LIST ZA MLADE
MATEMATIKE
O O FIZIKE
ASTRONOME
12DAJA DMFA SRS
PRE S E K - List za mlade matematike, fizike in astronome.
4. letnik, šolsko leto 1976/77, 3. š tev . , marec 1977, s rr . 129 - 192
Izdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije.
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Danijel Bezek, And rej Čadež (urednik za
astronomijo) , Jože Dover, Tomaž Fortuna, Pavel Gregorc, Marjan Hribar (ured-
nik za fiziko), Andrej Kmet, Ljubo Kostrevc, Jože Kotnik, MatiIda Lenarčič,
Norma Mankoč-Borštnik, Franci Oblak, Peter Petek (odgovorni urednik) , Tomaž
Pisansk i (urednik za matematiko), Tomaž Skulj, Janez Strnad (glavni urednik),
Marijan Vagaja , Ciril Velkovrh (tehnični urednik).
Rokopis j e natipkala Metka Zitnik, jezikovno ga je pregledala Sandra Oblak,
opremila pa sta ga Borut Delak in Višnja Kovačič, sI ike je narisal Slavko
Lesnjak.
Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov: Komisija za tisk pri Društvu
matematikov, fizikov in astronomov SRS - PRESEK, Jadranska 19, 61001 Ljub-
ljana, p.p. 227, tel. 65-061/53, štev. žiro računa 50101-678-48363, devizni
račun pri Ljub ljanski banki štev. 50100-620-107-900 . Naročnina za šolsko le-
to je za posamezna naročila 20.-din, za skupinska pa 18.-din, za inozemstvo
2 $ = 36.-din, 1300.-Lit, 36.-Asch . Posamezna številka stane 5.-din.
List sofinancirajo republiška izobraževalna skupnost in temeljne izob raže-
valne skupnosti v Sloveniji ter raziskovalna skupnost Slovenije .
Ofset tisk časopisno in grafično podjetje "DELO", Ljubljana . List izhaja
štirikrat letno v nakladi 19.500 izvodov.
© 1977 Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS.
Predsednik DRUŠTVA MATEMATIKOV,
FIZIKOV IN ASTRONOMOV SRS prof.
dr. Sergej PAHOR podpi suje v
prostorih SOCIALISTiČNE ZVEZE
DELOVNEGA LJUDSTVA SLOVENIJE
DRUŽBEN I DOGOVOR O FINANC IRANJU
MLADINSKE PERIODIKE
UVODNIK---~
DRUžBENI DOGOVOR OFINANCIRANJU MLADINS KEGA TISKA
že v začetku l et a 1975 je Socialistična zveza delovnega ljudstva Slovenije
ugotovila, da bo treba ured iti f inanci ranje mladinskega periodičnega tiska
enotno za vse publikacije, ki izhajajo v Sloveniji . Do zdaj so namreč izda-
jatelji mladinskih revij in časopisov nastopa li večidel kot potrošniki druž-
benega denarja in so si morali izprositi potrebne subvencije pri ustreznih
skupnostih, ki so držale v roki vrečo z družbenim denarjem. V skladu z novo
ustavo pa naj bi se enakopravno dogovarjali predstavniki posameznih samou-
pravnih i nt eresni h skupnosti in izdajatelji mladinske periodike; ugotovil i
naj bi družbeni interes za posamezne revije in časopise, se pomenili o po-
trebnih finančnih sredstvih in programski usmeritvi te ali one publikacije.
Na pobudo Socialistične zveze smo se zato nekajkrat sestali izdajatelji
štirinajstih l i st ov in sedmih interesnih skupnosti . Primerjali smo stroške
iz prejšnjih let in med seboj ugotav l jali, kje bi se dalo morda malo zateg-
nit i pas i n prihraniti kakšen družbeni dina~ 24. dec . 197 6 je bil družbeni
dogovor po temelj item delu pripravljen in v imenu Društva matematikov, fizi-
kov in astronomov ga je podpisa l predsedni k prof.dr. Sergej Pahor .
Za Prese k je podpis dogovora vsekakor veliko družbeno pri znanje . Izhaj amo
šele četrt o leto, kl j ub temu pa družba že ve za nas i n nas preko interesnih
skupnosti podpira . Zat o smo lahko ohran ili prejšnjo ceno in vam lahko še
vedno za 20 dinarjev (18 dinarjev za skupinska naročila po šolah) nudimo
Presek v enakem obsegu kot lani. To priznanje je tudi obveza, da bomo v bo-
doče delali tako kot doslej ali pa še bolje . Pri t em si, dragi bralci, želi -
mo vaše pomoči in računamo nanjo .
Pe t er Petek
129
M A TE MATIK A
PAR A D o Ko
Uvod
Za sl ovite ButaZe in nji h
i menitne vaščane - ButaZae s t e
menda že sl i šali ? No, v But a-
lah imajo t udi briv ca , ki pa
ni kar tako; br ije nam r e č na -
tanko tiste va šča ne, ki se s a-
mi ne brijejo. Tako mu je za-
povedal župan . Toda, kaj pa je
z bri vcem? Ali se sme obrit i
a li ne?
Pa malo razmislimo : č e bi
s e brive c bri l sa m, bi sodi l
med tiste v a ščane Bu ta l , ki se
sami br ijejo . Za t ore j se ne bi
s me l br it i, ka j t i on- brive c
sme briti l e t is te , ki se sami
ne br ij ejo . Proti sl ov j e !
č e pa bi s e br i vec ne bril s am, bi sod il med tiste, ki s e
s am i ne br i j e jo , zato ji h mor a br i t i on- br i vec . Tor ej bi s e
br i vec moral br i t i s am. Protislo vje !
Vse skupaj se zd i prav a zm e šn java stav kov, nesm isel na be s ed -
na igra. Pa ve ndar , ste kda j pomisl ili, da s o ta kšni " ne smi sel-
ni" paradok si zat r esli t em el je "nezmotljiv e in pop ol ne" matema-
tike ?
V matematiki moramo vedn o n a ta nč n o opredeliti vse pojme s
katerimi r okuj emo , zato bom o na jprej op r edel il i pojem pa radoksa ,
da bomo l ahko kasnej e o njem poveda l i kaj več.
I I_-----==__
,', Prispevek je p r ired il in prevedel v s lovenščino Dušan Repovš, i l u s t r i r a l
Božo Kos
130
Kaj je parad oks
1. V vsakdanj em življen ju imenujemo paradok s nekaj, kar je si-
cer resnično, pa vendar v na sp rotju z našimi predstavami in iz-
kuš nj ami (" Saj to je vendar paradok s al no! ").
2. Skl epa nj e iz nav i de zno pravil nih de j s t ev , ki nas pr ivedejo
do nesmiselne ga re zulta t a, rav no ta ko i me nujemo par adok s. Npr.
antični paradoks o Ahilu in i elvi .
Hitronogi vojščak Ah il in počasna žel va sta se pomerila v
teku. 2elva teče 10 krat počasneje od Ahila, zato ji da pleme-
niti bojevnik 10m prednosti na startu. Start! Ko Ahil preteče
10m, preteče želva 100cm, ko Ahil preteče teh 100cm, je želva
pred njim še za 10cm, ko Ahi l preteče 10cm, je želv a pred nJlm
še za lem , i t d . Torej, želva j e ves čas pred Ahilom, zato je ta
nikoli ne ujame.
3 . Nas bo za nimal samo t retj i pome n paradoksa: dokazovanje , da
velja ta hkr a t i neka t rditev i n njena neg aaija , t.j . trditvi
nasprotna trditev ("briv ec se br ije in br ivec se ne bri je").
131
Paradoks v matematiki
Matematika je dedukt i vna znanos t. Pri izg radnji vseh teorij
i zha j amo i z nekega sistema osnovnih pojmov in ne ka t er i h t r d i -
tev ( ak e i omou ) , ki vežejo te pojme med seboj in ki ji h n e do -
kazujemo . Vs e nadaljnje i zrek e v t e ori j i dokazujemo s pomočjo
te h aksio mov po pravil i h s k l e pa n j a i n izpel je van ja. Poglej mo,
kaj se zgod i s t eorij o , če se v nje j poja vi t a k paradoks , kot
smo ga opis a li v točk i 3 prejš njega pogl avj a . Torej : i z aks io -
mov (ki ji h i mamo za n eopo reč ne) mor emo hkrati izpeljati trd i-
tev in nj en o negacijo. Zako n k lasične logike tertium n on d a t u r
("tretje možnosti ni ") pove, da je ena od trd itev resnična,
druga lažna. Tako smo dobi li neresnično trditev v teorij i, za
kate ro smo pr edpostavlja li, da bo dala samo resn ične trditve,
s a j ima le v tem primer u razlog za na s t a ne k in obstoj . Ce bi
bil o z naš im raz miš lja njem vs e v r edu , bi t o pomenilo konec t e
teo r ij e.
In t a ko so parad oks i, ki so dotlej slu ž il i l e za za bavo vese -
lim a kad em ski m dr užbam, nae nkr at postali predme t r e s nih raz is-
kav .
Začetek kr i ze
Vrn imo se na zače tek tega stoletja, v čas, ko so bili odkri-
t i nena vad ni pa rad oksi . Takra tno matemat iko je ožarjala Cantor-
jeva * teorija množic, nova geni a lna teor ija, za ka t er o so tak -
r at mis l i l i, da bo posta la temelj v seh matematičnih znanosti .
Pojav lja l e so se t r d i tv e , da s e da iz teorije množ ic izpeljati
v s a k a matem at i čna teor i j a . Na pod ročj u aritmetike je to na pr i-
mer t rdil veli ki l ogik Fr e g e **, ki ga imaj o poleg Ari s t o t e l a***
in Boc la * * * * za en eg a najv e čjih l ogikov vs e h č aso v . Toda pota
us ode s o v č a sih nen avad na. Ko j e Fre g e že k ončav a l drug i de l
svojega ž iv ljenjskega d el a Osnovni z a k o n i aritmetike***** , je
od takrat še ne znanega mladega matemat ika RusseZla preje l krat-
ko pi smo s presenet ljiv imi podatk i ( Sl i ka 3) V ža lostnem Dod a t -
ku je Frege na koncu svoje knjige nap isal :
"Ve r j e t n o j e na jhuj ' e . kar se l ahko z g od i znans tv e n i ku . da
s e mu po z a k l jučku de la podr e ede n od temel jev zgrad b e . n a k a -
t erih j e g radi l. S am sem se z na'el v t akšn em po l ožaju . ko s em
ob zaključku tiskanja k njig e pre j e l pismo gospoda B . Russ ella .
Solatiu m miseris s ocius habuiss e dolorum*****~ S tem s e t u d i
132
jaz tolažim, če je
~o lahko s ploh kak -
šna t o l ažba, kajt i
vs ak, ki j e v sv o j i h
dokazih uporab ljal
teorijo mnoiic ~ Je ~ ,
istem po l o ž aju kot
jaz . Hi vpr ašanj e moj
pos ebni način snova-
nja aritmetike , mar -
več - ali sploh ob -
s ta j a j o logične osno-
ve ar i t metike . . . Gos -
pod Rus sell je odkril
paradoks , ki ga lahko
takole oblikujemo . .. "
Poglejmo si ta znameniti Russe llov parado ks , ki je tako pre-
senetil ne le Fregeja, marveč vse tedanje matematike. Za vsako
množico X in za vsako r e č x velja: ta r e č j e vsebovana v tej
mno ži ci x 6 X ali ta re č ni vsebovana v tej množici x ~ X .
(Pri tem j e lahko reč že sama zase mno žica nekih elementov x =
= {a ,b ,c , .. . } ) Zato se lahko za vsa ko množico S vprašamo ali
j e a li ni s am a svoj element . Množi cam z lastnost jo, d a v se bu j e -
jo same s e be ko t element , (S 6 S) bomo r e kl i ire gu lar ne, ostalim
pa r egu l ar ne (S ~ S) . Vse regularne mno žice naj sestavljajo no-
vo množi co A. Ka kš na je množi ca A - r egularna ali i reg ularna ?
č e je A r egu larna množica, mora vsebovat i samo sebe kot element,
ker vsebuje A v s e regularne množice. Toda, brž ko A vsebuje sa-
mo se be kot element, je i r egul ar na. če pa je A ireg ular na mno-
žica , vse buje s amo seb e kot e lement. Tod a elementi A so s amo
regu larne mno žice, zato bi bil a A re gulArna .
Ta ko smo dobi 1i parad oks , Ena od trd itev T1: A je r equ Lar na
množi ca in T2: A j e ir e gular na množi c a , bi morala biti prav i l -
*Georg Cantor (1845- 1918), nemšk i ma temat ik, "Grund'laqen der einer allgemeinen
MannigfaUigkeit slehre " (1883) (op . preo . ) .
**Gottlob Frege (1848-1925) , nem ški matemati k, logi k in fil ozof (op. prev. )
***Arist ote l(es} (384 p.n .š .-322 p.n .š .) , grški fi lozof (op . prev.)
****George Boole (1815-1864) , angl eški matematik in logik (op. prev . )
*****Grundgesetze der Aritmetik begr iffschriftlich abgeleitet , Jena , 1903
******Žalos tn a j e t olažba, da i mamo prijatelja v t ežavah. (lat.)
133
na , drug a pa ne pravilna . Toda iz r avnokar navedeneg a sklepanja
sledi , da s t a ob e t r d i t v i hkrati r esnični , br ž ko j e e na od
njiju re snična.
Bral e c j e morebiti že sam zaslutil, da je na začetku članka
navedeni pa rad oks brivca le pose ben - za širše občinstvo i zde-
lan vzorec Russellovega parado ksa.
Kaj s ed a j ?
Mi rno lahko t rdimo, da je kr i za , ki s o jo povzročili parado -
ksi, n ajvečja in ,najgloblja v vs ej zgodovini matematike. Seve-
da, nobe n mat em a t ik po odkritju paradok sov ni opust il s voj e
l j ubezn i do mat ematik e . Pr avza pr av je veli ka več ina matemat i kov
nemot e no nad a lj evala s svo ji m de rom, s aj so se ukvarjali pred-
vs em z drugimi probl emi i n jih vpra šanja os nov matemati ke niso
ni ti p r ev e č za ni mala . Za teoreti ke pa je bil t o hud udare c.
Vs eeno pa so se l otili del a t a ko, kot da gre za nove, zanimive
probleme, ne pa za poraz in u n ičenje vsega do takrat znanega .
In ravno raziskov anje paradok sov je obrodilo bogate re zultate,
ki nis o bili pomemb ni samo za matemati ko, marveč tud i za logi-
ko nasploh i n deloma t udi za f il ozofij o.
Parado ks i so t orej pokazali , da k lasična ar i s t o t e l s k a l ogi -
ka ni zadovoljiva za strog e aks ioma ts ko izgr ad nj o m a temat i čnih
teo ri j . Za to so ma tema t i ki i n l ogi ki i s kali d rug ač n e r e ši tv e
i n j i h na s re č o tudi našli. Na žal os t pa re ši t ve, ki j ih je bi -
l o v e č , n i s o po po l ne . To je se veda privedlo do ce pitv e l ogikov
na r az n e s mer i , ki obstajajo ,š e danes . Vsaka smer ima svoje
pr edn ost i i n pom anj kljivosti . Lahko rečemo, da ima danes že
vsak pomembnejši logik s v o j pog l ed na osnove ma t ema t i ke .
N epoučeni bi se lahko č u d i l ta kemu stanj u v matematiki , ki
j o (po kr i vem) imenujemo abso l u t no , ve čno, ne spreme nljivo i n
ne zmotl jivo zn an ost. Naspr otn o , mat emati ka je t a ko kot vs e dr u-
ge znanosti ž i va veda, v s t a l nem ra zvoju i n sp remin j anj u . Osnov -
ni pr ob l em i so še vedn o nerazi s ka ni i n vse v e č je š te vi l o r a zli č­
ni h pr is topov i n razlag t er tudi r ez ult atov s amo pos peš uje njen
bur ni razvo j .
Sa v a A . Kr s ti6
Literatura za dopolnilno branje :
Niko Prijatelj : Uvod v ma tema t i čn o logiko , Ljubljana 1973
Frane Jerman : Med logiko in filozofij~ , Ljubljana 1970
Berk a , Mleziva : Kaj je logika, Ljubljana 1972
134
PRAVI IN UGANKA RS KI KR IPTOGRAMI
Vam bes eda krip t ogra m kaj pove? Ni č ? Ste morda razvozlali
s kr i vnos t ni napi s na naslov ni s tr a ni prv e št evi l ke letošnjeg a
l e tnika Pre s e ka ? Ta napis j e le p·primer s l ik ovneg a kriptogram a .
Zakaj ?
č e sli ko, ki na pr v i pogl ed i zgleda s am o okrase k , dvi gnet e v
r avni no oči, s e poka že i me li sta - PRE SEK. V okr as ku je torej
sk r i to nek o sp o ro čil o - v tem primer u ime lista - ki ga je tr e-
ba š e po i ska t i. (V t i s ok r a s ka j e do s ež en tako , da je besed a
PRESEK napi sana z vseh š t ir i h s tra ni . )
Tako s kr i t o, na ne ki na či n š i f r irano s por o čilo, imenujemo
kr i p t ogram (k r i pto s - g rško s krit, gr amma - gr . pis menka, č rka ).
Slo vensko i me za kriptogra m j e s kr i t na p is , s kr i t o p i s mo a l i
ta j nopis. Neko sporoč i lo š ifr iramo zato, da p re p re čim o nepokli-
ca n i osebi br anje s p o roč i l a. š i fr ira no s poro č i l o lah ko prebere
l e t i s ti , ki pozna š i f ro . š i fra a li kl ju č j e nač in, s ka t e r i m
s krijemo pra vi t e ks t s po roč i l a i n ga ponovn o uporabimo pr i bra-
nj u (deš ifr i r a nju) s p o roč i la. S š i fr i ranjem in dešifriranjem
sporoč il se ukva r j a kr i p t og r a f i j a.
Sist emov za š ifr iranje ( kript ograf s kih s is t emo v) j e ze lo ve-
liko . Loč i mo j ih v dv e ve l ik i skupi ni . Pr vo t vorijo di slokacij -
ski ali po razdelitve n i sistemi, d r ugo pa subs titu cijski ali z a -
menja l n i s i s t emi . Pri pora zdelitve ni h s is t emi h origin a lne e l e -
mente t e ks t a ( čr k e , zl oge , be s ed e) porazd e l i mo oz ir om a preme sti -
mo ta ko , da l ah ko nji hov pr avi l ni vr st ni r ed ugot ovi l e ti s ti ,
ki pozn a uporabljen k ljuč porazde li tve . Pri za men j a l nih s i st emi h
pa e l ement e origina lnega teksta (čr ke, zloge, besede, cel o ce l e
st av ke) zamen jamo po ne kem določenem k lj uč u (pr avil u) s pov s em
druga čn imi znak i , č rkam i a l i be s edami . Mož e n j e tudi me šani kri -
ptografski sistem - na i st em tek stu naj prej uporabimo zamenj a lni
sis te m i n nato še por azdeli t vene ga .
Ti sti , ki ga zan ima vs ebin a ši fr i ran ega s poroč i la , pa ne poz-
na šifre , sk uša odkr i ti š ifro z raznimi metoda mi. Tako so se
razv ili d eši f ri rni (dekrip tažni) sistemi. Za š ifrira nj e in d e ši-
fri r anj e upo ra bl ja jo pos e bne bes ednjake (kodekse), ra zne mat ema-
ti čn o - s ta t i s t i čne me t ode , d el o pa ola jšujejo meha ns ke in e l e k-
tro ns ke na prave (avt oma t ski š i f re rj i i n deš i f r er j i ) .
Kr i ptogra fijo upor ablj a j o tam, kjer je pot r ebno za got ov iti
135
taj nos t s p o roči l, to je pr edvsem v voj s ki, t ajn i di pl omaci ji,
obveščeva l n i s l už bi in dr ugod . Na t eh p od ročj i h so t udi p rv ič
upor abili kript ogr a fs ke postopke . Poz na l i so jih že s tari Grki
( š par t an ci so poši l ja li svojim vo jaškim d ipl oma t s ki m pr edstav -
nikom s po ro č ila z nepomembno vseb ino na pergamentnih list ič ih,
te lističe so odposlanci ovil i okrog palice določenega preme ra
in po do lž ini pal ice prebra li zaupno sporočilo, ki se je tako
razkr i lo) in Rimljani (rimsk i pisec Sveto nij nav a j a, da je Ce-
za r v času svojega bi vanja v Galiji poš i l jal svojim pris tašem
v Rimu ši fr irana sporoči la) , nj ihov r a zv oj pa se je nadaljeva l
v srednje m ve ku . Takrat so se poja vi l i t udi prvi teoretski za-
pis i o kri ptog ra fiji (Angl ež Roger Baco n , Itali j a n Cicco Si mo-
ne t ta , Nemec Jo ha nnes Trit hemi us), pa tudi kas neje so se s
kr ip togra fijo u kvar j al i š tev i l ni ma t ematiki in kr ip to log i (Ita-
li j an Ger ol amo Carda no, Fr a nc oz Bla ise de Vi gen er e , An gle ž
Fra nci s Baco n, Fr an coz An t oin e Ross ig nol, Nemec J. L. K1Uber in
dru gi. ) . V nov e j šem čas u se je kr i pt ogra f i ja pos ebno razm ahnil a
z uvedb o te leg ~afi j e in rad i ogr afije ter s odo bni h te lekomuni ka -
c ijsk i h s is t emo v (M or s ejev a abeceda je primer š i frirane pi sav e~
Zanimiv e kr i ptog ra fske meto de najdem o tudi v de l i h znan i h
pi s a t e l j ev. Za svoje zgodbe so j i h u por a bil i n . pr. amer iš ki pes-
nik i n pisa tel j Edgar Al lan Poe ( "Zl ati h r o š č " ) , Fr anc oza J u-
l e s Ver ne ("P opot ovan j e v središče Zem lj e" ) i n Honor! de Balzac
( "Fi z i ol og i j a zakona" ) , Anglež Conan Doyl e ("P lesa lec") ,in še
kdo .
Ugankar sk i kriptogrami
Kr iptograme smo zaradi njihove "ugankarske narave" pre vzeli
t ud i v uga nka r s t vo. V en igmatiki (ugankars tvu) j ih loč imo po
ob liki na besedne kri ptograme in s l i k ov n e k riptog rame , poznamo
pa tud 'i kombinacije obeh osnovnih vrst . Sestavljamo ji h na os -
nov i dis lokacijskih in subst itucijski h kr iptog rafsk ih sistemov,
upor a bl j amo pa še števil ne druge, predvse m za uga nkar stvo zna-
č il ne pr ij eme .
Skrit nap is a l i k ri ptog r am je zelo zani miva uganka , ki ima
nekD pos ebnos t . Kriptogram je n a m r e č ed i na uganka, za ka t er o ni
m o g o č e povedati sp lošno vel j avne ga pr avil a za reš eva nje, ampa k
s e vs ak kr i ptog ra m r eš uj e d ru g a če . Ta posebn ost j e posledi ca
dejstva , da ima kr ipto gram pra vo vr ed nos t l e , č e j e š if ra en-
kr atn a - to r e j pri vsakem kr iptogramu dr u g a č n a . K ljuč, ki vodi
136
do re ši tv e, je treb a poi s kat i vsak okr a t znova .
Naloga re šev al ca kr iptogr ama je podobna nalogi dešifrerja -
od kr it i mora š i f r o , da bo l ah ko pr ebral re šitev uganke. Sestav-
ljale c skritega napisa s eveda ne sme upor abiti "nere šljive šif-
re", uganko sme zaplesti l e t oliko, da r eš eva l ec s splošnim
zn anjem, ostrim opa zo va nj em, kombi ni r an jem in logičnim skl epa-
njem la hko najd e pot do re š itve. Pri tem mu j e v pomoč l e tole
sko po nav odil o: r eš i t e v ug a n k ar s k eg a kriptog rama je ena al i
ve č besed ali ce l stavek (p regovor , misel) . V nav e d e n i h b es eda h
a l i r i s b a h kr i p t ograma mor a r ešev a l ec po i s kati čr k e ( a l i z l og e
ali črkovne s ku p i n e), ki se s t av l j a j o r e š i t ev . Ka t er e s o t e črk e
( z l og i , črk ovne sku p i ne) i n v kakšnem vr s tn em r e du j ih j e t re b a
od birat i , pa pove k lju č (ši f ra) kriptograma . Pri iskanju ključa
je treb a paziti na vs a ko ma l enkost, pr imer jat i med seboj "po-
dat ke " ug anke, upoštev a ti v e č mo žnost i reše va nja , izlo čati ne-
mogoče kombi nac i j e, paz iti na sl epil ne vložke in se tako posto-
poma približev ati rešitvi ugan ke.
Pri ugankarskih krip togr amih lahko re šitev celo nekol iko na-
kažemo. Pri kV3lit etnih ug an kar s ki h kr i ptogramih je namreč re-
š i t ev uganke smis elno ~ema t s k o) pov ez a na z e l ement i ugan ke.
Ta povezava pa ni obvez na, v mnog i h pr i mer i h niti ni izved-
ljiva. č e bi npr . r i s ba ugan ke pr ika zova l a geome t rij ske li ke,
bi bila tudi re š itev uganke geometrij s ki pojem. To .sicer naspro-
tuje id eji pravega kr i pt ogra ma , kj e r j e t reba sporočilo č i m
bolj zakriti , dovoljeno pa je pri ugank ars kem kriptogramu , saj
j e le re šljiva ugan ka smi seln a za r e še va lca .
Sl ikovni k riptog ram se od bes edneg a r azli kuj e po tem, da so
names t o be s ed s l ič ic e a li ena s ama s l ika . Elementi sli kovneg a
kr i pto gra ma so lahko br ez oznak, lah ko so oz na č eni s črkami
( zlogi , č r k o v n i m i skup!nami) a li pa s o č rk e razporejene posebej.
Lastno s ti in značilnost i nari sanih elem entov - njihova velikost,
r azporeditev, leg a, njihovo š t ev i l o , smer , v katero kažejo in
podobn o , poved o r eševa lc u, v kat erem vr stnem redu mora upo šte-
vati č rk e , da bo pr ebr a l r ešitev uga nke . Najtežji so " č i s t i "
sli kovni s kri ti na pisi (br e z oznak ) , kje r j e treba najprej poi-
s kati v risbi sk r ite bes ede, iz ka t e r i h na t o po ključu odvzemamo
prave č r k e (zloge, č r k ovn e s kup ine) .
Iz vsega povedanega in iz pr imerov, ki jih boste reševali,
s l ed i , da potr ebujemo za reševan je kri pto gramov precej iznajd-
137
ljivosti, sposobnost logičnega mišljenja in sklepanja, znati
mora mo dobro opazovati, stalno primerjati dejstva, biti moramo
potrpežljivi in imeti nekoliko domišljije. Vse te lastnosti
potrebujemo tudi na drugih področjih človekovega delovanja in
zato je prav, da jih razvijamo .
Za to številko smo vam pripravili šest kriptogramov (glej
str. 159) . Najprej jih poskusite rešiti brez pomoči, ker pa v
začetku verjetno ne bo šlo, si oglejte rešitve na strani 188.
V prihodnjih številkah pa se boste s kriptogrami še srečali .
Pavle GI'eg oI'c
NALOGE Z ELEKTRIJAOE
1) Nariši črto, ki ima samo en konec ! Al i je mogoča?
2 ) V avtomobi lu sta mož i n žena. Prvo polovico poti vozi žena s
hitrostjo 60 km/h, drugo polovico pa mož. S kakšno hitrostjo
mora peljati mož, da bo skup na povprečna hitrost 120 km/h
3 ) Sestaviti hočemo verigo iz št ir ih del ov, ki jih vidite na
sli ki
c MM • • O •
_.•. _,_.- _..", .. -
Koliko bi plačali. da bi jo kovač s koval, če zaračuna za
vsak obroček, ki ga razklene in zopet sklene, pet dinarjev ?
4) Spomladi ku'pimo 5 kg jagod, v katerih je 99% vode . Spravimo
j ih v zmrzovalnik, jesen i j ih vzamemo ven, odtajamo in ugo-
tovimo, da vsebujejo le še 98% vode . Koliko tehtajo jagode
jesen i?
Stanisl-av HI'ovat
SREčNO NAKLJUčJE
Z Zemlje se nam Luna in Sonce zdita enako velika. Da je to
približno res, je seveda golo naključje. Naključja pa tudi vča­
sih obrnemo v svoj prid. Kaj lahko v tem primeru dobimo?
(Glej odgovor na strani 144)
KaI'el Ba jc
138
1
KAKOSE JE GODI LO šTEVI LU n
l. DEL
č lovek je že da vno v pr a zg odovin i opazi l , da je obseg kroga
ne ka ko trikrat v e č ji kot nj egov prem er. Ta podate k je s l uži l
pletar j u, ki je zv i jal šibe v okrog l e koš e , pa kolar j u, ki j e
i zd e lov al kolesa za bojne vozove.
V stari h kita jsk i h knj igah, papiru sih Ind ije in Egi pta a li
na g linastih p loščicah Mezopotamije j e moč srečati na loge, ki
zah tevajo ra čunanje ob sega kr oga, a l i obratno, premer kroga pri
z na nem obsegu . Tol e so na pr imer na šli na ploščici s kl i na s t i mi
zna ki :
Če je krožni~a 60, je t r etj ina od 60 e nak a 20. To j e prem er .
Tu že opaz i mo napr ede k od č i s t o obrtni škega navod ila, čeprav
se j e tedanja ma t ema t i ka zad ovolji la z nekaj r e š e ni mi pr imer i,
od koder je u č ~n e c sam ra zbr a l s plo šno prav ilo . Da nda ne s s i mo-
r amo za pom nit i l e for mu lo o =n d i n v edet i , da pome ni o obse g
in d pr emer krog a. Ka j pa pomeni gršk a črka n ( pi ) ? No , t o pa
je, kot vs i dobro vemo , sta l no razmerje med obsegom i n pr emerom
kr oga, ki zna ša pr i bl t ž no 3,14 .
V Egiptu $ 0 učenja k i prvi č opazili, da število 3 ne preds ta v -
lja popo lnom a natank o tega r az merja . Resd a je bi lo v Egiptu
š t ev i io n s krito v drugačno pre obleko . Egipčani so se dosti u k-
varja li z merjenjem p l o ščin; vemo pa , da pomeni n t udi razmerj e
med ploščino kr oga i n kvadr a t a , ki ima za po l mer str ani co. Ali
s form ulo p =n: r 2 •
Al i je kaj presenetljivega v tem, da s e š tev i lo n poj avlj a v
obeh formu lah, za obseg in za plo-
š č i n o kroga? Ne , se ved a ne . Ka r o-
g lejmo si s l ik o l . P lo ščino kr oga
si sestavi mo iz ve l i kega š t ev i l a
kr ožn i h izs e kov . č e j~ ' izsek do -
volj majhe n, ga mi r no la hko nado -
me s timo s trikotn ičkom . Višin a
tr ikotnička je ena ka po lmeru r,
osnovnico označimo z a . P loščina
mu je tedaj ra / 2 . Da d ob i mo plo-
šč ino kr oga , mo ra mo se šte t i plo-
šč ine vse h i z s e k ov- tr i k ot n i č k o v.
139
3
211:r. Po krajšanju z 2o =
č e v vs oti izpos tavi mo r/2, nam os ta ne r avn o vso ta vseh os nov-
ni c , t o je pa na tanko obseg kroga
imamo p = 11: r 2 .
V znamen i t em Rhindovem papir usu j e izračunana p lošč ina kroga,
ki ima pr emer 9 hetov*. Og lej mo si s liko 2 . Plošč ina kroga je
(seve pr i bliž no) enaka pl o š či ni osmerokotnika , ki ga do bimo, ko
odreže mo kvadratu ABCV voga le - D C
ena kokra ke pravokotne t r i kotni ke s
s tran ico t reh he t ov . Pl o š čin a ce le -
ga kvadrata je enaka 81 setov**,
p loščina vseh št iri h odrezkov j e e -
naka dvojni p loščini kvadrata s
strani co 3 he t ov , to je 18 setov .
Pr ibližno bi bi la t eda j pl o š či n a
kroga enaka 63 he t om. Vendar pa je
nez nani r a č u n ar vze l rajši rezu ltat 2
64 he t ov . Pog lej mo zaka j . No, morda AO-~--~~~--~~L-~~--OB
se mu je kar tako le na oko zde lo, da j e p lošči na kroga l e neko-
li ko večja kot ploščina os merokotn ika . Prav gotovo mu je bilo pa
važno, da je dobi l l e p rezu ltat : krog i ma isto p loščino kot kva-
kvad rat s stranico 8 hetov . Tud i do t ega re zultata je prišel s
pomočjo r isbe - slika 3 . P loščini
obe h kvadratov je odvzel ta ko, da
je od ve l ikega kvadrata s stranico
9 heto vodreza l dva pra vokotn ika,
ki sta vsak zas e p loščinsko enaka
kvadrat u s s tran ico 3 het ov . Resda
je pr i te m štel potemnjeni kvadra-
t e k v prese ku obe h pravokotn ikov
dvakrat, a to ga ni moti lo glede na
pr ib l ižnost raču na i n lep i rezu l-
ta t. Sa j je vend aro s ta 1 kot plo -
ščinsko enak krogu spet kvadrat, tokrat s stran ico 8 hetov .
Kakšen je prib l ižek za število ~ dob imo i z z g o r n j e ga egipčan ­
skeg a raču na. Polmer kroga je enak r = 9/2, njegova p loščina
p = 11:.81/4. Po Rhi ndovem papirusu bi bi lo to enako 64, torej
__~ 841~__,:,1i 11: = 4 . ~ = 4 . {~) 2
* he t egipčanska do lžinska mer a
** set = kvadrat n i het
140
znan in ga š e danes često upo rab- !i
1j amo kot nadomestek š tev ila n,
saj je ličen ulom e k, kj er ne š tevec ne imenovalec nista preve-
liki števili.
Pomen Arhimedovega računa pa je dal ek ose žnej ši od samega pri-
bl iž ka . Dve stvari s ta, ki dv i ga ta njegovo del o v i s oko nad ra-
če izračunamo dve decimalki, dobimo približek za n enak 3,16,
kar je re sda za celi dve s to t i nk i p rev eč, a nap redek od približ-
ka n = 3 je veli kans ki .
Plam eni c o zna nos t i so od Egip č anov pr evze l i Grk i. Matematika
jim ni pomenila več samo zbi r ke recept ov za računanje in zemlje-
merstvo, ampak s o jo predelali v logi č en sistem, kjer je bilo
tr eba vsa ko trditev d oka za ti , izv esti i z neka j os novn ih , oč i tn i h
resnic - aksiomov. Plo ščine kr oga se je lotil ed e n največjih u-
mov antike - Arhimed iz Sir a kuz (287- 21 2 p.n.š.) . Bilo je to
t i so č l e t j e in pol po na stanku Rhindoveg ~ papirusa.
Poglejmo , kak o je ra čun a; Arhi -
med!' Na sli ki 4 . vidimo kr og pol me-
ra a in vanj včrtan pravilni š es t -
kotnik . Obseg šestkotnika j e n~k o ­
li ko manjši kot obseg kro ga. Enak
je 6a. če bi iz tega pribl i ž ka iz-
računali število sc , bi dob ili pra -
stari rezultat n = 3 . če namesto
pravilnega šestkotnika vzame mo pr a -
vilni dvanajstkotni k, dobimo bolj ši ~
rez ult at , kip ada za št ev i l o n š e
vedno premajhno vrednost. Krogu o črtan i šest kotnik ima vec j t ob-
seg od kr oga , očrtani dv an a j s t kotn ik i ma s pe t manjši obseg od
šestkotnika, š e vedno pa sev eda več jega od kr oga (slika 5) .
Arhimed je nadaljeval to igr o z
včrtanim in očrtanim 24-kotni kom,
48- kotnikom in 96- kotni kom . Dobil
je na ta način zgornjo in s podnj o
oceno za število n . Njegov r ezul-
tat se glasi : Š t e v i l o n j e večj e
1 0 1od 37I in manj še od 37 , Pos eb no
zadnji približek 3+ = ~ j e dobr o
141
6
Arhim ed
tič ni puris ti . Reš itev kake
geometr i jske na l oge so priz - ~
nali le, če j e bi l a konstruk - , ~
cija iz ved ena z ravn ilom i n
š es t i lom . Tako so se lotil i
tudi kroga i n na s t al je zna -
me nit i prob l em kvadratu re
kroga, ki za hte va : samo s šesti lom i n r avnil om pretvor i da ni
kro g v pl o š čin s k o enak kvad rat . Rec imo, d a i ma kr og po l mer r,
i s kani kva dra t st r an i c o a ; potem j e 11:1. 2 = a 2 in a = r ffl-. Ta
r ač un na m po ka ž e, d a j e r ešitev na log e o kva draturi kroga m o č n o
od v is na od š te v i la 11:. Ker pa je nal oga t a ko e nos tav no f ormuli-
r an a - re šitev pa sploh n i eno sta vn a - so se j e l ot e v ali ne štet i
mat ematiki i n " mat e mat ik i " . Kvadra t ur a kr oga je pos t a la ž e prava
bole z en in je pov zr o čila pop lavo č la nk o v z "r e šitvam i ", dokl er
n i kon čn o Lindem ann let a 18 8 2 d oka zal, da j e na lo ga ne r e šljiv a .
č u n iz Rhi ndo vega papir usa. Arhimed je po dpr l svoj račun z d o-
kazom i n s e ni zadovo ljil l e s pr ib li ž no skico; n j e gov a metoda
daje možnos t - če je r a č u n a r do vo lj vztrajen i n natančen - i z-
ra ču n a t i š tevi lo 11: poljubno n a ta n č n o.
S ko r a j celih d va t i s o č l et se znanje o številu 11: ni premakni-
lo b i stveno naprej od Arhimedo vih s po z na n j . Resda so v tem času
izračunali precej boljših približ ko v od Ar h i med ov i h 22 i 7 , ven -
dar je metoda računanja ostala nj e g ova .
Od he lenskih matemati kov
po Arh imedu v el j a omen it i š e
Pto lemeja iz Aleksand rije
( pr i bli ž no leta 150 p.n.š . ) .
V zname niti knj igi Sy n t ax i s
mat he matica j e na vede l tab li -
co t et iv z a kote od OO d o
18 0 0 in s ice r s ko rako m po l
sto p i nje . Od tod je izv edel
tud i vrednost za š te v il o 11: .
Da l je pr i bl ižek 377 / 120, ki
s e uj ema s pr a vo vre dnostjo
11: = 3 ,14 1 5926 . . že na š t i r i
dec i malk e .
Grk i so b i l i hu d i matema -
142
E
7
B/1
Rim1jan i, ki s o za Grk i pre vze l i vod i 1no pol iti čno i n gos po-
dars ko vlogo v Sr edozem l ju , ni s o da li mat ematiki ni česar nove-
ga. A prav a ne s r e č a za zna nost se j e zače l a z nastopom srednje-
ga ve ka . Zan ima nj e za vs e ve d e , tudi za mat ematik o, je up adlo.
Sam osta ni s o s icer še hr anil i pri mer ke s t arih gr ških knj i g , a
bral in ra zumel jih ni več n i h č e.
Oglejmo si, ka ko s o s e lo tili kvadra t ur e kroga v srednjem
veku . Iz os lo vsk e kože a l i iz pe r gamen ta s o izrezali krog s
premerom 14 pal cev in pna vokotnik s strani cama 11 in 14 palcev .
Izre zan a li ka so potem polož ili na skode l ici te ht ni ce in ker j e
bila l e-ta v ravnov es ju , so s kl e pa li , da i ma t a oba li ka ena ko
pl o š či no. Seveda , č e vzamemo pribli že k n = 22/ 7 , res dobimo za
plo š čin o kr oga ( 22/7) . 72 = 22 .7 = 11 . 14, torej nsto plo ščino ,
kot j o ima pr av okot ni k. I n t ud i te htanj e l i kov kot ra ziskovalni
p r ipomoček bi bil o č isto v redu , če ne bi poznali že veli ko
bol j še ga Ar hime do veg a post opka . Ker t eda nji mat ematiki ni so ra-
zumel i , da je 22 /7 1e pri bl i že k, s o meni 1 i , da nastopi težava
še le zdaj , ko j e tre ba pr avokot ni k pretvor i t i v plo ščinsko enak
kvad r a t . Vem o pa , da j e t a nal og a otročj e lahka. Kar poglejmo na
sli ko 7. Prav okotn i k ABCD i ma str a -
ni c i 11 in 14. Na poda l j š e k st r an i- Dc;>- ----q~
ce AB nan es emo dal ji co BC = 14 in
dobim o t o č k o E . Nad dal j i co AE na-
ri š em o polkr og. Ta s eka dal j i c o BC N
v to č k i F in dalj ica BF j e st ran ica
i s kaneg a kva dra ta BF =~ (v i -
š i nsk i izr ek v pra vokotne m tr i kot- A
niku AEF ) .
Zal pa so s e dogaj al e v tem temnem čas u z matemat iko š e hu j -
š e r eči. Ke r je na nekem mest u v Bi blij i omenj en o starodavno
ob rtni ško navod i lo, da je obseg kro ga t ri kr at v ečji od premera ,
s o s e t a koj na š l i u če n j a ki, ki so z Bi bl ij o v r ok i do kazoval i,
da je n = 3 !
Pete r Petek
MATEMATIKA 101
143
REŠiTVE NALOG--~
OT ROKOV E TE2AVE PRI IG RANJ U - reši tev s st ran i 1 49 .
Ce b i iz vseh ma l ih kock sestavil i kvadrat, bi mali h koc k bilo n 2 (kjer
j e n na ravno štev i lo, k i nam pove , kol i ko kock tvor i rob tega kvadrata) . Ce
bi nam us pe l a ve l ika koc ka, b i bi lo vseh mal ih kock n 3 •
Otroku j e uspe l a ve l ik a kocka brez enega roba . Ima tore j n 3 - n mal ih
kock . Razs t avi mo ta iz raz:
n3 - n = n. (n2 - l ) = n . (n - 1) . (n + 1) = (n - n .n . (n + l)
Zadnji i zraz nam pove , da je število kock enako zmnožku treh zaporednih
na ravnih števil . Med trem i zaporednimi naravn imi števili pa je eno a l i dve
sodo, del j ivo z dva. Sledi, da j e tudi iskano število deljivo z dva.
Med t remi za por ed ni mi naravnimi števi li je natanko eno, ki je del jivo s
t ri. Sledi, da je tu d i i s kano števi lo de l jivo s t ri . Ce pa je de ljivo z dv a
i r, s tr i, je deljivo tu di s šest.
' 'Vel ika kocka br ez roba" j e tore j vedno delj iva s šest. Al i ve lja tudi
obratna t r d i tev : Ce je štev ilo mal i h kock de lj ivo s šes t, a l i jih je vedno
mog oče raz pored iti v ve l i ko koc ko, k i j i manjka rob?
SREC NO NAKLJU CJE - reš i t ev s s t ran i 138
Ce se nam omenjeni ne bes ni t e l e si dozdevata enako vel ik i. pomeni , da ju
v id imo pod istim zo rn im kot om . Ce spoj imo opazova lčevo oko s kraj i š č i Lun i-
nega premera in prav tako s kr aj išči Sončevega premera, dobi mo dva trikot -
n ika.
Ta dva trikotn ika se ujemata v zornem kotu. Ker pa sta povrh še oba ena -
kokr aka , se uj emat a v vseh koti h. Zato sta si podobna. Sled i veljavnost so -
razmerja:
razda lja Zemlja-Luna : razda l j a Zemlja-Sonce = premer Lune : premer Sonca
Ce poznamo t ri od teh štirih količin, l a hko i z raču namo čet r to. Navadno
se s pominjamo povp rečne razdalje Zemlja-Luna = 380 .000 km, razd a l j e Zemlja-
Sonce = 150. 106 km i n Luninega premera = 3.500 km. Ce vse to vstav imo v
gor nj e sorazmerje, do bimo za i s kan i Sončev premer okrog lo 1 .380 . 000 km.
Ce dob l j eno števi lo primer j amo z razda l jo Zemlja- Lu na , ugotovimo, da b i
v votlem Soncu Luna l a hko krož ila okol i Zemlje v nespremen jen i razda lji .
N i č posebneg a, ko pa so zvezde (rdeče ve l i kanke} , v kateri h bi naše l pr o-
s to ra naš plan e tni sistem t j a do Sa t urn a .
Ob koncu pa še vprašanje: Kaj mis l ite se mora zdeti večje z Lun i nega
površja, Zemlja al i Sonce?
KaI'eZ Bajc
NALOGE Z ELEKT RIJAOE - REŠiTVE s strani 144
1 ) o 2) Nal o g a ni rešljiva, ker po rab i žena za pr v opol ovi co poti ves razpol ožlj iv i čas.3} Pl ačamo 10 d in a rj ev - kovač razk l ene de l zdvem a ob ročkoma, ki j u po rab i za povezavo.
4} J ese ni teht a jo j agode 2 , 5 kg. Suha s nov se namreč ohr an i ; i n ker j e l e - t a
pr edstav l ja l a s pom la d i 1% ce lo t ne t eže, jeseni pa že 2%, se j e mor al a ce-
lo tn a t eža zmanj ša ti za po l ovi co. '
Stanislav Hrovat
144
FIZIKA
KAJ JE ENERG IJA?
ICWI
Pri pou č evanju in pri u čenju fiz ike ne kaže postav lj a t i v
osp r ed j e de fin icij . Mn og o bo l j kot ob defin i cijah si prido biva -
mo znan j e in r azu mevanje ob op iso vanj u po ja vo v i n upor ab i zako -
nov. Pogos to ka te re ga izm ed pojmov tud i ni m og oče def i nir a t i ,
ne da bi hkrati de fini rali dru ge. Pojmi v fizi ki s o kot voz li v
mreži : vsak vozel je pove zan z v e čjim št ev i l om drug ih. Niso kot
voz l i na ra vni vrv i c i , na ka t e r i j e pr ed vsakim voz lom eden in
za njim ede n.
V č asi h ' pa se znajde f i z i k v po ložaju , ko se ne mor e izog ni t i
def i nic i j i . Do teg a prid e na primer pr i s est a vl j anj u s l ova r j ev
in l e ks i kon ov . Pri s ploš ni h s lo va r j i h in le ks ikon i h oprav ijo
de l o navadn o t udi pri f i zi ka lnih poj mih nefiz ik i - z ve čj o a l i
manjšo sre č o ( 51 . 1) . Pr i s t r okovnem le ks i konu pa č a k a ce lo i z -
kuš enega fi zi ka ve l iko t ež av. Dodatna t ežava i zvi r a š e i z zah -
t eve po j edrn a t os ti de fin i cij e. Vse kaže , da mor amo bi ti s slo -
varji in l e ksi koni zad ovo l j ni že, č e da j o pr avi vt i s in če v
S l.1 "Energija" v slovaxi u tu jk" F. Verbin c a (Canka r jeva z a lož ba, Lju b lj an a
196 8), s t r . 184 (a ) in v Leksikonu Cankar jeve založbe ( Lju b l j a na 1973 ) ,
str . 229 ( b} ,
145
njih ni pr eof i t ni h l aži . Tr dit ve, ki ne zajemajo pod robn osti
a l i niso popoln oma s pl ošn e i n ka j zam olfij o, pa so sk ora j nei z -
be žne .
Ta ke mis li s o me obhaja le , ko sem pregledova l rokopi s prevo -
da malega f iz ika lnega lek sikona založbe Herder , ki ga namerava
i zda ti Cankarj eva založba . Tedaj - zarad i naštet ih težav s em
del a l s pr ecej šnjim odpo ro m - mi je š i nila v glavo ne ka mise l .
Ali ne bi bil o pouf no za uf en ce in dijake, ki jim je leksiko n
namenje n, fe bi j i m podrobneje razf lenil ka t e r o od definicij?
Tako bi se bolje se z na ni l i s ti s tim pojmom, pog ledal i v oz adj e
defini cije in spozn al i, f emu l ah ko sl užijo l e ks i koni in kak šne
mej e so j i m postav lj ene .
Kar samo od s eb e se je vsi l il o gesl o " e n e r gija~ To je eden
od na jpomembnej ših pojmov v fizi ki; nek ater ih ni strah nap is a-
ti, da je na j pomembnej š i. V novi izdaji ameriške ga srednje šo l-
skega uf beni ka PSSC (Physi ca l Sc i ence Stu dy Comm ittee), kate re-
ga pr va i zd a j a je zna na pr i nas po sr bsko hrvaške m pr ev odu, t e fe
ene rgija kot rde f a nit od zafetka do konca.
V or igi na l u He r der j evega leks iko na (S l .2) energ ija ni posre-
feno r azl ož ena . Tr di t ev , da je energija zmožnost za opra vlja nje
dela a li za loga de la, mo č no zavaja, feprav jo srefamo tud i dr u-
gje . Ce bi držala, danes š e ne bi bi lo skrbi o pomanjkanju ener-
gije v pr i hod nosti . R.L. Le hr ma n je v čla nku En e r g i j a ni zmol -
51.2 "Energ i j a" v Herderj evem l ek si konu Fizika (s koraj dobe sed en pr evod iz
nem ščine). Pu š č ice (kazalke ) opoza rja j o , da j e v re dno poi skati v Jeksi -
konu ustrezna ge sl a za doda t na pojasnil a.
146
nost za opravljanje de l a * ne kolik o zaj edljivo ugoto vil, da bi
na kr atko smeli energijo definirati l e kot zmožnost za oddaja -
nje toplote . Dvomim, da bi bi l kdo za r es zadovoljen s to defi -
nicijo.
Posku simo s estavi t i de f i nic i j o, ki ne bo za vajala , ne bo na-
pa čna in ne bo predolg a (Sl .3) . Po f ormalni logiki naj vsebuj e
defini cija nadrejen i poj em i n zna č iln osti, po katerih s e naš
pojem razločuje od dru gih pojmov sv oje vrst e. Energija je fizi -
kalna količina mirn o la hko pristavi mo ena od najpomemb -
nejših . Zanj o j e zna čil n o , da na stop a v energijskem zakonu , ki
je tudi ed en najimenit nej ši h za konov . Toda to je ne op redeljuje
do volj.
Pomudimo se ob e nerg i js kem zak onu , ki daje en ergiji njeno
velja vo. Pr eden upora bimo t a za kon , se moramo dogovorlti, kaj
bomo š t e l i k sistemu. Tak o pravim o t ele su ali s kupi ni teles , za
kater a se zanim am o . Vsa dru ga tele s a š t e j e mo k oko lici . Energi -
ja s i s t ema j e skupn a ene r gija vseh te les v s i s t emu. Sistem lah-
ko i zmenj uje en ergijo z okolic o : lah ko prejme energijo iz oko-
li ce in se mu ene r g i ja pov e ča , lahko pa energi jo okol i c i odda
in se mu energija zm anj ša .
Sis t em izmenja ener~ijo z okol ic o kot delo, kot toploto ali
kot delo in to plot o . Toplotn o izoli ran sistem prejme delo , ko
zunanja sil a katerega izmed tel es iz okol i ce premakne telo v
s i s t emu v svoji smeri.
51.3 "Ener gi j a" v s l ovens k i izda ji Herderjeveg a l e ksikona Fizi ka
* R.L . Lehrm an , Energy is not the ability to do work, The Phys ics Teache r ,
11 (1) (1 973) 15.
147
ENERGIJSKI ZAKON
s prememba
pol ne
ene rg i j e
A
doved eno
de lo
+ Q
dovedena
topl o t a
( H Wk +
pol na k i n e tičn a
energi ja ene rgija
Wp +
potenc i -
a ln a
e ne rgi ja
Wn +
not ranj a
en erg ija
l' I )
TOPLOTNO IZOLIRAN SISTEM Q= O
Del o se porab i za
seg revanj e vode
Wn2!- Wn l = A
(vpe l java not ranj e
ene rg i je)
SISTEM , KI t1J NE DOVAJN'O DELA
A= O
Lonec vode na
kuhalniku
\~n2 - Wn1 Q
(vpe l j ava
top lote)
IZREK OOHRANI1VI ENERGIJE
SISTEM , KI t1J I ~E OOVAJPMO NE DELA NE TOPLOTE
Q = O, A= O
~ = WI
ali
51.4 Ene rg i j ~ k i zakon i n iz rek o o hr an i t vi e ne rg i je
Sis t em, na kater em zu na nje s i le ne op rav lJo de la , pa prejme
t opl oto, ko ga s pr a v i mo v s ti k s t opl ej šim tel e s om iz o ko l i ce .
Dos le j smo govo r i l i o poZni energiji sis t ema . To je vs o ta
148
vefjega š t ev i l a fleno v - energi j - ki jih nek aj naštejm o . Ki -
n e t i ~n o energijo ima tel o z a r adi giban ja .' Potencialno energijo
ima telo za radi sv oj e l ege gl ede na dr uga telesa, ki de luje jo
nanj s silo , na primer z gra vit acijsk o s i l o ali z elektrifno
silo . Pov r šinsko ene rgij d* i ma gla d i na ' kapljevinskega te lesa za-
radi pov r š inske napeto sti . Prožnostno e n e r g i j d* ima prožno telo
zaradi spremembe ob l ike . Notranjo energijo * * * i ma te lo zarad i
svojega sta nja, ki ga do lof aj o tlak, t emperatura, prostornina,
koncentra cije s e s t av i n i n mo rda še druge termod inam ifne spremen -
l j i v ke . Lastno energijo ima t e lo zar adi svoje l a s t ne mase .. .
V izbranem pr imer u obd rž imo v energi j skem zakon u (5 1.4) samo
tist e od naštetih energij, ki s e v tem pr imeru spremenijo. V
mehaniki se stavljata polno e ner g i j o kin etifna in poten ci a l na e-
nergija (poleg te ga ni i zme nj ava nj a toplote) . V termod inam iki
je polna energija navadno kar en aka no t ran ji energ iji . Lastno
ene rgi jo je treba u poštevati s amo pr i jed r skih reakc ijah in re-
akcijah med osnovnimi de lc i ...
Posebna obl ika ene r g; j sk ega zakona je izrek o ohranitvi e ne r -
gije. Velja za s is te m, ki ne dobi iz oko l ic e niti dela nit i to-
pl ote. Polna en er gija tak eg a s is te ma je konstantn a. Energij sk i
zakon pove vef kot ta i zr e k. Venda r j e izre k zelo pomemben , ker
i zr ec no zag otavlj a, da en er gij e ni mog ofe ustvariti iz ni f in
j e ni mo qo č e u n i č i t i . Pr avzap r av so pri šli do zakona prek o iz-
reka. Kol i f i n o, za kat er o ve l j a izr ek o ohr ani t v i, je .l , Berno-
ulli 17 17 prvi č imenoval energ ij o .
Janez Strr:ad
** Pov ršin ska in prožnostna energi j a s ta pravzaprav dela notranje energij e,
ki ju sistem lahko vedno v ce loti odda kot delo. '
*** Govorjenje o kaki "t op l o t ni ", "kemi j s ki" a l i podobni ene pgiji je napač­
no.
149
NIKO LA TESLA - RAZSIPNI GENIJ
2. DEL
Fre kven ca i z m en i č n e ga t oka, s ka t er i m je dose gel Tesl a prve
uspeh e, je bila 60 s-l. Navdu šen je pri ča kov al š e mnogo ve č od
e l ektričnih t okov z vi š jimi fre kvencami . V mis l ih j e snova l
e l ek tr ič n e gen erat orje s frekvencami, ki bi segale vse do svet -
lobnih fre kvenc.
Na jp r e j j e fr e kven ce pov e č eval z dodajanjem vedno večjega
š t evi l a magne t ni h polov. Njihoveg a števi la pa ni nikdar povečal
pr e ko 384 tako, da so bile f rekvence e lektričnih to kov, ki jih
j e na ta način lah ko pr oizvaja l, ne ka ko 10 kHz. Ko j e razi sko -
val l a s tn os ti teh tok ov , je odkril , da l a hko transformator pri
teh frekven cah de l uje že bre z železnega jedra.
188 1 pa je odkril popo ln om a novo met odo za generira nje viso-
ki h frekvenc . Najbo lje jo r az lož imo na osnovi sheme . Napetost
dinamostroja na j pr e j tran sform iramo . Seku ndarna tul java te ga
t r a ns f or ma t or j a napaja preko s t ik a l a ni ha j ni krog, ki ga s es t av-
lj ata konde nza t or C in tuljav a L. I s k ri š č e s l už i tu kot s t i ka l o .
Vsi e l emen t i so i zd e l an i tak o , da imajo č i m manj ši ohmski upor .
Pr i vs a kem pre skoku i sk r e v nih a jn em kr ogu zanih a napet ost . Na-
pe to s t te fre kven ce s e i nducira t ud i v koa ksi alni tu ljavi L ~
Tul j avi L in L' st a ne ke vrs t e tr an sformator brez že le znega
jedra , ki sta da nes zn an i kot Tes l ov transformator . Tesla je
pr e izk usil ra zl ične i zv ed be . Najbo l j s e je nav du š eval za i zved-
bo : s ka te ro j e dos eg el f r e kvence do 100 kHz .
150
Last nosti visokofrekvenčnega to ka je Tes la demonstr i r al na
ve likem števi lu predava nj. Morda je ena od naj bolj pr e s en etl ji -
vih l a s t nost i kož ni poj av . Tok ni porazdel je n po vse m pr e s ek u
vodni ka ampak le na njegove m površju. Visokofrekvenčni tok ni
neva r en č lovek u. To je Tes la dokazova l na vs eh svojih preda va -
nji h. J a kos t t oka je bi la dovol j ma jhna za rad i uporab e t r a ns-
for mator j a, s kateri m je nape tost več stotisočkrat p o v e č al . Po-
s luša lce je o tem prep ričeval tako, da j e pus t il teč i to kove
s koz i svo je te lo.
Na teh predava nji h je na kazova l t udi možnost i upor ab e te h
tokov . Pr ed vid e l j e f luorescenčne žarnice, re ntge nske žarke,
ka todno cev , in še mnogo dr ug ih naprav, ki s mo j i h v res nic i za-
če l i upor abl j a t i dosti kasneje. Za široko javnos t je pos ta l
skoraj čarovn i k na svetovn i razstav i v Chica gu 1893 . S to
razstavo je Amerika pros lav ljala 4DD- letnico. Po Te s -
l i ni h načrtih so postavi l i e lekt r ično centra lo, ki j e da ja la
dovolj energije za razsve t ljavo in stroje na razstavi. Svo ja
odkritja je kaza l obiskova lcem razstave.
Na majhn i miz ici je i mel kov ins ko jajce. Pod njo je ust va r il
vrteče se magnetno polje i n ja j ce na mi zi c i se je začelo vrtet i z
veli ko kotno hitrostjo . Stek lene cev i z ra zredčen i m pl inom, ki
j i h je drža l v rokah al i pa so kar vise le v zraku, so svet i l e .
Danes ve mo, da je s svojim transfor matorje m dob il visokofrek-
venčno elektromagnetno polje. zaradi česar se je v ceve h in d u-
cira la dovo l j visoka napetost , da so l ahko svetile .
Tes la razkazuje posnetek
eksper imenta v Colorado
Spri ngsu
151
Nas lednji nj egov ve li ki uspeh je bi la hid rocentrala na Nia-
gar i . Z energ i jo Ni a garsk i h s lapov j e po dalj novodu osk r bova l
33 km odda lje no ame riško mesto Buffa lo. Končna moč te cen t ra le
je bil a okoli 35 MW.
V času, ko j e bil na vrhun cu sl ave , pa so se zače le tud i te -
žave . Mnogo z nan ih in nez nani h izum iteljev s i je lastilo pravi-
ce do Teslinih odkr i t ij . Celo na so d išču se j e mor al bori ti za
s voj e prav i ce . Se huj e ga je pri zadelo, ko mu j e pogore l labo -
ratorij z vs o opremo i n dok umentac ijo. Vse to pa ni zavr l o nje -
govega r a z i s koval neg a de 1a . Ob pom oč i nek e ·amer i š ke den a r neu -
stano ve je že pet mesecev kasneje ime l nov l abor a t or i j . Opreme
zan j se ved a nikje r ni mogel kupiti. I zd el al i so jo d el avci pod
njego v i m ne posr ed ni m vods t vom.
V tem oko l ju se ' j e za čel ukvarjati s pr ed hod ni kom sodobnega
r adia . Možn ost i, ki jih j e ta n a čin pr enosa inf orma ci j nud i l,
je demonstr iral z dalj insko vodenim mod e lom ladje . Delo je kro -
nal 1899 , ko j e v amer išk i drža v i Colo rado posta vi l pravo
rad i jsko pos tajo z mo č j o 200 kW. Signal e i z postaje je l ah ko
sp rejemal celov 1000 km oddaljenem kraju . Delo pa je zarad i
raz l ič n ih sp le t k mor a l prek i nit i in se vrniti v New Yo rk . Zna -
še l se je v dolgo vih, ki jih j e le težko v r a č al. Poč a si so pre -
neh al e vs e de nar ne pod pore, ki s o jih raz lič ni de nar ni ki na me-
nj ali Tesl ovi m odk r itjem , ker je de nar Tesla daja l upn i kom , ka t e -
ri m je bi l do l žan .
V New York u j e z ače l de lat i pos kus e s tur bin o, ki naj bi ne
i mel a l opa ti c. Zgr ad i l je v e č model ov , delo pa.je spet moral
prek i niti za ra di poma njka nja dena r j a.
čep ra v ni ime l v eč t ol ik š nih us peh ov kot ob konc u 19 . s to le-
tja , je bi l l . 1912 pred lag an za Nobelovo n ag ~ado. Nekater i
trd i jo, da j o je od klo ni l, ke r naj bi j o z a iste s tva r i dobil
sk upaj z Edi s onom. Tri l e t a prej j e Nobelov o nag rado preje l G.
Ma rco ni za odk r i tje ra d ia , kar pa j e bil o, kot re čen o , Tes lovo
od kr it j e . Vse t o je i mel za oma lova žev anj e s vojega dela in je
le po dolgem prigo varjanju s pre j e l Ed is onovo medalj o. Mnogo u-
ni verz in a kademij ga j e imenov alo za čas t nega č l ana . Vs e t o
pe je Tesli l e ma l o pomen i lo .
Od e lek tro te hnišk i h prob l emov s e j e usmeril t udi na področ­
ja fi zi ke. Pravil j e , da j e razv i l neko t eori j o gr a vitacije . Ta
naj bi bi la v popo lnem nasprotj u s tedaj že znano Einste inovo
152
t eor i j o . Podr obn osti t e t eor i j e ni ni ko l i obj avi 1 . Le v ne kem
govo r u 1 . 1938 jo j e na kr a t ko ome nil . Trmast o ne popustlj iv je
bil do drugih sod obnih f i zi kaln ih teori j . Kri t iz i ra l je kva nt no
mehan iko in trdil, da j e atoms ka ene r gij a iluz ij a i n da ce pitv e
j ed e r ni . Njego v i zna nc i , ki naj bi pisa l i o t em, s o t a ko miš -
ljenje zad rže va l i , da bi mu ohran i li ugl ed.
Zadnji dne vi nj eg ove ga živ ljenja so bi l i nep r ijet ni . Dol žan
j e bi l vel ike vs ot e de nar j a . Poza bl j en in osa mlje n je umrl 7 .
ja nua r ja 1943 .
Viri :
[ 1] DL Sta no je vič , Ni k o l a Te sla i n j e g ov a odkr i6a ; 1894
(fak simi le : Beograd 197 6)
[2 ] J . O 'r~ e il , Živl j enje Nik ol e Tesl e - pr evod , Ljub ljan a DZS
1951
[3] B. Du r f č , Ve l i k i [i"ičar i , Beogr ad, Tehn ička knjig a 1964
[4] M. Pertot, Nikola Te s la , Ljub lja na, ELES 1962
[5] C. P e t e ši č , Genij sna š e g kam enjara, Zagreb, š kol s ke novine
1976
Toma ž Fortuna
153
ASTRONOMIJAI@I _
KOPICA NASPOM LADANSKEM NEBU - Ml3
že z da l j nogledom manj š e po v ečave more mo opa z i t i v ozvezd ju
Her kula približno na s r ed i ni med zvez dama zeta in et a š i bko me-
g li často pego . To je znamen ita Herkulov a kopica - M1J . Vidna je
v s poml ada ns ki h več eri h na vzhodn em delu neba (Sl .1). V temnih
noč e h bre z Lu ne in č is t e m ozr ačju ( npr . v gorah) j o vi d i mo cel o
s pro st imi očm i . S 15- cen ti me tr s ki m da ljno g l edom na obro bj u ko-
pice že razl očimo posa mezn e zvezde . Mo ča n daljnogled pa nam po-
kaže, da je ~1 1 3 s kupi na ze l o veli kega š t ev i l a zvezd, ki s o
zbr a ne v krogl asti pr ostornin i . V s r edini so zve zd e zel o na go -
s to r azporejen e, pr oti rob u pa njihova gos t o t a pada . Podobn i h
kopic l ahko vidi mo z d obri mi da l j nogledi še ve č . Zarad i nj iho ve
obl i ke jih i menuj emo kr og las te zv e zd ne ko pice (1 ) .
He rkulov a kopi ca je najbo lj znana i n na j sve tl e j š a kroglasta
kopica s eve r nega neba. Od nas je oddaljena okoli 30 tis oč sve t -
l obni h l e t , zavzema pa pr ost or kr og l e s pr emero m 150 svetlobnih
l e t. ·V tem pr os t oru s e gne t e ka ki h pol mili jo na zvezd, ki so ob
sredi šču t ako t e s no dr uga ob drugi, da jih ne razl oči niti dalj-
nog1ed nit i f otog r af i ja (S 1. 2). Zvez de, vid ne zda 1j nog 1 edo min
zab e ležen e na fotografskih pos netk i h kop ice, so s ame velikanke
in nadve l i kanke , ki s o mnogo večje od Sonca . Z razda l je 30 ti-
so č svetl obnih l et na m r e č ni m og o č e zabelež iti š i bke jš i h zvezd ,
ker je njihov s ij š i bak zaradi veli ke odda l j e nos t i, ra zen tega
pa zvezde, ki bi jih sa me morda še v ide li na te j ra zdalj i, za-
senč i množica sve t l i h zvezd v kopi ci (2). Gostota zvezd ob sre-
di š ču M1 3 je v e č tisočkr a t večja od gostote zve zd v okol ic i
Sonc a. Pr ed s tav ljajmo s i , da bi ži veli na ne kem pl an e tu v osre-
dnj em d e lu kopi ce! S št ev il nimi zv e zdami posut o nebo bi ka r
b le šč a l o, sa j bi najsvet lej še zvezde sveti le tako m o čn o kot
(1) F. Av sec in M. Prosen, ASTRONOMI JA, Lj ubl j ana , DZS 1975, s t r. 145 do 148.
(2) Glej nalogo Kolikše n si j bi imelo Sonce v M1 J ?
154
Sl . 1 . Spomladans ka ozvezdja
na vz hodnem d elu ne ba.
I1ri s an j e s pom ladansk i tri -
kotn ik , k i ga sestav l jajo
zvezde : a Orl a-Ata ir , a La-
boda- Deneb i n a Li re -Veg a .
Opomba : Za opazovanje kro -
glas t ih kopi c i zbir am o na j-
bo l jše opazova l ne pogoje:
trdo temo in č isto nebo. Po-
večava dalj nog leda: 50 do
80-k ratna.
Sl . 2. Fotografski pos netek M13 , ki so ga
na prav i l i z zelo zmog lj iv im da l jno-
gledom .
sve ti pr i nas po l na 1una. Od ta m bi v idel i v j a s ni n o či več
stot isoč zvezd i s t o č a sn o , medtem ko j ih z Zeml je vi d imo l e ne-
kaj t isoč .
Kaj ve mo o krog lastih kop icah? To so razmero ma veli ke zvezd -
ne gruče, katerih premer je oko l i 100 svet lo bn i h l e t. Krogl as te
kopice l ež i j o na r obu našega zvezdn ega sis te ma - Ga laks ije (3)
in so torej ze l o daleč; celo na j bli ž j e s o odda lje ne več t is oč
svet lobni h l e t . Več ine kopic ne v i dimo s pr os tim oč esom, ampak
SI. 3 . Razporeditev krog las ti h
kopic v naši Galaks iji
(Pog led na Ga laksi jo z boka).
S - Sonce, C - središče Galak-
s i j e
(3) Glej Pre se k 2 (197 4/75), str. 109
1 55
Za kroglaste kopice je značilno, da v nj ih ni prahu ni t i
plina, to je medzvezdne s nov i , ki j e pr av pogo sta v Gala ksiji
in iz katere na s t a j aj o zvezde . Ta in še ne kater i drugi podatk i
na kazu j ej o, da so zve zde v krogl as t i h kopica h zel o stare . Ver -
jetno so nas t a le t edaj , ko s e j e r oj eva la naša Ga lak sija .
Danes je zna nih v na ši Galak siji ne ka j v e č kot sto kr og la-
stih kopic (5 1 .3) . Astro nom i domn eva j o, da j e poleg njih še
ka ki h sto kopic , ki s o zarad i obl ak ov medzve zd ne sn ov i sk r i te
naše mu pog ledu.
Mar i j an Pro s e n
NA LOG A:
Kolikšen sij bi ime l o Sonce v M13 ?
Kolikšen sij bi imelo naše Sonce , če bi ga postavi l i med z ve zde krog la -
ste kopice M1 3 v razdaljo 3 .104 sv. l et? Ali bi ga mog li zaznati z najzrnog -
lji vej šim r e fr aktorj em na sve t u , ki " vidi" zve zde do +1 7m ? Si J Sonca j e
-27 111 , razda l ja Sonce-Zemlja pa 1 5 . 1 010m (1 sv. leto = 9,5.101 ml. Kaj je
si j, p reberi v (1 ) na st rani 21 .
REŠiT EV:
Go sto ta svetl obne ga toka je obratno s or a zme r n a s k v a dra tam ra zd alj e. Naj
bo j o gostota svetlobnega toka s Sonca v razdalji r in j gosto ta svetlobne-
g a toka, ki bi j o namer il i, če bi bil o Sonce v kop i ~ i M1 3 v razdal j i r . Te -
daj velja: j o/j = (r/rr) 2. Iz e n a č be j o/j = (r /ro ) 2 = 10- 0, 4(mo-m) sl edi :
2 Iog(r/ro ) = -0 ,4 (mo-mJ in končno m = mo + 51og (r/r o ) = -27m + 5.0,3m +. 45
m =
+1 9 . 5m• Kot priča rezu ltat, Sonca v M1 3 z na j zmogl j ive jš im refraktorjem ne bi
zazna l i .
Marijan Pros en
156
MATEMATiČNO
RAZVEDRILO_---I~1
PREVAZA NJA CEZ RE KO
Nekaj nal og za kr ate k ča s
Najbrž sodi med najbol j poznane naloge iz prevažanja čez re-
ko , poleg nalo ge i z Prese ka 3.(1974/7 S)3. št .• 3. str .ovoj a, nasl ednja :
Kmet, volk, koza in zelje : Na bre g rek e je prispel kmet, ki ima
s seboj volka, kozo in zelje . Rad bi vse s kupaj prepeljal čez
re ko, t oda na voljo ima le č ol n , ki prenese njega in le š e eno
od živali ali pa zelje. Poleg teg a ne sme pustiti kozo samo z
volkom, ker bi jo ta pojedel. Ravno t ako bi sama koza pojedla
zelje . Baje je kmetu uspelo s čo l n o m spraviti vso trojico čez
reko . Ali bi to uspelo tudi tebi ?
Poglejmo si še ne kaj manj poznanih nalog! Najprej ena za ogre-
vanje :
Nedeljski sprehod: Korenčkova mama in a t a tehtata vsak po 100
kg , njuna sinova Janez in Peter pa vsa k po 50 kg. Neke sončne
nedelje so na skupnem sprehodu prispeli do rečnega brega . S se -
boj so imeli tudi hišnega ljubljenčka, psička Murija, ki po te-
ži ne presega 50 kg. Ka ko na j se prepeljejo čez reko s čolnom,
ki vzdrži le 100 kg?
Sedaj pa š e nekaj težj ih:
Trije ljubosumneži : Na bregu r e ke so se srečali trije zakonski
pari, ki bi radi prišli na drugi breg .Imajo čoln za dve osebi
in vse bi bilo v redu, če ne bi bili možje strašansko ljubo-
sumni. Noben mož noče, da bi bila njegova žena brez njega v
prisotnosti drugega mo škega. Kako naj urede "vozni red"?
Ce imamo namesto .s tremi zakons kimi pari opravka s petimi
in je na razpolago čoln za tri osebe, smo se znašli pred nalo-
go o petih ljubosumnežih.
157
Na loga o št i ri h lju bos umn ežih s eol nom za dv e ose bi ni r eš -
ljiva; pač pa j e rešl jiva, č e obs taja na s r edi r eke š e ot ok ,
na ka t er em l a hko zača s no ost a ne e na ose ba a li več oseb . Pr i
reše van j u mo ramo se veda paziti, da ne pride do si t uac i j e, v ka-
teri mož ne bi mogel preprečiti "ogroženosti" svoje žene.
Za klad : Trije pus to l ovc i Tomo , Egon in J ern e j s o s e dokopali
do starega zeml jevida , na ka t erem je bi l oz načen kraj, kjer je
zakopan zaklad . Skrivoma so s e odpr avili tj a . Spotoma so mora -
l i , ke r v oko lic i ni bilo nobe nega mo stu , s č o lnom za dve os e -
bi priti čez reko . Nato pa še če tr t ur e i n znašli s o s e na oz-
načenem mestu. Plju ni l i s o v roke i n v pot u sv oj ega ob~ aza v
nekaj ura h izkopa li tri s krinje dr agocenosti. Zatem so si za k-
l ad po zas l ugah r a zd e l ili . Ker je za zemlj evid zvedel Tom o , je
dobil po lovico vsega zaklada. Egon , ki je zemljevid pr iskrbel,
pa je dobi l nekaj več kot Jernej. Posprav il i s o vsak sv oj de-
l e ž v svo jo sk r i njo in se t ežk o oto vorje ni odpr avili proti r e-
ki . Toda izkaza lo se j e , d a čo ln vzd rž i n ajveč · dve oseb i a l i
pa eno oseb o in eno s krinjo . Ka ko naj prepeljejo čez re ko se be
in skr i nje, ne da bi kdo (a li dvojica) pr iše l v sk ušnjavo, da
s i poveča svoj del ež i n jo pobriše ?
č e ti katere iz med nalog ni uspe lo rešiti, si preberi reš i tev
na st ra ni 187 .
V~adimi r Ba t age ~j
, , , ,
• • • •
• .~ ~ • p ~'j , , ,• • • •
, , ,~ ,t
• • • •
, IB k ,• •
158
KR I PTOGR AMI
I . SKR IT NAPIS
S E S T R IčN A - KLEPETU LJ A -
EOVARD - BO L Nl čAR KA - ENA KO-
NOč J E - KRITOSE MENKA
I I. KR I PTO GR AM
LOG ARITEM 985612
I II. KRI P T O G RAt~
8
7
IV. SKR IT NAP IS
6
5
abe d e f LJ h
V. SKRIT NA PI S
GE RMA NIJ - EVROPIJ - LITIJ -
CI NK - TERBIJ - INDIJ - BERI-
LIJ - NATRIJ
VI. kr ip TOgram
PRIDE LE K - ANT EN A - TRMA -
TRI NOM - AL EKS ANDR lJ A - NO VO-
TARlJA
Pavl e Gre gorc
MAGI čNI KVADRAT:
V pr azna polja post avi šte-
vila 1-9, tako da bo v vsa ki
vrsti , sto lpcu in diago nali
vs ota 15!
MAGIčN I TRIKOTNI K:
V prazna polja postav i šte-
vi la 1-9, tako da bo vsota v
vs a ki vrst i 17!
Meta Valentinčič
159
~:::~~~~
ZGORNJI OBMOC.IE. DEL IVAN MALO- BORISCE,
DEL OKROŽJE OBLACILA TAVCAR PRIDNEŽ PRIZORISCETELESA STOPALA
~
IZVEDENEC
ZA RAKETE
IMECRKEP
VRELA ZVEZDA,KI
VODA ZAžARI IN
UGASNE
TALIJ MESTECE SZIZENACAJEM OSMI HIMALAJS OOZADRA
POVEZANA PLANET OSEBNI KOZA MESTOVMATEMAT. NASEGA ZAIMEK JV TURCIJI STATUAIZRAZA SISTEMA
KOLICINA
PRAVOSlAV.ZA MERIC-
VERSKANJEKOLICIN PODOBAISTE VRSTE
SPOJ PRI HAMILTONO
PLAVALEC OBLEKI
POŽELENJE ~~J2~MILOS
CATHERINETANTAL
CKRAJSEI
FRANC.
NAPRAVA MATEMATIK
CBLAISEI
NATRIJ
SUKNO IZ BARKACEC KONEC
GROBE GORENJE STONCKA POLOTOKA OPLEME· VOLNE PLAMENOM OSMRTNIc.<NITENO
ŽELEZO
ORODJE
MOCAN ZA PREKO'
SEVERCVZ. PAVANJE
VETER
SAHOVSKA
FIGURA
PASJA
HRVASKI PASMA
PISATELJ
KOVACIC
STOLETJE
GEOMETR.
TELO
EVA
JELER
~
PRETAKA'
NJE SOLZ
160
PREDEL UJEMANJE
EMABREZ LAS KDNCNIH
ZAREBRNICINA VRHU ZLOGOV (LJUBKO- REŠETO ETIKA
GLAVE PRI PESMI
VALNO)
~
MEJNA
VREDNOST
PLAST
TRANSI-
STORJA
ŠABAC
CEBELAM
DEL PODOBNE
GEOMET. ANTIMON
VZKLIK PRI ŠOLSKE ŽUŽELKE
TELO BIKOBORBI OPREME
SEŠTEVEK POLOVICA GRŠKAORODJE PRIFl\ONIK DEBELA
ŽANJIC ZEMELJSKE APACEV ODEJA BOGINJA
UP OBLE NESRECE
NAKAZA
EDO TRUšC
BRAJNIK
POROMLNJEN NIZEK
GRK,CINeM Ž. GLAS
FRMATEMAT
~I~~~I~~
RIMSKA
JUBLJANA'
22.IN 4.
ŠPORTNI CRKA
ŠOLSKAKLUB IZ POBA
MADRIDA RACUNSKA KAZEN
TABLICA
KRADLJIVEC UGO
DESNI FOSCOLO
PRITOK
RAZJEDAlRT1ŠA
V SLUZNICI O
DEI1l,OPR~V DENARNA
LJENOV USTANOVA
CASOVNI
ENOTI
=
~ NAELEKTRENDELEC
SLOVANSKI
~
ZLI DUH
161
NALOGE-TEKMOVANJA
l . nagrada:
2 . nag rada :
3 . nag rada :
4. nag rada:
5. nag rada:
6. nag rada :
~'--- -- - - - - - - - - - - - - - - - -
TEKM OVANJA ZA VEGOVE ZNAČK E UČ ENC EV Z OBALNE REG IJ E
Letos so po t e kal a tekmovanja v oba ln ih primorskih občinah zelo s lovesno .
Č lani Društva matematikov , f iz ikov in astronomov i n Zavoda za šo lstvo SR
Sloveni je so poskrbe l i , da so pokrovi te lji že na obč inskih tekmovanj ih učen­
cem po končanih tekmova nji h razdel il i l e pe nagrade . Le t os so sodeloval i na
občinsk ih tekmovanjih tudi učenci iz osnovnih šol ~ ital ijanski~ učnim jezi-
kom, seveda so dobil i nal oge v i t ali j a n š č i ni . V Izo li je b il pokrovite lj
tekmovanja ko lektiv tova rne Mehanotehnika, ki je obdari l tekmova lce. Dar i la
so dobi l i od svojih pokrovite ljev tudi učenci v Piran u in Kopru. V Pi ranu
je l e tos pom agal a Splošna plovba, v Kopru pa podjet je Slav nik. Zlasti so
učenci zadovoljni s tem , da pokrovite lji pošljejo svo jega zastopnika na tek-
movanje, k i j ih pozd ravi i n pr inese spominska darila . Tako sta prišla pred-
stavnika Kredi t ne banke Koper na šo lo vSemede l i, kjer je bi lo obči nsko tek-
movanje, in vsem tekmova lcem razde l i l a značke, svinčnike in denarnice . U čen­
cem ta pozornost kolektivov vel iko pomeni.
Posebno s loves no je bi lo l e t ošnj e re publ iško tekmovanje, ki j e bilo v
Gostinskem šolskem centru v Izol i . Pokrovite lj tekmovan ja je bilo podjetje
Inte re uropa. Po l eg pokrovite l ja so z dar i 1isodelova l i še Pokl ic na kovinar-
ska in avtome han iška šo la iz Kopra, Kreditna banka Koper, Slavnik - Koper,
Zava rova lnica Croat ia, Stavbenik iz Kopra in založba Li pa . Za spomin pa so
dobi l i vsi t ekm ova l c i knjigo d r . I. Vidava: Rešeni in nerešeni problemi
matematike, dari lo DMFA . Z denar n im pr ispevkom je podp r la tekmovanje še
podr užn i ca Lj ubl j anske banke v Kopru, Obaina izobraževa l na skupnost pa je -
l e t o s prvič - nag radil a več uč iteljev mento rjev , ki ;:e vrsto let požr tvo-
valno delajo z mladim i matematiki . Pohva ljena je bi la tudi podruž nica DM FA
v Kopru .
Nagrade učencem so b i le razdeljene tako le :
ALJA CILENŠEK, o.š. Vojka Šmuc , Izo la . Doseg la je vSe možne
točke in dobi la tud i z lato Vegovo priznanje
MARJETKA GARZAROLLI , o.š . Dušan Bordon, Semedela
MILOVAN MATKOViČ, o . š. dr.B . Magajna, Divača
MANUELA FER ENČ IČ in ETBIN ŽIBERNA , oba o.š. Srečko Kosove l,
Sežana
DRAGOMIR BRATKOV iČ in TI CIANA BARUCA, oba o .š . Dušan Bordon,
Semede1a
RUDO LF ZDENKO, o.š. Postojna
TOMAŽ STADINA, o.š. Dušan Bordon, Semedela
KARMEN BO LČ INA, o.š. Postojna
DARJA ZGONC, o .š. Dušan Bordon, Semedela
BOŠTJAN LOVŠI N, o.š. Vojka Šmuc, Izola
Bogomila Kol enk o
162
TEKMUJMO ZA VEGOVA PRIZNANJA
Pred nekaj tedni smo vam poslali, kar smo vam obljubili z
obvestilom na zadnji strani ovitka v prvi letošnji številk i va-
šega Pre seka: brezplačni izvod Zbirke re šeni h na lo g iz matemati-
ke s t e kmovanj u č en c ev še stih, sedmih in osmih razredov os novni h
šo l SRS z naslo vom TE KMUJM O ZA VE GOVA PRIZNAN J A. Nalog e je zbr a l
in pripra v i l Pav le Zajc, uč ite l j matemat ike in fizike na osnov-
ni šoli Majde Vrho vniko ve v Lj ubl j ani . ž e dolgo vrsto let vod i
pri Dru š tv u matematikov, fizikov i n astronomov SRS podkomisi jo
za popularizacijo matematike v osnovni šo li. Vsako leto opravi
vsa or ganizacijska de la pri re publiš kem t e kmovanju , bedi pa tu-
di nad občinskimi in š ol s ki mi tekmovanji, ki j ih sicer or gani -
zirajo učitelji matematike . Naloge s o prav gotovo korist ile ti-
stim, ki so s e v l e t oš nj em letu ali pa se še bodo pr ipra vlja li
na tekm ovanja . Skrbno r ecenzijo zbirke j e opr avi l pr of . F.Ga lič .
Da smo vas l ah ko s te m pr ese neti li, ni n a kl ju č j e . Na j vam na
kratko le razložimo dogod ke , ki so nam omogoč i l i to. V zadnjih
l e t i h smo zarad i pomanjkanja f i n a n č n i h sr edst ev nekaj š tev i lk
Preseka tiska li le na 32 straneh . To smo storili zato, da ne bi
pri šlo do primanjkljaja . Ko smo kasneje iska li dodatna f inančna
sredstva za sub ven ci oniranje Prese ka , sta nam Republi ška i zo-
braževalna in Republ iška razisko valna s kupnost ob podpori Soci-
alistične zveze del ovnega ljud stva SR Slovenije priznali kot
primanj kljaj bud i na šo obveznost do vas , ki ste prejel i nekaj -
kr ~t l e po dvaintridese t stran i namesto štiriinšestdeset .
V ta namen s mo dobili od Raz iskova lne skupnos t ! , kasneje pa
še pri Republi ški konferen c i socia listične zveze de lovnega ljud-
stva Slovenije znatno namensko subven c ijo . Raz liko, ki nam je
bila potrebna za kritje vseh stroškov pri i zdaji te iz redne šte -
vil ke Prese ka, smo pokril i i z dela d ohod ka , ki smo ga imeli pri
prodaji Pr ese kov ih značk .
Rokopi s je ob s ega1 18 strani na 1og ve č, kot smo ji h 1ahko
objavil i v peti števil ki Preseka, kate rega lah ko tis kamo le na
32 al i 64 ali 96 s t r a neh - 32 strani je ena tiskovna pol a . Zato
te naloge objavljamo v tej številki .
Bra lce m se še opra v ičujemo za napak o na ov itk u, kjer bi mo -
ralo pisa ti : letnik III, leto 1975/76.
Pete r Petek in Ci ril Ve l kovrh
163
21 . RAZME RJA IN SORAZMERJA
391 .
392 .
393.
394 .
395.
396.
397 .
I z r ačun aj nez nani č l e n vso razmer j ih :
e ) x : (2 + x ) ~ 10 ,5 : 21
b) 15 (2x - 1) =t : (x - 4)
c) (x + a) (x + 6a ) (x - a) : (x + 2a)
Iz x : y : 6 2 5 : 3 i zračunaj x in y i
1 k · . 2 9 7Razdel i r azdalj o 912m na tr i de e, I so v raZmer j U 3 : ] : 12
Napiš i in poenostav i razmer j e vo lum nov enakostran ičnega stožca , krog-
le i n enakostran ičnega va l ja, če so pr em e ri s kladn i !
Prva delovna br igada oprav i del o v 12 dneh , dru ga v 24 dneh , tr et j a v
8 dneh . Koliko del avcev je v vsak i br igad i, če je vseh del avcev 60 i n
če de la j o vsi enako?
Kol ik i so r obovi kvad ra, če so v razme r ju 6 3 : 2 i n je površ i na
kvadra 648m2 ?
KrogI i s po lrnerou r st a v črtani pokonč ni va l j in ena ko s t r a n ičen sto-
žec . Koliko j e razmerje povr šin in pros tor ni n t e h treh t el es ?
398.
399 .
400.
401.
402 .
E nako s tran ičnemu tr ikotn iku s stranico a očr tamo i n v črtamo krog. Li-
ke zavr ti mo okoli v iš i ne tri kotn i ka . Dol oč i r azmerj e pov r š in in pr o-
s to r n in na s talih vrt enin !
Trij e del avci so oprav i l i neko de lo za 4920 din . Pr v i de lavec j e de -
la l 15 dn i po 6 ur na da n, dru gi 9 dn i po 8 ur na dan, tretji pa 12
dn i po 7 u r na dan . Koli ko j e zasluž il vsak de l avec?
Pr av ilnemu šes tkotniku s s t ra nica a vč r t amo pr avilni šes tko tn ik t ako ,
da zapo re d zvežemo ra zpol ovi š ča s t r anic . Napi ši razme rj a :
a ) pl o š čin, b) obsegov, c) di agonal (kra jše i n dalj še)!
Zap i ši r azmer j e mer sk i h š tevi l p lo~č i ne ko lo barja in njegovega obsega!
E ~ a ko s tr a n i č ni triko t n ik , kvadra t in pravil ni šes tkotnik imajo enake
pl o ščine. Kate ri ad teh 1i kov ima naj manj ši obseg ?
oko l i
i n pose bno)!
d iagona l i !
s t ra n ice kvadra t a !
če se kvad rat zavr t i
ta (obče
h l eži t a
h ležij o
na stane ,
Načrtaj pr emico , k i ima enač bo y = l x - 3 . Od sek na prem ici , k i ga do-
l oč ata pre s eči š či z os jo x i n os jo ?, je st ran ica ramba , ki ima d iago-
na li na koord inatnih oseh .
a) Zap i ši koordinate ogl iŠč rom~a!
b} Zapiš i en a č be premic, na kate r i h l ežij o dru ge tr i s tranice ramba!
c) Izračunaj pl o š čino kroga, k i j e rombu vč r t a n !
Kvadra t A8CD s s t ra n i co a (po se ben pr imer a = 4) l ež i v I. kvadr an tu
tako, da l eži ogl : šče A na os i x i n ogl išče D na os i y, stran ica AB pa
okle pa z ab5cisno osjo kot 450 .
a} Za pi ši koordina te og l išč kvadr
b} Zapi ši enač bi premic, na kater
c ) Zapi ši enač be pr emic, na ka t er
d) Iz računaj vo lumen vrten ine , ki
d iagonale Acl Iy !
405 .
22 . FUN KCIJE
403 . Načrtaj g ra fe funkci j: a) y = lx i b}y = 13x - 41 c) y = - lx i
404 .
164
406 . Ranb ABeD s s t ra n i ca a = 4 in CX = 1, 50 l eži v I. kvadran t u , tako da j e
ogl išče A v koor d in a tn em začetku in og l išče B na osi x :
a) Del oči koord i nate og l išč (obče in posebno) !
b) Napi ši enačbe pr emic, na ka te r i h l ežij o stran ice r omba!
c) Ko l ika sta površi na in volumen v rten ine , če se romb zav r t i oko l i
os i x?
407 . St ranica a enakos t ra n ič nega t r i kotn i ka ABC je vz pored na z osjo x te r
j e v i . in I I . kvadrant u . S redišče trikot nika j e v koo rd ina tnem začet ­
ku.
a) Zap iš i koord i na te og l išč t rikotn ika (obče i n posebno za a = 6) !
b) Zap iš i enačbe pre mic , na kateri h l ežij o st r an ic e t r ikot n i ka !
c) Zapi ši enačbe, na ka t erih l ežij o tež iščnice t r iko t n i ka !
408. N ačrtaj f unkc i ji x + 2y = 4 in x + 2y = 10 . Li k, k i ga omej ujeta pre -
mic i in koord i nat n i osi , rotira oko l i os i x. Ko l i k je vo lumen vr t en i ne?
4D9. Kvadrat ABCD s s tran ico a = 4 lež i v i i. kvadr antu t ako , da l ež i og l i -
šče A na os i x, og l i š č e B na os i y , s t ranica AB pa ok lepa z os jo x kot
3Do .
a ) Zapi ši koordina t e og l išč kvad rata ; obče in posebno !
b) Zap i š i enačbe premic , na ka t erih ležij o s t ra n ice kvad ra ta!
c) Kol i ka j e dol žin a pravokot ne proj e kc ij e d iagonal AC in BD na D S x?
23. OBČ i NSKA TEKMOVANJ A VI I I. r .
~ x - 241D. En a čbi 3 --2- = x- 3in (a- 3)x+ (a+l) (J - x)
s ta e kviva lentn i . Dol o č i š tev i lo a
a + x - 1
411.
41 2 .
413 .
114.
1
V e sl a č j e ves la l pro t i t oku re ke 75 mi n in pr eves i 2"2 km dol go po t.
Na pov ratku ni ve s la l, ampak ga je nesel vodn i tok in j e porab i l za
i s t o r azdal j o 50 mi nu t .
Izr ačunaj: a) hi trost vode v km/h,
b) hi tros t ves lača v mirn i vod i v km/h,
c) čas, k i bi ga ves lač por ab il za pov ra tek , če b i ves la l
z i s t o moč j o pro t i t oku!
Pravokot n iku povečamo os novn ico za t retj ino. Za kol iko mu mor amo hkr a-
ti zmanjšat i viš i no , d a se nj egova p lošč i na ne bo s premen i la?
V tri ko tni ku J e kot a za 20% manj ši od kot a B, a za 33}% več j i od ko-
t a y . Koliko me ri vsak ko t ?
Pl a š č prav i lne šestst ra nične p i ramide j e 7- kra t več j i od os novne pl os-
kve ; os nov n i ro b pi r amide j e a. Kol i ka j e v iš i na pir amide ?
415 . Vsota štir i h za pored n ih štev i l je 230 . Katera so ta š tevi la?
41 6 . V p rav o ko tn em koo rdi nat nem s istemu so oq l išča štir i kot n ika 0( 0, 0),
AC3 ,o ) , B(4 ,4 ) , e(O , 3) . I z r a čunaj p lošči no št i ri kot nika!
417. Zlata r ima dve r az l i č n i z l i ti ni z lata i n s re bra. V eni s ta z lato in
s r eb ro v razme r j u 3 :2, v d rug i pa v razmerju 3:5. Ko liko kg vsake zI i-
t in e naj vzame , da bo dobil 9 kg nove z i it in e , v ka t er i bo e nako z la -
ta in srebra?
418 . Na miz i ses tavi mo iz 55 kock z robom a s to pni č a s t o p iram ido ; poba rvamo
v idni del povr šj a se stav l jenega t el e sa.
a) Kol ik šna j e poba rvana površ i na?
b) Kol iko kock sp loh n i poba rva no?
165
419 . Pad lo je 2, 2mm dežja . Kol i ko kap ljic je padlo na 1m2 površ ine, če je
- ka o l i 1poprecna masa ap J lce 2 g
420 . Vred nost izrazov 2n , n2 + 1 , n2 - 1 so dol ži ne t r i kotn i kov i h s t ran ic.
Dokaži, da je t r i ko t n i k pravokot en !
421 . V nasadu je 2860 dreves. Na vsakih 10 jab la n so 3 hruške in 2 s l ivi.
Število češenj j e 33}% števila vseh jab lan, hrušk i n sI iv . Kol iko je
v tem nasadu češenj?
422 . Pri katerih števi 1ih a in b bo vrednost izraza a(2x + 3y) + b f Zx - 3y)
enaka nič za x = 1 in y = 1 ? Navedi tri take dvojice števi 1 a in b !
423. Imamo dva kvad ra. Njuni do lž ini sta v razme rj u 1 : 2 , širini v razme rju
2 :3, viš in i pa v raz merju 3 : 4. V kakem razmer j u sta njuni prostornini?
424 . V pravokotniku ABCD s stranicama AB = 12, BI = 8 označi z M razpolovi-
šče stranice AB, z N razpolov išče st ranice BC in s T sečišče premice
skozi točk i M i n N s podaljškom stranice DA. Do loč i prostornino tele-
sa, ki nasta ne pri v rtenju t rikotn ika CTN okrog osi skozi stranico CN!
425 . Kraja A in B sta 200 km narazen . V kraju A stane tona premoga 400 din,
v kraju B pa 480 din. Prevoz stane 20 din za ki lometer in tono.
a) Za katere kraje med krajema A in B je ugodneje kupovati premog v
kraju B?
b) Za kateri kraj med krajema A in B je vseeno, kje nabavimo premog?
426. V škat li so be le in črne kroglice. Njihovo s~upno štev il o je večje od
300 in mAnjše od 400. Če jemljemo iz škat le po 10 kr og lic a l i če jih
jemljemo po 12, jih v škatl i ostane vse lej po 7. Črnih kroglic je za
25 več kot bel ih. Koliko je bel ih kr ogI ic in koliko č r n i h ?
42.]. Valju s prostornino 18ndm3 je včrtana pi rami da ,
k i ima za osnovno ploskev enakokrak i pravokotni
trikotnik s hipotenuzo 3l2dm. I z r a čun a j prostor-
nino te piramide!
428 . Iz kovinske plošče, ki ima obl i ko kvad ratne
prizme z osnovn im robom a = ldm i n debe lino 5mm,
i zsekamo odp rti no, kako r kaže slika. V kakšnem
ra zmerju sta masa prvotne in masa sedanje p lošče?
REP UB LiŠKA TEKMOVANJA VI I I.
1972
429. Prvo števi lo je ~ drugega. Drugo in tretje štev i lo sta v razmerju
0,5 : ~ O . Vsota prvega in t retjega števila je za 70 večja od dr ugega
štev i l a . Katera so t a tr i števi la?
430 . V pravokotniku meri ena stran ica 7 5~" druge . Če krajšo stranico povečaš
za 3em, da ljšo pa zmanjšaš za 6em, nas tane pravokotnik z obsegom 50cm.
Ko liko meri ta stranici pravokotne~a trikotnika?
166
431 . Nač r t aj graf fu nkc i j 5x + 12y = 60 i n
~x + 4v = 12 . Iz r ač unaj obseg i n plo š č i no
š ~ i riko tn ika , ka te re ga og 1 i š č a so pre s eč i­
š č a pr emic s koord i natn ima os ema!
432 . P.avi l ni oktaede r ses tav l j a ta dve en ako-
ro bni št i r ist ran ič ni p i rami di , k i se s t i -
kata z os novn ima pl os kvama. Njegov rob
meri Gam . I z r a ču n a j vo lumen oktaedra in
vo l umen očr tane kr ogle !
433 . Ravnina seka kocko t a ko, da g re skozi
r az po l ov išča robe v: EF, FG , GC , CD , DA,
AE . P re s ečni 1i k naj bo osn ovna p los ke v
ena koro bne pokončne pri zme . Ra z l ik a med
prostorn i nama prizme i n kocke je
31b8 - 1. Iz računa j pros to rni n i obeh t e-
l i? s!
434. Nad sev e rn im po lom so sočas no t ri je zeme lj s k i s a t ~ li t i . Pr vi obkr ož i
Zemljo v 90 mi nut a h , drug i v 105 minutah, t retj i v dveh u r ~ h . Ko l iko-
kr at bo pr v i satelit obk rož i l Zem l jo do trenutka, ko bodo prvič spe t
vs i . t r i j e sate l i t i nad s~ve.n im polom?
435 . Pet de l avcev j e oprav i lo Jel o za 10 500 d i n. Denar si ra zde ! ij o t a ko ,
da dob i ta prva dva skupa j i sk upnega de leža osta l i h t re h. Prva dva s i
svoj de lež ra zdel i t a v razme rju 2 :3 , drugi t r i j e pa v ra zmerj u 3:4 :5.
Kol iko dob i vsa k?
436 . V krog u spoIme rom r na r i š i med seb oj pravokotna premera AB i n CD .
N ačr taj krog s središčem A i n po lmerom AC . Pri me r j aj p l o š čini tri kot-
n ik a AC D in l i ka, k i ga omej uje ta kra jša loka CD obeh kr ožni c!
437 . V koord in atnem s i s t em u kons truiraj t oč k i A(- 12 , 12) i n B(- I5 , 15).
Dol oč i l i nea r no fu nkc i jo, kat ere gra f g re s koz i dani t oč k i ! ( 2 i n "5
konst ru i ra j z ravni lom i n šesti lom; za dol ž i ns ko enoto vze mi 30m!)
438 . Na kvadratnem zem lj išč u s s t ran i co 12m koplj ej o val jasto jamo s pre -
merom 8m . Izkopano zeml jo ena komerno ra zsujej o po preos t al em de lu zem-
lj išča i n j o s t ! a č i jo . Kako globoko mora jo kopa ti, da bo jama g loboka
3m?
19711
439 . Vl ak pelje s hitrostj o 60km/h i z kr aja A proti kraj u B. Zapr t sig na l
na progi ga zadrži 3 mi nute . Vožnj o nada l j u] e s hi tros t j o 75km/ h i n
pr ispe v B po voznem redu . Kol iko km pre d kra jem B stoj i s igna l ?
440 . St eber ses tav l jata r o l kroga i n pokončni stožec , k i ima t a skupn i os nov-
n i krog . Polme r po lk r09 1e j e 2dm , vi š ina stož ca pa j e v om i z r ažena
reš ite v enač be:
1 4
x - 2 _ 2x+"5
- - -1 1 + x +1 0= 0
1 - 11 1 -"5
I z r a č un aj povr š ino in pros to rn ino s tebra !
441. Vrt ima ob l i ko pra voko tn i ka z og l i šč i A, B, C in D. V vrt u ras t e jab-
la na , k i j e odda l jena 7m od ogl i š č a A, 2m od og l iš ča B in 6m od og l i -
šč a C. Kol iko je odda ljena od og l i š ča O?
167
442 . Na s I ik i je pre rez bazena .
a) Kol iko hI vode je v bazenu, če je glad i na vode 2dm pod robom?
b) Za ko l i ko se dv igne gladina vode v bazenu, če do točimo še 10h l vo-
de?
443 . Za katere v rednost i x j e izraz (2x + 1) (x - 5) enak n ič in za kate re
j e pozitiven?
444 . Razs t av i iz raz (x - 0 , 1) 2 - (0 ,2x + 1)2 na produkt dveh fakto rjev !
445 . Načrtaj graf fu nkci je y, ki je da na z enačbo :
(4x - 8y) (- ~) + 11 = (lx + 2) 2 - (lx + 3)2. Li k , k i ga omejujejo g raf
fu nkcije in koo rd i natn i osi, se zav r t i prv ič ok rog osi x i n d r ugič
ok rog osi y . I z ra ču n a j razmer je med p laščema nastal ih vrteni n!
446 . Premer po lk roga je 2 r . Iz krajišča premera sta na r i san i tetiv i tj in
t 2 . Kota med premerom in tetivo t l ter med t e t ivama tI in t 2 mer :tapo 300 . Te t i vi razde l it a po lkrog na 3 l i ke . Izračunaj plošč Ino vsakega
1i ka !
447 . Krog i i spo Imerom r očrtaj pravi Ino t ristranično prizmo. Do loči razr-,
mer je prosto rn i n obe h te les!
448 . Prva štev i lka šestmestnega naravnega števila j e 9. Če to števi Iko
prestavimo s prvega na zadnje mesto, dobimo števi lo , k i je š t i r i kra t
manjše od prvotnega . Dol oč i prvotno števi lo !
25. ZV EZNA TEKMOVAN JA - 7 . razred
449 . Č la ni matematičnega krožka so se dogovoril i , da bo v poči t n i c ah vsak
na pi sal po eno razgl edn i co vsem drugim č lanom . Ko liko j e b i lo č lanov
krožka, če j e bi lo na pi sanih 342 razg lednic?
450 . Pi smen e na loge iz matematike ni rešil o 12% u č e n cev , delno j e na loge
reši lo 32% učencev, prav i l ne reš itve je imelo 14 u čen cev. Kol iko u č e n ­
ce v je bi lo v razredu?
451 . Poenos t a v i iz raz
A = I(4a + 5b) 212 - I (4a - 5b) 212 - 160a b( 4a - 5b)2
Rezu l tat preve ri za a = 1 i n b = -2 !
452 . Na ist i stra ni premice p = (M,N) l ež i t a točki A i n 8 . Ooloči točko P
na dani prem ic i ta ko, da bo kot MPA 2-krat večji od kota NP8 !
· 453 . V kvadrat s s tranico anačrtaj drug kvadrat, katerega og l i š č a leži jo
na stranicah daneg a kvadrata. Kot med st ranicama je 300 . Ko l iki de l
plo ščine danega kvadrata za jema v č r t a n kvadrat? Izraz i v procentih!
168
1973
454. Določi naj manJ se naravno števi lo , katerega produkt s številom 8316
je kvadrat naravnega štev i la !
455 . Ceno platna so zni ža li za 2D%. Seda j dobimo za 24D di n 1m plat na več ,
kot smo ga dobi li za 27D din . Kol ika je bi la cena plat na pred zn i ža-
nj em?
456 . Iz krajev A in B, ki s ta med se boj odda ljena 250km, sočasno odpe ljeta
dr ug proti drug emu dva mo toc ik l i s t a . Hitros t enega j e za 10km/ h večj a
od hitros ti drugega . Po dveh ur ah vožn je sta še 3Dkm na razen. Kol ik a
j e hi tros t vsakega motoci kl i s t a?
457. Vso t a dvomes tn ega štev i la in š tev i la, ki ima i sti š tevi l ki v obratnem
redu , j e kvad ra t ne kega naravnega š tev i la . Po i š č i vsa t aka dvoštev il -
č n a štev i l a!
458 . Dana j e krož n ica s sred iščem D in preme rom AB = 4cm.
a) Na ri š i t r i tangente, od teh dve v točkah A in B; tretjo tangento
pa nar iši tako, da pr vi dve od režeta na njej odsek C:D = 5em.
b) Kol ik je kot tCD D?
c) I z ra ču n aj p lošč ino l ika, ki ga omej ujejo odseki tangent in krož nica!
459. ~e ne ko š tev i lo del imo s štev i lom 72, dobimo kol i čni k n in ostan e k 68.
Kol ik a sta ko l ičnik in os t anek , č e i sto š tev i lo del imo s 24?
460. Dano j e t rimes t no š te v i lo . S preme š čan j em štev il k dob imo r azI i čna š t e -
vila; vso ta vseh t eh š tev i l j e 1998 . S ka ter imi števi lkami j e zap isa -
no dano t r ištev i lčno š tev i lo? Navedi vse prim ere!
461. Vsota dveh š tev i l j e 135 . Kate ri sta t i dve
š tevili , če je 25% enega štev i la enako 28%
drugega š tev i la ?
462 . Da n je pa ra le log ram ABC D. Toč k a M j e sred išče
s trani ce AB, točka N pa s redišče st ranice CD .
Dokaži , da da lj ici DM in BN deli ta diagona lo
AC na t ri enake del e.
463 . I zra ču n aj p lošč i no osenčenega del a kvad rata
AB CD s st ra n ico a. S red išč i lokov sta točk i
Ain B !
8. RAZRED
464. V prazna po l ja preg ledn ice vpiši
t aka štev il a, da bo vsota treh so -
sednih števi 1 v i s t i v rs t i in v
i stem stol pcu ved no enaka 12!
465 . He li ko pt e r in le tajo vz let ita sočasno drug drugemu nas prot i . Do sre-
čanj a j e helikopter pr e l e t e l 100km man j kot letal o , a na vz l e t išče l e-
tala je pr i le te l 3 u re po s rečanj u. Letal o je pril etelo na vz l e t išče
heli kopte rj a 1 u ro in 20 minut po s rečanju. I z ra ču n a j hi t ros ti letal a
in hel i kopt erja t e r razdalj o med vz let išč i !
466. I zbočeni šes t ko t n i k ABCDEF ses t av l ja j o enakokraki trapez ACDF i n dva
enakokraka trikotnika ABC in FDE z enak ima vi šinama v = 12cm. Strani-
ce šes t ko t n ika merij o: AB = 15cm, AF = 25cm, EF = 20cm. Kos t r ui r aj
šestkotn ik i n izračun aj ~j eg ovo pl o š či no v dm2 (mer i lo 1 : 5) .
169
467 . Bri gada t raktori stov je mo ral a i zor ati dve nJ' V' , od kater ih j e prva
dva kra t v ečja od druge . Pr vi dan so vs i ora l i prvo njivo . Drug i dan
j e pol ovi ca brig ade končala o ra nje pr ve (večje ) nj i ve . Druga polovi ca
brig ade je o ra l a dru go nj ivo , n i pa j e do konca i zoral a in j e za to
moral en trakt ori s t o ra t i še dva dn i. Koliko t ra kto r is tov j e šte la
br igada? (Predpos t avlj amo, da so vs i trakto ri st i de la l i v e naki h raz-
mera h i n z i sto prod uktiv nos t j o) .
468 . Prav ilna enakorobna tr is t ranična pr i zma ima osnovno ploskev
6,2513cm2 •
a ) Iz raču n aj os novn i rob t ega te lesa .
b) Dol oči razmerj e med pr os t or ni no tej pri zmi očrtanega in vč rt a n eg a
va l ja, k i ima i s to vi šino kot prizma.
c) Ali t o ra zmerj e ve lja za vsako pra vilno tr istranično pr i zmo?
469. Vzemimo dve polj ubn i š tevi li . Vsota , razlika in produkt teh dveh š te-
vil so t r i nova š tevi la . Dokaži , da je vs a j eno od t eh t re h štev i l
de lj i vo s 3!
470. Po zn i žanju ce ne bl aga za 20% lahko kupimo za 240 d i n 1m več bl aga kot
smo ga pred zn iža njem kupi l i za 270 di n. Po čem j e b il o b lag o pr ed
zn ižanj em cene?
471 . V ravn in sk em pr avokotn em koord i nat nem s is temu XY n a č r t aj pravokotnik
ABCD, če so znane koordinate og l išč : A(-3 ,-1) , B(5 , -1) , C(5,3 ) . Dol o či
a) koord inati točke D,
b) koordinati pre s e či š ča dal j ic AC in BD,
c ) en ač b e premi c , na kat e r i h l eže s t ra n i ce in di agonali pr avokotnika.
472. Osnovni ci AB in CD t rapeza ABCD podal j<amo na obe s trani. Simet ra l i
zunanj i h kotov trapeza pri A i n D se seče ta v t oč ki M, si metra li zuna-
~ih kotov pr i B i n C pa v toč k i N. Oo l oči obseg trapeza ABC D, če je
MN = 2k !
473. Vr h enakost ran i čneg a stožca l ež i v s re d išču os novne pl oskve pokončnega
valj a , osnovna pl os kev tega s tožca pa je kon cen tr i čna z drugo os novno
ploskvi jo valj a. Po lme r osnov ne pl oskve val j a j e r, višina pa h. Vol u-
men s tožca i n va l ja sta enaka .
a) Kol ik je pol mer osnovne pl oskve s tožca (izraženo zr)?
b) Kolik je vol umen ti stega del a va l j a , k i je v not ra njosti s t ožca
( izražen z r i n h) ?
474. Osnovna ploskev pokcnčne štiristran ične prizme je romb s ploš č ino
j .k2 . Man j ši diagona l ni presek prizme j e kvad rat s plo šči no k2 .
a) Izra čunaj površi no in pros torn i no prizme (iz raženo s k)!
b) Koliko je k, če sta merski š tevil i pov rš ine in prostornine med se -
bo] enak i?
475 . Krož nic i je vč r ta n enakostraničn i tr ikotn i k AB C. Po lj u b n~toč ka M~i ­
pada lok u BC,,' na katerem ne leži točka A; dokaž i , da je BM + CM = AM!
476 . Na krož ni s tezi. do lg i 1650m, se g ib l je t a dva motoci klista s konstant-
no h i trostjo. Če se motoci kl i s t a g ib l je t a v naspr o tni sme r i, se sreča­
ta vsako minu t o; če pa se g i b l jetd v isti smer i, dohiti hitrejš i mo-
t ocikl ist počasnej š eg a vsak ih e najst min ut. Ool oč i hitros t i motocikl i -
s t ov !
477. Nar i š i v pravokotnem koordinatnem s is t emu (e nota = l em) pr em i ci PI i n
P2 ' ki imata en ačb i: PI : Y = x - 4 in P2: V - 2x - 2 = O. Iz raču na j :
aJ pl o š č ino figure (1 i ka ) , ki ga one juj e ta p rernrc t in koord i nat ni osi,
b) volumen vrteni ne , k i nas t ane , če tri kotni k, omej en s pr em i cama PI '
P2 in o rdinat no os jo , rotira oko l i ord i natne osi .
170
UGANKA S SODI - reši tev iz P4/2
Re š i t ev a 3 2 s od ov 28 sodov Rešitev b 36 s od ov
Roman Če rv
391 . a) x = 2 b) x = 5 c) x 4a 396 . a = 6x, b = 3x, c = 2x
392 . x = 4 y = 10 P = 2.36x
2 x = 3
a = 18m, b = 9m, c 6m
393 . 256m, 432m, 224m 397 . Pl P2 P3
4 6 9
394. 13: 4 : 6
VI Vz V3
4 6 9
395. x l ' x2 ' "s: štev i la de l avcev
v bri gadah . Ker j e štev i lo 398 . PI P2 P3 9
4 16
del avcev obratno so razme r no s VI V2 V3 9
4 32
š tevi lom dni, je : 399 . x : y : z = 90 72 : 841 1 1
x l :x2: x3 = T2:2lj" :-g = 2:1 :3 x : y : z = 15 12 : 1415k + 12k + l4 k = 4290 ,
X l = 2x, x2 x, x3 = 3x k = 120
2x + x + 3x 60 Odgovor za pi ši sa m!
x = 10 400. a) 4 3Prv a brigada ima 20 del avcev , P1 P2
d r uga 10 in t re tja 30 de lav - b) ° l °2 2 13cev .
c ) 13 2
401 . 1T (R2 - r2) 21T (R - r)
(R + r ) : 2
171
402 . PI = P2 = P3
aV3
Pl = -rt • P2 a~ •
3a~13
P3 = - 2-
a 2 • a 2 . a 2 = 413 . 1 . 2131 . 2' 3 2 ' . 9
al2:a22:a3
2 = 21 :313: 2 = 12 :127 :2
al :a2:a 3
= 213 : 'v27 : rz
01 :02:03
= 6/3 _ 4rn~ 61i =
= 3 3 : 2 27 : 3 2
01 : O2 : 03 = 41'9 : V lJ :'v4
Pri enakih p loščinah ima naj -
manj š i obseg prav il n i š es t-
kotn i k.
Funkci j e
b)
c)
Navodilo za reševa nj e na log.
ki za htevajo. da napi šemo
enačbo premic e skozi dve dani
točk i:
Linearna funkcija y = ax + b
j e do ločena. če poznamo koe-
ficienta a in b. Določimo ju
tako. da vstavimo v enačbo
y = ax + b dani vrednosti za 404 .
x i r. y .
Pr imer:
Do l oč i enačbo premi ce. ki gre
skozi točki A(4,-4) in
B(-2.5) .
- 4 = 4a + b ~ b = - 4a - 4
5 = -2a + b ~ b = 2a + 5
-4a - 4 = 2a + 5
a=-i. b =2
y= -lx +2
2
403. a)
172
e) A(O.-3). B(t, O) C(O, 3) ,
0( - t. O)
2
b) PAB Y = 3 x - 3
2
PCD Y = 3 x + 3
2
PAC Y = - 3 x - 3
2
PBC Y = - 3 x + 3
c)AB=a =7, r = 1,9
P = 11,68
4 05 . a ) A(;,i 13) , B(- ; ,i 13)
eto ,- t'3)
b) x ~ °, 13 13y ~ T x , Y~ - T x
c ) PAB
y ~ 13
PAe y ~ 13 x - 213
PBe y ~ - 13 x - 213
d ) D( 2 , O) , E(- 2 ,0 ) , F ( O, I3)
ali - ali
a) A(-2- , O) , B(a /2 '-2-)
e (a;Z , ali) , D(O , a;2)
ali 408 .
b) x ~ - 2- (x ~ 212 )
y ~ a;z (y ~ 2li)
c ) PAS y ~ x - 212
PDe y ~ x + 212
PAD y ~ - x + 212
PBe y ~ - x + 612
d ) V~~
406 .
4 09 .
v ~ 278 , 4
40 7 .
a) A(D ,O), B( 4 ,0) ,
e (4 + 212 ,212) , D( 212, 212)
b) PAB Y ~ °
PeD Y ~ 212
PAD Y ~ x
PBe Y ~ x - 4
c) p ~ (32TTI2) kv. e.
V ~ (32 TT ) kub.e.
a ) A(- ; 13,0), B(O ,;)
( a a a n
e - 2'2 + 2 3)
D(-(;13 + ; ) ,;)
b) 13 2PAB Y ~ T x +
13 (2 + 813)
PDe Y ~ T x + 3
PAD y ~ -l3x - 6
PBe
y ~ - l3x + 2
c ) Ae ~ 2( 13 - 1 )
BO ~ 2(13 + 1 )
173
(24abc)410.
411.
x-5 x-2
-3---2-~x -3
x ~ 2
(a - 3) .2 + (a + 1) (3 - 2) ~
~a+2-1
a ~ 2
a) Vv ~ 3km/h b) v ~ 5km/h
c ) .t ~ -h h
424 .
(6abc)
1 : 4
- v
2
)
v
2
~ b
V ~ 192TI
Drugo število 10x
prvoštevilo~.10X 8x
9
0,5:20~10:9
Izrez iz ploščice ima obl iko
kvadratne prizme z osnovnim
robom al
a ~ (~i3 - ~)
1 2 2
m : ml ~ 2 : 13
400a + 20ax ~
~ 480a + 20a(200 - x)
x ~ 102
a) Ugodneje je kupovati v kra -
ju B za vse tiste kupce, ki
so od B oddaljeni manj kot
98km.
b) V kraju , ki je od A odda-
ljen 102km, je vseeno, kje
nabavi kupec premog.
Poišč; še drugo pot!
Skupni večkratnik števil 10
in 12 sta števi 1 i 300 in 360;
odtod rešitvi:
141 bel ih in 166 črnih , (171
bel ih in 196 črnih).
V ~ 6dm3
429.
427.
428 .
426.
425.
- x)
kvader
- 2,5
7a13v ~--
1 2
a ~ 60°,
3
x ~ "4 b
, b ~
Drug i
2a
3b
4c
- x)
x ~ 5
5kg prve in 4kg druge zlitine
p ~ 25a2 + 15a 2.4 ~ 85a 2
a) Pobarvana površina meri
85a 2 ,
b) 14 kock ni pobarvanih .
26400 kapljic
a ~ 2n b n2 - 1
c ~ n2 + 1
(n2 + 1)2 ~ (n2 - 1) 2 + (2n)2
10 + 3 + 2 + 5 ~ 20
33.!.% od 15 ~ .!. od 15 ~ 5
3 3
715 češenj
a(2 + 3) + b(2 - 3)
5a - b ~ O b 5a
npr.: a ~ O, b O
a~1,b~5
1
a ~ - "2
Prvi kvader:
dolžina a
ši rina 2b
višina 3c
n + (n + 1) + ( n + 2) +
+ (n + 3) ~ 230
števila so: 56, 57,Zaporedna
58, 59
p ~ 12
ix + i(9
ab ~ (a + 1)x
4S 4y
a~5 a ~ T
4S 4y S ~ 5y
5~T' 3
c + S + y ~ 180° ,
S ~ 75°, y ~ 45°
3a213
3av1 ~ 7'-2-
v ~ 6a
422 .
423.
421.
419.
420.
418.
416.
417 .
415 .
414.
413.
412.
174
430.
431.
432 .
433.
Tr etj e š t ev i 10 9x
8x + 9x - 10x ~ 70
x ~ 10
Štev i la so 80 , 100, 90
a ~ 4x, b = 3x
2 . (4x + 3x) = 14x
2 (4x - 6) + 2 (3x + 3) = 50
x = 4
Stranici prav oko t ni ka mer i t a
16 cm in 12cm.
5x + 12y = 60
x = O ~ y = 5
y = 0 ~ x = 1 2
3x + 4y = 12
x = O .... y=3
y=Oo<- x=4
A(0 ,5) , 6(12,0), C(O, 3) ,
0 (4 ,0)
P = 18
434 . v(90 , 105 , 120) = 2520
2520 : 90 = 28
Pr v i sa t e l i t bo obkr ožil
lem lj a 28- krat.
435 . A+6=i·(C+0 +E )
C + O + E = x
2
A + 6 = "5 x
2
x + "5 x = 10500
x = 75 00
2"5 x = 30 00
A : 6 = 2
Y = 600
2y + 3y = 3000
C:0 :E= 3 :4 :5
3 z + 4z + 5z = 7500
z = 625
A 2y = 1200
6 3y = 1800
C 3z = 1875
D 4z = 2500
E Sz = 31 25
436 .
Pk rliP1 =""2 - Po ' r 1
P1
1T r 2 1T r 2= -2-- Po' Pt = -2-- PO
Pk1
Pt = ""li - Po' P1 = Pt
437.
17 5
x ;
11
x ; 8"
V; (14. 3 ,8 + 16 .1 ,2 + 3 .2 .6 )
+ 3 . 2 , 6) . 12 ; 962 , 4
V ; 9624h1
(10hI ; 10001 ; 1m 3 )
Glad ina vode se dvi gne za x m:
1 • 330.12 .x ; 1, x ; 360 m ; mm
Glad ina vode se dv ig ne za 3mm.
Produkt dve h števi I je enak O,
če je vsa j en f ak tor enak O:
2x + 1 ; O, x - 5 ; O
1
x ; - Z ' x ; 5
Produk t j e poz iti ven . če ima-
ta oba fak to r ja enak pr edznak
1) 2x + 1 > O. x - 5 > O
1
x> - Z,x> 5
Oba pogoj a izpolnj uj e x > 5
2) 2x + 1 < O, x - 5 < O
1
x < - Z ' x < 5
Oba pogoj a i zpo l nj uje
1
x < - Z
(x - 0 ,1) 2 - (O,2x + 1)2;
; [(x - 0,1) + (O, 2x + 1)1.
. [ (x - 0 ,1 - (O, 2x + 1)J
; (1 , 2x + 0,9) (O, 8x - 1 ,1 )
l ,2x+O ,9 ;0
3
x ; - 1\
O, 8 x - I ,1 ; O,
1(4x - 8y) ( - zl +
+ 11 ;
(lx + 2) 2 -
- (lx + 3) 2
Y ; - 3x - 4
St ; 52 ; s
3
rl ; 1\' "z ; 4
442.
443 .
444 .
445 .
P ; 2n r2 + n rs ; n r (2r + s) ~
3 3 ~ 58. 97
V ; ~ +~ ; 12ndm3
3 3
v
j
; 60km/h,
nr2x2 ; a
2(v - x ) - n r2(v - x)
a2v - nr2v v( a2 - n r2)
a2 a2
x ; l, 95m
Kopati mo rajo 1 ,95m g lobo ko.
'x 1
v2 ; 75km/ h , t2; 7š + 20
(3m i n ; 1/2C h)
x x l ·
bO ; 7š + 20' x; 15km
Vl ak stoj i 15km pred kr ajem B
x 50cm; 5dm ; v
s ;~~ 5 , 39
441.
440.
439 .
438.
pI, p12 TI r l S : nr2s
pil p12 1 : 3
x 2 ; a2 + d2
a L + bL 49
}b2 + c2 4 I. ( -1) +
c2 + d2 36
aL + dZ 49 + 36 - 4
x2 ; 81 x ; 9
176
B
N
B
KDQ--_~ -QC
A
(/3 + 1) 2
Pl 2 (2 - /3)
2(2 - /3) . Pl ,;
LM = x , AL = ~, AM = ~/3
x r-c x 2a
a=2r3+2~ x=---
/3 + 1
a = !:'.(/3 + 1) P = a 2
2 1
4a2
A
Trikotnik LMA je
enakostraničnega
stranica LM.
P2
P2 0 ,54.P1 =
= 54%.Pl
8316 = 2 .2.3.3.3 .7 .11 =
= 22 .33.7.11
Najmanj še naravno število, s
katerim moramo pomnožiti 8316,
da dobimo kvadrat naravnega
š tev ila , je 3.7 .11.
8316 .3 .7.11 = 22.3 4.72.11 2 =
= (2.9.7.11) 2 = 13862
Iskana š t ev i lo je 1386.
Iz točke AnarisI tangento na
krožnico k , njeno dotikal iš če
j e D. S eč i šče te tangente z
dano premico je i skana točka
P.
~MPA = ~NPD = 2.~NPBl
2 .~NPB
M
454.
453 .
B
B
A
r = -v3 ~a 2r/3
v = 2r
Vp : Vk = 9/3 : 2n
Prvotno število: 900000 + x
Novo štev ilo: 10x + 9
900 000 + x 4(1 Ox + 9)
x 23076
Iskana število je 923076
n je število članov krožka,
vsak član krožka je napisal
(n - 1) razglednic.
n(n - 1) = 342, (orodukt dveh
zaporednih narav~ih števil)
342 = 2.3.3.19 = 18.19
V krožku je bilo 19 članov.
Odstotek učencev, ki so pra-
vi Ino reši 1 i nalogo, je:
100% - (32% + 12%) = 56%, to
je 14 učencev.
V razredu je 25 učencev.
A = 6400a 2b2, preizkus : 25600
Nariši točko Bl' k i je simet-
rična točki B glede na premi-
co (M,N). Nato nariši krožni-
co k, ki ima s red išče v Bli n
se dotika premice (M ,N) .
448.
450 .
451.
452 .
447.
446.
177
455. Naj bo x š tevi lo metrov in y
cena za 1m platna.
x . y ~ 270
( ) ~ - 4x + 1 '1 00 - 2 O
x ~ 270 "
y
(~ + 1) ~ ~ 240
y '100
y ~ 30din x ~ 9m
Cena platna j e bi l a pr ed zni-
ža nj em 30di n za met er .
456 . Hitrost prvega : v km/h
Hi t ro s t d rugega : (v - 1) km/h
Čas : t ~ 2h
Po t : s ~ V.t
2.v + 2. (v - 10) ~ 220
v ~ 60
Hitrosti motocikl istov sta
60km/h in 50km/h.
457 . Označimo š tevi l k i : x in y.
Vsota števi 1, ki j i h zapi šemo
s tema š t ev i l kam a je
(10x + y) + (10y + x) ~
~ll(x + y) .
To števil o j e kvadrat narav -
nega š t ev i la , za t o j e
x + y ~ l1
x 2 3 9
a) Nari šemo t angenti (t I i n
t 2) skozi točki A in B. Na
tangenti tI iz ?eremo polj ubno
točko P. Nari šemo lok s pol-
me rom 5cm, ki seče t angent o
t 2 v točk i Q. Skozi sred iščeO danega kroga nari šemo pr a-
vokotni čo na dal jico PQ .
458.
173
y 9 8 2
Sečišče pravokotni ce s krož-
nico je dot ika l išče tangente
t
3
( t
3
11PQ) .
b) ~COD ~ ~COS + ~SOD ~
1
~ Z(~AOS + ~BOS) ~
1
~ Z .18 0 900
c) ~ AD + BC AB
PI 2'
~ DS ; SC .AB ~ CDiAB ~ 10
4u
P2 ~ ""2 ~ Zn
p ~ 10 - Zn
459 . Dano število zapišemo v obli-
ki : 72n+68
(72n + 68) : 24 ~ 3n + 2 in
ostanek 20
460 . a) Če so vse š tev i l ke (c ifre )
raz liščne : a, b in c , dobi mo
6 š t ev i l:
100a + lOb + C
100a + 10c+ b
100b + 10a + c
1OOb + 10c + a
100c + 10a + b
100c + l Ob + a
vso ta: 222a + 222b + 222c ~
1998
a+b+c~9
Dano š t evi lo je za pisano s
š t ev i 1kami :
1, 2 i n 6
1 , 3 in 5
2 , 3 in 4
b) Če s ta l e dve števili raz-
li čni : x in y , dobimo 3 šte-
vi l a :
100x + 10x + Y
100x + 10y + x
100y + 10x + x
vso t a : 222x + Illy ~ 1998
2x +y ~18
Dano števi lo j e zap isano s
š tev i 1kami:
5, 5 in 8
7, 7 i n 4
8, 8 in 2
461. Naj bo prvo š t ev i lo a . Drugo
š tev i lo j e (135 - al .
35 .a 28 .( 135 - a ) 60
101J ~ 100 * a ~
Prvo štev i lo je 60, drugo pa
75 !
2 5 5 2 5 5 2 5
4 7 1 4 7 1 4 7
6 O 6 6 O 6 6 O
2 5 5 2 5 5 2 5
To pomeni, da se števila v
isti vrsti (stolpcu) ponav-
ljajo po vsakih dveh preskoč­
nih poljih. Nato tabelo lahko
dopolnimo po vrstah (sl.l) in
nato še po stolpcih (sl.2).
Ostala števila dobimo iz po-
goja, da je vsota treh zapo-
rednih števil v vsaki vrsti
(stolpcu) enaka 12 (sl.3) .
zato1OF = 2" FC,
AE = FC
jJgf;C
A M B
Težišče trikotnika ABD je
točka E-,Težišče trikotnika
BCD je ~očka F. Na osnovi
lastnosti težišča trikotnika
je:
AE = } AO in CF = } OC, zato
je AE = CF
OE = L AE in
2 ·
je OE + OF =
462.
x
enačba:
4
}(x + 100)
Velja
3x
X+1iiO = x
(x +x 100) =~, od tod dobimo
x + 2
X+11fiJ = -}' ker je
2 2 4
(}) 2 = (- }) 2 = š : Števi 1i x
in x + 100 pa sta pozitivni,
zato ustrezata samo enačbi
x 2
x + 100 =}.
Dobimo rešitev x 200 km itd .
Oddaljenost vzletišč je 500km,
hitrost helikopterja je
100km/h, letala pa 150km/h.
Rešitev: Naj bo pot hel ikop-
terja do srečanja x km, tedaj
je letalo do srečanja prele-
telo (x + 100) km . Hitrost
hel ikopterja je
x + 100 .
--3-- km/h, hItrost letala
pa -T- km/h. Od svojega vzle-
1}
tišča do mesta srečanja je
helikopter letel
x + 1DO 3x
x : --3-- = X+1iiO ur;
letalo je letelo od svojega
vzletišča do srečanja:
1
1} (x + 100)
ur.
/ .
2 313 - IT
a '- - 6- -
2 5 2 5 2 5
1 1
6 6 6
2 5 2 5 2 5
5 5 5
1 1
6 6 6
2 2 2
465.
Do--=:-__-----,=--oC
Naj bodo a, b, c in d š t i r i
sosedna števila v isti vrsti
(istem stolpcu). Iz pogoja
a + b + c = b + c + d s 1ed i ,
dajea=d.
463.
464.
179
D
~.1 + 2
a) Koordinati četrtega 0911-
šča sta 0(-3,3).
b) Koordinati preseči šča dia-
gonal AC in BO sta :
-3 + 5
X
s
; --2-;
-1 + 3
YS ; --2-;
c) c) Enačbe premic, na kate rih
leže stranice pravokotnika .
so :
AB Y -1
BC x 5
CD Y 3
DA x - 3
469 . Vsako na r avno š tev il o lahko
zapi šemo v eni i zmed obl i k:
3k, 3k + 1, 3k + 2 , (k ; 1 ,
2 , 3, ... ). Če je vsa j eno od
š tev i l a i n bobli ke 3k . j e
njun pr odu kt deljiv s 3 . Č e
ima ta a in b obI ik o 3k + 1
ali ob l i ko 3k + 2 , j e njuna
razlika deljiva s 3 , če pa
ima eno š t ev i l o 3k + l. drugo
pa 3k + 2 , j e njuna vsota de-
ljiva s 3 .
470. Blago j e bilo pr ed zn ižanjem
po 30 din .
Rešitev:
Pr ed zn i žan j em :
množ i na blaga (m): x
vr ednos t blaga (d i n) : 270
ce na bl aga (d in): 270/ x
Po znižanj u:
množina blaga (m) : x + 1
vr ednost blaga (din): 240
cen a bl aga (din): 240/(x + 1)
Pri sestavljanju enačbe upoš-
tevamo, da je cena po zniža-
nju 20% manj ša, torej 80% cen
cen e pred zn ižanjem.
240 270 4X+T ; -X- 'S ' x ; 9
270 : 9 ; 30
4]1 . 1/
delo za oranje
prve nj ive
delo za oranje
druge nj ive
Enačba: x + 1; 2 '(1 + 2)
x ; 8
a.e13 '"a) Iz -.r- ; 6 ,25 13, dobimo
a ; 5
b) Polmer včrtaneg a valja je
r ; .!. h ; 13,
pol m~r očrtaneg a va l j a j e
2 a '"R ; 3 h ; 313 ; 2r.
(h j e viši na osnovne plos kve)
VI : V2 ; nR2v nr
2v
VI v2 R2 r
2;
VI V2 4r 2 r2;
VI V2 4:
Za vse take pri zme je razmer-
je vedno isto .
Bri gada je štela 8 traktori-
s to v. Rešitev :
Brigada naj š t e j e x traktori-
stov. Če merimo delo z enoto
" t r akto r na dan " (delo trak-
torja venem dnevu), dob imo
x
x . l + 2 .1
A
Geometrijsko kons t rukc i j o de-
laj sam!
Ploš čina šestero kotni ka ABCOEF
v prav i velikosti je 900 cm .
Reš itev :
Po Pitagorovem izreku dobimo:
eG; 9cm, AC ; 18cm
OH ; 16cm, OF ; 32cm
CK ; 24cm
Iskana ploščina je
p ; PABC + PACOF + PFOE ; 9dm2
468.
467 .
466 .
130
472.
iJ ~
474.
A B
(Nadalj evanje na s tr. 1B8)
BN ; OS. r/3 - r
r/3
h
1
h. /3 - 1
/3
h h 3- 131 . 3
Prostornina valja, ki je v
stožcu, je:
v; nr 2 h . 3 -
3
13
475.
Na daljici AM konstruiraj
točko N tako, da je MN ; CM.
Kot fAMC je načrtan nad stra-
nico AC in je enak kotu
fABC ; 600 (kota nad isto te-
tivo) . Trikotnik CMN je ena-
kostraničen in tako j e
CN ; CM.
Iz skladnosti trikotn ikov ACN
in BCM sledi, da je AN; BM .
Po konstrukciji je MN ; CM,
zato je
AM ; AN + NM BM + CM
Iz ploščine diagonalnega pre-
seka ugotovimo, da sta krajša
diagonala romba in višina
prizme enaki k. Iz ploščine
romba dobimo daljšo diagonalo
.i..:.!s. ; 3.k2 "" d ; ~k
2 3 3
Stranico romba dobimo iz pra-
pravokotnega trikotnika v
rombu
a ; i k
2
a) V "3 k3,
b) V ; P "" 3. k 3
3
a)
475.
Enačbi premic, na katerih le-
žita diagonal i AC in BD, do-
ločimo tako, da koordinate
(A in C ter B in D) vstavimo
v enačbo:
y ; ax + b ter določimo koe-
ficienta a in b.
Rešitev je:
diagonala e: x - 2y +
diagonala f: x + 2y +
Ker leži točka M hkrati na
simetral i zunanjega kota z
vrhom A in na simetrali zuna-
njega kota z vrhom D, je ena-
ko oddaljena od premic AB in
CD. Na enak način ugotovimo,
da je točka N enako oddaljena
od premic AB in CD. Zato le-
žita točki M in N na srednji-
ci trapeza. Daljica MN je e-
naka polovici obsega trapeza .
Trikotnika NAE in BMF sta
namreč enakokraka in je
- d - b
NE ; 2' FM ; 2'
o ; 2.2k, o ; 4k
a) Polmer osnovne ploskve
stožca je R. Ker je Vs Vv'
velja
R2h-3- ; r 2h ='" R ; r I:l
b) Iz podobnosti trikotnikov
BQN in OQS sledi :
BN R - r
OS; -R-
473.
131
NOVICE
LET NA šOLA MLADIH MA TEMATIKOV
Dru štvo mat ematik ov , fizik ov in a stronomov SR Hrvats ke je le-
tos organiziralo že pe t o letno šol o mlad ih matemati kov v Primo -
štenu . Med 12 . i n 18. juli jem 197 6 smo se v tem prijet ne m turi -
stičnem kraju zbrali mladi matematiki iz vs e Jugoslavije . I z -
brali so nas po re zultatih republi ških te kmovanj in zvezne ga
tekmovanja . Slovenijo smo zastopali: Matj a ž Vi dmar - zdaj uč e­
nec 4 . razreda gimn azije v Novi Gorici, ki je pravi r ekorder,
saj je bi l v Primo štenu že tretji č; Lu ka šu šte r šič - učenec 4.
raz red a l. g i mna z ije v Lj ub1j a ni j e s ode lo va l v 1et ni šo l i dru -
g ič in Edmond Rusj an - učene c 3 . r a zreda I . gi mnazije v Ljub-
l j a ni p rv ič .
Primo šten je zel o lep turi sti č n i kraj ob mor ju me d š i be nik om
i n Spl i to m. Star e j ši del mestec a l e ži na maj hnem polotoku, ki
ga l e oze k pas povez u je s kopn im, kje r ras t ejo s odob ni hoteli.
Zrave n njih je tudi t abor esperant i s t ov , kj e r sm o s t anova l i .
Dopold ne smo imel i t ri ure preda va nj , ki so jih vod il i uni-
verzitetni pr ofesorji. Dr . Kur nik j e pred av a l o izbranih pr ob-
l emih o konveksnih množicah, dr. M ič ič o algebrsk ih i n trans -
cendentnih šte vi l i h , dr. Pa lman pa o projektivn i geo metriji .
Pred avanj a so bil a ze l o za nimi va, vendar pr ecej za htevna .
Popoldne in zve čer smo bil i pr ost i . Takrat s mo se kopali,
igrali min igo lf, ša h in se sp rehaj ali po Primoštenu . Ve li ko s mo
s e tudi pogov ar j ali i n to o na j r az li čne j ših t em ah. I zvedel sem
ma rs ika j zani mive ga o ž ivljen ju mladih drugod po Jugo sl av iji, s
kakš ni mi zunaj šo l skimi dej avno stmi s e ukvarja jo in kaj j i h naj -
bol j zan ima . Razumljivo, da j e pogovor nane s el tudi na matema-
t iko . Ko le g i i z Beogr ada s o me vpr a ša li, č e imamo tudi v Sl ove -
niji kak šno m a t e m a t i čn o g imnazijo . Ko sem ji m poveda l, da t udi
jaz obis kuj em odde lek za i ntenz ivno ma t ema ti ko , ji h je zan ima-
lo , kol ik o ur matematike imamo. Od govor i l s em, da imamo 9 ur v
182
dveh tednih . Cudili so se, kakšen int en z iven oddele k sploh j e
to , s a j imajo oni 9 ur na tede n, v Zagre bu p a 7 ur na teden.
Pr edzadnji dan smo odšl i na izl et z la djo n a o t o ka Kr a pa nj
in Zlarin . Teden v Primoštenu je hitr o mi nil in odš l. i s mo dom ov
s tiho željo, da bi se še vrnili.
Se nekaj nalog, ki so jih zastavili pr edavatelji, pa tudi
kolegi :
l . V kotu šahovnice stoji š a hov s k i ko n j. Ali lahko ska če tako,
da skoči na vsako polje natank o e n kra t in d a ko n č a potov anje
v nasprotnem kotu š a h ov n i c e ?
2 . Dokaži, da število 0,1 2 11 2111 21 1 11 2 . .. ni rac io na l no!
3 . Dokaži, da je od v seh št e v i l o blike 2p + 1 (p j e prašte v i lo)
samo e no ku b naravnega št ev ila!
4 . Ce sta a in b tuji si š t e v il i ( a, b) 1, d okaž i
( a + b , a 2 - ab + b 2 ) = 1 a l i 3 .
Rešitve :
2p .
(p j e praštev il o)
dve možnos ti .
k 2 + k + 1 = 2p
4+2+1 = 2p
kar vodi v prot islovje : 7
k 2 + k + 1 = P
9 +3 + 1=p
P = 13
j e kub sa mo š tev i lo 27:
in2
3
k - 1
k
Od v seh š t ev i l ob l i ke 2p +
2.1 3 + 1 = 33 = 27.
2.
1. Šahovski konj skoči vedno z bel ega na č rno polj e, s č rnega pa na be lo . Ce
začne svoje potovanje na bel em pol ju, bo po en i potezi s ta l na č r n em po-
lj u , po dveh na belem itd . Po 2k -l potezah bo s ta l na č rnem , po 2k pote-
zah pa spet na belem . Ker ima ša hovn ica 64 pol j in mora s koč it i na vsako
polje enkrat , bo napravi l 63 potez . Na koncu po tov an ja bo sta l na polj u
druge bar ve ko t na začet ku. Pol j i v nas prot n ih kotih ša hovn ice pa s t a
i ste barve . Zato ne mor e začeti skaka t i venem kot u šahovn ice, konča t i pa
v naspro tnem.
2. Za vsako rac iona l no š tev i lo obstaj a enoli čen ne skon čen pe r i od i čen deci-
ma l n i za p i s . Pr edpostavimo , da j e 0 ,1 21 121112 . . . . r ac ionalno štev i lo . V
nj egovi peri odi so en ice in dvojke. Poskusi mo ugo tov i ti, ko l iko cife r je
v per iodi ! Samo ena ne more biti, ke r b i bil a to en i ca a l i dvojka , ne pa
oboj e. Dve .c i f r i ne moreta bi ti v peri od i , ker imamo v zapi s u dve en ic i
zaporedoma in mor a biti v peri odi vsa j ena dvoj ka. Podobno skl epamo za tr i
cifre, za štir i itd . Za polj ubno na r avno š tev i lo n l ahko najdemo n za po-
rednih en ic , zato n ne mor e biti štev i lo ci f e r v periodi. Ker 0,121 121112. .
nima per iod ičnega decima ln ega za pisa, n i raciona l no š tev i lo .
3. Ce enačbo
2p + 1 = k 3
ma lo preob l ik ujemo, dobimo
k 3 - 1 = 2p
(k - 1 ) . (k"2 + k + 1) = 2p
Ker j e p pr a š t evi lo, sta seda j le
1 . k - 1 1 in
k 2
= p.eb
4. Če a2 - ab + b2 del imo z a+b, dob imo
a2 - ab + b2 = (a + b) .(a - Lb ) + 3b2
Če je š t evi lo k de litelj dveh števil, je tudi delitelj njune vsote in
razlike . S pomočjo tega izreka se lahko prepričamo, da velja
(a2 - ab + b2 , a + b) = (a + b , 3b2 )
(a + b , 3bZ) je lahko enak 3, na prim er a = 4, b = 5 ~ (9 , 75) = 3,
1ahko pa tud i l, na pr imer a = 1, b = 3 ~ (4, 27) = 1-
Dokaž imo, da ne more bit i noben o praštevil o p s kupn i del itelj š t ev il
a+b in b2 !
Iz pI b2 s 1ed i pIb i n
Iz p (a+b) sl edi a + b = p.d
a = (a + b ) - b = p.d - p. e = p , (d- e)
Torej pI (a, bl, ka r je protislovje .
Vsak skupn i de l itelj š t ev i l a+b in b2 lahko razstavimo v produ kt pra-
števil. Vsako od teh praštevil je tudi skupni delitelj števil a+b in b2 •
Malo prej pa smo dokazali obr a t no : nobeno praštevilo ni skupni del itelj
š tev i I a+b in b2 •
Torej tudi nobeno sestavljeno š t evi l o n i skupni delite lj š t ev il a+b in
b 2 •
S tem pa smo že dokazal i
(a + b , 3b2 ) = 1 a l i 3
in
(a2. - ab + b2 , a + bl = (a + b , 3bZ ) 1 al i 3
Edmond Rusjan
Za nalogo v Preseku IVil smo d obi l i 39 rešitev in od teh s o
bile napa čne sa mo š t i ri.
Nalo ge s o pravilno r ešil i :
Ivanka Arlež, osn . š . M. Tominc, Globoko, Igor Bahovec, gi mnaZija Šentvid ,
Jasna B rov č , gimnazij a Tolmin, Tomislav Cer ave , osn . š . I . Cankar, Vrhnika,
Maruša Dobljekar, gimnaz ija M. Zidan šek, Ma ribor, An i ca Domin ko, osn . š .
Odranci, Bernarda Drganc, gimnazija Stična, Peter Fajfar, gimnaz ija Jesenice,
Barbara Dradišek, gimnazija Kamnik, Ferdo Humski , Maribor, Bojan Hval a, gim-
nazija Idrija, Stanko Kac, gimnazija Ravne , Stanko Kajba, g imnazija Cel j e ,
Branko Kancler, gimna zi ja Ptuj, Marija Kavaš, osn . š. Odranci, Albin Klanj-
šče k, gimnazija Nova Gor ica, Jože Kociper, g imnaz i ja Mari bor , Eda Kofo l,
s lovenska g imnazi ja Koper , Marko Kogoj , g imna z ija J es en i ce , Igor Kraš evac,
g imnazij a M. Zida nšek , Maribor, Ivan Kre s n ik , g imnaz i j a Ravne, S rečko Na t ek ,
g imnazij a Celje, Barica Nedelko , osn . š . Odranci, Bernard Nežman, gimna z ija
Bež igrad , Nada Obad, slovens ka gimna z ija Koper, Brane Penca , gimnaz ija Novo
~esto , Tone Petkovšek, g imnaz ija Poljane, Peter Povše, g imnazija Novo mesto,
Miran Pravdič, gimnazija Ravne, Vida Rus , gimna zija Kočevje, Dušan Seljak,
gimnazija Škofja Loka , Alojz Trček , elektro pokl icna kovinarska šola, Ljub-
ljana, Pavel Troha , gimnazi ja Idrij a , Este r Zimic , g imnazija Tolmi n , Marija
Zve r , osn. š . Odranci .
184
PREMISLI IN REŠi ~-------------------
Pravil no rešitev* dajo oglišča
1. Ena kor o be prav ilne tristrane pr izme
2 . Dvo jne p o k on čne pir a mide, ki im a j o os no vno p l o s kev ro mb in po 2
st ra ns ka ro bov a e na ka os nov ne mu rob u; pose b na obl ika - o k taede r .
c
F
a
a
E
a
a
a
D\;III!" ~ F
B E
Izž reban i so bil i:
Albin Klanj šček, gimnazija Nova Gor i ca
Ivan Kr es n i k , gimnazija Ravne
Alojz Trček, e lektro poklicna kovinarska
Za nag rado prejmejo knj igo Ivana Vidava:
t emat i ke.
šo l a , Lju bljana
Rešen i i n ne r e šen i pr ob1em i ma-
Nova na loga:
V l e t u 1976 j e imel mesec febr ua r pet ned elj. Kat e reg a l eta bo imel f ebruar
zopet pet nedel j ?
Mnogo uspe ha pr i r eševanj u zan imiv e nal oge .
Re š i t ve nam pošlj ite do 20 . apr i la 1977 .
d o ž e Dov e r
*Ne kaj v eč o re šev anju t e nalog e bomo objav i 1i v naslednj i š tev i Ik i .
185
REŠiTVE NALOG
M A G I č N I KVADRAT - REšITE V s s t ran i 159
Izp i š imo vse trojice š t ev i l, k i nam da j o vs o t o 15 !
1,5 ,9
1 , 6 ,8
2, 4,9
2 , 5 , 8
2 ,6,7
3,4,8
3, 5 , 7
4,5 ,6
Vsot je ravno 8, to l iko kot je vsot v magIcnem kvad ratu:3 vrste, 3 sto lpci
in 2 d iagona li . Število 5 nastopa v njih štir ikra t, zato ga bomo postavi l i v
sredi no magičnega kvadrata, kjer se kr ižajo štir i vsote: s red nji s tolpec,
srednja v rs ta i n obe d iagona li .
Soda š tev i la nas topa jo v zgor nj ih vsotah po tr i kra t , za t o bodo st a l a v 0 -
g i išč i h mag i čnega kvadrata, kje r se st ikajo vr s ta, sto l pec i n diagonala.
Pos t avlj anj e sod i h š tev i l nam puš č a nekaj svobode. Če r ecimo post av imo 2
levo spodaj , bo desno zgo raj 8, 4 in 6 pa l ah ko postavimo potem na dva n ačina.
Preostal a š tev i la se da j o v kvadrat vp isati na en sam način .
6 1 B
7 5 3
2 8 4
MAGIčNI TRIKOTNIK - REšI TEV s st ra ni 159
Vsot a vse h š tev i l do 9 j e 1+2+... +8+9 = 45 , vso ta vse h treh tri ko tni kovi h
stra n ic pa 17. 3 = 51. RazI i ka 51-45 = 6 nastane , ke r smo š tevi la v vogali h
šte l i po dvakrat . Vsot a vogaln ih š t ev i l j e t orej 6 in ed i na možnos t za vo-
ga l na štev i la 1 , 2 i n 3. Pr eostal a polj a bo br a lec h i t ro iz pol n i l sam.
'-v--'
13
Ljub omir Kostreva
136
PREVA2ANJA ČEZ REKO - re šitve s s t ra n i 157
Kmet, vo l k , koza in ze lj e: Označimo s K - kmet, v - vol k , k - koza, z - ze-
lj e in * - čo l n . Ob staja t a dve rešitvi, ki ju popi suj eta tabel i
l. breg 2 . breg
1 K v k z ..
2 v z K k ~'~
3 K v z .. k
4 z K v k ~'::
5 K k z .. v
6 k K v z ~:
7 K k .. v z
8 K v k z ..
Ned eljski sprehod: Označ i mo M - ma -
ma, A - a ta, J - J anez, P - Peter,
m - Muri in * - čo l n . Rešitev
prikazuj e t abela
1
2
3
4
5
6
7
8
l. br eg
K v k z
v z
K v z ..
v
K k v }':
k
K k .':
1. breg
1 MAJPm
2 MAm
3 MAJm'"
4 A J m
5 AJPm '~
6 A m
7 A P m ..
8 P m
9 J P m ..
10m
11 P m "
12
2. br eg
K k ..
k
K k z ..
z
K v Z 1.
V z
K v k z *
2. breg
*
J P *
P
M P ..',
M
M J P ..
M J
MAJ *
MA
MAJ P *
MAJ
MAJ P m *
Tri j e 1j ubosumnež i : O z na č i mo z vel i k imi čr kami moške, a z malimi žens ke .
Za konski par do l oča is ta črka .
l. bre g 2. bre g
1 AaB b C C 1.
2 AaB C b c *
3 AaB b C .. c
4 ABe a b c *
5 A a B C .. b c
6 A a B b C c ..~
7 A a B b .. C c
8 a b A B C c *
9 a b c ..~ A B C
10 a A B b C c *
11 a b * A B C c
12 A a B b C c *
Pet Iju bosumnež ev:
1 . breg 2 . breg
1 AaB b C c O d E e *2 AaB b C O E c d e *
3 A a B b C c O E .. d e
4 A a B C O E b c d e *
5 A a B b C O E .. c d e
6 A a B b C c O d E e *
7 A a BbC c .... O d E e
8 a b c A B C O d E e *
9 a b c d ,~ A B C O E e
10 a A B b C c OdE e *
11 a b * A B C c O dEe12 A a B b C c O d E e *
18 7
Štirj e 1j ubo sumnež i :
1. breg otok 2. br eg
1 A a 8 b C c D d ~'t
2 A a 8 b C D c d ..
.3 A a 8 b C c D ,'. d
4 A a 8 C D b c ,', d
5 A a 8 b C D }':;; c d
6 A a 8 b c C d d }':;;
7 A a 8 b C ~':;; c D d
8 A 8 C a b c }', D d
9 A a 8 C .. b c D d
1D A a b c 8 C D d ..
11 A a b c d .'c 8 C D
12 A a b 8 C c D d ..
13 A a 8 .. b C c D d
14 a b A 8 C c D d ,;':;;
15 a b c ..~ A 8 C D d
16 a A 8 b C c D d
17 a b .. A 8 C c D d
18 A a 8 b C c D
Zak lad: Dznač i mo T - Tomo , E - Egon , J - Je rnej in z
in j ustr ezne skrinj e. Potem je re š itev pod ana s ta be lo
d *
ma1i mi črkam i t , e
1 . breg 2 . breg
1 T t E e ..
2 T t J j E e ,',
3 T t E J ,', e
4 t E J T e j ,;':;;
5 T t E J .. e j
6 T t E e ..
7 T t J ,;':;; E e
8 J j T t e ;,
9 E e J .. T t
10 e j T t E J ..
1 1 T e .. t E J
12 j T t E e J .-
13 J .. T t E e
14 T t E e J ..
Vladi mir Batagelj
477. a) PABCO = POAB - POCO = 7cm
2
b) Iskana prostornina je ena-
ka razl iki prostornin dveh
stožcev z v r hom O in 8 :
z 2n 4 Z2nZ
V = VI - Vz = -3~ - -3-
476. Naj prevoz i pr vi motocikl is t
x metrov v minuti i n dru gi y
metrov v minuti.
I z prv ega pogoja s I ed i :
x + y = 1650, iz drugega :
x - y = .!..0.Q = 150
11
Re š i t ev s i s tema enačb j e :
x = 9 00m v min u t i in
y = 750m v minuti a l i -<:-- --4"'''1-'š'--- -'<oC-
54km!h in 45km!h . '"
-, ,
Paole Zaj a
an
=T
138 s
R[ š ITVE KR IPTOGRAI10V s strani 159
Prvi kriptogram raz lagamo bolj obš i r no , pri os t a l i h pa za rad i pomanjka-
nja prostora navajamo le reš i t ve.
I. V pr vi š tev i l k i letošnj eg a le tnika smo na s trani 37 obj av i l i uga nko
" Skri t a št ev i l a" . Uganka, pr i ka teri smo s i ce r naved li način re ševanj a , b i
b il a l ahko tud i kr i ptog ram. V na veden i li besedah so n am reč s kr i t a š tev ila in
nj ihova lega v be sedah do loča, kat e re č rke upc ; tevamo za re šitev. Podo bno
je pri t em kr i ptog r amu.
V besedah se skrivaj o š tev i l a TRI, PET, N iČ, ENA, OSEM . Ko t o od kr i j emo,
skl ep amo naprej : č r ke pred š t ev i line morej o dat i reš itve, ker je ENA v be-
sed i ENAKONOČJ E na zač e t ku , črke za š t ev l I i ( ČU RAKE) ne pomenijo ničesar.
Enako jez me šan im odb iranjem - za in pr ed š t ev ili (ČERLKO), mešano odb i ra-
nje pre d i n za š t ev i l i pa sp lo h ni mogoče. To re j moramo i s ka t i drug je. Po-
s kus imo za poredoma odbirat i č r ke , ki ustre zajo s kr i t im š t ev i lom. Tretja č r ka
bes ede SESTRIČ NA j e S, pe ta črka bes ede KLEPETULJA je E, d rug a v besed i EDVARD
j e D, imamo že SED. V besedi B O L N IČARKA pa se skr iva n ič, tore j n i treba i z
te besede vzeti nobene č rke (prime r s l epi lnega vložka , k i naj zav ede re še-
va lca !), iz zadn j i h dveh bes ed pa dobimo na podo ben n a č in še č r k i E i n M,
skupa j besedo SEDEM - reš itev kr iptogram a. Re ši t ev j e spet štev i lo (smise l -
na povezava med e lement i in reši tvi jo ugan ke !) .
II . I zr ačun ana v re dnos t log 985612 gotovo n i re ši t ev. Zakaj pa j e be seda
LOGARITEM iz p isa na v ce lo t i i n n i sa mo log 7 Zapo redana odb i ra ne č rke t e
besede, k i ustrezajo posam ezni števi lki š tev i la 985612, sestav l jajo r eš i t ev
- besedo MERILO.
II I. Reš itev: LARSEN : KAVA LEK. (Bent La r sen je danski , Lubanir Kava lek pa
ameri ški šahovs k i ve lemojster.) Štev ilka vrste , na kate ri s t oj i f igu ra , pove
črko, ki jo je treba vzet i iz imena figure. To je "čist i " s l i kovn i kri pto-
gram, pr i katerem smo mora l i besed e ( imena figur) najp rej poiskati . Odvze t e
črke beremo posebej pri be l i h f igurah i n posebej pri č r n ih, obakrat pa v
smeri l i n i j šahovn i ce (od a do h} , Iz imen bel i h f igur odv zete čr ke ses t av-
l j a j o besedo Larsen, iz črnih pa Kavalek .
Primer: bel i: LOVEC - 1. v r s t a - črka L, DAMA - 2 . vrsta - č r ka A itd.
č rn i : SKA~AČ - 4. v r s t a črka K, DAM~ - 4 . v rsta - čr ka A itd.
IV. Čr ke ob krogu odb i r amo ust rezno dogov orjen im oznakam kvad r ant ov , nar i -
sa n im povezavam s preme ri in pozitivni smeri kro ženj a (nas pro t no smeri ur i-
nega kaza l ca) . Začnemo tore j pr i D, preko kr oga do 1, v pozit ivni smeri kro-
žen j a do A, spet preko kroga do M, napre j do E i td . Na koncu se stavljajo od-
br ane črke besed i DIAMETRALlW NASPROTJE (sm is el na povezava ide j e kriptograma
in njegov e re šitve!) .
V. Val enca posamez ne kemične prvine pove, katero črko je treba vze t i
iz nj enega imena. German i j (4) - M, evropij (4) - O, l i t i j (J) - L, itd.
Re š i t ev j e MO LIBDEN.
VI . Klj uč za r e š i t ev kriptograma se skr iva v na sl ovu uganke. V njem s t a
s red nj i dve č rk i natisnjen i z verzalkama, os t a l e so mal e. V na veden ih bese-
dah moramo zapor edom a odb irati srednji dve č r k i besed , kar da re š i't ev -
DE-TE -RM ~ IN-AN-TA .
Pavle Gregorc
189
PISMA BRALCEV
Pos ebn o smo bili ve seli Petrovega pisma iz Senčurja , ker s e
nam j e ponovno oglasi l:
Le po pozdravljeni ! Naj p re j s e v am le po zahva l j u j em za pri -
j azno v zp odbu d o i n povabi lo , na j vam večkra t p išem . Hva la ! Zad -
nji č s em se pr edstavil le po imenu , za to naj povem , da ob is ku -
j em drugi letnik gimnazi j e v Kr an j u . Že dolgo čas a s e zan im am
z a as tron omija i n fi ziko. Pr ebral s em v eč kn jig s teh d veh zelo
po v e z anih področi j , naročen pa s em tud i na v eč r ev i j, s kat eri -
mi s p oznavam s od ob n o znanos t in njene pr ob l eme. Na j bolj me z a -
nima jedrska f izi ka.
V e č kra t sem ž e br al , da nastan e pri r a zpadu S tudi n ev t r i n o,
dele c , k i s e · lahko gib lje sko zi zelo go ste sn ov i , ne da bi s e
mu kaj zgodilo . Zan i ma me, ka j nastane pri tr ku dveh nevtrinov .
Zanima me tudi tole : Mislim o si, da prevrtamo Ze ml j o po osi in
v vrtin o spust i mo kame n . Ka j s e bo zgodil o? Bo n i ha l kamen od
pola do p o l a , a li bo obs ta l v sred i šču ?
Ves el b i b il , če bi mi od g ovori li na vprašanja.
Hval a za pismo i n pohvala za zanimanje , ki ga kažeš za fizi -
ko in as t ronomijo. Upamo , da se boš oglasil, morda s kr a j š i m
prispevkom,ki bo zanimiv tudi za druge bralce. Na vprašanje o
nevtrinu bomo skušali odgovoriti s prispevkom veni od prihod-
njih št ev i lk . Up amo t udi, da se bodo z vpr a š a nj em o gibanj u
kamna sko zi i zvrtano Zemljo spopr ijeli bralci in nam o tem pi -
sa 1 i .
Marjan Hribar
Lju bic a Roš ič iz Dol en je ga Logatca je re šitvi " Pr emi s l i i n
reši" d oda la kratko pi s emce :
Pr ese k sem naročila letos , ko s o ga tudi dru g e pun c e . Tov a -
r išica nam j e r e k l a , da je z e l o dober ! Ker pa ho d i m šele v 6.
190
r a z r ed osnovne šoLe, me maL~ moti , da skoraj ničesar n i za na s ,
misLim naLog za računanje. Hodi m k matematičnemu krožku in tam
se veLiko naučimo . Ne vem , če je prav . ampak vseeno n i "v rag
posLati~ mogoče je p a Le ! Nise m vedeL a kam s kuponom , pa sem
ga kar na kuverto prilepila!
Seveda ni "vr ag poslati " , veseli smo t ako kora j žnih br alk in
br a lcev , pa še r e š i t ev je bil a pr av iln a . Kupon s mo pa , kot s te
ve rj e tno že opa z i li , kar op us t i l i . Mord a bi nam pa iz vašega
matemati čnega krož ka pos l a l i ka j, ka r bi bi lo prim ern o za mla j-
še br al ce ? Napiš i te nam ka j o delu kr ožka!
Drag i Pre sek !
Z ž e l j o , da bi b i l:a nae l ed n j a š t ev i l.k a še p e e tir e j š a , ti po -
š i Lj am nekaj naLog . Najbrž bodo zanimive predv sem z a o smošolce.
Ve rjetno vse naLoge n iso kvaLitetne, pa zato ka r sam i zberi ,
katere s o primerne za tvo je braLce . Mn og o uspe ha pri nadaLjne m
izhajan ju ti žeL i
To ma ž Zwitter ,
Cankar jeva gimna z i ja , LjubLjana
Kot vi d iš, Tomaž, smo izb r ali dv e od tv ojih t re h na l og i n
jih obj av i l i v t e j š te v i l ki. Rešit ev nis mo dod ali , ker se nam
zdi , da sta na log i taki , da j u bod o br al ci zn al i s ami r e ši ti .
š e nam piš i!
Peter Petek
Čeprav sem ž e od v se ga začetka naročen n a Pre sek , vam p ~ s em
in pošiL j am prvo r e š i t ev š e l e seda j . GLede Li s t a se mi zdi . da
j e vreden hvaLe , s aj j e izredno zanimiv . p a t ud i pocen i j e , če
ga prime r jam z drug i mi ma t e m a t i čn i m i r ev i jam i v Jugo sLav i j i .
Tudi j az sem za to . da bi iz šLo na Leto več št ev iLk . Le p poz -
drav
Maks Romih
Maksu iz Lj ubl j a ne se l e po zahv a l j uj em o za pos lan o reš ite v.
Tudi 1e tos še ne bom o z mo gl i i zda ti v eč š te vi 1k. Vesel i s mo
pa, da be r e š Pr e s e k z za ni manje m! Pi ši nam še !
191
Spoštovano uredništvo! Najprej vas lepo pozdravljam. Na
Presek sem naročen prvo leto, berem ga pa že drugo. Ta revija
mi je zelo všeč. Najbolj me zanimata astronomija in fizika.
Rad rešujem vaše naloge, posebno v prostem času. Prosil, ozi-
roma predlagal bi, da bi bilo v Preseku še več podobnih nalog,
kot so Bistrovidec, naloge s številkami in vžigalicami. Lepo
vas pozdravljam! Upam, da se moje pismo ne bo znašlo v košu.
Tako nam je pisal Jože Rehberger , učenec 8. razreda iz No-
ve vasi pri Preddvoru . Kot vidiš tvojega pisma nismo vrgl i v
koš, nasprotno, zelo veseli smo ga bili. Pri tvojem poglablja-
nju v astronomijo in fiziko ti želimo veliko uspeha. Veš, v
naši družbi si želimo več fizikov in astronomov. Torej vztra-
JaJ na tej poti! Potrudili se bomo, da bomo v prihodnjih šte-
vilkah ustregli tvojim željam. Ali se boš še kdaj oglasil?
Matil d a Lenarči č
KRIžANKA - rešitev iz P 4/2, str . 160-161 ( Pav le Gr eg orc)
-. O S MIN A~,T E TI S ·"~' V A S J A~,A NE
C- N~ K A L O~ T E L E - I R _ - T O - T S.. ,u oe ,.,.....".
~ T E· I N~ N A V~ N O N A~ S K O P U HI---------l _"lO --;;o;;.:; ~t"" Jf
~ ~ A L J I C A~ A S T R A~ P L A N O T A
·M- A R K A~ O R O~ L A S eM A O -~ L A N" f;. ot" f;~ " ol"''''
- R N~ E N A-~ B O a~E R A R~ E S T_-
- K O S~ C V E K A C ~ U L~ A R A~ A T
IKrltS 1 MET RAL A 2J DIA GON A L k\
~TRI K O "Oo" L A KI~ ~. AK R A ~;~~~ 1 K A R
192
JI ?A "1LADE /-;~I="
± B7S ~~
E
J\/ODN I K Zg
ASTRONOM I JA
1ATE.\
Z rL. IL..
(Marjan Hribar, Pe t e r Petek, Mati Ida Lenarčič)
Tekmujmo za Vegovo priznanje (Peter Pe ,ek Ciril
Ve l kov r b , Pavle Zajc) - reši 've str . 171
Letna šola mlad ih matematikov ( Eemer d Rusjan)
(Jože Dover)
Na l og e z elektrijade - rešitev str. 144 (Stanislav
Hrova t )
Srečnonaključje - rešitev str. 144 (Karel Bajc)
149 Otrokove težave pri igranju - rešitev str . 144
(Kare 1 Bajc)
153 Naloge naših bralcev ( Tcm až Zwitter, Marija Munda,
Tone Podv r šn i k)
156 Kolikšen sij bi imelo Sonce v Ml3 (Marijan Prosen)
171 Uganka s sodi - rešitev (Ranan Červ)
KRILI\NKA 60
NALOG E 16Z
TEKMOVAN JA
163
NOV I CE 18z
PREMISLI - RESI 184
PISMA BRALCEV 190
NALOG E 138
BISTROV IDEC
NA OVI TKU Paradoks ; - Zadrega matematikov (ilustr . Božo Kos)
I I Podpisovanje samoupravnega sporazuma o financiranju
mladinskega tiska
IV (Danijel Bezek, Peter Petek)
BISTROVIDEC
RDEČA i ZELENA
• •
2 RDEČ'
••
I 2 ZELENI
••
I
Tr i rdeče in tri ze lene krog I i ce razmesti mo v tr i škat le tako , da sta v
v sa k i škat l i dve krogI ici , pr i tem pa paz imo, da j e vseb ina, glede na bar -
vo krog l ic, v v seh t r eh škatlah ra zI ičn a . Škat le so tudi oprem lj e ne z na -
p is i o barvi krog i i c v škat lah . Toda ne kdo je na p i se tako pomeša l, da n i t i
eden ne odgovarja resn i čnemu stanju v š ka t l ah . Dokaži , da je ob prav i ln em
ravnanju dovo lj, da na s lepo se žerno v eno od š ka t e l i n na podlag i izv leče ­
ne krog I ice do loč imo resnično vs ebino v vseh treh škat lah!
Danijel Bez ek
NEVTRONSKE ZVEZDE
KAPWE
KOCKE IN BARVE
~ f-l ~~
~ ~~
~...
PReSEK
LIST ZA M LADE
• M A TEM ATIK .E
• O O FIZIKE
• ASTRONOME
BISTROV IDEC - rešit ev i z l . štev i lke
Skr iv nostn i napis z na sl ovne st ra ni so
razbra l i i n nam p isa l i : Dia na Hrva t i n i z De-
kanov, Olga Rašeta z Jesen ic, Eda Kofo l i z
Kopra i n Alenka Razboršek z J e seni c . Prebe-
r imo, ka j nam je napi s al a Eda Kofo l!
Kar precej ča sa sem se muči la, da b i raz-
bra la skrivnostni na pi s , a j e b i lo zaman .
Zato sem ga pos tav il a na v rh kupa zvezkov .
Ko sem pa še enkrat pog leda la prot i Preseku,
sem opaz i la s kr i vnos t n i nap is, prebra la sem
PRESEK - >l3S 3<1d
Ugotovi la sem tudi, da kakorko l i l ist Pr e se k
ob r neš, vedno pr e ber e š PRESEK .
Verjetno več ina bra lcev ne ve, da j e v
marc u 1972 , še pred redn im zače tkom i zhaja -
nja Preseka izšel Prap resek a l i Presek O, če
hočete. Nat isnj en je b i l v nak ladi 3000 iz -
vodov v tova rni Rog - Sav lje. In na nas lovni
stra n i Prapreseka je bi l odt is njen isti
s kr iv no s t n i nap is .
Peter Pe t ek