IZ RAZREDA
20
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Od sladkorja do odvajanja
Vid Kavčič, Srednja šola Črnomelj  
Mentorica: Katarina Pavlakovič
Izvleček
Naloga o škatlici in njeni prostornini je zaznamovala moja zadnja štiri leta šolanja na Osnovni šoli Loka Čr-
nomelj. V šestem razredu mi je nalogo podala učiteljica matematike Darinka Rogina. S takratnim znanjem ni-
sem mogel kaj prida računati. Zato sem se naloge lotil s praktičnim raziskovanjem. A skozi leta vse praktično 
preide v teoretično − na s črnilom popackan list papirja s srednješolsko matematiko.
V svoji raziskovalni nalogi sem obdelal reševanje ene na videz preproste naloge na več načinov na različnih 
stopnjah znanja. Ocenjeval sem, igral sem se s sladkorjem, računal prostornino kvadrov, s pomočjo GeoGebre 
risal grafe funkcij ter se seznanil z limitami in odvodi, nato pa odvod še posplošil. Tako najnižja kot tudi naj-
višja stopnja znanja imata prednosti in slabosti, ki sem jih preučil v raziskovalni nalogi.
Ključne besede: odvod, raziskovanje pri matematiki, prostornina
From Sugar to Derivation
Abstract
The task including a box and its volume made a lasting impression on me during my last four years of primary 
school. I was given this task in sixth grade by my mathematics teacher Darinka Rogina, but the knowledge I 
had at the time was not very useful so I decided to approach it with practical research. However, over time all 
practical knowledge becomes theoretical – presented on an ink stained piece of paper with secondary school 
mathematics. 
In my research paper, I approached the solving of an apparently simple task in various ways at different kno-
wledge levels. I was estimating, playing with sugar, calculating the volume of a rectangular solid, using GeoGe-
bra to draw graphs of mathematical functions, became acquainted with limits and derivatives and generalised 
the derivatives. Both the highest and the lowest knowledge level have their strengths and their weaknesses that 
were the subject of my research paper. 
Keywords: derivative, research in mathematics, volume
Uvod
Nekaj let nazaj, ko sem bil še v šestem razredu, mi je učiteljica 
matematike zastavila zelo zanimivo nalogo.
Dan je list papirja v obliki kvadrata s stranico 15 cm (slika 1).  
Iz vsakega vogala kvadrata izrežemo kvadrat s stranico x. 
Tako lahko preostalo zložimo v škatlico. Pri katerem x je pros- 
tornina škatlice največja?
T akrat še nisem imel veliko matematičnega znanja, zato sem škat- 
lice kar naredil in ugotavljal, kdaj je prostornina škatlice največja.
Učiteljica me je vsako leto spomnila na to nalogo in vsako leto 
sem lahko izračunal nekaj več. Prav vsako znanja šteje; konec 
šestega razreda je prinesel prostornino kvadra, v osmem razredu 
smo matematiko posplošili z x in ostalimi spremeljivkami, v de- Slika 1

IZ RAZREDA
21
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
vetem razredu smo se seznanili s funkcijami in grafi, v drugem 
letniku gimnazije je na sporedu kvadratna enačba, zadnjo stop- 
njo pa predstavlja odvod − zanj mi je učiteljica povedala letos. 
Ker me je zanimala matematično korektna rešitev, sem začel pre-
birati o odvodu in posegel po njem.
Nalogo sem rešil na več možnih načinov in vsakega podrobno 
preučil.
Razisk ovanje − 1. del:  
Ocenjevanje pri matematiki
Najbolj osnovno je, da samo ocenimo, kdaj ima škatlica največ- 
jo prostornino, če imamo škatlice pred seboj in jih vidimo. T u 
znanje matematike ni zelo pomembno; pomembna je iznajdlji-
vost in občutek.
O problemu sem najprej razmislil. Prostornina gotovo ni največ- 
ja, ko je x = 1 cm, saj je spodnja ploskev škatlice v tem primeru 
sicer velika, toda škatlica je visoka zgolj 1 centimeter. Prav tako 
škatlica ne bo imela največje prostornine, ko je x = 7 cm, saj 
je spodnja ploskev v tem primeru izredno majhna (zgolj 1 cm
2
), 
pa čeprav je škatla visoka.
Zato sem iz papirja izdelal škatlice za x = 1 cm, x = 2 cm,  
x = 3 cm, x = 4 cm, x = 5 cm, x = 6 cm in x = 7 cm. Škatlice z  
x = 8 cm ni mogoc ˇe narediti, saj bi morala biti v tem primeru 
dolžina kvadrata večja od 16 cm. Ko sem videl, kako posamezna 
škatlica izgleda v prostoru, sem videl, da so med večjimi prav goto-
vo tiste škatlice pri x = 2 cm, x = 3 cm in x = 4 cm, nisem pa si upal 
trditi, v katero bi lahko spravili največ ... česar vendar?
Raziskovanje − 2. del:  
Sladka matematika
Porodila se mi je ideja, da bi vsako škatlico napolnil s sladkorjem 
in jo stehtal ter ugotovil, pri katerem x je masa sladkorja največja, 
v kateri škatlici je največ sladkorja.
Ugotavljanje največje prostornine s sladkorjem
Potrebujemo:
• sedem škatlic, za katere smo porabili kvadratni list papirja 
velikosti 15 cm × 15 cm; višin od 1 do 7 cm;
• kilogram navadnega belega sladkorja zadostuje. Lahko bi 
bila uporabljena tudi sol ali kava, ampak da bo matematika 
bolj sladka, sem se odločil za sladkor;
• digitalno tehtnico, ki mora biti čim bolj natančna za boljše 
meritve;
• papir in svinčnik za zapisovanje meritev.
Meritve gotovo niso zelo verodostojne, saj je izmerjena masa od-
visna od tega, kako dobro smo škatlico zapolnili, poleg tega pa 
tudi zaradi prepogibov pri izdelavi škatlic njihova prostorina ni 
nujno točno tak, kot bi želeli − lahko je malce večji ali manjši. 
Poleg tega pa so škatlice narejene iz lepenke, ki vpliva na maso. 
Podatke sem zbral v spodnji preglednici.
Preglednica 1: Mase škatlic s sladkorjem x.
Škatlica Slika Masa
x = 1 cm m
1
 = 165 g
x = 2 cm m
2
 = 244 g
x = 3 cm m
3
 = 245 g
x = 4 cm m
4
 = 202 g
x = 5 cm m
5
 = 130 g
x = 6 cm m
6
 = 58 g
x = 7 cm m
7
 = 9 g
Moja predvidevanja so bila dobra, največjo maso ima škatlica za 
x = 3 cm, torej lahko sklepamo, da ima tudi največjo prostornino. 
Nato pa sem primerjal tudi velikosti kupčkov sladkorja, ki sem 
jih usul na mizo. Videl sem, da je tretji kupček (z leve) največji, 
kar je potrdilo tehtanje. A to nas ne sme prepričati, lahko gre za 
optično prevaro.

IZ RAZREDA
22
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Raziskovanje − 3. del:  
Pri matematiki prostornino računamo
Izračunamo lahko tudi, katera škatlica ima največjo prostornino, 
a je za to potrebno znanje za izračun prostornine kvadra. Pot- 
rebna je tudi mahjhna matematična spretnost za izračun robov 
posameznega kvadra, torej znanje šestega razreda osnovne šole.
Prostornina kvadra
V = a ∙ b ∙ c
V našem primeru je c = x, saj gre za višino kvadra (oziroma 
pravilne štiristrane prizme), dno škatlice je kvadrat, zato velja  
a = b = 15 − 2x. Za vsako škatlico sem izračunal najprej dolžino 
robov, nato pa še prostornino.
Slika 2: Kupčki sladkorja s škatlicami.
Preglednica 2: Prostornine škatlic za posamezen x.
Mreža Slika Prostornina
x = 1 cm
a = 15 − 2 · 1 = 13 cm 
b = a = 13 cm
c = x = 1 cm
V = 1 · 13 · 13 cm
3
 = 169 cm
3
x = 2 cm
a = 15 − 2  ·  2 = 11 cm 
b = a = 11 cm
c = x = 2 cm
V = 2  ·  11  ·  11 cm
3
 
= 242 cm
3
x = 3 cm
a = 15 − 2  ·  3 = 9 cm 
b = a = 9 cm
c = x = 3 cm
V = 3  ·  9  ·  9 cm
3
 
= 243 cm
3
x = 4 cm
a = 15 − 2  ·  4 = 13 cm 
b = a = 7 cm
c = x = 4 cm
V = 4  ·  7  ·  7 cm
3
 
= 196 cm
3

IZ RAZREDA
23
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
T udi tu ugotovimo, da ima škatlica največjo prostornino, ko je  
x = 3 cm.
R azisk o v anje − 4. del:  
Pri matematiki rišemo grafe
Prostornino škatlice opisuje funkcija, ki jo lahko izračunamo. 
Prostornino škatlice moramo najprej zapisati splošno. Slednje 
lahko zapišejo že učenci 8. in 9. razreda osnovne šole, a potem 
se za ta nivo znanja reševanje naloge ustavi. Učenci se na koncu  
9. razreda seznanijo s funkcijami in grafi funkcij, zato je ta pri-
meren za 9. razred, le da je malo zahtevnejši. Upoštevamo, da je 
a = 15 − 2x in v = x.
V = a
2
 
· v = (15 − 2x)
2
 
· x = (225 − 60x + 4x
2
) · x = 4x
3
 
− 60x
2
 
+ 225x
Da narišemo graf te funkcije, s katerega odčitamo prostornino 
in iskani x, lahko uporabimo tehnologijo − GeoGebro ali spletno 
stran Desmos.
Z grafa razberemo, da je največja prostornina V = 250 cm
3
 pri 
x = 2,5 cm. Ta rešitev je sicer izvirna in primerna za 9. razred 
osnovne šole, a matematično nekorektna. Ni nujno, da smo z 
grafa odčitali prav – naše oči imajo namreč omejeno natančnost.
Zanimivo, da rešitev našega problema gotovo ni naravno število 
2 ali 3, s prejšnjimi reševanji smo ugotovili, da je prostornina 
največja pri x = 3 cm, toda to ni res.
Rešitev naloge sem ocenil in jo rešil s poskušanjem na dva načina 
ter z malo bolj zanimivo taktiko s pomočjo tehnologije. Bilo je 
zabavno, a v matematiki je matematično korektni dokaz obve-
zen. Zato sem se lotil še višjega nivoja za reševanje te naloge − 
torej odvoda, ki ima za svojo prefinjenost precej zabavno ime. 
Obelal sem teoretične osnove, naredil nekaj primerov, saj je s 
pomočjo primerov vse skupaj lažje razumeti.
Uvedimo odvajanje kot drugi pomen
Z odvodom se, kot pravijo, prava matematika šele začne. A prva 
stvar, ki jo na internetu lahko najdemo o odvodu, je to:
Mreža Slika Prostornina
x = 5 cm
a = 15 − 2  ·  5 = 5 cm 
b = a = 5 cm
c = x = 5 cm
V = 5  ·  5  ·  5 cm
3
 
= 125 cm
3
x = 6 cm
a = 15 − 2  ·  6 = 3 cm
b = a = 3 cm
c = x = 6 cm
V = 6  ·  3  ·  3 cm
3
 
= 54 cm
3
x = 7 cm
a = 15 − 2  ·  7 = 1 cm 
b = a = 1 cm
c = x = 7 cm
V = 7  ·  1  ·  1 cm
3
 
= 7 cm
3

IZ RAZREDA
24
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Takoj sem se vprašal, kaj pomeni tisti lim in spodaj h → 0. Stvar 
sem razčistil, a se v to nisem poglabljal, saj sem predvideval, da 
za rešitev naloge to ni prav zelo pomembno.
Limite
Limita funkcije v neki točki a je število, ki se mu vrednost funk-
cije f (x) približuje, ko se vrednost spremenljivke x približuje da-
nemu številu a.
Limito funkcije v točki a označimo lim
x→a
 f (x), kar beremo: limi-
ta f (x), ko gre x proti a.
Če imamo torej na grafu neke funkcije točko a, je limita vrednost 
funkcije, ko se koordinata x približuje a. To lahko zelo nazorno 
prikažemo na grafu.
Če poznamo a, lahko limito izračunamo; x se približuje a, ko pa 
pride do a, velja x = a. Toda pri nekaterih funkcijah se x približu-
je a, a tja nikoli ne pride − kar pa je zelo zanimivo – zato upora-
bimo izraz: ko gre x poti a. Naredil sem tudi nekaj primerov, da 
sem si stvar razjasnil.
a) Samo izračunamo vrednost funkcije za x = 2.
b) Če bi v tem primeru izračunali vrednost funkcije za x = 2, bi 
dobili deljenje z 0, ki v matematiki ni definirano, zato mora-
mo najprej funkcijo poenostaviti. Funkcija pri x = 2 tako ni 
definirana.
c) Funkcija za x = 4 ni definirana, saj pridemo do deljenja z 0. 
Tako lahko x približujemo 4, a tja nikoli ne bo prišel, saj je za 
x = 4 funkcija nedefinirana. Vrednost funkcije bo tako, ko gre 
x proti 4, vedno večja, v takem primeru govorimo o neskonč-
ni limiti.
č) Če x pošljemo proti ∞, se vrednost x seveda veča. Vrednost 
funkcije pa se ne bo bistveno večala, približevala se bo 2. Če 
izračunamo vrednost funkcije pri večjih x, bo vrednost ved- 
no malo manj kot 2. Poleg tega pa lahko to vidimo tudi na 
grafu. V takem primeru govorimo o limiti v neskončnosti.
Definicija odvoda
Na funkciji f (x) ležita dve točki T
1
 (x
1
, y
1
) in T
2
 (x
2
, y
2
). Skozi 
točko T
2
 poteka tangenta, skozi točki T
1
 in T
2
 poteka sekanta. Naj 
bo razlika koordinat x
2
 in x
1
 enaka nekemu h, torej x
2
 − x
1
 = h. 
Zanima nas, kdaj bo naklon sekante enak naklonu tangente − ko 
bo h = 0, ko bosta točki sovpadali.
Naklon sekante lahko izračunamo. Uporabimo dejstvo, da je  
x
2
 − x
1
 = h.
Odvod funkcije f (x) je enak smernemu koeficientu tangente pri 
nekem x. Odvod funkcije je enak limiti diferenčnega količnika, 
ko gre h proti nič:
Pa smo pri zapisu, ki sem ga omenil že v uvodu. Vprašanje pa je, 
kaj pomeni tista črtica (f'(x)). S črtico označimo odvod funkci-
je. Sicer pa lahko odvod označimo tudi drugače. Znameniti fizik 
Isaac Newton je odvod označil s pikico: y˙ (y = f (x)), ta zapis se 
uporablja predvsem v fiziki. Matematik Euler pa je za zapis od-
voda uporabil diferencialni operator D, odvod funkcije je zapisal 
kot D f .
Stvar sem tudi narisal. Dana je funkcija f (x) = x
2
. Zanima nas 
naklon tangente, ko je x = 2. Ta je enak naklonu sekante, ko gre h 
proti 0. Uporabimo enačbo (1).
Slika 3: Za lažjo predstavo odvoda.
Vstavimo h = 0.
f'(x) = h + 2x = 0 + 2x = 2x

IZ RAZREDA
25
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Naklon tangente je pri poljubnem x enak 2x, v našem primeru pa 
je to 2 · 2 = 4. Tudi tu sem naredil še nekaj primerov. S pomočjo 
definicije sem izračunal odvode.
a) f (x) = 3x
Vemo, da je naklonski koeficient v tem primeru 3 − gre na-
mreč za linearno funkcijo, naklon je konstanten. Naklon 
nam pri linearni funkciji pove smerni koeficient. Kaj pa po-
kaže odvod?
Vidimo, da tudi odvod pokaže, da je naklonski koeficient  
k = 3.
b) f (x) = 2x
2
 + 4x
Vstavimo h = 0.
f'(x) = 4x + 2 · 0 + 4 = 4x + 4
Izračun odvoda
Pri odvajanju s pomočjo enačbe (1) lahko zelo kmalu naletimo 
na težave. Že ko imamo opravka s funkcijami 4. stopnje, se stvar 
zelo zaplete, saj moramo računati 4. potence, kar pa ni najbolj 
praktično. Zato za odvajanje obstaja lažji način.
Funkcijo, ki vsebuje en člen, odvajamo tako, da najprej s potenč-
nim eksponentom pomnožimo koeficient člena, nato pa ekspo-
nent zmanjšamo za 1.
Da sem osvojil to veščino, sem naredil tudi nekaj primerov. 
(a) f (x) = 5x
5
 f' (x) = 5 · 5 · x
5 – 1 
= 25x
4
(b) f (x) = 1,5x
6
 f' (x) = 1,5 · 6 · x
6 – 1 
= 9x
5
(c) f (x) = 3x
–1
 f' (x) = 3 · (−1) · x
–1 – 1
 = −3x
–2
Pravila za odvajanje
Odvajanje enočlenika je sila enostavno, pri odvajanju več členi-
kov, kvocientov, zmnožkov pa se stvar hitro zaplete, zato obstaja-
jo pravila za odvajanje.
Odvod konstante
Odvod konstante je enak 0 za vsako realna število x. Stvar lahko 
dokažemo s pomočjo definicje odvoda (c je konstanta):
Ker je odvod prav vsake konstante enak 0, pri integriranju, ki je 
nasprotna operacija odvoda, ne smemo pozabiti na konstanto, ki 
jo označimo s c. Nikoli namreč ne vemo, za katero število gre, saj 
je odvod vsake konstante 0.
Odvod vsote
Odvod vsote dveh ali več funkcij je enak vsoti odvodov posame-
znih funkciji. Enako velja za odvod razlike.
Primer:
f (x) = 2x
4
 + 3x
3
 + 4x
2
 + 5x + 102
f' (x) = 2 · 4x
3
 + 3 · 3x
2
 + 4 · 2x + 5x
0
 = 8x
3
 + 9x
2
 + 8x + 5
Odvod produkta
Odvod produkta dveh funkcij je enak vsoti produktov odvoda 
prve in druge funkcije ter prve funkcije in odvoda druge funk-
cije.
Pri treh funkcijah je odvod tega produkta enak vsoti:
Splošno lahko odvajanje produkta zapišemo tako:
Primer:
Odvod kvocienta
Odvod količnika izračunamo tako, da od produkta odvoda štev-
ca in imenovalca odštejemo produkt števca ter odvoda imeno-
valca. Slednjo razliko moramo deliti še s kvadratom funkcije v 
imenovalcu. Matematično:

IZ RAZREDA
26
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Tabela odvodov
Nekaterih odvodov preprostno ne moremo izračunati in jih mo-
ramo poznati kot, na primer, odvodov kotnih funkcij. Zato po-
trebujemo tabelo odvodov.
Preglednica 3: Tabela odvodov
V tabelo sem vključil samo pomembnejše odvode.
Uporaba odvoda
Prvi odvod
Glede na to, da odvod pove naklon tangente v neki točki x
0
, lah-
ko sklepamo, da:
1. Ko je odvod večji od 0, je funkcija naraščajoča, saj je naklon 
tangente takrat pozitiven.
2. Ko je odvod manjši od 0, je funkcija padajoča, saj je naklon 
tangente takrat negativen.
3. Ko je enak 0, vemo, da gre za neko stacionarno točko − ne 
vemo ničesar o naraščanju in padanju.
Med stacionarnimi točkami lahko poiščemo lokalne ekstreme:
a) če je odvod levo pozitiven in desno negativen, ima funkcija v 
točki x
0
 lokalni maksimum; 
b) če je odvod levo negativen in desno pozitiven, ima funkcija v 
točki x
0
 lokalni minimum;
c) če se predznak odvoda pri prehodu skozi točko ne spremeni, 
funkcija nima lokalnega ekstrema.
Ničle prvega odvoda nam pomagajo pri določanju lokalnih  
ekstremov.
Drugi odvod
Če nismo prepričani, ali smo našli lokalni minuimum ali lokalni 
maksimum, nam pride prav drugi odvod. Če je drugi odvod v 
stacionarni točki:
a) večji od 0, je v točki x
0
 lokalni minimum;
b) manjši od 0, je v točki x
0
 lokalni maksimum;
c) če je enak 0 ne moremo trditi, da je v točki x
0
 dosežen lokalni 
ekstrem, in tudi če je, ne vem, kateri.
Kvadratna enačba
Pri iskanju ničel odvodov večkrat naletimo na enačbo oblike:
ax
2
 + bx + c = 0, 
rečemo ji kvadratna enačba.
Z osnovnošolskim znanjem take enačbe ni moč rešiti. V tem pri-
meru lahko uporabimo naslednjo formulo:
V enačbi a predstavlja koeficient x
2
, b koeficient x
1
, c pa koefici-
ent x
0
 – konstanto. Enačbo je treba nujno preizkusiti na primeru.
Primer: Poišči rešitvi enačbe.
Raziskovanje − 5. del:  
Brez odvajanja ne gre
Slika 4
Pridobil sem veliko znanja s področja odvajanja. Ugotovil sem, 
da celo dovolj za nalogo učiteljice Rogine. Postopek pridobivanja 
znanja je bil zelo zanimiv; nekaj podatkov sem našel na interne-
tu, nekaj so mi namignili drugi učitelji, tako da sem se lotil reše-
vanja naloge, zaradi katere sem obdelal poglavje četrtega letnika 
gimnazije.
Reševanje
Prostornino škatlice sem nekaj razdelkov nazaj že zapisal sploš- 
no, a bom račun zapisal še enkrat. Upoštevamo, da je a = 15 – 2x 
in v = x. 

IZ RAZREDA
27
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Zanima nas največja možna prostornina, torej maksimum funk-
cije 4x
3
 − 60x
2
 + 225x. Ekstreme funkcij nam pove 1. odvod.
Zdaj izračunamo ničli odvoda funkcije. Dobili bomo vrednost x 
za največjo in najmanjšo vrednost funkcije – prostornine. Upo-
rabimo kvadratno enačbo.
Kaj je kaj?
Dobili smo dve rešitvi. Vsaka predstavlja nekaj: Če v prvotno 
funkcijo (protornina) vstavimo eno izmed njih, bomo dobili naj-
večjo ali najmanjšo prostornino. Uporabili bomo drugi odvod, ki 
pove, ali gre za lokalni maksimum ali minimum.
Vstavimo oba x.
Pri x
1
 je vrednost pozitivna, kar pomeni, da gre za lokalni mi-
nimum, pri x
2
 pa je vrednost negativna, kar pomeni, da gre za 
lokalni maksimum. Kar pa je logično; pri x
1
 = 7,5 cm prostorine 
škatlice tako rekoč ni; saj smo porabili ves papir. Tako da za izra-
čun največje prostornine potrebujemo x
2
 = 2,5 cm.
Izračunajmo prostornino.
Zanimivo, da s poskušanjem na začetku nisem prišel do pravega 
rezultata. Največja prostornina škatlice ni za x = 3 cm, ampak za 
x = 2,5 cm. Ravno zaradi tega poizkušanje v matematiki ni pripo-
ročljivo. Pravo rešitev je treba dobiti z nekim postopkom, ne pa z 
računalniškim poskušanjem!
Raziskovanje − 6. del:  
V matematiki posplošujemo
Vprašal sem se, ali lahko nalogo rešujemo še na višjem nivoju. 
Ali lahko stvar še malo zakompliciramo? Zakaj namreč ne bi 
komplicirali, če pa lahko.
Stvar lahko posplošimo. V matematiki vedno skušamo priti do 
karseda splošnih rezultatov in to je še višji nivo te naloge.
Poljuben kvadrat
Imejmo kvadrat s stranico a, kjer iz vsakega vogala izrežemo  
4 manjše kvadratke s stranicami x. Spet najprej zapišemo pros- 
tornino.
Odvajamo in pazimo, da je a parameter.
Uporabimo kvadratno enačbo.
Prostornina je najmanjša pri , saj takrat škatlice praktič-
no ni, prostornina je torej vedno večja pri .
Dobljena splošna zapisa preizkusimo na našem konkretnem pri-
meru, kjer je a = 15 cm.
Vidimo, da je dobljena rešitev povsem enaka prejšnji, konkretni.

IZ RAZREDA
28
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Poljuben pravokotnik
Nalogo lahko rešimo tudi za pravokotnik. Začnemo s prostor-
nino.
Iz izkušenj vem, da je največja prostornina x
2
.
Preverimo, ali dobljeno deluje. Vidimo, da zapisa za splošen a in 
b nista prav lepa, zato bi bilo še najbolje, če privzamemo, da je a 
= b = 15 cm. Tako je:
Ugotovitve
Nalogo sem rešil na več načinov; vsak je primeren za določeno 
starostno stopnjo oziroma razred/letnik osnovne/srednje šole 
(gimnazije). Znanja, ki so pri vseh teh potrebna, sem zbral v spod- 
nji preglednici. Določil sem nivoje znanja in dodal, za katero sta-
rost (razred, letnik) je način primeren.
Preglednica 4: Naloga za vse starosti
Nivo Znanje
prvi nivo (tudi mlajši otroci) ocenjevanje prostornine
drugi nivo (5., 6. razred) izdelovanje škatlic in 
tehatanje sladkorja
tretji nivo (konec 6. razreda, 
7. razred)
računanje prostornine škatlic
četrti nivo (8., 9. razred) izračun prostornine splošno
peti nivo (9. razred, 1. letnik) graf funkcije
šesti nivo (2. letnik) kvadratna enačba
sedmi nivo (4. letnik) odvod
Za reševanje naloge na višjih nivojih ni nujno potrebno samo 
znanje tega nivoja, ampak velikokrat tudi znanje nižjih. (Pri viš-
jem nivoju je treba prostornino izračunati splošno in uporabiti 
kvadratno enačbo.) Za vsako strategijo sem opisal pozitivne in 
negativne strani tega nivoja.
Ocenjevanje
Ocenjevanje je prav gotovo ena zelo pomembnih zmožnosti 
za vsakega človeka. Tako je ta način za mlajše (in tudi starejše) 
zagotovo primeren, saj na ta način razvijajo svojo prostorsko 
predstavljivost in občutek − ta je izredno pomemben. A z ocen- 
jevanjem ne moremo priti niti do približnih ugotovitev, kaj šele 
natančnih, kar je njegova negativna plat.
Izdelovanje škatlic in tehtanje
Način, pri katerem je škatlice treba izdelati in nato stehtati slad-
kor v njih, je za učence zelo atraktiven. Če smo pri izdelavi škat- 
lic in tehtanju natančni, dobimo dokaj točne rezultate, a prav 
točnih nikakor ni moč najti. Posotopek je tudi zelo zamuden.
Računanje volumna škatlic
Računanje volumna za posamezen x je primerno za učence 6. (in 
tudi 7.) razreda, saj se navezuje na njihovo učno snov. Tu lahko 
brez pomislekov določimo, katera od obravnavanih škatlic ima 
največjo prostornino. A vseh možnih škatlic pač ne moremo 
preveriti, saj jih je neskončno mnogo. Kljub temu da poznamo 
natančne prostornine za vsa ustrezna naravna števila, postopek 
poizkušanja ni matematično korekten, a je učencem osnovne 
šole blizu.

IZ RAZREDA
29
Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019
Splošni zapis volumna in uporaba tehnologije  
za izris grafa
V 8. in 9. razredu lahko prostornino škatlice zapišemo splošno. 
V 9. razredu pa se prvič srečamo s funkcijami in grafi funkcij. 
Če se znajdemo, uporabimo tehnologijo, naredimo graf in od-
čitamo iskani x. Toda ne moremo biti prepričani, da je rešitev 
točna, saj jo zgolj odčitamo. Rešitev je zanimiva, a matematično 
še nepopolna.
Odvod in posplošitve
Le z odvodom lahko nalogo rešimo matematično korektno, a 
marsikateremu učencu oziroma dijaku ta predstavlja nekaj zah-
tevnega in se zgrozi ob pogledu na komplicirane matematične 
zapise. Zato ta rešitev učencem in dijakom načeloma ni tako bli-
zu, a je edina matematično pravilna.
Posploševanje je del matematike, zato je nadgradnja s posplo-
šitvijo zelo zanimiva, a seveda nekaterim učencem in dijakom 
nedostopna in mogoče suhoparna.
Zaključek
V raziskovalni nalogi sem prikazal raziskovanje oziroma reševanje istega problema na več načinov, ki so pri-
merni za različne starostne stopnje; od 5. razreda osnovne šole, do četrtega letnika gimnazjije. Zanimivo je, da 
lahko vsako pridobljeno znanje pomaga pri reševanju naloge, a za popolno rešitev je potreben odvod.
Viri in literatura
Cedilnik, A. (2006). Matematični priročnik. Radovljica: Didaktika.
Pagon, B. (2010). Odvod. Seminarska naloga. Ljubljana: Fakulteta za matematiko in fiziko. Ogled: 14. 3. 2018. Dostopno na: http://wiki.
fmf.uni-lj.si/images/7/73/Odvod.pdf.
Škarba, A. Odvod. Spletna stran: Astra.si. [ogled: 14. marec 2018]. Dostopno na: http://astra.si/category/odvod/.
Škarba, A. Limite. Spletna stran: Astra.si. [ogled: 14. marec 2018]. Dostopno na: http://astra.si/category/limite/.
Odvod. Wikipedija, prosta enciklopedija. [ogled: 14. 3. 2018]. Dostopno na spletnem naslovu: https://sl.wikipedia.org/wiki/Odvod.