: . • • , • ,;1 .' • '. . . . . ,.,. '\ . .' DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SRS LETNIK 15, 1987-88, PRESEK MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNiŠTVO NALOGE NOVICE NOVE KNJIGE MATEMATIKA RAZVEDRILO NA OVITKU list za mlade matematike, fizike, astronome ter računalnikarje, 15 (1987/88) št. 1, str. 1 - 64 VSEBINA Matrike kot posplošitev pojma števila. 1. del (Anton Suhadolc) 2 Če mu naj verjamem, čem~ naj verj amem? (Vilko [bmajnko) 8 Obrat Ptolomejevega izreka (Š. Arsl anagič, D. Milošev ič. prevedel in priredil Tomaž Košir) 11 Planet malega princa (Janez Strnad) 14 Začetki merjenja v astronomiji - Aristarh in Eratosten (Janez Strnad) . . . •. . . . . . . . . . . . . . 22 Reševanje enačb z metodo zaporednih približkov (Marjan Jerman po gradivu D . Grešaka) 28 Krivulje in Hisoft pascal (Marko Razpet) . . . . . 33 Mačka in miška (Rok Sosič) . . . . . . . . . . . . 36 Nekaj matematičnih nalog za osnovnošolce - rešitve str . 61 (Učitelji matematike in fizike iz Stovenjskih Konjic. 40 Naloga o Luninih menah - rešitev str. 64 (Janez Ferbar, ilustriral Matjaž Schmidt) . . . . . . . . . . . . . . . . 1,43 Kako nisva postala milionarja (Boris Horvat, Miro Jozelj, foto Mar jan Smerke) IV, 44 B .M.Ševarlič. Kratka zgodovina astronomije. 2.del (Bogdan Kilar) '" . . . . . 51 Knjižnica Sigma (Ciril Velkovrh) III Kotne funkcije (Damjan Kobal) 56 BISTROVIDEC -Staroindijska naloga (Vladimir Batagelj) . 7 PISMA BRALCEV J\st ronomske revije (Ciril Velkovrh) . . . . . . . 13 Kdo si zasluži največjo nagrado (Samo Dreo) 42 KRIŽANKA - Trikotniške formule (Franci Oblak) 52 PREMISLI IN REŠi Smrketa na jezeru (Franci Oblak) 53 Razdeliva si vino - rešitev iz P XIV / 6 (Peter Petek) 54 BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES Rdeči križ in rdeči polmesec (F ranci Oblak) . . . . 21 Odvedljivost "AH" in "OH" (Goran Miloševič) o' 50 Črna ovca, natančna površnost in nora natančnost (Damjan Kobal) 53 Razmislimo in nasmejmo se (Izbral i Marija Krauthaker in Nadja Ivanc Miloševič) o ' 10,27,63 Matjaž Schmidt, Lunine mene - tempera in ameriška retuša, 1987. Kje je umetnik pogrešil? . . •. ... . Tudi dodekaeder se vrti (glej članek na str. 44) (Foto Marjan Smerke) IV I KOMISIJA ZA TISK DMFA SRS 61111 Ljubljana, pp 64 Jadranska c. 19, tel.št. (061) 265.Q61 NAROČILNICA Za šolsko leto 1987/88 naročamo izvodov PRESEKA - lista za mlade matematike, fizike, astronome in ra čunalnika rie po ceni za posameznike 2.700.-din in za skupinska naročila na šolah 1.8oo .-din. Šola Priimek in ime . Naslov (ulica, hišna številka, številka pošte in kraj) " . Naročilo bomo poravnali do konca koledarskega leta. Datum . Žig in podpis PRESEK - LIST ZA MLADE MATEMATIKE, FIZIKE, ASTRONOME IN RAČUNALNIKARJE 15. letnik, šolsko leto 1987/88, številka 1, strani 1 - 64 UREDNiŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj. Dušica Boben (pisma bralcev, stavljenje teksta), Franci Forstnerič (matematika), Bojan Golli (tekmovanja iz fizike), Marjan Hribar (fizika), Andrej Kmet, Damjan Kobal, Jože Kotnik, Edvard Kramar, Sandi Klavžar in Matija Lokar (računalništvo). Gorazd Lešnjak (tekmovanja iz matematike), Franci Oblak, Peter Petek (premisli in rešil, Pavla Ranzinger (astronomija), Tomaž Skulj. Anton Suhadolc (glavni urednik), Ivanka Šircelj (jezikovni pregled), Miha Štalec (r isbe), Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, novice). Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov: Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19,61111 Ljubljana, p.p, 64, tel. (061) 265 - 061 /53, št. žiro računa 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1987 /88 je za posamezna naročila 2.700.- b. Za matrike se ne da definirati relacija A > 8 tako, da bi ta relacija imela iste lastnosti kot relacija a > b za realni števili . Seveda bi mogli poskusiti z očitno idejo A >8, če je a > e, b > t, e >9 in d > h. Če vzamemo npr. potem očitno ne velja niti A < 8 niti A = 8 niti A > 8. Zato zaenkrat opustimo misel na to, kako bi primerjali dve matriki. Doslej smo spoznali, da lahko seštejemo in odštejemo poljubni matriki, pa tudi matrika znamo množiti s številom. Za te operacije veljajo "običajni" računski zakoni. Števila se dajo med seboi tudi množiti, pa se vprašajmo, ali 4 se da definirati tudi produkt dveh matrik . Da se, pa še na različne načine. Izka- zalo se je, da je v matematiki koristna predvsem tale definicija produkta dveh matrik A in B, kjer pa moramo povedati, katera matrika je prvi in katera drugi faktor v produktu. [ ae +bg AB= ce +dg af+ bh ] cf + dh (7) Predpis za izračun produkta je dokaj zamotan. Opazimo pa tole: element matrike AB, ki je v prv i vrstici in v prvem stolpcu, tj . ae + bg, izračunamo tako, da elementa prve vrstice rnatrike A pomnožimo z istoležnima elementoma prvega stolpca matrike B in produkta seštejemo . Podobno velja za ostale ele- mente matr ike AB. Npr. element v drugi vrstici in v prvem stolpcu matrike AB dob imo tako, da elementa druge vrstice matrike A pomnožimo zelementoma prvega stolpca matrike B in produkta seštejemo. Primer: Produkt smo izračunali po navodilu (7). Izračunajmo za vajo še produkt matr ik A in B v drugem vrstnem redu , torej BA. Rezultat nas preseneti: BA ni enako AB! Tako smo spoznali, da množenje matrik ni komutativno . Če za dan i matriki A in B velja AB =BA , rečemo , da sta matriki A in B zamen ljivi ali komutativni. Naloga : Pom noži matriko A iz enačbe (1) z matriko O. Kratek račun nam pokaže, da veljata enačbi A.O = O in O.A =O. Od tod spo- znamo dvoje: matrika O se vede pri produktu tako kot število o pri množenju števil in matrika O komutira z vsako matriko. Spet smo radovedni. Ali komutira matrika A samo z matriko O? Odgovor je ne. Matrika A kornutira npr. tudi sama s seboj: A.A = A.A. Pa si zadajmo nalogo: poišči vse matrike, ki komutirajo z dano matriko A, kjer je 5 Če neka matrika X komutira zA, potem sevedavelja A.X = x.A. Pa naj bo iskana matrika X Izračunamo oba produkta A.X in X.A in dobimo (8) [ 2x +z A.X= 3z 2 Y +UJ 3u [ 2x X.A = 2z x + 3Y] z + 3u x, y poljubni števili PO definiciji enakosti dveh matrik sledijo iz pogoja A.X = X.A štiri linearne enačbe 2x+z=2x 3z=2z 2y+u=x+3y 3u=z+3u Prva enačba pove z = O, prav to trdi tudi druga enačba . Tretjo prepišemo v obliki u = x + y, četrta pa spet zahteva z = O. Rešitev zgornjega sistema enačb je torej z = O,U = x + y Neznanki x in y sta poljubni števili. Zato ima matrična enačba A.X = X.A neskončno mnogo rešitev, danih s formulo X= [: :+Y]' Zapišimo nekaj posebnih primerov matrike X. Pri x = 1 in y = Odobimo (9) pri izb iri x = 1 in y = 1 pa X =[~ ~] . Za x =O in y =Odobimo spet X =O. Naloga: Poišči vse matrike, ki komutirajo z matriko A iz enačbe (1)! Račun poteka podobno kot zgoraj. Z nekaj več truda se da pokazati, da ta matrika Akomutira natanko s tistimi matrikami X, ki se dajo zapisati vobliki X = kA + hI, kjer sta k in h poljubni števili. Za produkt treh števil velja računski zakon (ab)e = a(be), tj. asociativnost množenja . Enostaven, a daljši račun pokaže, da velja tudi za poljubne tri matri- ke A , B in C asociativnostni zakon (AB)C = A (BC). Za računanje s števili velja tudi distributivnostni zakon , tj. alb + e) = ab + ae. Tudi za množenje in sešte- 6 vanje matrik velja podobno, zaradi nekomutativnosti množenja imamo celo dva distributivnostna zakona A(B +C) =AB +AC (A +B)C=AC+BC Dokaz teh dveh pravil je daljši, zato ga opustimo. Pri množenju števil ima odlično vlogo število 1, saj velja a.1 = 1.a = a za vsako število a. Ali obstaja tudi taka matrika X, da bo za vsako matriko A veljalo A.X =X,A =A? Naj ima iskana matrika X obliko (8), Izračunajmo A.X. [ ax + bz aY+bU] A.X= cx +dz cy +du Če naj bo A.X = A, morajo veljati naslednje štiri enačbe ax +bz = a ay +bu = b cx +dz =c cy +du =d za poljubno matriko A, tj. za poljubna števila a, b, c in d. Pa vzemimo npr . a = 1, b = O, c =O in d = 1. Prva enačba zahteva x = 1, druga y = O, tretja z = O in četrta u = 1. Dobili smo X =1, kjer je I matrika iz enačbe (9). S kratkim ra- čunom preverimo, da je za vsako matriko A izpolnjena enačbaA.I = I. A = A. Matrika I ima torej podobno vlogo pri množenju matrik kot število 1 pri mno- ženju števil. Zato imenujemo matriko I enotsko matriko ali tudi matrično enoto. Anton Suhadolc BISTROVIDEC STAROINDIJSKA NALOGA Neko število smo najprej pomnožili s 3. Zmnožek smo povečali za 3/4 njegove vrednosti. Dobljeno število smo delili s 7, nato smo 2/3 tako dobljenega števila pomnožili sami s seboj in od tega odšteli 52 ter zatem korenili. Na koncu smo še prišteli 8 in delili z 10. Povej mi začetno število, če smo na koncu dobili število 2. Vladimir Batagelj 7 CE MU NAJ VERJAMEM, CEMU NAJ VERJAMEM? "Ojoj! Kako čudno je danes vse! Včeraj je pa vse še potekalo kot po navadi. Sem se čez noč tako spremenila? No, pomislimo malo : sem bila še ista, ko sem davi vstala? Skoraj se mi zdi, da se spominjam, da sem se že počutila malo dru- gače! Če pa nisem ista, se moram najprej vprašati: kdo pa sem potem? Saj, saj, to je največja uganka!" ln tedaj je zapovrstjo pomislila na vse otroke svoje starosti, kar jih je poznala, da bi ugotovila, ali se je morda spremenila v katere- ga izmed njih . "Ada že nisem," si je rekla , "Ada ima tako dolge kodre, jaz pa imam čisto gladke lase! ln Mabel tudi ne morem biti, ker jaz veliko vem, ona ve pa tako malo! Razen tega je ona ona, jaz sem pa jaz, in - šmentana stvar, kako vse to človeku zmede glavo! Bom zdaj preizkusila, ali še vem vse, kar sem zmeraj vedela . No, poglejmo: štirikrat pet je dvanajst, in štirikrat šest je trinajst, in štirikrat sedem je ... Ojoj! Če bom tako počasna, nikoli ne pridem do dvajset ..' No, večina nas ve - Alica je bilo ime dekletu, ki se je v Čudežni deželi ukvarjalo s takšnim premišljevanjem. Njena zgodba je polna nadvse zanimivo postavljenih ugank. In kar je še .bo lj zanimivo od te zanimivosti - rešitve so ali pa niso, a oboje se enako zanimivo bere. Zares zanimivo! No in zdaj vemo to vsi! Knjigo vsekakor priporočam v pozorno branje slehernemu "mlademu" matematiku. Sicer se pa zdaj raje sprav imo na Aličino poštevanko. Preberimo jo še enkrat: 4 * 5 12 4 * 6 13 4 * 7 Zvezdica tukaj pomeni znak za Aličino množenje. In ker se to ne-koliko razl ikuje od našega običajnega množenja, mora bit i tudi znak zanj drugačen od pike! Pa pika. Kar mimogrede vam natrosim kup vprašanj: Kako je Alica prišla do tega svojega množenja? Kakšno pravilo je zanj uporabila? Ali je potem za naslednji produkt (glej tri pikice) res pričakovati število štirinajst? ln zakaj Alica meni, da na tak počasen način nikdar ne bo prišla do števila dvaiset? Prvo vprašanje (lam pomaga razrešiti "Aličina logika", ki pravi : Matematika ima svoje zakone samo zato, da jih njeni učenci kršijo , kajti 8 če jih ne bi kršili, jih tudi rabili ne bi! Tako in pika. Torej je Alica pač prelomila stare matematičnezakone množenja v množi- ci N in si postavila svoje . Nove. Takole je definirala: a * b = a + b + 3 Poglej , potem je pa res 4 * 5 4 * 6 4 + 5 + 3 4 + 6 + 3 12 13 ln odgovor na drugo vprašanje je sedaj seveda smešne teže. Toda pazi - Alica je pač na tem mestu morala poseči vmes s svojo pripom- bo . Kar naravnost je povprašala, ali so teže lahko smešne ali pa tega ne smeš tako reči. Zapisati , seveda. Dokler se to ne razreši, se pa tudi odgovor ne pove! Če se sploh kdaj kaj samo od sebe zgod i. Odgovor na moje tretje vprašanje pa dobimo, če bolj na drobno prislu- hnemo Carrollu Lewisu . V njegovih časih so se rosni šolarji učili poštevanke kar iz tablic . Nič na prste, kajti prstov je le deset, tablice pa so bile napisane za množenje števil vse tja do dvanajst. Torej: štiri krat pet, štiri krat šest, ... do štiri krat dvanajst. Tako. Povedal sem. Ali je pretežko, ali je preveč zavito? No, pa potežkaj pap ir v roki, povej, ali se da tej reči z na-ravno mislijo ustreči? Tako, zdaj pa vemo že skoraj vse. Tistega sicer res še ne: ali za Aličino množenje velja zakon o zamenjavi in ali za Aličino množenje velja zakon o združevanju? ln "Alič ina logika " pravi o tem: Nikdar ne smeš reči, da so te reči smešne ! Zatorej gremo raje dalje , tja za torej - kjer si Alica izmisli novo definicijo množenja: a * b je število črk v stavku: "e" krat "b", Torej : štiri krat pet ima dvanajst črk, štiri krat šest ima tr inajst črk, štiri krat sedem ima ... črk. Poglej, poglej! Saj se tako definirano množenje vendar ujema s prvima dve- ma primeroma iz Aličine prave zgodbe! Menda tudi s tretjim, ampak to ta trenutek sploh ni tako zelo in od sile važno. Že Alica sama ga je zamolčala . Zanimivo je, da se Aličina bojazen v tem primeru prav srhljivo uresničuje. 9 S tako definiranim množenjem se namreč zares ne pride ne vem kako hitro do dvajset. Poglejmo: 4 * 8 = 13 4 * 13 17 4 * 18 18 4 * 9 = 14 4 * 14 19 4 * 19 19 4 *10 = 14 4 * 15 17 4 * 20 16 4 *11 15 4 * 16 18 4 * 21 21 4 *12 = 17 4 * 17 19 Hja, ali se potem pride do dvajset ne vem kako? Ali dvajset res ni nikdar mogoče dobiti? Ali ga je potem mogoče dobiti zmeraj razen nikdar? No, če vam pride še kakšno vprašanje na misel, ga lahko mirne duše pri- taknete h gornjim . In še bolje bo, če boste tam, na misli, srečali tudi kak odqo- vor na gornja vprašanja . Predvsem pa poskusite ugotoviti, ali je v tako definirani Aličini poštevanki štirikratnik kakšnega naravnega števila enak številu dvajset. ln - poskušajte poiskati še kakšno definicijo za Aličino poštevanko! Ujemati se mora seve da z njenima dvema izjavama 4 * 5 12 4 * 6 13 Povem vam, da jih "Aličina logika" vsebuje še precej. ln nikar se pri tem ne ogibajte živahni domišljiji . In - saj brez tega ne gre - ne pozabite nam poslati svojih razmislekov! Vilko Domajnko RAZMISLIMO IN NASMEJMO SE! Ob 12 uri ponoči pada dež . Ali lahko pričakujemo, da bo čez 72 ur sončno? Dolžina žice med dvema telefonskima drogovoma meri 40 m, najnižja točka žice pa je 10 m nad zemljo. Koliko meri razdalja med njima, če sta visoka 30 m? Kapetan ladje ima brata, njegov brat pa nima brata. Kdo je kapetan ladje? Izbrali: Marija Krauthaker Nadja Ivanc Miloševi6 10 OBRAT PTOLEMEJEVEGA* IZREKA V geometriji je znan Ptolemejev izrek: V vsakem tetivnem četverokotniku ABCD je produkt dolžin obeh diagonal enak vsoti produktov dolžin nasproti ležečih stranic AC. BD =AB. CD + BC . DA V matematični literaturi najdemo več dokazov tega izreka. V tem članku pa bomo podali dva dokaza obrata Ptolemejevega izreka: Če v konveksnem četverokotniku ABCD velja AC. BD = AB. CD + BC. DA je ta četverokotnik tetivni. " Dokaz 1. Podan je konveksni četverokotnikABCD. Označimo stranice AB =a, BC = b, CD = e in DA = d , diagonali AC = e, BD = f ter kote 4DAB = a, 4 BCD = r in 4 (AC, BD) = I/J (slika 1). Ploščina četverokotnika ABCD je ena- ka vsoti ploščin trikotnikov ABD in BCD: P = 1/2 ad sina + 1/2 be sirry, ali 4p =2ad sina + 2be sinr (1) Ker je diagonala f skupna stranica trikotnikoma ABD in BCD, z uporabo kosi- nusovega izreka dobimo b2 + e2 - 2be cosv = a2 +d2 - 2ad cosa ali b2 + e2 - a2 - d2 = 2be cosr - 2ad cosa (2) Iz enakosti (1) in (2) sledi: (4P)2+(b2_e2_a2_d2)2 = (2ad sina - 2be sinr)2+(2be cosr - 2ad cosul? Od tod z nekaj računanja pridemo do enakosti: 16p2 = 4(ad +bc)2_(b2+c2_a 2_d2)2 - 16abcd cos? a;"Y (3) -... ...... Skalarni produkt vektorjev AC in BD nam bo pomagal najti še drugo enačbo za kvadrat ploščine P: --lI>~ --:.. -.:lo __ ~--30 -1l.-"'" AC.BD =AC.(AD - AB) =AC.AD - AC.AB (4) upoštevajmo pomen skalarnega produkta in uporabimo kosinusov izrek za tri- kotnika ACD in ABC: ef.cosl/J = 1/2 (e2 +d2 - e2) -1/2(e2 +a2 _b2) 2ef cosl/J = b2 + d2 - a2 - e2 ali * Klavdij Ptolemej (2. stol .). grški matematik, astronom in geograf 11 (6) (7) Ker je ploščina četverokotnika ABGD enaka P = 1/2 ef.sin l/J, lahko zapišemo: 16p2 = 4 e2 f sin2 l/J = 4 e2 f (1 - cos2 l/J ) (5) Iz (4) in (5) sledi: 16p2 = 4e2 f2 _ (b2 + d 2 _ a2 _ c2 ) 2 Če izenačimo (3) in (6) , dobimo 4abcd cos?~~-= (ac +bd) 2 - e2 f 2 Upoštevajmo v (7) pogoj izreka ef = ac +bd 4abcd cos? _~J: = O 2 Torej mora biti a + 1 = 180 0 . Ker je četverokotnik , v katerem je vsota nasprotn ih kotov 180 0 ,. tetivni četve­ rokotnik, je izrek dokazan. A a Sl ika c A Slika 2 a B Dokaz 2. lzberirno točko E, da bo veljalo: ;(;,.EA D = 1 in ;(;,.EDB = ;(;,.GDB (slika 2). Označimo Še ;(;,. EDB = ;(;,. GOA = lj. Ker sta si trikotnika AED in DBG podobna , velja ~E=E..~=5.E. ali ED=l}...f in EA=l}...hco BC OB c ' c Uporab imo kosinusov izrek za trikotnike AEB, EDB in AGO: EB2 = 2:- .b2 + a2 - ~~!!.cf- cos(a + 1) c 2 c 12 (8) (9) (10) Če upoštevamo gornje tri enakosti (8), (9) in (10), lahko zapišemo: e2(2 = a2c2 + b2d2 - 2abcd costa + 1') (11) Ker smo predpostavili zvezo ef= ac + bd, iz enakosti (11) sledi cos(a + 1') =-1 oziroma a + l' =1800 . Četverokotnik ABCD je tetivni. Povejmo še to , da dokaz obrata Ptolemejevega izreka s pomočjo inverz ije najdemo v knjigah: 1. P.S .Modenov, Zadačipo geometrii, Nauka, Moskva 1979, str. 254; 2. LJ. Bakeljman, Inversija , Nauka , Moskva 1966, str. 52. Pripomba: S pomočjo enakosti (7) oziroma enakosti (11) zlahka dokažemo tudi Ptolemejev izrek. Šefket Arsteneqič,Dragoljub Miloševic prevedel in priredil Tomaž Košir PISMA BRALCEV Edi Hribšek iz Trbovelj je poslal na naš naslov pismo z vprašanjem, kje bi se lahko naročil na kakšno astronomsko revijo . Njemu in drugim naročnikom, ki se zanimajo za astronomijo, sporočamo, da Presek - list za mlade matema- tike, fizike in astronome ter računalnikarje prejema v zameno naslednje astronomske revije iz Jugoslavije : 1. Bolid - Astronomski glasnik. - Zvezdarn ica, 41001 Zagreb, Opatička 22, pp 943 2. Čovek i vsemir. - Zvezdarnica, 41001 Zagreb, Opatička 22, pp 943 3 . Galaksija. - Beograd 4. Astronom. - Astronomsko društvo Javornik 5. Vasiona - Beograd, Narodna observatorija (Kalemegdan), Gornji Grad 6, 11000 Beograd V okviru Presekove knjižnice pa izhaja tudi brošura NAŠE NEBO IN ZEMLJA z mnogimi tabelaričnimi podatki astronomskih efemerid in drugih podatkov o umetnih zemeljskih satelitih in potresih pri nas in v svetu. Ciril Velkovrh 13 '-,-/'/",-,L "" PLANET MALEGA PRINCA Francoski pisatelj in letalec Anto ine de Saint-Exupery (1900-1944) je napi- sal Malega princa, prisrčno knjižico za otroke in odrasle. Pustimo mu do bese - de, naj pove, kaj se mu je primerilo , ko je moral z letalom zaradi okvare v mo- to rju prisilno pristati v Sahari: "In tako sem prvi večer zaspal v pesku, tisoč milj daleč od človešk ih bivališč .:: Lahko si mislite , kako sem bil presenečen, ko me je zbudil droben glasek ... Skočil sem pokonci, kot da bi me oplazila strela. Pomel sem si oči. Ostrmel sem . Zagledal sem drobcenega, navadnega dečka, ki je resno zrl vame oo. Tako sem zvedel drugo zelo važno stvar: njegov domači planet je bil komaj kaj večji od hiše oo' Imam tehtne razloge za domne- vo, da prihaja Mali princ z asteraida B 612. Ta asteroid je enkrat samkrat, leta 1909, zasledil s teleskopam neki turški zvezdogled ~ , (slika 1) * Lepoto Malega princa in spoznanje, da "dobro vidimo samo s srcem", vsakdo, mlad ali star, sprejema po svoje. Zato ne nameravamo razčlenjevati umetniškega užitka , ki ga imamo ob branju. Pač pa ob Malem princu razmi - šljajmo o gravitaciji. Bolj za šalo kot zares se vprašajrno , ali bi bilo mogoče pre- * Antoine de Saint-Exupery, Mali princ, prevedel Ivan Minatti, Mla- dinska knjiga, Biser i , Ljubljana, 1982. Slika 1. Mali princ na svojem planetu (risba iz Malega princa). Knjižico j e ilu- striral p isatelj sam. 14 i-;' .. :~r-..;,....' \ ' J .' / ..:: Slika 2 . Sled na fotografski plošči na ozadju zvezd stalnic, po kateri so odkrili asteroid Ikar . Adon is Jupiter Slika 3. Poti planetov in asteroidov. Poti nekaterih asteroidov ne poznajo natančno. 15 bivati na zelo majhnem planetu. S tem nikakor nočemo obrzdati domišljije in upamo , da nam pisatelj, ki ga je že zgodaj "začel zan imat i svet znanosti, zlasti f izike" , v Newtonovem letu tega ne b i zameril. Med planetoma Marso m in Jupit rom je nenavadno velika razlika v razdalji od Sonca. Zato leta 1801 niso bili posebno presenečeni, ko so med njima odkri- li Ceres. Potem so leta 1802 od kri li še Palado , leta 1804 Junono in leta 1807 Vesto. Kmalu je postalo jasno , da so t i planet i zelo majhn i, zato jim za razliko od d eveti h " navad n ih" planetov pravimo asteroidi ali mali planeti. Dandanes jih poznamo več kot tr i t isoč. Domnevajo , da j ih utegne biti do sto tiso č ta kih , ki jih je mogoče zaznati po sled i na fo tografski plošč i (slika 2). Več ina se jih giblje okol i Sonca v 2,2- do 3 ,2-krat večj i razdalj i kot Zem lja, b lizu ravn ine, po kateri se gib lje Zemlja. Med njim i pa so tudi po sebne- ži. Betu lija ima najbolj nagnjeno ravnino gibanja proti ravn ini gibanja Zemlje , za 52 ° . Ikar se najbolj pr ibliža Soncu in im a el ipt i čno pot, ki se najbolj razliku- je od kroga ; velika polos mer i 1,08 in ma la 0,6 razdalje Zemlj e od So nca (slika 3). Hiron je najbolj oddaljen , velika polos meri 13,7 razdalje Zemlje od Sonca . Trije asteroidi so se približali Zemlji bolj kot na 5 milijonov kilometrov , Apolon leta 1932, Adon is leta 1936 in Hermes let a 1937. Predvidevajo , da za - dene tak asteroid Zemljo v povprečju vsakih nekaj deset milijonov let. Nekateri pod at k i kažejo, da je zadel Zemljo asteroid z radijem okoli 5 k ilometrov pred 65 m ilijon i let . Samo asteroid Vesto je mogoče ob posebn ih priložnostih videti s prostim očesom. Večino drug ih je celo z daljnogledom težko opazovat i. Njihovi rad ij i so zelo majhni : 1 Ceres 502 km, 2 Palada 304 km, 3 Junona 123 km , 4 Vesta 269 km, ... 1566 Ika r 500 rn, ... Apo lon 500 rn, Adon is 150 m , Hermes 250 m. Zato .ni lahko določiti njihove poti. Asteroid i, pri katerih je to uspelo, dobijo po leg imena še zaporedno št evilko . Ime določ i odkritelj . Spočetka so izb ira li imena iz grške in rimske mito- logije. Pozneje, ko je teh zmanjkalo , so pr išla na vrsto druga , denimo imena iz Wagne rjev ih oper . Novejša imena so razl ičnega izvora . Tisoči je dobil ime Piazz ia po Giuseppeju Piazz iju , ki je odkr il prvega, to je Ceres , tisočprvi pa Gaussia po Karlu Friedrichu Gaussu , ki je izd ela l nov računski pr ijem za dolo- čanje poti ast eroidov. Dandanes dobijo običajni asteroidi navadno ženska ime- na , t isti, ki se po čem odlikujejo, pa moška . Geographos - geograf se na prime r močno približa Zemlji. Astero id 2062 Aten se giblje po sko raj enak i poti kot Zemlja. Nekdaj so mislili , da sv .rstero idi preostanek planeta , ki se je gibal okoli Sonca med Marsom in Jup itrom. Toda skupno maso astero idov cenijo samo na tr itisočino zemeljske mase. Ker pa se nekateri gibljejo v skupinah , se zdi , da so 16 nastali iz nekoliko večjih teles, morda ob trkih. lzhajajmo iz Newtonovega gravitacijskega zakona, po katerem delujeta telesi drugo na drugo s silo , ki je sorazmerna z maso enega in drugega telesa in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje. Zakon velja v tej obliki za drobni telesi ali za krogeino simetrični telesi, če upoštevamo razdaljo med njunima središčema. Nas zanima sila krogeino simetričnega planeta na drobno telo na njegovem površju, to je teža drobnega telesa . Za razdaljo tedaj vzamemo kar radij planeta R. Masa planeta je sorazmerna s povprečno gostoto in s prostor- nino in prostornina s tretjo potenco radija. To bi lahko uganili že po tem, da merimo radij v metrih m, prostornino pa v kubnih metrih m3 • Teža telesa na površju planeta je tedaj sorazmerna s tretjo potenco radija, R 3 , in obratno so- razmerna skvadratom, R 2 , se pravi, da je sorazmerna zradijem: R 3 /R 2 = R. Posebno skupino sestavljajo trojanski asteroidi. Okoli Sonca se gibljejo tako, da prehitevajo in zaostajajo za točko 60° pred Jupitrom ali za točko 60° za njim. V teh Lagrangeovih točkah privlačna sila Sonca izravna privlačno silo Jupitra. Prvi trojanski asteroid, ki so ga odkrili, je dobil ime Ahil. Pozneje so se dogovorili, da naj dobijo asteroidi, ki se gibljejo okoli prve Lagrangeove točke, imena po grških junakih, asteroidi, ki se gibljejo okoli druge Lagrangeove točke, pa imena po trojanskih junakih . Preden so sprejeli dogovor, pa se je v grško skupino vrinil Trojanec 624 Hektor in v trojansko skupino Grk 617 Patrokel. Zaradi lažjega računanja vzemimo, da ima Planet Malega princa radij 64 metrov ali stotisočino zemeljskega rad ija 6400 kilometrov. To je več, kot bi sklepali po pripovedovanju Malega princa, a manj kot meri radij Adonisa, za katerega najdemo najmanjši podatek, 150 m. ·Če je Planet Malega princa enako gost kot Zemlja, je teža na njem stotisočkrat manjša kot na Zemlj i. Telo z maso 1 kilograma na njem nima teže okoli 10 newtonov kot na Zemlji, ampak samo desettisočino newtona. Mali pr inc z maso 30 kilogramov ima na svojem planetu težo samo 0,003 newtona. Tolikšno težo ima na Zemlji masa 0,3 grama, kar lahko stehtamo le z lekarniško tehtnico. Ne oziramo se na to, da je težišče Malega princa za okoli 0,5 metra bolj oddaljeno od središča njegovega planeta kot površje. Zaradi tega je njegova teža še (64 m/64,5 m)2 =0,g8-krat, to je za 2 odstotka, manjša. Računali smo, da je Planet Malega princa enako gost kot Zemlja. Če bi vzeli zanj povprečno gostoto asteroidov 3500 kg/m 3 namesto gostote Zemlje 5500 kg/m 3 , bi bila teža še 3500/5500 = 0,64-krat manjša. 17 V enakem razmerju kot teža je zmarusan tudi pospešek prostega pada: 10 m/s2 na Zemlji, a samo 10-4 m/s2 ali 0,1 mm/s? na Planetu Malega princa. Medtem ko pade v prvi sekundi na Zemlji telo za 5 metrov, pade na Planetu Malega princa za borih 5 stotink milimetra. To bi morali opazovati z mikrosko- pom. Ubežna hitrost je najmanjša hitrost, ki jo moramo dati izstrelku v smeri navpično navzgor, da zapusti planet. Pri tem se ne oziramo na morebitno vrtenje planeta. Enako kot teža je tudi ubežna hitrost sorazmerna zradijem planeta, če vzamemo , da se gostota ne spreminja . Na Zemlji meri ubežna hitrost dobrih 11 krn/s, tako da meri na Planetu Malega princa samo 0 ,11 mis ali 11 cm/s. Podatek o majhni ubežnosti pove , da na majhnem planetu ni atmosfere. Molekule plina se namreč neurejeno gibljejo s hitrostjo, ki je v povprečju veliko večja, na primer 440 mis za molekulo kisika pri temperaturi 300 kelvinov ali okoli 20°C, od ube žne hitrosti. Ta hitrost pa je precej manjša od ubežne hitro- sti na Zemlji . (Izračunamo lahko še to, da bi se ubežna hitrost 0,11 mis uje- mala s povprečno hitrostjo neurejenega gibanja molekul pri temperaturi 0,0002 K.l t: R 4 00 300 200 10 0 0.2 0,4 0.6 0,8 20 15 10 5 0,2 0,4 0.6 0.8 v Vu Slika 4 . Trajanje t (levo) in višina h (desno) navpičnega meta v odvisnost i od razmerja med začetno hitrostjo v izstrelka in ubežno hitrostjo vu' Črtkano sta narisana približka, pri ka- terih ne upoštevamo, da se teža spreminja z višino. 18 v= (8RT/rrM)112 R+I F = f Km p dm/R? = R Nekaj enačb za tiste, ki bi hoteli računati mp =p V =p. 4 1T R 313 masa planeta zradijem R in gostoto p F =K mmplR2 =K mp.41TR 3/3R 2 = 41TKpmR13 teža telesa z maso m na površju planeta, K gravitacijska konstanta g =F Im =K mp IR 2 = 41TKP R13 pospešek prostega pada na površju planeta Vu = (2Kmp lR)1 /2 = (2gR)1I2 = (2Kp.41TR 3/3R)1I2 = (81TKPI3) 1I2R ubežna ali druga vesoljska hitrost * Vs = (Kmp IR) 1 12 = (gR)1 /2 = (41TKpI3) l/2R hitrost umetnega satelita na majhni višini , prva vesoljska hitrost povprečna hitrost molekul pri neurejenem gibanju v plinu, R = 8300 J/K plinska konstanta, T absolutna temperatura, M ki- lomolska masa Kmmp lR 2 =Klm + 6m)mp/(R + t::,R)2 ravnovesje na tehtnici, če je eno izmed teles za /:,R niže od drugega; temu telesu se navidez poveča masa za Ism R+I = 2m/:,R I R f KmppS dR I R 2 = Kmmp IR(R+1) R teža navpičnega droga , p gostota, S presek in m masa droga R 2 + RI = (R + 112 +M 2 /:,1 = (R 2 + RI) 112 - R - 112 razdalja težišča od središča mase vutlR = 2((h + R) I R)3 /2 (arccos((R 1(h+R)) 1/2+((R 1(h+R)) 112 (hl(h+R))1 /2 ))) približek Vut iR = 4v lvu ali t = 2vlg h višina, t čas trajanja navpičnega meta ti/R = (v lvj2/(1 - (Vlvu))2 V začetna hitrost (slika 4) približek hlR = v2I vu 2 ali h = v212g * Če telo na planetu ne bi bilo drobno, bi bila ubežna hitrost Vu = (2 Kmp/R( 1 + m/mp) )112. Masa Planeta Malega princa. 6 milijard kilogramov,pa je tolikšna, da lahko v primeri z njo maso Malega princa, 30 kilogramov. zanemarimo. 19 Enako kot ubežna hitrost je z radijem planeta sora zmerna tudi hitrost satel ita, ki kroži okoli planeta v majhni višin i. Pri Zemlji je to 11 kms- 1 /\I2 = = 8 krn /s, na Planetu Malega princa pa samo 8 cm/s. Mali princ bi se lahko igral z umetn imi sateliti. Za obhod 'njegovega planeta bi potrebovali 1 uro in 24 mi- nut. Na to ni pomislil najbrž zato, ker tedaj na Zemlji še niso poznali mode umetnih satelitov. Mali pr inc mora na svojem planetu previdno uporabljati enakoročno tehtn ico . Paziti mora na to, da sta obe telesi na isti višini. Če je eno telo samo za 10 cm niže kot drugo, pokaže tehtn ica za 3 grame večjo maso . Tud i se za Malega princa težišče ne ujema vedno s sred iščem mas. Navpi- čen metrsk i drog ima središče mas na polov ici, težišče, to je točko, v kateri si lahko mislimo , da prijema teža, pa 1,9 milimetra niže. Pri drogu v vodoravni legi se obe točki pokrivata. PO tem ko smo omenili že več zanimivosti, nas zaskrbi, ali Mali princ sploh lahko hodi po svojem planetu . Pri hoji človek dviga in spušča težišče za nekaj . mil imetrov. Če naredi pri počasni hoji korak na sekundo, doseže hitrost težišča več milimetrov na sekundo. Hitrost težišča v navp ič ni sme ri mora biti mnogo manjša od ubežne hitrost i. (Na Zemlj i zaradi mnogo večje ubežne h itrosti tega pogoja zares ni težko izpolniti.) Že pri deset ini ubežne hitrost i, to je pri hitrosti 1,1 cm/s, se dvigne težišče Malega princa za dobrih 60 centimetrov in se spusti naza j. Takšen ko rak ali bo lje poskok traja skoraj 4 minute. Vsekakor se mora Mali princ na svojem planetu premikati ze lo počasi, da ne bi njegovo težišče dobilo prevelike hitrosti v smer i navpično navzgor. (slika 4) Če b i se od rinil s hitrostjo 11 cm /s ali več v smeri navpično navzgor, bi se moral za večno poslo- vit i od svojega p laneta (če si ne bi zgrad il st rehe, če ne bi bil pr ivezan ali če ne bi ime l p ištole kot nadomest ila za raketni moto r). Če se odrine s hitrostjo med 8 cm/ s in 11 cm /s v poljubni smeri, se giblje po el iptič n i pot, ki postaja pri vse večji hitrosti vse bo lj podolgovata. V tem pri - meru se Mali princ vrne v točko, s katere se je od rin il, in ne zapusti planeta za vselej. Ljudje že imamo nekaj izkušenj v podobnih razme rah. Pomisl imo na ve- so ljce , ki so pr istali na Lun i, kje r je teža okoli šestkrat manjša kot na Zemlji. Mali princ podobno kot veselici . ki letijo okoli Zemlje na umetnih satelitih, ne občuti skoraj nobene teže. Telo se temu prilagodi, na pr ime r t ako, da ko sti , ki niso obremenjene, izgub ljajo kalcij, in za ide v težave pri povratku na Zeml jo. Zato mo rajo vesoljci na umetnih satelitih delati posebne vaje. Za Malega princa bi bi l prihod z njegovega planeta , kje r je vse peresno lahko, na Zemljo zelo tvegan, če ne bi bil pravljična oseba. Toda šlo nam je samo za nekaj zan imivosti iz mehanike, zato se ne spuš čajrno še v vprašanja vesoljske medicine . 20 Janez Strnad OO7' ,cllo" II' ", '__'''L_','L_ RDECI KRil IN RDECI POLMESEC 2 9 8 Kakor čudno se sliši, pa je vendar mogoče razrezati rdeči polmesec na devet delov, iz katerih lahko sestavimo rdeči križ. Pri sestavljanju križa moramo neka- tere dele obrnit i (pazimo na ravni črti na obeh konceh polmeseca in na to, da sta obe polkrožn ici skladni). Priredil Franci Ob/ak 21 oc-On'''n,.il' lO, ,_, 1" _1 Ij_' IL" ZACETKI MERJENJA V ASTRONOMIJI - ARISTARH IN ERATOSTEN Kolikšna je oddaljenost Lune? Okoli 384 tisoč kilometrov. Kako so jo določili? Z laserjem so posvetili skozi velik daljnogled na mačje oko, ki so ga na Luni postavili vesoljci. Po času potovanja bliska tja in nazaj so izračunali razdaljo na dobrih deset centimetrov natančno. Kolikšna je oddaljenost Sonca? Okoli 150 milijonov kilometrov. Kako so jo določili? Zemlja je 1,38 -krat bolj oddaljena od Sonca (slika 5) kot Venera . Oddaljenost Venere so izmerimil tako, da so usmerili nanjo radarske valove in zaznali šibke odbite valove . Po času potovanja sunka radarskih valov so določili oddaljenost Venere od Zemlje, z njo oddalje- nost Venere od Sonca in naposled še oddaljenost Sonca od Zemlje na del kilo- metra natančno. Do teh podatkov so prišli v zadnjem času, potem, ko se je močno razvila merilna tehnika. Kako pa so določili oddaljenosti nekdaj? Vpra- šanje iz zgodovine astronomije je pomembno tudi za razumevanje razvoja astro- nomije in fizike. Prav ponavljajoči se pojavi na nebu so napeljali ljudi, da so začeli podro- bneje opazovati naravo in napovedovati pojave. Niso se več zadovoljili z mislijo, da naravo ureja volja bogov. Pomembno vlogo je imel tudi razvoj matematike, saj brez nje ni mogoče zanesljivo napovedovati pojavov. Le številske napovedi je namreč mogoče primerjati z opazovanji in merjenji in ugotoviti, katera na- poved se bolje prilega merjenjem in katera slabše. Tako je mogoče izločiti slabše napovedi, ki izhajajo iz slabših teorij, in obdržati boljše . Izbiranje te vrste je znač ilno za naravoslovje. Ni težko razumeti, da se je začelo naravoslovje z astronomijo in da so bila prva merjenja astronomska. Ljudje so nekdaj živeli v tesnem stiku z naravo in so vsako jasno noč lahko opazovali zvezdnato nebo . S pojavi na nebu so si po- magali pri merjenju časa in koledarju in - pri napovedovanju usode. Pri tem so vsaj na začetku shajali brez posebnih merilnih naprav. Dandanes, ko se nam zdi natančno merjenje nepogrešljiva sestavina fizike, radi pozabimo na njegove začetke v astronomiji in geometriji. Prehod od kvalitativnega gledanja, pri katerem opišemo pojave le z beseda- mi, do kvantitativnega gledanja, ko vztrajamo pri merjenju in podrobnem opisu s števili, zagotovo ni bil ne kratek ne lahek. V prehodnem obdobju, ko se niso več zadovoljili z besednim opisovanjem, a še niso obvladali merjenja, so posku- sili količine ocenjevati .Čeprav so bili dobljeni rezultati nenatančni,sovelikopo- 22 menili kot prvi korak. Pogosto so tudi približni izidi omogočili globlji vpogled. Kot zgled za ta prehod omenimo delo enega od najznamenitejših staro- grških astronomov Aristarha s Samosa (od leta 310 do okoli 230 pred našim štetjem) . Aristarh, ki je deloval v Aleksandriji, je določil oddaljenosti Lune in Sonca ter radija Lune in Sonca v razmerju do radija Zemlje. S tem je naredil velik korak naprej in se je dokopal do nove slike Osončje . Sledimo Aristarhu in določimo najprej razmerje med oddaljenostjo Sonca 'o in oddaljenostjo Lune 'L' Pri tem vzemimo, da Luna enakomerno kroži okoli Zemlje, kar ni č isto res. Luna potrebuje za en obhod okoli Zemlje 27 dni (na- tančneje 27,3 dneva). če ugotavljamo njeno lego glede na zvezde. Ob prvem in zadnjem krajcu, ko deli osvetljeni del Lune od neosvetljenega ravna črta, sta zveznici Sonca in Lune ter Zemlje in Lune pravo kotni druga na drugo. Zaradi končne oddaljenosti Sonca od Zemlje pa Luna ob prvem in zadnjem krajcu ne leži na nasprotnih straneh Zemlje (slika 1). Med prvim in zadnjim krajcem po- teče zato malo daljši čas kot med zadnjim in prvim. Aristarh je ocenil razliko na 1 dan tako, da bi med prv im in zadnjim krajcem poteklo 14 dn i, med za- dnj im in prvim pa 13. Če ustreza obhodu Lune, to je 27 dnem , polni kot 360 0 , • Slika 1. Č as med prvim in zadnjim krajcem je za č r večji od č asa med zadnjim in prvim krajcem Lune. Kot med zveznico Zemlje in Lune ter zveznico Zemlje in Sonca meri 'p = (112).180 0 (1 - ot /to ), če je t o obhodni č as Lune. Aristarh je dob il za razmerje 7 0 /IL = l /co~ 'P 18 do 20 . V resnic l je razmerje tako veliko in kot 'P tako blizu 90 0 , d a j u ni mogoče izmeriti na opisani način. Ta risba in druge risbe niso narisane v pravem me- rilu. 23 ustreza času med zadnjim in prvim krajcem, to je 13 dnem, kot 3600.13/27 = = 1730 . Pravokotni trikotnik s polovico tega kota, to je 87 0 , ima hipotenuzo 19-krat daljšo od katete. Vse podatke smo zaokrožili , zato je rezultat samo pr i- bližen. Aristarh se je tega zavedal in je za razmerje 10 /1, navedel 18 do 20. Aristarhov rezultat lahko izrazimo še drugače . O prvem ali zadnjem krajcu tvori zveznica Zemlja-Luna z zveznico Zemlja-Sonce kot 87 0 . V resnic i meri ta kot 89,850 , torej samo 0,150 manj od pravega kota, in ga je celo s sodobni - mi napravami izredno težko naravnost izmer iti . Čas med zadnj im in prvim kraj cem je le za 0,046 dneva ali za dobro uro krajši od časa med prvim in za- dnjim kr ajcem. A ristarh ni mogel natančno določiti trenutka, ko je bila meja med osvetljenim in neosvetljen im delom Lune ravna č rta. Zato ne preseneča mnogo premajhno razmerje lo / 1L' ki ga je navedel. V drugem koraku upoštevajmo, da se zdita Sonce in Luna enako velika . Njun premer vidimo pod približno enakih kotom. Iz tega izhaja spoznanje, da sta rad ija Sonca ro in Lune rL v enakem razmerju kot njuni oddaljenosti. po · temtakem je po Aristarhovo radij Sonca dvajsetkrat večji od radija Lune: rO/rL = 20 (slika 2). PO tej poti lahko določimo razmerje ro / Lo = rL / IL , če izmerimo kot, pod katerim vidimo radij Sonca ali Lune . Aristarh je ocenil ta kot na 10 . Temu kotu ust reza v ločni mer i 21T. 1° / 3600 = 0,017, tako da je ro /lo = rL/IL = 0,017. Ni težko ugotoviti, da vidimo premer Lune ali Sonca pod kotom okoli 0,5 0 in radij Lune ali Sonca pod kotom 0,250 . Aristarh je kot kar štirikrat precenil. To kaže tudi na njegov odnos do merjenja. Zares pa je Arhimed poročal, da je menda Aristarh pozneje popravil podatek na 0 ,250 . V tretjem koraku določimo razmerje med radijem Zemlje in radijem Lune. Pri popolnem Luninem mrku je Aristarh meril čas potovanja Lune čez Zemlji- I I, I /0 -----1, Slika 2. Premer Sonca in premer Lu ne vidimo z Zemlje pod približno enakim kotom . Aristarh je navedel štirikrat prevelik kot 1° in je dobil rollo = rL IIL = 2rr.lo /3600 = = 0,017. 24 I no senco in čas , ki ga je prebila Luna v Zemljini senci. PO tem je ugotovil, da jeZemljina senca 8/3-krat tolikšna kot Luna . Iz tega izhaja, da je radij Zem lje pri- bližno 8/3-krat večji od radija Lune: rZ /rL = 813 (slika 3). Tako je Aristarh lahko narisal "zemljevid " Osončja z Zemljo, Soncem in Luno. Le merila ni mogel navesti, saj ni poznal nobene oddaljenosti ali radija . Aristarhova vrednost današnja vrednost rL /rZ IL /rZ = (lL /rL)(rL /rZ) lo /rz = (lo /IL)(IL /rZ) ro /rz = (ro /lo){/o /rz) 3/8 = 0,38 0,38/0,017 = 22 20.22 = 440 0,017.440 = 7 0,272 60,3 23480 109 Aristarh je več kot 15-krat podcenil velikost Sonca in več kot 50-krat nje- govo oddaljenost. Kljub temu sta ga najbrž prav njegova rezultata za velikost in oddaljenost Sonca napeljala na misel, da kroži Zemlja okrog precej večjega Sonca in ne Sonce okrog Zemlje, kakor so mislili dotlej . Aristarh je bil prvi od znanih astronomov, ki je poskušal utemeljiti heliocentrično sliko z mirujočim Soncem in gibajočo se Zemljo. Slika se je zdela za tiste čase tako nenavadna, da je niso resno upoštevali več kot osemnajst stoletij, dokler je ni povzel Nikolaj Kopernik . Aristarh se najbrž ne bi dokopal do nje, če si ne bi prizadeval dobiti približnih številskih podatkov. (V knjigah najdemo različne vrednosti za Ari- starhove rezultate . Navsezadnje je tudi to povezano z njegovim odnosom do številskih rezultatov.) Aristarhovo delo je dopolnil Eratosten (od leta 276 do 194 pred našim šte- tjem), ki je prav tako delal v Aleksandriji. Določil je radij Zemlje in s tem uve- del merilo v Aristarhov "zemljevid" . Opišimo na kratko Eratostenovo skle- 5 .'""" ".,. ,. ,.,. .. ... ... ' 'o I __\ ' 'L \\ \ \ Slika 3. Pri popolnem Luninem mrku je po času, k i ga Luna prebije v Zemljini senci, Aristarh sklepal, da je Zemljina senca na kraju Lune približno 8 /3-krat tolikšna kot Luna. Iz zveze (2rZllo)(/0 + IL) = 2rL .8/3 sledi pribl ižno "Z." 8 rL 13. 25 panje. Kot upravnik aleksandrijske knjižnice je zasledil podatek, da v Sieni, današnjem Asuanu v Egiptu, na najdaljši dan leta Sonce opoldne posveti v glo- bok vodnjak. Ugotovil je, da v Aleksandriji na ta dan sončni žarki tvorijo z navpičnico kot, ki meri 1/50 polnega kota. Ker leži Siena približno na istem poldnevniku kot Aleksandrija, je bilo treba le še poznati njeno oddaljenost od Siene. Potniki, ki so prehodili to pot, so navedli zanjo dolžino 5000 stadijev . To so ugotovili po času potovanja, ker so vedeli , kolikšno razdaljo so prehodili na uro . Ker je Sonce zelo daleč od Zemlje, smemo vzeti, da so njegovi žarki v Sieni in Aleksandriji vzporedni . Tako meri središčni kot med Sieno in Aleksan- drijo prav tako 1/50 polnega kota. Ker ustreza temu kotu razdalja 5000 stadi- jev, ustreza obsegu poldnevnika 50.5000 = 250000 stadijev (slika 4) . Eratostenov sodobnik Arhimed je določil število tt , to je razmerje med ob - segom in premerom kroga. Tako je bilo mogoče po Eratostenovem rezultatu izračunati radij Zemlje: 250000 stadijev /2rr = 40 000 stadijev in izraziti Ari- starhove podatke s stadij i. Del poldnevnika so pozneje večkrat premerili. Skrbno so to storili potem, ko so se dogovoril i, da naj meri poldnevnik 40000000 metrov, in s tem vpelja - li meter . Radij Zemlje meri to rej 40000 km /2rr = 6370 km. Žal ne moremo povedat i, kako natančen je bil Eratostenov rezultat, ker je bilo v rabi več vrst stadijev . Če je Eratosten uporabil običajni olimpijski stadij, je bil rezultat za kakih 20% prevelik. Če pa je imel v mislih krajši stadij, je zadel pravi rezultat na 1%. Toda to bi bilo treba pripisati srečnemu naključju, ker Aleksandrija in Siena pač ne ležita na istem poldnevniku . Dosežki Aristarha in tudi Eratostena zbu jajo spoštovanje še dandanes, ko 26 Slika 4 . Eratosten je vedel, d a sije Sonce navpično v Sieni (Asuanu). ko sije v Aleksandriji za 1/50 polnega kota odma- knjena od navpič nice. Z znano razdaljo med obema kraj ema je določil obseg Zemlje in z njim radij Zemlje. Slika 5 . V uvodu omenjenega razmerja oddaljenosti Zemlje od Sonca 'oin Ven ere od Sonca 'V ni težko določiti. Venera, k i je bliže Sonca kot Zemlja, se oddalj i od smeri Sonca največ za kot a = 46,3 0 , tako da je 'o /'V = 1/sina = 1,38. s smo se navzeli kvantitativnega gledanja. Začetnikom takega gledanja v astrono- miji rade volje spregledamo to, da so navedli nekatere dokaj nenatančne rezul- tate. Janez Strnad RAZMISLIMO IN NASMEJMO SE! Dva brata sta rojena istega leta, meseca in dne ter imata iste starše, vendar nista dvojčka. Kako je to mogoče? 27 ClO('ll'\IOI N'CT' 'l-7"'1 __ 11'11- ,_"'''_ RESEVANJE ENACB Z METODO ZAPOREDNIH PRIB1I2KOV Nekaterih enačb (npr. 2x - 4 + Inx = O) ne moremo rešiti po običajni poti. Pomagamo si z iteracijskimi metodami. To so metode, ki s ponavljajočim se procesom dajejo vedno boljše približke korenov enačb. Pri reševanju nam bo koristil kalkulator ali računalnik. Pa si poglejmo, kako poteka iteracij ska metoda. Za zgled vzemimo kar zgo- raj omenjeno enačbo 2x - 4 + lnx = O. Malce jo preoblikujmo in že imamo Inx = 4 - 2x. Pa naj bo f(x) = lnx in g(x) = 4 - 2x . Narišimo grafa teh dveh funkcij ; se- kata se v točki, kate re abscisa je rešitev naše enačbe. i", I -. -1"" 1 ( 'r '1 _.!•• ..li.. .•....... ':. ........ y = ln X....-_..- .._.- . ....._.....-_...... ..+ , \ + , ) + j _..::: :j: :: ~, ~ :.:l :: : _.·._···j· ······ ··· · ····· ·i· · · · ·· · · · ·~ · · · _ · +·· · ·· · · · · ··__··-j··- - \ _ - . ! ,.-' .~H.. ; .]. : i' Približno rešitev lahko preberemo iz grafa (x = 2), vendar nas tako doblje- na rešitev s svojo natančnostjo ponavadi ne zadovolji. Zato uberemo drugo pot: 1. Enačbo 2x - 4 + Inx = O zapišimo v obliki x =h(x) , npr. x = 2 - (Inx)/2. 2. Iz grafa preberemo približno rešitev (x = 2). To je naš prvi približek. Recimo rnu xs , 3 . lzračunajrno vrednost h(xo): h(xo) =h(2) = 2 - (In2)12 = 1,65342641 To je naš novi približek. Recimo mu Xl' 28 .,... .. , ..... .... . •: .1 ._ ,J l' ...•• !! ---,; ,"1: ...... .! . .. 1 • ! ..>.... J. 1 \ i' T ·· I · I ' J.. 4 . Vzemimo novi približek in ravnajmo z njim kot s prvotnim: Xo = 2 Približki so čedalje natančnejši. Ko Xl = 1,65342641 bodo natančni že na osem decimalnih X2 = 1,74857513 mest, si z navadnim kaikuiatorjem ne X3 = 1,72059938 bomo mogli več pomagati. Trdil bo , ........................ da je x n = X n+l• Pa nič zato, tudi mi X1S = 1,72685041 bomo čisto zadovoljni s takim pribli- X16 = 1,72685041 žkom. Ko je torej xn na želeno število - de- cimalk enak Xn + 1, lahko postopek končamo. (Pri fiziki bi bili zadovoljni že z X3') Postavi pa se nam vprašanje, ali je ta metoda vedno uspešna. Žal ni. Uspešna je le v primeru, ko je graf funkcije h(x) manj strm kot pre- mica y =X + n (y =-x + n). Zato nas iteracij ska metoda ne privede vedno k želenemu cilju. Kar poglejmo si tole enačbo: 'i ~1I!1 X + ln x = O \ . Poskusimo takole: x = -Inx ln kaj sledi? + .... .. . H •• • • • • j•.•......._ + ~.._ i · __·· ~···!······ ····..·······l··_·······..-v-l-: ,.l::.: _ .~:: ! . l ~: :~ ·!- _ j · +..·._ ··.·.···1···· , + _..j _ . '1..1' ,1";, ..... .... .... Y = - In X .... ... .... i I i 1 Xo = 0,5 Xl = 0,69314718 X2 = 0,36651292 X3 = 1,00372151 X4 = -0,0037146 x s nedefiniran 29 Z nadaljevanjem postopka dobi- vamo vedno slabše približke . Vendar je za vsako bolezen zdravilo. Preoblikujmo enačbo x = - Inx takole: x = -Inx x /2 = -(Inx)12 x = xl2 - (Inx)12 x = 1/2 (x - lnx) Sedaj je graf takle : 1: 2 l+xl2 .j i .;._ _·i i . / " . y = 1/2 (X - ln Xl Ko malce razočarani od prej poskusi- mo z iteracij sko metodo, Površno povedano: krivuljo smo pri njenem padanju umirili tako da je zdaj položnejša kot premica y = x. Pa poskusimo sedaj z metodo iteracije: Xo = 0,5 xI = 0,596573590 X 2 = 0,556563133 X3 = 0,571268901 X4 =0,565582076 Xs = 0,567740966 Xl 9 = 0,567143291 X2 0 = 0,567143290 X 21 = 0,567143290 se nam obraz zjasni pri X20 = 0 ,567143290. Kljub temu, da nas kalkulator reši računanja, pa je vseeno mučno priti tja do 15. ali 20. približka . Tu nam priskoči na pomoč računalnik . Zaradi speci- fičnosti ukaza DEF FN v različnih dialektih basica, sem program priredil za dva računalnika, za C64 in ZX Spectrum. 30 SPECTRUM 5 REM ITE RACIJA 10 PRINT "Zapisite enacbo v obliki x = hlxl!" 20 INPUT "x ="; aS 30 PRINT "x ="; aS 40DEFFNh(x)=VALaS 50 PRINT 60 PRINT "Izberite zacetno vrednost!" 70 INPUT "xO ="; xO: PRINT "xO <': xO 80 PRINT 90 PRINT "Približki so:" 100 LET xl = FN h(xO) 110 PRINT xl 120 STOP 130 LET xO = xl : GO TO 100 Opomba: Računalnik vas vpraša po funkciji in začetni vrednosti. Nato vam izpisuje približke po vsakem pritisku na tipko CONTINUE. COMMODORE 10 PRINT "VPISITE ENACBO V OBLIKI X = H(X)!" 20 PRINT 30 PRINT "70 DEF FN Y(X)=" 40 PRINT "GO TO 70" 50 FOR A = 1 TO 4: PRINT CHRS(145);: NEXT A 60 END 70 DEF FN Y(X)=1/2*(X - LOG(X)) 80 INPUT "VPISITE ZAČETNO VREDNOST!"; XO 90 Xl = FN Y(XO) 100 PRINT Xl 110 GET AS:IF AS=""THEN 110 120 IF AS = "S" THEN END 130XO=Xl:GOT090 READY. Opomba: Računalnik vas postavi v vrstico 70. Skazalcem (kurzorjem) se zapeljite do konca definicije funkcije in jo vpišite. Pritisnite dvakrat RETURN. Računalnik vas vpraša po začetni vrednosti. Nove približke vam izpisuje, vse dokler ne pr itisnete S. 31 ln še opozorilo: Pri iteracijski metod i moramo poznat i p rvi približek xo. Najlaže ga dobimo grafično . Če pa se grafa funkcij sekata predaleč od izhodišča in ju zato ' ne sprav imo ' na papir, funkc ijo enostavno delimo z od O različnim rea lnim št evilom . Pr ime r : x 2 - 2x + 2 =O ~ ((x) = 2x , g(x) =x 2 + 2 li x 2 /2 - x + 1 = O ~ ((x) =x, g(x) =x 2 / 2 + 1 Za konec reš imo še e nač bo 4x = 3x . 1. rešitev: 4x = 3x ~ x = 3x / 4 Prvi p ribli žek: Xo = 0 ,5 Nada ljujmo : Xl = 0,433012702 X23 = .0,379194103 X24 = 0,379194103 I!•.~ • • • • •• • •• " ••••• o. Y = ln 4X / ln 3 ..;.. ":t J .. . . ·-·..··_·1·····..· ".." .1";. 32 -i-- i 2. rešitev: 3x = 4x ~ x In3 = In4x ~ x = .03~_ In 3 Xo = 2 Xl = 1,89278926 X2S = 1,79468896 X26 = 1,79468896 Dob ili smo dve rešitvi, vsako po drugi pot i. ; , 1 Naloge 1. Določi oba pozrtrvna korena enačbe 2"x =8x - x 3 • 2. Množica P naj bo potenčna mno- žica množice M . Moč množice P je za 27 večja od moči množice M. Določi moč množice M. 3. Pribl ižno reši enačbe: a) x 2 = 2 + Inx b) log3x=(x-2)2 c) x .lnx = 1 d) 2x = x + 2 4. Kje se sečeta krivulji Y = 3x in y= x - 5? Marjan Jerman Po gradivu D. Grešaka Pripomba uredništva : če je bralcu gornji članek vzbud il zanimanje za numeri- čno reševanje matematičn ih problemov , potem mu priporočamo knj igo Zvonimir Bohte: Numerično reševanje enačb, ki je izšla v zbirki Sigma. Za ra- zumevanje knjige bo seveda potrebno neko liko več matematičnega znanja, kot ga zahteva pričujoči članek . Sandi Klavžar KRIVULJE IN HISOFT PASCAL Spoznali smo že način, kako lahko s smotrno uporabo preprostih rekurzivnih formul z ra ču na l n i kom hitro r išemo kr ivulje, ki se izražajo s kotnima funkcijama sin in cos. Ponovimo glavne rezult at e, ki so zapisani v Preseku (letnik 14, 1986/87, št . 4 in 6). Če je Yk =A sin(w x k + rp), k = O, 1,2; ... (1) kjer je xk = k o za izbrani korak o> O, števila A, w in rp pa so konstante , po- tem velja rekurzivna formula Yk+ 1 = C Yk - Yk-1' k = 1,2,3, ... (2) kjer je C = 2 cosl č col . Če vzamemo Yo =A sin rp in YI =A sin(ow + rp), potem lahko postopoma po formuli (2) dovolj natančno za r isanje krivulj na računalniku izračunamo tudi števila Y2, Y3, Y4, 'OO V posebnem primeru dobimo za rp = O začetna člena Yo = O in YI = A sin(ow), za rp = n/2 pa Yo = A in YI = A cosl č col. Točke s koordinatami xk in Yk nam v prvem pr imeru pona - zarjajo potek sinusne , v drugem primeru pa potek kosinusne krivulje . Tokrat si bomo ogledali krivuljo , ki je podana v parametrični ob lik i z re- lacijama (3) x =a(t- sin (kt)) Y = a( 1 - cos r) 33 34 10 PROGRAM KRIVULJA; 20 (* PROGRAM RISE KRIVLUJE *) 30 (* X = A * (T- SIN(K*T)) *) 40(*Y=A*(1-COS(T)) *) 50 CONST PI = 3.141593; 60 VAR MAX, 1,A, M, X, Y : INTEGER ; 70 XO, Xl, X2, VO, Yl, Y2, Cl, C2, F, K : REAL; 80 CH : CHAR; 90 PROCEDURE PLOT (U, V: INTEGER) ; (* NARISE TOCKO *) 100 BEGIN 110 INUNE (253,33,58,92,221,70,2,221,78,4,205,229,34); 120 END; 130 BEGIN 140 REPEAT 150 PAGE; WRITELN ('A='); 160 REPEAT READ(A); UNTIL A > O; 170 WRITELN ('M='); 180 REPEAT READ(M); UNTIL M > O; 190 F := PliM; Cl := 2*COS(F); MAX:= ROUND(300/A/F); 200 WRITELN ('K='); READ(K); 210 C2 := 2*COS(K*F); 220 XO := 0.0; Xl := SIN(K*F); YO := 1.0; Yl := COS(F); 230 PAGE; WRITELN('A=', A, ' M=', M, ' K=', K:6:3); 240 FOR 1:= O TO 255 DO 250 BEGIN PLOT(I,24); PLOT(I,175); END; 260 FOR I := 24 TO 175 DO 270 BEGIN PLOT(O,Il; PLOT(255,1); END; 280 FOR I := O TO MAX DO 290 BEGIN 300 X := ROUND(A*(I *F-XO)); 310 Y := 32 + ROUND(A*(l - VO)); 320 IF (X>=O) AND (X<=255) AND (Y<=175) THEN PLOT(X, V); 330 X2 := C2*Xl - XO; Y2:= Cl *Yl - VO; 340 XO:=Xl ;Xl :=X2;YO:=Yl;Yl :=Y2; 350 END; 360 REPEAT CH := INCH UNTIL CH <> CHR(O); 370 PAGE; 380 UNTIL K = O; 390 WRITELN ('KONEC'); 400 END. kjer je t parameter, ki teče po poljubno izbranem intervalu na številski premici, število a je pozitivno, število k pa poljubno realno. Zanima nas, kakšno krivuljo zariše v koordinatnem sistemu xy točka s koordinatama x in y, ko parameter t teče od Odo neke končne pozitivne vrednosti. Za k =Odobimo iz (3) x = at y = a( 1 - cos r) oziroma y = a (1 - cos(x la)), kar pa nam ne prinese nič posebnega, dobimo namreč staro znanko - sinusoido, če pač gledamo le obliko krivulje. Za k = 1 dobimo že bolj zanimivo krivuljo, ki je podana z relacijama x = a (t - sin r) y =a (1 - cas t) Imenuje se eik/aida. Tako krivuljo opiše izbrana točka na krožnici, ki se brez drsenja kotali po neki premici. Sedaj bi bil že čas, da napišemo računalniški program, ki nam bo risal kri - vulje, ki so podane s (3), in to za različni konstanti a in k. Napišimo ga v pro- gramskem jeziku PASCAL. Uporabili bomo verzijo HP4TM (HISOFT PASCAL), ki jo je v četrti številki Preseka (1985/86) predstavil Bojan Mohar. (glej program na str. 34) Na začetku moramo vnesti števila A, M in K, pri čemer morata biti A in M pozitivni in celi . Število A predstavlja polovično višino krivulje, število M pa gostoto točk . Število K ustreza številu k v relacijah (3). Opozoriti je treba na to, da število M ni preveliko, ker je tedaj korak fi (v programu je to spremenljiv- ka F) lahko zelo majhen in pri velikem številu točk pride do znatnih napak pri računanju koordinat točk. Smiselno je vzeti : 10 ~A ~ 60 30~M ~300 -10~K~10 Ko program nariše krivuljo, moramo pritisniti na poljubno tipko , da lahko vne- semo nove podatke. Če vstavimo za K število O, se program konča. Rekurzivno formulo (2) smo v programu uporabili dvakrat (vrstica 330) Sami pa lahko spremenite program tako, da vam bo risal še kake druge kr ivulje. Če na primer v vrsticah 300 in 310 pišemo X ;= ROUND(A*XO) + 120; Y := ROUND(A*(l - VO)) + 32 potem dobimo krivulje, ki se v fiziki imenujejo Llssejousove (izg. Iisažujeve) figure. Marka Razpet 35 MACKA IN MISKA Mačka in miška je igra za tekmovanje računalniških programov. Potrebujemo računalnik z računalniško grafiko (več kot 100 točk v vsaki smeri) in nekaj zagretih programerjev. V osnovni verziji igre imamo eno samo mačko in eno samo m iško, oziroma programa, ki ju predstavljata. Obe imata določen začetni položaj in pravilo, po katerem se lahko premikata . Mačka mora čimprej ujeti miško, ta pa mora čimdalj bežati pred mačko. Tekmovanje poteka v pravokotniku, čigar velikost je običajno določena z grafiko računalnika. Hitrost mačke ali miške vodimo ločeno v x smeri in v Y .. smeri. Tekmovalec lahko v vsaki potezi spremeni hitrost za -1, Oal i 1 neodvi- sno v vsaki smeri. Pravilo za premikanje vam je verjetno znano, saj je enako pravilu za vožnjo avtomobilov v namizni avtomobilski dirki (glej Presek 3, 1980 /81). Na začetku igre sta tekmovalca v diagonaln ih kotih pravokotn ika . Izmeni- čno imata vsak po eno potezo. Igre je konec, ko mačka pride na točko miške. Seveda je prepovedano gibanje zunaj igralnega pravokotn ika. Priloženi program je model glavnega programa, ki ga morate prirediti za svoj računalnik. Program vodi tekmovanje: dodeljuje, preverja in riše poteze. Velikost igralnega polja je določena s konstantami minx, miny, maxx in maxy. Program uporablja podprogram ini tscreen za inicializacijo grafičnega zaslona in podprogram line(xl, yl, X2, Y2), ki potegne črto med točkama (Xl , yIl in (X2, Y2)' Verjetno ju ne bo težko prirediti. Bistvena sta podprograma cat in mouse, ki predstavljata oba tekmovalca. Njuni parametri so lastni položaj, lastna hitrost, nasprotnikov položaj in nasprotnikova hitrost ter pospešek, v katerem vrnejo svojo potezo. Glavni program lahko tudi izboljšate in rišete pot vsakega tekmovalca z drugačno barvo, sproti izpisujete poteze ipd . Za začetek napišite podprogram za mačko, ki naj ujame preprosto miško (podprogram mouse) v priloženem programu. Kasneje lahko tekmujete s prija- telji, kdo bo napisal najboljši podprogram za mačko in kdo najboljši podpro- gram za miško. Ko mačke in miške postanejo bolj zapletene, potrebujejo tudi nekaj svo- jega spomina, v katerem si shranjujejo določene podatke, ki se morajo ohranja- ti skozi celotno igro. V tem pr imeru dodajte še en parameter za tabelo . Pazite, da bo imel vsak tekmovalec svojo tabelo . Na začetku igre postavite vrednosti v tabeli na O. V zahtevni različici igre vsak podprogram vodi hkrati mačko in miško. Tako nastopata po dve mački in dve mišk i. Pravila premikanja so enaka kot v osnovni verziji. Na začetku sta miški v sred ini, mački pa v nasprotnih kotih. 36 PROGRAM catandmouse; CONST minx = O; maxx = 255; miny = O; maxy = 191 ; (* najmanjsa x koordinata na ekranu *) (* majvecja x koordinata na ekranu * ) (* najmanjša y koordinata na ekranu *) (* majvecjav koordinata na ekranu *) TYPE vector =RECORD x, y : integer; END; VAR count: catpos, catvel, rnousepos, mousevel : catmove: integer ; vector; boolean; (* stevec potez *) (* mackin po lozaj * ) (* mackina hitrost *) (* miskin polozaj *) (* miskina hitrost * ) (* macka na potezi *) PROCEDURE initscreen ; EXTERNAL ; PROCEDURE line [x l , vt. x2 , y2 : int eger ) ; EXTERNAL; PROCEDU RE init (VAR count:integer ; VAR catpol, catvel , mousepol, mousevel : vector ; VAR catmove : boolean) ; BEGIN count := O; catpol.x := minx + 10; catpol.y := miny + 10; catvel.x := O; catvel.y := O; mousepol.x := maxx - 10;mousepol.y := maxy - 10; mousevel.x := O; mousevel.y := O; catmove := TRUE ; initscreen; line(catpol.x,catpol.y , catpol.x.catpol .v): line(mousepol.x,mousepol.y, mousepol.x,mousepol.y); END; 37 (* stari polozaj *) (* mackin pospesek *) PROCEDURE catlcatpos, catvel, mousepos, mousevel: vector; VAR accel: vector): BEGIN (* tu manjka podprogram, ki doloci mackin pospesek v spremenljivko accel *) END; PROCEDURE mouse(mousepos,mousevel,catpos,catvel : vector; VAR accel: vector); primer preproste miske, ki se giblje z največjim pospeskom ali pojemkom *) BEGIN IF mousepos.x < (minx+maxx) DIV 2 THEN accel.x := 1 ELSE accel.x := -1; IF mousepos.y < (miny+maxy) DIV 2 THEN accel.y := 1 ELSE accel.y := -1; END; PROCEDURE playcat (VAR catpol.catvel: vector; mousepol.mousevel: vector); VAR . oldpos, accel : vector; BEGIN oldpos := catpos; accel.x := O;accel.y := O; cat (catpcs.catvel.mousepos.mousevel, accel); catvel.x := catvel.x + accel.x; catvel.y := catvel.y + accel.y; catpos.x := catpos.x + catvel.x; catpos.y := catpos.y + catvel.y; IF (accel.x<-l) OR (accel.x> 1) OR (accel.v < -1) OR (accel.y > 1) OR (catpos.x < minx) OR (catpos.x > maxx) OR (catpos.v < miny) OR (catpos.v > maxy) THEN writeln ('macka goljufa!') ELSE line (oldpos.x.oldpos.v ,catpos.x,catpos.y); END; / 38 (* stari polozaj *) (* miskin pospesek *) PROCEDURE playmouse (VAR mousepol,mousevel: vector; catpol, catvel: vector); VAR oldpos, accel: vector; BEGIN oldpos ;= mousepos; accel.x := O; accel.y := O; mouse(mousepos,mousevel,catpos,catvel,accel); mousevel.x := mousevel.x + accel.x; mousevel.y := mousevel.y + accel.y; mousepos.x := mousepos.x + mousevel.x; mousepos.y := mousepos.y + mousevel.y; IF (accel.x<-l) OR (accel.x > 1) OR (accel.y < -1) OR (accel.y > 1) OR (mousepos.x < minx) OR (mousepos.x > rnaxx) OR (mousepos.y < miny) OR (mousepos.y > maxy) THEN writeln ('miska goljufa!') ELSE Iine( oldpos.x .o Idpos.y ,mousepos.x ,mousepos.y); END; BEGIN init (cou nt.catpos,catveI.rnousepos.rnouseve I,catmove) ; WHILE catpos <> mousepos DO BEGIN count := count + 1; fF catmove THEN plavcat (catpos,catvel,mousepos,mousevel) E LSE playmouse (mousepos,mousevel,catpos,catvel); catmove := NOT catmove; END; writeln ('macka je ujela misko v ',count, ', potezi'); END. V vsaki potezi lahko podprogram premakne svojo miško ali mačko, ne pa obeh hkrati. Zmaga podprogram, katerega mačka najprej ujame nasprotno miško . Ta igra je bolj primerna za tekmovanje, saj določi skupno najboljši podpro- gram, je pa precej bolj zapletena, saj se moramo odločati še med tem, ali bo- mo premaknili svojo mačko ali miško. Rok Sosič 39 /\IOl l-ll: C ,II lL_ ..tt: NEKAJ MATEMATICNIH . NALOG ZA OSNOVNOŠOLCE 5. razred 1. Poišči takšno naravno število n , ki nam pri deljenju s 6 da ostanek 4 in količnik 15. 2. Določi elemente množicA inB,čejeA U B= {a,b,c,d,e} ,A \ B= = ta, b} in B \ A = {c, e ] . 3. Čimbolj spretno izračunaj vsoto vseh naravnih števil od vključno 200 do vključno 300. 4. Prijatelja sta se skupaj odpravila na ribolov. Prvi je ujel pet rib, drugi pa samo tri. Ko sta jih spekla, se jima je pridružil znanec in ju prosil, da bi obedoval z njima. Ribe so si razdelili na tri enake obroke. Po obedu je zna- nec ribičema plačal 800 dinarjev. Kako bosta pravično razdelila ta denar, če so bile vse ribe enako velike? 6. razred 1. Načrtaj trikotnik ABe, za katerega velja: a = 5 cm, ve = 3,4 cm in a = 30° . 2. Določi naravni števili x in y tako, da bo izpolnjena enačba x 2 1 S-y=3Q" 3. Janez je prebral 7/10 knjige. To je bilo 64 strani več, kot mu je ostalo do konca. Koliko strani je v tej knjigi? 7. razred 1. Izračunaj : a. (2 - 0,25.0,8):(0,1 + 0,16.0,5) b. (0,72 - 0,12:0,1):(0,02 + 1/5) Tudi to pomlad so prizadevni učitelji iz Sovenskih Konjic zbrali in nam poslali šopek nalog, za katere upamo, da vam ne bodo povzročile veliko težav ob reše- vanju. Morda pa bo temu zgledu sledil še kdo izmed osnovnošolskih učiteljev in učitelj ic matematike? Gorazd Lešnjak 40 2. Za x = -1/2 ima izraz 4x - (m - 2) /3 vred nost -1. Kakšna je njegova vrednost pri x = -0,25? 3. Določite tiste vrednosti x, za katere je vrednost izraza (x - 1) / (x 2 + 1) a. pozitivna; b. negativna; c. izraz nima pomena. 4. Kateri večkotnik ima dvakrat toliko diagonal kot oglišč? Izračunaj vsoto njegovih notranj ih kotov. 5. Ali je mogoče 55 telefonov povezati z direktnimi linijami tako, da bo vsak izmed njih imel direktno zvezo s točno enajstimi telefoni? 6. Trije avtomobili so istočasno odpeljali po cesti iz mesta Abra proti mestu Kadabra. V dveh urah je prvo vozilo prevozilo 62,5% celotne poti , drugo 7/9 in tretje 0,8 poti . Kako dolga je cesta med tema mestoma, če je tedaj imelo vozilo , ki je bilo najbližje cilju, pred seboj še 36 km poti? 7. Ko lonec napolnimo z vodo, imata oba skupaj maso 2000 g. Če odlijemo 20% vode, se celotna masa zmanjša na 88% prvotne mase. Določi masi lonca in vode. 8. Izračunaj vrednost izraza 0,001a3b 2 - 500a 2b3 • Pri tem je a največje dvo - mestno negativno število, b pa je najmanjše celo število med -5,1 in -2,4. 9. Premici p in q se sekata pod kotom 60° . V manjšem kotu med njima načrtaj takšni krožnici k in k', da se bosta dotikal i ena druge in obe obeh premic . 8. razred 1. Poenostavi izraz 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 /(1 + x) 2. Poišči rešitve enačb a. 0,24 ;(1,2 + (O,5x -1,8)/1,5) =0,08 b. (2m + 3)2 - (2m + l) e = 176 3. Predstavi ulomek 9/91 kot razliko ulomkov z imenovaleema 7 oziroma 13. 4. Aleš je opravil najprej 4/9 dela, nato še 3/5 ostanka. Bojan je delo do- končal in za to dobil 1000 dinarjev. Kakšno je plačilo za celotno delo? 5. Na sestanku je o predlogu glasovalo 180 udeležencev. Zanj jih je bilo 18 več kakor proti njemu. Koliko jih je glasovalo proti predlogu? 6. Znano je, da je cena diamanta sorazrnerna s kvadratom njegove teže. Pri brušenju diamanta je odpadel košček in s tem se je njegova cena zmanjšala za 36%. Koliko odstotkov skupne teže je tehtalodlomljeni košček? 7. Obseg trikotnika s stranicami a, b in eje 34 cm. Vemo, da je a : b = 3/8 in b : c ~ 4 : 3. Koliko merijo stranice? 41 8. Deset metrov visoka smreka se je prelomila tako, da se vrh dotika zemlje 5 m od vznožja, spodnji konec odlomljenega dela pa se še dotika mesta preloma . V kateri višini se je smreka prelomila? 9. V t rikotniku MNP je kot MPN pravi , nožišče O višine iz P pa je od M oddaljeno 4 cm in 9 cm od N. Koliko meri višina Pa? 10. Rob pravilne štiristrane prizme a meri 3 cm, višina h pa 12 cm. Za kakšno kocko velja , da sta površini obeh teles v enakem razmerju kot njun i pro- stornini? Še dve nalogi za vsakogar : 1. Ali lahko med spodnje številke postaviš znake +, -, ., : tako da bo račun dal vrednost 2? 98765 432 1 2. Vstavi ustrezna števila namesto zvezdic: * * * * 2 * * 8 * * * * * * * * * * 9 * * 7 Če ne gre, najdete rešitve na strani 61 Pisma bralcev Učitelji matematike in fizike iz Slovenskih Konjic V zadnji številki lanskega šolskega leta smo objavili le eno od dveh nalog, ki nam jih je poslal Samo Dreo iz Poljčan, dijak STŠ Maršala T ita iz Celja. Naloga je spraševala, kje je zakopan zaklad . Gusarji kralja Richarda so ga z vašo pomočjo že našli. Tudi domov so že pripluli . Tokrat uganite , kateremu od nj ih je kralj dal največjo nagrado za prizadevnost pri iskanju zaklada. Dušica Boben 42 NALOGE O LUNINIH MENAH Nariši medsebojno lego Sonca, Zemlje in Lune za prizor iz tele pesmice: "Sonček čez hribček gre, Lunca pa za gore, zvezdice svetle se potope." Katero meno je videl pesnik? Iztegni eno roko v smeri Sončka iz prizora, drugo pa v smeri Lunce. Kolikšen je kot med njima? Kolikšen je kot med rokama, iztegnjenima v smeri Sonca in Lune ob ščipu, kolikšen je ob krajcih in kolikšen ob mlaju? Nariši medsebojne lege Sonca, Zemlje in Lune za vse štiri Lunine mene. Janez Ferbar Kdo si zasluži največjo nagrado? PO mnogih avanturah so se z zakladom vrnili domov. Kralj Richard jih je pokli- cal na dvor ter jim rekel: "Gusarji moji, vsi ste se lepo izkazali, ampak povejte, kdo od vas je bil najbolj prizadeven." Na to vprašanje mu je odgovorila Rdeča hobotnica: "Vaše veličanstvo, vsi smo se zelo trudili, a najbolj so se Enozobi vrag, Nori morski pes, Krilata pošast in kapitan." "Praviš, da so se ti možje najbolj trudili. Prav, pa jih bom nagradil. Toda prej mi morate povedati, kateri od vas štirih si zasluži največjo nagrado ." Odgovorili so mu takole: Enozobi vrag: "Prav gotovo si jaz zaslužim največjo nagrado." Nori morski pes: "Nikar mu ne verjemite, laže tako hitro, kakor pes teče. Kapitan si zasluži največjo nagrado." Krilata pošast: "Nori morski pes laže." Kapitan: "Krilata pošast si zasluži največjo nagrado." Kralj začne premišljevati, a v tem trenutku priteče v dvor Okrutni B iII, ter reče: "Vaše visočanstvo, eden je lagal, dva sta govorila resnico, za enega se pa ne ve." "Kako pa ti to veš, ko te ni bilo v dvoru?!" "Slišal sem jih na ladji, takrat, ko so se dogovarjali." Kralj je potem z lahkoto rešil uganko. Ali jo znate tudi vi? 43 I~OI/I[E KAKO NISVA POSTALA MILIJONARJA Na Rub ikovo kocko smo vsi že skoraj pozabili . Pred nekaj leti pa je bilo druga- če. Takrat smo vsi iskali nove in nove postopke in matematič ne obrazce, s ka- terimi bi kocko čim hit reje sestavili . Danes jo verjet no le še malokdo zna se- staviti. Kot vsaka i g r ač ka , ki se je navel ičamo , je obležala na dnu kake omare. Ob kock i se je pojavila prava poplava sestavljank, ki razen spretnih rok zahtevajo predvsem ob ilo logičnega sklepanja, prostorske predstave in vizu - alnega pomnenja . Posamezniki in nekateri pro izvaja lci takšnih igrač so čez noč obogatel i. Ob Rubikavi kocki dimenzije 3 x 3 x 3 so se pojav il i še: kocka 4 x 4 x 4, domino kvader 2 x 3 x 3, tetraede r, okrogla 'kocka', kač a, barvaste kroglice , izdelani so bili celo načrt i za kocko 5 x 5 x 5. Zd i se pa, da poč as i zamira zanimanje za tak tip ig rač. Vendar Erno Rubi k , genialni madžarski izum ite lj, ni miroval. Po nekaj letih zatišja je prišla na trg njegova nova igračka, k i jo je poimenoval "MAG IC", To je osem ploščic, k i so povezane med seboj tako, da sestavljajo 2 x 4 ploščo . Na eni strani plošče so narisani na črn i pod lagi trije mavr i č ni obroč i (ko je ig rač a nesestavljena) , na drugi strani pa so narisani kosi mavričnih obročev. Bistvo izuma nove igračke je izredno domišljena povezava posameznih ploščic med seboj. Povezane so z najlonskimi vrvicami , k i po min iaturnih žlebovih se- gajo čez celotno površino ploščic , tako da ploščice lahko prevračamo, vrtimo in iz igračke naredimo najrazličnejše prostorske like (obroče , stole, stolpe ipd) . Pri tem p loščice nikoli ne razpadejo , kakorko li so obrnjene, vedno jih vrvice držijo skupaj. Naloga sestavljanke pa je v tem, da z najrazličnejšimi t ransfor- macijami premešamo ploščice med seboj tako, da kosi mavričn ih obročkov , ki so narisani na zadnji strani igrače, tvor ijo tri med seboj sklenjene mavrične obroče . Takrat ploščice niso več zložene v ploščo 4 x 2, ampak v 3 x 3 z eno manjkajočo vogelno ploščica. Ob novi Rubikavi igrački sva se spomnila zgodbe, ki bo mogoče zanimiva tudi za bralce Preseka. Pozimi pred šestimi leti, ko so se ševsi ukvarjali z Rubi - kova kocko, sva začela razmišljati, ali bi bilo mogoče napraviti podobno sestavljanko iz kakšnega drugega telesa. Naju ni zanimala teorija in spretnost v sestavljanju kocke, temveč čisto tehnično vprašanje, kako je kocka sestav lje- na. Na podoben način , kot je Rubik razstavil kocko na posamezne elemente in jih smiselno povezal, sva razmišljala, bi bilo mogoče razstaviti na med seboj povezane kose tudi kakšno drugo geometrijsko telo (in s patentom zaslužiti 44 kakšen dinar) . Kot je znano, obstaja v tridimenzionalnem svetu le pet pravilnih geome- trijskih teles, ki jih je prvi opisal že Arhimed in jih tudi imenujemo Arhimedova telesa. To so: tetraeder, ki ga omejujejo štirje enakostranični trikotniki, oktaeder, ki ga omejuje osem enakostraničnihtrikotnikov, heksaeder ali kocka, ki jo omejuje šest kvadratov, dodekaeder, ki ga omejuje dvanajst pravilnih petkotnikov, ter ikozaeder, ki je omejen z dvajsetimi enakostraničnimi trikotniki. Kocko je obdelal že Rubik in tudi tetraeder sva že videla v neki reviji. Za oktaeder nisva imela prave predstave, kako bi ga bilo treba "razrezati", da bi se posamezne plasti lahko vrtele, ikozaeder pa je že "preokrogel", da bi se dalo posamezne plasti enostavno vrteti (verjetno pa bi bilo zanimivo telo, zgrajeno na ikozae- dru, s posameznimi "izrastki", ki bi olajšali sestavljanje takšne igračke). Tako Prototip magičnegadodekaedra BOMIDO. 45 nama je ostal samo dodekaeder, ki je po najinem mnenju tudi najlepše pravilno geometrijsko telo. Lotila sva se matematičnih preračunavanj in risanja načrtov. To nit i ni bilo težko, saj je za to delo zadostovalo že znanje srednješo lske trigo- nometrije, midva pa sva takrat že bila študenta matematike . Izkazalo se je, da je notranji mehanizem v bistvu enak kot pri Rubikovi kocki , le prilagojen dru- gačnim geometrijskim lastnostim. Največja težava za predstavo je v tem, da nikjer ni pravega kota . Za potrditev teorije, da mehanizem tako razdeljenega telesa resnično deluje, je Miro v očetovi mizarsk i delavnic i z očetovo pomočjo izdelal prototip. Ta je , nekoliko trdo sicer , popolnoma brezhibno delova l. Prototip sva odnesla k fotografu, ki ga je z vseh stran i, znotraj in zunaj, poslikal. Načrte in slike sva odnesla v patentno p isarno in vložila pr ijavo "Pro- storske logične igračke BOMIDO" (Boris Miro Dodekaeder) kot model. (Prav med pisanjem članka za Presek sva dobila od Patentnega urada obvestilo, da je bila potrjena zaščita modela.) Po prijavi modela na patentnem uradu sva spo- 46 BOMIDO v notranjosti. mladi leta 1982 začela iskati proizvajalce najine igračke, saj sva, po Rubikovem vzoru, tudi midva želela postati milijonarja. Toda tu se je zataknilo. Nobena tovarna kovinsko-plastičneusmeritve, noben domžalski plastičar ni bil dovolj navdušen nad najino idejo, da bi bi! pripravljen vložiti denar v razvoj orodja za dodekaeder. Ker telo nima nobenega pravega kota, se je vsem zataknilo že pri izdelavi načrta za oradje. Po nekaj mesecih sva obupala nad nerazumevajočo domovino in se odločila za agresivni prodor na svetovno tržišče. Med prvomajskimi prazniki sva z vsemi slikami in dokumenti odpotovala v London. Že prej sva se, bila pismeno oziroma telefonično dogovorila za sestanek z Davidom Singmastrom, matematikom, ki je bil takrat glavni popu- larizator in teoretik Rubikove kocke, in z Jamesom Dalgetyjem, ki je bil kot direktor firme Pentagle novopečeni bogataš po zaslugi Rubikove kocke in po- dobnih igrač. Na domu pri Singmastru sva bila že ob devetih dopoldne. Vedel BOMIDO na risalni mizi. 47 je sicer, da je mogoča konstrukcija magičnega dodekaedra po vzoru Rubikove magične kocke , vendar prototipa še ni videl. Navdušeno si je ogledoval foto - grafije najinega ročno izdelanega modela, posebej še, ko je slišal , da model deluje. Obisk pri Singmastru je bil zelo zanim iv. Še kakšni dve uri sva ostala pri njem in v tem času nama je pokazal cel muzej najrazličnejših sestavljank z vsega sveta. Samo o Rubikovi kocki je imel cele police knj ig in priročnikov , prav tako z vsega sveta. Kasne je sva mu poslala knj ižico, ki je izšla pri beo- grajsk i založbi Galaksije. Nekaj igrač, nalepk , plakatov in priponk nama je podaril, še ve č pa sva jih kupi la v improvizirani trgovin i v njegovi hiš i. Najbolj sva se navduševala (kot konjičkarska mizarja) nad sestavljankami (puzzles) iz plemenitega lesa. Na primer zmešnjava različnih ali celo enakih teles, ki se- stavljajo kocko ali kakšno drugo pravilno telo . Obstajajo cele matematične teorije , kak o je mogoče pravilno telo razrezati na simetrična telesa in takšne sestavljanke sploh niso enostavne . Singmaster naju je prijazno odpeljal do središča Londona, kjer sva imela za opoldne dogovorjen sestanek :v McDonnaldov i restavrac iji z Jamesom Dalgetyjem. Dalgety ni bil dosti starejši od naju, ime l je pravo lepotico za ženo in bleščeče no v športni avto Saab 900 tu rbo (!) Ž e sva se tudi sama videla v takšnem avtomobilu, ko sva še pred pričetkom kosila dož ivela hladen tuš. Dalgety je sicer rekel, da sva pametna in pr idna, tudi on je bil navdušen nad lesenim modelom , vendar je iz to rbe privlekel na dan ne kaj plastičnih modelov - protot ipov dodekaedra, ki jih je prejšnji dan dobil v tovarn i. Bili so na las podobni t istim , ki sva si j ih zam islila midva, kar pomeni, d a so matematični in geometrijsk i zakon i povsod enaki. Povedal nama je , da sva kakšen mesec prepozna z naj inim patentom , takrat ga je namreč on odkup il od nekega Madžara . Dva meseca kasneje je stekla že redna proizvodnja magičnega dode- kaedra. V tol ažbo sva po pošti dobila prve primerke . Pred kra tkim so prijatelji v Londonu v več velikih trgovinah z igračami iskali magičn i dodekaeder . Povsod so še imeli Rub ikovo kocko v najrazličnejših izpe ljan kah, toda dodekaedra ni bilo mogoče nikjer dobiti . Prodajalci so po- vedali, d a je imel zelo malo uspeha , verjetno se je ljudem zdel prekompliciran (v zmešnjavi dvanajstih barv se je res težko znajti), in da že dolgo ni več v pro- daji. Sicer pa sestavljanje samo ni bilo nič težje kot pr i kocki, le da je bilo ne- koliko več dela. Dodekaeder je b il na neki način kopija kocke in ponovitev ne more biti niko li tako uspešna kot originalna zamisel. To so neizprosni zakoni potrošn iške mental itete in svobodnega tržišča. Le kdor jih zna dobro oceniti in v pravem t renutku ponuditi nov proizvod , se lahko nadeja uspeha. Tako nisva postala m illjonar]a , celotno zgodbo pa sva ohranila v prijetnem spominu. Kdor ne poskusi, tud i uspeti ne more . 48 Kot nekdanja študenta matematike sva sklenila, da v spomin na to zgodbo podariva najin prototip matematični knjižnici , da bo stal v vitrinah knjižn ice v tretjem nadstropju na Jadranski 19 v Ljubljani. Pisani magični dodekaeder (glej IV stran ovitka) lahko naročite pri Perrta- gle, Paradox Engineering Ltd., Over Wallop, Hampshire, 5020 8HT, Velika Britanija z nakaz ilom 84:. . Hkrati pa razpisujeva nagradni natečaj na temo magičnega dodekaedra, ka- terega prototip si lahko ogledati na slikah . Odgovoriti mo rate na naslednja vprašanja: 1. Koliko je sredinskih , vogalnih in koliko robnih delov magičnega dodeka - edra? Odgovor utemeljite z izpeljavo enačb za števila robov in vogalov poljubnega poliedra (to je naloga za ogrevanje). 2 . Koliko barvnih nalepk, to je, koliko petkotnikov potrebuje za sredinske elemente, koliko rombov za vogalne elemente in koliko trikotnikov za robne elemente? Odgovor utemeljite. 3. Kolikšna sta volumna robnega in vogalnega elementa in kolikšen je volu- men vsega dodekaedra (v odvisnosti od dolžine roba dodekaedra)? 5. Kolikšen je polmer včrtane in o črtane krogle dodekaedra in kolikšen pol- mer krogle, ki se dotika robov? Priložiti morate tudi vse računske izpeljave. O nagrajencih bo razen pravilnosti odgovorov odločala tudi elegantno izpeljana rešitev. Še majhen nasvet: v pravi- lnem petkotniku se skriva zlati rez, s pomočjo katerega lahko izračunamo kotne funkcije posameznih kotov, ki jih bomo potrebovali pr i izračunih. Najboljše odgovore bomo objavili, za nagrade pa razpisujemo en pravi magični dodekaeder in pet knjižnih nagrad iz Presekove knjižnice. Rok za oddajo odgovorov je 1.11.1987. Pošljite jih na uredništvo Preseka. Boris Horvat in Miro Lozej 49 ODVEDLJIVOST "AH" IN "OH" Kraguljčki cingljajo, bele sani z vprego se prebijajo skozi zimsko pokrajino. Ležim na saneh, ves obdan s prijetno toplo kožuhovino in opazujem pokrajino . Okrog in okrog so beli hribi poraščeni s čudovitimi smrekami in obsijani s soncem. Idilo le tu in tam zmoti kočijaž s surovo kletvico. Mož, star kakih šestdeset let, poraščen, zanemarjen, od njega veje kiselkast vonj po potu. Vse življenje je kočijaž, vse življenje je presedel na kočijah in saneh, poslušal pogovore potnikov: modre, pa tudi nič kaj pametne. Le tu in tam se ozre po meni, in na obrazu se mu vidi, da želi povedati nekaj pametnega. Sonce sije vedno močneje, vedno bolj in bolj se žarki odbijajo od zasneže- nih poljan. Svetloba postane slepeča, neprijetna - celo boleča . .. Skozi polspuš čene rolete vdira jo v sobo prodorni žark i zimskega sonca. Sanje, sanje. Saj je bilo prelepo, da bi trajalo . Spet sem vržen v kruto resničnost. Ura je že enajst. Počasi in s težavo se odvlečem v kopalnico. Edino, kar vidim pred seboj, je tuš , mrzel tuš, ki bi še mrtvega prebudil. Po tem udarcu, ki bi se prav lahko tragično končal, se zavem svojega položaja. Kot strela z jasnega me preši ne . 'Fant, učiti se bo treba!' Počasi, s polževo hitrostjo se pomikam nazaj v sobo. Na mizi v kotu leži zaprašena knjiga. 'Mate- matika 4' piše na njej . Odprem jo in v mislih na včerajšnji žur listam po njej. ' Fun kcija f je odvedljiva v točki Xo natanko tedaj, ko se da p rirastek funkcije razčleniti v linearni del (premosorazmeren h) in v del, ki gre hitreje proti O kot prirastek neodvisne spremenljivke h. f(xo + h) - f(xo) =Ah + G(h) Res! Če je f odvedljiva v Xo velja: f(xo + h) - f(xo) = f'(xo)h + G(h) to pa je toliko, kot če je A = f' (xo) Delimo prvo enačbo s h: f(xo,h) = A + h-1 G(h) Ko gre h prot i O konvergira desna stran proti A z njo se steka tja tudi leva.' Funkcija je res odvedljiva v xo. Njen odvod v Xo pa je enak koeficientu A. Dvignem glavo in se zagledam proti postelji . Počasi, a vztrajno konvergi- ram proti njej, končno pa se leva in desna stran telesa znajdeta v postelji. O, blaženi raj ...... 50 Kočijaž grdo pljune in se končno opogumi . Obrne se k meni, me premeri in začne: 'Fant moj . Vsa modrost tega sveta je skrita v MATEMATIKI ..: Zavijem se globlje v kožuhovino in utonem v globok, globok SPANEC ... Goran Miloševič NOVE KNJIGE B.M. Ševarlič, KRATKA ZGODOVINA ASTRONOMIJE, 2. del, Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, 1986, 180 strani, prevedla Pavla Ranzinger. - (Knjižnica Sigma; 42) V zbirk i Sigma Društva matematikov, fizikov in astronomov SRS je v prevodu Pavle Ranzinger izšla knjiga B.M. Ševarliča lstorija astronomske nauke, od Njutnova doba do naših dana, Beograd 1986. Zanimiva in zelo koristna knjiga, ki smo jo dobili sedaj tudi v slovenskem prevodu, podaja okritja, raziskave in dejavnosti na področju astronomije od Newtona do današnjih dni. Bralcu omogoča dovolj izčrpen pregled nad doga- janji na področju "kraljice" znanosti v zadnjih stoletjih. Vendar branje knjige zahteva določeno astronomsko in fizikalno predznanje. Knjiga ima na 180 straneh snov razporejeno v 5 poglavjih: Razvoj astrono - mije , Razvoj teoretične astronomije in nebesne mehanike, Začetek in razvoj zvezdne astronomije, Začetek in razvoj astrof izike ter Začetek in razvoj kozmogonije in kozmolog ije. Vsako poglavje predstavlja dovolj zaključeno celoto, jezik je tekoč, prevod dovolj korekten . Prevajaika in strokovni recen- zent Andrej Čadež sta z dovoljenjem avtorja nekatere odstavke izpustila, ne- katere pa sta predstavila v nekoliko spremenjeni obliki, odpravljene so tudi pomanjkljivosti, ki jih vsebuje original. Zelo koristno je stvarno kazalo , ki ga original ne vsebuje, prav tako so dobrodošle slike astronomov in instrumentov, ki jih v originalu ni najti. Braica bo knjiga vsekakor vzpodbudila , da bo marsi- katero pojasnilo šel iskat v ustrezno literaturo. Knjigo, ki je izšla v bolj okusni obliki kot original, zelo priporočam vsem, k i se zanimajo za dogajanja v astronomiji v zadnjih stoletjih. Tako jim bodo dost i bolj razumljive poti, po katerih se razvija astronomija danes. Bogdan Kilar 51 5. obseg o (na 5 mest) 11 .težiščnica na stranico a : ta 14 . težiščnica na b 18. višina na b KRIŽANKA - TRIKOTNISKE FORMULE VODORAVNO : V trikotn iku poznamo dolžine str anic a = 4290, b = 4620, c = 4950. Rezultate zaokrož i na št iri mesta . Za kote uporabi dve mesti za sto- pinje, dve za minute in dve za sekunde . 1. polobseg s 10. višina na stranico a : va 12. višina na c 16. te ži š čn ica na c 19. ploščina p (na 7 mest) 20 . po lmer stranici a pričrtane krožnice Pa 21. dolž ina simetrale notranjega kota Su 22 . polmer stranici b pričrtane krožnice Pb 23 . simetrala kota 13 : "« 24 . polmer stranici c pr ičrtane krožnice Pe 25 . simetrala kota r: s-y 26 .23 - 13 27. kot a v stopinjah , minutah in 29 . kateta pravoko tnega trikotnika z sekundah eno katero 1457 in hipotenuzo 31 . velikost kota 13 1585 33 . enaki cifr i 34. velikost kota r NAVPiČNO: 1.54-2 2.3.(2.3 2 .179-1) 3. 29.23.(31 3 + 2.312 + 2.3 1 1 + 2.39 + 2.37 + 34 + 1) 5.22 .31 6.2.3.5.(7 7 + 3.7 6 + 5.75 + 3.7 4 + 3.7 2 + 7 + 1) 7.2.311.11.(2.(310 -52)-5.132 ) 9. cifri v dvojiškem sestavu 13.28.5.(48 - 1) 15.47.(210 + 2 7 + 5.2 3 + 1) 17.5.132 20.5 .7.(60 - 1).19 22.5.(7.10 + 3) 23.2 .(25 .3.197 - 1) 25.22.32.97 26. diagonala pravokotnika s stranica-o 28. 36 - 2 ma 2720 in 6969 30. število, ki je enako vsoti svojih 32.2.(24 + 1) pravih deliteljev (kot npr. 6 = 1 + 2 + 3) Franci Oblak 52 2s 1 2 3 4 [2] 5 6 7 8 9 10 [2] 11 ~ +b+e 12 13 [2] 14 15 ~2 2p 16 17 ~ 18 a 19 Kl]S (S - a)(s-b)(s - e) .e: 20 [2] 21 s- a 22 ~ 23 ~S 24 ~ 25 ~ 26 be 27 28 ~ 29 30 P y 2(b2+r! )-d 31 32 ~ 33 b:e y s b e (s ;o ) 34 ~ 2 are t 9 (s-b)(s-e) a =are eos b 2+ / --d s. (s - a) 2be e=.E.... 0= s=a S =a a= a r=-4- t - 1a-ž ČRNA OVCA, NATANČNA POVRŠNOST IN NORA NATANČNOST "Glej, glej! Na Angleškem so pa ovce črne," navdušeno ugotovi astronom, ko zagleda črno .... ovco. "Kako ste astronomi površni," se skuša izkazati fizik: "Kot znanstvenik lahko trdiš le, da so na Angleškem nekatere ovce tudi črne." "Neumnost," zavzdihne matematik : "Z gotovostjo lahko trdimo le, da je na Angleškem vsaj ena ovca, ki je črna vsaj na eni strani .: " Damjan Kobal 53 PREMISLI IN REŠI V novi nalogi boste pomagali Smrketi na begu pred Gargamelom. SMRKETA NA JEZERU Smrketa vesla po okroglem jezeru polmera 100 metrov, medtem ko nanjo preži na obali hudobni ča­ rovnik Gargamel. Je sicer neplavalec, teče pa hitreje, kot Smrketa vesla: Gargamel teka s hitrostjo 7 mis, Smrketa vesla le s hitrostjo.2 mis. Če ji uspe doseči obalo, ne da bi naletela na čarovnika , je rešena, kajti teče hitreje od njega. Poma- gajte Smrketi, povejte ji - in Pr- seku - kako naj vesla, da bo dosegla obalo, ne da bi srečala Gargamela. Nasvete pošljite Preseku (za PIRl,61111 Ljubljana, Jadranska 19, p.p. 64, do 30. septembra 1987. Franci Oblak ,-- --- - - - ~ ," ," "-;' /~l> -. / // '\" I / ," - ...-, \ \ I f I ' \ \ 1 I I \ \ I \ 1 o I I 1 \ \ \ / I I \ \ '-~ I /, '" / \ , ' ..... .... ,/- ----, ' - - - - - - Rešitev iz P XIV /4 - Razdeliva si vino Tokrat smo imeli težave pri štetju pravilnih rešitev. Ali jih je bilo 45 ali pa 70, nepravilnih je bilo šest. Pravilne so nam poslali: Gregor BEGUŠ s Kojskega, Marko BOHANEC iz Križevcev pri Ljutomeru, Drago BOKAL iz Polhovega Gradca, Peter BORŠTNAR iz Medvod, Vilijana BRUNEC iz Slovenske Bistrice, Silvan BUCIK iz Tolmina, Peter ČADEŽ iz Radovljice, Lea ČERNILEC iz Naklega, Jelena DUKANOViČ iz Zgornje Kungote, Marko GOMBAČ iz Postojne, Igor GREŠOVNIK iz Dravograda, 54 Boštjan HAUPTMAN iz Šmartnega pri Litiji, Janez HOČEVAR iz Trebnjega, Matjaž HORVAT iz Murske Sobote, Sonja JERiČ iz Cerkelj (5 krat), Sarie Ana JUŽNiČ iz Ljubljane, Matej KARAHODŽiC iz Črnuč , Doroteja KOBAL iz Renč, Robert KOLMANiČ iz Ljubljane, Marija KOSEC iz Cerkelj, Andreja KUKOViČiČ iz Brestanice, Bojan KLEINDIENST iz Maribora, Jana LAČEN iz Ljutomera, Franja LIPOVŠEK iz Sevnice, Robert MEOLlC iz Bakovcev, Tanja METELKO iz Kopra, Ksenija MIŠIGOJ iz Dobrovega, Milan ORNIK iz Voličine, Izak PODGORNIK iz Ljubljane, Nataša POSEL iz Miklavža, Igor PUSTiŠEK iz Škofje Loke, Damijan SVETINA iz Kranja, Branko ŠČAVNI­ ČAR iz Ljotomera, Mitja ŠTERMAN iz Ajdovščine, Jože ŠRAJ iz Borovnice , Bogdan TERTINEK iz Pekr, Majda TURNER iz Pragerskega, Miha VERGELJ iz Lesc, Robert VREČA iz Maribora, Primož VIZLAR iz Ljubljane, Andrej ZALAR iz Šentjurja pri Celju, neznani bralec iz Podbočja J 21 učencev 6.c razreda osnovne šole Miklavž na Dravskem polju, Joži PINTAR iz Dražgoš, Saša MOHORiČ iz Škofje Loke, Tinka SELIČ iz Šentjurja pri Celju. Učenci iz Miklavža so nam poslali rešitve - povsem enake - vsak na svoji dopisnici. To je bil kar odvečen napor in delo za pošto. Podobno nam je Sonja iz Cerkelj poslala pet pisem z enako vsebino. Nagrado, knjigo Kratka zgodovina astronomije B.M. Ševartiča. ki je prav- kar izšla v zbirki Sigma, smo s pomočjo žreba poslali Damijanu Svetini, Marij i Kosec, Sarie Ani Južnič in 6.c razredu v Miklavž. Večina reševalcev je šla po isti poti, nekateri so nam poslali več rešitev. Prepisali smo shematično rešitev Andreje Kukovičič. 8-litrska steklenica začetek prelivanja 8 1. 3 2. 3 3. 6 4. 6 5 . 1 6. 1 7. 4 5-litrska steklenice o 5 2 2 O 5 4 4 3-litrska steklenica O O 3 O 2 2 3 O Peter Petek 55 /71" -'-/71" -'1/ "'" 1C I" I"", KOTNE FUNKCIJE c Sl ika 1 Ali bi znal i ugotoviti, kako visok je tovarnišk i dimnik, ki ga vidite vsak dan? Ali kako visoka je stolpnica, al i svetilka javne razsvetljave, ali drevo, ali .. In še mnogo podobnih vprašanj si lahko zastavimo. Odgovor nanje pa utegne biti zanimiv in preprost. Poskusimo skupaj spoznati kotne funkcije in, nenazadnje, odgovoriti na postavljena vprašanja. Začnimo skupna razm išljanja s ponovitvijo pojmov, ki jih srečamo ob pravokotnern trikotniku. Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima en pravi kot (90°) . Najdaljšo stranico v pravokotnem trikotniku, ki vselej leži nasproti pravemu kotu , imenujemo hipotenuza. Drugi dve sta kateti. Na sliki 1 smo kateti označili z e, b, hipotenuzo pa s c. Poznamo tudi Pitagorov izrek: a2 + b 2 = c2 . (Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov obeh katet.) Spomnimo se, da sta si dva pravokotna trikotnika podobna , če imata en ostri kot enak. Ker sta pravokotna , imata enaka dva kota , to pa že pomeni, da sta si podobna . Sedaj pa narišimo vsak svoj pravokotni trikotnik , ki bo imel en kot enak fJ = 30° . Seveda je takih trikotnikov veliko, izberite si svojega (tistega, ki vam je najbolj všeč). Važno je le, da je pravokoten in da eden izmed ostrih kotov meri 30°. Kot smo označili z fJ prav zato , da ostane izbira , v katero ogljišče ga po- stav ite, vaša. Sedaj pa pazljivo! Izračunajte količnik med dolžino nasproti kota fJ = 30° ležeče katete in dolži- no hipotenuze. Torej : do lžina katete nasprot i fJ dolžina hipotenuze Če ste lepo risali in prav r aču na l i , sta dobili ~. Najbrž ni težko uganiti, kako smo lahko ugan ili vaš količnik , čeprav vemo o vašem pravokotnem trikotniku , 56 le to, da eden od kotov meri 30°. Izračunajte še naslednje količnike: dolžina katete, priležne kotu (j dolžina hipotenuze dolžina katete nasproti (j ------------------ dolžina katete, priležne kotu (j dolžina katete, priležne kotu (j dolžina katete nasproti (j Dobili smo po vrsti: 0.9,0 .6, 1.7 (približno seveda!). Če bi bili bolj natančni: 0.866..t 0.577 .., 1.732 ... Razvozlajmo to skrivnost, ki sploh ni več skrivnost. Vsi pravokotni trikotniki, ki imajo en ostri kot enak 30° , so si podobni, to že vemo. Torej je vašpravokotni trikotnik podoben našemu. V podobnih trikotni- k ih so razmerja pripadajočih stranic enaka, torej smo morali vsi dobiti isti rezultat. (Glej sliko 2.) c Sli ka 2 Vse razmišljanje lahko ponovimo za kakšen drug kot (npr. (j = 60°, (j = 45° , (j = 32°, ...). Spet bi vsi dob ili iste količn ike, toda pri vsakem kotu drugačne. Ker so ti količniki odvisni le od velikosti kota, jih bomo označili: dolžina katete nasproti (j sin(j =---------------- dolžina hipotenuze dolžina katere. priležne kotu (j cosč =-------------------- dolžina hipotenuze dolžina katete nasproti (j tg(j =----------------- dolžina katete, priležne (j dolžina katete , priležne (j ctg(j =----------------- dolžina katete nasproti (j (beri: sinus) (beri: kosinus) (beri: tangens) (beri:kotangens) 57 V prejšnjem primeru smo imeli 8 = 30° in smo ugotovili, da je sin(300l = 0.5, cos(300 l = 0.87, tg(300) = 0.58, ctg(300 l = 1.73. Podobno bi dobili slnč , cos č , ...r za kak drug kot 8 . Če spremenimo 8 , se spremen ijo tud i sinč , cosč ... Opravka imamo torej s štirimi funkcijami. To so funkcije kotov in zato kotne funkcije. C Da bi si povedano dobro zapomnili, narišimo še enkrat pravokotni triko- tnik (slika 3l . Kateto nasproti kota b ~ smo označil i z b, kateto, ki je pri- ležna kotu ~, s c in hlpotenuzo z a. Sedaj lahko napišemo krajše: Slika 3 B • R b Sin,.., = - a cosf = E... a b tg~ =- c ctg~ = E... b tg~ = -2-- = ctg- 1~ c tq {3 Ker je hipotenuza najdaljša stranica pravokotnega trikotnika, sta funkciji sin8 in cosč manjši od 1 za vsak kot 8 . Da bi preverili, če smo povedano dobro razumeli, poskusimo sedaj sami ob sliki 3 napisati s pomočjo stranic, kaj je sinr. cosr. tg'Y, ctg'Y. (V pomoč: kateta nasproti kota 'Y je c .) Preverimo: sin-y = .f.. cos y = 1l. tg'Y = .f.. ctg'Y = 1l.e: e ' b ' c : Kotne funkcije imajo mnogo lepih lastnosti: al sin2~ + COS2~ = 1 ((sinm 2 bomo krajše zapisali kar sin2m S pogledom na sliki 3 in po Pitagorovem izreku velja: . 2 2 b 2 c 2 (b 2 + C 2 ) a2 Sin ~ + cos ~ =-- + -- =----- = -- = a2 a2 a2 a2 Gotovo boste znali sami preveriti sledeče lastnosti: bl tg ~ = ~!2.!!.-_ ctg~ = .E.~.!!._ cos {3 Sin {3 Pozorni bralec je ob sliki 3 opazil enakost: • R bsmp = -;; = cos-r Vemo pa, da je ~ = 90° - 'Y. To pomeni, da velja lastnost cl sin (90° - 'Yl = cosv za kakršenkol i 'Y. Podobno, se pripričajte sami, velja : cos(900 - 'Yl = sin'Y tg(90(l - 'Yl = ctg 'Y 58 ctg (90° - 'Yl = tg'Y Ne pozabimo, da smo razmišljanje začeli z "zahtevo", da je kot o med 0° in 90° . Kako bi sicer sploh narisali pravokotni trikotnik? Torej vemo zaenkrat le, kaj so kotne funkcije za kote med 0° in 90° (za ostre kote) . Kako bomo v nadaljnjem "dobili" vrednost kotne funkcije za neki dolo- čeni kot? Lahko čim natančneje narišemo pravokotni trikotnik z danim kotom , izmerimo dolžine stranic in izračunamo kotni funkciji pripadajoč količnik. Veliko hitreje bo , če vrednost kotne funkcije odčitamo v tabelah ("loga- ritemske tablice"). Še enostavneje bo uporabiti računalnik. Našega dogovora, kaj pomeni sina, cosa, ... pa nikar ne pozabimo, sicer bomo tudi z najboljšim računalnikom podobni butalcem, ki imajo telefonski imenik brez imen, le številke, pa so vsi srečni, ker imajo najtanjši telefonski imenik, čeprav je po - polnoma neupo raben . Kaj pa vprašanja iz začetka tega kramljanja? Ali smo se sploh naučili kaj uporabnega? Nikar ne odgovarjaj mo na vprašanja s še težjimi vprašanji! Raje poskusimo! Če se postavimo na pravo mesto, bodo "podnožje drevesa", "vrh drevesa" in "naše oči" tvorili pravo kotni trikotnik. Še prej izmerimo razdaljo od dre- vesa do mesta, od koder ga opazujemo. (Torej poznamo dolžino ene katete pravokotnega t irkotnika.) Kot, pod katerim vidimo drevo, lahko izmerimo. G lej sliko 4. ., :c---- - - - - - _ Sli ka 4 Ali je to dovolj, da določimo višino drevesa (dolžino druge katete)? Vemo, da je tgo = {, torej v = c. tgo. Poznamo c, poznamo o in znamo izračunati tgo, to pa zadostuje za izračun višine drevesa (v) . Kaj če nimamo pri roki kotomerja? Bi znali tedaj določit i višino drevesa, dimnika ...? Poskusite, opišite vaše razmišljanje in nam ga pošljite. Poglejmo si še eno, zelo nazorno predstavitev kotnih funkcij. 59 x y Slika 5 Narišimo koordinatni sistem in krog s središčem v izhodišču ter radijem 1. (slika 5). Narišimo pol- trak iz izhodišča,ki oklepa z x osjo kot 5. Presečišče krožnice in pol- traka označimo s T. Vztrajni bralec bo kot rezu lt at lastnega razmišljanja dobil, da so koordinate točke T (cosč , sinč} , Ob tej sliki bo gotovo jasen dogovor: sin 0° = O, cosu? = 1 in sin 90° = 1, cos900 = O. Kar samo se nam ob tej sliki ponuja tudi, kaj naj bo sin5 in cosč za kot 5, ki je večji od 90° , ali za negativni kot. Za kakršenkoli kot 5 narišemo poltrak, ki z x osjo oklepa kot 15 I v pozitivni smeri, če je 5 pozitiven, in v negativni smeri, če je 5 negativen. Najbrž že vemo, da je pozitivna smer obratna smeri urnega kazalca, negativna smer pa je smer vrtenja urnega kazalca. Tedaj je število cosč enako x koordinati, sinf pa y koordinati presečišča poltraka in krožnice. Sedaj torej vemo, kaj je sinč in cosč za kakršenkoli kot 5. Dogovorimo se še: tg5 = ~r.!..L in ctg5 = _L_ tudi za 5 ki ni med 0° in 90° . cosli tg li ' Večino tega ste ali še boste srečali pri rednem pouku, zato končajmo z nekaj vprašanji za najbolj radovedne. A li veljajo lastnosti al. b] , cl za vse kote? Zakaj velja sin5 = sinI 180° - 5)? Zakaj velja cosč = - cos( 180° - 5)? Zakaj velja sin5 = - cos(900 + 5)? . Zakaj velja sinč = - sin(3600 - 5)? Zakaj velja sin(-5) = - sinč? Zakaj velja cos(-5) = cosč? Koliko je tg 60° t tg 70° , tg 80° , tg 85° , .... , tg 90° ? Bi znali skicirati grafe kotnih funkcij? Kako je s kotnimi funkcijami kota, merjenega vradianih? Koliko je sin i-rd? (10 - 1T/180 rd) Gotovo to niso vsa vprašanja, ki si jih lahko zastavite. Odgovore lahko poskušata poiskati sami ali počakajte, da jih poiščete skupaj pri pouku (mogo- če pri krožku). Marsikaj boste še slišali o kotn ih funkcijah. Naj omenim le kosinusov izrek, ki ga lahko uporabimo v poljubnem trikotniku. Če so a, b, c stranice poljubne- ga trikotnika, 5 pa kot nasproti stranice e, velja a2 = b 2 + c2 - 2bc cosč. 60 Damjan Kobal NEKAJ MATEMATICNIH NALOG ZA OSNOVNOSOLCE rešitve nalog s strani 40 5. razred 1. Iz enačbe n - 4 = 15.6 dobimo n = 94 . 2. Iz podatkov sledi najprej A () B = {d} in zato je A = {a, b, d} in B = {C, d, e ~ . 3. 200 + 201 + ... + 300 = (200 + 300) + (201 + 299) + ... + (249 + 251) + + 250 = 50.500 + 250 = 25250 4. Trije enaki obroki so skupno vredni 2400 dinarjev. Cena ene ribe je potem 300 dinarjev. Ulov drugega ribiča je tedaj vreden 900 dinarjev in mu zato, upoštevaje njegov obrok, pripada 100 dinarjev. Prvi ribič dobi 700 di- narjev. 1. Dve možnosti! 2. Enačbo lahko prepišemo v obli- ko y(5x - 1) = 60 z edino reši- tvijo x = 1 in y = 15. 3. Če neznano število strani ozna- čimo z x, nam besedilo naloge narekuje enačbo 7 x /10 - 64 = = 3x/10. Reši jo x = 160, torej ima knj iga 160 strani. A 7. razred 6. razred 1. a. 10 b. 6/11 2. Pri x = -1/2 dobimo m = -1, to pa nam omogoči, da za x = -0,25 izra- čunamo vrednost izraza. Le-ta je O. 3. Za vsako vrednost spremenljivke x je vrednost imenovaica pozitivna. Izraz ima zato pomen za vsako vrednost x. o predznaku pa odloča števec. Vre- dnost izraza je torej pozitivna za x > 1 in negativna za x < 1. 61 p ". S ' ,/'.r . r: I / I / ' I / I I I I I I I I I Iz enačbe n (n - 3) 12 = 2n izvemo, da ima zahtevano lastnost sedemko- tnik . Vsota njegovih notranjih kotov je 900 0 • Če bi vsak od 55 telefonov imel direktno zvezo z 11 telefoni, bi bilo vseh linij 11.55/2, saj sta na vsako linijo priključena dva telefona. Dobili smo očitni nesmisel, število povezav je lahko le naravno število. Kadabri je bil po dveh urah vožnje najbližji tretji avto. 36 km poti pred njim predstavlja 0,2 celotne dolžine ceste, ki potemtakem meri 180 km. Označimo maso lonca z m in maso vode z M. Iz enačb m + M = 2000 in m + 0,8.M =0,88.2000 izvemo, da je 0,2.M = 240 oziroma M = 1200. Masa vode, ko je lonec poln, je torej 1200 g, masa lonca pa je 800 g. Iz njunih opisov sklepamo, da je a = -10 in b = -5. Vstavimo ju v izraz in izračunamo njegovo vrednost: 0,001.(-10)3(-5)2 - 500.(-10)2 (_5)3 = = 6 249 975. q Naj boA skupna točka obeh pre- mic. Pravokotnica na simetralo s manjšega kota pri A seka pre- mico p v točki, ki jo označimo s črko B. Presečišči simetral obeh kotov pri B s simetralo s sta središči krožnic z zahtevano lastnostjo. Vseh rešitev je seveda neskončno mnogo. 4. 6. 9. 5. 8. 7. 8. razred 1. Enostavni račun pokaže, da je 1 - x + x 2 - x 3 + x 4/(1 + x) = 11(1 + x) 2. a. x = 9 b. m = 21 3. Enačbo 9/91 = al7 - bl13 preoblikujemo najprej v 9 = 13a - 7 b oziro- ma 2a - b - 1 = (2 + a)/7. Vsota a + 2 mora biti mnogokratnik števila 7, zato dobimo za vsako celo število k rešiteva = 7k - 2, b = 13k - 5. 4. Aleš je opravil 7/9 dela . Plačilo za 2/9 dela je 1000 dinarjev, za celotno delo pa potem 4500 dinarjev. 5. Naj bo n iskano število udeležencev sestanka, ki so glasovali proti predlogu. Iz zveze n + 18 = 180 - n izvemo, da je n = 81. 6. Cena preostalega dela diamanta predstavlja 64% cene pred brušenjem. Tej ceni ustreza 0,8 mase prvotnega diamanta. Odlomljeni košček je tehtal 20% skupne teže. 62 :---5 --+, 9. Trikotnik MOP in ONP sta po- dobna, zato velja 4 : x = x : 9. Višina PO meri x = 6 cm. 7. 8. 10 . Iz danih razmerij sledi a = 3b/8 in c = 3b /4 . Obseg tedaj izrazimo z b : a + b + C = 17b/8 = 34 cm in dobimo najprej b = 16 cm , potem pa še a = 6 cm , c = 12 cm. Iz skice preberemo enačbo x 2 + 52 = (10 - X)2 z rešitvijo x = 3,75. Smreka se je torej pre- lomila v višini 375 cm. p ~ M 4 Q 9 N Površina dane prizme je 162 cm 2 , njena prostornina pa 108 ern". Za iska- no dolžino a roba kocke, ki zadošča zahtevam naloge, velja 6a 2 : 162 = = a3 : 108 . Rob iskane kocke mer i 4 cm. Nalogi za vsakogar : 1. Na primer (9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 - 3 + 2) . 1 = 2, možne pa so še druge rešitve. 2. 9 8 7 . 1 2 1 987 197 4 987 119427 RAZMISLIMO IN NASMEJMO SE! Učiteljimatematike in fizike iz Slovenskih Konjic Ali naš zakon dovoljuje, da se nekdo oženi s sestro svoje vdove? Izbrali: Marija Krauthaker Nadja Ivanc Miloševic 63 NALOGE O LUNINIH MENAH - Rešitev sstr. 43 prvi krajec D - - Lunin tir - - zadnj i krajec .. ...pogled z Zemlje Zemlja - () -šč ip Sonce- Pesnik je bržkone prečul noč. Vsekakor opisuje hkratni vzhod Sonca in zaton Lune. Sonce in Luna sta tedaj na nasprotnih straneh Zemlje . Če z eno roko pokažemo v smeri Sonca, z drugo pa v smeri Lune, je med rokama iztegnjeni kot. Sonce Luno osvetli mimo Zemlje. Opazovalec vidi polno luno - ščip. Roki, ki kažeta proti Soncu in Luni ob krajcih, oklepata pravi kot, ob mlaju pa je kot med rokama nič, saj sta Sonce in Luna na isti strani Zemlje . (glej sliko na naslovni strani: Kje je umetnik pogrešil?) Janez Ferbar RAZMISLIMO IN NASMEJMO SE! Z avtom se vozite po mestu, v katerem zaradi napake na transformatorju ni elektrike. Na vašo nesrečo tudi luči na avtu ne delujejo. Naenkrat naglo zavrete in se ustavite tik pred nekim črncem. Kako veste, da je črnec, čeprav v mestu ni elektrike in luči na avtu ne delujejo? 64 I /\'l" ic: 1/1\1 I/l-cIj_'/~C " IL JC KNJiŽNICA SIGMA cene: 67% 100% 2000.- 2000.- 2000.- 2000 .- 2000.- 2000.- 1. V idav 1. Rešeni in nerešeni problemi matematike 1500.- 8. Bohte Z .: Numerično reševanje enačb 1500.- 11. V idav I.: Števila in matematične teorije 1500.- 13. Jamnik R.: Teorija iger 1500.- 15. Prijatelj N.: Matematične strukture - 2. del 3400 .- 19. Lebedinec F., Vadnal A. : Funkcije - 2. del 1500.- 20. Urš ič S.: Štirimestni logaritmi in druge tabele 1000.- 22. Vadnal A. : Rešeni problemi linearnega programiranja 2000.- 23. Prijatelj N.: Matematične strukture - 3. del 3900.- 24. Batagelj V ., Pisanski T .: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj - 1. del (1950-1966) 2000.- 25. Batagelj V ., Pisanski T .: Rešene naloge iz matematikt z republiških tekmovanj - 2. del (1967-1975) 2000 .- 27. Struik O.J.: Kratka zgodovina matematike 2000.- 28. Strnad J.: Posebna teorija relativnosti 2000 .- 31. RakovecJ .: Osnovni pojmi topologije 900.- 32. Weinberg S.: Prve tri minute 2000.- 33. Prijate lj N.: Osnove matematične logike - 1. del 2000 .- 34 . Laue M. von: Kratka zgodovina fizike 2000.- 35. Milankov ič M. : Kratka zgodovina astronomije - 1. del 2000.- 36. Oevide V .: Matematika skozi kulture in epohe 2000.- 37. Golli B., Žitnik J.: Rešene naloge iz fiz ike z republiških tekmovanj - 2. del 38. Grasselli J.: Oiofantske enačbe 39. Rakovec J .: Matematične strukture - primeri in rešene naloge 40. Polya G. : Kako rešujemo matematične probleme 41. Mohar B., Zakrajšek E.: Programski jezik pascal 42. Ševarlič B.M.: Kratka zgodovina astronomije , 2.del, Od Newtona do današnjih dni 2250 .- 2250 .- 2250.- 2250.- 4260.- 2250.- 1500.- 3000.- 4900. - 3000 .- 3000 .- 3000.- 3000.- 1100.- 3000.- 3000 .- 3000 .- 3000.- 3000.- 3000.- 3000.- 3000.- 3000.- 3000.- 3000.- ~. , ------------~ -