MATEMATIKA
Približna konstrukcija kota 1 radian
•is ■i' ■i'
Jens Carstensen in Alija Muminagič
-> Spomnimo: radian (oznaka rad) je merska enota za kot. Velikost središčnega kota (a) v radianih je enaka kvocientu dolžine krožnega loka (l) nad tem kotom in polmerom kroga (r) a = l (glej sliko 1).
Po definiciji je radianska mera polkroga, ki v stopinjah meri 180°, enaka kvocientu dolžine polkroga in polmera: rn
r
= n.
Velja torej 180° = n rad in od tu sledi 180°
1 rad =
n
57,29578° = 57°17'44,8'
in
1° =
n
180°
rad « 0,01745 rad.
Obstaja dokaz, da tocna konstrukcija kota 1 rad ni možna. A obstaja mnogo (zelo duhovitih) približnih
SLIKA 1.
konstrukcij, od katerih bomo v tem prispevku predstavili tri.
1. konstrukcija
Narišimo krožnico k s polmerom 1. V tocki A narišemo tangento t in na isti strani tocke A izberemo tocki B in C, tako da je AC = f in AB = vf. Konstrukcijo daljice vf kaže slika 2. Na koncu poiščemo na tangenti t tocko D tako, daje CD = 4 BC. Premica skozi tocki O in D seka krožnico v tocki E. Trdimo, da je dolžina loka AE približno enaka 1 rad. Poglejmo: AD = AC + CD = AC + 1 BC = AC + 4 (AB -
AC) = 4AC + 4AB = f ■ f + 1 vf « 1,558012702, pri cemer je tan1 = 1,557407725. Bralci sami ocenite napako.
B D
C
A
SLIKA 2.

1
t
PRESEK 43 (2015/2016) 5
9
MATEMATIKA
—^ 2. konstrukcija
Krožnici k s polmerom 1 vrišimo medsebojno pravokotna premera ADlBC (glej sliko 3). Tocka E raz-polavlja daljico OA, tocka F pa naj leži na daljici AD tako, daje EF = EB. Konstruiramo krožnico k1 s središčem v O in polmerom OF ter tangento iz tocke B na to krožnico. Ta tangenta se dotika krožnice k1 v tocki G in seka krožnico k v tocki H, kakor kaže slika 3. Pitagorov izrek za trikotnik AOEB pove:
BE2 = OE2 + OB2 = ( ^ 1 + 12 = t-
72
?2
I 2
5
4
Od tod sledi BE = Naprej velja GO = FO =
EF - EO = BE - EO = ^ - 2 =
tniku AOBG je sin ZOBG = GO = GO = ^T-1
V triko-kar

0,666239 rad ali
2 rad + 3 rad = 1 rad.
B
D
H
/ / / / / / / / / / / / / / / / /			
/ / / / ' '¡0 1 /\			
F	O	E	1
		k1	
K ----			k
?A
C
SLIKA 3.
V tem primeru je približna vrednost za 1 rad dana s § arcsin ^T « 0,999359 rad.
Spotoma dobimo za nagrado še oceno krožne konstante n: Pitagorov izrek za trikotnik AOBG da:
BG2 = OB2 - OG=12-
VŠ - 1
V5 - 1 2
^ BG =
0,618034 ^
VŠ - 1
2
0,786151
pomeni ZOBG = arcsin 2
arcsin (^l-1) « 3 rad.
Po izreku o središcnem in obodnem kotu je ZHOC = 2 ■ ZHBC = 2 ■ ZOBG « 2 ■ f rad = | rad. Premica skozi tocko O, vzporedna daljici BH, seka krožnico k v tocki K. Velja ZHOK = 2 rad (= ZKOC). Simetrala kota ZKOC seka krožnico k v tocki L in s slike 3 vidimo, da je ZHOL = ZHOK + ZKOL "	"
To število je skoraj enako 4 ~ 0,785398. Torej štiri-kratnik daljice BG je približno enak krožni konstanti n, ki ima približno vrednost 3,141592:
■ 4 ■ ^1 = V8(V5 - 1) « 3,144605.
Ob izpeljavi spomnimo še na zlati rez. Zlati rez daljico d razdeli na dva neenaka dela % in d - x. Razmerje dolžine vecjega dela in dolžine daljice je enako razmerju dolžin manjšega in vecjega dela % = . Od tod sledi %2 + dx - d2 = 0. Ce je d = 1 je rešitev
kvadratne enacbe % =
V5-1
Tocka F razdeli daljico
Tz FO DF fo
Li DO FO ^ FO
DO v razmerju zlatega reza ^l-1, kot smo zgoraj pokazali.
3. konstrukcija
EA je premer polkroga k s polmerom 1, OBlEA in tocka C leži na EA tako, da je AC = AB. Jasno je, da je AC = v2 (glej sliko 4). Pravokotnica narisana v tocki C seka krožni lok k v tocki D. Tako je OD = 1 in O C = AC - AO = v2 - 1. Pitagorov izrek za trikotnik AOCD pove CD2 = OD2 - OC2 = 12 -(72 - 1)2 = 2 (V2 - 1).
Nadalje velja CE = AE - AC = 2 - /2. V trikotniku ADEC po Pitagori DE2 = CD2 + CE2 = 2 (/2 - 1) -
(2 - V2) = 2/2 (/2 - 1) in koncno v trikotniku
ADEC vej sm2 p = DE2 = JT^/^ = 72. Od tu sledi p = arcsin / « 0,9989 rad.
Ta konstrukcija je elegantna in ima majhno napako (poišCcite jo sami).
2
2
1
10
PRESEK 43 (2015/2016) 5	10
MATEMATIKA
A
SLIKA 4.
Literatura
[1]	J. Dickson in N. Lord, Approximate constructions of 1 radian, The mathematical gazette, 98, 542, 2014.
[2]	J. Carstensen in A. Muminagic, Konstruktion of 1 radian, Matematik Magasinet 25, 649.
[3]	J. Carstensen in A. Muminagic, Konstruktion of 1 radian, 2, Matematik Magasinet 78, 2868.
_XXX
Naloga iz
Bakhšalijskega
rokopisa
•is ■i' ■i'
Marko Razpet
Bakhšalijski rokopis
Leta 1881 je kmet pri vasi Bakhšali med kamni razvalin našel vecje število popisanih listov iz brezovega lubja. Precej jih je že unicil ali poškodoval zob casa, malo pa še nespretni najditelj, ki pa je bil vsaj toliko
priseben, da je vse skupaj predal oblastem. Bakhšali je dandanes v Pakistanu, vecje bližnje mesto je Peša-var. V casu najdbe je bil Pakistan del Indije, ki je bila pod angleško kolonialno upravo. Listi so prišli v roke ucenjakov, ki so hitro ugotovili, da imajo opravka z matematično vsebino. Jezikoslovci in matematiki so liste uredili, fotografirali, prebrali in prepisali ter jih zaceli proucevati. Vseh kolikor toliko celih listov je 70; poimenovali so jih Bakhšalijski rokopis. Posamezni listi so velikosti približno 14,5 x 9 cm, hranijo jih v knjižnici v angleškem Oxfordu. Bakhšalijski rokopis matematiki in jezikoslovci še vedno proucujejo, o cemer pricajo objavljeni clanki in knjige.
Bakhšalijski rokopis je napisan v starem indijskem jeziku sanskrtu, ki ni popolnoma klasicen, ker se v njem cuti nekaj lokalnih posebnosti. Pisava pa tudi ni devanagari, ki se obicajno uporablja za pisanje v sanskrtu in v nekaterih današnjih indijskih jezikih. V Bakhšalijskem rokopisu je uporabljena pisava šarada, ki je nastala v severozahodnem delu Indije v 8. ali v 9. stoletju in se je še dolgo potem uporabljala. Števke v rokopisu niso take kot naše, jih pa je 10, vkljucno z niclo. Kar se matematike tice, rokopis uporablja malo simbolov, poleg števk le še vodoravne in navpicne crte ter nekaj kratic.
Glede casa nastanka Bakhšalijskega rokopisa si znanstveniki niso enotni. Nekateri ga postavljajo v 7. ali v 8. stoletje, nekateri še v kasnejša stoletja, nekateri, zlasti Indijci, pa kar v 4. stoletje. Tudi ni jasno, ali je rokopis originalen ali pa je morda prepis še starejšega rokopisa. Kakorkoli že je, rokopis je eden najstarejših ohranjenih, ki so ga našli na indijski podcelini. Tudi o avtorstvu ni veliko znanega; vemo pa, da je bil pisec brahman, predstavnik vodilne hindujske kaste, ki je skrbela za ohranitev in širitev hindujske kulturne tradicije. Brahman se je na enem od listov predstavil kot princ računarjev, sin Čhadžaka.
Za nas je bolj zanimiva sama vsebina Bakhšalijskega rokopisa. Z nam znanimi pojmi bi vsebino rokopisa lahko razdelili na linearne probleme, diofant-ske enacbe, aritmeticna zaporedja, kvadratne enac-be, plošcine in prostornine ter probleme v zvezi z zlatom in denarjem.
www.obzornik.si

PRESEK 43 (2015/2016) 5
11
MATEMATIKA
—^ Naloga
Bakhšalijski rokopis navaja zanimive naloge, ki vodijo do linearnih enacb. Te imajo eno samo ali pa tudi vec rešitev. Oglejmo si primer. Uporabljali bomo besedo dinar, v sanskrtu dinara, ki je bila znana tudi Indijcem kot denarna enota ali določena količina zlata.
Oseba A ima sedem žrebcev, oseba B devet kobil, oseba C pa deset kamel. Vsak da po eno žival ostalima dvema, tako da so potem vsi enako bogati. Najdi vrednost vsake živali posebej in vrednosti vseh živali skupaj za vsakega lastnika posebej.
Vsak žrebec naj stane x1, vsaka kobila x2 in vsaka kamela x3 dinarjev. Pri tem so x1, x2 in x3 naravna števila. Po predaji živali je oseba A imela pet žreb-cev, eno kobilo in eno kamelo, vse skupaj v vrednosti 5xi + x2 + x3 dinarjev. Oseba B je imela sedem kobil, enega žrebca in eno kamelo, kar je bilo vredno x1 + 7x2 + x3 dinarjev, oseba C pa je na koncu imela osem kamel, enega žrebca in eno kobilo v skupni vrednosti x1 + x2 + 8x3 dinarjev.
Ker vemo, da so bili potem vsi enako bogati, denimo, da je bilo premoženje v teh živalih za vsako omenjeno osebo vredno c dinarjev, velja sistem dio-fantskih enacb:
■	5x1 + x2 + x3 = c, x1 + 7x2 + x3 = c, x1 + x2 + 8x3 = c.
Z odštevanjem prve in druge, prve in tretje ter druge in tretje enacbe tega sistema, krajšanjem in preurejanjem dobimo nove enacbe:
■	2x1 = 3x2, 4x2 = 7x3, 6x2 = 7x3.
Leva stran nove prve enacbe je deljiva s številom 2, ki je tuje 3, zato mora x2 biti deljivo z 2. To pomeni, da lahko zapišemo x2 = 2l, kjer je l celo število. Zato je x1 = 3l. Nato dobimo iz nove druge
enacbe 7x3 = 12l, kar pa pomeni, da je l deljiv s 7 in ga lahko zapišemo kot l = 7m, kjer je m naravno število. Tako imamo x1 = 21m, x2 = 14m in x3 = 12m. Ker je 6x2 -7x3 = 6- 14m-7- 12m = 0, je izpolnjena tudi nova tretja enacba. Vsaka oseba ima torej živalsko premoženje v vrednosti c = 131m dinarjev. Žrebci so po 21m dinarjev, kobile po 14m dinarjev in kamele po 12m dinarjev. Pri tem je m naravno število. Rešitev je torej nešteto. Rokopis navaja samo eno: x1 = 42, x2 = 28, x3 = 24, c = 262. Dobimo jo iz našega rezultata za m = 2.
Opomba
Podobne naloge so, kar je presenetljivo, sestavni del z Nobelovo nagrado nagrajene Nashove teorije o vrednosti izdelkov v zaprti ekonomiji. John Forbes Nash mlajši (1928-2015) je bil ameriški matematik in ekonomist. Poleg Nobelove nagrade za ekonomijo leta 1994 (skupaj z Reinhardom Seltenom in Johnom Harsanyijem) je leta 2015 Nash prejel tudi Abelovo nagrado (skupaj z Louisom Nirenbergom), ki se od leta 2003 podeljuje za pomembne rezultate v matematiki.
Literatura
[1]	August Frederich Rudolf Hoernle, On the Ba-khshali Manuscript, Bibliolife, Charleston; faksimile knjižice, ki je izšla na Dunaju 1887 pri založbi Alfred Holder.
[2]	Svami Satya Prakash Sarasvati, Dr. Usha Jyoti-shmati (ur.), The Bakhshali Manuscript, an Ancient Treatise of Indian Arithmetic, Dr. Ratna Kumari Svadhyaya Sansthana (izd.), Allahabad, 1979.
_ XXX
www.dmfa.si
www.presek.si
12
PRESEK 43 (2015/2016) 5	12