P K I- S I- K List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 5 Strani 310-314 Janez Strnad: VZTRAJNOST IN TRENJE Ključne besede: fizika, trenje. Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1097-Strnad.pdf © 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo VZTRAJNOST IN TRENJE Pogovor o vztrajnosti, preden vpeljemo maso, pogosto spremljamo s preprostimi poskusi. Pri enem od njih izpod telesa hitro potegnemo prt. ne da bi telo padlo z mize. Poskus radi pokažejo tudi rokohitrei. V ameriški srednješolski fizikalni reviji The Physics Teacher je H T Hudson pred časom opozoril na to, da :ma pri pojavu pomembno vlogo trenje (There's more to it than inertia, 23 (1985) 163). Izid poskusa je odvisen od koeficienta trenja med telesom in prtom in ni odvisen od mase. V isti reviji sta ga pred kratkim dopolnila U.Haber-Schaim in J.M.Dodge (There's more to it than friction, 29 (1991) 56). Ni pomemben samo koeficient trenja med telesom in prtom, ampak tudi koeficient trenja med telesom in mizo. Misel sta podprla s poskusom in ob tem zapisala nekaj enačb. Njun poskus, pri katerem sta uporabila neposredno priključeni računalnik, je mogoče narediti na moč preprosto. Namesto prta uporabimo pisarniški papir, ki se ne guba kot prt. Papirji ene vrste se med seboj razlikujejo precej manj kot prti. Poleg tega lahko mizo obložimo z drugim papirjem enake vrste, tako da je pomemben samo koeficient trenja med telesom in papirjem. Misel, da bi poskus naredili s kovanci, se ni obnesla. Koeficient trenja med kovancem in papirjem je za obe strani kovanca skoraj enak in z njim ni mogoče izvesti dveh vrst merjenj. V delavnici Oddelka za fiziko so izdelali za poskus štiri enake ploske medeninaste valje z maso 15 gramov in premerom 2,7 centimetra, ki so bili na eni strani zglajeni, na drugi pa hrapavi. Tudi poskusi z njimi niso zadovoljili. Zglajena in hrapava stran sta se glede na koeficient trenja na papirju 5e premalo razlikovali. Zato je imel pri končnih merjenjih valj na hrapavi strani nalepljeno platno, Smirkov papir se ni obenesel, ker se je prehitro zrabil, guma pa je imela prevelik koeficient trenja. Poleg tega se je pokazalo, da so odstopanja med izidi večja pri poskusih z vsemi valji kot pri ponavljajočih se poskusih z enim samim valjem. Zato sem delal poskuse z enim samim valjem. Postavil sem ga na papir v razdaljo L od krajišča papirja (slika 1) Na drugo krajišče papirja sem z lepilnim trakom prilepil aluminijevo letev in na njeni krajišči pritrdil vrvico. Z roko sem prijel sredino vrvice in jo napel. Nato sem jo na vso moč sunkovito potegnil v vodoravni smeri. Ni bilo lahko vleči ves čas s kolikor mogoče enakomernim pospeškom v vodoravni smeri Toda po vrsti poskusov sem si pridobil dovolj vaje. Nisem popustil Želji, da bi upošteval samo "dobra merjenja", ampak sem upošteval vsa. Ne morem jamčiti, da nisem podzavestno kako vplival na izid merjenj. Pri resnejših poskusih bi bilo treba bolje poskrbeti, da bi se gibal papir vselej z enakim in enakomernim pospeškom. Vendar bi bi!o treba v to vložiti precej dela. Preprost mehanizem, pri katerem naj bi padajoča utež zagotovila enak in enakomerni pospešek, se ni obnesel. Potem, ko se je valj na spodnjem papirju ustavil, sem zaznamoval lego in izmeril odmik. V nizu merjenj sem po desetkrat potegnil papir pri vsaki izmed štirih začetnih leg valja, izmeril odmik, izračunal povprečno vrednost in efektivni odmik Najprej sem naredil niz merjenj z valjem z gladko stranjo na papirju in ga potem ponovil s platneno stranjo na papirju. Izide kaže graf {slika 2) Poskusimo pojasniti izid z nekaj preprostimi računi. Papir začnemo vleči ob času f = 0 s konstantnim pospeškom sq > k¡g, če je k¡ koeficient le-penja valja na papirju in g težni pospešek. Če za izhodišče vzamemo začetno lego tistega roba kovanca, ki leži v smeri vleke, opiše gibanje krajišča papirja enačba xo = agt^ — L. Dokler se giblje valj po zgornjem papirju, deluje nanj samo vodoravna komponenta sile F = kgmt, Ce je mt teína masa valja in k 1.12+0.18) cm Sfika 1 Valj na zgornjem papirju pred poskusom in na spodnjim po njem z izmerki odmika D pri L = 5 cm. Sdk» Z Odvisnost D in i od L za gladko (neprekinejno) in s platnom prevlečeno ploskev valja (Črtkano). Napake, to so izračunani efektivni odmiki, ki jih kaiejo navpične črtice, so večje v drugem primeru kot v prvem. 15 10 9 0 D + 6 cm I A 0 S 10 IS 20 cm ti niza izrnerkov določene količine xi, . . xn dobimo izid, ki je najbližji neznanemu pravemu izidu, s povprečno vrednostjo - 1 , ^ K = -f*l + X3 + . . . + Xn). n 2 efektivnim odmikom povprečja fix= - - Xj }s + (x - x2)s + . . . + (x - xny povemo, kako natančen je izid x = x ± Sx. Dostikrat imenujemo Sx kar absolutno napako. Relativno napako 6x/x izražamo v odstotkih Žepni računalnik ima poseben statistični program, ki hitro izračuna povprečje in efektivni odmik. Pogosto efektivnega odmika ne izračunamo, ampak ga ocenimo z absolutno vrednostjo razlike tipičnega izmerka od povprečja. koeficient trenja med valjem in papirjem. Po Newtonovem zakonu mva\ =. = kgmt, v katerem je mv vztrajna masa valja, se giblje valj s pospeškom •l = —■ d) mv Hitrost valja glede na mizo je v = a\t in premik x ~ . Valj pade z zgornjega papirja ob času fj in poslej drsi po spodnjem papirju. Enačba x(ti) — *o(!l) pripelje do zveze y a0 - ai V tem trenutku se giblje valj s hitrostjo vj = ai t\ in je premaknjen za sj = a\ t^. Tu smo spregledali postopno spremembo sile od fr^mt na 0, ko se rob papirja premika prek valja, te bi hoteli to spremembo dosledno upoštevati, bi računanje močno zapletli. Pri premikih, ki so veliki v primeri s premerom valja, s tem nismo zagrešili velike napake. Med gibanjem vaija po padcu deluje spodnji papir nanj z vodoravno komponento sile F =: —kgmt in po Newtonovem zakonu je njegov pospešek a2 = -kgm,/mv = -ai (2) Hitrost valja je v = 32(f ™ h) + vi in njegov skupni premik od začetka poskusa s = a2(t - ti J2 + vj(f — ti) + si, f > tj. Valj se zaustavi v trenutku t^, ko je i/ft;) =■ 0, torej ^ = ti - v\/a?. S tem dobimo odmik D = (3) 32 30 - ai Razmerje D/L določa razmerje pospeškov ap 'n 3l; ai D Pikolovsko smo razločevali vztrajno ir> težno maso samo zato, da smo izrecno pokazali vlogo vztrajnosti. Zaradi ekvivalentnosti obeh mas moramo postaviti mt/mv = 1. Od mase neodvisni izid ne pomeni, da vztrajnost ni pomembna, ampak da sta vztrajna in teína masa enaki. Podobno ravnamo na primer pri izvajanju enačbe za nihanje nltnega nihala. S telesom z vztrajno maso 0 poskusa ne bi mogli narediti (mv —• 0 pripelje do 3i —> 00), kakor ga ne bt mogli narediti, če ne bi bilo trenja [k — 0 pripelje do ai —* 0). Izmerjeni premik D(¿) pri začetni razdalji L = 5 cm, 10 cm, 15 cm, in 20 cm za dano spodnjo ploskev valja kaie, do kolikšne mere je razmerje D/L konstantno. To vetja v okviru napak pri merjenju (slika 1) in se sklada s privzetkom, da je razmerje 3o/si konstantno. Iz merjenj stedi za to razmerje 11, 1 ± 0, 6 za gladko ploskev valja in 7, 9 ± 0, 6 in za ploskev, prevlečeno s platnom. Da bi izboljšali natančnost, poskusimo meriti drugače. Valj spustimo po klancu z dolžino L o pri danem nagibu

tpQ. Klanec se konča v vodoravnem izteku, v katerem doseže valj razdaljo L1. preden se zaustavi. Po izreku o kinetični in potencialni energiji se začetna potencialna energija mg Lq sin ip porabi za delo sile trenja L^k mg cos ip + L 1 k g ni Izračunamo efektivni koeficient trenja _ to sin