IPRESEK list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje 30. letnik, leto 2002/03 , številka 2, strani 65 -128 VSEBINA EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU TEKMOVANJE ZA VEGOVO PRIZNANJE TEKMOVANJE DIJAKOV SREDNJIH POKLICNIH ŠOL TEKMOVANJE DIJAKOV SREDNJIH TEHNIŠKIH IN STROKOVNIH ŠOL MATEMATIČNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE NA OVITKU P rip rav ili G regor Dolina r, Darjo Felda in Ma tj až Željko Naloge za 2. razr ed osn ovn e šo le 66-67 Na loge za 3. in 4. razred osnovne šole 67- 70 Na loge za 5. in 6. razred osnovne šole 70-73 Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole 73-76 Naloge za 1. in 2. letn ik srednje šo le , kategor ija A 76-79 Naloge za 3. in 4. let n ik sred nje šole, kategorija A 80-83 Naloge za 1. in 2. letnik sred nje šo le , ka t egorija B 83-84 Na loge za 3. in 4. letnik srednje šole , ka t egori ja B 84-85 Naloge za vse let nike sr ednje šole , kategorija C 85 Rešitve na log 86 P ripravil Aleksander Potočnik Področno t ekmovanje za sre brno Vegovo prizn a nj e 87-91 Rešitve nalog s področnega te kmova nja 91-92 Državno te kmova nje za zla to Vegovo priznanje 92-93 Rešitve nalog z d ržavnega tekmovanja 93-94 Pripravili D ušanka Vrenčur in Anja J esenek Regij sko tekmovanje 95-97 Rešitve nalog z regijs kega te kmovanja . . . . . . . . . . . . . . . 97-98 D ržav no tekmovanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98- 100 Rešitve nalog z državnega tekmovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Pripravili Sonja Perko, Polonca Pavlič , Irena Pivko , Iztok Leskovar in Andrej a Leskovar Reg ijsko tekmovanje 101- 106 Rešitve nalog z reg ijs kega t ekmovanja 106-109 Državno tekmovanje 110-112 Re šit ve nalog z držav nega tekmovanja 112-115 Pripravil Ivlatj až Željko Izbi rn o te kmovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116-117 Rešitve nalog z izbi rnega tekmo vanja 118-121 Državno te kmovanje 122-124 Rešitve nalog z državnega tekmova nja 124-128 St ari plavž v Železnikih so si ogled a li tudi ud eležen ci 46 . ma- temati čnega tekmo va nja sre d nješolcev Slove n ije (fo to Marija Vencelj ) 1 Te tekmovalce je gost ila st a ro dav na Škofj a Loka (zgora j , foto Marija Vence lj ), 2. t ek movanje d ijakov sred nj ih t ehn iških in st ro kovnih šo l pa je bi lo na Srednj i šo li za gostinstvo in t ur i- zem v Ce lj u (spodaj, sliko je pri spevala šola) II 2 . tekmovanje d ijakov sred nj ih poklicnih šo l je potekalo v Novi Gorici , mestu vrtnic (foto Vlad imi r Ben sa ) . . . . II I , IV Evropski matematični kenguru EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU N aloge za 2 . razred osnovne šole 1. Ana, Bojan , Cene in Daša so šli na sprehod . Kdo se je sprehodil do kolesa? Ana Bojan Cene Dasa (A) Ana (D) Daša (B) Boj an (C) Cene (E) Nihče izmed njih . 2. Samo en račun je pravilen . Kateri? (A) 5 + 7 - 2 = 11 (D)3+ 7-1 =11 (B) 6 + 7 - 2 = 11 (E) 8 + 4 - 2 = 11 (C)9+3-0= 11 (A) 229 3. Katero št evilo prebereš? DVESTO DVAINDEVETDESET (B) 292 (C) 922 (D) 20029 (E) 20092 4 . Han a je zbirala barvn e svinčnike. Imela je 32 rumenih, 13 rdečih , 23 modrih, 9 oranžnih in 19 zelenih svinčnikov . Katerih je imela največ? (A) rumenih (D) oranžnih (B) rdečih (E) zelenih (C) modrih 5. Kenguru je za rojstni dan od svoj ih pr ijateljev dobil 10 barvic, 3 slikan ice, 4 ž oge, 1 ka p o , 3 b a lon e in 2 čokoladi. Koliko stvari j e dobil? (A) 15 (B) 17 (C) 20 (D) 23 (E) 27 6. Tevž stanuje v ulici, kjer so hiše oštevilčene s številkami od 1 do 22. Kolikokrat je na hišnih številkah zapisana števka 2? (A ) dvakrat (D) šestkrat (B) štirikrat (E) osemkrat (C) petkrat IEvropski matematični kenguru 7. Tina ima 2 leti . Njen br at Blaž ima dvakrat toliko let kot Tina. Njuna sestrična Katj a ima to liko let kot Tina in Blaž skupaj. Koliko let ima Katj a? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 8. Žan je imel 12 kroglic in 12 barvnih t ra kov. Izdeloval je novoletne okras ke. Za vsak okr asek je porabil 2 kroglici in 3 barvn e t rakove. Največ koliko okraskov je naredil? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 12 (E) 24 9. Na kat eri sliki je narisan trikotnik? (A) O (B) A (C) [) (D) V rE)/\ 10. Luka, Nina , Blaž in Špela so tekmovali v te ku na 100 m. Nina je pritekla na cilj pred Lukom in za Blažem. Špela je pritekla na cilj pr ed Blažem . Kd o je prvi pritekel na cilj? (A) Luka (B) Nina (C) Blaž (D) Špela (E) Nemogoče je določiti . Naloge za 3. in 4 . razred osnovne šole 1. Katerega od koščkov smo vzeli s slike? (A) c2l (B) lZJ (C) W (D)O (E) ~ 2 . Koliko dobimo, če izračunamo 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2? (A) O (B) 2 (C) 4 (D) 12 (E) 20 3. Naloge za 2. razred osnovne šole, naloga 5. Evropski matematični kenguru I 4 . Na levi strani tehtnice je 6 poma- ranč, na desni pa sta 2 melani. Če na levo stran po lož imo še 1 m elono , bo tehtnica v ravnot ežju. Koliko tehta 1 me lona? (c) LLJ (B ) enako kot 3 pomaran č e (D) enako kot 5 pomaranč (B) (E) D enJ (A) enako kot 2 pornaran či (C) enako kot 4 pomaranče (E) enako kot 6 pomaranč Kat erega od spodnjih likov ni v desn em kvadratu? (A) (D) 5 . 6. Človeško srce utripne pribl ižno 70-krat veni m inut i. P ribližno koli- kokrat utripne v eni uri? (A) 420-krat (D) 7000-kra t (B) 700-kra t (E) 42000-krat (c) 4200-krat 7 . Tevž stanuj e v uli ci , kjer so hiše oštevilčene s številkam i od 1 do 24. Ko likokrat je na hišnih številkah za pisana števka 2? (A) dvakrat (D) šes tnajstkrat 8. V dalj avi vid imo obris gr adu (glej desno sliko) . Katera od spo- dnjih črt ni del ob risa? (B) štir ikrat (C) osemkrat (E) dvaintridesetkrat (A)~ (B) J' (C) LJ (D) L/ (E ) I 9 . Koliko dobim o, če številu 17 najprej prišt ejem o najmanjše dvomestno število, na to pa dob ljeno vso to delimo z največjim enomest nim številom? (A) 3 (B ) 6 (C) 9 (D) 11 (E) 27 I Evropski matematični kenguru 10. Jasna, Vesna , Ajda in Ela so se rodile 1. marca , 20. marca, 17. maj a in 20. julija, ne nujno v tem vrstnem red u. Vesn a in Ajda sta se rodili istega meseca , J asna in Ajda pa istega dne v mesecu. Kat era od deklet se je rodila 17. maja? (A) J asn a (D) Ela (B) Vesna (C) Ajda (E) Nemogoče je določiti . 11. Kenguruj i An že, Aljaž in Aljoša so te k- movali, kdo bo prvi prišel na drugo stran parka. Začeli so hkrati, vsi so skakali z enako hit rost jo, vsak pa je ubral svojo pot (glej sliko). Kaj se je zgodilo na drugi strani parka? (A) Aljaž je bil prvi . (B) Aljoša je bil zadnji . An že Aljaž (C ) Vsi trije so hkrati pr išli na drugo stran parka. (D ) Anže in Aljoša sta hkrati prišla na drugo stran parka. (E ) An že in Aljaž st a hkrati prišla na drugo stran parka. Alj oša 12. Babičina ur a je padla s stene in se razbila na štiri kose. Vnukinj a Mateja je seštela števila na vsakem od kosov in ugotovila , da je dobila zaporedna števila . Katera ura je babičina? (E) 34 (C) (E) (B) (D) (A) 13 . Rok je iz vseh svoj ih kock napravil IJ figura z luknjo (glej levo sliko) . Nato je figura podrl in sestavil piramido brez lu- kenj (glej desno sliko). Koliko kock mu je ~t:;i:;i::~'1"V ostalo? L---'-----'-----'----'-Y (A ) 15 (B) 18 (C) 22 (D) 29 Evropski matematični kenguru I 14. Na taborjenju pri jatelji Tadej, J an , Dejan in Mat ic vsak dan skupaj večerj ajo za isto mizo. Tad ej vedno sedi na istem mestu . Na koliko različnih načinov lahko prijatelji sedijo za mizo? (C) na deseto(B) na deve to (E) na sede mnajsto (A) na 3 (B) na 4 (C) na 6 (D) na 24 (E) na 25 15. Na matematičnem te kmovanju se je zbralo 28 učencev. Število te k- movalcev , ki so bili slabši od Nejca, je bilo dvakrat večje od šte vila tekmovalcev, ki so bili boljši od Nejca. Na katero mesto se je uvrstil Nejc? (A) na osmo (D) na šestnajsto Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole 1. Na loge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 8. 2 . Število 2002 se prebere enako z leve in desne strani. Katero od naštetih števil nima te lastnosti ? (A) 1001 (B) 1991 (C) 2112 (D) 2222 (E) 2323 3. Oče keng ur u in mam a kengurujka imata 3 hčere kengurujke, vsaka od hčera pa ima 2 brata keng ur uja. Koliko članov ima družina? (A) 5 (B) 7 (C) 8 (D ) 9 (E) 11 4 . St ranica kvad rata ABCD meri 10 cm, kraj ša stra- D F C nica pravokotnika AEFD pa 3 cm . Za koliko centimetrov [] je obseg kvadrata AB CD večj i od obsega pravo kot nika AE FD? (A) za 4 (B) za 6 (C) za 7 (D) za 10 (E) za 14 A E B 5 . Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 9. 6. Denis je en dan po svojem rojstnem dne vu dejal : "Pojutrišnjem bo četrtek." Kdaj je imel Denis roj stni dan ? (C) v sredo (D)~ (A)~ (C) (E)~ (A) v ponedeljek (B) v torek (D) v četrtek (E) v petek Na kateri od ogrlic sta ~ biserov črni? (B) 7. IEvropski matematični kenguru 71 1 8. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 12. 9. Ploščina pravokotnika meri 1. Koliko meri ploščina t rikotnika, ki ga dobimo, če povežemo razpolovišči sosednjih st ranic? (A) ~ (B) ~ (C) ~ (D ) ~ (E) ~ 10. Tina gre zjut raj od doma ob 6.55 uri in pride v šolo ob 7.32 uri . Njena sošolka Urša pride v šolo ob 7.45 uri, čeprav potrebuje za pot do šole 12 min manj kot T ina. Koliko je ur a, ko gre Urša od doma? (A) 7.07 (B) 7.20 (c) 7.25 (D) 7.30 (E) 7.33 11. Liki A, B , C in D so kvadrati . Obseg kva- ---1 drata A je 16, obseg kvadrata B pa 24. Koliko il I B meri obseg kvadrata D? D (A) 56 (B) 60 (C) 64 (D) 72 (E) 80 c 12. Nika, Kaj a , Anj a in Tj aša imajo doma mačko, psa , rib o in papi go, vendar ne nujno v tem vrstnem redu. Kajina žival ima dlake, Tj ašin a ima štiri tačke, Anja ima pti co, Nika in Kaj a pa nimat a mačke . Katera izjava ni pr avilna? (A) Tj aša ima psa. (B) Anja ima papigo. (C) Nika ima rib o. (D) Tjaša ima mačko. (E) Kaj a ima psa . 13. Na avto mobilskem števcu, ki meri prevožene kilom etre, je izpisan o število 187569. Po koliko kilomet rih se bo na števcu naslednjič izpisalo število, sestavljeno iz samih različnih števk? (E)(D) (A) po 1 (B) po 21 (C) po 431 (D) po 12431 (E) po 13776 14. Tinkara je skozi okno opazovala obris zastave, ki je plapolala v vet ru. Katerega od obrisov ni mogla videti, če se zastava ni pretrgala? (A) P(B)~C) 15. Maja in Maša sta imeli skupaj 60 vžigalic. Najprej je Maja napravila t rikot nik, ki je imel vsako stranica sestavljeno iz 6 vžigalic, nato pa je Maša iz vseh preostalih vžigalic napravila pravokotnik, ki je imel dve stranici dolgi po 6 vžigalic . Koliko vžigalic je Maša uporabila za vsako od drugih dveh stranic pr avokotnika? (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 30 Evropski matematični kenguru I 16. Čarovnik Miha ima v svojem klobuku 14 sivih, 8 belih in 6 črnih za jcev. Najmanj koliko zaj cev mora na slep o potegniti iz klobuka , da bo prepričan , da je iz klobuka pot egnil vsaj enega za jca vsake barve? (A ) 9 (B) 15 (c) 21 (D) 22 (E) 23 17. Koliko je razlika med največjim t rimes t nim številom, ses tavljenim iz samih različnih št evk, in najmanj šim t rimestnim številom, sestavljenim iz samih različnih števk? (A ) 100 (B ) 800 (C) 864 (D) 885 (E ) 899 18. Naloge za 3. in 4. razred osnov ne šole, naloga 15. 19. V št irih enako velikih kvadratih so označena~~ razpolovišča stranic, ploščine osenčenih delov pa so ) P2 - . K · lia? 11oznacen e s P1, P2, P3 m P4· aj ve Ja. (A) P3 < P4 < P1 = P2 (B) P3 < P1 = P2 = P4 (c) P3 < P1 = P4 < P2 (D) P3 < P4 < P1 < P2~~) (E) P4 < P3 < P1 < P2 4 Pa 20. Pladnji A , B in C so urejeni po naraščajoči t eži. Kam mo ramo postavit i pladenj X ? ~ DOQ il6il .xori AB e X (A ) med A in B (B ) med B in C (C) pred A (D ) za C (E) C in X t ehtata enako. 21. Računalniški virus briše podatke s trdega diska. Prvi dan izbriše ~ podatkov, drugi dan i preostalih podatkov in tretji dan t pod atkov , ki so še ostali po drugem dnevu. Kolikšen del prvotnih podatkov ostane na disku? (A) 214 (B) 112 (C) 110 (D) i (E) t 22. Koliko je največj a možna vsota števk vsote števk trimest nega števila? (A ) 9 (B ) 10 (C) 11 (D) 18 (E ) 27 23. Vsaka od mejnih ploskev kocke je druge barve. Ana , Met a in Aleša so si po vrsti ogledale kocko iz različnih smeri. Vsaka je poved ala , katere barve je videla , ne da bi obračala kocko. Ana je videla modro, b elo in rumeno, Meta je videla črno, modro in rdečo , Aleša pa je videla zeleno, črno in belo . Kakšn a je ploskev nasp roti beli ploskvi? (A ) rdeča (B) modra (C) črna (D) zelena (E) rumena IEvropski matematični kenguru 24. V kro ge bi radi razporedili števila od 1 do 7 tako, da bo do vsote treh šte vil na vsaki ravni črti enake. Kaj velja? (A) Števil t ako ne moremo raz poredit i. (B) Števila lahko razporedimo na en sam način . (C) Za število v srednjem kr ogu imamo dve možni izbiri . (D) Za število v srednjem krogu imam o t ri možne izbire. (E) V srednji kr og lahko post avimo kat erokoli število od 1 do 7. Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole 20° (D) 10 (E) 11(C) 8(B) 6(A) 4 10°3. Kateri izraz ima največjo vrednost? 1. V stroju sta dve zobati kolesi , polmer večjega ko- lesa je t rikrat večj i od polmera manj šega kolesa (glej sliko). Kaj se zgodi z manj šim kolesom , če se večje kolo enkrat zavrt i v nasprotni smeri urinega kazalca? (A) Enkrat se zavrti v smeri urinega kazalca. (B) Trikrat se zav rti v smeri urinega kazalca . (C) Trikrat se zavrti v nasprotni smeri urinega kazalca . (D) Devetkrat se zavrti v smeri urinega kazalca. (E) Devetkrat se zavrt i v nasprotni smeri urinega kazalca. 2. Koliko različno velikih kot ov, ki so manjši od 1800 , je na sliki? (A) 10 ·0.001 . 100 (D) 10000· 100 : 10 (B) 0.01 : 100 (C) 100: 0.01 (E) 0.1 ·0.01 . 10000 4. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 13. 5. Kateri od naštetih ulomkov je največji? (A) ~ (B) ** (c) ~~~ (D) ~~~~ (E) ~~~~~ 6. V angleškem kraju Newbury vzid e sonce 1. julija ob 4.53 uri in zaide ob 21.25 uri . Koliko je ura na polovici časovnega intervala med sončnim vzhodom in zahodom? (A) 11.08 (B) 12.39 (C) 13.09 (D) 16.32 (E) 24.78 Evropski matematični kenguru I 7. Točke K , L , .M in N so razpolovišča stra- D iV C nic pravokotnika ABCD , točke 0 , P , R in S ° Spa so razpolovišča stranic št ir ikotnika K Liv!N .Kolikšen del pravokotnika ABCD je osenčen? J{ 111 (A ) ~ (B ) ~ (c) ~ (D) ~ (E) ~ A L B 8. Naloge za 5. in 6. raz red osnovne šole, nalo ga 12. 9. Na zab avi so t rij e otroci skupaj pojedli 17 piškotov. Aleš je izm ed vseh otrok pojedel največ piškotov. Najmanj koliko piškotov je pojedel Aleš? (A ) 5 (B ) 6 (c) 7 (D ) 8 (E ) 9 10. Ko cka na sliki im a na spodnji ploskvi 6 pik, na levi ploskvi 4 pike in na zadnji ploskvi 2 piki . Koliko je največj a vsota pik na t reh plo skvah, ki imajo skupno oglišče? ... (A) 9 (B) 12 (c) 13 (D) 14 (E ) 15 11. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, nalo ga 14. 12. Jan potrebuje 2002 jaj ci. Vsaka od njegovih 23 kokoši znese vsak dan 1 jaj ce. Čez koliko dni bo J an ime l 2002 jaj ci in koliko jajc bo tistega dne še ostalo? (A) čez 87 dni O jaj c (B) čez 87 dni 1 jajce (C) čez 88 dni 20 jaj c (D ) čez 88 dni 21 jaj c (E) čez 88 dni 22 jaj c 13. Koliko je ~=~, če je %= ~ in ~ = ~? (E ) Nemogoče je določiti . (A ) 172 (D) f (B) ~ (c) 285 14. Ladj a je s samot nega otoka reš ila 30 brodolom cev. P red t em je bilo na ladji dovolj zalog hrane še za 60 dni plovbe, po tem pa samo še za 50 dni plovbe. Ko liko ljudi je bilo na ladji , preden je rešila brodolomce? (A) 15 (B ) 40 (C) 110 (D ) 140 (E) 150 I Evropski matematični kenguru BG (E) 5 C +--- .,---+-- =1-- --; 15. Dan je pravokotnik ABCDs ploščino 15. Krožnici s središčema E in F na stra- nici CD se dotikata, kr ožnica s središčem F se doti ka t udi stranice A B v točki G ter st ranice B C v točki C . Krožnica s središčem E se dot ika st ranice AD v točki D (glej sliko) . Koliko meri ploščina osen- A čenega trikot nika? (A) ~ (B) 145 (c) 4 (D) 2v5 (C) sreda(B) torek (E) sobota 20. Nekega meseca so bile tri nedelj e na sod e datume. je bil 20. tega meseca? (A) ponedeljek (D) četrtek 16 . Na tehtnico sta hkrati sto pili po dve izmed pet ih deklet . Pri vseh različnih kombinacijah dvo jic dek let je tehtnica pokazala 90 kg, 92 kg, 93 kg, 94 kg, 95 kg, 96 kg, 97 kg, 98 kg, 100 kg in 101 kg. Koliko kilogramov teht a pet deklet skupaj? (A) 225 (B) 230 (c) 239 (D) 240 (E) 250 17. Po lona, Barbara, Neja in Sara so se lovile po stanovanju. Med pr erivanjem je ena razbila vazo. Oče j ih je vprašal , kat era je razbila vazo. Deklet a so odgovoril a : Polona: "J az je nisem ." Barbara: "J az je nisem ." Neja: "Sara jo je." Sara : "Barbara jo je. " Oče je ugotovil, da je lagala natanko ena . Katera? (A) Polona (B) Barbara (C) Neja (D) Sara (E) Nemogoče je določiti . 18. V Kanadi del prebivalcev govor i samo angleško, del samo francosko, del pa oba jezika. Angleško govori 85 %, francosko pa 75 % prebivalcev . Koliko odstotkov prebivalcev Kan ade govori oba jezika? (A ) 25 (B) 40 (C) 50 (D) 57 (E) 60 19. Na pravokotno mrežo velikosti 2 x 9 smo položili kovance tako, ela velja: na kvadratku mr eže je kovanec ali pa ima kva- dratek skupno stranico s kvadratkom , na katerem je kovanec. Na jmanj koliko kovan cev je na mreži? (A)5 (B)6 (C) 7 (D)8 (E)9 Kateri dan v tednu Evropski matematični kenguru 21. Skozi kocko velikosti 5 x 5 x 5, sestavljeno iz kock velikosti 1 x 1 x 1, smo izvrtali tri luknj e velikosti 1 x 1 x 5 (glej sliko) . Dobljeno te lo smo potopili v barvo. Koliko malih kock ima pobar- vano natanko eno ploskev? (A ) 24 (B ) 26 (C) 30 (D) 40 (E) 48 v v IJ< ,,)7 Vl7 22 . Neža se je iz Tr ente s kolesom odpeljala na Vršič . Navz gor je pe ljala s hitrostjo 12 km /h, nazaj v Trento pa s hitrostjo 20 km /h. Koliko kilometrov je iz Trente do Vršiča , če je Neža za pot navzdol potrebovala 16 min manj kot za pot nav zgor ? (A) 8 (B) 10 (c) 12 (D) 14 (E) 20 23. Največ koliko različnih presečišč imajo lahko tri premice in dve krožnici? (A) 14 (B) 15 (c) 16 (D) 17 (E) 18 24. Na košarkar skem turnirju je sodelovalo 32 moštev. V vseh kolih , z izjemo zadnjega, so bila moštva razdeljena v skup ine po št iri. Vsako moštvo je igralo eno tekmo z vsakim moštvom v svoj i skupini. Zadnj i dve moštvi v vsaki skup ini sta izpadli, pr vi dve pa sta se uvrstili v naslednje kolo. V zadnjem kolu sta preostali dve moštvi igrali za zmago. Koliko tekem je bilo odigran ih na t urnirju? (A) 49 (B) 89 (C) 91 (D) 97 (E) 181 Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorija A 1. Na družinskem dr e- vesu puščice kažejo od očeta k sinu . Kako je ime sinu od brata sta- rega očeta od brata Ro- bertovega očeta? Oto n / <, .\ Iet od Tomaž /' / ~ B~~~ J~~ /'" Klem en Peter ! Rober t .Tnš \ Aleš (A) Aleš (B) Tomaž (C) Klemen (D) Boštjan (E) Oton 2. Računalniški virus bri še podatke s trdega diska. P rv i dan izbriše ~ pod atkov, drugi dan ~ preost alih podatkov, tretji dan ~ po datkov, ki so še ostali po drugem dnevu, in četrt i dan i podatkov, ki so še ostali po t retj em dnevu. Kolikšen del prvot nih podatkov ostane na disku? (A) 214 (B) 1~ (C) IlO (D) i (E) i I Evropski matematični kenguru 3. Miha teče trikrat hit reje kot Mojca. Teči st a začela hkrat i iz točke P , vendar v nasprotnih smereh (glej sliko). V kateri A točki na tekaški stezi sta se srečala? (A) A (B ) B (C) C (D) D (E) E B C D Mi ha Moj ca E 4. Na zabavi je šest otrok skupaj po jedlo 20 piškotov. Barbara je po jedla 1 piškot, Nataša 2 piškota in Simona 3 piškote. Aleš je izmed vseh otrok pojedel največ piškotov. Na jmanj koliko piškotov je pojedel Aleš? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 5. Naloge za 5. in 6. raz red osnov ne šole, naloga 17. 6 . V trgovini prodajajo sadje le v košaricah po 1 kg: košarica kivija stane 2 evra, košarica grozdja 3 evre in košarica jagod 4 evre . Nataša ima 23 evrov in bi rada kupila 8 kg sadja . Največ koliko kilogramov jagod lah ko kupi , če naj porabi ves denar? (A)1 (B ) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 7. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, na loga 24. 8 . Stari grad je poln miši, 25 % miši je belih, 75 % pa črnih . Sive oči ima 50 % belih in 20 % črnih miši, skupaj ima sive oči 99 miši. Koliko miši živi v gradu? (A) 99 (D) 360 (B) 240 (C) 340 (E) Nemogoče je določiti. 9. Ena od mejnih ploskev te lesa je petkotnik. Najmanj koliko mejnih ploskev ima to telo? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 10 10 . Št evilo !VI je zmnožek prvih 2002 praštevil. Koliko ničel je na koncu števila !vI ? (A) O (B)1 (C) 10 (D) 20 (E) 100 11. Trikotnik ABC ima ploščino 1. Na st ra nicah trikotnika označimo točke P , Q, R in S tako, da velja IAPI = IPQI = IQCI in IBRI = IRSI = ISCI · Koliko meri plo š- čina osenčenega lika? (A) i (B) ~ (C) ~ (D) ~ (E) ~ B R S C Evropski matematični kenguru I 12 . S šolskega plesa je najprej odšlo 15 deklet . Ostalo je dvakrat več fantov kot deklet. Nato je s plesa odšlo 45 fan tov in ostalo je petkr at več dek let kot fan tov. Koliko deklet je prišlo na ples? 13 . Št irikot nik ABDE je kvadrat , t r ikot nik B CD pa je enakostraničen. Koliko meri kot tp? (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° (E) 90° (A ) 20 (B ) 25 (C) 35 (D) 40 (E) 75 E D [>c A B 14. Kadar tekoče stopnice ne delujejo , hodi Leon iz pritličj a v prvo nad- stropje 90 sekund , kad ar pa Leon stoji na tekočih stopnica h, ki deluj ejo, pot rebuj e 60 sekund. Koliko sekund potrebuje, da pride v prvo nad st ro- pj e, če ho di po tekočih stopnicah , kad ar delujejo? (A) 30 (B ) 36 (c) 45 (D) 50 (E) 75 15. V kvadratni mreži je razdalja med sosed nj ima tOČkama~' . enaka 1. Koliko meri ploščina osenčenega lika? . . (A) ~ (B) 190 (c) g (D) ~ : (E) ~ ~ .. .. 16. Dan pred svojim rojstnim dnevom je Klemen dejal : "Če bi bila včeraj sreda , bi bil čez 72 ur t isti dan v te dnu, ki bo po jutrišnjem." Kdaj je imel Klemen rojs t ni dan ? (A ) v ponedeljek (D) v sobo to (B ) v četrtek (E) v nedeljo (C ) v petek I I " I 17. 18 . Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole, naloga 23. Na kvadr atnem kosu papi rja označimo oglišča z A, B , C in D . D C C @~ A BA Najprej pap ir prep ognemo tako, da pridet a oglišči B in D v ist o točko in da ležit a st ranici B C in CD na diagonali AC. Nato list še enkrat prep ognemo t ako, da pride oglišče C v točko A. Koliko meri kot tp? (A) 104° (B) 106.5° (c) 108° (D) 112.5° (E) 114.5° I Evropski matematični kenguru 19. Dolžine stranic pravokotnika z obsegom 32 so naravna števila . Koliko lah ko meri njegova ploščina? (A) 24 (B) 48 (c) 76 (D ) 192 (E) 384 (A) 700 (B ) 750 (c) 800 (D) 850 (E) 900 20. Pot res je povzročil dve ravni razpoki na grajski uri . P rva poteka od 1 do 8, druga pa od 3 do Il. Kolikšen kot oklepata? :~23 S\(J4 7 fi 5 21. Dolžine robov tristrane piramide ABGD so [ABI = 9, IB GI = 12, IGA l = 8, lADI = 6, JB DI = 12 in IGDI = 4. Koliko parov podobnih t rikot nikov je med mejnimi ploskvami pir amide? (A) O (B )1 (c) 2 (D) 3 (E) 4 22. Andraž vedn o laže. Nekega dn e je sosedu Filipu dejal : "Vsaj eden izmed naju nikoli ne laže." Kaj vemo? (A) F ilip vedno laže. (C) Filip vedno govori resn ico. (B ) Filip ne govori vedno resn ice. (D) Fi lip ne laže vedno . (E) Filip vedno molči. 23. Trikotnik ABe razdelimo na št iri dele. Ali je mogoče , da so vsi št irje deli ploščinsko enaki? (A) Ne. (B) Da , vendar samo za enakostranični t ri- kotnik. (C) Da , vend ar samo za pr avokotni trikotnik . A (D) Da, vendar samo za to pokotni t rikot nik. (E) Da , vendar samo za ostrokot ni t rikot nik. c B 24. Imenujmo trikot množico t reh točk , ki ne ležijo na ist i premici, ena izmed t reh točk pa je od ostalih dveh točk enako oddaljena. Koliko trikotov je na sliki? (A) 6 (B) 18 (C) 20 (D ) 30 (E ) 36 180 Evropski matematični kenguru Naloge za 3. in 4 . letnik sred nj e šole , kategorija A 1. Veliko kolo naredi 100 obra- tov v eni min uti, maj hno kolo pa 200 ob ratov veni minuti. Koliko obratov veni minu t i naredi sre- dnje kolo? (A ) 100 (B ) 150 (C) 175 (D ) 200 (E ) Nemogoče je določiti . 2. Na loge za 1. in 2. letnik sredn je šole, kategorij a A, naloga 9. 3 . Hotel je v treh poletnih mesecih zaseden 88-odstotno, v pr eostalih mesecih pa 44-odstotno. Koliko odstotna je povprečna zasedenost v vsem letu? (A) 44 (B) 55 (C) 66 (D) 90 (E) 111 4. Največji skupni delitelj naravnih števil a in b je 3. Koliko je zmnožek ab, če je %= 0.4? (A) 10 (B) 18 (C) 30 (D) 36 (E) 90 5. Prizma ima 2002 oglišči . Koliko robov ima? (A) 1001 (B) 2001 (C) 2002 (D) 3003 (E) 4002 6. Ko voda zmrzne, se njena prostornina poveča za Aprvotne prostor- nine. Za kolikšen del prostorn ine ledu se zmanjša prostornina, ko se led stopi? (A ) za 114 (B) za 113 (C) za 112 (D) za A (E) za IlO 7. Trikotnik, katerega ploščina je PO, je pra- vokoten , t rikot niki s ploščinami PI , P2 in P3 pa so enakostranični (glej s liko) . K aj velja? (A) PI + P2 = P3 (B) pi + p~ = P5 (C) PI + P2 + P3 = 3po (D) PI + P2 = V'2P3 (E) PI + P2 + P3 = yl3Po P:\ I Evropski matematični kenguru 8. Ekvator meri pr ibližno 40000 km . Koliko kilometrov meri vzporednik na 600 geografske širine (do 100 km natančno) ? (A) 23500 (D ) 34600 (B) 26700 (E) dru go (c) 30000 9. V kozarec, ki ima obliko valja in je nagnj en za 45o , natočimo vodo (glej sliko). Koliko odstotkov prostorn ine kozarca smo nap olnili z vodo? (A) manj kot 25 (B) 25 (c) 33 (D) 33~ (E) več kot 33~ 10. Na nogometnem turn irju je vsako od desetih mošt ev igralo z vsakim od ost alih moštev nat anko eno tekmo. Za zmago je moštvo dobilo 3 točke , za poraz O točk , pri neodločenem izidu pa st a moštvi dobili vsako po 1 točko . Skupno število vseh doseženih točk na turnirju je bilo 130. Koliko tekem se je končalo z neodločenim izidom? (A )1 (B) 2 (c) 3 (D) 4 (E) 5 (B) 336 (c) 384 (E) Nemogoče je določiti . (A) 320 (D) 468 11. Marko in njegov sin ter J anez in njegov sin so lovili ribe. Marko je ujel toliko rib kot njegov sin. J anez je ujel t rikrat več rib kot njegov sin. Sku paj so ujeli 35 rib . Markovemu sinu je ime Luka. Kako je ime J anezovemu sinu? (A) Matej (B) J anez (C) Marko (D) Luka (E) Nemogoče je določiti . 12. Iz kocke s prostornino 512 dm 3 smo izrezali kva- der. Koliko kvadratnih decimetrov meri površina dobljenega telesa? 13. V podjetju so posodobili proizvodno linij o in zmanjšali st roške za 50 %. Nato so zamenjali dobavitelja surovin in zmanjšali stroške še za 40 %. Nazad nje so spremenili način pakiranj a izdelkov in zmanjšali stroške še za 10 %. Za koliko odstotkov so se zmanjšali stroški v podjetju? (A ) za 67 (B) za 73 (C) za 87 (D) za 92 (E) za 100 Evropski matematični kenguru 15. Koliko uteži C tehta toliko kot 1 utež B ? 14. Točke A, B in C so razpolovišča robov kocke. Koliko meri kot med daljic ama AB in B C? (A) 900 (B) 1000 (c) 1100 (D ) 1200 (E) 1350 A CDJJ?fPJ .4 (E) 7(B) 3 A (A ) 2 16. Kenguru skače iz Bukarešt e v P ari z. Njegov prvi skok je dolg 1 m , vsak naslednji pa je dvakrat dalj ši od pr edhodnega. Po koliko skokih bo kenguru najbliže Parizu , ki je od Bukar ešte oddalje n 2500 km ? (A) po 10 (B) po 11 (c) po 12 (D) po 20 (E) po 21 17. Na gradbišču je kup cevi enakih polrnerov visok 2 m. Koliko metrov meri polmer cevi? (A ) 2+1v'3 (B ) l+1v'3 (C) 2+2v'3 (D) l+2v'3 (E) 1 + v3 18. Ahil in želva se približuj et a mestu. Želva je 990 m pred Ahilom. Koliko časa bo potreboval Ahil, ki preteče 10 m v I s, da bo ujel želvo, ki pr eplazi 1 m v 10 s? (A) 1 min 39 s (D) 990 s (B) 1 min 40 s (C) 1 min 50 s (E) Ahil ne bo nikoli ujel želve. 19. Vsak od členov nekega zaporedja, razen prvih dveh , je vsota vseh pr edhodnih členov. Vsi členi zaporedj a so pozitivni , prvi člen je 1, enajsti člen pa 1000. Koliko je vrednost drugega člena te ga zaporedj a? (A) 2 (B) ~~ (C) 2;40 (D) 12: (E) Nemogoče je določiti . 20. Na koli ko različnih načinov lahko pobarvam o enakostranični A ~ ~ trikotnik , ki je razdeljen na tri enake dele (glej sliko), s tremi od petih barv? Tr ikot nika na prvi in drugi sliki st a pobarvana na različna načina , trikotnika na prvi in tretji sliki 'pa na enak način . (A) 20 (B) 30 (c) 5; (D) 60 (E) 125 IEvropski matematični kenguru 21. Koliko t rikot nikov, ki niso paroma skladni, ima oglišča v ogliščih pravilnega desetkotnika? (A ) 6 (D) 9 (B) 7 (E ) 10 (C) 8 22. Koliko je vsota vseh št irimestnih števil, ki imaj o štiri različne števke 1, 2, 3 in 4? (A) 55550 (A) ~ (B) 66660 (B) l~ (c) 98760 (C) ~ (D) 99990 (E) 100000 24. Kovanec, ki je na za- četku na točki Al , premi- kamo skladno z nasled- njim pravilom: na kate- remkoli koraku lahko ko- vanec premaknemo na točko , ki je oddaljena za dve mest i in je na ist i krožnici. Dovoljeno za- poredje premikov je na pr imer C5 ~ C3 ~ Cl = = A 15 ~ A 13 ~ All ~ ~ A 13 , ni pa na primer dovoljeno premakniti ko- vanca s točke C2 na točko A 16 . Koliko je tak ih točk , kamor nikoli ne moremo položiti kovanca? A 7 AB A 13 Ag A12Al1A1O . (A) O (B) 6 (c) 15 (D) 27 (E ) 30 Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole , kategorija B 1. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 1. 2. Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole, naloga 2. 3. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 3. I 84 Evropski matematični kenguru 4. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kat egorij a A, naloga 4. 5. Naloge za 5. in 6. razred osn ovn e šole, naloga 17. 6. Naloge za 7. in 8. razred osnov ne šole, naloga 6. 7. Naloge za 5. in 6. razred osnov ne šole, naloga 24. 8 . Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 12. 9. Na loge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorija A, naloga 9. 10. Naloge za 1. in 2. letnik srednj e šole, kategor ija A, naloga 10. 11. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorija A, naloga 11. 12. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kat egorij a A, naloga 12. 13. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 13. 14. Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole, naloga 10. 15 . Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 14. 16. Naloge za 7. in 8. razred osnov ne šole, naloga 12. 17. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 2. 18. Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole, naloga 23. 19 . Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 18. 20. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kat egorij a A, naloga 19. 21. Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole, naloga 18. 22. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorija A, naloga 21. 23 . Naloge za 1. in 2. letnik sr ednje šole, kategorij a A, naloga 22. 24. Naloge za 1. in 2. let nik srednje šole, kategorij a A, naloga 24. Naloge za 3 . in 4. letnik srednje šole, kategorija B (B) ~ (C) 2 8 5 (E) Nemogoče je določiti . 1. 2. 3 . 4. 5. 6. 7. 8 . Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kat egorija A, nalo ga 1. Koliko J·e a-b če je !! = g in Q = .fi.? b-c' b 4 c 3 (A) 172 (D) f Naloge za 1. in 2. let nik srednje šole, kategorija A, naloga 9. Naloge za 1. in 2. let nik srednje šole, kategorija A, naloga 2. Naloge za 3. in 4. let nik srednje šole, kategor ija A, naloga 3. Naloge za 3. in 4. let nik srednje šole, kat egorij a A, naloga 4. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, katego rija A, naloga 5. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole , naloga 13. IEvropski matematični kenguru 9. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorija A, naloga 6. 10. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kat egorij a A, naloga 7. 11. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 8. 12. Naloge za 1. in 2. letnik sred nje šole, kategorij a A, naloga 14. 13. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 22. 14. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategor ija A, nal oga 12. 15. Naloge za 3. in 4. letnik srednj e šole, kategorij a A, nal oga 13. 16. Naloge za 3. in 4. letnik srednj e šole, kategorij a A, naloga 16. 17. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 10. 18. Naloge za 1. in 2. letnik srednje šole, kategor ija A, naloga 18. 19. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorij a A, nal oga 11. 20. Naloge za 3. in 4. letnik sred nje šole, kategorij a A, nal oga 15. 21. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 17. 22. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 18. 23. Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole, nalo ga 23. 24. Naloge za 3. in 4. letnik srednje šole, kategorij a A, naloga 21. Naloge za vse letnike SŠ, kategorija C 1. Naloge za 3. in 4. ra zred osnovne šole, naloga 8. 2 . Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 2. 3. Naloge za 5. in 6. raz red osnovne šole, naloga 7. 4. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 6. 5. Naloge za 3. in 4. raz red osnovne šole, naloga 6. 6 . Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 9. 7. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 10. 8. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 11. 9. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, nalo ga 14. 10. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 20. 11. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, nalo ga 14. 12. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 3. 13. Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole, naloga 13. 14. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 17. 15. Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole, naloga 10. 851 Rešitve nalog 2. razred OŠ 3. in 4. razred OŠ Evropski matematični kenguru I 5. in 6. razred OŠ 7. in 8 . razred OŠ 1. in 2. letnik SŠ, kategorija A 3. in 4. letnik SŠ , kategorija A 1. in 2. letnik SŠ, kategorija B 3. in 4. letnik SŠ, kategorija B Vsi letniki SŠ, kategorija C I Tekmovanje za Vegovo priznanje TEKMOVANJE ZA VEGOVO PRIZNANJE Področno tekmovanje za srebrno Vegovo priznanje 6. razred Al. Kolikšen je najmanjši skupni večkratnik vseh delit eljev št evila 72? (A) 12 (B) 18 (c) 36 (D) 72 (E) 144 (C) šest(B) štiri (E) dvanajst A2. Katero število vsebuje 12 tisočic , 12 stotic, 12 desetic in 12 enic? (A) 12121212 (B) 121212 (C) 13332 (D) 12321 (E) Nobeno od ponujenih števil. A3. Koliko naravnih števil je večjih od 3~2 in manjših od 7:5? (A) 67 (B) 68 (c) 69 (D) 70 (E) Nobeno od ponujenih št evil. A4. Ana je imela nekaj jabolk. Tini je dala tretjino jabolk, Darji četrtino jabolk, njej pa jih je ostalo 35. Koliko jabolk je imela na začetku? (A) 60 (B) 84 (c) 96 (D) 108 (E) 420 A5. Koliko enakokrakih trikotnikov je narisanih na sliki? (A) dva (D) osem A6. Eva se je rodila 31. 10. 1981. V letu 2002 ima rojstni dan na četrtek. Na kateri dan se je rodila Eva? (A) v soboto (B) v nedeljo (C) v ponedeljek (D) v torek (E) v četrtek A 7. Telo na sliki je sestavljeno iz petih enakih kock z robom 1 cm . Kolikšna je površina tega telesa? (A) 18 cm 2 (B) 22 cm2 (C) 24 cm2 (D) 26 cm' (E) 28 cm2 AS. Točki A in B sta od premice poddaljeni 3 cm, od točke T , ki leži na premici p, pa 4 cm. Točke A, B in T ležijo na skupni premici. Kolikšna je razdalja med točkama A in B? (A)3cm (B)4cm (C)6cm (D) 7 cm (E)8cm 188 Tekmovanj e za Vegovo priznanj e I Bl. J ože odreže od kartončka, ki ima obliko kvad rata , vzporedno z enim rob om šest ino kartončka, Potem odreže na tak način petino ostanka, nato četrtino novega ostanka , nato t retjino pr eost alega dela in še polovico kartončka , ki je še ostal. Kolikšen del prvotnega kartončka mu ostane? B2. Med narodno vesoljsko postajo obiskuje skupina astronavtov, ki mora hrano pripe ljati s seboj . Izračunali so, da 4500 obrokov hr an e zadošča desetim moškim ast ron avtom za 90 dni . Za koliko časa bi enaka zaloga hrane zadoščala posadki, ki jo sestavlj a osem znanstvenikov, od tega po lovica žensk, ki v povprečju pojedo petino manj kot njihovi moški kolegi? B3. V pravokot nem t rikot niku l::c,ABC je stranica AB najdaljša. Preko točke A jo podaljšamo za dolžino stranice AC, preko točke B pa za dolžino stra nice B C . Tako dobimo točki E in F. Izračunaj velikost kot a -sb. Katera izmed naslednjih trditev je pr avilna? (A) -3a > 3b (B) 6a < - 6b (D) a - b > O (E ) a + b < O A2. Kolik šna je šestina šte vila 672? (A)612 (B) 112 (C) 172 (C) - 3a < 3b (C) 12k{;'(B) 24k{;' (E ) 0, 5 k{:' A5 . V enem dn evu opravimo ~ dela. Kd aj bo delo končano? čas (h) (A ) v t dn eva (B) v q dneva (C) v I t dneva (D) v 2 dneh (E) v 2%dneva A3. Za katero vrednost števila x ima izraz VI+ )5 + .jX vrednost 2? (A) 25 (D) 4 A4. Z grafa pr eb eri, traktor . (A) 32 k{;' (D ) 2 k{:' (B) 15 cm x 15 cm (D) 10 cm x 10 cm I Tekmovanje za Vegovo priznanje A6. Pravokotno dvorišče 5,7 m x 4,2 m bi radi t lakovali s kvadratnimi ploščicami . Kolikšna je največja možna mera ploščice, če rezanj e ni mogoče? (A) 30 cm x 30 cm (c) 60 cm x 60 cm (E) 45 cm x 45 cm A 7. Rok in Jure živita v istem bloku, Rok v šestem nadstropju, Jure v tretjem. Rok mora iz prvega nadstropja do svojega stanovanja prehoditi 60 stopnic, Koliko stopnic mora prehoditi J ure? (A) 15 (B) 20 (c) 24 (D) 30 (E) 36 A8. Kolikšna je velikost kota x na sliki? (A) 50° (B) 70° (C) 110° (D) 140° (E) 210° 150" x Bl. Izračunaj vrednost izraza 2x \/'4+ 100·20 v'l6. (_5)3. J(=47 - 2 (~+ (_1)2002) .~ - 2- 2000 + 1000+12002 + ((_1)2003 + 2) . 12002 B 2. At let inja Jolanda Čeplak je na evropskem prvenstvu postavila nov svetovni rekord v teku na 800 m . P rejšnji rekord je bil 1:56.40, njen rekord pa je za 58 stotink sekunde bo ljši. a) Za koliko odstotkov je izboljšala svetovni rekord? b) V kolikšnem času je atletinja Čeplakova pretekla 800 m? B3. V pravokotnem trikotniku LABC je oglišče C vrh pravega kot a . Na stranici AB določi točki K in M tako, da bo lAKI = lACI in [BMI = = IBGI . Izračunaj velikost kota <[KCM. 8. razred Al. Veš, da je 652 - 562 = 332 . Koliko je tedaj )65652 - 56562 ? (A) 909 (B) 3300 (C) 3333 (D) 6556 (E) 8181 A2. Za koliko odstotkov se spremeni količnik, če deljenec povečamo za 20 %, de litelj pa zmanjšamo za 20 %? (A) Poveča se za 50 %. (B ) Poveča se za 40 %. (C) Poveča se za 20 %. (D) Zmanjša se za 40 %. (E) Se ne spremeni. Tekmovanj e za Vegovo pri znanje I A3. Enačba Y~=~4 = O ima za y E ~ , n E IN (y =f- n ) eno samo reš ite v. Kolikšen je n? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 (B) enakostraničen (D) enakokrak pravokoten (C) 2,8 km y A 4 . Obseg prednjega kolesa vozila je 28 dm , zadnjega pa 35 dm. Kolikšno pot mora prevoziti vozilo, da naredi prednje kolo 100 obratov več kot zadnje? (A) 28 km (B ) 14000 m (D) 1400 m (E) 700 m A5. Vrednosti izrazov 2n , n 2 + 1 ter n 2 - 1 so dolžine stranic t r ikotnika . Kakšen je t a trikotnik? (A) pravokoten (C) enakokrak (E) Ni mogoč . AB. V t rikotniku 6. ABC velja a : b = 2 : 3. V tem t rikot niku je (A) cl: : j3 = 2 : 3 (B) Va : Vb = 3: 2 (C) cl: : j3 = 3 : 2 (D) Va : Vb = 2 : 3 (E) Nob ena od ponujen ih možnost i. A 7. "Srček" na sliki je sestavljen iz kvadrat a s stra- nico 20 cm in dveh polkrogov nad sosednj ima st ranica ma tega kvadrata . Približno kolikšn a je ploščina "srčka"? (A) 714 cm 2 (B) 557 cm2 (C) 463 cm 2 (D) 394 cm 2 (E) Nobena od pon ujenih vr ednosti . A 8. Katera od enačb je enačba premi ce AB? (A) y = ~x + 3 (B) y = -~x (C) y= -~x+ 3 (D ) y = 2x+3 (E) y = - ~x + 3 o 2 B x Bl. Poen ost avi izraz: x - Ix--x+ I na loga Al A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 pr avilni odgovor D C C B D A B E na loga Al A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 pravilni odgovor C D B D B A C B I Tekmovanj e za Vegovo prizn anje B2. V knjižnici imaj o določeno število miz. Vse mize imaj o skupaj 39 nog, nekatere imaj o t ri, dr uge štiri noge. Za vsako mizo so štirje stoli. Vsi stoli imaj o po štiri noge, skupaj 176 nog. Koliko miz ima t ri in koliko štiri noge? B3. V enakokrakem trapezu ABCD sta osnovnici v razmerju 5 : 2, dia- gonala pa razpolavlja ostri kot. Obs eg trapeza je 33 cm. Izračunaj dolžine stranic in višino trapeza. Rešitve nalog s področnega tekmovanja 6. r azred Sklop A Bl P ih rezih t J - t 5 4 5 2 3 2 1 2 1. o posamezni rezi os ane oze li 6 ' 5" • 6 = "3' "4 . "3 = "2' "3 . "2 = = ~, ~ . ~ = i kartončka . Na koncu mu ostane šestina prvot nega kartončka. B2. Ugotovimo, da porabi vsak moški pet obrokov na dan, vsaka ženska pa štiri obroke na dan . Zaloga bi za osem znanstvenikov, od kat erih je polovica žensk, zadoščala za 125 dni. B3. Najprej ugot ovimo, da je ICDI). Nariši premico p, ki poteka skozi eno oglišče (npr. D) in trapez razdeli na dva ploščinsko enaka dela. Opiši in ut emelj i potek načrtovanja. Rešitve nalog z državnega tekmovanja 7. razred Ulomek x~4 mora biti celo število , zato -1 ali x + 4 = 5 ali x + 4 = -5, torej 1. 2. 3. 4. Vrednost izraza je - 16. V akvarij lahko nalijemo ~g .50 = 87,5 lit rov vode. Kenguru porabi do doma 45 minut, Smrklja pa 41 minut . Torej je Smrklja prva prikolesarila domov in je bila doma štiri minute pred Kengurujem. Zaoiš x+9 - 1 + 5aplsemo x+4 - x + 4 . je x + 4 = 1 ali x + 4 x E {1, - 3, - 5, - 9}. Tekmovanje za Vegovo priznanje v 5. Izp eljem o P B G E = P EFC+PBFE = = ~ . s . ~ + ~ . s . ~ = s;v = = ~PABGD ' Ploščina t rikotnika 6 B CE je plovica ploščine trapeza. E·~--"-- ---\ 8. r azred F BE x Nar išemo središče kr aka BC in ga označimo z E . Trikot nik CDE prezrcali- mo preko e v trikot nik B FE. Trikotnik AFD je ploščinsko enak t rapez u A ABCD . Narišemo središče st ranice AF in ga označimo z lvI . Ker imata trikotnika ANI D in M F D enaki osnovnici in enaki višini, je ploščina trikotnika AJd Denaka plovici ploščine t rapeza ABCD . Premi ca P, ki gre skozi točki D in M , razdeli t rapez na dva ploščinsko enaka dela , na t r ikot nik AMD in t rapez M B CD. 1. Rešitev enačbe je x = l l I . 2. Recimo, da je bilo v pošiljki 9 kozarcev gorčice in 9 + 480 kozar- cev majoneze. Ko je prodal 80 % kozarcev majoneze, mu je ostalo še i (g + 480) kozarcev majoneze. Ker je prodal le četrtino kozar- cev gorčice , mu je ostalo še ~g kozarcev gorčice. Tako je ~g = = i(g + 480) + 300, od koder izračunamo 9 = 720. V pošiljki je bilo 720 kozar cev gorčice in 1200 kozarcev majoneze. 3 . Obseg lika je enak obsegu krožnice, t ore j o = 207T cm. Lik je sest avljen iz dveh polkrogov s poImerom 5 cm in pravokotnika s st ranicama 10 cm in 57T cm. Ploščina lika je 757T cm2 ~ 235 ,5 cm' . 4 . Višina prizme je v = 2r. S slike t lorisa C pr izm e razberemo IASI = n j2, lADI = = IB DI = IC DI = r + r..;2, zato je ploščina osnovne ploskve O = r 2 (1 + ..;2)2 in prostornina prizm e V = 2r3 (3 + 2..;2). Ker je r = 1 cm, je V = 2(3 +2..;2) cm:' ~ ~ 11, 64 cm" . 5. I Tekmovanje dijakov poklicnih šol TEKMOVANJE DIJAKOV SREDNJIH POKLICNIH ŠOL Regijsko tekmovanje I. del 1. Oče in sin imata od vsega sadj a najraj e jabolka. Oče poje v t reh dneh 1 kg jabolk, sin pa v dveh dneh 1 kg jabolk. V koliko dn eh bost a oče in sin skupaj poj edla 15 kg jabolk? (A) v 20-ih dneh (D) v 12-ih dneh (B) v 5-ih dn eh (E) v 18-ih dn eh (C) v 8-ih dneh 2. Dnevna pr enosna smučarska karta na smučišču stane 5000 SIT . Nejc se je peljal 15-krat , Jure pa lO-krat. Stroške st a si pravično razdelila. Koliko je prispeval Nejc? (A) 1500 SIT (D) 2500 SIT (B ) 2000 SIT (E) 1000 SIT (C) 3000 SIT 3. Najv išja zgra dba na svet u je približno 450 m visoka st olpnica Petro- nas towe rs v Kuala Lumpurju v Maleziji . Koliko nad stropij je v njej , če računamo, da je vsako nadstropj e visoko 250 cm? (A) 18 (B ) 180 (C) 55 (D ) 200 (E) 1800 4 . Hleb kruha smo dali v pečico ob 16.25. Kdaj moramo kruh vzeti iz pečice , če ga moram o peči tričetrt ur e? (A) ob 17.10 (B) ob 17.15 (c) ob 16.55 (D) ob 16.70 (E) ob 17.05 Kolikšen del kvadrata je obarvan?5. (A) 15 % (D) 30 % (B) 20 % (E) 50 % (C) 25 % 6. Maj a ima v omari pet različnih bluz in št iri različna krila. Na koliko načinov se lahko obleče? (A) na 9 (B) na 12 (C) na 4 (D) na 5 (E) na 20 I 96 Tekmo vanje dijakov poklicnih šol I 7. Za po l kilograma moke plačamo 30 SIT več kot za četrt kilograma moke. Koliko stan e kilogram moke? (A) 60 SIT (B ) 75 SIT (c) 90 SIT (D) 120 SIT (E) 180 SIT 8 . Kmet pokosi travnik, ki meri lO-krat 10 metrov, v 4 urah. Koliko časa bo potreboval , da bo pokosi l t ravnik, ki meri 5-krat 5 metrov? (A) 2 ur i (B) 1 uro (c) 30 min (D) 3 ur e (E) 45 min 9. V anketi po projekciji filma je desetina gledalcev menila , da je film odličen, petina , da je dober , šestina , da je slab , t re tjina, da je zelo slab, 60 gledalcev pa sploh ni odgovorilo na anket no vprašanje. Ko- liko ljudi si je ogledalo film? (A ) 300 (B) 60 (C) 360 (D) 420 (E) 215 10. Koliko presečišč NE morejo imeti št iri pr emice? (A) O (B) 2 (c) 3 (D) 5 (E) 6 II. d el 1. Slika prikazuje, na kakšen način pr ihajajo dijaki neke poklicne smer i v šolo. • peš:> ~ s kolesomo 14..;,: co 12:~ "d 10 D z av tobuso m ..s 8.:; cl) 6 ~ z vlakom....,VJ] 4 2 D z avtom način prihoda v šolo A . Koliko dijakov je na tej poklicni smeri? B. Koliko jih prihaj a v šolo peš? C. Koliko odstotkov ji h prihaja v šolo s kolesom, z avto busom, z vlakom, z avtom? I Tekmovanje dij akov poklicnih šol 2. Ob praznovanju rojstnega dn eva želimo torto raz rezat i takole: po- lovico torte na šest enakih delov, tret jino torte na št ir i enake dele, pr eostanek to rte pa na dva enaka dela . Vsak ud eleženec pr aznovanja dobi košček torte in nob en košček ne ostane. A. Koliko je udeležencev praznovanj a? B. Ali so vsi koščki enako veliki? Od govor utemelji z računom . 3. Cisterna za kur ilno olje ima obliko kvadra ; njena dolžina je 2 m , širina 1 m in višina 2 m. A . Koliko lit rov kurilnega olja lahko natočimo vanjo, če jo želimo popolnoma napolnit i? B . Koliko bomo plačali ob nakupu olja , če je cena za lit er kurilnega olja 85 SIT? C. Za koliko zims kih dni bi zadoščala omenjena količina olja, če je povprečna mesečna poraba v času kurilne sezone 1050 litrov? ( Računaš lahko, da ima mesec 30 dni.) D. Koliko lit rov olja bo v cistern i tri mesece po začetku kurilne sezone? 4. P rofesor matematike si je zapo mnil št evilko svo je osebne izkaznice takole: • številka ima šest šte vk, • vsota števk je 30, • četrta števka je dvakrat večja od druge, peta je t rikrat večja od druge, pr va je št irikrat večja od dru ge, • t retja in šesta števka sta enaki. Katero številko osebne izkaznice ima profesor? R ešitve nalog z regijskega t ekmovanja I. Pravilni odgovori so zbrani v preglednici. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E C B A C E D B A B Tekmovanje dijako v poklicnih šol I lIII. Iz prikaza s stolpci raz beremo, da peš prih aja v šolo 12 dijakov, s kolesom 8, z avtobusom 4, z vlakom 14 in z avtom 2 dij aka. Na tej poklicni smer i je skupa j 12 + 8 + 4 + 14 + 2 = 40 dij akov. Torej prihaj a s kolesom 480 = 20% dijakov, z avtobusom 4~ = 10%, z vlakom ~~ = 35% in z avtom 480 = 5% dijakov. 11/2. Vseh kosov t ort e je 6 + 4 + 2 = 12. Prvih šest koščkov meri po li 1 d '- " 1 1 1 Id"6 . "2 = 12 torte, rugi št irje po 4 . "3 = 12 to rte, preosta a va pa po ~ (1 - ~ - ~) = ~ . i = 112 torte. Torej res dobijo vsi udeleženci enako velike koščke . II/3 . P rostornina ciste rne je 2 ·1·2 m", kar je enako 4000 1. Vrednost kurilnega olja v polni ciste rn i je 4000 . 85 = 340000 SIT. Omenjena količina olja bi zadoščala za 19~9 .30 ~ 114 dni . Tri mesece po začetku kurilne sezone bomo porabili 3 . 1050 = 3150 l olja, v cistern i bo ostalo 4000 - 3150 = 850 l olja. II/4 . Označimo drugo števko z a , tret jo pa z b. Tedaj so števke po vrsti enake 4a, a , b, 2a , 3a , b. Ker je njih ova vsot a ena ka 30, lahko zapišemo lOa + 2b = 30. Sledi 5a + b = 15. Ker je 4a ~ 9 in a > O, mora bit i a = 2 in b = 5. Številka osebne izkaznice je torej 825465. D r žav n o tekmovanje I. d el 1. Na zabavi naštejemo 28 rokovanj . Koliko ljudi je na zabav i, če se je vsak enkrat rokoval z vsakim? (A) 14 (B) 28 (c) 9 (D) 8 (E) 7 2. Direkt or na tajničino mizo odlaga pisma, ki jih kasneje tajnica pre- t ipka. Pisma zlaga na kupček tako, da novo pismo postavi na vrh. Ko ima tajnica čas , vzame vedno pismo z vrha in ga pretipka. Denimo, da je nekega dne direktor postavil na mizo pet pisem, in sicer po vrs ti 1, 2, 3, 4 in 5. Kat eri od vrstnih redov ne more biti red, po katerem je tajnica pisma pretipkala? (A) 12345 (B) 24351 (c) 32415 (D) 45231 (E) 54321 3. Površina Zemlje je 510 milijonov krrr' . Velik del Zemljine površine, in sicer kar 362 milijonov krn" , pokriva morje. Približno koliko od- stotkov Zemljine površine obsega kopno? (A) 1.4 (B) 29 (c) 71 (D ) 39 (E) 42 I Tekmovanje dijakov poklicnih šol 4. Stara ur a zaostane vsakih 24 ur za 8 minut . Koliko minut naprej moramo ob 22. uri zvečer nast aviti uro, če hočemo, da bo ob 7. uri zjut raj kazala pravi čas? (A) 1 min 40 s (D) 4 mi n 30 s (B) 2 min 20 s (E) 6 min (C) 3 min 5. Knjiga s pr avljicami ima 124 st rani. Razmerje med stranmi, ki jih je preb ral oče , in tis t imi, ki jih je pr ebrala mama , je 5 : 3, 28 st rani je ost alo še nepr ebranih. Koliko strani je prebral oče? (A) 15 (B ) 75 (c) 36 (D) 12 (E) 60 6. Razrednik je zadnjemu učencu t ik pred od ho dom domov povedal, da j im nas lednji dan odpade prva ura pouka. Ta učenec je o tem obvestil štiri sošolke, vsaka od nji h po dva sošolca in vsak od te h po dva preost ala sošolca . Koliko učencev je v razredu, če je bil na ta način vsak od učencev o odpadli uri obveščen nat anko enkrat ? (A) 25 II. del (B) 16 (c) 32 (D) 29 (E) 28 1. Mama ima sedaj petkrat toliko let kot hči Mateja . Čez 21 let pa bo imela samo dvakrat to liko let kot Mateja . Koliko je sedaj st ara mama in koliko Mateja? 2. Lit er bencina je maj a st al 96 SIT . Najprej so ga junija po dražili za 8 %, nato pa še avg usta za 5 %. A. Kolikšn a je bila cena za lit er bencina po zadnj i podražit vi? Re- zultat zaokroži na desetine. B. Koliko odstotna bi mor ala bi ti enkratna podražitev, da bi pri ve- dla do cene po zadnji podražitvi? 3 . Oče je Alešu obljubil novo kolo, če mu bo Aleš pomagal pri raznih opravilih . A. Koliko časa bost a oče in Aleš zlagala 100 m 2 tlakovcev, če bi ji h oče sam zlagal 5 ur in 30 min? Upošt evaj , da oče in Aleš delat a enako hitro. B. Koliko časa bi jih zlagala , če oče dela dvakrat hitreje kot Aleš? C. Koliko časa bi skupaj zlagala 175 m2 t lakovcev, če delata enako hit ro? Vse rezultate zao kroži na minuto natančno . \100 Tekmovanje dijakov poklicnih šol 4 . Matej ima kos blaga št irikot ne oblike, iz katerega bi rad naredil zmaja (glej sliko) . Blago bi rad pri trdil na dve le- tvici vzdolž diagonal. Kako dolgi sta letvici? 1,2 m 1,2 m 9dm Rešitve nalog z državnega tekmovanja 1. Pravilni odgovori so zbra ni v preglednici. 1 2 3 4 5 6 D D B C E D 11/1. Označimo z x Matejino starost danes. Njena mam a je dan es stara 5x let . Čez 21 let bo veljalo 5x + 12 = 2(x + 21) , kar nam da x = 7. Mateja je tako danes stara 7 let , njena mam a pa 35 let. 11/2. Po junijski podražitvi je bencin stal 96· (1+ IgO) SIT, po avgustovski pa 96 · (1 + IgO)' (1 + IgO)::::: 108.9 SIT. V juniju in avgust u se je bencin skupaj podr ažil za (1 + IgO) . (1 + IgO) - 1 = 0,135 = 13,5 %. 11/3. Oče in sin bi skupaj položila 100 m2 tlakovcev v polovičnem času, torej v 2 urah 45 minut ah . Če oče dela dvakrat hit reje od sina, bi v 5 urah 30 minut ah položila 150 m2 tlakovcev , zato bi 100 m2 t lakovcev položila v ~ časa; to rej v 3 urah 40 minutah. Če oba zlagata tlakovee enako hit ro, v 5 urah 30 minutah položita 200 m2 t lakovcev , zato bi 175 m2 t lakovcev položila v ~~g časa, torej v 4 urah 49 minutah. 11/4. Vodoravna diagonala je hipotenuza pravokotnega t rikotnika s kate- tam a 12 drn in 9 drn , zato meri y' 122 + 92 = y'2 25 = 15 drn . Ploščina polovice zmaja meri ~ ·12 ·9 = 54 dm 2 , zato meri polovica navpične let vice ~~ = 3,6 drn. Navpična letvica torej meri 7,2 drn. I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol TEKMOVANJE DIJAKOV SREDNJIH TEHNIŠKIH IN STROKOVNIH ŠOL R egij sko tekm ova nje 1. le tnik 1. Riba in pol stane en evro in pol. Koliko evrov stane pet rib ? (A) 2,5 (D) 7,5 (B ) 10 (C) 3 več kot dve ribi (E) Nič od navedenega . 2. Kakšno število je vsota treh zaporednih lihih števil? (A) sodo (D) število O (B) liho (C) iracion alno (E) Nič od navedenega . 3 . Iz enačbe ~ - t = 2 izrazimo spremenljivko y. Kolikšna je? (A) ~ - 2 (D) 1 ~2x (B) 2 - ~ (C) x - ~ (E) Nič od navedenega . (B) (3a - 4)(3a + 4)2, (D) (a3 - 8)( 33 + 8), 4. Izraz 27a3 - 64 je enak (A) (3a - 4)3, (C) (3a - 4)(9a2 + 12a + 16), (E) nič od navedenega. 5. Kolikšna je natančna rešitev enačbe 4 - V2x = V6? (A) 2v'3 - v'3 (D) 2V2 - v'3 (B) 1,096 (c) 2V2 + v'3 (E) Nič od navedenega. 6. Kakšna je enačba premice na sliki? (A ) 4x - 2y + 1 = O (B) -2x + 4y + 1 = O (C)x+y - 8= 0 (D) x - 2y - 4 = O (E) Nič od navedenega. y 1102 Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I 7. Pred pet imi let i je bil oče petk rat st arejši od sina, čez t ri let a pa bo le še t rikrat starejši. Koliko je star oče in koliko sin? Zap iši odgovor . 8. Točki A( - 3, 1) in C( l ,-l) sta nasp rotni oglišči kvadrat a ABCD. Izračunaj ploščino kvadrata. Rezultat naj bo natančen . 9 . V tovarni izdelujejo mobilne te lefone dveh znamk, 60 % šte vila pro- izvedenih telefonov predstavljajo telefoni prve znamke. Zarad i to- varn iških napak izločijo 10 %te lefonov druge znamke in 2 % telefonov prve znamke. V celem letu so izločili 5291 mobilnih te lefonov . Koliko mobi lnih te lefonov so izdelali v enem letu? Zapi ši odgovor. 10. Z up orab o Pi t agorovega izreka dokaži, da sta premici z enačbama 2x - y = Oin 2y + x = Omed seboj pravokot ni. 2. letnik 1. Vsot a središčnega in obo dnega kot a nad ist im lokom je 78° 18' 57". Koliko meri središčni kot ? (A ) 52° 12' 38" (B) 25° 6' 19" (c) 37° 9' 28" (D ) 38° 9' 29" (E) Nič od navedenega . 2. Dan a je kvadratna funkcija f (x ) = x 2 - 7x + 12. Katera t rditev je pravilna? (A) Funkcija ima nat anko eno realno ničlo . (B) Vsota obeh ničel funkcije je 12. (C) Graf funkcije se dotika premice y = 2. (D) Za vsak realen x je f (x) ;::: O. (E) Gr af funkcije je parabola, simetrična glede na premico x = ~ . 3 . Kaj velja za vsako realno šte vilo x, ki reši neenačbo x (x - 6) < - 5? (A ) 1 < x < 5, (D) 1 < x < 5, (B) - 5 < x < - 1, (E) 1 < x :::; 5. (C) (x > 5) /\ (x < 1), 5 . 4 . Kaj velja za vsako realn o število x? (A) x 4 . x! = x 2 (B) x 2 + x 3 = x 5 (c) H = lxi (D) {iX :~ = vx (E) YIx 2 + 1 = x + 1 5x - 1 + 3 . 5x Okrajšaj ulomek + 1 1 . Kaj dobiš?5x - 5x - (B) ~ (c) ~ (D)1 (E) O Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol 103 (B ) 2 cm , 5 cm , 4 cm (D) 5,5 cm, 2,2 cm , 2,75 cm 6. St ra nice t rikotnika so v razmerju 2 : 5 : 4. Koliko merij o st ranice, če je obseg trikotnika 5,5 cm? (A ) 1,5 cm, 2 cm , 2 cm (C) 1 cm, 2,5 cm , 2 cm (E) 1,1 cm, 3 cm, 1,4 cm 7. Izračunaj natančno vrednost izraza J 0 r;; 1 - )2 14 · 4 'v4 +--+ 0 125- 3)2+ l ' , ne da bi up orabil žepno računalo . 8 . Določi par am etra c in k t ako, da se bosta parab ola Y = x 2 - 4x + c in premica y = kx - 2 sekali v točkah PI (- 1, YI ) in P2(6,Y2). Zapi ši koord inate presečišč . 9 . Vsota dolžin katet pravokotnega t rikot nika je 17 cm , dolžina hipote- nuze je 13 cm. Koliko merit a ost ra kota t rikotnika? 10. Eden od krakov t rapeza ABCD je večj i od drugega kraka za 4 cm in manj ši od večj e osnovnice za 2 cm. Izračunaj obseg trapeza , če je vsot a dolžin krakov in manj še osnovnice 40 cm in je diagonala AC simet rala kota DAB . 3. letnik 1. Kaj je zaloga vrednost i funk cije f (x ) = 3 - sin 2x? (A ) [1, 3] (D ) [- 27r, 27r] (B) [2, 4] (E) (-oo, oo) (C) (1,4] 2 . Kaj se zgodi s prostornino kocke, če rob kocke povečamo za 20 %? (A) Poveča se za 60 %. (B ) Zmanjša se za 72,8 %. (C) Se ne spremeni. (D) Poveča se za 20 %. (E) Poveča za 72,8 %. 3. K a j d obim o , če poenostavimo izraz cos(-2x ) + 2 s in ' x? (A ) sin x (B) cos? x (C) - 1 (D )1 (E) cos 2x 4. Kaj je definicijsko območj e funkcije f (x ) = V8x3 - 1? (A) (-~ , oo) (B ) ( ~ , oo) (C) [~ , oo) (D) (~ , oo) (E) ( -oo , ~) 1104 Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol 5. Kakšna je funkcija f(x) = 23x + 1? (A) konstantna (B) Seka ordinatno os pri 2. (C) padajoča (D) navzgor omejena (E) Ima začetno vrednost - 3. 6. Katere rešitve ima enačba logx (x + 12) = 2? (A) x = 4 (C) x =-3 (E) Nič od navedenega. 7. Reši enačbo (B) x = 4, x = -3 (D)x =4, x=-3 , x=3 ({ill')" ~ (~)'·W · 8. Izračunaj za a > O. 9. Krožnici s polmerom r je včrtan in očrtan kvadrat. Zapiši razmerj e ploščin kvadratov in razmerje poenostavi. 10 . Dana je funkcija ( Ih) ( Ih)f (x) = cos 4x - 6 - cos 4x + 6 a) Dokaži , da je f( x) = - sin4x. b) Kje doseže dana funkcija največjo vrednost? 4. letnik 1. Tone je prodal tri parcele po 400 m2 po 35 evrov za m2 in 7 parcel po 500 m2 po 42 evrov za m". Koliko evrov je povprečna cena za m2 zemljišča? (A) 39,2 (B) 39,9 (C) 38,5 (D) 42,7 (E) 40,2 I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol 2. Narisan je graf polinoma. -2 - 1 O 1 234 Katera funkcija mu ustreza (a E JR)? (A) p(x) = a(x - 4)(x - l )(x - 3)2(x + 2) (B) p(x) = a(x - 4)(x - l )(x - 3)(x + 2) (C) p(x) = a(x + 4)(x - l )(x - 3)(x + 2) (D ) p(x) = a(x + 4)(x + l )(x + 3)2(X - 2) (E) p(x) = a(x - 4)(x + 1)2(x - 3)(x - 2) 3 . Katera od naštetih funkcij ni polinom? (A) f (x) = _x2+ 6x - 8 (B) f (x) = _ x 2t6 x (C) f (x) = 3x2(3x - 1) (D) f (x) = 2- l x 3 + 2- 2x - 1 (E) f( x) = x- 3 + 2x-2+ 1 x- 2 4. Katere pole ima racionalna funkcija f (x) = 3 2 ? x + x (A ) x = 2 (c) x = 2, x = O, x = - 1 (E ) x = O, x = 2 (B) x = O, x = - 1 (D) x = O, x = 1 5. Prvi člen geomet rijskega zaporedja je a l = 7V'4, količnik pa je enak q = ij2. Kolikšen je deveti člen? (A) 14ij2 (D) 784 (B) ij28 (c) 28 (E) Nič od navedenega. Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I 6. Ko likšna je vsota izraza 1. + ~ + .:2. + " ,+ n - 3 + n-2 + n -l kjer J'e n n n n ' n E lN? (A) ~ (B) ~ (c) nt1 (D) n~ l (E) ~ 7. Izračunaj ploščino in obseg enakostraničnega trikotnika, če je stranica a rešitev enačbe a3 + a - 10 = O, 8. Določi ti tako, da se bosta grafa funkcij f(x) = ~t~ in g(x) = - 2x + n dotikala, Nariši grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem. 9. Preglednica prikazuje, koliko us lužbencev nekega podjetja pride na svoje delovno mesto v določenem času , čas (mi n) 25 30 35 40 45 50 55 fn 70 120 220 280 190 90 30 Izračunaj povprečni čas , ki ga us lužbenci potrebujejo za prihod na de lo, in ponazori podatke iz preglednice s histogramorn. 10. Na globini 25 m je povprečna temperatura zemlje 9°e, potem pa se vsakih 33 m glob ine t emperatura poveča za l °e . Na kateri globini je izvir t ermalne vode, ki ima temperaturo 700 e? Zapiši odgovor , Rešitve nalog z regijskega tekmovanja 1. letnik naloga 1 2 3 4 5 6 odgovor e B D e D D 7. Če označimo z x očetovo , z y pa sinovo starost , potem velja x - 5 = = 5(y -5) in x+3 = 3(y+3), od koder izračunamo x = 45 in y = 13, Oče je star 45 let, sin pa 13 let. 8 . Izračunamo dolžino diagonale d(A, C) = J(X2 - xd2+ (Y2 - Yl)2 = = 2)5, nato pa takoj še ploščino kvadrata S = d; = 10. 9. Upoštevamo, da v tovarni izločijo 10 % telefonov druge znamke, kar , 1 2 ' 2 01 tl I: k k . 1 3 vJe 10 ' "5 ' x, lil / 0 e elonov prve znam e, ar Je 50 . "5 ' x, ce z x označimo število vseh t elefonov, To pomeni, da je 215x+ 2;Ox = 5291 , in od tod x = 101750. Venem letu so izdelali 101750 telefonov. Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol 107 10. Najprej ugotovimo, da se premici sekata v koordinatnem izhodišču. Nato izb eremo po eno točko na vsaki premici, na primer A(XI, 2xr) in B (X2' - x2 2 ), t er izrazimo kvadrate razdalj d2(A, B) = 5xi + 5~~ , d2 (A, P ) = 5xi in d2(P,B) = 5~~ . Vidimo, da velja d2(A, P) + + d2(P, B) = 5xi + 5~ ~ = d2(A, B). Premici se sekata pod pravim kotom. 2. letnik naloga 1 2 3 4 5 6 odgovor A E A C B C 7. Poenostavimo lahko vsak člen v vsoti. Tako imamo J4 · ij4 . v4 = = 2)2 1-y!2 = 1- y!2 . y!2- 1 = -3 + 2)2 in O 125-~ = 2 nato pa 'y!2+1 y!2+1 y!2-1 " te rezultate seštejemo: 2)2 - 3 + 2)2 + 2 = 4)2 - 1. 8 . Zapišemo enačbo x 2 - 4x + c = kx - 2, ki ji zadoščata abscisi točk PI in P2 : c + k = -7, c - 6k = -14. Od tod izračunamo c = -8 in k = 1, nato pa še ordinati presečišč, tako da imamo PI (-1, - 3) in P2(6 ,4) . 9. Upoštevamo a + b = 17 in c2 = a2 + b2 , pri čemer je c = 13, pa dobimo enačbo 169 = a 2 + (17 - a)2 oziroma a 2 - 17a + 60 = O z rešitvama al = 5 in a2 = 12. Dovo lj je, če upoštevamo prvo rešitev , to je a = 5 in b = 12, saj se pri drugi le zamenjata dolžini stranic ain b med seboj . Tako imamo sina = ~ oziroma a = 22° 37' in pa sin (3 = %oziroma (3 = 67° 23' . 10. Nastopita dve možnosti. Narišimo skici. A x +6 B A x +6 B Ke r je diagonala AC simetrala kota čas (l uin ] 10 . Ker vemo, da je na globini 25 m povprečna temperatura goe in da se nato na vsakih 33 m poveča za 10, je temperatura 700 e na globini 25 + (70 - 9) . 33 = 25 + 2013 = 2038 m. 1110 Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I D ržavno tekmovanje 1. letnik 6 x41 3 1 Oče želi razdeliti trem sinovom 14 560 SIT tako, da vsa k naslednj i sin dob i 20 % večji znesek kot njegov mlajši brat. Koliko dobi vsak sin? Zap iši odgovor. Zapiši pogoje , ki enolično določajo množico točk na sliki. P ri deljenju števila a s 7 dobimo ost a- nek 3, pri deljenju števila b s 7 pa ostanek 4. Kolikšen je ostanek pri deljenju kvadrata vsot e števil a in b s 7? Odgovor utemelji. 2 . 3 . 1. 4. 5 . P remer prednjega kolesa je 1,1 m, zadnjega pa 0,8 m. Kolikšno razdaljo smo prevozili, če je prvo kolo nar edilo 69 obratov manj kot zadnje? Rezultat zaokroži na centimeter natančno. Za 'Ir up orabi približek 2:; . Zapiši odgovor . Nariši graf funk cije s predpisom f (x) = - v x2 - 6x + 9 in izračuna] ploščino lika, ki ga oklepa graf dan e funkcije s koordinatnima osema. 2. letnik 1. Poenostavi 2a(x - y)- 1[ ] - 3 3b- 3 2. Skupina geometrov želi določiti višino hriba. Iz kraj a A v ravnini vzno žja vidijo vr h hriba pod kotom o: = 190 40' , ko pa se po ravnem pr ibliža jo hrib u za 250 m, vidijo vrh pod kotom {3 = 240 • Kako visok je hrib? Vm esne rezultate zaokroži na št iri decimalke, rezult at pa na celo število. Zapiši odgovor . A 250 m B I Tekmo vanj e dijakov tehniških in stroko vnih šol 3. Kvadratna funkcija f (x ) doseže minimalno vrednost - 2 za x = l. Določi f (x) t ako, da bo veljalo f (- 3) + 4f( 0) = O. Izračunaj f (l + V5} 4. Kateta a in hipot enuza pravokotnega t rikotnika st a v razm erju 12 : 13. Če skraj šamo hipotenuzo za 23 cm in katet o a za 27 cm , dobimo nov pravokotni t r ikot n ik , ki se mu dol žin a druge katete ni sprem enila . Izračunaj stranice prvotnega t rikotnika . 5. Izdelati moramo 1320 parov smuči . Pri izdelavi s stroj em A bi porabili dve uri manj kot pri uporabi st ro ja B. Stroj B naredi pet parov smuči manj na uro kot stroj A . Izračunaj čas izdelave smuči , če up or abimo oba st ro ja. 3. letnik 1. Reši enačbo (( ) 2~ ) d-l2 2vx+3 x = 4 . 2 . Kje dosežet a funkciji f( x ) = sin 4x in g(x ) = - cos 2x enako vred- nost ? b Ba , -, , r > ; A D.~__-+-__~C V živalski vr t naselijo družin o risov. Št evil o risov N po tletih (t 2': O) določa funkcija N = 10 . e ~ t . a ) Koliko risov šte je družin a ob naselitvi? b) Koliko let bi potrebovali v živa lskem vrtu, da bi družin a risov šte la 100 članov? Rezultat zao krož i na celo št evilo. Zapiši odgovor a . P avel ima pod st rešn o sobo v obliki pra- vokotnika ABe D s st ranicama a = = 4 m in b = 3 m . Ker mu je pr et esna , si jo bo razširil tako , kot kaže slika. Izračunaj , za koliko odstotkov se bo povečala p ovršina sobe. R e zulta t zao krož i na eno decimalno mest o. Žleb za vodo je dol g 5 m in lahko zaj ame 1440 1 vod e. Presek žleba je enakokraki trap ez s kr akom a 52 cm in višin o 48 cm . Koliko vod e je v žlebu , če je napolnjen do polovice višine (glej sliko)? 3. 5. 4. Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I 4. letnik 1. Dana je funkcija f(x) = x2~-;;'~2 ' Za katere vrednosti x bo graf funkcije f (x) ležal nad pr emico z enačbo y = 1? 2. Od 25 učencev so pri pisni nalogi štirje dobili oceno 5, pet oceno 4 in pet oceno 2. Koliko učencev je dobilo oceno 1 in koliko učencev oceno 3, če je bila povprečna ocena natanko 3? Zapiši odgovor. 3. Ničle polinoma p(x) = x 3 - 13x 2 + 39x - 27 so pr vi trije členi naraščajočegageometrijskega zaporedja. a) Zapiši prvih pet členov in splošni člen zaporedja. b) Kateri člen danega geometrijskega zaporedja je rešitev enačbe log(15 - 3x) - log x = log(x -1)? 4. Dani so štirje pravokotniki z dolžino a = 18. Njihove širine tvorijo geometrijsko zaporedje. Obseg drugega pravokotnika je 60, tretji pravokotnik je kvadrat . Določi širine pr avokotnikov. 5. Trije Butalci, Bingo, Bunko in Balko, so oropali banko in odnesli 22 vreč z bankovci. Postavili so jih v vrsto tako, da je bilo v prvi vreči najmanj denarja, v vsaki naslednji pa en šop bankovcev več kot v tisti pred njo . Šef Bingo je ukradene vreče denarja delil po načelu : prva meni (Bingu) , druga tebi (Bunku), tretja meni (Bingu), četrta t ebi (Balku), peta meni (Bingu), šesta tebi (Bunku) ... Nato so denar prešteli. Bunko in Balko sta ugotovila, da imata skupaj bajno vsoto 6710000 SIT. Veselila sta se tudi dejstva, da imata skupaj 110000 SIT več kot njun šef. Tvoja naloga je, da ugotoviš, koliko denarja je bilo v prvi vreči . Zapiši odgovor. Rešitve nalog z državnega tekmovanja 1. letnik 1. Sinovi dobijo x, 1,2x in 1,44x tolarjev. Iz x + 1,2 x + 1,44 x = 14560 izračunamo x = 4000 SIT, kolikor dobi prvi sin . Drugi sin dobi 4800 SIT, tretji pa 5760 SIT. 2. Množico točk omejuj ejo pr e- mice PI : x = O, P2: y = 1, P3: y = -2x + 13 in P4: y = = ~x + 3. Pogoji , ki enolično določajo množico točk, so (x 2: O) /\ (y 2: 1) /\ /\ (y < -2x+13) /\(y :s:; ~ x+3). Tekmovanje dijakov tehniških in stroko vnih šol 113 3. Ker je a = 7· x + 3 in b = 7 · y + 4, je vsota števil a in bdeljiva s 7: a -+- b = 7x + 7y + 7, zato je t udi kvadrat vsote deljiv s 7. 4. Recimo, da je pr ednje kolo naprav ilo x obratov . Tedaj je prednje kolo prevozilo razdaljo x . 1,1?T m , zadnje pa (x + 69) . 0,8?T m . Iz x · 1, 1?T = (x+ 69) ·0,8?T izračunamo x = 184. Prevozili smo 636,11 m . 5. Funkcijo lahko zapišemo v :tJ obliki f (x ) = - Ix - 31, nato 1 pa ni težko nari sati nj enega grafa , ki im a ničlo x = 3 in seka ordinatno os v T (O , -3) . Lik , ki ga oklepa graf funk- cije s koordinatnima osem a, je pr avokot en t rikot nik s ploščino S = ~. 2. letnik 1. 2. Izraz poenostavimo v obliko 23a.3b9 . a. 2(x _y)4. g(x+y) _ ~( 2 _ 2) 33 (x - y )3 22b6a.5 b3 - 3 X Y (ali ~(x - y)(x + y)). Na jprej je tg a = 25;+X in tg (3 = ~ , nato pa zapišemo x . t g (3 = = (x + 250) . tg a, od kod er izrazimo x = t~5g~rgaa = 1017,6538 in nato še h = x . tg (3 = 453,0595. Hrib je visok 453 m. v A 2.50 111 B x V i 3. Kvadratne funkcijo zapišemo v obliki f (x ) = a(x - 1)2 - 2. Enakost f (- 3) + 4f( 0) = O se zapiše v obliki 16 · a - 2 + 4(a - 2) = O, od kod er izračunamo a = ~ . Ta ko je f (x ) = ~(x - 1)2 - 2 oziroma f (x ) = ~x2 - X - ~. Končno izračunamo še f (l + J5) = ~ . 1 114 Tekmovanje dijako v tehniških in strokovnih šol I 4. Naj bodo a = 12x , b in c = 13x st rani ce prvega trikotnika , a' = = 12x - 27, b' = b in c' = 13x - 23 pa st ranice drugega triko- t nika. Iz b2 = c2 - a2 = c/2 - a/2 dobimo enačbo (13x)2 - (l2x )2 = = (l 3x - 23)2 - (12x - 27)2, od koder izrazimo x = 4. Tako pri demo do strani c prvega trikotnika: a = 48 cm, b = 20 cm, c = 52 cm. 5. Recimo, da st roj A nar edi na uro x parov smuči in da za 1320 parov porabi t ur. Analogno: st roj B naredi na uro (x - 5) parov in za 1320 parov porabi (t + 2) ur. Izrazimo t = 1~0 in zapišemo enačbo t . x = (t + 2)(x - 5) , ki jo preoblikujemo v x 2 - 5x - 3300 = O. Od tod dobimo x = 60 in končno izračunamo čas izdelave smuči , če uporabimo oba st roja: t1 = (6t~~5) = 11,48 h. 3. le t n ik b , , , " 2 ( 2VX+VX+3) vx-1 (3VX+3)·2 Enačbo zapišemo v obliki 2 2vx = 22 oziroma 2 2vx(vx- 1) = 22.Od to d preberemo 2~;:~:) = 2 in uredimo v obliko 5y!X = = 2x -3. Po kvadriranju in ureditvi dobimo enačbo 4x 2-37x+9 = O z rešitvam a x l = i in X 2 = 9, a prva rešitev t e enačbe ne zadošča začetni enačbi . Edina rešitev začetne enačbe je x = 9. Enačbo sin 4x = - cos 2x pr eoblikujemo v cos 2x (2 sin 2x +1) = O, ki je izpolnjena , če je cos 2x = O ali sin 2x = - ~ . Tako imamo rešitve K k-tt K k' 7 K k k '77 Xl = 4 + 2 ' X2 = - 12 + 7f in x3 = 12 + tt , . E as , Ob naselitvi (t = O) št eje dru žina N = 10 · e~ ' o = 10 risov. V živalskem vrtu bo 100 risov, ko bo veljalo 100 = 10 . e~ t oziroma ln 10 = ~t, od tod pa izračunamo t = ~ ln 10 ~ 5,76 , to je približno 6 let . Iz (2r )2 = a2 + b2 izračunamo r = 2,5 m. Določimo t udi kot r.p = 106, 3° (iz tan ~ = D C = 125 ) ' Pov ršin a sobe se bo povečala za ~------~ ~ K T 2 ep 1 2 ' _ 2Bl - 3600 - 2r sm r.p - 2,8 m . Ker sedaj soba meri 12 m2 , se bo povečala za 2,8·100 = 23 3- c1112 . 10 . 4. 2. 3. 1. A a B Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol 115 5. Ploščino preseka žleba izračunamo kot kvocient prostornine in dolži- ne: S = f = 28, 8 dm2 . Ker poznamo dolžino kraka in višino, lahko iz x 2 = b2 - v2 izrazimo x = 2 cm, nato pa zapišemo a = c + 2 x = = c + 4. Uporabimo form ulo za ploščino trapeza S = ate.v, da iz računamo c = 4 drn in a = 8 drn . Če je žleb napolnje n do polovice višine, je v njem V = 4 drnt6 drn . 2,4 drn . 50 drn = 600 drn " = 600 1 vode. a 11 c c = Li dm 4 . letnik 1. Pogoj X2'=t.-;;'~ 2 > 1 preob likujemo v x 2+:~ 2 > O. Funkcija, ki nastopa na levi strani zadnje neenakosti , ima dvojno ničlo v x = O in po la X l = - 2, X 2 = 1. Neenakost je izpolnjena za x E (-2, O) U (0, 1) . 2. Vemo, da je 4. 5+5 .4i~· 5+X+3Y = 3 in x + y = Il. Od tod dobimo x = 4 in y = 7. Oceno 3 je dobilo sede m učencev , oceno 1 pa štirje učenci. 3 . Polinom ima ničle X l = 1, X2 = 3, X3 = 9, zato je prvih pet členov naraščajočega geometrijskega zaporedja 1, 3, 9, 27, 81, splošni člen pa an = 3n - l . Iz log 1 5 ~ 3x = log (x - 1) sled i 1 5~ 3X = x -1 oziroma x 2 +2x -15 = O z rešitvama Xl = -5 in X2 = 3, pri čemer X l ne ustreza logaritemski enačbi. Rešitev logarit emske enač be je drugi člen zaporedja. 4 . Vsi pravokotniki imajo do lžino a = 18. Označimo njihove širine z b, b q, b q" , b q" , Vemo, daje2a+2bq= 60, od kod er sledi bq = 12. Ker je t re tj i pravokotnik kvadrat , velja a = bq2 oziroma bq2 = 18. Sedaj lahko izračunamo q = ~ in b = 8. Širine pravoko tnikov so 8, 12, 18, 27. 5 . Recimo, da je bilo v vsakem šopu bankovcev k tolarjev in da je bilo v prvi vreči X šopov bankovcev . Tedaj je Bingo dobil X + (x +2)+...+ + (x + 20) = l1(x + 10) = G GOZ000 šopov, Bunko in Balko skupaj pa (x + 1) + (x + 3) + ...+ (x + 21) = l1(x + 11) = 6 7lZ 000 šopov. Iz sistema enačb izračunamo x = 50 in k = 10 000. V prvi vreči je x . k = 500 000 SIT. Tekmovanje srednješolcev Slovenije MATEMATIČNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE Izbirno tekmovanj e 1. letnik 1. 2. 3 . 4 . V pravokotnem t rikot niku ABC s pravim kotom pri oglišču C ozna- čimo z S razpolovišče st ranice AB, z V pa nožišče višine na st ranico AB. Koliko merijo kot i trikot nika ABC, če je ISVI = 1 in ISCI = 2? Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe 1. + 1. = -21 •x y a b Naj bo a + b = 1 in ab i=- O. Dokaži, da velja - - - -- b3 - 1 a3 - 1 2(b - a) a2b2 + 3' Alenka in Barbar a naročita pico. Z medsebojno pravokotnima re- zorna , ki ne potekata skozi središče pice, jo ra zdelita na št iri dele. Alenka izbere en kos, nato Barbara vzam e sosednjega v smeri ur inega kazalca , potem vzame naslednji kos v smeri ur inega kazalca spet Alenka, zadnji kos pa vzame Barbara . Kateri kos naj najprej izbere Alenka, da bo dobi la več pice kot Barbara? 2. letnik 1. Koliko celoštevilskih rešitev ima neenačba lx i + 12y l < 7? 2. Naj bosta D in E t ak i točki na katetah AB in BC pr avokotnega t rikot nika ABC , da je IAE I = YI3, ICDI = J2, d + a + c - b oziroma b - a > a - b. Slednj e pa očitno drži, saj je b > a. Alenka naj torej najprej izbere kos , ki vsebuj e središče pice. 11/1. Če je y = O, potem je x lahko O, ±1, . . . , ± 6. Skupaj je v tem primeru 1 + 2 . 6 = 13 rešit ev. Če je y = ± 1, potem je x lahko O, ±1 , ± 2, ± 3, ±4, skup aj je v te m primeru 2· (1 + 2 .4) = 18 rešitev. Če je y = ± 2, je x lah ko O, ±1, ± 2, skupaj je 2 · (1 + 2 ·2) = 10 rešit ev. Če pa je y = ±3, je x = O, skupaj sta dve reš itvi. Vseh možnih rešitev je to rej 13 + 18 + 10 + 2 = 43. Tekmovanje srednješolcev Slov enij e Al :r: F C E u ~---jH 11/2. Označimo zG pravokotno projekcijo točke F na st ranico AB in s H pravokotno projekcijo točke F na stranico BC. Označimo še x = IF G I in y = IHEI . Ker je lA'D' \, je ploščina pasu ABC D večja od ploščine pasu A' B'C'D'. Če od ploščine osenčenega dela odštejemo ploščino pasu ABCD , prištej emo pa ploščino pasu A' B'C' D', je novi osenečeni del ploščinsko ravno enak polovi ci ploš- čine pice. Ker se je pri tem ploščina osenčenega dela lahko le zmanjšala, je bila pred tem večja od ploščine neosenčenega dela . A B D A C B D C C' D' C' D' Tekmovanje srednješolcev Slovenije IV/1. Enakost dokažemo z indukcijo . Za ti = 1 enakost velja . Deni- mo, da velja za neko nar avno število ti . Potem je po indukcijski predpo- stavki (1 . 1 + 1 . 2 . 2 + .. .+ 1 . 2 .. . n . n) + 1 . 2 . . . n . (n + 1) . (n + 1) = = 1 ·2 .. · (n+1)-1+1·2 .. ·n ·(n +1 ) · (n+1) = 1 ·2 · .. (n +1) · . (n + 2) - 1, torej enakost velja tudi za n + 1. Po indukciji sledi, da enakost velja za vsako naravno število. IV /2. Vstavimo y = 1 in dobimo j(x) = j(j(1) . j(x)) . Iz injek- tivnosti sled i x = j(l) . j(x). Ker to velja za vsak x E IR, vid imo, da mora biti j( l) -=1- O, od koder sledi j(x) = x l j(1 ). Če zdaj vstavimo še x = 1, dobimo za j(l) enačbo j(1 )2 - 1 = O, torej je j(1 )"= 1 ali j(l) = = - 1. Edini možni rešitvi sta funkciji il (x) = x in 12 (x) = - x . Zlahka preverimo, da ob e zadoščata dani enačbi . A' C C' = C" IV/3. Dokažimo najprej, da ležijo točke A' , B' in C' na očrtani kro žnici trikotnika ABC. Označimo s Co in C" presečišče premice C H s pr emico AB in tistim kro žnim lokom AB trikotniku ABC B' .~ očrtane kro žnice , na katerem ni točke C . \ "- Tedaj je « C" AB =