P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 5 Strani 294-299
Marko in Nada Razpet:
KVADRATNO KOLO, VERIŽNICA IN TRAKTRISA
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1350-Razpet.pdf
© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2009 DMFA - založništvo
KVADRATNO KOLO, VERIŽNIGA IN TR AK T RIS A
Vožnja z avtom ali kolesom po cestnih grbinah ni nič kaj prijetna. Kolesa so okrogla in se jim prilagajajo. Osi koles se pri tem dvigajo in ^puščajo, z njimi vred pa tudi voznik. Ali ne bi nemara prešli na drugačna kolesa, recimo kvadratna? Pri iskanju odgovora na zastavljeno vprašanje, bomo zadevo poenostavili. Privzeli bomo, da so vse grbine enake. Poenostavljene razmere prikazuje slika 1.
Postavimo vprašanje: Kakšen naj bo vzdolžni profil vodoravne ceste, da se bo kvadratno kolo brez drsenja kot&JiJo po nje;, pri (eni pa se /jo središče kdfesa (os) ves čas gibalo vodoravno?
Za lažjo obravnavo poiščimo tako ravninsko krivuljo, da. se bo kvadrat s stranico 2a s spodnje strani lepo, lire z drsenja, kotalil po njej. Pri tem naj središče kvadrata ves čas leži na vodoravni premici. Takti krivulja mora imeti dolžino 2a, zaradi simetričnosti kvadrata pa mora biti tudi sama simetrična. Ko bomo tako krivuljo našli, bomo vzeli samo en njen del in tako bo določen tudi sam profil ceste.
Vzemimo torej gladko krivuljo K, v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy. Tangcnta na K, v točki A naj bo vzporedna z osjo x. Točka A ima koordinati (0, a).
Središče C kotalečega se kvadrata naj bo stalno na osi x. Na krivulji K lahko v vsaki njeni točki S(x,y) postavimo pravokotni koordinatni sistem Sx'y' tako. kot prikazuje slika 2. Pri tem je y = f(x), kjer je / funkcija, ki jo iščemo. Os x naj bo tangenta na K v točki S, os y' pa pravokotnica na tange» t. o (uormala) v točki S. Ko točka S potuje po krivulji ¿C, se os x' ziblje na krivulji, os y' pa opleta po ravnini. Ko je S v A, je C' v O. Tedaj ima C' v sistemu Sx y' koordinati (0, —a).
Zaradi simetrije glede na os y je dovolj, da krivuljo K. obravnavamo le v prvem kvadrantu, Naj bo s dolžina krivulje od točke A do poljubne točke S na IC. Točka C ' ima v sistemu Sx 'y' koordinati (—.s, -a). Kakšne
Tangenta na K v točki S ima nak Ionski kot ¡3.
V Preseku smo že večkrat brali, kako lahko uporabljamo kompleksna števila. Med drugim tudi to. da množenje danega kompleksnega števila s ros [} + i sin /3 pomeni zasuk točke, ki temu številu pripada v ravnini kompleksnih števil, okrog točke, ki ustreza številu 0. in sicer za kot /3. Bodita
z(S) = x + iy in z(C ') = £ + ir)	(la)
kompleksni števili, ki ustrezata točkama S{x.y) in C '(£, 77). potem ko smo ravnino Oxy poistovetili z ravnino kompleksnih števil.
Produkt (—s — ia) (eos 3 + i sin ¡3) predstavlja zasuk točke C ' za kot ¡i okrog točke S. Iz slike 2 sledi
z{C') = z(S) + (-s -¿ci)(cos/3 + i sin/3) .	(lb)
Ko izenačimo realna in imaginarna dela na obeh straneh enačbe (lb), dobimo koordinati (i. r)) točke C' v sistemu Oxy
f = z 4- a sin 0 — s cos/J , = f(x) — ficos/3 — s sin f} ,	(2)
Naloga zahteva, da je t/ = 0 za vsak x, Torej
y{x) — a cos 3 H- s sin /3.	(3)
Označimo odvod funkcije f (x) k p{.c) in se spomnimo, da je odvod funkcije / v točki x enak tangensu nakIonskega kota /3 ta.ngente hm. krivuljo y = f{x) v točki S(x, f(x)). Tbrej velja p(x) = t;vn¡3. Diferencial da loka krivulje y — f (ar) lahko, kol je znano, izrazimo v obliki ds — \Jp2(x) -f 1 dx. Iz te enačbe dobimo ds — \Jt.an2 /3+1 dx =	Torej dx — cos /3 ds in dy =
= f '(a;) dx = tan /3 cos ¡3 ds = sin (3 ds.
Enačbo (3) na obeh straneh diferenciramo in pri tem upoštevamo prejšnje ugotovitve
sin /3 ds = —o sin /3 d.p + sin /3 ds + s cos 8 dj.3 .	(4)
Po poenostavitvi in krajšanju pridemo t i o enačbe
iisin /3 = scos/3 .	(5)
Rezultat upoštevamo v enačbi (2) in dobimo £ = x. To pa pomeni, da jc točka C ' ravno pravokotna projekcija točke S na os tako kot kaže slika 2. Tedaj je
tanS = - = -b.	(G)
a a
Iskana krivulja ima torej lastnost:
Naklon tangente v katerikoli točki .S krivulje je sorazmeren z dolžino krivulje od točke A, v kateri je tangenta na krivuljo vodoravna, do točke S.
Krivulja s to lastnostjo je verižnica. Tako obliko zavzame idealna verižica, ko se umiri, če jo obesimo v dveh točkah, ki nista na isti vertikali. Starejši bralci Preseka se bodo morda spomnili, da je o verižnici pisal Andrej Likar v članku Veriga in oboki (glej Presek, letnik 18, 1990/91, Št. 3).
Ker ima krivulja K, v točki .4(0, a} vodoravno tangento, mora funkcija f izpolnjevati začetna pogoja /(0) = a in / (0) = 0.
Kako zapisati enačbo verižnice? Računi potekajo precej preprosto, če uporabimo funkciji hiperbolični kosinus (cosb) in hiperbolični sinus (sinil), ki sta definirani za vsako realno spremenljivko a; s formulama
cosh x = ^(e1 + e~x) , srahaf — ^ (e* — e-*) .	(7)
Prva funkcija je soda, zavzame pri Ü najmanjšo vrednost coshO = 1, vsako od 1 večjo vrednost pa natanko dvakrat- Druga funkcija je liha, pri Ü ima vrednost sinliÜ = Ü in zavzame vsako realno vrednost natanko enkrat. Obe Funkciji povezuje enakost cosh2 x — sinh 1=1. Pa tudi odvoda sta preprosta
(coshz) ' = sinh x , (sinh .t) ' = cosh x .	(8)
Funkcija sinli ima inverzno funkcijo, ki jo imenujemo area hiperbolični sinus (asinh). Zožitev funkcije cosli na pol t rak [0, -f-oo) ima inverzno funkcijo, imenovano area hiperbolični kosinus (acosh). Obe se izražata z naravnim logaritmom takole
acosh x = ln(z + \]x2- — I) , asinh x = ln(x + x2 -f 1) . (9) Za njuna odvoda pa velja
facosh,t}' = —	, (asinh:r)' =—, ^	(10)
' y/x^TT
Polščimo sedaj enačba verižnice iz enačbe (6). Dolžino loka. s, ki se z absciso x točke S spreminja, izračunamo z integralom
-rv,
J o
= / vyW i 1A.	(11)
Torej je s '(i) = \Jp2 (i) + 1. Enačbo (6) prepišemo v obliko p(x) — nato obe strani odvajamo in dobimo preprosto diferencialno enačbo
p'<*) = Vp2W + l,	(12)
iz nje pa
p'(x)
\fp2{x) + I «
(13)
Leva stran enačbe (13) je ravno (asinhp(i)) desna pa (~) Enakost odvodov pomeni, da se nastopajoči funkciji razlikujeta za konstanto c
asinhp(3:) =—(-c.	(14)
a
Ker pa je jj(0) = /'(ü) — 0 in asinh 0 = 0, dobimo c = 0 in p(x) = sinh Tako smo že korak bliže rešitvi
p(x) = / '(ar) = sinh — .	(15)
To pomeni, da je /(a:) = a cosb ~ +d, kjer je d neka konstanta. Ker je cosh 0 = 1 in /(0) = a, dobimo d = 0, in enačba verižnice je
y = /(ar) = acosh — .	(16)
Za kotaljenje kvadrata s stranico 2a pride v poštev samo tisti del verižnice (10), za katerega je |/'(ar)| < 1. V kraj išči h loka mora naklonski kot stranice kotalečega se kvadrata biti j oziroma Tako pridemo do zahteve |šinha;a| < 1 oziroma < as in h 1 - hi(l -I- V^), Dolžina lega dela je ravno dolžina stranice kvadrata. Po fortnnli (11) je
/aasinlil __raasinhl I	~
vV(0 + 1 dt = 2 J	y sinh2 - -h 1 dt. (17)
S poenostavitvijo in s substitucijo u = £ In h ko ta integral izračunamo
/■aainh 1
s = 2a	cosh m du — 2asinh u |^inhl = 2a .	(18)
j d
Tako smo prišli do konca: Del krivulje, po kateri se brez drsenja kotali kvadrat s stranico 2a, tako da pri tem njegovo središče ves čas potuje po osi je verižnica y = a cosh - nad intervalom [—a In(i + \/2). a Take loke potem poljubno zvezno nadaljujemo levo in desno vzdolž osi x. Pri tem se verižnica povzpne od y = a do y — a 1/2. Višina grbin je torej a(y/Ž- 1),
Kakšna pa je povezava vsega tega s traktriso ali vlečnico? Opazujmo na sliki 2 gibanje točke T. ki je središče zgornje stranice kotalečega se kvadrata. Ko je ta stranica vzporedna z osjo x. je T v A. Pri ko taljenju kvadrata se točka T giblje po krivulji, kot kaže slika 3. Pri tem je razdalja med T in S' (središčem kvadrata), ki se giblje po osi x, stalno enaka. a. To pa je značilno za traktriso. Bralci Preseka, so jo najbrž že srečah (glej Boris Lavrič, TraJrfrisa, Presek, letnik 17, 1989/90, št. 5). Na vodoravni ravnini opisuje traktriso točkasta masa, ki je privezana na neraztegljivi niti. katere prosti konec počasi vlečemo po premici v tej ravnini. Ta premica je asimptota traktrise.
Slika 3.
Slika 3 pomaga, da določimo koordinati (£,»;) točke T kot funkciji kota n. Iz pravokotnega trikotnika TT 'S' izračunamo ti = a sin o. Nekoliko več dela je z absciso Kot doslej naj bo x abscisa točke S.
Na sliki 3 vidimo, da sta kota a in (i komplementarna in da je a = = fl sina = a cosb — sina. Iz te povezave sledi x = a acosh ——. Z
J	n	1	sintt
uporabo enakosti (9) in nekaterih trigononietrijskih formul dobimo
a
£ — x — a cos« = n(ln cot — — cosa),	(19)
To velja za trakt riso v prvem kvadrantu. Za celotno trakt riso je ugodneje vpeljati kotu n suplementaren kot / = n — a. to je naklonski kot tangente na traktriso. Koordinat i poljubne točke T(£, Tj) na traktrisi lahko izrazimo v obliki
£ = a(lri tau — + cos i) , r/ = o sili t .	(20)
To sta parametrični enačbi traktrise. Parameter t se spreminja od 0 do tt. Ko t raste od 0 proti potuje točka T po drugem kvadrantu, se dviga od abscisne osi proti najvišji točki /1(0,«), ki jo doseže pri t = Ko t narašča od ^ proti tt, se T spušča v prvem kvadrantu proti abscisni osi. Abscisna osje asimptota traktrise, dane z enačbama (20).
Marki> in Nada Razpet