     
P 48 (2020/2021) 6 7
Parabola na zaključnem
izpitu Jurija Vege
M R
Jurij Vega (1754–1802) je moral leta 1775 za do-
končanje dveletnega študija na ljubljanskem liceju
opraviti obširen izpit Tentamen philosophicum. Iz-
pitne teme so bile natisnjene v latinščini na 52-ih
straneh, od katerih je bilo 26 strani posvečenih ma-
tematiki, 20 strani fiziki in štiri strani logiki ter me-
tafiziki. Vega je zaključni izpit opravil z odliko. O
svojem študiju na ljubljanskem liceju pa je kasneje
zapisal, da vstop v to učilišče spada med najsreč-
nejše dogodke njegovega življenja.
Ogledali si bomo dve trditvi o paraboli iz poglavja
o stožnicah v Tentamenu. Domnevamo lahko, da je
izpitna komisija od kandidatov pričakovala natanč-
no poznavanje trditev, njihovo razlago in morda tudi
dokaz. Ker tedanjih postopkov reševanja natanko
ne poznamo, bomo najprej ponovili nekaj osnovnih
pojmov in trditvi predstavili v današnjem jeziku.
Pri stožnici so nam znani pojmi: teme, gorišče, vo-
dnica, tetiva, tangenta in simetrala. V Vegovem času
so parameter parabole imenovali dolžino tiste tetive,
ki poteka skozi gorišče, pravokotno na simetralo pa-
rabole. Danes imenujemo parameter parabole polo-
vico te dolžine in jo označujemo s p.
Poznali so tudi pojem premera ali diametra para-
bole. To je vsak poltrak, ki ima krajišče na para-
boli in poteka vzporedno z njeno simetralo po no-
tranjosti parabole. Izraz premer parabole je smiseln,
če imamo parabolo za v neskončnost razpotegnjeno
elipso, pri čemer premer elipse preide v premer para-
bole. Vsako tetivo skozi središče elipse imenujemo
premer ali diameter elipse.
Parabolo najlaže obravnavamo v analitični obliki.
V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu
Oxy postavimo njeno teme v koordinatno izhodišče
O, gorišče pa v točko Fpp{2,0q. Vodnica parabole
je premica x “ ´p{2, enačba parabole pa se glasi
y2 “ 2px.
Vedeti pa je treba tudi, da ima tangenta na para-
bolo y2 “ 2px v točki T pξ, ηq enačbo ηy “ px`pξ.
Pri tem je seveda η2 “ 2pξ. Kako pridemo do enačbe
tangente? Poljubna premica, ki poteka skozi točko
T pξ, ηq, ima enačbo x´ξ “ kpy´ηq, kjer je k realno
število, ki ga je treba določiti tako, da bo ta premica
imela s parabolo eno samo skupno točko, in sicer
T pξ, ηq. Iz enačbe premice izrazimo x “ kpy´ηq`ξ,
kar vstavimo v enačbo parabole in dobimo kvadratno
enačbo za y :
y2 “ 2pkpy ´ ηq ` 2pξ “ 2pky ´ 2pkη` η2.
Preuredimo in razstavimo:
y2 ´2pky`2pkη´η2 “ py´ηqpy`η´2pkq “ 0.
Enačba ima rešitvi y1 “ η in y2 “ 2pk´η. Iz zahteve
y1 “ y2 “ η dobimo k “ η{p. Iskana tangenta ima
torej enačbo x´ξ “ py´ηqη{p oziroma ηy “ px`
pξ. Zdaj se lahko lotimo naših nalog.
Tentamen, Naloga CLXII.
Naj bo t tangenta v temenu parabole, d pa tangenta
v presečišču parabole s poljubno vzporednico s1 si-
metrale s parabole. Če se premica t1, ki je vzporedna
t, in premica d1, ki je vzporedna d, sekata v točki na
paraboli, potem je ploščina trikotnika, omejenega s
t1, d1 in s, enaka ploščini pravokotnika, omejenega s
t, t1, s in s1 (slika 2).
Dokaz.
Zapišimo točke s koordinatami T pξ, ηq, T 1pξ1, η1q. Pri
tem je ξ ě 0 in ξ1 ě 0. Upoštevati je treba tudi,
     
P 48 (2020/2021) 68
SLIKA 1.
Naslovnica zbirke izpitnih vprašanj z imeni članov komisije in
kandidatov, med katerimi je tudi Jurij Vega (Georgius Veha).
Naslovnica ni brez tiskarskih napak.
da veljata relaciji η2 “ 2pξ in η12 “ 2pξ1. Enačbe
sodelujočih premic so:
ptq x “ 0, pt1q x “ ξ1, psq y “ 0,
ps1q y “ η, pdq ηy “ px ` pξ,
pd1q ηpy ´ η1q “ ppx ´ ξ1q.
Naj bo B presečišče premic t1 in s, C pa presečišče
premis s in d1. Potem je razlika abscis točk C in B
SLIKA 2.
Trikotnik in pravokotnik sta ploščinsko enaka.
enaka ´ηη1{p. Trikotnik BCT 1 je pravokotni s kate-
tama |BC| “ |ηη1|{p in |BT 1| “ |η1|. Njegova ploščina
je
SpBCT 1q “
1
2
|BC| ¨ |BT 1| “
1
2p
|ηη12| “ ξ1|η|.
Pravokotnik DABO pa ima stranici |OB| “ ξ1 in
|AB| “ |η| in ploščino
SpDABOq “ |OB| ¨ |AB| “ ξ1|η|.
Torej je res SpBCT 1q “ SpDABOq, kar je bilo treba
dokazati.
Tentamen, Naloga CLXV.
Naj bo t tangenta v temenu parabole, d pa tangenta
v presečišču parabole s poljubno vzporednico s1 si-
metrale s parabole. Če se premica t1, ki je vzporedna
t, in premica d1, ki je vzporedna d, sekata v točki na
paraboli, potem je ploščina trikotnika, omejenega s
t1, d1 in s1, enaka ploščini paralelograma, omejenega
z d, d1, s in s1 (slika 3).
Dokaz.
Ohranimo oznake premic prve trditve. Sedaj je točka
B presečišče premice s1 in d1, C pa presečišče premic
s1 in t1. Razlika abscis točk C in B je |ηpη ´ η1q{p|,
razlika ordinat točk T 1 in c pa |η ´ η1|. Trikotnik
BCT 1 je pravokotni s katetama |BC| in |CT 1|, njegova
ploščina je
SpBCT 1q “
1
2
|BC| ¨ |BT 1| “
1
2p
|η|pη´ η1q2.
     
P 48 (2020/2021) 6 9
SLIKA 3.
Trikotnik in paralelogram sta ploščinsko enaka.
Stranica paralelogramaDABT je |TB| “ |ξ´ξ1´ηpη´
η1q{p|, višina nanjo pa |η|. Ploščina paralelograma je
torej
SpDABT q “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
pξ ´ ξ1q ´
ηpη´ η1q
p
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
¨ |η|
“
1
2p
|η|pη´ η1q2.
Pri tem smo upoštevali relaciji η2 “ 2pξ in η12 “
2pξ1. Torej je res SpBCT 1q “ SpDABT q, kar je bilo
treba dokazati.
Radovedni bralec z znanjem latinščine bo v Ten-
tamenu našel še več zanimivih trditev o parabolah.
Ena izmed njih je tudi naslednja. Njen dokaz prepu-
ščamo bralcem.
Tentamen, Naloga CLXVI.
Tangenta na parabolo v krajišču premera, ki poteka
skozi središče katerekoli njene tetive, je vzporedna
tej tetivi. Ta premer razpolavlja vse tetive, ki so tej
tetivi vzporedne.
Tentamen je dosegljiv na spletni povezavi www.
dlib.si/details/URN:NBN:SI:DOC-TQDP2BPU.
ˆ ˆ ˆ
www.dmfa-zaloznistvo.si
10. evropska
dekliškamatema-
tična olimpijada
B̌ K
Med 9. in 15. aprilom 2021 je, zaradi pandemije,
na daljavo v organizaciji Gruzije potekala Deseta
evropska dekliška matematična olimpijada (EGMO).
Sodelovalo je 213 tekmovalk iz 54 držav. Slovenijo
so zastopale Katarina Grilj (SŠ Slovenska Bistrica, Gi-
mnazija), ki je osvojila bronasto medaljo, in Lana Pri-
jon (Gimnazija Bežigrad), Kaja Rajter (II. gimnazija
Maribor) ter Tjaša Sušnik (Gimnazija Kranj). Dijaki-
nje so se na tekmovanje pripravljale tudi na celole-
tnih pripravah, ki jih pod okriljem DMFA Slovenije iz-
vajajo bivši tekmovalci, med njimi Ana Meta Dolinar
in Luka Horjak, ki sta tokrat poskrbela tudi za brez-
hibno izvedbo tekmovanja v Plemljevi vili na Bledu.
V uredništvu vsem čestitamo in dodajamo dve nalogi
iz tekmovanja. Ostale naloge in rešitve najdete na
spletni strani EGMO, www.egmo.org.
Naloga 1. Število 2021 je čudovito. Če je katerikoli
element množice tm,2m ` 1,3mu čudovit za neko
pozitivno celo število m, potem sta tudi ostala dva
elementa čudovita. Ali je število 20212021 čudovito?
(Angelo Di Pasquale, Avstralija)
Naloga 5. V ravnini leži točka O, ki jo imenujemo
izhodišče, in naj bo P neka množica 2021 točk v rav-
nini, za katero velja:
poljubne tri različne točke iz P ne ležijo na skupni
premici;
poljubni dve različni točki iz P ne ležita na skupni
premici skozi O.
Trikotnik z oglišči v P imenujemo debel, če leži točka
O strogo znotraj trikotnika. Določite največje mo-
žno število debelih trikotnikov. (Veronika Schreitter,
Avstrija)
ˆ ˆ ˆ