TSCHIRNHAUSOVAKUBIKA MARKO RAZPET Pedagoˇ ska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2000): 14H45, 14H50 Tschirnhausovo kubiko bomo definirali kot katakavstiko parabole glede na ˇ zarke, ki padajo pravokotno na njeno geometrijsko os, in kot negativno noˇ ziˇ sˇ cno krivuljo parabole glede na njeno goriˇ sˇ ce. Krivuljo bomo zapisali v parametriˇ cni in polarni obliki in navedli nekatere njene lastnosti. THE TSCHIRNHAUS CUBIC The Tschirnhaus cubic is defined as the catacaustic of the parabola with respect to theraysfallingonitsaxisperpendicularly, andasthenegativepedalcurveoftheparabola with respect to its focus. The equation of the cubic is written in parametric and polar form and some properties of the curve are explained. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651–1708), vsestranski nemˇ ski znanstvenik (kemik, didaktik, matematik, mineralog, filozof, fizik, tehnik, vulkanolog,zdravilec),izumiteljevropskegaporcelana,jeleta1682zaˇ celˇ stu- diratitakoimenovanekavstiˇ cnekrivuljealikavstike,kisoogrinjaˇ ce(ovojnice ali envelope) odbitih ali lomljenih ˇ zarkov na dani ravninski krivulji. Svoje rezultate o teh krivuljah je objavil v letih 1682 in 1690. 1 Ukvarjal se je tudi z ekstremalnimi problemi in teorijo enaˇ cb. Leta 1683 jeobjavilprispevek,vkaterempokaˇ ze,kakolahkosprimernotransformacijo v polinomu odpravimo nekaj ˇ clenov. Transformacija se imenuje po avtorju Tschirnhausova transformacija. V letih 1669–1676 se je mudil v Holandiji, AnglijiinFranciji,kjersejeseznanilznekaterimipomembnimiznanstveniki tistega obdobja, na primer s Chr. Huygensom, J. Wallisom, I. Newtonom in G. W. Leibnizem. To je bilo ravno v ˇ casu nastajanja infinitezimalnega raˇ cuna in gradenj optiˇ cnih inˇ strumentov, pri katerih sta pomembna odboj in lom svetlobe ter s tem v zveziˇ ze omenjene kavstike. V letih 1684 in 1686 (glej [3]) je Leibniz objavil prvi deli o infinitezimalnem raˇ cunu, Newton pa nekajmalegavsvojihPrincipihleta1687inveˇ ckasneje. Natopajepriˇ slodo znanega spora med Newtonom in Leibnizem glede primata v infinitezimal- nem raˇ cunu, kajti Newton je glavne ideje o njem imel ˇ ze pred letom 1684, 1 Druˇ zinsko ime Tschirnhaus se v matematiˇ cni literaturi pogosto pojavlja tudi kot Tschirnhausen, kar je po obliki starinski dajalnik prvega, ki ga zahteva predlog von. Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 81 Marko Razpet a jih ni objavil. Tschirnhaus je leta 1675 dobil neki prepis Newtonovega rokopisa, in to ravno v ˇ casu, ko je skupaj z Leibnizem delal v Parizu. Zato v zvezi s tem sporom pogosto omenjajo tudi Tschirnhausa. Vnadaljevanjubomopredpostavili, daimajovseobravnavanekrivuljev vsakitoˇ ckienoliˇ cnodoloˇ cenotangentorazenmordavkonˇ cnomnogotoˇ ckah. Naj bo K ravninska krivulja, ki jo vzamemo za idealno zrcalo, na ka- tero padajo vzporedni ˇ zarki ali pa ˇ zarki iz izbrane toˇ cke v ravnini krivulje. Odbiti ˇ zarki, podaljˇ sani v premice, sestavljajo druˇ zino premic. ˇ Ce obstaja ogrinjaˇ caK ′ tehpremic,joimenujemokatakavstikakrivuljeK gledenadane vpadajoˇ ceˇ zarke. AnalognojediakavstikakrivuljeKogrinjaˇ canatejkrivulji lomljenih ˇ zarkov, podaljˇ sanih v premice. Izraza katakavstika in diakavstika je prvi uporabljal Jakob Bernoulli (1654–1705) leta 1693. Od kod besede kavstika, katakavstika in diakavstika? Najprej so jih uporabljali v optiki. Sferiˇ cna zrcala in leˇ ce namreˇ c vzporednih ˇ zarkov ne zbirajo toˇ cno v eni toˇ cki, goriˇ sˇ cu, ampak odbiti oziroma lomljeniˇ zarki ogri- njajo neko ploskev, ki so ji dali ime kavstika, kar je grˇ skega izvora. V grˇ sˇ cini izraˇ zabesedakaustikosnekaj,karjevzvezizognjemingorenjem,naprimer vrel ali ognjen. Zloglasna beseda holokavst je istega izvora. Z dodajanjem grˇ skih besedic kata, kar pomeni med drugim spodaj, dol ali nasproti, in dia, kar pomeni med drugim prek ali skozi, sta nastali besedi katakavstika in di- akavstika. 2 V ravninski geometriji delamo glede tega podobno. ˇ Studiramo odboje in lome svetlobnih ˇ zarkov na ravninski krivulji. Poiskali bomo katakavstiko parabole glede na ˇ zarke, ki nanjo vpadajo pravokotno na njeno geometrijsko os. ˇ Zarki, ki padajo na parabolo vzpo- redno z njeno osjo, se odbijajo skozi goriˇ sˇ ce in po drugem odboju potekajo spet vzporedno z osjo. Drugi tipi na parabolo vpadajoˇ cih ˇ zarkov dajo za- pletene katakavstike. S pridom uporabljamo odbojne lastnosti parabole na primer pri avtomobilskih ˇ zarometih. Spomnimo se na dolge in kratke luˇ ci, kjer s preklapljanjem prestavljamo svetlobni vir iz goriˇ sˇ ca nekoliko vstran. Vzemimo parabolo Π, ki jo doloˇ cata goriˇ sˇ ce F in vodnica v, in na njej toˇ cko T, v kateri konstruiramo tangento τ T in normalo ν T . Naj bo σ T pravokotnica skozi toˇ cko T na os parabole in naj bo ω T zrcalna slika σ T glede na normalo ν T . Zanima nas, kaj je ogrinjaˇ ca druˇ zine{ω T :T ∈ Π}. Za udobno raˇ cunanje vzemimo parabolo Π v pravokotnem karteziˇ cnem 2 Katakavstiko lahko opazujemo ob primerni svetlobi v kavni skodelici. Odbiti ˇ zarki se ne zbirajo v eni toˇ cki, v goriˇ sˇ cu, ampak vidno oblikujejo krivuljo, ki bi ji lahko rekli goriˇ sˇ cnica. V bistvu vidimo ravninski presek prave prostorske katakavstike. 82 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Tschirnhausova kubika koordinatnem sistemu xy tako, da je njeno teme v koordinatnem izhodi- ˇ sˇ cuO, njena os sovpada z osjox, goriˇ sˇ ceF pa leˇ zi na pozitivnem delu osix. Kot je znano, ima parabola Π potem enaˇ cbo y 2 = 2px, kjer je p parame- ter parabole, to je razdalja goriˇ sˇ ca F od vodnice v ali pa ordinata toˇ cke parabole nad goriˇ sˇ cem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Slika 1. Odboj na paraboli Za toˇ cko T oznaˇ cimo ordinato s t. Potem je njena abscisa t 2 /(2p) in s tem imamo parametrizacijo parabole Π: x = t 2 2p , y =t, t∈R. (1) Naklonski kot tangente τ T oznaˇ cimo z α T . Osnovna geometrijska interpre- tacija odvoda pove: tgα T = dy dx = ˙ y ˙ x = p t . (2) Premici σ T in ν T se sekata pod kotom α T , prav tako premici ν T in ω T . Zato se premici σ T in ω T sekata pod kotom 2α T , premica ω T pa ima na- klonski kot 2α T +π/2 in s tem smerni koeficient k T = tg(2α T +π/2) = 81–92 83 Marko Razpet • F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Slika 2. Druˇ zina odbitih premic −ctg(2α T ). Enaˇ cba premice ω T je seveda y−t =k T  x− t 2 2p  =−ctg(2α T )  x− t 2 2p  . (3) Z uporabo rezultata (2) lahko hitro izraˇ cunamo ctg(2α T ) = t 2 −p 2 2pt (4) in nato izrazimo enaˇ cbo premice ω T iz (3): 2p(t 2 −p 2 )x+4p 2 ty = 3p 2 t 2 +t 4 . (5) To je enoparametriˇ cna druˇ zina premicω T . Vemo pa (glej na primer [4]), da se ogrinjaˇ co enoparametriˇ cne druˇ zine krivuljF(x,y,t) = 0 dobi z izloˇ ci- tvijo parametra t iz sistema enaˇ cb F(x,y,t) = 0, ∂F ∂t (x,y,t) = 0. (6) 84 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Tschirnhausova kubika ˇ Ce pa nam zgornji sistem enaˇ cb uspe razreˇ siti nax iny, dobimo ogrinjaˇ co v parametriˇ cni obliki. V naˇ sem primeru gre to gladko. Najprej z odvajanjem na parameter t dobimo iz (5) sistem enaˇ cb: 2p(t 2 −p 2 )x+4p 2 ty = 3p 2 t 2 +t 4 , 2ptx+2p 2 y = 3p 2 t+2t 3 . (7) Sistem se da lepo reˇ siti po Cramerjevem pravilu in s tem imamo iskano krivuljo v parametriˇ cni obliki: x = 3t 2 2p , y = t(3p 2 −t 2 ) 2p 2 , t∈R. (8) Z izloˇ citvijo parametra t iz zgornjih enaˇ cb dobimo 54py 2 =x(9p−2x) 2 . (9) To je enaˇ cba iskane krivulje v implicitni obliki. Krivulja je kubiˇ cna in jo imenujemo Tschirnhausova kubika. Ime je vpeljal leta 1900 kanadski matematik R. C. Archibald (1875–1955), ko je klasificiral kubiˇ cne krivulje. Tschirnhausovakubikajetorejkatakavstikaparabolegledenaˇ zarke, kivpa- dajopravokotnonaosparabole. VzgodovinimatematikejeTschirnhausova kubika ena prvih krivulj, ki je bila dobljena kot ogrinjaˇ ca druˇ zine premic. S tem ko dani krivuljiK poiˇ sˇ cemo katakavstikoK ′ , transformiramo kri- vuljoKvnovokrivuljoK ′ . Nipatoedininaˇ cin. Polegobiˇ cajnihtransforma- cij, kot sta razteg in zrcaljenje na kroˇ znici, nove krivulje pridobivamo tudi na primer z evolutami in evolventami dane krivulje in z drugimi postopki (glej na primer [2]). Eden preprostejˇ sih postopkov je poiskati dani krivulji tako imenovano noˇ ziˇ sˇ cno ali pedalno krivuljo glede na dano toˇ cko N. Z obratnim postopkom pa krivulji poiˇ sˇ cemo negativno noˇ ziˇ sˇ cno ali negativno pedalno krivuljo glede na dano toˇ cko N. Noˇ ziˇ sˇ cna krivulja ravninske krivulje K glede na toˇ cko N v ravnini te krivulje je mnoˇ zica K ∗ pravokotnih projekcij (noˇ ziˇ sˇ c) N ∗ toˇ cke N na tan- genteτ T krivuljeK, ko dotikaliˇ sˇ ceT teˇ ce poK. Obratno pa jeK negativna noˇ ziˇ sˇ cna krivulja zaK ∗ glede na toˇ cko N. Oˇ citno je negativna noˇ ziˇ sˇ cna krivulja za krivuljo K ∗ glede na toˇ cko N ogrinjaˇ ca druˇ zine pravokotnic v toˇ cki N ∗ krivulje K ∗ na premice skozi N in N ∗ , pri ˇ cemer N ∗ 6=N teˇ ce po krivuljiK ∗ . Dokaˇ zimo, da je Tschirnhausova krivulja tudi negativna noˇ ziˇ sˇ cna krivu- lja parabole glede na njeno goriˇ sˇ ceF. To lahko naredimo z metodo elemen- tarne geometrije, priˇ cemer upoˇ stevamo lastnost parabole, ki pove, da njena 81–92 85 Marko Razpet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • F • • • • • x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ... ..... .. .......... ........... ............ .............. ............... ................. ................... ..................... ....................... .......................... ............................. ................................ ................................... ...................................... .......................................... .............................................. .................................................. ...................................................... ........................................................... ............................................................... ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................................................................................................ O D Q + Q − M + M − Slika 3. Tschirnhausova kubika tangenta v katerikoli toˇ cki T razpolavlja kot med premico skozi T in F ter pravokotnico skozi T na vodnico parabole, ali pa popolnoma raˇ cunsko. Parabola Π naj bo postavljena v koordinatni sistem tako kot doslej. Smerni koeficient premice skozi toˇ cki F(p/2,0) in T(t 2 /(2p),t)∈ Π je k = 2pt t 2 −p 2 . (10) Zato je enaˇ cba pravokotnice skozi T na to premico: y−t =− t 2 −p 2 2pt  x− t 2 2p  . (11) S preureditvijo pa spet dobimo ravno enaˇ cbo (5) in za ogrinjaˇ co druˇ zine takih premic Tschirnhausovo kubiko. Lastnosti Tschirnhausove kubike lahko poiˇ sˇ cemo iz njene parametriˇ cne oblike (8) ali implicitne oblike (9). Najprej je oˇ citno, da je os x njena si- metrala, ki jo preseka v toˇ cki D(9p/2,0), ki je edina dvojna toˇ cka Tschirn- hausove kubike. Ko se parameter t spreminja od zelo velikih negativnih proti zelo velikim pozitivnim vrednostim, teˇ ce ustrezna toˇ cka po Tschirn- hausovi kubiki iz zelo oddaljene toˇ cke prvega kvadranta in preseka parabolo 86 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Tschirnhausova kubika • • • N τ T T N ∗ K K ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .... .... ....... ...................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Slika 4. Nastanek noˇ ziˇ sˇ cne krivuljeK ∗ iz dane krivuljeK glede na toˇ ckoN v toˇ ckiQ + , presekaabscisnoos v toˇ ckiD, se spustiv toˇ ckoM − , kjerima na zankinajmanjˇ soordinato,natodoseˇ zetemeO,potemsedvignevtoˇ ckoM + , kjer ima na zanki najveˇ cjo ordinato, nato pa se spuˇ sˇ ca proti dvojni toˇ ckiD in zopet seka parabolo, tokrat v toˇ cki Q − , nato nadaljuje pot proti zelo oddaljenim toˇ ckam ˇ cetrtega kvadranta. Brez teˇ zav izraˇ cunamo koordinate pomembnih toˇ ck in za kateri parame- ter t jih dobimo: O(0,0), t = 0; M + (3p/2,p), t =p; M − (3p/2,−p), t =−p; Q +  p(9/2+3 √ 3),p p 9+6 √ 3  , t =−p p 3+2 √ 3; Q −  p(9/2+3 √ 3),−p p 9+6 √ 3  , t =p p 3+2 √ 3; D(9p/2,0), t =±p √ 3. 81–92 87 Marko Razpet Izraˇ cunajmokot, podkaterimTschirnhausovakubikasekasamasebe. Iz(4) ali pa iz (8) najdemo: dy dx = p 2 −t 2 2pt . (12) Smerna koeficientak ± tangent na Tschirnhausovo kubiko v toˇ ckiD izraˇ cu- namo iz (12) zat =∓p √ 3 in dobimok ± =± √ 3/3. To pomeni, da Tschirn- hausova kubika seka sama sebe pod kotomπ/3, in to neodvisno od parame- tra p, torej od oblike parabole Π. V toˇ cki Q + je strmina parabole enaka 1/ p 9+6 √ 3, strmina Tschirn- hausove kubike pa (1+ √ 3)/ p 3+2 √ 3. Kot β, ki ga oklepata parabola in Tschirnhausova kubika v toˇ ckah Q + in Q − , ima za tangens ˇ stevilo p 2 √ 3−3, iz ˇ cesar dobimo pribliˇ zno β = 34 ◦ 16 ′ , prav tako neodvisno od parametra p. Iz parametriˇ cne oblike (8) Tschirnhausove kubike brez teˇ zav izrazimo loˇ cno dolˇ zinos, ploˇ sˇ cinoS zanke, prostorninoV in povrˇ sinoP vrtenine, ki nastane z rotacijo zanke za kot 2π okoli njene simetrale. Dobimo ds 2 =dx 2 +dy 2 = 9 4p 4 p 2 +t 2  2 dt 2 . (13) Loˇ cna dolˇ zina Tschirnhausove kubike od temena O do toˇ cke T, ki ustreza parametru t> 0, je: s(t) = 3 2p 2 t Z 0 (p 2 +τ 2 )dτ = t 2p 2 (3p 2 +t 2 ). (14) Iz (9) izraˇ cunamo: S = 2 √ 54p 9p/2 Z 0 (9p−2x) √ xdx = 18p 2 √ 3 5 . (15) Za prostornino V dobimo V = π 54p 9p/2 Z 0 x(9p−2x) 2 dx = 81πp 3 32 , (16) povrˇ sino pa lahko izrazimo v obliki P = 2π √ 54p 9p/2 Z 0 (9p−2x) √ xds, (17) 88 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Tschirnhausova kubika kjer najprej iz (13) izraˇ cunamo ds 2 = 3 8p 3  p 2 + 2px 3  2 dx 2 x (18) in nazadnje dobimo integral P = π 6p 2 9p/2 Z 0 (9p−2x)  p 2 + 2px 3  dx = 27πp 2 4 . (19) Za ukrivljenost κ in krivinski polmer ̺ = 1/κ Tschirnhausove kubike tudi najdemo preprosta izraza. Uporabimo sploˇ sno formulo κ = |˙ x¨ y− ¨ x˙ y| (˙ x 2 + ˙ y 2 ) 3/2 (20) in iz (8) imamo hitro: κ = 4p 3 3(p 2 +t 2 ) 2 , ̺ = 3 p 2 +t 2  2 4p 3 . (21) V posebnih primerih je v toˇ ckah O,M,D,Q − ,Q + : ̺(O) = 3p 4 , ̺(M) = 3p, ̺(D) = 12p, ̺(Q − ) =̺(Q + ) = 3p(7+4 √ 3). Tschirnhausova kubika ima preprosto enaˇ cbo v polarnih koordinatah. Da bi jo izpeljali, postavimo koordinatno izhodiˇ sˇ ce v goriˇ sˇ ceF parabole Π. Parabola Π s parametrom p ima v polarnih koordinatah enaˇ cbo r = p 1−cosϕ . (22) Hessejeva ali normalna enaˇ cba premice ψ T , ki je pravokotna na radij r parabole v toˇ cki T, ki jo doloˇ ca kot δ, je xcosδ+ysinδ = p 1−cosδ . (23) Ko δ teˇ ce po mnoˇ zici (−π,0)∪(0,π], dobimo druˇ zino premic {ψ T :T ∈ Π} in s sploˇ snim principom, z odvajanjem (23) na parameterδ, dobimo sistem enaˇ cb za iskano ogrinjaˇ co: xcosδ+ysinδ = p 1−cosδ , −xsinδ+ycosδ = − psinδ (1−cosδ) 2 . (24) 81–92 89 Marko Razpet Æ Slika 5. Parabola in polarne koordinate Sistem ima eno samo reˇ sitev: x = p(cosδ−cos(2δ)) (1−cosδ) 2 , y = p(sinδ−sin(2δ)) (1−cosδ) 2 . (25) Po faktorizaciji trigonometriˇ cnih izrazov lahko zapiˇ semo: x = psin(3δ/2) 2sin 3 (δ/2) , y =− pcos(3δ/2) 2sin 3 (δ/2) . (26) Dobljeni enaˇ cbi predstavljata drugo parametriˇ cno obliko Tschirnhausove kubike. Sedaj uvedemo polarni koordinati r in ϕ, tako da bo veljalo x = rcosϕ, y =rsinϕ. Najprej imamo: r 2 =x 2 +y 2 = p 2 4sin 6 (δ/2) , tgϕ = y x = tg(3δ/2+π/2). (27) Veljati mora relacija 2ϕ = 3δ +π + 2kπ, kjer je k celo ˇ stevilo. Izberimo k =−1, tako da velja 2ϕ = 3δ−π oziroma δ = (2ϕ+π)/3. S tem imamo r 2 = p 2 4sin 6 (ϕ/3+π/6) = p 2 4cos 6 (ϕ/3−π/3) . (28) 90 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3 Tschirnhausova kubika Enaˇ cba Tschirnhausove kubike v polarni obliki je torej r = p 2cos 3 (ϕ/3−π/3) . (29) Za enkratni sprehod po Tschirnhausovi kubiki vzamemo−π/2<ϕ< 5π/2. Z zamenjavo ϕ → π +ϕ, kar pomeni zasuk krivulje okoli pola za kot π, dobimo ˇ se enostavnejˇ so obliko r = p 2cos 3 (ϕ/3) . (30) Za enkratni sprehod po krivulji pa tedaj vzamemo−3π/2<ϕ< 3π/2. Slika 6. Tschirnhausova kubika po enaˇ cbi (30) s krivinskimi kroˇ znimi loki Iz ˇ ze znanih rezultatov lahko zapiˇ semo koordinate vaˇ znih toˇ ck na krivu- lji: A(p/2,0), D(−4p,0), M + (−p,p), M − (−p,−p). Toˇ ckama M ± ustrezata polarna kota ϕ =±3π/4 in polarni radij r =p √ 2. TschirnhausovokubikoimenujemotudiCatalanovatrisektrisa,kerlahko znjenopomoˇ cjorazdelimokotnatrienakedele. Znjosejenamreˇ cukvarjal tudiE.Ch.Catalan(1814–1894). ˇ Cestanamreˇ cϕinrpolarnikotinpolarni radij toˇ cke T na Tschirnhausovi kubiki (30), potem iz enakosti cosϕ = 4cos 3 (ϕ/3)−3cos(ϕ/3) (31) sledi relacija cosϕ = 2p r −3cos(ϕ/3), (32) 81–92 91 Marko Razpet iz katere je cos(ϕ/3) = 2p−rcosϕ 3r = 2p−x 3r . (33) Pri tem jex =rcosϕ abscisa toˇ ckeT. Oˇ citno lahko konstruiramo kotϕ/3 s pomoˇ cjo pravokotnegatrikotnika, ki ima hipotenuzo3r in eno kateto 2p−x. Tschirnhausova kubika je le ena od trisektris. Precej znana je tudi Macla- urinova trisektrisa, ki ima v polarnih koordinatah enaˇ cbo r =a/cos(ϕ/3), kjer je a pozitivna konstanta. ˇ Se nekaj pa jih najdemo na primer v [1, 2]. NekateriimenujejoTschirnhausovokubikotudiL’Hˆ opitalovakubika,ker sejeznjoukvarjaltudimatematikmarkizG.F.A.deL’Hˆ opital(1661–1704) in rezultate objavil leta 1696, kasneje kot Tschirnhaus. Zato je popolnoma umestno, da so krivuljo, malo pozno sicer, poimenovali po slednjem. LITERATURA [1] E. H. Lockwood, A book of curves, Cambridge University Press, 1963. [2] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, ˇ Skolska knjiga, Zagreb 1979. [3] D. J. Struik, Kratka zgodovina matematike, Knjiˇ znica Sigma 27, DMFA, Ljubljana 1986. [4] I. Vidav, Viˇ sja matematika I, DMFA–zaloˇ zniˇ stvo, Ljubljana 2008. NOVEKNJIGE JernejKozak: NUMERI ˇ CNAANALIZA,Matematika– fizika44, DMFA–zaloˇ zniˇ stvo, Ljubljana 2008, 420 strani. Slovenska matematiˇ cna literatura je bogatejˇ sa za novo delo z zgornjim naslovom. Knjiga je izˇ sla v zbirki Matematika – fizika, ki je zbirka uni- verzitetnih uˇ cbenikov in monografij. Delo spada v to zbirko, ker je prav to: univerzitetni uˇ cbenik in monografija. Izdajatelja sta Fakulteta za ma- tematiko in fiziko Univerze v Ljubljani in Druˇ stvo matematikov, fizikov in astronomov – zaloˇ zniˇ stvo. Slovensko numeriˇ cno literaturo je to delo do- polnilo na podroˇ cju numeriˇ cne analize, ki v oˇ zjem smislu vsebuje poglavja: interpolacijo, aproksimacijo, numeriˇ cno odvajanje in integriranje ter nume- riˇ cno reˇ sevanje navadnih in parcialnih diferencialnih enaˇ cb. Ta poglavja so bila sicer ˇ ze na kratko obravnavana v prvem slovenskem uˇ cbeniku iz nume- 92 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 3