i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
NEKAJ NESTANDARDNIH METOD ZA RAČUNANJE
DETERMINANT
EDVARD KRAMAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 15A15, 1501, 1503
V članku prikažemo nekaj enostavnih nestandardnih postopkov računanja determi-
nant. Pri tem uporabljamo dvovrstne poddeterminante, izrezovanje stolpca in vrstice ali
odštevanje števila od vseh elementov matrike.
SOME NONSTANDARD METHODS FOR EVALUATION OF
DETERMINANTS
In this article we present some simple nonstandard algorithms for evaluation of de-
terminants. We are using subdeterminants of order two, removing some row and column
or subtracting some number from all elements of the matrix.
Uvod
Računanje determinante kvadratne matrike večjih redov je zamudno delo.
Algoritmi računanja z računalnikom običajno uporabljajo razcep matrike
na produkt spodnje in zgornje trikotne matrike (glej na primer [1]). Ta
postopek je v tesni zvezi s tako imenovanimi elementarnimi operacijami na
vrsticah in stolpcih matrike. Kadar računamo determinante
”
ročno“, torej
brez uporabe računalnika, običajno prav z omenjenimi operacijami skušamo
priti do čim bolj enostavne oblike. Namen prispevka je prikazati nekaj manj
znanih metod računanja determinant, ki so lahko same po sebi zanimive.
1. Računanje determinante s pomočjo dvovrstnih
poddeterminant
Vzemimo matriko A reda n×n in v njej izberimo poljuben neničelni element
aik, ki ga na kratko označimo z α.
A =

a11 · · · a1,k−1 a1k a1,k+1 · · · a1n
a21 · · · a2,k−1 a2k a2,k+1 · · · a2n
...
. . .
...
...
...
. . .
...
ai−1,1 · · · ai−1,k−1 ai−1,k ai−1,k+1 · · · ai−1,n
ai1 · · · ai,k−1 α ai,k+1 · · · ain
ai+1,1 · · · ai+1,k−1 ai+1,k ai+1,k+1 · · · ai+1,n
...
. . .
...
...
...
. . .
...
an1 · · · an,k−1 ank an,k+1 · · · ann

. (1)
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 121
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Na stolpcih sj , kjer je j 6= k, naredimo naslednje elementarne operacije:
sj → α · sj − aij · sk. Tako dobimo matriko
αa11 − a1kai1 · · · αa1,k−1 − a1kai,k−1 a1k αa1,k+1 − a1kai,k+1 · · · αa1n − a1kain
αa21 − a2kai1 · · · αa2,k−1 − a2kai,k−1 a2k αa2,k+1 − a2kai,k+1 · · · αa2n − a2kain
...
. . .
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 α 0 · · · 0
...
. . .
...
...
...
. . .
...
αan1 − ankai1 · · · αan,k−1 − ankai,k−1 ank αan,k+1 − ankai,k+1 · · · αann − ankain
.
Determinanto te matrike razvijmo po i-ti vrstici. Pri tem faktor (−1)i+k
upoštevamo tako, da pred tem v zgornji matriki pomnožimo zadnje n − i
vrstice in zadnje n − k stolpce s številom −1. Rezultat moramo še deliti
s faktorjem αn−1 in ugotovimo, da je determinanta naše matrike A enaka
1
αn−2 -kratniku determinante naslednje matrike
αa11−a1kai1 · · · αa1,k−1−a1kai,k−1 a1kai,k+1−αa1,k+1 · · · a1kain−αa1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
αai−1,1−ai−1,kai1 · · · αai−1,k−1−ai−1,kai,k−1 ai−1,kai,k+1−αai−1,k+1 · · · ai−1,kain−αai−1,n
ai+1,kai1−αai+1,1 · · · ai+1,kai,k−1−αai+1,k−1 αai+1,k+1−ai+1,kai,k+1 · · · αai+1,n−ai+1,kain
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
ankai1−αan1 · · · ankai,k−1−αan,k−1 αan,k+1−ankai,k+1 · · · αann−ankain
,
(2)
ki jo označimo z B. Hitro se lahko prepričamo, da elemente te matrike lahko
pǐsemo kot dvovrstne determinante
B =

∣∣∣∣a11 a1kai1 α
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣a1,k−1 a1kai,k−1 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a1k a1,k+1α ai,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣a1k a1nα ain
∣∣∣∣
...
. . .
...
...
. . .
...∣∣∣∣ai−1,1 ai−1,kai1 α
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ai−1,k−1 ai−1,kai,k−1 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ai−1,k ai−1,k+1α ai,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ai−1,k ai−1,nα ain
∣∣∣∣∣∣∣∣ ai1 αai+1,1 ai+1,k
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ ai,k−1 αai+1,k−1 ai+1,k
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α ai,k+1ai+1,k ai+1,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ α ainai+1,k ai+1,n
∣∣∣∣
...
. . .
...
...
. . .
...∣∣∣∣ai1 αan1 ank
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ai,k−1 αan,k−1 ank
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α ai,k+1ank an,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ α ainank ann
∣∣∣∣

.
Med determinantama obeh matrik velja torej zveza
det(A) =
1
αn−2
det(B). (3)
Metoda sestavljanja matrike B je enostavna. Najprej izberemo v matriki
A neničelni element α, na primer v i-ti vrstici in k-tem stolpcu. Nato se
122 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
postavimo na to mesto in sestavljamo dvovrstne determinante tako, da ele-
ment α vsakokrat dopolnimo s tekočim elementom ars (kjer r 6= i in s 6= k)
matrike in dvema elementoma, ki sta na križǐsču ustrezne vrstice in stolpca
z i-to vrstico in k-tim stolpcem. Pri tem ohranimo pozicijo elementov, kot
so v prvotni matriki, in nam tudi ni treba misliti na predznake. Pri ročnem
računanju je seveda pametno, da izberemo za α element 1 ali −1, če tak ob-
staja. Naj opomnimo, da v primeru izbire α = a11, če je to število neničelno,
dobimo tako imenovano Chiòvo formulo (glej na primer [4]). Računanje de-
terminante reda n smo prevedli na računanje determinante reda n − 1. S
ponavljanjem postopka pridemo nazadnje do ene same determinante reda
2. Naredimo zgled:∣∣∣∣∣∣∣∣
5 3 0 4 2
3 0 4 0 7
1 0 2 0 3
7 2 1 3 4
5 1 2 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
−10 6 2 7
3 −4 0 −7
1 −2 0 −3
−3 3 1 2
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣−4 0 −33 −4 71 −2 3
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 8 −9−2 2
∣∣∣∣ = −2.
Krepko smo označili števila, ki smo jih izbrali za naslednji korak. Oglejmo
si še primer iz [6]
Dn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1b1 a1b2 a1b3 · · · a1bn−1 a1bn
a1b2 a2b2 a2b3 · · · a2bn−1 a2bn
a1b3 a2b3 a3b3 · · · a3bn−1 a3bn
...
...
...
. . .
...
...
a1bn a2bn a3bn · · · an−1bn anbn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
kjer avtor predlaga, da najprej poǐsčemo zvezo med Dn in Dn−1. Vzemimo
najprej, da je a1bn 6= 0. Če uporabimo zvezo (3) na desnem zgornjem
vogalnem elementu, hitro ugotovimo, da dobimo determinanto, ki ima vse
elemente nad glavno diagonalo enake 0, diagonalni elementi pa so po vrsti:
a1bn(a2b1−a1b2), a1bn(a3b2−a2b3), . . ., a1bn(anbn−1−an−1bn). Tako dobimo
po kraǰsanju z (a1bn)
n−2 za vrednost determinante rezultat:
Dn = a1bn
n−1∏
k=1
(ak+1bk − akbk+1).
Če je a1bn = 0, ta zveza trivialno velja.
Zvezo (3) lahko najprej posplošimo tako, da izberemo dva neničelna
elementa neke vrstice. Če na primer izberemo elementa α = aik 6= 0 in
β = air 6= 0, kjer je 1 ≤ k < r < n, podobno kot zgoraj z elementarnimi
operacijami na stolpcih
sj → α · sj − aij · sk, j = 1, 2, . . . , r, j 6= k,
sj → β · sj − aij · sr, j = r + 1, . . . , n
121–133 123
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
izpeljemo zvezo
det(A) =
1
αr−2βn−r
det(B), (4)
kjer je matrika B sestavljena iz poddeterminant drugega reda, tvorjenih tako
kot zgoraj, pri čemer prvi parameter α uporabimo za prvih r − 1 stolpcev,
za naslednje stolpce pa uporabimo parameter β. Zgoraj smo vzeli r 6= n, v
nasprotnem dobimo zvezo z enim samim parametrom.
Kot primer vzemimo matriko A reda 5 × 5, v kateri izberimo elementa
α = a32 in β = a34
A =

a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 α a33 β a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
.
Za determinanto te matrike velja zveza
det(A) =
1
α4−2β5−4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣ a11 a12a31 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a12 a13α a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a12 a14α β
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a14 a15β a35
∣∣∣∣
∣∣∣∣ a21 a22a31 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a22 a23α a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a22 a24α β
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a24 a25β a35
∣∣∣∣
∣∣∣∣ a31 αa41 a42
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α a33a42 a43
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α βa42 a44
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ β a35a44 a45
∣∣∣∣
∣∣∣∣ a31 αa51 a52
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α a33a52 a53
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α βa52 a54
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ β a35a54 a55
∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Zgornjo zvezo lahko posplošimo še na več izbranih elementov. Tako velja:
če v i-ti vrstici matrike (1) izberemo neničelne elemente ai,k1 , ai,k2 , . . . , ai,kr
(največ n − 2), kjer je 1 ≤ k1 < k2 < . . . < kr < n, potem velja naslednja
zveza:
det(A) =
1
ak2−2i,k1 a
k3−k2
i,k2
· · · an−kri,kr
det(B), (5)
kjer je matrika B iz dvovrstnih poddeterminant, tvorjenih na zgoraj opisani
način. Pri tem preskočimo pri vsakem izbranem stolpcu na naslednji para-
meter. Zanimivo je, da v zvezah (4) in (5) pozicija prvega parametra nima
vpliva na faktor pred novo determinanto. V posebnem lahko izberemo n−2
124 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
neničelnih elementov neke vrstice, na primer vse razen prvega in zadnjega.
Če smo to naredili v i-ti vrstici, dobimo zvezo
det(A) =
1
ai2ai3 · · · ai,n−1
det(B), (6)
kjer je matrika B iz determinant reda 2, tvorjenih na zgornji način, pri čemer
na vsakem koraku preskočimo na sosednji parameter. Podobne formule, kot
so (4), (5) in (6), veljajo, če parametre izbiramo v nekem stolpcu. Za zgled
s pomočjo zveze (6) izračunajmo naslednjo determinanto reda n:
D(a1, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
an−11 a
n−2
1 b1 · · · a1b
n−2
1 b
n−1
1
an−12 a
n−2
2 b2 · · · a2b
n−2
2 b
n−1
2
...
...
. . .
...
...
an−1n a
n−2
n bn · · · anbn−2n bn−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣. (7)
Najprej predpostavimo, da so vsa števila neničelna. Uporabimo zvezo (6) na
prvi vrstici in v dobljeni determinanti iz vseh stolpcev izpostavimo potence
števil a1 in b1 ter skupne faktorje v vrsticah. Po okraǰsanju dobimo zvezo:
D(a1, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
= (a1b2 − a2b1) · · · (a1bn − anb1) ·D(a2, a3, . . . , an; b2, b3, . . . , bn). (8)
Zveza velja tudi, če je kakšno od števil enako nič. Vzemimo npr., da je
a1 = 0. Razvijmo za ta primer determinanto (7) po prvi vrstici in dobimo:
D(0, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
= (−1)n+1bn−11 a2a3 · · · anD(a2, a3, . . . , an; b2, b3, . . . , bn).
Isto pa dobimo, če v zvezi (8) postavimo a1 = 0. Zvezo (8) rekurzivno upo-
rabimo na vse manǰsih determinantah, dokler ne pridemo do determinante
drugega reda, ki je enaka D(an−1, an; bn−1, bn) = an−1bn − anbn−1. Tako
pridemo do identitete
D(a1, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
∏
1≤i<j≤n
(aibj − ajbi). (9)
Naj opomnimo, da lahko pridemo do zgornje zveze tudi z uporabo Vander-
mondove determinante (glej npr. [4]). Po drugi strani pa dobimo zvezo za
Vandermondovo determinanto, če v (9) postavimo bi = 1 za vse i.
121–133 125
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Oglejmo si, kako lahko uporabimo npr. zvezo (3) za računanje determi-
nante Hessenbergove matrike. Ta ima obliko
A =

a11 a12 a13 · · · a1,n−1 a1n
a21 a22 a23 · · · a2,n−1 a2n
0 a32 a33 · · · a3,n−1 a3n
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · an−1,n−1 an−1,n
0 0 0 · · · an,n−1 ann

.
Vzemimo, da je a11 6= 0. Hitro opazimo, da z uporabo formule (3) na tem
elementu dobimo le v prvi vrstici determinante reda 2, vse druge vrstice pa
so samo pomnožene s faktorjem a11. Tega lahko izpostavimo iz teh vrstic,
ga okraǰsamo in dobimo:
det(A) = det

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a11 a13a21 a23
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ a11 a1,n−1a21 a2,n−1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a11 a1na21 a2n
∣∣∣∣
a32 a33 · · · a3,n−1 a3n
0 a43 · · · a4,n−1 a4n
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · an−1,n−1 an−1,n
0 0 · · · an,n−1 ann

. (10)
Če je a11 = 0 in je a21 6= 0, začnemo s tem elementom in dobimo enak
rezultat. Če pa sta oba omenjena elementa enaka nič, zgornja zveza trivi-
alno velja. Vidimo, da moramo izračunati samo dvovrstne determinante iz
prvih dveh vrstic, druge vrstice ostanejo nespremenjene in opustimo prvi
stolpec. Tako postopno pridemo do ene same determinante drugega reda.
Izračunajmo primer:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 2 1
2 3 4 5 2
0 2 5 6 5
0 0 1 6 6
0 0 0 9 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1 0
2 5 6 5
0 1 6 6
0 0 9 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 4 5
1 6 6
0 9 8
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 2 19 8
∣∣∣∣ = 7.
Zveze (3), (4), (5), (6) in (10) so bile predstavljene v [5].
2. Dodgsonova kondenzacijska metoda
Najprej si bomo ogledali neko zvezo med determinanto dane matrike in
petimi njenimi poddeterminantami. Vzemimo matriko (1) z elementi (aij)
126 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
in uvedimo kraǰso oznako
(aij , ars) =
∣∣∣∣ aij aisarj ars
∣∣∣∣, i < r, j < s.
Elemente te determinante dobimo tako, da skozi elementa aij in ars v ma-
triki potegnemo vodoravni ter navpični vzporednici, in presečǐsča teh pre-
mic nam določajo elemente v determinanti. Podobno z (aij , akm, ars), kjer
je i < k < r in j < m < s, označimo poddeterminanto reda 3, ki ima v
oklepaju navedene elemente po vrsti na glavni diagonali, preostala mesta
pa dopolnimo z elementi iz matrike, kot nam narekujejo indeksi na zgoraj
opisani način. Podobno označevanje lahko uporabimo za poddeterminante
vǐsjih redov. Zaradi enostavnosti vzemimo, da je matrika A reda 4×4 z ele-
menti (aij) in predpostavimo, da je a22 6= 0 in (a22, a33) 6= 0. Pri računanju
determinante matrike A upoštevajmo zvezo (3) z elementom a22 in nato še
enkrat to zvezo na dobljenem srednjem elementu (a22, a33):
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
a222
∣∣∣∣∣∣
(a11, a22) (a12, a23) (a12, a24)
(a21, a32) (a22, a33) (a22, a34)
(a21, a42) (a22, a43) (a22, a44)
∣∣∣∣∣∣ =
=
1
a222(a22, a33)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣ (a11, a22) (a12, a23)(a21, a32) (a22, a33)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ (a12, a23) (a12, a24)(a22, a33) (a22, a34)
∣∣∣∣
∣∣∣∣ (a21, a32) (a22, a33)(a21, a42) (a22, a43)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ (a22, a33) (a22, a34)(a22, a43) (a22, a44)
∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Namesto števila a222 v imenovalcu ulomka lahko pǐsemo pred vsako notra-
njo determinanto število 1a22 . Potem pa prek zveze (3) spoznamo, da so
na štirih mestih notranje determinante v resnici vrednosti štirih trivrstnih
determinant. Tako pridemo do zveze
∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣ =
1
(a22, a33)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a12 a13 a14
a22 a23 a24
a32 a33 a34
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a22 a23 a24
a32 a33 a34
a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
. (11)
Ali na kraǰsi način:
det(A) =
1
(a22, a33)
∣∣∣∣ (a11, a22, a33) (a12, a23, a34)(a21, a32, a43) (a22, a33, a44)
∣∣∣∣ .
121–133 127
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Podobno lahko z indukcijo, kjer primerno uporabimo zvezo (3), ugotovimo,
da za determinanto matrike A reda n× n velja
det(A) =
1
(a22, . . . , an−1,n−1)
∣∣∣∣ (a11, . . . , an−1,n−1) (a12, . . . , an−1,n)(a21, . . . , an,n−1) (a22, . . . , ann)
∣∣∣∣ (12)
ob predpostavki, da je determinanta v imenovalcu od nič različna. Elementi
v dvovrstni determinanti na desni so tvorjeni tako, da po vrsti zapǐsemo
štiri vogalne determinante reda n − 1, ki jih dobimo iz dane matrike. Ta
zveza se imenuje tudi Desnanot-Jacobijeva identiteta. Na njeni podlagi
sloni Dodgsonova metoda kondenzacije, ki jo je predlagal C. L. Dodgson
([3]), bolj znan pod psevdonimom Lewis Carroll in delu Alica v čudežni
deželi. Dogovorimo se še za dve poimenovanji. Sosedski minor (kraǰse s-
minor) reda r imenujmo determinanto podmatrike, ki jo dobimo tako, da
izberemo r sosednjih vrstic neke matrike, druge izpustimo, ter r sosednjih
stolpcev in druge izpustimo. Torej se morajo deli izbranih vrstic in stolpcev
držati skupaj. Sredǐsčno ali centralno podmatriko (kraǰse c-podmatriko) pa
imenujmo podmatriko, ki jo dobimo iz neke matrike, če odstranimo prvo in
zadnjo vrstico ter prvi in zadnji stolpec. V zvezi (11) nastopajo na desni
štirje s-minorji reda 3, v imenovalcu pa imamo determinanto c-podmatrike
začetne matrike.
Vzemimo sedaj dano matriko A reda n × n in definirajmo zaporedje
matrik Ak in Bk, za k = 0, 1, . . . , n − 1 po naslednjem pravilu. Najprej
postavimo A0 = A, medtem ko naj bo B0 matrika reda (n − 1) × (n − 1)
iz samih enojk. Potem pa za vsak k ∈ {1, 2, . . . , n − 1} elemente matrike
Ak dobimo tako, da po vrsti računamo s-minorje reda 2 matrike Ak−1 in
jih delimo z istoležnimi elementi matrike Bk−1, za matriko Bk pa vzamemo
c-podmatriko matrike Ak−1. Seveda moramo privzeti, da so vseskozi vsi
elementi matrik Bk različni od nič. Matrika An−1 je reda 1× 1 in je ravno
vrednost determinante začetne matrike A, matrika Bn−1 pa je prazna, saj
naj bi bila c-podmatrika preǰsnje matrike reda 2×2. Oglejmo si ta postopek
na primeru:
A =

1 0 2 2 1
1 1 2 1 2
2 1 1 2 3
1 2 1 3 1
0 1 2 1 0
, B0 =

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
,
A1 =

1 −2 −2 3
−1 −1 3 −1
3 −1 1 −7
1 3 −5 −1
, B1 =
 1 2 11 1 2
2 1 3
,
128 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
A2 =
 −3 −4 −74 2 −10
5 2 −12
, B2 = [ −1 3−1 1
]
,
A3 =
[
−10 18
2 −4
]
, B3 =
[
2
]
,
A4 =
[
2
]
, B4 =
[ ]
.
Torej det(A) = 2. Na tem primeru pojasnimo, zakaj res dobimo na koncu
vrednost determinante začetne matrike. Primerjajmo način računanja ele-
mentov matrik Ak z zvezo (12), seveda glede na velikost ustreznih pod-
matrik. V matriki A1 so ravno s-minorji matrike A reda 2, v matriki B1
pa minorji reda 1 notranjega dela matrike A. Opazimo, da so v matriki
A2 izračunani s-minorji reda 3 matrike A, v matriki B2 pa s-minorji reda
2 notranjega dela matrike A, ki potem pridejo v poštev pri računanju s-
minorjev reda 4 matrike A, ti so potem zbrani v matriki A3. Element v B3
je ravno determinanta c-podmatrike reda 3 × 3 začetne matrike. Nazadnje
je v matriki A4 izračunani s-minor reda 5 matrike A. Ker je ta en sam, je
seveda to vrednost iskane determinante. Pomanjkljivost te metode je, da
odpove, kakor hitro je kakšen element v matrikah Bk enak nič. Ko naletimo
na ničelni element v eni od teh matrik, moramo postopek prekiniti. Lahko
gremo sicer nazaj na začetno matriko in ji zamenjamo dve ali več vrstic
oziroma stolpcev ter znova začnemo postopek, mislimo pa si lahko, kako
je tako ponavljanje mučno delo. Hitro pa se da najti primere matrik, pri
katerih nobena zamenjava začetnih vrstic ali stolpcev ne pomaga.
3. Računanje determinante z izrezovanjem stolpcev in vrstic
Vzemimo zopet matriko (1) z izbranim neničelnim elementom α = aik. To-
krat pa razdelimo matriko na bloke tako, da posebno izdvojimo i-to vrstico
in k-ti stolpec. Posameznim podmatrikam dajmo svoje oznake, tako lahko
pǐsemo
A =
 W11 v1 W12uT1 α uT2
W21 v2 W22
.
Sedaj naredimo enako kot v prvem razdelku in matriko B v (2) pǐsimo v
obliki razlike
B =
[
αW11 −αW12
−αW21 αW22
]
−
[
v1
−v2
] [
uT1 −uT2
]
.
Dodajmo k drugemu členu faktor αα . Upoštevajmo zvezo (3) med determi-
nantama matrik A in B in pri računanju determinante matrike B upošte-
121–133 129
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
vajmo faktor αn−1. Tako dobimo
det(A) = α · det
([
W11 −W12
−W21 W22
]
− 1
α
[
v1
−v2
] [
uT1 −uT2
])
. (13)
Pogosto je ugodno izbrati kar spodnji desni element, če je različen od nič;
in dobimo zvezo
det(A) = det
[
W v
uT α
]
= α · det
(
W − 1
α
(vuT )
)
. (14)
Tako lahko zaporedoma izražamo determinante z determinantami nižjih re-
dov. Pri ročnem računanju se splača izbirati števila 1 ali −1, če obstajajo,
ali vsaj ne prevelikih števil ter take, da je v izbrani vrstici ali stolpcu čim
več ničel. Omenjeno metodo najdemo v [2]. Prikažimo postopek na zgledu,
pri tem s črtami označimo mesta razrezov:
det

5 3 0 4 2
3 0 4 0 7
1 0 2 0 3
7 2 1 3 4
5 1 2 2 3
 =
= 2 det


5 3 −4 −2
3 0 0 −7
−7 −2 3 4
−5 −1 2 3
− 12

0
4
−1
−2
 [ 1 0 0 −3 ]

= 2 det
12

10 6 −8 −4
2 0 0 −2
−13 −4 6 5
−8 −2 4 0


=
2(−2)
24
det
 10 6 −813 4 −6
8 2 −4
+ 1
2
 −4−5
0
 [ 2 0 0 ]

=
−1
22
det
 6 6 −88 4 −6
8 2 −4
 = 4
22
det
([
6 6
8 4
]
+
1
4
[
−8
−6
] [
8 2
])
= det
[
−10 2
−4 1
]
= −2.
130 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
Pri tem bi lahko tudi zadnjo determinanto računali po istem pravilu, npr.
1 · ((−10)− (2)(−4)/1) = −2. Zgoraj je seveda šlo le za ilustracijo metode,
med potjo bi lahko še marsikaj poenostavili ali primerneje izbirali elemente.
Zanimiva je zveza, ki jo dobimo iz (13) tedaj, ko so na primer nad
elementom α v stolpcu in desno od njega v vrstici same ničle. Po kratkem
računu dobimo
det
 W11 0 W12uT1 α 0
W21 v2 W22
 = α · det [ W11 −W12−W21 + v2uT1 /α W22
]
in podobne zveze, če se ničle glede na parameter α nahajajo levo in zgoraj,
levo in spodaj oziroma desno in spodaj. V posebnem, če je element α edini
od nič različen element v neki vrstici ali stolpcu dane matrike A, dobimo
det(A) = α · det
[
W11 −W12
−W21 W22
]
.
4. Računanje determinante z odštevanjem istega števila od vseh
elementov
Na koncu omenimo še en preprost postopek računanja determinante, ki
je uspešen takrat, ko ima matrika veliko enakih elementov. Označimo s
C matriko, ki jo dobimo iz dane matrike A tako, da od vseh elementov
odštejemo isto število α, torej cij = aij − α, i, j = 1, . . . , n. Determinanta
naše matrike ima potem obliko
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 + α c12 + α · · · c1n + α
c21 + α c22 + α · · · c2n + α
...
...
. . .
...
cn1 + α c2n + α · · · cnn + α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
Upoštevajmo, da je determinanta multilinearna funkcija stolpcev, in izpu-
stimo determinante z vrednostjo 0, ker imajo enaka dva ali več stolpcev.
Preostane nam vsota n+ 1 determinant∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
cn1 cn2 · · · cnn
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
α c12 · · · c1n
α c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
α cn2 · · · cnn
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 α · · · c1n
c21 α · · · c2n
...
...
. . .
...
cn1 α · · · cnn
∣∣∣∣∣∣∣∣+ . . .+
∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 c12 · · · α
c21 c22 · · · α
...
...
. . .
...
cn1 cn2 · · · α
∣∣∣∣∣∣∣∣.
121–133 131
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 132 — #12 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Razvijmo zadnjih n determinant po stolpcih, v katerih nastopa zgolj para-
meter α, in izpostavimo skupni faktor, ta je torej pomnožen z vsoto vseh
kofaktorjev KCij determinante matrike C. Prǐsli smo do zveze
det(A) = det(C) + α
n∑
i,j=1
KCij . (15)
Vidimo, da bomo uspešni, če bo determinanto matrike C lahko izračunati
in če bo kofaktorjev v determinanti matrike C čim manj oziroma bodo čim
bolj sorodni. Zgornjo zvezo zasledimo v zbirki [6]. Za zgled izračunajmo
determinanti naslednjih dveh matrik reda n:
A =

a1 b · · · b b
b a2 · · · b b
...
...
. . .
...
...
b b · · · an−1 b
b b · · · b an
, B =

a b · · · b x
b a · · · b b
...
...
. . .
...
...
b b · · · a b
−x b · · · b a
,
kjer so a1, a2, . . . , an, a, b in x dana števila. Pri prvi matriki naj bo n ≥ 2, pri
drugi pa n ≥ 3. Če od vseh elementov matrike A odštejemo število b, dobimo
matriko, ki ima samo po diagonali po vrsti razlike ai − b, i = 1, 2, . . . , n,
drugod pa imamo ničle. Determinanto dobljene matrike je lahko izračunati,
kofaktorje pa ima od nič različne le k diagonalnim elementom. Iz zveze (15)
sledi
det(A) =
n∏
i=1
(ai − b) + b
n∑
k=1
n∏
i=1
i 6=k
(ai − b).
Tudi pri matriki B odštejmo povsod število b, dobimo matriko, ki ima ne-
ničelne elemente samo na glavni diagonali ter na zgornjem desnem in spo-
dnjem levem vogalnem mestu. Samo na teh mestih so tudi neničelni kofak-
torji. Če za hip pǐsemo z = a− b, dobimo
det(B) = zn + (x− b)(x+ b)zn−2 +
+ b
(
2zn−1 + (n− 2)zn−3(z2 − (b2 − x2))− (x− b)zn−2 − (−x− b)zn−2
)
.
Zamenjamo nazaj z z a− b, izraz še uredimo in dobimo:
det(B) = (a− b)n−3
(
(a+ (n− 3)b)(a2 + x2)− 2(n− 2)ab2
)
.
132 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 133 — #13 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
Sklep
Namen prispevka ni bil obravnavati računanje determinante iz zornega kota
numerične analize. S te strani je gotovo med najbolǰsimi metoda, ki temelji
na razcepu matrike na produkt spodnje in zgornje trikotne matrike. Prika-
zali smo nekaj drugih manj znanih postopkov, ki pa za numerično računanje
determinante splošne matrike vsi gotovo niso zanimivi. Morda vseeno za me-
tode iz prvih treh razdelkov povejmo, da so po časovni zahtevnosti enake
tradicionalni metodi, ki uporablja razcep matrike. Število potrebnih aritme-
tičnih operacij za izračun determinante reda n je pri vseh velikostnega reda
n3. Natančneǰse štetje operacij pokaže, da postopka iz prvega in tretjega
razdelka zahtevata približno enako operacij, sicer nekaj več od metode z raz-
cepom matrike, še nekaj več operacij pa zahteva Dodgsonova metoda. Če
metodo prvega razdelka za numerično rabo modificiramo tako, da vsakokrat
izpostavimo parameter iz izbrane vrstice, preden računamo dvovrstne deter-
minante, pa je število potrebnih operacij skoraj enako kot pri tradicionalni
metodi brez pivotiranja. Računanje determinante Hessenbergove matrike je
v splošnem smiselno le z metodama iz prvega in tretjega razdelka. Za obe je
število potrebnih operacij velikostnega reda n2, kar je enako kot pri metodi,
opisani v [1]. Natančneje, omenjena metoda in metoda z izrezovanjem zah-
tevata celo enako aritmetičnih operacij, metoda iz prvega razdelka pa nekaj
več.
LITERATURA
[1] Z. Bohte, O računanju determinante, Obzornik mat. fiz. 26 (1979), 161–177.
[2] F. C. Chang in C. T. Su, More on quick evaluation of determinants, Appl. Math.
Comput. 93 (1998), 97–99.
[3] C. L. Dodgson, Condensation of determinants, being a new and brief method for
computing their arithmetical values, Proc. R. Soc. London 15 (1866–1867), 150–155.
[4] H. Eves, Elementary matrix theory, Dover Publ., New York, 1966.
[5] E. Kramar, On the evaluation of determinants using two order subdeterminants,
Austral. Math. Soc. Gaz. 36 (2009), 201–207.
[6] I. V. Proskurjakov, Sbornik zadač po linejnoj algebre, 4. izd., Nauka, Moskva, 1970.
http://www.obzornik.si/
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
121–133 133