I PRESEK FIZIKA NA OVITKU MATEMATIKA TEKMOVANJA ZANIMIVOSTI RAZVEDRILO REŠITVE NALOG ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE NALOGE list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje 25. letnik, leto 1997/98, številka 4, strani 193-256 VSEBINA Fotografija in matematika, 3. del ~ Globinska ostrina (Peter Legiša) 194-201 M ala šol a topologije - 4. del (Marija Vencelj) 222-223 Prvo srečanje s Fibonaccijevimi števili (Sandi Klavžar) 232 -237 Fizika, matematika in Murphyjev zakon (Janez Strnad) 210 -214 Tek in moč (Andrej Likar) 226-227 Meglica in pulzar (Mirjam Galičič) 202 -209 Čuvaj (Marijan Prosen) 228-230 Razvoj mikroprocesorjev (Matija Lokar) 216 -219 Pogovor s prof. dr. Dušanom Repovšem (Timotej Žohar) . . 219-221 Nekoliko drugačni konstrukcijski nalogi (Marija Vencelj) 209 Vsak trikotnik je enakokrak (Olga Arnuš) 215 Rezanje palic (D . M. Miloševič , prevod B . Japelj) 230 Žepni modeli poliedrov ~ s str. 154 (Vilko Domajnko) . . . . . . . . . 201 Produkt in vsoti - s str. 156 (Martin Juvan) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223 Kako uganemo odstranjeno števko? - s str. 171 (Marija Vencelj) 231 Križanka "Voščilo za jubilej" - s str. 160 (Marko Bokalič) .. . . . 231 Številska križanka - s str. 167 (Marija Vencelj) 239 Šestkotniške tromine - s str. 156 (Jurij Kovič) 240 Raztrgani lepa k - s str. 171 (Dragoljub M . Miloševič) . . . . . . . . . 240 Grajski labirint - s str. 192 (Iztok Arčon) 240 Križanka "Področja matematike" (Marko Bokalič) 224-225 Juniper Green - Igra z delitelji in večkratniki (Nataša Vrbančič Kopač) 238-239 33 . državno tekmovanje za Zlato Vegovo priznanje (Aleksander Potočnik) 241-242 16. državno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce (Zlatko Bradač, Mirko Cvahte) 242-246 Naloge z državnega tekmovanja srednješolcev iz fizike v šolskem letu 1996/97 (Ciril Dominko) 247-251 38 . mednarodna matematična olimpiada - rešitvi izbranih nalog (Matjaž Željko) 251-253 41. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije (Matjaž Željko) 253-255 Izbirni testi za mednarodno matematično olimpiado (Matjaž Željko) 255-256 Zelenec je bil slikan s 400 mm objektivom na razdalji 3 m . Kljub dokaj zaprti zaslonki (zaslonsko število 9.5) je ozadje zelo zabrisano I Cvetoči travnik je bil slikan z goriščnico 280 mm. Čeprav je bi la zaslonka zaprta vsaj na 11 , globinska ostrina ne sega do najbližjih rastlin (zgoraj) . J esenska slika poplavljenega in poledenelega Barja je bila posneta z goriščnico 20 mm in krožnim polarizatorjem. Pri zaslonskem številu 5.6 sega globinska ostrina od najbližjih točk do neskončnosti (spodaj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. II Sliki k članku Meglica in pulzar na strani 202 . . . . . . . . . . . . . . . . .. III Obe slik i sta posneti z istega mesta s 50 mm objektivom, zgoraj pri z = 1.4, spodaj pri z = 22 . Slike na I , II in IV je posnel Peter Legiša IV Mat ematika I FOTOGRAFIJA IN MATEMATIKA, 3. del- GLOBINSKA OSTRINA Razmazani krožec Fotografsk i objek t iv nam (načeloma) napravi ostro sliko predmet ne rav- nine na ravn ino filma. Kako pa je s slikami točk , ki ne leže na pr edmetni ravnini? Sp et si bomo st vari poenostavili in ob jektiv nadomestili z eno samo tanko lečo (slika 1) z goriščno razdaljo f . T a b Slika 1. Den imo , da imamo objekt iv narav nan tako, da ravnino, ki je za a od- daljen a od optičnega središča leče , ostro preslika na film . Če je brazdalja ravnine filma od optičnega središča leče , velja 1 1 1-+- = - . a b f Če je a' > a in 1 11 a' + bi = 7 ' je b' < b. Ostra slika točke T na sliki 1 torej nastane pred filmom . Na same m film u pa se žarki iz točke T razm ažejo po krog u s pre- merom U. Če je U zelo majhen , tega t udi pri nekajkratni povečavi ne opazimo in se nam slika točke T še zmeraj zdi ost ra. Pri maloslikovnem ali Leica (35 mm) for matu me ri sličica na filmu 24 mm x 36 mm. Obst aj a (ne povsem splošno sprejet ) dogovor , da je največji dovoljeni premer I Mat ematika razmazanega krožca na filmu enak 1 Uo = 30 mm . Pri pe t kr at ni povečavi sličice na filmu (to je na velikost 12 cm X 18 cm) se nam potem razm azani kro žec še zme raj zd i bolj ali manj kot točka, sa j smo ravno na meji ločljivosti človeškega očesa pri gledanju od blizu. Podobno nam slika manj oddaljene točke W nastane za filmom (sli- ka 2). HI Slika 2. Vid imo torej, da v skladu z našim do govorom preslika objektiv na film sprejemljivo "ost ro" določen del prostora , ki vsebuje predmetno ravnino. Temu delu prostor a pr avimo območje globinske ostrin e. Včasih pa s te m pojmom mislimo le na širino tega območja. Območje globinske ostrine lahko povečamo , če zaprem o zaslonko. P ri bolj zaprt i zaslon ki se nam bo slika točke T manj razmazal a (slika 3), za to je jasno, da se bo območje glob ins ke ostrine povečalo. T ' +- zaslonka T Slika 3. Zaslonka prest reže ro bne žarke. 196 Mat ematika I , 6.x ' T I b Slika 4. DL Tako sm o zda j ugotovili še drugo funkcijo zaslonke . Poleg uravna- va nja količine sve t lobe, ki prihaj a skozi objek ti v, vpliva še na območje globinske ostrine. Kra tkovidni in daljnovidni ljudje brez očal a li z neu streznimi očali pogost o pripi- raj o oči . Z zmanjšanjem od pr- t ine si skuš a jo povečati območje globins ke ostrine in doseči , da bi se jim slike odd aljenih pred met ov na mrežni ci manj razmazale . Poskusimo zdaj kaj i zraču­ nati . Spet se preselimo v stanje na sliki 1, le da z zaslonko . Naj bo D premer odprtine zaslonke (slika 4) . Naj bo T' ostra slika točke T In !::lx' razda lja m ed T' In filmom. Zaradi podobnosti trikotnikov je !::lx' : U = (b - !::l x' ) : D . Ker je U majhen , je !::l x' majhen in t ako b - !::l x' == b. Upošteva jm o, da je f j D = Z , kjer je z zaslons ko število, in b = f + x' = f +mf = (1+ m)f , kjer je m = bja povečava (glejte prvi in drugi članek iz t e ser ije) . Od tod je !::lb = !::l x' = (1+ m )zU , kjer je U premer razm azanega krožca. Torej je ,0,.x' U = --,-- ---,-- (1 + m)z . (1) Če j e U = Ua = 310 mm, je !::lb = !::l x' = (1 + m) zUo . I Mat ematika Efektivno zaslonsko število Spomnimo se, da smo v prejšnjem članku dokazali , da je osvetljenost slike enaka ~L 1 4 ((1 + m )z)2 , kjer je L svetlost slike in z zaslonsko število, na katero je zaprt naš objek- t iv . Definirajmo efek tivno zaslonsko šte vilo Z e kot Z e = (1+ m) z , kjer je m povečava. Potem lahko rečemo: Osvetljenos t slike je odvisna le od svetlosti or iginala in efektivnega zaslonskega števila . Natančnej e: Osvetljenost slike j e sorazmerna svetlost i originala in obra- tno sorazmerna kvadratu e fe k t iv nega zaslonskega števila Z e ' Rav nokar smo ugotovili: P ri efekt ivne m zaslonskem številu Ze sme slika nas t ati največ Ze Ua st ran od film a , da je ostra. Za oddaljene pred mete je m ~ Oin se tako efekt ivno zas lonsko število ujema s t istim , ki smo ga naravnali na objekt ivu . P ri Z e = 16 je recimo 16 8 zeUa = 30 mm = 15 mm . Denimo, da ostr imo z odmikanjem objekt iva od filma po vij ačnici . Ugo- tovimo , kolik šen zasuk od govarja odmiku za 8/15 mm. Nat o na vsako stran črte, ki označuje oddaljenost , odmerimo ta zas uk in tam napišemo 16 (slika 5) . Na ta način smo konstruirali lest vico za globinsko ostrino pri zas lonk i 16. Če je fotografirani objekt iv (z goriščno razdaljo 50 mm) nar avnan na oddaljenost 3 metre, sega območje globinske ost rine od nekaj manj kot 2 met rov do nekaj manj kot 10 metrov. . ~ . 5 7 10 15 30 .6 2 3 5 10 oo - ---- - U16 1;- tr4-1 1~I11 16 22 Mat ematika I - ~ ~ - - 7 10 15 30 ft 2 3 5 10 oo m --- -- I I -r r r f",-r I I I 22 16 11 8 4 4 811 16 22 Slika 5 . Lestvica globinske ostrine za več Slika 6 . Takole smo objektiv naravnali na zaslonskih števil. hipergoriščno razdaljo pri zaslonske m šte- v ilu 16. Hipergoriščna razdalja Pri dane m zas lonskem številu z želimo obj ekti v naravnat i na hipergoriščno razd aljo H z, pri kat eri bo globinska ostrina segala ravn o do neskončnost i. Ker gre za slikanje oddaljenih pr edmetov, lahko privzame mo, da je tri = O. Objektiv bo mo naravnali t ako, da bo slika neskončno oddaljene točke ravno še "ostra" , se pravi, da bo nastala z Uo pred filmom. Se pravi, izteg x ' ob jekt iva bo znašal ravno dovoljenih z Uo · Iz znane enačbe X Xi = t? je ust rezni X enak f 2 X= -- z Uo in od t od je razdalja med predmet om in filmom H = x +x ' +2f ~ x +2f . . f 2 H z = 2f + -u, . z o Za naj bli žjo točko, ki bo še ostra, bo slika nast ala zUo za filmom, torej 2zUo za sliko neskončne točke . Ustrez no razdaljo izračunamo kot zgoraj : f 2 Hd ~ 2f + _ _ ~ _ Z . 2zUo 2 Npr. za f = 50 mm in z = 16 je H . ( 2500, 30)16 = 100 + mm ~ 5 m . 16 IMat ematika Najbližja še "os t ro" upodobljena točka pa bo oddaljena ( 2500)d == 100 +16 . 15 mm == 2'5 m , To seved a lahko brez računanja naravnamo, če imamo lest vico globins ke ostr ine kot na sliki 6. Za z = 2'8 in f = 50 m m pa je H == (100 + 2505~~ 30 ) mm == 27 m. Območje glob ins ke os t r ine bo torej seg alo od 13' 5 m do oo. Za z = 1'4 in f = 50 mm bo H == 54 m in območj e globins ke ostr ine bo segalo od 27 m do oo, Štev ilo H se pri danem z povečuj e približno s kvadratom goriščne razdalje . Za f = 300 mm in z = 2'8 je H == 960 m . Globinska ost rina bo segala le od 480 m do oo. Obj ek ti v z odprtino 1 : 2 '8 in goriščno razdaljo 300 mm tehta 2- 3 kg in st ane toliko kot mot orno kolo . Velika svetlob na jakost omogoča kratke osvet lit ve , Zat o lahko fot or ep orterji z njim na šport nih tekmovanj ih po- snamejo slike, na ka t erih je gibanje t ekmovalca "zamrz njeno" , Oz adje pa je zaradi majhnega območja glob ins ke ost rine zabr isano . P r i 20 m m (širokokotne m) objektivu in z = 16 pa je ( 400, 30 ) H = 40 + 16 mm == 0' 8 m , Glob ins ka ostrina pri zaslonki 16 sega od 0'4 m do neskončnosti! S širokokot nim objektivom torej ni probl em ostro upodobi ti vse od zelo bli žnjih predmetov do neskončnosti. Seved a pa bodo oddalje ni predmeti na sliki zelo majhni , Globinska ostrina pri slikanju iz bližine Privzeli bomo, da je izt eg x' t ako velik , da je t::.x' majhen v primer- javi z x' . Če se x' poveča , se zaradi enačbe Mat ematika I zmanjša x. Velja : (x - ~x)(x ' + ~X') = f 2 . Odštejmo prejšnj o enačbo od zadnje, pa je x~x' - (x' + ~X')~X = O. Po privzet ku je x' + ~x' === x' in od t od ~x = ~~X'. x' Ce lot no območj e globinske ost rine im a širino 2~x = 2~~X' . x' Upošteva jmo , da je x = m - 1t, x' = mf, pa je celot no območje globinske ostrine široko 2 - 2 (1+ m )zUo = m 2 = 2 · zeUO. m Vidimo, da je v t ej formuli izginil f. Torej : Pri slikanju iz bližine je območje globinske ostrine neodvisno od goriščne razdalje f. Pri m = 1 (slika na filmu je naravne velikosti) znaša območje globin- ske ostrine: a ) pri z = 16 (ze = 32) približno 2 mm; b) pri z = 4 (ze = 8) približno ! mm; c) pri z = 32 (ze = 64) približno 4 m m. Hrošča , ki je deb elejši kot 4 mm, t orej pri razm erj u 1 : 1 ne moremo v celot i ost rega spravit i na film . Nekateri objektivi sicer omogočajo na- st avitev še večjih zas lonskih števil kot 32. Tod a pri večanju efekt ivnih zas lon skih števil nad 50 pride zmeraj bolj do izraza uklon svet lobe, ki kvari kakovost celot ne slike. Mat ematika - Rešitve nalog Ker je pri m = 1 efektivno zas lonsko število Z e = 2z , to pomeni , da osvetljenost slike znaša le četrtino t iste pri slikanju v neskončnosti . Pri zrcalno refleksnih aparatih gledamo skozi objektiv, zato je t ud i slika v iskalu pri m = 1 občutno temnejša (kar povzroča t ežave pri ost renju) . P ri m = 4 je Z e = 5z . Osvetlj enost slike je le še 1/25 ti st e pri slikanju v neskončnosti. Območje globinske ostrine pa meri za Z = 16 (ze = 80) : 2 80 1 - . - mm= - mm. 16 30 3 Hkrati lahko ostre dobimo le zelo ploščate detajle na slikovne m polju, ki znaša 6 mm x 9 mm. Fotografiranje pri tako veliki povečavi je t ežavno celo s specialno opremo, na terenu pa je komajda še mogoče. Denimo, da slikamo z objektivom z daljšo goriščnico v razm erju m = = 0'05 = 1 : 20. To je lahko por tret ali slika lep ega grma kot na zadnj i strani ovit ka . Območj e globinske ost r ine pri z = 2'8 znaša 2' 8 800 . 1'05 . - mm ~ 8 cm . 30 To ni več dovolj , da bi pri por t retiranju bil oster ves obraz od nosu do ušes. Mimogrede , običajno izostrimo oči, saj so najpomembnejši del portret a . Slike , narejen e z raznimi ob jektivi, pa vsee no niso enake. Pri f = = 100 mm je ustrezni izt eg x ' = m f = 5 mm. Slika zelo oddaljenega ozadja nast ane 5 mm od filma. Pri f = 300 mm je izt eg x ' = 45 mm. Slika zelo oddaljenega ozadj a nastane 45 mm st ran od film a . Ker je po (1) prem er razm azanega kr ožca sorazme ren .6.x' , je ozadje pri slikanju z dalj šo goriščnico neprimerno bolj zabrisano . P eter Legiša ŽEPNI MO DELI POLlEDROV - Rešitev s str. 154 Na desni risbi so nakazani razrezi za žepni mod el ikozaedra, ki je v prejš nj i št evilki rev ije ostal za izziv bralcem. Vilko Dom ajnko Astronomija I MEGLICA IN PULZAR V prejš nj i številki P reseka smo pisali o supe rnovi, ki se je pred skoraj 1000 leti pojavila v ozvezdju Bika , o povezavi sedaj opazlj ivih (dveh ) ob je ktov z davno opazovano supernovo in povedali nekaj malega o las t nostih obeh objektov, meglice Rakovice in pulzarja v nj ej. Povedali smo t ud i, kako objekt Ml najdemo s t eleskopom , ter navedli potreb ne podatke in iskalni karti. Tokrat bomo povedali nekaj več o fizikalnih do gajanjih v M l. Malo je namreč v astronomij i ob jektov , ki bi jim bilo posvečenega to liko opazo- valnega in raziskovalnega časa, namenj enih to liko strani člankov in knjig, in ki bi prinesli to liko novih spoznanj za as t.ronornijo in fiziko . Nekateri imen ujejo Ml kar 'ro zet ni kameri'I astronomije, saj je pravi naravni lab o- rato rij, v kat er em pot eka ob ilica razn ovr stnih fizikalnih procesov, razm er e pa so velikokrat tako ekst re mne , da t akega 'laboratorija' na Zemlji sp loh ni moč narediti . Meglica Doslej nismo po seb ej pou darili , da opisujemo objekt v naši Galaksiji. Leži še bolj na obrobju Galaksije kot naše Osončje in nekoliko pod ravnino Galaksije. Meglica ima podobno kemij sko sestavo, kot je v povprečju v veso lju : pr etežno vodi k , nekaj helij a , zelo malo težjih element ov. In koliko sploh je snov i v meglici? Ocenjujejo, da za kake tri mase Sonca. Meglico sestavljata dve osnov ni kompon en ti . Prva je razredčena snov (p lin) , ki je nekoč sestavljala zunanje plas t i orjaške zvezde. Ta napolnjuje vso meglico in določa njen o okv irno ovalno ob liko. Druga so filamenti (vlakna), ki se brez pravega red a vlečejo sem t er tja in daj ejo meglici poseb ej lep videz (glej sliko 1 na pred zad nji strani ovitka) . Obe kompon enti razkriva optični spekter meglice. (Spekter je graf, ki prikazuj e porazdeli t ev gostote izsevane energij e po frekvencah .) Plin seva t i. zvez ni ali beli spekter. Od filamen tov pa prihaj aj o posamez ne črte , ki so naložen e na zveznem spektru. Zvezni spe kter meglice Rakovice nast ane na poseb en način. Zanj ni krivo sevanje atomov pri visoki tempe- raturi, kot bi pričakovali za običajni plin , pač pa sevanje hi t ro gibajočih se elekt ronov v magn etnem polju. Do t ega pom embnega spoznanja je v 1 ' Rozet n i kamen' ne p om eni kamna v ob lik i razcvetele ro že , a m p a k se pridevnik nanaša na eg iptovs ko mest o Roset ta (angl. p isava), kj er so let a 1799 našli bazaItno ploščo iz 2. st olet ja pred našim štetjem, na kateri je bi lo vz poredno s hiero glifi isto besedil o zapisano še v d veh d rugih pi savah . Ta ka m en je b il osnova za razvozlanje hie roglifske kode. I Astronomija petdesetih letih prišel ruski astrofizik Šklovski. Mehanizem sevanja naj bi po njegovem bilo ti. sinhrotronsko sevanje, o katerem ponavadi govo- rimo v zvezi s pospeševalniki delcev, sinhrotroni, saj nastaja pri gibanju pospešenih nabitih delcev v magnetnem polju. Njegova ideja, da meglica Rakovica predstavlja laboratorij z ogromnim pospeševalnikom delcev , se je izkazala za pravilno, ko so izmerili, da je svetloba z Rakovice delno polarizirana. Vemo, da je elekt romagnet no sevanje (svetloba) va lovanje. Svetloba, ki se odbije na neki površini , je po larizirana v ravnini te površine. (Če nosimo po larizacijska očala, ki ne prepuščajo polariziranih valov , se nam na primer mnogo manj blešči.) Če pa za neko svetlobo ne obstaja ravnina, v kateri pretežno nihajo valovi, potem pravimo, da je nepolarizir ana. Med stoodstotno polarizirano in nepolarizirano svetlobo obstajajo še vse vme- sne mo žnosti za delno polarizirano svetlobo. Meritve po larizacije svet lobe z Rakov ice sredi petdesetih let na tedaj sovjetskem observatoriju Byura- kan v Armeniji in na ameriškem Mount Palomarju so pokazale, da je ta svetloba res de lno polarizirana: Elektroni se v m agnet nem polju gibajo na določen način in zato izsevani svetlobni va lovi nihajo pretežno v določeni ravnini . S potrditvijo ideje o sinhrotronskem sevanju Rakovice so bili astro- nomi soočeni z nadvse nenavadnim objektom, s svetlim oblakom, v ka- t erem so 'svetili' elekt roni in ne atomi , kot so bili navajeni dotlej . V oblaku so tudi protoni , a ti za fizikalne procese, ki so pri sinhrotronskem sevanju meglice odločilni , niso bistveni. Bistveno pa je, da so astronomi odkrili objekt, ki je bil po agregatnem stanju prav poseb en plin, plazma. Običajni plin sestavljajo atomi , ki so električno nevtralni. Za plazmo pa je značilno , da so atomi razbiti na nosilce negat ivnih nabojev (elektroni) in nosilce pozitivnih nabojev (atomska jed ra ) . Meglic a je ostanek zunanj ih plasti zvezde, ki je izbruhnila v super- novo. V trenutku izbruha je te p las ti odpihnilo navzven. Astronomi merijo hitrost razširjanja meglice. Ta znaša okrog dve desetinki kotne sekunde na let o ali približno 1500 kilometrov na sekundo. Iz te vrednosti lahko izračunamo, kdaj se je zgodila supernova. Zanimivo je, da z na- tančnim računom, ki upošteva podatke več kot petdesetih let (doktorsko delo znane ameriške as tronomke V . Trimble), pridemo do let ni ce, ki je za slabih sto let večja od tiste, o kateri poročajo kitajska opazovanja. To po- meni, da se danes meglica razširja hitreje, kot b i se smela, saj b i se mo ralo začetno širjenje snovi zvezdinih ovojnic sčasoma upočasniti zaradi nari- vanja okolišnega medzvezdnega plina. To je možno le, če nekaj v meglici poganja gibanje plinov navzven. 204 Astronomija I Na podlagi merj enja hitrosti razširjanja meglice lahko ocenimo t udi njeno oddaljenost. Taje prib ližno 6000 svetlobnih let (6 .1016 kilometrov). In če poznamo oddaljenost , lahko ocenimo , kako svetla je bila supern ova let a 1054 . Iz starih zapiskov o primerjavah njen ega sija so oceni li, da je supernova svetila kot 500 milijo nov Sonc! Polariziranost je različna po posameznih delih meglice, pa t udi polariziranost posameznih delov se s časom presenetljivo spreminja. Eno od področij , kje r sta po lariziranost in njen a spremenljivost posebej izraziti , je osrednj i predel. To je oko lica ob eh zvezd v sr edini meglice, od katerih je ena pulzar. Že v šes tdeset ih let ih so na tem področju opazili nekakšne kosme snovi , ki so se s časom spre minjali. Vse je kaza lo na to , da tisto nekaj v sr edini meglice, kar pri- sp eva k njenemu razširjanju , tudi pljuska v okoli šno snov in jo osvetljuje. Sodobna opazovanja s Hubblovim vesoljskim teleskopom so pokaza la , da iz pulzarja izhaja t a v nasprotnih sme re h ozka cur ka (slika 2 na predzadnji st ran i ovitka) , ki ju pretežno tvorijo hi t ri elektroni. Curka odrivata pl in pred seboj in ga narivata v kosme. Kar vemo o filament ih, so nam razkri le črte, ki j ih sevajo tam pri- sotni a t omi. Na nji hov i osnov i so ugot ovili , da se tako temperatura kot gostota elekt ro nov v filamentih močno spreminjata tako znotraj posame- znega filamenta kot preko celotne meglice. F ilament je kot nekakšna 'cev' , sestavljena iz treh lupin, pri čemer sta v vsaki plasti nekoliko drugačna tem pe ratura in gostota snovnih delcev . Večina izrazitih filamentov je v zunanj i tretj ini meglice. Črte, ki prihaj ajo s filamentov, so povečini t akšne, kakršnih v labo- ratoriju na Zemlj i zlepa ne opazimo. Sodijo med ti . ' prepovedane ' črte . In kako spektralne črte sp loh nastanejo? Elektron v atomu se nahaja v določeni elektronski lupini oziroma ima določeno orbito okrog at oma in s t em določeno en ergijo, tako kot je to razložila kvant na meh anika . Če atom pridobi ustrezno ene rgijo (npr . ko se vanj zalet i foton ali drug atom) , se elekt ro n v njem vzbudi v višje ene rgijsko stanje, v drugo dovoljeno orbito. Odvečne energije se poskuša čimprej znebit i in se vrniti v svoje prejšnje , najbolj ugodno stanje. Odda jo tako, da izseva foton z določeno valovno dolžin o. Ta prehod elekt rona se zgo di zelo hitro , pravimo mu dovo ljeni , saj ga za koni kvantne mehanike napovedujejo oziroma dovoljujejo. Ener- gija tega fotona ustreza energijski razlik i med ob ema orbitama . P rehod vidimo kot črto v spe kt ru pri določeni valovni dolžin i. Če elekt ron prejme premalo ene rgije, da bi se preselil v nasled njo višjo dovoljeno or bito, potem bi t raj alo zelo dolgo, da bi se odvečne energije znebil z izsevanj em ust reznega fot ona. Ker se to zgodi zelo redko oziroma zelo počasi , tako da tega v la boratoriju praktično ne dočakamo , se je za I Astronomija take prehode ustalilo ime prepovedani. Pri poskusih v laboratoriju, kjer je atomov dovolj, tudi če je plin precej razredčen, bo atom takšen presežek energije raje oddal drugemu atomu s trkom, kot da bi izseval foton . V meglici pa je plin tako zelo redek, da do trkov med atomi prihaja zelo poredko, in preden bi atom uspel srečati drugega in mu oddati odvečno energijo, pride do ti. prepovedanega prehoda. Izseva se torej foton pri valovni dolžini, kakršne v laboratoriju pri tem atomu ne bi pričakovali. Značilno je , da so ravno objekti, kakršna je meglica, redek primer , kjer sploh lahko opazujemo prepovedane prehode. Vidimo, da meglica ni po- membna le za astronomijo , ampak posebne razmere v njej omogočajo spoznanja in meritve, ki so pomembni tudi za fiziko. Meglica Rakovica seva ne le v optičnem, pač pa tudi v radijskem delu elektromagnetnega spektra, pa preko mikrovalov, infrardeče in ultra- vijolične svetlobe do visokoenergijskih rentgenskih žarkov. Malo je objek- tov , ki bi sevali na tako obsežnem intervalu valovnih dolžin. Rakovica je prvi odkriti objekt, ki se ga da opazovati na tako širokem intervalu. Ra- dijsko odkritje Rakovice pripada avstralskim astronomom in sega v leto 1948. Odtlej so radijska opazovanja neprecenljivo prispevala k poznavanju strukture magnetnega polja in porazdelitve elektronov v meglici. V začetku šestdesetih let so začeli s prvimi rentgenskimi opazovanji . Teh ne moremo izvajati s površja Zemlje, saj varovalni atmosferski oklep žarkov X ne prepusti. Rakovica je prvi rentgenski izvir (in eden od prvih izvirov žarkov gama) zunaj Osončja, ki so ga zaznali in nato povezali s prej znanim optičnim objektom. Visokoenergijska opazovanja so pomembna na primer za določanje hitrosti elektronov v meglici in površinske tempe- rature nevtronskih zvezd. Pulzar Kaj pomaga razpihovati meglico, pospešuje elektrone in vpliva na struk- turo magnetnega polja v meglici? To vprašanje je dolgo vnemirjalo astro- nome, dokler niso konec šestdesetih let v sredini meglice odkrili nenavadne zvezde - pulzarja. Majhna, izjemno gosta zvezda se sredi meglice zelo hi- tro vrti in brizga v meglico vedno nove elektrone, da se lahko vzdržuje sinhrotronsko sevanje meglice. Pulzar, ki ima oznako NP0532 ali pa PSR 0531+21 , odvisno od tega, katerega od pulzarskih katalogov gledate, so odkrili z največjo radijsko anteno na svetu v Arecibu (prem er 300 m) novembra 1968 . Izmerili so njegovo periodo - 33 milisekund. To je bila še zadnja potrditev, da je objekt v Rakovici , za katerega so že dolgo predvidevali, da mora imeti Astronomija I neko zvezo s sup ernovo, zares nevt ronska zvezda. Nobena druga vrsta zvezde namreč ni dovolj ' t rdna ' , da bi vzdržala tako hi tro vrtenje . R adijski pulzar so identifi cirali z optičnim januarja 1969 na observator iju Ki t t P eak v ZD A. Nekaj kasn eje so Američani opazili isti objekt še v re ntgens kih žarkih . Pulzar v meglici Rakovici j e v mnogočem poseben, presenetljiv in zato zelo pomemben za astronomijo. E na nj egovih značilnosti , ki ga post avlj a na posebno mesto med pulzarji , j e t a , da ga lahko opazujemo na izjemno širokem in tervalu elektro magnetnega sp ektra, oblika nj egovega pulza pa je enaka pri vse h va lov nih dolžinah, od dolgih radij skih va lov do visokoene rg ijskih rentgens kih ža rkov in žarkov gama . Druga je njegova st a ros t. S kom a j tisoč leti j e zdaleč najmla jši pulzar. Sledi m u pulzar v ozvezdju .Jadro (Vela ) , ki pa je kakih šestnajstkrat starejši. P ri tako ml adem pulza rju lahko opazuj emo po jave, ki so pri starejš ih že usahnili . T isto, kar je pulzars ke astronom e v začetku posebej presenetilo , j e izredna pravilnost in ponovljivost pulzov. Pulzi prihajajo tako točno, da lahko na podlagi današnjih opazovanj za nekaj let vnaprej natančno na- p ovemo, kdaj bo prišel izbrani pulz. Pulzarska ura je primerljiva z najbolj natančnimi urami na Zemlji . Za to seveda n i čudno, da se je p oj avila idej a , d a bi na os novi skupine pulzarjev napravili neodvisno uro , ki bi služila kot standard , tako kot je to z atomsko uro. Vendar pa se frekvenca pulziranj a sprem inja. P ulzar namreč izgublj a svojo rotacijsko ene rgijo, ki jo oddaja m eglici . Meg lica pravza prav sveti za to , ker se pulza r upočasnjuj e . Hi t ro se p oj avi pom islek , kako naj pot em pulza r služ i za merj enje časa, če pa se ne vrti enakomerno. To ni nič hudega , saj vemo , kak o hitro se ust avlj a in tudi ta p oj emek rad ijs ki astro- nomi zelo natančno merijo. Fre kvenco in časovno spre m injanje frekvence našega pulzarj a neprestano merij o na ang leškem radij skem obs erva tor ij u J odrell Bank. Pulzarj eva p erioda se vsak d an podaljša za 37 nanosekund (0.000000037 se kunde) . P oleg pravilnega spre m injanja pulzarjeve frekvence se sem pa tja, v dveh do t re h let ih , do gajajo še nenadne pospešitve vrtenja, ki jim pravimo gli č i , Po glič u se po neka j dneh p ulzar postopoma umiri . P o kakem mesecu dni se spet vrt i s popolnoma tako fre kvenco, kot da gliča vmes sploh ne bi bil o . Gliče posku šamo razložiti s primerjavo s potresi na Zemlji. Le da je za pulzar verjetneje, da pride do p otresa v trd ni notranji nevtro ns ki plasti in ne v t rdni zunanj i sko rji, kot je to pri Zemlji. K o že omenjamo sestavne plasti pulzarja , j e prav , d a jih navedeno vse po vrsti . Začnimo na površju. P ulzarjevo p ovr šje je trdna sko rja, ki jo sestavljajo težka a tomska jedra, med ka terimi se podi oblak elektro nov , ki so nekoč skupaj s t emi jedri t vorili atome. P od nj o je pl ast superteko č ih I Astronomija nevtronov (tokrat bomo besedo samo zapisali in nič razlagali) in pod njo , kot nekakšen ogromen kristal, trdna plast nevtronov. Čisto znotraj je jedro, kjer je gostota snovi največja. Tu najverjetneje lahko poleg nevtronov pričakujemo še 'juho' raznoraznih sorodnih delcev, ki so težji in predvsem za običajni svet precej tuji . Nosijo imena, kot so ~, A in 6.; ker so težki , jim vsem skupaj pravimo barioni (nevtron in proton sta najlažja bariona) . Vsekakor se moramo ustaviti tudi ob pulzarjevem magnetnem polju. Njegova gostota na površju zvezde znaša pribl ižno 108 tesla, kar je zelo veliko . V laboratoriju so polja velikosti nekaj tesla že obravnavana kot zelo močna. Kako more imeti nevtronska zvezda tako močno magnetno polje , se da razumeti. Vemo, da se ohranja količina, ki ji pravimo ma- gnetni pretok. Predstavljajmo si namagneteno snov. Magnetne silnice so 'pripete' na snov. Če stiskamo snov, se stiskajo tudi silnice in magne- tno polje je vse močnejše . Za tolikokrat, kot se zmanjša presek snovi , se poveča gostota magnetnega polja. Ali lahko s stiskanjem običajne zvezde pridemo do magnetnega polja pulzarja? Gostota magnetnega polja Sonca je okrog 0.01 T . Njegov radij je 700000 kilometrov. Če bi Sonce skrčili na velikos t pulzarja (radij 10 kilometrov) , bi se njegov pr esek (7rR2 ) zmanjšal za faktor 5 . 109 . Tolikokrat se mora v skladu z ohranitvijo magnetnega pretoka povečati gostota magnetnega polja. Prvotnih 0.01 T postane 0.5 · . 108 T! Močno pulzarsko magnetno po lje torej ni tako hudo presenetljivo in ga smemo pričakovati, če upoštevamo, kako je pulzar nastal. Imamo torej močno namagneteno zvezdo, ki se hitro vrti. Iz elek- trodinamike vemo, da se pri gibanju magneta inducira električno polje. Tudi ob površini pulzarja se inducira električno polje, ki je zelo močno. Nabite delce odtrga s površine, jih pospeši do visokih hitrosti in jih izvrže stran od zvezde. Vendar se ti zaradi magnetnega polja ne morejo gibati kamorkoli, temveč le vzdolž magnetnih silnic. Magnetne silnice pulzarja si lahko predstavljamo podobno, kot smo vajeni risati silnic e paličastega magneta. Razlika je predvsem v tem, da so zaradi hitrega vrtenja zvezde tiste silnice, ki izhajajo blizu polov , pretrgane. Vzdolž pretrganih silnic elektroni lahko pobegnejo z zvezde in tako se meglica neprestano polni s svežimi hitrimi elektroni, ki sinhrotronsko sevajo. Za kon ec še omenimo, kje pulzi najverjetneje nastajajo. Pulziranje smo že opisali s pomočjo svetilnika. Pulz vidimo vsakokrat , ko se svetil- nik zasuka proti nam. To področje je najverjetneje t i. polarna kapa, za kako nogometno igrišče velika površina ob (obeh) magnetnih polih . Tam je magnetno polje zelo močno. Nabiti delci, ki se gibljejo vzdolž silnic , se pospešijo skoraj do svetlobne hitrosti in močno sevajo na obsežnem A stronomija I intervalu valovnih dolžin , od radijskih valov do žarkov gama . Če bi prišli dovolj blizu pulzarja , bi mord a vide li ob nj egovih polih močno svet likajočo se kapo. Hubblov vesoljski t eleskop j e videl nevtronsko zvezdo V sest avku smo večkrat ome njali izraza pulzar in nevt ronska zvezda, en- krat enega, drugič drugega. Čas je, da povzamem o nj uno povezavo. Nev- t ronskih zvezd je v naši Galaksiji najbrž nekaj sto mil ijonov. Večinoma j ih ne vid imo, ker so pretemne. Tist e, ki jih vidimo (ki smo jih vid eli doslej!) , vidimo za rad i njihovega pulziranja. Torej so pulzarj i (danes je znanih kakih 500) podmnožica nevtronskih zvezd. Vsak pulzar je nevtron- ska zvezda, ni pa vsaka nevt ronska zvezda pulzar. Dejst vu , da pulzarji pulziraj o - svetij o na poseb en način , se moramo za hvalit i, da jih lahko opazujemo že trideset let . Nepulzirajoče nevtronske zvezde ne moremo vid eti . (No, v resni ci obst aj a še ena podvrsta nevtronskih zvezd , za ka- t ere ni nujno , da pulziraj o, a jih vseeno vidimo. Te so članice dvojnih siste mov, pri čemer je druga zvezda velika in masivna. Snov z nje od te ka na nevtronsko zvezdo in se dovolj blizu nevtronske zvezde začne svet it i. To svete nje op azuj em o v rentgen skih žarkih . Vendar je t akih nevtronskih zvezd opaže nih precej malo.) Kot že pri t oliko drugih primer ih v zadnjih let ih pa je stvari spe t obrnil na glavo Hubblov vesoljski teleskop. 24. sep- tembra 1997 so z Inšti tut a Hu bblovega veso ljskega t eleskopa sporočili še eno veliko novico: Hu bblov vesoljski t eleskop videl nevtronsko zvezdo! Zakaj je bilo doslej nemogoče videti nevtronsko zvezdo? Večino zvezd vidimo zato, ker sevajo svetlobo. Njihovo sevanje opišemo kot sevanje črnega te lesa . Če pozna mo njeno površin sko tem perat uro in velikost površine, vemo , koliko energije zvezda odda v časovni enoti. Sliko zvezde, ki jo naredi optična naprava (leča v očesu; zrcalo teleskopa ), 'vidimo' , če je v zbranih elektromagnetnih valovih dovolj energije, da povzroči ust re- zno reakcijo det ek torja (vidnih čutnic v očesu ; fotografske plošče , kamere CCD) . P ri (optičn ih ) teleskop ih je to odvisno v grobem od velikosti zrcala in vrste d etektorj a . Obo j e s k u paj j e upo š t e vano v t i. m ejni m a g n itudi. Zvezdo z mejno magni tudo rav no še lahko vid imo . Povejmo, da je ma- gnit uda mera za navid ezni sij zvezde. Pri magni tudah si zapomnimo , da večj e število pomeni šibkejš i objekt in manjše svetl ejšega . Naj svetl ejši objekti imajo negativno magni tudo (npr . Sonc e - 26.5 , zvezda Sirij - 1.5). Ocenili so , da naj bi imela supe rn ova leta 1054 ob mak simumu magnitudo okrog - 5. S prostim očesom povprečno vidimo zvezde do magni tude 6.5. Z izb ranim t eleskop om in det ektorjem vidimo ust rezno šibkejše zvezde . 1 Astronomija - Naloge Vrednost teoretične mejn e magnitude pokvarijo atmosfers ke mo tnje in ra- zni viri umetnega osvet ljevanja, zaradi česar ima tudi ozadj e (nočno nebo) neko svetlost. Zato pri op azovanj ih z zeme ljskega površja nikakor ne mo- remo prekoračiti določene mejne magnitude. Zdaj pa ocenimo še red velikosti magni tude nevtronske zvezde, ki bi sevala , kot običajno sevajo zvezde . Povedali smo že, da je p olm er nev- t ronske zvezde kakih 10 kilom etrov. S pomočjo satelitov , ki op azuj ejo v rentgenski sve tl obi, so izmerili , da je površinska temperatura nevtronskih zvezd okrog milij on a stopinj. Uporabimo Št efanov zakon, ki opi suj e se- vanje črnega telesa . Izsev, povezan s površinsko temperaturo , pretvorimo pri znani oddaljenosti zvezde v magnitudo in pridemo do vr ednosti , precej preko magnitude 20. Tako šibke objekte s t eleskopi z zem eljske površine zelo težko opaz imo , še t ežje izmerimo njihov sij . Lahko pa jih opazi in 'dobro pogleda' Hubblov veso ljs ki t eleskop, ki je dvignj en nad atmosfero. In tako je vesoljski t eleskop pred nekaj meseci zaz nal nevtronsko zvezdo z magnit udo 25. Na podlagi t ega podatka so astron omi prvič lahko neposred no izm erili velikost nevtronske zvezde. Njen polm er je 14 kilome- t rov . Razen tega, da je Hubblov vesolj ski t eleskop našel prvo nevtronsko zvezdo , ki ni pulzar in ni v dvojnem sistemu, je ta dosežek odprl t udi pop oln om a nove mož nosti za dop oln jevanj e teorije nevtronskih zvezd .f Zanke in uganke o meglici Rakovici in pulzarju v nj ej še zdaleč niso i zčrpane in v naših dveh zgo dbah smo se jih le dotaknili . Ne astrofizikom ne teleskopom dela na področju Ml še zlepa ne bo zmanjkalo. Mirjam Galičič NEKOLIKO DRUGAČNIKONSTRUKCIJSKI NALOGI 1. V ravnini so podane t ri točke A , O in J. Nariši trikotnik z ogliščem A, središčem očrtane krožni ce O in središčem včrtane kr ožni ce J. 2. Nariši t rikotnik, če so pod ani: oglišče A , središče očrtane kr ožni ce O in višinska točka V . Marija Vence lj 2 Podrobnj eši t ekst in sliko si lahko og ledate na internet u , nasl ov je http ://oposite.stsci .edu/pubinfo/pr/97/32 .html Fizika I FIZIKA, MATEMATIKA IN MURPHYJEV ZAKON Kapetan Edward Murphy je let a 1949 sode loval pri poskusih ameriškega voj nega let alstva , pri kater ih so raziskovali vp liv nenadnega zav iranja na let ak e. P rostovoljci so sedli na nekakšne sani, ki so ji h pognale raket e in ki so jih potem na hitro zaustavili. Odziv na po jemek ob zaustavljanju so merili s senzo rj i na delih te lesa. Žice s priključki za pisalnike so spe ljali v čelado , za katero je načrt naredil kapetan Murphy. Nekega dne, ko se je zde lo, da so izvedli niz poskusov brez napak , pisalne naprave niso nič za pisale. Presen etljivi izid je kapetan Murphy poj asnil s te m, da so bile žice v čeladi napačno zvezane . Tedaj je izjavil : "Če obstaja več možnosti , da nekaj naredimo , in ena od njih pripelje do neželen ega izida , jo bo nekdo izbral. " Na-tiskovni konferen ci so izjavo ome nili kot dob ro izhodišče za razprave o varnosti . P ozneje so ji dali bolj meglen o obliko: "Če kaj lahko gre narobe, bo šlo nar obe." Ta izjava naj bi veljala t udi v vsakdanj em življenju . Iz nje je nast alo veliko izpeljank, tudi šalj ivih . Ali bi lahko nekatere izm ed njih imele oporo v zakon ih narave ali matem atike in tako ne bi bile zgolj razpoloženj ske oziro ma posledi ca dejstva , da se neprijetni dogodki bo lj vtisn ejo v spo min kot drugi? Vsaj za tri oblike Murphyjevega zakona je odgovor na vprašanje pri trdilen. Opečeni kruh. Že v pr ejšnjem stoletju je pesnik potožil, "da opečeni kruh vse lej pade na stran z maslom" . Vze mimo namesto kruha poljubno togo te lo v obliki ploske pravokotne prizme, na primer ploščo ali knjigo. Če ni pri roki nič drugega , je do bra t udi številka Preseka . Ploščo položimo na vodoravno mizo, tako da je ena izmed stranic osnov ne ploskve vzporedna z robom mize. Ploščo počasi potiskamo v sme ri druge stranice . Ko težišče plošče pogleda dovolj čez rob mize, se plošča začne vrteti okoli roba mize (slika 1) . P otem plošča zdrsne in drsi po robu mize , ki deluje nanj o v nasprotni sme ri gibanja s silo trenja. Naposled plošča zgub i stik z mizo in se odtlej enakome rno vrti okoli te ž i š č ne osi, ko se težišče giblje po par aboli. T , , / rng ca s r.p ,, rng Slika 1. Plošča na mi zi p red gibanjem in med njim. I Fizika Iz dokaj zapletenih računov izhaja , da plošča pade na vrhnjo stran , če leži rob mize na int ervalu od nekaj manj kot 2l do nekaj več kot 30l nad t lemi (slika 2). (l je st ranica osnovne ploskve, pr avokotna na rob mize.) Pri višini mize 70 cm in stranici plošče 10 cm je rob miz e 7l nad tl emi. Računali smo z izmerj eni ma podatkoma za opečeni kruh: s koeficien tom t renja k = 0,25 in z začetno ročico 0,0075l. S t renje m so povezane te žave , posebno še pri drsenju po robu mize. Kruh lahko pade z mize, ko stranica ni pravokotna na rob mize. Poleg tega ima lahko tudi začetno hitrost proti robu mize, čeprav t o ne vpliva bist veno na izid , dokler hitrost znatno ne preseže 1 mi s. Svoj e prispeva t udi zračni up or , ki ga nismo up ošt evali. Zato je rezul t at zgo lj oce na. To da ocenj eni inter val višin je tako velik, da lahko s precejšnjo gotovostjo napovem o, da bo opečeni kruh pri običajnih padcih z navadnih miz zar adi zakonov gib anja padel na namazano stran. o 2,33 (1,75) 5 ,3 1 11 ,7 8 ,48 (33 ,6) L -----J _ (12,7)1 _ Slika 2. G ibanje plošče, potem ko je zg ubila stik z mi zo . Račun velja za ko eficient trenja k = 0 ,25 in začetno ročico ro = 0 ,0075l , ki so ju d al a mer- jenja za opečeni kr uh . Razdalje m e- rim o v enotah l, čas p a v enot a h (l/g)1 /2 . V časovnem int ervalu od O do 2,33 se plošča enako me rno po- sp ešeno vrti oko li roba m ize , v časov­ nem intervalu od 2,33 do 4 ,37 drsi (glej sliko 3) , potem pa pada težišče po paraboli in plošča se ena komerno vrti oko li težiščne os i. G lob ina t ež iš- ča je nav ed ena v oklepaj ih na levi , čas pa na des n i. Za naš primer velja: X2 = 0,22, Z2 = - 0,44, X 2 = 0,13 , 2:2 = -0,92, 'P2 = 1,11 , ep2 = 0,50. Fizika I Na ploščo, nagnjeno proti vodoravnici za kot ep, deluj et a Zemlja s težo mg navpično navzdol v težišču sredi plošče in miza s silo v točki , v kateri se je dotika. Silo mize razst avimo na komponento v smeri plošče F; in na komponento F t v sme ri pravokotno na ploščo. Tud i pospešek težišča razstavimo na ust rezni komponenti at in a r ' Izrek o gibanju težišča da mg cos ip - Ft = mat, m g sin sp - Fr = mar ' Uporabimo še izrek o vrtilni količini , ki velj a za težiščno os , četudi se ta pospešeno giblje: J ,p = rFt · J = /2 m[2 je vztrajnos t ni moment plošče okoli težiščne osi. Najprej se plošča vr t i okoli roba mize kot nepremične osi pri razdalji ro od težišča, ne da bi drsela po mizi. Ted aj ne po trebujemo prvih dve h enačb , iz tre- tj e pa izhaja, da je vrte nje enakome rno pospešeno s kotnim pospeškom rog/ [2 , če je ro začetna ročica in za nemarimo r5 v primeri z /2 [2. Plošča začne drseti, ko kot preseže 1, potem v produktu n i zamenjamo s faktorjema a in b. Vrednost produkta se ne spremeni, vsota faktorjev pa se kvečjemu zmanjša, saj za a, b ~ 2 velja ab - a - b + 1 = (a - 1) (b - 1) ~ 1 oziroma a + b::::: ab. Pri tem enakost velja le za a = b = 2. Najmanjšo vso to faktorjev torej dosežemo, če so vsi faktorji praštevi la . Za števi lo 1998 je to razcep 1998 = 2 . 3 . 3 . 3 . 37 z vsoto 2 + 3 + 3 + 3 + 37 = 48 . Zgornja neenakost nam tudi pove, da največjo vsoto faktorj ev do- bimo, če vzamemo en sam faktor. Največja vsota je torej 1998, dobimo pa jo pri trivialnem razcepu 1998 = 1998. Martin Juvan Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "PODROČJAMATEMATIKE" AVTOR KAPAPRI BRAZIlSKA PREBlVAU 2 velja Fn = Fn - I + Fn - 2 . Fibonaccijeva št evila so torej števila, ki so definiran a takole: Prvi dve Fibonaccijevi števili st a enaki 1: FI = 1 in F2 = 1. Za vse n > 2 je n-to Fibonaccijevo število vsota prejšnjih dve h: Fn = = Fn - I + Fn - 2 · Matematika P ravimo , da so F ibonaccijeva števila podana z rekurzivno formulo. P rvih nekaj Fibon accijevih šte vil je: 1,1 , 2,3 , 5, 8,13,21 , 34, 55, 89,1 44,233,377, 610, 987, 1597, . .. Vidimo to rej , da imamo v 12. mesecu 144 parov za jcev, po 12. mesecu pa jih je že 233. Skratka , množijo se kot za jc i. Kje še najdemo Fibonaccijeva števila Seštevamo z enicami in dvojkami Za po lj ub no naravno šte vilo n se vprašaj mo , na koliko različnih načinov ga lahko zapišemo kot vsoto samih enic in dvojk. Na primer , število 5 lahko za pišemo na naslednjih 8 načinov: 5= 1+ 1 + 1 + 1 + 1 5 = 1 + 1+ 1 + 2 5 = 1 + 1+ 2 + 1 5= 1 + 2 + 1+ 1 5=2+1 + 1+ 1 5= 1 +2+ 2 5 =2+1+2 5 =2+2+ 1 Označimo šte vilo zapisov števila n z an- Gornji primer t orej pravi a5 = 8. Bralec naj sedaj posku si zapisati vse načine za števi lo 6, mi pa zapišimo vse načine za št evila do 5: 1 = 1 (al = 1), 2 = 1 + 1 = 2 (a2 = 2) , 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1 (a3 = 3), 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2 (a4 = 5) Št evilo načinov po vrsti je to rej 1, 2, 3, 5, 8, 13; slednje naj bi bralec preizkusil sam. To pa je, z izjemo manjkajočega pr vega Fibon accijevega števila FI , prav prvih nekaj Fibonaccijevih števil. Dokažimo, da to velja t ud i v splošne m . 234 Matem atika I Poglejmo si vse zapise števila n z enicami in dvo jkami. Razdelimo za pise v dve skupini: na t iste zapise, ki se začnejo z 1, in na t iste, ki se začnejo z 2. Zapisov, ki se začnejo z 1, je pr av toliko, kot je zapisov števila n -1 , kar sprevid imo z odstranit vijo začetnih enic. In dalj e, zapisov , ki se začnejo z 2, je prav toliko, kot za pisov šte vila n - 2. Torej imamo zvezo an = an-l + an-2 . Ker je al = 1 in a2 = 2, lahko zaklj učimo , daje šte vilo zapisov števila n z enicami in dvojkami enako Fn+l , na kratko an = Fn+l . Hodimo po stopnicah Stopnišče je sestavlje no iz n stopnic. Na ko- liko različnih načinov se lahko povzpnem o do vrha, če na vsakem koraku prestopi mo eno ali dve stopnici? Naj bn označuj e iskano število. Očitno velja bl = 1 in b2 = 2. Če smo na prvem koraku prestopili eno stopnico, imamo bn - l načinov do prihoda na vrh , če pa smo na prvem kor aku pr estopili dve stopnici , imamo do konca bn - 2 možnosti. Torej , bn = = bn - l + bn - 2 in zop et lahko zaklj učimo, da je bn = Fn+l . Dod ajmo k temu prime ru, da ga nam pravzaprav ni bilo pot rebno reševati. Do- volj bi bilo up orabiti en ega najljubših t r ikov matem at ikov: problem preved em o na že znani, rešeni primer. Vsak naj sam premi sli , da je probl em s stopnica mi pravzaprav samo preoblečen problem z vso t ami iz enic in dvojk. Zlagamo kovance Imamo n enakih kovancev. Zanima nas, na koliko različnih načinov lahko kovance zložimo drugega ob drugega v eno ali dve vrst i. Pri tem mora veljati, da sta pod kovancem v zgorn j i vrsti vedno dva kovanca v spo dnji vrsti . Na sliki 1 imamo prikazanih vseh 8 načinov , kako lahko zložimo 6 kova ncev . Slika 1. Šest kova ncev v dve vrsti Mat ematika S Cn označimo število načinov , na katere lahko zložimo n kovancev v dv e vrst i. Slika 1 nam torej pove, da je C6 = 8. Vsak bo sam br ez t ežav preveril , da je Cl = 1, C2 = 1, C3 = 2, C4 = 3 in C5 = 5. Začetek zapo redja števil Cn se torej ujem a s F ibonaccijevimi števili Fn . V resnici za vsak n velja Cn = Fn . Tega tu ne bomo dokazali , ome nimo pa , da je t a last nost F ibo naccijevih števil v tesni zvezi s slav nim Pascalovim trikotnikom. Štejemo debele množice Končno množico nar avnih šte vil imenujemo deb ela, če je vsak nj en ele- ment vsaj tako veliko šte vilo, kot ima množica eleme nto v. Na primer , množici {4, 7,12 , 99} in {3, 4, 5} sta deb eli , medtem ko množici {1,2} in {2, 99, lOO} nista deb eli. Dogovorimo se tudi , da prazno množico obrav- navamo kot deb elo množico. Z dn označimo število deb elih podmnožic množice {l , 2, . . . , n} . Na primer, d4 = 8, sa j ima množica {l , 2, 3, 4} naslednje deb ele podmnožice: (/) , {l} , {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4} in {3, 4} . Verj etno ne bo nihče poseb ej presenečen , če kar povem , da je dl = 2, d2 = 3, d3 = 5, d4 = 8 (kot že vem o) in d5 = 13. Kot vse kaže, velja d.; = Fn +2 . Kako pa bi t o dokazali ? Morda bo najlažje tako, da pr evedemo problem deb elih množic na zlaganje kovancev v dve vrst i. Id ejo , kako to naredi mo , razložim o kar na primeru za d4 . Vzemimo šest kovancev (4 + 2, t j. n + 2), jih postavimo v vrsto in v zgornjo vrsto od drugega mesta dalj e zapišimo št evila od 1 do 4 (glej sliko 2) . Postavitev vseh šest ih kovancev v vr sto ustreza pr azni množici. Nato prečrtajmo prvi kovan ec , ki ga moramo zato po st aviti v gornj o vrsto na označena mesta . Če to naredimo na vse možn e načine , dobimo množice {i} , {2} , {3} in {4}. Nazadnje prečrtajmo prva dva kovanca . Na vse mo žne načine ju post avimo v gornjo vrsto, kar nam da še množice {2 , 3}, {2, 4} in {3 , 4}. Torej smo ugo tovili , da je d4 = C6 = F6 . Razmislek , ki smo ga naredili za ta primer , lahko br ez t ežav pon ovimo za poljuben n , t orej res velja d.; = Fn +2 • Slika 2. Z debel ih množic do zla ganja kovancev Matematika I Nekaj preprostih lastnosti Fibonaccijevih števil Sešt ejmo nekaj prvih F ibo nacc ijevih števil: 1+1=2 1 +1+2 = 4 1 +1+2 + 3=7 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 Če doblj ene vsote dobro pogledamo, opazimo, da do bivamo za ena zmanj- šana Fi bonaccijeva števila . Dokažim o, da to velja za vse n. Upoštevajmo, da je Fn = Fn - 1 + Fn - 2 , oziroma Fn - 2 = Fn - Fn - 1 . Zato im am o: F1 = F3 - F2 F2 = F4 - F3 F3 = Fs - F4 Fn - 1 = Fn +1 - P; Fn = Fn +2 - Fn +1 Sedaj sešte jemo leve st rani in desne strani gornjih enakost i. Na levi do- bimo F 1 + F2 + .. . + Fn , torej izraz, ki nas zanima. Na desni st rani pa se skoraj vsi členi par om a od št ejejo, ost ane nam le Fn - 2 - F2 . Ker je F2 = 1, smo tako pokazali : Na podob en način , kot smo do kazali za dnjo enakost, lahko dokažem o t udi naslednje lastnosti F ibonaccijevih šte vil. Bralca vabim , da j ih poskuša pokazati sam. Npr.: 1 + 2 + 5 + 13 + 34 + 89 = 144. I Mat ematika Npr.: 1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 88 = 89 - 1. FI - F2 + F3 - F4 + ...+ F2n- 1 - F2n = -F2n- 1 + 1 . Npr.: 1 - 1 + 2 - 3 + 5 - 8 + 13 - 21 + 34 - 55 = -33 = - 34 + 1. Sedaj pa seštejmo še kvadra t e prvih n F ibonaccijevih števil. Upošte- vajmo, da velja in zapišimo: Ff = 1 = FIF2 Fi = F2F3 - F2FI Fi = F3F4 - F3F2 F~_I = Fn-IFn - Fn- IFn- 2 F~ = FnFn+1 - FnFn- 1 Seštejemo leve in desn e st rani pa dobimo Npr. : 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 ·21. Podobnih ident it et s Fibonaccijevimi števili je še zelo veliko , vendar naj omenj ene za prvo srečanje s temi števili zadoščajo . Članek smo začeli s problemom o razmnoževanju zajcev . Resnici na ljubo povejmo, da Fibonaccij eva števila nimajo kakega po sebnega pomena pri vzr eji za jcev, med drugim tudi zato ne , ker problem zane m arja umr- ljivost . Po drugi strani pa so Fibonaccijeva števila izjemno pomembna v matematiki, saj obstaj a posebna veja matematike, ki se ukvarja samo s problemi, povezanim i s t emi števili. Sandi Klavžar Zan imivosti - Razvedrilo I JUNIPER GREEN IGRA Z DELITELJI IN VEČKRATNIKI Oglejmo si igro s števili, ki si jo je izmi slil Richard Porteous, da bi po- magal ot rokom pri učenju množenja in deljenj a št evil. Poimenoval jo je J uniper Green, po šoli, na kateri poučuj e. Igra je enost avna, pa kljub t em u zabavna, poučna in izzivalna. Za igranje Juniper Green potrebujete sto kartic s števi lkami od 1 do 100. Položite jih po vr sti na mizo t ako , da so vse obrnje ne nav zgor in razporejene v deset vr st po deset karti c. Takšna razpored itev omogoča dober pregled nad karticami. Pravila igre so naslednja: 1. Dva igralca drug za drugim pobirata kartice z mize. Kartice , ki jo vzamemo, ne sme mo več up orabiti . 2. Vsako število, ki ga vzamemo, mora biti ali delitelj ali večkratnik števila , ki ga je vze l nasprotni igralec. 3. Igralec , ki ne more vzeti nobene kart ice več , izgubi . Da je igra smiselna, moramo do dati še eno pravilo. P roblem namreč nastopi, če prvi igralec v prvi potezi vzame praštevilo , ki je večje od 50. Recimo, da Anja igra proti Marku. Naj Anja začne igro in vzame prašt evi lo 97. Marko lahko vzame sa mo število 1. Zdaj Anja vzame drugo veliko praštevilo 89 in Marko izgubi. Da preprečimo t akšen potek igre, dodamo še naslednje pravilo: 4. Prvo število, ki ga vzamemo, mora biti sodo. Četudi igro začnemo s sodim šte vilom , velika prašt evi la še vedno pogosto igraj o odločilno vlogo. Če eden od igralcev vzame št evi lo 1, lahko nasprotnik igro takoj dobi, tako da izb ere veliko praštevi lo, recimo 97 (97 je zagotovo na razpolago, saj ga lahko vzamemo le, če nasprotni igralec pred tem vzame števi lo 1). Iskanje strategije za igro s sto števili prepustimo bralcem, natančneje pa si oglejmo preprostejšo igro s samo št iridesetimi števili (otroci , ki se šele učij o množiti in de liti , lahko up orabij o tudi samo dvajset kartic) . Nekatere otvorit ven e poteze hit ro pripeljejo do izgu blj ene igre, tako kot v naslednjem primeru: poteza Anja Marko 1 38 2 19 3 1 4 37 5 izgubi Zanimivosti - Razvedrilo - Rešitve nalog 239 Podobno velja za otvoritveno potezo s številom 34. Tudi nekat erim drugim številom se je na začetku igre bo lje izogn iti. Recimo, da Anja na začetku vzame šte vilo 5. Marko nato vzame število 25. Anja mora vzeti šte vilo 1 in izgu bi . Nekatere otvoritvene poteze pa nasprotno vedno pr ipeljejo do zmage. Denimo, da Anj a začne s šte vilom 22. Marko lahko nato vzame šte vili 11 ali 2. Pot ek igre za oba primera kaže nas led nj a tabela: 1. primer 2. primer pot eza Anja Marko A nja Marko 1 22 2 11 2 3 33 26 4 1 13 5 21 39 6 7 3 7 35 21 8 5 7 9 25 35 10 izgubi 5 11 25 12 izgu bi Druga možno st je, da začne Anja s št evilom 26. V tem primeru lahko Marko vzame števili 13 ali 2, kar ga spe t pr ej ali slej pri pelje do izgu bljene igre. Za zabavo lahko poiščete še druge zmagovalne st rategije . Če je s št iride set imi števili preveč enostavno, razšir ite igro na sto karti c, lahko pa t udi na tisoč . Morda pa bo kdo odkri l celo splošno strategijo za n kar ti c? Nataša Vrbančič Kopač Lit eratura: 1. Stewart: Ju niper Green , Scienti fic Ame rican, marec 1997. ŠTEVILSKA KRIŽANKA - R ešitev s st r . 167 Vodoravno: 1. 12, 3. 3, 4 . 97, 6 . 108, 8. 690, 9. 21, 10. 49, 11. 7, 12. 4, 13. 15, 15. 13, 17. 144, 18. 242 , 20. 20, 21. 5, 22. 37. Marij a Ven celj Rešitve nalog I ŠESTKOTNIŠKE TROMINE - Rešitev s str. 156 Vzorec "potopimo" v ravnino , razdeljeno na šestkotnike, ki jih oštevilčimo takole: Tedaj je skupna vsota števil na poljih, ki jih pokrij e t romina t ipa a enaka O. Prav tako je enaka nič skup na vsota števil na po ljih, ki jih pokrije tromina t ipa b. Ker skupna vsot a šte vil na poljih našega šestkotniškega vzorca ni enaka nič , sledi, da ga ni mogoče sestavit i le s trominami t ipov ain b . Da pa je mogoče naš vzorec sestavit i iz tromin t ipa c, je razvidno iz načina, kako je ta vzorec pobarvano Jurij Kovič RAZTRGANI LEPAK - Rešitev s str. 171 Ne. Po vsakem trganju se namreč število kosov poveča za sod o število. (Zakaj?) Ker imamo na začetku en kos, je na koncu trganja skupno število kosov liho. Kosov torej ne mo re bit i 1998. Dragoljub M. Milo ševič GRAJSKI LABIRINT - Rešitev s str. 192 (1,3) , (1,5), (4,5), (4 ,6), (4 ,9), (7,9 ), (8,9) , (8, CILJ). Par številk v oklepaju označuje trenutni položaj obeh svinčnikov v labirintu . Odebeljen o je označena številka sob e, ki jo mor aš izbrati pri naslednj i potezi. Iztok Arčon I Tekmo vanja 33. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE V soboto, 17. maj a 1997 , se je 218 sedmošolcev in 326 osmošolcev, ki so se na občinskem t ekmovanju najbolje odrezali, zbralo v Ljubljani, Mari- boru, Celju , Kopru, Novi Gorici in Novem mestu na državnem tekmovanj u slovenskih osnovnošolcev v znanju matem at ike. Zlato Vegovo prizn anj e je osvoj ilo 74 sedmošolcev in 116 osmošolcev, pr ejeli pa so ga sedmošolci , ki so osvojili vsaj 15 od 25 možn ih točk , in osmošolci, ki so osvoj ili najmanj 19 od 25 možnih točk. Tekmovalci so reševali naslednje naloge: 7. razred 1. Pokaži, da je razlika potenc 31997 in 31993 večkratnik šte vila 16. 2. V sušilnico za sadje so pripeljali 100 kg svežih sliv . P o oceni st ro- kovnj akov je bila st opnja vlažnost i te h sliv 90 odstot na. Slive so sušili nekaj dni , nato so jih st ehtali. Ugotovili so , da tehtajo 50 kg. S suše njem so nadalj evali t oliko časa, da so osušene slive te htale petkrat manj kot sveže. a) Kolik šn a je bila stopnj a vlažnosti sliv, ko so tehtale 50 kg? b) Kolikšn a je bila stopnja vlažnosti osušenih sliv na kon cu suše nja? c) Koliko kilogramov suhe snovi so vsebovale slive na kon cu suše nja? 3. Kateri celi števili n ustrezata neenačbi ~ < l~n < ~~? 4. Obseg in ploščino osenčenega dela "zvezd e" izrazi z a. 5. V 120 cm do lg, pol metra širok in 8 drn globok akvarij, ki ima obliko kvadra , dolijem o 6 litrov vod e. Koliko več st en e je mokre? Tekmovanja I 8. razred 1. _ . • • _ . . 3 x 2 + 2x - 9 1 Dolo či b tako, da bost a imeli enač bi b~I = Li n 4 3 4 ist o množico reši t ev. c.• .. 2. Občina je namenil a 105 000 tolarjev za uredit ev pet ih parkov. Stroški ured it ve prvih treh parkov so bili v razm erju 3 : 4 : 5, četrtega in petega pa 2 : 3. Ureditev zad nj ih dveh parkov je stala ~ zneska, ki so ga por abili za uredi tev prv ih t reh. Koliko je stala ur edit ev posameznega parka? 3. V koordinatnem sistemu upodob i množico vse h točk (x, y) , kater ih koordinati ustrezat a pogoju 7x +y = 7x +2 • 72x +I . 4 . Dan je kvadrat ABCD z 8 cm dol go stranico. Točka E je središče (razpolovišče) st ranice B C. Na stranici AB je točka F , ki je enako oddalje na od točke E in oglišča D. Izračunaj razdaljo točke F od oglišča A. 5. Iz 628 dm'' stalj en e kovine so izdelali 157 km žice kvadratnega pr e- reza . Žico so navili veni plasti na valjaste tulj ave premera 1 m in dolžine 2,5 m , tako da so ovoj i drug ob drugem in se ne prekrivajo . Koliko tu ljav so navili? Aleksander Potočnik 16 . DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE 7. razred 1. Tri enake ut eži, od katerih vsaka tehta 10 N , povežemo z vrv ico in obesimo preko dveh škripcev, kot kaže slika. Na voze l, kjer je pri- peta srednja utež, deluj em o še z do dat no silo F navpično navzgor. Poševno narisani deli vrvice oklepajo z vod oravnico kot 30°, raz- dalj a AC je 1,0 m , razd alj a med škripcema je 1,73 m . a) Nariši vse sile, ki deluj ejo na vozel, ko t a mi ruj e v točki A, v točki B oziro ma v točki C. Za vsako točko nariši posebno sliko. Tekmovanja b) Kolik šn a je sila F , ko je vozel v točki A , točki B ozir oma v točki C? Pom agaj si z načrtovanjem. c) Izračunaj še skupno sprem embo poten cialne energije vse h t reh uteži pri premiku vozla iz točke A v točko B in pri premiku iz točke A v točko C. 2. 3. Na mizi so tri kocke. Prva , z robom 0,72 dm,je iz aluminija (PAl = 2,7kg/dm3 ) ,~ L druga , z robom 0,505 drn, iz železa (PFe = := 7,8 kg/dm3 ) in t retja, ; rob om 1,1 drn , Al Fe les IZ lesa (Ples = 0,75 kg/drn ). .....__ a) Izračunaj mase kock. b) Kocke post avimo drugo na drugo v obliki st olpa t ako, da bo opravljeno delo n ajm a njše . V kak šn em vrst nem redu so koc- ke postavljen e? Nariši skico. Oznake kock naj bodo Al, Fe in les . c) Delo tudi i zračunaj. Mokro brisačo sm o vze li iz pr alnega stroja, jo st ehtali in dobili maso 350 g. Nato sm o jo ob esili na balkon, da se je posušila , jo po- novno ste htali, masa suhe brisače je bila 200 g. Temperatura brisače pred suše nje m je bila okrog 20°C in t udi te mpe ratura zraka jc bi la približn o enaka . Izračunaj , koliko toplot e je pr ejela brisača med suše njem. Pri te m predpost avimo, da se izparilna toplota vode pri 20°C ne razlikuje mnogo od izparilne toplote pr i temperaturi vrelišča. Manjkajoče pod atk e poišči v učbeniku. F Eksperim e n t alni n alog i 4. Na silome ru visi manjša čaša, kot kaže slika . Z dv igovanjem mizice, na kateri je večja čaša z vod o, se bo sila , ki jo kaže silom er , spreminjala . Razišči odv isnost te sile od višin e mizice x in na pri loženi milimetrsk i papir nariši diagr am F = F(x) . Meri v obe smer i. Najprej mizico dviguj , do- kler voda ne steče v manjšo čašo , nato pa mi- zico še spuščaj do začetne višine . Med spušča- njem je manjša čaša po lna. Iz diagrama lahko odčitaš t ežo vode, ki je napolnila manjšo čašo . Nadiagrarnu to označi in t ežo te vod e kar na _ ..IIIi••IIIL..l.X diagram tudi zapiši. Tekmovanja I B voda Želimo ugotoviti, kako se spreminja prostor- nina zraka v zaprti cev i v odvisnosti od tla- ka. Zato naredimo poskus: V 3 m dolgo pla- stično prozorno cev , z notranjim presekom 0,50 cm 2 , nalijemo toliko vode, da je v kraku A višina zraka približno 50 cm, nato pa ta krak neprodušno zapremo z zamaškom, kot kaže slika . Krak B dvigujemo in me rimo prostornino zraka v kraku A. a) Zapiši formulo, po kateri izračunamo tlak zraka v kraku A, ko je gla dina vode v kraku B za višino h višja od gladine v kraku A. b) Sestavi tabelo s tremi kolonami. V prvi naj bo prostornina zraka v kraku A, v drugi t lak t ega zraka in v tretji zmnožek prostornine in tlaka. Zato dvigaj krak B in pri petih različnih višinskih razlikah med gladinama (30 cm, 60 cm , 90 cm, 120 cm, 150 cm) meri prostornino zraka v kraku A. c) Kakšno zakonitost lahko ugotoviš iz svoj ih merjenj? Zaradi ne- natančnosti pr i me rjenjih so možna manjša odstopanja. Opozorilo : Kraka B ne smeš spustit i na t la, ker ti lahko izteče voda. Pribor: plastična cev z vodo, stojalo, merilni trak 2 m . 5. l i mA uz (V) 8 . razred 1. Če zaporedno povežemo dve Ze- ner jevi diodi in izmerimo I = = I(Uz ), dobimo diagram, kot kaže slika . a) Nariši diagram R = R(Uz ) za takšno vezavo . b) Nato zaporedno k diodama dodamo upornik za 2,0 kO. Kar na isti diagram R = = R(Uz ) nariši krivuljo še za ta primer. Uz je napetost na obeh Zenerjevih diodah. 2. Dva vodnika iz železne žice, vsak je do lg 1,00 m , zvežemo zaporedno in za 1,00 sekunde priklopimo na napetost 2,5 V . Presek prvega vodnika je 1,00 rnrn" , drugega pa 0,25 mm' . V tej sekundi se debelejši vodnik segrej e za 0,70 K. Gostota železa je 7,8 g/cm3 , manjkajoče podatke pa poišči v učbeniku . Tekmo vanja a) Koliko električnega dela je veni sekundi prejel deb elejši in koliko t anjši vodnik? b) Za koliko se je v eni sekundi segrel t anjši vodnik? 3. Na vodo ravni tračnici smo post avili vagonček z mas o 100 g in ga z roko sunili v vodoravni smeri od leve prot i desn i. Na začetku in na koncu tračnic je bil a navpična pregrada, da vagonček ni mogel pasti s tračnic . Na vagončku je bil pritrjen ultrazvočni oddajnik. Računalniški merilni sistem je hkra t i meril hi trost in posp ešek va- gončka v odvi snosti od časa, računalnik pa je potem obe odvisnosti narisal na skupni diagr am (glej sliko). Hi t rost in posp ešek sta na- risana tako, da pozit ivna vrednost na di agramu pomeni pri gibanju vozička smer v des no , negati vna vred nost pa naspro tno sme r . 2. "2.01. 61. 20. 8 o' .. .-, -,, . 3 0.6 ~ '5 2.5 0. 4 0 .2 l.' - 0 . 0 - 0. 2 0. 5 -0.-+ - 0.6 -0.5 - 0. 8 o 2. 8 3.2 čas( s) a ) V največ dveh vrsticah OpISI, kaj se je dogaj alo z vagončkom potem, ko smo ga sunili! b ) Kat er a kri vulja (spodnja, zgo rnja) predst avlja hi t rost in katera pospešek? c) Približno nariši sile, ki so so delovale na vagonček v času 0,7 s do 1,2 s. d ) Kaj se je dogajalo z vagončkom v času 2,4 s do 2,8 s? e) Približno iz računaj , kolikšno pot je prep otoval vagonček v času 1,2 s do 2,4 s. f) Približno izračunaj , kolikšn a je bi la sila t re nja na vagonček . s) Približno i zračunaj , kolikšna je b ila največja s ila roke na va- gonček. Eksperimentalni nalogi 4. V "črni" ška t li s štir imi priključki , ki so označeni z 1, 2, 3, 4, in s st ika lom so vgrajeni štirje enaki uporniki . Enak upornik je priložen k vaji. Z me rjenjem z digit alnim ohmmetrom ugotovi, kako so uporniki 246 Tekmovanja I x.. in stikalo v škatli povezani. Nariši vezje, ki je v škatli! Ohmmeter po kaže upor med priključkoma. Majhna odstopanja, manjša kot 5 %, te naj ne motijo, ker so posled ica napak up ornikov in inst rumenta . Stikalo je vklopljeno, ko je t ipka pritisnjen a , sicer je stikalo izklo- plje no. Škatle ne smeš odpreti! Za bralce Preseka navaj amo mož ne meri tve: Rpriložen = 1,0 kn, R I 2 = 1,0 kn , R 24 = 1,0 kn, R 34 = 0,5 kn in R I 3 = 2,5 kn, vse pri izklopljenem stikalu . P ri vklopljenem stikalu je R I4 = o. 5. Naredil boš nekaj poskusov z nit nim niha- lom. Dolžina nih ala , to je razdalj a od osi vr t enj a do težišča uteži, je 40 cm , masa uteži pa 53 g. a) Izm eri nihajni čas nih ala pri ampli- tudah 15°, 45° in 75° te r nariši di- agram: nih aj ni čas v odvisnost i od amplit ude . Nihajni čas je čas, v ka- t erem nihalo pride iz npr . skrajne de- sne lege nazaj v isto lego, amplit uda pa je največji odklon . Razmisli, kako b oš meril, saj je ročno merjenj e časov okrog ene sekunde zelo nenatančno . Pri vsakem kotu napravi vsaj dve me- ritvi. b) Zaradi nihanja im a nihalo do datno ene rgijo, ki se spreminja iz kinetične v poten cialno in obratno. Med enim nihajem se t a ene rgija skoraj nič ne sp remeni, v dalj šem času pa se zmanjšuje . Nihalo odkloni za kot 30° in izm eri , v približno kolikšn em času pade energija nihanja na polovico začetne vrednosti. Namig: Pri nihalu lahko precej bolj natančno kot višinske razlike izmerimo odmike od navpičnice (na sliki x). Zato na prilože no polo nariši del kro žnice, po kater i se giblje kroglica , in na sliki izm eri po- t rebna odmika od navpičnice. Nato s kazalnima palica ma nastavi izm erj ena odmika in izmeri zahtevani čas. Meriš lahko t ud i kako drugače , vendar moraš natančno op isati in ut em elji ti postopek merjenja. Ri sb o na poli moraš oddati. Pri risanju dela kr ožnice si pomagaj z ravnilom, ki ima dve luknjici v razdalji 40 cm . Pribor: nihalo , stoparica, 2 kazalni palici , ravnilo, geot rikot nik, svinčnik , milimetrski papir , pola papirja. Zlatko Bradač, Mirko Cvahte I Tekmovanja NALOGE Z DRŽAVNEGA TEKMOVANJA SREDNJEŠOLCEV IZ FIZIKE V ŠOLSKEM LETU 1996/97 Skupina A 1. Avtomob ili z dolžino 4,0 m enakomerno vozijo po ravni eno pasovni ces t i s hitrostjo 72 km/h. Prehi tevanje je na tej cesti prep ovedano , av tomobili pa vozijo v enakih konstantnih medseb ojnih razdaljah , večj ih od varnostne razd a lje . S postajališča se vklj učuje v promet avtobus s pospeškom 2,0 m / s2 . V kolikšnih najmanjših medseb oj nih razd a ljah lahko vozijo av tomobili, če se avt obus vklj uči v promet med dvema avt omobilom a, ki sta v enaki m ed seboj ni razd a lji kot vsi ostali , pri čemer vozit a v kolon i z nespremenjeno hit ro stj o . Dolžin a avtobusa je 15 m , nj egova končna hi trost pa tolikšna kot hi t rost avtom obilov, to je 72 km/h. Zaradi varnosti na cest i se vozila med seboj ne smejo približati na razdaljo , manjšo od 10 m. Prečni del poti avtob usa pri zavijanju s postajališča je zane marljivo majhen . škripecos prečka - - - - -- - - - - 2. Telovadna ponj ava je razteglj ivo p latno v ob lik i kvadra t a s stranico 3,0 m , ki je vpeto vzdo lž dveh st ran ic. Ponjava stoji na močnih , 50 cm visokih stojalih . Ko ni obremenjen a , je pla tno popolnoma nen apeto in ravno. P rožn ost ponjave izmer imo tako, da vzame mo 10 cm širo k in 3,0 m dolg t rak iz enakega pl atna in ga obremenimo v vzdolžni smer i. Ugotovimo, da je raz t ezek so raz meren s silo in da se t rak raztegne za 1,0 cm, ko ga obreme nim o s silo 23 N . Največ koliko te lovadcev s povprečno težo 700 N se lahko post avi po sre di ponjave v ravno vrsto , vzporedno s stranicam a, kjer je platno vpeto, d a se ponjava ravno še ne bo dotaknila tal? 3. Železn o kroglo s poime ro m 5,0 cm pritrd imo s 3,0 cm dol- go vrvico na prečko , kot kaže slika, in pot opi mo v vodo. Med kroglo in sten o posode ni t re nja. Prečka j e vrtljivo vp eta na nosilec v osi. Levi krak prečke j e dolg 1,0 cm , des ni pa 2,0 cm . Na krajišču desnega kraka je ob ešen a ut ež 1, z vodoravno vrvico pa je na Tekmovanja I to krajišče preko škripca privezana utež 2. Kolikšni sta teži obeh uteži, če je prečka v vodoravnem položaju in je sila v osi v navpični smeri. Specifična teža vode je 10 kN /m3 , železa pa 78 kN /m3 . Skupina B 1. Kaskader želi z motorjem preskočiti oviro (prikazano na sliki), ki je pritrjena na tla. Začetni del ovire je oblikovan v obliki odskočne rampe. Kaskader se z ugasnjenim motorjem približuje oviri s hitrostjo 72 km/h. Kolikšen mora biti kot ep, da bo ravno še preskočil oviro? Trenje in upor zraka zanemari. , , :

V .i-> i.> o O 10 15 20 Temperamra v stopinjah Celzija 25 30 Kilomolska m asa zr aka je 29 kg, razmerj e specifičnih toplot '" = = 7/ 5, specifična toplot a zraka pri konstantnem tlaku pa se izraža kot ep = "' /('" - 1) . R IM. (Vlaga v zraku zane mar- ljivo m alo sp remeni kilomolsko maso zraka.) Splošna plinska konstanta je 8300 J IK. 3. G lej nalogo 4 skupine C . Ciril Dom inko 38. MEDNARODNA MATEMATIČNAOLIMPIADA - Rešitvi izbranih nalog 1. (a) Naj bo n > 1 takšno celo število , za katero obstaj a srebrna m atrika. Za i = 1, 2, .. . , n poimenujmo unijo i- t e vrst ice in i-tega stolpca i-ti kri ž. Ker je n > 1, obstaj a število a E S , ki se ne poj av i na di agonali m atrike. Vs aka poj avitev števila a j e vsebovana v natanko dveh križih in v vsakem od t eh dveh kr ižev se pojavi nat anko enkrat . (Npr. število v i-ti vrst ici in j-t em st olpcu leži v i-tem in j-t em križu .) Ker m or a število a ležati v vs akem kri žu , lahko množico vseh kri žev (teh je n) por azd elimo v skupine po dva kri ža, ki ju povezuj e izvendiagonalna poj avitev števila a. Število n je t orej sodo, ka r pome ni, da za n = 1997 srebrna matrika ne obs taja. (b) Za n = 1 sre brna m atrika očitno obs taja. Pokažimo, da lahko s pomočj o sr eb rne m atrike razsežn osti n x n konstruiramo sr ebrno matriko Tekmo vanja I razsežnosti 2n x2n. Naj bo torej A = [aij ] ~j =l srebrna matrika razsežnosti n x n. Označimo A' = [A BJCA' kjer je lil { 2n ' če je i = j , Ci j = b. .~ sicer. 'J' Zlahka pokažemo, da je A' res srebrna matrika . Torej lahko za vsak k E lNo indukti vn o konstruiramo srebrno matriko razsežnost i 2k x 2k . Opomba. Dokazati je možno, da srebrne matrike obstajajo za vsa soda šte vila n . 2. Naj števili a , b E lN zadoščata enačbi ab2 = ba. Označimo z d = (a, b) njun največji skupni delit elj. Potem je a = du in b = dv , kjer sta si števili u in v t uj i. Ted aj je gornja enačba ekv ivalentna enačbi (1) Ločimo tri možnosti : • dv 2 = u. Iz enačbe (1) potem sledi u = v in zato u = v = 1, saj sta si števili u in v tuji . Torej je d = 1 in od tod a = b = 1. • dv 2 > u. Enačbo (1) pr eoblikujem o v Število u dv 2 t orej deli število VU. Ker sta si števili u in v t uj i, je u = 1. Gornja enačba postane (2) Če je d = 1, je t udi v = 1. Slednje zaradi predpost avke dv2 > u ni možno. Za d ~ 2 pa zaradi neenakosti ki jo z indukcijo zlahka preverimo, enačba (2) nima ustreznih rešit ev. Tekmovanja • dv 2 < u, Pot em je d < u in enačbo (1) lahko preoblikujemo v Podobno kot v prejšnj em primeru sklepamo, da je v = 1, in zato Ker je d < u , mora v ekspo nent ih veljati u - d > d. Naj bodo p pol jubno praš t evi lo, ki deli d, in a , {J E INo največj i celi števili, za kateri pO: Idin p f3 I u : Potem je (Jd = a( u - d) in od tod a < (J. Števi lo u je torej deljivo z d, zato lahko pišemo u = kd, k E IN. Gornjo enačbo potem preoblikujemo v k = dk - 2 . Ker je u. > 2d , mor a biti k :::: 3. Za k = 3 dobimo rešitev d = 3, u = 9 in od tod a = 27 in b = 3. Za k = 4 dobimo reš it ev d = 2, u. = 8 in od tod a = 16 in b = 2. Za k :::: 5 pa velja dk - 2 :::: 2k - 2 > k , zato drugih rešitev ni . Vse rešitve enačbe a b2 = ba so t or ej pari (1,1) , (16 ,2) in (27,3) . Matjaž Ž eljko 41. MATEMATIČNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE Poročilo s t ekmovanja smo objavili v prvi let ošnj i številki P reseka , sedaj objavljamo še naloge: Prvi letnik 1. Naj bo k naravno št evilo. Dokaži: (a ) Če je k = m +2mn +n , kjer sta m in nnaravni števili, je števi lo 2k + 1 sest av ljeno. (b) Če je število 2k + 1 sestavljeno, obstajata naravni števili m in n , da velja k = m + 2mn + n . 2. Naj bo a celo števi lo, p pa praštevilo, ki deli števi li 5 a - 1 in a - 10. Dokaži, da je t udi štev ilo a - 3 deljivo s p. 3. Naj bo lVIN poljubna t etiva krožnice s premerom AB, A' in B ' pa pravokotni pro jekciji točk A in B na nosilka t etive M N . Dokaži , da je IMA'I = IB'NI· Tekmovanja I 4. J anezek sestavlja mrežo m x n iz kotnih ele- I I I I I [ O mentov oblike L . Vsak kr ak je do lg eno enoto , element i se lahko stikajo samo v ogliščih mreže IH mm·· ·· · ~. (glej sliko) , kr aki pa se ne smejo prekr ivati. Za katera naravn a števila m in n mu bo mrežo uspelo sestaviti? n Drugi letnik 1. Naj za realna števi la a, b, c in dvelja Pokaži, da potem velja tudi 2. 3. 4. Vsako st ranico kvadrat a razdelimo na n enakih de- lov in delilno točko , ki je najbližja enemu od krajišč st ranice, povežemo z ustreznim ogliščem tako, kot vi- d imo na sliki . Kolikšen del prvotnega kvadrat a po- krij e osenčeni kvadrat? Naj bosta C in D raz lični točki na polkrožni ci s premerom AB . Pre- mici AC in BD naj se sekat a v točki E, premici AD in B C pa v točki F. Dokaži, da ležijo razpolovišča X , Y in Z dalj ic AB, CD in EF na isti premi ci. Izmed naravnih št evil od vključno 1 do vključno 1997 poljubno izb e- remo 1001 število . Dokaži, da med izb ranimi šte vili obstajata vsaj dve, ki se razlikuj et a za natančno 4. Tretji letnik 1. Dani st a taki naravni števili m in n , obe večj i ali enaki 2, da št evilo m +n - 1 deli m 2 +n 2 - 1. Dokaži, da število m +n - 1 ni praštevilo. 2. Določi vsa naravna šte vila n , za kater a obstaja polin om p st opnje n s celimi koeficien ti , ki v n različnih celoštevilskih točkah zavzame vrednost n , v točki O pa zavzame vrednost O. 3. Naj b o ABCD konveksni št ir ikot nik, v kat erem je