IZ RAZREDA 47 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Učne težave pri matematiki Jasmina Ducman Osnovna šola dr. Ljudevita Pivka Izvleček Učne težave pri matematiki so lahko posledica učenčevih splošnih učnih težav ali specifičnih učnih težav. Za splošne učne težave je značilno, da so prisotne tudi pri ostalih šolskih predmetih, medtem ko so specifične učne težave povezane s skritimi primanjkljaji, saj se tak učenec ne razlikuje od vrstnikov, dokler ni v situaciji, ko mora brati, pisati ali pri matematiki – računati. V članku sta opisani obe podskupini specifičnih učnih težav pri matematiki − specifične aritmetične učne težave ter diskalkulija, predstavljene pa so tudi nekatere dejav- nosti in didaktični pripomočki, ki so nastali na podlagi prepletanja dodatne strokovne pomoči in matematike v osnovni šoli. Ključne besede: matematika, splošne učne težave, specifične učne težave, didaktični pripomočki, dodatna strokovna pomoč Mathematical Learning Difficulties Abstract Mathematical learning difficulties may be a result of general or specific learning difficulties. Whereas students with general learning difficulties have problems across all areas of the school curriculum, specific learning dif- ficulties are not manifested until the student is forced to read, write, or do calculations. This article describes two subgroups of specific learning difficulties in mathematics, namely, specific arithmetic learning difficulties and dyscalculia. It then goes on to present several activities and didactic tools that have been developed thro- ugh the interplay between SEN support and mathematics in primary school. Keywords: mathematics, general learning difficulties, specific learning disabilities, didactic tools, special edu- cation services. Učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki Učenci s specifičnimi aritmetičnimi uč- nimi težavami dosegajo pomembno niž- je rezultate kot vrstniki in imajo težave pri obvladovanju osnovnih aritmetičnih sposobnosti ter spretnosti seštevanja, od- števanja, množenja in deljenja. Glede na kognitivne in nevrološke primanjkljaje jih delimo na tri podskupine. Lahko so povezane s slabšim semantičnim spomi- nom, kar se pri učencih odraža kot težave pri priklicu aritmetičnih dejstev iz dol- gotrajnega spomina (npr. težave s hitrim priklicem rezultata poštevanke, sešteva- nja in odštevanja z enomestnimi števili). Pojavljajo se lahko v obliki aritmetičnih proceduralnih težav, kar opazimo, ko učenci uporabljajo manj razvite in nepo- polne aritmetične postopke (npr. težave že predpogoje za učenje aritmetike (štetje, mestne vrednosti, velikostni odnosi ipd.) in uporabljajo razvojno manj razvite stra- tegije reševanja aritmetičnih problemov, zato probleme rešujejo počasi in manj točno (Bregar Golobič, 2008). Pri delu z učenci z učnimi težavami je bistveno, da jim omogočimo več vaj, več časa, drugačen metodični postopek, ve- liko ponazoril ter individualno pomoč, da lahko utrdijo tisto, kar so se naučili v razredu. V nadaljevanju članka so pred- stavljene različne dejavnosti in didaktični pripomočki pri delu z njimi. Potenca na traku Veliko učencev z učnimi težavami dela pri računanju vrednosti potence pogosto na- pako, saj osnovo potence pomnoži z njeno pri sposojanju in prenašanju desetic pri pisnem seštevanju, postopek pisnega del- jenja). Povezujejo pa se lahko tudi z vizu- alno-prostorskimi težavami, kar se kaže kot npr. šibka orientacija na številski črti, težave pri podpisovanju v pisnih računih, težave pri postavljanju decimalne vejice, obračanje števk v dvomestnih številih, te- žave z določanjem predhodnika in nasled- nika ipd. (Bregar Golobič, 2008). Pri diskalkuliji so, za razliko od specifič- nih aritmetičnih učnih težav, težave priso- tne na širšem področju, zato predstavlja- jo kompleksnejši problem. Učenci imajo kljub normalni inteligentnosti velike teža- ve pri učenju matematike, ki se kažejo na področju matematičnega konceptualnega (pojmovnega), deklarativnega (obvlado- vanje aritmetičnih dejstev) in procedural- nega znanja (obvladovanje aritmetičnih postopkov). Ti učenci šibkeje obvladajo IZ RAZREDA 48 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 stopnjo. S tem didaktičnim pripomočk- om, ki je interaktivne narave, jim posta- ne postopek računanja nazornejši. Trak papirja preložimo tako, kot pri zlaganju v harmoniko. Poskrbimo, da ga preloži- mo tolikokrat, da imamo dovolj prostora, da potenco zapišemo kot produkt enakih faktorjev in njeno vrednost. Didaktični pripomoček omogoča ponazoritev raču- nanja potence v krajši ali razširjeni obliki. Za učence, ki imajo težave tudi z branjem zapisa potence, lahko na hrbtno stran tra- ku zapišemo tudi besedno oporo za branje potenc. v paru. Učenca premešata kartice in jih obrnjene navzdol enakomerno razdelita med seboj. Nato oba hkrati obrneta vrh- njo kartico s svojega kupa. Tisti igralec, ki ima na svoji kartici ulomek z večjo vred- nostjo, pobere obe kartici in ju doda na dno svojega kupa kartic. V primeru izena- čenja, kadar sta ulomka obeh igralcev ena- ka, sledi dvoboj ulomkov, kar pomeni, da morata oba igralca hkrati s svojega kupa izvleči tri kartice in jih obrniti navzdol. Učenca nato obrneta le tretjo kartico, ki je odločilna pri tem, kdo pobere vse kartice. Igra se zaključi, ko poteče omejeni čas ali ko enemu izmed igralcev zmanjka kartic. Več kart ko pripravimo, daljša bo igra in več bo utrjevanja in vaje. Kadar je učenec negotov pri primerjanju dveh ulomkov in pri tem nima ustrezne strategije, mu lah- ko ponudimo oporo v obliki didaktičnega materiala, s katerim dane ulomke konkret- no ponazori in tako lažje primerja. vzoru križanke sestavi pravilne številske izraze. Slika 1: Potenca na traku. Dvoboj ulomkov Učenci z učnimi težavami šibkeje razume- vajo pomen imenovalca in števca v ulom- ku, zato potrebujejo na tem področju več utrjevanja. S pomočjo predstavljene igre pa ne utrjujejo le znanja o ulomkih, am- pak razvijajo tudi socialne veščine. Gre za hitro, dinamično ter med učenci prilju- bljeno igro, ki se odvija po zgledu igre s kartami, imenovane Vojna. Učitelj pripra- vi kartice z različnimi ulomki. Igra poteka Slika 2: Dvoboj ulomkov. Matematična križanka Matematična križanka omogoča učencem vajo v utrjevanju osnovnih aritmetičnih operacij, ki predstavljajo temelj znanja pri računanju. Od učencev zahteva razmi- šljanje in spretnost sestavljanja številskih izrazov. Pripravimo dva enaka kompleta matematičnih križank, ki ju razdelimo dvema učencema. Vsak komplet je sesta- vljen iz nabora ploščic, na katerih so na- pisana števila in računski znaki, pri čemer so ploščice s števili in ploščice z računski- mi znaki različnih barv. V vsak komplet lahko dodamo tudi nekaj praznih ploščic, ki jih med izvajanjem dejavnosti učenec lahko izkoristi kot posebno in dodatno ugodnost, saj mu pri sestavljanju izrazov zapolnijo manjkajoča števila ali računske znake. Zmagovalec dejavnosti postane tisti učenec, ki v krajšem času porabi vse ploščice iz svojega kompleta tako, da po Slika 3: Matematična križanka. Zaokroževanje števil Igra poteka v paru, zanjo pa potrebujemo igralno predlogo v obliki preglednice s števili, igralne kocke ter več znakov (gum- bov, žetonov ipd.) dveh različnih barv. V našem primeru so učenci zaokroževali trimestna števila na najbližjo desetico, zato je na igralni predlogi nabor števil, ki predstavlja možne izide pri zaokroževanju trimestnih števil na desetice, dodatno pa je nabor omejen le na tista števila, ki jih je mogoče sestaviti s tremi igralnimi kocka- mi. Cilj igre je biti prvi igralec, ki sestavi štiri v vrsto, pri čemer so dovoljene vse možne smeri − vodoravno, navpično in poševno. Igro prične igralec, ki vrže višje število pik na kocki, nato pa vrže vse tri igralne kocke hkrati. Iz praktičnega razlo- ga lahko učencem ponudimo posodico, Slika 4: Zaokroževanje števil. IZ RAZREDA 49 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 namenjeno metu kock, da se te ne razletijo in kotalijo okrog. Igralec nato iz vrženih pik sestavi število, pri čemer lahko kocke postavi v poljubni vrstni red npr. če vrže 3, 1 in 5, lahko sestavi število 315, 351, 135, 153, 531 in 513. Učenec lahko taktizira in izbere katerokoli izmed teh števil ter ga zaokroži na najbližjo desetico, pri čemer upošteva pravila zaokroževanja. Svoj znak postavi na zaokroženo število na igralni predlogi, razen v primeru, ko na tem me- stu že stoji nasprotnikov znak. Matematični krof Poštevanka povzroča težave mnogim učencem, zato je tudi v višjih razredih nje- no ponavljanje in utrjevanje smiselno. Igra omogoča kratko in zabavno ponovitev po- števanke, zato jo je mogoče enostavno in kadarkoli vključiti v pouk matematike. Iz papirja izdelamo krožni kolobar in nanj zapišemo števila od 1 do 10 v naključnem vrstnem redu. Nato ga pritrdimo na tablo in v sredino zapišemo število za utrjeva- nje poljubne poštevanke. Učenec ima nato minuto časa, da reši vse račune. Rezultate piše na tablo ob rob kolobarja. Z zamenja- vo števila v sredini učencem omogočimo nove primere za vajo. Igra je lahko name- njena samo enemu igralcu (ki tekmuje sam s sabo glede na omejeni čas) ali pa več igralcem, ki tekmujejo med seboj (So- lis, 2018). učne snovi. Učence razdelimo v skupine, pri čemer je najbolje, da oblikujemo pri- bližno pet skupin. Pripravimo pet stolov, vsak stol pa predstavlja določeno skupino. Učencem lahko tudi omogočimo, da za svojo skupino izberejo ime. Vsaka skupi- na pošlje na stol po enega predstavnika. Učitelj nato vsem učencem postavi vpra- šanje. Na vprašanje lahko odgovarja le tisti učenec na stolu, ki prvi dvigne roko. Če odgovori pravilno, iz posode izžreba kartico, na kateri so navodila glede toč- kovanja, nato pa jo vrne nazaj v posodo. Kadar učenec odgovori napačno, dobijo možnost odgovarjanja na vprašanje še preostali predstavniki skupin. Velik preo- brat igre je velikokrat v tem, da ni nujno, da skupina v primeru pravilnega odgovo- ra pridobi točke, saj je v precejšnji meri odvisna od sreče in navodil na karticah npr. izberite skupino, ki izgubi vse točke, vsem ostalim skupinam se podvojijo točke ipd. (Ellison, 2019). je in opise definicij iz izbrane učne snovi. Pri tem upoštevamo, da naredimo k vsaki kartici ustrezen par. Vsaka skupina izbere svojega predstavnika. Ta dobi set kartic, jih dobro premeša ter razporedi na dovolj velikem prostoru npr. mizi ali tleh. Naloga članov vsake skupine je, da medsebojno sodelujejo in urejajo kartice tako, da za vsako vprašanje poiščejo odgovor, za vsak izraz rezultat ter za vsako definicijo njeno razlago. Ko skupina konča z delom, je na- loga predstavnika, da pregleda, ali so kar- tice res pravilno urejene. Skupina, ki prva konča z delom in pri tem nima nobene- ga napačnega odgovora, zmaga (Jackson, 2018). Različica zgoraj opisane dejavnosti, ki po- nuja še več medsebojnega sodelovanja in gibanja, je zasnovana tako, da se razred razdeli v dve skupini. Vsak učenec dobi svojo kartico. Dejavnost izvedemo v do- volj velikem prostoru, ki omogoča, da se lahko obe skupini gibljeta tako, da se po- samezniki lahko srečujejo v parih. Lahko jo izvedemo tudi zunaj na prostem. Cilj vsake skupine je, da se njeni člani pre- mikajo, iščejo, srečujejo in pogovarjajo z ostalimi učenci tako, da čim prej najdejo učenca s kartico, ki ustreza njegovi. Če imamo liho število učencev, poskrbimo, da je ena kartica podvojena, na kar tisto skupino tudi opozorimo, saj se bo zgo- dilo, da bodo namesto enega para imeli tri kartice, od česar bosta dve enaki. Ko skupine končajo, preverimo, ali so njihovi pari pravilni. Zmaga ekipa, ki ima vse prav (Jackson, 2018). Pravilno, napačno, popravi Naredimo približno 20 trditev o vsebini iz obravnavane učne snovi, od tega polo- vico pravilnih in polovico napačnih. Šte- vilo trditev lahko učitelj po svoji presoji prilagaja zmožnostim svojih učencev. Trditve razdelimo posameznemu učen- cu, paru ali skupini, odvisno od željene oblike dela. Njihova naloga je, da dane trditve razdelijo na pravilne in napačne. Učitelj nato preveri, ali so učenci trditve ustrezno ločili, nato pa učence spodbu- ja k temu, da mu razložijo, zakaj je neka trditev napačna in jo popravijo. Učenci lahko tudi sami napišejo nekaj pravilnih in napačnih trditev, nato pa si jih izme- njajo z drugim učencem ter razvrstijo in popravijo (Marley, 2019). Slika 5: Matematični krof. Naj o zmagovalcu odločijo karte Dejavnost v obliki kviza oz. tekmovanja je primerna za ponavljanje in utrjevanje Slika 6: Naj o zmagovalcu odločijo karte. Poišči me Dejavnost je preprosta in ponuja veliko možnosti za medsebojno sodelovanje, gi- banje in razmišljanje. Primerna je za po- navljanje in utrjevanje učne snovi. Učen- ce razdelimo v približno pet skupin. Za vsako skupino potrebujemo set enakih kartic, na katere zapišemo vprašanja in odgovore, izraze in rezultate ter definici- IZ RAZREDA 50 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Matematične vislice Gre za matematično različico besedne igre Vislice. Namesto risanja vislic lahko uporabimo risanje vzgojno primernejše ideje npr. predmeta, ki se ga nariše v ne- kaj korakih. Pravila igre so enaka kot pri besedni različici, vendar je razlika v tem, da se v tej različici namesto črk (oz. besed) uporabljajo števila in računski znaki (oz. številski izrazi). Račune lahko izberemo glede na predznanje in zmožnosti učen- cev. Učenci izmenično ugibajo števke in matematične znake. Zmagovalec je tisti, ki pravilno ugotovi izraz oz. tisti, ki ugotovi zadnjo manjkajočo števko ali matematični znak (Brown, 2015). Paličice Gre za dejavnost, pri kateri lahko utrju- jemo različne učne vsebine, težavnost pa zlahka prilagajamo zmožnostim učencev. Za izvedbo dejavnosti potrebujemo pali- čice. Na prvo paličico zapišemo start na levi strani in prvi primer (številski izraz, matematični pojem ipd.). Na levo stran druge paličice zapišemo odgovor oz. re- zultat prvega izraza ter novi izraz na de- sno. Na tak način nadaljujemo tako dolgo, dokler ne pripravimo toliko paličic, kot jih želimo. Na zadnjo paličico zapišemo konec. Paličice pomešamo, damo učen- cu, nato pa jih uredi v pravilen vrstni red. Omenjena dejavnost je lahko samostojna ali pa predstavlja le eno izmed delovnih postaj (Collins, 2014). največ pravilnih rešitev, si prisluži točko, kar lahko učitelj vodi in beleži v posebni preglednici (Bernal, 2016). Slika 7: Matematične vislice. Tarča Učencem je ta dejavnost je všeč, vajo pa lahko spremenimo tudi v tekmovanje. V želji, da se izognemo delovnim listom, lahko učencem ponudimo predloge za utrjevanje seštevanja in odštevanja pozi- tivnih in negativnih celih števil. Po želji jih lahko plastificiramo in jih s tem naredimo priročne za utrjevanje z različnimi števi- li. Učenci potrebujejo v tem primeru še piši-briši flomaster in krpico za brisanje. Učitelj pove število, ki si ga učenci zapiše- jo v sredino kroga, kar predstavlja znak za začetek tekmovanja. Ob koncu reševanja ali preteku določenega časa, skupaj z njimi preveri pravilne rezultate. Učenec, ki ima Slika 8: Tarča. Množenje enočlenikov Igra omogoča utrjevanje pravila za mno- ženje enočlenika z enočlenikom. Učenci spoznajo, da morajo pri tem množiti ko- eficiente med seboj in spremenljivke med seboj ter da je rezultat tudi enočlenik. Po- trebujemo igralno ploščo, igralno kocko, figurice ter kartice z različnimi enočleniki, ki jih postavimo na sredino igralne plošče. Vsi igralci postavijo svoje figurice na za- četno polje. Z igro začne učenec, ki vrže večje število pik na kocki. Vsakič, ko se kateri igralec prestavi na določeno polje, je njegova naloga, da s kupa izbere vrhnjo kartico z enočlenikom, nato pa pomno- ži oba enočlenika, enočlenik na kartici z enočlenikom na polju, kjer ima figurico. Igralec lahko igro nadaljuje še z enim metom igralne kocke, kadar enočlenika pravilno zmnoži. V primeru, da izračuna napačno, pa je na vrsti naslednji igralec. Zmagovalec igre je igralec, ki prvi ponov- no prispe na začetno polje. Slika 9: Množenje enočlenikov. Slika 10: Paličice. Pripomočke za opisane dejavnosti lahko pri pouku izdelujejo učenci tudi sami, tako kot je predstavljeno v priročniku Ugo- tavljanje matematičnega znanja (https:// www.zrss.si/pdf/ugotavljanje_matematic- nega_znanja.pdf) v poglavju Didaktične igre. IZ RAZREDA 51 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Zaključek Nekatere predstavljene dejavnosti so se izvedle s celotnim oddelkom, v katerega je vključen učenec z učni- mi težavami, vendar je bilo pred tem smiselno določene učne vsebine bolj usmerjeno ponoviti in utrditi pri individualnem delu. Tekmovanje in omejevanje časa je za te učence lahko precej neprijetno, če pa jih na to ciljno in vsebinsko pripravimo, pa lahko s tem ustvarimo priložnost, da učenca pozitivno sprejemajo tudi učenčevi vrstniki v oddelku. Pri delu z učenci z učnimi težavami je pomembno, da smo zmožni opaziti njihov najmanjši napredek, kar predstavlja majhne, vendar zelo pomembne korake pri učenju. Dodatna strokovna pomoč omogoča, da učencu v precejšnji meri prilagodimo učne metode, ki zanj predstavljajo optimalen razvoj in napredek. Učenci z učnimi težavami morajo za razliko od svojih vrstnikov v učenje vlagati pomembno več truda in časa, naloga šolskih strokovnih delavcev pa je, da jim poleg pomoči na učnem področju nudimo tudi ustrezno podporo pri razvijanju njihove pozitivne samopodobe. Literatura Bernal, J. (2016). Integer fluency circles. Dostopno na: http://mymathimagination.blogspot.com/2016/03/integer-fluency-circles-im- from-texas.html?spref=pi (5. 4. 2022) Bregar Golobič, K. (ur.) (2008). Navodila za prilagojeno izvajanje programa osnovne šole z dodatno strokovno pomočjo za otroke s pri- manjkljaji na posameznih področjih učenja. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Brown, T. (2015). 5 favorite math games. Dostopno na: http://fungames4learning.blogspot.com/2015/05/5-favorite-math-games.html (5. 4. 2022) Collins, J. (2014). Mental math game. Dostopno na: http://lessonplandiva.com/2014/03/mental-math-game-2.html (5. 4. 2022) Ellison, K. (2019). Review game: Let the cards decide. Dostopno na: https://www.mrseteachesmath.com/2019/07/review-game-let- cards-decide.html (3. 4. 2022) Jackson, M. (2018). Card-Match up race – version 1. Dostopno na: http://hopefullyhome.com/6-review-games-your-stu- dents-will-love/?utm_medium=social&utm_source=pinterest&utm_campaign=tailwind_tribes&utm_content=tribes&utm_ term=482958240_17077840_262453 (3. 4. 2022) Jackson, M. (2018). Card-Match up race – version 2. Dostopno na: http://hopefullyhome.com/6-review-games-your-stu- dents-will-love/?utm_medium=social&utm_source=pinterest&utm_campaign=tailwind_tribes&utm_content=tribes&utm_ term=482958240_17077840_262453 (3. 4. 2022) Marley, S. (2019). True, false, fix: A social studies review game. Dostopno na: https://stephanieshistorystore.com/2017/03/27/true-false- fix-a-social-studies-review-game/ (3. 4. 2022) Solis, K. (2018). Donut math: a fun way to practise multiplication facts. Dostopno na: https://www.allabout3rdgrade.com/2016/11/do- nut-math-fun-way-to-practice.html (2. 4. 2022)