     
P 48 (2020/2021) 28
Littlov zakon
G̌  M M
Verjetno ste se že znašli v situaciji, ko se vam
je mudilo, hkrati pa ste bili zelo lačni. Vseeno ste
imeli ravno dovolj časa, da zavijete v najbližjo re-
stavracijo s hitro prehrano. V restavraciji ste že-
leli, da vas postrežejo čim hitreje, da bi lahko po-
hiteli po nadaljnjih opravkih. V današnjem času,
ko se nam ves čas mudi, je odzivnost in kakovost
postrežbe zelo pomembna. Tega se zavedajo tudi
lastniki restavracij. Da bi si zagotovili svoj donos,
morajo med drugim poskrbeti tudi za pretočnost
ljudi v restavraciji z dobro organizacijo dela zapo-
slenih in arhitekturo prostora.
Poglejmo si primer restavracije, ki je odprta od
10h do 16h in je v enem dnevu postregla 120 obi-
skovalcev. Ali lahko izračunamo, koliko časa v resta-
vraciji v povprečju preživi posamezni obiskovalec?
Brez dodatnih podatkov tega ne moremo.
Za začetek si zato oglejmo primer, ko je v resta-
vraciji ves čas deset obiskovalcev. Recimo, da pri-
dejo hkrati in hkrati tudi odidejo, takrat pa pride no-
vih deset obiskovalcev (torej na način, da se medse-
bojno izmenjujejo).
Potemtakem lahko sklepamo, da mora biti izmen
120
10 = 12, torej, da vsak obiskovalec v restavraciji
preživi 612 =
1
2 ure.
Naš problem lahko predstavimo tako, da ga raz-
delimo v tri faze (glej sliko 1): vhod, sistem in izhod.
Pri zgoraj opisanemu problemu je vhod količina obi-
skovalcev, ki prihajajo v restavracijo, sistem je naša
restavracija, kjer opazujemo dogajanje, izhod pa je
količina obiskovalcev, ki je enaka vhodni.
SLIKA 1.
Shema zastavljenega problema
Uporabimo prejšnji premislek in vpeljimo nekaj
notacije za splošne podatke. Z N označimo točno
število obiskovalcev v enem dnevu (v našem primeru
je to 120). Z oznako T označimo celotni čas, ko je
restavracija odprta. Če se odpre ob 10h in je odprta
do 16h, je naš T enak šest ur; vse skupaj lahko zapi-
šemo v časovni okvir [0, T ], torej [0, 6]. Predposta-
viti pa moramo, da v trenutkih 0 in T v restavraciji
ni obiskovalcev (oz. je natanko nič obiskovalcev). Ve-
ljati mora tudi, da restavracijo zapusti enako število
obiskovalcev, kolikor jih je vstopilo vanjo. To eno-
stavno pomeni, da v restavraciji nihče od obiskoval-
cev ne »ponikne«.
Če je v restavraciji (sistemu) hkrati L strank, mora
biti izmen NL , torej vsaka traja W =
T
N
L
= L·TN =
L
λ , oz.
L = λW .
To lahko sedaj ponazorimo tudi geometrijsko. Na-
redimo stolpčni diagram, ki nam prikaže število obi-
skovalcev v restavraciji v trenutku t, kjer t preteče
časovni interval [0, T ]. Naj bo t = 1 prva ura odpr-
tja restavracije, t = 2 druga ura odprtja restavracije
in tako dalje. L naj označuje število obiskovalcev,
ki so hkrati v restavraciji (ves čas enako), λ število
obiskovalcev na uro, W pa čas, ki ga posamezni obi-
skovalec preživi v restavraciji (spet za vse enak). Ker
se v restavraciji izmenjuje deset obiskovalcev, lahko
izmene grafično prikažemo kot na sliki 2. Na sliki
vsak pravokotniček oz. celica predstavljata obisk go-
sta.
     
P 48 (2020/2021) 2 9
SLIKA 2.
Število obiskovalcev v restavraciji
Geometrijski prikaz lahko služi tudi za alterna-
tivno rešitev problema. Za ta namen grafikon na sliki
2 preuredimo v dveh korakih, tako kot kaže slika 3.
Vsi trije grafikoni imajo enako ploščino, saj posa-
mezni lik nastane samo s premeščanjem drugih brez
prekrivanja.
Označimo to ploščino z S. Iz spodnjega grafikona
na sliki 3 dobimo S = LT oz. L = ST , iz levega pa
S = NW oz. W = SN . Ker je L =
S
T , lahko zapišemo,
da je L = ST ·
N
N =
N
T ·
S
N = λ ·W .
Zdaj pa nas zanima, ali to velja tudi v posploše-
nem primeru, ko gostje prihajajo kako drugače in se
v restavraciji ne zadržujejo enako dolgo. Količina λ,
intenzivnost prihajanja strank, ostane definirana kot
λ = NT , količini L in W pa je treba definirati na novo,
saj število gostov v danem trenutku in čas bivanja
posameznega gosta nista več konstanti. Pri definiciji
nam bodo pomagali grafikoni, ki so lahko zdaj videti
malo drugače, npr. tako, kot kažeta sliki 4 in 5.
Sedaj naj bo S ploščina diagrama (glej sliko 4).
Iz slike 5 lahko ugotovimo, da se ploščina še vedno
ohrani, saj en lik nastane iz drugega samo s preme-
ščanjem pravokotnikov brez prekrivanja.
Definirajmo L in W kot povprečji: L naj bo torej
povprečno število strank v sistemu, W pa povprečni
čas bivanja posamezne stranke v sistemu.
Kako pa je definirano povprečje? Povprečna vre-
dnost nenegativne funkcije na določenem intervalu
je ploščina pod njenim grafom, deljena z dolžino in-
tervala. Na ta način ima namreč lik, ki ga omejujejo
graf funkcije, krajišči intervala in abscisna os, isto
ploščino kot pravokotnik, ki ga dobimo, če graf funk-
cije zamenjamo z vodoravnico, ki leži v višini pov-
prečja funkcije. V višji matematiki temu pravimo in-
tegral. Na sliki 4 je to povprečje označeno s črtkano
črto.
Količina L je torej v resnici definirana kot L = ST ,
količina W pa kot W = SN .
Sedaj pa ugotovitve povežimo med sabo. Ko upo-
števamo še zvezo λ = NT , ki je v resnici definicija ko-
ličine λ, sledi že dobljena zveza L = λW. Torej zveza
L = λW se ohrani, če L in W definiramo kot ustrezni
povprečji.
Ni nujno, da sistem gledamo od začetka do konca,
temveč lahko le v določenem časovnem oknu. V tem
primeru moramo pri W gledati le trajanja bivanj v
okviru danega časovnega okna, prihajanje pa razu-
memo tako, da kot prispele štejemo vse stranke, ki
so v sistemu kadar koli znotraj danega časovnega
okna (četudi so morda prišle že prej). Če gledamo
tako, tudi ni nujno, da je bilo na koncu časovnega
okna v sistemu enako število strank kot na začetku.
Izpeljana zveza je znana kot:
Littlov zakon: Če je dan sistem kot na sliki 1
in je λ intenzivnost prihajanja strank, L pov-
prečno število strank v sistemu,W pa povprečni
čas bivanja posamezne stranke v sistemu, vse v
okviru določenega časovnega okna, velja zveza
L = λW .
Obiskovalce lahko ločimo na dve podskupini. Na
tiste, ki obedujejo, in na tiste, ki čakajo na postrežbo.
Recimo, da v povprečju od desetih obiskovalcev, ki
so hkrati v restavraciji, obeduje šest obiskovalcev.
Zanima nas povprečni čas čakanja na postrežbo.
Označimo sedaj z L1 število obiskovalcev, ki obe-
dujejo, in z L2 obiskovalce, ki čakajo na postrežbo.
Nadalje lahko izračunamo, da L2 = L− L1 = 10−6 =
4 obiskovalci čakajo na postrežbo in je W2 =
4
20 =
0,2 ure oz. 12 minut. To je čas, ki ga obiskovalec
v povprečju porabi za čakanje na postrežbo. Littlov
zakon smo tako uporabili za prvo škatlo obiskoval-
cev (glej sliko 6).
Tudi v transportu in logistiki lahko z Littlovo za-
konitostjo opišemo nekatere procese. Pod drobno-
gled vzemimo pretok vozil na enem kilometru od-
seka avtoceste. Ta odsek naj bo tak, da nima nobenih
     
P 48 (2020/2021) 210
SLIKA 3.
Prikaz po posameznih
obiskovalcih
SLIKA 4.
Razlǐcno število obiskovalcev v restavraciji
izvozov, da bi se število vozil v odseku spreminjalo.
Kako bi skupaj povezali količine, kot so gostota, pre-
tok in hitrost prometa?
Najprej pojasnimo pojme. Gostoto prometnega
toka lahko definiramo kot povprečno število vozil v
odseku na razdaljo odseka. Pretok prometa pa dolo-
čimo kot povprečno število vozil v odseku na enoto
časa. Sedaj lahko povezavo med gostoto prometnega
toka in pretoka prometa pokažemo s pomočjo Littlo-
vega zakona.
Naj bo d dolžina odseka in ρ gostota prometnega
toka. Potem lahko zapišemo, da je ρ = Ld , kjer je
L povprečno število vozil v odseku. Če je v hitrost,
je W = dv , saj je W povprečni čas potovanja skozi
odsek. Littlov zakon L = λW dobi obliko ρ = λv .
Od tod lahko tudi vidimo vzrok nastanka kolone
vozil. Če se dotok vozil le rahlo poveča, se pro-
met upočasni in po Littlovem zakonu se gostota pro-
meta poveča – tako zaradi večjega dotoka kot zaradi
zmanjšane hitrosti.
Take primere doživljamo lahko vsak dan na slo-
venskih avtocestah, še posebej v poletnih časih, ko
se izvajajo velika vzdrževalna dela. Delavci omejijo
pretok vozil na en pas, postavijo omejitev hitrosti na
80 km/h, nato pa je tu še dnevni tranzit iz tujine,
ki odhaja na morje. Tako dobimo dolge, kilometrske
kolone vozil zaradi prevelikega dotoka vozil v vzdr-
ževalni odsek in zmanjšane hitrosti.
Ali obstaja kakšen način, s čimer bi zmanjšali take
zastoje? S povečanjem varnostne razdalje bi lahko
zmanjšali gostoto prometnega toka in s tem pove-
čali hitrost vozil. Območje počasnejšega prometa bi
se pri tem podaljšalo, zato pa bi promet tam potekal
bolj tekoče. Če bi npr. ponovno popravljali viadukt
na Ravbarkomandi in bi bila tam omejitev 80 km/h,
bi, recimo, namesto prometa s hitrostjo 130 km/h do
Unca in nato po polžje do Ravbarkomande imeli pro-
met s hitrostjo 80 km/h že od Vrhnike naprej. Tako
bi verjetno prišli do cilja hitreje, vendar je to možno
samo teoretično, saj moramo upoštevati tudi člove-
ški faktor.
     
P 48 (2020/2021) 2 11
SLIKA 5.
Prikaz razlǐcnega števila obi-
skovalcev v restavraciji glede
na posameznega obiskovalca
SLIKA 6.
Shema problema podskupin
obiskovalcev
Sklep
Littlov zakon opisujejo tri linearno povezane koli-
čine. Če poznamo dve izmed njih, lahko tretjo iz-
računamo brez težav. Ta zakonitost nam tudi pove,
da npr. lastniki restavracij ne morejo zagotoviti ve-
likega števila obiskovalcev in s tem tudi višjega do-
bička tako, da bodo (poleg marketinških potez) pove-
čali samo prostorske kapacitete, ampak morajo po-
skrbeti tudi za ustrezno število zaposlenih v resta-
vraciji (natakarjev, kuharjev). Če želimo varčevati pri
zaposlenih, ne bomo ničesar dosegli. Čakalni čas se
bo le povečal, obiskovalci bodo nezadovoljni in se
ne bodo več vračali. Torej Littlov zakon skrbi, da, v
našem primeru, lastniki restavracij niso preveč po-
žrešni in da namesto optimuma za eno stran iščejo
ravnovesje za obe strani.
Literatura
[1] Little’s law, dostopno na ie.technion.ac.il/
serveng/Lectures/Little.pdf, Service Engi-
neering, 2007.
[2] J. D. Little, Little’s Law as Viewed on Its 50th An-
niversary, Operationsresearch 59 2011, 3, 536–
549.
[3] M. Batista, Zvezni modeli prometnega toka, do-
stopno na www.fpp.edu/~milanb/tpmeh/tpt/
tpt04_b5.pdf, 2007.
×××
www.dmfa.si