* » PRESEK LETNIK • • /Š i 1 58 r\ i 1 019) ŠTEVILKA 6 I I NASHEVO RAVNOVESJE SAT SLOVENIJA POD SKUPNIM NEBOM RAČUNSKA GEOMETRIJA Z MNOGOKOTNIKI ISSN 2630-4317 ISSN 0351-6652 9 9770351665661 9770351665661 MATEMATIČNI TRENUTKI KO LO FO N V//. Zmagovalna zgodba •4/ -i' -i' Knjiga in film z naslovom Skriti faktorji opisujeta zgodbo ameriških črnk, ki so pri Nasi nadomeščale računalnike na začetku vesoljskega programa. Med dogodki, ki se ti ob gledanju filma najbolj vtisnejo v spomin, je trenutek, ko Katherine Johnson (na sliki), bodoča dobitniča predsedniške medalje svobode, ugotovi, kako rešiti sistem diferencialnih enačb, ki opisuje orbito vesoljske kapsule in njen povratek v atmosfero, tako da bo pristala čim bližje želenemu cilju. S pomočjo njenih ugotovitev so tedanji stroji, ki so bili predhodniki današnjih računalnikov, natančno izračunali tir kapsule. Danes bi se s tem zgodba končala, takrat pa je astronavt John Glenn, čigar življenje je bilo odvisno od pravilnosti izračuna, vztrajal, da človeški računalnik, Katherine Johnson, ročno preveri strojne izračune. Šele potem je bil prepričan, da se lahko izstreli v vesolje in nato vrne domov. Skriti faktorji so zmagovalna zgodba, ki pa se še ni zaključila. Še danes je delež žensk in afriških Američanov, ki se ukvarjajo z matematiko, manjši kot je ustrezni delež v čelotni populačiji. To je ironija za poklič, ki daje tolikšen poudarek logičnemu mišljenju. Matematična skupnost poskuša spodbujati programe, ki bi to spremenili, tako da bi bile nasledniče Katherine Johnson sestavni del pokliča in ne le njegov skriti del. Ce vas zgodba zanima, vam priporočamo knjigo Skriti faktorji iz leta 2016, ki jo je napisala Margot Lee Shetterly. XXX Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 46, šolsko leto 2018/2019, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2018/2019 je za posamezne naročnike 22,40 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphičum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2019 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2092 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV I 2 PRESEK 46 (2018/2019) 6 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Zmagovalna zgodba 23-26 4-6 6-7 8-12 13-15 18-21 22 MATEMATIKA Nashevo ravnovesje (Gašper in Mateja Mrmolja) Paposovi šestkotniki (Marko Razpet) Ramanujanova kvadratura kroga (Aleksander Simonic in Milena Strnad) FIZIKA Sat (Andrej Likar) ASTRONOMIJA Slovenija pod skupnim nebom, petek 6. september 2019 (Zorko Vicar) Ocena casa trajanja središčnega navideznega prehoda Venere čez Jupiter (Marijan Prosen) RAČUNALNIŠTVO Računska geometrija z mnogokotniki (Jure Slak) 27 28 29-31 priloga priloga priloga RAZVEDRILO Barvni sudoku Križne vsote Nagradna križanka (Marko Bokalic) Naravoslovna fotografija - Detektiv in poševni met (Aleš Mohoric) Rešitev nagradne križanke Presek 46/5 (Marko Bokalic) TEKMOVANJA Bistroumi 2019 (Boštjan Kuzman) Tekmovanje iz fizike za zlato Štefanovo priznanje - državno tekmovanje 56. fizikalno tekmovanje srednješolcev Slovenije - državno tekmovanje 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol - državno tekmovanje Slika na naslovnici: Na naslovnici je neugledna fotografija umazanega, blatnega avtomobila. Pri podrobnem pogledu opazimo vzorec blatnih kapljic. Ta nam razkriva hitrost avtomobila, ko je vzorec nastajal. Foto Aleš Mohoric MATEM ATI KA Nashevo ravnovesje •is •i' ■i' Gašper in Mateja Mrmolja -> Svet, v katerem živimo, je zelo nepredvidljiv in včasih bi rekli, da je celo kaotičen. Velikokrat imamo morda občutek, da se ne bomo znašli ali pravilno odločili, ko bo to potrebno. Pa lahko v dani situaciji kaj predvidimo? Del odgovora na to vprašanje se skriva v matematični disciplini, ki ji pravimo teorija iger. Gre za relativno mlado matematično smer, katere prvi večji premik sta leta 1944 naredila John von Neumann in Oskar Morgenstern z izdajo knjige Theory of Games and Economic Behavior. V knjigi je podan matematični pristop k ekonomskim problemom skozi teorijo iger, ki se nanaša na von Neumannove raziskave v teoriji iger, objavljene v letu 1928. Osnove Eden bolj zanimivih sklopov teorije iger se osredo-toča na preproste modele, s katerimi lahko na matematični način interpretiramo konfliktne situacije med udeleženci igre in njihovimi odločitvami glede na podana pravila. V tem pogledu z besedo igra označujemo kakršne koli interakcije (situacije) med udeleženci, katere korist posameznika ni odvisna samo od njega, ampak tudi od odločitev vseh vpletenih. V prvi vrsti torej ne gre za igre, povezane s srečo, ampak za igre, pri katerih je ob več ponovitvah pomembna strategija. Strateško igro sestavljajo udeleženci igre (igralci), ki se odločajo istočasno, brez kakršnih koli informacij o že izvedenih odločitvah (potezah). Na koncu pa je rezultat igre vselej odvisen od vseh odločitev hkrati. Za ilustracijo vzemimo primer igre boja med dvema spoloma, ki jo včasih najdemo tudi pod imenom Bach - Stravinsky. Igro igrata dva igralca - mož in žena, ki si želita skupaj preživeti zanimiv večer, vendar si ga predstavljata vsak po svoje. Mož si želi, da bi si skupaj ogledala nogometno tekmo, žena pa si želi, da bi skupaj nakupovala. Igro enostavno ponazorimo s spodnjo tabelo oziroma matriko. Mož/Žena Nogometna tekma Nakupovanje Nogometna tekma 2, 1 0, 0 Nakupovanje 0, 0 1, 2 TABELA 1. Zadovoljstvo posameznika smo z vrednostmi v tabeli opisali na sledeči način: ■ Ce se oba odločita, da gresta na nogometno tekmo, potem bo to možu prineslo zadovoljstvo v vrednosti 2, ženi pa v vrednosti 1. Njemu se bo izpolnila želja, njej pa tudi ne bo povsem odveč, četudi ne gresta tja, kamor bi želela ona, saj bosta večer vseeno preživela skupaj. To označimo z vnosom (2, 1). ■ Ce se oba odločita, da gresta nakupovati, potem bo to ženi prineslo zadovoljstvo v vrednosti 2, možu pa v vrednosti 1. Njej se bo izpolnila želja, njemu pa tudi ne bo povsem odveč, četudi ne gresta tja, kamor bi želel on, saj bosta večer vseeno preživela skupaj. Ce se nikakor ne moreta dogovoriti, potem seveda ne bosta zadovoljna, zato njunemu zadovoljstvu pripišemo vrednosti 0. Ravnovesje John Forbes Nash, matematik ameriškega rodu, o katerem govorita tudi roman in film z naslovom A Bea- 4 PRESEK 46 (2018/2019) 6 MATEM ATI KA utiful Mind, je leta 1950 v svoji doktorski dizertaciji opisal primer izida igre, ki mu dandanes pravimo Na-shevo ravnovesje. Gre za stanje, v katerem se nobeden od igralcev ne bi odloČil za zamenjavo svoje poteze, cetudi bi predhodno poznal poteze vseh ostalih. Tako ravnovesje ne obstaja vedno. Oglejmo si primer igre kamen-škarje-papir. To je igra, kjer tekmujeta dva igralca. V vsakem krogu igre izbereta eno od treh figur (kamen, škarje ali papir), ne da bi vedela, kaj bo izbral drugi izmed njiju. V primeru, da oba izbereta enako figuro, je ta krog igre neodločen, Če pa izbereta različni figuri, eden od njiju zmaga, drugi pa izgubi. Pravila so, da kamen premaga škarje, škarje premagajo papir, papir pa premaga kamen. Tudi to igro lahko ponazorimo s tabelo (glej tabelo 2). Za poenostavitev bomo prvega igralca poimenovali oce, drugega pa sin. vanje orožja, neprimerno vedenje) za dveletno zaporno kazen, vendar želijo primer zakljuciti s priznanjem vsaj enega od njiju, da bi na ta nacin drugega lahko poslali v jeco za dlje casa. Oba pa vesta: Zlocin lahko priznata ali pa ne. ■ Ce eden od njiju prizna, drugi pa molci, potem bo tisti, ki je priznal, oprošcen, drugi, ki je molcal, pa bo šel v zapor za štiri leta. ■ Ce oba priznata, bosta šla v zapor za tri leta. ■ Ce oba molcita, potem imajo policisti dovolj dokazov, da gresta oba v zapor za dve leti. Milan/Janez Prizna Molci Prizna 3, 3 0,4 Molci 4,0 2, 2 Oce/Sin Kamen Papir Škarje Kamen 0, 0 -1,1 1,-1 Papir 1,-1 0, 0 -1,1 Škarje -1,1 1,-1 0, 0 TABELA3. TABELA 2. V tabeli 2 smo za posamezni izid igre zmagovalcu dodelili vrednost 1, poražencu pa -1. Ce je prišlo do neodlocenega izida, smo obema dodelili vrednost 0. Enostavno lahko vidimo, da ta igra nima Nashe-vega ravnovesja, saj za oba igralca velja, da bi, v primeru poraza, želela spremeniti svojo figuro. Recimo, da oce izbere papir, sin pa kamen. Izid igre bi imel vrednost (1, -1). Vendar pa bi, ce bi imel to možnost, sin svojo figuro raje spremenil v škarje in zmagal. Podobno velja tudi za vse neodlocene izide, zato lahko vsak od njiju vedno izboljša svojo odloci-tev, kar potrdi, da ravnovesja ni. Poglejmo si še en primer znane igre, ki se imenuje Zapornikova dilema. Tu imamo dva zapornika (poimenujmo ju Milan in Janez), ki ju je policija aretirala, saj sta osumljena ropa. Zaprli so ju v dve lo-ceni celici in jima tako preprecili, da bi na kakršen koli nacin komunicirala drug z drugim. Rop sta re-snicno zagrešila, vendar jima policija tega ne more dokazati. Policija ima sicer dovolj dokazov (posedo- V razpredelnici 3 imamo zapisane vse možne izide igre. Recimo, da Janez prizna. Potem bo za Milana najbolje, ce tudi on prizna, in tako dobi samo tri leta zapora - izid igre bo (3, 3). Ce pa Janez molci, je bolje, ce Milan prizna, saj bo v tem primeru opro-šcen - izid igre bo (0, 4). Enak premislek velja tudi v obratni situaciji. Nashevo ravnovesje je torej situacija, ko oba priznata, da sta zagrešila rop, in tako dobita vsak po tri leta zapora. Ce bi si namrec eden od njiju premislil, drugi pa bi vztrajal pri isti odlo-citvi, potem bi bil igralec, ki se je odlocil spremeniti odlocitev, na slabšem. Podoben razmislek o obstoju Nashevega ravnovesja lahko naredimo tudi pri igri boja med dvema spoloma, ki je bila predstavljena v prejšnjem razdelku (glej tabelo 1). Ugotovili bi, da za to igro obstajata celo dve ravnovesji, ko gresta oba bodisi na tekmo bodisi na nakupovanje. Interpretacija obstoja ravnovesij V tem razdelku si oglejmo, kaj lahko o interakcijah sklepamo glede na obstoj oziroma neobstoj ravnovesij. V igri kamen-škarje-papir ravnovesja ni, kar je tudi razlog, zakaj je ta igra zanimiva. Ne glede na racionalnost obeh igralcev namrec ni strahu, da bi se 5 PRESEK 46 (2018/2019) 6 MATEM ATI KA —^ igra po nekem casu stabilizirala in da bi oba igralca zacela v nedogled ponavljati svojo figuro. Po drugi strani obstoj dveh ravnovesij pri primeru mož-žena nakazuje na vecen konflikt med spoloma. Cetudi se zakonca znajdeta v izidu, ki obema prinaša pozitiven rezultat, pa je nekdo od njiju prikrajšan, saj ve, da se je moral za ugodno situacijo žrtvovati on. Vendar pa za spremembo tega dejstva ni dovolj zgolj bojkot dogodka. Ce se želi ponovno znajti v pozitivnem stanju, mora ne le odpovedati udeležbo, ampak v svojo interesno sfero prepričati tudi soigralca, kar je v vsakodnevnem življenju težko in od nas zahteva kompromise. Nazadnje je zelo zanimiva tudi dilema dveh zapornikov, ki ima eno samo ravnovesje. Vec empiricnih preizkusov je pokazalo, da bodo igralci, ce igrajo racionalno, v veckratni ponovitvi zaceli izbirati zgolj možnost >priznam<, kar pa privede do zanimivega konflikta. Namrec, za oba igralca bi bilo najugodneje, da bi molcala in sprejela vsak svojo dvoletno kazen. Ker pa ju vodi pragmaticnost in želja po maksimizaciji osebnega ugodja, na koncu oba prista-neta pri triletni kazni. To lepo ilustrira dejstvo, ki ga je zelo dobro opisal tudi J. F. Nash, in sicer, da stre-menje k maksimalni zadovoljitvi osebnih potreb ni nujno tudi pot k družbenemu optimumu. Paposovi šestkotniki ^ nU NU Marko Razpet Papos Aleksandrijski, grško ndnno^ o AXe£av-8peuc, na kratko Papos, tudi Papus iz polatinjene oblike Pappus, je bil zadnji pomembnejši antični matematik. O njem vemo le, da je bil učitelj v Aleksandriji in da je 18. oktobra 320 tam opazoval Sončev mrk. Rodil se je okoli leta 290, umrl pa okoli leta 350 našega štetja. Njegovo najbolj znano delo je Zbirka, grško Suvay«y^, ki je nastalo okoli leta 340. Papos je pisal v grščini. V obdobju renesanse so ga prevajali v latinščino. Literatura [1] J. Baez, Game Theory, 2015. [2] M. Dean, Game Theory, Lecture Notes for Fall 2009 Introductory Microeconomics, Brown University, 2009. [3] E. Pertovt, T. J., Uporaba teorije iger za optimizacijo delovanja brezžičnih omrežij, Elektronski vestnik, 78 2011, 287-292. [4] H. Hotz, A Short introduction to Game Theory. [5] Tekmovanje ACM iz računalništva in informatike, dostopno na rtk-info@ijs.si, ogled 10. 4. 2019. [6] Zapornikova dilema, dostopno na sl. wi ki pedia.org/wi ki/Zaporni kova_dilema, ogled 10. 4. 2019. _XXX V svoji Zbirki se Papos pretežno ukvarja z geometrijskimi problemi. Oglejmo si pobliže enega, ki je vzet iz [1] oziroma [2]. Včrtaj v dano krožničo sedem skladnih pravilnih šestkotnikov tako, da je eden okoli njenega središča, na njegovih straničah pa sloni vsak od preostalih šestih z eno straničo, katere nasprotna straniča je tetiva krožniče. Vcrtati šestkotnike pa je dovoljeno na klasicni na-cin, to se pravi s šestilom in neoznacenim ravnilom. Predpostavimo, da je naloga že rešena. Dana kro-žnica naj ima središce v tocki O in polmer r (slika 1). Na sliki smo oznacili tocke A, B in C ter polmer r in stranico a. Poišcimo aritmeticno zvezo med a in r. V ta namen podaljšamo daljico O A in na podaljšek skozi B postavimo pravokotnico, ki ga seka v tocki C. Trikotnik OCB je pravokotni. Zanj je | OB | = r, |AC| = a/2, |OC| = 2a + a/2 = 5a/2, |CB| = aV3/2. Po Pitagorovem izreku velja: ■ r2 = (5a/2)2 + (aV3/2)2 = 28a2/4 = 7a2. 6 PRESEK 46 (2018/2019) 6 MATEM ATI KA SLIKA 1. Paposovi šestkotniki r2 = (2a)2 + a2 - 2 ■ 2a ■ a ■ cos 120° = 4a2 + a2 - 4a2(-1/2) = 7a2. Druga konstrukcija trikotnika ABO nas pripelje do enakega rezultata. Vzamemo daljico OB dolžine r in jo s tocko P razdelimo v razmerju 5 : 2 (slika 3). Nad manjšim odsekom PB konstruiramo enako-stranicni trikotnik QBP, nato pa trikotnik ABO, ki ima enako višino kot trikotnik QBP, pri tem pa je P pravokotna projekcija oglišca A na stranico OB. Hitro se lahko prepričamo, da ima trikotnik ABO stranice |AB| = a, |OA| = 2a in |OB| = r = aV7 ter '2= S tem je enakost (1) dokazana. Podali bomo še drugo Ramanujanovo konstrukcijo (glej sliko 3), ki jo Ramanujan ni niti poskusil obrazložiti. Vzemimo krožnico K s središčem v O in premerom AB. Naj bo T taka tocka na daljici AO, da je \ TO \ = 2 \ AT\, in C naj bo eno od presecišc pra-vokotnice na AB v O s krožnico K. Naj bo N tocka na daljici CB z lastnostjo CN = 2 AT in M naj razpolavlja daljico CN. Tocka P naj bo taka tocka na daljici AN, da je \ AN \ = \ AM \, in tocka Q naj bo taka tocka na daljici AM, da sta premici PQ in BC vzporedni. Presecišce vzporednice premici OQ skozi T s premico AM oznacimo z R. Na pravoko-tnici skozi A premice AB izberemo tocko S z lastnostjo \ AS \ = \ AR \ . Tocka D naj bo taka tocka na premici AB, da je \ OD \ = \ OS\ in da A leži na daljici DO. Presecišce polkrožnice s premerom DB s premico O C oznacimo z E. Naj bo F taka tocka na premici OC, da je \ FE\ = 3 \ OE\ in da O leži na daljici FE. Tocka G pa naj bo taka tocka na daljici FE, da je \ F G \ = \ OB \. Presecišce polkrožnice s premerom FE s pravokotnico na FE v G oznacimo z H. Potem velja \ FH \ 2= \ OB \ 2 ;i92 + 122 - (2) To pomeni, da je razmerje k2 plošcin kvadrata JIHF in kroga K enako 1 - 3, 21 ■ 10-10 Po Pitagorovem izreku imamo |SO|2 = |AR|2 + | OB|2. Zaradi podobnosti trikotnikov AATR in AAOQ imamo | AR | = | |AQ|. Podobnost trikotnikov AAPQ in AANM pa nam zagotavlja |AQ| = |AM|2 /1 AN Torej je |5O|2 = | OB |2 1 + 1 |AM |4 9 |OB|2|AN|2 Enostavno izračunamo |AM|2 = 191 OB|2 in |AN|2 = 22|OB|2. To vstavimo v prejšnjo enakost in dobimo (3). Ob zaključku dodajmo, da je Ramanujan tudi v svojih preostalih člankih ostajal skop s pojasnili. Številna odkritja je izrazil pogosto celo samo s končnim rezultatom, formulo ali izrekom brez kakega dokaza. Zato lažje razumemo, zakaj je študij originalnih Ramanujanovih zapisov tako zahteven. d o-' h SLIKA 3. Približna kvadratura kroga, osnovana na številu -^92 + 192/22. Naloge Te naloge so Ramanujanove trditve iz člankov, kjer sta opisani konstrukčiji. Preveri, če so resnične. Upoštevaj, da je ena milja enaka 63360 palčev (en paleč meri 2, 54 čm). ■ Ce naredimo kvadraturo kroga ploščine 140000 kvadratnih milj po prvi konstrukčiji, je dolžina straniče kvadrata približno en paleč večja od prave vrednosti. ■ Ce naredimo kvadraturo kroga premera 40 milj po prvi konstrukčiji, se dolžina straniče kvadrata od prave vrednosti razlikuje za manj kot desetino palča. ■ Geometrijska sredina števil |OS| in |OB| (glej sliko 3) se od šestine obsega kroga s premerom |AB | = 8000 milj razlikuje za manj kot dvanajstino palča. _XXX Barvni sudoku •is •i' ■i' V 8 X 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 X 4) nastopalo vseh osem števil. 4 1 6 5 3 2 6 6 5 2 7 6 3 5 3 4 2 8 4 XXX e b g f 12 PRESEK 46 (2018/2019) 6 FIZIKA Sat •i' Vp Andrej Likar -> Sat je skupek voščenih celic, kamor čebele shranjujejo med, cvetni prah in zalego. Očara nas s pravilno zgradbo, saj so pravilni šestkotniki tesno zloženi drug ob drugem (glej sliko 1). Le kako se čebelam posreči zgraditi tako pravilno zgradbo? i x i S i BS $ «8888888« 3S s S SLIKA 1. Celice v satu so skoraj pravilni šestkotniki. Že od pamtiveka so ljudje slutili, da se za zgradbo sata skriva nekakšen globlji smisel. Čebelji vosek morajo cebele uporabiti cim bolj smotrno, saj ga ni lahko narediti. Vosek nastane s presnovo medu v čebeljih voskovnih žlezah. Za kilogram voska pora- bijo cebele 8,4 kilograma medu. Zato je misel, da je satovje zgrajeno, kar se da premišljeno, povsem razumljiva. In res, ameriški matematik Thomas Hales je nedavno tega dokazal satno domnevo. Sat iz pravilnih šestkotnikov je najekonomičnejši: pri dani ploščini celic Po, s tem pa tudi pri njeni prostornini, je poraba voska pri dani debelini sten najmanjša. Sat z drugacno obliko celic pri enaki plošcini Po in enaki debelini sten bi bil glede voska bolj potraten. To je pomembna zmaga za cebele! Pa poglejmo na treh primerih, kako je s to domnevo. Denimo, da bi najprej ravnino prekrili s kvadrati, kjer je ena stranica kateregakoli kvadrata hkrati stranica drugega kvadrata. Kakšno je razmerje med vsoto obsegov kvadratov v velikem delu ravnine in vsoto njihovih plošcin? Obseg enega kvadrata je v povpre-cju obp = 2a, kjer je a njegova stranica. Ena stranica je namrec hkrati tudi stranica sosednjega kvadrata, zato je ne smemo šteti dvojno. Če izberemo kvadra-tovo plošcino Po = a2, je razmerje med povprecnim obsegom in to izbrano plošcino obp 2 1 Po ~ vP0' Prekrivanje z enakostranicnimi trikotniki da obp 4,— 1 1 = ^27^= = 2, 280^= . Po vPo vP0' Ti dve vrednosti primerjajmo s prekrivanjem v obliki sata: obp 4,— 1 1 ■ p = ^12^= = 1,861^ . Po vP0 vP0 Najbolj ekonomicno prekrivanje od teh je zadnje, saj je koeficient pred —tu najmanjši. Hales je do- VPo kazal, da je to najmanjši koeficient med vsemi možnimi prekrivanji s poljubnimi liki enake plošcine. PRESEK 46 (2018/2019) 6 13 FIZIKA —^ Čebelja »pamet« nas sicer lahko očara, a smo vseeno v dvomih; ničesar ne vemo o debelini sten. So tudi te optimalno izbrane? Ekonomičnost bi se izboljšala, če bi čebele delale nekoliko večje celice. Ali je velikost čelič tudi kako optimirana? O tem satna domneva nič ne pove. SLIKA 2. Prvotne celice v satu so okrogle, med njimi je precej praznega prostora (modro). Velikost čelič je določena z velikostjo same čebele. Kako gradijo čebele sat? Vosek z usti pregnetejo in okoli sebe zgradijo sprva okrogle čeliče, ki jih naslonijo na dve že zgrajeni. Sat iz okroglih čelič bi imel prav slabo ekonomijo, saj je koefičient pri njem kar 3,54 v primeri z najmanjšim 1,861. Nastane tudi prečej praznega prostora med čeličami (glej sliko 2). Kmalu zatem pa čebele zapolnijo prazne prostore z naključnim brčanjem v stene sprva okroglih čelič. Čebele vosek s telesi segrejejo na temperaturo okrog 35 °C. Tedaj je mehak in gnetljiv ter se brčam zlahka vdaja. Brčanje ja lahko povsem naključno, ni nujno, da je usmerjeno proti vrzelim v prvotnem satu. Brčanje pripelje do sata s čeličami v obliki pravilnih šestkotnikov. Da bi to trditev podprl, sem napisal računalniški program, kjer začnem z okroglo čeličo, potem pa z naključnimi radialnimi sunki po malem čeličo preoblikujem. Vsak sunek nekoliko premakne steno čeliče. V praznem prostoru, kamor čebele ne morejo, ni sunkov v nasprotni smeri, v sosednjih če-ličah pa čebele, ki so tam, poskrbijo za nasprotne sunke. S tem se širjenje sten ustavi. O pravilnih šestkotnikih čebele ne vedo ničesar, pojavijo se sami od sebe. Preobrazba iz krožne čeliče v šestkotno je prikazana na sliki 3. Na levi je originalna čeliča, ki jo čebele naredijo najprej, potem pa se z majhnimi, naključno velikimi sunki, čeliča preoblikje v pravilni šestkotnik. SLIKA 3. Tudi z naključnimi sunki v radialni smeri se sprva okrogla celica preobrazi v šestkotno, prazni prostori (modro) se zapolnijo. Preoblikovanje v šestkotnike opazimo tudi pri drugih pojavih. Če gruči enako velikih vodnih balonov omejimo širjenje, se pri polnjenju začno preoblikovati v šestkotnike in se postavijo kot čeliče v satu. V programu prikažemo polnjenje balonov z vodo z enakomernimi sunki (glej sliko 4). Tudi prsti na rokah, ki jih z vrhovi blazinič staknemo in vtisnemo ene proti drugim, tvorijo značilne kote 120 (glej sliko 5). Stisnjene paličiče, ovite z vato, so prav tako podobne satu (glej sliko 6). SLIKA 4. Sprva okrogli baloni postopno dobivajo v prerezu obliko šestkotnikov. Izjemne lastnosti voska torej pomagajo čebelam priti do najbolj ekonomičnega sata. Vosek je gnetljiv in voljan pri višji temperaturi in zelo trden pri nižji, kar omogoča zanesljivo hrambo medu in čve-tnega prahu ter dobro zaščito zaroda. Osja gnezda imajo nekoliko bolj okrogle čeliče (glej sliko 7), čeprav tudi tu najdemo predele zelo podobne satu. Pri osah je gradivo podobno papirju, ki nima lastnosti voska. Izdelava takega gradiva pa stane ose prečej mani, kot stane čebele izdelava voska. 14 PRESEK 46 (2018/2019) 6 RAZVEDRILO SLIKA 6. Tudi stisnjene vatirane paličice so podobne satu. SLIKA 7. Zapuščeno osje gnezdo - celice so skoraj okrogle. Križne vsote ■is ■i' ^ Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. SLIKA 5. Blazinice prstov na rokah se pri tesnem stiku postavijo pod značilnim kotom 120°. 15 14 17 8 6 10 8 9 = 7 7 3 -i' •i' RES ITEV KRIŽ NE VSOTE Z L S 17 8 71 L 6 L Z L e L 8 6 L 8 71 17 8 51 XXX XXX PRESEK 46 (2018/2019) 6 15 RAZVEDRILO Nagradna križanka GRAFIČNO OBLIKOVANJE. MATEVŽ BOKALlC PREGLEDNICE LEG NEBESNIH TELES OPTIČNI POJAV V OZRAČJU, ZRAČNO SLEPILO NENASIČENI OGLJIKOVODIKI, ALKENI PREGRADA ZA ZADRŽEVANJE VODE PRODIRANJE V PODLAGO ZARADI NAPOVED PROTI KONTRI PRI KARTANJU MED ZÖGE PREK NASPROTNIKA TOŽILEC (ROBERT) HRVAŠKI ARHITEKT (DRAGO) SILA NA TELESA V TEKOČINI DOLBENJE POVRŠJA ZARADI DELOVANJA VODE ANGEL SMRTI TRAVA TRETJE KOŠNJE GLAVNO MESTO MAROKA TRG V STAROGRŠKIH MESTIH BAJESLOVNA ŽIVAL Z ROGOM NA ČELU EKSPERT ZASTARI EGIPT GRŠKA POKRAJINA ZABAVNA UMETNOST KOLO ZA MERJENJE TEL. ZMOGLJIVOSTI ESKIMI ŽIVALSKI HORMONI, KI DELUJEJO NAVZVEN GRŠKA BOGINJA LOVA SAKSOFONIST VRHOVNIK VELIKO FINSKO JEZERO DUŠEVNI JAZ OBDOBJE, DOBA VAJA PRI JOGI ZA ZBRANOST TELEVIZI-JEC PUCER TEŽEK OSNOVNI DELEC GRAFIČNI ZNAK BLAGOVNE ZNAMKE AU FIRME PRIMORSKI KANTAVTOR IN IGRALEC MLAKAR VRTILNI, MAGNETNI, VZTRAJ-NOSTNI ROKOMETNI VRATAR KASTEUC OGEL VOHALNI ORGAN VODITELJ TV DNEVNIKA (DEJAN) ANTIČNO AFRIŠKO MESTO VOJAŠKO POROČILO EMANUEL LASKER DARE ULAGA PRECEJ, DOVOLJ KOŽNA BOLEZEN ZARADI IZGUBE PIGMENTA 14 SL. DIALEK-TOLOGINJA (MARTINA) RADIOAKT. PRVINA REDKA, LAHKA PLAHNSKA KOVINA PALICA ZA OTEPANJE SNOPOV GRŠKI MATEMATIK IN FIZIK AM.PEVKA (PIANA) DOSTOJANSTVO, UGLED NEKDANJI TURŠKI VE LIKAŠ MANEKENKA SENČAR TISKANI MEDLI OSEBNA ŠTEVILKA PRISLOV KRAJA DRAŽEČA SNOV OBČUTEK TEŽKEGA DIHANJA REDKA KRVNA SKUPINA BOSANSKI KNJIŽEVNIK KI ŽIVI PRI NAS (JOSIP) 13 NAŠA KI V BOLIVIJI LJUBITELJICA DOBRE HRANE, GURMANKA NAŠ METEOROLOG (JOŽE) DESNI PRITOK RONE PRI LYONU IN DEPARTMA V JV. FRANCIJI VELIKA SOBA LJUBITELJ TUJE LASTNINE TEKSTILNI IZDELEK 16 PRESEK 46 (2018/2019) 6 16 RAZVEDRILO STARO NASEUE PRIZADRU GRAND PRIX MOČNIKU PODOBNA GORENJSKA JED ETIKA NEMŠKI FIZIK, PO KATEREM SE IMENUJE ENOTA ZA ELEKTRIČNO UPORNOST (GEORG SIMON) OBČASNI KMEČKI VINOTOČ V PRIMOR. OKOLJU PREMINULI KOROŠKI DESNIČAR. POLITIK (JÖRG) AVSTRIJSKI NOVO-BAROČNI SLIKAR (HANS) ŠPORT, KI ZDRUŽUJE TEKE, SKOKE IN METE ZGOLJ NAJVEČJI PRITOK RONE V FRANCIJI NAJVEČJA REKA V TURINGLII, LEVI PRITOK LABE ZEM. JEDRO IZ NIKLJA IN ŽELEZA GORAN JANUS T PISATELJ IN PUBLICIST (MILOŠ) NAŠ NEKDANJI KOLESAR (PRIMOŽ) PRAVO IME IGRALKE ITE RINE DRUGA OSEBA EDNINE GRŠKA ČRKA OBLIKA IME-NATILEN RIMSKI VOJSKOVODJA URADNO POTRDILO VERGILOV EP SKRIVEN NAČRT ZA KAZNIVO DEJANJE TROHICA UPANJA NJAKINJA ZALICENJE BOSANSKA PEVKA (NEDA) REZULTAT PRI SEŠTEVANJU ADAMOVA 10 SORTA JABOLK GRAFIK DEBENJAK BRESKVI PODOBEN SADEŽ OZIRALNI ZAIMEK HITER GIB Z OČMI ZAŠČITNA PREVLEKA ZA PRST PRITOK URALA PRI ORENBURGU 11 ZNAK ZA NEZNANKO ZADNJICA PRODUKT PRI PROIZVODNJI ALUMINIJA ŠKATLICA ALI TOK ZA OČALA MREŽASTA TKANINA SKRAJNI KONEC KOPNEGA 15 NIZOZEM. MESTO OB MEJI Z NEMČIJO 12 LJUBLJANA POKOJNI KANADSKI PEVEC (LEONARD) KOLIČNIK POTI IN ČASA PLEMENSKO ZNAMENJE ANDREJ PEČENKO POBUDA BOSANSKI LITERAT SAMO-KOVUJA POMLADNI NASTAVEK POGANJKA TRANSPORTNA KOLONA DELEC Z NABOJEM FIZIKALNI POJAV VSTOPNA ODPRTINA V TREBUŠNI PREPONI DAJALEC INFORMACIJ RIMSKA 6 SOSEDNJ ČRKI AMERIŠKI JAZZOVSKI GLASBENIK (BILL) MESANEC MED BELO IN ČRNO RASO NAGRADNI RAZPIS Crke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. avgusta 2019, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ XXX PRESEK 46 (2018/2019) 6 17 ASTRONOMIJA Slovenija pod skupnim nebom Petek 6. september 2019 -i' -i' Zorko Vičar -> Letos Mednarodna astronomska zveza (The International Astronomical Union - IAU) praznuje 100. obletnico delovanja. V spomin na ta mejnik naj bi po vsem svetu organizirali celoletno praznovanje, promocijo astronomije. Geslo praznovanja je 100 let pod skupnim nebom (100 Years Under One Sky). Slogan lahko razumemo tudi kot pod enim ali celo pod edinim nebom. Vse tri interpretacije imajo svoj globji pomen. Koledar dogodkov po državah, tudi v Sloveniji, je na naslovu: www.iau-100.org/events. Ciljev IAU100 je veliko. Navedimo le nekatere: povečati pomen sodelovanja tako na lokalnem kot globalnem področju, opozoriti na pomen tehnološkega razvoja za napredek astronomije, spodbujanje širokega dostopa do astronomskih znanj in opazovalnih izkušenj, vključevanje raznolikosti v astronomsko skupnost - sodelovanje z ostalimi vedami in različnimi so-čialnimi skupinami, ■ ozaveščanje in razprava o morebitnih novih vznemirljivih astronomskih dogodkih, ohranjanje in zaščita svetovne kulturne in naravne dediščine temnega in mirnega neba. Torej - živimo pod enim, skupnim in edinim nebom. V resniči se osnovni čilji praktično v večini točk ujemajo s čiliji Mednarodnega leta astronomije 2009 (400 let po Galileju). Projekt MLA2009 je bil med najuspešnejšimi promočijami astronomije v svetu (še posebej v Sloveniji) po poletu na Luno in po prehodu Venere čez Sonče 2004. Leta 2009 so se društva, univerze, šole, Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport Republike Slovenije ter mnogi posamezniki zelo potrudili, da je mednarodno leto astronomije pustilo trajen pečat v slovenskem kulturnem prostoru. Organizirana so bila mnoga javna opazovanja (zdaleč najbolj množično v parku Tivoli v Ljubljani), predavanja, razstave astronomskih vsebin, slik po šolah in v Tivoliju, razstava o Pavlu Kunaverju, kongres Slovenija in vesolje, začelo se je državno tekmovanje iz astronomije. Večina šol je z odprtimi rokami sprejela darilo države in si tako priskrbela astronomsko opazovalno opremo, teleskope, daljnoglede, nekatere kamere in ostalo dodatno astronomsko opremo. Državo smo z vztrajnim trkanjem v letih 2008/09 nekako le prepričali, da je končno sistematično pristopila k opremljanju šol z astronomsko opremo. V bistvu se je to zgodilo prvič, od kar sta Simon Marius in Galileo Galilei pred davnimi 410 leti opravila prva resna astronomska opazovanja z daljnogledom (teleskopom) in hkrati podala razlago videnega. Galilejeva opazovanja opisana v Zvezdnem slu (Si-dereus nunčius iz 1610) so predstavljala velik preskok v razvoju pravilnega razumevanja nebesne mehanike, vesolja nasploh. Tudi razumevanje položaja človeka v vesolju se je začelo pospešeno spreminjati in se še danes spreminja, ostaja odprto, kot skrivnost vesolja samega. Hkrati pa se je z uvedbo te- 18 PRESEK 46 (2018/2019) 6 ASTRONOMIJA leskopov tudi izjemno povecala merilna natancnost, kar za nekaj velikostnih redov. Globina pogleda v vesolje se je zaradi teleskopov (velikih premerov objektivov) do danes povecala iz nekaj milijonov svetlobnih let na milijarde svetlobnih let, prakticno skoraj do burnega rojstva vesolja. Da to dejstvo vsaj delno dojamemo, je potreben pogled skozi teleskope na, recimo, Luno, planete, na šibke kopice Rimske ceste in na oddaljene galaksije. Seveda nam fotografija razkrije še veliko vec in seže še veliko dlje v globine vesolje, a izkušnjo pogleda v globoko nebo in razumevanje videnega bi morali privošciti vsakemu ucencu, ucenki, Zemljanu. Pobuda šolam v letu 2019 Ce smo leta 2009 po šolah pripravljali astronomske vecere, predavanja, opazovanja, pa bi tokrat lahko šole naredile majhen korak naprej, a velikega za Slovenijo. Vecina šol lahko tokrat povabi prakticno vso Slovenijo (vsaka svoj šolski okoliš) na astronomska opazovanja na šolsko dvorišce, šolski vrt, teraso, observatorij (ce ga že ima). Izvajala bi se zgolj osnovna Galilejeva opazovanja nebesnih objektov (Luna, Saturn, Jupiter), morebiti se obiskovalcem pokaže še kakšna dvojna zvezda, kopica, galaksija, kijih zmore poiskati prakticno vsak ucitelj naravoslovnih predmetov. Zagotovo bi s primerno promocijo take povezovalne noci, na katero bi povabili vse generacije iz šolskih okolišev, naredili dodaten korak k še boljši povezanosti šol z okoljem, med samimi ljudmi, z naravo, tudi z zvezdnim nebom. Taka druženja po pravilu pomagajo k boljšemu razumevanju v lokalni skupnosti, k povecanju zanimanja za astronomijo, tudi k razumevanju krhkosti ravnovesja v naravi, pomena temnega nocnega neba. Velikokrat podobna druženja tudi spremenijo nacin in fokus razmišljanja, nacin samega bivanja, in to na bolje. Datum, ko je predlagano astronomsko opazovanje moc izvesti v eni noci, lahko celo v uri ali dveh, seveda ob lepem vremenu, je, recimo, petek 6. september 2019. To je zacetek šolskega leta, ko smo še vsi sprošceni in zbrani po poletnem dopustniškem »babilonu«. Noci so še dokaj tople, mrak pa se zacne že pred 20. uro. Ce šola ni vešca rokovanja z vecjimi ra-cunalniško vodenimi teleskopi, so za omenjena opazovanja dovolj že namizni Dobsoni ali vecji daljnogledi na stojalih. Astronomska oprema v letu 2019 ne bi smela biti vecji problem. SLIKA 1. Južno nebo 6. septembra zvecer: Luna v Kacenoscu, Saturn v Strelcu levo od Lune, Jupiter v Kacenoscu desno od Lune. Morebiti vas bo kdo še povprašal, kako to, da sta Luna in Jupiter v Kacenoscu, ki uradno ni del zodiakalnih ozvezdij. 19 PRESEK 46 (2018/2019) 6 ASTRONOMIJA -> Opazovanja bi se lahko zacela ob 19.45 (zaid Sonca je ob 19.32). Takrat je brez vecjih težav mogoce na južnem nebu poiskati prvi Lunin krajec, Saturn levo (vzhodno), Jupiter desno (zahodno). Lahko pa v program opazovanj vkljucimo še Andromedino galaksijo M31, planetarni meglici M57, M27, razsuto kopico M11, kroglasto kopico M13, dvojni zvezdi Albi-reo, Gama Andromede, (M15, M81, M82, M51, M17, M20, M8, Hi-h). Na Luni lahko, recimo, pokažemo Morje tišine, obmocje, kjer je pristala posadka misije Apollo 11 (20. julija leta 1969), ali obmocje, kjer se nahaja krater Vega (Jurij). Tako kot pri Luni tudi pri ostalih objektih lahko predstavimo osnovne podatke (oddaljenost, temperatura, težni pospešek na površju). Jupitrove proge, atmosfera in lune ter Sa-turnovi obrocki nikogar ne pustijo ravnodušnega, zanimivosti o plinskih velikanih nam ne bo zmanjkalo, ocena velikosti kraterjev na Luni pa tudi preseneti vecino opazovalcev. Namen takih opazovanj seveda ni globoko razpredanje o videnem, ampak predvsem cudenje, lepota videnega, razlocevanje podrobnosti, ki so kdaj v okularju veliko bolj ocitne, prepricljive, kot recimo na slikah. Velja pa, da nekaj osnovnih informacij opazovalec o videnem mora dobiti. Lepo bi bilo, ce bi torej vse šole v eni noci po celotni Sloveniji za ucence (tudi ucitelje, starše in obcane iz okolice šol, popotnike skozi naše kraje, za vse generacije, tudi ostarele) osnovna Galilejeva astronomska opazovanja izpred 410 let. Šolam bi pomagala tudi astronomska društva, univerze, posamezniki. Ali nam bo torej uspelo prebuditi astronomsko Slovenijo? Priprava na Slovenijo pod skupnim nebom 2019 Ker letos mineva 50 let prvega pristanka cloveka na Luni, bi lahko, recimo, v petek 19. julija 2019 na predvecer obletnice dogodka povabili radovedneže na šolo in si najprej skupaj ogledali planeta Saturn in Jupiter pa še kaj, nato pa Luno, ki vzide ob 22.30. Seveda bo tri dni prej še ena lepa priložnost za druženje, in sicer bo v torek 16.7.2019 delni Lunin mrk (zacetek kmalu po 23. h, sredina ob 23.31). Realno ne moremo pricakovati, da se prav vse šole odzovejo na astronomska opazovanja, recimo 6. septembra 2019, a kar nekaj šol bi ta izziv zmoglo -lahko da celo vecina. Vsaka šola, ki ji bo uspelo prire- diti javna opazovanja za okolico, bo na koncu bogato poplacana, malo verjetno, da z denarjem, ampak zagotovo s hvaležnostjo obiskovalcev. Zagotovo pa je lahko tako srecanje pod skupno velicastno zvezdno streho zacetek imenitne vaje iz nebesne mehanike, in to za vse nas, tudi nakljucne obiskovalce našega druženja. To je lahko zacetek opazovanja zbliževanja Jupitra in Saturna, ki se bo zgodilo 21. decembra (kar na zimski solsticij) 2020 v Kozorogu, ko se bosta plinasta nebesna potepuha navidezno zbližala (konjunkcija) zgolj na šest kotnih minut. Srecanja Jupitra in Saturna se sicer dogajajo približno na vsakih 20 let, a tokratno srecanje je posebej zanimivo zaradi njune izjemne bližine, ko bomo lahko v teleskopu elegantno opazovali hkrati kar oba plinasta velikana (tudi do 200-kratni pove-cavi). Leta 2040 in 2060 bosta planeta narazen za vec kot stopinjo (vec kot dve polni Luni), leta 2080 pa spet samo šest kotnih minut. Taka bližnja ko-njunkcija (že prakticno skoraj okultacija, prekrivanje za prosto oko), ko lahko kar s prostim ocesom spremljamo, kako Jupiter lovi gospodarja prstanov Saturna (Jupiter porabi za obhod okrog Sonca nekaj manj kot 12 let, Saturn pa nekaj manj kot 30 let), je velicastna vaja iz nebesne mehanike, ki jo za nas naredi vesolje. Vsakdo lahko planeta na nebu tudi slika, vsaj nekajkrat na mesec (recimo, da je Jupiter na desnem robu slike), ko je to seveda mogoce, v jeseni 2020 pa veckrat. Že preprosto gledanje zaporedja slik nam bo odprlo velicastno logiko nebesne mehanike (podobna vaja iz leta 2000 je na: www2. arnes . si /~gl jsentvi d10/raz9900/ani 4. htm). Zbliževanje planetov lahko sicer animiramo kar v Stellariumu ali kakem drugem astronomskem programu, a to ni tista primarna izkušnja, ki je pripeljala do razumevanja vesolja. To je zgolj še eno mežikanje na ekranih prenosnih telefonov ali racunalnikov, ki cloveku vzame bistvo carobnosti sveta, ki pa je zagotovo pod naravnim zvezdnim nebom, med prijatelji. Slovenija torej opazuje nocno nebo 6. septembra 2019! www.obzornik.si www.dmfa-zaloznistvo.si 20 PRESEK 46 (2018/2019) 6 ASTRONOMIJA SLIKA 2. Karta področij pristanka človeških posadk na Luni. Prvi pristanek seje zgodil 20. julija 1 969 ob 22. uri in 56 minut (21. julija ob 3. uri zjutraj po srednjeevropskem času), misija Apollo 11. Vir: Jason Major. SLIKA 3. Slovenija pod skupnim nebom 2019 je lahko tudi uvod, da vsaj nekateri obiskovalci začnejo bolj redno spremljati dinamiko na nočnem nebu. Recimo bližanje (lovljenje) Jupitra in Saturna - seveda kar s prostim očesom ali tudi navadnim fotoaparatom. Veličastna konjunkčija obeh planetov se bo namreč zgodila 21. dečembra 2020, ko ju bomo pol ure po zahodu Sonča (že 16.45) lahko opazovali le okrog šest kotnih minut narazen v istem polju teleskopa, kar se zgodi zelo redko. Letos mineva tudi 100 let potrditve Einsteinove splošne teorije relativnosti preko Soncevega mrka (na fotografijah je bil »zaznan gravitacijski« premik zvezdnega ozadja v bližini zamra-cenega Sonca), 50 let od pristanka cloveka na Luni, 10 let od Mednarodnega leta astronomije (MLA2009), 70 let DMFA. Letos ESO (Evropski južni observatorij) praznuje 50 let delovanja (La Silla, Cile). Mineva tudi 400 let od objave izjemno pomembnega tretjega Keplerjevega zakona. Ta zakon je osnova gravitacijskega zakona (je matematicno v bistvu gravitacijski zakon), je tudi temelj moderne kozmologije, vede o dinamiki vesolja, rojstvu in sestavi vesolja. www.dmfa.si Akčijo Slovenija opazuje nebo 6. septembra bo koordiniralo Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije www.dmfa.si. Vse informačije, aktivnosti in prijave opazovalnih mest za akčijo Slovenija opazuje nebo 6. septembra so objavljene na spletnih straneh www.portalvvesolje.si. XXX www.portalvesolje.si www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si 21 PRESEK 46 (2018/2019) 6 ASTRONOMIJA Ocena časa trajanja središčnega navideznega prehoda Venere čez Jupiter nU vU Marijan Prosen Z Zemlje lahko opazujemo navidezni prehod Venere čez Jupiter (glej sliko). Očenite čas trajanja središčnega navideznega prehoda Venere čez Jupiter, ko Venera (manjši krog na sliki) navidezno prečka Jupiter tako, da gre njeno navidezno središče natančno čez središče Jupitrove navidezne okrogle ploskviče (čez središče večjega kroga na sliki). Cas trajanja središčnega navideznega prehoda navedite na minuto ali vsaj na desetinko ure natančno. Napotek Venera in Jupiter naj se gibljeta po krožnicah okrog Sonca. Vzamemo najpreprostejši primer (idealno situacijo, ki je v praksi neuresnicljiva ali nemogoca, racun pa lahko vseeno izvedemo), in sicer tako, da ležijo Zemlja, Venera (v zgornji konjunciji s Soncem) in Jupiter (v konjunkciji s Soncem) skoraj na isti premici in da navidezno manjša okrogla Venera potuje natancno cez središce navidezno vecjega krožnega Jupitra (središcni navidezni prehod). Podatki: zorni kot Venere je 1o" (najmanjši), zorni kot Jupitra je 3o" (najmanjši), oddaljenost Venere od Zemlje je 1,7 ae., oddaljenost Jupitra od Zemlje je 6,2 ae., hitrost Venere na krožnem tiru je 35 km/s, hitrost Jupitra na krožnem tiru je 13 km/s, premer Venere je 12ooo km, premer Jupitra pa je 143 ooo km; 1 ae. (astronomska enota) meri 15o milijonov km. Opomba. Navidezno gibanje obeh planetov naj se odvija le v eno smer, npr. v desno pri pogledu na planeta; sicer so možne štiri smeri.) Oceniti je treba cas trajanja središcnega navideznega prehoda Venere (manjšega kroga) cez Jupiter SLIKA 1. Navidezni prehod Venere cez Jupiter (shema), ki se je zgodil ponoči 3. 1. 1818. Nisem zasledil, da bi ga kdo opazoval. Opazovali bi ga lahko le prebivalci z nekaterih japonskih otokov. Naslednji Venerin navidezni prehod čez Jupiter bo 22. 11. 2065. (vecji krog) tako, da manjši krog natanko in v celoti navidezno precka premer vecjega. V literaturi in tudi na svetovnem spletu nisem našel podatka za cas trajanja središcnega navideznega prehoda Venere cez Jupiter, ceprav bi ga lahko imeli za nekakšno konstanto v Osoncju. Tako pa ostaja ta cas prehoda neznan. Iz zgoraj navedenih podatkov in napotkov lahko ugotovimo razmeroma dobro oceno za trajanje središcnega navideznega prehoda Venere preko Jupitra, ceprav je kar nekaj dela z razmišljanjem in tudi racunanjem. _ XXX 22 PRESEK 46 (2018/2019) 6 RACUNALNIŠTVO Računska geo z mnogokotni metrija ki -i' Vp Jure Slak -> Računska geometrija je veda, ki se ukvarja z reševanjem geometrijskih problemov z računalnikom. Problemi, ki jih rešuje, so zelo raznovrstni (ustvarjanje modelov za animirane filme in igre, oblikovanje resničnih objektov, rekonstrukcija površin in iskanje najbližjih točk). V članku bomo ukvarjali z delom, ki razvija algoritme in podatkovne strukture za reševanje problemov z osnovnimi geometrijskimi objekti, kot so točke, daljiče in geometrijski liki. Geometrijski problemi so zelo lahko rešljivi za clo-veški um, za racunalnik pa so velikokrat precej težji, kot se zdi na prvi pogled. Tako že s pogledom na sliko 1 lahko hitro ugotovimo, ali je lik konveksen. SLIKA1. Primer lika, za katerega clovek hitro ugotovi, ali je konkaven ali konveksen. Spomnimo se definicije konveksnega lika: Lik je konveksen, Če vsaka daljiča, katere krajišči ležita znotraj lika tudi sama v čeloti leži znotraj lika. Zgornja definicija je matematicno elegantna; pove da konveksni lik ne sme imeti vbocenih delov, racun-sko pa ni dosti uporabna. Podobno velja za velik del Evklidske geometrije: lastnosti, definirane s pomo-cjo geometrijskih objektov, kot so simetrale, enaki koti, vzporednice, nam pri racunalniku ne pomagajo veliko, saj z njimi ne znamo delati. Predstavitev objektov Prišli smo do prvega problema racunske geometrije in sicer, kako predstaviti geometrijske objekte. Odgovor je dandanes relativno samoumeven, s koordinatami. Ta ideja je bila razvita precej pozno. Idejo koordinatnega sistema pripisujemo Reneju Descar-tesu, ki je živel v 17. stoletju. Zapis tocke v ravnini s pomocjo dveh števil je omogocil sistematicno povezavo med vizualno naravnano geometrijo in racun-sko naravnano algebro. Na enak nacin bomo tocke predstavili tudi mi, kot par dveh decimalnih števil (x,y). To sicer ni povsem natancna predstavitev, saj tocke (V3, n) je bomo mogli predstaviti popolnoma natancno. Sedaj, ko znamo predstaviti tocke, se lahko lotimo predstavitve bolj zapletenih objektov: daljico npr. predstavimo kot par dveh tock, krog pa kot par središca in polmera. Mnogokotnik predstavimo kot zaporedje tock na njegovem robu. Lik na sliki 1 je v programu, v katerem je narisan, predstavljen z zaporedjem sedmih tock: ■ [(545.4688,1628.2812), (34.1016,900.9766), (806.8750, 37.3047), (2174.3359,135.7812), (2549.3750,1082.8125), (1503.8672,969.1797), (1261.4453,1666.1719)]. Takih predstavitev je vec: odvisno je, pri kateri tocki zacnemo in v katero smer naštevamo tocke. Podobno kot pri trikotnikih bomo rekli, da ima mnogo-kotnik pozitivno orientacijo, ce jih naštevamo v nasprotni smeri urinega kazalca, sicer pa ima negativno orientacijo. Že problem skladnosti likov tako postane zanimiv. Kako lahko ugotovimo, ali predstavljata enak lik, ce imamo dva seznama tock, ki predstavljata dva mnogokotnika? Ne moremo samo preveriti, ali sta seznama enaka, ampak moramo preveriti vse možne ciklicne zamike prvega seznama in vse ciklicne zamike obrnjenega prvega seznama, ce se morda ujemajo z drugim seznamom. PRESEK 46 (2018/2019) 6 23 RACUNALNIŠTVO —^ Na tem mestu lahko bralec razmisli, kako bi za lik, podan samo s koordinatami preverili, ali je konveksen. Kako bi izracunal njegovo plošcino ali obseg? Algoritmi, ki jih bomo izpeljali, bodo relativno enostavni, vendar bi se brez njih marsikdo ujel v ne-skoncno obravnavo razlicnih možnosti in posebnih primerov. Obseg Pri obsegu standardna definicija prenese tudi v ra-cunsko. Obseg mnogokotnika je vsota dolžin vseh njegovih stranic. Dolžino stranice izracunamo kot razdaljo med dvema tockama, za katero uporabimo znano formulo, ki izvira iz Pitagorovega izreka: d((x1,y1), (%2,j2)) = V(xi - X2)2 + (yi - y2)2. (1) Izracunajmo obseg zgornjega lika s programskim jezikom Python. Tocke predstavimo kar z dvema seznamoma x in y koordinat. Velikokrat se za geometrijske objekte naredi svoj razred, kar bomo za voljo enostavnosti tokrat izpustili. Lik na sliki 1 tako predstavimo s spodnjo kodo: x= [545.46875, 34.101562, 806.875, 2174.335938, 2549.375, 1503.867188, 1261.445312] y= [1628.28125, 900.976562, 37.304688, 135.78125, 1082.8125, 969.179688, 1666.171875] Oglejmo si funkcijo, ki izračuna obseg lika: from math impor sqrt def obseg(x, y): n = en (x) # dolžina seznama x, predpostavimo, da je y enako dolg o = 0 for i in rang (n): j = (i ) n # naslednja točka # prištejemo dolžino trenutne stranice k skupnemu obsegu o += sqrt((x[i]-x[j])**2 + (y[i]-y[j])**2) return o Vidimo, da je funkcija precej kratka in enostavna. Sprehodimo se po vseh tockah lika za i od 0 do n -1. Za i-to tocko naprej ugotovimo njeno naslednjo tocko j, ki je kar i + 1, ce pa je i slucajno zadnja tocka, tako da bi i + 1 gledal preko konca seznama, pa nastavimo j na 0. Posebni obravnavi zadnje tocke se enostavno ognemo s pomocjo operatorja modulo (%), ki vrne ostanek pri celoštevilskem deljenju. Število n je v našem primeru 7, in ko je i 0, 1, 2, 3, 4, ali 5, je i + 1 manjši od 7. Ostanek pri deljenju s 7 nice-sar ne spremeni in je j kar enak i + 1. Ko pa je i + 1 enak 7, je ostanek pri deljenju 7 s 7 enak 0, kar je tudi pravilna vrednost za j. Nato k trenutnemu obsegu samo prištejemo razdaljo med tockama (vrstica 8 neposredno uporabi formulo (1)) in ga na koncu vrnemo. Ko funkcijo poženemo s koordinatami našega lika za parametra % in y, dobimo rezultat približno 6944.19. Plošcina Izracun plošcine je že zanimivejši od izracuna obsega. Za posebne like, kot so npr. krog ali pravoko-tnik, plošcino znamo izracunati po formuli. Kaj pa za splošen mnogokotnik? Zacnimo najprej s trikotniki. Osnovna formula za plošcino trikotnika je polovica produkta dolžin višine in osnovnice. V praksi ta formula ni tako dobra, saj je izracun višine težji kot izracun plošcine. To formulo pogosteje uporabimo v obratni smeri, tako da iz plošcine in stranice dobimo višino. Druga možnost je Heronov obrazec: a + b + c p = -Js(s - a)(s - b)(s - c), s = 2 ki uporablja le dolžine stranic, toda ima nepotrebno korenjenje. Kot verjetno veste, obstaja tudi formula, ki izrazi plošcino neposredno iz koordinat trikotnika: Ce imamo tocke (x1,y1),(x2,y2), (x3,y3), potem velja, da je plošcina enaka ■ p = 2 \ + %2y3 + %3y1 - %2y1 - %3y2 - %1y3 \ - Kasneje se bomo kar na splošnejšem primeru mno-gokotnika prepricali, da formula drži. Ce spustimo absolutno vrednost, dobimo iz formule še vec podatkov: predznak namrec pove tudi orientacijo trikotnika. Znamo uporabiti znanje o plošcinah trikotnikov pri racunanju plošcine mnogokotnika? Prva ideja je, da bi mnogokotnik razdelili na trikotnike, podobno kot na sliki 2 levo. 24 PRESEK 46 (2018/2019) 6 24 RACUNALNIŠTVO Vi+i Xi xi + 1 SLIKA 2. Možni izracuni plošcine mnogokotnika 2 2 dnosti natančno: yi + y2, s , y2 + y31 , ■ p = --(xi - X2) +---(X2 - X3) 2 y3 + yi 2 (X3 - Xi) + y2x1 y1x2 y2x2 2 2 2 + y3x2 y2x3 y3x3 2 2 2 + y1x3 y3x1 y1x1 Ta ideja je za izračun ploščine odlična, toda izkaže se, da je razdelitev mnogokotnika na trikotnike prečej težji problem kot izračun ploščine same, saj ne obstaja vedno točka, ki bi jo bilo možno povezati z vsemi oglišči, kot v primeru zgoraj. Taki mnogoko-tniki imajo čelo posebno ime, imenujejo se zvezdasti. Druga ideja je, da ploščino mnogokotnika zapišemo kot vsoto ploščin trapezov, kot na sliki 2 desno. Oglejmo si »navpični« trapez, ki ga dve zaporedni točki (xi,yt) in (xi+1,yi+1) tvorita z x-osjo, tj. trapez na točkah (xi, 0), (xi, yt), (xi+i, yi+i ), (xi+1,0). Tak trapez ima višino xi - xi+1 in srednjičo yi+2yi+1, torej je njegova predznačena ploščina enaka yi+2yi+1 (xi - xi+1). Če seštejemo vse trapeze, dobimo vsoto y1 + y2, , , , yn + y1, , P = -^-(x1 - x2) + ... + ---(xn - x1) Trapezi pod likom imajo višino negativno, medtem ko imajo zgornji trapezi višino pozitivno. Del ploščine pod likom se tako ravno odšteje. Enako velja za bolj zapletene like. Podoben sklep bi lahko naredili, tudi če bi risali trapeze po y osi ali pa če bi risali trikotnike do vsake straniče iz izhodišča - v vsakem primeru dobimo neko obliko zgornje formule. Zgornja formula je z vidika računske geometrije odlična, saj direktno poda rezultat iz osnovnih podatkov. Poleg tega je zanimiva tudi matematično; z njo namreč lahko dokažemo, da ima vsak mnogokotnik s čelo-številskimi koordinatami ploščino, ki je čeloštevilska ali pa na poloviči med dvema čelima številoma. Preverimo lahko tudi, da se za trikotnik splošna formula ujema s prej napisano do absolutnih vre- = ^(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x2y1 -x3y2-x1y3) Ravno predznak ploščine nosi dodatno informačijo o orientačiji mnogokotnika, kar je računski odgovor na geometrijsko vprašanje. Oglejmo si primer implementačije metode za računanje ploščine v Pythonu. def plosčina(x, y): n = len(x) # dolžina seznama x, predpostavimo, da je y enako dolg p = 0 for i in rang (n): j = (i ) n # naslednja točka # prištejemo dolžino trenutne straniče k skupni ploščini p += (y[i] + y[j])*(x[i] - x[j]) return p/2 Program je podoben tistemu za obseg, kjer zopet uporabimo enak trik s % za naslednika. Za naš lik program vrne približno 2508792.033, kar pove, da ima lik pozitivno orientačijo. Na konču velja dodati še opombo, da formula velja za enostavne mnogokotnike, to so mnogokotniki, ki nimajo samopresečišč, kar je velika večina mnogoko-tnikov v praksi, npr. geografske meje. Tudi za pravo-kotnike s samopresečišči obstajajo formule, vendar je potrebno najprej definirati, kaj je notranjost lika. Konveksnost Kot zadnji primer si oglejmo, kako preverimo, ali je mnogokotnik konveksen. Kot smo že razmislili, nam geometrijska definičija ne koristi kaj dosti, toda uporabimo lahko drugačen geometrijski opis, ki je bližje računski geometriji. Zamislimo si, da hodimo po straničah mnogokotnika v pozitivni smeri. Vsak ovinek, ki ga naredimo, ko pridemo na novo straničo, + 2 + 2 + 2 2 2 2 PRESEK 46 (2018/2019) 6 25 RACUNALNIŠTVO —^ mora biti v levo, sicer imamo »vdolbino« in s tem kršimo konveksnost. Pogoj za konveksnost je torej, da morajo biti vsi ovinki pri obhodu v levo. Ostaja samo še, kako ugotoviti, v katero smer je bil ovinek. Ovinek v levo Obravnavajmo situacijo na sliki 3 s pomocjo koordinat in poskusimo izpeljati zanesljiv postopek za ugotavljanje smeri ovinka. S primerjavami koordinat posameznih tock in obravnavo ogromno možnosti se morda uspemo prebiti skozi. Kot vedno pa ne želimo obravnavati posebnih primerov, ampak si želimo postopek, ki bo neodvisen od smeri in bo deloval za vse konfiguracije. C* ' v* s C Za zainteresirane velja omeniti, da obstaja operacija vektorskega produkta, ki ponuja globljo izpeljavo zgornje formule z vec geometrijskega razumevanja, s pomocjo katere enostavno izpeljemo tako formulo za plošcino kot tudi odgovor na vprašanje smeri ovinka. Preverjanje konveksnosti Ostane nam le še, da uporabimo zgoraj nauceno, da preverimo, ali je lik konveksen. Za vsakega izmed n ovinkov preverimo, ali je ovinek v levo. V primeru desnega ovinka sporocimo, da lik ni konveksen, sicer pa, daje. To pocne spodnja funkcija: def je_konveksen(x, y): # predpostavimo pozitivno orientacijo n = len(x) for i in rang (n): j = (i+1) % n k = (i+2) % n if not v_levo(x[i], y[i], x[j], y[j], x[k], y[k]): return False # ce ovinek ni v levo, zakljucimo return True SLIKA 3. Ugotavljanje smeri ovinka Ideja se ponuja iz prejšnjega primera. Ce si ogledamo trikotnik AABC in njegovo orientacijo, vidimo, da je negativna, ce C leži desno od nosilke AB, pozitivna, ce C leži levo od nosilke AB, trikotnik pa je izrojen, ce C leži na nosilki AB. V mislih lahko preverimo vse možne lege C, da potrdimo veljavnost zgornjega razmisleka. Orientacijo trikotnika znamo izracunati s pomocjo plošcine. Ce izracunamo pred-znaceno plošcino p, lahko preverimo predznak in vemo, da je ovinek v levo, ce je p > 0, v desno, ce je p < 0, in naravnost, ce je p = 0. Ker nas zanima samo predznak, se lahko tudi izognemo deljenju z 2. Pri iskanju konveksne ovojnice bodo ovinki naravnost šteli kot levi, kar tudi upoštevamo v spodnji funkciji: def v_levo(x1, y1, x2, y2, x3, y3): p = x1*y2+x2*y3+x3*y1-x2*y1-x3*y2-x1*y3 returi p >= 0 # vrnemo True, ce je ovinek v levo ali naravnost Predpostavka o pozitivni orientaciji lahko enostavno preverimo in po potrebi obrnemo seznam tock, preden poklicemo zgornjo funkcijo. V funkciji smo zopet uporabili trik s % za naslednika in še za drugega naslednika. Na primeru našega lika funkcija vrne False, saj ovinek (2549.375,1082.812) -(1503.867,969.179) - (1261.445,1666.171) ni v levo (p = -756257.856). Drugi problemi Za zainteresirane bralce lahko omenimo še dva problema podobne težavnosti. Prvi je problem prese-cišca dveh premic, vsaka podana z dvema tockama. Razviti je potrebno algoritem, ki vrne koordinate presecišca, ali pa pove, da se premici prekrivata ali da sta vzporedni. Tudi tu je možno doseci, da se nobenih premic ne obravnava posebej (npr. navpicnih), ampak obstaja direkten izracun. Drugi problem pa je problem presecišca dveh daljic: ali se sploh sekata in kje. Oba problema je možno rešiti s spoznanimi orodji, le pravilen pristop in dobro mero potrpljenja je potrebno imeti. _XXX 26 PRESEK 46 (2018/2019) 6 26 RAZVEDRILO Detektiv in poševni met nU NU vU Aleš Mohoriš -> Na parkirišču sem opazoval posušene blatne kapljice na vratih avtomobila in se vprašal, ali znam iz vzorca ugotoviti, s kolikšno hitrostjo je avto peljal po blatu. Pri poševnem metu je tirniča telesa parabola. Gibanje v vodoravni smeri je enakomerno x = v čos p t, v navpični pa enakomerno pospešeno s končno začetno hitrostjo y = v sin pt - 2gt2. Telo vržemo iz izhodišča koordinatnega sistema s hitrostjo v, ki oklepa z osjo x kot p, g pa je težni pospešek. Oblika parabole je odvisna od začetne hitrosti in kota, pod katerim telo vržemo. Telo doseže največjo višino h = v^sgnrP, domet pa ima d = 2v 2čosgp sin p. Drug izraz kvadriramo, kvadrat kosinusa izrazimo s čos2 p = 1 - sin2 p in kvadrata sinusa zamenjamo s sin2 p = , ki ga dobimo iz izraza za višino. Enačbo preuredimo in dobimo zvezo med dometom in največjo višino meta: d 8v 2 h g - 16h2. (1) SLIKA 1. Družina parabol, ki ustrezajo poševnim metom z enako začetno hitrostjo in pod različnimi koti. Blatne kapljiče se med vožnjo po blatu primejo dna koles in nekoliko višje, na različnih mestih nad dotikališčem kolesa s tlemi, odletavajo v loku proti zadku avtomobila (slika 2). Za voznika je videti tako, kot bi z oboda kolesa kapljiče odletavale z enako hi- SLIKA2. Vzorec posušenih blatnih kapelj na avtomobilu tvori parabo-lične nize. Narisanih je nekaj krivulj in označena je višina parabole ter domet. trostjo (obodna hitrost zunanjega dela gume), toda v različnih smereh. Obodna hitrost zunanjega roba kolesa je za voznika enaka kot hitrost vozila glede na često. Nekatere kapljiče letijo dovolj blizu vrat, da se jih oprimejo in tam posušijo. Množiče kapljič tvorijo vzoreč, ki mu lahko prilagodimo družino parabol, podobno tisti na sliki 1. Iz vzorča na vratih poiščemo višine in ustrezne domete parabol. Podatke kaže graf na sliki 3. Iz enačbe 1 določimo začetno hitrost kapljič. Pri analizi smo privzeli, da parabole izhajajo iz iste točke, kolesa ne zdrsujejo, avto pelje s stalno hitrostjo in kapljiče imajo vse enako začetno hitrost, spreminja se le kot, pod katerim odletijo. Rdeča krivulja na grafu ustreza enačbi 1, če je začetna hitrost 5,5 m/s. Torej, avto je peljal po blatu s hitrostjo 20 km/h. Dobili smo pričakovan rezultat - po blatu običajno vozimo počasi. 40 60 h [cm] SLIKA 3. Izmerjeni dometi in višine parabol ter modelska krivulja, ki ustreza začetni hitrosti 20 km/h. _ XXX PRESEK 46 (2018/2019) 6 27 RAZVEDRILO MaRtematicne prigode MArTEMATICNE PRIGODE Marta Zabret MArTEMATICNE PRIGODE 146 strani format 14 x 20 cm 12,50 EUR Izšla je nova knjiga MaRtematicne prigode. Avtorica Marta Zabret je profesorica matematike in specialistka matema-ticnega izobraževanja. Knjiga je množica kratkih zgodb, v katerih so strnjene mnoge izkušnje s podrocja poucevanja in spremljajocih aktivnosti na srednjih šolah. Jedro knjige so zanimivi zapisi o njenih dijakinjah in dijakih. Besedila so napisana lepo in strnjeno, v njih je tudi precej humorja. Zgodbe lahko beremo samostojno; nekatere so prav kratke. Knjiga ima tudi nekaj cisto matematicne vsebine, denimo v obliki originalno predstavljenih problemov na srednješolskem nivoju. Za lepo zunanjo in notranjo obliko knjige so poskrbele tri nekdanje Martine dijakinje: Neža Vavpetic, Ariana Godicelj in Ana Hafner. Poleg omenjene lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih knjig. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko starejše knjige tudi naroČite s popustom: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ceni k/ Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. vU sU vU RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE PRESEK 46/5 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz pete številke Preseka je Poleti pomladi. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Juš Gašparic iz Ljubljane, Maja Ciglar iz Petrovc in Tomaž Ter-cic iz Nove Gorice, ki bodo razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 28 PRESEK 46 (2018/2019) 6 28 TEKMOVANJA nU vU vU Boštjan Kuzman Letošnja slavnostna podelitev nagrad tekmovalcem v matematiki, fiziki in astronomiji je potekala v znamenju 70-letnice DMFA Slovenije v nedeljo, 19. maja, v Gallusovi dvorani Cankarjevega doma v Ljubljani. Povabilo na prireditev vsem prejemnikom zlatih priznanj je sicer povzročilo nekaj zmede in gnece pri rezervacijah in razdeljevanju vstopnic, toda prireditev v imenitno osvetljeni polni dvorani s 1500 sedeži je bila res praznicna. Zapleti v preddverju so bili pozabljeni kmalu po zacetku. Prireditev je z virtuozno skladbo odprla mlada pianistka Tea Jelicic, dijakinja 4. letnika Konservato-rija za glasbo in balet ter prvonagrajenka letošnjega državnega tekmovanja mladih glasbenikov, ki smo jo na odru skupaj videli kar petkrat - dvakrat kot glasbeničo, nato pa še kot nagrajenko tekmovanja v matematiki ter članičo dveh ekip za mednarodna tekmovanja. Nato sta na oder stopila voditelja Tomaž Hudo-malj, znani športni komentator, in Mojca Delac, vo-diteljiča poljudnoznanstvenih oddaj na Radiu Slovenija. Na vprašanje, ali se kdo v dvorani še spomni leta 1949, ko je bilo društvo ustanovljeno, se je iz dvorane oglasil gospod Dušan Modic, 92-letni profesor matematike in fizike iz Novega mesta, bržkone edini še živi ustanovni član društva. Crnobeli foto- Slavnostna podelitev nagrad državnih tekmovanj iz matematike, fizike in astronomije ob 70-letnici DMFA Slovenije Cankarjev dom, Ljubljana, 19. maj 2019 PRESEK 46 (2018/2019) G 29 TEKMOVANJA grafiji dijakov pri uri matematike izpred 60 let in slavnostne prireditve DMFA izpred 40 let sta dali odlično iztočnico prof. Draganu Mihajlovicu, ki je prišel na oder kot predsednik DMFA pozdravit goste. Nato smo si ogledali krajši film, v katerem so bile ob izjavam posameznikov predstavljene številne dejavnosti našega društva, s poudarkom na zadnjem obdobju. Film sta pripravila Andrej Guštin in Maja Pecar. Posebna atrakcija prireditve pa je bil 15. Verižni eksperiment, v katerem je tokrat sodelovalo 10 šol in vrtcev s 15-imi napravami, ki jih je pripravilo okoli 100 ljudi. Eksperiment je že na naslovnici prireditve šaljivo napovedala avtorska ilustracija Cirila Horjaka. Med prireditvijo so bile naprave verižnega eksperimenta postavljene na oder in ko je nastopil pravi trenutek, so iz sedežev v dvorani na oder prišli ucenci, ki so jih sprožili, dogajanje pa je bilo preko videa preneseno na veliko platno, da so ga lahko dobro spremljali tudi gledalci v dvorani. Zadnji clen v verižnem eksperimentu je sprožil glasbeno skrinjico, ki je zaigrala znano rojstnodnevno melodijo. Sodelujoci so se priklonili in se vrnili na sedeže v dvorano, voditelja pa sta predstavila glasovanje za najboljši eksperiment ter zacela s podelitvijo. Med podelitvijo smo opazili veliko izstopajocih dosežkov. Ucenec 8. razreda OŠ Kozje Brest Lenarčič je osvojil tri prva mesta na tekmovanjih matematike, fizike in astronomije. Ta desežek je pri srednješolcih ponovil Andraž Jelinčič, dijak 4. letnika Gimnazije Bežigrad. Velik aplavz je požel tudi Luka Horjak, dijak 3. letnika I. gimnazije v Celju, ki je lani na Mednarodni matematicni olimpijadi (MMO) osvojil srebrno medaljo, šele cetrto za Slovenijo, in to z najboljšim tockovnim dosežkom doslej. Proti koncu prireditve, ki sta jo odlicno usmerjala voditelja, smo si ogledali še posnetek reševanja naloge iz fizikalne olimpijade, ki ga je posnel Marko Cmrlec, dijak 4. letnika Gimnazije Bežigrad, ki se je lani udeležil kar štirih mednarodnih tekmovanj in na njih osvojil štiri medalje, tudi srebrno na Mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike (MOAA). Ob koncu prireditve so bili na oder povabljeni še clani ekip za mednarodna tekmovanja. Poseben aplavz je še enkrat požela Tea JeliCic, ki je na lanski Evropski dekliški matematicni olimpijadi (EDMO) osvojila srebrno medaljo, kar je naboljši dosežek Slovenije doslej, pa Ana Meta Dolinar, 4. letnik Gimnazije Bežigrad, ki je že tretjic zapored na tem tekmovanju osvojila bron. Da sta pozabila omeniti njeno medaljo, je morala voditelja kar sama opozoriti Ema Mlinar, 4. letnik Gimnazije Vic, ki je osvojila bron tako na letošnji EDMO in kot na lanski MOAA. Na oder so druga za drugo prišle še ekipe za MMO, Srednjeevropske matematicne olimpijade (SMO), Mednarodne fizikalne olimpijade (MFO), Evropske fizikalne olimpijade (EFO) in Mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike (MOAA). Ob skupinski fotografiji je dal kratko izjavo v imenu vseh olimpijcev še Luka Horjak. $\siroum20l9 d ' m - O) s 03 d © 30 PRESEK 46 (2018/2019) G 30 TEKMOVANJA Preostale so še tri odrske tocke. Najprej sta dr. Jurij Bajc in ga. Natalija Polenec (TMS) podelila nagrade obcinstva in strokovne komisije za Verižni eksperiment. Nato sta se voditelja zahvalila vsem mentorjem in na oder povabila avtorja prireditve in pisca teh vrstic. Zahvalil sem se vsem, ki so mi pomagali pri izvedbi prireditve, predvsem dr. Juriju Bajcu in dr. Matjažu Željku, pa Cirilu Dominku in drugim cla-nom UO DMFA. Požel sem bucen aplavz, o tem, ali je bil upravicen ali ne, pa naj sodijo tisti, ki so se prireditve udeležili. Cisto na koncu sta se voditelja poslovila in na oder povabila vse nagrajence še za zadnjo skupinsko fotografijo. 15. Verižni eksperiment Nagrado obcinstva jubilejnega 15. Verižnega eksperimenta 2019 je prejela naprava Astronomius, ki so jo izdelali ucenci OŠ Josipa Plemlja Bled. Strokovna komisija v sestavi prof. dr. Dragan Mihajlovic, predsednik DMFA, dr. Orest Jarh, TMS, in mag. Gregor Udovc, pa je podelila še tri enakovredne nagrade napravam Reciklirani Urban (OŠ dr. F. Prešerna, Ribnica), Vodni park (OŠ Prežihovega Voranca, Jesenice) ter Pozor, gradbišče (OŠ Loka, Črnomelj), in še pohvalo napravi Rekreacija pod Stolom, ki so jo izdelali vzgojiteljici in otroci Vrtca pri OŠ Žirovnica. Clani ekip za mednarodna tekmovanja 2019 Evropska dekliška matematična olimpijada, Kiev, Ukrajina, april 2019 ■ Tea Jeličic, Konservatorij za glasbo in balet Ljubljana - srebrna medalja, ■ Ana Meta Dolinar, Gimnazija Bežigrad -bronasta medalja, ■ Ema Mlinar, Gimnazija Vic - bronasta medalja, ■ Špela Polak, I. gimnazija v Celju - pohvala. Mednarodna matematična olimpijada, Bath, Anglija, julij 2019 ■ Luka Horjak, I. gimnazija v Celju, ■ Jaka Vrhovnik, I. gimnazija v Celju, ■ Lovro Drofenik, I. gimnazija v Celju, ■ Tea Jeličic, Konservatorij za glasbo in balet Ljubljana, ■ Tevž Lotrič, Gimnazija Kranj, ■ Marko čmrlec, Gimnazija Bežigrad. Srednjeevropska matematična olimpijada, Češka, avgust 2019 ■ Nejc Amon, I. gimnazija v Celju, ■ Gal Zmazek, Gimnazija Ptuj, ■ Jan Genc, II. gimnazija Maribor, ■ Juš Kocutar, II. gimnazija Maribor, ■ Matija Likar, II. gimnazija Maribor, ■ Urban Vesel, Šolski center Velenje, gimnazija. Mednarodna fizikalna olimpijada, Tel Aviv, Izrael, julij 2019 ■ Klemen Bogataj, Gimnazija Škofja Loka, ■ Sašo Domadenik, II. gimnazija Maribor, ■ Aleš Globocnik, Gimnazija Kranj, ■ Tevž Lotrič, Gimnazija Kranj, ■ Vladimir Smrkolj, Gimnazija Bežigrad. Evropska fizikalna olimpijada, Riga, Latvija, maj 2019 ■ Simon Bukovšek, Gimnazija Škofja Loka, ■ Marko čmrlec, Gimnazija Bežigrad, ■ Andraž Jelinčič, Gimnazija Bežigrad, ■ Tevž Lotrič, Gimnazija Kranj, ■ Vladimir Smrkolj, Gimnazija Bežigrad. Mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike, Madžarska, avgust 2019 ■ Marko čmrlec, Gimnazija Bežigrad, ■ Jon Judež, Gimnazija Novo mesto, ■ Vito Levstik, II. gimnazija Maribor, ■ Matej Mali, Gimnazija in srednja šola Rudolfa Maistra Kamnik, ■ Ema Mlinar, Gimnazija Vic. XXX PRESEK 46 (2018/2019) G 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalčev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga!