9 770351 665067
6
MATEMATIKA+FIZIKA+ASTRONOMIJA+RAČUNALNIŠTVO#
ISSN0351-6652
9 770351 665067
PRESEK LETNIK 50 (2022/2023) ŠTEVILKA 6
ˇ 
ˇ 

ˇ 



  P
  
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje
letnik 50, šolsko leto 2022/2023, številka 6
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Baši´ c (raˇ cunalništvo),
Mojca
ˇ
Cepiˇ c, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Andrej Guštin
(astronomija), Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kraˇ cun
Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša
(glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš
Mohoriˇ c (odgovorni urednik), Marko Razpet, Grega Rihtar
(jezikovni pregled), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni
urednik).
Dopisi in naroˇ cnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633,
telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si
Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si
Naroˇ cnina za šolsko leto 2022/2023 je za posamezne
naroˇ cnike 22,40eur – posamezno naroˇ cilo velja do preklica, za
skupinska naroˇ cila uˇ cencev šol 19,60eur, posamezna številka
6,00eur, stara številka 4,00eur, letna naroˇ cnina za tujino pa
znaša 30eur.
Transakcijski raˇ cun: 03100–1000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova
razpisa za sofinanciranje domaˇ cih poljudno-znanstvenih
periodiˇ cnih publikacij.
Založilo DMFA–založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 900 izvodov
© 2023 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
– 2167
ISSN 2630-4317 (Online)
ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.)
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov
brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana.
Presekobjavljapoljudneinstrokovneˇ clankeizmatematike,
fizike, astronomije in raˇ cunalništva. Poleg ˇ clankov objavlja Pri-
kaze novih knjig s teh podroˇ cij in poroˇ cila z osnovnošolskih in
srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj
bodozanimiviinrazumljiviširšemukrogubralcev,uˇ cencemviš-
jih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
ˇ
Claneknajvsebujenaslov,imeavtorja(oz.avtorjev)insedež
institucije,kjeravtor(ji)dela(jo). Slikeintabele,kinajbodoošte-
vilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih lahko veˇ cinoma
razumemo loˇ ceno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo
biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 cm pri
loˇ cljivosti300dpi. Vprimeruslabšekakovostiseslikaprimerno
pomanjša ali ne objavi. Avtorjiˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz
drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri-
ght). Zaželena velikost ˇ crk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami
pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali
na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si.
Vsakˇ claneksepravilomapošljevsajenemuanonimnemure-
cenzentu, ki oceni primernostˇ clanka za objavo.
ˇ
Ce je prispevek
sprejet v objavo in ˇ ce je besedilo napisano z raˇ cunalnikom, po-
temuredništvoprosiavtorjazaizvornedatoteke. Le-tenajbodo
praviloma napisane v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajoˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.
ˇ  
 ˇ  
P50(2022/2023)6
2
Nagradastrokovnjaku
zaparcialne
diferencialneenaˇ cbe
Abelova nagrada je ena izmed najprestižnejših
mednarodnih nagrad za dosežke na podroˇ cju mate-
matike. PodeljujejoNorveškaakademijaznanostiin
književnosti z namenom dati priznanje prelomnim
znanstvenimdosežkomvmatematikiinnjihovimav-
torjem, poveˇ cati širši ugled matematike in spodbu-
diti zanimanje zanjo tudi med mladimi.
Letošnjo Abelovo nagrado je prejel argentinsko-
ameriški matematik Luis Caffarelli (rojen 1948) za
svoje delo na podroˇ cju parcialnih diferencialnih
enaˇ cb (PDE). S takimi enaˇ cbami pogosto opisujemo
delovanje in uˇ cinek razliˇ cnih sil v naravi v odvisno-
stiodkrajainˇ casa–tipiˇ cenprimernjihovepraktiˇ cne
uporabe je recimo napovedovanje vremena s pomo-
ˇ cjo matematiˇ cnih modelov. Na uˇ cinek razliˇ cnih sil
obiˇ cajno vpliva tudi geometrija okolice. Obnašanje
plina,kiteˇ ceskozicev,jedenimomoˇ cnoodvisnood
oblikecevi: ožjacevpovzroˇ cihitrejšitokplina,ovire
vcevipavrtinˇ castetokove. Caffarellijevsvojihdelih
obravnaval številne probleme s prostim robom, pri
katerih je rob obmoˇ cja spremenljiv: pri raztapljanju
ledene kocke v vodi se rob kocke vesˇ cas spreminja,
pravtakosespreminjaoblikateniškežogicemedod-
bojem na podlagi in podobno. Njegove rešitve so po
besedah komisije kombinacija izjemnega geometriˇ c-
nega vpogleda in globokih analitiˇ cnih orodij.
PrispevaljetudikrazumevanjuznameniteNavier-
Stokesove enaˇ cbe, ki opisuje gibanje tekoˇ cin, katere
rešitev pa še ne razumemo povsem natanˇ cno. Pro-
blem obstoja in gladkosti rešitve Navier-Stokesove
enaˇ cbevtrehdimenzijahjedenimoedenizmedsed-
mih milenijskih problemov, za katere je Clayev ma-
tematiˇ cni inštitut iz ZDA razpisal nagrado 1 milijon
dolarjev. Omenjeni problem v zelo poenostavljeni
razlagi sprašuje, ali je mogoˇ ce matematiˇ cno izpe-
ljati zgornjo mejo za hitrost tornadov. Morda bo to
uspelo komu od nove generacije mladih znanstvenic
in znanstvenikov.
Po informacijah s spletne strani abelprize.no
povzel in priredil Boštjan Kuzman. ×××

S  : Fuzija znanosti in umetnosti? Primer
dobreprakseizpredstavitvenegasalonajeklarnevoestalpine
v avstrijskem Linzu. Fotografija: Andrej Guštin
ˇ  
2 Nagrada strokovnjaku za parcialne
diferencialne enaˇ cbe

4 Nasvidenje prihodnje leto
(Boštjan Kuzman)

5–8 Roˇ cno korenjenje
(Vid Kavˇ ciˇ c)

12–15 Žarnice in Stefanov zakon
(Simon
ˇ
Copar in Jošt Stergar)

18–23 Sferna trigonometrija inˇ cas v astronomiji
(Vid Kavˇ ciˇ c)
ˇ ˇ 
24–27 Fittsov zakon
(Matjaž Kljun)

16–17 Nagradna križanka
(Marko Bokaliˇ c)
27 Rešitev nagradne križanke Presek 50/5
(Marko Bokaliˇ c)
28–31 Izbrane slike in fotografije v petdesetih
letih Preseka – nadaljevanje in konec
(NadaRazpet,MarkoRazpetinAndrejLikar)
32 Bilo je nekoˇ c v reviji Presek –
Plemljeva spominska soba na Bledu

8–11 EDMO 2023
(Ana Meta Dolinar in Luka Horjak)
priloga Tekmovanje v znanju fizike za zlato
Stefanovo priznanje – državno tekmovanje
priloga 32. tekmovanje iz razvedrilne matematike –
državno tekmovanje

P50(2022/2023)6
3
Kazalo


P50(2022/2023)6
4
Nasvidenje prihodnje leto
Bˇ  K,   
Iztekasešeenošolskoleto. Maturantjevtehdneh
opravljajo maturo, državna tekmovanja iz znanja so
zakljuˇ cena. Poˇ citnic se veselimo vsi, uˇ cenci, dijaki,
uˇ citelji in profesorji. Veˇ cinoma so že izbrane tudi
ekipe za mednarodna tekmovanja iz matematike, fi-
zike,astronomije,ekonomije,naravoslovjainmorda
še kakšnega pod okriljem društva DMFA Slovenije.
Nekaj najbolj uspešnih tekmovalk in tekmovalcev se
botakoševelikdelpoletjasreˇ cevalonapripravahin
potovanjih, pa tudi veliko drugih bo preživelo vsaj
del poˇ citnic na kakšnem raziskovalnem taboru ali
poletni šoli s teh podroˇ cij, ki jih je v Sloveniji na
voljo precej. Lepo je videti, da imajo mladi na vo-
ljo tovrstne aktivnosti in da se jih tudi z veseljem in
zadovoljstvom udeležujejo.
Do jeseni pa bo vsak od nas zagotovo vsaj malo
razmišljaltudioprihodnosti. Samprecejrazmišljam
o prihodnosti matematiˇ cnega izobraževanja v svetu,
vkateremmatematikapostaja,vsajnavidez,vsebolj
skrita in nepotrebna. Blagajna v trgovini sama pre-
bere ˇ crtne kode in sešteva zneske, fotografski algo-
ritmi sami optimalno popravljajo fotografije, spletni
prevajalniki ponujajo povsem sprejemljive prevode
krajših besedil v slovenšˇ cino, aplikacije na mobilni-
kih same prepoznajo matematiˇ cne izraze in enaˇ cbe
injihrešijoznatanˇ cnoizpisanimikoraki(lahkotudi
na veˇ c naˇ cinov) in ne nazadnje, AI-boti, z umetno in-
teligenco podprti klepetalniki, postajajo resna gro-
žnja tistim, ki se ukvarjajo s kreativnim pisanjem
(alipaprofesorjem,kiželijoocenjevatipisneizdelke
svojih uˇ cencev).
Ali je v današnjem svetu res pomembno, da zna
osnovnošolec z ravnilom in šestilom konstruirati si-
metralo daljice, pisno deliti štirimestno število z
dvomestnim ali dokazati, da je kvadratni koren iz
2iracionalnoštevilo? Marsikomusetoresnezdiveˇ c
pomembno, toda dokler smo živi, moramo ohraniti
radovednost. V tokratni številki denimo objavljamo
prispevek o roˇ cnem korenjenju, pozabljeni spretno-
sti, ki je bila nekoˇ c del osnovnošolskega pouka, av-
tor prispevka pa je kot srednješolec o tem napisal
raziskovalno nalogo, ker ga je paˇ c iskreno zanimalo,
kako izraˇ cunati kvadratni koren brez kalkulatorja.
Verjamem,daimamotakoradovednihmladihšepre-
cej. Ponuditi pa jim je treba ustrezne izzive in spod-
budo. Morda nam to uspe v tej reviji vsaj še nekaj
let.
SLIKA1.
Udeleženci tabora MaRS 2022 študirajo linearno regresijo.
×××
www.dmfa.si


P50(2022/2023)6
5
Roˇ cnokorenjenje
V Kˇ ˇ 
Danes v šoli kvadratne korene števil veˇ cinoma
raˇ cunamo s pomoˇ cjo žepnih raˇ cunal, vˇ casih pa so
se že v osnovni šoli uˇ cili doloˇ citi kvadratni koren
roˇ cnopoposebnempostopku,kigalahkonajdemo
vstarihuˇ cbenikih,uporabljalpagajetuditudiNa-
pierov mehanski raˇ cunski stroj v 17. stoletju. V
ˇ clanku bomo ta postopek predstavili in utemeljili,
hkrati pa bomo nakazali njegove posplošitve in ga
primerjali z drugimi metodami za korenjenje.
Predstavitevalgoritmazaraˇ cunanje
kvadratnegakorena
Algoritem za roˇ cno korenjenje bomo najprej prika-
zali na konkretnem primeru števila 189225.
Številko razdelimo na tri razdelke po dve števki:
18|92|25. Najprej doloˇ cimo najveˇ cje naravno šte-
vilo, katerega kvadrat je manjši ali enak najbolj
levemu razdeleku. To je jasno število 4, saj je
4
2
≤ 18. Desno od enaˇ caja zapišemo 4, pod prvi
razdelek pa vrednost 4
2
= 16, ki jo odštejemo in
podˇ crtozapišemoostanek2,kimupripišemona-
slednji razdelek.
p
18|92|25=4
16
2 92
Dobljeno število je 292, dvakratnik dosedanjega
rezultata pa 2· 4 = 8. Zdaj s poskušanjem do-
loˇ cimo najveˇ cjo števko, ki jo lahko zapišemo na
ˇ crtici, da velja neenakost 292≥8 · .
Z nekaj raˇ cunanja ugotovimo, da je 292≥83·3=
249in292<84·4=336, torejjeiskanaštevka3,
ki jo napišemo naˇ crtici in še pri novem vmesnem
rezultatu 43. Vrednost 249 odštejemo od 292 in
dobljenemu ostanku 43 pripišemo naslednji raz-
delek 25, da dobimo 4325.
p
18|92|25=43
16
2 92≥83·3
2 49
43 25
Zdaj ponovimo prejšnji korak. Dvakratnik dose-
danjegarezultataje2·43=86. Naˇ crticizapišemo
najveˇ cjo števko, za katero velja 4325 ≥ 86 · .
Tokratjetoštevka5,sajje865·5=4325≤4325.
Števko 5 dodamo tudi v vmesni rezultat, da do-
bimo 435. Ker velja 865· 5 = 4325, dobimo pri
odštevanju ostanek 0, kar pomeni, da smo s kore-
njenjem zakljuˇ cili. Konˇ cni rezultat je torej 435.
p
18|92|25=435
16
2 92≥83·3
2 49
43 25≥865·5
43 25
0
Kvadratni koren decimalnega števila doloˇ cimo po-
dobno, le z nekaj izjemami. Korenjenec razdelimo
na razdelke po dve števki od decimalne vejice proti
levi in proti desni. Preden obravnavamo prvi razde-
lek desno od vejice, v rezultat za enaˇ caj postavimo
decimalno vejico.
ˇ
Ce ima razdelek na skrajni desni
leenoštevko,mupripišemošeštevko0. Poglejmosi
ta postopek na primeru števila 1,5129.
√
1|,51|29=1,23
1
0 51≥22·2
44
7 29≥243·3
7 29
0
Ker smo dobili ostanek 0, je algoritem konˇ can. Is-
kani rezultat je 1,23, kar je natanko kvadratni koren
števila 1,5129.
Postopek lahko strnjeno predstavimo s koraki:


P50(2022/2023)6
6
Številorazdelimonarazdelkepodveštevki,odde-
cimalne vejice levo in desno. Najbolj levi razdelek
je v primeru lihega števila števk enomesten.
ˇ
Ce
je potrebno, decimalna števila z niˇ clo dopolnimo
tako, da ima sodo decimalk.
Poišˇ cemo najveˇ cje enomestno število, katerega
kvadrat je manjši ali enak številu v prvem raz-
delku. To je prva števka korena. Njen kvadrat od-
štejemo od števila v prvem razdelku ter ostanku
pripišemo drugi razdelek. Dobljenemu številu
bomo rekli zahtevek.
Poišˇ cemo najveˇ cjo tako števko, ki je lahko dopi-
sanadvakratnikudosedanjegarezultata,dabodo-
bljenoštevilo,pomnoženostoistoštevko,manjše
ali enako zahtevku. Dobljeno števko zapišemo za
enaˇ caj kot drugo števko rezultata. To števko po-
množimo s številom, ki ima to isto števko pripi-
sano, dobljeni rezultat pa odštejemo od zahtevka
in dobimo nov ostanek.
Novemu ostanku pripišemo števki v naslednjem
razdelku in postopek nadaljujemo.
ˇ
Ceporabimovserazdelkeinvzadnjemkorakudo-
bimoostanek0,smoizraˇ cunalitoˇ cnovrednostko-
rena zaˇ cetnega števila. V nasprotnem primeru pa
lahko postopek nadaljujemo do želene natanˇ cno-
sti,takodazadnjemuostankuinvsemnaslednjim
pripisujemopodveniˇ cli,kinamdoloˇ catadodatno
mesto v rezultatu.
Utemeljitevalgoritma
Za utemeljitev algoritma definirajmo posplošeni de-
setiški sestav. Vsako naravno število N ∈N lahko v
posplošenem desetiškem sestavu izrazimo kot
N=a
1
a
2
...a
n−1
a
n
=10
n−1
·a
1
+10
n−2
·a
2
+...+10
1
·a
n−1
+
10
0
·a
n
,
kjer veljaa
i
∈N∪{0} zai∈{1,2 ... n}.
Posplošeni desetiški sestav se torej od obiˇ cajnega
razlikuje v tem, da lahko za števke vzamemo po-
ljubna naravna števila (vkljuˇ cno z 0), ne pa le cela
številaod0do9. Sevedataksestavneomogoˇ caeno-
liˇ cnegazapisaštevila,vendargabomoprisamemdo-
kazu potrebovali.
Poskusimo algoritem najprej utemeljiti na
primeru korenjenja kvadrata dvomestnega naravne-
ga številax
1
x
2
:
(x
1
x
2
)
2
=(10x
1
+x
2
)
2
=100x
2
1
+20x
1
x
2
+x
2
2
,
=100x
2
1
+x
2
·(20x
1
+x
2
),
=100x
2
1
+x
2
·(2x
1
)x
2
.
Zadnji izraz razjasni algoritem, ki v tem primeru se-
stoji iz dveh faz. V prvi fazi je treba poiskati eno-
liˇ cno doloˇ ceno števko x
1
, ki predstavlja desetice re-
zultata korena. Nadalje je treba doloˇ citi enice, tj.
števkox
2
, ki nastopa v drugemˇ clenu izraza, s kate-
rimsmozapisalikorenjenec,torejvx
2
·(20x
1
+x
2
)=
x
2
·(2x
1
)x
2
. Zapis desno od enaˇ caja utemeljuje po-
stopanje iz algoritma; to, kar imamo v dozdajšnjem
rezultatu (v tem primeru je tox
1
), množimo z 2, po-
tempaišˇ cemotakoštevkox
2
,kijomoramodopisati
števki 2x
1
, da bo dobljeno število, pomnoženo s to
isto števko x
2
, dalo število, ki bo zajelo ostanek, ki
ga nismo zajeli s prvimˇ clenom, tj. 100x
2
1
.
Utemeljitev algoritma zdaj posplošimo na kore-
njenje kvadrata n-mestnega števila. V tem primeru
sebomosklicalinanaslednjoenakost,kiveljazapo-
ljubnarealnaštevilainjolahkobralcipreverijospo-
moˇ cjo matematiˇ cne indukcije:
(x
1
+x
2
+···+x
n
)
2
=
n
X
i,j=1
i<j
2x
i
x
j
+
n
X
i=1
x
2
i
=
n
X
i,j=1
x
i
x
j
.
S pomoˇ cjo zgornje enakosti lahko kvadrat poljub-
neganaravnegaštevilapreoblikujemovnaslednjiza-
pis.
Izrek 1. (Enakost za roˇ cno korenjenje) Naj bo
x
1
x
2
...x
n−1
x
n
poljubno naravno število, zapisano
s števkami v desetiškem sestavu, kjer velja
x
i
∈{0,1,...,9} inx
1
6=0. Potem velja
(x
1
x
2
...x
n−1
x
n
)
2
=
=10
2n−2
x
2
1
+10
2n−4
x
2
·(2x
1
)x
2
+10
2n−6
x
3
·
·(2·(x
1
x
2
))x
3
+···+
+x
n
·(2·(x
1
x
2
...x
n−1
))x
n
.


P50(2022/2023)6
7
Dokaz. Levo stran izraza najprej preoblikujemo s
pomoˇ cjo prejšnje enakosti:
(x
1
x
2
...x
n−1
x
n
)
2
=

10
n−1
·x
1
+10
n−2
·x
2
+...+10
1
·x
n−1
+x
n

2
= 10
2n−2
·x
2
1
+10
2n−4
·x
2
2
+···+10
2
·x
2
n−1
+
+x
2
n
+2·10
2n−3
x
1
x
2
+2·10
2n−4
x
1
x
3
+···+
+2·10
n−1
x
1
x
n
+2·10
2n−5
x
2
x
3
+
+2·10
2n−6
x
2
x
4
+...
+2·10
n−2
x
2
x
n
+···+2·10
1
x
n−1
x
n
Sedaj moramo spretno združevati in izpostavljati.
ˇ
Clene združujemo tako, da izpostavimo enako dese-
tiško potenco. Poleg tega v i-tem koraku združimo
ˇ clene,kivsebujejox
1
,x
2
,...,x
i
. Natanaˇ cindobimo
desno stran izraza, kot smo želeli.
= 10
2n−2
x
2
1
+10
2n−4
x
2
·(20x
1
+x
2
)+
+10
2n−6
x
3
·(200x
1
+20x
2
+x
3
)+···+
+x
n
·

2·10
n−1
x
1
+2·10
n−2
x
2
+···+
+2·10·x
n−1
+x
n
)
= 10
2n−2
x
2
1
+10
2n−4
x
2
·(2x
1
)x
2
+10
2n−6
x
3
·
·(2·(x
1
x
2
))x
3
+···+x
n
·
·(2·(x
1
x
2
...x
n−1
))x
n
.
Iz dokazane trditve zdaj neposredno sledi pravil-
nost algoritma za korenjenje naravnih števil, ki so
popolni kvadrati. Ta algoritem lahko posplošimo na
algoritem za korenjenje realnih števil, katerih koren
ima konˇ cen decimalni zapis. Tako decimalno število
D pomnožimo z desetiško potenco 10
2k
za dovolj
velik k ∈N, da dobimo naravno število N, ki ga že
znamo koreniti. Da dobimo koren prvotnega deci-
malnega števila, torej
√
D, moramo
√
N le še deliti
z 10
k
. S tem smo utemeljili postopek za korenjenje
decimalnih števil, opisan na zaˇ cetkuˇ clanka.
Pozorni bralec je seveda opazil, da s tem nismo
utemeljili njegove pravilnosti tudi za iskanje približ-
kov kvadratnih korenov tistih števil, katerih koreni
nimajo konˇ cnega decimalnega zapisa.
Kotzanimivostpovejmo,dalahkonapodobenna-
ˇ cin izpeljemo tudi algoritem za kubiˇ cne ali višje ko-
rene. Postopekzakubiˇ cnikorenjedenimopredstav-
ljen tudi v Moˇ cnikovih uˇ cbenikih, algoritmi za ko-
rene višjih stopenj pa so za praktiˇ cno rabo prezah-
tevni.
Zakljuˇ cek
Poleg opisanega algoritma obstaja še precej drugih
metod za raˇ cunanje (približkov) korenov števil. V
dobi brez žepnih raˇ cunal so imele veliko vlogo (Ve-
gove) logaritemske tablice. Z njimi si lahko poma-
gamo tudi pri iskanju približka n-tega korena da-
nega števila s pomoˇ cjo obrazca
n
√
a = e
1
n
lna
, pri ˇ ce-
mer vrednost lna razberemo iz logaritemskih tabel.
Poleg metode z neskonˇ cnimi verižnimi ulomki in
Taylorjevega razvoja je zanimiva tudi Newtonova
numeriˇ cna metoda. Slednja sloni na iskanju niˇ cel
funkcije in temelji na odvodih, torej vsebini iz višje
matematike.
ˇ
Ceišˇ cemoniˇ clefunkcijef(x)=x
2
−a,
v resnici korenimo število a. Ta primer Newtonove
numeriˇ cne metode se imenuje Babilonska metoda,
tudi Heronova metoda, saj jo je grški matematik He-
ronvsvojemdeluMetrikaobjavilževprvemstoletju
našega štetja.
Pri metodi najprej ugibamo vrednost korena x
0
.
Natanˇ cnejšo vrednost korena dobimo iz izraza:
x
i+1
≡
a
x
i
+x
i
2
.
Dobljen približek nato ponovno vstavimo v zgornjo
enaˇ cbo, da dobimo še boljšega, in tako naprej do is-
kane natanˇ cnosti.
Zgoraj navedene metode korenjenja so bodisi ma-
tematiˇ cno zahtevnejše, saj temeljijo na vsebinah iz
višje matematike (neskonˇ cne vrste, limite, odvodi),
bodisi podajo zgolj približek. Algoritem, obravna-
van v ˇ clanku, pa operacijo korenjenja zreducira na
osnovni operaciji množenja in odštevanja, hkrati pa
je vsaka števka, ki jo na podlagi algoritma dobimo,
toˇ cna. Zavedati pa se moramo, da je algoritem v pri-
merjaviznpr. Taylorjevimrazvojemalinumeriˇ cnimi
metodami poˇ casnejši, zato sta slednji ustreznejši za
sodobna raˇ cunala.
Naj zakljuˇ cim, da je prispevek nastal na osnovi
raziskovalne naloge z naslovom Roˇ cno korenjenje,
ki sem jo v šolskem letu 2019/20 napisal pod men-
torstvommojeganekdanjegaprofesorjamatematike
TilnaŠetine, kijessvojiminasvetiinpredlogipripo-
mogel tudi pri nastajanju tegaˇ clanka.


P50(2022/2023)6
8
Nalogebralcu
1. Roˇ cno koreni:
(a)
√
2989441
(b)
p
9,8596
(c)
8
√
5764801
2. Poišˇ ci prvih 5 decimalnih mest
√
2.
3. Dana števila zapiši v obiˇ cajnem desetiškem se-
stavu.
(a) 1(23)4(56)7(89)
(b) (123)(45)(6789)
(c) (12)345(67)89
Literatura
[1] »Ruˇ cno« izraˇ cunavanje kvadratnog korena,
dostopno na http://forum.matemanija.com/
viewtopic.php?f=46&t=317, ogled 19. 5. 2023.
[2] Methods of computing square roots, dostopno na
https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_
of_computing_square_roots, ogled 19. 5.
2023.
[3] F. Moˇ cnik, Aritmetika za uˇ citeljišˇ ca, Kleinmayr &
Bamberg, Ljubljana, 1885.
×××
SLIKAKMATEMATIČNEMUTRENUTKU.
×××
EDMO 2023
A M D  L H
VPortorožujeod13.do19.aprila2023potekala
12. Evropska dekliška matematiˇ cna olimpijada
(EDMO). Na tekmovanju je sodelovalo 213 tekmo-
valk iz 54 držav (do 4 najboljša srednješolska de-
kletaizvsakedržave). Vkljuˇ cnozvodjiekip,koor-
dinatorji (ocenjevalci), prostovoljci, organizatorji
ipd. je bilo udeležencev dogodka 504. To je bil
najveˇ cji tovrstni dogodek v Sloveniji od leta 2006
naprej, ko smo v naši državi gostili Mednarodno
matematiˇ cno olimpijado.
Organizacija,potek
Evropska dekliška matematiˇ cna olimpijada (EDMO)
je namenjena spodbudi deklet k pripravi in udeležbi
namatematiˇ cnihtekmovanjih,sajjerazmerjespolov
nadrugihtekmovanjihzeloneuravnoteženo–deklet
je na olimpijadah, kot je Mednarodna matematiˇ cna
olimpijada,leokoli10%. EDMOdekletomdamotiva-
cijozapripravonatekmovanjanavišjiravnitersluži
kot dogodek, kjer si lahko dokažejo, da so sposobne
reševanja olimpijskih nalog. Poleg tega olimpijada
tudi pripomore k ustvarjanju prijateljstev med de-
kleti s podobnimi interesi, kar dekletom, ki na svoji
šoli med ljubitelji matematike morda vidijo le fante,
pokaže, da niso edine s tem hobijem. Poleg tega pa
lahkonaEDMOdekletaspoznajotudiuspešnemate-
matiˇ carke, ki jim lahko služijo kot vzornice.
Slovenija na EDMO sodeluje vsako leto od leta
2013. V teh letih je Slovenijo zastopalo 28 deklet,
nekatera celo trikrat ali štirikrat.
LetosjeEDMOorganiziralaSlovenijapodokriljem
DMFA Slovenije.


P50(2022/2023)6
9
Dogodek je bil organiziran v Portorožu, podprli
pa so ga tudi predsednica RS dr. Nataše Pirc Musar,
Ministrstvo za vzgojo in izobraževanje, Ministrstvo
zadelo,družino,socialnezadeveinenakemožnosti,
ter univerze – Univerza na Primorskem, Univerza v
Ljubljani in Univerza v Mariboru.
V organizacijskem odboru tekmovanja pod vod-
stvom Lucijane Kraˇ cun Berc so bili Gregor Dolinar,
Klavdija Kutnar, Ana Meta Dolinar, Ciril Dominko,
Tanja Labus, Sanja Sandiˇ c, Doris Keršiˇ c, Sandra Ci-
gula, Mateja Grašiˇ c in Špela Kumer.
Za izvedbo tekmovalnega dela so poskrbeli Kle-
menŠivic(predsednikkomisijezaizbornalog),Luka
Horjak (vodja koordinacije), Brigita Mastnak (glavna
nadzornica) ter Ana Meta Dolinar (predsednica ži-
rije).
Eden izmed dogodkov v okviru tekmovanja je bila
tudi okrogla miza – Uspešne ženske, pri kateri so
svoje izkušnje predstavile prof. dr. Nežka Mramor
Kosta, matematiˇ carka na Univerzi v Ljubljani,
prof. dr. Dunja Mladeni´ c, vodja Odseka za umetno
inteligenco na Institutu Jožefa Stefana, Rosana Ko-
lar,letalskamehaniˇ carkavAdriaTehniki,inprof.dr.
Maryna Viazovska, prejemnica Fieldsove medalje
2022. Tekmovalke so v govorkah gotovo lahko na-
šle vzor in navdih.
Za vodje ekip je bila organizirana tudi delavnica
Enakost, raznolikost, vkljuˇ cenost. Na njej so men-
torjiizrazliˇ cnihdržav, kultur, ozadijtervernapod-
lagi primerov iz resniˇ cnega sveta razpravljali, kako
se spopasti z delikatnimi situacijami ter kako zago-
toviti, da bo okolje matematiˇ cnih tekmovanj prija-
zno do vseh.
SLIKA1.
Skupinska slika tekmovalk na otvoritveni slovesnosti
Po tekmovanju so se dekleta udeležila razliˇ cnih
prostoˇ casnih aktivnostih, od plesa in odbojke do
ustvarjalnih in glasbenih delavnic. Na ekskurzijah v
Ljubljano in Postojnsko jamo so spoznala slovenske
turistiˇ cne znamenitosti, veliko pa je bilo tudi prilo-
žnosti za druženje s tekmovalkami iz drugih držav.
Tekmovanje,dosežkislovenskihtekmovalk
inrezultati
Kot država gostiteljica je Slovenija lahko poslala dve
ekipi,torej8tekmovalk. SlovenijosozastopaleKata-
rina Grilj s SŠ Slovenska Bistrica, Kaja Rajter z II. gi-
mnazije Maribor, Nives Gošnjak in Ema Hojan s ŠC
Velenje, Gimnazija, Patricia Király, Zara Barbari´ c in
Neca Camlek z Gimnazije Bežigrad ter Ekaterina
Chizhova z Osnovne šole Trnovo, Ljubljana.
Ekipo so spremljali Jaka Vrhovnik, Lana Prijon in
Jan Pantner.
Tekmovanjepotekavoblikiindividualnegareševa-
nja nalog z razliˇ cnih podroˇ cij matematike – algebra,
geometrija, kombinatorika in teorija števil. Tekmo-
valke dva zaporedna dni po 4 ure in pol rešujejo po
tri naloge na dan, skupno 6 nalog, vsaka ocenjena z
do 7 toˇ ckami. Tako je najvišje možno število dose-
ženih toˇ ck 42.
Ocenjevanje nalog se izvede prek procesa koordi-
nacije, kjer koordinatorji (neodvisni strokovnjaki, ki
jih izberejo organizatorji) z vodji ekip vsake države
uskladijo število toˇ ck, ki so jih tekmovalke dosegle
na posamezni nalogi.
SLIKA2.
Tekmovalke pred zaˇ cetkom tekmovanja


P50(2022/2023)6
10
Ekipno je med evropskimi državami zmagala
Ukrajina, absolutno pa Kitajska. 14 tekmovalk je do-
seglovsetoˇ ckeinzapopolnrezultatprejeloposebno
nagrado. Skupno se je podelilo 119 medalj (26 zla-
tih, 36 srebrnih in 57 bronastih) ter 42 pohval.
Slovenske tekmovalke so se na tekmovanju izvr-
stno odrezale. Katarina Grilj je prejela srebrno me-
daljoins47.mestom(32.medEvropejkami)osvojila
najboljšo relativno uvrstitev v zgodovini slovenske
udeležbe na EDMO. Poleg tega so Kaja Rajter, Neca
CamlekinEmaHojanprejelepohvalozapopolnore-
šitev naloge.
Vsem našim tekmovalkam ˇ cestitamo za dosežen
uspeh!
Nalogistekmovanja
Dasibomolažjepredstavljaliizzive,skaterimisose
sooˇ calenašetekmovalkenatejolimpijadi,sioglejmo
dve nalogi s tekmovanja in njuni rešitvi:
Naloga 2. Naj bo ABC ostrokoten trikotnik in naj
boDtakatoˇ ckananjegovioˇ crtanikrožnici,dajeAD
premer. Recimo, da toˇ cki K in L zaporedoma ležita
na stranicah AB in AC ter da sta DK in DL tangenti
na krožnico oˇ crtano trikotnikuAKL.
Dokaži, da premica KL poteka skozi višinsko
toˇ cko trikotnikaABC.
Rešitev. Kot pri vsaki geometrijski nalogi si tudi tu
najprej narišimo natanˇ cno skico.
SLIKA3.
Tekmovalke s Katarinino srebrno medaljo in ekipno maskoto
Kozo
Dobra intuicija nam pove, da bo višinska toˇ cka H
najverjetneje kar razpolovišˇ ce daljice KL. V takih
primerih je zelo dobra strategija ta, da oznaˇ cimo to
razpolovišˇ ce z M in dokažemo, da leži na višinah
trikotnika ABC. Pravzaprav je dovolj dokazati že
BM ⊥ AC. Po enakem razmisleku bo namreˇ c sle-
dilo CM ⊥ AB, kar že implicira to, da je M višinska
toˇ cka.
Oglejmo si trikotnik DKL. Ker sta DK in DL tan-
genti na krožnico oˇ crtani trikotniku AKL, po
izreku o kotu med tangento in tetivo dobimo
∠DKL = ∠KAL = ∠KLD. Od tod sledi, da je tri-
kotnikDKL enakokrak, zato jeDM ⊥KL. Ker jeDA
premerkrožnice,poTalesovemizrekusledi∠DBA=
90
◦
. Po obratu Talesovega izreka tako sledi, da so
toˇ ckeB,D,M inK koncikliˇ cne.
Naj bo toˇ cka X preseˇ cišˇ ce premic BM in AC.
Oglejmo si kote v trikotniku ABX. Iz koncikliˇ cno-
sti toˇ ck B, D, M in K sledi, da je∠MBA=∠MDK =
90
◦
−∠DKM = 90
◦
−∠BAX. Tako dobimo, da je
∠AXB=90
◦
,oziromaBM ⊥AC. PremicaBM jetako
višinavtrikotnikuABC,stempajedokazzakljuˇ cen.
Naloga 5. Dano je naravno številos>2. Za vsako
A
B C
D
H
K
L
SLIKA4.
Višinska toˇ cka leži na premiciKL


P50(2022/2023)6
11
naravno številok definiramo njegov zasuk k
′
na sle-
deˇ c naˇ cin: zapišemok v oblikias+b, kjer staa inb
nenegativnicelišteviliinb<s;potemjek
′
=bs+a.
Za naravno število n si oglejmo neskonˇ cno zapo-
redje d
1
,d
2
,..., kjer je d
1
= n in je d
i+1
zasuk šte-
vilad
i
za vsako naravno številoi.
Pokaži, dato zaporedjevsebuještevilo 1, natanko
tedaj ko je ostanek števila n pri deljenju s s
2
− 1
bodisi 1 bodisis.
Rešitev. Na prvi pogled se zdi, da je to zaporedje
zeloenostavno–ˇ cejen=as+b,jetakod
2
=bs+a
in zato d
3
= as +b = n. Težava je v tem, da ne
velja nujnoa<s. Ko raˇ cunamo zasuk številad
2
, ga
moramo tako najprej zapisati v obliki a
′
s+b
′
, kjer
je b
′
< s. Oglejmo si torej, kako delujejo veˇ ckratni
zasuki.
Za neko naravno številok si oglejmo zasuk njego-
vega zasuka, torej k
′′
=(k
′
)
′
.
ˇ
Ce je k=as+b, kjer
je b < s, sledi, da je k
′
= bs +a. Sedaj lahko po
osnovnemizrekuodeljenjuzapišemošea=ps+q,
kjer je 06 q < s, in tako dobimo k
′
= (p+b)s+q.
A
B C
D
M
K
L
X
SLIKA5.
Dovolj je pokazati, da jeBM ⊥AC
Število k
′
smo s tem znova zapisali v želeno obliko,
zato lahko izraˇ cunamo
k
′′
=qs+(p+b).
Tako lahko izraˇ cunamo razliko
k−k
′′
=as+b−qs−p−b=(a−q)s−p=p(s
2
−1).
To nam pove veliko informacij o zaporedju
d
1
,d
2
,... – ker s
2
−1 deli razliko k−k
′′
za vsak k,
deli tudid
i
−d
i+2
za vsako naravno številoi. Števila
d
1
,d
3
,d
5
,... imajo tako vsa enak ostanek pri delje-
nju ss
2
−1, enako pa velja za številad
2
,d
4
,d
6
,...
Predpostavimo, da je eden izmedˇ clenov zapored-
ja d
1
,d
2
,d
3
,... enak 1 – naj bo to d
m
.
ˇ
Ce je m liho
število, po zgornjem razmisleku sledi, da je ostanek
številan=d
1
prideljenjuss
2
−1enak1.
ˇ
Cepajem
sodo število, pa opazimo, da velja 1= 0·s+1, zato
sledi d
m+1
= 1
′
= 1·s+0= s. Sledi, da je ostanek
števila n = d
1
pri deljenju s s
2
−1 enak s. V obeh
primerih smo tako dokazali, da je ostanek števila n
pri deljenju ss
2
−1 enak 1 alis.
Sedaj predpostavimo, da je ostanek števila n pri
deljenju s s
2
− 1 enak 1 ali s. Najprej se vrnimo
k enaˇ cbi k−k
′′
= p(s
2
− 1). Opazimo lahko novo
uporabno dejstvo – velja k−k
′′
= p(s
2
− 1) > 0.
Tako lahko sklepamo, da sta zaporedjid
1
,d
3
,d
5
,...
ind
2
,d
4
,d
6
,... padajoˇ ci. Še veˇ c, enakostk=k
′′
ve-
lja natanko v primeru p = 0, oziroma a < s, kar je
ekvivalentnok<s
2
.
Dokler so ˇ cleni zaporedja d
1
,d
3
,d
5
,... veˇ cji ali
enaki s
2
, je zaporedje tako strogo padajoˇ ce. Skle-
pamo lahko, da obstaja tako liho število m, da velja
d
m
<s
2
. Spet loˇ cimo dva primera – najprej predpo-
stavimo, da je ostanek številan pri deljenju ss
2
−1
enak 1. Sledi, da je d
m
= 1, saj je to edino šte-
vilo, ki da pri deljenju ss
2
−1 ostanek 1 in je strogo
manjše ods
2
.
ˇ
Ce pa je ostanek številan pri deljenju
s s
2
− 1 enak s, po podobnem razmisleku dobimo
d
m
= s. Zakljuˇ cek je sedaj preprost – velja namreˇ c
d
m+1
= d
′
m
= (1·s+0)
′
= 1, torej smo našli ˇ clen
zaporedja, ki je enak 1.
×××
www.presek.si


P50(2022/2023)6
12
Žarnice in Stefanov zakon
S Č  Jˇ  S
Za fiziko zainteresiranim dijakom ne manjka iz-
bire pri domaˇ cih in mednarodnih tekmovanjih, na
katerih lahko svoje znanje in inovativnost posta-
vijo na preizkušnjo. Med tovrstna tekmovanja
spada tudi evropska fizikalna olimpijada, ki smo
jo leta 2022 gostili prav doma, v Sloveniji. Orga-
nizacija je potekala pod okriljem DMFA Slovenije
v sodelovanju s Fakulteto za matematiko in fiziko
ter Pedagoško fakulteto Univerze v Ljubljani in s
podporo ministrstva za šolstvo in Instituta »Jožef
Stefan« (spletna stran dogodka: [1]). Takrat se je
olimpijade udeležilo kar 182 dijakov iz 37 držav.
Teoretiˇ cne naloge je priskrbel mednarodni znan-
stveni odbor, eksperimentalno nalogo, zasnovano
okolisvetlobeinStefanovegazakona,pasmovceloti
pripravili v Sloveniji. Razvoj naloge je trajal pribli-
žno dve leti, ˇ cas praktiˇ cnega testiranja ter izbira in
nabavaopreme,pastazavzelapribližnodevetmese-
cev. V tem prispevku avtorja predstavljava zasnovo
eksperimentalnenalogeinizziveprinjeniizvedbiter
pripravi.
S svetlobo se sreˇ cujemo vsakodnevno, pa naj bo
pri izbiri in montaži svetil v bivalnih prostorih, v fo-
tografiji, umetnosti, pri varnosti na cesti ali pri za-
slonih elektronskih naprav. Ko so žarnice na žarilno
nitko zamenjale varˇ cne in kasneje LED-žarnice, so
postale pomembne tudi razlike v barvi, ekonomiˇ c-
nosti razsvetljave in toplotnih uˇ cinkih svetlobe. Te
lastnosti so tekmovalci v petih tekmovalnih urah te-
SLIKA1.
Utrinek z olimpijade. Eksperiment se je izvajal v zatemnjeni
telovadnici, da ni bilo motenj pri fotometriˇ cnih meritvah. Foto:
Jan Šuntajs
meljito raziskali, zasnovati pa so morali tudi prime-
ren postopek, ki jim je omogoˇ cal izvedbo kvantita-
tivnih meritev. Pri svojem delu so uporabljali kom-
binacijo tako laboratorijskih pripomoˇ ckov, kot bolj
vsakdanjih merilnih naprav. Natanˇ cneje, za izvedbo
naloge so imeli na voljo nastavljivi laboratorijski na-
pajalnik, ki lahko služi kot napetostni ali tokovni iz-
vor, svetlomer in infrardeˇ ci termometer, spoznali pa
so se tudi s fotometriˇ cnimi koliˇ cinami. Posebnost
eksperimentalnenalogenaEvropskifizikalniolimpi-
jadi je njena odprtost; tekmovalci so imeli na razpo-
lago vso potrebno opremo, z vprašanji pa jim je bil
podan konˇ cni cilj. Pot do rešitve, in njena dejanska
izvedba, je bila pri nalogi skoraj v celoti na ramenih
tekmovalca.
Avtorica stripa: Ana Marin


P50(2022/2023)6
13
SLIKA2.
Primerjava spektra svetleˇ ce diode (LED), spektra žarnice na vol-
framovo nitko, in idealnih spektrov ˇ crnih teles pri treh tempe-
raturah. Svetila, ki svetijo zaradi visoke temperature, oddajo
veliko svetlobe v infrardeˇ cem obmoˇ cju.
Pri prvi izmed treh nalog so tekmovalci ugotavlja-
li, kolikšno temperaturo doseže volframova žarilna
nitka v avtomobilski žarnici. Žarilna nitka je pre-
vroˇ ca in premajhna, da bi njeno temperaturo lahko
direktno izmerili z infrardeˇ cim termometrom, ki je
bil sicer del priložene opreme. Pot do rešitve leži
v dejstvu, da žarilna nitka seva kot ˇ crno telo, njen
spekter pa poslediˇ cno sledi Planckovemu zakonu
(glej sliko 2). Najbolj zastopana valovna dolžina se
z višanjem temperature premika od rdeˇ cih in oran-
žnihprotimodrimdelomspektra,karseodražatudi
vopaženibarvitelesa(pojavimenujemotudiWienov
zakon). To lastnost svetlobe podajamo kot »barvno
temperaturo«, ki je pogojena s temperaturo vroˇ cega
svetila. Poskušajo jo oponašati tudi svetila, ki ne de-
lujejo veˇ c na principu sevanjaˇ crnih teles, na primer
varˇ cne sijalke in LED-svetila.
Tekmovalci so temperaturo torej lahko doloˇ cili na
podlagibarvesvetlobe. Podobnometodouporabljajo
tudi astronomi, ki temperaturo doloˇ cajo iz barvnega
indeksa. Slednjega smo za namen tekmovalne na-
loge priredili v razmerje svetlosti izmerjenih skozi
dva izbrana barvna filtra. Za meritev svetlosti (na-
tanˇ cneje,osvetljenostivtoˇ ckimerilnika)soimelitek-
movalcinavoljosvetlomer, kimeriosvetljenostvvi-
dnem delu spektra, v enoti luks, ki je umerjena na
ˇ cloveški vid. S pomoˇ cjo priložene umeritvene ta-
bele so tako lahko pretvorili dobljene barvne inde-
kse v temperaturo, ki narašˇ ca z moˇ cjo žarnice tja do
2800K (glej sliko 3).
SLIKA3.
(a)Postaviteveksperimentazameritevbarvesvetlobe. (b)Tem-
perature nitke pri razliˇ cnih elektriˇ cnih moˇ ceh, izraˇ cunane iz
razmerja svetlosti skozi zelen in rdeˇ c filter.
ˇ
Crtkana ˇ crta je
rezultat prilagajanja podatkov Stefanovemu zakonu.
Druga naloga se je posvetila raziskovanju razlike
v svetlobnem izkoristku med žarnicami na žarilno
nitko in LED-sijalkami – koliko vidne svetlobe do-
bimo na enoto moˇ ci. Svetila na žarilno nitko veliko
energije izgubijo z emisijo ˇ cloveškim oˇ cem nevidne
infrardeˇ ce svetlobe, ki v resnici predstavlja znaten
del znaˇ cilnega spektraˇ crnega telesa. Po drugi strani
LED-sijalke svoj visok izkoristek dosežejo tako, da
oddajajopraktiˇ cnovsosvetlobovvidnemdeluspek-
tra(slika4). Pomembnosejetorejzavedati,daspoj-
mom izkoristek obiˇ cajno oznaˇ cujemo le delež ener-
gije, ki služi nekemu namenu, v našem primeru sve-
tlobi, ki je oˇ cem zaznavna. Ker svetloba v infra-
rdeˇ cem delu spektra povzroˇ ca le gretje, gre v tem
primeru torej za izgubljeno energijo in poslediˇ cno
slabši izkoristek.


P50(2022/2023)6
14
Edenizmedpoudarkovnalogejebilospoznavanje
radiometriˇ cnih enot. Že omenjena enota luks, ki jo
meri tudi merilnik osvetljenosti, opisuje intenziteto
svetlobe; na splošno je odvisna tako od razdalje kot
tudi smeri glede na svetilo. Skupno koliˇ cino svet-
lobe, ki jo svetilo odda v vse smeri, poimenujemo
tudi svetlobni tok in ga merimo v lumnih (luks = lu-
men na kvadratni meter). Lumne iz vsakdanjega živ-
ljenja poznamo kot koliˇ cino, ki je zapisana na obi-
ˇ cajnihžarnicahpolegporabeelektriˇ cnemoˇ civvatih.
Izkoristek svetil lahko opišemo v lumnih na vat – z
razmerjem med izsevanim svetlobnim tokom v vi-
dnempodroˇ cjuinskupnoporabljenomoˇ cjo. Sonˇ cna
svetloba ima na primer izkoristek 93lm/W. Pri elek-
triˇ cnihsvetilihzaporabljenomoˇ cobiˇ cajnovzamemo
kar elektriˇ cno moˇ c.
Za ugotovitev izkoristka je treba torej ugotoviti
skupno koliˇ cino vidne svetlobe, ki jo oddaja svetilo.
Ker svetila ne svetijo v vse smeri enako, so tekmo-
valci morali izmeriti svetlost v razliˇ cnih smereh in
prispevke ustrezno sešteti. Pri tem delo moˇ cno olaj-
ša dejstvo, da sta bili obe svetili namensko izbrani
tako, da sta bili simetriˇ cni na rotacijo okrog ene osi.
Šele z upoštevanjem te prostorske porazdelitve sve-
tlobe je bilo mogoˇ ce dobro doloˇ citi svetlobni izko-
ristek. Slika 4 prikazuje eksperimentalno postavitev
indobljeneizkoristke–zanimivaugotovitevje,dase
izkoristek navadne žarnice pri poveˇ cevanju moˇ ci iz-
boljšuje,sajvednoveˇ csvetlobeoddavvidnemspek-
tru, pri LED-svetilu pa je situacija obrnjena – pri viš-
jih moˇ ceh je izkoristek slabši, veˇ cinoma zaradi pre-
grevanja svetila. Tudi v redni prodaji najdemo sve-
tilke, ki ženejo LED-ˇ cipe s prevelikim tokom, kar ne-
gativnovplivanaizkoristekinnadolgoživostsvetila.
Tretji, in hkrati tudi zadnji del naloge, je tekmo-
valce usmerjal v razmislek, koliko svetloba vroˇ cih
teles greje okoliške površine. S tem pojavom se so-
oˇ camo vsak dan, ko nam sonce segreje temna obla-
ˇ cila ali parkiran avto. Tekmovalci so imeli na razpo-
lagoˇ crnoplošˇ cico,kisojimoralidoloˇ citikoeficienta
toplotne prevodnosti in toplotne prestopnosti. To
so dosegli z merjenjem temperature na obeh stra-
neh osvetljene plošˇ cice s pomoˇ cjo infrardeˇ cega ter-
mometra. Ker se toplota izgublja tako v okolico kot
tudi prevaja na drugo stran plošˇ cice, je naloga zah-
tevala tudi nekaj raˇ cunske spretnosti za razklopitev
tehdvehuˇ cinkovinuspešnoizlušˇ cenjeobehiskanih
koliˇ cin.
 r
Žarnica
LED
(a)
(c)
izkoristek LED [lm/W]
elektri na mo [W]
200
220
240
260
280
300
320
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
izkoristek žarnice [lm/W]
0
5
10
15
20
25
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
elektri na mo [W]
(b)
SLIKA4.
(a) Postavitev eksperimenta za meritev kotne porazdelitve sve-
tlobe z izmerki pod 9 koti v enem kvadrantu. LED sveti samo
v pol prostora in ima simetrijo okrog pravokotnice na sredino
diode, žarnica pa sveti v celoten prostor in je simetriˇ cna na ro-
tacijo okrog preˇ cne osi (smer žarilne nitke).
ˇ
Crtkanaˇ crta pred-
stavlja poenostavljen model kotne odvisnosti, križci pa meritve
znapakami. Sence,kijihogrodjemeˇ cenapodlago,nisotežava
za svetlomer, ki meri na višini svetila. (b,c) Izkoristek žarnice
(b) in LED (c) v odvisnosti od vhodne moˇ ci. Poveˇ canje strmine
okrog niˇ cle pri diodi (c) je posledica netoˇ cne regulacije toka
pri zelo nizkih tokovih – napajalnik oddaja nekaj toka tudi, ko
prikazuje niˇ celni tok.
Kotsmovideližepriopisuposameznihdelovtek-
movalne naloge, je bil problem zastavljen zelo od-
prto, tako da so imeli tekmovalci popolno svobodo
pri izvedbi in zasnovi poskusa. V tej obliki se odra-
žajo moderne smernice fizikalnih nalog, ki se vedno
bolj odmikajo od »sledenja receptom«. Tovrstna za-
snovahkratispodbujaznanstveninaˇ cinrazmišljanja
in kreativnost tekmovalcev, saj je odloˇ citev o posta-
vitvi toˇ cne hipoteze in zasnovi primernih opazoval-
nih in preverjevalnih poskusov v celoti prepušˇ cena
njim samim.
Takšna oblika naloge je kakopak terjala veˇ cjo
skrb, tako pri snovanju naloge, kot pripravi ocenje-
valnih obrazcev. Rešitev namreˇ c ni nujno enoliˇ cna,
poti do njih pa je mnogo. Tekmovalec sam je moral


P50(2022/2023)6
15
SLIKA5.
Postavitev eksperimenta za meritev temperature plošˇ cice.
Vgrajeni laser pomaga pri ciljanju sredine tarˇ ce.
izbiratiprimernerazdaljeinmerskeinstrumente,pri
ˇ cemer je ˇ cesto iskal kompromis med (pre)majhnimi
vplivi pri (pre)velikih razdaljah in pregrevanjem ter
geometrijskimi natanˇ cnostmi pri (pre)majhnih.
Med snovanjem naloge se je za poseben izziv iz-
kazala primerna izbira svetil, ki omogoˇ ca razliˇ cne
pristope do reševanja druge naloge. Avtomobilska
žarnica, izbrana za meritve v drugem delu naloge,
je morala zadošˇ cati dvema pomembnima pogojema:
oddajati je morala zadosten energijski tok, da je
omogoˇ cala merjenje s temperaturo povezanih koli-
ˇ cin,hkratipajemoralabitinjenageometrijaˇ cimbolj
preprosta in zadosti simetriˇ cna. Tovrstna posebna
skrb je omogoˇ cila tekmovalcem, da so lahko z upo-
števanjemcilindriˇ cnesimetriježarnicebrezkomple-
ksnih raˇ cunskih prijemov in manjšim številom meri-
tev prišli do zelo dobre analitiˇ cne ocene o celotnem
izsevu svetila. No, oˇ citno pa je, da takšnih žarnic ni
preprostodobiti. Kotanekdota: zapotrebetekmova-
nja (300 žarnic in še 300 rezerv) smo pokupili toliko
žarnic,dasmoporabiliveˇ cinoevropskezalogeinpo-
slediˇ cno dvignili cene žarnice pri prodajalcih.
Poleg izkušenj z znanstveno metodo so bili pe-
dagoški cilji naloge tudi bolj praktiˇ cno usmerjeni.
Preko uporabe laboratorijskih usmernikov in instru-
mentov so se tekmovalci navajali na delo z razliˇ cno
opremo. Za uspešno izvedbo tekmovalne naloge je
bilopotrebnonatanˇ cnoupoštevanjetehniˇ cnihspeci-
fikacij naprav; neupoštevanje je lahko vodilo v
okvareopreme,kisoposlediˇ cnožesameposebiote-
žile delo tekmovalcem. Kljub jasnim opozorilom je
vendar svoj prerani (in s strani sestavljalcev naloge
precej nepriˇ cakovani!) konec med tekmovanjem do-
živelo nekaj infrardeˇ cih termometrov, ki so jih tek-
movalci skušali uporabiti za kontaktno merjenje
temperature razgrete žarnice. Tudi barvni filtri in
ˇ crne plošˇ cice so nekajkrat postali žrtev vroˇ cih žar-
nic, kar je mogoˇ ce še en pokazatelj, da je prehod na
LED-razsvetljavo na splošno dobra ideja tudi s stali-
šˇ cavarnosti. Tovrstne»zlorabe«opremejebilotreba
pri snovanju eksperimenta predvideti in zagotoviti,
da tudi v primeru napaˇ cne uporabe eksperiment ni
predstavljal nevarnosti za zdravje udeležencev.
Po vseh izzivih sva avtorja z nalogo bila zelo za-
dovoljna, prav tako so bili pozitivni tudi odzivi tek-
movalcev. Verjetnogrevelikdelzaslugetudiizbrani
tematiki–eksperimentissvetlobosoprivlaˇ cnatema,
ki mlade fizike hitro zamoti za nekaj ur, ˇ ceprav je
treba za to ugasniti luˇ ci.
Literatura
[1] 6th European Physics Olympiad 2022, dostopno
na https://www.eupho2022.si/, ogled 16. 5.
2023.
×××
Avtorica stripa: Ana Marin


P50(2022/2023)6
16
Nagradna križanka

×××
 
ˇ
Crke iz oštevilˇ cenih polj vpišite skupaj z
osebnimipodatkivobrazecnaspletnistrani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 1. avgusta 2023, ko bomo
izžrebali trinagrajence, ki bodo prejeliknji-
žno nagrado.

P50(2022/2023)6
17


P50(2022/2023)6
18
Sferna trigonometrija in
ˇ cas v astronomiji
V Kˇ ˇ 
Uvod
Lahkobirekli, dajesfernatrigonometrijavejamate-
matike, ki se ukvarja z razmerji med koti in strani-
cami sferiˇ cnih trikotnikov na površini krogle, hkrati
pa je tudi temeljno orodje v astronomiji in astrofi-
ziki, saj omogoˇ ca opis položajev nebesnih teles na
nebesni sferi. Zato predstavlja eno izmed pomemb-
nejših znanj, s katerim morajo biti seznanjeni tudi
srednješolke in srednješolci, ki se pripravljajo na
Mednarodnoolimpijadoizastronomijeinastrofizike
(IOAA), ki bo letos avgusta potekala na Poljskem.
Vˇ clankubomospoznaliosnovnepojmesfernetri-
gonometrije, izpeljali kljuˇ cne enaˇ cbe, s katerimi lah-
ko opišemo lego nebesnih teles in njihovo gibanje
po nebesni sferi, nato pa se bomo seznanili še s te-
matikami,povezanimizrazliˇ cnimidefinicijamiˇ casa.
V prihodnjih številkah bomo v ˇ clanku obravnavane
vsebinepodkrepilizdodatnimirešenimivajamiziz-
birnih testov in mednarodnih astronomskih tekmo-
vanj.
Preden pa zagrizemo v sferno trigonometrijo,
bomo spoznali osnovne pojme orientacije na Zem-
ljiinobiˇ cajnimikoordinatnimisistemi, kijihpritem
uporabljamo.
Osnovnetoˇ ckeinkroginanebesnisferiin
koordinatnisistemi
Nebesna sfera
Da bi bolje opisali položaje objektov na nebu, uve-
demonebesno sfero, nakateroprojiciramonebesna
telesa in pri tem pozabimo, kako daleˇ c so v resnici.
ˇ
Ce nebesno sfero presekamo z ravnino, ki poteka
skozi središˇ ce krogle, dobimo glavni ali veliki krog.
Delu glavnega kroga pravimo glavni lok.
Glavne toˇ cke in krogi nebesne sfere
Nebesna sfera je namišljena sfera s poljubnim pol-
merom in središˇ cem v Zemlji, na katero projiciramo
nebesnatelesa. Veliki krogjepreseˇ cišˇ cesferezrav-
nino, ki poteka skozi njeno središˇ ce. Navpiˇ cnica, ki
gre skozi opazovalˇ cevo oko, prebode nebesno sfero
v zenitu (nadglavišˇ cu) in nadirju (podnožišˇ cu).
Obzorje je loˇ cnica med zemeljskim površjem in
nebom. Matematiˇ cno obzorje je preseˇ cišˇ ce vodo-
ravne ravnine opazovališˇ ca in nebesne krogle. Za-
stirajo ga drevesa, gore in zgradbe. Takšno preseˇ ci-
šˇ ce imenujemo vidno ali naravno obzorje. Nebesna
os¸je podaljšek Zemljine navidezne osi, okoli katere
se vrti. Nebesna os seka nebesno sfero v severnem
injužnem polu. Vbližinisevernega jezvezdaSever-
nica. Višina nebesnega pola v danem kraju je enaka
geografski širini kraja.
Nebesni ekvator je projekcija Zemljinega ekva-
torja na nebesno sfero, torej najdaljši nebesni vzpo-
rednik. Nebesni meridian je veliki krog na nebesni
krogli, ki povezuje severno toˇ cko na obzorju, nebe-
sni pol, zenit, južno toˇ cko na obzorju in nadir, ter
je pravokoten na matematiˇ cno obzorje. Nebesni me-
ridian seka horizont v severišˇ cu in južišˇ cu, nebesni
ekvator pa v vzhodišˇ cu in zahodišˇ cu.
Horizontski koordinatni sistem
Prihorizontskemkoordinatnemsistemustaosnov-
navelikakrogahorizontinnebesni meridian. Koor-
dinatno izhodišˇ ce je toˇ ckajužišˇ ce. Pri tem vpeljemo
koordinati višino in azimut.
Višinski krog je veliki krog, ki poteka skozi dano
telo in zenit. Višina h je dolžina loka na višinskem
krogu od horizonta do izbranega telesa. Višina te-
lesa na obzorju je enaka 0
◦
. Nad obzorjem zavzame
pozitivnevrednostivsedo+90
◦
vzenitu,podobzor-
jem pa zavzame negativne vrednosti vse do −90
◦
v
nadirju. Zvezdezenakovišinoležijonaistemkrogu,
ki mu pravimo almukantarat. Zenitna razdalja z je


P50(2022/2023)6
19
obzorje
T
h
A
lokalni
poldnevnik
zenit
nadir
J
S
SLIKA1.
dolžina loka na višinskemkrogu odzenita do telesa.
Zenitnorazdaljoštejemood0
◦
vzenitupado180°v
nadirju. Zenitno razdaljo z višino telesa tako oˇ citno
povezuje zvezaz=90
◦
−h.
Azimut A je lok od južišˇ ca do preseˇ cišˇ ca višin-
skega kroga s horizontom. Merimo od 0
◦
do 360
◦
od južišˇ ca proti zahodu.
ˇ
Casovni kot H je kot med
meridianom in deklinacijskim krogom.
Ker se horizontski koordinati teles neprestano
spreminjata, je ta sistem vezan na kraj inˇ cas.
Ekvatorialni koordinatni sistem
Pri ekvatorialnem koordinatnem sistemu sta
osnovna kroga nebesni ekvator in glavni krog, ki
poteka skozi pol P in pomladišˇ ce – toˇ cko γ. Pomla-
dišˇ ce je toˇ cka nebesnega ekvatorja, v katero pride
Sonce ob spomladanskem enakonoˇ cju, in je zaˇ cetek
tega koordinatnega sistema. Z drugimi besedami, je
toˇ cka, v kateri ekliptika, to je navidezna pot Sonca
po nebesni sferi, seka nebesni ekvator.
Deklinacjski krog telesa T je veliki krog skozi to
telo in nebesni pol P. Rektascenzija α je lok na ek-
vatorjuodpomladišˇ cadopreseˇ cišˇ cadeklinacijskega
kroga z ekvatorjem. Merimo jo v obratnem smislu
navideznega vrtenja nebesne krogle. Podajamo jo v
urah in lahko zavzame vrednosti med 0
h
in 24
h
, pri
ˇ cemer 1
h
ustreza kotu 15°. Deklinacija δ je dolžina
loka na deklinacijskem krogu od ekvatorja do telesa
T. Štejemood0
◦
nanebesnemekvatorjudo+90
◦
na
severnem polu in do −90
◦
na južnem polu. Zvezde
z enako deklinacijo ležijo na istem vzporedniku.
nebesni ekvator
ekliptika
T ∗
δ
ε
α
zaˇ cetni
poldnevnik
severni nebesni pol
južni nebesni pol
SLIKA2.
Osnovesfernetrigonometrije
Po spoznanih osnovah orientacije in koordinatnih
sistemov se lahko konˇ cno nadobudni seznanimo z
osnovnimi pojmi in obrazci sferne trigonometrije.
Osnovni obrazci sferne trigonometrije
Sferiˇ cnitrikotnikdoloˇ cajotrijeglavnikrogi,njegove
stranicesoglavniloki. Dolžinestranicsferiˇ cnegatri-
kotnikaa,b inc izražamo s koti z vrhom v središˇ cu
sfere. Kotsferiˇ cnegatrikotnikadefiniramokakorkot
med tangentama na dve strani v oglišˇ cu trikotnika.
Vsota notranjih kotov sferiˇ cnega trikotnikaα,β inγ
je veˇ cja od 180°.
C
A
B
a
b c
a
b
c
α
β
γ
SLIKA3.
Tako kot za ravninski trikotnik tudi za stranice
in kote sferiˇ cnega trikotnika velja veˇ c trigonometrij-
skih zvez. Osnovni obrazci sferne trigonometrije so


P50(2022/2023)6
20
sinusni, kosinusni in sinus-kosinusni izrek za sfe-
riˇ cni trikotnik:
sina
sinα
=
sinb
sinβ
=
sinc
sinγ
,
cosβsina=−cosαsinbcosc+cosbsinc,
cosa=cosbcosc+sinbsinccosα.
ˇ
Ce so središˇ cni koti stranic majhni: a,b,c ≪ 1, je
sferiˇ cni trikotnik v približku ravninski trikotnik.
ˇ
Ce
upoštevamo, da pri majhnih kotih x velja sinx ≈ x
in cosx ≈ 1−
1
2
x
2
, ugotovimo, da sinusni in kosi-
nusni izrek za sferiˇ cni trikotnik preideta v klasiˇ cni
sinusni in kosinusni izrek za ravninski trikotnik.
ˇ
Ce poznamo tri zaporedne podatke v sferiˇ cnem
trikotniku (kot in priležni stranici, stranico in prile-
žna kota), lahko ˇ cetrtega (sosednjega) izraˇ cunamo s
formulo štirih delov:
cosacosγ=sinacotb−sinγcotβ.
S pomoˇ cjo osnovnih obrazcev sferne trigonometrije
izpeljemo formule za gibanje teles na nebesni sferi.
Primeri uporabe obrazcev sferne trigonometrije
vastronomiji
Razdalja med toˇ ckama na sferi
Imejmo dve zvezdi na nebesni sferi s koordinatami
(δ
1
,α
1
) in (δ
2
,α
2
).
ˇ
Ce z glavnimi loki povežemo
lego prve zvezde, lego druge zvezde in severni ne-
besni pol, dobimo sferiˇ cni trikotnik s stranicama z
dolžinama90°−δ
1
in90°−δ
2
,kioklepatakotα
1
−α
2
.
ˇ
Ce za ta sferiˇ cni trikotnik zapišemo kosinusni izrek,
lahko izrazimo kotno razdaljoθ med zvezdama kot
cosθ=cos(90°−δ
1
)cos(90°−δ
2
)
+sin(90°−δ
1
)sin(90°−δ
2
)cos(α
1
−α
2
).
ˇ
Ceupoštevamosin(90°−x)=cosx incos(90°−x)=
sinx, dobimo formulo za razdaljo objektov na ne-
besni sferi:
cosθ=sinδ
1
sinδ
2
+cosδ
1
cosδ
2
cos(α
1
−α
2
).
Višinska enaˇ cba
Zamislimo si zvezdo z deklinacijoδ, ki se za opazo-
valca na geografski širini ϕ nahaja na višini h, azi-
mutu A in na ˇ casovnem kotu H. Oglejmo si sferiˇ cni
trikotnik zvezda−severni nebesni pol−zenit.
Ker poznamo dolžine njegovih stranic (slika 4) in
kardvanotranjakota,lahkoposkusimonanjemzlo-
rabitikakšnoodtrigonometrijskihformulzasferiˇ cni
trikotnik. Za zaˇ cetek lahko poskusimo s kosinusnim
izrekom za kot pri severnem nebesnem polu, ki
ustrezaH. Velja:
cos(90
◦
−h)=cos(90
◦
−δ)cos(90
◦
−ϕ)
+sin(90
◦
−δ)sin(90
◦
−ϕ)cosH.
ˇ
Ce spet upoštevamo sin(90° − x) = cosx in
cos(90°−x)=sinx, dobimo višinsko enaˇ cbo:
sinh=sinϕsinδ+cosϕcosδcosH.
S J
zenit
nadir
S neb. pol
J neb. pol
Z
H
180°−A
A
H
δ
h
A
ϕ
90°−ϕ
90°−δ
90°−h
SLIKA4.
Kulminacija
Poglejmo, kaj nam enaˇ cba pove o legi zvezde, ko ta
kulminira. Takrat leži na meridianu in velja H = 0.
Višinska enaˇ cba se nam v tem primeru poenostavi v
sinh=sinϕsinδ+cosϕcosδ. (1)
Desna stran enaˇ cbe spominja na adicijski izrek za
kosinus razlike; zapišimo jo kot
sinh=sinϕsinδ+cosϕcosδ
=cos(±(ϕ−δ))=sin(90
◦
±(δ−ϕ)),
iz ˇ cesar sledi, da je višina zvezde ob kulminaciji
h = 90°±(δ−ϕ). Kadar je objekt najvišje v južni


P50(2022/2023)6
21
smeri,jenjegovanajveˇ cjavišinaenakah
1
=90
◦
+δ−
ϕ,kopajeobjektnajvišjevsevernismeri,jenjegova
višina enaka h
2
= 90
◦
−δ+ϕ. Zvezi si najlažje za-
pomnimo z enaˇ cbo za zenitno razdaljo (z=90°−h)
ob zgornji kulminaciji:
z=|ϕ−δ|.
Ob spodnji kulminaciji velja H = 180°, iz ˇ cesar po-
dobno kot zgoraj izpeljemo zvezo
ϕ+δ+z=180°.
Glede na to kako poteˇ ce kulminacija, zvezde na
nebesni sferi razdelimo na nadobzornice (cirkum-
polarne zvezde), vzhajalke in podobzornice. Prve
v danem kraju nikoli ne zaidejo, zato lahko vidimo
tako zgornjo kot tudi spodnjo kulminacijo. Po drugi
stranipodobzornicevdanemkrajunikolinevzidejo,
zato se v tem primeru obe kulminaciji zgodita pod
obzorjem. Vse preostale zvezde so vzhajalke − te
vzhajajo in zahajajo, vidimo pa le njihovo zgornjo
kulminacijo.
Vzid in zaid
Kaj lahko povemo o zvezdi, vzhaja oziroma zahaja?
Takrat zvezda leži na obzorju in velja h = 0, zato
višinska enaˇ cba takrat preide v:
0=sinϕsinδ+cosϕcosδcosH.
ˇ
Ce enaˇ cbo delimo z cosϕcosδ, dobimo enaˇ cbo za
ˇ casovni kot cosH
v,z
vzida oziroma zaida:
cosH
v,z
=−tgϕtgδ.
V primeru vzida upoštevamo negativno vrednostˇ ca-
sovnega kota, v primeru zaida pa pozitivno.
Azimutni enaˇ cbi
Zdaj smo uporabili kosinusni izrek za kot 180°−A,
kjer jeA azimut zvezde. Velja
cos(90
◦
−δ)=cos(90
◦
−h)cos(90
◦
−ϕ)
+sin(90
◦
−h)sin(90
◦
−ϕ)cos(180
◦
−A),
sinδ=sinhsinϕ−coshcosϕcosA,
izˇ cesarlahkoizrazimocosAindobimoprvoazimu-
tno enaˇ cbo:
cosA=−
sinδ−sinϕsinh
cosϕcosh
.
Ponovno lahko pogledamo posebni primer, ko zvez-
da vzide bodisi zaide in velja h= 0. Za azimut A
v,z
vzida oziroma zaida zgornja enaˇ cba preide v
cosA
v,z
=−
sinδ
cosϕ
.
Za opazovani trikotnik lahko zapišemo tudi sinusni
izrek, s katerim povežemo kota H in 180°−A ter
njuni nasproti ležeˇ ci stranici. Tako dobimo drugo
azimutnoenaˇ cbo,kiazimutzvezdepovežeznjenim
ˇ casovnim kotomH, deklinacijoδ in višinoh:
cosA=−
sinHcosδ
cosh
.
Položaj Sonca na nebu
Ker se Zemlja giblje okoli Sonca, se njegov položaj
na nebu sˇ casom spreminja. Naj boL kotna razdalja
Sonca od pomladišˇ ca, gledano v smeri, kot je ozna-
ˇ cena na skici. Kot med ekliptiko in nebesnim ekva-
torjemustrezaravnokotuε=23,5°, karjeposledica
nagnjenosti Zemljine osi glede na pravokotnico na
njen tir okoli Sonca.
ˇ
Ce za sferiˇ cni pravokotni triko-
tnik zapišemo sinusni izrek, dobimo
sinδ
sinL
=
sinε
sin90°
,
izˇ cesar sledi zveza za deklinacijo Sonca:
sinδ
⊙
=sinεsinL.
Za isti trikotnik lahko zapišemo tudi dva kosinusna
izreka:
cosδ=cosαcosL+sinαsinLcosε,
cosL=cosαcosδ+sinαsinδcos90°,
iz ˇ cesar lahko pridelamo enaˇ cbo za Sonˇ cevo rekta-
scenzijo:
tgα
⊙
=cosεtgL.
Ker se Zemlja giblje okoli Sonca skoraj po krožnem
tiru, tudi L v prvem približku narašˇ ca enakomerno.
Njegovo velikost lahko izraˇ cunamo kot
L=
∆ t
365,25
·360°,
kjer je ∆ t število dni od spomladanskega enakono-
ˇ cja.


P50(2022/2023)6
22
γ
L
δ
⊙
α
⊙
SLIKA5.
S pomoˇ cjo skice, ki prikazuje pot Sonca po ekliptiki, lahko iz-
peljemo formuli za spreminjanje deklinacije in rektascenzije
Sonca med letom.
ˇ
Cas
Abstraktnostˇ casa je eno izmed najbolj skrivnostnih
in zapletenih filozofskih vprašanj, ki se zdi, da ni-
koli ne izgubi svoje aktualnosti.
ˇ
Ceprav je ˇ cas tako
osnovni in morebiti samoumeven koncept, pa je
pravzaprav zelo težko opredeljiv in razumljiv.
V astronomiji v grobem loˇ cimo pojma zvezdni in
Sonˇ cevˇ cas. Oba naˇ cina opredelitveˇ casa temeljita na
opazovanjugibanjaZemljegledenagibanjezvezdin
Sonca. Zvezdniˇ cas je povezan sˇ casom, ki ga potre-
buje Zemlja, da se enkrat zavrti okoli svoje osi glede
nazvezde. Zvezdnidanjetakoˇ casovnirazmik,kiga
potrebuje Zemlja, da se zavrti za 360 stopinj glede
na primer na oddaljeno zvezdo, ki se nahaja na isti
toˇ cki na nebu.
Sonˇ cev ˇ cas pa je povezan s ˇ casom, ki ga potre-
buje Zemlja, da se vrti enkrat okoli svoje osi glede
na Sonce. To pomeni, da je Sonˇ cev dan ˇ casovni in-
terval, ki ga potrebuje Zemlja, da se zavrti za 360
stopinj glede na Sonce. Ker pa se Zemlja giblje okoli
Sonca po eliptiˇ cni orbiti, se dolžina Sonˇ cevega dne
v razliˇ cnih delih leta razlikuje. V zimskem ˇ casu je
Sonˇ cev dan krajši, v poletnem pa daljši. V povpreˇ cju
pa je zaradi vrtenja Zemlje okoli Sonca zvezdni dan
za približno 4 minute krajši od Sonˇ cevega.
Zvezdniˇ casseuporabljazadoloˇ canjeˇ casavzvez-
dnih navigacijskih sistemih, medtem ko se Sonˇ cev
ˇ cas uporablja v vsakdanjih ˇ casovnih enotah, kot so
ure,minuteinsekunde. Vendarpasovsodobnidobi
ˇ casovneenote,kotjihpoznamovvsakdanjemživlje-
nju, doloˇ cene s pomoˇ cjo mednarodnega ˇ casa (UTC),
ki temelji na osnovi atomske ure, ki pa ne sledijo
zvezdnemu ali Sonˇ cevemuˇ casu.
V nadaljevanju bomo pojme, kot sta zvezdni ˇ cas
in Sonˇ cev ˇ cas, natanˇ cneje definirali, hkrati pa ju bo-
mopovezalisˇ casom,kigakaženašaurainskaterim
se sreˇ camo v še tako dolgoˇ casnem vsakdanu.
Zvezdniˇ cas
Zvezdniˇ casmerimosˇ casovnimkotomtoˇ ckepomla-
dišˇ ca in je enak vsoti rektascenzije α zvezde in nje-
negaˇ casovnega kotaH:
t
∗
=H
γ
=α+H. (2)
Ko je pomladišˇ ce v kulminaciji, je zvezdni ˇ cas enak
niˇ c.
ˇ
Casovni kotH
A
zvezde na geografski dolžiniλ
A
inˇ casovnikotistegatelesanagreenwiškempoldnev-
nikuH
G
sta povezana z enaˇ cbo
H
A
=H
G
+λ
A
.
Sonˇ cevˇ cas
Zavsakdanjorabozvezdniˇ casnipraktiˇ cen,sajtoˇ cka
pomladišˇ canioˇ citnananebuintudinedoloˇ caritma
našega življenja, tako kot ga Sonce. Za bitja na Zem-
lji, ki so odvisna od Sonˇ ceve svetlobe, je torej ˇ cas
bolj praktiˇ cno meriti glede na Sonce. Kot mero za
pravi Sonˇ cevˇ cast
⊙
λ
lahko izberemoˇ casovni kot pra-
vegaSonca,enpraviSonˇ cevdanpajepresledekmed
zaporednima kulminacijama pravega Sonca.
Pravi Sonˇ cev ˇ cas t
⊙
λ
je ˇ casovni presledek med
dvema zaporednima kulminacijama Sonca na meri-
dianu. Soncezazvezdamivsakdannapravi4minute
zaostanka, kar v enem letu nanese za en dan.
ˇ
Ce bi med letom merili ta presledek oziroma dol-
žino pravega Sonˇ cevega dneva, bi ugotovili, da se
spreminja, ker rektascenzija Sonca ne narašˇ ca line-
arno s ˇ casom zaradi dveh uˇ cinkov: zaradi eliptiˇ cno-
sti Zemljinega tira se Sonce neenakomerno giblje po
ekliptiki in enkrat prehiteva, drugiˇ c zaostaja. Ta uˇ ci-
nek ima periodo enega leta. Poleg tega je ravnina
ekliptike nagnjena glede na nebesni ekvator, zaradi
ˇ cesarsevtrigonometriˇ cnihfunkcijahskrivadodatna
funkcijaˇ casa, ki ima periodo pol leta.
Zatozapotrebemerjenjaˇ casadefiniramosrednje
Sonce in srednji Sonˇ cev ˇ cas t
S
λ
. To je namišljeno


P50(2022/2023)6
23
telo,kisegibljeenakomernoponebesnemekvatorju
in, tako kot pravo Sonce, naredi en obhod v enem
letu. Ob pomladnem enakonoˇ cju je, tako kot pravo
Sonce, v toˇ cki pomladišˇ ca (γ) in ima rektascenzijo
α
S
= 0
h
, nato pa njegova rektascenzija narašˇ ca line-
arno sˇ casom.
Definirajmo, da je srednji Sonˇ cev ˇ cas ˇ casovni kot
srednjega Sonca:
t
S
λ
=H
S
,
en srednji Sonˇ cev dan pa je presledek med zapore-
dnima kulminacijama srednjega Sonca. Ker narašˇ ca
α
⊙
S
linearnosˇ casom,jedolžinasrednjegaSonˇ cevega
dneva vedno enaka. Razliko med pravi sonˇ cevimˇ ca-
som t
⊙
λ
in srednjim sonˇ cevim ˇ casom t
S
λ
imenujemo
ˇ casovna enaˇ cba:
ET =t
⊙
λ
−t
S
λ
.
0 50 100 150 200 250 300 350
−15
−12
−9
−6
−3
0
3
6
9
12
15
18
Dan v letu
Minute
ˇ
Casovna enaˇ cba
SLIKA6.
ˇ
Casovna enaˇ cba za posamezni dan v letu.
Mešˇ canskiˇ cas
KerjedolžinasrednjegaSonˇ cevegadnevavednoena-
ka(24h),zamerjenjeˇ casauporabimosrednjeSonce.
A ker je za praktiˇ cno življenje nekoliko nerodno, da
se srednji Sonˇ cev dan zaˇ cne sredi belega dne (ob
zgornji kulminaciji srednjega Sonca), so uvedli me-
šˇ canskiˇ cast
m
λ
, ki ima zaˇ cetek štetja oziroma dneva
premaknjen za pol dneva, zato moramo srednjemu
Sonˇ cevemuˇ casu prišteti 12h:
t
m
λ
=t
S
λ
+12h.
Vsi do zdaj definirani ˇ casi: zvezdni, pravi Sonˇ cev,
srednjiSonˇ cevinmešˇ canski,sokrajevniˇ casi,karpo-
meni, da so odvisni od zemljepisne dolžine kraja λ,
zatosmojimtudipripisalipripadajoˇ ciindeks,kinas
na to opozarja.
Univerzalniˇ cas− UT
Po dogovoru je krajevni mešˇ canski ˇ cas na Greenwi-
chu doloˇ cen kot UT (Universal time). S tem so me-
šˇ canskiˇ casi v drugih krajih enaki
t
m
λ
=UT +λ.
Conskiˇ cas
V praksi je uveljavljen conski ˇ cas, ki za vse meridi-
anske pasove širine 15
◦
doloˇ ca enakˇ cas:
t
m
λ
=UT +n.
Krajevni zvezdni ˇ cas t
∗
λ
in ˇ cas, ki ga kaže naša ura
t
z
n
, povezuje zveza
t
∗
λ
=H+α=S(0
h
UT)+λ+γ(t
z
n
−n),
kjer je γ =
366,25
365,25
faktor pretvorbe med zvezdnimi
in ˇ casovnimi sonˇ cevimi enotami, n ˇ casovni pas in
S(0 UT) krajevni zvezdni ˇ cas na Greenwichu ob
UT = 0 h, ki ga za vsak dan v letu najdemo v ta-
belah.
V poletnem ˇ casu so številne države zaradi ener-
getskihrazlogovuveljavilepoletniˇ cas,kizaenouro
prehiteva obiˇ cajni ˇ cas. V državah Evropske unije se
poletni ˇ cas zaˇ cne zadnjo nedeljo v marcu ob 1. uri
zjutraj, ko se ura premakne za eno uro naprej, in
konˇ ca zadnjo nedeljo v oktobru ob 1. uri, ko se ura
premakne nazaj. Tako v Sloveniji v zimskem ˇ casu
pripadamoˇ casovnemupasuUT+1,vpoletnemˇ casu
paˇ casovnemu pasuUT +2.
Literatura
[1] H. Karttunen, P. Kröger, H. Oja, M. Poutanen, K.
J. Donner, Fundametnal astronomy, fifth edition,
Helsinki, Springer, 2007.
[2] F. Avsec in M. Prosen, Astronomija, DMFA – zalo-
žništvo, Ljubljana, 2006.
×××

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)6
24
Fittsov zakon
Mˇ  K
Priizdelaviuporabniškihvmesnikovzarazliˇ cne
naprave pogosto uporabljamo Fittsov zakon. Naj-
veˇ ckratkarpodzavestno,sajgaveˇ cinaprogramer-
jev niti ne pozna. Zakon se imenuje po psihologu
Paulu Morrisu Fittsu mlajšem (6. maj 1912–2. maj
1965), ki je leta 1954 objavil ˇ clanek z opisom mo-
dela ˇ cloveškega gibanja [1]. Kot polkovnik v ame-
riških zraˇ cnih silah je Fitts raziskoval vplive ˇ clo-
veškihdejavnikovinergonomijenavarnostprile-
tenju in s tem postavil temelje za svoj model, ki je
eden najbolj raziskanih in uporabljenih modelov
pri izdelavi grafiˇ cnih vmesnikov in razumevanju
uporabnikov pri interakciji z njimi.
Raziskovanje ˇ cloveških dejavnikov in ergonomije
temelji na razumevanju vpliva fizioloških in psiho-
loških znaˇ cilnosti uporabnikov na upravljanje izdel-
kov,procesovinsistemov. Zrazumevanjemtehzna-
ˇ cilnostilahkonaˇ crtujemoinoblikujemoizdelke,pro-
ceseinsistemepomeriuporabnika. Štirjeglavnicilji
pri tem so:
zmanjšanjeˇ cloveških napak,
poveˇ canje produktivnosti,
izboljšanje varnosti/razpoložljivosti sistema in
poveˇ canje udobja uporabnika.
Omenjeno raziskovanjeˇ crpa iz številnih disciplin in
sehkrativnjihuporablja. Tedisciplinesonaprimer
psihologija, sociologija, inženiring, biomehanika, in-
dustrijsko oblikovanje, fiziologija, antropometrija,
oblikovanje interakcije, vizualno oblikovanje, upo-
rabniška izkušnja in oblikovanje uporabniških vme-
snikov. Ravno pri slednjem se danes pogosto sklicu-
jemo na Fittsov zakon.
Fittsov zakon nam pomaga pri oceni ˇ casa, ki je
potrebenzapremikkazalnenaprave(npr.miškinega
kazalca) na doloˇ ceno ciljno obmoˇ cje (npr. ikona na
zaslonu). Je funkcija razmerja med razdaljo (D) do
sredine ciljnega obmoˇ cja in širino tega obmoˇ cja (W),
kot je prikazano na Sliki 1. Dokazano je, da Fittsov
zakon velja za premike ˇ cloveških okonˇ cin na ciljno
obmoˇ cje [6] (npr. premik roke na stikalo za prižig
luˇ ci), zaˇ cloveškipogled[7](npr.kakohitronajdemo
s pogledom doloˇ ceno informacijo na spletni strani),
za vnosne naprave na raˇ cunalniških sistemih (npr.
premik miškinega kazalca na doloˇ ceno ikono na na-
mizju raˇ cunalniškega zaslona) in druge dele ˇ clove-
škega telesa. Velja tako za starejše kot mlajše upo-
rabnike [4], uporabnike z doloˇ cenimi posebnimi po-
trebami [2], uporabnike pod vplivom THC [5] in tudi
za premike pod vodno gladino [3].
SLIKA1.
PrikazrazdaljeD odtrenutnegapoložajamiškinegakazalcado
sredine ciljnega obmoˇ cja prikazanega s kvadratom širineW.
Fitts je svoj model osnoval na podlagi teorije in-
formacij in doloˇ cil indeks težavnosti (angl. index of
difficulty ali ID) zadetka ciljnega obmoˇ cja z nasle-
dnjo formulo:
ID=log
2

2D
W

.
Razdaljo(D)lahkorazumemokotmoˇ csignala,širino
ciljnega obmoˇ cja (W) pa kot šum v danem signalu.
Dvojiški logaritem se v teoriji informacij uporablja

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)6
25
zadoloˇ citevštevilabitov,potrebnihzakodiranjedo-
loˇ cenega sporoˇ cila. V Fittsovem zakonu pa logari-
temska funkcija predvidi, da je majhno poveˇ canje
velikosti ciljnega obmoˇ cja veliko bolj uˇ cinkovito za
majhna ciljna obmoˇ cja kot za velika. Majhno pove-
ˇ canje velikega ciljnega obmoˇ cja tako ne bo prineslo
velikerazlikevindeksutežavnosti. Podobnoveljaza
razdaljo. Vidimotudilahko,danasliki1invformuli
ni upoštevana višina ciljnega obmoˇ cja. Vendar je pri
uporabniškihvmesnikihsmiselnozaširinovzetinaj-
krajšo dimenzijo ciljnega obmoˇ cja, kar je lahko tudi
višina.
Danes se najpogosteje uporablja formula, ki so jo
raziskovalci sestavili na podlagi prouˇ cevanja korela-
cije medˇ casom izvajanja naloge in indeksom težav-
nosti. Korelacija med obema koliˇ cinama je linearna,
formula pa naslednja:
T =a+b·ID=a+b·log
2

2D
W

.
T predstavljaˇ cas, ki ga uporabnik potrebuje za pre-
mik na ciljno obmoˇ cje. Parametra a in b se razliku-
jetagledenaobravnavanovhodnonapravonanašem
raˇ cunalniškemsistemuinsedoloˇ citazopazovanjem
– tj. empiriˇ cno z regresijsko analizo. Parameter b je
odvisen odnaklonaD (naklona daljice potrebne poti
dociljnegaobmoˇ cja)inopisujepospešek. Parameter
a pa dodamo, da se premica odvisnosti ne zaˇ cne v
izhodišˇ cu. Doloˇ ca preseˇ cišˇ ce na osi y, kot je vidno
na sliki 2, in se pogosto razlaga kot zakasnitev, ker
ˇ cas klika na ciljno obmoˇ cje ne more biti 0.
Prva zabeležena uporaba Fittsovega zakona za ra-
ˇ cunalniške uporabniške vmesnike je bila leta 1978
izvedena primerjava uˇ cinkovitosti razliˇ cnih vhodnih
naprav: raˇ cunalniške miške, krmilne palice in smer-
nih tipk na tipkovnici. Ravno ta študija je pripomo-
gla k temu, da je Xerox k prvemu komercialnemu ra-
ˇ cunalniku z grafiˇ cnim uporabniškim vmesnikom Xe-
rox Star, dodal miško. Poslediˇ cno je danes miška
vseprisotna vhodna naprava.
Kako pa Fittsov zakon vpliva na oblikovanje upo-
rabniških grafiˇ cnih vmesnikov, ki jih uporabljajo vsi
današnji operacijski sistemi na namiznih raˇ cunalni-
kih? Fittsovzakonpravi,damorabiticiljnoobmoˇ cje
ˇ cim bližje zaˇ cetnemu položaju na primer miškinega
kazalca, da uporabnik hitreje pride do ciljnega ob-
moˇ cja. Zakon ravno tako pravi, da mora biti širina
ciljnega obmoˇ cja ˇ cim veˇ cja, da ga lahko uporabnik
SLIKA2.
Graf linearne odvisnostiT odID.
lažje doseže. To pomeni, da moramo interaktivne
elemente v programih ali na spletnih straneh obliko-
vati tako, da jih bo uporabnik karseda hitro in lahko
dosegel ter kliknil nanje.
Najkrajšopotdociljnegaobmoˇ cjapredstavljatre-
nutni položaj miškinega kazalca. Ta položaj se ime-
nujeˇ carobni (angl. magic) ali glavni piksel (angl. pri-
me pixel). Ravno zato lahko dodamo k desnemu
gumbu miškinega kazalca razne pojavne menije
(angl. pop-up menus), pri ˇ cemer smo zmanjšali raz-
daljo D na 0. Primer pojavnega menija v oblikoval-
niku besedil vidimo na sliki 3. Na celotnem obmoˇ cju
lista z besedilom in v njegovi okolici lahko kliknemo
in dobimo isti meni z najpogostejšimi funkcijami.
To pomeni, da je ciljno obmoˇ cje zelo veliko in se na
njem miškin kazalec vseskozi nahaja.
Glavni piksel lahko predvidimo vnaprej.
ˇ
Ce upo-
rabnik na spletni strani klikne na gumb z napisom
»Prijava«, je smiselno postaviti prijavni obrazec z
vnosnimapoljemauporabniškegaimenaingeslaˇ cim
bližje izbranemu gumbu. Seveda moramo poskrbeti
tako za primerno velikost gumba kot tudi za dru-
ge lastnosti in funkcionalnosti vmesnika. Na primer,
dasefokusprestavivpoljeuporabniškegaimena,da
lahkouporabniktakojzaˇ cnetipkati,indajegumbza
potrditev prijavnih podatkov karseda blizu obrazca.
Naslednja lastnost, ki jo lahko izrabimo na na-
mizju raˇ cunalniškega zaslona, je pravilo neskonˇ cnih

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)6
26
robov (angl. rule of infinite egdes). Ko se z miški-
nim kazalcem premaknemo na rob raˇ cunalniškega
zaslona, ne moremo dalje, saj se kazalec ustavi. To-
rej lahko na rob zaslona pridemo z najveˇ cjo možno
hitrostjo premikanja miške in še vedno zadenemo
cilj, saj je le-ta neskonˇ cen v eni dimenziji. Uporaba
tega pravila je na primer vidna v operacijskem sis-
temumacOS,kimenijskovrstico(angl.Menubar)ve-
dnopostavinazgornjirobzaslona,namestonaokvir
okna trenutnega programa. Drugi primer predsta-
vljaopravilnavrstica(angl.taskbar)sistemaWidows.
Oba primera sta vidna na sliki 4.
Lastnostneskonˇ cnihrobovpridenajboljdoizraza
v vseh štirih vogalih namizja, ki predstavljajo ne-
skonˇ cnociljnopodroˇ cjevobehdimenzijah. Tetoˇ cke
se imenujejo tudi ˇ carobni vogali (angl. magic cor-
ners), ker predstavljajo teoretiˇ cno neskonˇ cno velik
gumb (ciljno obmoˇ cje). Operacijski sistem Windows
ima v spodnjem levem vogalu gumb »Start«, Micro-
SLIKA3.
Pojavni meni v oblikovalniku besedil. Z desnim klikom miške
lahko na celotni površini lista z besedilom in njegovi okolici
pridemo do pojavnega menija z najpogostejšimi funkcijami.
SLIKA4.
Zgoraj je menijska vrstica operacijskega sistema macOS (a),
spodaj pa opravilna vrstica operacijskega sistema Windows (b).
SLIKA5.
Neskonˇ cne vogale (imenovane Hot corners) v operacijskem sis-
temu macOS lahko nastavimo tako, da nam poženejo razliˇ cne
funkcije.
soft Office 2007 pa uporablja zgornji levi vogal za
meni »Office«. V operacijskem sistemu macOS lahko
celo nastavimo posebne funkcije, ko se s kazalcem
miške premaknemo v vogal zaslona, kot je vidno na
sliki 5.
Kaj pa vmesniki naprav, ki niso namizni raˇ cunal-
niki? ZaprviiPhonetelefonsopripodjetjuApplena
podlagi Fittsove formule doloˇ cili najmanjšo še do-
voljeno velikost posameznega gumba/ikone. Ta je
bila 44 toˇ ck na zaslonu 320× 480 toˇ ck, pri ˇ cemer
je bil indeks težavnosti pri tej velikosti zelo nizek
[8]. Težavnost dosega ciljnega obmoˇ cja na zaslonih
na dotik je odvisna od naˇ cina držanja telefona in in-
terakcije (ista roka drži telefon in izvaja interakcijo,
ena roka drži telefon, medtem ko druga izvaja inte-
rakcijo ali pa obe držita telefon in izvajata interak-
cijo), a na splošno velja, da sta sredina in spodnji
del zaslona lažje dosegljiva kot zgornji del in vogali.
Ravno tako so Googlovi oblikovalci namenoma po-
stavilipoljezaiskanjenasredinozaslona,sajgatam
spogledomnajhitrejenajdemo(zapogledjesredina
zaslona pogosto glavni piksel). Predstavljajte si, da
bi bilo polje v kotu zaslona, kar bi predstavljalo na-
šimoˇ cemdodatnodelopriiskanju. Dodatnodelopa
lahko uporabnike »odvrne« od uporabe.


P50(2022/2023)6
27
Na splošno nam kot oblikovalcem grafiˇ cnih vmesni-
kov ni treba poznati podrobnosti Fittsovega zakona
ali pa raˇ cunati indeks težavnosti in potreben ˇ cas za
doseˇ ci ciljno obmoˇ cje. Vedeti moramo, da je ˇ cas
za premik do ciljnega obmoˇ cja odvisen od njegove
velikosti in oddaljenosti. Pri oblikovanju uporabni-
ških vmesnikov moramo torej razmisliti o optimiza-
ciji teh dveh spremenljivk. Ciljna obmoˇ cja morajo
bitidovoljvelikainrazporejenatako,dasoblizunaj-
verjetnejše predhodne lokacije uporabnika.
Literatura
[1] P. M. Fitts, The information capacity of the hu-
man motor system in controlling the amplitude
of movement, Journal of experimental psycho-
logy, 47(6) 1954, 381.
[2] B. C. M. Smits-Engelsman, P. H. Wilson, Y. We-
stenberg, in J. Duysens, Fine motor deficiencies
in children with developmental coordination di-
sorder and learning disabilities: An underlying
open-loop control deficit, Human movement sci-
ence, 22(4–5) 2003, 495–513.
[3] R. Kerr, Movement time in an underwater envi-
ronment, Journal of Motor Behavior, 5(3) 1973,
175–178.
[4] G. E. Brogmus, Effects of age and sex on speed
and accuracy of hand movements: And the re-
finements they suggest for Fitts’ Law, In Procee-
dingsoftheHumanFactorsSocietyAnnualMee-
ting,351991,3,208–212.SageCA:LosAngeles,
CA: SAGE Publications.
[5] T. O. Kvalseth, Effects of marijuana on human
reaction time and motor control, Perceptual and
motor skills, 45(3) 1997, 935–939.
[6] E. R. Hoffmann, A comparison of hand and foot
movement times, Ergonomics, 34(4) 1991, 397–
406.
[7] R. H. So in M. J. Griffin, Effects of a target mo-
vement direction cue on head-tracking perfor-
mance Ergonomics, 43(3) 2000, 360–376.
[8] Gaia/Design/FlexibleUI – MozillaWiki, dosto-
pno na https://wiki.mozilla.org/Gaia/
Design/FlexibleUI, ogled 16. 5. 2023.
×××
ˇ 

ˇ 
 50/5
Pravilna rešitev na-
gradne križanke iz pete
številke Preseka letnika
50 je Pomlad je tu. Med
pravilnimi rešitvami
smo izžrebali naslednje
reševalce: Eva Šolinc iz
Ljubljane, Izak Pelicon
iz Šempasa in Andrej
Uranjek iz Velenja, ki
bodo nagrade prejeli po
pošti.
×××


P50(2022/2023)6
28
Izbraneslikeinfotografijevpetdesetih
letihPreseka–nadaljevanjeinkonec
N R, M R  A L
Pred nami je še zadnji izbor slik in fotografij,
in sicer od 32. do 50. letnika. Velikost lista se je
poveˇ calana21cm×25cm,spremenilapasejetudi
njegova notranja podoba.
NekateriPresekoviˇ clankiselahkodobijonasplet-
nem naslovu http://www.dlib.si/ v rubriki Peri-
odika. Veliko starejših prispevkov pa hitro najdemo
naspletnemnaslovuhttp://www.presek.si/vAr-
hivu revij.
AlešMohoriˇ cjev5.številki32.letnikaPresekaob-
javilˇ clanek Vzporedno parkiranje. Z geometrijskimi
metodami je razložil, kako se parkira avtomobil ob
ploˇ cniku v prazen prostor med dvema parkiranima
avtomobiloma. Razlago je opremil s slikami, med
njimi je tudi ena nekoliko hudomušna (slika 1).
SLIKA1.
Leto 2005 je bilo razglašeno za Svetovno leto fi-
zike. Takrat so po naših šolah potekali številni veri-
žni eksperimenti. Nataša Vaupotiˇ c je temu namenila
v3.številki33.letnikaˇ clanekDevetiindesetiˇ clenve-
rige eksperimentov. Primer postavitve ilustrira
slika 2.
Andrej Taranenko je za 3. številko 34. letnika pri-
speval ˇ clanek Mreže. Obravnava trikotniške in šest-
kotniške mreže. Prispevek je nadaljevanje ˇ clanka iz
SLIKA2.
prejšnještevilke. Trikotniškamrežaseuporabljapri
igri kitajska dama (slika 3), šestkotniško pa sreˇ camo
priˇ cebeljem satovju.
SLIKA3.


P50(2022/2023)6
29
Znano je, da kameleon prilagaja barvo okolju, pa
tudi, da z jezikom bliskovito zagrabi plen na precej-
šnji razdalji. Andrej Likar je v 5. številki 35. letnika
v ˇ clanku Kako kameleon iztegne jezik? po fizikalno
razložil, kako mu to uspe (slika 4).
SLIKA4.
V 5. številki 36. letnika je Ciril Petr vˇ clanku Stare
krivulje, moderna orodja s takrat (2009) modernimi
raˇ cunalniškimi orodji obravnaval nekatere posebne
krivulje(Kochovasnežinka,obratnaKochovasnežin-
ka, Peanova krivulja, zmajeva krivulja, preproga Si-
erpi´ nskega, Hilbertova krivulja). Z nekaterimi se da
prekriti ravnino. Slika 5 kaže, kako lahko ravnino
prekrijemo s Kochovo in obratno Kochovo snežinko.
SLIKA5.
ˇ
Cetrta številka 37. letnika prinaša zanimiv ˇ clanek
Po takem tiru se giblje Luna avtorjev Nade Razpet in
Tomaža Kranjca. To je nadaljevanjeˇ clanka s podob-
nim naslovom iz prejšnje številke. Avtorja z raˇ cuni
pokažeta, da Lunin tir,ˇ ce bi ga gledali s Sonca, nima
zank (slika 6). Marsikdo bi brez premisleka in raˇ cu-
nov menil, da jih ima.
SLIKA6.
Tine Golež je za 4. številko 38. letnika prispeval
tri fotografije padajoˇ ce vodne kapljice. Na prvi je v
stanju, ko se ravno še drži pipe (slika 7), v drugem
jevertikalno podaljšana, v tretjem pa vertikalno skr-
ˇ cena. V vseh stanjih pa deluje kot leˇ ca.
SLIKA7.
Andrej Guštin je v 6. številki 39. letnika pisal o
prehodu Venereˇ cez Sonˇ cevo ploskev. Pojasnil je po-
men tega redkega dogodka za astronomijo in podal
nekaj nasvetov za opazovanje. Zadnja prehoda sta
bilaleta2004in2012. Sprimernoopremosedapre-
hod Venere tudi fotografirati (slika 8 iz leta 2004).
Aleš Mohoriˇ c je v 4. številki 40. letnika objavil za-
nimivo fotografijo (slika 9) totalnega odboja svetlo-
be. Pojasnil je tudi, zakaj do njega pride.
V 4. številki naslednjega letnika je Aleš Mohoriˇ c
opisal nastanek ivja, Peter Legiša pa je k opisu pri-


P50(2022/2023)6
30
SLIKA8.
SLIKA9.
speval dve fotografiji. Ena od teh je na sliki 10.
SLIKA10.
Isti avtor je v 4. številki 42. letnika pojasnil, zakaj
sence plamena goreˇ ce vžigalice, na katero svetimo z
luˇ cko, na zaslonu ne opazimo (slika 11).
Nada Razpet je v prvi številki 43. letnika objavila
fotografijo sosonca (slika 12) in pojasnila nastanek
SLIKA11.
pojava.
SLIKA12.
Andrej Likar je za 4. številko 44. letnika prispeval
dobro predstavljen ˇ clanek Barvna lestvica. Na sliki
13 je vodikov atom v treh stanjih: 1s, 2s in 3s.
SLIKA13.
Andrej Guštin in Krištof Skok sta v 3. številki 45.
letnika objavilaˇ clanek Uspešen nastop naših mladih
astronomov na 3. astronomskem tekmovanju treh
dežel. Pri prvi teoretiˇ cni nalogi so tekmovalci upo-
rabili analemo, to je krivuljo na sliki 14.
Andrej Likar je v 3. številki 46. letnika v ˇ clanku
Svetlobni žvrgolej obravnaval poseben svetlobni su-


P50(2022/2023)6
31
SLIKA14.
nek, pri katerem se vzdolž njega spreminja valovna
dolžina. Primer ponazarja slika 15.
SLIKA15.
Aleš Mohoriˇ c je v prvi številki 47. letnika vˇ clanku
Tirnicapredstavil,kakonastanefotografija(slika16)
noˇ cnih žuželk, ki letajo okoli uliˇ cne svetilke.
SLIKA16.
V 6. številki 48. letnika je Nada Razpet razložila,
kakonastanejodvignjenestopinjevsnegu(slika17).
Ista avtorica je v 6. številki 49. letnika opisala za-
nimivo oblikovane svetlobne zajˇ cke, ki nastanejo po
odboju sonˇ cne svetlobe na velikih okenskih šipah
(slika 18).
Vprvištevilkijubilejnega50.letnikajeAlešMoho-
SLIKA17.
SLIKA18.
riˇ c vˇ clanku Preluknjana dlan? pojasnil, od kod se je
na sliki 19 vzela svetla pika na sredi sence ˇ cloveške
dlani.
SLIKA19.
Listu Presek želimo naslednjih 50 let uspešnega
izhajanja.
×××

Plemljevaspominskasoba
naBledu
Ob letošnji 150. letnici rojstva znamenitega slovenskega
matematika Josipa Plemlja bo DMFA Slovenije na njego-
vem rojstnem Bledu v mesecu septembru organiziralo
Konferencoslovenskihmatematikov. Gotovosibodoude-
leženke in udeleženci konference ob tej priložnosti ogle-
dali tudi hišo, ki jo je zapustil našemu društvu. V tej hiši
so preživeli prijetne trenutke na poletnih šolah ali pri-
pravahnamednarodnatekmovanjatudištevilniuˇ cenciin
dijaki, mnogi ˇ clani in ˇ clanice društva pa tudi kakšen po-
letni dopust. Spominska soba, ki je bila v vili urejena leta
1977, sicer v zadnjih letih pretežno sameva. Morda pa se
najdekdo,kijobovsajvpoletnisezoniobˇ casnorazkazal
obiskovalcem, tako kot so to nekoˇ c vsako soboto poˇ celi
uˇ cenci blejske šole.