Predikatna logika 2.del
[•KANE JERMAN
POVZETEK
V pričujočem članku se bomo seznanili najprej z aksiomalsko teorijo predikatnega računa in nekaterimi posebnostmi pri prevajanju tega računa. Pokazali bomo tudi na kratko, da je PR nadaljevanje KSR, pri čemer bomo pustili ob strani vprašanje modalne predikatne logike in sploh večvrediiostne račune, ter se posvetili zgolj dvovalentni predikatni logiki.
ABSTRACT
PREDICA TE LOGIC 2.PAR T
In this article we first acquaint ourselves with the axiomatic theory of the predicate calculation and some peculiarities in the transplation of this calculation. We shall show in short that PC is a continuation of CSC, where we shall leave aside the question of the modal predicate logic and polyvalent calculations in general and devote ourselves only to bivalent predicate logic.
1.
Gre, kot smo ?,c omenili, za ožji račun s kvantifikatorji, kar pomeni, da imamo poleg individualne variable in konstante ter obeh kvantifikatorjev samo enomestne predikate, se pravi predikate, ki se nanašajo na en sam subjekt. S tem je popolnoma jasno, da gre za atrihutivno logiko, oz. stavke. Podobno kot v stavčni logiki, gre tudi tu za ekstcnzionalno logiko, se pravi logiko, v kateri je mogoče računati s posameznimi logičnimi enotami, ali z drugim i besedami - kjer je mogoče posamezne logične entitete (stavke, predikatne stavke) reducirati na njihove logične (resničnostne) vrednosti, čeprav je treba dodati, da predikatna logika ne pa/, na mehanskega postopka verifikacije, kot ga stavčna logika. To je že leta 1936 povsem nedvoumno dokazal ameriški logik Alonzo Church, kar pa ne pomeni, da ne bi za posamezna matematična področja mogli to storili. Tako je poljski logik Alfred Tarski leta 1948 iznašel odločitveno metodo za elementarno algebro realnih števil. Predikatna logika prvega reda, kot tudi pravimo logiki s kvantifikatorji in cnomestnimi predikati pa je
kompletna ali popolna, kar pomeni tole: čc a logično izhaja iz ß, potem je a izpeljiv izraz iz p, kar je leta 1930 dokazal nemški logik Kurt Gödel.
Kot v stavčni logiki gre tudi pri predikalni logiki za ugotavljanje njenih zakonov, sc pravi vedno veljavnih logičnih stavkov. Kdaj pa so predikatni stavki logično resnični? Odgovor je preprost: takrat, ko je resnična njihova individualna interpretacija resnična. Z drugimi besedami: v pravem smislu besede so resnični samo tisti predikatni stavki, katerih bistvena prvina so individualne konstante. To pa pomeni, da predikatni stavki z individualnimi variahlami niso niti resnični niti neresnični.
Za kaj gre pri tem nam bo razvidno iz preprostega primera. Vzemimo formulo:
V(x) F(x) ali za člane razreda "x" velja, da imajo lastnost F. Ta stavek očitno ne more biti niti resničen niti neresničen. Če vstavimo za "x" npr. "drevo", za predikatno konstanto "I7" pa "je zelen", dobimo stavek "Za vse člane razreda 'drevo' velja, da so zeleni". Natanko vzeto bi ta stavek verificiralo natanko toliko individualnih stavkov, kolikor je dreves. Torej
"ai" a "a2" itd.
Že s tega primera je jasno, da stavka V(x) F(x) ne moremo niti verificirati, niti falsificirati. To lahko počnemo le z individualnim i stavki, torej s tistimi, katerih subjekti so lastna imena.
Obstaja pa vendarle način, kako priti do predikatnih zakonov. Izhajajmo iz poznavanja stavčno logičnih zakonov. Vzemimo kar najpreprostejšega med njimi: zakon istovetnosti:
P — P
Če stavčno variablo "p" zamenjamo za predikatno formulo
Vxf(x) — Vxr(x)
potem dobimo predikatno logično preslikavo stavčno logičnega zakona. Trdim lahko, da lahko vse zakone stavčne logike preslikamo v predikatno logične zakone. Ali drugače:
Vsi stavčno logični zakoni veljajo tudi v predikatni logiki.
Nastane pa vprašanje, ali obstajajo tudi zakoni, ki veljajo zgolj v predikatni logiki. Odgovor j esc veda pritrdilen, saj v nasprotnem primeru ne bi bilo nobene razlike med obema računoma, vemo pa, da s stavčno logiko ni mogoče izrazili vseh zakonov, ki so evidentno logiški zakoni.
Če sc zavedamo, da s predikatnim računom izražamo notranjo strukturo logičnih stavkov, potem je jasno, da sc bodo novi zakoni, ki jih s stavčno logiko ni mogoče izraziti, nanašali prvenstveno na tiste nove elemente, ki predikatno logiko prav postavljajo kot predikatno. Ali natančneje rečeno, novi zakoni se bodo nanašali na oba kvantifikatorja in na individualne variable, čeprav je jasno, da računa s kvanlifikatorji (kakor tudi imenujemo predikatno logiko) ne moremo izvajati brez poznavanja in upoštevanja zakonov stavčne logike. Stavčna logika ima tu vlogo temeljnega kamna cclotnc ckstcnzionalne logike.
Čc pojmujemo logiko kol teorijo, ki nam omogoča poiskati pravilne sheme za sklepanje, kijih seveda izvajamo iz logičnih zakonov, potem lahko definiramo tavtologije predikatnega računa kot vedno resnične stavke, s čemer smo definirali logične zakone tudi
v stavčni logiki. Ob naj opozorimo, da imamo v tem primeru opraviti s precej bogatejšim logiškim jezikom.1
2.
V pričujočem sistemu bomo obravanavali le izraze z vezanimi variablami, se pravi, da bodo vse indivudalne variable, ki nastopajo v tem sistemu, vezane na enega izmed obeh kvantifikatorjev. Pojem prostih variabel se nanaša na tiste individualne variable, kijih ne veže noben kvantifikator.
Uporabili bomo tele simbole:
Splošni kvantifikator: V(x)
Eksistencialni kvantifikator: 3(x)
Individualne variable: x, y, z
Simbole za predikatne izraze: a, ß, y, a(x), ß(x) itd.
Tako izraz [ V y a (y) 3 y -- a (y)] pomeni npr. tavtologijo - Vy [ R (y) —► S (y)] **3y-«[R(y)—»S (y)] kjer je izraz a zamenjan za predikatni izraz " R (y) —» S (y)".
Torej: izraze znotraj oklepajev (se pravi predikatne formule) bomo označevali z grškimi črkami, ker pomenijo skupno formo različnih logiških zakonov predikatnega računa.
Treba jc še dodati definicije pravilno oblikovanih izrazov ali krajše POI:
1.	Vsak izraz, sestavljen iz predikatne konstante in individualne variable, ki nastopajo po njem v oklepaju, je POI. Tako zvezo navadno imenujemo atomarni izraz.
2.	Vsaka povezava dveh POI sstavčnimi logičnimi vezniki ( a, V, -* in ** ) je sama
POI.
3.	Vsak izraz, ki jc sestavljen iz " -> " (ncgacijc) pred POI, jc tudi sam POI.
4.	Vsak izraz, ki ga sestavlja kvantifikator (univerzalni ali csksistencialni) ter veže določeno individualno variablo v oklepaju, ki vsebuje POI, je sam POI.
5.	Vsak izraz, ki nastane iz atomarnih POI na podlagi logičnih operacij (izpeljevanja in substitucije) jc sam POI.
Aksiomi PR so vsi tisti POI, ki zadovoljujejo naslednje logične izraze:
t V nadaljevanju sc bom držal aksiomatskega sistema poljskega logika Andreja Grzegorczyka Zarys logiki
malemalycznej, PWN, Varšava 1961, str. 118 ff. 2 V članku Predikatno logika (Anthropos, 3-4, 1990, str 83-92) je prišlo do nekaterih nejasnosti, povezanih s tiskom. Tako je treba preurediti in dopolniti seznam logiških terminov (str.83) takole:
1.	Individualne konstante: a, b, c ...
2.	Individualne variable: x, y, z ...
3.	Predikatne konstante: f, g, h, ali F, G, H ...
4.	Univerzalni kvantifikator: V(x) ali kar (x)
5.	Eksistencialni kvantifikator: 3(x) itd.
I.	Poljubne tavtologijc KSR (klasičnega stavčnega računa), kjer so
A.	stavčne variable zamenjane za POI PR, in
B.	in so tako nastali izrazi opremljeni s splošnimi ali eksistencialnimi kvantifikatorji, ki vežejo nase vse v izrazu nastopajoče individualne variable.3
II.	Tavtologijc, ki zadevajo splošne kvantifikatorje.
1.V...[Vx(a—ß)—(V	xfif— V xß)] (Zakon porazdelitve implikacije)
2.	V... [ V x ( x ) — a(a)]
(Zakon substitucije ali prehoda od splošnega na posamezno).
3.	V... [Vx V y a -* VyVxa ] (Zakon zamenljivosti Icvantifikatorjev)
4.	V ... [ V x V y a -» V x a ( y/x )]
(Zakon povezovanja splošnih kvantifikatorjev) 4
5.	V ... T a —► V x a 1
5
(Zakon priključitve odvečnega kvantifikatorja)
III.	Tavtologijc, ki zadevajo eksistencialni kvantifikator.
6.	V ... [ V x ( a — ß ) ( 3 x « — 3 x ß)] (Zakon porazdelitve implikacije)
7.	V...[a(x) — 3xa(x)] (Zakon abstrahiranja konkretnosti)
8.	V...[3x3ya —3y3xa] (Zakon premeščanja Icvantifikatorjev)
9.	V ... [ 3 x a (y/x) — 3 x 3 y a ]6
(Zakon drobitve eksistencialnih Icvantifikatorjev)
10.	V...(3xa —a)7
(Zakon opustitve odvečnega kvantifikatorja).
Poleg navedenih zakonov so veljavne seveda vse druge tavtologijc od 1. do 10., ki bi nastale z nadomestitvijo x in y s poljubnim parom spremenljivk.
Gregorzcykov aksiomatski sistem pa ima še dodatno predpostavko, namreč predpostavko nepraznosti:
3 x [ P (x) -» P (a)]
ki pomeni tole: da iz stavka, da ima nekaj tako ali tako lastnost, sledi, da ima to lastnost neki individuum. Velja seveda tudi nasprotno:
3	S tem smo pravzaprav povedali, da v našem sistemu proxtih variabel za zdaj ne bomo upoštevali.
4	Avtor pojasnjuje ta zakon takole: "Ce izraz a ne vsebuje nobenega kvantifikatoija, ki bi vezal spremenljivko x, v čigar dosegu bi se nahajala spremenljivka y, potem lahko nadomestimo prosto variablo y vaz variablo x". (Idem, str. 120).
5	Ob posebnem pogoju seveda, da izraz a ne vsebuje proste spremenljivke x.
6	Ta zakon velja samo v primeru, da izraz a (y/x) ne vsebuje nobenega kvantifikatorja, ki bi vezal variablo y in v katerega dosegu bi bila prosta variabla x v a (y/x), in se izraz a (y/x) samo po tem razlikuje od a, da so vse variable y, ki so proste v a zamenjane v izrazu a (y/x) s spremenljivko x.
7	Ob pogoju, da a ne vsebuje proste variable x.
P (a) - 3 P (x),
torej trditev, da iz obstoja nečesa sledi tavtološko, daje vsaj ena stvar, ki ima tako in tako lastnost.
3.
Oglejmo si zdaj, kako delujejo pravzaprav navedene tavtologije ali aksiomi. V prvi skupini so tavtologije KSR. Iz njih dobimo nove aksiome (predikatnega računa!) z navadno substitucijo. Tako iz tavtologije:
P — [q — (PAq)]
dobimo lahko večmestni predikatni izraz
V (x) V (y) \R (x, y) - [ S (x, y) ( R (x, y) a S (x, y))]\
in to nc glede na to, kaj posamezni stavki pomenijo. Konstanti R in S v gornjem zapisu ne pomenijo običajnih enomestnih predikatov ampak relacije. Tako izraz "R(x,y)" pomeni, da vlada med x in y določen odnos (Za R je odnos "biti večji", x in y pa sta dve med seboj različni števili, npr." x = 4, y = 3", dobimo npr. izraz "4 jc večji od 3".
Isto tavtologijo lahko transformiramo z enomestnimi predikatnimi izrazi, kjer uporabljamo za splošni predikatni stavek izraz
V(x)f(x),
ki ga beremo: "Za vsak x velja, da ima lastnost f"; za eksistencialni predikatni stavek pa uporabljamo izraz
3(x)f(x),
kar beremo: "Eksistira vsaj en x, za katerega velja, da ima lastnost f'. Tako gornjo tavtologijo lahko izrazimo takole:
(X)< f<X)-[g(x)-(f(x)Ag(x)W,
Enako lahko iz znane tavtologije, imenovane kontrapozicija: (p —q) — ( -q— -p)
dobimo predikatni tavtologiji: ali
(*) U f (*) — 8 (*) ] — t — "f (*)]}■
Tako lahko poljubno tavtologijo klasičnega stavčnega računa preuredimo v tavtologijo ali logični zakon poljubnega predikatnega računa, sc pravi predikatnega računa poljubne
stopnje. Veljavnost teh aksiomov je tako rekoč apriorna, ker je veljavna že na temelju lastne logiške strukture !
Skušajmo malce razložiti aksiome druge skupine, ki zadevajo značilnosti splošnega kvantifikatorja.
Zakon porazdelitve splošnega kvantifikatorja v implikacijskcm izrazu je jasen takorekoč sam na sebi. če si vzamemo za primer razred mačk, je gotovo resnična tale implikacija:
Vx (Če se x giblje, tedaj si lahko x išče hrano).
Iz nje izhaja tako stavek
V x ( x se giblje) in
V x (x si išče hrane)
ali drugače povedano
V x [ f (x) - g (x) ] - [ V x f (x) - V x g (x) ]
za f = gibanje
za g = iskanje hrane
za x = mačka
Gornja tavtologija je poseben primer obravnavanega zakona in ne potrebuje posebne razlage.
Naslednji zakon, ki ga je treba malce razložiti, je zakon substitucije ali zakon prehajanja od splošnega na manj splošno ali od splošnega na posamezni primer. Očitno ta zakon velja brez vsakih pridržkov ali omejitev. Iz splošnega zakona lahko torej dobimo s substitucijo povsem konkretne stavke. Vzemimo primer razreda (množice) naravnih števil. Tam velja zakon
VxVy (x+y=y+x) in če substituiramo x za 2 in y za 3, dobimo enačbo
2+3 = 3+2.
Z drugimi besedami, kar velja za celoto velja tudi za vsak njen del.
Naslednji neproblematičen zakon je zakon zamenljivosti splošnih kvantifikatorjev, ki ugotavlja, da je zaporedje splošnih kvantifikatorjev brez pomena za resničnost predikatnega stavka. Popolnoma vseeno je, ali zapišemo npr.
VxVy ( f ( x, y )) ali
VyVx (f (x, y )).
Zakon povezovanja splošnih kvantifikatorjev ali istovetenja spremenljivk govori pravzaprav nekaj podobnega kot zakon substitucije. Če imamo npr. trditev v obliki
VxVy f(x, y),
moramo priznati tudi trditev
V x f ( x, x ),
kar pomeni, da smo spremenljivko y substituirali s spremenljivko x. Če namreč velja lastnost/za x in y, velja tudi za x. Ali še bolj jasno, če velja relacija/za x in y, velja tudi za in x in x. Druga trditev je torej poseben primer splošnega zakona. Tu pa velja spet važno opozorilo, da izraz a ne sme vsebovati nobenega kvantifikatorja, ki bi vezal spremenljivko x v čigar dosegu bi bila sprememnljivka y, prosta v izrazu a. Za kaj v tem primeru gre, naj pokaže primer, kot ga navaja Gregorczyk v omenjenem učbeniku: "Naj bo a tale izraz z dvema spremenljivkama x in y:
(x = x) AVx(x<y).
Uporabimo na tem izrazu gornji zakon in zanemarimo opozorilo. V tem primeru dobimo stavek:
VxVy[(x = x)AVx(x<y)] —Vx[(x = x)aVx(x<x)]8
ki na področju stvarnih števil seveda ne drži, saj nobeno stvarno število ne more biti manjše od samega sebe.
Kar zadeva zakon priključitve odvečnega splošnega kvantifikatorja, je ta podoben stavčno logičnemu zakonu simplifikacije implikacije, ki omogoča priključitev poljubni prccedeas k že priznanemu stavku9. V našem primeru gre za priključevanje splošnega kvantifikatorja torej: "Če je 2 + 2 = 4, potem jc tudi res, daje za vsako število x, 2 + 2 =4." Splošni kvantitifkator je odvečen, ker ne veže nobene spremenljivke, zato ga lahko seveda vedno tudi dodamo, ne moremo pa ga vedno opustiti. Z delnim kvantifikatorjem je ravno narobe.
Preostane nam še komentar k tretji skupini zakonov, ki zadevajo postopke z delnim kvantifikatorjem.
Prvi zakon, zakon porazdelitve implikacije za delni kvantifikator je dvojnik istoimenskega zakona za splošni kvantifikator. Njegova vsebina je razvidna sama na sebi. Primer iz teorije množic: "Cc [množica Ajcvsebovana v množici 13 ], potem [ če eksistirajo predmeti, ki sodijo v množico A, potem eksistirajo tudi predmeti, ki sodijo v množico B ]. Z uporabo logiškega jezika lahko tole zapišemo bolj pregledno takole:
Vx(x€B) —[3x(xGA) —3x(xGB)]
in je veljaven na vsakem področju, se pravi brez omejitev.
Naslednji je zakon abstrahiranja konkretnosti, ki je izrazito podoben aksiomu substitucije, kjer pa začetno spremenljivko x substituiramo z neko koastanto. Stavek "če je Zemlja Sončev satelit, potem eksistira tak x, daje x Sončev satelit", ali simbolno:
Z (Zemlja ) — 3xf(x),
kjer izraz "f(x)" pomeni stavek "Zemlja je Sončev satelit". Gornji stavek je neposredna konsckvcnca našega aksioma:
V x [ f (x) -» 3 x f (x) ]
8	A. Grzcgorczyk: Zarys logiki .... cit. izd. sir. 124
9	Ta zakon sc glasi p -» ( q -» p ) .
Iz navedenih primerov je razvidno, daje smisel tega zakona, ki ga sicer matematiki v svojih dokazih močno uporabljajo, povsem jasen in samoumeven. Zakon velja brez omejitev. Enako velja brez omejitve tudi zakon premeščanja kvantifikator jev, ki omogoča poljubno povezovanje delnih ali eksistencialnih kvantifikatoijcv, saj zaporedje predmetov, o katerih menimo, da eksistirajo, ni pomembno.
Omejitev, kakršno smo imeli pri zakonu istovetenja spremenljivk v zvezi z vezanimi variablami, velja tudi pri zakonu, ki smo ga imenovali zakon drobitve eksistencialnih kvantifikator jev. Zadnji zakon v tej vrsti je zakon opustitve odvečnega kvantifikatorja, ki dovoljuje, da na začetku trditve opustimo eksistencialni ali delni kvantifikator, kolikor ne veže nobene spremenljivke ali variable. Ali analogno podobnemu zalonu za splošni kvantifikator: iz trditve V x (2 + 2 = 4) lahko izvedemo trditev "2 + 2 = 4".
Zadnji aksiom te skupine predpostavlja, da ckistira vsaj en predmet in po svojem bistvu sodi v ontologijo in ne v logiko. Vendar klasični logični sistem je prav tak sistem, ki vsebuje tudi aksiom nepraznosti, o čemer bomo na koncu sestavka še spregovorili.
4.
Definicijsko jc treba še poudariti, da so trditve KLS10 vsi tisti izrazi, ki nastanejo iz aksiomov KLS z uporabo pravil izpeljevanja, tj. obeh substitucij (definicijske in enotne) in modusa ponens. Vsak pravilno izpeljani izrazje seveda tudi tavtologija KLS.
Zdaj seveda lahko izpeljemo cclo vrsto trditev, ki se nanašajo predvsem na rabo obeh kvantifikatorjev. A. Grzegorczyk jih je v navedeni knjigi izpeljal kar 69, vendar predvsem takšne trditve, ki imajo posebno vlogo pri dokazovanju matematičnih trditev. Najpomembnejši za izpeljevanje se zdi aksiom št. 1 ali A-l, ki govori o porazdelitvi implikacije. Tako lahko npr. postavimo trditev
ll.-j Vx[p-f(x)]-[Vxp-Vxg(x)] \
pri čemer predpostavljamo, daje "p" stavek, kot ga poznamo iz stavčne logike, stavek "f(x)" pa sme imeti ic eno samo spremenljivko x, ki je izpeljanka A-l. Prav tako je poseben primer A-5
I2.(p-Vxp).
Kot naslednjo tezo lahko navedemo stavčno tavtologijo, razširjeno za splošni kvantifikator po načelu substitucije stavčnih variabel za predikatne. Stavčna tavtologija se glasi:
Če v tem izrazu substituiramo za "p" izraz " p —» f (x)"; "q" izraz " V x p "; "r" izraz V x f (x)"; in "s" izraz "p".
10 To je kratica za Klasični logični sistem
dobimo dokaj zapleten izraz
13.	|[Vx(p-f(x))]HVxp-Vxf(x)][-j(p-Vxp)H[Vx(p-
f(x)]-[p-Vxf(x)]
ki pa omogoča nadaljno dedukcijo in sicer s pravilom modusponens:
P -* Q P
Q
Prvi del teze 13 je namreč enak tezi št. 11 ( torej P) in tako postane teza št. 14 konsekvens teze št. 13:
14.(p-Vxp)-UVx(p-f(x))]-[p-Vxf(xW In podobno lahko izpeljemo iz tez št. 14 in št. 12 tezo št. 15:
[ V x (p f (x))] —» [ p —» V x f (x)] U.
S tem je opisan primer izpeljevanja v aksiomatskem sistemu predikatnega računa, ki gaje mogoče uporabiti na različnih matematičnih teorijah. Bistvo dedukcijskega postopka je v tem, da se sklicujemo vedno na aksiome predikatnega računa, navedene v treh skupinah (vsega skupaj je tu 9 aksiomov) in na posamezne astrezne tavtologijc klasičnega stavčnega računa.
5.
Za konec še nekaj pomembnih metateoretičnih definicij logiških pojmov, uporabnih pri predikatni logiki. To so pojmi interpretacije, univerzalne veljavnosti, logične posledice in logične konsistentnosti. 12
Interpretacija
Stavek P je interpretacija izraza Q upoštevaje področje individuov D če in samo če lahko dobimo P iz Q ob zamenjavi (substituciji) predikatnih konstant in individualnih variabel, definiranih za področje D, s predikatnimi konstantami in individualnimi variablami, nastopajočimi v 0 in ob zamenjavi (substituciji) lastnih imen individuov v D za lastna imena (tj. za individualne konstante) in proste variable v Q.
Smisel te definicije je v tem, da je interpretacija zamenjava vseh logiških simbolov za to, kar so v naravnem jeziku. Stem dobimo konkretni stavek, ki mu lahko prisodimo lastnost
11	Avtor Gre gorczyk pripominja, daje ta teza zelo pomembna za račun s kvantifikatorji, vendar opozaija, da izraz "p" ne sme vsebovati proste spremenljivke "x". Izraz kot pravilo omogoča prenesti splošni kvantifikator pred implikacijo na konsekvens tc implikacije.
12	Definicije posnemam po odličnem uvodu v moderno logiko Patricka Suupesa Introduction to LOGIC, New York, 1957. Kljub "starosti" knjige je to delo še vedno izjemno uporabno in instruktivno.
resničnosti ali neresničnosti. Samo individualni stavki, ki nastanejo z zamenjavo individualnih koastant (a, b, c itd.) za prava lastna imena, so po svojem karakterju lahko resnična ali neresnična. Od tod tudi nominalistični značaj predikatne logike prvega reda sploh. Ali če to prikažemo na preprostem primeru:
Vx[f(x)-g(x)]
f = človek g = umrljivost
x = poljubna spremenljivka (torej "nekaj"!).
Gornji stavek preberemo: "Če je x človek, potem je x umrljiv". logična interpretacija tega stavka je:
fa — ga,
Kar pomeni, čc individualno konstanto zamenjamo za lastno ime, rccimo Marko, tole: Čc jc Marko človek, potem jc umrljiv.
Univerzalna veljavnost
Na podlagi definiranega in obrazloženega pojma interpretacije lahko definiramo pojem univerzalne veljavnosti takole:
logični izraz je veljaven če in samo če jc vsaka njegova intcprctacija na vsakem nc-prazncm področju individuov resnična.
Intuitivni smisel te definiciji je v domnevi, daje stavek univerzalno veljaven takrat, kadar je resničen v vsakem možnem svetu, kot bi dejal Leibniz. Taki pa so lahko samo aksiomi ali logični zakoni ali logične tavtologije. Tuje namreč vsaka interpretacija vedno resnična.
Logična posledica
Z istim pojmom logične interpretacije lahko definiramo tudi logično posledičnost: Izraz 0 logično sledi ali izhaja iz izraza P če in samo če na vsakem ne-praznem področju individuuov vsaka interpretacija, ki verificira 1', verificira tudi Q.
Lahko pa ta pojem definiramo Se bolj na kratko, upoštevaje tudi definicijo univerzalne veljavnosti:
0 logično izhaja iz P če in samo če jc pogojnik P ~»Q univerzalno veljaven. Preostane nam samo še dcfinicija logične konsistentnosti, kar bi lahko poslovenili z ne preveč povednim izrazom logične trdnosti ali čvrstosti. V logiki pa dobi seveda poseben definicijsko utrjen smisel:
Logični izraz je koasistenten če in samo če eksistira vsaj ena njegova resnična interpretacija na nekem ne-praznem področju individuov. Tako je npr. izraz V x f (x) a -. 3 f (x)
nekonsistenten, ker drugi del konjunkcijc " 3 f (x)" pomeni prav prazno področje. Taka konjunkcije jc torej nujno neresnična.
S tem so podani poglavitni pojmi za uvod v proučevanje nadaljnih lastnosti predikatnega računa prvega reda.