IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
2013 Letnik 60 1
OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 60 • ŠT. 1 • STR. 1-40 • JANUAR 2013
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JANUAR 2013, letnik 60, številka 1, strani 1-40
Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč.
© 2013 DMFA Slovenije - 1892	Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
RESETO ZA ISKANJE PRASTEVILSKIH DVOJČKOV
SRECKO LAMPRET
Osnovna sola Vuzenica
Math. Subj. Class. (2010): 11A41
V članku izpeljemo novo karakterizacijo praStevilskih dvojčkov. S tem rezultatom dobimo elementarno metodo za iskanje praStevilskih dvojčkov do poljubno izbranega naravnega Stevila.
SIEVING TWIN PRIME PAIRS
In this paper a new characterization of twin prime pairs is obtained. This result gives us an elementary method for finding twin prime pairs up to a given integer.
Praštevilski dvojček je par prastevil oblike (p, p + 2). Razen 2 in 3 ima vsako prastevilo obliko 6k — 1 ali 6k + 1. Zato je vsak praštevilski dvojček, razen (3, 5), oblike (6k — 1, 6k + 1) za neko naravno stevilo k. V tem članku predstavljamo elementarno metodo za iskanje prastevilskih dvojčkov do poljubnega naravnega stevila, ki temelji na spodnjih rezultatih.
Lema 1. Naj bo p prastevilo oblike p = 6j + 1 ali p = 6j — 1. Potem za vsako naravno število i
(6 (pi + j) — 1, 6 (pi + j) + 1) in (6 (pi — j) — 1, 6 (pi — j) + 1)
nista praštevilska dvojčka.
Dokaz. Najprej predpostavimo, da je p = 6j + 1. Potem sta 6 (pi + j) +1 = 6pi + p = p (6i + 1) in 6 (pi — j) — 1 = 6pi — p = p (6i — 1) sestavljeni stevili za vsako naravno stevilo i. Podobno, če je p = 6j — 1, vidimo, da sta 6 (pi + j) — 1 in 6 (pi — j) + 1 sestavljeni stevili za vsako naravno stevilo i.m
Izrek 2. Naj bo k naravno .stevilo. Potem (6k — 1,6k + 1) ni prastevilski dvojček natanko tedaj, ko obstaja prastevilo p ^ yj6k + 1 oblike 6j ± 1 in tako naravno stevilo i, da je k = pi + j ali k = pi — j.
Dokaz. Najprej predpostavimo, da (6k — 1, 6k + 1) ni prastevilski dvojček. Potem bodisi 6k — 1 ali 6k + 1 ni pra stevilo.
Oglejmo si primer, ko 6k — 1 ni pra s tevilo. Potem obstaja tako pra s tevilo p < yj6k — 1 < yj6k + 1, da p deli 6k — 1. Zato p = 2,3. Po izreku o deljenju z ostankom obstajata taki nenegativni čeli stevili n, r, da je k = pn + r in
0 ^ r < p. Posledično velja p | 6 (pn + r) — 1 = 6pn + (6r — 1) in zato p | 6r — 1. Ker je 6r — 1 = pt za neko naravno Število t in r < p, vidimo, da je
6r — 1 6p — 1
t =- < —- < 6.
pp
Zato je t G {1,2,3,4, 5} in 6r — tp = 1. To pomeni, da sta 6 in t tuji si Števili in potemtakem t = 1 ali t = 5. Ker p = 2,3, velja bodisi p = 6j — 1 ali p = 6 j + 1 za neko naravno stevilo j.
Sprva si oglejmo primer, ko je p = 6j — 1. Ce je t = 5, sledi 1 = 6r — 5p = p (mod 6), kar je nemogoče. Torej t = 1 in zato je p = 6r — 1. Potem velja r = j in zato je k = pi + j za i := n. Pri tem velja, da je i > 0, kajti če bi bil i = 0, bi veljalo k = r in zato 6k — 1 = 6r — 1 = p, kar nas privede do protislovja.
Sedaj si oglejmo primer, ko je p = 6j + 1. Ce je t = 1, sledi p = 6r — 1 = —1 (mod 6), kar je nemogoče. Torej t = 5 in zato 6r — 1 = 5p = 30j + 5. Tako je r = 5j + 1 = p — j in zato k = pn + p — j = pi — j za i := n + 1 > 0. V primeru, ko 6k + 1 ni prastevilo, dokaz poteka podobno. Obratna implikacija sledi iz leme 1.	■
Sledi opis delovanja algoritma oz. reseta za iskanje prastevilskih dvojčkov do poljubnega naravnega stevila n.
1.	Napravimo seznam naravnih stevil k = 1, 2,..., [1].
2.	Poisčemo vsa prastevila 3 < p ^
Pomagamo si lahko z Eratostenovim resetom. Tako kot pri Eratoste-novem resetu tudi tu zadosča izvajati algoritem le tako dolgo, dokler prastevila ne dosezejo vrednosti v7^, saj v vsaki faktorizačiji vsaj en faktor ne presega tega stevila.
3.	Za vsako pra s tevilo 3 < p ^ ^fn naredimo sledeče:
-	če 6 | p + 1, potem j = pt1, sičer j = 1;
-	prečrtamo vsa stevila k = pi + j in k = pi — j za vsak i = 1,2,... z nasega seznama.
4.	Vsako preostalo naravno stevilo k s seznama nam da prastevilski dvojček (6k — 1, 6k + 1).
Skličujoč se na izrek 2, s to metodo dobimo vse prastevilske dvojčke do n, razen para (3, 5). V naslednjem primeru predstavimo konkretno delovanje tega algoritma za n = 250.
Primer 1. Poiscimo vse prastevilske dvojčke do 250. Napravimo seznam
naravnih stevil k = 1,2,..., 42. Nato poi sčemo vsa prastevila 3 < p < V nasem primeru so to 5, 7,11,13.
(i)	Za p = 5 = 6 ■ 1 — 1 velja j = 1 in zato iz nasega seznama prečrtamo vsa naravna stevila k oblik 5i — 1 in 5i + 1.
(ii)	Za p = 7 = 6 ■ 1 + 1 velja j = 1 in zato iz nasega seznama prečrtamo vsa naravna stevila k oblik 7i — 1 in 7i + 1.
(iii)	Za p = 11 = 6 ■ 2 — 1 velja j = 2 in zato iz na sega seznama prečrtamo vsa naravna stevila k oblik 11i — 2 in 11i + 2.
(iv)	Za p = 13 = 6 ■ 2 + 1 velja j = 2 in zato iz nasega seznama prečrtamo vsa naravna stevila k oblik 13i — 2 in 13i + 2.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	22	23	24	25	26	27	28	29	30
-31	32	33	-34	35	36	37	38	39	40
41	42								
Za vsako preostalo naravno stevilo k iz nasega seznama dobimo prastevilski dvojček (6k — 1,6k + 1). Ce dodamo se par (3, 5), dobimo vse prastevilske dvojčke do 250:
(3, 5), (5, 7), (11,13), (17,19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101,103),(107,109),(137,139), (149,151), (179,181), (191,193), (197,199), (227, 229), (239, 241).
Obstajajo tudi nekateri drugi algoritmi za iskanje prastevilskih dvojčkov, ki pa večinoma niso elementarni. Pri drugih, ki so elementarni, pa je, če hočemo poiskati prastevilske dvojčke do nekega poljubnega naravnega stevila n, ponavadi treba najprej poiskati vsa prastevila do n in nato med njimi po raznih metodah črtamo vsa tista pra stevila, ki niso del dvojčka. Pri algoritmu, ki je tu predstavljen, pa lahko poisčemo vse pra stevilske dvojčke do n, pri tem pa je predhodno (npr. z Eratostenovim resetom) treba poiskati le pra stevila do -Jn, kar je za dovolj velike n lahko prečej snja prednost.
Zahvala. Avtor se zahvaljuje dr. Danielu Eremiti za strokovne nasvete in tehnično pomoč pri nastajanju članka. Zahvaljuje se tudi rečenzentu za koristne predloge in skrbno branje članka.
PONCELETOVE KRIVULJE
MIRKO DOBO VIŠEK
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 15A63, 47A12, 51M04
V 18. stoletju so opazili, da velja naslednje: ce sta kroznici vcrtana in očrtana kro-znica nekemu trikotniku, sta vcrtana in očrtana kroZnica se neskončno mnogo trikotnikom z oglisci na zunanji kroZnici. Taki krivulji so poimenovali Ponceletovi krivulji. V clanku obravnavamo zgodovinski razvoj iskanja takih parov krivulj. Izkazalo se je, da enako velja tudi pri n-kotnikih. Ko so odkrili, da taksne krivulje niso nujno kvadrike, je raziskovanje dobilo nov zalet. Cele druzine takih krivulj so dobili kot rob numericne zaloge vrednosti matrike. V clanku je definicija numericnega zaklada, prikaz, kako dobimo Ponceletovo krivuljo kot rob numericnega zaklada, in primer, ko Ponceletova krivulja ni elipsa. Pred nekaj leti so ovrgli tudi hipotezo, da je vsaka Ponceletova krivulja rob numericnega zaklada. Klasifikacija vseh Ponceletovih krivulj je zato se vedno odprt problem.
PONCELET CURVES
In the 18th century mathematicians established the following: given two circles C1, inscribed to a given triangle, and C2, circumscribed to the same triangle, then Ci and C2 are inscribed and circumscribed circle to an infinite number of triangles. Such a pair of curves is called Poncelet's curves. In this article the early history of Poncelet's porism is discussed. The same property occurs also in the case of an n-sided polygon. In 1998 it was proved that the boundary of the numerical range on any n x n matrix that admits unitary bordering is an (n + 1)-Poncelet's curve with respect to the unitary circle, and that such curves need not be quadrics. The example of a Poncelet's curve that is not a quadric is given in this article. It is already known that not all Poncelet's curves are boundaries of a numerical range. All Poncelet's curves with respect to a circle have not yet been classified.
Ponceletova krivulja
Znana formula iz geometrije pove naslednje:
Trditev 1. Naj ima trikotniku očrtana krožnica polmer R, istemu trikotniku vcrtana krožnica pa polmer r. Ce označimo ž d razdaljo med središčema teh dveh kročnic, je
d2 = R2 - 2rR.	(1)
Formulo je prvi objavil William Chapple leta 1746 [1]. Chapple je bil navdušen ljubiteljski matematik. Njegov dokaz je poln napačnih logičnih razmislekov. V dokazu je brez pravilnega dokaza predpostavil, da če sta enkrat kroznici v tej legi in izberemo poljubno točko na zunanji kroznici, potem vedno lahko najdemo na zunanji kroznici se drugi dve oglisči trikotnika, da mu bosta dani krozniči očrtana in včrtana krozniča. Ta trditev je pravilna in je tema nasega članka. Povzetek in razlago Chapplovega dokaza lahko braleč najde v članku [2].
Trditev 1 pripisujejo Eulerju. Euler ni v nobenem od svojih stevilnih del omenil te formule. Je pa vsekakor dokazal naslednje:
Ce označimo z a, b in c straniče trikotnika, s P njegovo plosčino in z d razdaljo med sredisčema očrtane in včrtane krozniče, je:
2 _ (abc)2 abc (2) d _ 16P2 a + b + c'	(2)
Ko upostevamo, da sta polmer trikotniku očrtane in polmer včrtane krozniče
abc	2P
R _ —- in r _
4P	a + b + c'
dobimo Chapellovo formulo. Formula (2) direktno ne podaja zveze med polmeroma in razdalje med središčema, je bil pa Eulerjev dokaz pravilen.
Nicolaus Fuss je v članku [3] leta 1797 objavil zvezo med polmeroma očrtane in včrtane kroznice stirikotniku. Zveza je naslednja:
(R2 - d2)2 = 2r2(R2 + d2).
B4
A3
B1
A2
B2
Slika 2. Elipsi E\ in £2 imata 4-Ponceletovo lastnost.
Dokaz ni prav enostaven. Bralec ga lahko najde recimo v knjigi Heinricha Dorrieja [4]. Fuss se je kasneje ukvarjal tudi z nekaterimi drugimi mnogo-kotniki, vendar zvez ni nasel. Vedno pa se zgodi naslednje: ce sta elipsi vcrtana in očrtana elipsa nekemu n-kotniku in izberemo poljubno točko A1 na zunanji elipsi, narisemo iz nje tangento na manjso elipso in oznacimo drugo presecisce te tangente z zunanjo elipso z A2, spet naredimo tangento na notranjo elipso in presecisce z zunanjo oznacimo z A3, in tako nadaljujemo, se izkaze, da je Ai = An+1.
To je opazil Jean-Victor Poncelet in se zacel ukvarjati s tem problemom kot vojni ujetnik v Saratovem ob Volgi. Za krivulje je vzel stoznice v ravnini. Leta 1822 je trditev in (napacen) dokaz objavil v delu [5].
Definicija 1. Naj bosta E1 in E2 elipsi. Ce obstaja n-kotnik, ocrtan elipsi E2 in hkrati vcrtan elipsi E1, pravimo, da imata elipsi n-Ponceletovo lastnost, oziroma da sta Ponceletovi krivulji reda n.
Tako imenovani veliki Ponceletov izrek pa je:
Izrek 2. Naj bo n > 3 in naj imata elipsi E1 in E2 n-Ponceletovo lastnost. Potem za vsako točko A € E1 obstaja n-kotnik, ki je vcrtan elipsi E1 in očrtan elipsi E2 ter ima točko A za eno od ogličč.
Pravilen dokaz je leta 1828 objavil Carl Gustav Jacob Jacobi [6]. Ko je delal z analiticnimi formulami za tangente in tetive med kroznicama, je opazil, da se podobne relacije pojavljajo tudi v teoriji elipticnih funkcij. S pomocjo teh funkcij je nasel analiticen dokaz Ponceletovih izrekov in tudi
zveze med polmeroma in razdaljo med njima. Bralec si lahko v modernejšo obliko predelan dokaz in še celotno zgodovino Ponceletovega izreka za stoZernice ogleda v precej dolgem članku [2].
Tu navedimo še nekaj rezultatov za kroznici. Pri n-kotnikih so zveze med polmeroma vcrtane kroznice in ocrtane kroznice ter razdaljo med srediscema naslednje:
n = 4:
n = 5:
(R2 - d2)2 = 2r2(R2 + d2)
r(R - d) = (R + d)[(R - r + d)(R - r - d)]1/2 + (R + d)[(R - r - d)2R]1/2
n = 6:
n = 8:
3(R2 - d2)4 = 4r2(R2 + d2)(R2 - d2)2 + 16r4d2R:
22
22
4 2 2
8r2[(R2 - d2)2 - r2(R2 + d2)]{(R2 + d2)[(R2 - d2)4 + 4r4d2R2]-8r2d2R2(R2 - d2)2} = [(R2 - d2)4 - 4r4d2R2]2
V resnici lahko s pomocjo elipticnih funkcij najdemo zveze za poljuben mnogokotnik in elipsi.
Pri afini transformaciji ravnine se premice slikajo v premice, elipse pa v elipse. Zato nic ne izgubimo na splosnosti, ce predpostavimo, da je zunanja elipsa kar enotska kroznica. V knjigi [7] lahko najdemo naveden izrek:
Izrek 3. Kroznica x2 + y2 = 1 in elipsa (x - c)2/a2 + (y - d)2/b2 = 1 imata n-Ponceletovo lastnost natanko tedaj, ko je za n = 2m + 1 oziroma za n = 2m + 2
^2
CT4
am+1 am+2
= 0 oziroma,
am+1 am+2 ••• ^2m
kjer so a j koeficienti razvoja funkcije
^3 a4
a4 a5
am+2 am+3
am+2 am+3
a2m+1
f (t) =
b2
c2 d2
t	t + - t + 1	+ t -t + ^ +
2 b2
c2 d2
i4 b4
+
+
d2
a4b2 a4b2 a2b4
v formalno potencno vrsto
f (t) = £ aj tj.
j=0
0
2
2
c
c
a
a

Izrek je dokazal Cayley. Zelo lepo napisan dokaz lahko bralec najde v članku P. Griffithsa in J. Harrisa [8].
Do tod sta bili krivulji vedno elipsi. Zato si lahko postavimo vprasa-nji: So Pončeletove krivulje vedno elipse? Kako dobiti (klasifičirati) vse Pončeletove krivulje?
Pončeletove krivulje, ki niso nujno kvadrike, je nasel B. Mirman [9]. Za njihov opis pa potrebujemo numerični zaklad matrike.
Numerični zaklad matrike
S Cn, n > 1, bomo označili prostor n-terič kompleksnih stevil. Prostor Cn je n-razsezen vektorski prostor nad obsegom kompleksnih stevil. Skalarni produkt vektorjev x in y iz Cn bomo označili z <x, y). Ce je x = (x^ x2,..., xn) in y = (y1, y2,..., yn), je standardni skalarni produkt vektorjev x in y
<x, y) = xiyi + x2^2 + ... + xnVn.
Normo vektorja izračunamo z
||x|| = \/<x,x) = Vxixi + x2x2 +-----h xnšn.
Vemo, da vsaki linearni preslikavi iz Cn v Cn pripada matrika velikosti n x n in obratno. Definirajmo sedaj numerični zaklad matrike oziroma linearne preslikave.
Definicija 2. Numerični zaklad matrike A je podmnoziča kompleksnih ste-vil, definirana z
W(A) = {<Ax, x); x € Cn, ||x|| = 1}.
Preslikava, ki vektorju x priredi <Ax,x), je zvezna. Numerični zaklad je slika enotske sfere v Cn. Ker je ta kompaktna, je tudi numerični zaklad kompaktna mnoziča. Numerični zaklad je torej vedno omejena in zaprta podmnoziča kompleksne ravnine.
Navedimo nekaj najočitnejsih lastnosti numeričnega zaklada.
Trditev 4. Numerični zaklad matrike A + al je za a premaknjeni numericni zaklad matrike A, W(A + al) = W(A) + a = {A + a; A € W(A)}.
Trditev 5. Naj bo A matrika velikosti n x n in U poljubna unitarna matrika. Potem, je W(A) = W(U*AU).
Dokaz. Ceje a € W(A), obstaja x € Cn, ||x|| = 1, da je a = (Ax,x). Vsaka unitarna matrika je obrnljiva in ohranja dolžino vektorjev. Zato obstaja tak y € Cn, ||y|| = 1, da je x = Uy. Potem pa je a = (Ax, x) = (AUy, Uy) = (U*AUy,y) € W(U*AU). Dokaz obratne inkluzije je prav taksen.	■
Očitna je tudi naslednja trditev:
Trditev 6. Spekter matrike je vsebovan v njenem numericnemu zakladu.
Dokaz. Naj bo A lastna vrednost matrike A. Potem obstaja x € Cn, ||x|| = 1, da je Ax = Ax. Potem pa je za ta x (Ax, x) = (Ax, x) = A(x, x) = A, kar pomeni, da je A € W(A).	■
Trditev 7. Numerični zaklad diagonalne matrike je konveksna ogrinjača diagonalnih elementov.
Dokaz. Naj bo A diagonalna matrika z elementi Ai, A2,..., An na diagonali. Potem je
Iz zadnje vrstice vidimo, da je W(A) konveksna ogrinjača diagonalnih
Ker vsako normalno matriko lahko diagonaliziramo z unitarno prehodno matriko, velja naslednje:
Izrek 8. Numerični zaklad normalne matrike je enak konveksni ogrinjači njenih lastnih vrednosti.
Poslediča nam da karakterizačijo sebi adjungiranih operatorjev s pomočjo numeričnega zaklada.
Izrek 9. Matrika je sebi adjungirana natanko tedaj, ko leči njen numerični zaklad na realni osi. Ce označimo najmanjšo lastno vrednost sebi adjungirane matrike A z Am in največjo z AM, je W(A) = [Am, AM] in
Dokaz. Ce je matrika A sebi adjungirana, lezijo njene lastne vrednosti na realni osi. Vsaka sebi adjungirana matrika je tudi normalna. Konveksna ogrinjača realnih stevil lezi na realni osi. Naj sedaj lezi numerični zaklad
elementov.
||A|| =max{|Am|, |Am|}.
matrike A na realni osi. Potem je (Ax, x) € R za vsak x € Cn oziroma (Ax,x) = (Ax,x) = (x,Ax) = (A*x,x). Sledi ((A - A*)x,x) = 0 za vsak x € Cn. Matrika A — A* ima v numericnem zakladu samo stevilo 0. Ker je matrika A — A* normalna matrika, jo lahko diagonaliziramo in v spektru ima samo vrednost 0. Zato je A — A* =0 oziroma A = A*. Pokazati moramo le se, da je ||A|| = max{|Am|, |AM|}. Za A = 0 je
4||Ax||2 = (A(Ax + A-1Ax), Ax + A-1Ax) — (A(Ax — A-1Ax), Ax — A-1Ax) < max{|Am|, |Am|} [||Ax + A-1Ax||2 + ||Ax — A-1Ax||2] = 2max{|Am|, |Am|} [A2||x||2 + A-2||Ax||2] .
Ce vstavimo A2 = ||Ax||/||x|| in krajsamo, dobimo
||Ax|| < max{|Am|, |Am|}||x||.
Sledi ||A|| < max{|Am|, |AM|}. Ocena v drugo smer je trivialna.	■
Naslednja lema bo pomembna pri dokazu konveksnosti numericnega zaklada.
Lema 10. Naj bo A linearna preslikava dvodimenzionalnega kompleksnega vektorskega prostora vase, A : C2 ^ C2. Potem je W(A) polna elipsa, ki ima za gorisci lastni vrednosti preslikave.
Lemo dokazemo tako, da numericni zaklad izracunamo. Najprej uporabimo Schurov izrek, ki pove, da je vsaka matrika unitarno podobna zgornjetriko-tni matriki. Numericnega zaklada zgornjetrikotne matrike pa ni vec tezko izracunati.
Zgornja lema nam bo pomagala dokazati eno najpomembnejsih lastnosti numericnega zaklada.
Izrek 11. Numericni zaklad matrike je konveksna mnozica.
Dokaz. Naj bosta a in P različna elementa numericnega zaklada matrike A. Pokazati moramo, da je daljica med a in P cela v W(A). Naj bosta x in y vektorja z normo 1, za katera velja (Ax,x) = a in (Ay,y) = p. Ker je a = P, sta vektorja x in y linearno neodvisna. Oznacimo z V dvorazsezen podprostor, ki ga razpenjata, in s P ortogonalni projektor prostora Cn na V. Ce Cn zapisemo kot ortogonalno vsoto Cn = V ® V±, sta matriki preslikav A in PAP glede na izbrani razcep prostora blocni matriki oblik:
A =
A11 A12
A21 A22
PAP =
A11 0 0 0
Matrika An je sedaj 2 x 2 matrika in očitno je W(An) C W(A). Ker je a = (Ax,x) = (APx,Px) = (PAPx,x), je a € W(An). Enako dobimo tudi P € W(An). Numerični zaklad 2 x 2 matrike An je elipsa, zato vsebuje tudi daljico med a in P. Ker je W(An) C W(A), daljico vsebuje tudi W(A).	■
Numerični zaklad matrike nam lahko pomaga locirati spekter matrike in dobiti ocene za napake pri računanju lastnih vrednosti.
Numerični zaklad matrike so posplosili ze v veliko smeri. Precej so raziskane tudi lastnosti numeričnega zaklada operatorja na neskončnorazseznem Hilbertovem prostoru. Numerični zakladi neomejenih operatorjev (bilinear-nih form) so uporabni pri dokazovanju obstoja zaprtih razsiritev neomejenih operatorjev.
Numerični zaklad in Ponceletove krivulje
B. Mirman je leta 1998 objavil rezultat [9], ki pove, da je rob numeričnega zaklada določenih matrik Ponceletova krivulja. Ponceletove krivulje, ki jih je dobil, niso nujno kvadrike (elipse). Oglejmo si del njegovih rezultatov.
Definicija 3. Matrika B velikosti m xm je dilacija nxn matrike A, m > n, kadar obstaja izometrija V : Cn ^ Cm, za katero velja A = V*BV.
Trditev 12. Naj bo B dilacija matrike A. Potem je W(A) C W(B).
Dokaz. Ker je B dilacija matrike A, obstaja taka izometrija V, da je A = V*BV. Naj bo a € W(A). Potem obstaja enotski vektor x, ||x|| = 1, da je a = (Ax,x). Pisemo lahko:
a = (Ax, x) = (V*BVx, x) = (BVx, Vx) = (By, y).
Ker je V izometrija, je tudi y = Vx enotski vektor in zato a € W(B). ■
Izrek 13. Naj bo n > 1, U unitarna matrika velikosti (n + 1) x (n + 1) s samimi različnimi lastnimi vrednostmi in w € Cn+1 enotski vektor, ki ni pravokoten na nobenega od lastnih vektorjev matrike U. Nadalje naj bo
L = {x € Cn+1 : (x,w) = 0}
in Q ortogonalni projektor Q = In+1 — ww* prostora Cn+1 na L. Potem je rob numeričnega zaklada matrike QUQ kot preslikave L ^ L Ponceletova, krivulja reda n + 1 glede na enotsko kročnico.
Opomba 1. Naj bodo ei, e2,..., en baza prostora L. Matrika QUQ, zapisana v bazi {e1, e2,..., en, w}, je potem oblike
T 0" 0 0 .
Rob numericnega zaklada n x n matrike T je Ponceletova krivulja glede na enotsko kroznico.
Dokaz. Matrika U je normalna matrika. Njen numericni zaklad je zato konveksni (n+1)-kotnik M z ogliSci na enotski kroznici, natančneje v lastnih vrednostih matrike U. Matrika U je dilacija matrike T, zato ta (n+1)-kotnik vsebuje numericni zaklad matrike T. Oznacimo lastne vrednosti matrike U z e^fc, k = 1,2,..., n + 1.
Vsaka stranica S (n + 1)-kotnika povezuje dve lastni vrednosti. Naj bosta to e^1 in e^2. Pripadajoca lastna vektorja naj bosta v1 in v2. Oznacimo z M vektorski prostor, razpet s tema vektorjema. Ta prostor je dvodimenzionalen. Numericni zaklad zozitve operatorja U na podprostor M je ravno stranica S. Vsota dimenzij prostorov M in L je n + 2. To pomeni, da imata prostora netrivialen presek. V preseku je torej vsaj en neniceln vektor. Naj bo to f. Predpostavimo lahko, da je ||/1| = 1. Ker je f € M, je £ = (Uf, f) na stranici S. Po drugi strani pa je Qf = f, saj je f € L. Zato je
£ = (t/, f) = (Uf,f).
Tocka £ je torej tudi v W(T). Stranica S in W(T) imata torej skupno vsaj eno tocko. Dokazimo, da je v S n W(T) natanko ena tocka. Recimo, da bi bili skupni dve tocki. Potem bi obstajala dva enotska neodvisna vektorja f1 € M n L in f2 € M n L in M bi bil vsebovan v L. To pa je protislovje, saj M vsebuje lastne vektorje matrike U, L pa ne. To seveda velja za vse stranice (n + 1)-kotnika M. Zato je rob numericnega zaklada krivulja, vcrtana mnogokotniku M, ta pa ima enotski krog za ocrtan krog.
Dokazati moramo se to, da ce iz poljubne tocke A1 enotske kroznice potegnemo tangento na rob W(T), drugo presecisce te tangente z enotsko kroznico oznacimo z A2 in potem tako nadaljujemo, dobimo An+1 = A1.
Matrika U je dilacija matrike T. Definirajmo
U7 = U (I - ww* + eiY W).
Ocitno je U*U7 = I in QUYQ = T. Torej je tudi UY unitarna dilacija matrike T. Numericni zaklad matrike UY je (n + 1)-kotnik MY in rob W(T) je vcrtan mnogokotniku MY. Ce bi imel manj oglisc, bi unitarna matrika UY imela vsaj eno veckratno lastno vrednost. Podprostor L bi moral vsebovati lastni vektor matrike UY (dimenzija L je n) in rob W(T) bi se dotaknil kroznice, kar pa vemo, da ni res.
Dokazimo se, da imata mnogokotnika MY1 in MY2 razlicna oglisca, ce je
0	< |y1 — y2| < 2n. Ni tezko videti, da je det UY = eiY det U. Zato sta determinanti matrik UY1 in UY2 razlicni. Ker je determinanta produkt lastnih vrednosti matrike, matriki UY1 in UY2 nimata istih lastnih vrednosti. Se vec, vse lastne vrednosti oziroma oglisca morajo biti razlicna. Ce bi mnogokotnika imela skupno oglisce, bi bila po konstrukciji enaka. Ko 7 pretece 2n dolg interval, mnogokotniki MY pretecejo vse mozne (n+1)-kotnike, vcrtane v enotsko kroznico in ocrtane robu W(T) in to brez ponavljanja. Lastne vrednosti matrike UY oziroma oglisca (n + 1)-kotnika MY se z 7 zvezno spreminjajo. Ker sta MY1 in MY2 razlicna, ce se 71 in y2 razlikujeta za manj kot 2n, in je M = M0 = M2n, potuje vsako oglisce mnogokotnika MY ravno do sosednjega oglisca mnogokotnika M, ko tece 7 od 0 do 2n.	■
Da smo prisli do (n + 1)-Ponceletove krivulje, smo morali imeti matriko T, ki ima unitarno dilacijo. Take matrike imenujemo UB matrike. V clanku [9] je dokazan naslednji izrek:
Izrek 14. Matrika T ima unitarno dilacijo natanko tedaj, ko je TT* =
1	— uu*, kjer je u neničelni vektor, ||u|| < 1.
Dokaz izreka, se mnogo zanimivih lastnosti in tudi relativno enostaven dokaz velikega Ponceletovega izreka za kroznice najdemo v istem clanku [9].
Vprasamo se lahko, ali so vse Ponceletove krivulje, dobljene kot rob numericnega zaklada UB matrike, kvadrike. Odgovor je negativen. Brez dokaza napisimo, da rob W(A) za matriko
ni kvadrika, je pa 4-Ponceletova krivulja glede na enotsko kroznico. Na sliki 3 je numericni zaklad matrike (3) pri a = (2 + 3i)/5.
Naslednje vprasanje, ki so si ga postavili matematiki, je, ali so vse Pon-celetove krivulje rob numericnega zaklada kaksne UB matrike. Tudi tu je odgovor negativen. B. Mirman in P. Shukla [10] sta dokazala kriterij, ki pove, kdaj je Ponceletova krivulja rob numericnega zaklada matrike, in tudi nasla Ponceletove krivulje, ki niso rob numericnega zaklada UB matrike. V clanku je tudi posplositev definicije Ponceletove krivulje iz realne ravnine v kompleksno ravnino. V obsirnem seznamu literature v [10], [11] lahko najdemo clanke, ki obravnavajo vse mogoce posplositve Ponceletovih krivulj.
a 1 — | A =0 a 00
a|2 —a(1 — | a|2 )"
1 — |a|2 , |a| < 1,
(3)
a
A4 B3
Slika 3. Ponceletova krivulja, ki ni kvadrika.
LITERATURA
[1]	W. Chapple, An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, Mischellanea Curiosa Mathematica 4 (1746), 117-124.
[2]	H. J. M. Bos, C. Kers, F. Oort in D. W. Raven, Poncelet's closure theorem, Expo. Math. 5 (1987), 289-364.
[3]	N. Fuss, De quadrilateris quibus circulum tam inscribere quam circumscribere licet, Nova acta acad. sci. Petrop. 10 (St Petersburg 1797), 103-125.
[4]	H. Dörrie, 100 great problems of elementary mathematics, their history and solutions, New York (Dover), 1965.
[5]	J. V. Poncelet, Traité des propriétés projektives des figures, Paris 1822.
[6]	C. G. J. Jacobi, Uber die Anwendungen der eliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 3 (1828), 376-389.
[7]	M. Berger, Geometry II, Springer, 1987.
[8]	P. A. Griffiths in J. Harris, On Cayley's explicit solution of Poncelet porism, l'Enseinement Math. 24 (1978), 31-40.
[9]	B. Mirman, Numerical ranges and Poncelet curves, Linear algebra Appl. 281 (1998), 59-85.
[10]	B. Mirman in P. Shukla, A characterisation of complex plane Poncelet curves, Linear algebra Appl. 408 (2005), 86-119.
[11]	B. Mirman, Poncelet's porism in the finite real plane, Linear and Multilinear Algebra 57 (2009) 5, 439-458.
SONCNO OBSEVANJE IN KLIMATSKE SPREMEMBE PO MILANKOVICEVEM MODELU
ŽIGA SMIT
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani Institut JoZef Stefan
PACS: 92.60.Ry, 92.30.Bc
Osnova klimatskih modelov je toplota, ki jo Zemlja prejme od Sonca. Prispevek prikaze nazorno izpeljavo enacb, ki vodijo do dnevnega obseva, to je količine toplote, ki v poljubnem dnevu leta pade na enoto zemeljske povrsine v obliki krogle pri izbrani geografski sirini. Z analitičnimi priblizki v najnizjem redu je upostevano spreminjanje nagiba zemeljske vrtilne osi in spreminjanje ekscentričnosti Zemljinega tira. Z modelom je izračunana relativna količina toplote za obdobje wiirmske poledenitve (do 160 tisoč let nazaj). Primerjava z drugimi računi in izmerjenimi klimatskimi spremembami kaze, da preprosti račun uspesno reprodučira osnovno obliko klimatske krivulje.
SOLAR IRRADIATION AND CLIMATIC CHANGES ACCORDING TO THE MILANKOVITCH MODEL
Climatič models are essentially based on the energy, rečeived by Earth from the Sun. The artičle shows methodič derivation of equations that lead to the daily insolation, i. e. the quantity of energy that hits a given area of spheričally-shaped earth surfače at given geographičal amplitude on a given day. Analytičal approximations are proposed for the time variation of the tilt of the geographičal axis with respečt to ečliptič and of the eččentričity of the Earth's orbit. The relative quantity of energy is čalčulated for the period of Wurm glače age (up to 160 thousand years in the past). A čomparison with other čalčulations and measured člimatič variations shows that the simple model reprodučes well the main features of the člimatič čurve.
Uvod
Hitro spreminjanje klimatskih razmer v zadnjem casu prav gotovo oživlja zanimanje za klimatske modele. Že sredi 18. stoletja so z opazovanjem geoloSkih pojavov zaznali pojav ledenih dob. Konec 19. stoletja so domnevali, da so nihanja hladnih in toplih obdobij posledica sprememb v sončnem obsevanju. Z idejo se je leta 1911 začel ukvarjati srbski matematik in naravoslovec Milutin Milankovic (1879-1958). Do podrobnosti jo je izdelal v avstro-ogrskem vojaskem ujetnistvu v blizini Budimpeste in jo leta 1920 objavil v knjigi, ki jo je izdala tedanja Jugoslovanska akademija znanosti in umetnosti v Zagrebu, izsla pa je pri zalozbi Gauthier-Villars v Parizu. Druga Milankoviceva knjiga je izsla v Beogradu leta 1941.
V Milankovičevem modelu je klima odvisna od dnevne količine sončne toplote, ki posije na izbrani del zemeljske povrSine. Toplota je odvisna od kota, pod katerim padajo sončni Žarki, in od dolZine dneva. Ti količini pa se dolgotrajno spreminjata zaradi precesije in opletanja zemeljske osi ter zaradi spreminjanja eliptičnosti zemeljskega tira. Milankovič je domneval, da je glavni vzrok za spreminjanje klime in nastop ledenih dob spreminjanje nagiba zemeljske osi, ki poteka s periodo 41 tisoč let. Toda ledene dobe nastopajo s periodo okoli 100 tisoč let, kar je nato kar za nekaj desetletij zmanjsalo zanimanje za Milankovičev model. Znova so ga ozivila globokomorska in ledeniska vrtanja, s katerimi je bilo mogoče rekonstruirati klimatske spremembe 500-800 tisoč let v preteklost. J. D. Hays, J. Imbrie in N. J. Shačkleton so v ključnem delu Variation in the Earth's Orbit: Pačema-ker of the Iče Ages leta 1976 z numeričnimi postopki določili osnovne periode pri spreminjanju klime in pokazali, da se ujemajo s spreminjanjem prečesije in nagiba zemeljske vrtilne osi. Vendar pa so te spremembe le priblizno periodične, ker gibanje Zemlje moti gravitačijsko polje tezjih planetov. Naloga je zato pogosto obrnjena: iz izmerjenih nihanj klime ugotavljajo variačije v Zemljini orbiti.
Klimatska nihanja v preteklosti se kazejo v izotopski sestavi kisika v globokomorskih in ledenih vrtinah ter v sestavi in fizikalnih lastnostih se-dimentov. Merjenja teh pojavov so tudi uveljavljena metoda datiranja v geoloskih in starejsih arheoloskih obdobjih. Postopek, ko časovno skalo, ki jo dobimo iz klimatskih in geoloskih opazovanj, uskladimo s parametri po Milankovičevem modelu, imenujemo orbitalna uskladitev (orbital tuning).
Ceprav vzroke za danasnje narasčanje temperatur isčemo v spremembah atmosfere, ki jih povzroča človek, pa je Milankovičev model se vedno osnova za računanje dolgoročnih klimatskih sprememb. S primerjavo podatkov za količino vpadle toplote pozimi in poleti ter pri različnih geografskih sirinah dobimo občutek, kako velike spremembe teh količin so pomembne. Izračun dnevnega obseva, to je količine toplote, ki pade na izbrani del zemeljske povrsine v enem dnevu, je zanimiv geometrijski problem, ki ga lahko z matematično nadarjenimi dijaki resimo ze v srednji soli. Namen prispevka pa je razviti model do te mere, da reprodučira osnovno obliko klimatske krivulje za obdobje wurmske poledenitve, to je do 160 tisoč let nazaj. V ta namen predlaga analitične priblizke za časovno odvisnost eksčentričnosti zemeljskega tira in opletanje zemeljske vrtilne osi.
Model
Klima na Zemlji je odvisna od gostote energijskega toka s Sonča in od lastnosti atmosfere: odbojnosti za sončno svetlobo in absorptivnosti (emisivnosti)
z
y
Slika 1. Vpadni kot sončnih žarkov na severni polobli poleti in pozimi opoldne.
v infrardečem območju. Pri nasem modelu se bomo omejili na izračun dnevnega obseva, to je integrala gostote energijskega toka j (obsevanosti) v času od sončnega vzhoda do zahoda:
Pri tem je 0 kot, ki ga sončni Žarki oklepajo z normalo na izbrani del zemeljske povrsine; 0 se spreminja zaradi vrtenja Zemlje in njenega gibanja okoli Sonča, saj zemeljska vrtilna os ni pravokotna na ekliptiko, ampak oklepa s pravokotničo nanjo kot ¿o. Zaradi gibanja Zemlje po elipsi se med letom spreminja tudi j, ki pada s kvadratom razdalje Sonče-Zemlja. Za sevanje Sonča in s tem povezano sončno konstanto privzemimo, da se ne spreminja. Spremembe r od enega dneva do drugega pa so majhne, tako da lahko j v (1) postavimo pred integral.
Za računanje kota 0 je ugodno, da začnemo meriti letni čas tl v trenutku, ko je Zemlja v pomladisču in je zemeljska os pravokotna na smer sončnih zarkov. Zemeljska os v splosnem oklepa s smerjo proti Sonču kot A:
pri čemer je wi kotna hitrost pri krozenju Zemlje okoli Sonča; wi = 2n/Ti, kjer je Ti perioda enega leta.
Kot 0 zelimo podati kot funkčijo dnevnega časa td in letnega časa ti. Izberemo koordinatni sistem, pri katerem os z sovpada z zemeljsko vrtilno osjo. Osi x in y lezita v ekvatorialni ravnini; pri tem os y postavimo tako, da smer proti Sonču lezi v ravnini yz (slika 1). Sončni zarki oklepajo tedaj z osjo y kot 5; vrednosti 5 so v letni poloviči leta pozitivne, v zimski pa
(1)
čos A = sin 50 sin wi ti,
(2)
negativne. Kota 5 in A se razlikujeta za n/2 (A = n/2 — 5), tako da velja
sin 5 = sin 5o sin ui tl.	(3)
Smer proti Soncu je tedaj
s = (0, — cos 5, sin 5).	(4)
Smer normale na izbrani tocki zemeljskega povrsja pri geografski sirini ( je podana z vektorjem
n = (cos udtd cos — sin udtd, cos sin ().	(5)
Pri tem merimo dnevni cas td tako, da n ob casu td = 0 lezi v ravnini xz; ud = 2n/Td, kjer je Td dolzina enega dneva. Iz enačb (4) in (5) dobimo cos©:
cos © = cos 5 cos ( sin udtd + sin 5 sin	(6)
Iz zveze (6) lahko enostavno ocenimo, koliko je dan zaradi nagnjene zemeljske osi zjutraj in zvecer dalj si ali kraj si kot ob enakonocju. Za mejo svetlo-temno velja cos © = 0 in odtod
— sin udtd = tan 5 tan ( = sin a,	(7)
pri cemer je a podalj sanje ali skrajsanje dneva v kotnih enotah. (V izvirni Milankovicevi izpeljavi namesto kota a nastopa kot n/2 + a, ki ustreza polovicni dolzini dneva v kotnih enotah.) Med arkticno nocjo in arkticnim dnevom je absolutna vrednost tan 5 tan ( vecja od ena. Arkticna noc ali dan nastopita pri geografski sirini ( = n/2— | 5 |, najmanj sa geografska sirina, pri kateri poznajo ta pojav, pa je ( = n/2— | 50 |. Zaradi loma svetlobe v ozracju (astronomske refrakcije) je dolzina dneva nekaj dalj sa, kot jo napove enacba (6), pri arkticnem dnevu, ki se vlece nekaj mesecev, lahko tudi za nekaj dni.
V	enem dnevu na povrsino S pade toplota (1):
7r+a
Q j f	2j (	i n \	\
— = — cos © d(udtd) = — (cos u cos ( cos a ^ — + a) sin 5 sin () . S	J	ud\	v2 )	)
—a
(8)
Pri tem smo upostevali, da se j v enem dnevu zaradi gibanja Zemlje po rahlo elipticnem tiru ne spremeni.
V	splosnem nas zanimajo relativne spremembe dnevnega obseva oziroma vpadle toplote Q. Za izhodi sce vzemimo vrednost Q0 pri 5 = 0, torej koli-cino toplote, ki jo dobimo pri orientaciji zemeljske osi pravokotno na smer
sončnih žarkov. Zaradi enostavnosti vzemimo referenčno vrednost toka j pri r = a, ko je oddaljenost Zemlje od Sonca enaka dalj si polosi elipse. Vrednost a je sicer večja od povprečne razdalje Zemlja-Sonce, vendar pomeni bolj so konstanto gibanja: med drugim nastopa v tretjem Keplerjevem zakonu in izrazu za energijo planeta. Relativno spreminjanje toplote Q, ki se na izbrano zemeljsko povrsino S izseva v enem dnevu, je tako
Q = (") H 5 cos a n + a j sin 5 tan .	(9)
Pri racunanju si pomagamo z izrazi za enacbo elipse v parametricni obliki. V tem zapisu so cas in koordinate planeta podani kot funkcija brezdimen-zijskega parametra £, ki se spreminja podobno kot polarni kot od 0 do 2n, vendar nima enostavne geometrijske ponazoritve. Za r velja (glej Landau, enacba 15.10):
r = a(1 — e cos £),	(10)
pri cemer je e ekscentricnost elipse, parameter £ pa je povezan s casom t' z zvezo
2n
£ — e sin £ = utt = —ti.	(11)
Tl
Pri majhnih vrednostih e je £ priblizno enak polarnemu kotu, ki ga opise zveznica Sonce-Zemlja z zacetno lego v periheliju. C as t', ki prav tako meri potovanje Zemlje okoli Sonca, ima torej v periheliju vrednost nic. Pri prakticnem racunanju resimo enacbo (11) numericno z iteracijo.
Razmerje Q/Qo zelimo izracunati za poljuben koledarski dan t v letu. V ta namen nam zadostuje, da pozabimo na prestopna leta in za dolzino leta vzamemo Ti = 365 dni. Po koledarju nastopi pomlad navadno 21. marca, tako da je od 1. januarja do pomladi sca se 80 dni. Perihelij nastopi okoli 3. januarja. Pri casu tl v enacbi (3) in casu t' v enacbi (11) upostevamo casovna premika:
tl = t — 80d; t' = t — 3d	(12)
V naslednjem koraku upostevamo dolgorocno spreminjanje Q/Q0, ki je opazno sele v obdobjih vec tisoc let. Zemeljska os v prostoru ni stalna, ampak zaradi precesije opleta po plascu stozca, ki je orientiran pravokotno na ekliptiko in ima odprtino 250. Ucinek tega gibanja je navidezno vrtenje elipse zemeljskega tira. Pri racunanju r iz enacb (10, 11) moramo torej pri casu t' upostevati dodatni fazni premik, ki je odvisen od geoloskega casa T; tega lahko merimo tako v preteklost kot v prihodnost:
t' = t — 3d + TiT;	(13)
Tp
Slika 2. Parametri Zemljinega tira, izračunana krivulja relativnega dnevnega obseva in dejansko spreminjanje temperature (prirejeno po Global Warming Art). Območje relativnega obsevanja do 160 tisoč let je označeno s kvadratkom.
pri tem smo s Tp označili precesijski obhodni čas.
Precesijski čas Tp glede na zvezde je 26 ka; s ka označujemo tisoče let. Cas, kot ga vidimo na Zemlji, je odvisen tudi od vrtenja glavne osi Zemljinega tira glede na zvezde in od drugih gibanj. Tudi tu je opaznih več harmoničnih komponent s periodami 19, 22 in 24 ka. V računu smo privzeli Tp =23 ka, kar se ujema z vrednostjo, ki so jo iz meritev na vrtini določili Hays in sodelavči.
Drugi dve gibanji, ki vplivata na Q/Q0, sta spreminjanje nagiba zemeljske vrtilne osi glede na ekliptiko (kot ¿o) in spreminjanje eksčentričnosti elipse zemeljskega tira. Pri opisu teh dveh parametrov si pomagamo z analitičnimi priblizki. Spreminjanje nagiba zemeljske osi med skrajnima legama 22,1° in 24,5° poteka s periodo 41 ka. Trenutna vrednost S0 je 23,44° in se zmanjsuje. V nasih računih podamo časovno odvisnost So z analitičnim priblizkom
So = 23,3° - 1,2° sin 2n
T - 0,8 ka 41 ka
(14)
Spreminjanje ekscentričnosti zemeljskega tira je kvaziperiodično zaradi vpliva masivnih planetov Jupitra in Saturna. NajmocnejSe harmonične komponente imajo periode 95 ka, 125 ka in 413 ka. Analitično aproksimacijo, ki dovolj dobro opise spreminjanje e za zadnjih 400 ka, poisčemo z nastavkom
e = Ao + ^ Ai
i=l
sin 2n
T + &
T
(15)
Slika 3. Spreminjanje nagiba zemeljske osi po enačbi (14) (levo). Spreminjanje ekscen-tričnosti Zemljinega tira po enačbi (16) (desno).
Za prispevek s periodo 413 ka je amplituda 0,012. Minimum doseže pri času 400 ka v preteklosti, zato za izberemo -13 ka -1/4 x 413 ka. Preostale amplitude A in fazne čase <p določimo z zvezami:
1.	Največja vrednost e je 0,053, najmanjsa 0,005.
2.	Danasnja vrednost e je 0,017.
3.	Največja vrednost e je bila pred 200 ka.
Iz pogoja (3) dobimo <£1 in z zahtevo, da morata biti ustrezni sinusni funkciji v (15) enaki ena. Nato z upostevanjem pogojev (1) in (2) resimo sistem enačb za preostale tri amplitude A. Ekscentričnost je tako podana s semiempiričnim priblizkom
, T + 33,75 ka\	( T - 18,75 ka
e = 0,029 + 0,0062 sin ( 2n-—]- ) + 0,0058 sin 2n
95 ka
125 ka
- 0,012 čos 2n
T - 13 ka 413 ka
(16)
Rezultati in diskusija
Model smo uporabili za prikaz nihanj v sončnem obsevanju za čas wiirmske poledenitve (do 160 tisoč let nazaj). Rezultate računa smo primerjali z vrednostmi, kot jih najdemo na spletu (slika 2). Kot kaze slika 3, z enačbo (14) pravilno opisemo periodo in začetni potek nihanja zemeljske osi, ne zajamemo pa rahlega spreminjanja amplitude. Spreminjanje eksčentričnosti
45°		poleti
		pozimi
		,-*—*
O 20 40 60 SO 100 120 140 160
BP (ka)
Slika 4. Izračunano relativno obsevanje za 45° severne širine.
zemeljskega tira do 400 tisoč let nazaj pa zelo dobro ponazorimo s približkom (16). Enačba (16) napove enako strukturo tudi za obdobje med 400 in 800 tisoc leti v preteklost, vendar slika 2 kaze, da se oblika funkcije pri bolj oddaljenih obdobjih nekoliko popači.
Krivulji relativnega sončnega obseva sta izračunani za dve geografski sirini: 45° (slika 4), kamor priblizno sodijo nasi kraji, in za 65° (slika 5). Sirine okoli 65° naj bi bile namreč odločilne za nastanek ledenih dob. Te nastopijo tedaj, kadar deli zemeljske povrsine dobijo poleti premalo toplote, da bi se stalil ves led, ki je ostal od zime. Sliko 5 lahko primerjamo s podrobnostmi na sliki 2: kot vidimo, nas račun dokaj dobro reprodučira posamezne strukture: vrh z visokimi temperaturami pred 10 tisoč leti, sedlast vrh z visokimi temperaturami med 30 in 45 tisoč leti, visoke temperature pred 75 in 100 tisoč leti, močno ohladitev pred 115 tisoč leti in zelo visoke temperature pred 125 tisoč leti (ta vrh navadno označujejo kot 5e ali 5,5 in ustreza eemianskemu interglačialu). Ohladitve nastopajo pred 20, 60 in 115 tisoč leti in stejejo kot poledenitve wurm III, II in I. Od teh naj bi bila najhladnejsa wurm I (pred 115 tisoč leti), vendar dejanske klimatske meritve kazejo, da so bile tedaj temperature visje kot pri drugih dveh. Sliki 4 in 5 pa pokazeta, da na izbrani del zemeljske povrsine vedno posije največ toplote poleti in da je ravno ta toplota odločilna za klimatske spremembe.
Sklep
V prispevku smo prikazali preprost model za spremljanje klimatskih nihanj po Milankovičevem predlogu. Model se omeji na bistvene pojave, ki zajemajo relativno velikost dnevnega obseva in spreminjanje osnovnih astronom-
EP (ka)
Slika 5. Izračunano relativno obsevanje za 65° severne širine.
skih parametrov. Računanje po predstavljenih izrazih je mogoče opraviti s preprostim računalniškim programom ali celo z navadnim kalkulatorjem. Seveda pa se mora bralec zavedati, da je spreminjanje klime odvisno se od mnogih drugih pojavov, ki niso zajeti v sedanjem modelu: povrsine Zemlje v obliki elipsoida, odbojnosti tal in vplivov atmosfere, kamor spadajo tako absorpcija sončnega sevanja kot učinki tople grede, in prenosov toplote z vetrovi in morskimi tokovi. Del teh pojavov je v model vključil ze Milankovič v prvi izdaji leta 1920. Z modelom lahko pogledamo tudi v prihodnost. Račun kaze, da bi v naslednjih nekaj tisoč letih morali pričakovati zmanjsanje temperature. Ce se to ne bo zgodilo, bodo za to krivi toplogredni pojavi.
LITERATURA
[1]	M. J. Aitken, Science-based dating in archaeology, Longman, London 1990.
[2]	J. D. Hays, J. Imbrie in N. J. Shackleton, Variation in the Earth's Orbit: Pacemaker of the Ice Ages, Science 194 (1976), 1121-1132.
[3]	L. D. Landau in E. M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press 1976.
[4]	M. Milankovitch, Théorie Mathématique des Phénomenes Thermiques Produits parla Radiation Solaire, Gauthier-Villars, Paris 1920.
[5]	M. Milankovitch, Kanon der Erdbestrahlung und seine Andwendung auf das Eiszeiten-problem, Srpska kraljevska akademija, Beograd 1941.
[6]	Wikipedia; gesla: Milankovitch cycles, Milutin Milankovitch
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
ŠOLA
O TOPLOTNIH STROJIH
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 05.79.-a
Ob naraščajoči porabi energije imajo toplotni stroji v elektrarnah se naprej odločilno vlogo. Na eni strani bolje razumemo njihovo delovanje, na drugi razvoj novih snovi in tehnik omogoča večje izkoristke. Prispevek kratko poroča o računu, ki delno uposteva ireverzibilnost, in o učinkoviti povezavi plinskih in parnih turbin.
ON THERMAL ENGINES
In the growing energy demand the role of heat engines in elečtričal power plants remains čručial. On the one hand their funčtioning is better understood and on the other the development of new materials and tečhnologies leads to greater effičienčies. A theoretičal model is reported on in whičh irreversibility is partially taken into aččount as well as on the effičient čombination of gas and vapour turbines.
Največja moč
Navadno nas pri toplotnih strojih, ki ponavljajo krožno spremembo, najbolj zanima največji dosegljivi izkoristek. S tem namenom izpeljemo izkoristek stroja, ki reverzibilno ponavlja Carnotovo krozno spremembo. Tak stroj bi deloval zelo počasi z zanemarljivo majhno močjo. Od uporabnega stroja pa pričakujemo veliko moč. Izkoristek, ki bolje ustreza uporabljenim toplotnim strojem, je mogoče izpeljati iz preprostih termodinamičnih zvez, če se ne ustrasimo prečej dolgoveznega, a nezahtevnega računanja.
Stroj deluje z veliko močjo, če prejema velik toplotni tok in velik toplotni tok oddaja. Za to potrebuje končni temperaturni razliki. Vzemimo, da je T temperatura toplejsega toplotnega rezervoarja in T1 temperatura hladnejsega rezervoarja (slika 1). Stroj sprejme toploto Q pri temperaturi T' < T in odda toploto Qi pri temperaturi T{ > Ti. Temperaturna razlika AT = T — T' poganja toploto v stroj, temperaturna razlika AT1 = T' — T1 pa iz stroja v okoličo. Temperaturni razliki AT in AT1 vzamemo za spremenljivki, temperaturi rezervoarjev T in T1 pa za konstanti. Običajno temperaturnih razlik AT in AT1 sploh ne upostevamo.
Slika 1. Temperaturni razliki AT = stroja poganjata toplotna tokova.
T — T' in ATi = T' — Ti na pregledni risbi toplotnega
Vzemimo, da sta toplotna tokova sorazmerna s temperaturnima razlikama [1], [2]:
Q = k(T — T') = kAT in Q = - Ti)= fciATi. (1) t 11
V	najpreprostejšem primeru, pri prevajanju, sta koeficienta prehoda toplote k = A S/d in k1 = A1S1/d1 s toplotnima prevodnostma A in A1, povrsinama S in S1 ter debelinama plasti d in d1, skozi kateri temperaturni razliki poganjata toplotna tokova. To naj bosta edini ireverzibilni spremembi v stroju. Adiabatno razpenjanje in adiabatno stiskanje naj potekata reverzibilno in hitro v primerjavi z izmenjavanjema toplote. Stroju dovedemo toploto Q in od njega odvedemo toploto Q1 in delo A = Q — Q1. Ker so spremembe z izjemo prenosov toplote reverzibilne, je izkoristek A/Q = 1 — T1 /T'. Zato govorimo o endoreverzibilnem stroju. Krozna sprememba traja cas:
t+t1 = kAT + kUr	(2)
V	tej zvezi termodinamika končnega časa zajame ireverzibilne spremembe, termodinamika neskončnega časa pa reverzibilne.
Toploti izrazimo s konstantnima temperaturama rezervoarjev T in T1 ter spremenljivima temperaturnima razlikama AT in AT1:
AT' T — AT q = _ = a_ in
Q T' — T' T — T1 — AT — AT1 24-30	25
Slika 2. Plinske turbine delujejo v odprtem krogu (levo) ali v zaprtem krogu (desno): 1 dovod zraka, 2 kompresor, 3 seZigna celica, 4 turbina, 5 toplotni izmenjalnik, 6 izpuSni plini, 7 električni generator, 8 grelnik zraka, 9 hladilnik. Turbine v elektrarnah imajo pogosto zaprt krog, turbine v potisnih strojih pa odprtega.
ATi	Ti + ATi
Qi = = A
T' - T T - Ti - AT - ATi' Stroj dela z močjo:
= =	AT ATi (T - Ti - AT - ATi)	(3)
t + ti ik i T ATi + k Ti AT + ATATi (k - ki)' ()
Moč je največja, ko je dP/d(AT) = 0 in dP/d(ATi) = 0. Odvajanje si olajšamo, če uvedemo Števec f = AT AT (T - T - AT - AT) in imenovalec F = k i TATi+kTi AT+AT ATi (k-k i). Potem se pogoja glasita f 'F = f F', če črtica najprej zaznamuje odvajanje po AT in potem po AT. Enačbi, ki ju dobimo z odvajanjem, skrčimo:
ki TATi (T-Ti-AT-ATi) = AT (k iT ATi +kTi AT+(k-ki )AT ATi) (4)
in
kTi AT (T-Ti-AT-ATi) = ATi (k i TATi+kTi AT+(k-k i )AT ATi). (5) Prvo enačbo delimo z drugo:
kiT ATi AT .	/kTi
fcTAT =AT in ATi = V kiTAT'	(6)
Z drugo enačbo (6) odpravimo temperaturno razliko AT iz enačbe (4). Po preureditvi preostane kvadratna enačba:
(1 - k/k i )(AT)2 - 2(v/kTi/kiT + 1)T AT + T (T - Ti) = 0.
Izberemo rešitev z negativnim znakom, ki zagotovi, da je AT = 0, če postavimo T = Ti:
At = T 1 -	in ATi = Ti	(7)
1 + v/k/ki	1 + v/ki/k
Dodali smo rešitev za drugo temperaturno razliko, ki sledi, ko dobljeno rešitev AT vstavimo v drugo enačbo (6). Z enačbama (7) izračunamo razmerje temperatur:
T _ ATi + Ti _ /T" T7 = T - AT = V T' Tako dobimo nazadnje za izkoristek stroja pri največji moči:
•<p=Q=1 - P=1 - # <8>
V,		^ /	
		T' (	T

Slika 3. Delovanje plinske turbine v diagramu pV opise idealizirana krožna sprememba. Od Tq do To plin dobiva toploto pri konstantnem tlaku po, od T do T jo oddaja pri konstantnem tlaku p. Spremembi od To do T in od T do T¿ potekata adiabatno, to je brez izmenjavanja toplote.
Presenetljivo je tudi ta izkoristek odvisen samo od temperatur obeh rezervoarjev. Izračunani izkoristki se dobro ujemajo z izmerjenimi podatki za stroje v elektrarnah na premog, jedrskih elektrarnah in elektrarnah na zemeljsko toploto [1]. Podatki za Termoelektrarno Šostanj se ujemajo nekoliko slabse. Pričakujemo, daje izkoristek nP nekoliko večji od dosezenega izkoristka nd, ker uposteva samo del ireverzibilnosti.
P		T	Ti	ne	np	nd
blok 3	75 MW	803 K	300 K	0,63	0,39	0,28
blok 4	275	818	295	0,64	0,40	0,32
blok 5	345	818	295	0,64	0,40	0,32
Pomnožimo enačbo (8) z 1 + Tl/T in prepoznajmo v 1 — Tl/T = ne Carnotov izkoristek: ne/np = 1 + Tl/T. Iz te zveze sledi, da za 0 < Tl < T velja neenačba 2nC < nP <nC.
Največja moč po enačbi (3) je odvisna od koeficientov prehoda toplote:
Po = kki
VT — VTi Vk + Vkl'
Ceprav je računanje dolgovezno in je pri njem treba uporabiti več drobnih računskih zvijač, sta rezultata preprosta.
Povezava plinske turbine s parno
V elektrarnah so parne stroje nadomestile parne turbine.1 Preprosta in znana pot do izkoristka za parni stroj, ki ponavlja Carnotovo krozno spremembo, je uporabna tudi za parno turbino. Pri tem delovna snov izpareva in se utekočini. Izkoristek parnih turbin v elektrarnah za malenkost presega 3. V zelji, da bi dosegli večji izkoristek, so v zadnjem času začeli uporabljati povezavo parne turbine s plinsko turbino. V plinskih turbinah se delovni plin ne utekočini. Zanje je značilna visoka temperatura na vhodu.2
Plinska turbina ima slabost, da je razmeroma visoka tudi temperatura na izhodu. To pomanjkljivost odpravijo s povezavo s parno turbino, ki jo poganja oddana toplota plinske turbine. Plinska turbina je pripravnejsa od parne turbine za delovanje pri visoki temperaturi, parna turbina pa zmanjsa toplotno obremenitev okolja s tem, da zmanjsa razliko med temperaturo, pri kateri stroj odda toploto, in temperaturo okoliče. Plinska turbina ima se prednost, da jo je mogoče v kratkem času pognati. Zato imajo take turbine v elektrarnah dostikrat v pripravljenosti in jih vključijo, ko naraste potreba po moči. Poznamo plinske turbine z odprtim krogom, ki zajemajo zrak iz okoliče
Sodobno parno turbino je leta 1894 za pogon ladij patentiral angleški fizik in inženir Charles Parsons, če ne omenjamo poskusov pred tem. Njegova prva turbina je dosegla moc nekaj kilovatov. Do danes so razvili turbine, ki zmorejo več sto megavatov. Parsonsova turbina in njene izvedbe so pospesile razvoj pomorskega prometa in električnega omrezja.
2Napravo, ki je imela vse glavne poteze sodobne plinske turbine, je leta 1791 patentiral Anglez John Barber za „vozilo brez konja". V razvoju turbin za pogon vozil in letal so do danes prispevali stevilne izboljsave. Prvo elektrarno s plinsko turbino so pognali v Švici leta 1939.
Slika 4. Povezava plinske in parne turbine doseže ugoden izkoristek: pregledna risba (levo) in poenostavljena risba povezave (desno): 1 dovod zraka, 2 dovod plina ali goriva, 3 sežigna celica, 4 kompresor, 5 plinska turbina, 6 toplotni izmenjevalnik, 7 odvod odpadne toplote, 8 hladilnik, 9 parna turbina, 10 električna generatorja, priključena na omrezje.
in izgorele pline odvajajo v okolico, in plinske turbine z zaprtim krogom, ki jim dovajajo le toploto in od njih odvajajo le toploto in delo (slika 2). Plinske turbine uporabljajo tudi za pogon reaktivnih in turbopropelerskih letal in raket ter ladij. Te turbine so manjše in lazje od turbin v elektrarnah in uporabljajo drugačna goriva.
Najprej nekoliko podrobneje opišimo delovanje plinske turbine. Kompresor močno stisne zrak. V stisnjeni in segreti zrak uvedejo gorivo, ki zgori. Vroč plin se razpne in požene turbino. Plin pri tlaku, ki ni znatno večji kot okolni tlak, nato odvedejo v okolico. Kot gorivo večinoma uporabljajo zemeljski plin, metan in plin, ki ga dobijo iz premoga. Stiskanje zraka v kompresorju priblizno opisemo z adiabatno spremembo idealnega plina, gorenje mesaniče s spremembo pri konstantnem velikem tlaku po, razsirjanje vročega plina v turbini z drugo adiabatno spremembo in odvajanje plinov z drugo spremembo pri konstantnem manjsem tlaku p.3 Pri tlaku p0 dovedejo toploto Qp0 = mcp(T0 — T0) in pri tlaku p odvedejo toploto Qp = mcp(T — T') (slika 3). Za Carnotov izkoristek dobimo nc = 1 — Qp/Qp0 = 1 — (T — T")/(To — T0). Adiabatni spremembi povezuje enačba za idealni plin: T'/T = t/t = (p/p0)(k-1)/k, ki da nc = 1 — TT'/T('.
3Opisano krozno spremembo imenujejo po Jamesu Prescottu Joulu, ki si jo je zamislil leta 1851. Cenejsi in preprostejsi „zračni stroj" naj bi nadomestil parni stroj. Včasih spremembo imenujejo se po ameriskem inzenirju Georgeu Braytonu. Dvajset let po Jou-lovem predlogu je izdelal batni stroj z notranjim zgorevanjem, ki je ponavljal tako krozno spremembo, a je dosegel preslab izkoristek, da bi se uveljavil.
Izkoristek pri največji moči je potem po (8) enak [3]:
i k/(k - 1)
VP = 1 - ^[TfTo = 1 - ( p)	.	(9)
Povezava plinske in parne turbine (slika 4) je precej učinkovita in ji obetajo pomembno vlogo v prihodnosti. Plinski turbini dovedejo toploto Qo pri temperaturi To ter od nje odvedejo delo Ao = Qo — Q = nPoQo in pri temperaturi T toploto Q = Qo — Ao = (1 — nPo)Qo. Toploto Q dovedejo parni turbini pri temperaturi T, če zanemarimo toplotne izgube pri prenosu. Parna turbina odda delo A = nPQ in pri temperaturi Ti toploto Qi = Q — A = (1 — nP)Q. Pri izvedbi, ki jo zdaj največ uporabljajo, poganjata turbini vsaka svoj generator. Tako obe oddasta skupaj delo Ao + A = nPoQo + nPQ = nPoQ + nP(1 — nPo)Qo. Skupni izkoristek obeh turbin je:
Ao + A
VPs = -= Vpo + VP — VP VPO.	(10)
Qo
V nekaterih napravah poganjata obe turbini en sam generator.
Osamljena plinska turbina ima podoben izkoristek kot parna turbina. Premisljena povezava obeh turbin pa doseze izkoristek okoli 60 %. Za zgled navedimo plinsko turbino, ki deluje med temperaturama To = 1673 K in T = 873 K in ki ji ustreza temperatura T' = 582 K, z izkoristkom npo = 0,42. Parna turbina deluje med temperaturama T = 873 K in Ti = 350 K z izkoristkom np = 0,32. Skupni izkoristek povezanih turbin doseze nps = 0,60 [3]. Ena sama turbina ne bi mogla izkoristiti temperaturnega intervala od 1673 K do 350 K.
Delovanje plinskih turbin je vezano na razvoj novih tehnik in novih snovi. Njihovo delovanje izboljsajo s spretno uporabo toplotnih izmenjevalnikov ter vmesnih grelnikov in hladilnikov. Plinsko turbino sestavlja veliko delov, ki morajo ustrezati skrajnim zahtevam. Tako morajo na primer konice lopatic v njej pri visoki temperaturi prenesti hitrost, ki znatno presega hitrost zvoka v zraku.
LITERATURA
[1]	F. I. Curson in B. Ahlborn, Efficiency of a Carnot engine at maximum power output, Am. J. Phys. 43 (1975), 22-24.
[2]	H. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Wiley, New York, 1985, str. 125.
[3]	H. S. Leff, Thermodynamics of combined-cycle electric power plants, Am. J. Phys. 80 (2012), 515-518.
ENTROPIJA IN NERED
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
J. Strnad je opisal nekaj napak, ki so pogoste v fizikalnih učbenikih [1]. Omenil je tudi težave pri nazorni opredelitvi entropije kot merilu za nered, saj je pojem nereda tezko smiselno opredeliti. Navaja, da je tezko uvideti, da se pri reverzibilnih pojavih nered toplotno izoliranega sistema ne spremeni. Prav tako naj ne bi bilo jasno, zakaj ima kos snovi s prostornino 2V dvakrat večji „nered" kot enak kos snovi s prostornino V pri enakih okolisčinah. Končno poda primer računa povečanja entropije pri podhlajeni vodi, ko del vode ireverzibilno zmrzne. Menim, da je v soli smiselno povezati entropijo s kaksnim intuitivnim pojmom. Študentje si gotovo izdelajo svoj mentalni model za entropijo, ki pač ni povezan z verjetnostno gostoto v faznem prostoru. Preprost primer, ki morda ni vseobsezen, a je dovolj bogat, da studentom pomaga, je morda naslednji:
1. Razpršenost ali nered?
Zamislimo si N neinteragirajočih delčev na premiči, ki so vsi vezani na skupno izhodisče s harmonično silo, to je silo, s katero deluje na deleč pripeta vzmet:
F = —kx.
Delči so v toplotnem ravnovesju, torej je povprečna kinetična energija posameznega delča enaka njegovi povprečni potenčialni energiji, to je kBT/2, pač po ekvipartičijskem teoremu. Velja torej:
1 / 2\ k / 2\ kBT
2m{p) = 2{x) = -Št.
S trikotnimi oklepaji smo označili povprečne vrednosti količin, ki jih oklepajo. Sedaj pa si mislimo, da v toplotno izoliranem sistemu teh delčev počasi zmanjsujemo konstanto vzmeti k. Notranja energija sistema teh delčev se seveda začne spreminjati, ker se pri tem spreminjata {p2} in (x2). Le kako? Iz enačb, ki vodijo posamezen deleč:
dx p
dt m' dp
— = — kx, dt
hitro izpeljemo, da veljajo za povprečne vrednosti tele enačbe:
d{x2) 2
dt m djp2} dt
=—(xp}, m
= — 2k(xp},
d{xp) =-{p2)- k{x2). dt m{F ) { )
Pri stacionarnem stanju je torej {xp) = 0 in zato iz zadnje enačbe sledi enakost povprečne kinetične in proznostne energije. Pri prav počasnem spreminjanju konstante k gremo skozi virtualno stačionarna stanja in iz zgornjih enačb kaj hitro sledi
x2
dW,n = N ^ dk .
Spremembo notranje energije Wn torej lahko izračunamo brez tezav. Pri povečevanju konstante k notranja energija torej narasča. Kako pa je v tem primeru s povprečjema {x2) in {p2)?
Hitro se prepričamo, da pada {x2) kot k-1/2, {p2) pa raste kot k1/2. Gre torej za adiabatno stiskanje sistema, kjer se prostornina manjsa, temperatura pa povečuje. Ker je sistem izoliran, lahko spremembo notranje energije pripisemo delu zunanje sile, ki nekako uravnava konstanto k.
Sedaj pa definirajmo entropijo sistema kot
S = N^ ln({x2){p2) - {xp)2).
V tej definičiji je pri {xp) = 0 nered dobro definiran kot razprsenost lege in razprsenost gibalne količine vseh delčev. Sistem z dvakrat večjim stevilom delčev ima torej dvakrat večjo entropijo. Brez tezav uvidimo, da je tako definirana entropija pri toplotno izoliranem sistemu konstantna, torej
expSf « dt({x2){p2)-{xp)2) = 0.
Mimogrede, zgornja enačba velja tudi pri nenadni spremembi koefičienta k, ko sistem ni stačionaren. Pri reverzibilni spremembi sistema v toplotnem kontaktu z rezervoarjem pa velja, kot smo navajeni
dS =
Kako, da se „nered" pri dS = 0 ne spremeni? Razprsenost lege se zmanjsa, razprsenost gibalne količine pa poveča, skupni „nered" torej ostane enak.
Pri delcih, zaprtih v enodimenzionalno „škatlo" z dolžino L, velja pri spremembi toplotno izoliranih delcev enacba:
L (p2) « LT = konst.
Entropijo stacionarnega stanja torej definiramo tu kot
S « ln (L(p2)).
Pod neredom" spet razumemo razprsenost lege delcev, ki je kar sorazmerna z dolzino „skatle" L, in razprsenost gibalne količine.
Pri idealnem plinu v treh dimenzijah imamo podobne razmere. Tu je ne-dolocenost lege povezana s prostornino plina, nedolocenost gibalne kolicine pa s temperaturo, saj velja
(m=2 kb t
in pri reverzibilni spremembi izoliranega plina
V K-1T = konst. Entropija je potem do aditivne konstante
S = mcv ln (VK-1(p2)). Njena sprememba pri toplotno izoliranem sistemu je seveda res
dS = 0.
Tu takoj uvidimo, da razprsenost lege v definiciji entropije nikakor ni enotna, saj je pri idealnem plinu le-ta odvisna od parametra k.
Ce vidimo v razprsenosti lege delcev in njihove gibalne kolicine „nered", je povezava entropije z „neredom", vsaj na osnovni stopnji pouka, cisto smiselna. Morda je „razprsenost energije in lege" za entropijo boljsa intuitivna povezava od ohlapno razumljenega „nereda".
2. Podhlajena voda?
Študentom fizike je znan stavek iz ucbenika I. Kuscerja in S. Zumra [2]: „Kako naj sicer razumemo, da je „nered" v podhlajeni vodi manjsi kot potem, ko ustrezni del vode ireverzibilno zmrzne?" Izraza pac dvom o povezavi entropije in „nereda". Voda je sicer vsakdanja snov, ni pa preprosta snov. Podhlajena voda pa je se bolj zapletena, saj njene lastnosti se vedno prou-cujejo. Je pa seveda presenetljivo in za pouk zanimivo, da na videz obicajna voda kar nenadoma „pobegne", del jo zmrzne, vse skupaj pa se segreje do
ledisca. Nekatere podhlajene snovi z visjo temperaturo ledisca so celo uporabne kot vir toplote, ki ga na izletu po Želji aktiviramo.
J. Strnad v [1] navaja, da je sprememba entropije podhlajene vode, ko le-ta „uide" in vidimo led in nekaj vode, podana z:
Tu je To temperatura ledisca, T pa temperatura podhlajene vode, ko se ni zmrznila. Res je sprememba pozitivna, kot se pri ireverzibilni spremembi spodobi, a je zelo majhna, iz zgornje enacbe sledi z razvojem:
Tu smo z AT označili razliko med temperaturo ledisca T0 in temperaturo podhlajene vode T. Tako majhna sprememba pa klice po previdnosti. Ali smo spremembo entropije podhlajene vode in vode pri lediscu res dobro izracunali iz
To je sicer dobra ocena, a povsem prav seveda to ni, saj ne bi smeli uporabiti enacaja, ker hladimo vodo prek metastabilnih in ne stacionarnih stanj. Vsak hip nam voda lahko „pobegne" v led. Entropijo takih stanj je verjetno nemogoce natancno dolociti. Kako pa bi to storili bolje? Morda je bolj s a pot, da vodo hladimo in ji obenem povecujemo tlak. S tem preprecimo, da bi zmrznila. Tlaki so sicer neverjetno veliki, a tovrstni poskus je izvedljiv. Ko dosezemo temperaturo T, tlak popustimo na zacetno vrednost in seveda upamo, da nam pri tem voda ne „pobegne". Med popuscanjem moramo vodo dodatno greti, saj oddaja delo in bi se izolirana ohladila pod T. S podatki o stisljivosti vode pri povecanem tlaku, krivulji tlaka v odvisnosti od temperature vode, pri katerem ravno preprecimo zmrzovanje, dobimo za AS vrednost, ki je se manj sa od zgoraj navedene. Torej je razprava o vecjem „redu" v podhlajeni vodi kot potem, ko le-ta „pobegne", in trditvi, da „nereda" in entropije pac ne gre povezovati, vsaj s pedagos kega stalisca sibka. Kako se nedolocenosti leg in gibalnih kolicin molekul v podhlajeni vodi spremenijo potem, ko voda „pobegne" pa res ne moremo z lahkoto uvideti, se posebno, ce so te spremembe zelo majhne. Res pa je, da je razlika med pobeglo" in podhlajeno vodo na videz izredno velika, a za „pobeg" gotovo ni odlocilna le razlika entropij.
Morda bo ta zapis v prid studentom in tudi uciteljem pri „bolj s i razlagi in utemeljitvi [2]".
LITERATURA
[1]	J. Strnad, O napakah v učbenikih fizike, Obzornik mat. fiz. 59 (2012), str. 225.
[2]	I. KuScer in S. Žumer, Toplota, DMFA-zaloZniStvo 1987, stran 139.
NOVE KNJIGE
Fukagawa Hidetoshi, Tony Rothman: Sacred Mathematics, Japanese Temple Geometry, 2008, Princeton University Press, Princeton and Oxford, 348 strani.
Knjiga predstavi matematično vsebino in SirSi kulturni kontekst geometrije sangaku (japonske tempeljske geometrije), ki je cvetela v času japonske izolacije od Zahoda (1639-1854), kot del tradičionalne japonske matematike (wasan) iz obdobja Edo (1603-1867). Razvila se je povsem neodvisno od zahodne matematike, ki jo odkriva in proučuje s ele zadnjih nekaj desetletij.
Marsikaj v zvezi s to skrivnostno geometrijo, s katero se niso ukvarjali samo profesionalni matematiki, ampak tudi amaterji, otroci, zenske, samuraji in trgovci, rezultate pa brez dokazov izobesali na lesene descice v bu-disticnih in s intoisticnih templjih, bralca osupne in fascinira. Izraz sangaku dobesedno pomeni „matematicna tablica".
V sangaku problemih nastopajo dotikajoci se liki, kot so krogi, elipse, trikotniki in pravilni mnogokotniki, iscejo pa se algebraicne relacije med njihovimi parametri. Da je bila ta eksoticna razlicica evklidske geometrije resena pozabe in spoznana kot vredna preucevanja, gre zasluga enemu samemu cloveku, matematiku Yamaguchiju Kanzanu, o cigar zivljenju vemo le naslednje: „Rojen je bil okrog 1781 v Suibari v provinci Niagata, studiral je matematiko v obdobju Edo v soli Hasegawa Hiroshija in umrl 1850." Njegova 700 strani dolga beleznica oziroma popotni dnevnik iz let 1817-1828 z njegovih sestih potovanj po vsej Japonski vsebuje glavnino tega, kar danes vemo o geometriji sangaku in njenih nenavadno tezkih problemih, za resitev katerih je vcasih treba nekaj strani dokazov in nekaj let dela.
Knjiga je razdeljena na devet poglavij; prva tri predstavijo sir s i kontekst tradicionalne japonske matematike, ki je sicer iz sla iz kitajske matematike,
Skckib lllñvaxmñTics
Japanese Temple ¿feomAfvy
Htkagawa Hidetoshi Tony KülKmüh
H ith j kamt util lit Itmuii Ihwn
a jo je nadgradila z izvirnimi problemi, metodami in rezultati. Naslednja tri poglavja so posvečena lahkim, srednje teZkim in teZjim problemom geometrije sangaku, nekateri problemi so tudi reseni, drugi pa prepusčeni v resevanje bralcu. Sedmo poglavje predstavi Yamaguchijev popotni dnevnik, osmo primerja vzhodno in zahodno matematiko, deveto pa predstavi skrivnostno kroZno načelo (enri), s katerim so se Japonci zelo pribliZali integralnemu računu pri določevanju dolzin lokov ter povrsin likov in prostornin teles. Zadnje poglavje je posvečeno metodi inverzije, ki sojo neodvisno drug od drugega iznasli različni zahodni matematiki v letih 1824 do 1845 in je z njo mogoče razmeroma enostavno resiti mnoge sangaku probleme. Tradiči-onalni japonski matematiki inverzije niso poznali. Za nekatere sangakuje se danes ne poznamo resitve.
Avtorja knjige opozarjata, da je za resitev teh problemov treba uporabiti tako rekoč vse, kar vemo v zvezi z evklidsko geometrijo: Pitagorov izrek, izreke o podobnosti trikotnikov, trigonometrijo (predvsem sinusni in kosinusni izrek, izreke o dvojnih in polovičnih kotih), izrek o sekajočih se tetivah (produkt odsekov tetiv, ki se sekata v isti notranji točki danega kroga, je enak: ab = cd), za tezje probleme pa potrebujemo tudi diferenčialni in integralni račun ter metode afine in projektivne geometrije. Prav tako je zelo pomembno, da narisemo natančno sliko, pri čemer nam je lahko v veliko pomoč npr. računalniski program Geogebra. Ta nam omogoča tudi uporabo inverzije (posebne preslikave ravnine, ki ohranja kote in obrne orientačijo), s pomočjo katere lahko mnoge sangaku konfiguračije preslikamo v enostav-nejse, določimo relačije med preslikanimi liki in jih prevedemo v relačije med liki prvotne konfiguračije.
Tradičionalni japonski matematiki so dokazali marsikateri izrek evklid-ske geometrije (npr. Desčartesov izrek o relačiji med radiji stirih krogov, ki se dotikajo v sestih točkah). Mnoge izreke so dokazali tudi pred zahodnimi matematiki ali vsaj neodvisno od njih (npr. Seki Takakazu je razvil teorijo determinant pred Leibnizem). Bili so izredno spretni v numeričnih izračunih in uporabi sarobana (japonskega abakusa). Z uporabo več sarobanov hkrati so znali resevati tudi polinomske enačbe visokih stopenj. Razvili so zelo domiselne metode za izračun stevila n, marsikatero funkčijo so znali razviti v neskončno vrsto in si pri računanju ločnih dolzin in prostornin teles pomagali z integračijo posameznih členov neskončnih vrst integrandov. S stalisča danasnje matematike sičer v njihovem delu primanjkuje strogih
dokazov, vendar se moramo zavedati, da pred nekaj stoletji tudi zahodni matematiki niso imeli povsem razčiščenih pojmov glede dovoljenih operacij nad neskončnimi vrstami. Japonski matematiki so do svojih rezultatov dostikrat prisli na podlagi induktivne, eksperimentalne metode, podprte z natančnimi in obseznimi izračuni, podobno kot matematiki danes v stevil-nih praktičnih aplikačijah uporabljajo marsikatere modele in algoritme, ki jih lahko testirajo ali preverijo le empirično, ne pa tudi teoretično.
Knjiga, ki nam omogoča vpogled v drugačno kulturo in drugačen način razmisljanja, dodobra omaje ustaljeno zdravorazumsko prepričanje, da je matematika univerzalna znanost, ki mora biti enaka v vseh kulturah in vesoljih. Tradičionalna japonska matematika se od tiste, ki smo je vajeni na Zahodu, diametralno razlikuje tako po svojih problemih kot tudi po metodah in rezultatih.
Ceprav se sangakuji danasnjemu matematiku na prvi pogled morda zdijo matematično nepomembni, pa bi bilo o njih vendarle vredno razmisliti vsaj kot o področju, ki bi lahko s svojimi privlačnimi problemi priblizalo geometrijo (danes povsem zapostavljeno v srednjih solah) in s tem matematiko dijakom. Resevanje sangakujev razvija logično misljenje, razmisljanje o moznih novih problemih, ki si jih lahko zastavimo ob dani sangaku konfi-guračiji, pa spodbuja ustvarjalno misljenje. Poleg tega je sangakuje mogoče resiti na veliko različnih načinov, po čemer se izrazito razlikujejo od nalog v mnogih učbenikih, ki omogočajo le sablonsko resitev po ustaljenih rečep-tih. Nadarjeni dijaki se ob re sevanju tezjih sangakujev, ki zahtevajo nekaj strani dokazov, lahko naučijo vztrajnosti in potrpezljivosti ter urijo v domiselnosti in prodornosti, to pa so kvalitete, ki koristijo tudi pri studiju in znanstvenoraziskovalnem delu.
Vsekakor se moremo od sangakujev naučiti vsaj to, da je matematika lahko tudi lepa in ne le praktično koristna. V sangakujih lahko najdemo tudi obilo navdiha za nove matematične hipoteze in probleme. Lahko pa enostavno uzivamo v pregledovanju dokazov re senih sangakujev ali jih po-skusamo re siti sami. Za vse zainteresirane, ki jim knjige ne bi uspelo dobiti v knjizniči (trenutno obstaja en sam izvod v Tehnični knjizniči Slovenije), pa tolazilna noviča: prečej sangakujev in njihovih res itev zlahka najdemo tudi na spletu.
Jurij Kovic
VESTI
ZOISOVE NAGRADE IN PRIZNANJA 2012
Zoisove nagrade in priznanja, priznanja Ambasador znanosti ter Puhova priznanja za leto 2012 so bila podeljena 23. novembra v Novi Gorici. Med prejemniki Zoisovih nagrad in priznanj so tudi Člani nasega drustva: prof. dr. Janez Bonca, prof. dr. Bostjan Golob in prof. dr. Samo Korpar. Vsem nagrajencem iskreno Čestitamo za uspeh in priznanje.
Več o drugih nagrajencih na [1].
Janez Bonca je prejel Zoisovo nagrado za vrhunske dosezke v raziskavah na podrocju teorije mocno sklopljenih elektronov v trdnih snoveh.
Zaposlen je kot redni profesor na oddelku za fiziko Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, je pa tudi znanstveni svetnik na Institutu Jozef Stefan. Doktoriral je leta 1990 na Univerzi v Ljubljani, bil na podok-torskem usposabljanju v Nacionalnem laboratoriju v Los Alamosu, ZDA, in gostoval kot profesor na Univerzi Tohoku, Japonska. Za svoje raziskovalno delo je prejel tudi nagrado Borisa Kidrica za mlade raziskovalce in Zoisovo priznanje za pomembne znanstvene dosezke.
Njegovo delovno podrocje je teorija trdne snovi, kjer raziskuje mocno sklopljene elektrone z metodami kvantnega Monte Carla in reducirane baze, ki omogocajo natancno obravnavo tudi neomejenih sistemov. To metodo je osnoval na tocni diagonalizaciji v omejenem funkcijskem prostoru, kjer se baza stanj postopoma gradi iz zacetnega stanja z delovanjem hamilton-skega operatorja. Tak pristop omogoca razlago lastnosti nizko dopiranih visokotemperaturnih superprevodnikov. Metodo je posplosil za izracun ne-ravnovesnih pojavov, ki so pomembni za razumevanje ultrahitre spektroskopije. Kot prvi je s sodelavci dolocil elektricni tok v odvisnosti od zunanjega
Slika 1. Janez Bonca
električnega polja v zaprtih kvantnih sistemih. S sodelavci je tudi uvedel metodo, ki omogoča izračun prevodnosti skozi sklopljene kvantne pike. Odkrili so obstoj nenavadnih osnovnih stanj ter faznih prehodov med njimi, kar nakazuje moznost razvoja nanotranzistorskih preklopnikov in spinskih filtrov.
Zoisovo priznanje za pomembne dosezke v eksperimentalni fiziki osnovnih delcev so prejeli prof. dr. Bostjan Golob, prof. dr. Samo Korpar in prof. dr. Marko Starič.
Slika 2. Boštjan Golob, Samo Korpar, Marko Staric
Bostjan Golob je zaposlen kot redni profesor na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani ter je znanstveni svetnik na Institutu Jozef Stefan. Po diplomi je raziskovalno delal na Odseku za eksperimentalno fiziko delcev Instituta Jozef Stefan in v Evropskem laboratoriju za jedrske raziskave CERN v Ženevi. Leta 1996 je doktoriral na Univerzi v Ljubljani. Na podoktorskem usposabljanju je bil v CERNU, Žvica, in se kasneje priključil skupini Belle v Tsukubi na Japonskem.
Njegovo delovno področje je fizika osnovnih delcev, kjer raziskuje mezone B, krsitev simetrije CP in redke razpade mezonov B in D.
Samo Korpar je zaposlen kot profesor na Univerzi v Mariboru in kot raziskovalec na Institutu Jozef Stefan. Doktoriral je leta 1997 na Univerzi v Ljubljani.
Njegovo delovno področje je fizika osnovnih delcev, kjer se raziskovalno ukvarja z detektorji sevanja in sodeluje pri meritvah razpadov mezonov B.
Bostjan Golob, Samo Korpar in Marko Starič so priznanje prejeli za raziskave mezonov s čarobnim kvarkom, pri katerih so odkrili, da se me-zoni pretvarjajo v svoje antidelce. Njihove raziskave so pokazale, da na teh mezonih lahko raziskujemo lastnosti močne interakcije med kvarki. Za svoje raziskave so med drugim razvili tudi nove eksperimentalne metode za identifikacijo delcev.
LITERATURA
[1] http://www.mizks.gov.si/nc/si/medijsko_sredisce/novica/article//7795/, dostop 3. 12. 2012
Aleš Mohoriš
MATEMATIČNE NOVICE
Matematika planeta Zemlje
Mednarodna matematična unija (IMU) se je pred tremi leti odločila, da bo v letu 2013 organizirala razne dejavnosti pod skupnim naslovom Matematika planeta Zemlje (MPE, Mathematics of Planet Earth). S tem naj bi pokazali, kako matematika pomaga pri studiju in resevanju problemov na nasem planetu. Priključili so se tudi UNESCO in mnoge strokovne organizacije. Matična stran za MPE je [1]. Poudarek je seveda na matematičnih dejavnostih, povezanih z vsem razumljivimi temami. Navedimo nekaj primerov.
Ameriski matematik Ken Golden studira taljenje ledu na Arktiki in Antarktiki. Iz univerzitetnega kabineta se večkrat preseli v negostoljubna ledena prostranstva, kjer je dozivel več napetih situačij. Z vpogledom v stanje na kraju samem je razvil izpopolnjene modele. V njih rečimo uposteva, da jezerča staljene vode na ledenikih pospesujejo taljenje, saj absorbirajo bistveno več sončne toplote kot beli led. Morski led pa ima zapleteno, nestalno strukturo. Za studij takih materialov je uporabil tudi fraktale. Kot pravi članek [2] s posrečenim naslovom: Matematik stopa na tanek led, je postal nekaksen matematični Indiana Jones in ljudje stojijo v vrsti za njegove avtograme.
Ce razumete nemsko, lahko na [3] preberete zanimiv intervju, objavljen v nemskem časopisu Die Welt. Matematik Erhard Behrends kratko in stvarno razlozi vlogo sodobne matematike, pa tudi njeno perčepčijo v druzbi. Videti je, da je akčija MPE uspesna, saj poljudnoznanstvene revije in časopisi matematiki posvečajo v tem letu prečej pozornosti.
Mnogo snovi za MPE je objavljeno na novi spletni strani, ki si je zadala ambičiozen čilj postati Youtube za matematiko.
Spletni portal IMAGINARY — prosto dostopna matematika
Matematični raziskovalni institut v Oberwolfachu je postavil spletni portal IMAGINARY [4], na katerem najdemo razne prosto dostopne materiale (z licenco CC - Creative Commons) za ilustracijo in popularizacijo matematike, in to v vec jezikih. Prvi dve leti portal financira nemska ustanova (sklad), ki ga vodi zasluzni profesor fizike Klaus Tschira. Med zanimivej-simi prispevki navedimo modeliranje ledenika [5], upodobitve celotne Zemlje na listu papirja [6], dvojno nihalo [7] in merjenje paralakse [8], prispevek nasega fizika Tineta Goleza. V tem clanku je v sodelovanju s kolegi iz Juz-noafriske republike (ki so fotografirali nocno nebo socasno z ljubljanskimi kolegi) izmerjena razdalja do Lune.
Na strani IMAGINARY priporocam se ogled vpliva potresnih valov na razne gradbene objekte [9]. Posamezne frekvence imajo bistveno razlicne vplive na deformacije.
Predavanje Volkerja Mehrmanna iz raziskovalnega središča Matheon in Tehnične univerze v Berlinu
Na matematičnem kolokviju na FMF je 15. marca 2013 predaval profesor Volker Mehrmann o matematičnih problemih v avtomobilski industriji. Najprej je predstavil problem minimiziranja zvoka v potniSki kabini. Druga tema je bila optimiranje in računalnisko upravljanje nove generacije avtomatskih prestav. V ta namen je znana nemska tovarna financirala delo devetih doktorskih studentov na raznih univerzah v Nemčiji. Pri tem so nastale nove matematične metode in nova področja v numerični linearni algebri.
Pred desetletji je Helmut Neunzert, eden pionirjev Industrijske matematike ali Tehnomatematike na obisku v Ljubljani, kamor gaje povabil profesor Ivan Kusčer, razlagal, kako je po firmah iskal delo za svoje studente. Zaradi spostljivega odnosa nemskih poslovnezev do znanosti in univerze - vsakič je dobil najmanj povabilo na poslovno kosilo - to niti ni bilo neprijetno opravilo. Zdaj pa je profesor Mehrmann povedal, da morajo zavračati naročila. Center Matheon zdruzuje spečialiste uporabne matematike s treh berlinskih univerz in dveh institutov.
Matematične formule na tablici ali mobilniku
Mnogo matematičnih in fizikalnih člankov je na medmrezju objavljenih v obliki PDF datoteke. To pa povzroča tezave pri branju na malih zaslonih tabličnih računalnikov in mobilnih naprav. Novi standard EPub 3.0 [10], zasnovan na XHTML5 in objavljen pred kakim letom, bo pomagal re siti ta problem, saj se pri povečevanju besedilo na novo razporedi. Podpira MathML in Javasčript. Za prikaz matematičnih izrazov večinoma uporablja MathJax. Za zdaj stvar dobro deluje na Applovem operačijskem sistemu, nekoliko manj uspesni so dodatki za Android. Več si lahko preberete na [11].
LITERATURA
[1]	Mathematics of Planet Earth http://mpe2013.org.
[2]	Matematik stopa na tanek led: http://www.utsandiego.com/news/2013/jan/11/ken-golden-mathematician-math-conference-polar-ice/?page=2#article-copy.
[3]	Matematika daje krila Holywoodu in bankam (v nemScini) http://mpe2013.org/wp-content/uploads/2013/01/wissen_article.pdf.
[4]	IMAGINARY http://imaginary.org/.
[5]	Modeliranje ledenika http://imaginary.org/film/the-future-of-glaciers.
[6]	Kako upodobiti povrSje Zemlje na listu papirja http://imaginary.org/program/the-sphere-of-the-earth.
[7]	Dvojno nihalo http://imaginary.org/content/double-pendulum.
[8]	Tine Golez: Merjenje paralakse http://imaginary.org/sites/default/files/ parallaxmeasurementinstructionsfinal.pdf.
[9]	Potresi in gradbeni objekti http://imaginary.org/program/earthquakes-and-structures.
[10]	EPub 3.0 materiali na International Digital Publishing Forumu http://idpf.org/epub/30.
[11]	Bilten IMU http://www.mathunion.org/imu-net/archive/2013/imu-net-057/.
Peter Legisa
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2013 Letnik 60, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53
VSEBINA
Članki	Strani
Rešeto za iskanje praštevilskih dvojčkov (Srečko Lampret)........................1-3
Ponceletove krivulje (Mirko Dobovišek) ..............................................................4-14
Sončno obsevanje in klimatske spremembe po Milankovičevem modelu
(Žiga Šmit) ..............................................................................................................15-23
Šola
O toplotnih strojih (Janez Strnad) ..........................................................................24-30
Entropija in nered (Andrej Likar) ............................................................................31-34
Nove knjige
Fukagawa Hidetoshi, Tony Rothman: Sacred Mathematics,
Japanese Temple Geometry (Jurij Kovic) ..................................................35-37
Vesti
Zoisove nagrade in priznanja 2012 (Aleš Mohoric) ........................................38-39
Matematicne novice (Peter Legiša) ......................................................................40—III
CONTENTS
Articles	Pages
Sieving twin prime pairs (Srecko Lampret) ........................................................1-3
Poncelet curves (Mirko Dobovišek) ......................................................................4-14
Solar irradiation and climatic changes according to the Milankovitch
model (Žiga Šmit) ................................................................................................15-23
School ............................................................................................................................24-34
New books ....................................................................................................................35-37
News ................................................................................................................................38—III
Na naslovnici je simbol za leto MPE 2013.