i i “947-Vencelj-Newton” — 2010/6/14 — 11:19 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 16 (1988/1989) Številka 5 Strani 312–315 Marija Vencelj: NEWTONOVA NALOGA Ključne besede: matematika, naloge, Newton. Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/947-Vencelj-Newton.pdf c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. NEWTONOVA NALOGA V letošnji 2. številki Preseka osnovnošolka Tina v pismih bralcev opozarja na napako v rezultatu 356. naloge matematičnega učbenika za šesti razred. Na vprašanje: kako naj zasadimo devet dreves vzdolž devetih premic tako, da bodo na vsaki premici natanko tri drevesa, ponuja knjiga rešitev z desetimi premicami. V knjigi torej napaka res je, toda ne v rezultatu, ampak v vprašanju. Isaac Newton je namreč zastavil takole nalogo: Kako naj zasadimo 9 dreves vzdolž desetih premic tako, da bodo na vsaki premici natanko tri drevesa. To rej je bil na delu tiskarski škrat, ki je črko s spremenil vv. A kaj, ko se škratje odraslim (to pot avtorjem) tako radi skrijejo. Ko se je že ponudila prilika , si obe nalogi malo pozorneje oglejmo. Lažja je tista z devetimi drevesi vzdolž devetih premic. Rešimo jo lahko na veliko zelo raznolikih načinov. Ena od rešitev je npr. Tinina (slika 1), drugo dobimo, če v rešitvi iz učbenika opustimo edino navpično premico (na sliki 2 je lega opušče ­ ne premice črtkana). Slika 1 Rešitvi sta tipično različni. Na sliki 1 je poseben primer rešitve s slike 3, kjer je ABC poljuben trikotnik in T njegovo težišče. Zaradi preglednosti so namesto premic narisane le potrebne daljice. Pri tem ne spreglejmo, da težišče Tni "drevo" in da ni prav nič pomembno, da je tam ravno težišče. Enako do - bro bi rešili nalogo, če bi imeli namesto težiščnic na primer višine in namesto težišča višinsko točko . Poleg tega pa sploh ni potrebno, da se premice, ki po- tekajo skozi oglišča in točke na nasprotnih stranicah, sekajo v isti točki. Očitno to za rešitev naloge ni potreben pogoj. ln že je tu splošna ideja: vzamemo poljuben trikotnik ABC, na vsaki od 312 njegovih stranic izberemo poljubno točko, različno od oglišč, recimo Al, BI, CI, ter narišemo figuro, kot na sliki 4. Kar malo preveč preprosto, kajne? c c A Slika 3 B A C1 Slika 4 B Točke Al, BI, CI si lahko izbe- remo tudi na podaljških trikotniko- vih stranic, da le leže na njihovih nosilkah (slika 5). Poglejmo sedaj rešitev na sliki 2. Njeno posplošitev daje izrek, ki mu pravimo Pappus - Pascalov izrek in se glasi: B C1 Naj bosta p in q poljubni različnipremici v ravnini. Nadalje naj bodo A, B, C tri različne točke premice p in Al, BI, CI tri različne točke premice q (slika 6), Če je L presečišče premic prA, BI} in prA 1, B}, M presečišče premic prA, CI} in prA 1, C} ter N presečišče premic pfB, CI} in p(B I, Cl, potem so točke L, M, N kolinearne. Slika 6 q r ----::: =----__---p 313 Na sliki 6 smo njihovo nosiiko označili z r. S slike je tudi razvidno, da smo dobili precej splošno rešitev naše naloge. Na sliki 2 je le njen poseben primer. Pappus - Pascalov izrek velja tudi v primeru, če sta vrstna reda točk A, 8, C na premici p in Al, 8 1 , CI na premici q drugačna kot na sliki 6. Prav nič ni namreč pomembno, katera od danih treh točk na posamezni premici leži med drugima dvema. Tak drugačen primer je narisan na sliki 7 . q """'7'..e::::....----------'lt:,f----