MATEMATIKA Dimenzije egipčanskih piramid Borut Jurčič Zlobec -> Soočili se bomo z večkrat ponovljeno trditvijo, da sta v dimenzijah Keopsove piramide zakodirani števili $ (razmerje zlatega reza) in število n (razmerje med premerom in obsegom krožnice), kljub temu, da razmerje zlatega reza v Egiptu ni bilo nikjer omenjeno in tudi števila n niso poznali tako natančno, kot ga najdemo zakodiranega v dimenzijah Keopsove piramide. Ali so graditelji piramid poznali dejstva, ki niso zgodovinsko izpričana, ali pa je to čisto naključje? Pokazali bomo, da je naključno sovpadanje mnogo bolj verjetno, kot se zdi na prvi pogled. Poskušali bomo razložiti, kako so graditelji določali dimenzije in zakaj so te takšne, kakršne so. Predvsem se bomo posvetili razmerju stranič v trikotniku, ki ga tvorijo poloviča roba osnovne ploskve piramide, višina piramide in višina njene stranske ploskve (glej sliko 2 zgoraj). Naša predpostavka bo, da je mere piramid določala predvsem pragmatičnost, kompromis med fizikalnimi lastnostmi materiala, preprostim zapisom mer v navodilih za gradnjo in seveda omejenost sredstev. Zlati rez v literaturi Razmerje zlatega reza ima mnogo zanimivih lastnosti. Vendar pa se mu jih zelo rado pripisuje mnogo vec, kot jih ima v resnici. Razmerje zlatega reza je iracionalno in je v nekem smislu najbolj iracionalno število od vseh iracionalnih števil. Ta lastnost razmerja je odločilna, da naletimo nanj v naravi. Srecamo ga npr. pri proucevanju optimalne porazdelitve listov okoli stebla rastlin (fi-lotaksa) in razporeditve semen v soncnicnem cvetu. Manj prepricljivo je povezovanje razmerja zlatega reza s sebi podobnimi spiralnimi strukturami v naravi, kot so spiralna struktura nautilusove hišice in spiralne strukture galaksij. Odlocilna lastnost spirale pri nautilusovi hišici je njena sebi podobnost. Kot se je izrazil Jacob Bernoulli (1655-1705), eadem mutata resurgo (raste, vendar ostaja vedno enaka). Sebi podobnost v naravi je pogost pojav, verjetno zaradi ekonomicnosti genskega zapisa. Vendar pa sebi podobne spirale pripadajo razredu logaritemskih spiral, kjer je zlata spirala le poseben primer. Nastanek spiral v galaksijah se podreja drugacnim zakonom in v splošnem niso niti logaritemske. Najbolj problematicno pa je iskanje razmerja zlatega reza v glasbi, arhitekturi, slikarstvu, umetnosti in filozofiji nasploh. Pripisuje se mu mocan pomenski naboj, ki velikokrat vodi v pretiravanje in na-pacne interpretacije. Zlati rez je bil predmet misti-fikacij, tako v starem veku, pri grških filozofih, kot tudi v srednjem veku in je tudi v današnjem casu. Poglejmo enega od sodobnih opisov zlatega reza. Zlato razmerje pomeni vrata do razumevanja življenja. To razmerje imenujemo Zlato oziroma Božansko razmerje, ker predstavlja vrata za globlje razumevanje lepote, čudežnosti in duhovnosti življenja. Je skoraj neverjetno, da ima eno samo število tolikšen vpliv v naravi, človeški zgodovini, znanosti, umetnosti in v vsemirju v čeloti. Profesor racunalniških znanosti univerze v Maine George Markowsky je preveril nekatere najbolj znane trditve na temo zlatega reza, zapisane v šolskih uc- 4 PRESEK 42 (2014/2015) 5 MATEMATIKA benikih in člankih. Presenečen je opazil, kako malo resnice je v teh trditvah. O svojih ugotovitvah je napisal članek z naslovom »Misconceptions about the Golden Ratio«, ki ga lahko najdete na naslovu http: //www.umcs.mai ne.edu/~markov/GoldenRati o. pdf. Razmerje zlatega reza, zlati pravokotnik in zlati trikotnik To poglavje je namenjeno spoznavanju razmerja zlatega reza, zlatega pravokotnika in zlatega trikotnika. Definicija 1 (Razmerje zlatega reza). Razdelimo da-ljico na dva neenaka dela tako, da je razmerje med vecjim in manjšim delom enako razmerju med celotno daljico in večjim delom. To razmerje imenujemo razmerje zlatega reza. V našem sestavku bomo razmerje zlatega reza oznacili s crko 0, v cast grškega filozofa in matematika Fidesa (500-432), ki je prvi omenil to razmerje. Ce vzamemo, da je dolžina prvotne daljice enaka 0 in dolžina vecjega dela enaka 1, potem gornjo definicijo lahko zapišemo v matematicni obliki takole: 0 - 1 1 ' od tod dobimo zvezo ■ 02 - 0 - 1 = 0. Pozitivna rešitev enacbe je enaka (1) 0 = 1 + V5 2 1,61803398874989... (2) Pravokotnik z razmerjem stranic, ki je enako razmerju zlatega reza, ima naslednjo lastnost: ce mu odstranimo kvadrat s stranico, enako krajši stranici, ostane pravokotnik, katerega razmerje stranic je ravno tako enako razmerju zlatega reza. Tak pravokotnik bomo imenovali zlati pravokotnik. Na sliki 1 zgoraj je prikazan postopek za nacrtanje zlatega pravokotnika. 1. 2. Najprej nacrtamo kvadrat, nato razpolovimo eno od stranic. Izberemo enega od nasprotnih oglišc, nato nacr-tamo krožnico s središčem v razpolovišcu in izbranim oglišcem na obodu. 3. Presečišče krožnice z nosilko razpolovljene daljice je eno od oglišc zlatega pravokotnika. 4. Ostalo preberemo s slike 1 zgoraj. Prepričajmo se, da je to res zlati pravokotnik. Naj bo dolžina stranice kvadrata enaka 1. Po Pitagorovem izreku je polmer krožnice enak -J1 + 1/4 = V5/2. Daljša stranica pravokotnika meri (1 + \fŠ)/2 = 0. Razmerje stranic je resnicno enako razmerju zlatega reza. V geometriji poznamo še en lik, ki je tesno povezan z razmerjem zlatega reza, to je zlati trikotnik. V knjigi Mysterium Cosmographicum (Skrivnosti sveta) Johannes Kepler (1571-1630) omenja razmerje zlatega reza v stavku: V geometriji najdemo dva velika zaklada: eden je Pitagorov izrek, drugi je razmerje zlatega reza. SLIKA 1. Zgoraj: zlati pravokotnik, spodaj: zlati trikotnik 5 PRESEK 42 (2014/2015) 5 MATEMATIKA —^ Keplerjev trikotnik, vcasih tudi zlati trikotnik, povezuje oboje. To je pravokotni trikotnik z razmerjem stranic 1 ^ : p. Slika 1 spodaj prikazuje, kako nacrtamo zlati trikotnik. 1. Najprej nacrtamo zlati pravokotnik in si izberemo eno od oglišc. 2. Nacrtamo krožnico s središčem v izbranem ogli-šcu in polmerom, enakim daljši stranici. 3. Ostalo je razvidno s slike 1 spodaj. Prepricajmo se, da smo res nacrtali zlati trikotnik. Vzemimo, daje dolžina daljše stranice pravokotnika enaka p in dolžina krajše enaka 1. V trikotniku oznacimo neznano kateto z Po Pitagorovem izreku je p2 - 1 = x2. Iz enacbe (1) sledi, da je %2 = p oziroma % = *Jp. Zlati rez, zapisan v merah Keopsove piramide Sledi ena od najpogosteje citiranih neresnicnih zgodb v zvezi z dimenzijami egipcanskih piramid, ki jo pripisujejo grškemu zgodovinopiscu Herodotu (484-425). Zgodba pravi, da je ob neki priliki egip-canski svecenik zaupal Herodotu skrivnost Keopsove piramide v Gizi. Svecenik: Dimenzije Velike piramide so izbrane tako, da je površina kvadrata s stranico, enako višini piramide, enaka površini stranske ploskve. Egipcanske piramide so pokoncne, pri vecini od njih je osnovna ploskev kvadrat. Taka je tudi Keop-sova piramida (glej sliko 2 zgoraj). Oznacimo višino piramide s h, stranico osnovnega kvadrata z b in višino stranske ploskve z 5. Preprost racun nam da 2 bs 2 2 b2 ■ h2 = —, s2 = h2 + —. Delimo zadnjo enacbo z b2/4 in dobimo 2h\4 _ (2h\ b b + 1, oznacimo r = in dobimo ■ r2 - r - 1 = 0. Edina pozitivna rešitev gornje enacbe je r = p = (1 + VŠ)/ 2. Od tod sledi, da je 2h/b = Jp. Trikotnik (b/2, h,s) je zlati trikotnik, dolžine njegovih stranic so v razmerju 1 : Jp : p. V resnici pa je v Herodotovi knjigi Zgodovina en sam odstavek, ki govori o veliki piramidi (glej zgoraj omenjeni clanek Georgea Markowskega), ta pa se glasi: Herodot: Veliko piramido so gradili dvajset let. Stranica osnovnega kvadrata meri osemsto čevljev, njena višina meri ravno tako osemsto čevljev, površina je bila pokrita z gladkimi ploščami, ki so se natanko prilegale druga drugi. Kamniti bloki, iz katerih je narejena, merijo vsak od njih več kot trideset čevljev v dolžino. Herodot je napisal te vrstice dva tisoc let po izgradnji piramide. Mere, ki jih je podal, ne ustrezajo dejanskemu stanju. Z nekaj domišljije lahko zaslutimo, kako s prevracanjem besed iz gornjega odstavka pridemo do trditve o zvezi med kvadratom višine in plošcino stranske ploskve. Tu imamo kljucne besede kvadrat, višina in površina, ostalo pa naredi domišljija in želja, da bi našli razmerje zlatega reza. Pri Keopsovi piramidi je razmerje med višino in polovico osnovnega roba enako 14/11, kar je zelo blizu vrednosti -Jp. To naj bi napeljevalo, da je v teh piramidah zakodirano razmerje zlatega reza. Po drugi strani pa je vrednost 4/Vp zelo blizu vrednosti n, zato nekateri trdijo, da je v egipcanskih piramidah zakodirano tudi število n oziroma njegova približna vrednost 22/7, ki pa je natancnejša, kot so jo poznali v tistem casu. V skoraj tisoc let mlajšem dokumentu je omenjena vrednost 256/81 kot približek za n. Merjenje kotov in dolžin v starem Egiptu Razmerje dimenzij egipcanskih piramid bomo bolje razumeli, ce si ogledamo njihov merski sistem. Osnova za merjenje dolžine je bil kraljevi komolec, ki je imel vlogo našega metra. Kraljevi komolec je meril 28 palcev. Dolžina enega palca ni bila natanko dolocena. S casom se je nekoliko spreminjala in se je gibala med 18,7 mm in 18,8 mm, tako se je dolžina kraljevega komolca gibala med 52,36 cm in 52,64 cm. Poleg kraljevega komolca so uporabljali še (navaden) komolec, ki pa je meril 24 palcev. 2 6 PRESEK 42 (2014/2015) 5 MATEMATIKA Kote so merili v stopinjah, vendar pa so v gradbeništvu in zemljemerstvu kote izražali v sekedih. Seked kota je enak dolžini kotu priležne katete v pravokotnem trikotniku, merjene v palcih, ce je dolžina nepriležne katete en kraljevi komolec (glej sliko 2 spodaj). Pri pisanju sestavka nismo imeli na razpolago enako natančnih mer za vse piramide. V literaturi in na internetu se mere piramid niso vedno ujemale. Razlike so bile tudi do 50 cm. Pri pretvarjanju mer piramid iz metrov v komolce smo upoštevali nacelo, da so dolžine osnovnih robov piramid, izražene v komolcih, zaokrožene. To je smiselno, ker so navodila kraljevi komolec SLIKA 2. Središčni pravokotni trikotnik piramide in seked. Zgoraj: trikotnik v piramidi, spodaj: seked. za gradnjo tako preprostejša. Mere piramid smo izbrali v mejah, ki smo jih našli v literaturi in ki so najbolj ustrezale gornjemu nacelu. Dimenzije egipčanskih piramid Pri proucevanju dimenzij egipcanskih piramid se bomo omejili na razmerje stranic trikotnika, ki ga tvorijo polovicni osnovni rob piramide, njena višina in višina stranske ploskve. Ker bomo ta trikotnik še velikokrat omenili, mu bomo dali delovno ime središčni pravokotni trikotnik piramide (glej sliko 2 zgoraj). Pricakujemo, da so graditelje iz estetskega vidika privlacile piramide, ki imajo dodatne geometrijske simetrije. Gradili so pokoncne piramide. Vecinoma je osnovna ploskev imela kvadratno obliko. Izjema je piramida 3 v tabeli 1. Med piramidami, ki imajo dodatne simetrije, izstopajo piramide, katerih središcni pravokotni trikotnik ima stranice v razmerju 3:4:5 (pitagorejska trojica). V tabeli 1 so te piramide oznacene z znakom to so piramide 5, 8, 9 in od 11 do 15. Naklonski kot stranskih ploskev teh piramid je 53°7'48". Naslednji primer so piramide, katerih stranske ploskve so enakostranicni trikotniki. Naklonski kot teh pira-midje 54°44'10''. Pri teh piramidah je razmerje med višino in robom osnovne ploskve iracionalno. Temu se najbolj približata piramidi 18 in 22, z nekoliko slabšo natancnostjo na 1° jima sledita še piramidi 10 in 16. V tabeli sta prvi dve oznaceni z znakom ▲, drugi dve s slabšim ujemanjem pa smo oznacili s A. V tabeli ni piramide, katere osni presek bi bil ena-kostranicni trikotnik, to je piramide z naklonskim kotom 60°. Najbolj pa burijo domišljijo piramide 1, 4 in 7, katerih razmerje stranic v središcnem pravokotnem trikotniku se približa zlatemu trikotniku. Pogojno štejemo mednje tudi piramido 3, pogojno zato, ker nima kvadratnega tlorisa, vendar se dva od naklonskih kotov stranskih ploskev približata kotu 51°50'35'', ki je znacilen za ostale tri. V tabeli so te piramide oznacene z znakom ♦. V zacetku so gradili stopnicaste piramide, nato so na prehodu med III. in IV. dinastijo zaceli graditi piramide z ravnimi stranskimi ploskvami. Snefrujevo lomljeno piramido štejemo za prehodno piramido med obema nacinoma gradnje (glej sliko 3 zgoraj levo). Pri tej piramidi so postavili temelje za naklon-ski kot 60°. Zelo verjetno se je izkazalo, da bi bila v 7 PRESEK 42 (2014/2015) 5 MATEMATIKA SLIKA 3. Piramide. Zgoraj levo: lomljena piramida v Dahshurju, zgoraj desno: rdeca piramida v Dahshurju, spodaj levo: Keopsova piramida v Gizi, spodaj desno: Kefrenova piramida v Gizi. tem primeru piramida preveč strma, konstrukcija ne bi vzdržala, verjetno bi bil problem pritrditve tlaka za stranske ploskve. Takoj po začetku gradnje so kot popravili na 54° 50'. Ta kot je zelo blizu kota, ki ga ima piramida z enakostraničnimi stranskimi ploskvami. Nekje na sredini gradnje so naklonski kot še enkrat popravili, to pot na 43°22'. Ta kot se še enkrat ponovi pri Rdeči piramidi, ki je bila ravno tako zgrajena v času vladanja faraona Snefruja (glej sliko 3 zgoraj desno). V tabeli najdemo še eno piramido z naklonskim kotom blizu 45°, to je piramida 21, njen naklonski kot je 42°. Ta piramida je med vsemi piramidami v tabeli 1 najbolj položna. Največji naklonski kot ima piramida 17. Njen naklonski kot je 57° 15'53'' in spada med srednje visoke piramide. Pri višjih piramidah bi moral biti kot manjši, da bi konstrukčija vzdržala. Seveda pa kot ni smel biti premajhen, po eni strani zaradi videza, strma piramida deluje mogočno, po drugi strani pa zaradi količine materiala, ki bi ga potrebovali za gradnjo. Naklonski koti stranskih ploskev piramid so v mejah od 42° do 56°, to so meje, ki jih zasledimo pri lomljeni piramidi. V nadaljevanju si bomo ogledali še en kriterij pri izbiri dimenzij, ki je čisto praktičen. Kako zapisati čim bolj preprosta navodila za gradnjo? Videli bomo, kako so egipčanske dolžinske enote in merjenje kotov vplivali na določanje dimenzij. Naklonski koti v egipčanskih piramidah Keopsova piramida ima izjemno natančno določene dimenzije. Straniče osnovne ploskve se razlikujejo le za nekaj čentimetrov. Tudi koti med robovi osnovne ploskve se razlikujejo od pravih za največ 2'. Se-ked naklonskega kota pri Keopsovi piramidi je enak 8 PRESEK 42 (2014/2015) 5 MATEMATIKA Piramida dimenzije (b/2)/h napaka ** št. faraon mesto b h b s/q £ 1 Snefru Maidum 147,0 93,5 280 22/28 0'48'' 2 Snefru* Dahshur 220,0 105,0 240 21/20 0'46'' □ 3 Mikerin* Giza 103,0 65,6 195 22/28 1'23'' 3 Mikerin Giza 105,0 65,6 200 4/5 0'38'' □ 4 Keops Giza 230,3 146,6 440 22/28 0'31'' ♦ 5 Kefren Giza 215,2 143,5 410 21/28 0'23'' * 6 Sahure Abusir 78,7 47,2 150 20/24 0'42'' 7 Niuserre' Abusir 81,0 51,6 180 22/28 1'45'' ♦ 8 Neferirkare Abusir 105,0 70,0 200 21/28 0'00'' * 9 Userkaf Sakkara 73,5 49,0 140 21/28 0'00'' * 10 Unas Sakkara 57,7 43,3 110 16/24 0'45'' △ 11 Izezi Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 12 Teti Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 13 Pepi I Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 14 Merenre Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 15 Pepi II Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 16 Senwosret III Dahshur 105,0 78,7 200 16/24 1'00'' △ 17 Amenemhat III Dahshur 105,0 81,6 200 18/28 1'16'' 18 Amenemhat I El-Lisht 78,7 55,1 150 20/28 0'17'' ▲ 19 Senusret I El-Lisht 105,0 61,2 200 24/28 1'23'' 20 Amenemhat III Hawara 99,7 57,7 190 19/22 0'37'' □ 21 Senusret II El-Lahun 105,0 47,2 200 10/9 1'48'' □ 22 Khendjer Sakkara 52,5 36,7 100 20/28 0'00'' ▲ ** Pomen oznak je opisan v besedilu članka. * Rdeča piramida (glej sliko 3 zgoraj desno). b' Osnovni rob, izražen v kraljevih komolcih. ' Pri piramidi 7 je osnovni rob izražen v navadnih komolcih. * Piramida 3 nima kvadratnega tlorisa. TABELA 1. Dimenzije egipčanskih piramid. 22 palcev, odstopanje je manj kot 1'. Tudi druga največja (Kefrenova) piramida v Gizi ima natančno določene dimenzije. Seked naklonskega kota pri tej piramidi je 21 palčev, odstopanje pa je ravno tako manj kot 1'. V tabeli 1 so zapisane dimenzije 22 piramid. V sedmem stolpču tabele 1 je zapisano razmerje med polovičnim robom in višino piramide v idealiziranem primeru. Ce je imenovaleč enak 28, je števeč enak sekedu. V osmem stolpču je zapisana razlika med kotom, ki ga dobimo z idealiziranim razmerjem in razmerjem, ki je izračunamo iz podatkov v četrtem in petem stolpču. Iz tabele 1 preberemo, da ima 16 od 22 piramid čeloštevilčni seked. Pri nadaljnjih treh piramidah dobimo dobro ujemanje, če v definičiji za seked kraljevi komoleč, ki meri 28 palčev, nadomestimo z navadnim komolčem, ki meri 24 palčev. Vidimo, da so v tabeli le štiri piramide, katerih seked kota se v nobenem primeru ne izraža čeloštevilčno. To so piramide 2, 3, 20 in 21. V tabeli smo jih ozna- 9 PRESEK 42 (2014/2015) 5 MATEMATIKA —^ cili z znakom □. Za piramido 3 vemo, da nima kvadratnega tlorisa. Piramide s celoštevilčnim sekedom, ki ne spadajo v nobeno od teh kategorij, smo označili z znakom Zakaj meri seked naklonskega kota Keopsove piramide 22 palcev? Pri sekedu 22 palcev se razmerje stranic v središčnem pravokotnem trikotniku približa razmerju stranic zlatega trikotnika. Ker zlati rez v zgodovini Egipta ni bil nikoli omenjen, ne smemo podleci skušnjavi, da bi trdili, da je bil zlati trikotnik namerno izbran. Seked 21 palcev bi bil razumljiv, ker je v mejah, v katerih se da varno graditi piramide; poleg tega je razmerje stranic središcnega pravokotnega trikotnika enako 3:4:5 (pitagorejska trojica). Pitagorejske trojice so uporabljali za dolocanje pravih kotov pri gradnji piramid (glej sliko 4). Pitagorov izrek so v Egiptu poznali, vendar ga v tistem casu niso imenovali tako, ker je moralo preteci vec kot 1500 let, da je Pitagora ugledal luc sveta. Ce-loštevilcni sekedi naklonskih kotov piramid merijo 18, 20, 21, 22 in 24 palcev. V poštev pri gradnji velike piramide prideta sekeda 21 in 22 palcev, manjši so prevec tvegani, vecji pa prevec potratni, kar se tice gradbenega materiala. Vidimo, da izbira ni bila velika. Do zacetka gradnje Keopsove piramide ni bilo uspešno dograjene vecje piramide s sekedom, manjšim od 22 palcev. Lahko recemo, da graditelji Keopsove piramide, vedoc, da gradijo najvecjo piramido doslej, niso hoteli tvegali in so izbrali seked 22 palcev. Šele po uspehu Keopsove piramide so pri gradnji Kefrenove tvegali seked 21 palcev. Zaključek Želeli smo poudariti, da so graditelji piramid izbirali dimenzije tako, da vecinoma ustrezajo celošte-vilcnemu sekedu, ce upoštevamo, da je pri nekaterih potrebno kraljevi komolec nadomestiti z navadnim. Tudi pri piramidah, pri katerih seked ni celoštevil-cen, se razmerje med višino in osnovnim robom izraža s kvocientom majhnih celih števil. Celoštevilcne podatke je preprosteje zapisati v navodila graditeljem. Izbor celoštevilcnega sekeda pri upoštevanju robnih pogojev, kot sta varcnost pri uporabi materiala in varnost, je zelo omejen. In lahko recemo, SLIKA 4. Konstrukcija pravega kota. 3:4:5. Zgoraj: 3 + 4 + 5 = 12, spodaj: da niso izbrali sekeda 22 palcev zaradi skritega zlatega trikotnika, ampak ker se nahaja v »zlati sredini« kompromisa med varnostjo in varcevanjem. V resnici je graditelje bolj privlacil seked 21 palcev, ker v sebi skriva pitagorejsko trojico, ki so jo brez dvoma poznali. _ XXX www.presek.si 10 PRESEK 42 (2014/2015) 5