G


G









̌


G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 1 27
Mnogokotniška števila
B̌ K
Mnogokotniška števila dobimo z razporejanjem
enakih krožcev v obliko pravilnih mnogokotnikov.
Lastnosti takih števil so starodavne civilizacije ob-
čudovale še pred odkritjem pisave in zahtevnejših
matematičnih postopkov, mi pa si bomo ogledali,
kako jih narisati s pomočjo programa GeoGebra.
Trikotniška števila
Najpreprostejša mnogokotniška števila so trikotni-
ška. Za n-to trikotniško število T pnq “ npn`1q2 po-
trebujemo trikotnik z n stolpci (ali vrsticami), v ka-
terem ima vsak naslednji stolpec en krožec več kot
prejšnji. Z uporabo dvojnih zaporedij lahko triko-
tniška števila v GeoGebri narišemo z le enovrstičnim
ukazom. Namesto krožcev bomo risali kar točke in
jih nato nekoliko odebelili z orodji za obliko. Naj-
prej ustvarimo drsnik z imenom n, ki naj bo celo
število med 1 in 10. Nato ustvarimo zaporedje j “
1, . . . , n stolpcev, v katerem j-ti stolpec predstavlja
zaporedje k “ 1, . . . , j točk tako, da uporabimo ukaz
Zaporedje(Zaporedje((j,k),k,1,j),j,1,n) (glej sliko 1).
Da bodo točke zares predstavljale pravilni oziro-
ma enakostranični trikotnik, pa jih moramo še neko-
liko zamakniti. Predstavljajmo si, da točke v j-tem
stolpcu ležijo na premici skozi točko pj,1q z enot-
skim smernim vektorjem p´1{2,
?
3{2q, kar ustreza
desni stranici enakostraničnega trikotnika z
vodoravno osnovnico. Ustrezno razporeditev
dobimo z ukazom Zaporedje(Zaporedje((j,1)+(k-1)*
(-1/2,sqrt(3)/2),k,1,j),j,1,n) (glej sliko 2).
S premikanjem drsnika lahko zdaj prikažemo raz-
lična trikotniška števila, dodatno pa lahko z orod-
jem za besedilo na zaslon izpišemo tudi ustrezno
vrednost T pnq.
SLIKA 1.
Zaporedje(Zaporedje((j,k),k,1,j),j,1,n)
SLIKA 2.
Zaporedje(Zaporedje((j,1)+(k-1)*(-1/2,sqrt(3)/2),k,1,j),j,1,n)
G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 128
Splošna k-kotniška števila
Splošna mnogokotniška števila dobimo z dodajan-
jem krožcev v pravilni k-kotnik, tako da v n-tem ko-
raku na vsaki stranici leži en krožec več kot prej. Z
nekaj truda bi lahko izpeljali znano formulo za izra-
čun n-tega k-kotniškega števila Pkpnq “ n2 ppk´2qpn´
1q ` 2q, a se bomo raje posvetili potrebnim korakom
za izdelavo prikaza mnogokotniških števil z dvema
drsnikoma v GeoGebri.
SLIKA 3.
Možnih je seveda več načinov, sam pa predlagam
uporabo polarnih koordinat: ukaz (r;a) v GeoGebri
nariše točko, ki je za razdaljo r oddaljena od koor-
dinatnega izhodišča, premica skozi to točko in izho-
dišče pa z osjo x oklepa kot a. Oglišča pravilnega
petkotnika s središčem v točki p0,0q lahko zato nari-
šemo z ukazom Zaporedje((1;2*pi*j/5),j,0,4), ki raz-
deli kot 2π na pet enakih delov in označi ustrezne
točke na enotski krožnici.
Mnogokotniška števila zdaj narišemo z naslednji-
mi koraki:
Izdelamo drsnika za k in n ter označimo točko
p0,0q.
Izdelamo zaporedje n naraščajočih k-kotnikov s
skupnim krajiščem v točki p0,0q. Oglišča posa-
meznega k-kotnika pri tem narišemo z uporabo
polarnih koordinat in delitvijo kroga na k delov,
denimo Zaporedje((1;2*pi*j/k),j,0,k-1). Z uporabo
dvojnega zaporedja pa narišemo zaporedje k-kot-
nikov tako, da v vsakem koraku nekoliko pove-
čamo radij in premaknemo središče. V moji rešitvi
raste radij od 1 do n, središče pa se pomika v de-
sno od p1,0q do pn,0q. S tem smo dobili točke, ki
so na sliki zelene:
Zaporedje(Zaporedje((i,0)+(i;2*pi*j/k+pi),
j,0,k-1),i,1,n-1)
Če želimo narisati tudi stranice mnogokotnikov,
lahko posebej dodamo še ustrezno zaporedje da-
ljic, ki povezujejo dve zaporedni točki od prej:
Zaporedje(Zaporedje(Daljica((i,0)+
(i;2*pi*j/k+pi),(i,0)+(i;2*pi*(j+1)/k+pi)),
j,0,k-1),i,1,n-1)
Ukaz, s katerim so na sliki narisane zeleno črtkane
nosilke oglišč, pa prepustimo bralcu.
Narisali smo mnogokotnike, a dodati je potrebno
še delitvene točke na notranjih stranicah j-tega k-
kotnika. Delitvene točke neke daljice AB lahko do-
ločimo s pomočjo vektorske enačbe premice A `
spB ´ Aq, kjer parameter s zavzame ustrezne vre-
dnosti med 0 in 1. Ukaz Zaporedje((0,0)+s*
(1,1)/5,s,1,4) bi na primer razdelil daljico od p0,0q
do p1,1q na pet enakih delov in vrnil štiri notranje
delitvene točke. Če to idejo uporabimo za točke,
ki predstavljajo krajišča notranjih daljic mnogoko-
tnikov, bomo s tem dodali še manjkajoče točke, ki
so na sliki oranžne:
Zaporedje(Zaporedje(Zaporedje((i,0)+
(i;pi+2*pi*j/k)+s*((i;pi+2*pi*(j+1)/k)-
(i;pi+2*pi*j/k))/i,s,1,i-1),j,1,k-2),i,1,n-1)
V zadnjem koraku lahko vse skupaj še nekoliko
grafično dodelamo in s pomočjo formule za Pkpnq
tudi izpišemo željeno vrednost na zaslon.
Tako izdelano ponazoritev mnogokotniških števil
si lahko bralci ogledajo na spletnem naslovu
www.geogebra.org/classic/ukkzg4ps.
ˆ ˆ ˆ
www.dmfa.si