309Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) • Kristalografija V klasični kristalograf iji velja, da so šti- rištevni kubični minerali uvrščeni višje kot šestštevni. Z odkritjem snovi s pet- in večštevnimi simetrijami pa postane očitno, da taka razvrstitev ni povsem ustrezna. V zadnjem delu opisujemo minerale s simetri- jami, ki so več kot štirištevne, in razložimo, da lahko iz najvišje šestštevne holomorfije izvedemo vse simetrije z nižjimi števnostmi. Petštevni minerali n = 5 Minerali iz te skupine bi imeli eno glavno petštevno os in pet ravnin simetrije, ki so vzporedne s to osjo. Značilni lik - dipen- tagonska bipiramida - ima dvajset ploskev enake oblike. Doslej še niso našli nobene- ga naravnega minerala s to simetrijo in tudi nobenega še niso sintetizirali. Obstaja pa mineral, ki se dvojči na tak način, da na- stane kristal s petštevno simetrijo. Zaradi te lastnosti so ga poimenovali pentagonit. Mi- neral ima hemimorfno simetrijo, zato imajo to simetrijo tudi njegovi petorčki. Kristali iz te skupine, ki vsebuje pet simetrij, bi sicer imeli enake morfološke lastnosti kakor nji- hovi ustrezniki iz trištevne skupine. Petštevni minerali – ikozaedrični n = 5 Ikozaeder je geometrijsko telo, ki ga ome- juje 20 enakostraničnih trikotnikov. Ima šest petštevnih in deset trištevnih osi. Tudi tukaj lahko vsak trikotnik razdelimo še na šest pravokotnih trikotnikov in nastane kri- stal s 120 ploskvami – disdiakistriakontae- dri, kar je v tej holomorfiji najvišje možno število enakih ploskev nekega kristalnega lika. Nekoliko enostavnejši so pentagonski dodekaedri. V tem primeru je kristal sesta- vljen iz dvanajstih pravilnih, to je enako- straničnih peterokotnikov. Če pogledamo kristal vzdolž ene izmed njegovih trištevnih osi, zopet opazimo trištevni presek. Simetri- ja kristala okoli te osi je popolnoma enaka trištevni holomorfiji, ki jo ima na primer kalcit. Ikozaedrit je za zdaj edini znani mi- neral s to simetrijo. Našli so ga v pogorju Korjak na Kamčatki v Rusiji v obliki 0,1 milimetra velikih zrn. Če odvzamemo tej simetriji vse ravnine si- metrije, se število možnih enakih ploskev zmanjša na 60. Ploskve so levo ali desno orientirane, nastane torej enantiomorf ija. Kristalov s to simetrijo še niso našli oziro- ma sintetizirali. Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) Mirjan Žorž Slika 23: Pentagonit je bil nekoË redek mineral, danes pa ne veË, ker je pogost v nahajališËu Wagholi pri Mumbaju v Indiji. Njegovi kristali so pogosto zdvojËeni tako, da nastanejo kristali s petštevnim presekom v obliki peterokrake zvezde. Kristali zdvojËenega pentagonita imajo torej pentagonalno simetrijo. Vir fotografije: Google pictures. proteus marec 2014.indd 309 5/24/14 10:41 AM 310 ■ Proteus 76/7 • Marec 2014Kristalografija • Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) Šestštevni minerali n = 6 Holomorfija ima šest ravnin simetrije, ki so vzporedne z glavno osjo in se sekajo pod kotom 30 stopinj. Pravokotno nanje je še ena ravnina simetrije. Največ enakih plo- skev, to je 24, ima diheksagonska bipirami- da. Kristali s to simetrijo imajo najpogosteje obliko šesterostranih prizm z enostavnimi pinakoidalnimi terminacijami. Najznačilnej- ši predstavnik te simetrije je beril. Slika 24: Na fotografiji ni kristal, temveË njegov odtis, ki ima oËitno petštevno ikozaedriËno simetrijo. Dobro vidna je trištevna os, okoli katere so razporejene tri petštevne osi. Kristal, ki je pustil za seboj ta odtis, je bil ploskovno zelo bogat, zato ima že Ëisto kroglasto obliko. To je dejansko simetrija, ki se najbolj približa simetriji krogle. Vir: http://mcs.open.ac.uk/ugg2/index.shtml. Risba 20: Najenostavnejši lik petštevne ikozaedriËne simetrije je pravi pentagonski dodekaeder p, ki ima dvanajst enakostraniËnih peterokotnikov (A). Ikozaeder doloËa 20 enakostraniËnih trikotnikov (B). Najvišje število enakih ploskev v ikozaedriËni holomorfiji je 120 in doloËajo disdiakistriakontaeder w (C). Z narašËajoËim številom ploskev se oblika ikozaedriËnih kristalov zelo približa obliki krogle. Risba: Mirja Žorž. Slika 25: Sturmanit na podlagi drobnih kalcitovih kristalov. Kristal ima šestštevno simetrijo. Omejujejo ga ploskve heksagonske prizme in heksagonske bipiramide. Nobeden od teh dveh likov ni znaËilen za šestštevno holomorfijo, ki ji ta mineral pripada, zato je zgolj na podlagi razvitih ploskev ni mogoËe potrditi. Kristal, ki meri 6 x 3 milimetrov, je obdan z manjšimi kratkoprizmatskimi kristali. Hotazel v Južnoafriški republiki. Slika: Mirjan Žorž. proteus marec 2014.indd 310 5/24/14 10:41 AM 311 Slika 26: 21 x 12 milimetrov velik kristal berila na podlagi listiËastih muskovitovih kristalov. Prizmatski kristal je na terminaciji omejen z ravno ploskvijo pinakoida. Na kristalu so razvite ploskve heksagonske bipiramide − svetla enakostraniËna trikotna ploskev. Pod obema stranicama te ploskve sta razviti ozki ploskvi diheksagonske bipiramide, ki ustrezata znaËilnemu kristalnemu liku šestštevne holomorfije. Prisotnost teh ploskev torej potrdi to simetrijo. Primerek je iz Nagarja v Pakistanu. Slika: Mirjan Žorž. Risba 21: Risba A prikazuje prizmatski kristal s šestštevno simetrijo. Na njem so razvite ploskve prizme d1, bipiramide s1 in pinakoida c. Na risbi C je kristal z enakimi kristalnimi liki, le da je bipiramida s4 bolj strma in bolj razvita, pinakoid c pa majhen, zato je kristal igliËaste oblike. Ker na nobenem od teh dveh kristalov ni ploskev znaËilnega lika, ki je v tej simetriji diheksagonska bipiramida in jo doloËa 24 enakih ploskev, jima samo na podlagi oblike ne moremo doloËiti prave simetrije. Risba B pa prikazuje kristal z razvitimi ploskvami diheksagonske bipiramide k1, ki so znaËilne za šestštevno holomorfijo. Razvite so še ploskve diheksagonske prizme l1, ki so tudi znaËilne za holomorfijo, in nespecifiËne ploskve prizme d2 ter bipiramide s2. Risba: Mirjan Žorž. Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) • Kristalografija proteus marec 2014.indd 311 5/24/14 10:41 AM 312 ■ Proteus 76/7 • Marec 2014Kristalografija • Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) V tej skupini sta dve simetriji, ki imata pol nižjo števnost glavnih osi. Kristali s tema dvema simetrijama imajo trikoten presek. Če holomorfiji odvzamemo tri ravnine si- metrije, ki so vzporedne z glavno osjo, osta- nejo samo tri, ki se sekajo pod kotom 120 stopinj, kar je sicer značilnost trištevnih si- metrij in mineralov. Ostane pa še ena ravni- na, ki je pravokotna na glavno os, ki je sedaj samo še trištevna. Kristalni lik z najvišjim število enakih ploskev v tej simetriji je di- trigonska bipiramida, ki jo določa 12 ena- kih ploskev. To simetrijo pogosto prištevajo med trigonalne. Zaradi ravnine simetrije, ki je pravokotna na trištevno glavno os, pa te simetrije oziroma kristalov s to simetrijo nikakor ne moremo uvrstiti med tiste iz tri- gonalnega sistema. Tam namreč holomorfija nima ravnine simetrije, ki je pravokotna na trištevno os. Samo 0,6 odstotka mineralov ima tako simetrijo, med njimi pa je benitoit, katerega kristali so ravno zaradi te simetrije nekaj posebnega. Če tej simetriji odvzamemo še preostale tri ravnine simetrije, ki so vzporedne z glavno osjo, ostane samo še ena ravnina simetrije, ki je pravokotna nanjo. To je najredkejša simetrija od vseh, če izvzamemo petštevne. Možnih je le še šest enakih ploskev. Takih mineralov je samo 0,07 odstotka, med njimi pa ni nobenega v makroskopskih kristalih. Tudi te simetrije ni možno uvrstiti v trigo- nalni sistem iz zgoraj navedenih razlogov. Zaključek Pri nekaterih mineralih nastanejo dvojč- ki, ki imajo še višje števnosti. Tak je rutil, katerega dvojčki imajo osemštevno simetri- jo. Sintetizirali so tudi snovi z desetštevno simetrijo. Najvišjo opaženo simetrijo doslej Slika 27: Trištevni kristal benitoita, katerega stranica meri 13 milimetrov, je najlepši predstavnik redke simetrije, ki jo sicer uvršËamo med šestštevne simetrije. NajveËja ploskev na kristalu je pinakoid, ki je obrobljen z dvema vrstama trigonskih bipiramid. Na desni je zdvojËeni kristal neptunita. San Benito Gem Mine v New Idrii v Kaliforniji v Združenih državah Amerike. Slika: Mirjan Žorž. proteus marec 2014.indd 312 5/24/14 10:41 AM 313Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) • Kristalografija imajo zdvojčeni kristali ledu v obliki sne- žink, ki imajo dvanajstštevno simetrijo. Kristalografsko je najvišja simetrija dodelje- na štirištevnim kubičnim mineralom. Pod- laga za to je število simetrijskih elementov, ki so osi in ravnine simetrije. Teh je največ pri holomorfiji. Odkritje ikozaedričnih kri- stalov je zato potisnilo kubično simetrijo na Risba 22: V skupini šestštevnih simetrij je ena taka, ki ima tri ravnine simetrije, ki so vzporedne z glavno osjo, in eno, ki je na to os pravokotna. Taka kombinacija simetrijskih ravnin povzroËi, da se števnost glavne osi razpolovi, zaradi Ëesar so kristali trištevni (1A in 2A). Pri tej simetriji zato loËimo med prednjimi in zadnjim kristalnimi liki, kot so prednje prizme d1s in zadnje prizme d2z ter prednje bipiramide s1s in zadnje bipiramide s2s. Slednji sta v tej simetriji kristalna lika z najvišjim številom enakih ploskev, ki jih je 12. Zaradi razvitega pinakoida c so kristali splošËeni. »e tej simetriji odvzamemo tri ravnine simetrije, ki so vzporedne s trištevno osjo, in ji pustimo samo tisto, ki je pravokotna nanjo, dobimo najnižjo možno simetrijo v tej skupini. Zanjo so znaËilni liki, ki imajo desno ali levo in sprednjo ali zadnjo orientacijo. Kristal na risbah 1B in 2B ima razvite ploskve likov sprednje leve prizme ‘d1s in zadnje desne prizme d’2z ter sprednje desne bipiramide d’1s, zaradi dobro razvitega pinakoida c pa je splošËen. Risba: Mirjan Žorž. Slika 28: DvojËenje rutila rezultira v osemštevni simetriji, ki je dobro vidna na 11 milimetrov velikem kristalu iz mesta Magnet Cove v Arkansasu v Združenih državah Amerike. Slika: John Betts. Slika 29: Znanstvenikom je uspelo sintetizirati tudi kristale z desetštevno simetrijo. Kristali na posnetku so enostavne desetštevne prizmatske oblike in so na terminacijah zakljuËeni z ravnimi ploskvami pinakoida. Vir: J. - M. Dubois in R. Lifshiz, 2011: Quasicrystals: diversity and com- plexity. Philosophical Magazine, 91 (19-21, I-21): 2971-2982. proteus marec 2014.indd 313 5/24/14 10:41 AM 314 ■ Proteus 76/7 • Marec 2014Kristalografija • Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) drugo mesto, saj ima ikozaedrična simetri- ja še več osi in ravnin simetrij kot kubična. Pokazali pa smo, da imata obe simetriji tudi trištevne osi. Minerali z najvišjo kubično simetrijo so pogosto zdvojčeni okoli trištev- nih osi. Ti dvojčki imajo najvišjo šestštev- no simetrijo. Take dvojčke imajo na primer diamant, f luorit, galenit, loparit in platina. To pa hkrati pomeni, da vsebuje šestštevna simetrija tudi kubično simetrijo in je potem- takem višja od nje. Na enak način bi dobili tudi dvojčke ikozaedričnih kristalov okoli troštevnih osi, torej je šestštevna simetrija višja tudi od ikozaedrične. Simetrijsko gledano lahko torej zaključimo, da je najvišja šestštevna simetrija »mati« vseh ostalih simetrij z nižjo števnostjo, ker »rodi« ikozaedrične, kubične in trištevne si- metrije. Iz ikozaedrične simetrije izpeljemo petštevne in trištevne, iz kubične pa štiri- Slika 30: Simetrijo z najvišjo števnostjo imajo zdvojËeni kristali ledu v obliki 12-krakih snežink. Vir: http://philipball.blogspot.com/2009_2009_12_01_archive.html. Slika 31: Interpenetracijsko dvojËenje enostavnih kockastih kristalov okoli trištevne osi poviša štirištevno kubiËno simetrijo v šestštevno holomorfijo. Lep primer takega dvojËenja je loparit iz masiva Lovozero na polotoku Kola v Rusiji. DvojËek meri 11 milimetrov v premeru. Slika: Mirjan Žorž. Slika 32: Interpenetracijsko dvojËenje kubooktaedriËnih kristalov fluorita okoli trištevne osi rezultira v splošËenih kristalih s šestštevno simetrijo. Ploskve kocke so se zaradi dvojËenja spremenile v ploskve heksagonske bipiramide in so razporejene na obodu kristala. Oktaeder pa se je pretvoril v pinakoid, ki je najveËja ploskev na tem kristalu. Linije, ki se sekajo pod kotom 60 stopinj, so odraz razkolnosti po oktaedrskih ravninah. Kristal iz nahajališËa Yao Gang Xian na Kitajskem meri 25 x 20 milimetrov. Slika: Mirjan Žorž. proteus marec 2014.indd 314 5/24/14 10:41 AM 315Razvrščanje kristalov po njihovih oblikah (peti del) • Kristalografija števne in trištevne simetrije. Iz štirištevnih simetrij izpeljemo dvoštevne simetrije in iz slednjih končno enoštevne. Zato smo kot osnovni simetrijski parameter razvrščanja kristalov uporabili njihovo števnost. Šele potem smo upoštevali ostale lastnosti, kot so središča inverzije, ravnine simetrije in nižještevne osi. Literaturni viri: Žorž, M., Herlec, U., Kobler, G., 2006: Dobrova pri Dravogradu − locus tipicus dravita. Scopolia, Supplementum 3: 241-244. Ljubljana. Žorž, M., 2002: The Symmetry System. Grosuplje: Samozaložba. Žorž, M., ReËnik, A., MirtiË, B., Krivograd, F., 1998: Morphology of wulfenite crystals from Mežica Mines. Materiali in geookolje, 45 (3-4): 315-344. Žorž, M., ReËnik, A., Podgornik, A., Kobler, G., 1996: Septarijska mineralizacija pri Gornjem ©trihovcu. Proteus, 58 (7): 291-299. Žorž, M., 1994: Pyroelectrically caused twisting of quartz crystals. Geologija, 36. knjiga, 211-222. Žorž, M., ReËnik, A., 1997: Wulfenit. Proteus, 59 (8): 344-352. Grafenauer, F., 1974: Kristalografija. Univerza v Ljubljani. Risba 23: Minerali s štirištevno kubiËno holomorfijo so pogosto zdvojËeni vzdolž svoje trištevne osi. Nastali dvojËki imajo višjo šestštevno holomorfijo. »e imajo obliko kocke (A) kot na primer loparit, se po dvojËenju vse ploskve kocke a spremenijo v ploskve diheksagonske bipiramide s. Pri kubooktaedrskih kristalih fluorita se ploskve oktaedra o pretvorijo v ploskvi pinakoida, ploskve kocke pa v ploskve heksagonske bipiramide s (B). Pri ploskovno bolj razgibanem fluoritovem kristalu (C) se vse ploskve rombskega dodekaedra r pretvorijo v ploskve diheksagonske bipiramide s1 in v ploskve prizme d. Ploskve oktaedra o se pretvorijo v ploskvi pinakoida c. Risba: Mirjan Žorž. Risba 24: Risba prikazuje drevo simetrij glede na njihovo števnost n. Najvišja je šestštevna simetrija, ker vsebuje vse elemente petštevnih ikozaedriËnih in štirištevnih kubiËnih simetrij. Hkrati vsebuje tudi vse elemente trištevnih simetrij. Petštevna ikozaedriËna simetrija vsebuje vse elemente petštevnih simetrij in hkrati tudi vse elemente trištevnih simetrij. Podobno je pri štirištevni kubiËni simetriji, ki vsebuje vse elemente štirištevnih simetrij in tudi vse elemente trištevnih simetrij. ©tirištevna simetrija vsebuje vse elemente dvoštevnih simetrij, slednja pa vse elemente enoštevnih simetrij. Risba: Mirjan Žorž. proteus marec 2014.indd 315 5/24/14 10:41 AM