\
LIST ZA MLADE
MATEMATIKE
OO FIZIKE
ASTRONOME
'ZDAJA DMFA SRS
PRESEK - l i st za mlade ma t ema t i ke . f izike i n astronome,
3 (1975/7 6) 161 - 224
VS EB IN il
UVOD NIK
MATEMATI KA
FIZIKA
AS TRONOMIJA
PREMISL: in REŠi
IZ LABORAT OR IJA
FI ZIKALNO
RAZM iŠLJAN JE
NAL OGE -
TEKMOVAN JA
NALOGE
MATEMAT I Č N O
RAZVE DR ILO
REŠ iTVE NAL OG
NOVE KNJIGE
PISMA BRA LCEV
BOLJ ZA ŠALO
KOT ZARES
NA OV ITKU:
BISTROVIDEC
161 Ka ko nastane Presek (Pe te r Pe tek i n Ci r i I Velkovrh)
163 Kako spravimo u lomek v ška t lo (Pe te r Pe tek)
16G Tr isekcija ( razt re t i njen j e ) kota (Grego r Pa v l i č )
169 Ali je de l enak ce lo t i? (N. I . Vi le nk i n ,
prev . Mar j a n Vaga j a )
17 2 Dvoji š k i števi ls ki s is tem - nadal j e van j e
(Tom is lav Skubic)
177 Demok r itovo jabolko (Tomaž For t una )
178 Veter, voda , jadranje in malo f i z ike
(Zvonko Tron t e l j )
186 Upo rovna vezja (Dušan Repovš)
189 Nove i n s upe rnove (Andrej Čadež)
192 (Lj ubo Kostrevc i n J ože Dove r )
195 Me r j e nj e " os t o t e te koč in (Tomaž For tuna )
197 Znanstvena metoda (Ma rja n Hribar )
198 Fi zika ln i dokaz Pi ta go rovega i z" eka (Duš an Repov š )
199 Por očil o s te kmovanj na j mlaj ših ma t ematikov za Vegova
~r iznanja (Bogom i la Ko lenko )
2~2 Pr edt ekmovan j e s re dnješo lcev i z matema tike
(Mi r ko Dobovi šek )
204 I z r ač u naj mo p lošč ino Pr esekovega znamenja
(And re j Grob le r )
206 Ig ra s kartami - reš i tev 213 (Dušan Re povš )
206 Do ločimo oglišča kvadra ta samo s šes t ilom -
rešitev - 215 (Jože Kotn ik)
207 Tri j e s inovi in modrec na kameli (Pe ter Pe tek)
207 Mre ž i kvadra tov in t r iko tn ikov (Kare l Šmigoc )
208 Računs k a kr ižanka (Zvonimir Boht e)
212 Nekaj prestav lja l n ic - rešitev 216 (Vlad imir Batage l j )
213 Po lju bno števi lo s t remi dvo j kam i [Zvonl ml r Bohte)
217 S l i kovna kri žank a (Pavel Grego rc )
218 Re še val cem na log (Ciril Velkovrh)
219 Sonj a Kovalevska ( Iva nka Kočevar in Me ta Kokoš ine)
221 Kaž i po t po nebu (Ci ri I Vel kov r h)
222 (Mati Ida L en a rč i č )
224 Popr a vka (Peter Petek)
168 Med ognjem in krokod il i - reš itev 218 (Pe ter Pet ek)
171 Zanimivo množenje (Anica Šoper)
176 Vprašanja (Franci Oblak)
'91 Nal oga o ovci (Karel Šm igoc)
194 Kol iko vžiga l ic j e v škatl i? (Peter Pe tek )
196 Krož no razmiš ljan je (Tomo Pi sa ns k i )
201 Novo rač unstvo (Ci r i l Ve l kovr h)
I J adr ni ca T- 430 (Foto Ela n)
I I Vseb i na
III Ra zpr edel n i ca - re š i t ev (Dušan Repovš)
Al i se j e Pitagora zmot i l - r e š i tev (Peter Petek)
IV Moza i k (France Dacar)
UVODNIK___·01
KAKONASTANE PRESEK
Ko pride članek v ur edn i š tv o (oglej te si tretjo stran ovi t ka
v Pre seku 111/1), najprej ugotovimo, ka teri od uredni kov na j ga
dobi v r?ke: ure dnik za matemat i ko , za f iziko a l i za ast r onomi-
j o . Ta č la nek prebere , s i v gr obem us tvar i mne nje o nj em , pot em
pa prosi tega ali oneg a č la na u r edni š kega odbora, da prisp evek
uredi. Navadno r az del i mo članke v urejanje na sejah uredn~škega
odbor a , ki jih imamo prib ližno enkrat na mesec . O čem se še po-
govarjamo na sejah? Od ločamo glede na razpol ož l j i va fin ančn a
sredstva in tudi glede na š tevilo č la nkov na zalog i, koliko
strani bo i mela številka Preseka . Izberemo na l ogo za rub riko
"Premis li in reši " , poiščemo izmed več predlogov primern ega
"Bist ro vi dca", določimo č im le pšo nas lo vno stran. Ur edniki s ku-
paj z odgovor nim ur ed ni kom pr edlag ajo vsebino Prese ka. Pri tem
moramo paziti, da ohranimo pravo razmerje med resni mi in zabav-
nimi pr i s pev ki , v vsaki številki naj bi bilo ne kaj i z naših
tre h s trok: matematike, f izike i n a s tro nomije.
Kako članek uredimo? Urednik članek na j pr e j prebere . Ugotovi,
ali je strokovno v redu, ali so zraven vse slike, ki jih tekst
ome nja, popravi manjše tipkarske napake ali morda še kakšno ma-
lenkost . Označit i mora, katere črke, besed e oz . stavk i, naj bo-
do stavl jeni kurzivno (poševno), če tega še ni storil avtor sam.
če je treba večjih sprememb in dopo lnitev, pO lsce uredn ik
avtorja in mu pred laga, kaj naj poprav i in doda . Ko dobi uredn i k
spet članek v roke, ga odnese, sedaj že l e po urejenega, odgovor-
nemu uredni ku. Ta zb i ra urejene č lan ke v posebni mapi in ko se
jih ne kaj nabere, jih pošlje lektorju , ki poprav i morebitne
slovnične in stilistične napake. Ko je t a ko poskrb lje no za lepo
slovenščino, dobi članek v roke te hnični ur edn i k. On sodeluje s
strojepiskama Nu š o Rode, diplomirano inže nirko matematike in
161
Metko 2itnik, študentko matematike, ki nam tipkata Presek . Saj
ste gotovo opazili, da je Presek natipkan in ni postavljen v
ti s karn i . Tehnični urednik tudi pošlje predloge za sl ike k član­
kom tovari šu Slavku Lesnjaku, absolventu matematike, ki izdela
slike s tuš em. Za vsako barvo, ki je na sliki, mora izdelati
svojo risbo. No , znotraj Preseka pomeni to največ dve risbi, za
slike na ovitku, ki je štiribarven, pa je treba včasih tudi šti-
rih risb. Natipkan in z risbami opremljen članek pošljemo avtor-
ju ali uredni ku, da ga še enkrat pogl eda.
Zdaj 'pr i de na vrsto zlaganje Preseka. Tudi to delo opravi
tehnični ur ednik. V roke vzame škarje in lepilo in reže in lepi,
da dobi vsaka stran svojo dokončno obliko. Tako zložen Pres ek
še enkrat pregleda jezikovni korektor . Nato ga odnese mo v tis-
karno, kjer ga pregledajo in nas "pokarajo", če smo kaj po teh-
ničn i plat i s labo pripravili. Tedaj tudi izberemo drugo oziroma
tretj o barvo .v Pr es e ku . Po morebitnih zadnjih korekturah v ti s -
karni raz pore dijo stran za stranjo po tiskarski poli tak o, kot
je potre bno, da si strani, potem ko je pol a zložena, pra vilno
sledi jo. Tako postavljeni tipkopis pr e s l i ka j o na f i l me , iz ka-
terih na pravijo odtis - imenovan ozolit, ter nam ga pošljejo v
pregled . Korektur je navadno zelo malo. Iz filmo v prenesejo od-
tise na za svetlobo občutljive osoj ene cinkove p lošče, ki jih
nato vpnejo na vrtljive bobne v ofset tiskarskih strojih. Vsak
stroj tiska hkrati po 32 strani - to je dve t iskarski poli ali
eno polo papirja. Pri večbarvnem tisku pa so taki stroji postav-
ljeni zapor edoma v natančno določenih razdaljah. Ovitek tiskajo
posebej . Potiskane pole zložijo, preganejo, obrežejo i n vežejo
s stroji. Presek je gotov . Se toplega že kar v tiskarni spravi-
jo v zavitke in razpošljejo po šolah; kjer ga dobite vi , dragi
bra 1ci.
Peter Pe tek in Ci riL VeLkovrh
UVODNIK
1 6 2
MATEMATIKA
__II
KAKO SPRAVIMO ULOMEK VšKATLO
- enico - v škatlo. Ostanek obrnemopridelek
14-!.
3
v škatlo in obrnemo ostanek
43
3
14
l = 3
1
l... -T
43
Pospravimo
.!. -T
3
Dvojko skrbno odnesemo v prvi
predalček škatle. Ostanek pre -
kucnemo, da dobimo obratno '
(recipročno) vrednost
il -T ~ = Il...
46 43 43
Spet odnesemo
Ulomek v škatlo ? Zakaj pa ne! Oglejmo si, kako to napravimo
z ulomkom 135
46
Najprej ga zapišemo kot mešano
števil o
135 = 2il
46 46
še trojko damo v škatlo, ostanka ni več, ulomek je ves v škatli,
štiri predalčke smo napolnili.
Naloga: Spravi v škatlo ulomke g
23
1600
563
427
312
1 7
550
Oglejmo si zgornji postopek. V prvi predalček smo dali celi del
števila, to je največje celo število, ki je še manjše od našega
ulomka. Prav lahko bi se zgodilo, da bi bilo to celo število
nič . Pač pa v naslednjih predalčkih ne more biti ničle, ker vsa-
kič obrnemo ostanek, ki je manjši od 1 in je zato recipročna
vrednost večja od 1. števci in imenoyalci se zmanjšujejo, ko do-
bimo vimenovalcu 1, je igre konec, ker ni več ostanka, s kate-
163
rim bi jo nada l j eva l i. Pozorni bralec bo v igri ci spoznal Evkl i-
dov algoritem.
Pred seboj imamo sedaj namesto ulomka š katlo, kamor smo spra-
vili ulome k. Ali bi mogli spet sestaviti ulomek? O, seveda gre,
le za č e t i moramo pri zadnjem p redal čku in vso pot preiti v ob ra-
tn i sme ri . Koment a r najb r ž ni potreben.
3 -+ 1
3
14.!.
3
1-l..
43
2~
46
43
3
46
43
135
46
3
-+ -
43
43
-+ -
46
135
46
Torej vsaki škatli z naravnimi š t evi li - nič je dovoljena le v
prvem predalčku - priredimo ulomek, racionalno š t evi l o. Zapisu s
pomo čjo "škatle" rečemo v er i i ni u Zomek
1 +
13 5 = 2 +
46 1
14 + .!.
3
Ime je re s upr avlc en o, opazimo pa t udi , da utegne biti takl e za-
pis pr ecej dolg in ne r oden , saj imamo že v našem s kromnem pr i me-
r u t rojni ul omek. Zato navadno upora bljamo za pi s v eni sami vr-
st i :..!li = [2, 1, 14,3]
46
Na l oga : Izračunaj vrednost i ve rižnih ulomkov [O, 1, 4, 3],
[5, 67, 8 , 8, 3], [a, », a] , Ca, b , c , d ] (a, b , e , d so naravna
š t e vi l a )!
Rec i mo , da smo st resl i in izgubil i ne kaj zadnji h pr eda l č ko v
šk a t l e . Res nerodno , a nesreča le ni prehuda . Seveda prvotnega
ulomka ne moremo ve č sestaviti, dobimo pa še vedno pribli žek .
Vzemimo kar naš primer ! če izgubimo celo š ka t l o , je seveda stvar
brezupna. Zato si najprej m ~slimo, da smo izgubili vse razen pr-
vega predalčka. Ustrezni ulomek je potem kar 2 , to je približek,
164
ki je za il premajhen.
46
Prav, kaj pa, če sta nam ostala prvi in drugi predalček
[2, 1] = 2 + 1 = 3
1
Ta pribl ižek je za 3 prevel i k , napaka je manjša kot prej. če
46
dobimo približek:predalčkov,
2.!i 44
15 15
[2, 1, 14] = 2 +
poznamo vsebino prvih treh
+...1-
14
Razl i ka _135 _ 44 _101 J"e i t i t· t i bl i ž k tpOZl lvna, za o Je a prl lze spe
46 15690
premajhen, je pa boljši od prejšnjega. Brez dokaza povejmo, da
je vedno tako, kot smo opazili na našem primeru. Lihi približki
(prvi, tretji, peti, ... ) so premajhni, sodi (drugi, četrti, .. )
preveliki. In napaka, ki jo naredimo, je tem manjša, čim kasnej-
ši približek vzamemo.
Razen ulomkov obstajajo še druga števila, t . im. iracionalna
števila. Med njimi sta na primer Il in TI. Taka števila zahtevajo
neskončno škatlo . Zaradi zanimivosti si oglejmo, kaj je v teh
škatlah za zgoraj omenjeni iracionalni števili!
,/Z = [1,2 ,2 ,2, . ..
Enici v prvem predalčku sledi neskončno dvojk .
O tem se moremo brž prepričati! Koren iz dva leži med 1 in 2,
zato sodi v prvi predalček enica. Razliko Il - 1 ob rnemo in ra-
cional i ziramo
_1__ = Il +
Il - 1
To število leži med 2 in 3, zato je v drugem predalčku dvojka,
ostanek/Z + 1 - 2 =IZ - 1 je isti kot prej in zato dobimo dvojko
v vseh nadaljnjih predalčkih.
TI = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1, ... ]
Tu pa ne opazimo nobenega reda, po katerem bi se pojavljala šte-
vila v predalčkih. In na žalost pravila res ni .
Naloga: Iz zgornjih dveh verižnih ulomkov poišči po pet pri-
bl i žkov za vsako od števi 1 IZ in TI!
Peter Pete k
165
TRISEKCIJA CRAZTRETINJENJE) KOTA
Grški matematiki so se že zelo zgodaj znašli pred nekaj nalo-
gami, ki so bile kostrukcijske narave in jih niso znali rešiti z
"evklidskim orodjem" (to pomeni šestilo in neoznateno ravnilo).
Ena od teh je tudi tri sekcija kota.
Rešitev za pravi kot je prava šala, toda te poskusimo naredi -
t i isto za poljuben kot, se nam ustavi. Ta naloga je namret ne-
rešljiva.
Ker ni šlo samo z ravnilom in šestilom, so poskusili rešitev
dobiti na drugaten natin. Menda je od vseh najlepša in zato tu-
di najbolj znana Nikomedesova. Ta grški matematik je ž ivel okoli
leta 180 pr. n. št. in je pri rešitvi uporab-il krivuljo konhoido:
X2y 2 = (d 2 _ y 2)( a _ y)2
1. KAKO NARIšEMO KONHOIDO?
Kot lahko vidimo iz enatbe, je konhoida odvisna od 2 parame-
trov a in d , ki si ju lahko poljubno izbe remo. Tako dobimo 3 ti-
pe konhoide, ka j t i velja natanko ena od 3 možnosti a < d , a > d
in a = d (to je znani zakon trihotomije).
Sl . l
166
Totke krivulje do-
bimo takole: najprej
narišemo pravo kotni
koordinatni sistem
(x,y) z izhodištern O
in v njem tot ko
A ( O, - a ) . Skozi to tot-
ko potegnemo poljubne
premice tako, da seka-
jo abscisno os (ena od
njih je kar ordinatna
os koordinatnega si-
sterna). Iz pr es e č i š č
premic z abscisno osjo
odmerimo s šestilom na
vsaki strani razdaljo
d in tako dobimo iska-
ne totke.
Vidimo, da ima konhoida dve veji - eno nad in drugo pod abscisno
osjo .
2 . POTE K RES ITVE
Zdaj, ko poznamo problem in krivuljo konhoido, imamo priprav-
ljeno že vse za konstru kcijo rešitve. Dan je poljube n kot
1 ( g, O, y), ki ga moramo razdeliti na 3 ena ke dele . Narišemo ga
tako, da en kr ak kota sovpada z ordinatno osjo y pravokotnega
koordinatnega sistema, drug krak pa označimo z g . Vrh kota je iz-
hodišče O. Skozi izhodišče O na rišemo še abscisno os x in v toč ki
B(O ,a ) vzpo rednico q k abscisni osi. Premi ca q naj seka krak g v
točki A , tako da je OA = d/ 2 (prej smo že povedali, da si lahko d
poljubno izberemo).
V koordinatnem sistemu nam manj ka samo še konhoida . Njena pa-
rametra sta dolžini a in d (obe smo ravnokar omenili), zato nam
je ne bo težko narisati .
Na kraku g odmer i mo od točke A s šestilom razdaljo navzgor
( rabimo le zgo rnjo vejo krivulje) in že dobimo prvo točko. Recimo
ji P . Ostale točke poiščemo ta ko, kot smo povedali pod l . točko.
Pa recimo, da je kr ivu l j a že narisama . Iz toč k e A potegnemo pra-
vokotnico na premico q , ki seka konhoido v točki T. Narišemo še
premico h s kozi točki T i n O, ki seka prem ico q v točki N; razpo-
lovišče dalj ice TN pa označimo z M. Končno lahko trdimo: kot
1 ( h, O, y) je tretjina kota 1 ( g, O, y).
167
DO KAZ :
MN = MT MA . I z n ara ve kriv u l j e sled i
NT = AP = 2 OA ~ OA = MA
I z ena ko kr a keg a t r i kotn i ka (). OAM dob imo 1 AOM :: 1 AMO
Iz sl i ke 3 v idi mo e = (1 8 00 ~ (1 80 0 - a ) ) /2 = a / 2 i n t ako dobimo
1 AMO :: 1 A OM :: 1 ( g, O, h ) :: 2 1 ATM :: 2 1 ( h, O, y)
To pomeni , da je 1 ( g , O, h ) = 213 1 ( g, O , y ) i n s l ed i r ešit e v
1 ( h, O , y) = 1/ 3 1 ( g, O , y)
Gre gor Pavl i a
LITERATURA
D. E. Smith, History of mathematias , vol 2, New York, Dover publications
1953
2 A. Vadna l, Funkaije 1, Lj ubl j ana , Mladinska .knj iga 1965 , str. 178- 179
BOLJ ZA ŠALO
KOT ZARES
MED OGNJEM IN KROKO DI LI
2m 4m
10mPeter Petek
Jane zek je na pot i po Afr i k i zaše l v sa van i . In da bo smola še večj a ,
začne vi so ka trava, k i ra ste po sa vanah, gore t i . Na begu pred ognjem pr ide
Ja nezek do kvadra t nega ri bni ka s stranico 10 m. Ravno na s re d i r i bn ik a pa
lež i kvadra t en otoček s
st ranico 2 m. Že se naš ju-
nak razvesel i, da bo s pla-
va l na otok in se tako re-
ši l stra šne smrti v pla me-
n ih , ko s poz na, da je r i b-
n ik ~oln pož rešnih kro ko-
d i lov . K s reč i l ež i t a ob
r ib niku dve de s ki , dol g i po
4 m. Toda ojoj, to je rav no
pr ema lo za va ren pre hod ,
saj desak n i kam opret i i n
b i pa dl e z Jan e z kom v re d
med krokod i le. S il a ko la
lomi, J anezek se l e dom is l i
kako bi s i pomagal z obema
des kama in se reš i 1 na otok
t er ubeži tako en i kot dru-
g i g rozeč i nevarnosti. Kaj
j e napravil z de skama?
168
ALI JE DEL ENAK CELOTI ?
Osnovno načelo. ki ga je bilo treba zavreči. je bila trditev.
utemeljena na samem za četku razvoja matematike: "Del je manjši
kot celota." Ta trditev. brezpogojno točna za končne množice.
izgubi svojo moč na področju neskončnih množic . Spomnite se. ka-
ko je direktor nenavadnega hotela*premeščal kozmologe v sobe s
sodimi številkami. Pri tej selitvi se je gost sobe št. n prese -
lil v sobo št . 2n. Z drugimi besedami. selitev je tekla po sle-
deči shemi:
1 2 3 4 ••••• n . • •
-} -} -} -} -}
2 4 6 8 •• ••• 2n . . .
Ta shema ugotavlja vzajemno enolični odnos med množico narav-
nih števil
1.2.3 •....• n • • . •
in njenim delom - množico sodih števil
2.4.6 •....• 2n •...
Po dogovoru smatramo. da imata mno žici enako elementov. če
med njima obstaja vzajemno enolična preslikava . Pomeni to rej. da
ima množica naravnih števil prav toliko elementov kot njen del -
množica sodih ,števil.
Prav ~ a k o moremo vzpostaviti vzajemno enolični odnos med mno-
žico naravnih števil in množico števil oblike
10. 100. 1000. lUOOO •. ..
Potrebno je le vsakemu naravnemu številu prirediti število l0n :
n ... l0n
S tem je dosežen želeni vzajemno enolični odnos. Prav tako
obstaja vzajemno enolični odnos med množico naravnih števil in
množico kvadratov vseh naravnih števil:
ali množico kubov vseh naravnih števil :
n + n 3
itd.
Splošno moremo vzpostaviti vzajemno enolični odnos med množi-
co vseh naravnih števil in poljubnim njenim neskončnim delom.
Zato je dovolj le po vrsti numerirati števila te ga dela.
Ne govore zastonj. da ta trditev ni nova pod soncem. novo je
le - davno pozabljeno staro. Ze na začetku XVII stoletja je Gali-
,'; Pr e se k 1 (1973174) st r . 10
169
lei razmišljalo protislovjih neskončnosti in odkril možnost
vzajemno enoličnega odnosa med množico naravnih števil in množi-
co njihovih kvadratov. V njegovi knjigi "Razgovori in matematič­
ni dokazi, ki se nanašajo na mehaniko lokalnega gibanja" (1638)
je naveden dialog, v katerem Salviatti, izražajoč misel Galilea,
pravi:
"To, kar smo povedali, se nanaša na težave, ki nastanejo, ko
z našim omejenim razumom razpravljamo o neskončnosti in ji pri-
pisujemo lastnosti, ki smo jih spoznali na končnih in omejenih
stvareh. Toda to je nepravilno, ker pojmov, kot sta večja in
manjša količina in enakost, ne moremo uporabiti za neskončnost,
ker ne moremo reči, da je neka neskončnost večja ali manjša ali
da sta neskončnosti enaki."
Za potrditev svoje misli Salviatti ugotavlja, da je po eni
strani "kvadratov toliko kot je korenov, ker ima vsak kvadrat
svoj koren in vsak koren - svoj kvadrat (vsakemu kvadratu pripa-
da le en koren in vsakemu korenu le en kvadrat ... (to se nanaša
na naravna števila)). Pri tem je število korenov enako celokupni
količini vseh števil, ker ni nobenega števila, ki ne bi mogel
biti koren nekega kvadrata; torej moramo reči, da je število
kvadratov enako celotni količini vseh naravnih števil ... "
Po drugi strani, ugotavlja Salviatti, je "količina vseh šte-
vil skupaj - kvadratov in nekvadratov - večja kot samo kvadra -
tov", pri čemer število kvadratov nenehoma in v velikem razmerju
upada, ko prehajamo na večja števila." Kot edini izhod iz ugo-
tovljenega protislovja Salviatti predlaga:
"Ne vidim nobene druge rešitve, kot da priznam, da je količi­
na vseh števil neskončna, da je neskončno število kvadratov in
da je neskončno število korenov. Napačno je reči, da je število
kvadratov manjše od količine vseh števil, a poslednje večje:
k o n č n o so lastnost enakosti, prav tako pa tudi večja in manjša
količina nesmiselni, ko se govori o neskončnosti in so uporab-
ljivi le za končne količine. "
Vidimo, da je Galilei v bistvu poznal idejo vzajemne enolične
pripadnosti in ugotovil, da je takšen odnos mogoče vzpostaviti
med množico vseh naravnih števil in množico kvadratov, ter je
mogoče smatrati, da imata množici enako število elementov . Prav
tako je razumel , da je pri neskončnih množicah del lahko enak
celoti. Od tod njegov nepravilni sklep, da so vse neskončnosti
170
enake, ker je operiral le z neskončnimi podmnožicami zaporedja
naravnih števil, ki jih je mogoče numerirati.
Galilei si ni mogel predstavljati, da se množica vseh točk da-
ljice ne da numerirati. Podobno kot atomisti preteklosti je pred-
postavil, da je daljica sestavljena iz množice točk, ki jih je
mogoče prešteti .
Prevedel Mar j an Vag aja
Prevod je iz knjige Vil enkin: PaccKa3~ o MHo~eCT8ax
BOLJ ZA ŠALO
KOT ZARES
ZANIMIVO MNOžENJE
Napišimo število 12 345 679 in ga pomnozlmo z 9! Presenetlji-
vo! Dobimo število, ki ga zapišemo z devetimi enkami. Pa vzemimo
namesto 9 za faktor število 18. Zmnožek predstavlja devet dvojk .
Ce bi vzeli za faktor število 27, bi imel zmnožek devet trojk.
Zanimivo!
Kako bi dobili zmnožek samih štiric, petic itd.?
Premislimo in poskusimo, kakšen bi moral biti drugi faktor,
če je prvi faktor 12 345 679, da bi dobili za zmnožek število,
ki je zapisano z devetimi enakimi ciframi?
REšITEV:
Rezultat množenja števila 12 345 679 z 9 je število
111 111 111.
111 111 111 . a = aaa aaa aaa, če je a naravno število in
manjše od 10.
Ce število 12 345 679 pomnozlmo z 18, je isto, kot če bi
111 111 111 pomnožili z 2, ker je 18 = 9.2.
Ce torej hočemo dobiti zmnožek, zapisan z devetimi enakimi
ciframi a, moramo število 12 345 679 množiti z 9.a .
Npr. 12 345 679 . 72 = 888 888 888, ker je 72 = 9.8
Anica Šope r
171
DVOJIšKI šTEVILSKI SISTEM
NADALJEVANJE
4. Aritmetika v dvojiškem sistemu
a) Seštevanje
Za seštevanje v dvojiškem sistemu velja naslednja tabela:
Zgledi:
1011
+ 101
10000
ti) Odštevanje
o + O O
0+1 = 1
1 + O = 1
1 + 1 10 (1 + 1
1001100
+ 10101
1100001
o in ostane 1)
10111000
+ 101011
11100011
Tabela za odštevanje v binarnem sistemu je tudi zelo preprosta :
Zgleda:
O - O = O
1 - 1 = O
1 - O = 1
0-1 1
101111
- 10011
11100
in 1 si moramo izposoditi na
naslednjem višjem mestu.
101100010
- 10101010
10111000
ee je minuend manjši od subtrahenda, ga odštejemo od subtra-
henda, diferenci pa damo negativni znak.
c) Množenje
Poštevanko v deset iškem sistemu zelo dobro poznamo iz vsakda-
njega življenja. V dvojiškem sistemu je poštevanka zelo preprosta:
O O = O
O 1 O
100
1 1 1
172
Oglejmo si zgled za množenje!
1011011 x 1101
1011011
1011011
0000000
1011011
10010011111
Pri seštevanju smo morali paziti. Na sedmem mestu z desne smo
računali takole : 1 (ostanek od šestega mesta) in 1 in 1 in 1 je
100. Zapišemo O in ostane 10. Na osmem mestu dobimo 1, na deve-
tem pa O (zaradi ostanka 10 od sedmega mesta) in ostanek 1 in
tako dalje.
Pri vsakem množenju s posamezno številko multiplikatorja po-
maknemo multiplikand za eno mesto v desno, če je številka mul ti-
plikatorja enaka 1. Ce pa je številka mu l t i pl i ka t or j a enaka O,
zapišemo namesto multiplikanda ničle.
d) Deljenje
Kadar delimo v desetiškem sistemu, odštevamo divizor od divi-
denda tolikokrat, kolikorkrat je možno. Isto velja za deljenje v
drugih številskih sistemih.
Oglejmo si zgled za deljenje v dvojiškem sistemu!
1101101 : 1011 = 1001
1011
0010101
1011
1010 ostanek
5. Pretvarjanje celih števil iz desetiškega
sistema v dvojiški sistem
V 2. razdelku smo obravnavali številski sistem z osnovo B. Na-
ravno število N smo razčlenili po potencah osnove B in ga potem
zapisali v obliki
N = BnB n_ 1
Spoznali smo, da so Bo, BI' , Bn ostanki, ki jih dobimo pri
173
delitvi števil N, NI' .•. , Nn z osnovo B. ee govorimo manj ek-
s aktno , pravimo, da so ko e f i c i ent i eo, el' '" , en ostanki, ki
jih dobimo po (n + 1). deljenju števila N z osnovo B.
ee želimo pretvoriti naravno število iz desetiškega sistema v
dvojiški sistem, moramo torej dano število kar naprej deliti z
osnovo dve in zapisovati ostanke po vrsti od desne proti levi.
Vzemimo, da je treba pretvoriti število (27)10 v dvojiški si-
stem! Najprej si oglejmo naslednji račun:
27 = 2~ • 2 = (13 + t) . 2 = 13 .2 1 + 1.2°
Ker je
je
13
13 = 2 . 2 (6 + t) . 2
Nadalje je
6 = 6 2 = (3 + O) 2 3.2 1 + 0.2 0'2
in
27 = (3. 2 1 + 0.2°) 2 2 + 1. 2 1 + 1. 2 o
Ker je
3 = 3 2 = (1 + 1) 2 1. 2 1 + 1. 2 o'2 2
je končno
2 7 (1. 2 1 + 1. 2 0) 2' + 0.2 2 + 1. 2 1 + 1. 2 °
= 1. 2~ + 1. 2 3 + 0.2 2 + 1. 2 1 + 1. 2 o
Dobili smo naslednji rezultat:
(27)10 = (11011)2
Iz tega računanja je razvidno, da pretvorimo število (27)10 v
dvojiški sistem tako, da število kar naprej delimo z 2 in zapi-
šemo ostanke po vrsti od desne ? r ot i levi :
27 2 = 13 in ostanek 1 1
1 3 2 6 in ostanek 1 11
6 2 3 in ostanek O 011
3 2 1 in ostanek 1 1011
1 2 O in ostanek 1 11011
Torej j e (27)10 = (11011h
174
6. Prevedba desetiškega ulomka v dvojiški sistem
V 2. razdelku smo zapisali ulomljeni del ulomka v sistemu z
osnovo B takole:
o, e_
1e_ 2
••• e_m
Spoznali smo, da so števila e_
l
, e_
2
' • • • , e-m celi deli pro-
duktov BN ( 1 ), BN ( 2), ••• , BN (m)
Vzemimo, da je treba prevesti ulomek (0 ,62)10 v dvojiški sis-
tem. Račun poteka takole:
~ 1,24 1. 2- 1 -10,62 2 2 = 2 + (0,24),2
0,24
0,24 2 ~ 0.2-
1 - -1
= -2- = 2 = + (0,48) .2
0,62 1. 2-
1 (0.2- 1 -1 -1+ + 0,48.2 ).2
1. 2- 1 0.2- 2 -2= + + (0,48).2
0,48 ~ 2 0,96 0.2-
1 -1= 2 = -2- = + 0,96.2
1. 2- 1 0.2- 2 (0.2- 1 -1 -20,62 = + + + 0,96 .2 ).2
1. 2- 1 0.2- 2 - 3 -3+ + 0.2 , + 0,96.2
0,96 ~ 2 ~ 1. 2-
1 -1
= 2 = 2 = + 0,92.2
1. 2- 1 0 .2- 2 0.2- 3 + ' (1 . 2- 1 -1 -30 ,62 = + + + 0,92.2 ).2 =
1. 2- 1 0.2- 2 0.2- 3 1. 2-~. -~+ + + + 0,92.2 =
(0,1001 .. . )2
Z računanj em lahko nadaljujemo toliko časa, kolikor želimo. V
splošnem je dvoj iški ulomek, ki ga dobimo, neskončen. .Lah k o ga
izračunamo poljubno natančno.
Pri pretvarjanju ulomkov iz enega številskega sistema v drugi
se navadno zgodi, da končni ulomki venem sistemu niso končni v
drugem in obratno. Tako je na primer ulomek i v desetiškem siste-
mu neskončen, v sistemu z osnovo tri pa se glasi (0,1)3 in je
končen. Ker je zgoraj navedeni račun zamuden, si oglejmo hitrej -
šo pot za prevedbo desetiškega ulomka v dvojiški l Ulomek pomnoži-
mo z dve:
0,62 • 2 = 1,24
Ker je celi del produkta 1, zapišemo na prvo mesto za dvojiško
vejico 1, torej 0,1.
175
Ulomljeni del produkta pomnožimo z dve:
0,24 • 2 = 0,48
Ker je celi del produkta enak 0, zapišemo na drugo mesto za
dvojiško vejico 0, torej 0,10.
Celotni račun poteka takole:
0,62
0,24
0,48
0,96
0,92
0,84
2 1,.24
2 0,48
2 0,96
2 1,92
2 = 1,84
2 1,68
0,1
0,10
0,100
0,1001
0,10·011
0,100111
Desetiški ulomek, ki ima celi in ulomljeni del, prevedemo v dvo-
jiški sistem običajno tako, da prevedemo vsak del posebej in na-
to oba dela seštejemo.
Tomi8l.av Skubic
VPRAŠANJA
V enakok rakem trikotniku je krak trikrat da ljši od osnovnice.
Ko l i ko merijo stranice, č e je ob s eg 91 cm?
Peter je dobil nalogo: d anemu š t e v i l u prištej 1 2 in rezultat
deli s 13. Peter pa j e slabo poslušal i n je od danega števila od-
š t e l 13 in raz liko delil z 12 . Ko pa je po veda l odgovo r, je bil
rezultat pravilen . Katero š t e v i lo je bil o dano in k a k š e n j e bil
od govor ?
Napisana so š t e v i l a od 1 do 9 9 9 9 9 . Ko likokrat je n a pisan a
ci fra 1?
Harjanca si je izm islila število s tole lastnost jo : vsota po -
lov ice i n t r e t j i n e tega števila je za 7 večj a od n j egove četrti ­
ne . Določi to število in ga povej Ma rja n ci!
Janez je dve l e t i mlajš i od Petra . Pete r je štiri l e t a starej -
š i od Štefan a , An drej je tri leta sta re j ši od Petra . Janez je to-
l iko sta r , kot Štefan . Kdo je stare jši : Andrej a li Janez?
Fr anc i Obl.ak
176
FIZIKA___[0\
DEMOKRI TOVO JABO LKO
Me d prv l ml Je zamisel o atomu r a zvi l grški filozof Demokrit .
Ne bomo razgl abljali o razl očku med Demokritovi mi in sodob ni mi
pog le di na a to m. Iz zgod be same bomo vide li , kaj j e Demokrit
ra zumel pod poj mom atom.
Zgodba pri poveduje , da je ne koč sed e l Demok rit na kamnu ob
morsk i obal i, držal v rok i jabolk o i n tako l e razmišljal : če
razrež em ja bolko na polov ico, dobim pol jabo lka, če nadalj ujem
s polovico, dobim če trti no itd . Ali l ahko re žemo t a ko kar na -
pr e j ?
De mokrit je iz tega razmišljanja povzel, da je šte vilo deli-
te v omeje no . Po N-tem del j e nj u bi dobi l i delec, ki ga ne moremo
de li ti naprej . Ta de lec je imenova l a t om. Koliko de litev je po-
tre bnih, da dobi mo a to m? (gr . a tomos - nedeljiv)
Oglejmo s i pr i bl i žen r a č u n : Zaradi enosta vnosti vzemimo ja-
bolko s takim pr emer om, da je pr ostornina približno 10 3 cm 3.
Pri vs a kem rezu se zmanjša prostorni na dela, ki ga delimo, na
polovico . Po N-tem r ezu bo prosto rnina
V
N
= ~ 10 3cm
3
= 10 3- o,3N cm !
2" ( 10°'3) 11
ker j e 2 ~ 10°· . Danes vemo, da je prostornina atoma okoli
10- 2 ~cm 3. Zato postavimo :
10 3- o,3 N cm? = l 0- 2 ~ cm 3 =i> 3 - O,3N = -24 =i> O,3N = 27
Rešitev je
N = 90
že po devetdesetih rezih pr i demo do atoma!
To maž Fortu na
177
VETER, VODA, JADRANJE IN MALOFIZ IKE
Kdo izmed na s še ni pos ta l ob bre gu j eze r a ali morj a in s e
za zr l za j ad rn ico , ki s e vozi s em i n t ja , zd aj s koraj pro ti ve-
t ru , pa spe t z ve t r om, a l i še ka ko d ru g a če . Kadar gla di na ni
ze l o nemirna, se nam zdi, da se jadrnica gi blje s ta ko l ahkot o
kot ga l ebi nad njo. Morda smo s e že kda j vpra šali , kako je
sploh mogoče, da s e j adrn i ca gi bl je s kor a j v vs e h smer e h , vete r
pa pi ha ves čas v is t i smeri ? Kako to, da s e kar pre ce j nag ne ,
prevrne pa se le r edko, pa še t o l e t eda j , če je maj hna? I n ka-
ko t o , da voz i doma la pr ot i ve t r u?
Skuš ajmo odgovor i ti na ta vpra š a nj a i n poleti , č e bo na nes la
prilika , s e popeljimo z j adr nico in se s pomni mo t e h odgovor ov .
Najprej si na hit r o ogl ejmo bistv ene del e jadrn ice . Pomagal a
nam bo sl ika 1. Težje j adrn ic e imajo podvodni del trupa poda l j -
šan v k obilico ( s1. la), man jš e, la žje j adr nice pa imajo vgr a-
jeno p remično k obilico, t. j . posebno železno ploščo , ki jo l a -
hko dvigamo a li s pu š č a m o ( sl. lb). Na pa lub i i n tr upu j e pr i t r -
j en j ambor , ki nosi j adra . N a j v ečk r a t i ma j o ja dr nic e en o al i
dve jadri : ve č je - glavno jadro in manjše - prečko . če ome nimo
še krmilo , smo ta ko spo zn ali vs e bistvene dele j adr ni ce.
Sl. 1 Bistveni del i jadrnice : a) jadrnica
bl j adrni ca
17 8
prit rjeno kobil ico
premično kobi lico.
Post av i mo j adr ni co v vodo in se pozanima j mo za njen o ravno -
vesje in s tabi lnost . Naj pre j pogl e j mo mirujočo j adr ni co z ne-
razpetimi jad ri. če naj jad rnica miruje , mora bi t i vsot a vseh
zunanjih s il in nav orovena ka nič . Na slik i 2 sta ozn a č eni zu-
nanji si li , ki de l uj e t a na mi rujočo j adr nic o. To sta tež a F
t
s
p ri j ema l iš č em v teži šču jadrnice T in vzgon F
v
s p rijema l iščem
v te žišču i zp o ~ rin jene vode T
1.
Sil i leži ta na i sti pr emici in
sta nas pr otn o ena ki . Tako j e tudi njun s kupni navor e na k n i č .
Razpnimo jad ra in "uravnovesimo" j adr nic o ! J adr a na j bodo v
takem polo žaju, da bosta med vožnjo pr ij e m a l iš č i s i le vetra T .
J
in težiš če podvodne ga dela tr upa T na i sti n a vpi čni ra vni ni,
pravo kot ni na vzdo lž no os (sl . 3). č e bi bilo pr ijemal i šč e s ile
vetra T: za teži š č e m podvodnega dela , bi j adr ni ca med vož njo
J
počasi zavi j al a v ve t e r, če bi kr ma r s pust i l krmilo . Do t eg a
pr i de zara d i navo r a tiste komponen te si l e vetra, ki j e pr avo-
kotna na j adr a .
SI. 2 Prečni presek trupa mi ruj oče
jadrn ice in sile, k i de lu je-
j o na trup.
SI. 3 Vzdolžni presek jadrn ice in
lega težišča jader ter teži-
šča podvodnega de la trupa .
V pr imeru, da bi bilo prijemališče sile vetra T~' p r e d te ži-
J
ščem podvodnega dela, pa bi jadrnica zavijala v smer od vetra
stran, če bi krmar spustil kr mi l o.
1 79
Poglejmo sedaj . "ur avnove š eno" jad rnico med enakomerno vož-
njo. Ponavadi je j adr ni ca nagnjena; zasukana je okrog vzdolžne
os i , ki gr e s koz i težišče jadrnice . Sl . 4 kaže presek jadrnice
z ravn ino, ki je pravokotna na vzd ol žno os skozi teži šče. V
tej ra vnini naj bodo prijemališča vseh sil . Za prečno ravnove-
sje j adr ni ce so pomembne sil e al i komponent e s il , ki so v rav-
nin i pr esek a . V rav novesj u sta kompone nt a s i l e vet ra Fw s pr i-
jemal išč em v T . (ta komponenta povzroč i tudi uhaja nje iz smeri
J
pr i "n eur avnoveše ni" j adrni ci) , in sila vode F~ s prijemali-
š č e m v to č ki T
3
. Sila vode F~ se pojavi med vožnjo pri nagnje-
ni j adr ni c i na podoben na č in kot prečna sila pr i gib ajočem se
letals kem kr i l u .
Iz s l ike 4 vidimo, da se pr i nag nj e ni jadrni ci prema kne te -
žišče i zpod rinje ne vode . Navor dvojice s i l Fv in F t ur a vnoveš a
na vor dvoj ic e Fw in F~ , zato vel ja :
Fwd l = Ftd
Ko s e sp r eminja hitrost vetra, s e spreminj ata sil i F w in F~
t er l ega t e ž iš ča izpodrinjene vode , pa tudi razdalji d in d l '
SI.
č n i
pod
-'------~H'I--... F.,;
4 P rečni pr esek jadrnice v vo-
žnj i i n si le, k i leže v pre-
ravnin i. Težišče j ad r n ice je
metac entrom.
SI.
č n i
nad
F 'w
5 Prečni presek jadrnice v vo-
žnj i in s ile, k i leže v pre-
ravnini. Težišče j adrnice j e
metacentrom .
18 0
Zato j e nagib jad rnice raz ličen pri razli č ni hit rosti i n smeri
vetra . Vpr a šamo se : Ali se bo j adr nic a z na gi banjem vs elej u-
stavila v ravnoves ni le gi ? Vzemimo primer , da je težišče jad r -
ni ce T v ta ki l egi , da se ka premica, na ka t er i le ži si l a vzgo-
na , simetralo AB pod te žiščem ( sl . 5). Presečišču M pravimo
me t a c e n t e r . Iz sli ke 5 vidimo, da tedaj obe dvojici s i l sučet a
jadrnico ta ko, da s e v eč a nj e n na gib . Jadrn ica se pre vrne ! Ja -
drnica je stab ilna le tak r at, kadar je metace nt er nad težišč em
jadrnice. Ka da r j e težišče pod metacentrom , je rav novesj e ja-
drnice labilno in jadrnica se lahko pre vrn e, kadar se dovolj
na gne.
Dosle j smo govorili l e o ja dr ni c i s pritrjeno kob i lico. Do
enakih za k lj učkov pridemo t udi pri jadrnici s premičn o kobili -
co, le da pr i njej ne smemo poza biti na posadko . Te jadrnice
so nam reč tako lah ke , da ni vse eno, na ka t e r em de l u j adr ni ce
se na ha j a posad ka .
J ad ro na j ad r ni c i je tis t o , ka r je motor za motorni č o l n in
vemo , da je za mnoge mot or naj zani mi ve j š i del moto rne ga č o l n a.
Tal e naš "mot or " je na moč pr e pr os t in č lovek bi rekel, da o
nje m res ni vre dno i zgubljat i besed . Res j e v ne katerih lega h
delova nj e j adr a s amo po seb i ra zuml j i vo . Tako je, kadar piha
vete r - v j adr o od zad a j i n potiska jad r ni co pred s eboj ( sl . 6) .
Veliko zani miv e jši j e pr i me r, ko se gi blje jadrnica ost ro pro -
t i vet ru ( s l . 7) .
Za r adi bolj šega preg led a ob ra vnavajmo jadrnico, ki ima s amo
glavno jad r o . Iz sli ke 9 vidimo, da spominja prese k j adr a z vo-
Sl . 6 Lega jadra pri ja-
drnici , ki voz i z
ve t rom v krmo.
Sl . 7 Lega j adr a pri ja-
drn i ci, k i voz i o-
s t ro pr o t i vet ru .
S I. 8
Presek letalskega kr i la
18 1
doravno ra vn i no na pre s e k l etals keg a kri la ( s l . 9). Giban je
zr aka okoli krila je takšno, da je hi t ro st ob zgornji plos kvi
kr il a večj a kot ob spod nji pl os kvi . Zat o je t la k zra ka ob s po-
dnji pl os kvi kr i l a v e čji kot ob zg ornji plo s kvi. Hitros t in
tlak vzd ol ž to kovnic v vodor avnem tok u plin a a li tekoči n e pove -
zuje Ber nou l l i j eva en ačba :
P + ( pv Z ) / 2 = kons t.
51. 10 Rezu ltiraj oča sila F na
j adro jad rnice , k i vozi
os t ro proti ve t ru . V s i 1i F j e
upoš tevan a t ako si la zarad i tlaka
vet r a na j ad ro v pri ve t rni s t ran i,
ko t tud i s i la , ki se pojav i v za-
ve t rni s t rani za rad i gi banj a z raka
okro g j adra . Na r isan! s ta t udi
kom pone nt i s i l e F, k i pr is pevata k
gibanj u j ad rni ce napr e j ( F
2)
i n k
bočnemu zanašanju j adrn ice ( FI) '
A-·-- -~--·-B
51. 9 Pre sek jadra z vo-
do ravno rav ni no
na mes t u AB.
F
--- I-- ..........i-........
1'i
ZAVETRNA
STRAN
PRIVETRNA
STRAN
V e n a č b i je p t lak, v je hi t r os t zr ak a in p gos t ot a zraka . Ob
kri lu se tok zraka r azde l i . če j e ob zg or nj i plo skv i hitros t
v I in tl a k P l ' ob spod nj i plo skvi pa hitrost v 2 ter tlak P2 '
ve lj a:
P I + ( pv,l / 2 = P2 + ( pv 2 l / 2 ,
ker je v l > v 2 ' j e P2 > P I ' Razl ik a t la kov povzroča s i lo, ki j i
v letal s t vu pra vijo dinamični vzgon, i n uravnoveša te žo le t al a
med letom. Tudi ob zavetrni stran i j ad ra pr i jadrn ici, ki voz i
pro ti ve t ru , je hit r os t zra ka večja kot ob priv e t rn i s t r ani in
za to je tud i t l ak na obe h s t r an e h r azli č e n .
Sl i ka 10 nam kaž e sil o vet r a F na j adr o jadrnice, ki voz i
ost ro v ve te r . Ni te žko ugotov iti , da v le č e j ad r ni co nap r e j sa-
18 2
mo kompon e nta F2, me dtem ko p o v z r o č a komp onent a F 1 bo č no zana-
ša nj e j adr ni ce .
J ad rn i c a l ah ko vozi proti vetru , dok ler je kot me d sme r j o
ve t ra i n vzdol žni co jadr nic e (o z n a č en z a na sli ki 7) v e č j i od
okol i 350 . č e j e ta kot ma nj š i, za čn e j adro trepeta t i in j ad r-
ni ca kma l u obs t ane . Vzem i mo , da smo z j adrni co v sredi š ču kr oga
na sli ki 11. Teda j l ah ko dos ežemo točk e v č rtkanem obmo čj u le s
kr i ža r j enj em , vs e os t ale točke pa s o dose gljive z vožn jo nar av -
nos t . Kr iž a rj enj e proti ve tru je tis t i nači n j adranja , ki j e
! VETER
B
Sl. 11 Lega točk na hor i zontu, ki
ji h dosežemo brez križar je-
nja in lega tis t i h , ki so doseglji-
ve le s kri ža r j enjem (č rtkano po-
d r očje ) .
Sl. 12 Dva izmed mnog ih možn i h na-
činov kr i ža rj enj a .
go to vo na j bol j zahte ven. Teda j pri de do i zr a za vs a i zkuše nost
in s pr e t nos t krmar ja , s aj ima na vol j o polj ubno število kom bi -
nac ij za pot me d izbra nima t oč k a m a (sl. 12) . Na t ekmova nj u j e
t r eba izbr a t i t is to kombi nac i j o, ki pr i pelje j adr n i co na cilj
v naj kr aj š em č a s u .
Pom udi mo s e š e pri jadranj u z ve trom v krmo . Poglej mo r azme -
re pri jadr ni c i , ki i ma glav no j adr o in p re č k o (s l. 13 ) . Si li
've t r a na ja dr o in na p r e č ko s ta F . i n F . Ti s ili p o v z r o č at a
J p
na vor e M. = F .R in M = F rokro g nav p i čn e os i s kozi t e ž i šč e
J J P P
jadrni ce. Ker je nav or sile F . v eč ji od na vor a sile F , bo j a -
J P
d r ni ca si lila v ve t er, kot prav i j o j ad ra lci; na sli ki 13 j e t o
na z na čen o s P USC 1C O ob pre mc u . č e h o če kr mar obdr ža t i ja drni co
v smeri vetra, mora zas ukati krmilo ( s l . 13 ) t a ko, da bo na vor
183
vode Mk
rov :
Fkr ', ki tišči na krmilo, uravnovesil razliko na vo-
Mk = Mj - Mp '
zato je tudi vožn ja počasnejša. Velikokrat zamenJaJo prečko z
večjim jadram polkroglaste oblike, ki mu pravimo s pi naker. Ker
je spinaker vel iko večji od prečke, je poti sna sila vetra večja
in s tem tudi hitrost jadrnice. Hkrati je navor sile vetra na
spinaker dovolj ve li k , da uravnovesi M.. Zato je lahko obreme -
J
nitev krmila veliko manjša.
Ker leži pri jadranju z vetrom v krmo sila vetra v smeri
~----- v
V 1
IVETER
.i-:
SI. 13 Sile, ki delujejo na jadra
in na krmilo pri vožnji z
vetrom v krmo.
Sl. 14 Hitrost navideznega vetra
je sestavljena iz hitrosti
pravega vetra in nasprotne hitro-
sti jadrnice glede na obalo . -
voznJe, ni bočnega zanašanja jadrnice. Zato lahko jadrnice, ki
imajo premično kobilico , le-to dvignejo in tako zmanjšajo upor
trupa v vodi . Jadrnica je sedaj manj stabilna za bočna gibanja
in se mora posadka zato ze l o skrbno premikati po jadrnici.
Kadar piha veter z boka nekako pod kotom 90 0 na vzdolžnico
jadrnice, je jadranje najbolj prijetno, saj je tedaj le malo
presenečenj, ki lahko dolete jadralce . Dolgočasno pa jadranje
tudi pri tej smeri vetra ni . Pri lahki jadrnici kake novejše
konstrukcije s premično kobilico ln .pr . "leteči Holandec -
184
F. D.", "47D" a li ka j podobnega) se tr up jadrnice zaradi vec j e
hitr osti precej dvigne i z vode in se zd i , kot da j ad r ni ca d rs i
(planira) po vodni gladini. Dr s enj e je mo žno ne samo pri bočnem
ve tr u , ampak pr i vsakem vetru, ki piha iz kr mnega kvadranta, če
je l e h i t r os t jadrnice dovolj veli ka in niso va l ovi previs ok i .
Vel i kokrat mo ra bi t i krmar s pre t e n , da prip r avi jad r nic o do
drsen ja i n da jo zadrži v t em stanju čim dalj č asa. Hit rost, ki
jo doseže jadrni ca med drs enjem, je znat no večja od hit ro sti
pr i ob i ča j n i vo ž nj i . Zato je razu mlj i vo , da velik okra t zmaga na
t ekmova nji h t is t i kr ma r , ki i zkoristi več priložno st i za drse-
nj e .
Morda se je že kdo vpra ša l , v katerem sistemu obravnavamo hit rost in
sme r vetra. Smer in hitrost vetra s ta razi ična za opazova lca na gibajoči se
jadrn ici i n za onega na kopnem. Pri t istem, ki je na jadrnici , je t reba u-
poštevat i tudi veter, k i nas tane za rad i gibanja jad rnice . Rez u l t i rajočo hi-
trost in smer vet ra dobi mo, če vektorsko se štejemo hitrosti obeh vetrov
(sl. 14) . Tako dobljeni veter smo ime l i ves čas v mi s l i h. Včasih mu rečejo
tudi "navi dezni" vete r . Iz sli ke 14 v id imo , da piha nav ide zn i veter pro ti
vzdo l žnici jadrnice pod manjš im kotom kot pravi vete r, kadar vozi j ad rn i ca
proti vetru . Hitrost nav i dez nega vet ra je lahko večja,pa tudi manjša od hi -
trosti praveg a vetra. Do ber krmar bo upošteval spremembe, ki nas tane jo v
navideznem vetru, ko se spreminja h itros t in smer g ibanj a jad rn i ce.
K ončajmo t ole kramljanje z željo, da bi nas č i m v e č lahko po-
leti preverilo na jadrn ici nekatere od teh ugotovite v .
z v onko Tronte ~ j
ELAN
Tovar na š por t nega or od j a,
Beg unje na Gorenjskem, j e
po v e čletnem pr izad ev anju
us vojil a pro i zvod nj o t r eh
tip ov j adrni c : T-4 3D J
Pasa ra J
Pas a ra S
UPOROVNAVEZJA
Ce ho č em o obravnav ati e Le ktrične kr oge , moramo poznati i z r e ke
o napetost ih in tok ovi h . Pogos to nam ni treba pi s a ti e n a č b , am-
pa k lah ko prid emo do r ešitve s pr emi s Le k om in domisel nost jo .
Zla s t i pr i i s kanju nadome s t ni h uporov na ra z li čn e na čine veza-
ni h enakih upor ni kov premislek zelo poenostavi delo. Nekaj zgle -
dov smo povzeli iz č la n k a v re vi j i za mlad e ma temati ke in fiz ike
KVANT, ki i zhaja v Sovj e t s ki zve zi. V vseh primerih bomo i s kal i
nad ome stn i upor za upor ovno vezje iz ena k ih upor nik ov.
SL I S1.2 SI. 3
Pogl e jmo s i koc ko na s liki 1. Zarad i simetr i j e je oč itno , da
s o na petosti med p r i k l j u č k om A i n to č k a mi 1, 2 in 3 enake . Zato
ne bi ste kel po ži ci, ki bi vezala to č ke 1, 2 in 3, nobe n tok .
To velja tudi za to čke 4, 5 in 6, zato lahko vezje poenost avimo
(sli ka 2 ) . Dobili smo tri s kup ine vzpo r edno vezanih upor nik ov ,
186
SI.4 S1.5 SI.6
ki so zaporedno pove zane med s eboj . Tudi to hi t r o uženemo , sa j
vemo, ka kš ni s o upori vzp ore dno i n za por ed no ve zani h upor ni kov
( sl i ka 3 ) . S podobni m pr emislekom r eš i mo na l ogo na s li ki 4 (s l i -
ka 5 i n 6) .
V vezju na s li ki 7 vid i mo, da j e napet ost med t o č kam a A i n M
enaka nap etos ti med t očkama A in N. Za to med M in N ne mo r e t eči
nobe n to k. Tak o l a hko vez j e med M in N kar i zZo!i mo (slika 8 ).
Reš it ev j e na dla ni . Enak o re š i mo pr i me r na sl i ki 9 ( s l i ka 10) .
A B A B_1.a- 1
N
Sl.7
N
SI. 8
SI. 9
A
=-i-a
Ve zj e na s l i ki 11 i ma t o lepo lastnost, da ga lah ko v toč ki O
r a z de Zi mo (sli ka 12) . Nape t os ti med pr iključooma A i n točkama 01
t e r 0 2 sta enak i, ena ke pa so t udi napetosti med" točkami A i n P ,
A in O t e r A in P ' . Na ena k nač in rešimo tud i primer na slik i 13
( s lik i 14 i n 15 ) .
187
51.1 1 51. 12
A
/J'-c-- -ra 1----------
B
51.13 51. 14 51. 15
Posk usit e rešiti na l ogi na sl ikah 16 in 17 .
D
A'.r'"-- - _ -I:!.:I--__~
SI. 16 51.17
Neka j podobnih zg le dov l a hko najdete t udi v zbirki M. Hr i ba r ,
Reše ne na l og e iz f i z i k e z r e p ub l i š k i h t e kmov an j, Knj i žnic a Sig ma ,
21 , Ljubljan a , Ml ad i ns ka knj i ga , 197 5 .
Dušan Repo v š
188
ASTRONOMIJA
NOVE IN SUPERNOVE
Lani smo večkrat brali o novi zvezd i - posebno o tisti, ki
se je pojavi la v oz vezdju Lab oda in j o je med prvimi opazil tu -
di naš amat er Andrej Kuzman. Ta zvezda je močno svetila pribli -
žno dva dni.
Beseda nova (zvezda) je tehnični izra z, ki ga je prvi upora-
bil Tyho Brahe l . 1572 , ko je opazil, da je v ozv ezdju Kasiope -
je nenadoma močno zas vetila zvezda, ki je dotlej ni bi l o na ne -
bu . Ta zvezda , ki jo je Tyho Brah e imenov al St el l a Nov a, je o-
stala vidna osemnaj s t mesecev, nato pa je izgin i la. Ob č asu
najv eč jega sija j a je bila svetla kot Venera - to j e za Soncem
in Luno najsvetlejši obje kt na nebu . Ohranjeni zap iski poročajo
še o treh podo bnih pojavih: l. 1006 v ozvezdju Vol ka ( Lupus) ,
l. 1054 v ozve zdj u Bika (Taurus) i n l . 1604 v ozve zdju Kačen os­
ca (Ophi uchus ) .
Pojav nove zvezde , o ka t e r i smo brali l ani , ni bi l ta ko dra-
mati čen kot pr avkar naš teti pojavi. Zvezdo je bilo mogoče vi de-
t i z malo bol j š i m daljnogledom že prej; ob času izbruha se j i
je povečal s i j a j "le" za kakih mi l ijonkrat, medtem ko je bi l ta
f a kt or v gornjih pr imerih vsaj tisočkrat večji .
Danes imenujemo zvezde , ki zas ve t i jo tako v e l i č a s t n o kot
Stel l a Nova, supernov e , zvezd e, katerih sijaj se ob izb ru hu
poveča l e od nekaj stokrat do milijonkrat pa nove . Nove se po-
javljaj o mnogo bolj pogost o kot super nove . Računajo, da zasveti
supernova v naši Galak siji v povprečju enkrat vsa kih štiristo
let, medtem ko so opazi li v zadnj ih šestdesetih letih okrog 150
nov - to je dve do tri na le to. Eksp lozije nov in superno v opa-
zujejo danes t ud i v drugih galaksija h, ki so od nas odd aljene
mil ijone in milijone svetlobnih let . Posebno zani mi ve so ek s -
plozije s uper nov , saj s vetijo ob izbruhu skoraj t a ko močno kot
189
gala ksi je, ki j im pri padajo ( v povpreč n i gal aksij i j e sto mi-
l i j a r d zv e zd - t o j e prib l i žn o toliko kot je ž it nih zrn v sto
vagoni h ži t a ) . Do danes s o opazi l i že ne kaj s t o nov i n prek o
s t o super nov .
Ce bi preg le da li zapis ke ast r onomov o nova h, bi dobi l i pri-
bližno t ole sliko o povpreč ni "novi ". Pred e ksp l oz i j o se zve zda
ne razlikuje od ostal ih zvez d; s ve t i za spoz na nje moč n e j e kot
Sonce in ima na povr š i ni nek ol ik o vi šjo temperatu r o. Ob e ks plo-
z iji se j i sijaj nagl o po ve ča, upade pa pri ne katerih novah v
ne kaj dneh, pri drugih pa v ne kaj me se c i h a l i ce lo l etih. Pri
nekaterih novah s e i zb ru hi p e riod i čno ponav ljaj o. č a s med zap o-
r edn imi izbruhi j e tem da ljš i, kol ik or s i jaj ne j ša j e zvezd a ob
iz bruhu . Neka t e r i as tronomi me nijo , da s o vse nove per i od ič ne ,
le da n aj m o č n e j š i h še ni smo dovol j dol go opazova li, da bi opa-
zi li pona vl ja nj e . č e v spektro gr afu ra zkl oni mo sve tlobo zve zde
v sp e ktr um ( = ma vr ico) , lah ko iz zastopa nos t i pos amezni h barv -
nih s estavin sk lep amo na t o, v kak š nem stanju je bila snov , ko
je i zs eva 1a s vetl obo . Pr i novah so ugot ovil i, da j e s vet loba ob čas u
na jv e č j eg a sija t aka, kot jo oddaja m oč n o seg re t ra zredč e n pl i n.
Dejs t vo , da gre za r az r e d č e n pli n, podpiraj o še f ot ogra fije po
i zbr uhu , na kat erih vidimo, da se nova resni č no nap ihn e. V zad-
nj em č asu so odkr il i , da i ma mnog o nov zvez do- spreml j evalk o, s
ka te ro krožijo v t es nem pa r u . Ker je t ako s premljevalko pri ze-
l o odda l je ni h zvezdah t ežko odkrit i, so mnogi ast ronom i mnenj a,
da so vse nove dvojn e, le da za ne ka t e re posebno t ežav ne prime-
re dvojnos t še ni pot r j ena z opazo va nji .
Ka j pravi j o o novah t eor etik i? Pomembe n podatek je, da s e
izbruhi pri nova h pe riodi č no ponavlj a jo . To pomeni, da i zbr uh
zve zde ne spremeni bi s t ve no. Z an a l izo s vetl obe in f ot ogr afi j
nove je mogoče ugotoviti, da se sprost i v p1 insk i oblak le de-
settisoči do mil i j ont i de l mase zve zde in da ta pl i n odne s e
stot i no no tranj e energ ije. Pl i n to rej nosi za sv ojo maso ne so-
razmern o vel i ko k oli čin o ene r g i j e , ki jo l ahko dobi le , č e se v
njem sproži jo j edrs ke re a kcij e . Najve rjet ne jši k l j u č za r a zume -
vanj e tega ne so ra zmerja j e obstoj zve zde spremljevalke . Kaže ,
da prit li kava s pr eml je va l ka pote gne ne kaj s novi od večje zvezde
( že omen j en i mil ijonti do desett is oč i del njene mase). Ta snov
se pri padc u na pov rš j e pri tlikavke tako segreje, da se sproži
j edr s ka re a kcij a, ki vpadl0 s nov še bolj r azža r i in razpihne v
190
v r o č ob la k , kakor ga vidimo na fotog r a f i j ah.
Kaj pa super nove ? Nj ihove e ksp lozij e s o nek a j ti s o čk r at mo č ­
nejše od eksplozij nov . Ma s a , ki je udelež ena pri e ksplozi j i ,
je s koraj celotna masa zvezde. Tako m očna e ksplozija seved a
zve zdo popolnoma sp remeni. Večji del zvezde se ob eksplozi j i
razpih ne v oblak, ki sveti i n se še dolgo za t em širi v veso l j e .
Od prvot ne zvez de z maso, ki je ne kajk rat večja od son č n e mase,
osta ne le pritlikavka z r adi j em dobrih 10 km, snov pa je v t ej
zvez d i ta ko ne znans ko gosta , da je njena mas a š e vedno pri bli ž -
no ena ka ma s i Sonca . Ce bi lah ko pri nesli tako s nov na Zeml j o
in bi iz nje nare di l i tis kars ko barvo, bi pik a na koncu st avka
t e ht al a ne kaj s to ton . S t em pa ne navadni h las tn os t i ma l e zvez-
de š e ni kone c . Zvezda se ze l o hitro vr t i okr og s voj e os i ( od
doslej znanih s e najhit rejša obrne 33 krat v se kundi ) i n se ob-
naša kot neznansko m o č a n , vrteč se ma gne t. Zaradi tega odda ja
zvezda radijs ke valove v izr edn o ena kome rnih s unkih. Po t em s o
zve zdi dali ime pulzar .
š e bol j kot pulz ar, ki j e edini trdn i os t ane k po e ksplo ziji
supe r nove, je mord a pomem be n obla k, ki je ostal po eks pl ozi ji .
Ta se poč a s i ra zprši po prostor u , njegova masa pa še ved no za -
došča za ne kaj Sonc. Prav t a snov se po dovolj dolgem času umi-
r i in ohladi in predstavlja su rovi no za nastanek mladih zvezd.
Tud i Sonce in planeti so ve r jetno nas t a l i iz t a ke snov i , kajti
s am o ob eksp loz i j i super rove s o t emp eratu re dovolj vis oke , da
lahko na s ta j a j o elementi, ki so t ež j i od železa. Vse zlato,
srebro, u ran, svinec itd . , ki ga imamo dane s na Zemlj i, izvi ra
od vel ičastne eksplozije supernove , ki s e je zgodila pred pet i -
mi ali več milij ardami leti v tem delu vesolja.
Andrej čadež
NALOGA O OVCI
Ovca je na travni ku privezana z vrvj o na kol. Prvi dan popase vso travo,
ki j e v krogu, ka t e rega pol mer je do lž ina vrvi. Drugi dan privežemo ovco na
i s ti kol. Ke r j e prej šnji dan popasla vso t ravo v kr ogu , moramo vrv podalj-
ša t i. Kol iko mora b iti do lga vrv drugi, tretji, . . , dan, da bodo ploš čine,
ki j i h popa se ovca, enake pl oš čini prvega dne? (Predpos t av lj amo , da j e tra -
va povsod ena ko gosta).
Kare l Šmi go c o
PREMISLI IN REŠi
1:
II
Za nalogo šest toč k i z Preseka 111/ 2 smo dobi li 86 rešite v,
od teh je bilo 8 nepra vi lnih. Nalo go so pr avilno reši li:
Olive r Avsec, osn. š . Bičevje, Lj ubl j ana ; Boj an Avsenik, g imnaz ija , Jeseni-
ce; Igor Bahovec, osn . š . A. Kebe t a , Lj ubl j ana ; Jan ko Brajnik, gimnazij a,
Ko per ; Vitom i r Bric, D. d. Pe t e r Skalar, To lmin; Nataša Buča r, Novo mes t o ;
Lučka Cela rc, Biotehn iška fa kulte ta, Ljubljana; Si l va Čačov ič , os n. š . Mur-
s ka Sobot a ; Ja nez Češnjevar, II. gimnazija, Ljubl jana; Igo r Dolinše k , gi -
mnazija, Trbov l j e ; Janez D robni č , gimnazija - Polj ane, Ljub ljana; Iztok
Eme r šič, os n . š . Martin Konšak, Maribo r ; Pete r Fa j fa r , gimnaz ija, Jesenice ;
Zmagoslav Fras, "g radbeni šo ls k i cente r, Ma ribor; Jan ez Ga l z inj a, gimna zi ja ,
Kranj ; Viljana Gašparin, D. d. Peter Skal ar, Tol min; Breda Gobec , osn . š.
M. Konšak, Ma r i bo r ; Mi ro Go l ob i č , gimnazija , Novo mesto; Franc Go rup , gi m-
nazija Ajdovščina; Barbara Grad išek , gimnazija, Kamnik; Marko Hoja n, gimna-
zija , Velenje; Vid Jer šan, osn. š . dr. Jože Pot rč , Ljub ljana; Duša n Jesen-
šek , g imnaz ij a, Tol min; Peter Jovanov ič, Šenčur; Igo r Ju r in či č , osn. š. El -
v i re Vato vec Prade , Kope r ; M. Kadenšek , pedag . šo ls ki center, Ce lj e ; Stan ko
Kajba , gi mnazija, Cel je ; Milojka Kofol, gimnazi ja Po l j ane , Ljub ljana; Marko
Kogoj, g imnazija , J eseni ce; Zdenka Kojn ik, g imnaz i ja, Cel j e ; Marj an Koren,
gimnaz i ja, Koper ; Vera Kova č i č, gimnaz ija , Ce l j e ; Ivan Kresnik, gimnazija,
Ravne ; Marko Maje r, g imnazij a , Celje ; Dani lo Mari nšek , e lektrotehn i čna šola,
Lj ub ljana; Vojko Matko , e l e k t ro teh n i č n a šo l a , Ve le~je; Da r j a Mena rd, os n . Š.
J. Mihevca, Idr ija ; Joško Mesarič, osn. Š. Majde Vrhovni kove , Ljub ljana;
Bernard Nežmah, I. gi mnaz i j a, Lju bljana; Nada Obad , g imnaz i j a, Koper; Mi re-
la Paho r , g imnaz i j a , To lmin; Bra ne Penca, gi mnazij a , Novo mesto; Marij a Pe-
kolj, TŠ KMP, Lj~b l j a n a ; Boris Petel in , gimna zij a Koper; Tine Pe t kovšek ,
gimnazija Po l j ane , Ljubljana ; Nevenka Petrič, MetI ika; "Mari nka Pi lpaher ,
g imnaz i j a, Celje; Vinko Pišek, osn. Š . Cirkovce; Ve ra Pogača r , gimnazi ja ,
Ve l enj e ; Mi ran Pravd ič, osn . Š. Dravog rad ; Go razd Pr i s t ov, Jesen ice; Tomaž
Schara , osn . Š. B i č evj e , Lj ubl j ana ; J e rnej Sluga, gimnazija Poljane, Lj u-
blj ana; Mi lan Stavanja, os n. š. M. Konšak, Ma r ibo r; Ivan Stojmenovic , gi m-
naz i j a J . J. Zmaj , Odžaci ; Ma r i j a Šolar , gimnaz i ja, Kranj ; Mira n Špel i č,
osn . š . Zvonka Runka, Ljubl jana ; Igor Štefanec , I . g imnazi ja, Maribor; Iz-
tok Takač, I . g imnazija, Maribor; Lojze T rček, os n. š . I . Cankar, Vrhn i ka ;
Zvone Trtn ik , VI . gimnaz ija, Lj ub l j ana ; Je len a Vil man , os n . š. Koroška Bela;
Ja sna Vi t e z, gi mn az ija , Pos t ojn a ; Pave l Za t ler, TSŠ, Lj ubl j ana ; Vincen c ž i t -
nik , TSŠ, Ljublj ana ; Sta ne Bobek , gimn . pedago š ke smer i, Cel je ; Borut Guzej ,
g imnazi j a pedagoške smer i, Ma r i bo r ; Drago Elika n, TSŠ , Lj ubl j an a · Alenka
Ke rš~anc~. gi mnazi j~, K~mn ik; Ka rmen Kompa ra , osn . š . Drago Boj c, ' Vi pava ;
T~az KO~l r, .osn. s . Si mon J enko , Kranj; Bogdan Pate rno ste r , gimnaz i ja Po-
lJ~ne , LJubI J~na; Marko Pa t ernos ter, osn. š. Polje , Ljublj ana ; Igor Pl emeni -
t~ s , TSŠ, Ce lje ; Pave l Troha , gimnazij a , Idr i j a ; An ita Ve t e rn i k , Kranj; Ta-
t~ana .We l ze r : I . g imnazij a , Ma ribo r ; Fani žnidar ši č, sredn ja ekonomska šo l a
L~ub IJ ~ ~a ; MI~:a Ša bov ič, g imnazi j a M. Z i~an ška , Maribo r; Be rna rda Drganc , '
gImnazI Ja, St lc na; Barbara Š p i čka , g imnaz i j a M. Zidanška , Mar ibor;
192
I
r
I zžre ban i so bi li: Mi r o Go lob ič, Novo mest o
Vinko Pi šek, Cir kov i ce
Marija Pekolj, Lj ubl j ana
Za nagrado prejmejo knjig o : Rajko Jamnik, Teo ri j a iger , ki je
i z šl a v knjiž nici Sig ma
Objav ljamo rešitev, ki jo je pos lal I z t ok Ta k ač iz Maribora:
N a č r t a m krog in mu vrišem pr av i l ni petero kot nik. Za to č ke,
ki so o gl i š ča peterokotnik a in za t oč k o , ki j e s r e d i š č e kroga,
ve l ja , da pol j ubn e 3 toč ke d ol o č aj o enakok rak t r iko tnik . Do bimo
pa 4 vrs te enakokr akih tr i kot ni kov:
N a č r t a t i je s eve da možno 20 tr i kotni kov (4 . 5 = 20 ).
TEL EG RA FSKE žI CE
Te leg rafs ke ž ice s ek a j o re-
ko pod kot om 30 0 . Parti zan , ki
j e v t o č ki A , bi r ad čim pre j
pr er e za l ži ce , ve nda r mo r a
s potoma na pojiti na rek i konj a .
Po iš či na j kr aj šo pot.
Ljubo Kostre vC!
PREMISLI I N R EŠi
Vsem r e ševal cem mn ogo usp e ha i n pri jetne p o č i t n i c e . Reš itve
poš l j ite do 1 . j un i j a 1976.
J ože Dove r
KOLIKO VZIGALIC JE V šKATLICI?
Za tole igrico potrebuješ le škatlico vžigalic in prijatelja, ki je vo-
ljan sodelovati. Naročiš mu, naj od 50 vžigal ic , kol ikor j ih je v škat l ic i,
pusti v škatlici toliko vžigalic, ko l ikor ga je volja. Prešteje naj jih,
seveda tako, da ti ne vidiš. Nato naj odvzame od vsebine škat lice še toliko
vžigalic, kol ikor znaša številčna vsota . N. pr. če je pustil v škatlic i 27
vž igalic, jih bo odvzel še 9, tako da jih ostane 18. Nato izroči zaprto
škatlico teb i, ti jo ma lo potreseš in ugotoviš , koliko je še vžigalic .
Kako? Recimo, da je v škatlici prijate lj najp rej pustil 10a + b vžigalic
(a pomeni število desetic in b enic). številčna vsota, ki jo odvzame, je e-
naka a + b , tako da ti dobiš v ro ke škatl ico z 9a vžigalicami. Možnosti je
tedaj šest : O, 9, 18, 27, 36, 45. S prav malo pos luha i n vaje boš zlahka u-
gotovi l, ka t e ro od zgo rnj ih števi l vžigalic škreb lja po škatlici.
lJ
lJ
n,
lii ....
-CO
~"'I
_ 01
~ . 1976
V REAl
Pete r Pete k
IZ LABORATORIJA
MERJENJE GOSTOTE TEKOčIN
Mogo č e ste že sliša l i i ndij s ko pra vlj i co o pre prost em fantu,
ki je s t eht a l sl ona pri en i i zmed mnogih pr eiz kušenj, ki jih je
moral pre stati. Sl ona j e za pelja l na čoln i n na eni sten i za-
znam ova l gl adi no vode. Nato je znos il na čoln toli ko kamenja,
da s e j e čo ln znova potopil do z na čke. Kamenj e j e seveda steh-
t a l bre z težav .
Znamo si razlož iti njegovo tehta nje. Pl avajoča telesa so
vs elej potopljena toli ko , da vzgon uravnoveša težo teles a . če
telo doda t no obt ežim o , se š e nek ol ik o potopi do novega ravnov e-
sj a .
To sp oznan je lahk o upor abi mo za d o l oč an j e gos to t e ka pl j evi n .
Za meri ln o na pr a vo - naš o teh tn ico potr ebujemo pr azn o fi ol o C-
vi t amina , kos mil ime t r s ke ga papirja , le pi lo in ne kaj pes ka ali
š i be r , nam e s t o uteži pa uporabimo kova nc e za 5 pa r , ki i maj o
ma s o na tanko po 1 g. Mil imet r ski pa pi r odre ži po cen t i me t r sk ih
čr tah ta ko, da se bo zv i t v val j na t anko pri le ga l notranj i s t e-
ni f i ol e. Da boš l aije o dči t av al o j a či ce nt i me t rs ke črte, ki
bodo v fi ol i vz pored ne z ro bom, i n označi sk a lo t a ko , da bo ni-
č la pr i dnu fiole , lah ko pa tudi drugače.
Preiz kusi napravo in način merjenja z določitvijo gostote
vode, za kater o vemo, da je 19/cm 3 •
Natresi v fiol o ne kaj pes ka a li š i be r , da bo plavala f iola v
vodi stabilno v navp ični l egi, in odčitaj na milimetrski s kali
lego gladine vode. Na t o dodaj nekaj kovancev in odčitaj novo
lego gladine . Vzemimo, da smo dodali kovance s skupno maso m
in se je zato fiola potopila za h . Teža dodatno izpodrinjene
vode F = nr 2hpg je uravnovesila težo uteži F = mg.g g
Iz enačbe
nr 2hpg = mg
195
m(gJ i zračunamo gostoto
p = m/ (nr 2 h ) . Zunanji r adi j
fi ol e r lah ko izmer imo s
kl ju na s ti m mer i l om, la hko pa
ga določimo tu di pos redno ,
ta ko da izmer i mo dolž in o vr-
vi ce , ki j o na te s no ne kaj -
kr a t ovi jemo okol i fio l e .
h(cmJ Ko ste us pešno i zme ri 1i
gos t ot o vode , se l ahko ig ra-
S1. 1 te napre j . M ogoče bi bi l o
za ni miv o vedeti , kol ik š na je
lah ko najve č gost ota sl ane ali osl adkan e vode ali za koli ko se
r azl i kuj e ta gosto t i vro č e in hl adne vode.
Napra vo l a hko uporab i mo tudi za teh tanje . Na j pr ej t eh tn ic o
umerimo. Pol aga j mo v f i ol o zap or ed oma ene ga , dva , t r i . .. ko-
vance in v sa kič odbe ri mo , za koli ko j e poto plje na f iol a ! I z-
merke vnese mo v diagram: kot ordi nat e vz amem o maso kovancev,
kot abscise pa gl ob i ne (sl . 1) . Z di agr ama , ki nam pona zar ja
enačbo
m = pnr 2h,
l ahko od č i tavam o ma so neznani h predme t ov , ki ji h pol agamo v
fiolo . Premisli , kak o bi upor abil t eht ni co tu di za teh t an j e
drug ih sil!
To maž Fortuna
KR02 NO RAZMIšLJANJE
Na krožni stezi poteka avt omo bil s k o tekmovanj e z a Gra nd Prix
Blatne vas i. S re čko Presečko je opazil, da j e š te vi l o a vtomobi l ov
na stezi enako vsoti tretjine avtomobilo v p red modrim avtom in
treh četrtin avtomobi lov za mod r im a v tom.
Koliko avtomobilo v je tekmovalo?
Od go v o r : 1 3
Tomo Pi s an ski
196
y
FIZIKALNO RAZMISLJANJE__II
ZNANSTVENA METODA*
Na sp r ejemnem i zpi tu je moral študent pojas ni ti , ka ko bi iz-
mer i l z ba r ometr om vi ši no nebotičn ika . Nanizal je v e č možnost i:
l. Odne sel bi barometer na vrh s tavbe , ga navezal na dolg o vrv
in ga spu s ti l do ul ice, potem pa "izmer il do lžino vrvi .
2 . Odne se l bi barometer na vr h s t avbe i n se nagnil čez rob .
Spus t i l bi barometer, da bi prosto padel, in s štoparico i zme-
r i l č a s pa danja . I z formule s = at 2/ 2 bi izračunal višin o .
3 . Ob sončnem dnevu bi iz me ri l dolžino se nce n a v p ič no postav-
l j enega barometr a i n dolžino sence nebotičnika. Viš ino stavbe
bi d ol o čil iz sor azme rn os t i med dolžinama s enc .
4 . Vzel bi bar ometer in se napotil z njim po s t opn i cah . Barome-
t e r bi pok l adal po s t eni navzgor in določil vi š i no stavbe.
5 . Potrkal bi na hišnikova vrata v pritličju i n mu takole pred-
l aga l : "Imam lep barometer. če mi poveste vi šino tel e hiše , vam
ga dam".
št uden t j e bil s pr e j e t , č e š da ve "prav o" metodo, ki j o je
misl il pr ofes or . Toda ves je še pod vtis om š ol e, kj er so ga u-
č il i zn anstv en o r azmiš l ja ti in n atančno ra ziskovat i gl oboko no-
t r a nj o log iko stvari , kot se to pogosto dela v nov i matemat i ki,
nis o pa ga uči li s tva ri s ame.
Mar jan Hribar
*Povz e to i z članka : Alexande r Calandra. AngeZs on a pin, Saturday Review ,
21. 12. 1968
1 9 7
FIZIKALNI DOKAZ PITAGOROVEGA IZREKA*
Vz emimo pokončno prizmo , ki ima za os novno
plos kev pravo kotni tri kot ni k ABC s stra nicami
a , b , o. Vi š in o pri zme oz na č i mo s h . Pos oda na j
bo vrt ljiva okoli navpične ga ro ba nad o gli ščem
A , v kat erem se stikata hipotenuza in ena od ka -
t et tri kotnika ABC. Napoln imo poso do s plinom
do tlaka Po' Plin pritis ka na s t ene posode s si -
lami F1 = ahp, F2 = b hp, F3 = ohp , ki so pravo -
kotne na steno poso de . Si le so v ravnovesju, saj
glede na izb rano os pos oda miruje . Prav t a ko so
v ravnove sju tudi navor i t e h sil glede na izb ra -
no os. Sili F1 in F2 vrt ita pos odo v eno sm er,
sila F3 pa v dr ugo:
h
a b oF1· - + F2 ·- - F3. - O2 2 2
I zra zimo s i le s t lako m:
Odtod dobimo i z r e k
a 2 + b 2 = 0 2 ,
ki ga i menujemo po Pitagori, zgodovi nar j i pa tr -
dijo, da so ga pozna l i že dosti pre d nj im.
pah~ + pbhE
2 2
p o h~
2
Duš an Repo v š
* Povzeto po knj iž ici Kogan B.J . -
Vloga mehanike v geometri ji , Nauka , Mos kva 1965 (v rušč in i)
198
NALO GE-TEKMOVANJA
28 uč.
27
23
POROčILO S TEKMOVANJ NAJMLAJšIH MATEMATIKOV
ZA VEGOVA PRIZ NANJA
V 6 JU2NOPRIMORSKIH OBčINA H (ILIRSKA BISTRICA, IZOLA, KOPER, PIRAN, POSTOJ-
NA IN SELANA) .
Srebrna Vegova priz nanj a 17. maja 1975
Osnovnošo lc i s o pokaz ali , da so vredni pomocl ln prizade van j
de lo vni h org an izacij , ki s o letos prevzela pokr ovitel jstvo nad
tekmov anj i.
Tekmovali s o učenci 6 ., 7 . i n 8. ra zre dov osemlet k i n sice r :
- iz 6. razr edov 95 uč en c ev;Srebrni znak pre j e l o
-i z 7. 88
- i z 8 . 91
Na l oge s o bil e prec ej zaht evne . Ka kor vsako leto, uspej o le
ti s t i uče n c i, ki jim matemat ika ni le š ol ski pred met. Na vadno
s e pokaže na tak i h te kmovanjih tudi sposo bnost učitelja, da
pr avi l no vodi sv oj e u č e nce, ki ka že j o voljo do "zabave" z ra z-
mišl j anjem.
Leto s so bili te kmo valci lahko zadovoljni tudi s poz ornostjo
pokr ovi t e ljev: v Izo li članov kolektiva Mehanot e hni ke . v Kopru
I pl a s a i n obeh ba nk: Kredi t ne banke in filiale Ljubljans ke ban-
ke . Poleg r e kl amnega materiala, ki so ga razdelili med vse tek-
mova l ce, so na jb olj š i pre jeli tudi praktična darila . Kol e kt i vi
so posl a l i sv oj e zastop ni ke, ki so obdaroval i uče nce in jim za -
že le l i us pe h pri del u. Po te kmovanju so si učenci i z I zole i n
Kopr a ogl eda l i pod stro kovnim vodstvom sodela vcev tovarne Meha-
notehni ke nji hove obrate. Ot r oci s o bili te pozornosti zelo ve -
seli. Po ko nč a ne m ogledu so se vr ni l i na šol e, kj e r so t ekmov a -
li. Tam so razd e li l i pok r ovi t el ji š e s voja darila na jbol jšim
t e km ova l cem.
199
Zlat a Veg ova pr iznanja 30. maja 197 5
Na d 50% možnih točk so dosegli in zato prejmejo zla ta Vegova
pr i znanj a :
št .toč k
1. Marko Lovre čič, osn . šo la Dušana Bordona-Semedela
Kope r
2. Ire na F abi č, osn. šola J anka Premr la-Vojka , Koper
3 . Boris Petel i n , osn. š ol a Voj ke Smuc , Izola
4. Da vi d Jazbec , osn. š ol a Dušana Bordona-Semedel a
Koper
5. Bo j a n Grlj, osn . šo la Pinka T omaž iča , Ko pe r
6. Judita Tome, os n. š ol a Srečka Kosove l a , Seža na
7. Dušan ka Lju b ič, osn . š ol a Postoj na
8. Ne da Pri mc, osn. šola Voj ke Sm uc , I zola
24
23
16
15
13
13
13
13
Vsi tekmo valci s o prej eli l epa s pom i nska da r i la kot spomin
na ude l ežbo : knji go dr . Vida va "Rešen i i n ner ešeni pro bl em i ma -
tema tik e" , z n a č k e podjetja "Center ", de nar ni ce podr už nice Lju-
bljanske banke in druge s p o m i n č ke podpornih us t a nov (Mehanote h-
nike , Kr edi t ne banke Kope r ). Vsi udel ežen c i so bili povab l j eni
po tekmovanju na kos i l o v Izolo v Sta vbeniko vo menzo. Po kos ilu
so se učenc i vrnili v š olo, kjer je bil a razglasitev rezulta tov
in razdelitev dari l najb ol jšim tekmova lcem.
Udeleženci obči nskega t ekmovan j a za srebr ni Vegov znak , Koper, 17 . maj a 1975
Na sli k i so dob ro vidn i nag ra j en c i , ki imajo v rokah prak t i č na dari la -
pr ispevek podjetja "Iplas" .
2 00
Lovrečič je bil izbran tudi v ekipo, ki je predstavl jala re-
publ iko Sl oveni jo na zveznem t ekmovanj u mladih mat ematikov v
Ba nji K o v i l j a či .
P rvič, od kar Sl oven i j a sodeluje na zvez nem t e kmovanju, sta
bi l a d oloče na dva zas topn i ka tudi s Primo rs ke . Ker smo se nam-
r e č letos prvič odločili, da bodo tud i sedmošolci sod e l ova li na
zveznem tekmovanju (osta le republike s o to delale že prejšnj a
leta ) , smo izb rali š t i r i najboljše tekmov alce iz sedmih razre-
dov izmed tistih, ki so na ob čins kih te kmova njih dosegli vs e
mo žne to č ke. To ni bilo te žko , ke r so po vse j Slo ven ij i na ob-
č ins kih tekmovanjih re ševali ena ke naloge.
Pokrovitelj republ i š kega tekmovan ja podjetj e "Ce nt er" se je
s spomins ko knjigo spomnil mentorjev - učiteljev sodelujo čih
tekmovalcev . Po ko n č a nem tek mo van j u jih j e povabil na s kupno
kosilo . Ta ka pozor nost pokrov itelja in podjetij je navduš ila
vse sodelujoč e . Prepričani smo, da bodo t e kmova l ci kma l u doka -
zali, da so bili vredni te pozornosti .
Učitelji so občutili, da se še kdo zanima in ji h podpi ra pri
tež kem delu z mladino . Tako sodelovan je med dru š tv om matemati-
kov , f izikov i n ast ronomov , š ol o i n družbo je t ol i ko bol j po-
t rebno v zadnj em času, ko nep r e s t ani razvoj z nanosti pot rebuj e
povezav o s pra kso. I z vrs t tekmovalcev pa moramo posk us i ti vzgo-
jiti bodoče učitelje matemati ke in fi zi ke, ki nam j ih vedno več
manj ka.
Bogomila Kol enko
"NOVO RACUNSTVO"
Pred letom dni je Juretov oče kupil avtomobil . Takratna cena vozila je
bila točno 30.000.-d in. Kar precej velik znesek! Do danes pa so se ti avto-
mobili podražili kar za I O. OOO. - di n . Tako je oče prihranil lO.OOO .-din. Ce
od izdatka odštejemo prihranek, pomeni, da je za vozilo dal le še 20 .000.-
din . Prav toliko pa je dobil posojila pri Ljubljanski banki . Ce ne bi moral
plačati 20% pologa,bi dobil avto povsem zastonj, tako pa ga je stal le
4.000.-din. Skoraj zastonj!
Kjeje napaka?
Ciri l: Ve l kov rh
201
PREDTEKMOVANJE SREDNJEšOl.CEV IZ r~ATEMATIKE
Predte kmov an je j e bilo v s obot o, t 3 . marca 1976 , ob 9h. Tra -
j a l o je dve ur i .
Na loge za pr ed tekmova nj e iz mat ematik e za s r edn je šol ce je
izb rala te kmoval na komi si j a za re publ i šk o te kmova nj e mladih ma -
temat ik ov na s es t ank u 26 . f ebr ua r ja 1976 .
Raz pi s vs eh tekm ovan j sm o pos l a l i na 60 s r ednj i h tehniških
š ol i n gi mnaz i j. K pr ed t e kmovan j u , ki j e bi lo potrebe n pogoj za
s ode l ova nj e na repu bli škem t ekmovanj u , s e j e pr i j avi l o 36 šol .
P o~ očila o r ez u l t ati h s pr edt ekmovanj a nam j e pos lal o 29 šo l .
Skupno j e t e kmo va lo okoli 1180 di j a kov , kar j e ve č kot smo pri -
č a k ov a l i.
Na lo ge s pred t e kmovan j a :
I. RAZRED:
1 ~ Dij aki v nekem raz redu se ukva rj aj o s t remi špor t i : s koša rko se j i h
ukvarj a 60%, z odboj ko 40% in z rokometom 30% ; pr i lem se s koša r ko in
odboj ko ukva r j a 15% d i j akov, s košarko in rokomet om 10% , ler z odbojko i n
ro kome t om 20% . Z vsemi t rem i špo r t i pa se ukvar j a 5% od vseh d i j akov. Kol ik
j e ods totek d i j akov, k i se ne ukvarja j o z nobenim od t e h špo r t ov? Kol iko pa
se j i h ukva r j a samo 1s koša rko , kol iko samo z rokometom in ko li ko samo z od-
bo 'k o?
." Dokaž i , da j e za vsa ko naravn o š t ev i lo n produ kt n2 (n - - 1) deljiv s 60!
3~ Kako bi kons t ru i ra l si metra lo kot a med dvema nevzpo redn ima premicama v
I r avn in i zvezk a , če njuneg a pres eč i š č a ni na papi r ju? Ut eme l ji kons t rukc i jo !
,4': Po i šči vse pa re naravn ih števi l m, n , ki za doš čaj o enačb i :
1 + 1.2+1.2 . 3 + . . . . . + 1 .2 .3 ... (n- l ) .n = m2
I I . RAZRED:
)(. Reši enačbo :
2 log 2 + (1 + l-) 10g3 - log ( 11 + 27) = O
2x
;r. Dokaž i , da j e kot med v iši no i n sime tra lo kot a iz i stega og liš ča t r ikot -
ni ka enak po l ovi čn i raz l ik i kotov ob nasprot n i strani ci.
;(. V krogu j e da na teti va t. Ko ns t ru i raj te j t e tivi vzporedno t et ivo t ako ,
da j o bos t a polmera, k i pripadata k raji ščema dane t e t i ve , de l i la na tr i
enake del e !
~ Naj bosta a in b taki poz itivni rac iona l n i š tevili , da l e tudi vso t a
la + lb rac iona l no š tev i lo . Pokaž i , da s t a t eda j tu d i la i n lb racional -
n i š t ev i l i.
202
I I I . RAZRED:
. ,~ Po iš El množ i co t is tih š t ~v i l x, k i ustrez ajo neenačbi:
xix! + !x l + 21x - 1 I - 2 < O
/~. Do l oči rezu l t ant o s il , k i de luj ejo pravoko t no na mej ne plos kve prav i l ne-
ga če tve r ca (te t raedr a ) , prot i notranjosti t elesa in so sora zme rn e s plo-
š č i nam i plo s kev.
~ Postavimo n enak i h kvad ratov v vr s t o drugega po leg drugega , kot kaže sli-
ka:
---
---------
-
. - - - - _ .- .--,----- --,
I zračunaj ko t , k i ga oklepata zvezn ic i l evega zgornjega ogl išča prvega kva-
drata, s s podnj ima og l l šč erna n-teg a kvad rat a !
~ Gozd ima obl i ko kvadr ata s povr š ino 1 km2 • V nj em ras t e ' 4S00 hra s t ov s
po l me t ra debe l imi debl i . Pokaž i, da v t em gozdu obs ta j a pravoko t n i k di-
menz ij 10m x 20m, na kate rem n i drevesa !
štev i la med O in 1 (kot i med O i ~ 90
B, y in cos 2 et , cos2B , cos 2y a ritme tlčni .
IV . RAZRED:
~I z rač u n a j : 11 + xs i n x - .;cos lx1Im..:..-.:.-.:...:~~::....._:...o::::..::...=-_
x+ O t g2 I
t D Naj bodo et , B i n y ta ka ra z l i č n a
~ s t op inj ami) , da s t a zaporedj i et ,
Pol šč i števil o (kot ) B!
I zračunaj vsot o vseh š t ev i l v t abe l i:
1 , 2 , 4, 8 , , 2n
2 , 4 , 8, 16 , oooo . oo, 2n+1
4, 8, 16 , 32 , oo , 2n+2
in , .2n+1 , in+2 , 2n+3 , . • , 22n
)I. Ena kos tran i čen t r i ko t ni k ra z režemo na več manj ši h med se boj ena k i h enako-
straničnih triko tni kov . Pokaži , da iz vseh te h manjših t rikotn ikov ni
mogoče se s tav iti prav i Inega šes t e rokot n i ka ! .
Ti s t e d i j a ke , k i s e t ekmov an ja n i so ud e l e žil i, va bi mo, da
na kna d no po s kus i jo reš i t i naloge s tekmo va nja.
Mirko Dobovišek
203
NALOG E
IZRAČUNAJMO PLOšČI NO PRESEKOVEGA ZNAMENJA
Prese kovo zna menje vs i pozn a t e . Na nj em na j demo t r i vr s t e z
l oki ome j enih l ik ov . Ozn a čimo j i h s č r kam i A, B, C. Lik A j e pre -
s e k vs eh tr eh kr ogo v, 1i k B j e
pr ese k s amo dve h krogov, C pa
je množ ica , ki vse buj e ele men -
te (t o č ke) s am o eneg a krog a .
Poiz kusimo i zr a čun a t i ploš či n o
te h l ik ov ! Zač n i m o ka r z l ikom
A. Vzemimo , da tv ori jo ogl i šča
te ga li ka e nakostr a nič e n tri -
kotnik, kater eg a stran ic a je
ena ka pol meru kr oga ( a /1 = ro) '
Na s l ik i l ah ko opazimo , da
tvor i tr ikot nik z enim kr ožni h
odsek ov kro žni i zsek enega krogo v. Tako n .pr . t vor i tr ik otn ik z
odse kom c ' i zs e k kr oga s s r ediš č e m 5 1" P lošč ina odseka j e t orej
enaka r azli ki med ploščino i zs ek a i n t r iko t nika :
( 1 )
Plo ščino ena ko straničnega t r i kot n t ke poznamo P/1 = a 2 ;3/ 4 , kaj pa
plo ščin o izse ka? To je pa šes tina ploščine kroga
Pi = Tr r 2 / 6
To vstavim o v (1) in dobimo:
A s e s ta vl j a j o 3 ods e ki in trik otni k . Plo -
Trr 2 / 6 - a 2 / 3/ 4 , ker ve lja
( 2v 2 - 3 1" 2 13) /1 2 a l i
( 1" 2 ( 2 Tr - 3 13) ) / 12
PO
PO
PO
Pogl e j mo š e s l i ko . Li k
šči n a l i ka A j e t or ej
a = 1":
(2 )
204
PA = 3(r 2(2 n - 3/J))/ 12 + r 2 /J/4
in nazadn j e: PA
enačbo re š ujemo : PA r 2 ( 2n 21J ) / 4
(r 2 ( n - IJ ) ) / 2 ( 3 )
Seda j pa izračun ajm o ploščin o
li ka B . Načrt aj m o kro g t e r iz-
berim o v neki to č ki krožni ce
sr edi š č e noveg a kr oga (sl. 2).
Kroga naj bos t a me d s eboj en a -
ka. Teda j gre krožnic a dr ugega
kroga skozi središče prvega
(i n obratn o ) . Ta l i k j e podo-
ben lik u, ki ga dobi mo, če se-
šte jem o lika A i n B. Zvež i m0
sr edi š či obe h kro gov! Na s t a la
da l ji ca deli l ik A + B na dva
sk l adna l ik a. Tak lik dob imo tud i, če liku A odšt ejemo oziroma
l i ku B pri š te jemo en krož ni ods ek . Napišimo t o:
PA - PO = PB + PO ~PB = PA - 2po
V to vs ta vi mo ( 2 ) in (3 ) :
PB = ( r 2 (n - 1J ) )/2 - ( r 2(2 n - 31J ) )/ 6 ~ PB = nr
2 / 6 ( 4 )
P l o šč ino li ka izračunamo ta ko (glej sl . 1), da od plošči ne
kr oga odšte j emo dva krat no p l oš č in o li ka B in plo š čino lika A :
ploš čino celotnega Prese koveg a zn amenja .
in na zadnje : PO
Za konec izračunajmo še
I z sl. 1 vidi mo:
PO PO - ( 2PB + PA ) ' Vstavimo (4) i n (3 ):
PO nr 2 - ( nr 2 /3 + (r 2(n - I J ) ) / 2 )
enačbo poeno stavimo: PO r 2 ( 6n - 2n - 3n + 3/J)/6
r 2 ( n + 3/J) /6 ( 5 )
3p
o
+ 3PB + PA ' V to vstavimo ( 3), (4 ) in (5):
( a
Pa
zname nje)
Pa r 2 ( n + 3/J)/2 + nr 2 / 2 + r 2 ( n - /J ) / 2
r 2(n + 3,13" + rr + -rr - /J)/2
r 2 (3n + 21J)/2 ( 6 )
Andre j Grob le r
20 5
IGRA S TREMI KARTAMI
Na vsaki od treh kart je napisa no neko naravno število : p , q
ali r. Zanje velja : O < p < q < r. tg ralci A , B in C ig rajo na -
slednjo igro: karte zmešajo in r az de l e med igralce. Vsa k dob i
toliko kroglic, kolikor znaš a število na dob l j eni kar t i. Kar t e
ponovno premešajo in igralci spet dobijo vsak po eno. Nato dobi
vsak spet toliko nov ih kr oglic, koliko r pi š e na kar t i , in i gr a
se nadalj uj e '0 o
Reci mo, da kar t e dele N- kr a t (N ~ 2) . Na koncu i gr e ima i-
gral ec A skupno 20 kroglic, B 10 kro gli c in C 9 kr ogl i c. Vemo,
da je pri zadnji r a zde l i t vi ig ralec B dob i l r krog l ic. Ka t eri
igralec je dobil q kr og l i c pr i prv i r azde l i t vi ?
Dušan Repovš
DOLOčIMO OGLIščA KVADRATA SAMO S šESTILOM
Geometrijske načrtovalne naloge, ki jih rešujemo z običajnim
geometrijs kim orodjem (ravnilo, trikotnik, šestilo), postanejo
mnogo bolj zanimive in zahtevne, če jih poskušamo reševati le z
uporabo ravnila in šestila. Ze stari Grki so zastavljali, reše-
vali in upoštevali geometrijske konstrukcije, izvedene le z rav-
nilom in šesti lom. Uporaba risalnih trikotnikov za načrtovanje
vzporednic in pravokotnic in drugega risalnega pribora je v ge -
ometriji novejšega izvora in služi bolj tehnikom in konstruk-
torjem za hitrejše delo pri izdelavi načrtov.
Mnogo več miselnega napora in dokazovanja pa je potrebno za
reševanje naloge, ki smo si jo zastavili: Nad dano stranico
kvadrata (a) določimo njegova og lišča l e z uporabo šestila!
Jože Kotnik
206
MATEMATiČNO
R A ZVE DRILO I I--- - - - - --- - - - - ----
TR IJE SINOVI IN MODRE C NA KAMELI
Sta r Arab ec j e na smrtn i postelji zap ust il t r em sinovom svo-
je edin o bogastv o, 17 kamel.
"Prvi s in na j d ob i po ~ ov i ao . d r u gi t r et j ino in t r e t j i d eve -
t ino ", j e d olo č il in umrl.
Sin ov i s o hoteli sp ošto vati o četovo volj o, a nika kor jim ni
usp elo, kame l e pa s ev eda nobe n pra vi Ara bec ne bo ubi l, da bi
j o r az r e zal in r azd elil. Tedaj pr ijaha na kam eli mimo sivolas
sta re c . Povedo mu kako i n kaj i n ga prosij o za sve t.
Sta r ec ve l i pr ipeljati vse h sed em najst kam el in doda čredi
š e s voj o. Potem da pr vemu sinu pol ovi co črede, to je devet ka -
mel, dru g i dobi t r et jino al i šest kamel in tretj;' s in dev etino -
dve kame l i . Ena kamela še osta ne - m o d r ečeva - stare c zleze na -
njo in odj ez di, sinovi pa so zadovol jni , ker so t ako vest no i z-
polnili očetovo pos l ednjo voljo.
Pe t er Pet e k
MRE2I KVADRATOV IN TRIKOTNIKOV
I. Načrtaj poljuben kvadrat s stranica a. Razpolovi vse štiri stranice in
zveži razpolovišča. Stranica dobljenega kvadrata zaznamuj z al' Na ta
način nadaljuj delitev do kvadrata s stranica a~. Zveži po dve agI išči
tega kvadrata z nasprotnim agi iščem prvotnega k9adrata s stranica a.
Tako dobiš mrežo pravilne štiristranične piramide. Izračunaj površino in
prostornino piramide, ki nastane iz te mreže!
2. Enakostraničnemu trikotniku s stranica a razpo lovima stranice . Zveznice
razpolovišč tvor ijo zopet enakostraničen trikotnik, kater~ga st ranice
zaznamujmo z al . S tako del itvijo nadaljujmo do t -r l kotn i ka s stranica
a . Ce zvežemo po dve agI išči tega trikotnika z nasprotnim agI i š čem pr-
v6tnega trikotnika s stranico a, dobimo mrežo pravilne tristranične pi-
ramide . Izračunaj prostornino piramide, ki nastane iz tako dobljene mre-
že!
Kare~ Smigoa
207
RAčUNSKA KRIZANKA*
V današnji računski križanki so podatki v ključu ulomki. Na
ustrezno mesto v križanki je treba vpisati periodo tega ulomka.
to so tiste cifre. ki se v "decimalnem" zapisu ponavljajo. Pe-
rioda se v vseh primerih v ključu začne s prvo cifro za "deci-
malno" vejico. dolžina periode. to je število cifer v periodi.
pa je dana v oklepaju zraven ulomka. Križanka seveda ni tako
lah ka. kot se zdi na prvi pogled. Reševalec ne ve . v katerem
številskem sestavu je zahtevana perioda. Zato smo tudi zgornje
besede "decimalnem" in "decimalno" dal i v navednice. Vsi nasto-
pajoči štev ilski sestavi imajo osnove od 2 do 8. Reševalcu. ki
ne ve. kako bi se lotil križanke. lahko namignemo težaško pot
reševanja. če sestavi tabelo period vseh podanih ulomkov v vseh
številskih sestavih od 2 do 8. bo že iz dolžin period in z malo
sklepanja lahko križanko rešil. To pa zahteva preveč dela. S
sprotnim reševanjem si lahko prihrani marsikatero računanje pe-
riode. Seveda pa se mora reševalec najprej naučiti. kako poi-
ščemo periodo ulomka v raznih številskih sestavih.
Vzemimo. da je p /q ulomek med O in 1 : O < p < q . Ta ulomek
želimo razviti v obliki
p / q = a l / b + a2/b2 + a3/b 3 + a 4/b 4 + (1)
kj e r s o a i cifre v številskem sestavu z osnovo b. to je cela
števila O, 1, . . . • b - 1. Osnova b je naravno število. večje od
1. če znamo določiti po vrsti al' a2' . . . • lahko hitro odčita­
mo periodo.
Do zapisa (1) vodi več poti. Najenostavnejša je tale: Ulomek
pomnožimo z osnovo b in ga pretvorimo v mešano število . Celi
del števila je prva cifra al' ostanek pa je pravi ulomek z
istim imenoval cem q. S tem postopamo na enak način kot prej.
Tako lahko po vrsti določimo vse cifre al' a2' .... Lahko se
zgodi. da so vsi a i od nekega dalje enaki nič. tedaj ni perio-
de; ali pa se neka skupina cifer v nedogled ponavlja. To pa je
potem perioda ulomka v sestavu z osnovo b.
Bolj strogo se da metoda opisati takole. Vzemimo, da smo že
*Križanka je vzeta iz Proteusa, letnik 17 (1954/55) , št. 2, str. 61. Takrat
j e vzbudila precejšnje zanimanje med reševalci.
208
dolo čil i cifre al' a 2 ' . .. , ai - l in da imamo ostanek Pi lq ,
kjer je O < Pi < q . Pri tem vzamemo Pl = p. Ta ostanek ima ob-
liko
Pilq ailb + ai+l/b 2 + ai+2
/ b 3 + ,. '
če ga pomnožimo z b, dobimo
Pi b l q ai + ai+l/b + ai +2
/ b 2 + , ..
Celi del tega ulomka je a
i
, novi ostanek pa je
Pi +l / q = ai+l/b + ai+2 l b 2 + . . •
Sedaj je več možnosti:
a) če je Pi+l = O, so vsi nadaljnji ai +l = ai +2 = oo . = O. Ulo-
mek je končno "decimalno " število, periode ni .
b) če je Pi +l enak kakemu od prejšnjih Pl ' P2 ' oo . , P~ ' na
primer Pi+l = Pk ' se postopek konča in perioda ulomka so cifre
ak' ' " , ai ·
c) če pa je Pi+l razl ičen od vseh Pl' P2' , Pi' postopek
nadaljujemo .
Ker so vsi Pilq ,pravi ulomki, števci Pi so torej cela števi-
la med O in q, se pr oces nujno konča, najpozneje po q- l kora-
kih ,
Oa ne bo preveč teorij e, si metodo oglejmo na zgledu ulom ka
3/5. Poiščimo njegove periode v vseh s istemih z osnovami 2 do
6 . Imamo torej P = 3 in q = 5 .
1) b = 2
~.2 6 1 + 1 1 ,
5 5 5
a l P2
1.. 2 2 O + 2 O, 2
5 5 5
a2 P3
~.2 4 O + ± O, 4
5 5 5
a 3 P4
±.2 8 = 1 + 3 = 1 , = 3, a4 PS
5 5 5
Ker je PS = Pl ' se začenjajo cifre ponavljati i n imamo peri-
odo
(0'1 001 1001 1001 "')2 = ( 0'TITnT)2
Ulomek
100
3/5 se v
3
5
dvojiškem sistemu glasi
209
2) b 3
~.3 9 1 + i 1, = 4- = , al = P2
5 5 5
i. 3 12 2 + I 2, 2, a2 = P3 =
5 5 5
I .3 6 1 + .! 1,
5 5 5
a3 P4
1. 3 3 O + l O, 3, a4 P55 5 5
Perioda je
1 2 1 O
in
3
(O 'T2T0) 3
5
3 ) b 4
l.4 lI= 2 + I al 2, P2 2
5 5 5
I.4 8 + l 1, 3
5 5 5
a2 P3
Perioda je
2
in
3 (0'TI)4
5
4) b 5
l.5 = 3 , al = 3, P2 = O
5
Ulomek je končno peti ško število
3 = (0 '3)5
5
5 ) b 6
l.6 18 3 3 3, 3+ - , al P2
5 5 5
Perioda je
3
in
3 = (O '1)6
5
Zdaj pa h kri ž anki .
210
1 2 3 4
5 6 7
8
9 10
11 12
13
Vodoravno: Navpično:
L 1/11 ( 10) 9. 1/7 (6 ) 1. 1/11 ( 10 ) 6. 4/13 (6 )
5. 2/13 ( 4 ) IL 3/5 ( 4 ) 2. 6/13 (4 ) 7. 5/13 ( 6 )
7. 7137 ( 4 ) 12 . 14/17 ( 4 ) 3. 15/17 (4 ) 9. 2137 ( 4 )
8 . 5/7 ( 6 ) 13. 3/11 ( 1O) 4 . 7/11 ( 10) 10. 4/5 ( 4 )
Zv onimi r Bohte
21 1
NEKAJ PREST AVLJALNIC
V zbirkah kratkočasnih naiog pogosto srečamo nalogo :
Trije beli in dva črna krožca so postavljeni v vrsto
o • o • o
Iz nje moram o dobiti s prestavljanjem
• • O O O
Naenkrat lahko pr estavimo na levo al i desno , seveda na pr aze n
prostor, po dva sosedn ja (dotikajoča se) krožca, ki še naprej
ostaneta sosednja in v i s t em vrstnem redu .
S štirimi prestavlj anji l ahko na l ogo reši mo tako le
O • O •O• O O • O• • O O O•• O O O•• O O o
1 . Posk usi nalog o re ši t i s tremi pre stavl jan j i!
2 . Reši na logo, č e je dovoljeno samo prestav ljan je na des no !
Pr i reševanju l ahko upor ablj aš nam e s t o kro žcev na j raz li čnej ­
še pre dm et e , ki j i h imaš pr i r oki: čr n e i n be le š a hovs ke kme t e ,
kamenč ke i n k o š čk e ope ke ali stek l a, gumbe dveh ba r v ali veli-
kost i, kovance dveh vred nos t i , jabolka in hru š ke , lešn ike in 0 -
r ehe , zama šk e piva in kokte , itd .
Zastavimo si še ne ka j "so r odni h" na log - na log , ki imaj o
i sta pra vila prest avl ja nj a
3. O • O • O • pr est avi v ••• O O O
4 . O • O • O • O prestav i v ••• O O O O
5 . O • O • O • O • O • pres t avi v ••••• O O O O O
6 . O O O ••• prest avi v ••• O O O
Ne kat er e od gorn j i h na l og so r eš l j i ve t udi pr i dodatn em po-
goju : kr ož ca , ki j u pre sta vljamo , morat a biti ra zlične ba r ve .
Kat e r e na loge so to?
VZad i mi r BatageZ j
212
REŠiTVE NALOG___il
IGRA S KARTAMI - rešitev s stran i 204
Recimo, da je igr a trajala n krogov (v vsakem kr ogu razdele
karte (in nato kroglice) en krat): če o značimo z a l kolikokrat
je prejel igralec A po p krogl i c, z b l kol ik okr a t je prejel po
q kroglic in s 0 1 koli kokr a t je prejel po r kroglic ter isto
naredimo za B (a2' b 2 , 0 2 ) in C (a3' b3, 0 3 ) ' dobimo sistem :
20 a ll' + b 1q + o l r
10 a2p + b 2q + o2r
9 a3p + b3q + a 3r
( 1)
( 2 )
(3 )
Vemo pa tudi , da ve l j a :
a l + a2 + a3 = b l + b2 + b3 = 0 1 + a2 + a3 = n • (4)
saj se vsako število (karta) pojavi v vsakem kr ogu natanko en-
krat. Sešte jemo enačbe (1), (2) i n (3) in upoštevamo (4):
39=n .( p+ q+r) (5)
Ker je 3~ možno razstaviti na prafaktorje na en sam način , in
ker sta oba faktorja na desni strani enačbe (5) naravni števi-
li, sledi od tod:
L n 3 IL n 13
p + q + r = 13 p + q + r = 3
I. Upoštevajmo , da velja O < p < q < r . Ker imamo tri korake
(n = 3) in je B- j eva vsota kroglic lO, je očitno, da je r ~ 8 ,
kajti v pogojih nalo ge piše, da je prejel B V tretjem (zadnjem)
krogu maksimalno število kroglic: r. In ker je p > O, je v pr-
vih dveh krogih dobil vsaj dve kr ogl i c i (vsak i č po en o).
Poglejmo si še igralca A : le-ta je kvečjemu v prvih dveh
krogih prejel maksimalno število kr oglic r, v tretjem pa gotovo
manj. Ker pa je 20 = 2.7 + 6 = 2.8 + 4 edina dvojica, ki bi nam
ustrezala (če vzamemo r ~ 6, bi moral biti p ali q vsaj 8, dru-
213
gače v zadnjem krogu ne dobimo 20 kr ogl i c ), pregledamo le nj iju:
10 l' = 7
potem mora biti p = 1 i n q = 2, da dobimo pri B- j u 10
kroglic . To pa je nemogoče, ker bi moral biti q = 6,
da bi res C imel 20 kroglic. Torej ta možnost odpade.
20 l' = 8
p = 1, druge izbire ni in zato je 10 = 1 + 1 + 8 . O-
čitno je potem q 4 . Od tod dobimo pote k igre:
igra lec A igralec B igralec c
I. kr og l' p q -II. kr og l' p q
III. kr og q l' P
II . Poglejmo si š e možnost, ki nam jo ponuja enačba (5) . Takoj
se vidi, dane gre: vsota p + q + l' je namreč vsaj 1 + 2 + 3 = 6
zaradi omejitev O < p < q < 1'.
Odgovor: V prvem krogu je dobil q kroglic igralec C.
Du šan Repov š
Pripomba : Naloga je z 16. mednarodne matematične olimpiade sre dnješolcev,
ki je bila v NDR l e t a 1974 . Na ol impiadi j e sodelovalo vel iko držav, med
njimi tudi naša, ki je zasedl a odlično 5. mesto, kar dva naša tekmovalca pa
sta prejela prvo nagrado . Zmagala je ekipa Sovjet ske zveze . ' Po l eg nj ih so
bi 1i boljši od nas še tekmovalci iz Had žarske , ZRN in ZDA. To je bi 1 največ­
ji uspeh jugoslovanskih srednješolcev v zgodovini tekmovanj!
PO LJUB NO SEVIL O S TR EM I DVO J KAM I - Reš itev
Presek 3 (1975/76) 138
N = - 1 0g
21
0g
2
11 .•• 1"2'
Na pr imer
3 = - lo g log 111"2'
2 2
21 4
4 - log log 1111"2'
2 2
itd.
Zvonimir Bohte
DOLOfIMO OGLlšfA KVADRATA SAMO S šESTILOM
rešitev naloge s strani 44
O·~-----~A
I
šestilo zapi čimo v poljub-
no točko O in načrtamo lok s
polmerom enakim dani stranici
kvadrata (a). Na lok nanesemo
tri polmere AB = BC = CD = a .
Toč ke A , B , C in D so oglišča
pravilnega šesterokotni ka včr­
tanega krogu s polmerom a .
Razdalja AC pa je stranica
krogu včrtanega enakostranič­
nega trikotnika, njena dolži-
na je alJ , kar lahko izpelje-
mo z uporabo Pitagorovega iz -
reka. Iz točke A in iz točke
D n a č r t a m o loka s polmerom
AC. Njuno seč i šče je točka E .
Seda j pa vzamemo v šestilo
ra zdaljo DE i n i z to čk A i n D
načrtamo l oka , ki se ' sekata
na loku ABCD v točki G, zato
ker je
OE =1 AE 2 - a 2 = 13a 2 - a 2 =
a~ , kar je ena ko diagonali
kvadr a t a s stranica a . Tako
smo določili oglišča A, D in
G iskanega kvadrata. Zato da
določimo še četrto njegovo o-
glišče , načrtamo iz A in G
loka s polmerom a , katerih
sečišče je točka H in naloga
je rešena.
Joi!.e Kotni k
H
215
NEKAJ PRESTAVLJALNIC - REšITVE s s t r ani 212
Za vsako nalogo obstaja več rešitev . "Lepe" rešitve zahteva-
jo kar se da majhno število prestavljan j . Upam , da so spodnje
rešitve take:
1. a O • O • O 1.b O • O •O• O O • O O •O •O• O O •O O O •• O•• O O O ••O O O
1. c O • O • O
O • O • O
O O •• O••O O O
2. Nalogo reši že 1 .c , vendar ta rešitev ne zadošča dodatnemu
pogoju: eden od prestavljen ih krožcev se mora dotikat i enega od
neprestavljenih krožcev. Zato si ogl e j mo še nekoliko daljšo re-
š itev , ki zadošča tudi temu pogoju:
O • O • O
O • O O •
O O • O •
O O •• O•• O O O
3 . O • O • O • 4 . O O • • O •O
O • O ••O O • O • O • O
O O ••• O O O •• O • O••• O O O O O •••O O••• O O O O
5. O • O • O • O • O • 6 . O O O •••• O O • O • O • O • O ••• O O• O O • O • O O I • •• O • O O•O O •• O O O •• • •• O O O• ••O O O O O •• ••• O O O••••• O O O O O ••• O O O
VLadimi r BatageLj
216
NEM!:ICI AMf R
F IZ I IC MODEL " .. "l:r... ...,,, .'~. ""' 1" '''I'\'f.:~, ,••(WILHn M CIMOSA TUA (STEPHEN) ICRUH ZA URE ~6:1~~~ ItRlt.40N UGASNE
COMRJJ))
F I
~
R A N C ~~:, KUT I N I A
'i ': ' ,('we~" """'NIJI
R I O M ER , IIIY 'liii' WiI! .1r~it:~s DRE G Ol N
If!~i 'liJidi li VALJEVO
N I I T A
''','.:.{)/Ol'.,
~M A X I ELE).EN- V i AGL.MESTO
~
DELOVNI TARNI
TURCIJE SESTANEM DELEC
~
~ pZ I T MAJHEN O N A JAPON. S I R A L A GRMlA EDVARD~ B I PDELEC leAA S GRIEG
SNOYI - ICAIolNI " SLI ",A
DfLAVEt -"GOSL
;gy~L~~1 1 Kl O L E G A ~ E N G E L S SELEN S E
IZUMITELJ
T E S i L IA~RI2EVO JAPa.. .
2G.At1JE DENAR
Č
SPALNICA
RAZGLAS
ATA 101 E GR!:KA E T A I~~::~ : K O ..J A PLOSK. BOGASTVOt- P R O G L l A l SCRKA MERA GO,,,,, NAZIVNAeiN
PREDPIS ~eLENL IVANSPOONJI
O N O I 6EOIo4ET. N O R M A
ALEC
A N A L I T I K
SESTAVIL :
~ I I cDEL ~ PAVlfPOSODE LI' NOST " EGOR< TUREK
PRAPRE- t.4ESTOOB ZUZElKAIANTENA lA.
L I N K YALCI M A O R I
PADU V
C R E M O N A I R~~~~~I- Ol S i AIR[ZZI~NE ITALIJIZVEZE NOVE
I INZENIRZELANDIJE NJA JEZE
ZGLEOf N PRIPRAVATUJA
A K E R PIJACA PISATELJ K L A S I K S E N
NAVIJANJE
V I IT I E l LPLOSK. SANJE I SPLETMERA IZ RIZA f--
OGRAJA LAS
TOMISLAV NEt.4!:1t1 BARVA
O I S I P lSADORA LATIN. IME N ERALlČ T N ME!:CAH.
AMER. NEZNANKA VRSTA IGRALNIH K AIR I O I UDAY I STARDUNCAN OZ~~~OJA~ FILOZOF GENERAL Y MATE- RAZCVETA I G~:VR:1 SlOVANVZKLIK (GEORG) (RO BERT) MATIKI
!:TEVNIK
ZADfT EK
G IA I L I I L E D iG A L I L E I
DVEH
A IM I B lA~AUGUST!:
RENOIR
KIOIO E K si eRTA S E K A N T A ~D~~ A I OI NSECNICA
E ITI 'ONICA I O ISiT I p~~I::~sl T I E I S iT 1.u'·~ E~ A R ~:~~~· I N lAl TCOLE
~ Reš itev kri ža nke, Presek 3 ( 1975 /7 6 ) str . 128- 129....,
ME D OGNJEM IN KROK ODILI - rešitev s strani 168
Pete r Petek
REšEVALCEM NALOG
V Prese ku objavljamo naloge, zanke in uganke zato, da bi jih
vi reševali. Vsakokrat vas vabimo, da nam pošljete rešitve. Naj-
boljše želimo objav iti. S tem hočemo povečati število naših so-
delavcev, ki pišejo v Presek.
Re š i t ve nalog in tu di drugi prispevki so pogosto opremljeni s
skicami in risbami. Le-te nam navadno kolega Slavko Lesnjak pre-
riše tako, kot je primerno za objavo. še bolj prav pa nam bi bi-
lo, če bi bili vaši izdelk i taki, da bi jih lahko kar objavi li.
če t udi vi to želite, vas prosimo, da pri slikah skušate upošte-
vati naslednje želje. Slike naj bodo narisane v širini do 16 cm,
najožje 7,5 cm. črte naj bodo debelejše, manj pomembne pa črtka­
ne. Prevlečene naj bodo s črnim tušem ali temnim svinčnikom.
Točke, premice in ploskve označi te s primernimi črkami.
Tor e j oglejte si slike v dosedanjih številkah Preseka in le
korajžno potegnite črto!
CiriL VeLkovrh
218
KNJIGENOVE---~
KLARA HOFER, SONJA KOVALEVSKA, pr ev. St ana Vinš ek, Ljubljana,
r'llad in s ka knjiga 1974, 269str ., plo, cena 120.-din
Lani , ob letu žena je iz-
šla knjiga nemške pisateljice
Klare Hofer " Sonja Kova ~evBka "
Opisuje življenje znamenite
ruske matematičarke, ki je za
uspeh žrtvovala svojo osebno
srečo.
Sonja Kovalevska se je ro-
dila leta 1850 v Moskvi v
premožni plemiški družini.
Kot otrok v družini ni bila
preveč priljubljena, mogoče
zato, ker je bila precej svo-
jeglava in ker so si starši
želeli sina, pa so dobili
spet hčerko. V takem družin-
skem vzdušju se je Sonja raz-
vijala, postajala je drugačna
od drugih otrok, kar je tudi sama čutila . Zelela se je uvelja-
viti, zato je vse svoje moči usmerila v učenje . Najbolj jo je
zanimala matematika. Neznani znaki in števila so jo privlačeva­
l i kot magnet .
Ze kot otrok je našla zapiske s predavanj o diferencialnem
in integralnem računu. Zelela je spoznati njihov pomen. Stric
ji je poskušal razložiti: "Ce pričneš z višjo matematiko, potem
se zaloputnejo neka vrata, potem si v nekem drugem svetu, z
drugačnimi znamenji, z drugačnimi predstavami. Ta svet je tako
različen od našega kot so mogoče marsovci od nas samih."
Kljub vnemi in talentu so ji bila zaprta vsa vrata na uni-
21 9
verzo. Bila je ženska, te pa tedaj niso imele nobenih pravic.
Edina možnost je bila tujina - Nemčija. Z 19 leti se je poroči­
la s študentom prirodoznanstva Vladimirjem Onufrijevičem Kova-
levskim. Tako je lahko odpotovala v tujino in se posvetila štu -
diju matematike. V Heidelbergu v Nemčiji je obiskovala predava-
nja iz matematike . Ze po prvem semestru so jo napotili v Berlin
k profesorju Weierstrassu, največjemu matemati ku tistega časa.
We ierstrass je hitro odkril Sonjin talent in ji pomagal . S
24 leti je napisala doktors ko disertacijo "O sistemu diferenci-
alnih enačb", ki jo je posvetila svojemu učitelju.
Zenska - znanstvenica se je v tem času zelo težko uveljavi-
la, zato je bila Sonja presenečena, ko ji je bivši Weierstras-
sov učenec Leffler predlagal, naj bi postala docent na stockholm-
ski univerzi. Kljub ve s e f ju : nad tem predlogom se Sonja dolgo
ni mogla odločiti za ta korak. V tem času je rodila hčerko, kar
je zavrlo njeno delo na področju integralnega računa - prevod
Abelovih integralov tretje vrste k eliptičnim.
Po smrti svojega moža je odpotovala v Stockholm, kjer je le-
ta 1884 postala izredni profesor mate~atike na univerzi. Na
predlog profesorja Weierstrassa je sprejela težavno nalogo, da
se poteguje za nagrado Prix Bourdin. Temo je postavil sam Wei-
erstrass in bil je globoko prepričan, da jo bo Sonja zmogla. In
res ji je uspelo to, kar je v 30 letih samo desetim matematikom. Ta
tema je bila že š es t let prej razpisana, pa se je ni upal lotiti noben
matematik. Njen uspeh je bil velikega pomena za žensko gibanje,
skoraj ta ko velikega kot za znanost samo.
Vendar so hudi pretresi v njenem zasebnem življenju, smrt
staršev in moža, precej pa tudi naporno delo, opravili svoje .
Sonjino šibko telo ni preneslo napora in po hudi bolezni je le-
ta 1891 v Stoc kho1mu umr1a s ta ra komaj 41 1et.
Njena osnovna dela so iz področja matematične analize, meha-
nike in astronomije.
Ivanka Kočevar i n Meta Kokošinc
NOVE KNJIGE~---
220
NOVE KNJIGE
Pavel Kunave r, KAZI POT PO NEBU
za opazovan je zvezd s prostim oče­
som in mal imi daljnogIedi , Ljublja-
na , Državna založba Sloven i je 1975,
155 s tr. , format 18 x 18 cm . Cena
98 . - d i n.
Bogati poljudnoznanstven i li t e-
ra t ur i je avtor dodal v lanskem
le t u še knjigo , namenjeno najmlaj -
š im l jubiteljem as t ronom ij e . Opre-
mljena je z mnog imi skicami i n le-
pimi fotograf ijam i, ki kažejo , ka-
ko opazovat i nočno nebo. Knjiga je
pri merno vodilo za delo ast ronom-
skih kr ožkov na šo l ah. Avto r je
svoje zadn j e delo poklon i l Priro-
doslovnemu društvu Slov enije ob
njegovi štir idesetle tn ic i .
CiriL VeLkovrh
PRE S E K list za mlade matematike, fizike in astronome.
3.letnik, šolsko l e t o 197 5/76, 4.številka, maj 1976, str .161 -224.
Izdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije.
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Andrej Čadež (urednik za astro-
nomijo), Jože Dover, Tomaž Fortuna, Pavel Gregorc, Marjan Hribar
(urednik za fiziko), Andrej Kmet, Ljubo Kostrevc, Jože Kotnik,
Matilda Lenarčič, Biserka Mikoš, Franci Oblak, Peter Petek (odgo-
vorni urednik in urednik za matematiko), Tomaž Pisanski, Tomaž
Skulj, Gabrijel Tomšič (glavni urednik) , Marijan Vagaja, Ciril
Velkovrh (tehnični urednik).
Rokopis je natipkala Hetka ž Lt n i.k , j ezikovno ga je pr egledala Sa nd r a
Oblak, opremila pa sta ga Borut Delak in Višnja Kovačič, slike je
narisal Slavko Lesnjak.
Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov: Komisija za tisk
pri Društvu matematikov, fizikov in astronomov SRS - PRESEK,
Jadranska 19, 61001 Ljubljana, p.p. 227, tel. 61-564/53, štev.
žiro računa 50101-678-48363, devizni račun pri Ljubljanski banki
štev. 50100-620-107-900. Naročnina za šolsko leto je za posamezna
naročila 20. - din, za skupinska pa 18.- din, za inozemstvo 2 ~ =
36 .-din, 1300. - Li~ 36 . - Asch . Posamezna številka stane 5.- din.
List sofinancirajo republiška izobraževalna skupnost in temeljne
izobraževalne skupnosti v Sloveniji ter raziskovalna skupnost
Slovenije.
Ofset tisk časopisno in grafično podjetje "DELO", Ljubljana.
List izhaja štirikrat letno v nakladi 16.500 izvodov.
e 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS.
221
PISMA BRALCEV
Dragi Nadi iz Kopra hvala za poslano r eši t ev i n lepe žel je v
letu 1967 .
Tudi mi želimo kar največ uspe hov Tebi i n vsem Tvoji m pr i j a -
teljem v kro žku . Z vesel jem p ri č akujemo vaših pr ispev kov .
Vitomi r Bri c iz Tolmina nam j e napisa l pr ijate ljsko pisemce
i n rešeno na l ogo. Tako le pravi :
Sem r e d e n naročnik Preseka in rad berem vse čLanke, ki j ih
objavite . Posebno rad berem čLanke in r e š u j e m n a Lo ge i2 matema-
tike . MisLim pa, da bi mora Li objaviti tudi rešitve naLog. V
2adnji r e v i j i mi ni všeč rekLama, ki 2aV 2ema aeLo stran . siaer
pa je Presek zeLo dobra r e v i j a in mnogi moji sošoLai jo r ad i
pre Lis tava j o.
S spoštovanjem Vitomir
Hvala Vitomi r, zelo smo veseli i sk r eni h in dob rohotnih be-
sed. Tako bomo mogli Prese k bolj pribl ižati našim zvestim bral-
cem.
Ni ves Javorn ik iz Semede le pri Kopru piše med drugim : "po
doLgem okLevanju sem se odLočiLa, da vam pi šem . Sem naročniaa
Preseka, ki mi je z e Lo v še č . Vse , kar j e v n j em, je 2 e Zo 2ani -
mivo - vsaj 2a me."
Kak o smo veseli , da si se tudi ti , Nives, prid r užila našim
sodelavcem . Pogum velja tudi za kora k v svet matemati ke . želimo
Ti na tej poti veli ko us pehov i n veselja .
222
Spoštovani!
Najprej naj vas Lepo pozdravim in vam zažeLim še mnogo uspe-
hov pri urejanju vaše revije. PretekLo jesen sem postaLa naroč­
niaa Preseka. ZeLo mi je všeč. vendar pogrešam križanko. ZeLo
rada rešujem križanke. zato bi še z večjo vnemo prebira La Pre-
sek. če bi biLa v njem sLikovna križanka. Tudi meni bi biLo
boLj všeč. če bi revija pogosteje izhajaLa. Na drugo števiLko
sem namreč že komaj čakaLa. Toda kot pravite. bi biLo pogosteje
izhajanje zaenkrat še nemogoče. Škoda! Drugače pa je Presek do-
ber List. saj vsakdo najde v njem svojo priLjubLjeno stran. Me-
ni je še posebno všeč BoLj za šaLo kot zares in Bistrovidea.
Lep pozdrav od vaše odsLej zveste braLke
Nataše Bučar iz Novega mesta
Hvala Nataša! Trudili se bomo, da Ti bo Presek prinesel še
več veselja . Hvala tudi za poslano rešitev. Piši nam še!
Peter Jovanovič iz Senčurja nam je poslal lično izdelano in
obrazloženo rešitev. Zraven pa je napisal takole: "Večkrat sem
se ubadaL z reševanjem naLog iz Preseka. vendar se vam tokrat
ogLašam prvič. Revija mi je zeLo všeč. MisLim pa. da bi jo Lah-
ko podaLjšaLi vsaj za kak List. če že ne več."
Hvala. Zelimo, da bi nam pisal večkrat. Ali morda veš za
kakšne zanimive naloge? Ce bomo imeli več prispevkov in več na-
ročnikov, bomo lažje povečali obseg Preseka. Najbolj priljub-
ljene naloge pa so gotovo od naših bralcev.
Iz Kanala se nam je ponovno oglasila naša prijateljica Mire-
la s poslano rešitvijo in prijaznimi besedami. Zelimo, da bi
vztrajala na poti v matematiko. Morda boš tudi ti našla kaj za-
nimivega za Presek. Prisrčno te pozdravljamo in ti želimo veli-
ko uspeha. še nam piši!
223
Najprej vas prav ~epo pozdrav~jam!
Ze na zaaetku vam moram povedati. da sem na Pres e k naroaen
še~e ~etošnje šo~sko ~eto. Prva števi~ka mi ni najbo~j ugaja~a.
bo~j pa mi je bi~a všea druga števi~ka. Z ve~ikan8 kim zanima-
njem sem bra~ a~anka iz fiz ike in astronomije. Ze~e~ bi. da b i
t udi v na8~ednji štev i~ki naše~ k a j podobnega .
Se neka j bi v as vpraša~ in pro8i~. Pr eden napišem r ešitev
na~oge "Premis~i in reši". b i va8 povpraša ~ š e to~ e . Rad bi v e -
de~ na8~ove k ~ubov a8tronomov in radioama t erjev v Ljub~jani i n
o ko~ iei t er 8 ko~ikimi ~eti b i s e ~ahko va~ani~. Star 8em 14
~et in hodim v 8. razred 08n ov ne šo~e dr. Vita Kraigherja
Gregor Gr 0 8S
Zahvaljujemo se za zaupanje , Gregor. ee bi pregledal Prese-
ke iz preteklih dveh let, bi našel še precej zanimivega. Mi-
slimo pa, da boš z vsako številko bolj zadovoljen . Piši nam
večk rat in nam zaupaj, kaj ti ni všeč in zakaj. Naslove Ti bo-
mo poslali v osebn em pismu .
Mati ~da Le narai a
Presekov ·škrat
POPRAVKA
v tretji številki smo ga dvakrat prav grdo polomili (manjših tiskarskih
napak ne omenjam):
Na drugi strani ovitka smo nasloyno stran opisali kot babilonsko števil-
ko 15; seveda ste opazil i, da so si spačeni obraz kot zapis štev ila zamis-
lili Maji v Srednji Ameriki.
Na strani 155 smo pr i prvi na log i z olimpiade izpustili dvojke vekspo-
nentu. Dokazati je treba, da je
Peter Pe t ek
224
BISTROVIDEC---~
RAZ PR EDELN ICA - r eš it ev
nal oge iz Pr esek a 3
( 1975/ 76) š t .2 , s t r . I II .
Dušan Repov š
7
4 1 3
6 8 5
2
--
ALI SE JE PITAGORA ZMO TI L - re š i te v na l oge i z Pr es e ka 2 ( 1974/ 75)
š t . 3 , s t r . I V.
je t r ikotnik n emo goče skon st r u -( a + b )2 =Če veLja zve za
i rati .
Odnos med stranicami v t rikotniku namreč pravi :
a + b > C
Pri odnosu ( a + b )2 c 2
bi veLjaLo , da j e a + b = c
Ta odnos o značuje daL jico in ne t rikotn i ka .
Dokaj pozno obj av l j amo odgovor na vpra šanj e , ki nam ga j e zastav il " Zm r z-
nj eni hrček". Prej eli smo reš i t ve t ehle bra l cev :
Zo ra n De rnovše k , Ljubl j ana; Bar ba ra Gradi še k, Domža l e ; Hinko Ros uln i k , Vodi-
ce ; S l avko Tr even , Logatec ; Nada Ši rc a , Koper ; Cvetka Berginc , Laško ; Veho-
var Vas j a , Vip ava ; Ma rina Maršnj a k , Vel enj e; Marko Kogoj , Podb rd o; Aloj z
Fer l an, Kopr i vn i ca pr i Bre stani ci ; Mil an Fo rš tner , Vel enj e ; St anka De šni k ,
Murska Sobot a; Metka Dovi dij a , Ma r i bor ; Zdr avko Bal o rda, Lj ubl j ana ; Boj an
Hval a , Cerkno ; Jože Šeni ca, Dol enj ske Topli ce; Ma r ko Maj er, Celj e ; Mi rel a
Pahor , Kana l ; MatiIda Šem r l , Črn i vr h nad Idr ij o; Milenko St ip lovšek , Mari-
bo r in nez nan i bra l ec iz Lj ubl j ane .
Zor anu Dernovšku, č i ga r odgo vo r obj avlj amo, bomo pos l al i knjig o Ivana
Puc lja: NeevkLidične geometrije i z zb i r ke Sigma .
Pe te r Pet e k
BISTROVIDEC
MOZA IK
Imamo 12 barvastih p lošč ic. ki imajo ob liko kvad rata s str a -
ni co 1 . če plo š či ce z lož i mo v pra vokot nik z osno vnico 4 i n v i -
ši no 3 . dobimo prep ro st mozai k . Na s l i ki 1 v id ite pr imer ta kega
moza i ka, ki j e sest av lje n iz be l i h in č r nih p lo šč ic .
Vsak mozaik lahko s pre lag anjem ploščic sp remenimo v drug
mozai k. ki ima s pe t obliko pravokot ni ka z osnovnico 4 i n višino
3. če pr e ložimo pl o š č ic e tako le : p lošč ice jemljemo i z moza ika
po vr s t i cah . zač nemo z l ev o zgor njo pl o š či c o , obene m pa t e plo-
šč ice polagamo v n a stajajoč i mozai k po stolpc ih , kj er spet zač ­
nemo z l ev o zgo r njo p loščico. Na pr imer. pr ve tri p lošč i~ e zgo -
rn je vrstice mozaika na ta način prelož imo v prvi stolpec na
l ev i v novem mozaiku. zadnjo ploščico i z pr ve vrstice i n prvi
dve i z na s l edn j e vrs tice pr e ložimo v dr uqi s to lpec, itd . Sli ka
2 prik a zuj e moza ik , ki je po opisan i t rans formac iji nas ta l iz
moza ika s s like 1.
Slika 1 Slika 2
V sp lošnem bo mozaik . ki ga bomo dobil i po opisani spremembi ,
drugače n od pr votn ega mo za i ka. Ve nda r pa obs tajajo mozai ki . ki
z opisa no sp reme mbo pr e id ej o v en a ke mozaike. Poišči vsaj en
tak mozaik!
Fpance Dacar