dr. Miran Kuhar 
FGG - Oddelek za geodezijo, Ljubljana 
Gregor Žele 
ERS 
Geodeiska uprava Republike Slovenije, Ljubljana 
Prispelo za objavo: 1998-06-24 
Pripravljeno za objavo: 1998-10-12 
Izvleček 
Članek predstavlja načelo višinomerstva z globalnim 
položajnim sistemom (GPS), tj. določitve nadmorskih 
(ortometričnih) višin s pomočjo opazovanj z GPS-jem v 
lokalnih GPS-mrežah. Podan je postopek za prehod 
GPS-elipsoidnih višin v praktično uporabne nadmorske 
višine. Računsko izpeljan prehod, zasnovan na enostavni 
funkcijski zvezi elipsoidne in nadmorske višine, nam 
omogoča hkratno natančno določitev modela geoidne 
ploskve na obravnavanem lokalnem območju. Računski 
postopek je praktično preizkušen v GPS-navezovalni mreži 
Sežana '97. 
:Ključne besede: elipsoidna višina, geoid, geoidna višina, 
GPS-višinomerstvo, ortometrična višina 
Abst1ract 
The paper deals with the procedure of GPS levelling, in 
which satellite observations enable the determination oj 
orthometric heights through GPS observations in local GPS 
nelworks. An approach to the optimal use of GPS heights in 
determination of the high-precision geoid in local geodetic 
networks is presented. The analytical procedure is 
implemented ona practical example of GPS densification 
network (Sežana '97). 
Keywords: ellipsoid height, geoid, geoid height, GPS 
levelling, orthometric height 
1 UVOD 
o 
vedba satelitskih merskih tehnik v geodetsko prakso je v veliki meri spremenila 
način določanja položaja točk na Zemlji. Satelitske merske tehnike, kot so 
Doppler Transit, "t,TAVSTAR GPS, omogočajo hkratno določitev položaja točk v treh 
dimenzijah. Predvsem ta se je zaradi svoje visoke natančnosti in gospodarnosti že 
povsem uveljavila in skoraj izpodrinila klasične merske tehnike pri vzpostavitvi in 
vzdrževanju nacionalnih in globalnih geodetskih mrež. GPS-tehnologija je postala 
nepogrešljivo orodje v nalogah temeljne geodetske izmere in inženirske geodezije, pri 
vzpostavitvi mrež za večja gradbišča, kot so: predori, avtoceste, železnice itd. Tudi pri 
nas se položaji danih točk ( okvirna mreža) vseh novih navezovalnih mrež določajo s 
pomočjo GPS-meritev. 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
ezultat izmere z GPS-jem so tridimenzionalne kartezične koordinate 
(koordinatne razlike) točk mreže, izražene v geocentričnem koordinatnem 
sistemu WGS-84. Kartezične koordinate so zaradi lažje predstave transformirane v 
elipsoidne geografske koordinate, geodetsko širino <ji, geodetsko dolžino 'A in 
elipsoidno višino h. GPS (elipsoidna) višina se nanaša na referenčni elipsoid 
WGS-84. Tako določene elipsoidne višine, kot povsem geometrijska količina, nimajo 
praktičnega pomena, kot na primer nadmorske višine ( ortometrične ), določene z 
niveliranjem ali trigonometričnim višinomerstvom. Nadmorske višine se nanašajo na 
geoid, torej na težnostno polje Zemlje. Da bi lahko enakovredno s horizontalnima 
komponentama visoko natančnih meritev z GPS-jem uporabili tudi višinsko 
komponento, je treba nujno poznati geoidno višino. Treba je poznati obliko ploskve 
geoida na območju, ki ga pokriva GPS-mreža. 
v Ce poznamo obliko ploskve geoida na območju GPS-mreže, je možno izračunati 
nadmorske višine novoizmerjenih točk samo na osnovi opazovanj z GPS-jem. Za 
takšen način določitve nadmorskih ( ortometričnih) višin se je v sodobni geodetski 
literaturi uveljavil izraz GPS-višinomerstvo. Širše gledano predstavlja 
GPS-višinomerstvo problem vklapljanja GPS-mrež v obstoječo državno geodetsko 
mrežo, torej problem skupne izravnave GPS-ja in terestričnih meritev. Obravnava 
samo višinske komponente nima namena ponovno začrtati ostre ločnice med 
horizontalnimi in višinskimi mrežami, kot je bilo to nekoč. Prav nasprotno, želimo 
podati primemo rešitev za prehod GPS-ja, elipsoidnih višin v praktično uporabne 
ortometrične višine. Pri tem je možno, z ustrezno aproksimacijo, natančno določiti 
detajlni model geoida na obravnavanem lokalnem območju. Pojem lokalno se tukaj 
nanaša na mreže, ki zajemajo območja velikosti do približno nekaj sto kvadratnih 
kilometrov. Prehod iz elipsoidnih v nadmorske višine je možen samo, če poznamo 
ustrezne geoidne višine. Pri tem seveda obstajajo različne metode določitve ploskve 
geoida na lokalni ravni, ki pa so odvisne: 
o od zahtevane natančnosti določitve ortometričnih (nadmorskih) višin 
o od vrste in natančnosti izmerjenih geodetskih količin, ki so nam na voljo. 
2 NAČELO GPS-VIŠINOMERSTVA 
a točko na površini Zemlje velja znana zveza med njeno ortometrično 
(nadmorsko) višino H, elipsoidno višino h ter ustrezno geoidno višino N: 
H=h-N. 
Zveza se lahko predstavi v obliki razlik višin, ki se nanašajo na poljubno izbrano 
referenčno točko Po: 
Li,H = Li,h-Li,N. 
(1) 
(2) 
Rezultat obdelave GPS-opazovanj nam podaja elipsoidne višine ( elipsoidne višinske 
razlike). Če želimo pridobiti nadmorske višine (višinske razlike), moramo torej 
poznati ustrezne geoidne višine (razlike geoidnih višin). 
Slika 1 predstavlja vertikalni prerez skozi točki Po (referenčna točka mreže) in P (poljubna točka v mreži). Višina točke Po je poljubno izbrana tako, da skozi njo 
potekata ploskvi, vzporedni z lokalnim geoidom in izbranim referenčnim elipsoidom. 
Očitno je, da je natančnost nadmorskih višin H oziroma višinskih razlik LiH odvisna 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
od natančnosti elipsoidnih in geoidnih višin ( oziroma njihovih razlik). GPS-
višinomerstvo je torej praktično uporabno le v primeru, če je možno zagotoviti 
lokalni geoid z natančnostjo, ki se za konkreten primer zahteva za določitev 
nadmorskih višin točk z GPS-jem. 
p 
. - /"~----Q-------------7'"1.-
' geo\cl ~ 1 
\o¼aln' 
~ 
~ .,/.,/,, paralela z elipsoidom 
Slika 1 
3 ANALITIČNA PREDSTAVITEV LOKALNEGA GEOIDA 
Geoid ima kot zapletena geopotenci':lna ploskev dokaj gladek potek, vendar zelo 
zapleteno geometrijsko strukturo. Ce želimo del ploskve geoida predstaviti z 
visoko ločljivostjo, potrebujemo določen model v digitalni ali analogni obliki (karta). 
Analitična predstavitev na globalni ravni v obliki vrste sfernih funkcij ne zadošča 
kriterijem GPS-višinomerstva, t. j. ne zadošča centimetrski natančnosti. Naloga, ki 
zahteva predstavitev geoida visoke ločljivosti, je bolj enostavna, če je obravnavano 
območje manjše. Geoid, ki zajema lokalna območja, se lahko analitično predstavi v 
obliki ploskve drugega reda (krogla, elipsoid, hiperboloid, paraboloid). V večini 
primerov zadošča tudi že ravninska aproksimacija (ploskev prvega reda). Izbira tipa 
in oblike ploskve niti ni zelo pomembna. Pomembno je, da geoidno ploskev, 
določeno z izračunanimi geoidnimi višinami N (izraz (1)) v GPS-mreži, lahko 
obravnavamo kot funkcijo dveh spremenljivk: 
N = N(y, x). (3) 
Tukaj sta spremenljivki y in x ravninski koordinati točk v mreži. Običajno se 
koordinate podajajo v lokalnem koordinatnem sistemu, pri nas so to 
Gauss-Kruegerjeve koordinate državne mreže. Funkcija N (y, x) predstavlja 
regresijsko oziroma interpolacijsko ploskev, določeno s številom točk z znanimi 
geoidnimi višinami. Za funkcijo N (y, x) je najbolje privzeti polinom določene stopnje 
(Illner, Jaeger, 1995): 
N(y, x) = K + (Ay + Bx) + (Cy2 + Dyx + Ex2) + (Fy3 + Gy2x + 
+ Hyx2 + Ix3) +... (4a) 
Omejitev na linearne člene nam da enačbo: 
N(y, x)= K+ (Ay +Bx). (4b) 
Izbira bikvadratnega polinoma je naslednja: 
N(y, x)= K+ (Ay +Bx) + (Cy2+Dyx+Ex2). (4c) 
Če se spremenljivki y, x nanašata na težišče mreže, koeficienti polinoma pomenijo: 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
koeficient K predstavlja vzporedni odmik elipsoida od geoida. Linearna člena 
polinoma s koeficientoma A in B predstavljata razliko naklona tangentne ravnine na 
elipsoid in ploskve geoida v težiščni točki, in to v smeri koordinatnih smeri (A naklon 
vzhod - zahod, B naklon sever jug). Smerni kot, ki ga določata koeficienta A in B, 
nam poda tudi smer največjega naklona (gradienta) ploskve lokalnega geoida. Če se 
omejimo samo na tri linearne člene, predpostavimo, da imata obe ploskvi enako 
ukrivljenost, vendar sta medsebojno nagnjeni pod določenim kotom. 
Praktični izračuni kažejo, da linearna aproksimacija v večini primerov popolnoma 
zadošča. Seveda so nam na voljo tudi različne ploskve drugega reda, ali višjih 
redov, trigonometrične funkcije, ali pa bikubični zlepki (spline funkcije). Vendar 
takšne funkcije kažejo določeno nestanovitnost, če so interpolacijske točke 
razporejene neenakomerno (Holloway, 1988). Enačbe, predstavljene zgoraj, 
vsebujejo različno število neznanih parametrov A, B, C, D, E, K, ki podajajo naklon, 
ukrivljenost in odmik ploskve lokalnega geoida glede na referenčni elipsoid. 
Določitev lokalnega geoida dejansko pomeni izračun teh neznanih parametrov, 
odvisno od izbire ploskve in samega njihovega števila. V primeru ravninske 
aproksimacije potrebujemo vsaj tri enačbe oblike ( 4b ). Za rešitev neznanih 
parametrov ukrivljenosti potrebujemo dve dodatni enačbi oblike ( 4c). Zanesljivost 
določitve lokalnega geoida zvišamo s povečanjem števila danih točk - točk z znanimi 
vrednostmi geoidnih višin ali njihovih razlik 
atero regresijsko ploskev bomo privzeli za ponazoritev oblike geoida, je seveda 
odvisno od različnih dejavnikov. Med najbolj pomembne spadajo predvsem: 
o število danih točk z znanimi nadmorskimi višinami oziroma znanimi odkloni 
navpičnice, 
o relativni medsebojni položaj teh točk v mreži in položaj teh točk glede na 
obravnavano območje, 
o kakovost in natančnost (morebiti) uporabljenega modela regionalnega 
geoida, 
o kakovost opravljenih GPS-opazovanj, 
o kakovost in zanesljivost izmerjenih količin na danih višinskih točkah. 
Število danih višinskih točk in njihov položaj neposredno vplivata na natančnost 
izračunane regresijske ploskve. S teoretičnega stališča: večje število danih točk in čim 
bolj enakomerna razporeditev točk, tem boljša sta nadštevilnost in zanesljivost 
izbranega modela. S tem je seveda višja splošna natančnost določitve regresijske 
ploskve. Vsaka mreža predstavlja s praktičnega stališča poseben primer, tako da je 
treba za vsako mrežo posebej najti celovito rešitev, ki je kompromis med 
nadštevilnostjo, zanesljivostjo in gospodarnostjo. 
3.1 Izboljšanje regresijske ploskve lokalnega geoida s pomočjo kolokacije 
T okalni geoid je del globalnega geoida in zato vsebujejo geoidne višine na danih 
Ltočkah določen sistematični vpliv. Regresijska ploskev lokalnega geoida, 
izračunana na podlagi danih terestričnih meritev, predstavlja funkcijo (ploskev) 
trenda, s katero aproksimiramo ta sistematični vpliv. Po drugi strani je lokalni geoid 
glede na velikost obravnavanega območja že skoraj najboljši možni približek poteka 
ploskve realnega geoida, vendar pa izračunana ploskev ne izraža celotnega finega 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
detajla lokalnega geoida. Odstopanja na višinskih kontrolnih točkah (razlike med 
danimi in geoidnimi višinami, izračunanirni s pomočjo funkcije trenda) vsebujejo 
majhen, pa vendar neodkrit sistematični del (li.N na sliki 2). Ta odstopanja lahko 
obravnavamo kot signal v postopku kolokacije (Boljen, 1995). V tem primeru signal s 
obravnavamo kot slučajno spremenljivko z lastnostjo E{ s} =0. 
H 
.......... 
\• 
1 ~ trend 
•····:"•• 11N ~/ • .............. . 
e 
,, ...... , .. ,·· 
• •°'- . ··· ................... }~~ . ....._ 
lokalni geoid 
Slika 2 
a računski preizkus predstavljene metode smo izdelali računalniški program, ki 
na podlagi danih geoidnih višin izračuna neznane koeficiente regresijske ravnine 
geoidne ploskve in interpolira vrednosti geoidnih višin na novih točkah mreže, 
katerih elipsoidne višine so določene s pomočjo GPS-opazovanj. Program je 
razdeljen na dva dela. V prvem delu z metodo najmanjših kvadratov izračuna 
neznane koeficiente regresijske ravnine in s pomočjo teh interpolira vrednosti 
geoidnih višin na novih točkah. V drugem delu program izračuna karakteristično 
dolžino v obravnavani mreži ter napove (predicira) vrednosti popravkov (signal) 
geoidnih višin na novih točkah. Napoved (predikcija) je izpeljana s pomočjo 
kolokacije po metodi najmanjših kvadratov. Na podlagi tako dobljenih geodnih višin 
je možno izračunati nadmorsko višino vsake nove točke v mreži, določene z 
GPS-opazovanji. 
Izognili smo se izračunu regresijske ploskve (polinoma) višjih stopenj, ker praktični 
primeri iz tuje literature (tudi sami smo opravili nekaj računskih preizkusov) 
kažejo, da z višanjem stopnje polinoma interpolacija ne prinaša bistveno boljših 
rezultatov (Kuhar, 1996). Višja stopnja polinoma vsebuje tudi večje število neznanih 
koeficientov, za kar potrebujemo več danih višinskih točk. V vsakem primeru so 
rezultati bolj zanesljivi, če imamo več nadštevilnih opazovanj. S tem je tudi možnost 
kontrole večja. Linearni model torej v popolnosti zadošča za mreže na ne preveč 
razgibanih območjih. 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
4 PRAKTIČNI PRIMER 
"! eodetska uprava Republike Slovenije je v letu 1997 na območju ](:rasa v okolici 
Sežane postavila novo navezovalno mrežo ter sanirala obstoječo 
trigonometrično mrežo. Mreža vsebuje skupno 87 točk in zajema območje velikosti 
približno 18 km x 12 km. Celotna mreža je razdeljena na dva dela: 
D okvirno mrežo tvorijo trigonometrične točke I. reda (3), II. reda (2) in III. 
reda (17), 
o navezovalno mrežo tvorijo točke IV. reda (35) in novostabilizirane 
navezovalne točke (30). 
V celotni mreži so opravljena GPS-opazovanja, pri čemer v okvirni mreži s statično 
metodo, v navezovalni mreži pa s hitro statično metodo. Tudi izravnava opazovanj je 
potekala ločeno. Rezultati izravnave so naslednji (Žele, 1997): 
o okvirna mreža: srednja vrednost standardne deviacije v elipsoidni širini in 
dolžini a,• , 1c = 1,9 l11ll, v elipsoidni višini pa o- 11 = 3 mm, 
o navezovalna mreža: srednja vrednost standardne deviacije v elipsoidni širini 
in dolžini ci P = 3, 7 mm, v elipsoidni višini pa CT h = 6, 8 mm -
Na območju mreže je opravljena tudi sanacija obstoječe nivelmanske mreže in je 
hkrati z geometričnim nivelmanom določena nadmorska višina 34 trigonometričnih in 
navezovalnih točk. Višine treh točk so določene s preciznim trigonometričnim 
višinomerstvom. Ocenjena natančnost niveliranja je okrog cs d = 1 mm (izračunano iz 
razlik niveliranja tja in nazaj). V mreži smo imeli na voljo večje število točk z znanimi 
nadmorskimi in elipsoidnimi višinami ( dane točke) in smo nalogo GPS-višinomerstva 
lahko obravnavali na več načinov" V primeru večjega števila danih točk je ,1prašanje 
koliko točk in katere točke uporabiti za določitev lokalnega geoida? Da bi odgovorili 
na vprašanje, smo obravnavali več primerov" 
l. primer: 
s pomočjo vseh 37 točk smo izračunali lokalni geoid (regresijsko ravnino, slika 3). Na 
ta način smo lahko primerjali odstopanja med danimi in izračunanimi vrednostmi 
nadmorskih višin. Izračunana standardna deviacija odstopanj znaša: er = 0,017 rn. 
2. primer: 
za izračun regresijske ravnine smo uporabili 5 točk, enakomerno razporejenih po 
robu mreže: 346(1II), N41, N78, N307, 374(III). Pet točk naj bi predstavljalo 
minimalno število potrebnih točk za zanesljivo določitev koeficientov geoidne 
ravnine" Ostalih 32 točk je za kontrolo. Na osnovi odstopanj med danimi in 
izračunimi višinami na kontrolnih točkah smo izračunali standardno deviacijo, ki 
znaša: cr = 0,021 m 
3. primer: 
v naslednjem izračunu smo uporabili 10 točk, enakomerno razporenih po notranjosti 
mreže: N25, N33, N42, N78, N80, 120(IV), 137(IV), 140(IV), 346(III), 6(III). Ostalih 
27 točk je bilo kontrolnih" Standardna deviacija, izračunana iz odstopanj na 
kontrolnih točkah, znaša: cs = 0,019 m 
-Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
4. primer: 
v tem primeru smo uporabili tudi 10 točk, vendar razporejenih po robovih območja, 
ki ga pokriva mreža: 6(III), 8(III), N43, N82, 107(IV), 120(IV), 137(IV), 140(IV), 
346(III), 358(III). Standardna deviacija, izračunana iz odstopanj na kontrolnih 
točkah, znaša: a = O, 014 m 
5076000-
507400 
5072000 
410000 
Slika 3 
V vseh primerih smo ocenili vrednost signala na novih in danih točkah. Ponovna 
primerjava z niveliranimi višinami in izračun odstopanj je podal manjše 
vrednosti standardnih deviacij. Vsekakor velja, da bo izračunani signal tem bolj 
zanesljivo določen, čim manjši je šum (slučajni pogreški) v mreži (čim bolj natančno 
so določene geoidne višine danih točk). Varianco izračunane geoidne višine na danih 
točkah lahko izračunamo kot (izhajamo iz znanega izraza (1)): 
(5) 
Varianco elipsoidnih višin dobimo kot rezultat izravnave GPS-opazovanj za vsako 
točko posebej. Varianco nadmorskih višin pa moramo določiti empirično. Idealno bi 
bilo, če bi vse višine danih točk določili z geometričnim nivelmanom. Glede na 
velikosti mreže in bližino najbližjega reperja je pričakovati, da je standardna deviacija 
določitve višin točk okrog aH = 3 mm V primeru trigonometričnega višinomerstva 
vsekakor ni manjša od aH = ±2 cm V mreži Sežana je po enačbi (5) povprečna 
vrednost st. deviacije geoidnih višin okrog 0 N = 7 - 8 mm, kar pomeni, da je 
natančnost določitve nadmorskih višin novih točk tudi centimetrska. Ne smemo 
pozabiti, da je mreža zelo razgibana (višinske razlike točk so v mejah 600 m; 
maksimalni naklon geoida znaša 4 cm na km) in da so bile v vseh primerih nekatere 
dane točke določene s trigonometričnim višinomerstvom. 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3 
5 ZAKLJUČEK 
Opisani postopek podaja enega od možnih pristopov k GPS-višinomerstvu. Cilj je 
vedno isti: določiti nadmorske višine točk čirn bolj hitro in točno. Za dosego 
tega cilja pa moramo poznati potek geoidne ploskve na obravnavanem območju. Vse, 
dokler ne bo na voljo centimetrski geoid za celotno območje Slovenije, predstavlja 
opisana metoda eno možnih rešitev. Metoda omogoča določitev natančnega 
lokalnega geoida tudi v vseh geodetskih mrežah posebnega pomena (inženirska 
geodezija). Pri tem je treba poskrbeti, da ima zadostno število točk mreže zanesljivo 
določene nadmorske višine. 
Literatura: 
Boijen, J., Hoehenbestimmung mit Hilfe GPS. SPN, Karlsruhe, 1995, letnik 3, št. 1, str. 7-14 
Holloway, R.D., The integration of GPS heights into the Australian height datum. Unisurv reports 
S-33, School of surveying, Kensington, 1988 
Illner, M., Jaeger R., lntegration von GPS-Hoehen ins Landesnetzes - Konzept und Realisierung im 
Programmsystem HEIDI. AV Karlsruhe, 1995, št.1, str. 1-18 
Kuhar, M., Raziskave ploskve geoida v Sloveniji. Doktorska disertacija. Ljubljana, FGG OG, 1996 
Recenzija: Dušan Miškovic - v delu 
doc.dr. Bojan Stopar 
Geodetski vestnik 42 (1998) 3