i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 128 | #1
i
i
i
i
i
i
IZZGODOVINE
EULER PRED FOURIEROM
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in  ziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A50
V prispevku obravnavamo del vsebine pisma, ki ga je Leonhard Euler poslal Christianu
Goldbachu 4. julija 1744. V njem je navedel svojo pot do za tisti   cas nenavadne vrste, ki
jo je odkril med pisanjem neke razprave o diferencialnem ra  cunu.
EULER AHEAD OF FOURIER
We discuss an interesting part of a letter which was written by Leonhard Euler to
Christian Goldbach on 4th of July 1744. He reported on for that time a curious series
discovered during his work on a treatise on di erential calculus.
Leonhard Euler (1707{1783) si je dopisoval s   stevilnimi takratnimi znan-
stveniki. Dopisovanje je skrbno vodil, zato je ve  cina pisem do danes ohra-
njena in na voljo vsakomur. Kot je impozanten njegov opus, je tudi   stevilo
pisem v obe smeri zelo veliko (okrog 3200), dopisovalcev pa je bilo okoli 300.
Skoraj 200 pisem si je izmenjal s Christianom Goldbachom (1690{1764),
profesorjem matematike v Moskvi. Eno teh, ki ga je napisal Euler 4. julija
1744, vsebuje za tisti   cas presenetljivo ugotovitev, in sicer Fourierovo vrsto:
    t
2
= sint +
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+    ; 0<t< 2 :
Joseph Fourier (1768{1830), ki mu danes pripisujemo zasluge za odkritje
trigonometri  cnih vrst in jih poimenujemo po njem, je bil rojen   sele leta 1768,
torej 24 let po tem pismu. Kako se je Fourier lotil vrst, je lepo opisano v
kateremkoli visoko  solskem u  cbeniku matematike, pri nas glej na primer [1].
Kako pa se je tega lotil Euler? Zelo preprosto sicer, vsak   student drugega
semestra naravoslovja ali tehnike bi sledil razlagi, a pri tem odkimaval z
glavo.
Za  cel je z naslednjo vrsto:
S(t) =e
it
+e
2it
+e
3it
+e
4it
+e
5it
+e
6it
+    128 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 129 | #2
i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
Pri tem je t realno   stevilo. Zapisano bolj strnjeno:
S(t) =
1
X
k=1
e
ikt
:
Tu se odkimavanje pojavi prvi  c. Vsekakor   cudna vrsta, saj   cleni z nara  s  ca-
jo  cim k nikakor ne padajo, njihova absolutna vrednost je ves   cas enaka 1.
To se   se bolj jasno vidi,   ce uporabimo znamenito Eulerjevo ena  cbo
e
it
= cost +i sint;
torej
S(t) = cost + cos 2t + cos 3t +    +i(sint + sin 2t + sin 3t +    ):
Ne realni ne imaginarni del vrste nimata smisla, vrsti sta divergentni,   se
tako pozni   cleni opletajo na intervalu med   1 in 1. Divergentne vrste so
bile jabolko spora tudi v Eulerjevem   casu. Goldbach je njihovo uporabo
zagovarjal   ze ve  c kot dvajset let pred tem, kar se vidi iz njegovega dopiso-
vanja z Bernoullijema. Tudi Euler je bil prepri  can, da lahko divergentnim
vrstam pripi  semo neko vsoto. S to metodo je pri  sel do osupljivih rezultatov,
posebej v teoriji   stevil. Vendar, le kako?
Pa si oglejmo primer. Imamo vrsto:
T = 1  2 + 3  4 + 5  6 + 7  8 +    Gotovo je vrsta divergentna, saj njeni   cleni po absolutni vrednosti nara  s  cajo.
Na prvi pogled bi mislili, da je povsem nesmiselna. A razmi  sljamo lahko po
drugi poti. Oglejmo si identiteto:
1 +x +x
2
+x
3
+x
4
+    =
1
1  x
:
Velja prijxj< 1 in je geometrijska vrsta s kvocientomx. Sedaj jo odvajajmo
po x na obeh straneh:
1 + 2x + 3x
2
+ 4x
3
+    =
1
(1  x)
2
:
  Ce zamenjamo x z  x, dobimo
1  2x + 3x
2
  4x
3
+    =
1
(1 +x)
2
:
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 129
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 130 | #3
i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
  Ce sedaj hrabro postavimo x = 1, imamo
1  2 + 3  4 +    =
1
4
:
Torej smo nesmiselni vrsti pripisali vsoto. Matematiki tej vsoti re  cejo Abe-
lova ali Abel-Poissonova vsota divergentne vrste.
Francoski matematik in matemati  cni  zik Simeon Denis Poisson (1781{
1840) je postavil tudi tole de nicijo:
De nicija 1.
  Ce za dano vrsto
1
X
n=0
a
n
(1)
poten  cna vrsta
f(x) =
1
X
n=0
a
n
x
n
konvergira za  1 < x < 1 ter obstaja limita S funkcije f(x), ko se re-
alno   stevilo x z leve bli  za 1, imenujemo to limito Abel-Poissonova vsota ali
Abelova vsota vrste (1).
Slavni norve  ski matematik Niels Henrik Abel (1802{1829) je dokazal
naslednji izrek [2, 3]:
Izrek 2.
  Ce pri pogojih zgornje de nicije vrsta (1) konvergira, je njena vsota
enaka Abelovi vsoti.
Izrek velja tudi za kompleksne a
n
.
Tudi od drugih metod sumacije divergentnih vrst zahtevamo, da v pri-
meru konvergentne vrste dajo obi  cajno vsoto. Seveda pa je Abel vedel, da
obstajajo tudi take mo  znosti sumiranja divergentnih vrst, ki pripeljejo pri
isti vrsti do razli  cnih vsot. Zato je zapisal: »Divergentne vrste so hudi  ceva
iznajdba . . .«
  Ceprav je ena  cba
1  2 + 3  4 +    =
1
4
milo re  ceno nenavadna, se moramo zavedati, kaj smo pravzaprav naredili.
Ko smo hrabro postavili x = 1, smo v resnici le limitirali   pri x = 1    130 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 131 | #4
i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
proti ni  c, pri   cemer   ni nikoli res natanko ni  c. S   se tako majhnim   pa
polagoma odre  zemo vpliv zelo oddaljenih   clenov na vsoto. Ker vrsto zapi-
sujemo le s prvimi nekaj   cleni, ta odrez nekako spregledamo. V teoreti  cni
 ziki zasledimo prav pretresljivo ena  cbo
1 + 2 + 3 + 4 +    =  1
12
;
kjer smo na levi strani spet napisali le limite nekaj prvih   clenov. Gre pa za
tole limito:
lim
 !0
1
X
n=1
ne
   n
cos n =  1
12
;
kar pojasni negativno vsoto.
V  ziki moramo pogosto ne  zno odrezati vpliv divergentnih   clenov na
vsoto kake vrste. To se rado dogaja pri perturbativnih ra  cunih kake  zi-
kalne koli  cine v kvantni mehaniki. Pravimo, da vrsto regulariziramo. Naj-
pogosteje dobro deluje,   ce vsak   clen pomno  zimo z neko primerno izbrano
regulacijsko funkcijof(k;  ). Za prikazan primer, ko smo vrsti pripisali Abe-
lovo vsoto, bi namre  c pri
S
1
(  ) =
1
X
k=0
(  1)
k
(k + 1)f(k;  )
izbrali funkcijo f(k;  ) = e
   k
= x
k
. V limiti   ! 0 gre x! 1 z leve, kot
to terja Abelova vsota. Brez kake posebne utemeljitve pogosto izberejo tole
funkcijo:
f(k;  ) =e
   k
2
:
Tudi pri tej funkciji limitiramo  proti ni  c. Pri zelo majhnem   tako vplivamo
le na zelo oddaljen vrstin rep, drugih   clenov ne spremenimo kaj dosti. Z
ra  cunalnikom se prepri  camo, da dobimo tudi s to funkcijo lim
 !0
S
1
(  ) =
1
4
.
  Ce smo na dva na  cina na  sli vsoto zgornje vrste, jo je Euler gotovo na  sel
tudi zaS(t), saj tu   cleni po absolutni vrednosti ne nara  s  cajo. Brez zadr  zkov
se je lotil ra  cunanja. Vrsto S(t) je zapisal, kot se spodobi za geometrijsko
vrsto:
S(t) =
e
it
1  e
it
=  1
2
+i
sint
2(1  cost)
= cost + cos 2t + cos 3t +    +i(sint + sin 2t + sin 3t +    ):
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 131
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 132 | #5
i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Torej mora veljati:
cost + cos 2t + cos 3t +    =  1
2
:
Euler je torej na zelo preprost na  cin na  sel vsoto tej divergentni vrsti. Seveda
je na  sel tisto, kar so pozneje imenovali Abel-Poissonovo vsoto. Geometrijska
vrsta
1
X
k=1
e
ikt
x
k
namre  c konvergira za jxj< 1. Njena vsota je
S(t;x) =
e
it
x
1  e
it
x
:
Ko se x od spodaj bli  za 1, vsota konvergira k
S(t) =
e
it
1  e
it
:
Z ra  cunalnikom in z regulacijsko funkcijo f(k;  ) =e
   k
2
pridemo do enake
vsote.
Sedaj levi in desni strani ena  cbe cos t + cos 2t + cos 3t +    =   1
2
poi  s  cemo nedolo  ceni integral in dobimo:
sint +
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+    =  t
2
+C:
Konstanto C dolo  cimo tako, da postavimo
t =
  2
;
torej
1  1
3
+
1
5
  1
7
+    =    4
+C =
  4
:
Vrsto na levi pa je Euler poznal, saj je bila takrat   ze znana. Poznal jo je   ze
Indijec Madhava Sangamagrama (c. 1350{c. 1425), v Evropi pa
  Skot James
Gregory (1638{1675) leta 1671, in je:
1  1
3
+
1
5
  1
7
+    =
  4
:
132 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 133 | #6
i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
To danes utemeljimo takole: Zajxj< 1 velja
1  x
2
+x
4
  x
6
+    =
1
1 +x
2
:
Integrirajmo:
x  1
3
x
3
+
1
5
x
5
  1
7
x
7
+    = arctanx +D: (2)
  Ce postavimo x = 0, vidimo, da je D = 0. Vemo, da vrsta
1  1
3
+
1
5
  1
7
+    (3)
konvergira. Zato je Abelova vsota vrste (3), ki je limita desne strani v
ena  cbi (2), ko gre x z leve proti 1, enaka arctan 1 =
  4
. Po Abelovem izreku
je Abelova vsota enaka vsoti vrste (3).
Tako je C dolo  cen in torej na intervalu 0 <t< 2  res velja:
    t
2
= sint +
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+    Prit = 0 je na desni strani zgornje ena  cbe 0, na levi strani pa
  2
, prav tako
enakost ne velja prit = 2  . To ni presenetljivo. Vrsta na desni strani zgornje
ena  cbe je periodi  cna s periodo 2   .
  Ce levo stran periodi  cno nadaljujemo s
periodo 2  , ima pri t = 0 desno limito enako
  2
, levo limito pa enako levi
limiti pri 2  , torej    2
. Fourierova vrsta pri t = 0 konvergira k aritmeti  cni
sredini leve in desne limite na  se funkcije, torej k 0. Enako velja pri t = 2  .
LITERATURA
[1] R. Jamnik, Trigonometrijske vrste, v I. Vidav, Vi  sja matematika II , DZS, Ljubljana,
1979, 189.
[2] G. M. Fihtengol’c, Kurs di erencial’nogo i integral’nogo is  cislenia , II del, Nauka,
Moskva, 1969, 397{398.
[3] Abel’s theorem, Wikipedia, dostopno nahttps://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_
theorem, ogled 11. 10. 2021.
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 133