OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ.    LJUBLJANA    LETNIK 57    ŠT. 6    STR. 197–240    NOVEMBER 2010
C  KM Y 
2010
Letnik 57
6
i
i
“kolofon” — 2010/12/23 — 11:29 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2010, letnik 57, številka 6, strani 197–240
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven-
šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter
Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2010 DMFA Slovenije – 1817 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 197 — #1 i
i
i
i
i
i
EULERJEVA ŠTEVILA V ANALIZI
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2000): 11B68, 26A06, 60E99
V članku definiramo Eulerjeva števila. Pokažemo primere integralov, vsot in števil-
skih vrst, kjer nastopajo Eulerjeva in Bernoullijeva števila. Obravnavan je tudi zakon
recipročnega hiperboličnega kosinusa v teoriji verjetnosti.
EULER NUMBERS IN ANALYSIS
In this article, the Euler numbers are defined. We show examples of integrals, sums
and series where the Euler and Bernoulli numbers occur. The hyperbolic secant distribu-
tion in probability theory is also discussed.
Uvod
Čeprav je v prispevku največ govora o Eulerjevih številih v analizi, ga
pričenjamo v verjetnostnem računu s preprostim geometrijskim primerom,
ki nas bo postopoma pripeljal do Eulerjevih števil in spremljajočih poli-
nomov. Spoznali bomo nekaj zgledov v analizi, kjer nastopajo Eulerjeva
števila, seznanili pa se bomo tudi s postopkom, kako lahko na hitro sešte-
jemo nekatere alternirajoče vsote. Izogniti se ne bomo mogli Bernoullijevim
številom, o katerih pa bomo zapisali le najnujnejše. Tudi sicer Eulerjeva in
Bernoullijeva števila pogosto obravnavamo skupaj.
V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu (Oxy) iz točke
N(0, 1) na ordinatni osi potegnemo poltrak, ki oklepa z osjo y slučajno
izbrani kot Φ (slika 1). Poltrak preseka os x v točki z absciso X. Predpo-
stavili bomo, da je slučajna spremenljivka Φ enakomerno porazdeljena na
intervalu (−π/2, π/2).
Geometrijskemu opisu lahko dodamo tudi fizikalno preobleko. V steni
y = 1 je v točki N izvor delcev, ki potujejo v vseh smereh. Zanima nas,
kako je porazdeljena abscisa X, v kateri delec zadene os x, zadetek pa zazna
primeren detektor. Pri tem predpostavimo, da je smer delcev popolnoma
slučajna in porazdeljena enakomerno glede na kot Φ.
V nadaljevanju bomo v glavnem uporabljali definicije iz [4]. Porazdeli-
tveno funkcijo katerekoli zvezno porazdeljene slučajne spremenljivke X bomo
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 197
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 198 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
..................................................................................................................................................................................................................................................... ....
.
....
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.........
.....
x
y
O
Φ > 0Φ < 0
Φ
N(0, 1)
X
.......................................................................................................................... .
.
•
•
............................. ........
.....
...
....
....
...
........
..
Slika 1. Slučajni spremenljivki Φ in X
označevali s FX, gostoto s pX, s P [A] pa verjetnost dogodka A. Spomnimo:
FX(x) = P [X < x] =
x∫
−∞
pX(ξ) dξ (x ∈ R) .
Zanima nas, kako je porazdeljena naša slučajna spremenljivka X, ki jo
očitno povezuje s Φ formula X = tg Φ. Gostoto verjetnosti slučajne spre-
menljivke Φ opišemo tako: pΦ(φ) = 1/π za −π/2 ≤ φ ≤ π/2 in pΦ(φ) = 0
sicer. Za slučajno spremenljivko X = tg Φ potem velja:
FX(x) = P [X < x] = P [tg Φ < x] =
arctg x∫
−π/2
pΦ(φ) dφ =
1
2
+
1
π
arctg x .
Zato je
pX(x) = F ′X(x) =
1
π(1 + x2)
. (1)
Pravimo, da je slučajna spremenljivka X porazdeljena po standardiziranem
Cauchyjevem zakonu oziroma da ima X standardizirano Cauchyjevo poraz-
delitev. Po standardiziranem Cauchyjevem zakonu (1) je na primer po-
razdeljen tudi kvocient neodvisnih, standardizirano normalno porazdeljenih
slučajnih spremenljivk, ki imata gostoto p(x) = exp(−x2/2)/
√
2π.
Slučajna spremenljivka X, ki je porazdeljena po sicer preprostem stan-
dardiziranem Cauchyjevem zakonu, pa ima žal od vseh začetnih momen-
tov νn =
∞∫
−∞
xnpX(x) dx samo enega: ν0 = 1. Porazdelitev torej nima niti
matematičnega upanja niti disperzije, zato se v statistiki pri ocenjevanju
parametrov ne obnese. Zaradi tega vzamemo primerno funkcijo slučajne
spremenljivke X. Ena takih je logaritem njene absolutne vrednosti. Videli
198 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 199 — #3 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
bomo, da ima nova slučajna spremenljivka vse začetne momente in da je
njena porazdelitev zelo podobna normalni.
Oglejmo si, kako je porazdeljena slučajna spremenljivka Y = 2π log |X|,
če je slučajna spremenljivka X porazdeljena po standardiziranem Cauchy-
jevem zakonu. Faktor 2/π pred logaritmom izberemo zato, da se nova po-
razdelitev ujema s standardizirano normalno v matematičnem upanju in
disperziji. Podobno kot v prejšnjem računu dobimo
FY(x) = P [Y < x] = P
[
2
π
log |X| < x
]
= 2
exp(πx/2)∫
0
pX(ξ) dξ .
Potem imamo seveda
pY(x) = F ′Y(x) = 2pX(exp(πx/2)) ·
π
2
exp(πx/2) =
1
2 ch(πx/2)
.
Porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke Y je dana s predpisom
FY(x) =
2
π
exp(πx/2)∫
0
dξ
1 + ξ2
=
2
π
arctg(exp(πx/2)) .
Za slučajno spremenljivko Y, ki ima gostoto
pY(x) =
1
2 ch(πx/2)
, (2)
pravimo, da je porazdeljena po zakonu recipročnega hiperboličnega kosinusa
ali po zakonu hiperboličnega sekansa (angl. hyperbolic secant distribution).
Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1755 v svojem delu [2] med drugim
obravnaval tudi razvoj funkcije z 7→ 1/ cos z, ki jo imenujemo sekans, v po-
tenčno vrsto. Analogno vpeljemo funkcijo z 7→ 1/ ch z, ki jo imenujemo
hiperbolični sekans (secans hyperbolicus) ali recipročni hiperbolični kosinus.
Pri tem je z lahko kompleksno število. Ker ta funkcija nastopa v porazdeli-
tvi (2), si bomo po kratki razpravi o potenčnih vrstah in rodovnih funkcijah
pobliže ogledali njen razvoj v potenčno vrsto. Hiperbolične funkcije, kakršne
poznamo danes, je vpeljal Johann Heinrich Lambert (1728–1777).
1. Potenčne vrste in rodovne funkcije
Potenčna vrsta s številskimi koeficienti ak realne ali kompleksne spre-
menljivke z ima obliko
∞∑
k=0
akz
k. Včasih nas zanimata njen konvergenčni
197–215 199
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 200 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
krog in vsota, drugič pa bolj njeni koeficienti ak. Glede na to obravnavamo
prave in formalne potenčne vrste. Koeficienti ak (k = 0, 1, 2, . . . ) so lahko
zapisani na različne načine glede na konkretne potrebe. Pogosto imajo ko-
eficienti izbrane uteži wk > 0 (k = 0, 1, 2, . . . ), tako da imamo opravka z
vrstami
∞∑
k=0
akz
k/wk. Največkrat uporabljamo wk = 1 (k = 0, 1, 2, . . . ) in
takrat govorimo o običajnih potenčnih vrstah. Pogosto pa je wk = k! (k = 0,
1, 2, . . . ) in tedaj vrstam
∞∑
k=0
akz
k/k! pravimo eksponentne potenčne vrste
ali vrste eksponentne oblike, ker nas spominjajo na eksponentno funkcijo in
vrsto: exp(az) =
∞∑
k=0
akzk/k!.
Običajne potenčne vrste seštevamo, odštevamo in množimo takole:
∞∑
k=0
akz
k ±
∞∑
k=0
bkz
k =
∞∑
k=0
(ak ± bk)zk,
∞∑
k=0
akz
k ·
∞∑
k=0
bkz
k =
∞∑
k=0
ckz
k.
Koeficiente ck produkta dobimo s konvolucijo koeficientov obeh faktorjev:
ck =
k∑
j=0
ajbk−j (k = 0, 1, 2, . . .) . (3)
Ko gre za prave potenčne vrste, veljajo enakosti na skupnem konvergenčnem
krogu potenčnih vrst na obeh straneh enačajev.
Kadar pa imata potenčni vrsti eksponentno obliko, je
∞∑
k=0
ak
k!
zk ±
∞∑
k=0
bk
k!
zk =
∞∑
k=0
ak ± bk
k!
zk,
∞∑
k=0
ak
k!
zk ·
∞∑
k=0
bk
k!
zk =
∞∑
k=0
ck
k!
zk,
pri čemer velja
ck =
k∑
j=0
(
k
j
)
ajbk−j (k = 0, 1, 2, . . .) . (4)
Koeficiente ck produkta dobimo z binomsko konvolucijo koeficientov ak in
bk obeh faktorjev. Izraz za ck v (4) izpeljemo iz navadne konvolucije (3):
ck
k!
=
k∑
j=0
aj
j!
bk−j
(k − j)!
=
1
k!
k∑
j=0
k!
j!(k − j)!
ajbk−j =
1
k!
k∑
j=0
(
k
j
)
ajbk−j .
200 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 201 — #5 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
Iz tega očitno sledi (4).
Na splošno je funkcija F običajna oziroma eksponentna rodovna funkcija
številskega zaporedja a0, a1, a2, . . . , če obstaja v neki okolici točke z = 0
razvoj v potenčno vrsto F (z) =
∞∑
k=0
akz
k oziroma F (z) =
∞∑
k=0
akz
k/k!.
Podobno je funkcija F običajna oziroma eksponentna rodovna funkcija
funkcijskega zaporedja ϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , če obstaja v neki okolici točke z = 0
za vsak x z nekega intervala I razvoj v potenčno vrsto F(x, z) =
∞∑
k=0
ϕk(x)zk
oziroma F(x, z) =
∞∑
k=0
ϕk(x)zk/k!. Izraz rodovna funkcija se uporablja zato,
ker taka funkcija porodi (generira) številsko oziroma funkcijsko zaporedje.
Rodovne funkcije ločimo glede na obliko njihovega razvoja v potenčne
vrste, torej glede na dano zaporedje uteži (wk). Z rodovnimi funkcijami
oziroma s potenčnimi vrstami računamo in s tem odkrivamo razne enakosti
za člene zaporedja, ki jih generirajo.
Definicija 1. Eulerjeva števila Ek so koeficienti v razvoju
1
ch z
=
∞∑
k=0
Ek
k!
zk (|z| < π/2) . (5)
Funkcija z 7→ 1/ ch z je torej eksponentna rodovna funkcija Eulerjevih
števil Ek. Najprej bomo pogledali nekatere njihove lastnosti.
Izrek 1. Vsa Eulerjeva števila lihega indeksa so enaka 0 in veljata razvoja
1
ch z
=
∞∑
k=0
E2k
(2k)!
z2k,
1
cos z
=
∞∑
k=0
(−1)k E2k
(2k)!
z2k (|z| < π/2) . (6)
Dokaz. Funkcija z 7→ 1/ ch z ima pole v točkah zk = (2k − 1)πi/2, kjer
je k poljubno celo število. Teorija analitičnih funkcij (več na primer v [5])
pove, da potenčna vrsta te funkcije absolutno in enakomerno konvergira na
odprtem krogu, ki ima središče v točki 0 in ki sega do najbližje singularnosti
funkcije, to pa sta točki z0 = −πi/2 in z1 = πi/2. Zato ima potenčna vrsta
funkcije konvergenčni polmer enak π/2. Ker je očitno to soda funkcija, so
vsa Eulerjeva števila Ek z lihim indeksom enaka 0 in njen razvoj v potenčno
vrsto je tak, kakršen je naveden v (6). Z zamenjavo z → iz takoj najdemo
tudi drugi razvoj v (6).
197–215 201
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 202 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Izrek 2. Za Eulerjeva števila velja rekurzija
n∑
k=0
(
2n
2k
)
E2k = 0 (n = 1, 2, 3, . . .) , E0 = 1 . (7)
Dokaz. Označimo s(z) = 1/ ch z. Najprej lahko izrazimo E2k = s(2k)(0) in
E0 = s(0) = 1, nato pa z 2n-kratnim odvajanjem enakosti s(z) · ch z = 1 še:
2n∑
k=0
(
2n
k
)
ch(2n−k)(z)s(k)(z) = 0 (n = 1, 2, . . .) .
Ker ima funkcija ch za odvod lihega reda funkcijo sh, ki ima pri z = 0
vrednost 0, za odvod sodega reda pa funkcijo ch, ki ima za z = 0 vrednost 1,
res velja (7).
Tako lahko Eulerjeva števila izračunamo postopoma. Iz
(
2
0
)
E0 +
(
2
2
)
E2 =
0 dobimo E2 = −1. Iz
(
4
0
)
E0 +
(
4
2
)
E2 +
(
4
4
)
E4 = 0 pa E4 = 5. Na tak način
izračunamo še E6 = −61, E8 = 1385. Več števil |En| in njihovih razcepov
na prafaktorje je zbranih v razpredelnici 1. Opazimo, da z rastočim sodim
indeksom zelo hitro naraščajo.
Opomba. Zgornja vpeljava Eulerjevih števil En (angl. Euler numbers) je
povzeta po [3]. V nekaterih virih so |En| Eulerjeva števila, v nekaterih pa
E∗n = |E2n|. Prav tako je treba biti pazljiv pri Bernoullijevih številih Bn.
Euler pri zaporedjih še ni uporabljal indeksov, ampak si je pomagal z
zaporednimi latinskimi, grškimi in gotskimi črkami. Števila E∗n je označil po
vrsti kar z α, β, . . . , κ. Pri κ = E∗9 se je zmotil, saj je v [2] objavil napačen
rezultat: κ = 2404 879 661 671.
Simbolično lahko napišemo rekurzijo (7) tudi takole:
(E + 1)2n + (E − 1)2n = 0 , Ek ≡ Ek , E0 = 1 .
Formalna binoma potenciramo, nato pa eksponente zamenjamo z indeksi.
Števila |E2n| imajo svoj kombinatorični pomen. Za n = 1, 2, 3, . . .
je |E2n| enako številu A2n alternirajočih permutacij osnovne razporedbe
(1 2 . . . 2n), to je permutacij, v katerih se izmenjujejo dvigi in spusti. Prvi
dvig mora biti na začetku, gledano z leve strani. Dvigov je n, spustov pa
n− 1. Za n = 1 je že kar osnovna razporedba (12) alternirajoča, ima pač 1
202 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 203 — #7 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
n |En| Razcep na prafaktorje
0 1
2 1
4 5 5
6 61 61
8 1 385 5 · 277
10 50 521 19 · 2 659
12 2 702 765 5 · 13 · 43 · 967
14 199 360 981 47 · 4 241 723
16 19 391 512 145 5 · 17 · 228 135 437
18 2 404 879 675 441 79 · 349 · 87 224 971
20 370 371 188 237 525 52 · 41 737 · 354 957 173
Razpredelnica 1. Nekaj začetnih Eulerjevih števil
dvig in 0 spustov, zato je A2 = 1. Za n = 2 imamo A4 = 5 alternirajočih
permutacij, dobljenih iz osnovne razporedbe (1234), in sicer so to: (1324),
(2314), (1423), (2413), (3412). Vse imajo po dva dviga in en spust. Res je
A2 = |E2| = 1 in A4 = |E4| = 5.
V kombinatoriki se po Eulerju imenujejo tudi eulerjevska števila (angl.
Eulerian numbers) An,k, ki štejejo permutacije s k dvigi osnovne razporedbe
(1 2 . . . n). Tako je na primer A4,2 = 11, ker je toliko permutacij osnovne
razporedbe (1234) z dvema dvigoma, in sicer so to: (1324), (2134), (2314),
(3124), (1243), (1342), (2341), (1423), (2413), (3412), (4123).
2. Integrali, ki se izražajo z Eulerjevimi števili
Pokazali bomo, da se z Eulerjevimi števili da izraziti nekatere integrale.
Najprej bomo izračunali
∞∫
−∞
cos(ax) dx
chx
(a ∈ R) in
∞∫
−∞
ch(ax) dx
chx
(−1 < a < 1) .
Pomembna sta za izračun začetnih momentov in karakteristične funkcije
porazdelitve po zakonu recipročnega hiperboličnega kosinusa. Za izračun
obeh integralov bomo uporabili iz kompleksne analize dobro znano metodo
ostankov ali residuov (glej na primer [5]).
197–215 203
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 204 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Izrek 3. Za vsako realno število a je
∞∫
−∞
cos(ax) dx
chx
=
π
ch(πa/2)
, (8)
za vsako realno število a (−1 < a < 1) pa
∞∫
−∞
ch(ax) dx
chx
=
π
cos(πa/2)
. (9)
Dokaz. Kompleksno funkcijo z 7→ f(z) = exp(aiz)/ ch z integriramo v rav-
nini kompleksnih števil (z) v pozitivni smeri vzdolž ograje CR pravokotnika,
ki ima oglišča v točkah −R, R, R + πi, −R + πi, v katerem ima funkcija f
enostaven pol z1 = πi/2. Pri tem je R poljubno pozitivno realno število.
Dobimo:∮
CR
f(z) dz =
R∫
−R
exp(aix) dx
chx
+
π∫
0
exp(ai(R+ iy))i dy
ch(R+ iy)
+
+
−R∫
R
exp(ai(x+ πi)) dx
ch(x+ πi)
+
0∫
π
exp(ai(−R+ iy))i dy
ch(−R+ iy)
=
= 2πiRes(f(z), z1) = 2πi
exp(aiπi/2)
sh(πi/2)
= 2π exp(−aπ/2) .
Naredimo limitni proces, ko R→∞. Prvi člen tedaj konvergira proti
I =
∞∫
−∞
exp(aix) dx
chx
,
tretji pa proti
− exp(−aπ)
∞∫
−∞
exp(aix) dx
ch(x+ πi)
= exp(−aπ)
∞∫
−∞
exp(aix) dx
chx
= exp(−aπ) I .
Drugi integral najprej ocenimo:∣∣∣∣∣∣
π∫
0
exp(ai(R+ iy))i dy
ch(R+ iy)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
π∫
0
exp(aiR) exp(−ay)i dy
chR cos y + i shR sin y
∣∣∣∣∣∣ ≤
204 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 205 — #9 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
≤
π∫
0
exp(−ay) dy√
ch2R cos2 y + sh2R sin2 y
≤
≤ 1
shR
π∫
0
exp(−ay) dy .
Zadnji izraz pa konvergira proti 0, ko R → ∞. Isto ugotovimo za četrti
integral. Pri tem upoštevamo, da je vedno chR ≥ shR. Tako najdemo
najprej relacijo (1 + exp(−aπ))I = 2π exp(−aπ/2), nato pa še
I =
∞∫
−∞
exp(aix) dx
chx
=
2π exp(−πa/2)
1 + exp(−πa)
.
Nazadnje dobimo po preoblikovanju enakost (8).
Podobno, z integracijo vzdolž CR, izračunamo integral (9), le da vzamemo
funkcijo z 7→ g(z) = exp(az)/ ch z, ki ima znotraj pravokotnika enostaven
pol z1 = πi/2 in Res(g(z), z1) = −i exp(aπi/2). Z limitnim procesom, ko
R→∞, dobimo z upoštevanjem pogoja −1 < a < 1 najprej za
J =
∞∫
−∞
exp(ax) dx
chx
enačbo J + exp(aπi)J = (1 + exp(aπi))J = 2π exp(aπi/2), nato s pri-
merjavo realnih delov obeh strani dobljene enačbe še (1 + cos(πa))J =
2 cos2(πa/2)J = 2π cos(πa/2) in nazadnje:
J =
∞∫
−∞
exp(ax) dx
chx
=
π
cos(πa/2)
.
Če zamenjamo integracijsko spremenljivko x z −x, dobimo še
∞∫
−∞
exp(−ax) dx
chx
=
π
cos(πa/2)
in z upoštevanjem enakosti 2 ch(ax) = exp(ax) + exp(−ax) končno (9).
197–215 205
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 206 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Izrek 4. Za vsako nenegativno celo število k velja:
∞∫
0
x2k dx
chx
=
(π
2
)2k+1
|E2k| . (10)
Dokaz. Najprej uporabimo (6) in izrazimo z Eulerjevimi števili:
π
ch(πa/2)
=
∞∑
k=0
E2k
(2k)!
π2k+1a2k
22k
(−1 < a < 1) . (11)
Po drugi strani pa lahko z vrsto
cos(ax)
chx
=
∞∑
k=0
(−1)ka2kx2k
(2k)! chx
,
ki absolutno in enakomerno konvergira glede na spremenljivko x na vsakem
omejenem intervalu, pri čemer je
| cos(ax)|
chx
≤
∞∑
k=0
a2kx2k
(2k)! chx
=
ch(ax)
chx
in
∞∫
−∞
(ch(ax)/ chx) dx < ∞ zaradi (9), po medsebojni zamenjavi vrstnega
reda integriranja in seštevanja zapišemo:
∞∫
−∞
cos(ax) dx
chx
= 2
∞∫
0
dx
chx
∞∑
k=0
(−1)ka2kx2k
(2k)!
= 2
∞∑
k=0
(−1)ka2k
(2k)!
∞∫
0
x2k dx
chx
.
S primerjavo koeficientov pri potenci a2k v relaciji
π
ch(πa/2)
=
∞∫
−∞
cos(ax) dx
chx
= 2
∞∑
k=0
(−1)ka2k
(2k)!
∞∫
0
x2k dx
chx
=
∞∑
k=0
E2k
(2k)!
π2k+1a2k
22k
dobimo
∞∫
0
x2k dx
chx
=
(π
2
)2k+1
(−1)kE2k .
Ker je očitno integral na levi strani pozitivno število, mora veljati enakost
(−1)kE2k = |E2k| in s tem končno (10).
206 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 207 — #11 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
Zaradi rekurzije (7) so vsa Eulerjeva števila cela. Obenem pa smo prav-
kar v dokazu spoznali, da velja enakost (−1)kE2k = |E2k|.
Posledica 5. Eulerjevim številom E2n, ki so vsa cela števila, se predznak
izmenično menja.
Posledica 6. Za vsako nenegativno celo število k velja:
∞∫
0
log2k x dx
1 + x2
=
(π
2
)2k+1
|E2k| . (12)
Dokaz. Če vpeljemo novo integracijsko spremenljivko x = log u v inte-
gral (10), dobimo:
∞∫
0
x2k dx
chx
= 2
∞∫
1
log2k u du
1 + u2
=
(π
2
)2k+1
|E2k| .
Ker očitno dobimo (po zamenjavi integracijske spremenljivke u 7→ 1/u)
∞∫
1
log2k u du
1 + u2
=
1∫
0
log2k u du
1 + u2
=
1
2
∞∫
0
log2k u du
1 + u2
,
imamo nazadnje integral (12).
3. Polinomi, katerih koeficienti so produkti Eulerjevih števil
in binomskih koeficientov
Vpeljimo zaporedje polinomov
Fn(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
Ekx
n−k (n = 0, 1, 2, . . .) , (13)
ki imajo preprosto rodovno funkcijo, s katero si bomo pomagali poiskati
nekatere njihove lastnosti.
Izrek 7. Zaporedje polinomov Fn(x) (n = 0, 1, 2, . . .) ima rodovno funkcijo
G(x, z) = exp(xz)
ch z
=
∞∑
n=0
Fn(x)
n!
zn
(
|z| < π
2
)
. (14)
197–215 207
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 208 — #12 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Dokaz. Z uporabo binomske konvolucije (4) lahko zapišemo:
G(x, z) = exp(xz) · 1
ch z
=
∞∑
k=0
xk
k!
zk ·
∞∑
j=0
Ej
j!
zj =
=
∞∑
n=0
(
n∑
k=0
(
n
k
)
Ekx
n−k
)
zn
n!
=
∞∑
n=0
Fn(x)
n!
zn.
Pri tem je x realna, z pa kompleksna spremenljivka, ki je lahko v krogu, ki
ima središče v točki 0 in sega do najbližje singularnosti funkcije z 7→ 1/ ch z,
to je πi/2 oziroma −πi/2. Zato dobljena vrsta konvergira absolutno in
enakomerno pri pogoju |z| < π/2 za vsak realen x.
Očitno je F0(x) = 1 in Fn(0) = En za vsak indeks n. Stopnja polinoma
Fn(x) je ravno njegov indeks, zato je zaporedje Fn(x) (n = 0, 1, 2, . . . )
pravo polinomsko zaporedje in vsak polinom P (x) z realnimi koeficienti lahko
enolično izrazimo v obliki P (x) =
∑
k≥0
ckFk(x) z realnimi koeficienti ck.
Polinome Fn(x) lahko zapišemo tudi simbolično:
Fn(x) = (E + x)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
Ekx
n−k, Ek ≡ Ek , E0 = 1 .
Radi pa bi imeli preprost postopek, po katerem jih izračunamo.
Izrek 8. Za polinome Fn(x) velja enakost
Fn(x+ y) =
n∑
k=0
(
n
k
)
Fk(x)yn−k (n = 0, 1, 2, . . .) . (15)
Dokaz. Povečajmo v rodovni funkciji (14) spremenljivko x za y:
G(x+ y, z) = exp((x+ y)z)
ch z
=
∞∑
n=0
Fn(x+ y)
n!
zn.
Po drugi strani pa dobimo s pomočjo (4) tudi razvoj:
G(x+ y, z) = exp(yz) · G(x, z) =
∞∑
k=0
yk
k!
zk ·
∞∑
j=0
Fj(x)
j!
zj =
=
∞∑
n=0
(
n∑
k=0
(
n
k
)
Fk(x)yn−k
)
zn
n!
.
S primerjavo koeficientov pri potenci zn v obeh zapisih najdemo (15).
208 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 209 — #13 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
Izrek 9. Potenca xn se izraža s polinomi Fn(x) v obliki
xn =
bn/2c∑
k=0
(
n
2k
)
Fn−2k(x) (n = 0, 1, 2, . . .) . (16)
Pri tem pomeni bn/2c največje celo število, ki ne presega n/2.
Dokaz. Naj bo cj = 1 za vse sode indekse j in 0 sicer. Iz enakosti
∞∑
n=0
xnzn
n!
= exp(xz) = ch z · G(x, z) =
∞∑
j=0
cj
j!
zj ·
∞∑
k=0
Fn(x)
n!
zn
dobimo po podobnem postopku kot v prejšnjem dokazu enakost
xn =
n∑
k=0
(
n
k
)
ckFn−k(x) ,
iz katere takoj sledi (16).
Izrek 10. Za odvod polinoma Fn(x) velja enakost
F ′n(x) = nFn−1(x) (n = 1, 2, 3, . . .) . (17)
Dokaz. Z odvajanjem rodovne funkcije (14) dobimo najprej enakost
∂G
∂x
(x, z) = zG(x, z) =
∞∑
n=1
F ′n(x)
n!
zn,
pri čemer smo upoštevali F0(x) = 1, nato pa še
G(x, z) =
∞∑
n=1
F ′n(x)
n!
zn−1 =
∞∑
n=1
nFn−1(x)
n!
zn−1.
S primerjavo koeficientov pri potenci zn−1 v obeh vrstah najdemo (17).
Z enakostjo (17) in z upoštevanjem pogoja Fn(0) = En lahko hitro zapi-
šemo nekaj začetnih polinomov Fn(x):
F0(x) = 1 ,
F1(x) = x ,
F2(x) = x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) ,
F3(x) = x3 − 3x = x(x2 − 3) ,
F4(x) = x4 − 6x2 + 5 = (x− 1)(x+ 1)(x2 − 5) ,
F5(x) = x5 − 10x3 + 25x = x(x2 − 5)2.
197–215 209
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 210 — #14 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Izrek 11. Za polinome Fn(x) velja naslednja enakost:
Fn(x− 1) + Fn(x+ 1) = 2xn (n = 0, 1, 2, . . .) . (18)
Dokaz. Oglejmo si izraz
G(x− 1, z) + G(x+ 1, z) = exp((x− 1)z) + exp((x+ 1)z)
ch z
= 2 exp(xz) .
Po eni strani je
G(x− 1, z) + G(x+ 1, z) =
∞∑
n=0
Fn(x− 1) + Fn(x+ 1)
n!
zn,
po drugi strani pa
G(x− 1, z) + G(x+ 1, z) = 2
∞∑
n=0
xn
n!
zn.
S primerjavo koeficientov pri potenci zn potrdimo veljavnost enakosti (18).
Izrek 12. Polinomi Fn(x) so sode funkcije, ko je indeks n sodo število, in
lihe funkcije, ko je n liho število:
Fn(−x) = (−1)nFn(x) (n = 0, 1, 2, . . .) . (19)
Dokaz. Iz enakosti
G(−x, z) = exp(−xz)
ch z
=
∞∑
n=0
Fn(−x)
n!
zn
in iz enakosti
G(−x, z) = exp(x(−z))
ch(−z)
=
∞∑
n=0
(−1)nFn(x)
n!
zn
sledi po primerjavi koeficientov pri potenci zn takoj enakost (19).
Polinomi Fn(x) so v tesni zvezi z Eulerjevimi polinomi En(x), katerih
rodovna funkcija je
H(x, z) = 2 exp(xz)
exp z + 1
=
∞∑
n=0
En(x)
n!
zn (|z| < π) .
210 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 211 — #15 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
Preprosta primerjava pokaže, da veljajo relacije:
2nEn(x) = Fn(2x− 1) , En = Fn(0) = 2nEn(1/2) (n = 0, 1, 2, . . .) .
Polinome Fn(x), ki imajo celoštevilske koeficiente, smo uvedli zato, ker je z
njimi nekoliko udobneje računati kot s polinomi En(x).
4. Nekatere vsote z Eulerjevimi števili
Pokazali bomo, kdaj se vrednosti polinomov Fn(x) da izraziti še kako
drugače. Hitro se vidi, da gre to lepo za lihe indekse n in naravne x, za
katere pa moramo posebej obravnavati sodi in lihi primer.
Izrek 13. Za poljubni naravni števili n in k velja formula:
F2n−1(2k) = 2
k∑
j=1
(−1)j+k(2j − 1)2n−1. (20)
Dokaz. Formulo (20) pri danem n dokažemo z metodo popolne indukcije
glede na število k. Za k = 1 stoji F2n−1(2) na levi strani v (20), z relacijo (18)
pa imamo F2n−1(2) = 2 − F2n−1(0) = 2 − E2n−1 = 2, kar dobimo za k = 1
tudi na desni strani v (20), ki zato velja za k = 1. Indukcijski korak spet
naredimo z relacijo (18): F2n−1(2k + 2) = 2(2k + 1)2n−1 − F2n−1(2k). S
predpostavko, da (20) že velja za neko naravno število k, imamo:
F2n−1(2k + 2) = 2(2k + 1)2n−1 + 2
k∑
j=1
(−1)j+k+1(2j − 1)2n−1 =
= 2
k+1∑
j=1
(−1)j+k+1(2j − 1)2n−1.
Torej velja formula (20) tudi, če v njej zamenjamo k s k + 1, in je zato
pravilna za vsako naravno število k.
V posebnih primerih imamo:
F2n−1(2) = 2 ,
F2n−1(4) = 2(32n−1 − 1) ,
F2n−1(6) = 2(52n−1 − 32n−1 + 1) ,
F2n+1(8) = 2(72n−1 − 52n−1 + 32n−1 − 1) .
197–215 211
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 212 — #16 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Da bi tako izrazili tudi (E + 1)n = Fn(1), (E + 3)n = Fn(3), . . . , si
oglejmo
G(1, z) = exp z
ch z
=
(exp z + exp(−z)) + (exp z − exp(−z))
exp z + exp(−z)
= 1 + th z .
Za lihe x in n v Fn(x) nam bodo prišla prav Bernoullijeva števila Bn.
Definicija 2. Bernoullijeva števila Bk so koeficienti v razvoju
z
exp z − 1
=
∞∑
k=0
Bk
k!
zk (|z| < 2π) . (21)
Funkcija z 7→ z/(exp z − 1) je rodovna funkcija Bernoullijevih števil in
ima v točki z = 0 odpravljivo singularnost, tej točki najbližji pol pa v z = 2πi
oziroma z = −2πi, zato ima konvergenčni krog potenčne vrste (21) polmer
2π. Več o Bernoullijevih številih najdemo na primer v [1, 3]. Ponovimo le
najnujnejše. Vsa Bernoullijeva števila lihega indeksa od vključno tretjega
naprej so enaka 0, Bernoullijevim številom sodega indeksa od 2 naprej pa se
predznak izmenično spreminja: B2n+1 = 0, |B2n| = (−1)n−1B2n za n = 1,
2, 3, . . . Vsa Bernoullijeva števila so racionalna.
Izrek 14. Obstajata naslednja razvoja v potenčni vrsti:
z cth z =
∞∑
n=0
22nB2n
(2n)!
z2n (|z| < π) (22)
in
th z =
∞∑
n=1
22n(22n − 1)B2n
(2n)!
z2n−1 (|z| < π/2) . (23)
Dokaz. Iz (21) lahko najprej izrazimo
z
exp z − 1
+
z
2
=
∞∑
n=0
B2n
(2n)!
z2n,
nato pa po preureditvi leve strani zapišemo
z
2
cth
z
2
=
∞∑
n=0
B2n
(2n)!
z2n (|z| < 2π) .
Z zamenjavo spremenljivke z → 2z takoj dobimo (22). Razvoj (23) pa je
posledica elementarne enakosti 2 cth(2z) = cth z + th z in (22).
212 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 213 — #17 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
Iz enakosti
G(1, z) = exp z
ch z
= 1+
∞∑
n=1
Fn(1)
n!
zn = 1+th z = 1+
∞∑
n=1
22n(22n − 1)B2n
(2n− 1)!(2n)
z2n−1,
ki jo dobimo iz rodovne funkcije polinomov Fn(x) in iz (23), sklepamo, da
je
F0(1) = 1 ,
F2n(1) = 0 ,
F2n−1(1) =
22n(22n − 1)B2n
2n
(n = 1, 2, . . .) . (24)
Izrek 15. Za poljubni naravni števili n in k velja formula:
Fn(2k + 1) = 2n+1
k∑
j=1
(−1)j+kjn + (−1)kFn(1) . (25)
Dokaz. Tudi formulo (25) pri danem n dokažemo z metodo popolne indukcije
glede na število k. Za k = 1 stoji Fn(3) na levi strani v (25), z relacijo (18)
pa imamo Fn(3) = 2n+1 − Fn(1), kar dobimo za k = 1 tudi na desni strani
v (25), ki zato res velja za k = 1. Indukcijski korak spet naredimo z relacijo
(18): Fn(2k+3) = 2(2k+2)n−Fn(2k+1). S predpostavko, da (25) že velja
za neko naravno število k, imamo:
Fn(2k + 3) = 2(2k + 2)n + 2n+1
k∑
j=1
(−1)j+k+1jn + (−1)k+1Fn(1) =
= 2n+1
k+1∑
j=1
(−1)j+k+1jn + (−1)k+1Fn(1) .
Torej velja formula (25) tudi, če v njej zamenjamo k s k + 1, in je zato
pravilna za vsako naravno število k.
V posebnih primerih dobimo:
F2n−1(3) = 22n −
22n(22n − 1)B2n
2n
,
F2n−1(5) = 24n−1 − 22n +
22n(22n − 1)B2n
2n
.
197–215 213
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 214 — #18 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
5. Alternirajoče vsote naravnih potenc
Znano je, da se vsote
k∑
j=1
jn = 1n + 2n + 3n + · · · + kn za vsak naraven
eksponent n dajo v preprosti obliki izraziti z Bernoullijevimi polinomi (več
v [1, 3]). Z našimi polinomi Fn(x) pa lahko izrazimo alternirajoče vsote
s(k, n) =
k∑
j=1
(−1)jjn = −1n + 2n − 3n + · · ·+ (−1)kkn.
Iz formule (25) namreč lahko brez težav izrazimo:
k∑
j=1
(−1)jjn = −1n + 2n − 3n + · · ·+ (−1)kkn = (−1)
kFn(2k + 1)− Fn(1)
2n+1
.
Pri tem sta k in n poljubni naravni števili. Za posebne primere n = 1, 2, 3
s pomočjo formul, ki sledijo izreku 8, dobimo:
s(k, 1) = −1 + 2− 3 + · · ·+ (−1)kk = (−1)
k(2k +1)−1
4
,
s(k, 2) = −12+ 22− 32+ · · ·+ (−1)kk2 = (−1)k k(k +1)
2
,
s(k, 3) = −13+ 23− 33+ · · ·+ (−1)kk3 = (−1)
k(2k +1)(2k2+ 2k −1) +1
8
.
Izrek 11 pa nam omogoča sešteti alternirajoče vsote potenc lihih števil:
sl(k, 2n− 1) =
k∑
j=1
(−1)j(2j − 1)2n−1 = 1
2
(−1)kF2n−1(2k) .
Za n = 1, 2, 3 dobimo na primer:
sl(k, 1) = −1 + 3− 5 + · · ·+ (−1)k(2k − 1) = (−1)kk ,
sl(k, 3) = −13 + 33 − 53 + · · ·+ (−1)k(2k − 1)3 = (−1)kk(4k2 − 3) ,
sl(k, 5) = −15 + 35 − 55 + · · ·+ (−1)k(2k − 1)5 = (−1)kk(4k2 − 5)2.
Z alternirajočimi vsotami potenc sodih števil potem ni večjih težav:
ss(k, 2n−1) =
k∑
j=1
(−1)j(2j)2n−1 = 22n−1
k∑
j=1
(−1)jj2n−1 = 22n−1s(k, 2n−1) .
214 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“Euler_num_4” — 2010/12/23 — 11:30 — page 215 — #19 i
i
i
i
i
i
Eulerjeva števila v analizi
6. Še primera iz verjetnostnega računa:
A. Naj bo slučajna spremenljivka Y porazdeljena enakomerno na inter-
valu [0, 1], slučajna spremenljivka X pa naj bo definirana z izrazom X =
2
π log tg(πY/2). Njeno porazdelitveno funkcijo najdemo po znanem po-
stopku:
FX(x) = P [X < x] = P
[
2
π
log tg(πY/2) < x
]
=
2
π
arctg(exp(πx/2)) .
To pomeni, da je slučajna spremenljivka X = 2π log tg(πY/2) porazdeljena
po zakonu recipročnega hiperboličnega kosinusa, če je slučajna spremenljivka
Y porazdeljena enakomerno na intervalu [0, 1]. S tem lahko tako porazdeli-
tev simuliramo z računalniškim generatorjem slučajnih števil.
B. Slučajna spremenljivka X, ki je porazdeljena po zakonu recipročnega
hiperboličnega kosinusa, ima začetne momente νn =
∞∫
−∞
xnpX(x) dx za n = 0,
1, 2, . . . Najdemo jih neposredno z uporabo rezultata (10): ν2n = |E2n| in
ν2n+1 = 0 za n = 0, 1, 2, . . . Naštejmo jih nekaj: ν0 = 1, ν1 = 0, ν2 = 1,
ν3 = 0, ν4 = 5. Slučajna spremenljivka X ima matematično upanje 0,
disperzijo 1, standardno deviacijo 1, asimetrijo 0 in eksces 2 (za definicije
glej na primer [1, 4]). Za primerjavo: standardizirana normalna porazdeli-
tev premore prav take številske karakteristike razen ekscesa, ki je 0. Zato
včasih v statistiki normalno porazdelitev nadomestijo z našo porazdelitvijo
recipročnega hiperboličnega kosinusa.
LITERATURA
[1] M. Abramowitz in I. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas,
graphs, and mathematical tables, Dover publications, New York, 1972.
[2] L. Euler, Institutiones calculi differentialis, Academia Imperialis Scientiarum Petro-
politana, Sankt Peterburg, 1755.
[3] I. S. Gradsteyn in I. M. Ryzhik, Tables of integrals, sums and products, edited by
A. Jeffrey, Academic Press, New York, 1994.
[4] R. Jamnik, Verjetnostni račun, Matematika – fizika 3, Mladinska knjiga, Ljubljana,
1971.
[5] I. Vidav, Višja matematika III, Matematika – fizika 8, DZS, Ljubljana, 1976.
197–215 215
i
i
“STEVILO” — 2010/12/23 — 11:30 — page 216 — #1 i
i
i
i
i
i
STEFANOVO ŠTEVILO
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 44.05.+e, 44.35.+c
Ob stopetinsedemdesetletnici Stefanovega rojstva seznam fizikalnih pojmov s Stefa-
novim imenom dopolnimo s Stefanovim številom. Stefanovo število so vpeljali z različnimi
dogovori.
THE STEFAN NUMBER
At the 175th anniversary of Stefan’s birth the list of concepts of physics containing
Stefan’s name is supplemented with the Stefan number. The Stefan number was even
introduced by different conventions.
Ime Jožefa Stefana, najbolj znanega slovenskega fizika 19. stoletja, danes
večkrat srečamo v fizikalni literaturi. Po njem imenujejo zakon, količine in
pojave: Stefanov ali Stefan-Boltzmannov zakon, Stefanova konstanta, Stefa-
nova sila, Stefanov tok, Stefanova naloga. Tem stalnim zvezam, o katerih je
Obzornik že poročal, lahko dodamo še Stefanovo število.
Najprej so Stefanovo število1 vpeljali kot razmerje med gostoto izseva-
nega energijskega toka in gostoto toplotnega toka pri prevajanju: Ste =
σlT 3/λ [1]. V števec postavimo gostoto izsevanega energijskega toka po Ste-
fanovem zakonu j = σT 4, v imenovalec pa gostoto toplotnega toka v plasti
j = λ∆T/l. Pri tem je σ Stefanova konstanta, T temperatura segretega
telesa, l debelina plasti in λ njena toplotna prevodnost. Na drugi meji pla-
sti vzamemo temperaturo enako 0, tako da je ∆T = T . V tem primeru
pri velikem Stefanovem številu prevlada izmenjavanje toplote s sevanjem,
pri majhnem pa izmenjavanje toplote s prevajanjem. Vendar se ime za to
razmerje ni prijelo.
Stefana je zanimalo, kako se v mrazu debeli plast ledu na morju in je izide
svojega računa primerjal s podatki odprav v polarne predele [2]. Pri tem
je rešil nalogo s premično mejo [3]. Na tej podlagi je G. S. H. Lock vpeljal
Stefanovo število drugače: kot razmerje med toploto, ki jo odda led, ko se
1Za ta števila je značilno, da imajo enoto 1. Takih števil poznamo precej, na primer
Reynoldsovo število Re = lρv/η, Prandtlovo število Pr = ρcp/λ. Z njimi si pogosto
pomagamo, ker sta pojava v dveh merilih podobna, če sta ustrezni števili enaki.
216 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“STEVILO” — 2010/12/23 — 11:30 — page 217 — #2 i
i
i
i
i
i
Stefanovo število
ohladi za temperaturno razliko ∆T , in toploto, ki se sprosti, ko voda zmrzne:
Ste = cp∆T/qt [4, 5]. Pri tem je cp specifična toplota ledu pri konstantnem
tlaku, qt talilna toplota in ∆T temperaturna razlika med mejo ledu in vode
ter mejo ledu in zraka. Stefanovo število je uporabil le za sistem ledu in vode.
Danes pa ga uporabljajo na splošno pri pojavih, pri katerih se talina strjuje
ali trdnina tali. Pri velikem Stefanovem številu prevlada toplota, povezana z
ohlajanjem, pri majhnem pa latentna toplota. Na Stefanovo število naletijo
na primer, ko raziskujejo stacionarno in oscilatorno konvekcijo v vrteči se
mešanici trdnine in kapljevine ali nastanek dendritov pri ohlajanju taline, in
v številnih drugih zapletenih primerih. O tem se bralci lahko prepričajo na
spletu. Včasih, a redkeje, vpeljejo Stefanovo število kot obratno vrednost
omenjenega. V tej zvezi, a nekoliko manj pogosto, omenjajo tudi Stefanov
pogoj. Ta velja v najsplošnejšem primeru, ko pri prehodu toplote na meji
kapljevine in trdnine upoštevamo, da se razlikujeta njuni gostoti – in druge
snovne lastnosti.
O Stefanovi vlogi v raziskovanju prenosa toplote je J. Crepeau zapisal:
„Ta skromni, delavni raziskovalec je trajno vplival na področje prenosa to-
plote. Pozornost zbuja, da je posameznik, o katerem tako malo vemo, tako
pomembno prispeval k znanju o prenosu toplote s prevajanjem, konvekcijo in
sevanjem.“ [6]
LITERATURA
[1] J. P. Catchpole in G. Fulford, Dimensionless groups, Industrial and Engineering Che-
mistry 58 (1966) 46.
[2] J. Stefan, Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im Po-
larmeere, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften 2 98 (1889)
965; Annalen der Physik und Chemie 42 (1891) 269.
[3] J. Strnad, Stefanova naloga, Obzornik mat. fiz. 34 (1987), 207.
[4] G. S. H. Lock, On the use of asymptotic solutions to plane ice-water problems, Journal
of Glaciology 8 (1969) 285.
[5] B. Šarler, Stefan’s work on solid-liquid phase changes, Engineering Analysis with Bo-
undary Elements 16 (1995), 83–92.
[6] J. Crepeau, Josef Stefan: His life and legacy in the thermal sciences, Experimental
Thermal and Fluid Science 31 (2007), 795–803.
216–217 217
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 218 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
STROKOVNO SREČANJE IN OBČNI ZBOR DMFA
Portorož, 5. in 6. 11. 2010
Po večletnih željah in prizadevanjih nam je na Obali uspelo najti pri-
meren prostor za organizacijo strokovnega srečanja in občnega zbora. Tako
smo se tokrat zbrali v hotelu Slovenija v Portorožu, kjer smo imeli na voljo
dovolj velikih dvoran.
Strokovni del za učitelje je potekal v treh sekcijah: matematika v osnovni
šoli, matematika v srednji šoli in fizika. Vodilna tema letošnjega srečanja je
bila matematika in fizika v tehniki.
Vzporedno je potekalo 7. srečanje fizikov v osnovnih raziskavah (o njem
bomo poročali posebej).
Prek informacijskega strežnika DMFA se je na strokovno srečanje prija-
vilo 184 učiteljev iz osnovnih in srednjih šol, vseh pa nas je bilo okoli 400.
Povzetke in razporede predavanj smo že sredi oktobra objavili na domači
strani društva. Prav tako je bil pred srečanjem objavljen tudi program
srečanja.
Za udeležence strokovnega srečanja smo pripravili bilten s poročili o delu
društva in povzetki predavanj ter društveni koledar za leto 2011.
Predavatelji in predavanja so se zvrstili po naslednjem razporedu:
Petek, 5. novembra 2010
Fizika:
• Tine Golež: (Končno?) Za dijake razumljiva pot k entropiji
• Janez Strnad: Od telegrafa do spleta
• Robert Repnik: Georadar
• Dejan Škrabelj: Laserji v sodobnem svetu
• Iztok Urbančič: Infrardeče tehnologije
• Aleš Fajmut: Fizika v medicini
• Ana Dergan: Svetlobno in zvočno ogrinjalo
• Nataša Vaupotič: Merjenje visokofrekvenčnega elektromagnetnega one-
snaženja
• Jurij Sodja: O aerodinamiki
• Boris Kham: Zvezdnato nebo na radijskih valovih in skozi razstave
• Dalibor Šolar: Opazovanje in fotografiranje Sonca
• Dalibor Šolar, Jaka Banko: Milni mehurčki kot didaktično orodje za po-
učevanje fizike
• Verižniki: Predstavitev verižnih eksperimentov
218 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 219 — #2 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
Matematika v osnovni šoli:
• Nada Razpet: Modeli 1
• Milena Strnad: Osnovnošolska matematika: stezica ali pot v tehniko
• Saša Kopač Jazbec: Kako učencem približati matematiko s pomočjo teh-
nike v okviru tehniških dni
• Dušanka Colnar: Sodelovanje matematike in tehnike pri pouku
• Jerneja Bone: Zastopanost tehničnih vsebin v besedilnih nalogah
• Jerneja Bone, Nada Nikolič: Povezovanje tehniških in matematičnih znanj
v eksternih preverjanjih
• Nada Razpet: Modeli 2
• Matija Lokar: Kakšna učna gradiva potrebuje učitelj
• Gabrijela Hladnik: Izdelava lastnih logičnih ugank s pomočjo portala
NAUK
• Marko Razpet: Nekoliko drugačna uporaba geoplošče
• Zlatan Magajna: Moč in nemoč matematičnega modeliranja
• Evgenija Godnič: Matematično kolo
• Suzana Harej: Sodelovalno učenje pri matematiki v spletnem učnem oko-
lju
• Tekmovanja: Razvedrilna matematika
Matematika v srednji šoli:
• Marko Razpet: Verižnica – nekoliko drugače
• Marko Slapar: Štetje praštevil in Riemannova hipoteza
• Martin Milanič: Matematika v biologiji: iskanje filogenetskih dreves
• Nežka Mramor Kosta: Kako iz množice točk sestaviti obliko?
• Emil Žagar: Bézierove krivulje
• Petra Grošelj: Analitični hierarhični proces – matematična metoda za
reševanje večkriterijskih problemov
• Gašper Žerovnik: Trajno odlaganje izrabljenega jedrskega goriva
• Rija Erveš: Okvarni premeri telekomunikacijskih omrežij
• Jernej Tonejc: Zasebno življenje javnih ključev
• Primož Lukšič: Kako sam pripravim interaktivna gradiva iz matematike
• Katja Markovič: Izdelava animiranih navodil za reševanje matematičnih
nalog
• Matija Lokar: Računalniška orodja v matematiki
• Aleš Matijevič: Tablični računalnik – nova oblika matematičnega učbe-
nika?
• Tekmovanja: Novosti v pravilniku o tekmovanju srednješolcev v znanju
matematike za Vegova priznanja
Zvečer smo si ogledali epizodo iz serije filmov o zgodovini matematike.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 219
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 220 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Sobota, 6. novembra 2010
Začeli smo z vabljenim predavanjem. Prof. dr. Igor Muševič, ki je prejel
Zoisovo nagrado za vrhunske znanstvene in razvojne dosežke na področju
fizike, je imel predavanje z naslovom Nematski koloidi. Predstavil je delo
slovenskih raziskovalcev na tem področju in tudi, kaj vse naj bi na tem
področju delali v prihodnje.
Po odmoru smo nadaljevali z občnim zborom.
Popoldanski program je potekal v treh sekcijah.
Matematika:
• Tine Golež: Kaj naj učitelj matematike zahteva od kolega fizika
• Mateja Sirnik, Silva Kmetič: Matematično modeliranje
• Amela Sambolić Beganović: Praznovanje dneva števila π – ideja za med-
predmetno povezovanje
• Mojca Suban Ambrož: Kakšno matematiko potrebuje tehnik?
Fizika:
• Karel Šmigoc: Utrinki iz zgodovine o pouku fizike pred pol stoletja
• Margareta Obrovnik Hlačar: Pouk fizike – aktiven, inovativen, ustvarja-
len, zanimiv in zabaven?
• Mateja Pogorelc: Možnosti uporabe e-učilnice pri fiziki
• Stanislav Južnič: Zgodovina raziskovanja vakuuma in vakuumskih tehnik
Astronomija:
Do 17. ure je potekala delavnica Tekmovanja iz znanja astronomije: pri-
prava tekmovalcev, organizacija in izvedba tekmovanj, ki sta jo vodila Andrej
Guštin in Anja Lautar.
Spremljevalne dejavnosti
Adela Žigert je pripravila plakat z naslovom: Model za prikaz valovanj.
Boris Kham je poskrbel za postavitev odmevne razstave Kopernik na Slo-
venskem.
Marko in Nada Razpet sta pripravila plakata o Alojziju Vadnalu in Ivanu
Štalcu ob 100-letnici rojstva ter plakat o Blažu Matku.
Verižniki so pripravili plakat o dejavnostih v zvezi z verižnim eksperimentom.
Mihaela Voskobojnik je poskrbela za promocijo Plemljeve hiše.
Na voljo sta bili tudi dve zloženki: O verižnem eksperimentu in vabilo na
seminar Fizika v glasbi.
220 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 221 — #4 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
Pogovarjali smo se tudi o temi naslednjega občnega zbora. Za osnovno šolo
je predlagana tema Geogebra v matematiki in fiziki. K izboru predavanj za
srednjo šolo je bilo letos nekaj pripomb. Profesorji si želijo bolj uporabnih
stvari, zato se o temi še nismo dogovorili. Predloge sprejemamo do februarja
leta 2011. Skušali jih bomo uresničiti.
62. OBČNI ZBOR DMFA
Ker je bilo ob 10. uri prisotnih manj kot polovica članov DMFA Slovenije,
se je občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije pričel ob 10.30.
V delovno predsedstvo so bili izvoljeni: predsednik Mitja Rosina, člana
Nataša Vaupotič in Boris Kham, zapisnikar Janez Krušič, za overovatelja
zapisnika Peter Legiša in Milan Hladnik.
Z minuto molka smo se poklonili spominu na člana Milana Kaca, zaslu-
žnega profesorja Univerze v Mariboru, ki je preminil v preteklem letu.
Za častnega člana DMFA Slovenije je bil imenovan doc. dr. Zlatko Bra-
dač.
Društvena priznanja so prejeli:
• Mira Babič, prof., učiteljica matematike, Gimnazija Franca Miklošiča
Ljutomer
• mag. Mirjam Bon Klanjšek, prof., učiteljica matematike, Gimnazija Nova
Gorica
• Sonja France, prof., učiteljica matematike, Gimnazija Velenje
• Florjana Žigon, prof., učiteljica matematike in fizike, Gimnazija Bežigrad
v Ljubljani
• OŠ Dušana Bordona Koper
Poročila o delu društva so bila objavljena v biltenu 62. občnega zbora.
Gregor Dolinar je poročal še o gospodarjenju s Plemljevo hišo na Bledu.
Mitja Rosina je povabil člane DMFA, da kar se da izkoristijo možnosti
bivanja in organiziranja manjših delovnih srečanj v Plemljevi hiši.
Mitja Rosina je opozoril, da v poročilu DMFA – založništvo ni bila
omenjena periodična publikacija Blejske delavnice, kjer so objavljeni naj-
pomembnejši prispevki julijskih srečanj fizikov na Bledu.
Občnemu zboru je posredoval tudi prošnjo predsednika Evropskega ma-
tematičnega društva Arija Lapteva, da evropska združenja protestirajo pri
avstrijskem ministrstvu za znanost in raziskave zaradi ukinjanja financira-
nja nekaterih raziskovalnih inštitutov zunaj univerz. Pri tem je bil posebej
omenjen Inštitut Erwina Schrödingerja na Dunaju.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 221
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 222 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
Sprejet je bil sklep, da Tomaž Pisanski in Mitja Rosina, predsednika slo-
venskih odborov za matematiko ter fiziko, pripravita in odpošljeta ustrezno
peticijo.
Dana je bila pobuda, da bi bilo na strokovnih srečanjih obravnavanih
več neposredno uporabnih vsebin za srednješolske učitelje. Občni zbor se
s pobudo strinja in prosi za pravočasne (do konca januarja tekočega leta)
predloge za tematiko, ki naj bo obravnavana.
O predlogu, da bi prvo stran društvenega koledarja za leto 2011 izdali
kot večji plakat, bo razmislila komisija za popularizacijo znanosti, ki jo vodi
Jurij Bajc.
Občni zbor se je strinjal s pobudo, da bi društvena priznanja dobivali
praviloma posamezniki, organizacije pa le izjemoma za resnično pomembne
dosežke na pedagoškem in strokovnem področju.
Potrjen je predlog upravnega odbora, da prijavnina na prvi stopnji tek-
movanj iz matematike, fizike ter astronomije ostaja 1,20 EUR na udeleženca.
O delu in ugotovitvah nadzornega odbora je poročal Mitja Rosina:
• pravilnost finančnega poslovanja za leto 2009 je nadzorni odbor ugotovil
na seji 25. 3. 2010,
• z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi seznanjen bodisi s
prisotnostjo na sejah bodisi z zapisniki sej upravnega odbora,
• v delu upravnega odbora do občnega zbora nadzorni odbor ni ugotovil
nepravilnosti.
Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2009 je po-
drobno pojasnil Janez Krušič. Poročilo je bilo soglasno potrjeno brez raz-
prave.
Predlog sprememb in dopolnitev Pravil DMFA Slovenije je pripravila
statutarna komisija v sestavi Gregor Dolinar, Darjo Felda, Janez Krušič in
Matjaž Željko. Objavljen je bil na internetni domači strani DMFA Slovenije.
O predlaganih spremembah je poročal Janez Krušič.
Občni zbor je potrdil dopolnitve in sprejel Pravila Društva matematikov,
fizikov in astronomov Slovenije v taki obliki, kot so bili predlagani. Hkrati
je pooblastil upravni odbor v novi sestavi, da Pravila uskladi z morebitnimi
zahtevami ustrezne službe pri Upravni enoti Ljubljana, ki bo ugotavljala
njihovo skladnost z Zakonom o društvih. Vsi trije sklepi so bili sprejeti
soglasno.
Na predlog delovnega predsednika je občni zbor razrešil dosedanji upravni
odbor, nadzorni odbor in častno razsodišče.
Mitja Rosina se je članom razrešenih organov zahvalil za uspešno delo,
občnemu zboru pa je predlagal kandidatno listo za voljene organe DMFA
Slovenije za obdobje 2011–2012.
222 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 223 — #6 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
Upravni odbor:
• Sandi Klavžar, predsednik DMFA Slovenije
• Nada Razpet, podpredsednica DMFA Slovenije
• Janez Krušič, tajnik DMFA Slovenije
Tajniki stalnih komisij:
• Klavdija Mlinšek, popularizacija matematike v osnovni šoli
• Lucijana Kračun Berc, popularizacija matematike v srednji šoli
• Barbara Rovšek, popularizacija fizike v osnovni šoli
• Ciril Dominko, popularizacija fizike v srednji šoli
• Andrej Guštin, popularizacija astronomije
• Gregor Dolinar, Mednarodni matematični kenguru
• Boštjan Kuzman, pedagoška dejavnost
• Matjaž Željko, informacijska tehnologija
Predsedniki stalnih strokovnih odborov:
• Tomaž Pisanski, Slovenski odbor za matematiko
• Mitja Rosina, Slovenski odbor za fiziko
• Andreja Gomboc, Slovenski odbor za astronomijo
Nadzorni odbor:
• Olga Arnuš
• Milan Hladnik
• Janez Seliger
Častno razsodišče:
• Marija Vencelj
• Anton Suhadolc
• Zvonko Trontelj
Vsi predlagani kandidati so bili soglasno izvoljeni.
Za izkazano zaupanje se je zahvalil izvoljeni predsednik Sandi Klavžar.
Med zadanimi nalogami, ki jih bo poskušal uresničiti v dvoletnem mandatu,
je posebej poudaril dve:
• društveno glasilo Obzornik za matematiko in fiziko napraviti privlačnejše
za člane in
• z delom DMFA v večji meri seznaniti mlade in pridobiti čim več članov
že med študenti.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 223
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 224 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
Nada Razpet se je zahvalila Darju Feldi za dolgoletno delo v upravnem
odboru, še posebej za vodenje komisije za popularizacijo matematike v sre-
dnji šoli.
Delovni predsednik je seznanil občni zbor s predlogom za sestav drugih
društvenih organov, ki jih imenuje upravni odbor.
Komisija za častne člane
• Sandi Klavžar, predsednik
• Zvonko Trontelj
• Peter Vencelj
Komisija za društvena priznanja
• Sandi Klavžar, predsednik
• Boštjan Kuzman
• Tomaž Pisanski
In še:
• Tomaž Pisanski, zastopnik v odboru za spominska obeležja Jurija Vege
• Mihaela Voskobojnik, zastopnica za gospodarjenje s Plemljevo hišo
• Andreja Jaklič, računovodkinja in knjigovodkinja
Projekt E-storitve in gradiva za matematiko je predstavil Matjaž Željko.
O projektu Vsepovsod ta MaFijA (iz sklopa Promocija znanosti in inovativ-
nosti) je poročal Jurij Bajc. Oba projekta prek javnih razpisov sofinancira
Ministrstvo za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo.
Strokovno srečanje in 63. občni zbor DMFA Slovenije bosta v prvi polo-
vici novembra 2011, ponovno v Hotelu Slovenija v Portorožu.
Vodilna tema strokovnega srečanja za matematiko v osnovni šoli in fiziko
bo uporaba programa Geogebra v matematiki in fiziki.
Pripravila Nada Razpet in Janez Krušič
ČASTNI ČLAN DMFA SLOVENIJE
Dr. Zlatko Bradač
Doc. dr. Zlatko Bradač je diplomiral leta 1973, magistriral leta 1983 in dok-
toriral na Oddelku za fiziko Fakultete za naravoslovje in tehnologijo v Lju-
bljani. Leta 1972 se je zaposlil kot učitelj fizike na Gimnaziji Miloša Zidan-
ška v Mariboru, od leta 1980 pa je bil zaposlen na Pedagoški fakulteti v
Mariboru oziroma po razdružitvi fakultete na Fakulteti za naravoslovje in
matematiko Univerze v Mariboru. Že kot srednješolski profesor fizike se je
224 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 225 — #8 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
izkazal z izjemnim posluhom za strokovno preudarjen in zanimiv pouk fizike:
bil je zelo priljubljen profesor te šole. Glas izjemnega profesorja je vzpodbu-
dil takratno vodstvo Oddelka za fiziko Pedagoške fakultete v Mariboru, da
ga je povabilo v vrste svojih profesorjev. Veseli smo, da se je za to odločil,
saj je v naslednjih letih s svojim izjemnim čutom za fiziko in čutom za delo
s študenti, bodočimi učitelji fizike, veliko pripomogel k popularizaciji fizike
in učiteljskega poklica na tem področju.
Iz bibliografije je razvidna izjemno bogata znanstvena in strokovna de-
javnost kandidata. Pomemben del strokovnih objav ima dr. Bradač tudi s
področja področnih in državnih tekmovanj iz fizike za osnovnošolce, ki jih
je skupaj z organizacijskim odborom utemeljil in na državnem ter regijskem
nivoju zadnjih 20 let z veliko ljubeznijo in predanostjo aktivno izvajal. Je
tudi pomemben soavtor Pravilnika o tekmovanju za zlato Stefanovo prizna-
nje. Prepričani smo, da je ta njegova aktivnost izjemno prispevala k popu-
larizaciji fizike, pa tudi k odločanju mladih za študij fizike tako na strokovni
kot na pedagoški smeri. To potrjuje tudi priznanje, ki mu ga je leta 1980
podelilo DMFA Slovenije.
Sodeloval je tudi v številnih projektih, ki so neposredno prispevali k
razvoju naravoslovja v Sloveniji, še posebej v severovzhodnem delu, ki do
nastanka Fakultete za naravoslovje in matematiko UM ni imel tako eminen-
tne podpore, kot jo ima osrednja Slovenija. Tukaj kaže še posebej poudariti
Tempusov projekt EDEN, v katerem je dr. Bradač sodeloval kot vodja in
organizator mednarodno odmevne konference o srednješolskem pouku fizike.
Od ustanovitve revije „Fizika v šoli“ je tudi član njenega uredniškega sveta,
zadnje leto pa član uredniškega odbora. V tej reviji je odgovoren za recenzijo
člankov z eksperimentalno vsebino.
Za popularizacijo fizike je pomembna tudi njegova izjemna pedagoška de-
javnost. Ob predavanjih fizike na matičnem oddelku je vrsto let predaval in
vodil vaje tudi na dveh visokošolskih strokovnih programih: Vzgojitelj pred-
šolskih otrok (predmet Začetno naravoslovje – fizika na Pedagoški fakulteti
UM) in Kmetijska tehnika (predmet Izbrana poglavja iz fizike na Fakulteti
za kmetijstvo UM). Za vse predmete je pripravil bogato študijsko gradivo
in izjemen nabor motivacijskih, raziskovalnih in ilustrativnih eksperimentov.
Študentske ankete kažejo, da na Oddelku za fiziko izstopa kot najbolj prilju-
bljen učitelj fizike. Izjemno ga spoštujejo in cenijo tudi sodelavci na oddelku,
na pobudo katerih je dobil srebrno plaketo Univerze v Mariboru. Dr. Bradač
je bil tudi predstojnik oddelka, in sicer več mandatov. Pod njegovim vod-
stvom je oddelek izvedel vrsto popularizacijskih aktivnosti za osnovnošolsko
in srednješolsko mladino (fizikalni tabori, tekmovanja, dnevi odprtih vrat
oddelka za fiziko in številne druge aktivnosti) ter strokovnih in pedagoško
pomembnih seminarjev za učitelje in širšo javnost. Njegov pomembni pri-
spevek je tudi napredovanje oddelka na področju eksperimentalne fizike in
povezovanja s sodobno informacijsko tehnologijo. V pouk fizike na oddelku
je vpeljal številne posodobitve.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 225
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 226 — #9 i
i
i
i
i
i
Vesti
Tudi znanstvenoraziskovalnemu delu je dr. Bradač izjemno predan. Ob
izjemnih prispevkih na področju didaktike fizike aktivno dela tudi na podro-
čju fizike kompleksnih sistemov, kjer raziskuje obnašanje nematičnih tekočih
kristalov z metodo molekularne dinamike. To področje je kljub aktualnosti
(zanimivo je tako za razumevanje temeljnih zakonitosti kot tudi za raznovr-
stne aplikacije) relativno neraziskano.
Glede na zapisano smo prepričani, da je dr. Zlatko Bradač s svojo izje-
mno strokovno, znanstveno in pedagoško dejavnostjo bistveno pripomogel k
razvoju in popularizaciji fizike v Slovenije in zato Upravnemu odboru DMFA
predlagamo, da ga ob njegovi upokojitvi sprejme za častnega člana
DMFA Slovenije.
DRUŠTVENA PRIZNANJA ZA LETO 2010
OŠ Dušana Bordona Koper
Na OŠ Dušana Bordona Koper vodstvo šole ter učitelji matematike in fi-
zike vlagajo veliko truda v dodatno delo z učenci, ki kažejo več zanimanja
za matematiko in fiziko. Rezultati takšnega dela se kažejo v množičnosti
tekmovalcev na prvih stopnjah tekmovanj in rezultatih učencev na državnih
tekmovanjih, ki jih vsako leto najdemo med dobitniki priznanj. Tudi pri
organizaciji tekmovanj so v svoji regiji vedno priskočili na pomoč. Na šoli
skrbijo za izvajanje dodatnih ur matematike in fizike ter se vključujejo v
projekte izobraževanja in dela z nadarjenimi učenci v OŠ.
V delu z mladimi matematiki in fiziki so tako jasno razvidne pedagoške,
društvene, publicistične in raziskovalne dejavnosti šole, ki pozitivno vplivajo
na razvoj in ugled matematike, fizike in astronomije v Slovenski Istri.
Mira Babič, prof.
Mira Babič je profesorica matematike. Na Gimnaziji Franca Miklošiča Lju-
tomer dela že od leta 1979 kot učiteljica matematike.
V pouk matematike vključuje različne postopke in prilagoditve za raz-
lično motivirane dijake. Načrtno posveča mnogo časa in truda popularizaciji
matematike med mladimi. Mnoge med dijaki pritegne k poglabljanju zna-
nja matematike in jih pripravlja na državna tekmovanja, kjer dosegajo vidne
uspehe.
Mira Babič je bila pobudnica in organizatorica posebnega mednarodnega
tekmovanja, v katerem že vrsto let sodelujejo dijaki iz njihove gimnazije in
sosednjih gimnazij iz Avstrije, Madžarske in Hrvaške. Sodelovala je z ZRSŠ
pri projektu Nivojski pouk matematike v 4. letniku gimnazije in že več let
sodeluje z Državnim izpitnim centrom kot zunanja ocenjevalka za matema-
tiko na maturi. Bila je tudi recenzentka učbeniške serije za matematiko za
odrasle.
226 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“porocil10a” — 2010/12/23 — 11:30 — page 227 — #10 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
Mag. Mirjam Bon Klanjšček, prof.
Mag. Mirjam Bon Klanjšček je profesorica matematike, ki je v šolstvu za-
poslena že od leta 1978. Danes dela kot učiteljica matematike na Gimnaziji
v Novi Gorici.
Poleg vestnega poučevanja matematike že vrsto let uspešno pripravlja di-
jake za vse ravni matematičnih tekmovanj. Sodelovala je tudi v tekmovalnih
komisijah na državnih tekmovanjih srednješolcev iz matematike.
Vodila je študijsko skupino za matematiko za srednje šole severnopri-
morske regije, v sodelovanju z ZRSŠ je izvajala izobraževanje učiteljev, so-
delovala pri pripravi nalog za zaključne izpite iz matematike za srednje šole
in pri raznih drugih projektih. Pri Državnem izpitnem centru je zunanja
ocenjevalka za matematiko na maturi, bila je članica predmetne razvojne
skupine za matematiko v gimnazijah in predmetne komisije za spremljanje
in posodabljanje učnih načrtov. Napisala je priročnik z odgovori na ustna
vprašanja iz maturitetnega kataloga in je soavtorica učbenikov in zbirk vaj
za matematiko, ki se pripravljajo po novem učnem načrtu za gimnazije.
Sonja France, prof.
Sonja France je profesorica matematike in od leta 1991 uči matematiko na
Šolskem centru Velenje.
Poleg dela v razredu, ki ga opravlja korektno in uspešno, je že vrsto let
mentorica dijakom na vseh treh ravneh matematičnih tekmovanj. Dijaki so
pod njenim mentorstvom posegli po številnih zlatih priznanjih na državnih
tekmovanjih, osvojili dve srebrni medalji na sredozemskih tekmovanjih in
bronasto medaljo na matematični olimpijadi. Leta 2005 je tudi organizirala
državno tekmovanje iz matematike za srednješolce.
Na svoji šoli že nekaj let vodi aktiv matematikov, sodeluje v številnih
projektih ZRSŠ in MŠŠ ter svoje bogato znanje in izkušnje nesebično prenaša
na sodelavce in študente.
Florjana Žigon, prof.
Florjana Žigon je profesorica matematike in fizike. V šolstvu je zaposlena
že od leta 1973, danes uči fiziko na Gimnaziji Bežigrad v Ljubljani.
Najpomembnejše zanjo je kvalitetno delo v razredu, veliko časa in ener-
gije pa posveča nadarjenim dijakom. Vsako leto pripravlja za tekmovanja iz
fizike več skupin dijakov, ki na državnih tekmovanjih mnogokrat posegajo po
zlatih priznanjih. Pod njenim mentorstvom so dijaki v zadnjih desetih letih
z mednarodnih fizikalnih olimpijad prinesli domov tri srebrne, tri bronaste
medalje in pet pohval.
Florjana Žigon je soavtorica knjige Vprašanja, naloge, odgovori, ki je
bila napisana za pomoč dijakom in učiteljem pri pripravi na maturo, in
recenzentka nekaj srednješolskih učbenikov za fiziko. Na svoji šoli že več let
vodi aktiv fizikov in vnaša fiziko v različne projekte na šoli.
Na podlagi predlogov pripravila Lucijana Kračun Berc
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 227
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 228 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Jin Akiyama in Mari-Jo Ruiz, Dogodivščine v deželi
matematičnih čudes, World Scientific Publishing, London, 2008,
233 strani.
Jin Akiyama je profesor matema-
tike in direktor Raziskovalnega inšti-
tuta za razvoj izobraževanja Univerze
Tokai v Tokiu. Ukvarja se z diskretno
geometrijo, teorijo grafov in didaktiko
matematike. Na Japonskem je znan
po zelo uspešnih televizijskih oddajah,
s katerimi že od leta 1991 približuje
matematiko širšemu krogu ljudi. Na
podlagi izkušenj s televizijskimi odda-
jami se je porodila zamisel o muzeju
oz. hiši, kjer bi (predvsem mladi) obi-
skovalci ob praktičnih izkušnjah z raz-
stavljenimi modeli odkrivali in doži-
veli čudesa matematike. Tako je leta
2003 v Hokaidu na Japonskem osnoval
Deželo matematičnih čudes, nekakšen
muzej interaktivnih matematičnih modelov. Skupaj z Mari-Jo Ruiz, profe-
sorico matematike, upraviteljico Univerze Ateneo de Manila na Filipinih in
prejemnico številnih državnih nagrad za izjemno poučevanje, sta napisala
zanimivo knjigo, ki nas v družbi treh mladih izmišljenih junakov popelje na
potep po Deželi matematičnih čudes.
Knjiga Dogodivščine v Deželi matematičnih čudes opisuje izkustva treh
prijateljev, učencev višjih razredov osnovne šole, ob njihovem obisku Dežele
matematičnih čudes. Dan, ki ga preživijo v tej hiši matematičnih čudes, je
poln zanimivih odkritij in izzivov. Med drugim se fantje namesto navadnega
sprehoda po Deželi matematičnih čudes prevažajo s prav posebnimi kotal-
kami. Čeprav kolesa kotalk niso okrogla, temveč imajo obliko napihnjenih
trikotnikov, omogočajo gladko vožnjo. Fantje se nato poučijo o krivuljah
s konstantno širino ter spoznajo še nekatere druge primere in protiprimere.
Spoznajo stroj, ki izdeluje kvadratne luknje, ter se preizkusijo v tekmova-
228 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 229 — #2 i
i
i
i
i
i
Dogodivščine v deželi matematičnih čudes
nju spuščanja po toboganih, ki imajo oblike različnih krivulj. Z vrečkami,
napolnjenimi s peskom, ki si jih stlačijo v žepe, izenačijo svoje mase ter se
istočasno spustijo po teh različnih toboganih. Eden izmed toboganov vedno
omogoča najhitrejši spust in fantje nato spoznajo krivulje, imenovane ciklo-
ide, ter brahistohronsko lastnost. Nadvse zanimivi sta tudi Pitagorova soba,
polna pravokotnih trikotnikov, ter glasbena soba, kjer lahko tekajo po glas-
benih stopnicah in sami odkrivajo povezanost glasbe in matematike. Tam
so še posebna igralna naprava, imenovana matematični pachinko, tricikel s
kvadratnimi kolesi, naprava, ki samodejno izračuna največji skupni delitelj
in najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ter še veliko drugih zanimivih
interaktivnih modelov, ki jih fantje preizkusijo. Ob tem neizmerno uživajo,
obenem pa vsaka taka izkušnja z modeli zbudi v njih radovednost ter jih
spodbudi k lastnemu nadaljnjemu raziskovanju in matematičnemu odkriva-
nju. Na potepanju po Deželi matematičnih čudes spoznajo nekaj prijaznih
vodnikov, ki jim v izziv ponudijo tudi različne aktivnosti, kot so: posebno
zvijanje, zgibanje ter rezanje papirja. Prav osupljiv je rezultat, ki ga dobimo,
če dva Möbiusova trakova zalepimo pravokotno drug na drugega, pri čemer
je en Möbiusov trak zvit v eno smer, drugi pa v drugo, ter ju razrežemo
po črti, ki poteka vzdolž vsakega traku ter deli širino traku na dva dela.
Dobimo namreč dve prepletajoči se srci. Fantje spoznajo tudi enostaven na-
čin, kako iz razrezanih tetraedrov izdelamo sestavljanke, podobne tistim, ki
jih je ustvarjal slavni nizozemski umetnik Escher in s katerimi lahko tlaku-
jemo ravnino. Vključeno je tudi poglavje o stožnicah z navezavo na njihovo
uporabnost v vsakdanjem življenju ter spoznavanje t. i. obrnljivih teles in
teles, s katerimi lahko zapolnimo tridimenzionalni prostor. Ko ob koncu
dneva, preživetega v Deželi matematičnih čudes, fantje odhajajo od tam, so
bogatejši za veliko novih spoznanj, obenem pa polni resničnega spoštovanja
do matematike. Izkusili in spoznali so namreč njeno lepoto, uporabnost in
neizbežnost.
Knjiga je napisana tako, da jo lahko berejo najstniki ali morda celo
mlajši. Vendar ne moremo reči, da gre za otroško knjigo. Čeprav je napi-
sana v stilu, ki je popolnoma primeren za najstniškega bralca, bo pritegnila
tudi marsikaterega odraslega človeka, ki bo posegel po njej. Ne glede na to,
kakšno matematično predznanje ima bralec, bo ob branju te knjige spoznal
nekatera čudovita matematična dejstva, ki jih prej ni poznal, ter občutil za-
dovoljstvo ob razumevanju. Omeniti je treba, da se v knjigi pojavijo besede,
kot so: Rouleauxov trikotnik, epicikloidna krivulja, brahistrohrona krivulja,
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 229
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 230 — #3 i
i
i
i
i
i
tavtohrona krivulja, ki se bodo mlademu bralcu najverjetneje zdele neznane
in težke, vendar pa za samo razumevanje besedila niso bistvene.
V knjigi so predstavljene matematične vsebine in modeli, ki se do sedaj
še nikoli niso pojavili v knjigah podobnih zvrsti; npr. obrnljiva telesa, tlako-
vanje ravnine s kosi, ki jih dobimo iz razrezanih tetraedrov, in dvofunkcijska
telesa, ki so izpeljana iz avtorjevih lastnih znanstvenih člankov, objavljenih
v matematičnih revijah. Knjiga je privlačna tudi na pogled. Pritegne nas že
ob samem listanju, saj vsebuje veliko živahnih barvnih ilustracij potepanja
po Deželi matematičnih čudes. Na koncu je naveden obširen seznam virov
ter osnovni podatki o avtorjih knjige.
Namen knjige je vzbuditi pri mladih zanimanje za matematiko ter jim na
zanimiv način približati nekatere matematične vsebine. Iz te knjige se lahko
veliko naučijo tudi starši in učitelji. Slednjim je lahko odličen pripomoček
za popestritev učnih ur matematike ter vir novih idej.
Knjižico lahko naročite pri DMFA–založništvo po članski ceni 16,00 EUR.
Darja Antolin
VESTI
MARTIN GARDNER (21. 10. 1914 – 22. 5. 2010)
Letos je v 96. letu življenja umrl
svetovno znani popularizator matema-
tike Martin Gardner. Po diplomi iz
filozofije l. 1936 na chicaški univerzi
se je ukvarjal z novinarstvom, 2. sve-
tovno vojno preživel v ameriški mor-
narici, nato pa se je posvetil pisa-
nju literarnih, filozofskih in znanstve-
nokritičnih člankov za različne časo-
pise, zanimali pa so ga tudi magični
triki.
Za popularizacijo matematike je
pomembno njegovo pisanje rubrikeMa-
tematične igre (Mathematical Games)
v po svetu zelo razširjenem mesečniku
Scientific American, ki je nepretrgoma
230 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 231 — #4 i
i
i
i
i
i
Martin Gardner
trajalo od leta 1957 do 1981. Za mnoge je bila to prava akademija razve-
drilne matematike in mnoge, predvsem v Ameriki, je ravno to usmerilo v
študij matematike. Lahko rečemo, da je odprl oči splošne javnosti za le-
poto in zanimivost matematike, čeprav sam ni imel formalne matematične
izobrazbe. Marsikateri pomemben matematični pojem je svet spoznal prek
Gardnerja, še preden se je pojavil v drugih revijah. Članke je nato dopolnil
in izdal v številnih knjigah, ki so prevedene v večino svetovnih jezikov. V
slovenščini smo dobili edini Gardnerjev prevod leta 1988 (in leta 1992 po-
natis), ko je Državna založba izdala knjigo AHA! PA TE IMAM v prevodu
Tamare Bohte. Prevod druge se je tudi pripravljal, vendar je DZS leta 1992
zbirko Z logiko v leto 2000 opustila.
Gardner je bil vse življenje, kot bi pri nas rekli, samostojen kulturni de-
lavec, živel je torej le od pisanja. In do konca življenja se je pod njegovim
avtorstvom nabralo kar okoli 70 knjig. Bil je bolj plašne narave in se je
izogibal javnemu nastopanju. Tako je odklanjal nagrade in časti, če so bile
povezane z nastopom. Leta 1993 ga je zbiralec ugank T. Rogers prepričal, da
se je udeležil večera, posvečenega reševanju Gardnerjevih problemov. Enako
se je zgodilo leta 1996. Od tedaj se vsako sodo leto zberejo Gardnerjevi
privrženci (npr. John H. Conway, Raymond Smullyan) – brez Gardnerja –
na konferenci, imenovani Gathering for Gardner (Zbor za Gardnerja), kjer
je na sporedu razvedrilna matematika, ki jo posamezniki gojijo. G4G9 je
bila marca letos.
LITERATURA
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Martin_Gardner
[2] http://www.g4g4.com/
Izidor Hafner
Iz intervjuja, ki ga je z M. Gardnerjem leta 2004 opravil Don Albers,
objavljen je bil v This Side of the Pond, The Blog of Cambridge University
Press, 30. septembra 2008, http://www.cambridgeblog.org/2008/09/the-
martin-gardner-interview/ navajamo:
Matematika mi je v tako veselje, ker ima nenavadno, nezemeljsko lepoto.
Težko je opisati močan občutek ugodja ob študiju elegantnega dokaza; ta ob-
čutek je še močnejši ob odkritju prej neznanega dokaza. To sem na nizkem
nivoju izkusil štirikrat: (1) Odkril sem najmanjše možno število ostrokotnih
trikotnikov, na katero lahko razrežemo kvadrat. (Coxeter je vključil razrez v
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 231
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 232 — #5 i
i
i
i
i
i
svojo klasiko Introduction to Geometry.) (2) Našel sem minimalno omrežje
Steinerjevih dreves, ki povezujejo vse vogale šahovnice. (3) Z dvobarvanjem
sem dokazal, da je v vsakem večkotniku z dolžinami stranic v zaporedju 1, 2,
3 . . . in koti 90 ali 270 stopinj – število stranic deljivo z 8. (4) Razvil sem
nov diagramski opis izjavne logike.
VPRAŠANJA IN ODGOVORI
Spoštovani bralci, tokrat vam v zabavo in izziv ponujamo nekaj nalog
M. Gardnerja. Za začetek lahko poiščete osemkotnik z lastnostmi, omenje-
nimi v točki (3) zgornje Gardnerjeve izjave. Spodnje naloge 1–9 je pripravil
Izidor Hafner, 10. nalogo je prispeval naš bralec Etbin Bras, zadnja pa je
naša priredba neke Gardnerjeve naloge. Večina nalog izhaja iz Gardnerjevih
prispevkov za Scientific American.
Tudi tokrat vas vabimo, da nam pošljete svoje rešitve ter predloge na-
log na naslov zaloznistvo@dmfa.si. Rešitve bomo objavili v eni naslednjih
številk.
1. Zakaj brivec v Ženevi raje obrije dva Francoza kot enega Nemca?
2. Pri katerih treh naravnih številih je vsota enaka njihovemu produktu?
3. V enakokrakem trikotniku sta kraka dolžine 1. Koliko je dolžina osnov-
nice, če ima trikotnik maksimalno možno ploščino?
4. Kateri znani angleški rek je izražen s spodnjim stavkom simbolne logike?
2B ∨ ¬2B = ?
5. Nekega julija opolnoči je v Omahi močno deževalo. Ali je možno, da je
bilo po 72 urah sončno?
6. „Gospod Novak ima več kot tisoč knjig,“ pravi Janez.
„Ne, manj jih ima,“ zanika Peter.
„Gotovo ima vsaj eno,“ je prepričana Tina.
Če je samo ena od zgornjih trditev resnična, koliko knjig ima gospod
Novak?
7. Kako je bilo ime sekretarju OZN pred 35 leti?
232 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 233 — #6 i
i
i
i
i
i
Naloga
8. Spodnji sliki prikazujeta razdelitev lika na štiri skladne dele. Tvoja
naloga je, da razdeliš kvadrat na pet skladnih delov.
9. Z eno (ne nujno ravno) črto razdeli lik na dva skladna dela.
10. Preglednico dopolni tako, da bo v drugi vrstici pod vsako števko zapi-
sano število pojavitev te števke v preglednici. (Naloga ima dve rešitvi.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11. Na vrtiljaku so konjički postavljeni v radialnih vrstah, ki se raztezajo
prek zunanjih dveh tretjin polmera vrtiljaka. Ob vrtiljaku stoji Anja,
ki želi prešteti število vrst s konjički. Na vrtiljaku je David, ki ji je
pripravljen nagajivo pomagati. Namesto da bi stal na mestu, hodi po
zunanjem robu vrtiljaka v smeri njegovega vrtenja. David Anji pove, da
gre med njunima zaporednima srečanjema mimo 20 konjičkov. Nato se
premakne do notranje vrste konjičkov, kjer ob dvakrat hitrejšem teku v
nasprotni smeri med zaporednima srečanjema prečka 40 vrst. V koliko
vrstah stojijo konjički na vrtiljaku?
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 233
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 234 — #7 i
i
i
i
i
i
VESTI
ZOISOVE NAGRADE 2010
V Cankarjevem domu so 23. novembra 2010 podelili Zoisove nagrade in
priznanja. Med nagrajenci so tudi trije člani DMFA. Prof. dr. Janez Dolin-
šek je prejel Zoisovo nagrado za vrhunske dosežke pri raziskavah fizikalnih
lastnosti novih kompleksnih materialov na kovinski osnovi, prof. dr. Andrej
Jamnik je prejel Zoisovo priznanje za pomembne dosežke v fizikalni kemiji,
prof. dr. Janez Mrčun pa Zoisovo priznanje za pomembne dosežke v mate-
matiki. Uredništvo vsem čestita za uspeh.
Zoisova nagrada za vrhunske dosežke
Prof. dr. Janez Dolinšek
Profesor dr. Janez Dolinšek
s Fakultete za matematiko in
fiziko Univerze v Ljubljani ter
Instituta Jožefa Stefana je pre-
jel Zoisovo nagrado za raziskave
fizikalnih lastnosti novih kom-
pleksnih materialov na kovinski
osnovi. Nagrada je bila pode-
ljena za več odmevnih rezulta-
tov. Raziskovalni skupini prof.
J. Dolinška je v letu 2009 uspel znanstveno-tehnološki preboj na področju
shranjevanja digitalnih podatkov, saj so razvili termično spominsko celico
za digitalne aplikacije, ki deluje na osnovi spremembe temperature brez pri-
sotnosti električnega ali magnetnega polja. Termični spomin s termičnim
zapisom digitalne informacije je konceptualno nova vrsta digitalnega spo-
mina.
Raziskovalna skupina prof. Dolinška je bila uspešna tudi na področju
„pametnih“ materialov z odkritjem kovinskih kvaziperiodičnih spojin dru-
žine Al–Cr–Fe in epsilon faz v sistemu Al–Pd–prehodni element, v katerih
nastopa doslej še neznana kombinacija električni prevodnik-toplotni izolator
z električno prevodnostjo, tipično za kovine, in toplotno prevodnostjo, enako
okenskemu steklu. Odkritje omogoča izdelavo električno prevodnih kovin-
234 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 235 — #8 i
i
i
i
i
i
Zoisove nagrade 2010
skih elementov, ki se pod tokom grejejo bistveno manj kot klasične kovine.
Prof. J. Dolinšek je s sodelavci v letih 2003–2006 z NMR spektroskopijo
raziskoval vpliv spinske orientacije sosednjih Mn magnetnih momentov na
električno upornost v manganovih perovskitih in prispeval k boljšemu ra-
zumevanju pojava kolosalne magnetoupornosti. To je lastnost materialov,
da pod vplivom magnetnega polja dramatično spremenijo svoj električni
upor. Pojav je doživel široko uporabo v magnetnih spominskih medijih, kjer
je omogočil povečanje hitrosti magnetnega zapisovanja in čitanja digitalnih
podatkov. Za odkritje pojava sta Grünberg in Fert leta 2007 prejela Nobe-
lovo nagrado za fiziko. Pojav teoretično še danes ni povsem pojasnjen, zato
se raziskave nadaljujejo.
Raziskovalna skupina prof. J. Dolinška je raziskovala fizikalne lastnosti
kvazikristalov (magnetizem, električne in termične transportne lastnosti, di-
namika kvazikristalov z NMR spektroskopijo) in rešila nekatera pomembna
vprašanja fizike teh nenavadnih kovinskih spojin. Kvazikristali so spojine
kovinskih elementov, v katerih obstaja nov strukturni red dolgega dosega
brez translacijske simetrije. Kvazikristali imajo zanimive fizikalne lastnosti,
ki kažejo na možnost njihove široke uporabe. So trši od jekel, kemijsko ne-
reaktivni (ne korodirajo), slabi električni in toplotni prevodniki, imajo maj-
hen količnik trenja. Raziskave so razširili na kompleksne kovinske spojine;
pojasnili so nekatera pomembna vprašanja fizike teh nenavadnih kovinskih
spojin, ki so nova vrsta trdnih snovi v kristalnem stanju z gigantskimi osnov-
nimi celicami, v katerih je od nekaj sto do nekaj tisoč atomov. Kompleksne
kovinske spojine kažejo dualnost; na veliki skali so periodični kristali, na
majhni skali pa so kvazikristali. Poleg tega kažejo „pametne“ kombinacije
nezdružljivih lastnosti, kot so električni prevodnik-toplotni izolator ter kom-
binacijo trdote, elastičnosti in majhnega količnika trenja. Njihova struktura
omogoča skladiščenje velikih količin vodika, zato so primerne za uporabo pri
skladiščenju vodika za potrebe gorivnih celic. Mobilnost vodika v kovinskih
hidridnih fazah je pomembna lastnost materialov za skladiščenje vodika.
Mobilnost je povezana z difuzijsko konstanto vodika, vendar doslej ni bilo
ustreznih eksperimentalnih metod za direktno določitev izredno majhne di-
fuzijske konstante vodika v kovinskih hidridnih fazah. Prof. J. Dolinšek in
sodelavci so problem rešili z mersko metodo za direktno določitev difuzijske
konstante na osnovi NMR spektroskopije. Pri tem so uporabili ultramočne
statične gradiente stresanega magnetnega polja superprevodnega magneta
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 235
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 236 — #9 i
i
i
i
i
i
Vesti
in tako pomaknili detekcijski prag difuzijske konstante navzdol za tri rede
velikosti.
Znanstveno delo prof. dr. Janeza Dolinška na področju raziskav fizikal-
nih lastnosti novih kompleksnih materialov na kovinski osnovi je izredno
obširno in obsega skupno 74 originalnih člankov v mednarodnih revijah v
obdobju 2003–2009. Dela prinašajo vrhunske rezultate v obliki novih kon-
ceptov in idej, pomembnih za nadaljnji razvoj znanosti v svetu na področju
fizike naprednih materialov, ter nove eksperimentalne in teoretične metode
za raziskave fizike snovi. Pomembna neodvisna mednarodna potrditev ome-
njenih dejstev je bilo tudi to, da je Komisija EU za znanost dodelila Institutu
Jožefa Stefana stalno letno Evropsko šolo o znanosti materialov in imenovala
prof. dr. Janeza Dolinška za njenega direktorja in glavnega organizatorja.
Zoisovo priznanje za pomembne dosežke v fizikalni kemiji
Prof. dr. Andrej Jamnik
Dr. Andrej Jamnik je študiral kemijo na Oddelku za
kemijo FNT Univerze v Ljubljani. Po doktoratu s čisto
teoretičnega področja fizikalne kemije, ki ga je opravil
pod mentorstvom prof. dr. Dušana Bratka, je bil na po-
doktorskem izpopolnjevanju v Gradcu v Avstriji.
Namen tega izpopolnjevanja je bilo učenje teoretič-
nega ozadja in eksperimentalnih veščin metode ozkoko-
tnega rentgenskega sipanja, ki se uporablja za raziskave
strukturnih značilnosti koloidnih (nano)sistemov, končni cilj pa uvedba te
eksperimentalne tehnike v laboratorij v Ljubljani. Dr. Andrej Jamnik, se-
daj izredni profesor na Fakulteti za kemijo in kemijsko tehnologijo Univerze
v Ljubljani, je avtor izvirnih znanstvenih dosežkov na področju fizikalno-
kemijskih raziskav tekočin in raztopin v homogeni fazi ter v nehomogenem
okolju, ko so ti sistemi pod vplivom zunanjega polja.
Pri svojem raziskovalnem delu uspešno združuje teoretične in eksperi-
mentalne raziskave. Pri teoretični obravnavi meddelčnih prostorskih korela-
cij v homogenih in nehomogenih sistemih uporablja metode statistične me-
hanike, kot so integralske enačbe, teorija gostotnega funkcionala in simula-
cija Monte Carlo (MC). Teoretične rezultate primerja z rezultati, dobljenimi
z meritvami ozkokotnega rentgenskega sipanja. Med njegove najpomemb-
236 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 237 — #10 i
i
i
i
i
i
Zoisove nagrade 2010
nejše dosežke spada razvoj metode za izračun rentgenskega sipanja delcev na
osnovi simulacije MC in posplošitev algoritma za simulacijo enokomponen-
tnega modelnega sistema adhezivnih kroglic (angl. „Adhesive Hard Sphere
model“, AHS) – to je medmolekulskega potenciala, ki vzorči privlačne inte-
rakcije pri eni sami kontaktni razdalji na mešanice s poljubno mnogo kompo-
nentami. Delo daje osnovo za študij mešanic koloidnih delcev, kjer je doseg
sil med koloidnimi delci precej krajši od njihovih dimenzij, njegova razširitev
na asimetrične sisteme pa omogoča obravnavo liofilne interakcije med kolo-
idnimi delci v disperziji. S simulacijo MC ter z Ornstein-Zernike (OZ) inte-
gralsko enačbo v Percus-Yevickovem (PY) približku je dr. Jamnik obravna-
val lastnosti binarnih mešanic v homogenem sistemu ter njihovo strukturo in
adsorpcijo v planarnih porah, ki ponazarjajo porozno snov. Pokazal je, da se
v porozni snovi posamezni komponenti mešanice absorbirata selektivno, kar
vodi do njune delne ločitve iz mešanice. Simulacijo MC je razširil na odprte
sisteme, kjer je vpeljal izvirno tehniko dodajanja in odvzemanja delcev, ki
se je izkazala za zelo učinkovito. Model za nesimetrično binarno mešanico je
uporabil za obravnavo urejanja privlačnih koloidnih delcev dvokomponentne
koloidne disperzije ob togi trdni površini in za študij prispevka topila k sili
med koloidnimi delci. Silo je računal z uporabo posebne tehnike kanonične
simulacije, ki omogoča ločeno vzorčenje prispevkov zveznega in nezveznega
dela potenciala interakcije koloid-molekule topila na celotno silo med kolo-
idnimi delci. Pokazal je, da pri dovolj močnih privlačnih interakcijah med
molekulami topila postane sila daljnosežna in privlačna pri vseh razdaljah
med koloidi. In nadalje, da odbojne interakcije koloid-molekule topila vo-
dijo do privlačne sile med koloidnimi delci, nasprotno pa privlačne interakcije
med koloidom in topilom povzročijo odbojno silo med koloidi. Primerjava
med rezultati, ki jih je dobil z rešitvijo PY/OZ integralske enačbe, ter si-
mulacijami kaže, da se teorija zadovoljivo obnese tako pri homogenih kot
tudi nehomogenih sistemih. Skupaj s sodelavci je razvil metodo za račun
rentgenskega sipanja delcev na osnovi rezultatov simulacije MC. S simulacijo
MC v izobarnem ansamblu je računal sipanje modelnih alkoholov in alde-
hidov ter izračunane vrednosti primerjal z meritvami. Intenziteto sipanja
je računal na osnovi znane Debyjeve enačbe in z metodo recipročne mreže.
Za odstranitev sipanja ozadja, to je sipanja celotne MC škatle, katere ve-
likost pokaže zgornjo mejo opazovanih dimenzij, so avtorji predlagali vrsto
postopkov. Ta metoda omogoča direktno primerjavo izračunanih sipalnih
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 237
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 238 — #11 i
i
i
i
i
i
Vesti
krivulj z eksperimentalnimi rezultati, to je brez običajne poprejšnje loči-
tve celotnega sipanja na prispevka strukture sipajočih delcev ter interakcij
med njimi. Omogoča tudi izvedbo teoretične različice eksperimentalnega
postopka variacije kontrasta, ki se sicer često uporablja pri eksperimentalni
metodi ozkokotnega nevtronskega sipanja. Dr. Jamnik je rezultate raziskav
objavil v zelo uglednih revijah s področja fizikalne kemije in kemijske fizike.
Zoisovo priznanje za pomembne dosežke v matematiki
Prof. dr. Janez Mrčun
Rodil se je leta 1966 v Ljubljani. V letu 1996 je dok-
toriral na Matematičnem inštitutu Univerze v Utrechtu
na Nizozemskem. Od leta 1996 je zaposlen na Oddelku
za matematiko Fakultete za matematiko in fiziko Uni-
verze v Ljubljani.
Na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehaniko je
bil v letih od 2001 do 2004 nosilec raziskovalnega pro-
jekta Algebraične invariante Liejevih grupoidov, ki ga je
Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport Republike Slovenije uvrstilo na na-
cionalno listo temeljnih raziskovalnih projektov. Od leta 2009 dalje je vodja
temeljnega raziskovalnega projekta Foliacije, orbiterosti in Liejevi grupoidi,
ki ga za dobo treh let financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije.
Vabljena predavanja je imel med drugim tudi v Bures-sur-Yvette (IHES),
na Dunaju (ESI) in na univerzah v Amsterdamu, Bruslju, Helsinkih, Man-
chestru in Strasbourgu. Skupaj z I. Moerdijkom je soavtor znanstvene mono-
grafije Introduction to Foliations and Lie Groupoids (Cambridge University
Press, 2003).
V svojem delu se osredotoča na raziskave nekaterih pomembnih tipov
geometrijskih struktur s singularnostmi, ki jih obravnava s teorijo Liejevih
grupoidov. Znanstveno delo dr. Janeza Mrčuna je bilo v zadnjem obdobju
zelo plodovito in je prineslo bistveno nova spoznanja na področju teorije Li-
ejevih grupoidov in Liejevih algebroidov, ki so pomembno vplivala na razvoj
matematičnega raziskovanja na tem področju v svetovnem merilu. Njegove
znanstvene objave so skoraj brez izjeme daljša in poglobljena dela, obja-
vljena v odličnih, nekatera celo v elitnih matematičnih revijah. Citiranost
njegovih del, kakor tudi pogosta vabila na znanstvene obiske in predavanja
238 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 239 — #12 i
i
i
i
i
i
Zoisove nagrade 2010
na mednarodnih matematičnih konferencah dokazujejo, da so raziskave dr.
Mrčuna pritegnile veliko pozornost v mednarodnem merilu. Soavtorstvo v
znanstveni monografiji pri Cambridge University Press kaže, da dr. Mrčun
sodi med vodilne avtoritete na svojem področju v svetovnem merilu.
LITERATURA
[1] http://www.mvzt.gov.si/nc/si/splosno/cns/novica/article/94/6829/81776d9a2a/
(ogled 15. 12. 2010)
[2] osebna korespondenca
Aleš Mohorič
NOVI ČLANI DRUŠTVA V LETIH 2009 IN 20101
Lani se je v Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije včla-
nilo 28 novih članov:
2304. Blenkuš Domen
2305. Červan Lea
2306. Čuk Kozoderc Polona
2307. Gogala Jaka
2308. Gorinšek Suzana
2309. Gorše Jan
2310. Guštin Andrej
2311. Jezernik Urban
2312. Juričinec Maja
2313. Kebe Sara
2314. Kodba Stane
2315. Kukec Mezek Miha
2316. Lesjak Mihaela
2317. Novak Klemen
2318. Obrez Marko
2319. Orel Marko
2320. Pestotnik Rok
2321. Pezdirc Matej
2322. Prah Jože
2323. Rožič Brigita
2324. Šoštarič Martina
2325. Švagan Majda
2326. Škulj Jasna
2327. Trošt Simon
2328. Urbančič Jurij
2329. Valentan Milena
2330. Vovk Simon
2331. Žvokelj Mojca
Letos se je v Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije včla-
nilo 7 novih članov:
2332. Hauko Nataša
2333. Klinc Metka
2334. Kovič Miloš
2335. Radovič Marija
2336. Režonja Valerija
2337. Simonič Aleksander
2338. Tepej Jočić Lucija
Tadeja Šekoranja
1Novi člani DMFA Slovenije za leto 2008 so bili objavljeni v Obzorniku za matematiko
in fiziko 56 (2009) 3, stran XI.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 239
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 240 — #13 i
i
i
i
i
i
Vesti
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 57 (2010)
številke 1–6, strani 1–240
Članki — Articles
Schnirelmannov izrek — Schnirelmann’s theoremm (Vinko Medic) . . . . . 1–10
Detekcija nevidnih interferenčnih slik z Michelsonovim interferometrom
— Detection of invisible interference patterns using Michelson interfero-
meter (Ivo Verovnik in Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–19
Abelova nagrada 2009 Mikhaelu Gromovu — The 2009 Abel prize to
Mikhael Gromov (Franc Forstnerič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–52
O profesorju Josipu Plemlju — About professor Josip Plemelj (Anton
Suhadolc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53–57
Ob dvestoletnici Aragojevega poskusa — At the bicentenary of Arago’s
experiment (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58–63
Logistična porazdelitev — The logistic distribution (Marko Razpet) . . . 81–96
Petdesetletnica laserjev — The fiftieth aniversary of lasers (Janez Strnad) 97–106
Prava simetrična verižnica — The true symmetric catenary (Marko Raz-
pet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–133
Naravna konvenkcija v vodoravnem valju — Natural convection in a ho-
rizontal cylinder (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–143
Aritmetika dvojiških končnih obsegov — Arithmetic of binary finite fields
(Jernej Tonejc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–175
Presneti čaj — The teapot effect (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176–182
Eulerjeva števila v analizi — Euler numbers in analysis (Marko Razpet) 197–215
Stefanovo število — The Stefan number (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . 216–217
Šola — School
Merjenje kvalitete (Damjan Kobal in Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–155
Zgodovina reševanja polinomskih enačb — History of solving polynomial
equations (Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183–195
Intervju — Interview
Tomaž Schara (pripravil Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–38
Vprašanja in odgovori — Questions and Answers
Gepard in gazela – naloga (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156–XV
Nekaj Gardnerjevih nalog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–233
240 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6
i
i
“mohoric” — 2010/12/23 — 11:31 — page 241 — #14 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Nove knjige — New books
Elementarna teorija števil (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39–40
Making the Alphabet dance (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66
Solving Mathematical Problems (Peter Šemrl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66–71
A Mathematical Nature Walk (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71–72
The Center and Cyclicity Problems (Dušan Repovš) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–76
Café Andromeda (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107–109
Wer nicht sucht, der findet (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–114
Puzzle-Based Learning (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Naming infinity (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–118
Fiziki 7 (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–120
Einstein Entformelt (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–146
Dve knjigi o Robertu Hooku (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–148
Mathematicians (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Schwarze Löcher (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196–XIX
Dogodivščine v deženi matematičnih čudes (Darja Antolin) . . . . . . . . . . . . 228–230
Vesti — News
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III
Strokovna ekskurzija (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
Prejemniki državnih nagrad v letu 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77–VII
Predavanja profesorja Manfreda Spitzerja o nevroznanosti in učenju (Pe-
ter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Vabilo (Janez Selinger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–XI
Obvestilo (Janez Selinger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Astronomske novice (Anja Lautar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA (Nada Razpet in Janez Krušič) 218–224
Častni član DMFA Slovenije (Lucijana Kračun Berc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224–226
Prejemniki društvenih priznanj (Lucijana Kračun Berc) . . . . . . . . . . . . . . . 226–227
Martin Gardner (21. 10. 1914–22. 5. 2010) (Izidor Hafner) . . . . . . . . . . . . . 230–232
Zoisove nagrade 2010 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234–239
Novi člani društva v letih 2009 in 2010 (Tadeja Šekoranja) . . . . . . . . . . . . . 239
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 6 XXIII
i
i
“kolofon” — 2010/12/23 — 11:29 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, NOVEMBER 2010
Letnik 57, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Eulerjeva števila v analizi (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–215
Stefanovo število (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216–217
Nove knjige
Dogodivščine v deželi matematičnih čudes (Darja Antolin) . . . . . . . . . . . . 228–230
Vesti
Strokovno srečanje in občni zbor (Nada Razpet in Janez Krušič) . . . . . . 218–224
Častni član DMFA Slovenije (Lucijana Kračun Berc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224–226
Društvena priznanja za leto 2010 (Lucijana Kračun Berc) . . . . . . . . . . . . . 226–227
Martin Gardner (Izidor Hafner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230–232
Zoisove nagrade 2010 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234–239
Novi člani društva v letih 2009 in 2010 (Tadeja Šekoranja) . . . . . . . . . . . . 239
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240–XXIII
Vprašanja in odgovori
Nekaj Gardnerjevih nalog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–233
CONTENTS
Articles Pages
Euler numbers in analysis (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–215
The Stefan number (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216–217
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228–230
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218–XXIII
Questions and answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–233
Na naslovnici je Leonhard Paul Euler, švicarski matematik, fizik in astronom, ro-
jen 15. aprila 1707 v Baslu, Švica, umrl 18. septembra 1783, Sankt Peterburg,
Rusija. Velja za enega najpomembnejših matematikov 18. stoletja kot tudi vseh
časov. Njegova odkritja sežejo na različna področja matematike, na primer v infini-
tezimalni račun, teorijo števil in teorijo grafov. Poleg tega je uvedel veliko sodobnih
matematičnih pojmov in oznak, še posebej v matematični analizi, na primer po-
jem funkcije. Zelo pomembna so tudi njegova dela iz mehanike, dinamike tekočin,
optike in astronomije.