IPRESEK list za rnlacle matematike, fizike, astnonome in računalnikarje 24. letnik, leto 1996/97, številka 5 , strani 257-320 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA Nenavadna aritmetika ali ne poskušajte tega v šoli! (Primož Potočnik) 290-295 Fotografij a in matematika 1 - Upodabljanje (Peter Legiša) 258-269 Prihaja komet Hale-B opp (Andrej Guštin) 270-275 RAČUNALNIŠTVO Učitelj i r išejo (Martin Juvan) 276-277 NOVICE Sto let elektrona (Janez Strnad) 280-284 NALOGE Muhe (Marija Vencelj) 277 Miha in razlika dveh kvadratov (Marija Venc elj) . . . . . . . 296 REŠITVE NALOG Napišite pesmico - pesnikov pa ni! (Marija Vencelj) 275 Tr ikot nik na traku - s str. 200 (Boris Lavrič) 285 Utesnj eni tetraeder - s str. 200 (Boris Lavrič) 285-287 Množenj e z devet - s str. 221 (Marija Vencelj) 295 Križanka "Š ah" - s str. 224 (Marko Bokalič) 296 ZANIMIVOSTI Buhteljni v labirintu (Iz tok A rčon) 278-279 RAZVEDRILO Križanka "Slovenski praštevilski vrhovi" (Marko Bokalič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 288-289 . PISMA BRALCEV Kvadratna funkcija in enakostranični trikotnik (Mateja J erše) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279 TEKMOVANJA 32. državno tekmovanje za Zlato Vegovo priznanje - rešitve nalog s str. 238 (Aleksander Potočnik) . . 297-298 16. državno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce- rešitve s str. 239 (Mojca Čepič) 299-307 Državno tekmovanje iz matematike za srednješolce - reši tv e s st r . 247 (Matjaž Željko) 307-313 Rešitve nalog z državnega tekmovanja iz srednješolske fizike v šolskem letu 1995/1996 - s str. 251 (Bojan Golli) . oo •••••••••• • oo . oo. oo • • 313-320 NA OVITKU Hrošček na listu peteršilja j e bil v naravi dolg dobrih 5mm (foto Peter Legiša). Glej tudi članek na strani 258 I Cmrlj v makovem cvetu je bil slikan z vmesnim obročkom (foto Peter Legiša) oo ••• •• oo . oo •• • • •• • • oo • • • • • • • • • • • •• • •• II Metulj in rastlinska stenica sta bila slikana s 100 mm makro objektivom (foto Peter Legiša) oo •• • • ••• • ••• oo . oo. oo oo oo. IV Igra Buhteljni v labirintu - glej napotke na strani 278 . . . III Fizika I FOTOGRAFIJA IN MATEM ATIKA I UPODABLJANJE U p o d a b ljanje Pri fiziki se učimo , da tanka zbiralna leča žarke, vzporedne osi l eče , zbere v gorišču (slika 1) . gori ščna ravnina vozliščna ravnina goriščna ravnina f f Slika 1. Optično središče leče O je okar akterizi rano s tem , da žarki , ki gredo skozenj , ne sp remenijo svoje smeri. Natančneje : žar ek, ki vpade na l ečo in se lomi skozi O , j e po izhodu iz l eče vzporeden pr votni sm eri . Če tak ža rek oklepa majhen kot z optično osjo, lahko zarad i tankosti l eče mo rebit ni vzporedni premik zan em arimo. Skoz i optično središče leče narišem o ravnino P , pr avokotno na os leče . Ravnini P pravimo ravnina leče (tudi kardinalna ali vozliščna ravnina) . Leča im a dve gorišči: GI in G2 . Razdalja med goriščem in ravnin o leče j e goriščna razdalja ali goriščnica . Navadno jo označimo s črko f . Skozi vsako od gorišč leče narišem o še ravn ini , pr avokotni na os . To sta goriščni ravnini . V oddalje nosti a > f od (ravnine) leče narišemo še eno r avnin o , pravokotna n a os . To bo n a ša p redmetna ravnin a. V nj ej vzemimo manjš i predmet kot na sliki 2. Kot vemo, leča napr avi obrnj eno sliko predmeta v slikovni ravnini , ki j e sp et pravokotna na os. Razdaljo slikovne ravnine od (ravnine) leče označimo z b. Leča nam, kot vemo, napravi podobn ostno transformacijo predmet ne ravnine na slikovno ravnino . Ko eficient podobnosti označimo z m in im e- nuj em o povečava. Pri običaj nem slikanju je m m nogo bliže O kot 1, saj na filmu nastane po manjšana slika stvarnosti . Fizika p re d met na ravni na p f s likov naravni na A G a Slika 2. B Na slik i 2 s podobnostjo t rikot nikov vidimo, da je m= B : A =b : a 111 B : A = (b - 1) : f. Tako je b : a = (b - 1) : f in od tod bf = ab -af. Ali (b+ a) f = ab , se pravi b+ a 1 ab f ali 1 1 1-+ - = - . a b f Razdalj i a in b sta konjugirani raz dalj i. (1) Dioptrija Recipročna vrednost goriščne razdalj e leče je lomnost ali optična moč leče . Eno ta za lomnost je dioptr~ja, ki ni nič drugega kot m - l , Npr .: l eča z goriščn i co 20 cm im a 1 : 0,2 111 = 5 dioptrij . Leča z goriščno razdaljo 5 cm im a 20 dioptrij. Fizika I F h G Slika 3. Če tes no zložimo dve tanki leči , se sestav obnaša kot leča , katere moč j e vso ta moči obeh l eč . To ni težko vide ti (slika 3). Žark e, ki izhaj ajo iz gorišča F prve leče , ta pr etvori v snop vzporednih žarkov. Druga l eča t e ža rke združi v svoje m gorišču G. Po (1) j e kjer sta fI, h gOrISCI1l razdalj i obe h leč , f pa goriščna ra zdalja sestava . Np r.: če zložimo l ečo z goriščno razdaljo 20 cm in lečo z goriščno razdalj o 5 cm , im a sestav 5+ 20 = 25 dioptrij. Goriščna razdalja sestava je torej 4 cm . Omenimo še, da imajo raz prš iine l eče (kakršne nosijo kratkovidni) negati vno optično moč. Fotografsk i objektivi P ri slikanj u s fotoaparatom naj bi nam leča fotoapara ta napr avila obr- njena sliko predmeta na film . Vendar stvari niso tako preproste. Naša razglabljanja so veljala za tanko lečo. Kri t ično razpoloženi bralci bi lahko vprašali: kako tanko? Moj prvi fotoaparat danes že izumrle znamke Ferrania je dej ansko im el eno sa mo maj čkeno lečo . Ker je skoz njo v aparat pri hajalo zelo malo svetlobe , j e bil osvetlitveni čas precej dolg in so slike bile ponavad i "st resene" . Tudi kad ar se mi je posrečilo drž ati aparat pri mi ru , slike niso bi le ostre. Vzro k je med drugim v tem, da st eklo ne lomi svet lob e vseh bar v enako. Modro barvo denimo lomi bolj kot rdečo . Pravimo, da v l eči (enako kot v st ekleni prizmi ) pride do disperzije (razk lona) bele svetlobe. Nekatera ste kla svet lobo razklonijo bolj , druga manj. Pri kristalnih ko- zarcih je velika disperzija celo zaželena, saj so mavričn i razlomi lepi . V fotogr afiji , pri izde lavi očal, teleskopov it d. pa nam disperzija povzroča težave še danes. Fizika , ,rdeča Slika 4 . Leča razprši belo svet lobo . Na sliki 4 imamo točkast izvir 1 bele svetl ob e. Če se modri žarki iz 1 srečaj o ravno na filmu , se rdeči žarki srečajo šele za filmom . Tako namest o bele točke na filmu dobimo mavrično pego - z modro sredino in rdečim ro- bom. Tej napaki , ki pokvari ostrino tudi pri slikanju črnobelih motivov, pravimo barvna napaka ali kromatič­ Ila aberacij a. (To ni edina , j e pa naj- bolj opazna napaka enostavnih leč.) Vsak , ki nosi očala z debelejšimi st ekli , pozna barvno napako, ki j e op azna pr edvsem na robu vidnega polja. Zaradi te in drugih optičnih napak enost avnih l eč močno kratkovidnim ali daljnovidnim ljudem tudi očala ne pri čarajo povsem ostre slike. Če pa ti "slabovidni" ljudj e pogle- dajo skozi dober daljnog led, pogosto vidijo povsem ostro . Zakaj? Pred več kot 250 leti sta dva angleška optika neodvisno ugotovila, da je s kombinacij o leč iz različnih stekel mogoče barvno napako močno zm anjšati. Vzela sta konveksna lečo iz navadnega stekla in dodala šibkej šo konkavno lečo iz svinčevega st ekla , ki svet lobo bo lj razkloni kot navadno st eklo. Sest av je im el pozitivno optično moč (slika 5) . Slika 5 . Akroma t j e sest a vlj en iz d veh različnih vrst stek el. Slika 6 . Konkavna leča belo svetlob o razprši v drugo smer kot konveksna. Konveksn a l eča je belo svetl ob o razklonila v eno smer, konk avna pa v drugo (slika 6) . S primern o kombinacijo oblik obeh leč sta se učinka ob eh razk lanov bolj ali manj uničila. Večkrat obe l eči kar zlepijo sku paj. Takim kombinacijam leč rečemo akromati in so optično neprimerno boljši od enostavnih l eč . Upo raba akro matov je omogoči la izdelavo dobrih daljnogledav , mikroskop av itd . 262 Fizika I Danes imajo celo najcenejši fotoaparati namesto ene leče objektiv, sestavlj en iz dveh ali več leč . To je eden od čudežev masovne proizvodnje in potrošnj e. Dobri obj ektivi so sestavlj eni iz najmanj štirih leč . Trud konstruk- torjev je usmerj en k temu , da bi t aki objektivi dajali kar se da vemo sliko stvarnosti . Pri mnogih objektivih lahko brez večj ih problemov računamo, ko t da imamo namesto objektiva eno samo tanko lečo , postavljeno v optičnem središču objektiva. Izteg Vrnimo se torej k enačbi 1 1 1-+-=- . CL b f Če gre a v CXl , gre a- 1 k O in t ako &-1 k f-1 . Lahko rečemo, da za a = = CXl velja & = f : Slika neskončno oddaljenega predmeta nastane v goriščni ravnini objektiva. Če j e a < CXl, je a- 1 > O in tako 1 1 1 1 -----< -.r «:» .f' se pravi b > f. Slike bližnjih predmetov so torej za več kot f oddalj ene od optičnega središča obj ektiva. Če hočemo torej na filmu dobiti ostro sliko bližnj ega predmeta, moramo povečati razdaljo m ed obje kt ivom in filmom. Ponavadi se to zgodi tako , d a se obj ektiv odm akne od filma. Odmik ali izteg označimo z x', kjer je x' = &- f. Večina obj ektivov je vgraj ena v nekak šno vijačnico . Če v pravo sm er vrtimo obroč za ostrenje , se obj ektiv odmika od filma . (Danes navadno to namesto nas opravlj a elektromotorček .) Označimo še x=a-f. Potem je x x' = (a - .f)(b -.f) = ab - (a + b)f + f 2 = t? po (1) . Zapomnimo si: xx' = f 2 . Fizika Na mnogih objektivih imamo lestvico razdalj . Ker bi bilo težko označi t i optično središče objektiva , te razdalje pomenijo oddaljenost m ed predmetn o ravnino in t e vn in o film a, se pr avi cl = a + b. Prim e r'a : 1. Vzemimo obj ek tiv z goriščno razdaljo 5 cm . Če j e x = 2,5 m , je I J'2 25 cm'2 x = - = 2. O = 1 mm. :1; 5 cm Izt eg je maj hen. Razdalja med predmetno ravnino in ravnino filma je cl = x + x' + 2f == :1; + 2f = 2,6 cm . Pove čava j e b x ' +.f 5,1 cm 1 111 - - - -- - 255 cm = 50 = 0,02.-a-x+ f - Če je objekt dolg 1 drn , je njegova slika na filmu dolga 2 mm. 2. Če j e .f = 25 mm in x = 2,5 m , je x ' = t; = :t mm. Izteg je komaj op azen! Tu je cl== x + 2f = 255 cm ll1 x ' + f 1 111 = X + f = 100 = O,O I. Objek t , dolg 1 drn , im a 1 mm dolgo sliko na filmu. Posp lošimo nauke gornjih zgledov. Vzemimo, daje x b istveno večji od f. Potem je x' zelo m ajhen . Razd alja med ravninama filma in pred- meta je x + 21 == x. Dolžina slike je ;1; ' +1 . 1 B = 111..4= - -..4 = -..4 x + 1 x in izt eg I P X = -. X Fizika I Pri (približno) enak i razdalji j e dolžina slike sor a zmer na f . Iz t eg pa j e sorazmeren I ' . Če npr . f podvojimo, se do lžina slike podvoj i , izt eg pa se pom noži z 22 = 4. Povečave Vrnimo se k enačbi a- 1 + b- 1 = f- l . Upoštevaj mo , daje b = ma , pa je 1 1 1 - + -= - a b f in od tod b=(m+ l )f. Ker j e b = x' + I , j e te r x' = 1nI, x = m- 1f (2) d = (2 + m + m - 1 )f . (3) Če j e m = 1, se prav i slika enako velika kot original , j e cl = b = 2f in d = 4f. Če j e 111 = ~ , j e a = 3f, b = ~ f in d = ~ f. Če j e m = 2, je a = ~f, b = 3f in d = ~f . V tem zadnjem prim eru je l eča bliže or iginalu kot sliki. Izteg znaša x' = 2f . Tako velik izteg ponavadi dosežem o tako, da med l ečo in t elo apa rata vst avimo meh . P r im eri: 3 . Naj bo 1 = 5 cm in cl= 45 cm . Ko liko je rn? R ešit ev". St vari se lot im o takole. Ker j e, kot vem o iz pr akse, izt eg .1;' sorazmerno m aj hen , j e cl == x +21 in to rej x == 3.5 cm. Iz enačbe XJ:' = f 2 ugotovimo f 2 21": JJ = :....- == ~cm == 7m mx 35 . IFizika Če smo (preveč) natančni , postopek še enkrat ponovimo z upoštevanj em izračunane vrednosti za X': x = d - 2f - x' == 34,3cm lil I P . 25 . Ox = - = - - cm = 73cm x 34,3 ' P (2) ' - X ' - 0 ,73 --'- O15o Je rn - T - - 5- - , . (sliki 7 in 8). >; r-. ~~ l , "oj Slika 7. Obj ekti v , naravnan na oo . Slika 8. Objektiv, naravnan na 0, 45 m , 4. Objektiv iz prejšnj ega zgleda lahko nar avnamo na razdalje d od 45 cm do oo. Med objekt iv in telo aparata vstavimo vmesni obroček dolžine 25 mm (podoben t istemu na sliki 9) . Kakšne so mogoče povečave in razdalje slikanja? R eši tev: Objektiv sam ima izteg od Odo 7,3 mm. Z obročkom vred im a izteg od 25 mm do 32,3 mm. Iz enačbe (2) je rn med ;g in 3;63, se pr avi od 0,5 do 0,65. Ust rezne razdalj e slikanja izračunamo iz (3) in znašajo od 22,5 cm do 21 cm . 5. Na obj ektiv iz prejšnj ega zgleda (br ez vm esnega obročka) pr ivijemo predlečo z 2 dioptrijama (slika 10). Kakšne so mogoče povečave in razdalje slikanja? Sl ika 9. Vmesni obroček. Fizika I Slika 10 . Predleča s + 2 dioptrijama. R ešitev: Računamo, kot da bi tesno zložili dve tanki leči. Objek- tiv ima 20 dioptrij, predleča 2 dioptriji ; sestav obeh torej 22 dioptrij ali goriščno razdaljo 45,5 mm. Goriščna razdalja sestava se je to rej zmanjšala za 4,5 mm; za to liko vzamemo , da se je povečal izteg. Torej j e novi izteg X' med 4,5 mm in 7,3 + 4,5 = 11,8 mm, in to pr i novem F = 45,5 m m . Iz enačbe X' =MF do bimo, da je povečava med 4,5 45,5 11,8 lil ~- 45,5 ' se pravi med 0,1 in 0,26 . Drugače pov edano , med 1 : 10 in (približno) 1 : 4 . Ustrezne razdalj e iz računamo po (3) in znašajo od 55 cm do 28 cm . Formule za predleče Če je b il obj ek t iv naravnan na oo, p reden smo p rivili predlečo, j e zdaj razd alja med r avnin a m a predleče in predmet a enaka goriščni razdalj i predleče. To vidimo tako le (slika Il) . Če imamo točkast izvor svetlobe v gorišču predleče , nam predleča proti obj ektivu pošlje snop, vzporeden optični osi . Objektiv ta snop združi v svoj em gorišču na filmu in tako napravi ostro slik o izvora. I Fizika G Slika 11. F To rej : če smo pr ivili predlečo z dvema dioptrijama, bo razdalja od pred leče do ravnine predmeta 50 cm. Če smo pr ivili pred lečo z goriščno razdalj o 250 mm , bo razdalj a od pred leče do ravn ine predmet a 25 cm . P ri starejših lju deh l eča v očesu izgubi prož nost in ne more t oliko sp reminjati goriščne razda lj e kot v m ladosti. Mnogi ostro vidijo oddalj ene predmet e, ne morejo pa br ati. Kot pri fotoaparat u predle č a v obliki očal pomaga zmanjšati goriščno razdaljo očesa . Z dvem a dioptrij am a bodo zgor aj omenj en i zaneslj ivo videli ost ro na pol metra, z 2,5 d iop t rijami pa na 40 cm . lzp elji m o sedaj formule za maj hen obj ek t iv z dodatno predlečo (slika 12) . P riv zamemo, da. se z dodatk om pred le č e optično središče ne prema- kne in torej b ostane ist i. Objek tiv s predlečo naj ima. goriščno razdalj o I , predl eča pa gori ščnico g. Kot pr ej privzamemo, da j e opti č na moč sest ava enaka r: +s:' . , ,, ,, ,, ,, ,, . 0. ' b' ., o '( ) ' S lika 12. Za ob je ktiv brez pred leče je (slika. 2) 1 1 1 - +-= - , a b f s pred lečo pa 1 1 1 1- + - = - + - . a' b' j g Fizika I Od to d j e Primera: II I- =- +- . a' (1 9 (4) 6. Babica brez očal vidi ostro od I m etra naprej . Z očali z 2 diop trij am a. bo ostro vide la že na razd alji a' , kjer je l l- = - + 2 = 3m- 1 a' l ' se pravi na 33 cm . Z 2,5 dioptrij e bo ost ro videla že na 30 cm. 7. Z očali z -5 dioptrijam i kra tkovidni vidi ostro od 25 cm do 2 m . Na kakšnih razdalj ah vid i ost ro brez očal ? Rešit ev . Iz enačbe l 1 -= - - 5 ( 171.- 1 ) a' ti dobimo za (1 ' = 2m , da je (1 = 121 m == 18 cm . Za a' = t m pa a = i m == 11 cm . Br ez očal to rej vidi ostro od 11 cm do 20 cm. Izračunajmo nov o povečavo 171. ' za ob jekt iv s predlečo , če j e bil a pr ejšnj a pove č ava za obj ektiv brez predleče m . Vemo, da j e (slika 6 in formula 4) ,b 11 b b b 171. =-=b(-+-)=-+ -= m+ - . a' aga 9 9 T u j e b = x' + f = mf + f = (1 + m )f po (2). Torej je 171.' = 171. + (1+ 171. ) L. 9 Če j e bi l 171. = O, j e m l = iJ . Omejitve To vrs t ni računi se prav dobro uj em aj o s stvarnostj o , do kler imamo oprav- ka z en ostavnimi obj ektivi m aj hnih razsežnost i . Upoštevati pa mo ram o, d a lah ko dejans ka goriščna razdalj a za 6% odstopa od deklari ran e. Ob j ek- t iv, ki ga prod aj aj o kot 50 milimetrskega , ima lahko dej an sko goriščno razdalj o 53 m m ali pa 47 mm . Fizika Kako pa je z bolj zap letenim i obj ektivi? Čas j e, da priznamo , da večlečn i obj ektiv nima samo ene vozliščne ravnine, ampak dve. Enačbe kot a.- 1 + b -1 = / - 1 še zmeraj velj ajo, če a m erimo od predrnetne ravnine do prve vozliščne ravnine , b pa od slikovne ravnine do druge vozliščne ravnine. Torej je razdalj a me d predmetno ravnino in film om enaka d = a + b+ h , kjer je h lahko tudi negativen, Ihl pa je razdalja m ed vozliščnima ravni- nama. Običajni prospekt i ne navajajo vrednosti za h, kaj šele lege vozlišč , to je prese či š č vozliščnih ravnin z optično osjo . Na srečo sta vozlišči po- gosto blizu skupaj in h blizu O. V tem pri meru ni pos eben greh, če si račun anj e poenostavim o tako , kot smo storili mi. Opozorimo naj , da st a pri teleobjektivih vozlišči lahko pre d objekt ivom . To ni pr esenetljivo, saj tak obj ekt iv z goriščno razdaljo 300 m m v dolž ino lahko m eri le do brih 20 cm . Če si ogledam o proizvajalčev prospekt za tak do ber kilogram težak teleobjektiv (ki je pogost del opreme fotoreporterjev), opazimo, da je na razdalji 2,5 m povečava enaka 0 ,13 . Če bi računali kot v primeru 3, bi do- bili vred nost 0,16 . Glavni vzrok za neskladje ni neupoštevanj e dvo j nosti vozliščnih ravnin, ampak dejstvo, da ima tak obj ektiv notranje ostrenje (angl eško "inte rnal focusing", od tod oznaka IF). Namesto da bi se za slikanje od blizu celotni sest av leč odmikal od filma, se s premikanjem ne- kaj manjših leč znotraj obj ektiva zmanjšuj e goriš čna razdalja . (Podobno na sicer na mnogo enostavnejši način dela naše oko .) Na razdalji 2,5 m je goriščnica zaznavne manj ša od 30 0 m m. Dolžina objektiva ostane ves čas enaka, pr emiki pa so majhni in se dogajajo v zatesnjenem prostoru znotraj objektiva, kar povečuje hitrost in zaneslj ivost delovanja. Specialni objektivi s tako imenovano plavajočo optiko ostrijo z izte- gom in obenem s spreminjanj em goriščne razdalje. Naj m anj pr egledne so raz m ere pri objektivih s spr emenljivo gorišč­ nico - popularnih zoomih . Podatki proizvajalcev o goriščnicah se že pri slikanju zelo oddaljenih predmetov neredko razlikujejo od dejanskih za več kot dovoljenih 6% . Pri slikanju iz bližine se goriščnice še do datno spremenijo . Če pa znamo kolikor toliko oceniti resnično goriščno razdaljo, bodo naši računi dovolj natančni . Peter Legiša. Astronomija I PRIHAJA KOMET HALE-BOPP Zadnja desetl etj a niso bila ravn o bogata s svet limi komet i. Vse od leta 1976 , ko je na nebu kralj eval komet West , do lanske pomlad i ni bilo po- seb no svet lega kometa. Celo težko pričakovani Halleyev komet , ki je pri šel v bližino Sonca v letu 1986, je bil precejšnj e razočaranj e za opazovalce, saj ni dosegel pričakovanega sija. Zato je bil nenad ejan pr ihod kom eta Hyakutake, ki se je Zemlji pri bližal na vsega 15 milij onov kilometr ov, in za leto 1997 napovedan i prih od svetlega kometa Hale-Bopp, pravi prazn ik za astronome in drug e ljubitelj e nočnega neba . Kom et s kataloško št evi lko C j 1995 01 je 23. julija 1995 odkr il ame- riški ljubiteljski ast ronom Alan Hale iz New Mexica. Med svoj im rednim opazovanje m neba je opazil šibko meglica , ki je pr ej v tistem delu neba ni bilo. Dve uri po njegovem telefonskem klicu v Centralni biro za ast ro- nomske telegrame v Cambridgeu, kjer zbirajo opazovanja nebesnih teles, j e prišlo še drugo sporočilo o od kr itju novega komet a . Thom as Bopp je s podo bni m teleskop om kot Hale skor aj sočasno odkri l isti komet. Ker pa je opazoval kakih 140 kilomet rov od svoj ega doma , je potreboval slabi dve uri do telefona, zato so odkr itj e pripisali obema ast ronomoma. Sliko komet a Hale-Bopp j e 18 . 2. 199 i posne l Herman Mikuž na obser va torij u na Črnem vrhu . Na p osnetku j e dobro vid en tak o ravn i plinski rep, kakor tudi širo k in svetlejši p rašn i rep. Astronom ija Izračun ali so , da je kom et Hale-Bopp povratni kom et , ki se giblje po zelo razpot egnj enem eliptičnem t iru z obhod nim časom pri bl ižno 3000 let . 22. m ar ca let os se j e približal Zemlji na 196,7 milijona kilom etrov. V tem času j e bil verjetno najsvetl ej ši in t udi v najugodn ejši legi za opaz ovanje . 1. aprila j e kom et prišel v prisončj e. Tedaj j e bil od Sonca oddalje n 136,7 milij onov kilometrov . Čeprav se j e komet v času odkr itja nah aj al še daleč od Zem lje, je bil nepričakovano svetel. Astronom i so v ti st em času nap ovedovali, da bo kom et verj et no med naj svetl ej šimi v tem stoletj u . Seveda pa je pri ko- met ih težko napovedovati nji hov razvoj v bližini Sonca in se opt imistične napovedi lahko kaj hi t ro izneverijo. Dosedanj e sprem ljanje kom eta pa vendarle kaže, da se bodo prve napovedi astronomov uresničile . Kom et Hale-Bopp se Zem lj i ne bo približal to liko, kot se j e kom et Hyakutake, bo pa verjetno svet lejš i z bolj izrazitim repom. Vsekakor velja srečanj e s kom etom Hale-Bopp za zelo zanimivo in enkratno doživetj e. Vidnost kometa Hale-Bopp iz naših krajev Komet Hal e-Bopp je iz naših kraj ev dobro viden že vse od j anuarj a , viden pa bo šc do konca aprila 1997. Od začetka januarja do sredine m ar ca je bilo komet mogoče opazovati v zgodnjih jutranjih ur ah nad vzho dnim obz orj em . Ob koncu marca je bil viden v večern ih ur ah nad severozaho- dn im obzorj em . Sredi noči j e glava kometa za nekaj ur zdrsnila za obzo rje, rep kometa pa je bi l vso noč dobro viden. V jutranjih urah pa je bil cel kom et zopet viden nad severovzhodnim obzorje m . P rvega aprila je komet Hale-Bo pp prišel v perihelij, Soncu najbližjo točko na svoji orbi t i. V dru gi polovici aprila bo kom et viden le še v večernih urah, saj se bo navidezno vse bo lj bli žal Son cu . V prvih dneh maj a bo dokončno izginil v večerni zarj i . Pojav komet.ov na n ebu Čeprav je poj av kom etov skozi zgodovino lj udem povzročal veliko pr e- glav ic in skrbi , sodobna znan ost posreduj e resnično sliko o teh nebesnih telesih. V velikih oddalje nost ih od Sonca je kom et povsem neak ti vna hladna gmo t a . Ko pa pride v notranje predele Oson čj a, ga na površj u segreje Sončeva svetlob a . Iz njega pričnej o izt ekat i večj e količine pare in prahu , kar opazimo kot oblak okoli j edra in mu pr avimo kom a . Pod vpli vom Sončevega vetra , ki odpihuje snov iz okolice jedra kom et a , nastane značilen rep , kar del a komet e pr ave posebneže v Osončju. Astronomija I Vsako let o pr ide v bližino Zemlje več deset kom etov. Večina kom etov je tako šibkih, da j ih ·j e mogoče videti le s teleskopi . Redkeje se poj avijo kom eti , ki so dobro vidni t ud i s prostim očesom . Kako svetli so? No , nj ihovega sija ni mogoče primerjati s sijem Lune. Ker so to razs ežna telesa , je tud i njihova svet loba porazdeljena med glavo in repom . Prej spom inj ajo na megličast obla k kot pa na kako t rdno gmoto. Glave kom etov so izrazite in navadno bolj ali manj okrogle oblike, repi pa se lahko raztezaj o čez velik del neb a . Čeprav j e celoten sij kometov lahko zelo velik , pa zaradi megličaste pod ob e komet kaj km alu izgine v soju polne Lune ali nesramnih mestnih luči . Ko se kometi približajo Zem lji , j e nji hovo navidezno gib anje po nebu zelo hi t ro. V eni noči lahko prep otujejo cela ozvezdj a . Celo s prostim očesom j e mogoče opazit i pr emikanj e komet ov glede na okoliške zvezd e. Ko se kometi približajo Soncu , se njihovo navidezno gibanj e upočasni. Ob srečnih okoliščinah , ki so odvi sne od lege Zem lje in nakl ona t ira kometa, lahko komet ponovn o opaz ujemo, ko obide Son ce in se prične vračati v zun anj e pr edele Osončj a, Mnogi op azova lci so prepričan i , da poj av kom etov najlepše doživimo z opazovanjem s prostim očesom v odmaknjenih krajih pod temnim jasnim nočnim nebom, ki ga ne motij o mestne luči . Drugi prisegajo na opazovanje z lovskimi daljnogled i, s katerimi lahko hkrati zaj amejo velik del kometove glave in repa. Profesion alni astronom i, ki si služijo kruh z raziskovanjem kometov , uporablj aj o vse sodo bne astronomske pripomočke , da bi prodrli č im globlje v skrivnosti teh nebesn ih popotnikov . Opazovanja kometov iz vesolja Ob prihodu Hall eyevega kom eta let a 1986 so izp eljali prvo mednarodno uskl aj en o vesoljsko opazova lno akcijo . Glavn o vlogo so odigrale t ri velike vesoljs ke agencije, evro pska , sovjetska in japonska. Na srečanje s kome- tom so poslal i kar pet sond, dve sovjetski sondi Vega 1 in Vega 2, japonski Suisei in Sakigake ter evropsko sondo Giot to . Misij a Giotto se j e kometu najbolj približala in na Zem ljo poslala naj pomembnejše znan stv ene po- da tk e. Amer iška vesoljska agencija NASA je ob teji priložnosti doživela hud polom zaradi nesreče veso lj skega plovila Chalenger . V eksplozij i plovila so poleg posadke izgubili t ud i pr vi eksperiment za opazovanj e Halleyevega kometa. Zaradi te nezgode so odpovedali vse nadalj ne polete in tako je pri NASI v vodo padel pr oj ekt Astro 1, ki je bil namenj en opazovanju znam enitega kometa. Američani so veliko znanstv eno izgubo delno nado- mestili s pr eusmeri tvijo st ar ejše sonde ISEE-3 (Third International Sun- Earth Explorer) , ki j e bil a namenj ena opazovanju medsebojnega vpl iva I A stronomija Sončevega vetra in Zem ljin e magnetosfere. Sondo so kasn eje pr eimeno- vali v ICE (Intern ational Cometary Explorer) in jo leta 1985 napo tili h kometu Gi acobini-Zinn er . Ko je julij a let a 1985 rak et a Ariane 1 v vesolje ponesla majhno, 960 kilogramov težko sondo Giotto, si ni nihče up al napovedati , da bo to eden najuspešnejših projektov Evropske vesoljske agencije (ESA). Giot to je bil a prva evropska sonda , ki so jo poslali v medplan etarni pr ostor in sploh pr va sonda, ki so jo posebej načrtovali za opazovanje kakega kom et a iz nepos redne bli žine. Narejena je bila v rekordnem času , saj j e od idejn ega osnutka do izst relitve pot eklo le pet let. Sonda ni bila zgraj ena tako, da bi pr eživela srečanje s Halleyevim kom et om. Pričakovali so , da bodo pr ašni delci , s katerimi se je sonda srečala v bližini kom etovega jedra , uničili njen ščit in vse inštrumente. Kasn eje se je izkazalo, da sonda ni samo pr eživela srečanja s Halleyevim kom etom, temveč je bila sposobna za ponovno op azovanj e drugih kom etov. Glavne naloge sonde Giot to so bili snemanje jedra Halleyevega ko- met a, določanj e sestave komet ove kom e, opazovanje fizikalnih in kemijskih procesov v kometovi atmosferi, merjenje kemij ske sestave prašnih delcev , merj enj e količine nastalega pr ahu in plinov ter merjenje interakcije med plini in Sončevim vet rom. Med pomembnejšimi inštrumenti, ki so bili izbrani za to misijo, j e bila kamera, s katero so snemali položaj in obliko jedra kometa. S pomočjo t reh različnih masnih spektrometrov so meril i sestavo plinov in pr ahu v komi, s še tremi drugimi detektorj i pa hitrosti delcev in m agnetno polj e v bližini komet a. Sonda Giotto se je 14. 3. leta 1986 jedru Hall eyevega kom et a pri - bliža la na vsega 600 kilometrov . Pripravljeni poskusi so zelo dobro uspeli , čeprav je med približ evanjem h kometovem jedru sondo zad el večj i delec in jo rahlo zasukal. Večina poskusov je potekala v času bližnjega srečanja neprekinjeno 32 minut . Sonda je v tem času zbrala kopico neprecenljivih podatkov o zgradbi , fizikalni in kemijski sestavi kometa, ki prej niso bili dostopni zem eljskim opazovalcem . Sond a Giot to je nar edil a prve neposredne posnetke kakega jedra ko- meta . J edro je bilo večj e , kot so pričakovali strokovnjaki. Bilo je bolj ali m anj krompirj as te, torej nepravilne oblike in velikosti 16 km krat 7,5 km kr at 8 km. J edro je bilo tudi m nogo bolj "črno" od pričakovanj , saj so me- rit ve pokazale, da odbija vsega štiri odstotke vpadle Sončeve svetlobe. Za primerjavo naj povemo, da Venera odbija 76 odstotkov vpadl e svetlobe. Odbojnost jedra Halleyevega kometa je primerljiva s temnejšimi področji na površj u Lune in Marsovim satelitom Deimosom . Sonda Giotto je potrdila tudi staro domnevo, da so jedra kometov sestavljena iz "rahlega" ledu, čigar povprečna gostota je približno tr etjina gostote vode. 274 Astronomija I Odkritje prašnih in plinskih curkov, ki kot nekakšni gejziri bruhajo snov v medplanetarni prostor, je pokazalo , da le okrog deset odstotkov površja jedra oddaja snov . Posnetki so tudi pokazali z grički in dolinami razgibano površje, ki se zaradi aktivnosti v bližini Sonca stalno spreminja. Analize plinov so pokazale, da se sestava kome zaradi zap let enih ke- mijskih procesov spreminja z oddaljenostjo od jedra. Zato so le notranj i predeli kome podobni kem ijski sestavi jedra. Kemijska sestava, ki jo j e izmerila sonda, je bila bolj ali manj pričakovana. Meritve v notranjih pre- delih kome so pokazale, da je v kometu 80 odstotkov vode, 10 odstotkov ogljikovega rnonoksida (CO), 2,5 odstotka ogljikovega dioksida (C0 2 ) , CH je udeležen v 7 odstotkih, vsebnost NH je 0,1 odstotka. Sonda je odkrila še sledove železa, natrija in žvep la. Meritve vsebnosti posameznih elem entov v kometu so pokazale, da je njihovo razm erj e podobno razmerju elementov na Soncu . Edina izj em a je dušik, ki ga je v kometu znatno več. Bistvene razlike pa so se po kazale s primerjavo razmerij eleme ntov na Zemlji in v meteoritih. Strokovnjaki si to razlagajo tako, da je j ed ro kometa sestavljeno še iz prastarega materi- ala, iz katerega je nast alo Osončje . Giotto se je najbolj pr ibližal Halleyeve mu kometu, ko je bil ta od Sonca oddaljen približno 0,9 astronomske eno te . V tem času j e jedro kometa vsako sekundo oddajalo okrog 20 to n plina in 33 ton prašnih delcev. To bi lahko primerjali z železniško postajo, ki j o vsako minuto zapusti vlak s približno sto polno naloženimi vago ni pes ka. Analize nekaj tisoč prašnih delcev, ki jih j e sonda opravila med preletom kome ta, so pokazale, da obstajata predvsem dve vrsti delcev. Prva so takoimenovana 'organska zrna', ki so sestavljena iz vodika, ogljika, dušika in kisika . Druga so 'mineralna zrna', sestavljena iz težj ih elementov kot so natrij, magnezij, silicij , kalc ij in železo . Po uspešn i akc ij i ob srečanju s Halleyev im kome tom, so sondo Giotto 'zam rznili' . Po dolgotrajne m počitku so leta 1992 sondo ponovno obudili k življenj u in j o pr ipravili za naslednje srečanje, to krat skometom Grigg- Skjelleru p . Ker j e sonda imela dovo lj gor iva in j e večina naprav še vedno delovala , so njen t ir spreme ni li tako, da se je 10. 7. 1992 približala j edru kometa Grigg-Skjeller up na vsega 200 kilometrov. Sonda Giotto je tudi tokrat dob ro oprav ila svojo nalogo in od kri la predvsem nekatere razlike med komo Hall eyevega komet a in kometa Grigg-Skjelleru p . Po drugi ne- nadejani nalogi so sondo ponovn o 'zamrznili' . Sonda se bo vrnila v bliž ino Zemlje let a 1999 in ker j e na njenem krovu ostalo še štiri kilograme goriva, jo bodo takrat posku sili ponovno oživiti ter pos lati na srečanje s kakim novim kom etom . I Astronomija - R ešitve nalog Vesoljske misije prih o d n osti Po izredno uspešn o opravljeni nalogi sonde Giotto so se pri NASI odloč i li za še bolj dr zen podv ig. S sondo Stardu st (Zvezdni prah) , ki jo bo do izstr elili predvid oma feb ru arj a 1999, naj bi na Zemljo prinesli vzorce prahu iz kometove kome. Leta 2004 naj bi se Stardust potopil v oblak okoli kom eta \Vild-2. S pomočjo aerogela, posebn ega poroznega m ateri ala , naj bi zajeli pline in pr ah , ki obkrožajo kornet ovo jedro. Sonda bo nosila tudi kam ero, s katero bo mogoče na redit i še boljše posnetke jedra , kot j e bilo to mogoče s sondo Giotto. Na brani vzorci se bo do v posebnih kapsulah vrnili na Zem ljo let a 2006. Če bo misij a usp ela , bo to prvi m ateri al , ki bo s kometa prenešen na Zemljo , kjer ga bodo st rokovnjaki lahko natančno preučili . Id eja za drugo vesoljsko mi sijo , ki naj bi v bli žnji prihodnosti odkr i- vala skr ivnosti kometov , j e nast ala pri Evropski vesoljs ki agenciji (ESA) . Izstr elit.ev vesoljske sonde Roset ta bo predvidoma 23. 1. 2003. Če bo šlo vse po načrtih, bi se mo rala v avgustu let a 2011 sonda približati pov ra- tnemu kometu Wirtanen . Na površje kom etovegajedra bo sonda spust ila dve m anjši sondi, Rolan d in Cha m po llion , ki bost.a vsaj 84 ur opravljali različne kemijske in fizikalne meritve. Rosetta bo snemala in zbirala še dru ge podatke o kom et.u vse do okto bra 2013 . Andrej Guštin NAPIŠITE PESMICO - Pesnikov pa ni! Ko smo v tr etji številki P reseka obj avili vabilo, da napi šite odštevanko za metanj e T ur kov čez krov, smo pričakovali , da nas boste zasuli s pošto. Pa smo dobili eno samo pesmico. Poslal nam jo je Dušan Modic iz Novega m est a . To Turke naj izd aja bre z nemira , te peža. Pesnili smo tudi v ur edništvu : Ob muke kapitan zdaj je, več ni zadrege zanj. Potuhnjena skriva za črke se rima preteča. Vab ilo še vedno velja! Naj spomnimo. Napisati morate odštevanko, v kateri si slede samo- glasniki v vrs tnem redu o, u , e, a , i , a , a , e, e, i, a , e, e, a. Marija Vencelj Računaln ištvo I UČITELJI RIŠEJO Ne dr ži, da samo u čenci rešujejo teste. Včasih mo rajo tudi učitelji reševati naloge, ki jih st rogi predavatelj na to popravi in oceni. P red časom smo učitelj e na 150-urnem uvodnem tečaju iz računalništva poskušali presene- t it i z nas lednj im i nalogami iz programskega jezika logo. Ker je bilo o logu le nekaj predavanj , učitelji pa večinoma niso bili preveč navdu šeni nad programiranj em , so naloge vsebovale le vprašanja iz želvje grafike (brez rekurzije) . Poskusit e jih rešiti tudi vi. 1. Kakšno sliko nariše nas lednje zaporedje ukazov: es REPEAT 4 [ FD 100 LT 90 FD 100 LT 90 FD 100 LT 90 PU FD 100 PD ] 2. Katero od naštetih zaporedij ukazov nari še sli- ko na desni ? (Obkroži vse pr avilne od govore.) Želva se pr ed ukazi nahaja v sredini lika in je obrnj ena v desno. (a) REPEAT 3 REPEAT 3 [ FD 100 RT 120 RT 120 ] (b) REPEAT 3 REPEAT 3 [ FD 100 LT 120 RT 120 ] (c) REPEAT 3 REPEAT 3 [ FD 100 LT 120 LT 120 ] (d) REPEAT 3 [ REPEAT 3 [ FD 100 RT 120 ] LT 120 ] Posamezne odgovore (zelo) na kratko utemelji . 3. Sest avi ukaz krizec , ki nar iše lik na desni . Dolžina krakov naj bo 100 enot. 4. Sestavi ukaz cvet , ki nariše lik, ki je prikazan na desn i. Strani ce kvadrata in t rikotnikov merijo 150 enot . Središče lika naj bo na sredini zaslona . IRačuna lništvo - N aloge 5. Sest avi ukaz smreka : d , ki nari še smreko "višine" d . Kot med deblom in vejami naj bo 45 stopinj . Srnreka z "višino" tri je pri- kazan a na sliki desno. 6. Sestavi ukaz stopnice , ki nariše stopnišče s petindvajset imi stopni- cami. St opnice so široke 20 in visoke 10 enot . Pazi , da pri risanju ne boš zašel čez rob zaslona . Stopnišče s sedmimi stopnicami je videti takole: I I I 7. Sestavi ukaz lomlj enka : n : d , ki na riše naključno lomlj eno črto , se- stavljeno iz n daljic . Vse dalj ice so dolge d enot in so lahko vodoravne ali navpične. Naklj učno lomlj enko izbrane dolžine dobimo takole: Na začetku j e želva na sredini zaslona in gleda navzgor . Na vsa kem ko- ra ku (teh bo ravno n) se naključno odločimo za spremembo želvine sm eri za 90 sto pinj v levo, za 90 stopinj v desno ali pa želva svojo smer ohran i. Nato narišemo dalj ico do lžine d v novi sm eri. Martin Juvan MUHE Na dvorišču stoji 2 m visok dro g, na ' vrhu katerega sedijo t ri muhe. Točno opo ldn e vse tri muhe hkrati odl et e v tri različne konce dvorišča . Kd aj se bodo muhe nah aj ale v isti ravnini? Marija Vencelj Zanimivosti - Razvedrilo I BUHTELJNI V LABIRINTU Na predzadnj i st rani ovitka je nenavad en labirint , sestavljen iz barvnih polj. Na poti skozi labirint vas usm erjajo napisi na posameznih poljih . Pravila , ki veljajo v labirinru , so nas lednja: • V vsako roko vzam em o po en s v i nčn ik (ali kako drugo kazalo). P rvega postavimo na polj e številka 1, drugega pa na po lj e št evilka 3. • Potezo v labirintu naredimo tako, da izberemo enega od ob eh svin čni­ kov in up oštevamo navodila na polj u, na katero kaže izbrani sv inčnik. • Labirint je razrešen , ko enega od obeh svinčn ikov pripeljemo na po lje z napisom CILJ . Poglejmo si pr imer ! Denimo, da smo se pri prv i potezi odloči li za sv inčn i k, ki kaže na polje 3. Tam je vprašanje: ALI .JE DRUGI SVINČNIK NA RU MENEM PO LJU? Od govor je DA, saj kaže drugi svinčnik na rumeno po lj e. To rej prem aknemo izbran i svinčn ik s polja 3 po poti označeni z DA na po lje 9. Sedaj se moram o ponovn o odloči t i, s kat erim od ob eh svinčn i kov bomo na redili naslednj o potezo: s t ist im , ki j e še vedno na polju 1, ali s tem , ki je sedaj na polju 9. In tako nap rej , do kler ne pr ip eljemo enega od svinčnikov na CILJ. Reševanj e tega labirinta j e to rej nekoliko drugačno kot pr i običaj nih labirintih , kjer se odločamo , ali bom o na križišču zavi li v levi ali desn i ho- dnik . T u izbiram o svinčnik , s katerim bomo napredoval i, na to pa nas napi s na izb ranem po lju usmeri nap rej . Vprašanja na veči n i polj se nanašajo na položaj drugega svinčnika. To pomeni, da sta oba svinčnika pri gibanj u po labir intu med sabo tesno povezana. Če želimo priti do cilj a , ju moramo voditi usk laj eno . Preizkusite! Pri nerodni izbi ri se kaj hitro zgodi, da nas napis na polju poš lje pop olnoma drugam , kot bi si želeli. Med drugim se nam lah ko pripeti celo to , da se med potjo po labi rintu spremenijo pravi la . Za to poskrbi po lj e 4. Ko izberemo sv i nčn ik , ki kaže na to polj e, ga moramo na j prej premakniti po poti označen i z DA , nato pa moramo pri vsa ki nas lednj i potezi odgovor zanikati (t emu bo mo rekl i pr avilo 4). Denimo, cia se pri neki naslednji potezi znajdemo na polju 11, kjer se vprašanje glas i: ALI .18 TO P OLJ E RDEČE? Odgovor je DA , ker je polje 11 rdeče , toda, ker deluje pr avilo 4, mo ramo odgovor zanikat i, zat o nad aljuj emo po poti označen i z NE . Tako postop amo, dokler pravila 4 ne i zk lj učimo. Pravilo 4 preneha veljati, ko ga akt ivira mo drugič ! Ko pr idemo z enim od svinčnikov ponovn o na po lje 4 in ga izb erem o, najprej up ošt evamo prvi del napisa: POJDI V SMERI DA. Ker pri tej potezi še vedno deluj e Zanimivosti - Ra zvedrilo - Pisma bralcev 279 prav ilo 4, nadalj ujemo po poti označen i z NE. Pri vsaki nadaljni pot ezi pa prav ilo 4 deluje dvakr at. Vsak odgovor moramo dvakr a t zanikati , kar je isto , kot če pravilo 4 sploh ne bi delovalo. Pri vseh poljih je potrebn o premakniti le en svinčnik , razen pri polju številka 10, kjer moramo najprej premakniti drugi svinčnik v smeri DA in na to še svinčnik, ki kaže na to polje, po poti označeni z NE. Če deluje pravilo 4 , se seveda vlogi zamenjata: drugi gre v sm eri NE in prvi v sm eri DA. Pa še to: ALI IMAŠ RAD BUHTELJNE? Ti sti , ki jih radi jeste, nadalj ujete s polja 5 v smeri DA, če jih ne marate, greste v smeri NE. T ist i pa, ki se ne morete odločiti , ali so vam všeč ali ne, lahko čisto po matematično privzamete, da jih , denimo, ne marate. (Če se pa slučajno zgod i, da vam med reševanj em labirinta zadi šijo sveže pečeni buhteljni iz kuhinje, ne bo nič narobe, če privzetek spremenite in si jih privoščite , dokler so še to pli.) Veliko zabave pri reševanju . Iztok Arčon D odatno branje: Labirin te, sestavljene iz izjav, ki se sklicujejo druga na drugo, je izumil Ro bert Abbott in ji h objavil v svoj i knjigi S upermazes, Prima publishing, Roc klin, Calif., 1996. Lep pr imer Abb ot tovega labirinta lahko najdete v decembrski številki revije (1996) Scientifi c Am erican . Prevod je bil objavlje n veni zadnj ih številk revije Življenje in tehnika. PISMA BRALCEV Srednješolka Metej« Jerše iz Lj ubljane nam je poslala nasl ednj o zanimivo nalogo: KVADRATNA FUNKCIJA IN ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK Dokaži, da so teme in ni čli kvadratne funk cije oglišča enakostraničnega t rikotnika natanko takrat, ko je diskriminanta enaka 12. Naloga je res lepa in Mateja zasluži čest i tke zanj o. Sedaj, ko je odgovor na dla ni, naloge ni več težko ugnati. Poskusite! Odgovorna urednica Novice I STO LET ELEKTRONA Leta 1995 je poteklo sto let od odkritja rentgenske svetlobe, 1996 st o let od odkritja radioaktivnosti in 1997 sto let od odkritja elekt rona . Med seboj povezana odkritja so prispevala k nast anku današnje fizike. Mise l, da je snov sestavljena iz delcev, izvira iz kemije. Fiz ikom se je govorjenje o atomih spočetka zdelo preveč ohlapno. V drugi pol ovici prejšnjega stoletja pa so za velikost atomov dobili ocene, ki so se čedalje bo lje ujemale, in so atome sprejeli v fiziko. Najprej so jih im eli za nespre- men ljive in nedeljive, a odkritje radioaktivnosti je pokazalo , da se atomi enega elementa lahko spremenijo v atome drugega elem enta . Že prej je od kr itje elektrona nakazalo , da so atomi sestavljeni iz naelektrenih del- cev. To mi sel so fiziki razvij ali do današnjih dn i in pri tem odkrili veliko novih delcev. Neka te re od te h so imeli najprej za nesestavljene, pa se je pokazalo, da niso taki . Toda elekt ron, ki so ga odkrili prvega , še danes velja za nesestavljenega. Je najstarejši osnovni delec . Z odkritj em Voltove baterij e so fiziki lahko raziskovali st alni električni tok. Najprej so od tega pridobili kemiki. To k so spelj ali skozi raztopine soli in pri elektrolizi odkrili nekaj nov ih elementov. Mich ael Faraday, eden od najuspešnejših eksperimentatorjev, je let a 1824 spoznal, da iz raztopine soli enak naboj izloči kilomol katerega koli enovalen tn ega elementa. Ob tem je razmišljalonaboju iona, to j e naelektrenega delc a , ki potuj e po raztopini . Vendar si tedaj o pojmih atoma in mo lekule še niso bili čisto na Jasnem . Leta 1874 je George Johnstone Stoney prvi ocenil velikost naboja enovalentnega iona in je ta naboj imenoval elektron . Z imenomj e posegel v prazgodovino elektrike. Tako so imenovali jantar, za katerega je bilo znano, da privlači lahke koščke nekater ih snovi, če ga podrgnejo . Stoney je poskušal pojasniti sevanje svetlobe z gibanjem nae lektrenih delcev v atomu. Razmišljal je celo o gibanju po elipsi, a misli ni dalj e raz vil. Po leg toka po raztopinah soli so raz iskovali tudi tok po razredčenih plinih . Heinrich Geissler j e razvil črpalko , s katero j e izsesal zrak iz st e- klenih cevi , da je padel tlak pod tisočino navadne vrednosti . Po ceveh · j e pognal električni tok in opazoval , kako se j e svetil pl in in kr istali v cev i. Sodeloval j e s fizikoma J uli usom Pliickerj em in Johannom W ilhel- mom Hittorfom. P rvi je let a. 1858 opazil , da izhaj a pri dovolj nizk em tlaku pr eostalega plina iz katodc, to j e negativne elektrode v cevi, raven svetleč pramen. Drugi j e čez deset let skoval im e katodni žark i. Pozneje je op azil , da so se žarki ukrivili , ko je cevi približal magnet. Novice V Angliji je William Crookes delal poskuse, ne da bi vedel za nem ške poskuse. Na nasprotni strani kat od e, kjer so katodni žarki zad eli cev, se je steklo zelenkasto svetlikalo . Tam je nastala povečana senca kri ža iz slj ude, ki ga je pos tavil na pot katodnim žarkom. Žarki so stalili košček platine, ki so ga zadeli na svoji poti. Po tem je Cro okes sodil , da so katodni žarki negativno naelektrene mol ekule. Ali niso morda katodni žarki valovanj e? Dilemo - ali delci ali valova- nje - so si fiziki postavili že o svetlobi. Tedaj se že vedeli , da je svetlo ba elekt romagnetno valovanje. Dokler se še niso navadi li na pojem elek- tričnega in magnetnega polj a , so pri tem mislili na mehanično valovanj e po etru , nekakšni zelo rahli snovi . Heinrich Hertz se je leta 1883 tako vprašalokatodnih žark ih . Okoli nji h bi se moralo poj aviti magnet no po lje kot okoli to ka po žici, če bi ji h sestavljali hitri naelektreni de lci. Polja ni zaznal , ker je imel prem alo natančen merilnik . Zar adi tega, ker mu ni uspelo dovolj znižati tlaka, tudi ni ugotovil , da bi naelektreno telo odklonilo katodne žarke. Zato je imel katodne žarke za valovanje. Na to gaje napeljala tudi ugotovitev, da predrejo katodni žarki tanko plast snovi. Njegov učenec Philipp Len ard je podrobneje raziskal oslab it.ev žarkov pri prehodu skozi tanke kovinske lističe. Opazil j e, da te lo dobi negat ivni naboj, če prestreže katodne žarke. Kot Hertz se je nagibal k misli, da so katodni žarki valovanje et ra , poleg tega je okleval z obj avo izidov merjenj. V Anglij i j e let a 1890 Ar thur Schuster izmeril odklon kat.odnih žarkov v prečnem m agn et nem polju. Po odklonu v znanem magnetnem polju je mogoče sklep ati na specifični naboj, to je na kvoc ient naboj a in mase. Schuste r j e za specifični naboj dobil približno 1011 As/kg (tedaj so upo- rabljali druge enote ) . Specifični naboj ionov pr i elekt rolizi j e bil tisočkrat manjši. To bi pom enilo, da imajo katodni žarki tisočkrat manjšo maso od ionov , če imajo enako velik nab oj . Ta misel se mu je zdela nesprejemljiva . Domneval je, da postan ejo katodni žarki ob trkih z mol ekulami v ostanku plina zelo počasni in se zato precej odklonijo. Schusterj eva merjenjaje v Nemčij i ponovil Wa lte r Kaufmann in prišel do enakega specifičnega naboja. Prepričal se je, da zaradi trkov z mole- kul ami žarki ne pos tanejo znatno počasnejši . Tod a tudi njemu se je zdel tolikšen specifični naboj nesprejemljiv. Leta 1896 je na Nizozemskem Pieter Zeem an raziskoval svetlobo, ki so jo sevale nat rij eve pare v magnetnem polju. S t.em je nadalj eval raz- iskovanja Michaela Faradaya, ki j e iskal in naš el vpliv magnetnega po- lja na svetlobo. Zeem an je s spektroskopom razstavil izsevan o svetlo bo na sestavin e z določeno valovno dol žino in ugotovil, da so se spe ktra lne N ovice I črte v magnetnem polju razširile. (Danes vemo , da se črte razcepijo na več bližnj ih črt .) Zeemanov uči telj Hendrik Antoon Lorentz je pojasnil to z vp livom magnetnega polja na gibaj oče se naelektr ene delce. Pravo razširitev je dobil, če j e za specifičn i naboj upošteval podatek za kato dn e žarke. Poskuse s katodnimi žarki je delal t udi Francoz Jean Perr in. Leta 1895 je ugotovil, da naelektr eno telo zgubi naboj , če prestreže katodne žarke. Negativno naelektreno telo je odbijalo katodne žarke. Izmeril j e odklon katodnih žarkov v magnetnem polju , a je odlašal z objavo. Nemec Johann Emil Wiechert je leta 1897 na j avn em predavanj u naredil nekaj poskusov s katodnimi žarki. Po odklonu v magnetnem polju je sklepal, da imajo katodni žarki okoli tisočkrat manjšo maso kot vodikovi IOn I. S lika l. Joseph J o h n T h omson o b ce v i za katodne ža r ke v Cave nd ish evem la b ora t or iju. So delavci so ga k lica li Džej D žej . J oseph John Thomson (slika 1) je na javnem predavanju 30. aprila 1897 v londonski Kr alj evi ustanovi izvajal poskuse s katodnimi žarki . I Novice Elektroda se je negativno nael ektrila, ko je z magnetnim polj em usm e- ril nanjo katodne žarke. Nato je najprej žarke odklonil zmagnetnim poljem in na to z dodatnim elektr ičnim poljem odklon izravnal (slika 2) . Za specifični naboj je dobi l nekaj več kot 1O11 As/kg. Po tem je sklepal, da sestavljajo katodne žarke delci, ki sta jih Zeeman in Loren tz zasledila pr i sevanju svetlobe vatomih . Im enoval jih je korpuskule po lat insk i be- sedi za delce. Pozneje je še natančnej e izmeril njihov specifični naboj in izračunal m aso s privzetkom , da imajo enako velik naboj kot vodikovi ioni . S časom se je po Lorentzevem predlogu kljub Thomsonovemu na- sprotovanju uveljavilo ime elekt ron , ki ga Stoney prej predlagal za to , kar danes imenuj emo osnovni naboj . Slika 2 . Cev , s katero j e J . J . Thomson pred sto le ti naredi l od l očil ni poskus s katodnimi ža rki. Zgornja r isba ka že kondenzator , katerega električno polje j e odklonilo žarke na vzd ol , in obris t uljave, ka tere magn etno polje iz ravnine papi rj a j e od klonilo ža rke navzgor. Žarki se ni so od klon ili, ko sta bili vključeni ob e polji . 284 N ovice I Za odkritelja elektrona velja Joseph J ohn T homson in za datum od- kri tj a 30. april 1897. Več im en smo omenili, da seje bralec lahko prepričal , kako je v resnici od kritj u bo trovalo večdesetletno delo št evilnih fizikov. Schuster je prv i omenil zelo velik specifičn i nab oj. Wiecher t j e prvi zago- tovil , da imajo kat odni žarki enako velik naboj kot vodikovi ion i. Drugi, tudi t ist i, ki so zaradi negot ovosti oklevali z objavo svojih izidov ali so se opr ijeli zgrešene misli , da gre za valovanj e, so pomagali izpopolniti me- rilno tehniko. Najbrž je J oseph J ohn T homson naredil odloči ln i korak in ni narobe , če navedemo njegovo ime, ko je treba imenovat i enega sameg a od kr it elja. Enako res pa je, da s tem naredimo krivico fizikom. Joseph J ohn T homson je dosegel več drugih uspehov. Rojen je bil let a 1856 . Najprej je želel postati inženir , a se je prem islil in končal študij fizike na univerz i v Cambridgeu . Komaj sedem indvajsetl eten je tam pos tal vodj a Cavendishevega inšti t uta in ga je usp ešno vodil do let a 1919. Umrl je leta 1940 in je poko pan v westminstr ki kat edral i ob Newtonu. T homso n si je zamislil prvi mo del atoma. Ato m naj bi sest avljal pozit ivni nab oj , v katerem naj bi bila zbr an a domala vsa masa atoma. Po njem naj bi bili razporejeni elektroni kot rozine v potici in bi nihali okoli ravnovesnih leg. Pozneje se je T homso n posvetil raziskovanju kan alskih žar kov, to je pozitivnih ionov , ki v cevi s tokom po razredčenem plinu uhaj aj o skozi tanek kan al v katodi. Z odklanjanjern v elek tr i čnem in magnetn em polju je natančno določil njihovo m aso in ugotovil , da imajo ioni ist ega elementa lahko raz lično maso. Tako je odkril izotope, ki so jih že prej spo znali pri radi oaktivnih element ih. Njegovi u čenci so izpopolnili masno spe ktrorne- t rije , kakor imenuj emo natančno merjenj e ionskih mas. Leta 1906 je dobil Nobelovo nagrado za "teoret ično in eksperimen- talno raziskovanje e lektričnega to ka v plinih" . Enako nagrad o je dobilo pozneje tudi sedem njegovih nekd anjih sodelavcev. Let a 1937 je dobil na- grado tud i njegov sin George Paget T homso n. To ni edini pr imer , da st a dobil a nagrado oče in sin. Vendar je edini primer , da je sinovo odkritj e "nasprotovalo" očetovemu . Oče j e z merj enjem ugotovil, da so elektroni v ka todnih žarkih delci , sin pa se je prav tako z merj enji prepričal , da kažejo elekt roni lastnost valovanj a . Nagrado je dobil za "eksperime ntalno odkritje uklona elektronov na krist alih " . To ni bilo valovanje, o kakr šnem so razmi šljali Herz in somišlje niki, ampak del nove - kvantne - mehanike. Janez Strna d I Rešitve nalog TRIKOTNIK NA TRAKU - Rešitev s str. 200 Naj t rikot nik 6. leži med vzporedni cama JI in q. Če j e h dol žina njegove najkrajše višine in d razdalja med p in q, moramo dokazati, el a j e h < d. Zazn amujmo z A tisto oglišče trikotnika 6. , b j e najbli žje pr emici p, z B pa tisto oglišče trikotnika 6., ki je najbližj e premici q. Potem tretje oglišče C trikotnika 6. leži med vzporednico pi k p skozi A in vzporednico ql h q skozi B . Razdalja dl med pi in ql seveda ne presega d. Brez škode za spl ošnost dokaz a smemo privzeti , da j e oglišče A vsaj toliko oddalje no od pr avokotnice r na p in q skozi C kot oglišče B (v nasprotnem primeru namreč zamenjamo vlogi točk A in BJ. AC' ---- - - - +-- - - - - - - - - - - - - --- q --- - - --+-----=-""r-:::- - - - - - --- - ql UTESNJENI TETRAEDER - Rešitev s st r . 200 Naj pravilni tetraeder ABCiJ' s stranice dolžin e a leži med vzporedn ima ravninama P in Q, ki st a za d oddalj eni druga od druge. Privzeti sm emo, daje og lišče A najbližje ravnini P , oglišče B pa najbližje ravnini Q. Oglišči C in D potem ležita med ravnino pi , ki je vzporedna P in gre skozi A, ter ravnino QI , ki je vzporedna Q in gre skozi B . Razdalja dl med pi in QI seveda ne pr esega d . Brez škode za splošnost dokaza sm emo pr edpostaviti, da je oglišče C vsaj toliko oddaljeno od pi kot oglišče D (v nasprotnem pr im eru namreč zamenjamo vlogi točk C in D). Zasukajmo tetraeder ABCD okrog osi AD, tako da se rob BC postavi vzporedno ravnini pi R ešitve nalog I in ostane na isti st ra ni ravnine r' , kot je bil pr ed zas ukom . Pri tem naj se B zasuče v B' , C pa v C' (glej sliko 1). Slika 1. Ravnina n skozi B in C ter ra zpolovišče E rob a AD j e pravokotn a na AD , za to se točki B in C pri sukanj u gibljet a po njej . Trikotnik BCE j e enakokrak in velja IBCI = a , zato njegova najkraj ša višina po- teka iz oglišča E . Od tod s pomoč­ j o naloge Trikotn ik na traku (nj ena rešit ev j e na pr ejšnji strani) in sli- ke 2, ki kaže zas uk v ravnin i n , lahko br ž ugotovimo , d a t ud i te- traeder AB'C' D leži med pI in Q' . Zas ukajmo zdaj tetraeder A B'C' D okrog osi B'C' , t ako da se rob A D postavi vzporedno rav- nini pI in se D ne oddalji od P' . Pri tem naj se A z asuče v A' , D V D' , E pa v E' (glej sliko 3). G R. Slika 2. B B' B'G'II,. r I R ešitve nalog s pi Slika 3. F' Ravnina S skozi A in D ter razpolovišče F' roba B'G' je pra- vokotn a na B' G' in na ravnino pi , točki A in D pa se pri sukanju giblj eta po njej . Podobno kot pri prvem zas uku tet raedra lahko vi- dimo (glej sliko 4, ki kaže zasuk v ravnini S) , da tudi tetraeder A' B' G'D' leži me d pi in Q'. D s s A Slika 4. A'D' lls Da ljica E' F' v tetraedru A' B' G' D' j e pr avokotna na p i, zato je lE'F'j --t anxn +...+ ao· 111atematika Z uporabo pravil (4) , (6) in (8) se v zgornjo trditev prepričajmo . (a EB b)2 = (o. EB b) 0 (a EB b) = (a EB b) 0 a EB (o. EB b) 0 b = =a 0a EBb 0a EBa 0b EBb 0b = = a2 EB (a 0 b EB a 0 b) EB b2 = a2 EB b2 . Za vajo izpelji mo form ulo za EB-vsoto prvih n naravni h števil. Z nekaj poskušanja uganemo in na koncu z uporabo popolne indukcije dokažemo form ulo { 1 n+1 1 EB 2 EB . . . EB n = ~ za 41(n + 3) za 41(n + 2) za 41(n + 1) za 41n Bralec lahko sam izpelje še formuli za EB-vsoto prv ih n sod ih in prv ih n lihi h štev il. Zan imivo je opazovat i praštevila v kolobarju (IN, EB , 0 ). Pojem pra- števila je tu definir an enako kot pr i običaj nih operacij ah - praštevilo v kolobarju (IN, EB , 0 ), recimo mu 0 -praštevilo, je takšno naravno št evilo p , ki ga lahko na pišemo kot produkt p = a 0 b drugih dveh na ravnih števil le, če j e eno od št evil a in b ena ko 1, drugo pa p . Dodatno predpišerno še, da število 1 ni praštevilo. Pisec članka je poiskal vsa 0-praštevila , ki so manjša od 500. 2,3 ,7 , Il , 13,19 ,2 5,3 1,37 ,41 ,47 ,55 ,59 ,6 1,67,73 ,87,91 ,97 , 103,109 , 115,117 ,131,137,143, 145,157 ,16 7,1 71,185 ,191 ,193,203 ,2 11,213 ,229, 239 ,241,247 ,253 ,283 ,285 ,299 ,3 01,313,319,333 ,35 1,355 ,35 7,361,369, 375,379,391,395,397,415,419,425,433;445,451,463,471,477,487,499. Vid imo , da je med nj im i nekaj običajnih praštevil , ni pa vseh . Prav tako niso vsa 0 -praštevila običajna praštevila. Zanimivo je, da se tudi tu poj avljajo tako imenovani dvoj čki , to so pari pr aštevil, ki se raz likuj ejo le za 2, npr . (11, 13) , (59,61) , (115,117) . . . Postavim o si lahko vprašanje, ali je takšnih parov praštevil neskončno , a bojim se, da odgovoriti nanj ni enostavno . Pri običajnih praštevilih je enako vprašanje eno od najslavn ejših odprtih prob lemov teorij e števil. M atematika I Čeprav se zdijo vpr ašanj a v zvezi s 0)-praštevili ena ko težka kot vprašanja o običaj n ih praštevi lih, j e avtorju le uspelo dokazat i zanimiv izrek. Izrek: Če je od 2 različno število p z dvojiškim zapisom Pn . . , PO(2 ) 0 -praš tevilo, j e 0)-praštevilo tudi število f5 = PO . . . Pn (2) ' Dokaz: Najprej opazimo , da je zadnja dvojiška cifra PO šte vila P enaka 1, saj bi se drugače število P lahko zapis alo kot produkt P = = Pn . . ,P1(2 ) 0) 10(2), to pa je v protislovju z dejstvom , da je P od 2 različno 0)-praštevilo. Z grško črko r označimo funkci jo , ki naravnemu številu a = = a" ... ao (2) priredi število r(a) = ao . . . a" (2)' Velja torej jj = r(p) . Ker se število p konča na cifro 1, očitno dr ži enakost r (r(p )) = p. Funkcija r pa im a še eno zelo lepo lastnost - je mu ltiplikativna: r(a 0) b) = r (o) 0) r(b) . V to se prepričamo s pomočj o definicije (An, ker pa je račun kar dolg in nič kaj tež ak, ga iz puščam . . P redpos tavimo sedaj, da šte vilo f5 ni 0)-praštevilo. Tedaj obstajata od 1 in f5 različn i naravni štev ili a in b, tako da velj a f5 = a 0) b. Vendar tedaj velja tudi p = r(r(p)) = r(jJ) = r(a 0) b) = r(a) 0) r(b) . Ker je p 0)-praštevilo, j e eno od št evil r (o) in r (b ), denimo r (a), enako 1. Ker je a oj:. 1, je število o oblike 10 . . .0(2) ' To pa je nemogoče , sa j bi bila ted aj zadnja šte vka pro dukt a f5 tudi enaka 0, kar pa ni, saj j e zad nja št evka št evil a f5 hkrati prva števka št evila p. Predpostavka , da število f5 ni 0)-praštevilo, nas je pripelj ala v pro - tislovje, kar pomeni, da je bi la napačna . S tem je izrek dokazan. Za konec naj vas še preprica m , da operaciji EB in 0) nista povsem za lase privlečeni in da imata lah ko tudi precejšnjo uporabn o vrednost . T ist i bralci, ki berejo Presek že več let , se morda spo mnijo zmagovalne strategije pri igri Nim, ki je bila opisana v 4. številki P reseka šolskega let a 1985-86. Naj na hitr o ponovim . Nim je igra, ki jo igrata dva igralca s pomočjo 15 vžiga lic, ki jih na začetku razporedita v pet kupčkov po 1, 2, 3, 4 in 5 vžigalic. Igralca I !v! at ematika - R ešitve nalog izmenoma jemljet a vžigal ice s kupčkov tako, da vsak ič po bereta s poljub- nega kupčka po ljubno število vžigalic (vsaj eno in največ to liko, kot j ih na izbranem kupčku j e). Zmaga t ist i, ki pob ere zadnjo v žigalice. Kako igrati , da bomo zmagali? Denimo , da je v t renutku , ko smo na pot ezi , v posameznih kup čkih 0 1 ,02 , . . . ,05 vžigalic . Seštej mo s = = 0 1 E8 0 2 E8 ' . . E8 0 5 . Če j e vsota s enaka O, smo izgublj eni. Če pa je s i- O, j e gotovo (kot se izkaže) res a; E8 s < 0i za vsaj en indeks i :S: 5. Ko poiščemo t ak ind eks, pob erem o z i-t ega kupčka t oliko vžigali c, da jih bo ostalo še a, E8 s. Ker je a; E8 s < 0 i , j e to dovoljena poteza . Tedaj se bo naš nasp rotnik znašel v situac ij i 0 1 , . . . , a, E8 s , .. . ,05 z vsot o s = 01 E8 . .. E8 a, E8 s E8 . . . E8 0 5 = s E8 s = O in bo izgublj en , saj bo s svojo pot ezo vsoto O gotovo pokvaril. Od tod sled i , da našemu nasprotniku nikoli ne bo usp elo doseči situ acij e, ko bodo vsi kupčki praz ni, saj j e takrat vsota s enaka nič . Na z ačetku je vsot a 1 E8 . . . E8 5 enaka 1, kot se to lepo vidi iz formule za vsoto prvih 11 naravnih števil, in zato tisti , ki je na pot ezi, dob i (denimo tako , da vzame osamlje no vžigalico s prvega kupčka) . Naša formula nam pove tudi, da bi bila za prvega igr alca igra izgublj ena, če bi igrali z 28 vžigalicami in 7 kup čki, saj j e vsota 1 E8 . . . E8 7 enaka O. P rimož Potočn ik M N OŽEN JE Z DEVET - Rešit ev s str. 221 Po iskati moramo štirim estno števi lo, katerega produkt s šte vilom 9 je t udi štirimestno štev ilo s števkami v obr atnem vrst nem redu . • Če bi bi la prva šte vka večja od 1, bi m noženje z 9 povečalo število števk. Iskana število je torej oblike l obe. • Nad alj e je lobe x 9 = 9b01, torej iščemo št evilo oblike 10b9, • Iz sled i 890 + 8 = b, od koder do bimo za števki a in b edino mož nost a = O, b = 8. Iskan a število j e 1089 = 332 = 3 . 121 · 3. Marija Vence lj Naloge - Rešitve nalog I MIHA IN RAZLIKA DVEH KVADRATOV Miha je potem, ko so v šoli utrdili razcep razlike dveh kvadratov, pr išel na naslednjo misel: Ker razlik o dveh kvadratov lahko vedno zap išem o kot produkt , j e ra zlika kvadratov dveh celih števil vedno sestavljeno število. Na primer: 52 - 22 = 25 - 4 = 21 = 3 . 7 , 102 - 62 = 100 - 36 = 64 = 4 . 16 , 122 - 72 = 144 - 49 = 95 = 5 . 19 . Navdušeno je svoje 'odkritj e' zaupal Ani, da bi se pred njo postavil. Ta je malo pomislila , potem pa navedla primer , ki ni ustrezal Mihovemu pravilu . Bi znali najti tak prim er tudi vi? Zakaj ga ni težko dobiti? M arija Vencelj KRIŽANKA "ŠAH" - Rešitev s str. 224 - c::= .~ ~ ~ ~ ~ -,"il"'...:' - - ~ .- _. ~~ ~. - ::: _.~ ~~ K o S o V E L -~ o M A K § M I ŠA r.::::~ R D N J A V A ~ S E K U N D A N T ~~~ -,~ A ~ 1- ~=. ~R A D o r;,- S I M U L T A N K K A ~ ~ = s ~- o P A L =" B o J E V A L D ~ E M B o N '- '~, ~ $5 'l:i"_. T R N J E ..,.":''::'" B A R L E - J E D A R E ~ V o L ~ w_. D A;;- ~_ no V o z P A T ~ Č A A M I _. K o M E T I E- v Et ,=. E :EE N K ~o M I L I T E ~ B J A L A C A N R -S Ž ~ = T ::: -~ R o T o ~- A F R A N ~ G A M B I C I o::".. I C ~ S E L I T E V ~ - F L o B E R T ~ L I J '~1 T I P ~ C o L ~ R A c ~ R E N A T ~ V E J APOJ:m'" A = - E J U P '"= G o R I Č A N E - A v ~ T A J D A ~ ~ ~ G ~ o ~'= V A J E T I o T 'e p A L A K A I - -- CiJ ~ K A K A Č .~ R o K A D A ~ B L A T N I K '~. A L A V A ~. A N I T A ,- F I A N K E T o ~ Č J :::::1 T J ~ M E T A N _. V R S T A ~. o Š I Tekmovanja 32. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE - Rešitve nalog s str. 238 BaA 7 . razred 1. Monika je izboljšala svoj čas za 6s, torej l~~s = 210 = 5%. Andrej je izboljšal svoj čas za 6s, to je l~~S = 215 = 4%. Monika je izboljšala svoj rezultat za večji odstotek. 2. Izraz ima vrednost O, če je (0,125 , (_2)3 . j2f. (-!) - ~t) = O. Od tod dobimo ~ . (-8) . ~ . (-!) - ~t = O in ~ - ~t = O, zato je t = 1. 3. 3n +2 - 2n +2 + 3n - 2n = 3n . (3 2 + 1) - 2n . (22 + 1) = = 3n . 10 - 2n . 5 = 3n . 10 - 2n - 1 . 10 = (3n - 2n - 1) . 10 4. Ploščina trikotnika 6ABC je PABC = C = PABT + PBCT + PCAT · Če označimo razdalj e točke T do stranic z x, y in z , dobimo av = ar + '!:JL + a.z kjer a -1- O 2 2 2 2' I· Torej je v = x + y + z . 5. Iz 01 = 271" sledi 1'1 = 1 in iz 02 = 1071", da je 1'2 = 5. Od tod dobimo 5152 = 1'1 + 1'2 = 6 in 03 = 671" ali 5152 = 1'1 - 1'2 = 4 in 03 = 471" cm. il 8. razred 1. Iz pogojev naloge dobimo enačbo ~x + 130 (180 - x) = 60, ki ima rešitev x = 80, kar pomeni , da. so imeli v trgovini 80 kg jabolk in 100 kg hrušk. Tekm ouanja I s A c Db2" a a 2" c E A Enačba ~ (~ + ~ (x - ~ (;1: + 2))) + ~ = Oima rešitev z = - 6. Pre- sečišče grafa funkcije z abscisno osjo je torej i\!I(-6,0), od tod pa dobimo O= (5m - 2)· (-6) + 12m - 3 in m = ~ ter f(x) = ~x + 3. Iz pravokotnega trikotnika 6CAE do- B bimo (". )2+b2 - t 2 t orej b2 - 52- a"2 - al - 4 . Iz pravokotnega trikotnika 6CDB do- bimo a2 + (~ )2 = t~ in a2 = n - ~ . Ker je c2 = a2 + b2 , je tudi c2 = - (~'3 bO) + (h 2 a2) SI Ii 2_- I. - 4"" ;) - 4"" ' ec 1 C - = 125- (a"t b" ) in c2 = 125 -~, od koder dobimo c = 10 cm. 5. Ker je Ti\!I =~,je VI = MV = = 2 · T lH = ~ in v = TV = - a'{3 ·1 = %. Zato je P = a"v'3 + ~ .o . av'3 - 3a"v'3 in V - 4 2 3 - 4 - = %- . a"fS .%= a~? Od to d do- . 3a"v'3 _ a 3 ,J3 . - 8bl mo - ,-j - - ~ III a - 1 . -1. Iz VSI = l'V'}, in VS 2 = R/2 dobimo R/2 = rV'}, + R, od tod pa r : R = (/2 - 1) : V'},. 2 . ') oJ. Aleksander Potočnik I Tekmovanja 16. DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE - Rešitve s str. 239 7. razred Rešitve teoretičnihnalog: 1. Med tališčem in vreliščem je 100 stopinj Celzija oziroma 180 stopinj Fahrenheit a. Ena stopinja Fa hrenheita predstavlja le 5/9 stopinj Cel- zija. Kadar j e temperatura 50 stopinj Fahrenheita, je to 18 stopinj Fahrenheita nad tališčem ledu , kar pomeni V New Yorku je tega dne temperatura 10°C. 2. a) Delo opravljajo le sile , ki so vzporedne s premikom. Ker je pri A sila vzporedna s premikom , op ravi naj večj e delo. V primeru 13 in C sta komponenti sile F", ki sta vzporedni s premikom, enaki in zato opravita sili v primeru 13 in C enako delo . b) Ker je sila trenja sorazmerna kom ponent i vsote sile teže Fg in sile F, ki je pravokotna na podlago, moramo po velikosti razvrstiti le to kom ponento sile . Komponenta vsote ig + i, ki je pravokotna na podlago , je v primeru A kar enaka teži te lesa Fg . V primeru 13 j e pravokotna kompon ent a vsote obeh sil manjša od teže telesa in je enaka Fg - Fp. V primeru C pa je pravokotna komponenta vsote ob eh sil večja od teže te lesa, ker te lo nekoliko pritiskamo ob tla, in je enaka Fg + Fp. Po velikosti si sile trenja od naj m anj še do največje sledijo tako: 13, A , C . 3. Raztezke elastik in sile lahko določamo z načrtovanjem ali računsko . Označimo do lžino neraztegnjene elastike z lo, do lžino raztegnjene ela- stike , ko stoji trikotnik na oglišču C, z Il in dolžino raztegnjene ela- stike, ko stoji trikotnik na stranici AB, z 12 . Tekmovanja I Iz geom etrije problem a (slika a) razberemo, da dolžina neraztegnjene elastike preds tavlja stranico nekega trikotn ika (ne tistega, v katerega so pr ivezane elastike) , katerega višina je x, dolžina raz tegnje ne ela- stike II pa diagonalo kvadrata z ena ko stranico x , tako da velj a Dolžina II je J3x = -lo 2 lil II = .)Ilo= .)IlO cm = 12,2 cm . Ayt(-_ ---=::....__:-- ----;::;fB lo C (a) (b) Silo , s katero je raztegnjena elastika v tem pri meru, lahko prav tako i zračunamo ali si pomagamo z načr tovanj em (slika b) V zad njem pri meru napenja elast iko celotna teža uteži (.Fe Fg ) . Raztezek elast ike je sorazmeren s silo, ki jo napenj a Tekmovanja F (i2-lo) = .:s. (il -lo) = (V3 - V2) lo = 3,2 cm .r: Do enakega rezu ltata lah ko pri demo tudi s skrbnim načrtovanjem in merj enj em ustrezn ih do lžin (slika a) Fg 1 N(l2 -lo) = - (il - lo) = --(12, 2 cm - 10 cm) = 3,1 cm ,r: 0,71 N plastc n ka ! Umerj anj e tehtnice: Upo gibna tehtnica j e sest av- ljena iz plastenke, v katero smo pr itrdili do lgo prožno tanko kovinsko palico s ka- zalcem na koncu. Premik kazalca od č itavamo na pri - loženem m ilimetrskem pa- pirju . Če na konec palice ob esimo 5,6 g utež , se kazalec povesi za 23 mm. Ob vsaki dod ani 5,6-gramski uteži se kazalec pov esi še za 23 mm. Tež a merjenca Fg je produkt njegove gostot e Pm, prostornine V in težnega pospešim g: kar se dovolj dobro ujem a s pr ej šnj im rezul t a tom . Predlagane r ešitve eksper imen taln ih n alog: 1. Fg = PmVg . Sila vzgona , ki deluj e na potopljeni merj enec Fu , paje enaka produktu gostote vod e Pu, prostornine merj enc a in težnega pospeška r ; = PUVg. Navidezna teža merj enca v vodi j e enaka raz liki teže merj enca 111 vzgona F~ =Fg - Fu = (Pm - pu)V g . Gostota m erj enca je Pm = PU F _ F ' g g Ko na tehtnico obesimo prvega od neznanih merj encev , se kazalec povesi za 80 mm . Merj enec tehta torej 20 g. Prvi merj enec , potopljen Tekmovanja I v vod i, pa kazalec povesi le za 70 mm . V vodi navidezno tehta 17,5 g. Iz teh podatkov lahko izračunamo gostoto merjenca , ki je 8000 kgj m3 . 1\0 na teht nico obes imo drugega od neznanih merjencev , se kazalec povesi za 45 mm . Merjenec tehta torej 10 g. Drugi me rjenec , poto- plj en v vodi, kazalec povesi le za 10 mm . V vodi navidezno tehta 2 g. Iz teh pod atk ov lahk o i z računamo gostoto merj enca , ki je 1290 kg/rn :'. 2. a) i) ii) iii ) iv ) Gl adina v čaši j e nekoliko pod gladino v banji. Ko sveča ugasne, je glad ina vode v čaši višje, kot je bil a na začetku . Gl adina vode v čaš i je še nekoliko višje kot v tr enutku , ko sveča ugasne. Na začetku posku sa je tlak v posodi pz enak pz = PO + pg(x - Xl ) , kjer je PO zunanj i zračni tl ak , p gosto ta vode, 9 t ežni pospešek, :r globina vode v banji in X l globina vode pod čašo . (Vod na gladina v čaši j e za (x - X l) nižja kot v banji. ) (i) (ii) (iii) Na koncu poskusa je t lak v posodi Pk enak Pk = PO - pg(X3- X) , kjer je X3 globina vode pod čašo na koncu poskus a . (Vodna gladina v čaši j e za (X3 - :r ) višja kot v banji .) Razlika t lakov na koncu in na začetku poskusa je torej je t lak na koncu za pg(X3 - .Td manjši kot na z ačetku . Tipične vredn osti za X - X l so okoli 1 cm in ravno toliko za X3 - x . Sprem emba tl aka je približno 200 Pa. Tekm ovanja 303 b) i) Gladine vod e v čaši j e na ist i višini kot gladina vode v banj i. ii) Gladine vode v čaš i j e na isti višini kot gladina vode v banji . iii ) Gladine vode v čaši j e na ist i višini kot gladina vod e v banji . iv) Opis razlik: Podroben opis razlik: 1. Pri posku su (b) se gladina pri p ovezuj e- nj u čaše ne zniža , pr i (30) pa se. 2. Med gorenj em se gladi na pri (b) ne dvigne , pr i (a) pa se. 3. Pri ugasnitvi 's e gladina pri (b) ne dv ign e, pri (a) pa se. Kratek op is razlik : P ri poskusu s cevko se lega glad ine nič ne spreminja, pri poskusu brez nj e pa se. R azlaga razlik: Ker cevka, ki vodi iz zun anjosti pod čašo , zagotavlja izme nj avo zraka z okolico , ost aja tl ak pod čašo enak zun anj emu tlaku, zato se gladina vod e v čaš i ne spr eminja. 8 . r azre d Rešitve teoretičnih nalog: 1. Kinet i č na energij a , ki jo im a voziček zaradi hitrosti V z ob vstopu v obroč , mora zadoščati za dvig do najvišje točke h = 10 m, v kat eri ima voziček še vedno nekaj kineti čne energije zaradi svoje hitrosti Vk = 8 m/s 1 ~ 1 ., -rm»: = - nw k- + m gll . 2 " 2 Hitrost , ki j o im a na začetku , j e V z = }2gll + vZ= }2 x 9,81m /s2 x 10m + (8m/s)2 = 16,2m /s . Ke r se v vsakdanjem življ enj u tr enju in uporu zraka ne moremo izo- gniti, pr eostane vozičku za vzpon in ustrezno hitrost le 4/ 5 kinetične energije, ki jo im a ob vstopu v obroč Hitrost , ki jo ima na začetku, mo ra biti večja , kot kadar t renj a ni , in Je Vz = 29h + vZ 0,8 2 x 9,81m /s 2 x 10111 + (8111/s)2 _ . / 8 - 18,2111 s. O, Tekmovanja 2. a) Hitrost telesa C je po premiku za 1 m manjša kot je bila na začetku , ker je delo , ki ga je opravila sila F , manjše kot pri telesu A, saj je delo opravljala le komponenta sile F , ki je vzporedn a s premikom Fv . Sila trenja, ki deluje med telesom C in podlago, je večja kot sila trenja, ki deluje med telesom A in podlago , ker je pravokotna komponenta vsote sile teže in sile, s katero telo potiskamo, Fg + Fp večja kot v pr imeru A. Delo, ki ga je opravila sila F pri telesu A, je bilo potreb no , da je telo A obdržalo svojo hitrost, ko je med njim in podlago delovala sila tr enj a , ki je bila sorazmerna le teži Fg . b) i) Velikost sile tr enja telesa A ob podlago je enaka sili, s kat ero telo vlečemo, ker se hitrost telesa ne spremeni . Odgovor na vprašanj e je: enaka. ii) Velikost sile trenj a telesa B ob podlago je manjša, kot je sila , s katero te lo vlečemo. Iz slike lahko razberemo , da je sila pravo- kotna na podlago, ki je enaka raz liki sile teže Fg in pravokotne komponente Fp vlečne sile F , manjša kot v primeru A. Zato je manjša tudi velikost sile t renj a, ki je bila v primeru A po velikosti enaka sili F . Odgovor na vprašanj e je: večja. iii) Velikost sile tr enj a telesa C ob podlago je večj a , kot je sila , s katero telo potiskamo. Iz slike lahko razberemo, da je sila pra- vokotna na podlago, to je sila teže Fg , povečana za pravokotno komponento Fp vlečne sile F , večja kot v primeru A. Zato je večja tudi velikost sile t renj a , ki je bila v primeru A po velikosti enaka sili F . Odgovor na vprašanj e je: manjša. 3. Ma li kaza lec je ob 6. uri na št evilk i 6, veliki pa na št evilki 12. Veliki kazalec bo pokril malega v nekem trenutku med šesto in sedmo uro. Za pot do te točke bosta veliki in mali kazale c potrebovala nekaj več kot pol ure . Prekr ila se bosta, ko bo konica malega kazalca opisala lok z dolžino x , konica velikega pa pol krožnice in še lok y (slika) . I Tekmovanja Loka x in y sta v razm erju dolžin kazalcev x i-; y - z: ' Ker se kazalca gibljeta z različnima hitrostirna, koni ca malega ka- zalca pr epotuje celo krožnico 21rZv v 12to = 12 ur , konica velikega pa po t rebuje za celo krožnico 21rlm le eno uro to 21rlmv --- rn - 12to ' 21rlv Vv = --o to T ako lahko izračunamo čas t , ob katerem se kazalca pokrij et a x y ~t 1 12 t o m 21f1,. (t - {.Q) - z: ' to 2 oziroma iz zadnjega dela gornje enačbe t = 12t - 6to , oziroma 6 t = - ure . 11 Kazalca se bosta pokrila ob 6h in 6/11 ure . Predlagane rešitve eksp er im e n t a ln ih nalog: 1. Na zaslon projiciramo sliko oddalj enih predmetov (bloki, vidni sko zi okno) . Izmerimo razdaljo med lečo in zaslonom , ko je slika na zaslonu ostra . Goriščna razdalja leče f je 10 cm . Nato postavimo svetlobni vir np r. 3 cm , 5 cm, 10 cm, 15 cm in 20 cm od gorišča leče , oziroma 13 cm, 15 cm, 20 cm , 25 cm in 30 cm od l eče . I a06 Tekmovanja I a l> al> acm aa cm 99 cm 5 cm 20 cm 100 cm 10 cm 10 cm 100 cm 15 cm 7 cm 105 cm 20 cm 5 cm 100 cm i) Ko se povečuj e ra zdalja a med virom in goriščem leče , se razdalja b med sliko vira in goriščem leče zmanj šuj e. ii) Produkt al> j e v mejah natančnosti meritev enak f 2. 2. a) Iz teksta razberem o, kolikšna sta tok Id skozi diodo in tok Ir skozi up or R . Skupni tok je 1 = Id + 1,. = 5 mA + 55 mA = 60 m A . Napetost na dod atnem up orniku Ro je Us = Ug - U = 10 V - 8,2 V = 1,8 V . Zato lahko iz računamo njegov up or R o = Uo =~ = soo . 1 60 mA b) Iz napetosti na Zenerj evi diodi , ki je enaka nap etosti na uporniku R, in iz znanega toka 1,. skozi up ornik R lahk o i zračunamo up or R R = U = 8,2 V = 150 n . 1,. 55 mA c) Iz zbirke 5 up orn ikov izberemo upornika za aa n in 150 n, sest avimo vezje ter pomerimo napet ost na dio di, ki je okrog 8,2 V. d) Vzp oredno vezani up ornik mora imeti približno 5-kr at večj i upor , torej izberem o up ornik za 820 n, s katerim nadomestimo up ornik R . Izmerimo nap etost na diodi ali novem up orniku ; ta je okrog 8,5 V. e) Tok skozi upornik R' je I U' 8,5 V 1,. = R' = 820 n = 10,4 mA . f) Tok skozi dodatni upornik Ro dobimo iz nap etosti U~ na njem, ki j e U~ = Ug - U' = 10 V - 8,5 V = 1,5 V . Tekmovanja 307 1 Skup ni to k, torej tok skozi dod atni up ornik R o, je t' = U~ = 1, 5 V = 45 mA . Ro 33 rl g) Skozi diod o teče tok I~ = t' - Ir = 45 mA - 10 mA = 35 mA . Mojca Čepič DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ MATEMATIKE ZA SREDNJEŠOLCE - Rešitve nalog s str. 247 P rvi le tnik 1. Če ne bi bilo nob eno izm ed števil b in c deljivo s 3, bi števila b2 , c2 in (bc)2 dala ostanek 1 pri deljenju s 3 in število a bi bilo delji vo s 3. Ker pa je a od 3 večje praštevilo, to ni mogoče . 'Torej j e eno izm ed praštevil b in cenako 3. Drugo je seveda različno od 2 (v t.em primeru bi velja lo a = 49), zato je c = 3. Ker pa je x števka, je b = c+ x ::; c+9. 1\0 preverimo vse možnosti , ugotovimo, da je edina rešit ev b = 7 in a = 499. Torej je ax = 1996 . 2. Oglejmo si, kateri produkt i daj o pop olne kvadrate, in razbij mo mno- žico {l , 2, .. . , 25} na 16 podmnožic: {1 , 4, 9, 16, 25}, {2 , 8, 18} , {3, 12}, {5,20} , {6,24} , {7}, {lO}, {lI} , {13} , {14}, {15} , {17} , {19}, {21}, {22}, {23} . A'D' A Ker mo ramo izbrati 17 različnih števil, obstajata dve, ki ležit a v ist i po dmnož ici in je zato njun produkt po polni kvadrat . Zaradi simetrije sme mo pri vzeti , B' cia je kot 2. Ker št evilo a deli št evilo b+ 1, je a < b+ 1. Iz pogoja naloge sledi , da št evilo ab deli šte vilo (b +1 )(a2 - 2) = ba'.! + a'.! - 2b - 2, to rej deli t udi šte vilo a'.! - 2b - 2. Ker pa je -ab:S - 2b < a'.! - 2b - 2 :s :s a(b + 1) - 2b - 2 = ab + a - 2b - 2 :s :s ab + (b+ 1) - 2b - 2 < ab , mora biti a2 - 2b- 2 =O. Torej je a sodo št evilo in je zato ~ = (~) 2. 2. Pravokotna pr ojekcijo točke C na nosilka stranice AE označimo z E . Dokazati moramo, da imata pr avokotna t rikotnika V E U in ECT pravokotni hip ot enuzi . Torej zadošča pokaz ati , da sta si trikotnika V E U in E CT podobna. D C F::-- - - --__-4I'-_ . AVTE E Označimo a = IAE I, v = !DV I in 11 = lAV I. V trikot niku V E U velja lEVI: IUVI = (a - 11) : (vI2) = 2(a - ll)l v , Tekmovanja v tri kotn iku E CT pa ICE I : IT E I = v : (Cl - (Cl - 11)/2 ) = 2V/(Cl + 11) . o,. Q Pokazati j e treba, da j e 2(Cl - ll)/ V = 2v/(a + u) . Trditev j e ekviva- len tna enakosti v"2 = a"2 - 11"2, ki pa v pravokotnern trikotniku AVD drži. Pravokotna t rikotnika liBU in ECT sta si zato podo bna, kota r - b in b + c > r - c. Seštej mo neenakosti in dobim02(b + c) > 21' - (b + c) oz . b+c > ~1" 4. Označimo klep et ulje s 1\1 , 1\"2 , . . . , 1\" . Diagram 1\1 --+ Ii :! --+ .. . --+ 1\" - 1 --+ 1\" --+ 1\" - 1 --+ . . . --+ Ii "2 --+ KI po ka že, da 2n - 2 telefons kih pogovorov zadošča. P ri vzamemo lahko, da nob ena dva telefonska pogovora ne potekata istočasno , in si oglej mo klepetulj o 1\ , ki je prva izvedela vse. Do trenutka , ko j e oseba K izvedela vse, j e bilo potrebno vsaj n - 1 pogovorov (ka ko bi sicer ona izvedela vse?) in da bodo tudi ostale klepetulj e izvedele vse, bo po trebno še vsaj n - 1 pogovorov . Za pop olno obveščenost vseh vaških klepetulj j e to rej potrebn o najmanj 2n - 2 telefonskih pogovorov . Tretj i le tnik l . Naj bo do ;1;1, X"2, X3, X4 tista raz lična cela št evi la , za katere j e p(a; i) = = 1. Definirajmo polinom q(;I;) = p(x) - 1. Ker so ·'l: I , X"2 ,;r3 , X4 ničle poJinom a q, obs t aj a t ak po linom r s celoštevilskimi koeficien ti , da velja Tekm ovanj a I Reci mo, da obstaj a celo št evilo m , cia je p(m) = 42. Po tem velja 41 = q(m ) = l' (m)(m - :l:t}(m - x2)(m - x3)(m - X4 ) . Cela števila (m - x t) , (m - X2), (m - X3), (m - X4) so med seboj različna in delijo število 41. Ker j e 41 pr aštevilo, so to števila ±1 in ± 41. Sledi 41 = q(m) = l'(m) 412 in l'(m) = 4\ ' To pa ni možno, saj im a polinom r celošt evilske koeficient e. Celo št evilo m z zah tevan o lastnostjo to rej ne obstaja. 2. Glede na položaj točke P na loku AB ločimo dva pri mera . V pr- vem pr imeru označimo o' = št evilo k E {1 , 2, . .. ,p - 1} leži • • • • · ..... il pod diagonalo natančno [IK K'l] ....{ j( 1 o• • • ... ~ •takih točk iz M; kat erih abscisa je enaka k (glej sliko). Iz pod obnost i 2 • • . • • • il t rik otnikov °K IC in OP R sled i 1 ~..., • • • • • '?: K P ' ?I lOKI kq O 1 2 k P X II\!\ 1= /OP/ IP RI = p ' Torej j e vsot a 2:~: ~ [o/!- ] ravno šte vilo točk iz M , ki ležijo pod dia- gonalo OR. Ker na tej d iagon ali ni (očk iz lvI , j e p- 1 '" [kg] = (g - l)(p - 1). LJ IJ 2 k=l Zar ad i sim et rij e dob im o še " q - l [ ~] = (p - 1)(q- 1) od koder sled i . u k = l q 2 ' iskan a enakost . 4 . Označimo z n šte vilo t ekmo valcev na turnirju in z Xi št evilo točk , ki j ih j e dos egel i-to uvrščen i tekmov alec prot i zad nj im trem uvrš čenim . Potem je .'l:n + :1:n - 1 + :rn - 2 = 3, saj so zadnji t rije med seboj igr ali le t r i tekm e. Torej so zadnj i trij e skupaj dosegli 3 točke v igra h proti ostalim tekmovalcem . Prvih 11 - 3 tekmovalcev j e m ed seb oj odigralo (n -3 )0(n - 4 ) tekem, zato je .'1:1 +.. ' + Xn-3 = (n-3)0(n -4 ) . Št evi lo tekem, v ka(erih so igrali zadnj i t rij e pr oti prvim 11 - 3, j e 3(11 - 3) ; od tod dobimo ( n - 3 ~(n - 4) +3 = 3(11 - 3) . Torej j e (11 - 4)(11 - 9) = O. Možnost 11 = 4 od pade , saj bi v tem pri- m eru moral prvou vrščen i doseči vse svoje točke prot i zad nj im trem , kar j e v pr otislovju s podatki naloge. Torej je na turn irj u igr alo 9 šahistov. Četrti letnik 1. Poka žimo naj pr ej , da j e zaporedj e od nekje nap rej konst antno. Ker j e (lk+2 :s m ax{(lk , ak+1}, j e zapo redje om ej eno s štev ilom max{a , b} . Ker pa j e vsak člen zapo redja odvisen le od pr ejšnj ih dveh , j e Tekmovanja I zaporedj e od nekje naprej tudi periodično . Če j e ta perioda ak , ak+1, ... , ak, ak+1, mora biti ak = ak+1 , saj bi bili drugače vsi nadaljnji členi strogo m anjši od max{ak ' ak+l}, potem pa so vsi na- daljnji člen i enaki ak. Označimo sedaj to konstanto z f( a, b). I zračunajmo najprej št evilo f (a, b), če sta št evi li a in b t uj i. Ker je a3 največj i lihi delitelj števila a + b, j e (a, (3) = 1 in (b, ( 3) = 1. Indukti vno dobi mo, da je (ak , ak+2) = 1 in (ak+1, ak+2) = 1, torej je f(a , b) = 1. Očitno velja f( ea, eb) = e f(a , b) za vsa naravna števila e. Ker velja a = =(a, b) al in b = (a , b) h za neki tuj i si št evili al in bl , sledi f(a , b) = = (a, b) f (al , bl ) = (a, b). (Z (a, b) smo označili naj večji skupni deli- telj šte vil a in b.) 2. Vseh nepraz nih po dmnožic množice iVI j e 210 - 1 = 1023 . Vsota elem entov poljubne podmnožice pa je vedno manjša od 90 + 91 + + ... + 99 = 945 < 1023. Torej je različnih podmnožic več , kot je različn ih vsot elementov teh podmnožic. Potem pa obstajata dve razl i čni po dm nožici X in Y , za kater i velja, da je vsota elem entov množice X enaka vso ti elementov množice Y . Ker pa iščemo dis- junk tni množici , sta A = X \ (X n Y) in B = Y \ (X n Y) iskani m nožici. 3. Z D označimo tisto točko na dalji ci AB , za kat ero j e IBCI ICD" jX CI ICYx! lACI ICBI A B Potem st a si trikotnika ACX in BCYx ter X CB in Yx CD podobna . Sledi -r.CYxB = -r. CXA in -r.CYx D = -r.CX B. Tor ej je -r.DYx B pravi kot in je zato iskan a mno žica krožni ca s pr emerom BD . 4. (a ) Pobarvajmo igraln o desko kot ša hovnico tako, da na začetku ležijo črni žetoni na črnih , beli žetoni pa na belih poljih . Ko igralec z belimi žetoni začne igro, je pr azno črno polje. Po njegovi po tezi je pr azno belo polje . Tor ej mora Beli v vsa ki potezi prestavi ti beli žet on z belega na črno polje in igralec s črnimi žeto ni prestavi ti črni žeton s črnega na belo polje. Če igre ne bo pr ej konec, bodo po dvanajstih potezah vsi žet oni na poljih nasprotne barve in Beli ne bo mogel naredi t i svoje t rinajste poteze. Tekmovanja (b) Ko igralec z belim i žeto ni odstrani črni žeton, naj igr alec s črnimi žetoni v mislih igr aln o polje po krije z dominami 2 x 1 (to lahko na- redi , ne glede na to , ka teri žeton je bil odstranjen) . Vsakič , ko Beli premakne svoj žeton, lahko Črn i pr emakne žeton, ki j e bi l na isti domini . Na ta način Črni gotovo ne bo izgubil, ker pa se igr a konča, bo zato izgubil Beli . M atj až Željko REŠITVE N ALOG Z DRŽAVNEGA TEKMOVANJA IZ FIZIKE V ŠOLSKEM LETU 1995/96 - S str. 251 Obj avlj am o rešitv e na log z dr žavnega tekmovanja srednje šolcev iz fizike , ki j e bilo 20. aprila 1996 v Kr anju . Besedila nalog smo objavili v let ošnji 4. številki Preseka. Skupina A 1. Podatki: Al = 20 m, A2 = 15 m, t:..t = 280 s. Če z x označimo razdaljo do izvira valov, lahko ra zliko časov potovanj zapišemo kot t:..t = t2 - i-: = :2 - ~~ = .r ff- (Jx2 - JxJ in do bimo ;1; = 10 km . 2. Podatki : h = 18 cm, 21' = 20 cm , lo = 3 m, k = 250 Nim , a = = 104 N/m3 . Volumen izpodrinjene vod e je ob oseki enak (ho - h)S, če s ho oz- načimo višino boj e. Tedaj sta v ravnovesju teža boje in vzgon Fg = = (ho - h)8fT. Ob plim ije volumen izpodrinjene vode kar enak volu- mnu boj e hoS ; ra zliko med vzgonom in težo boje uravnovesi e l as t i čna sila vrvi k(l -lo) = hoSfT - Fg = hSo . Ob plimi se morje dvigne za viši no boje h, ki gleda iz morj a ob oseki, in še za raztezek vrv i 1- lo h7rr 2 a h + (l-lo) = h + - - = 41 cm. k 1314 Tekmovan.ia I 3. Podatki: Fg = 10 N. Vod oravna komponen ta sile, s ka tero deluj e st ena na valj , j e na skici (v besedilu nalog) označena z F ; st ena deluje na valj še s silo lepenja z največj o možno vred nostjo k2F , ki kaže navpično navzgor. Zapišimo sile, s katerimi srednji valj deluj e na levega : silo v smeri zveznice sred i šč valj ev označimo z Fu ; projekcija te sile na vod oravno os je - ~Fv in na navpično - ~ Fu . Srednji valj deluj e na levega še s silo lepenj a z največj o vrednos tjo k 1 Fv in s komponentam a - ~klFu in +Yfk1Fu . Vsota vod oravnih komponent silila levi valj j e v ravno- vesj u enaka O; v mejn em primeru vzamemo za obe sili lepenja njuni n ajvečji vrednosti podobno velja za navpične komponente Ker računamo št ir i neznane ko li čine , potrebuj em o še dve neodvisni enačbi . Vsota navpičnih komponent sil na vse tr i valje mora biti enaka O 2k2F - 3Fg = O. Zah tevati moramo še, da je vsota navor ov na levi valj enaka O. Za os izb erimo geomet rijsko os tretj ega valj a; sila lepenja med st eno in valj em suče valj v smeri urinega kazalca , sila lepenj a med valj ema pa v nasprotni sme ri Sist em enačb rešimo in dobimo za koeficiente lepenj a ter 3 ki = = 042 111 2 + 3V3 ' 3 k2 = 6 + J3 = 0,39 ( V3)F = 3 + 2 Fg =39 N . I Tekmovanja Skupina B 1. Podatki : m = 70 kg, Al = 100 kg, Vo = 30 km/h. Rolkarju usp e vso svojo kinetično energijo sp remenit i v potencialn o ~nw6 = mgho in se dv igne za ho = v6I2g = 3,5 m. Drsalec pa del svoje kinetične energije preda pregradi . Ko prilet i dr salec v pregrado , se ohrani vc do ravna kompon enta skup ne gibalne količine dr salc a in pr egrade m vo = (m + Al) v, če j e v = mvo/(m + M) hi t rost pregrade in hkra ti vodoravna kom pon enta hi trosti drsalca po t rku. Ker j e t rk prožen , se ohra nja t ud i vsota skupne kinetične in potencialne energij e. Ko dr salec doseže najvišjo lego, j e navpi čn a kompon enta nj egove hi trosti enaka O, oba s pregra do pa se giblj eta v vod oravni sm eri s hi trostj o v. V tem trenutku velja ~mv6 = mgh+ ~(m+ Al)v2 in dobimo - - v 2 !1I Al h = -2. = ho --- 2g m+M m+M ter m b.h = ho - h = ho = 1,45 m . m+M 2. a) Pod atki : )'1 = 1,35 W/ mK , dl = 15 cm , b.T 1 = 20 K , '\ 2 = 0,45 W / m K, cl'] = 22 cm, b.T'] = 15 K , p = 400 kg /rn :', q = 334 k.J/ kg. Del toplotnega to ka , ki priteče skozi st reho, odteče skozi sneg, ostanek pa se porabi za to , da se v čas u b.i stali masa b. m snega Č e z b. x označimo debelino snega, ki se st ali v času b.t , velja b.m = = pSb.x . Za hi t rost talj enja dobimo Pri natančnejšem računu bi m orali upošteva ti še topl ot o , ki j e po- trebna, cia se masa sn ega b.m segrej e od povprečne temperature snega v pl asti na DoC, to j e za ~b.T']. Namesto q 'v im enovalcu zgornje ga izraza bi dobili q + ~ cp l ed t~b.T'] in hitrost talj enj a bi bil a za približno 5 % m anj ša . Tekmovanja I b)Ko hitrost pade na O, je debelina snežne odeje 3. Podatki : T = 6,0 h, TJ = 0,9, '"' = 6,7 . 10- 11 Nm 2/kg2 . Na polu tehtnica pokaže kar težo: Fpol = Fg = ,",mlvI/R 2 , če z m označimo maso telesa, z M maso planeta in z R njegov radij. Na ekvatorju pa telo kroži s pospeškom Rw2 pod vplivom centripetaIne sile , kije enaka razliki med težo in silo tehtnice mRw 2 = Fg -Fekvator. Iz podane zveze Fekvator = TJFp o1 dobimo Velja lVI = 41fR3p/ 3 in w = 21f/T . Gostota planeta je 31f 3 3 p = (1-TJ),",T2 = 3 · 10 kg/m . 4. a) Podatki: l = 1 m, Vo = 0,40 mis, aa = 12 m/s2 . Za opazovalca v komori se telo v vodoravni smeri giblje s konstantno hitrostjo Vo proti levi steni in s pospeškom a = aa - g navpično navzgor x = vat , Y = ~at2 . Levo steno bi zade lo v času t : = l/2va = = 1,25 s, strop pa v času t 2 = J2l/ a = 1 Si torej prej zadene st rop na razdalji ~l - Vat2 = 0,10 m od leve stene. b)Podatki: l = 1 m , Vo = 0,50 mis, a = 120 m / s2. Za opazovalca v komori se sedaj te lo v vodoravni smeri giblj e po- spešeno proti levi steni x = ~at2, v navpični sm eri pa gibanje lahko obravnavamo kot navpični met navzgor z začetno hitrostjo vo: Y = = vat - ~gt 2. Po prvi enačbi bi levo steno doseglo v času h =~ = = 0,091-s, po drugi pa bi se vrnilo na tla v času t 2 = 2va/g = 0,10 S in se pri tem ne bi dotaknilo stropa. Telo se to rej prej dotakne leve ._. . 1 tIt? 4stene na VISl!ll 1 = Vo 1 - 'ig 1 = mm . 6.U = 2000V. I Tekmovanja Skupina C 1. Podatki : d = 10 cm, a = 5 cm , e = 2,3 nAs. Na začetku j e navpi čna kom ponenta sile vrvi ce na vsako od kroglic enaka raz lik i teže in električne sile plošč Fy = m g - eUo/ d, vodo - ravna kom po nenta pa vsoti (odboj nih) sil dr ugih dveh kroglic Fx = =2F12V3/2 = e2V3 / 47rEo a2 . Razm erje komponent sil j e enako tan- gensu naklonskega kota vrvice tg ip = Fy / Fx = .../2. Ko so kroglice najbolj razm aknjene, je navpična komponenta sile vrv ice ena ka O, to rej mg = eU/ d. Dobimo: eU/ d = eUo/ d + Fy = eUo/ d + V2Fx in V6ed U = Ua + -4--? , 7rEoa~ 2. Podatki: raelij najmanj še zan ke 1'1 , sreelnje 1'2, največj e 21'2; upor žic na dolžinsko eno to , p. Ko teče to k po srednj i zank i, velja 111 po notr anji pa lil Vst avimo 1'3 = 21'2, 1'1 = X1'2 in iz Bl = B 2 dobimo kvadrat no enačbo x 2 + 3x - 2 = O z rešit vijo x = ~(VU - 3) = 0,.56. 3. Podatki : napetost izvira U, navidezni up or R, upor žic na dolžinsko eno to p. To k, ki teče iz izvira, se razdeli na tok skozi R in skozi sprejemnik J = JR + JA. Če z x označimo dolžino daljnovoda do R , dobimo za pad ec nap etosti za levi del vezja (glej skico v besedilu nalog) U = = Jpx + JRR , za desni pa JRR = JAp(l - x) . Enačbe rešimo in dobi mo 1 _ U R A - piR + p2X(l - x ) Tok je najmanjši , ko je izraz x (l - x ) naj večj i , to pa je ravno pr i t emenu parabole x = ~ l . 4. Podatki: a = 10 cm, R = 105 n, B = 1 T , v = 1 mis. Če naj se palica giblje enakomerno, mo ra bit i magnet na sila na pal ico enaka nič , to rej po palici ne sm e teči tok. Nap etost med točkama , kjer Tekmovanja I se pali ca dotika kvad rata , mo ra zato bi t i nas protno enaka induciran i nap etosti v palici: U1'2 +Uj = O. Če z x označimo pot, ki jo prepotuje pa lica od začetne točke , lahk o napetost U1'2 izrazimo z gonilno na- petostjo Ug kot U12 = 2V2xUg I4a. Za induciran o nap etost pa velja Uj = B lv, če z 1 označimo dolžino dela palice med vodnikoma l = 2x za x < alV2 in 1= 2(V2a - x ) za alV2 < x < V2a. Za x < al V2 mo ra biti napetost izvira kar konstantna Ug =2V2Bva =0,28 V, za alV2 < x < V2a pa se mora s časom spr eminjati kot Ug = a]: - [3, kjer sta o: = 4Bva2 l v = 0,04 Vs in [3 = 2V2Bva = 0,28 V. Skupina D 1. Podat ki : o: = 30°, [3 = 45°, R = 30 cm . Na prelomu se prične krogIa vrt eti okrog dotikališča pod vplivom cent ripet.alne sile, ki je ena ka raz liki proj ekcije teže kroglice na radij kroženj a (t .j . zveznico med osjo in središčem krogle) in pravokotn i sili podlage, Fep = mg cas

471"Eor 2 471"Eol'~ ' saj Je zno traj krogle z raclijem r , r < r o, naboj e(1» = eor 3 / r~ . Sila na elektron v t akšnem ato rn u , F( r) = eoE (I' ), j e to rej premo sorazme rna z razdaljo od izhodišča , tako kot pri sinusnem nihalu , F = lcr, k = e6/ (471"Eorg ). Energija nihanja z amplitudo r o je 320 Tekmovanja I in frekvenca -a: Naloga pove, da je najnižj a energij a enodim enzionalnega oscilatorj a pr i kvantnem opisu enaka Wk van = ~nw , torej li 2 Energij i st a enaki, če j e radij kroglice ravn o enak Boh rovemu radiju 4 7fEOli 2 1' 0 = I 'B = - 2-- = 0,053 nm . eom o Bojan Golli PRESEK list za mlade matematike , fizike, astronome in računalnikarje 24 . letnik, šolsko leto 1996/97, številka 5 , strani 257 - 320 UREDN IŠ K I ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jez ikovni pregled) , Dušica Bob en (oblikova nje te ksta), Vilk o Do maj nko, Rom an Drnovšek (nov ice) , Darjo Felda (te kmo va nja) , Bojan Go lli, Marjan Hribar, Boštj an Jaklič (tehnični ur ednik) , Mar ti n Juvan (računalništ vo), Sandi Klavža r, Bor is Lavrič , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Boj an Magaj na (glavni urednik), Franci Obla k, Peter Petek, Mari- jan Prosen (astronomija) , Marjan Smerke (sve tovalec za fotografijo) , Miha Štalec, Marija Ven celj (matem atika, odgovorna urednica ). Dopis i in naročnine : Društvo m a tem atikov, fizikov in ast ro no mo v Slovenije - Po- d ru žn ica Lj u bljana - Ko m isija za ti sk , Presek, J adranska c. 19 , 1001 Lj ubljana, p.p. 296 4, tel. (061) 1232-460 , št. ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šo lsko leto 1996/ 97je za posamezne naročnike 1.500 SIT, za skupinska naročila šo l 1.200 SIT, posamezn a šte vilka 300 SIT, za tujino 30.0 00 LIT, devizna nakazila SKB banka d .d . Ljubljana , val -27621-42 961/9 , Ajdovščina 4, Ljubljana . List sofinancirata MZ T in MŠŠ Ofset t isk DELO - T iska rn a , Ljubljana Po mnenj u MZT št. 41 5-52/92 z dn e 5.2. 1992 štej e revija med proizvod e iz 13. točke t a rifne št. 3 zakona o prometnem davku, za ka tere se plačuj e 5% davek od prometa p ro izvo dov. © 1997 Društvo ma tematikov , fizikov in astronomov Slove nije - 1306 Poštnina plačana p ri pošti 1102 Ljubljana NE NE DA 5 ALIIMAŠ RAD BUHTELJNE? 9 I----~~I ALI STAOBASVINčNIKA I DA • ~ I NAPOLJIH ISTEBARVE ? 1 . ALIJE DRUGI SVINčNIKIDA ~ NA ZELENEM POLJU?