G   G          ̌   G  G         ̌   P 49 (2021/2022) 226 Paradoks slabovidne priče B̌ K V nekem velemestu se je ponoči zgodila prome- tna nesreča, njen povzročitelj pa je s kraja nesreče pobegnil. Priča nesreče trdi, da je nesrečo povzro- čil taksi bele barve. Ker je v mestu 90 % taksijev rumenih in le 10 % belih, ta podatek zelo zoži krog osumljencev za policijsko preiskavo. Toda labo- ratorijski preizkus priče pokaže, da je priča slabo- vidna in v nočnih razmerah pravilno določi barvo taksija le v 80 % primerov. Čeprav se na prvi po- gled zdi priča dovolj zanesljiva, bo natančnejši iz- račun pokazal nasprotno. Verjetnost, da je nesrečo res povzročil beli taksi, je kljub izjavi priče precej majhna. Danes dobro znani paradoks sta leta 1982 v knjigi o odločanju v negotovih okoliščinah prva opisala matematično izobražena psihologa Amos Tversky in Daniel Kahneman, ki je kasneje prejel tudi Nobelovo nagrado za ekonomijo. V tem pri- spevku bomo paradoks pojasnili in ga z GeoGebro ponazorili tudi grafično. Nekatere bralke in bralci bodo v problemu takoj prepoznali pogojno verjetnost in ga rešili s pomočjo Bayesove formule. Toda poskusimo vse skupaj razlo- žiti brez uporabe tovrstnih orodij. Predstavljajmo si, da je v mestu 100 taksijev, med katerimi je 90 ru- menih in 10 belih, nesrečo pa je povzročil naključno izbrani taksi. Če vse taksije pokažemo priči v nočnih razmerah, bo priča barvo pravilno določila v 80 % pri- merov. Torej bo med 90 rumenimi taksiji pravilno prepoznala le 72 rumenih, ostalih 18 pa bo napačno označila za bele. Podobno bo priča med 10 belimi ta- ksiji pravilno prepoznala osem belih, preostala dva pa bo napačno označila za rumena. Skupaj bo priča med 100 taksiji kar 18 ` 8 “ 26 taksijev prepoznala kot belih, čeprav je belih v resnici med njimi le osem. Če priča trdi, da je nesrečo povzročil beli taksi, ima torej prav le v osmih primerih od 26, kar je enako 8 26 .“ 31 %. To razmerje predstavlja verjetnost, da je nesrečo res povzročil beli taksi, če tako trdi naša priča, in rezultat je manjši od 1{3. Presenetljivi rezultat lahko pojasnimo z ugotovi- tvijo, da je belih taksijev le 10 %, zato je verjetnost, da je nesrečo povzročil beli taksi, razmeroma majh- na. Le 80 % zanesljivost priče v tej situaciji ni do- volj, da bi se verjetnost bistveno povečala. Ugoto- vitev si velja zapomniti: če malo verjeten dogo- dek potrdi ena razmeroma zanesljiva priča, to ne pomeni nujno velike verjetnosti, da se je dogodek res zgodil. Drugače pa bi bilo, če bi priča trdila, da je nesrečo povzročil rumeni taksi, in bi določali ver- jetnost, da je to res. Verjetnost rumenega taksija je 90 % in je že brez pričanja zelo visoka, zato jo dodatno pričanje v to smer še poviša. S podobnim sklepanjem kot prej dobimo rezultat 7272`2 .“ 97 %, saj bi priča pravilno prepoznala 72 rumenih taksijev, le dva bela taksija pa bi napačno prepoznala kot ru- mena. Z GeoGebro lahko opisano situacijo lepo ponazo- rimo s pomočjo ploščin likov. Ob tem bomo lahko razmerje med belimi in rumenimi taksiji ter zaneslji- vost priče kasneje tudi spreminjali s pomočjo pomi- kanja ustreznih točk. Za konstrukcijo uporabimo na- slednje korake: Izklopimo označevanje novih objektov in z uka- zom Mnogokotnik((0,0),(0,1),(1,0),(1,1)) narišemo enotski kvadrat, ki predstavlja množico vseh taksijev. Obarvajmo ga črno in nastavimo prosojnost na vrednost 0, da bo površina vseeno bela. G  G         ̌   P 49 (2021/2022) 2 27 Približamo pogled in na spodnji stranici kvadrata izberemo poljubno točko A. Njena x-koordinata a=x(A) bo predstavljala delež vseh rumenih taksijev. Pomaknemo jo na vrednost 0,9, kar ustreza podatkom naloge. Z ukazom Mnogokotnik((0,0),(a,0),(a,1),(0,1)) nari- šemo pravokotnik, ki predstavlja rumene taksije. Obarvamo ga rumeno. Na levi stranici kvadrata izberemo poljubno točko B. Njena y-koordinata b=y(B) bo predstavljala za- nesljivost priče, torej delež pravilno prepoznanih taksijev. Postavimo jo na vrednost 0,8 kot v nalogi. Napačno prepoznane taksije bomo označili s šra- firanim pravokotnikom, ki ga narišemo z ukazom Mnogokotnik((0,b),(1,b),(1,1),(0,1)). Verjetnost, da je nesrečo res povzročil beli taksi, če tako trdi priča, je enaka razmerju med števi- lom pravilno prepoznanih belih taksijev in števi- lom vseh taksijev, za katere priča trdi, da so beli. To razmerje na sliki predstavlja razmerje med plo- ščino nešrafiranega belega pravokotnika, ki je ena- ka p1 ´aq ¨b in vsoto ploščin nešrafiranega belega in šrafiranega rumenega pravokotnika, ki je enaka p1 ´ aq ¨ b ` ap1 ´ bq. Splošna formula za iskano verjetnost je torej enaka p “ bp1 ´ aq a` b ´ 2ab in jo lahko izpišemo na zaslon s pomočjo ukazov za besedilo in označevanje točk. Pri začetnih po- datkih a “ 0,9 in b “ 0,8 lahko že s pogledom grobo ocenimo, da bo iskana verjetnost približno 1{3, točen rezultat je 0,308. Z upoštevanjem doslej navedenih korakov smo do- bili situacijo na sliki 1. S pomikanjem drsnikov lahko zdaj preprosto opa- zujemo, kako se spreminja verjetnost, če spremi- njamo delež rumenih taksijev a ali zanesljivost priče b. Če sta a in b enaka, bo verjetnost vselej 1{2. Na prikaz lahko dodamo še krivuljo, ki predsta- vlja množico vseh točk px,yq z isto verjetnostjo p “ ppa,bq. V enačbi za p zamenjajmo a,b z x,y in izrazimo y z x in p, da dobimo enačbo krivulje y “ px1´x`2px´p . To krivuljo narišemo na območju 0 ă x ă 1 z ukazom If(0