnje bolečine in blažilcev trpljenja postane njegov pogled še pronicljivejši, zgodba pa vse bolj vznemirljiva. Niccolò Ammaniti: Jaz in ti Zakaj me ne pustijo pri miru? Zakaj bi moral biti tak kot drugi? Vprašanji, ki si ju verjetno postavlja vsak adolescent. Kratki roman o odraščanju Jaz in ti pripoveduje o stiski štirinajstletnega Lorenza, ki si zato, ker ne more biti tak kot njegovi vrstniki, izmišlja načine, kako zamotiti starše, da jih ne bi skrbelo zanj. V družbo sovrstnikov se poskuša vključiti s pretvarjanjem, najprej tako, da se kot paličnjak naredi nevidnega, potem tako, da se po zunanjosti prilagodi najnevarnejšim, in končno z nedolžno lažjo, da so ga sošolci povabili na smučanje. Skozi splet okoliščin pa resničnost naposled z vso brutalnostjo vdre v njegov skrbno varovani svet in ga po hipnem opustošenju nagradi z občutjem, da je živ, da je za vrati svet, ki čaka prav nanj. Per Olov Enquist: Knjiga o Blanche in Marie Leta 1878 osemnajstletno Blanche Wittman na očetovo željo hospitalizirajo z diagnozo histerija. Zdravi jo ugledni nevrolog Jean Martin Charcot in med njima se splete ljubezensko razmerje. Po Charcotovi smrti Blanche ozdravi in se zaposli pri Marie Curie, prvi dobitnici dveh Nobelovih nagrad - za kemijo in fiziko. Zaradi posledic sevanja izgubi obe nogi in roko; kot »torzo v lastnem zaboju« pa tik pred smrtjo napiše tri »knjige vprašanj«. Skozi fragmentarni preplet dejstev in domišljije Knjiga o Blanche in Marie izriše očarljivo zgodbo o ljubezni in prijateljstvu med izjemnima ženskama v nemalokrat krutem svetu znanosti. Margriet de Moor: Virtuoz Neapelj na začetku osemnajstega stoletja. Mlada grofica Carlotta je očarana nad mestom, ki slovi kot domovina belcanta, prav posebej pa jo prevzame glas kastrata Gaspara Contisa. V Carlotti ta prelestni glas vzbudi ljubezen do vseh kastratov, ki jih vidi kot prave angele umetnosti. Srečanju sledijo tedni, polni glasbe in erotične prefinjenosti, dokler grofica ne spozna, da je s srečo tako kot z glasbo: zdaj je tu, nato izgine - nihče je ne more zadržati. Margriet de Moor, ki je študirala solopetje in klavir, v romanu Virtuoz popelje bralca v neslutene globine mita in erotike petja, na ozadju ljubezenske zgodbe pa se izrisujeta kulturno in politično življenje tedanjega časa v razburkanem Neaplju. Christoph Ransmayr: Grozote teme in ledu V središču večplastnega pustolovskega romana Grozote teme in ledu je resnična zgodba avstro-ogrske odprave na severni tečaj leta 1873. Avtentično poročilo avtor spretno preplete s fiktivno zgodbo italijanskega mladeniča Mazzinija, ki se na Dunaju navduši nad zapuščino odprave in se naposled nameni kreniti po njenih sledeh - v ledenih pokrajinah otočja Spitzbergi pa se za njim izgubi vsaka sled. Med seboj več kot sto let oddaljeni pustolovščini lahko beremo kot »kroniki neuspeha«: sla po odkritju se nam razkrije kot norost, kot nesmiselno pehanje za osebno in nacionalno slavo, severni pol pa postane »pribežališče nečimrnosti«. Dobre knjige na domačih knjižnih policah Projekt Knjige za vsakogar se nadaljuje Med najbolj prelomnimi novostmi, ki jih je na slovenski knjižni trg prinesel program Ljubljane – svetovne prestolnice knjige 2010, je projekt Knjige za vsakogar. V času od 23. aprila 2010 do 23. aprila 2011 je izšlo 21 knjižnih del različnih žanrov v nakladi 8.000 izvodov. Za 3 evre še vedno lahko kupujemo tiste lani izdane knjige, ki še niso razprodane. Naprodaj so na več kot 220 prodajnih mestih v knjigarnah, knjižnicah in kulturnih ustanovah po vsej Sloveniji, v Trstu in Celovcu. Sporočilo je še bolj razveseljivo: Mestna občina Ljubljana in Javna agencija za knjigo RS sta se na podlagi ocene lanskih rezultatov odločili, da morajo biti dobre knjige bralcem še naprej tako dostopne. Z javnim razpisom, ki ga je Oddelek za kulturo Mestne občine Ljubljana objavil 28. januarja 2011, sta strokovni komisiji Mestne občine Ljubljana in Javne agencije za knjigo RS izbrali nove kvalitetne knjige, ki jih na tem mestu nadrobneje predstavljamo. 10 Cena: 5,00 € Calvin IN HobBes Cena: 9,99 €/izvod IZID JUNIJ 2014 PRIHAJA NOVA KNJIGA NAJZABAVNEJŠEGA STRIPA NA SVETU  04 5320 200  www.didakta.si  zalozba@didakta.si