IZ RAZREDA 22 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 Različni načini vrednotenja znanja pri pouku matematike Andreja Pečovnik Mencinger Srednja šola za gostinstvo in turizem Maribor Izvleček Predstavljeni so različni načini vrednotenja znanja pri pouku matematike v programu srednjega strokovnega izobraževanja. Podani so konkretni primeri vrednotenja projektno sodelovalnega dela in ocenjevanja semi- narskih nalog, vključno s kriteriji in opisniki vrednotenja znanja po posameznih korakih. Vključeni so tudi elementi formativnega spremljanja. Ključne besede: vrednotenje znanja, opisniki, sodelovalno delo Different Ways of Assessing Knowledge in Mathematics Class Abstract The article presents different ways of assessing mathematical knowledge in secondary vocational education programme. It gives specific examples of assessing collaborative project work and term papers, with the cri- teria and descriptors for assessing knowledge according to individual steps. The elements of formative asses- sment are also included. Keywords: knowledge assessment, descriptors, collaborative work Uvod Katalog znanja za matematiko v programih srednjega strokovne- ga izobraževanja (2007) podaja različne primerne načine vred- notenja kompetenc, in sicer: pisni preizkusi, ustno spraševanje oz. preverjanje s pogovorom, seminarske naloge, matematična in empirična preiskovanja in projektne naloge. V srednjih šolah prevladujeta prvi dve obliki vrednotenja znanja: pisni preizkus in ustno spraševanje. Učitelji redkeje uporabljajo preostale oblike vrednotenja. S tema dvema načinoma vrednotenja znanja je ne- mogoče vrednotiti vse ključne kompetence, ki jih podaja omen- jeni Katalog znanja. Preverjanje in ocenjevanje znanja Preverjanje znanja (Žakelj, 2012) je sistematično, načrtno zbiranje podatkov o tem, kako učenec dosega učne cilje med procesom učenja. Ocenjevanje znanja (Žakelj, 2012) je presoja in vrednotenje izkazanega znanja posameznih učencev po kon- čanem obdobju učenja in formalizacija te presoje v kvalitativni in kvantitativni obliki. Pri ocenjevanju znanja učitelji uporabljamo kriterije ocenjevanja znanja in opisnike. Pri vrednotenju projektnih in seminarskih nalog so opisniki nepogrešljivi, prav tako pri vrednotenju (pro- jektnega) sodelovalnega dela. Primer vrednotenja ključnih kompetenc tematskega sklopa Obdelava podatkov Vrednotenje usvojenih znanj in veščin iz tematskega sklopa Ob- delava podatkov izpeljemo tako, da vrednotimo pisni preizkus znanja in seminarsko nalogo. V pisnem preizkusu znanja dijaki izkažejo znanje iz poznavanja osnovnih statističnih pojmov, pri- kazovanja podatkov z različnimi diagrami, razumevanja pomena meril za srednjo vrednost, razpršenost podatkov ipd. Seminarska naloga se izdela s pomočjo programa Excel, ki ga dijaki usvojijo v okviru modula Poslovno komuniciranje in IKT. V seminarski nalogi dijaki izkažejo znanja in veščine z urejanjem podatkov z računalniškimi preglednicami, prikazovanjem podatkov z različ- nimi grafikoni, izračunavanjem statističnih vrednosti s pomočjo programa Excel. Prav tako dijaki izkažejo veščine interpretacije analiziranih podatkov in grafikonov ter zmožnosti formulacije ugotovitev v matematičnem jeziku. Dijak prejme podatke iz športnovzgojnega kartona, ki jih mora v skladu z navodili obdelati in predstaviti v seminarski nalogi, za- pisani v programu Word. Obdelava podatkov poteka pri pouku matematike v učilnici, prilagojeni za delo z računalniki, konč- IZ RAZREDA 23 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 no izvedbo seminarske naloge pa dijaki opravijo doma. Delo v šoli poteka dve šolski uri. Dijaki oddajo svoje izdelke v spletno učilnico, kjer vidijo tudi povratno informacijo o svojih izdelkih in napotke za nadaljnje delo. V spletni učilnici so navodila za izdelavo seminarske naloge in kriteriji ocenjevanja seminarske naloge. Slika 1: Pogled na dejavnosti v spletni učilnici. Seminarska naloga se vrednoti po kriterijih, s katerimi so dija- ki seznanjeni pred pričetkom dela: ustreznost gradiva glede na dana izhodišča (naslovna stran, kazalo, uvod, podatki, urejeni v preglednicah z vsemi izračuni, frekvenčna tabela, grafične pred- stavitve podatkov, smiselno oblikovano vezno besedilo, interpre- tacije preglednic, izračunov in grafičnih predstavitev, zaključek) in sistematičnost pripravljenega gradiva. Vsak kriterij za posa- mezne elemente gradiva je podrobno opisan. Primer kriterijev za vrednotenje posamezne grafične predsta- vitve podatkov: Smiselnost uporabe posamezne grafične predstavitve glede na dane podatke 1 točka Opremljenost grafične predstavitve z legendo 1 točka Označitev osi 1 točka Primer kriterijev za vrednotenje interpretacij preglednic, izraču- nov in grafičnih predstavitev: 2 točki 1 točka 0 točk Interpretacija preglednic in izračunov Iz urejenih podatkov in izračunov so izluščene bistvene informacije, npr. primerjava med izračunanimi statističnimi parametri, interpretacija razpršenosti podatkov ipd. Interpretacija zajema zgolj izpis posameznih vrednosti brez primerjav. Interpre- tacije ni. Interpretacija grafičnih predstavitev podatkov Interpretacija zajema informacijo o frekvenčnih razredih, ki po frekvenci izstopajo, pomenu kumulativne frekvence, modalnem razredu ipd. Interpretacija zajema zgolj izpis posameznih vrednosti. Interpre- tacije ni. Dijaki z izdelavo seminarske naloge razvijajo zmožnost za upo- rabljanje tehnologije pri izvajanju matematičnih postopkov, zmožnost za organiziranje in analiziranje podatkov ter zmožnost za interpretiranje in kritično presojo pri uporabljanju matemati- ke na drugih področjih. Primer vrednotenja projektnega dela po vzoru »učenci poučujejo« Z geometrijo se učenci seznanijo že v osnovni šoli. Zato izpel- jemo del tematskega sklopa Geometrija v ravnini s projektnim delom. Predznanje dijakov diagnosticiramo s kvizom v spletni učilnici. Nato prvih nekaj uvodnih ur učitelj izvede demon- stracijsko tako, da dobijo dijaki vpogled v široko možnost rabe raznolikih gradiv pri pouku geometrije: videoposnetkov, pred- stavitev s prosojnicami, delovnih listov, povezava z vsakdanjim življenjem (umetnost, narava …) ipd. Dijakom se predstavi tudi možnost rabe programa GeoGebra in gradiv, ki so že pripravlje- na v GeoGebri. Projektno delo izvedemo tako, da se dijaki razdelijo v trojice. Vsaka trojica prejme temo in mora na to temo pripraviti pred- stavitev snovi, npr. Power Point/Prezi, rešiti določene naloge in jih predstaviti ter za preverjanje znanja sestaviti delovni list ali kviz. Dijaki si znotraj trojic razdelijo delo in pripravijo gradiva, IZ RAZREDA 24 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 ki jih preko aplikacije Google Drive posredujejo učitelju. Dijak, ki pripravlja predstavitev snovi, posreduje dva dokumenta, in si- cer celotno vsebino, ki jo namerava predstaviti, in vsebino, ki bo na prosojnicah. Dijaki imajo en teden časa za pripravo gradiv in nato še en teden časa za vnos popravkov/izboljšav in pripravo na predstavitev svoje naloge. Dijakom je ponujena tudi možnost koriščenja ur konzultacij, če bi potrebovali pri pripravi gradiv kakšno pomoč. Predstavitve dijakov se vrednotijo po kriterijih: ustreznost gradi- va glede na dana izhodišča, sistematičnost pripravljenega gradi- va, kreativnost, ustreznost časovnim omejitvam, smiselna pove- zanost posameznih elementov gradiva, matematična korektnost predstavljenega gradiva, suverenost govornega nastopa. Vsaki kategoriji pripada določeno število točk, seštevek točk pa odloča o končni oceni. Podajam dva primera opisnikov, in sicer za vrednotenje ustreznosti gradiva glede na dana izhodišča in vrednotenje kviza. Primer opisnikov za vrednotenje ustreznosti gradiva za predsta- vitev glede na dana izhodišča: Kriteriji vrednotenja - opisniki Število točk Gradivo zajema vse bistvene elemente: • vse bistvene lastnosti posameznega geometrijskega lika, pojma … • vključuje ustrezne grafične/slikovne reprezentacije, • nakazana je povezava z vsakdanjim življenjem, kjer je to možno. 3 točke Gradivo zajema • vse bistvene lastnosti posameznega geometrijskega lika, pojma … • vključuje ustrezne grafične/slikovne reprezentacije ali je nakazana povezava z vsakdanjim življenjem. 2 točki Gradivo zajema • vse bistvene lastnosti posameznega geometrijskega lika, pojma … • nima ustreznih grafičnih/slikovnih reprezentacij in ni nakazane povezave z vsakdanjim življenjem. 1 točka Gradivo ne zajema nobenega od bistvenih elementov. 0 točk Primeri opisnikov za vrednotenje sestavljenega kviza glede na dana izhodišča: Kriteriji vrednotenja - opisniki Število točk Vprašanja se nanašajo na predstavljeno gradivo in so ustrezno formulirana. Kviz vsebuje vsaj eno grafično/slikovno reprezentacijo. Število vprašanj je vsaj 5. 3 točke Vprašanja se ne nanašajo v celoti na gradivo ali so neustrezno formulirana in ali ni grafičnih/slikovnih reprezentacij ali je premajhno število vprašanj. 2 točki Vprašanja se ne nanašajo v celoti na gradivo, so neustrezno formulirana ter ni grafičnih/ slikovnih reprezentacij ali je premajhno število vprašanj. 1 točka Vprašanja so neprimerna, neustrezno formulirana, ni grafičnih/slikovnih reprezentacij in je premalo število vprašanj. 0 točk Dijaki se tako naučijo uporabljati matematični jezik pri komuni- ciranju o matematiki. Pri pisanju gradiv se naučijo pisanja ma- tematičnega besedila in nekateri se pri predstavitvi izkažejo za prave učitelje. Učitelj prevzame vlogo mentorja dijakom. Primer vrednotenja ključnih kompetenc pri tematskem sklopu Geometrija v prostoru Vrednotenje ključnih kompetenc poteka na različne načine tako, da vrednotimo individualno delo, delo v dvojicah ter skupinsko delo in sodelovalno projektno delo. V ta namen dijaki izvedejo več dejavnosti, ki so opisane v nadaljevanju. Vsaka dejavnost se vrednoti v skladu z določenimi kriteriji, seštevek točk pa določi končno oceno. 1. Fotografiranje modelov geometrijskih teles v vsakdanjem živ- ljenju. Dijaki individualno zberejo fotografije v wordovem doku- mentu, ki ga oddajo v spletno učilnico. Fotografije predstavl- jajo različne vrste geometrijskih teles (vsaj 10 vrst). Vsaka fo- tografija je opremljena z imenom vrste geometrijskega telesa, skupino teles, ki ji pripada, ter krajem in datumom posnetka. Izdelek se vrednoti glede na zahtevano vsebino. 2. Individualno reševanje kviza v spletni učilnici, s katerim se vrednoti poznavanje osnovnih pojmov prostorske geometrije (delitev teles, poimenovanje osnovnih pojmov geometrijskih teles, prepoznavanje mreže geometrijskega telesa, formule za izračun površine in prostornine, računanje površine in pros- tornine ipd.) 3. Skupinsko izdelovanje plakatov geometrijskih teles. Dijaki se razdelijo v skupine po 4 in izžrebajo skupino geo- metrijskih teles. Razdelijo si vloge/naloge in izdelajo načrt dela ter osnutek plakata. Načrt dela zapišejo na obrazec, ki ga oddajo učitelju. Vsak član skupine je odgovoren za svoj del naloge. Plakati se vrednotijo po naslednjih kriterijih: ustreznost prikazane vse- bine, prikaz informacij/matematična korektnost, grafične re- prezentacije, predstavitev vsebine plakata. IZ RAZREDA 25 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 Kriteriji vrednotenja plakata so razvidni iz preglednice. 3 točke 2 točki 1 točka 0 točk Ustreznost prikaza/ izbranega grafičnega organizatorja Naslov je viden in ustrezen. Vsebina je dobro organizirana. Naslov je viden in ustrezen. Vsebina ni dovolj dobro organizirana. Naslov je premalo viden/ pomanjkljiv. Vsebina je slabo organizirana. Plakat je narejen površno. Naslov ni viden. Vsebina ne zadošča tematiki in je slabo organizirana. Plakat je narejen površno. Prikaz podatkov/ matematična korektnost Plakat vsebuje samo pomembne informacije, ki so sistematično urejene, in je matematično popolnoma korekten. Plakat vsebuje pomembne in nepomembne informacije, ki so primerno urejene, in je matematično korekten. Plakatu manjkajo pomembne informacije, obstoječe niso matematično korektne. Plakat vsebuje veliko nepomembnih informacij, ki niso sistematično urejene. Vsebina ni matematično korektna. Grafične/slikovne reprezentacije Veliko je smiselnega slikovnega in grafičnega gradiva, ki je opremljeno s podnapisi/viri. Vključene so mreže teles. Skice so nazorne. Plakat je narejen kreativno. Plakat je manj originalen, slikovno ali grafično gradivo nima podnapisov/ virov. Vključene so mreže teles. Slike in skice so premalo nazorne. Plakat je površen in nezanimiv. Slikovno in grafično gradivo ni nazorno. Manjkajo podnapisi/viri. Manjkajo mreže teles. Plakat je neestetsko in površno izdelan. Manjkajo skice, slike, mreže teles. Predstavitev vsebine plakata Dijak glasno in jasno predstavi vsebino plakata, brez pomoči zapiskov. Povedano/ predstavljeno pokaže na plakatu. Dijak pomanjkljivo predstavi vsebino plakata, a brez zapiskov. Povedano/ predstavljeno pokaže na plakatu. Dijak pomanjkljivo predstavi vsebino plakata, pri tem se opira na zapiske. Povedano/ predstavljeno pokaže, a je premalo natančen. Dijak ničesar ne predstavi/predstavi matematično nepravilno. Slika 2: Načrt dela. Skupinsko delo – plakat Številka skupine: Načrt dela V skupini se dogovorite in zapišite, kdo bo kaj prispeval k izdelavi plakata (material, pripomočki, pisala, mreže teles, fotografije …) in kdo bo plakat predstavil. Plakat je potrebno izdelati v dveh šolskih urah, za predstavitev plakata bo na voljo največ 5 minut. Tema: Datum: Člani skupine: Vloga člana skupine: IZ RAZREDA 26 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 Pri vrednotenju lahko vključimo tudi dijake, saj so seznanjeni s kriteriji ocenjevanja. Dijaki po predstavitvi plakata zapišejo refleksijo. Pri tem jih usmerimo z vprašanji: • Kolikšen je bil tvoj prispevek k izdelku v fazi ustvarjanja? Ali si z izdelkom zadovoljen? Če nisi, zakaj ne? Ali bi pri izdelku kaj spremenil? Če bi, zapiši kaj in kako. • Ali si pri ustvarjanju potreboval pomoč? Če da, kakšno in kdo ti jo je nudil? • Ali so vsi člani skupine dobro opravili svoj del naloge? Če niso, kaj meniš, zakaj ne? 4. Kreiranje nalog na temo »Geometrijska telesa v vsakdanjem življenju in stroki«. Dijaki se znotraj skupin razdelijo v dvojice. Vsak par kreira na- logo iz stroke oz. vsakdanjega življenja, ki se nanaša na skupi- no teles, ki so jo izžrebali pri izdelavi plakatov. Eno šolsko uro namenimo iskanju virov in idej (učbeniki, zbirke nalog, spletni viri) ter zasnovi naloge. Dijaki v aplikaciji Google Drive odprejo dokument, v katerega zapišejo osnutek naloge. Vsaka naloga je zasnovana iz dveh vprašanj, vsak dijak reši eno od zastavljenih vprašanj. Učitelj pregleda osnutke in poda dijakom povratno in- formacijo v obliki komentarjev, na podlagi katerih dijaki nalogo izboljšajo in jo rešijo. Kreiranje nalog se vrednoti po naslednjih kriterijih: kreativnost, matematična smiselnost, povezava s strokovnim področjem oz. realnim življenjem, matematična korektnost reševanja naloge. Kriteriji vrednotenja kreiranih nalog so razvidni iz preglednice. Kriteriji vrednotenja - opisniki Število točk Naloga je inovativna, besedilo naloge je matematično smiselno, jasno je nakazana povezava z realnim življenjem/stroko. 3 točke Naloga ni inovativna, besedilo naloge je matematično smiselno, jasno je nakazana povezava z realnim življenjem/stroko. 2 točki Naloga ni inovativna, besedilo naloge je matematično smiselno, ni nakazane smiselne povezave z realnim življenjem/stroko. 1 točka Naloga ni inovativna, besedilo naloge ni matematično smiselno, ni nakazane smiselne povezave z realnim življenjem/stroko. 0 točk Dijaki po koncu opravljenega dela zapišejo refleksijo. Nekaj primerov kreiranih nalog: Slika 3: Primer plakata 1. V mestnem parku je skulptura krogle, ki simbolizira življenje (avtor Slavko Tihec). Površina te krogle meri 19,63 m². Nekega dne je pihal orkanski veter in se je ta skulptura zakotalila čez celo promenado. Kolikokrat se je skulptura zakotalila okoli svoje osi, če je promenada dolga 100 metrov? IZ RAZREDA 27 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 Slika 4: Primer plakata Zaključek Ob takih dejavnostih dijaki razvijajo zmožnost za zbiranje, organiziranje in analiziranje podatkov, zmožnost za načrtovanje in organiziranje delovnih postopkov, zmožnost za sodelovanje in delo v timu, zmožnost za interpretiranje in kritično presojo pri uporabljanju matematike na strokovnih in drugih področjih, kreativ- nost, zmožnost samovrednotenja, sprejemanje in doživljanje matematike kot kulturne vrednote, zaupanje v lastne matematične sposobnosti in razvijanje pozitivne samopodobe. Vloga učitelja se iz podajalca učne snovi spreminja v mentorja in koordinatorja. Posledica tega je, da je vzdušje v razredu miselno bolj vzpodbudno, učenje je sodelovalno. Učenci se učijo samostojno in drug od drugega. Ker učenci dobivajo sprotne povratne informacije o svojem napredku in napotke za izboljšave, se počutijo bolj varne in sproščene. Preko refleksij se navajajo na kritično vrednotenje dosežkov. Viri Srednje strokovno izobraževanje (SSI), Katalog znanja, Matematika. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. http://portal.mss.edus.si/msswww/ programi2011/programi/SSI/KZ-IK/KZ_MAT_SSI_383_408.pdf (17. 11. 2019) Suban, M. idr. (2018). Formativno spremljanje pri matematiki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Žakelj, A. (2012). Od preverjanja do ocenjevanja znanja. V Razvijanje in vrednotenje znanja. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. https:// www.zrss.si/digitalnaknjiznica/Razvijanje%20in%20vrednotenje%20znanja/files/mobile/index.html#32 (17. 11. 2019) http://creative.eun.org/ (17. 11. 2019) https://www.zrss.si/ustvarjalni-razred/ (17. 11. 2019) 2. Srednja šola za gostinstvo in turizem gre na ekskurzijo s turističnim avtobusom Izletnik. Na ekskurzijo gre 45 potnikov. Zanima nas:  a) Volumen prtljažnega prostora, če so njegove mere 2,15 m, 1 m in 2 m.  b) Dijaki so zraven vzeli 3 tipe dimenzij kovčkov: • 3 dijaki – 80 cm × 50 cm × 30 cm • 19 dijakov – 55 cm × 40 cm × 20 cm • 23 dijakov – 56 cm × 45 cm × 25 cm Ali je v prtljažnem prostoru dovolj prostora za vse kovčke? 3. Imamo 4 nadstropno poročno torto, ki je sestavljena iz štirih kvadrov, katerih prostornina je v razmerju 4 : 3 : 2 : 1 (največji kvader je 4-krat večji od najmanjšega ...). Najmanjša torta ima dolžino 25 cm, širino 20 cm in višino 10 cm. a) Koliko kvadratnih metrov fondanta bomo potrebovali, da obložimo torto?  b) Kakšne dimenzije naj ima škatla za skladiščenje torte? (2 cm mora biti prostora na vseh straneh torte).