     
P 51 (2023/2024) 4 11
Fibonaccijevi pravokotniki
M R
Fibonaccijevo zaporedje sestavljajo Fibonacci-
jeva števila Fn, ki so določena z rekurzivno enačbo
Fn +2 = Fn +1 ` Fn (n ě 1) (1)
pri začetnih pogojih F1 = 1 in F2 = 1. Včasih raje
začnemo s F0 = 0 in F1 = 1 ter uporabimo (1) za
n ě 0. Indeksi n števil Fn kakor tudi sama števila
Fn so naravna števila. Fibonaccijevo zaporedje z
nekaj začetnimi členi zapišemo v obliki:
(Fn)
8
n =1 = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, . . . ).
Fibonaccijeva števila niso samo preprosto defini-
rana, ampak imajo številne zanimive lastnosti. V
prispevku si bomo ogledali samo eno.
Najprej vzemimo zaporedje kvadratov Fibonacci-
jevih števil
pF2nq8n“1 “ p1,1,4,9,25,64,169,441,1156,
3025,7921,20736,54289, . . .q, (2)
nato pa zaporedje delnih vsot teh kvadratov:
pSnq8n“1 “ p1,2,6,15,40,104,273,714,
1870,4895,12816,33552, . . .q. (3)
Pri tem je n-ta delna vsota Sn definirana kot vsota
prvih n členov zaporedja (2), to se pravi
S1 “ F21 , S2 “ F21 ` F22 , S3 “ F21 ` F22 ` F23 , . . . ,
Sn “ F21 ` F22 ` F23 ` . . .` F2n, . . .
Takoj opazimo, da lahko člene zaporedja (3) raz-
stavimo na produkt dveh zaporednih Fibonaccijevih
števil, na primer:
S1 “ 1 ¨ 1 “ F1F2, S2 “ 1 ¨ 2 “ F2F3,
S3 “ 2 ¨ 3 “ F3F4, S4 “ 3 ¨ 5 “ F4F5.
SLIKA 1.
Konstrukcija Fibonaccijevih pravokotnikov.
     
P 51 (2023/2024) 412
SLIKA 2.
Razrez Fibonaccijevega pravokotnika na kvadrate.
Pri tem se nam kar hitro utrne misel, da je na splo-
šno
Sn “ FnFn`1
oziroma
F21 ` F22 ` F23 ` . . .` F2n “ FnFn`1. (4)
O veljavnosti enakosti (4) se takoj prepričamo z me-
todo matematične indukcije. Za n “ 1 relacija očitno
velja. Predpostavimo, da relacija velja za katerokoli
naravno število n. Potem na osnovi te predpostavke
in z uporabo enačbe (1) dobimo
F21 ` F22 ` F23 ` . . .` F2n ` F2n`1
“ FnFn`1 ` F2n`1 “ Fn`1pFn ` Fn`1q
“ Fn`1Fn`2 “ Fn`1Fpn`1q`1.
To pomeni, da relacija velja tudi za število n ` 1, ki
je neposredni naslednik števila n. Potemtakem (4)
velja za vsa naravna števila n.
Enačba (4) pove, da lahko zaporedje pravokotni-
kov s stranicama Fn in Fn`1 za n ą 1 (imenujemo
jih Fibonaccijevi pravokotniki) konstruiramo po ko-
rakih. Začnemo z najmanjšim Fibonaccijevim pravo-
kotnikom s stranicama F2 “ 1 in F3 “ 2 (slika 1, A)
in ploščino S2 “ 2. Temu pridružimo kvadrat s stra-
nico F3 “ 2. Dobimo Fibonaccijev pravokotnik s stra-
nicama F3 “ 2 in F4 “ F2 ` F3 “ 3 (slika 1, B) in plo-
ščino S3 “ 6. Temu pridružimo kvadrat s stranico
F4 “ 3. Dobimo Fibonaccijev pravokotnik s stra-
nicama F4 “ 3 in F5 “ F3 ` F4 “ 5 (slika 1, C) in
ploščino S4 “ 15. Nato temu pridružimo kvadrat s
stranico F5 “ 5. Dobimo Fibonaccijev pravokotnik s
     
P 51 (2023/2024) 4 13
SLIKA 3.
Fibonaccijeva spirala.
stranicama F5 “ 5 in F6 “ F4 ` F5 “ 8 (slika 1, D) in
ploščino S5 “ 40. Opisani postopek lahko nadalju-
jemo tako dolgo, kot želimo.
Enakost (4) tudi pomeni, da lahko Fibonaccijev
pravokotnik s stranicama Fn in Fn`1 za n ą 1 raz-
režemo netrivialno na same kvadrate. Slika 2 kaže
primer za n “ 7, ko je F7 “ 13 in F8 “ 21. Kvadrati,
na katere smo razdelili Fibonaccijev pravokotnik, so
različno obarvani.
Ko od Fibonaccijevega pravokotnika s stranicama
Fn`1 in Fn odrežemo kvadrat s stranico Fn, dobimo
manjši Fibonaccijev pravokotnik s stranicama Fn in
Fn´1. Ta postopek lahko nadaljujemo, dokler ne pri-
demo do najmanjšega Fibonaccijevega pravokotnika
s stranicama F3 “ 2 in F2 “ 1. Slednjega lahko
razdelimo samo še na dva enotska kvadrata. Če v
vse kvadrate pri tem postopku včrtamo četrtine kro-
žnic, tako kot na sliki 3, dobimo Fibonaccijevo spi-
ralo. Krožni loki imajo polmere Fn, Fn´1, . . . , F2, F1.
Literatura
[1] J. Ziegenbalg, Figurierte Zahlen, Springer Spek-
trum, Wiesbaden 2018.
ˆ ˆ ˆ
www.presek.si
www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/