2 1 Uvod Dne 14. septembra 2015 je kolaboracija LIGO prvič uspela detektirati gravitacijsko valovanje [1], ki ga je Einstein v svoji splošni teoriji relativnosti napovedal že leta 1916. Z analizo signala in primerjavo s teoretično napovedjo so ugotovili, da je gravitacijsko valovanje priš- lo iz dveh črnih lukenj, krožečih okoli skupnega težišča, ki sta se na koncu zlili v eno samo črno luknjo. T ako so z meritvijo gravitacijskega valovanja hkrati tudi prvič ne- dvoumno potrdili obstoj črnih lukenj, saj so pri doteda- njih opazovanjih na obstoj črnih lukenj lahko sklepali le posredno, preko opazovanja elektromagnetnega sevanja zvezd, gibajočih se v bližini črnih lukenj. Dne 15. junija 2016 so zaznali podoben pojav in s tem potrdili uspeš- nost projekta. Lahko rečemo, da je projekt LIGO odprl novo okno za opazovanje dogajanj v vesolju, ki nam uteg- ne ponuditi priložnost, da zaznamo celo dogajanja ob samem velikem poku. V članku skušamo predstaviti probleme, povezane z de- tekcijo gravitacijskih valov, in pojasniti, zakaj je detek- cija tega valovanja neprimerno zahtevnejša od detekcije Gravitacijski valovi dr. Bojan Golli Oddelek za fiziko in tehniko, Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani Povzetek Z odmevnim odkritjem gravitacijskih valov leta 2015 so hkrati tudi nedvoumno potrdili obstoj črnih lukenj. V članku na elementarnem nivoju predstavimo teoretske osnove splošne teorije relativnosti, ki so pomembne za razumevanje nastanka in detekcije gravitacijskih valov in lastnosti črnih lukenj. Na nekaj zgledih ocenimo značilne velikosti koli- čin, povezanih z izviri valovanja, in poudarimo podobnosti in razlike med elektromagnetnim in gravitacijskim valo- vanjem. Ob tem pojasnimo, zakaj so ravno črne luknje praktično edini možni izvir valovanja, ki ga je mogoče zaznati. Ključne besede: gravitacijsko valovanje, splošna teorija relativnosti, črne luknje Gravitational Waves Abstract The resounding discovery of gravitational waves in 2015 has also confirmed beyond doubt the existence of black holes. This article presents on an elementary level the theoretical foundations of general relativity necessary to understand the origin and detection of gravitational waves, as well as some properties of black holes. A few examples are used to asses some typical quantities related to the source of the waves, and the similarities and differences between electro- magnetic and gravitational waves are highlighted. This helps us to understand why black holes are essentially the sole candidates for sources of detectable gravitational waves. Keywords: gravitational waves, general theory of relativity , black holes elektromagnetnega valovanja. Predstavili bomo izvire gravitacijskega valovanja in princip detekcije. Ob tem bomo naredili nekaj preprostih računskih zgledov na srednješolskem nivoju, s katerimi bomo skušali pona- zoriti značilne mehanizme in oceniti velikosti količin, povezanih z gravitacijskim valovanjem. Orisali bomo osnovne predpostavke splošne teorije relativnosti in predstavili fizikalno količino, metrični tenzor, s katero opišemo gravitacijsko valovanje. V zadnjem delu bomo obravnavali sistem dveh črnih lukenj, krožečih okoli skupnega težišča, in sistem primerjali z dobro znanim sistemom Zemlje in Sonca. S pomočjo klasične mehani- ke bomo kvantitativno ilustrirali razliko med izsevanim energijskim tokom in s tem povezano stabilnostjo prvega in drugega sistema teles. Upamo, da bo članek pripomogel k temu, da učitelji tako v srednjih kot tudi v osnovnih šolah dobijo nekoliko te- meljitejši vpogled v fizikalno ozadje dogajanj v povezavi z gravitacijskim valovanjem, ki bodo v naslednjih letih in desetletjih verjetno v središču zanimanja strokovne in laične javnosti. Nobelov a N agrada za fiziko, 2017 Fizika v šoli 3 Strokovni prispevki 2 Klasična gravitacija in EM-polje Gravitacijsko valovanje se širi skozi prazen prostor s svet- lobno hitrostjo, tako kot elektromagnetno (EM) valovan- je. Zato je poučno potegniti vzporednice med obema va- lovanjema. Če primerjamo elektrostatsko in gravitacijs- ko silo dveh delcev na medsebojni razdalji r, ugotovimo, da imata obe sili enako obliko, in , (1) le da je pri gravitacijski sili produkt mas teles namesto produkta nabojev in gravitacijska konstanta G namesto indukcijske konstante ε 0 . A obstaja pomembna razlika: električna (in magnetna) sila deluje le med nabitimi delci, gravitacijska pa med vsemi delci; EM-sila je lahko privlačna ali odbojna, gravitacijska pa le privlačna. Raz- lika je tudi v velikosti: če primerjamo obe sili med pro- tonoma, je gravitacijska za faktor manjša od elektrostatske. Vpliv gravitacije zato zaznamo le pri makroskopskih telesih, saj v nevtralnem atomu ali molekuli negativni naboj atomskega oblaka izniči pozitivni naboj jedra. T udi če makroskopsko telo na- elektrimo, je presežek pozitivnega ali negativnega nabo- ja v primerjavi s celotnim pozitivnim nabojem jeder (ali negativnim nabojem vseh elektronov) dovolj majhen, da izračunani faktor ne pride do izraza. V vesolju je to edi- na sila, ki deluje na večjih razdaljah. Kaj niha pri gravitacijskem valovanju? Najenostavnej- ši odgovor je gravitacijsko polje – a kako pojasnemo, da valovanje vzdržuje konstanten energijski tok pri širjenju skozi prostor? Pri EM-valovanju niha elektromagnetno polje; pri tem nihanje električnega polja inducira nihan- je magnetnega polja, to pa ponovno nihanje električnega polja … – tako kot to izhaja iz Maxwellovih enačb. Elek- trično in magnetno polje sta torej drugo drugemu izvir in vzdržujeta druga drugo pri potovanju skozi pros- tor. Izvir gravitacijskega polja je v klasični fiziki masa, zato pri gravitacijskem polju ne vidimo mehanizma, ki bi vzdrževal gravitacijsko valovanje. Gravitacijsko polje mora biti veliko bolj kompleksno, kot ga poznamo iz klasične fizike. Popoln opis gravitacijskega polja je podal Einstein leta 1916 v okviru splošne teorije relativnosti. Izviri in detekcija valovanj Najpogostejši in najpreprostejši izvir EM-valovanja v makroskopskem svetu je dipolna antena, v kateri niha električni naboj. V ravnini, pravokotni na anteno, niha električno polje vzporedno z anteno, magnetno polje pa pravokotno na električno polje in hkrati pravokotno na smer širjenja valovanja. V alovanje detektiramo z drugo dipolno anteno, v kateri električno polje požene tok. Ker pri gravitaciji ni različno predznačenih nabojev, ne moremo najti ekvivalenta dipolni anteni. Časovno spre- menljivo gravitacijsko polje je lahko posledica krožečih masivnih teles ali eksplozije velikih razsežnosti, na pri- mer eksplozije supernove. Zemlja, ki kroži okoli Sonca, ustvarja v prostoru gravita- cijsko polje, ki periodično niha. Pa lahko takšno časovno spremenljivo polje proglasimo za gravitacijsko valovan- je? Kot bomo spoznali v nadaljevanju, količina, ki opi- suje gravitacijsko valovanje, ustreza gravitacijskemu po- tencialu. 1 Zapišimo, kako se gravitacijski potencial dveh teles z enakima masama m 1 = m 2 = m, ki krožita na razdalji r = 2a okoli skupnega težišča, spreminja na večji oddaljenosti R o r v ravnini kroženja (glej sliko 1): . m 1 a a m 2 r 1 r 2 R ϕ Slika 1: Izpeljava časovno odvisnega gravitacijskega potenciala dveh enakih krožečih teles. S časom se spreminjata razdalji r 1 in r 2 . Odvisnost je vse- bovana v kotu ϕ = ωt, če je ω kotna hitrost teles pri kroženju. Iz slike razberemo , pri čemer velja predznak – za r 1 in + za r 2 . Za potencial potem sledi: . Za R o r lahko oba izraza razvijemo v T aylorjevo vrsto do tretjega člena 2 in upoštevamo . Dobimo . (2) T retji člen v (2) je edini časovno odvisni člen in je to- rej iskani časovno odvisni potencial. Harmonično niha z dvojno frekvenco kroženja in pojema s tretjo potenco 1 Gravitacijski potencial, ki ga čuti telo z maso m 2 v polju druge mase m 1 , je , če je r razdalja med (središčema) teles. 2 . 4 razdalje. Ker pričakujemo, da je gostota izsevanega ener- gijskega toka odvisna od kvadrata amplitude, bi to po- menilo, da gostota pojema s šesto potenco razdalje. Do- bljeni rezultat torej ne ustreza valovanju, ki ga iščemo, saj pričakujemo, da bo gostota obratno sorazmerna s kvadratom razdalje, tako kot pri EM-valovanju, pri kate- rem se energijski tok ohranja pri širjenju skozi prostor. 3 Gravitacijsko valovanje mora imeti bogatejšo strukturo, kot je skalarna količina V, ki določa klasični gravitacijski potencial. Povejmo, da bi dobili podoben rezultat, če bi računali samo spreminjajoče se električno polje dipola. Šele ko v igro vključimo magnetno polje, dobimo valo- vanje, pri katerem se ohranja energijski tok. Detekcija Kako detektiramo prisotnost gravitacijskega polja? Opa- zovalec na Zemlji ima na razpolago kar nekaj metod: stopi na tehtnico in izmeri svojo težo, meri nihajni čas matematičnega nihala ali čas padanja telesa z določene višine. Kaj pa astronavt, ki se, denimo, približuje nezna- nemu planetu v vesoljski ladji z ugasnjenim motorjem? V bližini planeta pod vplivom privlačne sile prične nje- gova ladja pospeševati; ker pa sila deluje enako na vsa telesa v ladji, se vsa telesa gibljejo enako kot prej in pri- sotnosti sile ne more opaziti. Na prvi pogled se zdi to nenavadno: a spomnimo se, da so astronavti, ki krožijo v vesoljski postaji nizko nad Zemljo, v breztežnem stanju, čeprav se gravitacijska sila na višini 300 km nad površ- jem le malo zmanjša glede na vrednost pri tleh. V okviru klasične mehanike opišemo odsotnost gravitacijske sile v pospešenem sistemu z vpeljavo sistemske sile, ki ima smer negativnega pospeška, s katerim se sistem giblje, po velikosti pa je enaka pospešku, pomnoženemu z maso telesa. Po drugi strani astronavt, zaprt v vesoljski ladji, z nobeno od omenjenih metod ne more ugotoviti, ali miruje na planetu s težnim pospeškom g ali pa se je začela ladja pos- peševati s pospeškom a = – g. T akšen razmislek je Eins- teina vodil pri formulaciji splošne teorije relativnosti, ki jo bomo orisali v naslednjem poglavju. Prosto padajoči opazovalec torej ne more izmeriti teže, ki deluje na njegovo telo oziroma na telesa v okolici. T o pa ne pomeni, da ne more zaznati prisotnosti gravita- cijskega polja. Opazovalec izkoristi dejstvo, da se silni- ce gravitacijskega polja gostijo, ko se približuje izviru. Če meri silo, ki deluje na razsežno telo, ugotovi, da sila ni enaka v vsaki točki razsežnega telesa: na točke, ki so bližje središču izvira, deluje večja sila kot na točke, ki so od središča bolj oddaljene; na dve, med seboj oddalje- ni točki na enaki oddaljenosti od središča, pa sili nista vzporedni. Razlika sil zato skuša telo raztegniti v smeri, vzporedni s smerjo gravitacijske sile, v prečni smeri pa skrčiti. Učinek ocenimo za sistem štirih teles z enakimi masami m, povezanih s togimi prečkami z dolžino l = 2a, kot kaže slika 2, v gravitacijskem polju telesa z maso M, ki je za R oddaljen od težišča sistema. V elikosti sil na sliki 2a) ocenimo v aproksimaciji a n R: . a) a a a a R F x –F x ϕ F 1 F 3 F 2 F 4 R 2 + a 2 b) a a a a –F x –F y F x F y Slika 2: Sile na štiri telesa v nehomogenem gravitacijskem polju. Na sliki a) sistem miruje glede na vir polja, na sliki b) sistem pros- to pada pod vplivom privlačne gravitacijske sile. 3 Površina ploskve, S, skozi katero se širi valovanje, narašča s kvadratom razdalje od izvira, zato je energijski tok skoznjo, P = jS, konstanten, če gostota toka j pojema obratno sorazmerno s kvadratom razdalje. Če se valovanje širi enakomerno v vse smeri, je ploskev kar površje krogle s polmerom R in je S površina krogle, S = 4πR 2 . Fizika v šoli 5 Strokovni prispevki Upoštevali smo za x n 1. Podobno iz- peljemo F 4 = F 0 + F y . V vodoravni smeri velja , v navpični pa . Če sistem prosto pada s pospeškom , deluje na vsako telo še sistemska sila . Rezultante sil so prikazane na sliki 2b). V smeri gravitacijske sile skuša rezultanta sil sistem raztegniti, v prečni pa skrčiti. Opisane sile so razlog za plimo in oseko na Zemlji; go- vorimo o plimskih silah. Detektor gravitacijskega polja torej meri spremembo gravitacijskega polja preko deformacije telesa v dveh prečnih smereh. Če ne vemo, v kateri smeri je izvir pol- ja, jo lahko določimo tako, da poiščemo smer, v kateri je razteg telesa največji. V primerjavi z dipolno anteno, pri kateri je velikost sile na enega od nabojev kar eE, 4 je ob- čutljivost gravitacijskega detektorja veliko manjša; v elek- tričnem primeru je sorazmerna z R – 2 , v gravitacijskem pa z R – 3 , če je R razdalja med telesom in izvirom polja. Vidimo, da poleg šibkosti gravitacijske sile v primerjavi z elektromagnetno dodatno težavo pri detekciji gravitacijs- kega valovanja predstavlja relativno slabša občutljivost detektorja. 3 Oris splošne teorije relativnosti 3.1 Metrični tenzor Štirirazsežni prostor Einstein je pri formulaciji relativnostne teorije izhajal iz predpostavke, da se pri prehodu v opazovalni sistem dru- gega opazovalca transformira tudi čas. Posledično čas ni absolutna količina, ki bi bila neodvisna od opazovalca in bi za vse opazovalce tekla enako. Zato je smiselno vpel- jati čas kot četrto koordinato in trirazsežni prostor pos- plošiti v štirirazsežnega. Posplošeni vektorji so določeni s četverico koordinat. Časovno koordinato običajno pom- nožimo s svetlobno hitrostjo, tako da ima enako enoto kot krajevne koordinate. V ektor četverec zapišemo kot = (ct, x, y, z); točki v štirirazsežnem prostoru pravimo dogodek [2]. Pri prehodu v sistem drugega opazovalca transformacijo opišemo z matriko 4×4, ki je upodobitev Lorentzove transformacije. Ko imata opazovalna sistema S in Sʹ vzporedni osi x in se drugi sistem Sʹ giblje s hitrost- jo v v smeri osi x, se čas in koordinata x transformirata z znanimi zvezami: (3) Invarianta V splošnem je invarianta vsaka količina, ki se pri pre- hodu iz enega v drug opazovalni sistem ohranja. V tri- razsežnem prostoru je invarianta velikost vektorja. Za vektor , ki ga določata točki in , invarianto zapišemo kot (4) Na prvi pogled bi sklepali, da dobimo invarianto v štiri- razsežnem prostoru tako, da izrazu (4) prištejemo kvad- rat časovne koordinate, a se hitro pokaže, da tak izraz ni invarianten na Lorentzove transformacije. Invarian- ten izraz dobimo, če spremenimo predznak časovnemu členu: invarianta. (5) Fizikalni pomen invariante (5) pojasnimo na nasled- njem zgledu. Različni opazovalci, ki se gibljejo v raz- ličnih smereh, opazujejo isto letalo pri letu med dve- ma značilnima legama. Izmerijo različne hitrosti letala in različen čas potovanja . V endar je za vse opazovalce izraz (6) enak. V sistemu opazovalca na opazovanem letalu se le- talo ne giblje, zato je v x = v y = v z = 0 in velja . (7) Invariantna količina torej predstavlja kvadrat časa, pom- noženega z –c 2 , ki ga meri opazovalec v sistemu, ki se giblje skupaj z opazovanim telesom. T a čas imenujemo lastni čas in invarianto lahko zapišemo v obliki (8) V zvezi razpoznamo znano enačbo za podaljšanje časa. Če na uri, ki se giblje skupaj z opazovanim telesom, pre- teče sekunda, preteče za opazovalca, za katerega se telo giblje s hitrostjo se- kunde. Metrični tenzor Izraz za invarianto (5) zapišimo z vektorji četverci v obliki stolpcev: (9) Vpeljali smo metrični tenzor z elementi: (10) in kompaktni zapis koordinat x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z. Na prvi pogled se zdi vse skupaj precej odvečna komp- likacija zaradi enega samega predznaka, a zavedati se 4 Tudi nehomogeno električno polje lahko povzroči kvadrupolno deformacijo, ki pa ne igra tako pomembne vloge pri detekciji valovanja kot dipolna. 6 moramo, da postane v splošni teoriji relativnosti metrični tenzor ključna količina, ki določa lastnosti prostora. Ob prisotnosti mase (energije) v prostoru se metrični tenzor spremeni in matrični elementi postanejo odvisni od po- razdelitve mase v prostoru. Metrični tenzor (10) pravzaprav redefinira običajni skalarni produkt dveh vektorjev. Prostor vektorjev ni običajen vektorski prostor, pač pa govorimo o prostoru Minkowskega. Metrični tenzor (10) definira ravni prostor Minkowskega, torej prostor brez prisotnosti masnih te- les. Ob prisotnosti masnih teles se tenzor spremeni: (11) elementi h mn merijo odmik od tenzorja ravnega prostora. Govorimo o ukrivljenem prostoru. Ukrivljenosti prostora v treh in štirih dimenzijah si ne moremo predstavljati; lahko pa si predstavljamo ukrivljenost ploskve, na pri- mer Zemljinega površja. Premike po površju, ki so veli- ko manjši od Zemljinega polmera, lahko obravnavamo kot gibanje v ravnini; pri premikih, ki merijo več deset kilometrov, pa približek ni več dober: velika ladja, ki plu- je proti obzorju, se na večji oddaljenosti kar »potopi« v morju. Gravitacijsko polje torej opišemo s tenzorjem, zato je tudi izvir polja tenzor. Poleg komponente, ki predstavlja maso oziroma polno energijo, je izvir polja tudi krajevni del četverca gibalne količine in (trirazsežni) napetost- ni tenzor. Glavni prispevek pride od prve komponente – polne energije. Polje (tenzor h) in izvire povezujejo Einsteinove enačbe, ki pa jih tu zaradi zahtevnega mate- matičnega formalizma, v katerem so zapisane, ne bomo navajali [3]. 3.2 Šibko gravitacijsko polje Gravitacijsko polje planeta ali zvezde je na vseh oddalje- nostih šibko, če ga primerjamo z gravitacijskim poljem blizu površja nevtronske zvezde ali črne luknje. Na do- gajanja najbolj vpliva ukrivljenost v časovni koordinati, saj enoti časa, sekundi, ustreza razdalja 3 · 10 8 m, (tri- razsežni) enoti razdalje pa le 1 m. V tem približku lahko pri zapisu invariante upoštevamo popravek le v prvem členu: (12) T u je r razdalja do središča nebesnega telesa; premiki x… morajo biti majhni v primerjavi z r in ct. Za ma- trični element h 00 sledi iz Einsteinovih enačb Spomnimo se, da je izraz – GM/r kar klasični gravitacijs- ki potencial. (Klasični gravitacijski potencial ima enoto m 2 /s 2 tako kot c 2 , zato je h 00 res brezdimenzijska količi- na.) Matričnim elementom h mn v enačbi (10) pravimo zato kar gravitacijski potenciali, saj se od klasičnih koli- čin razlikujejo le za konstanto c 2 /2. Ocenimo vrednost h 00 na površju Zemlje in Sonca; Ze- mlja ima maso M = 6 · 10 24 kg in polmer r = 6,4 · 10 6 m, Sonce pa 2 · 10 30 kg in 7,5 · 10 8 m: T ako kot smo v prejšnjem razdelku izpeljali podaljšan- je časa iz izraza za invarianto, lahko na enak način iz- peljemo podaljšanje časa v gravitacijskem polju. Prvi opazovalec naj bo na površju Zemlje, drugi daleč proč od Zemlje v ravnem prostoru. Oba naj mirujeta, torej x = y = z = 0. Iz (5) in (7) sledi (13) Če je t čas, ki ga izmeri ura na površju Zemlje, izmeri oddaljeni opazovalec daljši čas. Mislimo si, da opazova- lec na Zemlji vsako sekundo, merjeno po svoji uri, pošlje signal oddaljenemu opazovalcu. Oddaljeni opazovalec prejema signale v intervalih t, ki so večji od ene sekun- de. Sklepa, da teče ura na Zemlji počasneje kot njegova. Razlika je v primeru Zemlje zelo majhna – relativna raz- lika meri ravno polovico h 00 –, a merljiva. Ekstremno močno gravitacijsko polje je v bližini črne luk- nje. Polmer črne luknje r s je določen ravno s pogojem h 00 = 1, od koder sledi r s = 2 GM/c 2 . Ura v ladji, ki se približuje površju črne luknje, r ® r s , teče za opazoval- ca v ravnem prostoru vedno počasneje in se na površju povsem ustavi. 4 Gravitacijsko valovanje 4.1 Opis ravnega gravitacijskega valovanja Količina, ki opisuje gravitacijsko polje, je metrični ten- zor, pravzaprav odmiki od metričnega tenzorja ravnega prostora, h mn . Ravni val EM-polja opišemo z nihanjem vektorjev in v med seboj pravokotnih smereh v rav- nini, pravokotni na smer širjenja valovanja. Pri detekciji statičnega gravitacijskega polja smo v prvem poglavju omenili, da je deformacija, ki jo povzroči nehomogeno gravitacijsko polje, kvadrupolnega značaja. T akšno de- formacijo opišemo s tenzorjem v ravnini, pravokotni na smer širjenja valovanja. Če usmerimo os z v smer širjenja valovanja, ima metrični tenzor v (sicer) ravnem prostoru obliko [4] (14) pri čemer V elja w = c k in k = 2p/l. Če sta izvir valovanja dve tele- si, krožeči okoli skupnega težišča, je frekvenca valovanja enaka dvojni frekvenci kroženja, tako kot smo v prvem poglavju izpeljali iz klasičnih enačb. Izraz za gostoto energijskega toka izpeljemo v okviru splošne teorije relativnosti. T ega se seveda ne bomo lo- tili, lahko pa s pomočjo analogije z EM-valovanjem in Fizika v šoli 7 Strokovni prispevki preprostim razmislekom pridemo do kvalitativne oblike enačbe. Gostoto energijskega toka v EM-valovanju v va- kuumu zapišemo kot če sta E 0 in B 0 amplitudi nihanja električnega in magnet- nega polja. Po analogiji sklepamo, da je gostota energijs- kega toka tudi pri gravitaciji odvisna od kvadrata ampli- tude, ne vemo pa, ali je odvisna od valovne dolžine ozi- roma frekvence. Konstantni faktor se izraža z osnovnimi fizikalnimi konstantami in brezdimenzijskim geomet- rijskim faktorjem. Naravnih konstant, povezanih z gra- vitacijo, imamo le malo na izbiro; poleg svetlobne hitro- sti c le še gravitacijsko konstanto G =6,7 · 10 -11 kg -1 m 3 s -2 . Odvisnost od konstant in frekvence lahko ugotovimo z dimenzijsko analizo. Geometrijski faktor v izrazu pa nam lahko da le korektna izpeljava iz Einsteinovih enačb za gravitacijsko polje. Iskani izraz iščemo z nastavkom (15) V emo še, da sta amplitudi brezdimenzijski količini. Eno- ta za j, W/m 2 , izražena z osnovnimi enotami, je kgs -3 . Izenačimo enote na levi in desni Hitro se prepričamo b = – 1, g = 2 in a = 3. T orej Izpeljava iz Einsteinovih enačb da K = p/8. Prvo, kar opazimo, je kvadratna odvisnost od frekvence, kar je drugače kot pri EM-valovanju, a enako kot pri zvoku. Ocenimo velikost gostote, tako da proste parametre pos- tavimo na enotne vrednosti, n = 1 Hz, + =1. Do- bimo Vrednost je ogromna, a očitno smo privzeli nerealno ve- likost za amplitudo, saj je že statična vrednost h 00 v bliži- ni Zemlje velikostnega reda 10 -10 . Poleg tega je frekvenca 1 Hz za značilne časovne spremembe v vesolju znatno prevelika. V EM-valovanju se prepletata električno in magnetno polje in drugo drugega vzdržujeta, tako da se energijs- ki tok pri širjenju skozi prazen prostor ohranja. Kaj pa ohranja energijski tok pri gravitacijskem valovanju? Gravitacijsko valovanje nosi energijo, gibalno količino in tlak; torej količine, ki nastopajo v Einsteinovih enačbah v splošni teoriji relativnosti in prestavljajo izvir gravita- cijskega polja. T ako kot EM-valovanje je zato tudi gravi- tacijsko valovanje lahko samemu sebi izvir. 4.2 Gravitacijsko valovanje iz sistema dveh krožečih teles Za celotni energijski tok, ki ga izseva sistem teles z ma- sama m 1 in m 2 , ki krožita okoli skupnega težišča na med- sebojni razdalji r, je mogoče izpeljati izraz v kompaktni obliki [5]: (16) pri čemer je w kotna hitrost kroženja (krožna frekvenca). Sistem Zemlja-Sonce. Zanimivo je izvrednotiti izraz (16) za sistem Zemlje in Sonca. 5 Dobimo presenetljivo majhno vrednost P = 200 W . Vsekakor pa na račun te moči Zemlja izgub- lja energijo in razdalja do Sonca se zmanjšuje. Ocenimo energijo Zemlje pri kroženju okoli Sonca. 6 Sestavljena je iz kinetične in gravitacijske: Iz Newtonovega zakona za kroženje sledi in končno (Mehanska) energija je negativna, ker je sistem vezan – tako kot je negativna energija vezanega elektrona v vodi- kovem atomu. Iz rezultata lahko ocenimo, za koliko se vsako leto zaradi izsevane energije zmanjša radij krožen- ja. V elja Če je (relativna) sprememba polmera dovolj majhna, lahko diferenciale nadomestimo s spremembami pol- mera in časa. Ocenimo relativno zmanjšanje polmera v enem letu (t = 1 leto): kar je popolnoma zanemarljivo tudi v milijardi let. Kot zanimivost izračunajmo še valovno dolžino valovanja: l = c/n = ct 0 /2, torej ravno pol svetlobnega leta. Sistem dveh črnih lukenj. Iz enačbe (16) sledi, da moč narašča s peto potenco mas in je obratno sorazmerna z razdaljo na enako potenco. Če bi torej hoteli iz sistema dveh krožečih teles dobiti dovolj močan signal, primeren za opazovanje na velikih 5 Nalogo so reševali srednješolci na izbirnem tekmovanju za olimpijsko ekipo v letu 2016. 6 Pravzaprav bi morali upoštevati tudi kinetično energijo Sonca, a se lahko hitro prepričamo, da je zanemarljiva. 8 razdaljah, bi morali biti masi zelo veliki, razdalja med njima pa zelo majhna. Zanimivi so torej objekti, ki so zelo masivni in imajo majhno velikost. Zvezde in planeti ne pridejo v poštev, edini objekti, ki imajo pri masi, večji ali primerljivi z maso Sonca, dovolj majhno velikost, so nevtronske zvezde in črne luknje. Nevtronska zveza ima gostoto primerljivo z gostoto jedrske snovi – kavna žlička takšne snovi tehta 5 milijard ton – in premer velikostne- ga reda 10 km pri masi dveh Sonc. Črne luknje nasta- nejo iz nestabilnih masivnih nevtronskih zvezd. Polmer je določen z zvezo r S = 2 Gm/c 2 , ki smo jo omenili že na koncu drugega poglavja. Mejna masa, pri kateri se nevtronska zvezda že sesede v črno luknjo, je okoli tri Sončeve mase. Oba opazovana sistema, pri katerih so zaznali gravitacijs- ko sevanje, sta sestavljali dve zelo masivni črni luknji. Ocenimo razmere pri dveh enakih črnih luknjah z ma- sama po 30 Sončevih mas, kar približno ustreza situa- ciji pri prvem opazovanem pojavu. Polmer takšne črne luknje je 80 km. S klasično mehaniko ocenimo velikost sistema pri značilni frekvenci valovanja n n = 40 Hz, ki jo je oddajal sistem pri prvem pojavu. Najprej izračunajmo razdaljo med telesoma, r, če kro- žita okoli skupnega težišča s frekvenco n = n n /2. Za- pišimo Newtonov zakon za gibanje telesa po krožnici s polmerom r/2: (17) Razdalja je smiselna, saj je večja od polmera teles. Za izsevano moč dobimo Podobno kot pri kroženju Zemlje okoli Sonca ocenimo energijo sistema; tokrat upoštevamo kinetični energiji obeh teles in potencialno energijo para. Radialni pospe- šek v enačbi (17) izrazimo s hitrostjo in od tod takoj do- bimo kinetično energijo enega telesa: Skupno energijo dobimo tako, da kinetični energiji obeh teles prištejemo medsebojno potencialno energijo: Podobno kot v prejšnjem primeru izračunajmo spre- membo polmera pri enem obratu, t = t 0 =1/n: Zmanjšanje polmera je znatno, kar pomeni, da se sistem tudi vedno hitreje vrti. Pri tem se moč hitro povečuje, kar še dodatno pospeši dogajanje. Na koncu se črni luknji sprimeta in spojita v eno samo črno luknjo. Gravitacijsko sevanje se praktično ustavi. Na račun energije, ki jo sistem seva, se zmanjšuje pol- na energija sistema in s tem njegova masa. Da dobimo občutek, za kolikšne energije gre, izračunajmo, koliko mase izgubi sistem pri enem obratu pri frekvenci 40 Hz: kar ustreza 20.000 zemeljskim masam, in to v času 0,025 s! V celoti je pri prvem opazovanem pojavu sistem izseval maso, enako trem Sončevim masam. 4.3 Detekcija gravitacijskih valov Kot smo omenili na začetku poglavja, valovanje spreme- ni lastnosti prostora v ravnini, pravokotni na smer šir- jenja valovanja. Prostor se v tej ravnini krči in razteza s frekvenco valovanja. Gravitacijski potencial h je soraz- meren z relativno spremembo razdalje med izbranima točkama. Če bi se gravitacijski val širil skozi ravnino šti- rih teles na sliki 2 b), bi telesa (brez prečk) nihala tako, kot nakazujejo smeri sil: v navpični smeri bi se izmenič- no oddaljevala in približevala, v vodoravni pa z enako frekvenco približevala in oddaljevala. Amplitudo relativnega raztezka A lahko povežemo z gos- toto energijskega toka (15), gostoto pa z močjo izvira in razdaljo med detektorjem in izvirom R. Za približno oceno dobimo Pri točnem računu upoštevamo, da izvir ne seva izotrop- no, temveč kot (gravitacijski) kvadrupol. Gostota j je od- visna od kota ( ), merjenega od pravokotnice na ravni- no kroženja. Za = 90 o je od nič različna le amplituda A + [5]: Naprava [1, 6], s katero je kolaboracija LIGO zaznala gravitacijsko valovanje, je nekoliko modificiran Michel- sonov interferometer, shematsko prikazan na sliki 3. V dveh, med seboj pravokotno postavljenih krakih sta po dve zrcali v razmiku L = 4 km. Vsa zrcala so v vaku- umu in obešena, kar bistveno zmanjša vpliv tresljajev iz okolice. Svetlobni izvir je laser z valovno dolžino l = 1064 nm. Svetloba iz laserja se na polprepustnem zrcalu, postavljenim pod kotom 45 o , razdeli v dva del- na žarka. V vsakem kraku gre žarek skozi polprepustno prvo zrcalo in se odbije od drugega. Delna žarka se na zrcalu, postavljenim pod kotom 45 o , združita in interfe- rirata. Zrcala v krakih so naravnana tako, da je svetloba iz enega kraka v protifazi s svetlobo iz drugega kraka, ko ni prisotno gravitacijsko valovanje. Zaradi destruk- tivne interference detektor ne zazna signala. Ob prisot- nosti gravitacijskega valovanja se razmik med zrcalo- ma v enem kraku poveča, ko se v drugem zmanjša. Če h meri odmik od metričnega tenzorja ravnega prostora, Fizika v šoli 9 Strokovni prispevki projiciranega na koordinatno os detektorja, se pot žar- ka v vsakem od krakov poveča oziroma zmanjša za hL. 7 Razlika poti med krakoma je 2hL, kar ustreza spremem- bi faznega premika med žarkoma j = 4phL/l. Žarka nista več v protifazi in detektor zazna signal. Zrcali v po- sameznem kraku tvorita Fabry-Pérotov interferometer, s čimer se bistveno poveča občutljivost detektorja. Razmik med zrcaloma je naravnan tako, da se vsa svetloba odbije od notranjega zrcala, ko ni prisotno gravitacijsko valo- vanje. Ko se spremeni razdalja med zrcaloma, notranje zrcalo prepusti del svetlobe, ki pride do detektorja, večji del pa se vrne v prostor med zrcali. Po približno 300 od- bojih se tako prepuščena svetloba močno ojača in hkrati se bistveno zmanjša termični šum. Kolaboracija LIGO je z opisanim detektorjem uspela meriti h z natančnostjo, večjo od 5 · 10 -22 . Dva podobna detektorja sta bila postavljena na dveh mestih, oddalje- nih 3002 km, tako da je bilo mogoče na podlagi zakasni- tve med prejetima signaloma sklepati na smer, iz katere je prihajalo gravitacijsko valovanje (slika 4). Pri prvi de- tekciji je bila največja moč izvira 3,6 · 10 49 W na razdalji R = 1,3 milijarde svetlobnih let, kar ustreza gostoti ener- gijskega toka na Zemlji 0,2 W/m 2 . 7 Izračunajmo čas, t, ki ga svetloba potrebuje za razdaljo Δx = L v smeri osi x (Δy = Δz = 0) [7]. Iz enačbe (14) sledi Δs 2 = –c 2 t 2 + (1 + h) L 2 . V našem primeru je Δs 2 ≡ –c 2 τ 2 = 0, saj je lastni čas v opazovalnem sistemu, ki se giblje s svetlobno hitrostjo, enak 0 (limita γ ® ∞ v enačbi (8)). Za čas potovanja med zrcaloma sledi saj je h n 1. V prisotnosti gravitacijskega valovanja se torej čas spremeni za , kar ustreza razmiku . Literatura [1] Abbot, B. P . idr. (2016). Phys. Rev. Lett. 116, 061102. [2] Strnad, J. (1981). Fizika, 3. del. Ljubljna: DZS. [3] Čadež, A. (2011). Teorija gravitacije. Matematika – fizika, 49, Ljubljana: DMFA–založništvo. [4] Mohorič, A. in Čadež, A. (2016). Obzornik za matematiko in fiziko 63, str. 53–63. [5] Gravitational wave https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_wave (3. 1. 2017). [6] LIGO, https://en.wikipedia.org/wiki/LIGO (2. 3. 2017). [7] Saulson, Peter R. (1997). American Journal of Physics 65, 501. Slika 4: Izmerjeno nihanje, kot sta ga zaznala detektorja v obeh krajih. Na spodnjih grafih je prikazana teoretična odvisnost na podlagi modela, v katerem se dve črni luknji približujeta, pri tem se vedno hitreje vrtita in se na koncu zlijeta v eno črno luknjo [1]. L y = 4 km L x = 4 km detektor laser Slika 3: Shematični prikaz delovanja detektorja LIGO.