Njegovo veličanstvo detajl
ALEKSANDER KRON
Velika večina znanstvenikov nima nikakršnega razumevanja za raziskovanje v polju filozofije znanosti: zanje je to popolnoma samostojno področje, ločeno od znanosti, s katerimi se ukvarjajo filozofi. Ne znam si predstavljati znanstvenika, ki bi se strinjal z besedami, da filozofija znanosti daje opis tistega, kar sc v znanosti dogaja. Največji del znanstvene dejavnosti je iskanje detajlov.
Namen mojega pisanja je, da gornjo trditev podkrepim z dvema ilustracijama iz matematične logike ter opozorim na še nekatere okoliščine, ki bodo to trditev napravile bolj razumljivo. Posebej pomembno je uvideti teoretski kontekst, v katerem sc detajli pojavljajo.
Detajli, ki jih iščemo v znanosti, niso katerekoli ali kakršnekoli podrobnosti: v določenem smislu so nujni, pomembni in vedno neizogibni. Nikoli niso neposredno dani - pol do njih je treba navadno prehoditi s tistimi ingenioznimi koraki, ki sc imenujejo znanstvena odkritja.
Znanstveniki sc ukvarjajo z vprašanji, ki so vedno povsem določena. Odgovori nanje so detajli, ki manjkajo v zgradbi teorije ali slike nekega področja. Detajl je lahko tako pomemben, da sc brez njega določena znanost zaustavi v svojem razvoju. V razvoju logike, na primer, je bil pojem kvantifikatorja detajl, ki je manjkal od Aristotela do Frcgcja; njegovo odkritje je pomenilo pomemben korak v razvoju logike.
Iskanje detajlov pogosto poteka v bolj ali manj stabilnem teoretskem kontekstu, ki ima lahko tudi filozofsko motivacijo. Ta kontekst sc lahko pod vplivom določenega detajla spreminja, prav tako pa po drugi strani sam vpliva na lastnosti iskanega detajla. Vendar pa v znanosti nič ne more nadomestili reševanja in rešitve vprašanja, torej iskanja detajlov.
V najpomembnejših logičnih izrekih, kar jih je bilo dokazanih v našem stoletju (in morda najpomembnejših sploh), v izrekih o nepopolnosti Pcanovc aritmetike naravnih števil in algoritemski neodločljivosti elementarne logike, jc bila inspiracija filozofska. Od Pcana, Russcla in Whitchcada do Hilbcrtovcga programa sc jc oblikovala zavest o pomenu matematičnih objektov - aksiomatsko postavljenih teorij v natančno določenih formalnih jezikih. Takšnim teorijam interpretacija ni dana vnaprej, čeprav jc historično in psihološko gledano v graditvi teorije najpogosteje prisotna. Hilbcrtov program je prinesel misel, naj sc ncprotislovnost matematičnih teorij dokazuje v okviru takšnih formalnih sistemov - v primeru, da so ti postavljeni finitamo. Temeljni problem jc Hilbcrt predstavil v svojem znamenitem predavanju na Drugem svetovnem kongresu
matematikov v Parizu lcLa 1900: "Dokazali, da (aritmetični aksiomi) niso protislovni, torej pomeni, da, če izhajamo iz njih, v končnem številu logičnih korakov ne moremo priti do rezultatov, ki bi bili eni drugim protislovni." Tedaj je imel v mislih aksiome, ki so sc nanašali na aritmetiko realnih števil. Šele od dvajsetih let našega stoletja razmišljamo o tem vprašanju tako, kot da velja tudi za teorijo naravnih števil in za Pcanove aksiome.
Ko je Hilbcrt oblikoval to vprašanje, so ga vodili naslednji vzgibi. V devetnajstem stoletju so izpeljali aritmctizacijo analize, kar pomeni, da so analizo omejili na aritmetiko z nekaj teorije množic in s tem tudi vprašanje ncprolislovnosti matematike skrčili na vprašanje ncprolislovnosti aritmetike. Razumljivo je bilo vprašanje ncprolislovnosti za Hilbcrta lako pomembno zato, ker je tedaj, kakor tudi Poincarc, verjel, da je matematična teorija pravilna, če in samo čc je ncprotislovna. Čeprav Hilbcri pozneje ni povsem jasno določal svoje filozofske pozicije - ker je postal položaj v filozofiji matematike, kjer seje zastavljalo vprašanje ncprolislovnosti, vse bolj zapleten -pa lahko trdimo, da je ostal blizu formalizmu, po katerem sc matematični rezultati prav na nič ne nanašajo. Vendar pa tudi od konstruktivizma ni bil daleč in, ko je sprejemal sredstva klasične matemalike, seje strinjal tudi s platonizmom.
V	svojem prvem izreku o nepopolnosti je Gtidcl pokazal, da ni takšnega formalnega sistema, ki bi kodificiral vse dokaze intuitivne matematike. V vsakem ncprotislovncm sistemu, ki vsebuje Pcanove aksiome, obstaja finitarna formula, tako da niti nje same niti njene ncgacijc ni mogoče dokazati v formalnem sistemu; rezultat, ki ustreza tej formuli, pa velja tudi v intuitivni finilistični aritmetiki.
V	svojem drugem izreku o nepopolnosti aritmetike pa Gttdel pravi, da ncprolislovnosti nekega formalnega ariunetičnega sistema ni mogoče dokazati s srcdslvi, ki so kodificirana v formalni aritemtiki.
GOdcl sodi v veliko skupino matematikov, ki so zagovarjali platonizcm. Matematični objekti obstajajo neodvisno od človekovega uma - človekov um jih nc vzpostavlja, temveč jih lahko le bolje ali slabše spoznava. G&dcju jc bilo vprašanje pravilnosti matematičnih rezultatov povsem legitimno vprašanje, kakor sploh večini matematikov, ki so usmerjeni k teoriji modelov. Nemara prav GOdclov primer najlepše pokaže, kakšno vlogo ima določeno filozofsko stališče v znanosti: dokaz njegovega izreka popolnosti čistega računa predikat prvega reda je pravzaprav odgovor na vprašanje, kakšen jc odnos med semantičnimi in sintaktičnimi logičnimi pojmi (ali sintaktična struktura ločno opiše semantično dano matematično stvarnost, ki obstaja neodvisno od te sintakse). Tudi tu sc jc Gttdclu postavilo podobno vprašanje: ali sintaktično dana formalna ariunctika dobro opiše semantično, intuitivno dano aritmetiko. Zanimiva jc ugotovitev, da jc bilo za Hilbcrta in Gcklcla vprašanje o odnosu med formalno in intuitivno aritmetiko smiselno, vendar pa so bile, kol jc videli, filozofske utemeljitve za tako stališče prcccj različne.
Dobro vemo, daje temeljna misel Godclovcga dokaza kodiranje. V preučevanju te splošne misli pa sc pride do zelo konkretnih vprašanj. Ali lahko, kadar sla dani funkcija kodiranja in neko naravno število n, ugotovimo, da jc n kod neke formule? Čc to velja, ali lahko tedaj ugotovimo, za katero formulo gre?
Preden bomo odgovorili, moramo reči, da jc to vprašanje konkreten problem. Gčdcl jc do njega prišel tako, da jc postavil drugo konkretno vprašanje: ali jc ariunctika ncprotislovna. Na to vprašanje jc želel odgovoriti tako, da bi s kodiranjem izraza
formalne aritmetike o formalni aritmetiki govoril v njej sami - v formalni aritmetiki - in tako naletel na naslednje konkretno vprašanje: ali je kodiranje, kakršno jc predlagal, sploh možno. In res, odgovor na to vprašanje jc pritrdilen, če lahko na podlagi danega naravnega števila poiščemo formulo, katere kod jc to število.
Odgovor na to vprašanje jc detajl. Glasi sc: vsako naravno število n jc mogoče na natanko cn način zapisali kot produkt stopnje nekaterih praštevil. To jc Osnovni aritmetični izrek, ki omogoča kodiranje množic vseh formul formalne aritmetike.
Da bi mogel definirati predikate "biti term", "bili formula", in "biti dokaz" (ki so nujni, če želimo odgovoriti na postavljeno vprašanje o ncprolislovnosti), pa jc moral G5dcl pokazati, da jc mogoče kodirali tudi končne nize formul. V splošnem sc ta problem omejuje na vprašanje, ali jc možno kodiranje poljubnih končnih nizov naravnih štcvil.Tako pridemo do naslednjega kronskega detajla v vsem podvigu, Kitajskega izreka o ostankih, ki to kodiranje poljubnih končnih nizov naravnih števil sploh omogoča. Na podlagi Kitajskega izreka o ostankih jc Godci leta 1931 dokazal, daje v formalni aritmetiki mogoče izvesti kodiranje vseh izrazov in nizov izrazov formalne aritmetike. To mu je omogočilo dokazati njegove izreke o nepopolnosti.
Ta primer nam je pokazal, da je bil detajl D, ki smo ga iskali za rešitev problema P, žc znan, vendar ne kot rešitev problema P. Predlog rešitve (kodiranje formalne aritmetike) problema P (ali obstaja formalna teorija, ki kodificira vse pravilne trditve aritmetike naravnih števil) jc treba razčlenili do problema Q (ali jc možno kodiranje poljubnih končnih nizov naravnih števil), potem bomo šele videli, ali jc detajl D rešitev problema Q.
Tudi moj drugi primer jc iz istega konteksta. Hilbcrtov Deseti problem iz omenjenega pariškega predavanja se glasi: "Preverjanje rešljivosti neke diofantske enačbe. Za dano diofantsko enačbo s katerimkoli številom neznanih vrednosti in z racionalnimi koeficienti iz obsega celih števil določiti postopek, s katerim bo mogoče določiti (s končnim številom operacij), ali ima ta enačba rešitve iz obsega celih števil."
V času, ko jc Hilbcrt postavil ta problem, še ni bilo ustreznih matematičnih sredstev, ki bi pomagala do odgovora; pojavila so se šele v tridesetih letih, ko je Godci uvedel pojem rekurzivne funkcije. Kmalu so sc oblikovali tudi drugi sislemi, ki so definirali pojem efektivne izračunljivosti, kasneje pa jc prišel še dokaz, da vsi ti sistemi definirajo tisti razred aritmetičnih funkcij, ki jih danes imenujemo rekurzivne (če velja, da jc njihov obseg množica naravnih števil N) ali pa parcialno rekuzivne (če velja, daje njihov obseg podmnožica množicc naravnih števil N). Upoštevaje ta dejstva jc Church leta 1936 postavil naslednjo tezo: "Razred rckur/.ivnih funkcij jc enak razredu intuitivno izračunljivih funkcij."
Čc sprejmemo Churchovo tezo, tedaj dokaz, da nc obstaja efekten postopek, ki bi rešil zastavljeni problem, prevedemo v dokaz, da ni rekurzivne funkcijc z določenimi lastnostmi.
Za namen tega članka jc dovolj, čc pod diofantsko enačbo razumemo polinomsko enačbo s koeficienti, eksponenti in sprcmcljivkami iz obsega celih števil. Tedaj lahko Hilbcrtov problem postavimo drugače: ali obstaja splošna metoda odločljivosti, s katero lahko ugotovimo, ali ima poljubna diofantska enačba rešitev. Pri tem moramo poudariti besedi splošna in poljubna, saj jc jasno, da za nekatere razrede diofantskih enačb takšne metode obstajajo (na primer za linearne in nekatere kvadratne diofantske enačbe).
Na podlagi Lagrangcovcga izreka (vsako naravno število lahko zapišemo kot vsoto kvadratov štirih naravnih števil) se Deseti Hilbcrtov problem omejuje na vprašanje, ali
obstaja laka splošna metoda, ki nam pomaga ugotovili, ali ima poljubna diofantska enačba rešitve v množici pozitivnih celih števil. Okrog leta 1961 sta H. Putnam in J. Robinson v svojih delih to vprašanje pripravila za dokončno rešitev.
M. Davis in J. Robinson sta ga nato zvcdla na vprašanje, ali je graf eksponentne funkcijc diofantska množica. Natančno rečeno, gre za vprašanje, ali obstaja diofantska enačba, katere rešitve iz obsega celih števil rastejo z eksponentno hitrostjo.
Preden bomo odgovorili na postavljeno vprašanje, si oglejmo, kakšna je bila pot od prve do zadnje formulacije Desetega Hilbcrtovega problema.
Prva (Hilbcrtova) formulacija jc bila izrečena v jeziku intuitivne matematike. V naslednjih sedemdesetih letih so nastali matematični konteksti, v katerih so sc pojavili povsem novi pojmi (pojem rekurzivne funkcijc in drugi pojmi ustrezne teorije). Hilbcrtov problem jc bil tako postavljen v nov kontekst, Chuchova teza pa ga jc šc precizirala. Pojme, ki so se pojavljali v forumulaciji problema, so začeli povezovati z novimi pojmi in znanimi matematičnimi rezultati. Vse to jc naposled privedlo do povsem konkretnega vprašanja, ali obstaja diofanLska enačba s povsem konkretnimi lastnostmi. Za rešitev tega vprašanja jc treba poiskati vsaj eno takšno enačbo ali pa dokazati, da takšne enačbe ni. Vprašanje jc torej, ali obstaja vsaj en tak detajl ali pa tak detajl nc more obstajati. Posebej poudarjamo listi nc more, saj problema nc bomo rešili, čc takšnega detajla samo nismo našli, jc pa šc vedno možnost, da obstaja.
Prvi iskani detajl je bil najden leta 1970. J. Matijašcvič jc odkril sistem diofatnskih enačb, katerih diofanLska množica ima eksponentno rast. Rešitve te množice enačb so Fibonaccijcva števila. In nc samo to: dokaz, da jc dani sistem iskani detajl, jc bistveno odvisen od dcfinicijc Fibonaccijcvih števil.
Za Matijaševičcm jc Čudnovski odkril še en detajl z iskanimi lastnostmi rešitve. Pcllovc enačbe prav tako oblikujejo diofantsko množico, ki raste z eksponentno hitrostjo. Obstajajo torej diofantske množice, ki so rekurzivno števne, niso pa rekurzivne.
Na podlagi najdenih dejtajlov lahko sklepamo, da jc odgovor na Deseti Hilbcrtov problem negative: nc obstaja takšen efektiven postopek, s katerim bi lahko v končnem številu operacij odgovorili na vprašanja, ali ima poljubno dana diofanLska enačba rešitve v obsegu množice cclih števil.
Opozoril bi na nekatere posicdice negativnega odgovora na Deseti Hilbcrtov problem - pokazal jih jc Ž. Mijajlovič. S tem bi rad pokazal, kakšen jc lahko pomen najdenega detajla: nc lc, da takšen detajl pomeni rešitev nekega problema, ampak nam tudi dejstvo, da imamo to rešitev v rokah (odvisno seveda od tega, ali jc pritrdilna ali nikalna), omogoča postavljali nova vprašanja. Kot bomo videli, so nekatera izmed njih lahko ludi zelo splošna.
Znano jc, da lahko Pcanovo aritmetiko izražamo v teoriji množic ZFC (Zcrmclo-Fracnkclova teorija z aksiomom izbire). Ker velja, da protislovnosti Pcanove ariunetike nc moremo dokazati v formalni aritmetiki, ki Pcanovo kodificira, tudi ncprolislovnosti teorije ZFC nc moremo dokazati v ZFC. Gčdclovc rezultate lahko izrazimo v bolj splošni obliki in veljajo za vsako teorijo T, ki vsebuje Pcanovo aritmetiko in ima rekurzivno množico aksiomov.
Naj bo T teorija, ki vsebuje ZFC; jasno je, da zanjo veljajo Godclovi rezultati. Naj Prov(T, u, v) pomeni: "u jc kod dokaza v T za formulo, katere kod jc v". Če je množica aksiomov teorije Trckurzivna, tedaj jc Prov odločljiv predikat, ker lahko za vsak končen niz formul ugotovimo, ali jc dokaz za zadnjo formulo v tem nizu.
Naj bo Con (T) formalizacija pojma ncprotislovnosti.
Iz strukture formule Con(T) in dcfinicijc diofantske množice izhaja, da obstaja tak polinom P, da je v množici naravnih števil N stavek Con(T) ekvivalenten P k 0.
Predpostavljamo, daje ZFC ncprotislovna teorija in daje metateorija prav tako ZFC. Tedaj, izhajajoč iz Godclovcga drugega izreka o nepopolnosti, v ZFC nc moremo dokazati Con(ZFC), to pomeni, da v ZFC nc moremo dokazati P nO, kar naprej pomeni, da v ZFC ne moremo dokazati, da diofantska enačba P= 0 nima rešitev v obsegu množice cclih števil.
Ker smo predpostavili, da je ZFC ncprotislovna teorija, v njem tudi nc-Con(T) ni dokazljiv, torej v ZFC nc moremo dokazati niti, da ima diofantska enačba P = 0 rešitve v obsegu množicc cclih števil.
Iz teh razmislekov sledi, da sta teoriji ZFC + Con(T) in ZFC + nc-Con(T) ncprotislovni, zato obstajata dva modela, vzemimo M in N, v katerih veljajo naslednje trditve.
V	M: "Diofantska enačba P= 0 ima rešitve v obsegu množicc cclih števil".
V	N: "Diofantska enačba P= 0 nima rešitev v obsegu množicc cclih števil".
Opazujmo model M, ker ima diofantska enačba P = 0 rešitve v obsegu množice
naravnih števil, naj bo dana ena njena rešitev iz množicc naravnih števil. Čc predpostavimo, da so rešitve te enačbe končna naravna števila (gledano zunaj modela M), tedaj lahko pokažemo nc samo, da je P = 0 v M, ampak tudi, da jc P = 0, iz tega pa sledi nc-Con(ZFC), kar pomeni, da jc ZFC protislovna teorija, kar jc v nasprotju z našo predpostavko. Predpostavljena rešitev diofantske enačbe P = 0 torej ni končna, oziroma za vsaj eno število izmed tistih, ki predstavljajo njene rešitve, velja, da jc neskončno naravno število v M. Na enak način sledi, da kod dokaza, da je ZFC protislovna teorija, ni končno število in torej ta dokaz ni finitarcn.
Očitno jc, da jc bilo mogoče rešitev iz teh zagat poiskati v dejstvu, da v navadni (bourbakisti bi rekli delovni) matematiki ni neskončno velikih naravnih števil. Pa vendar - za kateri model naj sc v delovni matematiki odločimo, za M ali za N? Na to vprašanje lahko odgovorimo v teoriji kardinalnih števil. V teoriji množic imamo aksiome, ki vzpostavljajo cksistcnce takoimenovanih velikih kardinalnih števil, kakršna so, na primer, merljiva kardinalna števila. Naj bo AX tak aksiom; če AX dodamo k teoriji ZFC, tedaj lahko v ZFC+AX dokažemo Con(ZFC). To pomeni, da v ZFC+AX diofantska enačba P= 0 nima rešitve. Vendar pa iz Gftdclovih izrekov o nepopolnosti sledi, da v ZFC ne moremo dokazati Con(ZFC+AX), niti čc predpostavimo Con(ZFC). Zato na aksiome, kakršen jc AX, gledamo s pridržkom.
Po drugi strani pa aksiomi, ki postavljajo obstoj množic v hierarhiji kardinalnih števil zelo visoko, odločajo o nekaterih osnovnih aritmetičnih lastnostih (na primer o rešljivosti diofantskih enačb), te lastnosti pa so v omenjeni hierarhiji prcccj nizko; postavlja se torej vprašanje, kakšna jc zveza med temi entitetami.
Kot sklep je Mijajlovič zapisal, da ni dovolj razlogov, da bi sc mogli opredeliti za en ali drug model, saj ta odločitev prinaša tudi vprašanje o odločljivosti diofantske enačbe P = 0. Na konec jc tako postavil vprašanje, ali to pomeni, da iz prepričanja, da je enačbo mogoče rešiti, sledi, daje enačba v resnici rešljiva.
Vidimo torej, da je pot od splošne formulacije določenega vprašanja do odgovora nanj lahko zelo dolga in naporna; tlakovana jc s prcciziranjcm pojmov iz dane formulacije, z njihovim povezovanjem s pojmi iz drugih kontekstov - vse dokler nc
najdemo detajla, ki je rešitev problema. Tedaj se lahko prične nova pot, pot od detajla in rešenega problema do novega vprašanja, ki je spet lahko splošno in premalo določeno.
LITERATURA
Mijajlovič, Z., Markovič, Z., Došen, K., Ililbcrlovi problemi in logika, Beograd, 1986. Manin, Yu., A Coruse in Mathematical Ix>gic, Springer, 1977. Davis, M., Computability & Unsolvability, McGraw-Hill Inc., 1958.