MATEMATIKE OO FIZIKE ASTRONOME DM FA SRS MLADE I Z D A J A LIST ZA ; ' UVODNIK 01--------------------- Drag i bralci ! Na začetku novega šo lskega leta vas uredn iški od bor prav lepo pozdravl ja s pr vo števi lk o Preseka . Nekater i izmed vas jo do bite to l e t o že petič , dr ug i šele prvič. Naše delo bomo nadaljevali tako - seveda tud i z va š o po močjo - da boste ime li Presek r adi i n mu boste ostal izvest i . V pretek l ih štirih l e t i h je Pr e se k že prec e j zraste l , pr e bo- l e l nek a tere otroške bole zni, ki ste j i h poma gal i zdraviti v ve- l i ki meri tudi v i , d r a gi br a lc i , z a kt i vni m s ode l ova nj em. Do r a- ste l seve da še ni in nič si ne že li mo, da bi - saj bi verjetno takrat posta l počas i premalo zan i miv in bi mu zače li o brača ti hrbet. Pustimo mu torej, naj še raste, . zlasti naj se to pozna na vse bini. števi lo iz vodov prve letoš nje števi lke je okr og 23.000 in upamo, da jih bo do volj ; če smo se ušte li, bomo tega samo ve- seli in bomo številko dotiskali . še ne ka j neprijetnega bomo zapisal i: Stroški, ki spremljajo i zda j o našega Preseka, žal rastejo hitreje kot sredstva, ki jih dob ivamo iz naročnin i n iz dotac ije naših glavnih podporn ikov: Razis koval ne s kup nost i SR Sloven ije in Izobraževalne s kupnosti SR Slovenije. Tako smo morali v l e t oš nj em le tu dvigniti naročni - Ino , ki je bila nespremenjena od začetka izhajanja lista. Letna naročnina se tako poviša za skupinska naroč i la na šolah z 18 di - na r j ev na 25 dinarjev, posamezn iki l ahko dobijo l e t ni k Preseka za 30 dinarjev, cena posamezne števi lke pa je 8 dinarjev . Tud i letos smo pos lali prvo števi lko Preseka vsem l a ns ki m na - ročnikom. Aktive matematiko v in fizikov na osno vnih šolah in srednj ih šolah, kakor tudi posameznike prosimo , da nam z naročil­ nico , ki je natiskana na 64. strani te števi lke, sporočijo, kol i- ko izvodov Preseka naročajo . če smo vam pos lali prema lo i zvodov , boste manjkajoče š tevi lo iz vodov dobi l i v najkrajše m čas u. zv on k o Tro n te Zj PRE S E K UVO ONIK MATEMATIKA AS TRONOM IJ A NALOGE NALOGE - TEKMOVANJA PISMA BRA LC EV STVARNO KAZALO KRIZANKA NOV ICE - ZANIM IVOST I FIZ IKA LNO RAZMI ŠLJANJE PREM is LI IN REŠ i BISTROVIDEC MATEMAT ICNO RAZV EDR ILO REŠi TVE NALO G FIZ IKA BOLJ ZA ŠALO KOT ZAR ES NA OVI TKU LIST ZAMLADEMATEMATIKE, FIZIKE IN ASTRONOME 2 (1977/78) ŠT , 1, STR, 1-64 V SEBINA 1 (Zvonko Tront e l j ) 3 P l o š či n e mrežn i h več kotnikov ( Ivan Puce l j) 9 Pi t agorov izr ek č i g a v s i ? (Ju re Pi škur ) 11 O sosed nj i ga laks i j i M 31 (Marijan Pr osen) 15 Oddani e ner g ijski to k. . . - r eš i t ev st r . 45 (Ma r i j an Pr osen) Me rj en je brez me r i l a - rešitev s tr. 47 (Pav le Zajc) 16 Na kongr esu - r e š i t ev s t r. 44 (Dušan Repovš ) Dv e na logi - r e š it ev str. 44 (Dan ije l Bezek) 17 Šols ka i n XX I . r e publ i ško tekmovan j e iz ma tema t i ke za s red nješo lce (Edva rd Kr amar) 23 XV. rep ubl i ško t e kmovanj e mlad i h fiz ikov (Andre j LIkar ) 26 (Ma t i Ida L e n a r č i č ) 3D Presek 4 (1976/77) (Ci r i l Velkovrh) 32 (Pave l Gregor c ) 34 Prese kova z n a čka (Franci Oblak) Ple ml j eva spomi nska soba (Cir i l Ve lkov rh) 36 (Duša n Repovš ) 39 (Jož e Dover ) Skrivnos tn o spo roč ilo (Tomo Pi sanski ) 42 Cudna te htni ca (Egon Zakrajšek) 43 Topi kot j e enak pr avemu kotu ? ! - r e šitev s t r . 4B (i gor Leil er ) 44 iz P 5 (1977178) š t. 1 46 Pe š ci~ poš t a r in avtomob i l i s t (Fran c i Ob lak) 47 Št ev i Iska kr i žan ka (Pet e r Petek) 49 Ba l ist ika 1 . de l . Zgodovina t opn i š t va (Tomo Pi sansk i ) 58 Ena j s t a šo l a iz f i z i ke . 1 . Gibanj e vode in z r aka ( 1van K u š č e r ) 8 Al i že ves te? (Pet er Petek) 10 Pol odvzameš - ostane ti vse (Mari ja Munda) 25 Trome s t na števi la (Kare l Bajc) - r eš itev s t r . 48 (Roman Roj ko) Balistika (Tomo Pi san ski). SI. 2. Pregl ed " sodob- n ih" sred st ev za voj skovanje, kot ga prikaz uj e neka enci klopedi ja 1752 . I I in II I Ena j s t a šo la iz f i z i ke (I van Kušč e r) Slo 2, 4a , 4b , 6, 7, 9, 11, 12 . IV Pl emlj eva s pom ins ka soba (Fot o Ciril Vel kovr h) MATEMATIKA ___II PLOšč1NA MRE2N 1H VEčKOTrJI KOV Ravnino l ah ko prekrijemo s kvadr a tno mrežo . Izberimo v dolo- čenem vr stnem redu ne kaj vozli šč v mreži in jih povežimo z da- ljicami, pa dobimo lomnico; povežemo še končno točko danega na- bora točk z začetno daljico, pa dobimo sklenjeno lomnico. Lom- nica je enostavno sklenjena , č e nobena dalji ca ne seče kake dr uge izmed daljic dan e lomnice v notranji toč ki daljice. Vidimo, da enostavno s klenjena lomnica razdeli ravnino v dva dela, eden od delov je omejen, drugi pa rii. To kaže slika lo Z dvema enostavno s klenjenim a l omnicama lahko včasih ogradi ~ mo v ravnini li k z votlino (na primer okenski okvir ali slika 2) . če je treba , lahko z večjim številom lomnic omejimo lik, ki ima ve č votlin. Ker imajo vsi na ši več kotniki, ki jih po tej poti oblikujemo, oglišča v v ozliščih mreže, jim dajmo i me mrežni večkotniki . Vidimo, da ima rob mrežnega več kotnika vsaj eno enostavno sklenjeno lomnico . če sestoji rob takega lika iz k e nos t avno sklenjenih lomnic, rečemo, da je več k otnik k- pove za n. Poglejm o 2-p ove zan v e č ko t n ik L v s l ik i 2. Prerežimo t a lik z rezom, ki poteka od robne lomni ce do druge po notranjosti lika! Potem se ob rezu pojavita dve lomnici Z' in Z" , druga tik dru- ge . Novi li k L ' , ki smo ga dobili z rezom iz lika L , je l-pove- zan! Sklepamo : če je mre žni v e č k o t ni k k-povezan, je po trebnih k-1 r e zov , tako da dobimo 1- povezan večkotnik! Zdaj se zanimamo za ploščin o mrežnih večkotnikov . Na j pr e j glejmo l-povez ane večkotni ke . če teče rob ,1ika le po stranicah kvadratne mreže, je določitev ploščine lahka: s štet- jem določimo število kvadratov , ki jih večkotnik vsebuje. Zanimivo pa je, da lahk o p lo ščino p določimo tudi drugače : 3 4 Oz nač imo z 2' š tevilo mrež nih v o zli š č , k i l e ž e na ro bu li ka i n z n š t evi l o voz lišč zno tra j li ka. V s lik i 3 l ah ko preveri mo to le zv e z o : ( 1 ) P = n + 1"2"2'- 1 Poglej mo u t e me l j i t ev , k i pokaže, da velja ta zakon ito st za vsak l- pov e z a n mrežni v e č k o t n i k ! Najprej i z be r i mo mrežni pra vo kotn ik s st r anicama a in b , sli ka 4 . Seved a v e mo , da j e P = ab . Vidimo pa t u d i , da v el j a n = (a-l) (b-l) = ab - (a +b ) + 1 2' = 2(a- l)+2(b - l )+4=2 (a +b) i n je potem za res n + } - 1 = ab = P Pa ra zdeli mo pra vokotnik z d i a g on al o v dva mrež na pravokotna tr ikot n i ka . Di a g o nal o pr avo ko tni ka ra zd e l e mrežne točke na d d el ov; števil o d je n ajv e č ji sk u pn i d elitelj š tevi l a i n b (v s l i k i 4 je d = 4 ). Zat o im amo za š t e v il i n i n 2' t r i ko t n ika t ol e 1n = "2" (a - 1 )(b -1) - (d -1 ) 2' = a + b + d in pr av la h ko preve rimo, d a za p lošč i no p tr ikotn ik a ve lja ( 1 ) : 1 1 p = n + "2" 2' - 1 = "2" ab Zda j bomo i zpel jal i to le dejstvo: če sestoji mrež ni v e č k o t­ nik L i z dv eh mrežnih ve čkotnikov L I in L 2 , ki nimata skupne no - tranje točke, velja med p lošč inami zv e z a (2) , če le ve lja za ploščino zako nitost (1). (Privzeli smo seveda , da so L I ' L 2 , L vs i l-p ov e z a ni li k i . ) (2) p = PI + P2 To izvedemo tako le : De n i mo , da i ma t a L I i n .L 2 del roba skupen, ta s kupni del roba na j v s e bu j e 8 vozlišč mreže . Vi dno je - sli- ka 5, da je 8- 2 točk iz tega dela skupnega roba potem notranjih glede na v e č k o t n i k L. Zdaj sklepamo, da v el j a za u s t r e zn a štev i- l a v o zli š č 2' = 2'1 + 2'2 - 2 8 + 2 i n do b i mo n = ~ + n2 + 8 - 2 6 1 1 P n + "2" 2' - 1 = n I + n2+ 8- 2 + "2"2' 1 1 1 (nI + Z2'l - 1 ) + ( n2 + 2.2'2 - Malo sp lošnejš e l ah ko trd imo: če 1 + Z2'2 - 8 + 1 - 1 1) = P, + P2 ve l ja za p lošči no l- pov e za- nih mrežnih ve čkotnikov (1) in č e je ve čkotnik L unija k o n č n o mnogih mrežni h ve č kotni kov L I ' L2 , .. . , Ln ' ki par oma nima jo s kup nih notr an ji h t o č k, velj a P = P I + P 2 + + P n Naj bo zdaj T poljube n mre žni trikot ni k (sli ka 6). Pokažimo , da velj a za plo š čin o P obraz ec (1) . Na j prej ogradim o tr i kotn ik T s čim ma njšim pravo kot ni kom P (p ri m. sli ko 6 ) . Potem ra zdel i- mo P v u ni j o š ti r i h tri kotniko v T I ' T2 , T3 in T (s tujimi si no- tranjos tmi) . Za ploščin o trikotnik ov T I ' T2, T3 že vemo, da ve- l ja (1). O z n ači m o potem š tevila no t r an j i h in rob nih t o č k teh li- kov z znaki n ' , r ' , nI ' r l ' n 2 , r 2 , n 3 , r 3 ,n , r . Nada l j e oz na čim o z d l ' d2 in d3 š t ev i l a vo zli š č, ki le že zno t r aj s t r a nic tri kotni ka T . Torej velja r - 3 = d ,+d2+d3 . Potem lahk o zapišem o p( p ) = p (T 1 ) + p (T 2 ) + p (T 3 ) + p t T ) i n velj a zato zveza p t T ) p (p ) "- p (T 1 ) - p (T2 ) - p (T 3 ) = (n' + ~r ' - t ) - (n l +n2 +n 3 +i( r ,+r2 +r 3 ) - 3 ) (n' - (n, +n2+n3)) + }(r ' - (r,+r 2+r 3)) + 2 če pogledamo sliko 6, v id imo brž , da je iz ra z n ' - (n,+n2+n3) ena k vred nosti n + (r- 3) , i zr az r (r,+r 2+r 3) pa j e e nak r avno št evilu ( - r ) . Tak o i ma mo, p (T ) =n + 2 r - i n trditev j e dokazan a . Ko n č n o , če je L polj uben l- povez an mre žn i v e č k otni k, ga l ah ko r azc e pi mo na t ri kotni ke ( t o kaž e sl i ka 7); na podlagi pr e j šnjih odstavkov vel j a tudi za njegovo ploščino za konito st (') . Ka ko dol očimo pl o š či n o k- povez ane ga mre žn ega več k otnik a L s št et j em v ozl i š č, če je k ~ , ? S k-' rez i ga sp reme nimo v l-p ov ezan v e č k o tni k L ' , o z na č i mo lomnice teh re zov z l " l 2 ' . .. , lk - " Pa na j ima lomnica l, de- nimo s, vozli š č, ki ne l eže na robu ve čkotni ka , . . , P l oš č i n a ve č­ kotn ik a L se seved a zar adi teh r ez ov po vr ed nost i ni n i č s preme - nila. Ker za L in L ' veljata zvez i n dobi mo r 7 ( 2') e ' = p = n ' + .!. r ' 2 1- 1 = n + Zr + ( k -2) Vi di mo , da je (1) poseb ni pr ime r za (2'), n a m re č k = 1. Za vajo do lo č i p lo ščine večkotnikom v s likah 1, 2, 5, 7 in 8, l ah ko pa t udi v drug ih pri merih . Vi r : Hadwi ge r , H., Wi lls, J.M ., Konveksna telesa in mrežne to čke v evk lidskem prostoru, Geomet riae Ded icata 2 ( 1973 ) 2, st r . 255 - 260 . I van Pu cel j BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES~'---- - ALI LE VES TE . . . ? da je znamen iti matematik Rene Descartes ze lo rad dobro je- del. Ko so mu to nekoč očital i, je odvrni l : "Le zakaj naj bi bi le vse dobre stvari na svetu namenjene le bedakom? " kdaj je Newto n " pog r unt a l " svo j slov it i gravitacijski zakon? Ko j e sedel pod jablano in mu je sad pade l na glavo, se je domisl i l, da t udi jabo lko p r i v l a č i Zemljo i n ne le Zemlja jabolka . da je bi l grški matematik Ta les iz Mi leta zvit trgove c? Ko je nekega l e t a opazil, da bodo ol jke bogato obrodi le, je po- cen i pokupil vse stiskalnice za olje daleč naokrog. In jese- ni so mu pridelovalc i r ad i odštel i visoko najemnino zanj e, da jim le l e t i na ne bi propad la. S " pr i s l už e n i m" denarjem j e odšel v Egipt, da bi s e se znani l z dosežk i tamkajšnji h mate - ma t i kov . Peter Petek 8 PITAGOROV IZREKčIGAV SI? Temelji geometrije, ki j o poucuJeJ o na dana š nji h s rednjih š ola h, so nastali pr ed v e č kot 2000 l eti . Tedaj so s e Gr ki lo- gi č no s poprije l i z njo in j o ne sa mo p ra kti čno uporabljali, am- pa k s o jo za č el i tudi dokaz ova t i . Eden najp omembnej ših in naj- upor abnejših izre kov te dob e je zagot ovo Pitagorov Pitago ra 3,4, 5 in 5, 12, 13 pr avok ot na . Toda te ga n iso znal ido ka zati . Vede l iso, da zg or nja š t evi l a zado- šča jo e n a čbi c 2 = a 2 + b 2 • Obsta ja dom nev a, da s o ge- ometrij s ko up or abl j ali Pi- t agor ov i z r e k 1300 le t pr ed njego vi m r oj s tv om. Za t e začetke matema tike je zna či ln o , da so ljudj e, ki so j o us tv ar ja li , nezna n i . Svo j i h rlel ni so podpi- s oval i , ker mat emat ike ted a j ni so ce ni l i . Da nes j e zna ni h okol i 40 dok azo v tega i zre ka, od pre pr oste ga n a črtoval ­ nega do kompl ic ira nega kinematičn ega. Z malo št e- vilnimi izj em ami pa s o ti dokazi šir šemu krogu lju- d i nez nani. Znan o j e , da s o Ka l de j - c i že pr ed 4000 l eti ved e- l i , da sta t ri kotni ka s s tran icam i Pitago r a j e sp oz nal t a 1300 le t ' st ara pravila in j i h tudi pr i zna l. Tod a s tem ni bi l zadovolj en. Ko t pr avi Grk je hotel stvar l ogično dokazati i n na pi sati za nj o veljavno en a čb o. Po- , s t avi l si j e vpra šanji , ki s t a mu kasn e je pomagali , da je i z - r e k dok aza 1 : 9 1. a l i t o st a ro pravilo vedn o drži? 2. ali je tri kotni k vedno pr av okoten, č e sO ,nj eg ove s tr anice v ra zm e r ju 3 : 4 : 5 a li 5 : 12 : 13 ? Podrobn ost i nje goveg a dela nam ne bod o niko l i znane . Uspe lo mu je naj t i defi nici j o i zr ek a in e nač b o, ki jo je l ah ko br anil kot ob to žen ca pred s o diš č em , saj j e bil tu di u čit elj prav a. S tem je zas l ove l . V pozabo pa so ut onil i l judje, ki so pozna l i ta iz- r ek že dos t i pred Pi t ag oro . Ju r e Piškur BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES--- ---[2] PO L ODVZA MES - OSTANE TI VS E V ne ki trgovini na Mar s u so ime l i v z a č e t k u l e t a na za log i vs a nar avn a š t evi l a . Ti s t o leto so bi l a v mod i nepar na štev ila. I n zgod i l o s e je, da s o po trošniki pokupil i ce lotno za logo ne- parnih števi l , ni ti eden pa ni kup il parne ga š t ev i la . Ker j e v množ i c i nar av ni h šte vi l rav no po l par ni h, pol pa neparnih, so kupc i od ne s l i po lov ico vse za l oge v t r govi ni. Ob inventuri na koncu l e t a j e trgovec presenečen ugotovil, da ima na za l ogi š e prav tol i ko š tev il, kot ji h je i me l na začet ku leta . Pa r na š te - vi la j e pr e š t e l z naravnim i . Tako š t e j emo tudi mi. Mislil j e ; da s e j e zmo t i 1 pr i š te tju . Toda, kakor kol i je štel , vedno je ugot ov i l , da je zalo ga parnih števil, ki so mu oblež ale na pol i - cah, natanko tolikšna, kot je bila zaloga naravnih š te vi l v za - četku leta. Poskus imo še mi preš teti za logo. Imamo množico nar avnih š t e- v i l : N ~ { 1,2,3 ,4, ,n , . . . ) in množi co parnih š t ev i l P ~ ~ {2,4,6,8, ' , 2n , ) . Pr imerjaj mo množi ci tako, da združimo v par po eno naravno in eno par no št ev i lo: ( 1,2) , (2 ,4), (3,6), . . . , (n, 2n ) , . .. Ugoto vi mo , da na ta nači n pri red imo vsakemu na - r a vnemu š tev i lu n na t anko eno parna šte vi lo 2n i n vsakemu parne- mu št e vi l u 2n na t an ko eno nar avno št evi lo n . Stev i l v množic i P je torej nata nko to liko kot v množi c i N. Množi c i sta e nako močn i al i ekvipoZen t ni . 10 Mari j a Mund a ASTRONOMIJA \---~ o SOSEDNJI GALAKSIJI M31 V jasni noči brez Lune in daleč od mestnih luči poglej proti ozvezdju Andromede . Ko se oko privadi teme, opaziš blizu zvezde v šibak oblaček. Zagledal si najbolj oddaljeni nebesni objekt, ki ga še zaznamo s prostim očesom (sl.1). šele fotografski pos- netki z najbolj zmogljivimi daljnogledi razkrijejo, da je to orjaška gruča zvezd - gaLa ks ija. Opazuješ torej galaksijo z oz- nako M 31. Bolj je znana pod imenom Andromedina gaLaksija (sl.2). M31 je ena od najbližjih galaksi.j. Oddaljena je dva milijona svetlobnih let, njen premer pa meri sto tisoč svetlobnih let. Vsebuje preko sto milijard zvezd. Zvezde osrednjega dela galak- sije sestavljajo veliko svetlo j edr o, okrog njega pa se vijejo sp iraLn e veje. M 31 je spira Lna gaLak s ija (1). Slika 2 nas delno prepriča, kar so z merjenji ugotovili astro- nomi, da se galaksija vrti. Zvezde, ki ležijo v spiralnih vejah kakih 30 tisoč svetlobnih let od središča galaksije, krožijo s hitrostjo nekaj 100 km/s tako, da je njihov obhodni čas okoli 200 milijonov let. Ce bi gledali galaksijo v smeri ~jene vrtilne osi , bi videli, kako spiralne veje izhajajo iz 'jedra. Tako pa gledamo galaksijo od strani in vidimo jedro elipsasto, spir~lne veje pa stisnjene. V Andromedini galaksiji zaradi velike oddaljenosti ne moremo razločiti vseh zvezd, ampak vi dimo le tiste, ki svetijo močneje kot stotisoč Sonc. Tako je z največjimi daljnogledi mogoče vide- ti ali fotografirati številne nadorjakinje in orjakinje, kefeide, nove, krogl aste kopice zvezd (2) i n vel i ke obl ake medzvezdnega p1ina i npr a hu. Vsen a š tet e 'p reb iva 1ce" gal a ksij evA ndr om edi s o astronomi poznali že prej, saj jih najdemo tudi med člani naše Galaksije. Orjakinje in nadorjakinje so npr . zvezde, ki sevajo desettisočkrat do nekaj milijonkrat tolikšen energijski tok kot 11 Sonce . (V na ši "bl iž in i", to je v razdalj i okrog 150 svet lobn ih let , najd emo med ne ka j sto t isoč zvezdami tudi pet orjašk i h zvez d, ka t er i h e nerg ijsk i t ok je ne ka j desett isočkrat večj i od Sonče­ veg a.) Med or ja š kimi zv ezdami so pos e bno z animive kefe i de, to so zve zde , kat erih en er g ij s ki tok p er iodično utr ip a . Ug otovili s o , da j e na jv e č ji e nergijski tok kefe i d povezan z ni haj ni m ča ­ som ut ri panj a . S to zvezo d o l o č i j o astronom i razda lje do kefe id (1 ). Pr av s kefe i dami v Andr omed i ni galaks i j i so izme r ili razda - l jo do nje in nj en o vel i kos t. Ko s o d ol o čili oddal j enost M 31 , se j e pok a zal o , da je t a ga- l aksija precej podobn a na ši Gal a ksi ji po veli kost i (s amo ma l o j e v e čja) i n po l ast nos t ih pr ebi val s t va. Ugoto vi li so, da velj a med ener g ijsk im tokom in temperaturo orjakinj i n nado rjaki nj v M 31 en aka zveza kot v na š i Galaksij i. Tudi v M 31 se nahaja v oko li - ci jedra precej pr a hu in pl ina, ki zastira opazovalcem z roba gal a ksi j e pogl ed na jedro - enako kot "pr i nas " . M 3 1 i n na š a Ga l a ks i ja s ta s i podob ni tudi po t em, da j u obkroža jo kr ogl ast e kop ic e zvez d , ki so pri obeh ga l aksi ja h pr ibli žno e na ko š t ev il ne in ses tav lje ne i z podobn ih zvezd . Ta ki h podobnost i je še več, zato so opazovanja M 31 tesno po- vezana z raziskavami naše Galaksije . čeprav je M 31 dv a milijona sv et lo bn i h l e t daleč , l a hko i zmer imo pri njej ne kat er e znač i l no- Sl. 1 Ozvezdja na vzhodnem delu neba, kjer v jasnih večerih lahko opazuješ galaksijo M 31. M33 - galaksija v Trikot- niku, M 15 - kroglasta ko- pica v Perzeju. Opomba: Za opazovanje izbiraj trdo temo in jasno nebo. Pove- čava daljnogleda: 40-krat- na. Sl . 2 Galaksija M 31 s svoJIma s pr eml j eva l kama , e l i p ti čn i ma ga laksijama M 32 in NGC 205 (zgor a j ) . S prost im očesom i n da lj nog ledom ma nJse povecave j e galaksija vid na kot nežen oblaček , f otogr a fi ja z ze lo zmog lj ivim da lj nog ledom pr i osve t litv i ne ka j ur pa pokaže , da je ga la ksi ja ses t av- lj ena i z zvezd. Opomba: Za opazovanje sp remljeva l k moraš ime t i da ljno- gled z odpr tino vs aj 8 cm. 12 13 sti, ki jih pri na ši Galaksiji ne moremo določiti dovol j zanes- ljivo zaradi oblakov medzvezdn ega prahu in plina. Predv sem ne moremo videti prot i središču Galaksije , ker so v tej smeri oblaki najgostej ši. Andromedin o galak sijo pa gledamo od strani , tako da nam obla ki ne zastirajo pogleda na jedro. Tako s e je npr. izkaza- lo, da je zvezdno prebival stv o v jedru drugačno od prebiv alstva sp iralnih vej . Svetle zvezde, ki jih lah ko razločimo v j edru, so predvsem rdeče or j a ki nj e, nove zvezde ( 3) in kefeide, medtem ko lahko vidimo v spiral nih vejah zel o v ro če (torej bele in modre) nadorjakinje, kopi ce mladih zv ezd in kefe i de , ki v splošnem utri- pajo z daljšim nihajnim č as o m ( v eč kot en dan) kot kefeide v je- dru. V spiral nih vejah vidimo tudi zelo ra zsežn e obla ke medzvezd- nega pr ahu, ki svetijo z od bi to sve t l obo vro čih zvezd v oblak ih . Vse kaže , da s o te zvezde nast ale in š e vedno nas tajaj o z zgo- šč e va n j e m zelo redke sn ovi v ohl a ki h . Skor a j natanko t ak šn o pre- biva 1stv o sre čamo tud i v na ši oko l i ci , to j e v spira 1ni vej i Ga- la ksije, v kateri je Sonce (4) . Vendar je M 31 le en a od mn ogih galak s ij v vesolju. Vel i ko gala ksij je s pi r a l ni h , to je t akih kot M 31 ali na š a Gal ak sija, najdemo pa tudi galak si je drugačnih oblik: eliptične in ne pra- vilne. Galak sije ni so en ak omern o r azporejen e v pro storu. Ve čina j ih je združenih v jate , ki š te je jo od ne kaj dese t pa tud i do ve č ti s o č članov . M 31, naša Gal aksija in še okrog 30 so sed ov je vključenih v Kraj evno ja t o ( s l .3 ) . Z velikimi modernimi daljn ogledi i n radij skimi teleskopi lah- ko gl ed aj o as t r onomi do r a zda l j e ne kaj milijard svetlob nih l et. Ta pogled je razkril na desetine mil ija rd gal a ksij ( č e bi bila vsaka gal aksij a rižev o zrno, bi z njimi napolnil i kock o z rob om 10 m) in opozoril na orj a ške r az sežnosti ve so l ja. 3 1, 5 O 14 o M33 M3J o,~ M32 NGC 205 O 106sv . l . Sl. 3 Razpored i tev ga 1aks i j v Kra- jevni jati . Koordinatno iz- hodišče leži v središču na- še Galaksije. Spiraine in nepravilne galaksije so oz- načene s krožei, eliptične pa s točkami. G - naša Ga- laksija, MMO in VMO - Mali in Veliki Magellanov oblak, galaksij i - spremljevalki naše Galaksije. Glej še Proteus 39 (1976/77), str. 190 ! Opombe: (1) Poglej še: a) F. Hoyle, Aetronomi ja ; Ljubljana, MK 1971, str. 282; b) F. Avsec in M. Pros~n , Astronomija , Ljubljana, DZS 1975, str. 147 do 164! (2) Presek -i (1976/77) , str. 32 i n 154. (3) Presek 3 (1975/76), str . 189 . Glej še nalogo Oddani energ ijs ki tok nove ob izbruhu Zeta 1885 v gaZak~iji M 31. (4) Presek 2 (1974175), str. 108 in 109 .- I Ma rijan Pro s en NALOGE I Oddani energijski tok nove ob izbruhu Zeta 1885 v gaZaksiji M 31 . Samo v jedru galaksi j e M 31 so zabe l ež ili preko 100 i zbruhov nov. Na j sve t l e j- š i j e b i l l eta 1885 . Ob vi šku j e svet i l a nova s sijem +7m. Ko l i kš en j e b il ted aj e nerg i j ski tok nove v pri me r i z energij skim tokom Sonca? Sij Sonca j e - 27 m, razdalj a do Sonca 15. 1010 m, razdal j a do M31 pa 2.106 sv . let (1 sv . l e to » 9 ,5 .1015 m) , Ka j j e s i j, preberi v (lb) na st ra n i 21 t Marijan Pr osen MERJE NJE BREZ MERILA 1. Ka ko odlijemo iz polne val jaste posode polovico te kočine ? 2 . Kako bi to storili, če ima posoda obliko kvadr~ 3 . In kako bi odlili tekočino li z polnega kvadra, da bi ostalo le 1/6 tekočine? PavZe Zajc 15 NA KONGRES U so se zbrali nena vadni ljudje . Ce sta se dva po z na l a , potem na kongre- su n ista imela noben ega skup - nega znanca, v nasprotnem primeru pa na ta n ko d va . Doka- ži, da so imel i v si ude ležen - ci kongre s a enako š t e v i l o znancev na tej prireditvi . Du šan Repov š NALOGE ,- DVE NALOGI 1 Najmanj koliko rezervnih gum mora vzeti voznik na 4200 0km dolg o po t , če je živl jen js ka doba posame zne gume 24000 km in so ob startu vse gume nove? 2 V hr ibi h se je s r e č a l a družba treh p lani ncev. Sed 1i so k ma- l ici in ke r prvi ni imel ničesar za pod zob, je drugi k skupni malici prispeval dv e, tretji pa tri konzerve enake vrednosti. Za uslugo jima je pr v i ob odhodu pustill0din. S tem pa jima je pustil tudi zanimivo vprašanje : - Ka ko si najbolj pravi Čno razdej iti denar? Danijel Be zek 16 NALOGE-TEKMOVAN.JA ~------------------------- SOLS KA IN XX I . REPU BLI SKO TE KMOVANJE I Z MATEMATIKE ZA SR EDNJ ES OLC E Dru štvo matemati kov, fi zi kov i n astronomov SR Slovenije je t udi leto s organiz iralo tekmovanje sre~nješolcev v matematiki. Tako kot že predlani in lani s mo tudi letos pr ipra vili po sr ednjih šola h najprej predtekmovanje, ki naj bi zajelo čim v e č šo l i n č i m več dija kov . Razpis obe h stopenj te kmovanj smo pos - lali na 63 srednjih tehničnih šo l in gimnazij v Sloveni ji. Od teh se je 30 šo l prijavilo z ok ~og 1600 d ijak i. Vsem tem smo poslali naloge, ki jih je izbra la in razmnožila tekmovalna komi - s ija za repub li š ko tekmovanje mladih matemati kov . Sol s ka tekmovanja so bi la 13. mar c a 1977 na vs e h š ola h i s t o- časno . 25 šol je nekaj dni pozneje poslalo poroči lo o predtek - movanj u in predl ag al o po ne kaj dija kov za repu bli ško tekmovanje . Iz pos lanih poročil lahko sklepamo, da je dejansko tekmo va lo okrog 1100 dijakov , kar j e približno enako šte vi lo kot l a ni. NALOGE S PREDT EKMOVANJA 1. razred )'. Dokaži, da pri poljubnih pozitivnih števi I ih a in b velja (2ab)2 'f a2 + b2 a- b 2 Pri kakšnih številih' a in b velja enakost? 2 . Pokaži , da so š t ev i l a x, y , Z, za katere velja x ~ y ~ z > O, dolžine vi- --' šin ka kega tr ikotnika natanko tedaj, ko je izpolnjen pogoj l/z < l/y+l/x ! ~' Poi šči vsa naravna š t ev i l a s tole lastnost jo: če to število zapišemo v de- ~ setiškem sistemu (brez ničel na začetku!) in nato vrstni red cifer obrnemo, dob imo zapis tega števila v štiriškem sistemu! , 4. Diagonali trapeza delita srednji co na tri enake dele . Dokaži , da je ena os- novnica dvakrat dalj ša od druge! 2. razred 1. Dokaži rel acijo 3/ 10g2x + 2/log3 x + 1/10g 4x 1/ 1og2BBx 17 2 . V r avn r n i J e dana pr emica p ter t ak i r az l ič ni točki P in Q na ist i s t r a - . ni pr emice p, da pr emic a skozi P i n Q n i pr avokotna na p . Konst rui raj tr i ko tnik , ka te rega ena st rani ca l ež i na pr emici p, točki P in Q pa s t a nož i š č i v i š i n ! 3. Dokaž i , da so v pol j ubnem tra pezu preseč i šče d iagona l i n ra z po l ovi š č i os novn ic kol i nea r ne točke! 4. Dve točkasti te lesi enakomerno kr ož ita po krožnic i z obsegom s . Pr i kro - že nju v na sp ro t ni h smis li h se srečujeta vs ak i h t t se~und, pr i kroženju v i s t em srn i s lu pa vsak i h t 2 sekund eno t e 1o preh i t l drugo . Izraču naj njun i hitrosti! 3 . r azred 1. Dokaž i , da so pr i vsakem tr ikotniku dolžine s trani c a , b , o , koti ~ , a , y i n polmer r trikotniku očrtanega kroga v tejle zvez i : a 2 + b 2 - 02 = 8r2si n~sinacosy 2 . Za katere vrednost i rea l nega š tevi la m je enačb a co sz + 13 sinx = m r e šl ji va? 3. Poi š č i korene enačbe f (x-a ) = f( a), če j e f( x+a) = x 2+x+1 in a dano rea l- no štev i lo ! 4. Enačbi ax 2 + bx + o = O in cx 2 + bx + a = O, kje r j e a .o # O in a # o , ima ta sk upni koren. Dokaži , da j e (a+o ) 2 = b2 4. ra zr ed 1 . Dana je t ri ko t na t ab l i ca sestavljena iz zapor ednih lih i h štev il 1 . v r s t ica 2. 3. 4. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Do loč i vsoto števi l v n- t i vrstici! 2. Naj bo x , y ~ O. Dokaži , da ve l j a neen akost n n ~)n~~ 2 2 za vsako nar avno š tevi lo n i Kdaj ve l ja e načaj? · 3. Izr a čuna j vsot o 1 1 1 1 l! (n-1) ! + 2! (n-2)' + 3 ' (n-3 )! + .. . + 7(n- _--:1'"')--;!71" 4. Poi š č i geometr ijsko mesto središč krogov, k i gredo skoz i dano točko A in na abscisn i osi odrežejo odsek dane do lžine! Tekm oval na komis ija j e za r e publi šk o te kmo va nje iz pos la n i h pred logov i zb r al a 156 d ijako v (1.r . -26, 2 .r . -53, 3.r .-43 , 4 .r . -34) . Repub lišk o te kmov anje je bi lo 9. aprila na gimnaz ij i v Novem mestu. Akt i v profesorjev matema t ike i n f i z ik e ' nov ome š ke gi mnazi j e j e s fi n a n č n o p om očjo pokrov itelja Tov a rn e zdravil " Kr ka" i n šte - v ilnih d ru gih kolektivo v od l ič no pr i pra vi l te kmov an j e. Po pozd ravnem nagovo r u ravnate lja gimnazi j e prof. F . Hočevarja 18 Dijaki pr i reševanju na log na repu bli škem t ekmovanj u 1977 REPUBLI$KO TEKM OVANJE IZ M ATEM ATIKE ZA SREDNJESOLCE Naslovna st ran biltena , ki so ga i zda l i prizad evni orga niz ator ji . in okusnem pr igrizku so dijaki ob 10h pr iče li z reševanjem nalog, ki jih je pripravila t ek moval na kom i s i j a . Po napornem dopo ldnevu so dija ki odšli na kos i l o, za tem pa na prijeten izlet v Kosta- njevica na Krki. Medtem je komisij a pregl eda la izdelke in dolo- čila nagra jen ce. NALOG E Z REPUBLiŠKEGA TEKMOVANJA 1. razred X:' Izračunaj ploščino trikotnika, če je en kot 600 , drug i 450 in je dolžina na j da l jše s tran ice enaka 1 ! 2 ~ Poi šči vsa nar avna števila n, za ka t ere je štev ilo 2n+1 deljivo s 3! Od- govor utemelj i! -3-:' Naj bom število deliteljev naravnega števila n. Dokaži, da je produkt nj egov i h de l i t e l j ev enak ;nm ! 4. V ravnini imamo premico p in točki A in B zunaj premice. Poišči na premi- ci tako točko G, da bo kot med premico i n poltrakom (G,A) enak kotu AGB ! 2 . raz red 1. Dokaži, da je vsota razdal j točke od nosilk stranic pravil nega mnogoko tn i - ka neodvisna od mesta točke, če je le točke znot raj mnogokotnika! 2 . Dani sta premici p i n q ter na premic i p točka A, ki ne leži na q . Konstru- i raj krožn ico , ki ima središče na premici p , gre skozi točko A i n se doti- ka premice q ! 3. Dokaži najprej, da velja k (n-k+l ) ~ n , če je 1 ~ k ~ n in potem, da za vsa- ko naravno štev i lo n velja nll . l. 3...n ~ ln JIDokaži, da enačba 16 + 4x = y2 - x 2 ni rešljiva v naravnih števil ih! 19 2z 2--= x l+ z 2 pol ovi čni obseg , R po lmer očrtanega Dokaži, da je tr i kotn ik pr avoko ten na t an- pri čeme r sta m i n n poljubn i naravni š t ev i l ; 3 . r az red l . Pravokotn i triko tnik z dano v išino (na hipotenuz o) zavrtimo za 3600 okrog premice, k i gre skoz i vrh pravega kota i n je vzpo redna s hipotenuzo. Dolo- č i st ran ice trikotn ika, če veš, da je vsot a površ i n, ki j i h pr i vrtenju op išeta katet i, k krat večja od površine, k i jo opi še h ipotenu za! Za kate re vrednost ištevi la k je naloga rešl j iva? 2. Dokaž i, da j e za poljubna razl ična cela š t ev i l a a , b, o š t evil o (a-b) 5 + (b-o) 5 + (o-a) 5 deljivo s številom S(a-b) (b-o) (o-a) ! 3 . Po išč i rea lne reš i t ve sistema enačb k 2 = y, ..l:li. = z , 1+X2 l +y2 4. Za pol juben trikotnik naj s pomeni kroga in r polmer vč rtanega kroga. ko t edaj , ko ve lja s = ZR + r ! 4. raz red 1 . Izračunaj vsoto ulomkov večj i od 1! mn 2. Označimo z F i n G gorišči elipse z enačbo x 2+4y2 = 12. Za katero točko T na el ipsi bo polmer t rikotniku FGT očrtanega kroga najmanj ši? 3. Naj bo p (x ) polinom s celoštevil čn im i koef ic ient i i n naj za t ri ra zl i čna cela štev ila a , b in o velja pla) = P(b) = p(o) = l. Pokaž i , da e nač ba p (x ) = O n'ima nobene ce loš t ev i l čne reši t ve ! 4. Splošen tetraeder z ogl i š či ABCD presekamo z ravnino, ki je vzpor edna z robovoma AB in CD in leži med tema robovoma. Kj e .:naj leži ta ravnin a , da bo ploščina preseka največja? Ob 17h so se dijaki, . č l a n i tekmovalne komisije in ostal i pro- fesorji zbrali v av li Tovarne zdravil "Krka" na svečano razgla- sitev rezultatov. Letos so priznanja prejeli : 1. razred: 1. nagrada: Boris Majaron (1. q i rnn az i j a Ljubljana) Maks Romih (I. gimnazija Ljubljana) II. nagrada: Joni 2nidaršič (gimn. I .Cankarja Ljublja- na) Bojan Hvala (gimn. J . Vege Idr ija) Pohvale: Igor Bahovec , Tone Ve rbovšek, Tomaž Zwitter in Helena Burger. 2. razred : II. nagrada : Jure Piškur (gimnazija Celje) III . nagrada: Mark Pleško (VII.gimn. Ljubljana) Ferdo Humski (gimn. M. Zidanška Maribor) Janko Petrovčič (El . sred. šola Ljublja- na) 20 Pohvale : Dušan Fliser, Bor is Pet e l i n , Marko Lov- rečič, Meta škap in, Aleš Kregar, Breda Avsenik, Gregor Gruden, Fe li ks Starič, Cveto Gregorc, Ester Zimic, Nada Obad, Borut Robič, Gr~gor Kovačič in Jurij Kov ič. Pohvale : II . nagrada:4 . razred : 3. razred: III. nagrada: Edmond Rusjan (I. g imn. Lj ubl j ana ) Mihec Florjančič (gimn. M. Zidanška Ma- ribor) Božo Viher, Andrej Kores in Marko Majer. Gorazd Cvetič (gimn. M. Zidanška Mari bor) Matjaž Vidmar (gimn . Nova Gorica) Pohva le: Monika Kapus, Franc i Padežnik, Marko Kogoj, Ljubo Petkovič in Vili Harb. Za zvezno tekmovanje s rednješolcev v matematik i, ki je bil o letos v Velenj u, je tekmo valna komisi ja do ločila 14 dijakov. Edvard Kramar KO MISIJ I ZA TISK pri DMFA SRS (o snovna šola,gi m.,strok .šola) . 197 . (kraJ l n da t um) Ljub lj a na , J adransk a c . 19 pp 227 N ARO čAM O izvodov l is ta za ml ade matemat ike in fizike ter astrono- me PRESE K - V. letnik za šol s ko leto 1977 /78 po 25 .-d in. Naročnino bomo na kazali skupa j ali v obrok ih naj kasneje do . 197 Na r očamo š e . . . . kom Pr e s e kovi h z n a č k , kom srebrnih in . . . . kom bro nasti h Pl eml j evi h z n ačk . Skupa j kom značk po en ot ni ce ni 10 .-d i n. (prl lmek ln lme , t ls kano) (pOdplS) 2 1 PRE S E K List za mlad e matemati ke, f i z ike in astronome. 5, letnik, šo lsko le to 1977/78 , l. štev il ka, septembe r 1977, str. 1 - 64 Izdaja Društvo matematikov , fiz i kov in astronomov SR Sloveni j e . Uredn i ški odbor : Vladimir Batagel j, Danij el Bezek, Andrej Cadež (ur edn i k za as tronomijo), Jo že Dover , Tomaž Fortuna , Pavel Gregorc, Marjan Hribar (ured- ni k za f i zi ko), Andrej Kme t, Ljubo Kost revc, J ože Kot nik, Mati Ida L e n a rč i č, Norma Man koč-Bor štni k, Franci Obla k , Peter Petek ! Tomaž Pi sanski (uredn ik za matemati ko), Tomaž Skul j , Zvonko Tr ontel j (odgovor n i urednik), J anez Strnad (g l avn i ur ednik) , Ma r ijan Vaga ja , Ciri l Vel kovr h (ur edn i k) . Rokop is s ta na tipkali Metka Zitni k in Anuša Rode , jezikovno ga je pr egl edala Sandr a Obla k , opr emi la pa s ta ga Bo ru t Dela k i n Vi šnj a Kovač ič, sli ke j e na- risal Slavko Lesn jak. Dopise pošil jajte in li st na ročaj te na naslov : Komis i j a za t isk pri Društvu ma t ematikov, fizikov in astronomov SRS - PRESEK, Jadranska 19 , 61001 Ljublja- na , p.p. 227 , tel . 65-061/53 , š tev . ž iro računa 50101-678-48363, dev izni ra - ču n pr i Ljubljanski banki štev. 3 20 09 - 007-900 . Na ročnina za šols ko l e t o je za posamezna naroč il a 3 D . - din , za skup ins ka pa 25 . - din; za i nozems t vo 2 $ = 36 .- din, 1300 .- Li t, 36.- Asch . Posamezna številka s tane 8. - din. List sof inancirajo republ i ška i zobraževalna skupnost in t emeljne izobraže- va lne skupnosti v Sloveniji ter razi skoval na skupnost Sloven ije. Ofs et tisk časopisno in grafi čno podjetje "DELO", Ljublj ana . List i zhaja š t i r i kra t letno v nakladi 23 .000 izvodov . © 1977 Društvo mat emat ikov, fizikov in astronomov SRS. SGP " STAVBENIK" KOPER, n . s ol .o ., s svojim i temeljnimi orga niza c ijami : TOZD GRADB ENA OPERATIVA OBALE TOZD GRADB ENA OPERATIVA LJUBLJANA TOZD OBRTNISKI OBP.A TI TOZD AVTO STROJ NI PARK TOZD GRADBENI POLIZDE LK I TOZD PROJEKT IVNO KONST RUKCIJSK I BIRO TOZD DRUZB ENI STANDARD SDS SKUPN E SLUžB E 22 30 LET O B S T O J A XV. REP UBLI SKO TE KMOVA NJ E MLAOI H FIZI KO V Letošnje republiš ko tekmov anje mladih fizikov je pote kalo v Skofji Loki, v prostorih osnovne šole up. Kavf i f a " . Tekmovanje je organizi ral aktiv profesorjev za fiziko gimn azije v Skofji Loki , pokroviteljstvo pa j e prevze la Obfinska sk upšf i na in druž- benopo litifne organizacije Skofje Loke . V soboto, 14. 5.1977, se je zbralo 116 srednješolcev iz 20 slov en skih srednjih šol. Po pozdravnem na90v oru predstavnika pokr ovitel jev tekmovanja so se te kmovalci spoprijeli z nalogami . Za re ševanje nalog so imeli na voljo dve uri in pol. Po kosilu so t e kmovalci odšli obi s ka t par- t izanske Dražgoše, medtem pa j e števil na komi s i j a pre gledala iz- del ke . Nagrade so dobili na sled nji udeleženci: 2. razred Gomil šek Kazimir Gimnazija "M.Zidanška" Maribo r 3 . nagrada Pl eško Mark VI .gimn~ zija Ljubljana 3. nag rada Jošt Matjaž Gimnaz i j a Celje 3 . nag rada 3. razred Gruden Darjo Gimnazija Nova Gorica lo nagrada Jericijo Oskar Gimnaz ija Nova Gor i ca lo nagrada Kores Andrej I .gimnazija Ljubljana lo nagrada Zlajpah Dejan Gimna zija Celje lo nagrada Grl icarev Igor I .g imnaz i ja Lj ubljana 2. nag r ada Č e t i n a Matja ž Gi mnazija Celje 2. nag rada Mla kar Pr imož I -s imna z i j a Lj ublj ana 3. nagrada šetina Janez Gimnazija š entv id 3. nagrada 4. r az r ed Cveti č Gora zd Gi mna zij a "M.Z idan ška" Maribor lo nagrada Zlajpah Leon Gimnazija Celj e lo nag rada Vidmar Matjaž Gimnazija Nova Gorica 1 . nagrada Šu šter šič Luka I .g imnazija Ljubljana 2. nagrada Miku ž Marko I .g imnaz i ja Ljublj ana 3 . nagrada Pad e žni k Franci Gimnaz i ja "M.Zid an ška" Maribor 3 . nagrada Kapus Moni ka Gimnaz ija "M.Zi dan š ka" Maribor 3 . nagrada š e 19 tekm oval c ev je dobil o pohvale. Za zvez no te kmovanje s o bili izbra ni vsi nag ra j eni t ek mova l c i iz IV. razreda te r te kmov al ci iz III. razreda, ki so os voj i l i 1. ali 2 . nagrado. Poleg teh je bil i zbran še J e n č i č Mišo iz 4 . r az- reda Gimnaz ije "I.Cankar", Ljubljan a, ker je dobil 3. nagrado na lanskem zveznem tekmovanju . Tekmovalci so na preizkušnji dobili tele naloge : 2 3 t:,.~D ' .- n IA ...M--t'..Q......·\j .II. razred ,v~v-_ -"-,i ..! t '""'-i- ..... J ·.~v "'''f r; _ ...... '0 ':~- ,_ ...lo' ...c: ' .. ': = ' ( .... t ... .....~.~ .... ~. ~ ~_ .• " .':;. ':"' - 1' ...~ "' : ~. josip .Pl.e~11~lf .- ob st6+~lril<;i_ /9.jstva ~ .. J:-:li'.-II;' ::: v. . ~, -:;:+\ '.._, _1 .• , ...- r, ,,:,.• , . ~J ... .;::::: :.. ._ !. _ _ . ..... .....l.., ..:..._ .•: I van VId av -!' ~ .... ~_.~ . " ........:.A.' ~ . ...... ....L t I 'tt 1 34 PLEMLJEVA SPOMI NSKA SO BA Letos maj a j e minilo deset let, odka r je um rl naj večji s l oven- s ki matema ti k ak ademi k prof . dr. J os i p Plemelj. Po svo jih delih (29 znans tven ih člankov in 5 knjig), za katere j e dobil več pr i- znanj i n odlikovanj, je bil znan širom po svetu. Bil je prvi rektor slovenske univ erze v Ljubljani, član štirih akademij , č as t n i č l a n Zveze društev matematikov, fizikov in astronomov Ju- goslavije in č a s t n i doktor tehničnih fakultet v Ljubljani. Društvo matematikov, f i zikov in a s t r onomov SR Slovenije je pred nekaj mese ci uredilo spomi nsk o s obo v njegovi ~ i ši na Bledu, Pre š ern ova 39 . V njej so razstavlje na vsa njegova dela , najpo- membnejša od li kovanja, priznanja, listine imenovanj , upodobitve slovens kih sli karjev Božidarja Jakca , Mira Subi ca ter Ivana Vav- potiča, plaketa Janeza Severja ter dopr s ni kip Bo ri sa Ka l i na . V sobi je tudi pregleden pano s podatki iz njegovega življenja in ve č osebnih predmetov. Obiskovalci si za simbolično vs t opni no (odrasli 4 . -din, voj a- ki in učenci do 20 let ter vodje s kupin brezplačno) lahko ogle- dajo sobo z razstavljenimi predmeti sk or a j ob vsakem č a s u. K l j u č hrani v nepos redni bližini Plemljev eg a doma družina i ng . Bena Plemlja, Prešern ova 31, t e l. št. 064 - 77 322. V sp ominski sobi je na vol jo t udi br ošura o prof. Plemlju (51. 1), ki jo j e napisal pr of. dr. Ivan Vidav ( 10 .-d i n ) , raz- glednica ( Sl . 2 ) z reprodu kcijo J a k čevega portr eta ( 2 .-din) te r zlata Plemljeva značka (Sl . 3 ) (10.-d in), katero je mogoče dobi- ti le tu . Medtem ko lahko naročite bronasto i .n s r ebr no po isti ceni pri Komisiji za tisk DMFA SRS, 61001 Ljublj ana, Jadr an s ka c . 19, pp 227 . č l a n e Društva ma tematiko v , fizikov in a s t r onomo v SR S, pr edvsem pa vs e Plemljeve učence vab imo, da si ogleda jo nje gov o s po- minsk o so bo . Se pra v pos e bej pa p ripo ročamo obi s k šolsk i mla di ni. Na eksku rz i j i po Go - renj sk i s e ustavite t udi na Ble du , da bos t e mim o s love nski h pesnikov in pi s ateljev sp o- znali tudi veli kega matematika in zavedn eg a Sl. 3 Slovenca . Ci riL Ve Lk ovrh 35 .., FIZIKALNO RAZMISLJANJE VZE MIMO KOZAR EC VODE in vrzi mo van j kocko ledu . Al i se gladin a vode kaj s pr em eni, ko se koc ka sta li , če je bi l a zač e t na tempe- ratura vode v kozarcu blizu ledišča, t ako da se gostota vode po stal itvi kocke ni sp remenila? 4 K PRIJATELJU PRIDEMO NA OBI SK in post reže jo nam z vročim čajem . K s kodel ici priložijo tudi ž l i čk o , da bomo z mešanjem čaj hit- reje shladili. Ali se bo vroča te kočina ob mešanju res hitreje ohladila? V GLOBO KEM MORS KEM KANALU spust imo v mor j e dve cevi, narejeni de nimo i z svinca . Prva naj bo zap rta na obeh konceh, druga pa le na enem. Pomisli, ka j - se bo zgodilo z nj ima v ve li ki globi- ni? 36 . .. .. ... .. ~ - :> <.----- - POSTAVIMO NA KUHALN IK ve čji lonec in nalijmo va nj nekaj vode . Vzemimo manjši lone c in ga napolnimo z vodo, nato pa ga posta- vimo v večjega . Pri žgimo ogenj. Voda v veli kem lon cu kma l u pri- č n e vret i. Ka j pa v malem lonč ku ? MORJ E JE, kakor vemo , SLANO. Van j prite kajo r eke i z vseh kon- cev sveta, toda morje je ka r naprej enako slano . Zakaj? ·T NA MIZI leži veli k žebe l j . Ka ko mu moramo približat i podkvasti ma gne t , da bo pritegnil oba konca žeblja nae nkr a t ? 37 ODGOV ORI 4 Kos ledu v mislih izre ž imo i z vod e in ga stalimo, nato pa ga vl ijmo nazaj v "odprtin e". Le-ta se s e v č zapolni do vrha. Gladi- na se torej ne spremeni . S Oh lajan je č a j a s koz i stene in dno s kode l i ce je zanemarljivo v primer i z oh lajan j em zaradi izparevanja na površju tekočine. Ce pusti mo č aj pri miru , pr ide v čaju do naravne konvekcije : vroče plas t i na povr š j u s e ohladi jo in se spuste k dnu, na vrh pa se povz pnejo t oplej še plasti. Ce č a j meš am o , je temperatura po sko delici pr i bl i žno kons t antn a , za t o je t emper a t ur a na površju v p ovp reč j u vi šj a od temperature, ki bi j o iz me r i l i na gladini pri mi rujočem č a j u . Ker se pa rni tlak hitr o veča z r astočo tem- peraturo, se znatno pospeši izparevanje t e kočine in s tem ohla- jevanje čaja v skode l ici (izpar i lna top lota za vodo je 2 ,26 MJ /kg) . 6 Cev , ki j e zaprta le na enem koncu , bo osta l a nespremenjena , s a j bo tla k v nje ni not r a nj os t i ve s ča s en a k tla ku v okoli š ki vod i na dani glo bini . Cev, ki je zapr t a na obeh konce h , i ma v not ran jos ti tl a k zemeljske a t mosfer e na mors ki gl ad i ni , za t o jo bo v vel ik i glob ini h i drosta tič ni t l a k popolnoma ... zm e čka l. 7 Oba l onca s ta odprta, tako da l a hko voda prost o izpareva v zra k. Tempe r a t ur a vre le vode v ve li kem lo ncu je okoli 1000C, toploto, ki jo odnaš a par a , sproti nadomešča top l ota iz gori lnika . Top- l o t o , ki jo odnaš a para iz malega l o n č k a , nadomešča top lota , ki prite č e skozi stene lončka iz okoliške vrele vode. Temperatura vode v lonč ku j e za to vselej nižja od tempe ra ture vode v vr elem loncu . Voda v l on č k u ne vr e, vendar pa močno i zparev a. 8 Ke r mJr s ka voda nepresta no i z pa r eva . 9 Glej sl iko: (T težišče žeb lja) Dušan Repovš 38 P R E M IS L I IN REŠi---~ Za na logo i z Preseka IV/ 3 smo pr ej el i 64 re š i t e v . Vse kaže , da j e več ina pozabi la na pr es topna l e t a , ko j e l e tni ca deljiva s 100 oz i roma s 400 i n l e dva reševa lca sta to nave d la v reš itv i! Pr'av l l no so nal ogo reš i l i : Boj ana Ažman, o .š. A.T . Li nhart, Radovlj ic a ; Mar j an Baša, g imnaz i ja, Pos t oj na ; Marj a Bešte r , g imnaz i ja , Kranj ; Miran Bi z- jak, g imnaz i ja, Tolm in; Tone Bregar, I. g imnaz ija, Lj ub l jana ; Jas na B r ov č , g imnaz ija, Tol mi n ; Stanis l av Cerar , o.š. Radomlj e ; Tomaž Cokan, o .š. Prule , Ljublj ana ; Boj an "H vala , gi mnazi ja, Id r i j a; Zivana Ib ra imov, gimnaz ija , Cel je; Minka Ivanu ša , g imnazija , Ptuj ; Sta nko Kajba, g imnaz ija , Celj e ; Mi t j a Kal i - gar ič , o .š. Vojka Šmuc, i zo l a ; Ma rko Kogoj, g imnaz i j a, Jesenice; Berta Kotar, o.š. Kostanjevica na Krki; Bor i s Kramžar, g imnazi ja, Cel je ; Igor K upč ič, o.š . Ruše; Andra ž Legat , g imnazija, Kranj; Ja nko Mi vše k, o.š. Zi r i ; Moj ca Mivšek, o .š. Zi ri ; Ladka Ml aka r , g imnaz ij a Novo me sto ; Bar ba r a Mot n i ka r , o .š . Fr . Al br eh t , Kamnik;S rečko Na t e k, gimnaz i ja , Cel je ; Polo na Nova k , I. gi m- nazi j a , Lj ublj a na; Nada Obad , g imnaz ij a, Koper; Ma r i ja Or ažem, o .š . F. Pr e- šeren, Ribni ca; Brane Penca, g imnaz ij a , Novo mesto ; Ve sna Pir š i č , g imnazija, Kočevje; Samo Piu zi, g imnazij a , To lmin ; He l ena Povše , Ur šna se la; Mojca Rahne , gi mn az ij a, Beži gr ad; Tatj ana Repan šek, gimna z ija, Kamni k; Hel ena Reš- č ič, g imnaz i ja, Kamn i k; Vida Ru s, g imnaz ija, Kočevje; Dejan Si mi c , o.š. Ste- van S in~e l ic, Vel . Popov ic : Darj a Slape rnik, o . š . Kanal; Alenka St resen, "o .š. R. J a ko pi č , Lju blj ana ; I r ena Škof, gi mnaz i ja peda g . smeri, Ljublj ana ; Igor Šušta rš ič, Novo mes t o ; Majda Tominec , o.š . F. Bukovca , Preska ; Mart a T r če k , o .š . Ziri ; Leon Zore, Hr ast ni k; Maj da Zupanc , TŠC Celje; Vesna Zupan č i č , o .š . Vavt a vas; Samue l Zbogar , g imnaz i ja , Nova Gor ica. Obj avlj amo reš i tev, ki nam j o je posl a l Tomaž Cokan : Leto, v 1:at81'1n ima f ebruar' .5 nede lj , mora bit<: prestopno, 1 . f ebr'uc).Y' ra mora b·iti nedelja . Vsaf:e 4 Leta se premakne dan v tednu za 5 napne.] , KeY' je leto 2000 deljivo s 400 i n je prestopno, ni komp~ikacij. Najmanjši sk upni večkratnik št.ev i. l: 7 (č teoi to dni v t ednu ) in .s (š t ev iZo premika dni V t.ed nu ) je J,) . Nedelja bo 1 . f eJJi'u aY'ja ponovno Ila prestopno leto, ko se bodo dneo i. v tednu premaknili naprej 3a ;).5 dni , kar je 7 kra t: 5 dni 02 . ? kral; 4 teta.• topej 28 Le t., Febr-uar bo imel .5 nedel j l et.a 2004. 1976 -/ 28 = 2004) Izžreban i so bi li : Stanko Kajba , g imnaZIJa, Cel je; Ba r bara Mo t n i kar , o.š . Kamnik; De j an S imic, o .š. Vel . Popov ic . Za nag rado prejme jo knjigo : BATAGELJ -PI SANSKI : Rešene na loge i z matema t ike Z re publ iških tekmovan j I. II . Jo že Dover 3 9 SKRIVNOSTNO SPOROčILO - 4 c: 1 "lktr '": "1 -1'- Zagotovo ste že razmišljali, kako lepo bi bilo, če bi imeli na voljo tajno pisavo . Lahko bi pisali pisma po mili volji. Le tisti, ki bi poznal skrivnost tajne pisave, bi jih znal prebra- ti . Ali res? Pred nami je sporočilo, napisano v taki tajni pisa- vi. ~ c. , i , eJ'\ =o ~- Č 'J HI 'U., '><- ....... iT~ =- ? 0141' 4\T § . ',. J c,,:sJ;"<"'"{ f I~ ~/J Y 'lit- 4' ~~- ®~~\l:;.'Wt:\lt " J tttl\ '}) ~gl-_~'-' C t!7.:\l} I\ \,-) C H ' F,T HI [C~'It ~I \ .; \1 " e Y J ( J "O '. I - :! 1\f:ll\:i\t n 9 ~,2tnr f "'III ~~ , , ::, j \ '~ ~ ~ . J i:l=f: 1lt \ • \1 ~ Lr. ~ -'\ ( Aj~ El l~ / 11 "l ir1~ q Lj III ~ '2. '\ \ ~\ -. 3ft \ 3 f1t fi' ~ ·/>j Q. II , l I~; 4.J I ':. I , I rL c---.. ~._-~.~. -- A t·~ J ~ Na prvi pogled je nemogoče prodreti v skrivnost pisave. Kot pravi detektivi začnimo z najpreprostejšo možnostjo. Domnevajmo, da je sporočilo napisano v slovenščini . Domnevajmo, da je vsaka črka zamenjana z določenim znakom, npr. namesto A piše +, name- sto B stoji - , namesto C je S in podobno. Seveda ne vemo, s ~a ­ terim znakom je v resnici zamenjana črka. če bi to vedeli, bi preprosto prebrali, kaj piše. če bi hoteli preskusi ti vse možno- sti, bi obupali. Znak + lahko pomeni katerokoli od 25 črk ali presledek, torej 26 možnosti. Znak - lahko nadomešča kateregakoli od preostalih 25 znakov. Naslednji znak lahko pomeni enega od 24 znakov, naslednji enega od 23 znakov in tako dalje. Preizkusiti bi torej morali 26 x 25 x 24 x ... x 3 x 2 x 1 = 40329146112665635584000000 možnosti. Na videz nerešljiv problem. Vendar ni tako. Na pomoč bomo poklicali statis tiko . Razpredelnica kaže, kako pogoste so posamezne črke v slovenščini. 40 ~ presledek E A l O \ N R S L J T V D 173 89 84 74 73 57 44 43 39 37 37 33 30 I ---- ---- - -,K M P U Z B - G- e H s C 2 F r 29 27 26 \ 18 17 15 12 12 9 9 6 6 1 Pod vs a ko črko oz iroma pres l edko m je na pi s a na nj ena rela t ivn a f r e kv en c a , i z raže na v pr omilih. Pr ed en pove mo, kako l ah ko ta be - l o u por abim o , pove j mo, kako so jo s est avili. Zbra l i so nekaj s lo ve nsk i h besedi l. Ta ko so do bi l i p ovprečno slov e n s k o b e s edilo . V tem besedilu s o pre šte l i vse znak e (črke in pres ledek) . Potem pa so prešte li kol iko kr a t se posamez ni znak pojavi v besedil u . Seveda je dolgočasno nal ogo se števa nja opra - vil r ačunal nik. Ulomek š te vi l o iz branih znakov v besedi lu š t ev i l o vseh znakov be sed i la imenu jem o r e lativ na fr e k v en c a znaka . Stevec ul om ka pa j e ab s o - l utn a fr e kv en c a z n aka . če re la t iv no fr e kvenco pomn ožimo s 1000, dob imo izraža vo v pr omili h . Zdaj pa pomi slim o, kaj nam pove števi lka 84 pod črko A v t abel i . če pog ledamo ka teriko li s loven - s ki tekst, bo med 1000 znak i pribli žno 84 z nakov A. Po d r ug i stran i pa vidimo, da je A poleg pr e s1 edka in črke E na j pogos t e j- š i znak v s loven šč in i . Pri reševanju na š e na l oge ne bomo potre- bova l i relativn ih f r e kve nc znakov. Do volj je že, da iz ta bele razberemo, kako si s ledijo po pogostosti presledek, črke E, A, l , O, N in tako naprej d o črke F, ki je naj ma nj upor abl ja na črka v s lo venšč in i. Zd aj mor amo sest avi ti t ab e lo a bso 1u tn i h fre kven c zn ako v sk ri v- nostnega s poroč ila. K vsa kemu z nak u zap iše mo štev i lo , ki pove, kolikokrat se je znak ponov il v sporo č i l u. Tab el o uredimo tako, da bo na prvem mes t u najpogostejši znak , za njim dr ugi najpogo - s t e jš i znak in ta ko naprej . Zdaj najpogostejši znak v sporo čilu zamenjamo s pre s ledk om, dr ugega najpogostejšega s čr ko E i n tako naprej . Seved a se l ahko zgodi , da se vrst ni red pogostosti znak ov našega be sedila ne ujema to čno z vr stnim redom v povpreč nem s lo - venskem besedi lu . Takrat moramo upor a bi t i naše mal e s ive ce lice. Pri r e š eva nju na loge vam bod o v pomoč tu d i t ile podatk i : - na začetk u be s ed so na jpogos te jše črke N, S, K, T, J, L in tako napr ej; - najpogostej še končn ice pa so E, A, l, O, U, R i n N 41 Najprej razluščite besede. Skušajte ugotoviti. kateri znaki zagotovo predstavljajo samoglasnike in kateri soglasnike. Upoš- tevajte, da je v vsaki besedi vsaj en samoglasnik ali samoglas- niški R in da je v besedah z dvema črkama. ena črka samoglasnik. druga pa soglasnik . Dovolj nap otkov. Zdaj pa kar papir in svinčnik v roke in na- pnite možgane. Pa mnogo detektivske sreče in zabave. če boste razvozljali skrivnostno sporočilo. nam poš ljite rešitev do 15. 10. 1977. čUDNA TEHTNlCA Tehtnica na sliki ni čisto navadna teht~ica . Ima dve enaki ročici in na koncu vsake ročice po eno s kode l i c o , kot vsaka na- vadna tehtn ica. Poleg tega pa ima natančno na sredi vsake roči­ ce obešeno še po eno skodelico. Branjevec bi hotel uporabljati samo dve uteži za tehtanje tovorov po lkg, 2kg, 3kg, 4kg • ...• ri kg . Kolikšne uteži naj kupi. da bo n kar se da velik? Tovor je stehtan takrat, ko je tehtnica v ravnovesju. Seveda pa so l a hko tovor in uteži na ka t eri kol i skodel ici. - ---- - --- - Egon Zak r a j š e k 42 TOPI KOT JE ENAK PRAV EMU KOTU ? ! Nariši pravokotnik ABCD. Iz ogliš ča B nanesi na zun an jo s t ra n pravokotn ik a stran ic o BC tako, da stranica BC s to da lj~co se- s tavlja ostrokotni trikotnik BEC, če z E ozn ači š drug o končno to čko da lji ee iz ogli šča B. Povež i og lišče D s točk o E in dob - ljeno dalji co r azpolovi - to čka F naj razpo la vlja to da lj ico . T o č k a G pa naj bo r ~zpolovišče st ranice CD . Simetrali da ljic ED in CD se got ovo sekata, saj ED in CD nista vzporedni. Označi sečišče s H in ga poveži s to čkami A , B , E in D. D~9f::::::(.._E A~~--....il~-+f---""",---JI. Zdaj velja: HD = HE , HA = HB i n BE = AD. Trikotnika AHD in BHE sta skladna. Kot ~ HAD je enak kotu ~ EBE , zato je ~ HAB + 90 0 = ~ HBA + 1 ABE Toda , velja š e ~ HAB = l' BBA , kar ti s kupa j z zgornj o ena čbo da: ~ ABE = 90 0 , to pa je po konstrukciji kota ABE nemogoče , saj je 1 ABE t opi kot. Kje je napaka? Lqo » Le i Le r 43 REŠiTVE NALOG NA KONGRESU - r eš i t ev s s tr. 16 Izberimo dv a poljubna udeleženca kongr es a A in B. Dvoje je mož- no: ali se poznat a ali pa ne. 1) A in B s e poznata . Zato nimata nobenega s kupnega znanca. Naj bo x zna nec A . X in B se potemta kem ne poznata, zato imata na tanko dva s kupna zna nca . Za enega že vemo, to je A. Druge- mu p o r e č e m o Y. Y i n A se ne poznata. Torej imata natan ko dva s kupna zna nca, eden je seveda B, drugi pa x . Vsa kemu prijatelju A pripada (z izjemo B) natanko en znanec B- j a in obratno - vsakemu znancu B (z izjemo A ) pr ipada na- tank o en znanec A- j a . Med množico prij ateljev A-j a in množi- co prijatelj ev B- j a obstaja torej bijektivna preslikava . To pa j e že do kaz, da imata ena ko števi lo znancev. 2) A in B se ne poznata. Imata pa natanko dv a skupna znanca C in D. A in C se tako po~nata . Po 1) imata enako štev ilo zna n- cev . C i n B se poznata. Po 1) imata enako število znancev. Po zako nu t ranzitivnosti s l ed i , da imata A in B enako štev il o znan cev. Ker sta bila udele že nca kongr es a A in B na ključno izbrana , je s tem trdi tev do kazana. Dušan Repovš DVE NALOGI - reš itev s st ra ni 16 Dovolj so 3 rezer vne gume; pr i čemer vsakih 6000km po vrsti zamenja po eno od gum na avtomobilu z reze rvno, ko pa teh zmanjka , si pomaga s sneti- mi že de lno rab ljenimi gumami. Preveri! Skupna mal ica je vredna 30din, torej ena konzerva 6din . Potem ko vsak od nj iju od vložene vrednost i v konzervah odšteje vrednost mal ice, k i j o je pojede l, dobi dobiček, ki mu g re v žep. Tako dob i dr ugi 2di n , t retji pa 8d in . Danije Z Bezek 44 REšITVE UGANK IZ čETRTE šTEVILKE - str. 234 Premešane črke : LELAJ Enakozvočni ca: SKALAR Miselne enačbe: 1. napetost (fizikalna količina), 2. Edison (izu - mitelj), 3 . Zemlja (planet), 4. nano (decimalni mnogokratnik), 5. adicija (tuje ime računske operacije), 6. Neper (utemelji- telj ln - naravn ih logaritmov), 7. krožnica (enačba krivulje), 8. Atair (glavna zvezda ozvezdja) . Končna rešitev: NEZNANKA. Grške črke: Iskalnica: MAR Samo venoMER KURi peč in zažiga PLUTO? Nihče tega ne VE. NE RAzumem, kaj pomeni ta ciniZEM. LJAdov je ruski skla- datelJ. UPI TER želje, da bi r ed ili pURANe, so se nam iz- pol nil i. Kd or hoč e ple SAT, URNo naj se vrne k stadionu NEP . TUNina nam ni teknila. 1 2 3 4 5 & 7 rt O lo E T R q R M Ff ..S E 'p I K O L O ::::J k R- l> R R- l> R E i ~ It V V O K S I E 'r N ..... I t+ ~ fi R ač unska oper ac i j a : 123 - 45 - 67 + 89 = 100 Okr njene premešane črke v stavku: PARSEK Preme šane črke: MATEMATI KA ODDAN I ENERGIJSKI TOK . . . - rešitev s str . 15 Pa v l e Gp e g op o s Poznačimo odda ni energ ijski tok nove , s PO pa oddani energijski tok našega Sonca. Gostota energijskega toka z nove v razdalj i rj e j = p/ 4np2 , g0stota toka s Sonca v razdalji PO pa je jo = Po/4np~ . Iz definic ije sija j/jo = (Pr2 / p r 2 ) = 10- 0 , 4 (m-mo) sledi :o o PIPo = (p/r o) 2 . 10-0 , 4 (m-mo) = , (13. 101 ° ) 2 . 10- 13 , 6 = 4 , 2. 108. Rezu l t e t pove i d a j s sevala nova v eč kot 400 mili jonkrat večj i energijsk i tok, kot ga ~ pr ostor seva Sonce. (Energijski tok Sonca je okoli 4 .10 26 W.) Mar>ijan Pr>osen 45 PESCI, POSTAR IN AVTOMOBILIST - reši- tev i z 4.štev., str . 239 Dvoje križišč je: na cestah EH in BF je prvo, na cestah BC in HO pa drugo. Kako morajo poto- vati pešci, vidite na sliki. Prikazani sta dve rešitvi; al i je še kakšna? ~--~-----.lltJ-cB • ~o-_-\.:H E G 'I)- +---~c F 1 P, A -- :".-_4 ~ C D ~=~--__"'"; c A _ .......----..... 46 E Za prvo reši tev je pr emisl ek t ak: . Pe ec P 1 pre hod 7 km + 5 km + 6 km 18 km , pe ec P2 prehod : 5 km + 6 km + 7 km 18 km , pe ec P3 prehod : 6 km + 7 km + 5 km 18 km. Zato pr i s pe j o v kraj G i s toč asno po 4 urah: 3 ure porabi j o za 18 km pot i i n 1 uro za postanka v dveh kra ji h, skozi kate ra gre vsak pešec. Noben pa r pešcev se ne more srečati . V drugem križišču , kjer b i se l ah ko srečala P2 i n P 3 , je P 2 po (]/6 + 1/2 ) h = 10/6 h, P 3 pa po (9/6 + 1/ 2) h = 2 urah . Podobno j e z drugo r eš i t vi j o in z os tal imi reš itv am i preml s l i ! Poš tar si l ahko iz ber e dve poti, prva j e ADCBFEHG, t o je (6+5+6+7+5+6+5) km = 40 km . Čas, ki ga prehodi, je se veda (40 km) : (21 km/h) = 40/21 ur e . Drugo r eš i t ev poi š či sam! Av t omob il ist pa bo voz i l tako, kot kaže 51 ika. Spe t sta možni dve re šitvi . Pr evozi to re j (5+2+4+5) km = 16 km in porab i za to 15 minut . Sl ika! Franci Oblak MERJENJ E BREZ ME RILA - r eš itve s stran i 15 Pav le Zajc 756 7 2 3 2 9 + 6 c 4 90 S 9 2 a 47 Pete r Pet e k šTEV I LSKA KR Iž ANKA - rešitev iz 4. š t ev . str. 240 se enice raz- TRO MES TN A šTEVILA .. . - r eš i tev s str. 25 Ogle jmo si zanimivo lastnost tromestnih štev i l , pri ka ter i h 1ikuj ejo od s to t i c . Zapi šimo tako trome stno štev i lo v obl ik i : xyz , x ,; z nj egov obra t (eni ce zan enjamo s stoti cami) pa zapi š imo z: zyx Absolutna razi ika teh dveh š t ev i l naj bo: -abe = xyz - zyx Pri štejmo ji nj en obrat, pa dobimo zmeraj : abe + eba = 1089 I zraču najmo s i primer: 367, 763 - 367 = 369 , 369 + 693 = 1089 Poskusim o to lastnost še dokazati . Odločimo se , da je z manjš i od x. Če bi bil z večj i od x, b i pot ekal dokaz enako . Iz ena čbe xyz - zyx = abe , x > z preberemo o = 10 -x +z Upoštevano pom en zapisa x yz : 100x + 10y + z - (100z + 10y + x ) 100 (x - z) + (z -x ) 99 (x-z) = 99n Z n smo označili: n = x - z Oobljen r ezu l ta t j e seveda naša ra z l i ka abe : 100a + lOb + o = 99n Seda j upo š tevamo: e = 10 - x + z = 10 - n: 100a + lOb + 10 = 100n IOn - 1 = 10a + b Leva stran zadnje enačbe ima za en ice š t ev i lko 9 , saj mnogokr a tn iku š t ev i la 10 odštevamo l. Iz iste enačbe torej s led i: b = 9 . Stopimo nazaj v enač bo : 1On - 1 = 1Oa + 9 a = n - 1 Zanima nas vsota abo + eba : 1OOa + lOb + o + 100e + lOb + a 101 (a+o) + 20b Tu uporabimo: a = n - 1 b = 9 0 = 10 - n in dobimo : 101 . (n- l+10-n) + 20 .9 101 .9 + 180 1089 Dokaz je konča n . Ranan Rojko TO PI KOT JE ENAK PRAVEMU KO TU?! - rešitev s str . 43 Sliko nariši s am zelo natančno in si ogl e j orientacijo tr i - kot nika HBE . Igor Leiler 48 FIZIKA___101 BALISTI KA 1. DEL ZGO DO VINA TOPNIš TVA Ba l ist ika je znan os t, k i pre učuje g i ban j e i z s t r e l ka (pro jek - til a ) . ("ba le i n" pomeni v g ršč i n i vreč i , met at i. ) Pot i zs tre l ka s e del i na: - po t po cevi - po t zu na nj c e v i . Iz teg a i zvir a t udi star a d elitev bali s ti ke na no tran j o in zun a - njo: Raz voj tehni ke j e p ov zr o čil , d a s e j e ba l ist ika moč no r a z- r a sl a in da nes imam o š te v il ne nov e veje te zn ~ nost i: rake tna ba- l t s ti ka, ba l is t ik a l etal s k i h bomb, v e s ol j s ka b al i s t i ka Ba list ika je bil a z ve s t a spremlj e valka topn iš t va in je v veli - ki me r i vpli va la na nj egov raz voj . Vse c i v i l izac ij e - t ud i na jstarejše - so č is la le umetnost bo - jevanja na da ljavo. Z meta njem kamenja, kovinskih kroge l, kop ij, puščic i t d . so si l ju d j e od ne kd a j pr i zadeva li premagat i nasprot - n i ke. Znanje o gibanj u i z st r el kov je bi lo d o l g o časa zelo skromno. še v sred njem v e ku s o misli li, da v od o r avn o i z s t r el jene krog le let ijo v odor a vn o in d a se po š e v no i z st r eljen e krog le v z pe n j aj o v ra vni č rti in se na t o v ra v n i črt i tu di s p uščajo. še le l e t a 153 7 j e zna n i matemat ik i n ba l i s t i k Ta r t a gl i a dokaza l, d a je tir iz - s t re lka kr iva č rt a . Top ni š tvo v pr av em pome nu be s ed e se je z a č el o raz v ij a t i z izu- mom s mod n ika v š t i r ina j ste m s to l e t ju. Sp r va so bil a orožja o kor na in ne pr ev e č u čink ovit a . Polnili so jih (podobno kot d an es) z adaj. I z strelki so b ili iz s vi nca a l i kamn a . Že v pe t najs te m sto let j u so orožja , im en ov a na "bo mbarde" , močn o izpopo ln i l i. Cev i so po - 49 50 Q)., c ro > Q)., o .o ro N ro., >N o L o ro o c > > roro ., "o o ro L "o ro +.J ro v> c 5 1 stavili na gibljiva podnožja (lafete). To je močno povečalo premičnost topov in olajšalo namerjanje. Iz takih topov so iz- strel jeva 1i krog 1e, težke tud i do 100 kg. Ker pomi čni zad ki cev i ne bi zdržali tako velikih obremenitev, so prešli na polnjenje spredaj. Cevi so z zadkom vred ulivali iz enega kosa. Kasneje so izbol jša 1i izstrel ke . Napol ni 1i so ji h z razstrel ivom, kar je s ilno povečalo rušilno moč. Ob koncu sedemnajstega stoletja je bilo topništvo (artileri- ja) že tako pomembno, da se je ločilo od pehote in postalo samo- stojen rod vojske. V drugi polovici devetnajstega stoletja je na- pravilo spet velik skok. Prej gladke cevi so nadomestili z žleb - ljenimi ("risanimi"). Krogle so nadomestili s podolgovatimi gra- natami, ki so se zaradi ukrivljenih žlebov cevi vrtele okoli vzdol ž ne osi. S tem se je povečalastabi 1nost 1eta izstrel ka . Z razvojem tehnike se je teža izstrelkov zmanjšala, začetna hitrost povečala in spet je prišlo do učinkovit ejšega polnjenja cevi za- daj. Seveda pa se razvoj ni ustavil . Vsak dan načrtujejo in izde- lujejo močnejša, natančnejša, vedno bolj avtomatizirana orožja s strahotno rušilno močjo . že v petnajstem stoletju je nekdo zapi- sal: "Neumno se je vojskovati, zdaj ko obstajajo bomb a. -de !" In kaj mu 1ahko odgovorimo danes? (Sl. 2 na naslovni strani) NOTRANJA BALISTIKA Notranja bal istika preučuje vedenje izstrelka v cevi . Dogaja- nje v cevi naj pripravi izstrelek za let zunaj cev i. Na ustju cevi mora izstrelek imeti pravo smer, potrebno zače tn o h i ii r o e t:" Vo in se mora vrteti okoli vzdolžne osi. Za smer poskrbi strelec, za začetno hitrost in vrtenje pa orožje in naboj. Pomemben poda- tek je tlak v cevi, saj ga mora cev zdržati brez poškodbe. Hit- rost izstrelka v cevi in tlak sta pomembna tudi za preračun trza - ja (odrivnega sunka) cevi, ta pa spet odloča o načinu amortizira- nja in s tem o stabilnosti orožja pri streljanju. Za predstavo o ve l i kos t n i stopnji nekaterih količin notranje balistike napravimo močno poenostavljen račun . Denimo , da dobi izstrelek z maso m = 10 kg v topu z notranjim * Začetna hitrost j e hitrost izstrelka na ustju cevi. 52 premerom gl adke cev i d = 100 mm ** i n z do lži no ce v i D 2m za - četno hitr ost Vo = 500 mis . Si la F pl i nov, ki delu jejo na iz st r el e k kmal u po začetk u iz- gor evanj a s modni ka, je dos t i v e čja od tr enj a iz str e lka ob cev, t a ko da l ah ko tre nje za nemar i mo. Da bo ra čun pre pr os te jš i , v ze - mimo s i lo za konst antn o. Upor abi mo Ne wto nov zako n: F = ma. Opra vek imam o z enakomern o posp e š enim g iba njem iz st r elk a . Iz e n a č b za pot in hitro st: s = ( 1/2 )a t 2 V = at i zpel j em o V = f\ZaST in a = v 2/ {2s ) . Hit ro st Vo na koncu cev i poznamo . Pospe šek : a = v~ /{2D) = 62 500 m/s 2 je v e č kot 6000 -kra t v e čji od t e žnega posp ešk a . Lahko si mi s l i mo , ka j bi s e zg od i l o s pot nik i na Luno Jul e s a Ver na, če bi j ih zares i zs tr eli l i iz t op a. č a s , ki j e potr eb en, d a i zstr el ek d os ež e ust j e ce v i , je: t o = v ola = 0 , 008 s Zar es ne mor em o t r dit i , da se izstre lek v cev i obotav lja . Si - l a, ki de l u je na i zstre lk e, j e F = ma = 62 5000 N Za r ačunanje tl a ka p v ce v i upo rabimo e nač bo F je S pre sek cevi : S = nd 2 / 4 . Tor e j : p F/S = 4F/{ nd 2 ) = 8 . 10 7 N/ m2 = 800 kp/c m2 pS , v kater i Tl a k v cev i j e s kor a j ose ms t okra t v eč j i od nav ad ne ga zra čn eg a tl a ka . Cev mor a biti ze l o d obr o i zd el an a, da pr ene s e tol i kšn e ob- r emenitv e. Zda j pribli žn o vemo , kol i kše n j e t lak v to povski cev i. Seved a pa j e raču n sam d a leč od res n ič nost i , ki j e d ost i bol j za- motana. V resni c i po te ka dog ajanje v cev i ne kako t ako le : Ko s pr ož i mo orožje, udar i i g l a v vž igaI no kap ico in ak tiv ira v ži - ga l nik. Okoli VŽi ga lni ka se t lak poveča na pri bližno 50 kp/cm 2 . Zarad i tega s e smod nik v žg e . Razv ijajo s e plin i i n t lak nag lo na- rašča. Izstr e lek je opasa n z bakre nim o bročem , ki ~e mal o več ji od vodil med ž le bov i. Ko doseže tl a k pr i bl i žno 200 kp/c m2 , j e s i - ** Notran ji premer cevi imenujemo v bal i s ti k i kaZibeT 53 cev izstrelek prostor izgorevanja zadek 51.3 Izstrelek v cevi. pravi cevi več. Ko se vodila v cevi vreže- jo v obroč, se začne izstre- lek vrteti, kot mu narekuje- jo žlebovi. Na navojni višini vodil in žlebov h se zavrti okrog svoje osi enkrat. Na la na izstrelek že tolikšna, da se vodila vrežejo v obroč in se začne izstrelek premikati. Do tega trenutka izgori manj kot 10 % smodnika. Na začetku, ko je hitrost krogle majhna, se tlak še vedno povečuje, čeprav se povečuje tudi prostornina plinov. Ko izstrelek preleti 3 do 5 kal ibrov (premerov cevi orožja), je prostornina že tako velika, da začenja tlak padati. Kmalu zatem je izgorevanje smodnika končano . Takrat ima krogla približno 60% hitrosti, ki jo doseže na ustju cevi, pritisk pa je že za 10% manjši od maksimalnega . Od tega trenutka se vroči plini širi- jo adiabatno. Potem ko izstrelek zapusti cev, plini z ar a d i veli- kega tlaka (približno 500 kp/cm 2 ) še delujejo nanj, in mu malo povečajo hitrost . Tlak v cevi naglo pade in se izenači z zuna- njim zračnim tlakom. Dogajanje v cevi ponazarjata sliki 4 in 5 . Končni rezultat izračunov notranje bal istike, ki je hkrati osnova za račune zunanje balistike, je začetna hitrost projekti- la vo' Po začetni hitrosti lahko sklepamo, kako hitro se vrti izstrelek okol i vzdolžne osi na ustju cevi. Slika 6 kaže cev, ki smo jo v mislih vzdolžno prereza- li in jo razvili . Narisan je en sam žleb r čeprav jih je v *** Bralec, ki pozna trigonometr ijo, bo pr itrdil temule sklepu: tg So = Trd/h Wo = 2rrv/h = (2v/d)tg ilo svoje osi. 500 mis, bi 0 .1 v/d,::! Bo'::! 0 .4 vid Pri našem topu skalibrom d = 100 mm in z začetno hitrostjo Vo = za Bo = 70 dobil i Wo = 1228 rd/s, oziroma Vo = 195 s-l Izstrelek bi se veni sekund i zavrtel pribl ižno dvestokrat okrog To pomeni , da je kotna hitrost odvisna od kal ibra, strmine žleba tg S na ustju cevi in od začetne hitrosti izstrelka . Omenimo še, da obstajajo" orožja s spremenljivo strm ino.žlebov . Navadno imajo topovi s kratkimi cevmi žlebove proti u s t j u cevi vse bolj položne. Običajno je 3 0 S So ;;; 110. To bi pomeni lo, da je 54 ustju c ev i i ma hi tr o s t v . S, o t o hi t r o s t j o bi pre l e tel pot h v času t o=h l v v ' Ker bi se v tem času ra vno e n kra t za vrtel o kol i sv oje osi, je v o=1/ t o= =vo l h š tev i lo v r tl j aje v na ča­ so vn o en oto . Kot na hitr ost na u stju ce v i j e *** 51. 6 Razv i ta cev z ž l eb011. Seveda pa bali s tika ne more napovedati natančnih rezultatov. Kon s t r u kc i j a cev i i n naboja nis ta idea ln i . Cev se sčasoma začne kvarit i . Kva liteta smodnika se spreminja od izstrel ka do izstre l- ka. Zato je potre bno r a čune pr ev e r j a t i v praksi . Najpo mem bnej še je v prašanje, a l i se napoved d ovolj do bro u j ema z i zmerje no hit - ro s t jo iz st r el ka na u stju ce v i . Za to bali stiki po t re bu j e jo mer i l - ne napr a ve . 1742 s i je ang leš ki matemat ik R.obi n s ( 170 7 - 1 751) za- mis li l balisti čno nihalo. To j e v e l i ka škat la , na pol nj e na s prs t - j o . N~ stran i, od koder s t r el j a mo v a nj o , je s vin č ena folija, ki preprečuje, da bi prst izpadl a. š kat la vi si na dol g i vrtlj ivi letvi . Ko i z s t r e l e k prilet i v š katlo, preb ije fo lijo in se z au - stav i v prsti. Nihalo zan iha. Iz lastnosti ni hala ( ma s e š ka t l e s prstjo, dolžine l e tv e i t d . ) , mas e izstre lka in kota a odklona ni- hal a, je mogoče izraču na ti h itrost, s katero j e izstrelek zade l m ir ujoče n iha lo . č e stre ljamo i z b liž ine , se tako določena h itrost l e mal o raz ločuje od z a č e tn e hitr ost i v o ' Ba l ist ično ni ha lo je u- porabno za merjenj e hit ro s ti l a h k ih izstre lko v (npr. izstre lkov i z p ištol, pu šk in avtoma tskeg a orožja). Pr i topovs ki h gra natah pa ga ne moremo uporabi ti, saj b i moral i i me t i st ra hotno d o lq o l e t ev in ogromno ška t lo .**** Druga metoda merjenja za četne hitro sti izstrel ka, k i s e u po- rablja še danes v razl i č n i h obl i ka h , j e v načel u zelo pr e prost a . Na pot izstrel ka postavimo drugega za dr ugim d va senzorja . Prvi sen zor ur o požene, drugi pa jo zaustav i. Tako dol očimo čas pre- l e t a t d i z s t r el ka za pot dolžine d od prvega do drugega senzorja. č e s t a senzor ja dovolj bli zu drug dr uge mu in do vo lj bli zu c ev i , **** Ze za merj en je hit rost i de se tg ramski h iz strel kov uporablj a j o niha la z maso pr i bl ižno 1 t one. 5 5 v p P~.. .......-- - 50 0 2000 Vo ../'" m / s I

"8 !lJ ~ c: O O '- u .c: 500 """ 200 1 O O 0 ·001 0 ·004 0 ·005 0 ·00 8 0"01 s V p !lJ > .:L Q) !lJ U ~ > ~ !lJ N O O .... - ~ O .- c. s: c:"8 xOO 1= 2m I I I I @ --?>=----i 56 o 51.7 Balistično niha lo . "~-".,?o.,- izstrelek o 51. 8 Potem ko je izstre lek zadel balistično nihalo, se je odklo- ni lo za kot e. ---to d-----)-------.I-------t - 51.9 Princip kro nografa. ~ ~ prvi senzor dru~i senzor uro požene uro zaustavi lahko vzamemo, da se giblje izstrelek enakomerno z začetno hit- rostjo v o d l t d Take naprave imenujejo krono~rafe . Prvi mehansko e lektrični kr o - nograf je leta 1880 izd elal Boulanger. Do danes je kronograf do - žive l že več izboljšav, pri ka t e r i h ima glavno besedo ele ktron i- ka. V cev i se ob strel janju dogajajo trajne spremembe, ki jo po- č a s i un lcuJejo. Teg a procesa ne moremo zaustaviti, pa če še tako dobro skrbimo za cev. Sčasoma začetna hitrost izstre lka tako pa- de, da postane cev neuporabna. Dand a na š n j e cevi zdržijo po neka j d e s e t t i s o č i z s t r e lk ov , preden se izrabijo . Balistiki govor ij o o č a s u skupne porabe cev i kot o ž iv Lj e nj skem času cev i. De n i mo , da zdrž i cev 20 000 izs t re l i t ev. Pospeševa nje izstrel ka pri en i i z - streli tvi traja 0,01 s. 2iv ljenjski čas ce v i = 20 000 .0,0 1 s = = 200 s = 3 min 20 s. 2 i v lj e njsk i čas orož i j je dost i krajš i ko t pri drugih top lot n i h stroj ih. Tom o Pi sans ki 57 ENAJSTAšOLA IZ FIZIKE* Kmalu pa se m~ J e r a z š ir i l o obzorje od me - sar j evi h k l ad do en a j ste šole pod mo s t om; za dobr ih sto korakov . Ob vročih poletnih dneh , ko Močilnik usahne, ko je temno Re tov j e sko - r aj prazno in ko mila zelena Ljubija sanja svoje tihe sanje globoko pod v r bami , upade Ljubl janica z a 4el se'enj i n ošab na Vrhničan ­ ka je samo š e potok . Ve s le v i del str uge je s am b e l prod , od son c a spal j e n . Takrat s e pri čne ena jsta šola pod mostom ter se ne ha ob prvih jesenskih nalivih . Mnogokaj sem študi - r al v svojem 'ivljenju , ali tako bogate in koristne učenosti, kakor jo daje s v oj i m učen­ cem e na j sta šola pod mostom, nisem z ad ob i l nikjer i n niko l i. Kak š na čuda'prečudna hr an i t a g o l i , po s ušeni prod ! Očem, ki jih iščejo, s rcem, ki v eru j e j o vanje , se ka'ejo čuda ob vsakem pogledu, ob vsakem ko raku . Iva n Can kar : Mo j e ž i vl je nje l. GIBANJE VODE IN ZRAKA Vsa k č l o v ek doživi s voj o e na jsto š ol o in s e j e ka s nej e rad sp om ni . Moja se j e začel a na t r avnik u pod šmarj et na goro, kj er je po de Žju i z krtavih lu kenj izv i ral a voda . Za bos onoge fan t iče ni bilo lep š e igr a če, kot z il ov i c o maš i t i lu knje i n čak a ti, kje bo voda spet privrela na dan. Ceprav s e na m ni sa njalo o kak i h zakonih za gibanje vode po ceveh in č e p r a v za fiz i ko s pl oh š e slišali nismo , se nam je ve ndarle zde l o , da pojav razum em o . Ka ki h de set le t ka s ne j e s e j e ig ra ponovil a v v e č jem mer ilu. S pr i j a tel j i s em s e ut aboril na morju, i n si c er na s r e č o r av no tam, kje r pr ih aj ata pod ze mel js ka Li ka i n Gack a na da n v veli kem štev il u i zvi rov (Sl . 1 ) * ~ Neka j j i h je na sami obal i , ne ka j pa tudi na dnu morj a . Ob su ši so skora j vsi i zv iri ve č ali ma nj s la ni , tudi tisti, ki izvirajo po ve č de cimetrov a li š e v iš e nad * Predavanj e za mlade fiz ike, , 5 . ma ja 1977 ** Slika glej 58 Sl. 1 . Reki L' k .dia ln G.om~evni Pod z~Ck~ te r njun 1zv 1 ro v pr i J ~ I J sk i to k du r j evu , o SI. 3 . S istem vr u l' .oba 1i . Zg ~ e Ini zv i ra na vre studenČ~ iob ~e l ik i vodi prt in . Sp . : ca IZ obeh od- vrulja sp re _ob suši se požiralnik .v~ze.v mo rs k i daje tedaj's ;ZVl r na obal ianas to vodo . 59 mo rsko g la d ino . V č a s i h vs ebu j e tak izvir celo v e č ko t 50% morske vode . St var nam ni da la miru in smo z ač e l i izvire na vs e n a či n e preiskova t i . I z ka za l o se j e , da se njihova slanost sp reminj a s p1imo i n oseko, še bo lj pa , ko ob d eževju naraste jo ali ob suši usihajo. Posebno so na s m i ~ a1e vru1je - to so i zv i ri na d nu mor- ja , ki se na gladini vi d i j o kot ne ka kš na kolesa ( 51 . 2 ) . Skupino moč nih vru 1j v za l i vu pri Jurjevu, s kater o smo se najv eč ukva r - ja li, imenuj ejo doma či ni Kola , medtem ko pra vijo zalivu Na Ko1i- ma (= " pr i kol es i h" ) . S prepr os to potaplj aško opremo smo s i og leda li , kako vr e voda i z l uke nj na dnu morja. če prav je voda č is ta, s e zd i ne pr ozorn a , kot kak mige ta joč di m. To je za to, ker se svet loba pri pre hod u s kozi vr tinc e sladke in s lane vode neenakomerno l om i , tako da s e ža r ki zver iž i j o . Preseneče nj še ni bil o konec. Le pega dne so Kol a br e z sledu izgini la . Gla d ina j e bi l a mirn a , kot da vr u1j ni koli ni bi l o t am. Pod mor j em smo ugot ov il i , da so se dovčerajšn je vru 1je sp revrg le v morske požira lnike . Pol metra široko žre lo, ki je še pr ejš nji dqn . bruha10 steber mrzle studenč nice , je zdaj poži ra 10 po kak hekto li ter morja na seku ndo. I zvi r i na dru gi st ra ni za liv a so š e i s ti da n izda l i skr ivnost te vode : čez noč so pos t ali bolj s la ni . Zadn j i dvom pa smo pre- gnali z barvanjem. Bar vi lo, ki smo ga dobi li od jamarskega druš- tva , smo spustili v mo rsk i požiralni k i n potem čakali na drugi strani . Res se je č ez 4 ure bar va pokaza la v obalni h iz virih, ki so bi l i potem ze len i še do nas le dnjega j utra . Po vs em te m ni bil o v e č t ež ko ugotovit i , ka ko vs e skupa j de- l uj e. Nekje globoko pod hribom se vod na ži1a, ki pe l j e k iz virom na obali, odcepi od ti st e , ki napaja vru1je (5 1.3). Ob povodnji j e v žila h toli kšen tl a k , da vre i z vs eh l ukenj čista st u d en č ni­ ca . Ko se ob suš i voda sk oraj us ta vi, pa ni ravnovesja . Tež j a morska voda vde r e s koz i ž i lo vr u1je in i zpod ri ne l ažj o stud en č­ nico prav do razvodja obe h žil . Tam se pot lej meša mor j e s stu - denčnic o . Več p) le t i j smo vne t o opazova l i te i zv i r e. Ne vem, a li j e bil a to geo10 g ija al i ze mljepis a li fi zi ka ; vsa ke ga neka j s mo s e na- u čili . Všeč nam je bil o , da s mo razvoz la l i uganko jurje vski h vru 1j, čeprav je še ma r5 i ka j os ta lo nerazrešenega . Saj je ob j u- 60 r goslovanski obali na tisoče izvirov in najbrž na stotine morskih požiralnikov. Kdo ve, kako so med seboj povezani? Nihče tudi ne ve, kam zgi neva voda, ki občasno teče v skalno razpoko pri Iči­ tih blizu Op a t i j e , čeprav je bil ta morski požiralnih v litera- turi opisan že pred sto leti. Drobn ih problemov je š e in še. Inženir me je nekoč vprašal, koliko vode menim, da ' i zv i r a iz posamezne vrulje. Ali se ne bi dalo to oceniti iz velikosti kolesa na gladini in iz globine dna? Nisem mu znal odgovoriti in še danes ne znam. študent fizike, ki začenja z diplomskim delom, pa pravi, da bo to poskusil izraču­ nati. Nemara mu bo uspelo, čeprav naloga ni lahka. Tudi kadar se voda ne skriva pod zemljo , je njeno gibanje do- stikrat zamotan o in težko razumljivo. Rad postojim na mostu in se čudim vrtincem v reki, kako se vedno znova poraJaJo, se zaga - njajo sem in tja in zginevajo. Povsod srečuje človek takšno zvr- tinčeno gibanje. Bral sem pa, da pojava nihče do konca ne razume , čeprav verjamemo, da je povsem določen z na videz preprostim Newtonovim zakonom F = ma. Dim, ki se vije iz tovarniškega dimnika, in raznovrstne obli- ke oblakov nas prepričujejo, da tudi gibanje zraka ni nič manj zamotano . Včasih se razločno vidijo posamezni vrtinci , te vzdigu- JeJo sneg v hribih ali mivko v pu ščavi (Sliki 4). Kdor je že hodil po Križni jami, se je gotovo ustavil ob s t e - nah, ki jih je zlizala voda. Taka stena ni povsem gladka, ampak je polna plitvih vdolbin, s premerom po nekaj centimetrov. V pla- ninah najdemo poleti na ostankih s nežni h plazov čisto podobne vdolbine, le da so deset do dvajsetkrat ve čje (Slike 5) . Značilno je , da se črna nesnaga iz zraka najr aje nabira na robovih vdol- bin, česar pa ne znam pojasniti . Polovičarska razlaga za nastanek vdolbin je hitro pri roki. Obakrat imamo opravka s sledovi vrtincev ali pravzaprav z vzajem- nim učinkovanjem. Vrtin ci ližejo vdolbine in le-te pospe šujejo nastanek vrtincev. Ne znamo pa povedati, zakaj so vdolbine ·na plazu večje kot v jami . Dokler tega ne znamo, se zdi razlaga š e na trhlih nogah. Vodi in zraku se pri klesanju teh vdolbin godi nemara podobno kot kamionu na c e s t i . Ker se kamion trese , koplje s kole si luk- nje v tla, tako da sčasoma zapi še v cesto podobo s voj e ga nihanja. Luknjasta cesta pa le še bolj vzbuj a tresenje . Gotovo se ces t ni 6 1 Sl. 5. Vdolbine, ki jih naredijo vodni vrtinci na steni v jami (foto Marjan Richter). zračni vrtinci na ostanku snežnega plazu in avtomobili na cesti. inženlrji s problemom resno ukvarjajo in znajo o njem kaj več povedati. V sodelovanju s fizikom se bo nemara dala hkrati s ce- s t ar skim problemom razrešiti še skrivnost vdolbin na snežnem plazu in v Križni jami. V tem je fizika, da pre poznaš podobnost pojavov, ki so na videz čisto različni. Ni treba dolgo iskati, da najdemo še kak soroden pojav. Pomi- slimo, kako vrtinci vetra vzdigujejo valove na morju! Saj valovi 90tovo pomagajo vzbujati vrtince . Dosti učenih razprav in lepih diferencialnih enačb so o tem ljudje že zapisali. V Sovjetski zvezi so celo zgradili velik laboratorij, v katerem spihalniki burkajo vodo. Kar naredita voda v Križni jami z raztapljanjem apnenca in zrak s topljenjem plazu, opravita lahko tudi s premikanjem pešče­ nih zrnc al i snežink. Kdor hodi pod morje, je gotovo že videl v mivki na plitvem dnu nekakšne kodraste valove. Dogaja se, da se takšni kodrčki sčasoma strdijo in da jih pokrijejo druge plasti, 62 tako da so v ve se lje geo logom, ki jih č e z mil ij on l e t odkrijejo v sk ladih peščen jaka (5 1 . 6 ) . Pr a v pod obn e kodre obli kuje vete r v pu š č av s ki miv ki i n v s ve- žem sn e gu. Pol eg dr obnih kodro v pa na jd em o tu tudi ve čj e obl ike, n a m r e č v sneg u za mete in 'v p u š č avi sip ine . Zamet s e r ad nared i ob kak i oviri, kjer zrak zastaja, ta ko da s e s ne žin ke seseda j o . Nasta li zamet s i sam naredi zavetrje i n si s tem omogoča nadalj - njo rast in počasno napredo vanje . Vprašanje j e l e , kako se sp oč­ nej o zameti al i sipine na ravnem, kjer ni ovir . Res ne j š e razis- kovan j e teh pojavov se je še le z ač e lo. Ne navad no sku pino peščen i h s ip in na jd em o v do l in i reke Ri o Grande v ZDA. Ravno dno š iroke do li ne je čez in čez puščavsko, vendar ga pokriva le tanka plast mivke. Samo v kotu pod hr i bi s e je mivka nagrmadi 1a visoko kot Šmarna gora i n več ki lome trov na š i r oko (51 .7) . Z vetrom s e te sipine le č isto malo selijo sem in tja, ne da bi se miv ka r a zgub il a po širni doli ni . Ali je t emu krivo bl iž nje s edlo med hr i bi ? Snež ni zamet i n pušč a v ska si pina v s voj i no tran jost i nist a povsem e nakomerna . Ko vihar obr us i že sprijeti zamet, se v njem pokaže jo pl asti. Plasti nis o ena komerno debele, tak o da se vidi- jo valovite č rte, kot če bi jih začrta l ot rok, ki še ne zna ri- SI . 8 . P e š č enj a k , k i je nastal iz puščavskih si p in . Sl . 10 . Ja mi ce v apn eneu ob morsk i oba l i. Sl . 13 . Podobne oblike kot v s negu na r ed ive te r tud i i z posu - šene bla tn e nap l avine v pu- ščav i. 63 sa t i vz por edni c. Ravno ta kš ne č r te na jdemo v pos eb nem peščenjak u, za kate r ega t rd i j o geol ogi , da je na stal i z strjen i h p uščavsk i h sip i n ( Sl . 8) . Ko se pogo va r ja mo o med s e boj nem u či n k o v a n j u vode ali zraka in t rd ne pod la ge, moramo pomisliti še na erozijo, to je na poja - ve razjeda nja z emelj s ke površ ine . Na vsa kem plan inskem izletu se lahko čudimo obl ikam, ki ji h je v kamen i z kl e s al a voda. šk rape , ki j ih z l iž e dež ev nica v apnenec, so vsa komur znane (S1.9) . Ke - mik bi najb r ž zna l pove dat i, kako hitr o se ap ne nec top i i n od česa je to odvi s no. Zaka j voda ne l i že en ako mer no in od česa j e odv is na š ir i na š kr a p, pa s t em š e ni poj a snj eno . še bol j nenavadn e so obl ike a pne nčev i h ska l ob mors ki oba li. V č a sih j e s ka l a s koraj gl ad ka , v č a sih pa hudo na z ob č an a . Pon e kod s ta de ž a l i mo rj e izd olbla l i čn e ja mic e , kot da bi kap lje veno- me r zade va l e na ist a mes t a (S l. lO). Tudi vete r griz e, ne sa mo voda. Zi mski vih arji v gor ah obr u- s ijo s t r je n sneg v pr e čudne obl ike (S1.11 ,1 2) . Podobn e um e tnij e del a vet er v puščavi . Zl as t i uspe šen j e . s posu š en im bl at om, ki j e kje preo stalo od zadnj ega deževja ( S1.1 3) . (Nada ljevanje pr ih od n ji č ) I van Ku ščer SLIK E NA 2. IN 3. STRANI OVITKA S1. 2. Vrulj a (podmorsk i i zvir ) v zalivu Na Kolima pri Ju rjevu. (Foto Marjan Rich t er) . SI. 4a Zračn i vr t inec vzd igu je meglo v hrib ih (Foto Ci ril Vel kovr h) . Sl . 4b Z račni vrt inec vzdig uje mivko v p u ščavi . Sl. 6 . Plas t peš čenj aka kaže nakodr ano površ i no, ki se j e v dav ni h čas i h ob- l i koval a v mivk i na d nu plitvega mo r ja. SI. 7 . Veli ke pe š čene s ip ine (Grea t Sand Du ne s ) na ju gu dr ža ve Col or ado (ZDA). SI. 9 . Škrape ob poti na Krn . SI. 11. Od vetra izkl esa ni zamet i v go ra h. SI. 12. Na gorskem sed lu j e ve te r odnese l vrhn jo plast snega , r azen kj er j e b i l poprej pohoj en. 64 48 6 9 ·12 NOVIC E-ZANIMIVOSTI PL EMLJ EV A SPOM INSKA SOB A Bled - v ozadju grad 2 Ple ml j ev dom na Bl edu 3 Plemljevo pohi št vo 4 Pano z ž i ~ l je n je ~ i s om